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Mémoire présenté devant l’UFR de Mathématique et d’Informatique pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourg et l’admission à l’Institut des Actuaires le 01/10/2015 Par : Florian Adjedj Titre: Construction d’un modèle de profitabilité et tarification d’un contrat en unités de compte avec garantie plancher Confidentialité : NON OUI Durée : 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus Membres du jury de l’Institut des Actuaires signature Entreprise : Nom : Swiss Re Signature : Membres du jury de l’Unistra : Directeur de mémoire en entreprise : Nom : M. Armand Komnek M. Philippe Artzner Signature : M. Jean Bérard Invité : M. Karl-Theodor Eisele Nom : M. Armand Komnek M. Jacques Franchi Signature : M. Jean-Luc Netzer Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité) Mme Myriam Maumy-Bertrand M. Vincent Vigon M. M. Invités : David Dubois David Fitouchi M. Mme Mme Sylvain Gadenne Frédérique Henge Magali Kelle-Vigon Signature du responsable entreprise M. Jean Modry M. Alexandre You Secrétariat : Mme Stéphanie Richard Signature du candidat Bibliothèque : Mme Christine Disdier

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Mémoire présenté devant

l’UFR de Mathématique et d’Informatique

pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourg

et l’admission à l’Institut des Actuaires

le 01/10/2015

Par : Florian Adjedj

Titre: Construction d’un modèle de profitabilité et tarification d’un contrat en unités de

compte avec garantie plancher

Confidentialité : NON OUI Durée : 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membres du jury de l’Institut des

Actuaires signature

Entreprise :

Nom : Swiss Re

Signature :

Membres du jury de l’Unistra : Directeur de mémoire en entreprise :

Nom : M. Armand Komnek

M. Philippe Artzner Signature :

M. Jean Bérard Invité :

M. Karl-Theodor Eisele Nom : M. Armand Komnek

M. Jacques Franchi Signature :

M. Jean-Luc Netzer Autorisation de publication et de

mise en ligne sur un site de

diffusion de documents actuariels

(après expiration de l’éventuel délai de

confidentialité)

Mme Myriam Maumy-Bertrand

M. Vincent Vigon

M.

M.

Invités :

David Dubois

David Fitouchi

M.

Mme

Mme

Sylvain Gadenne

Frédérique Henge

Magali Kelle-Vigon

Signature du responsable entreprise

M. Jean Modry

M. Alexandre You

Secrétariat : Mme Stéphanie Richard Signature du candidat

Bibliothèque : Mme Christine Disdier

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Remerciements

Je voudrais remercier tout d’abord Monsieur Rejean Besner, dirigeant agréé pourIptiQ assurance, filiale de Swiss Re, pour m’avoir chaleureusement accueilli au seinde la compagnie.

Mes remerciements s’adressent également à Monsieur Armand Komnek, actuairedésigné au sein de IptiQ, qui m’a fait bénéficier de son expérience et m’a encadrétout le long de ce stage.

Je remercie par ailleurs l’ensemble de mes collègues au sein de IptiQ pour leur ac-cueil et leur gentillesse et tout particulièrement Paola Barberis, Richard-Louis Haneet Christian Rola.

Enfin, je remercie Monsieur Vincent Vigon, mon tuteur universitaire, ainsi que Mon-sieur Jean Bérard pour leur aide et leurs conseils avisés.

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RésuméMots-clés : Profitabilité, Contrat en unités de compte, Solvabilité II, Black-Scholes,Heston, Calibration.

Dans le cadre du lancement d’une nouvelle assurance vie qui cherche à se déve-lopper, il est crucial pour ses dirigeants d’estimer le risque et la profitabilité de sonportefeuille d’assurance.

Pour connaître la capacité de croissance de l’assurance et pouvoir estimer lebesoin en capital afférent, il est ainsi indispensable d’estimer sa profitabilité à traversdifférents indicateurs économiques.

En effet, les choix stratégiques décisifs d’une assurance vie, dont les contratspossèdent généralement de longues maturités, s’effectuent au début de sa créationet impacteront ses résultats à long terme.

C’est en ce sens qu’il est essentiel de fournir des outils pour aider les dirigeantsà prendre des décisions stratégiques.

Afin d’évaluer les flux futurs que dégage l’assurance, il est également nécessaired’intégrer l’exigence en capital dont la directive en vigueur passe de Solvabilité I àSolvabilité II dès janvier 2016.

L’objectif de ce mémoire s’articule ainsi autour de la construction d’un modèle deprofitabilité pour des produits d’assurance vie et s’attachera également à proposer unmodèle de tarification pour les produits en unités de compte avec garantie plancherà l’aide du modèle de Heston.

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AbstractKey Words : Profitability, Unit-linked contracts, Solvency II, Black-Scholes, Hes-ton, Calibration.

In order to expand the business of a newly launched insurance company, theboard needs some information such as the risk profile and the profitabily of its cur-rent insurance products.

It is indeed crucial in order to assess its growth potential and the capital needsto estimate the underlying business profitability through several profitability indi-cators.Most of the critical choices are actually decided as its business starts but affects itsresults in the long run.This feature explains why building tools to help the stakeholder take decisions isessential.

In order to evaluate the cashflows inherent to the insurance portfolio it is ne-cessary to assess the capital requirement enforced by the insurance standard thatapplies, mainly Solvency I and Solvency II.

This thesis’ purpose thus aims at building a profitability model on life insuranceproducts as well as a pricing model for unit-linked contracts with warranties throughthe Heston model.

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Index des abréviations

• CAA : Commissariat aux Assurances (Luxembourg)

• CIR : Cox-Ingersoll-Ross

• EDP : Equation aux dérivées partielles

• EMS : Exigence en marge de solvabilité sous Solvabilité I

• ICD : Injection en capital ou dividendes

• IR : Impact des traités de Réassurance

• IRR : Internal Return Rate

• MME : Mesure Martingale Equivalente

• PPU : Prime Pure Unique

• PT : Provisions Techniques

• ROE : Return on Equity

• RS : Ratio de Solvabilité

• SCR : Solvency Capital Requirement

• SA : Somme Assurée

• SII : Solvabilité II

• SST : Swiss Solvency Test

• UC : Unité de Compte

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Sommaire

Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Index des abréviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Introduction 9

I Réglementations et définitions 11

1 Réglementation en termes de solvabilité 131.1 Contexte actuel : Solvabilité I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 Atouts et faiblesses de Solvabilité I . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 La directive Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 Les provisions mathématiques : Best Estimate et Marge de

Risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 L’exigence en capital : le SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Swiss Solvency Test (SST) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Indicateurs de profitabilité 192.1 L’Internal Return Rate (IRR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Return On Equity (ROE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Autres indicateurs de profitabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Résultat de l’année financière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Injection de capital ou dividende payé . . . . . . . . . . . . . 202.3.3 Période négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Formules et définitions 213.1 Mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Formules usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Durées de vies non-entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.1 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.3 Calcul d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Conclusion de la partie I 24

6

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II Construction d’un modèle de profitabilité 25

1 Projection des flux en run-off 271.1 Produit Invalidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.1.2 Calculs actuariels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.1.3 Résultats et profitabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.1.4 Sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2 Produit vie entière et temporaire décès . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.2.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.2.2 Calculs actuariels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.2.3 Résultats et profitabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.2.4 Sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 Incorporation des volumes futurs 532.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Ajustement des dépenses 563.1 Dépenses modélisées et dépenses réelles . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2 Ajustement opéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.1 Dépenses réelles supérieures aux dépenses modélisées . . . . . 573.2.2 Dépenses réelles inférieures aux dépenses modélisées . . . . . 57

4 Projection de l’exigence en capital 584.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.1 Projection de la provision Best Estimate selon les chocs enrun-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.2 Incorporation des volumes futurs . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Résultats 615.1 Scénarios considérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Evolution des différents flux et indicateurs de profitabilité . . . . . . 625.3 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Conclusion de la partie II 66

III Implémentation du modèle de Heston pour la tarification decontrats en unités de compte 67

1 Les contrats d’épargne 691.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.2 La garantie plancher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.3 Modélisation de l’actif financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.4 Choix de la probabilité et de la filtration . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.4.1 Probabilité physique P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.4.2 Probabilité risque neutre Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.4.3 Choix de la filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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1.5 Modèle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.5.1 Recherche de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.5.2 Loi du rendement de l’actif financier . . . . . . . . . . . . . . 741.5.3 Approche par équations aux dérivés partielles . . . . . . . . . 74

1.6 Évaluation de l’engagement de l’assureur et calcul de la prime pureunique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.6.1 Estimation de σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.6.2 Volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.6.3 Limites de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2 Volatilité stochastique 812.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.2 Modèle général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3 Description du modèle de Heston 843.1 Modélisation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2 Approche par équation aux dérivées partielles (EDP) . . . . . . . . . 843.3 Passage en probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4 Marché incomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.5 Solution de forme fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4 Application aux contrats UC 914.1 Calibrage des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.1 $RMSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.2 %RMSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.1.3 ivRMSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Influence des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3 Évaluation de l’engagement de l’assureur et calcul de la prime pure

unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4 Simulation stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4.1 Interêts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4.2 Méthode de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4.3 VaR et TVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.5.1 Données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.5.2 Résultats de la calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5.3 Calcul de la prime pure unique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.5.4 Vérification par simulation stochastique . . . . . . . . . . . . 110

4.6 Avantages et inconvénients du modèle de Heston . . . . . . . . . . . 112

5 Conclusion de la partie III 113

Conclusion 114

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Introduction

IpitiQ, succursale de Swiss Re Europe au Luxembourg, est une entreprise d’as-surance vie récente proposant principalement des produits invalidité, vie entière ettemporaire décès.

Le Luxembourg étant propice au marché des produits d’épargne ou unités decompte, celle-ci cherche également à commercialiser ces produits qui sont actuelle-ment en phase de développement.

Afin d’aider ses dirigeants à opérer des choix stratégiques, il est nécessaire d’éva-luer la profitabilité de son portefeuille actuel. Par ailleurs, dans une optique dedéveloppement, il est également nécessaire de proposer un modèle de tarificationcapturant au mieux les risques inhérents aux produits épargne.

Contrairement aux produits d’assurance vie classique qui sont principalement ta-rifés par le biais de tables de mortalité, les produits en unité de compte avec garantieplancher nécessitent la modélisation de l’indice financier sous-jacent. Ils constituentainsi des produits risqués qui nécessitent une modélisation adéquate.

Le mémoire s’orientera ainsi autour des trois points suivants :

Tout d’abord, nous nous attacherons à présenter les directives au sein desquelless’inscrivent les calculs opérés qui sont principalement Solvabilité I, Solvabilité II etle Swiss Solvency Test.

Nous présenterons également les principaux indicateurs de profitabilité que nousretrouverons le long de ce mémoire.

Enfin, nous préciserons les formules usuelles d’assurance et de finance que nousutiliserons principalement lors de l’implémentation du modèle de Heston.

Dans un deuxième temps, nous détaillerons les étapes de la construction d’unmodèle de profitabilité.

Nous présenterons les hypothèses actuarielles utilisées pour projeter les flux re-latifs aux produits actuellement en portefeuille, à savoir des produits invalidité,temporaire décès, vie entière et exposerons les résultats obtenus.

Nous présenterons également un calcul de sensibilité appliqué au taux techniquepour évaluer l’impact d’une modification de son montant.

Par ailleurs, avec le modèle de profitabilité obtenu nous chercherons à analyserplusieurs scénarios suite à l’incorporation d’un nouveau partenaire de vente. L’ana-lyse de l’évolution des indicateurs de profitabilité permettra à la compagnie d’opérerdes décisions stratégiques.

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Nous finirons par décrire les produits d’épargne avec garantie plancher ainsiqu’un modèle de tarification des plus utilisés, celui de Black-Sholes.

Nous présenterons notamment ses insuffisances qui nous amèneront à considérerun modèle alternatif, celui de Heston avec volatilité stochastique.

Enfin, nous exposerons les résultats obtenus avec le modèle de Heston que nouscomparerons avec celui de Black-Scholes.

Pour faciliter la lecture du mémoire, une liste des tables et figures est disponibleà la fin du corps du mémoire.

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Première partie

Réglementations et définitions

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En assurance, tout calcul de provisions ou de capitaux propres s’accompagned’une réglementation officielle qui impose des normes calculatoires afin d’harmoni-ser les résultats des assurances.

La directive en vigueur dépend du pays dans lequel exerce l’assurance. IptiQétant une assurance basée au Luxembourg, ce sont les normes Solvabilité I (jusqu’au1er janvier 2016) et Solvabilité II (à partir du 1er janvier 2016) qui s’appliquentet que nous allons décrire au sein d’un premier chapitre. Par ailleurs IptiQ ayantcontracté des contrats de réassurance avec Swiss Re à Zurich, nous ferons une brèvedescription du Swiss Solvency Test qui est la directive en vigueur en Suisse.

Puis nous définirons plusieurs indicateurs permettant de juger de la profitabilitédes différents produits dont nous détaillerons les caractéristiques par la suite.

Nous présenterons enfin les formules classiques d’assurance vie et de finance quenous utiliserons tout le long de ce mémoire.

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Chapitre 1

Réglementation en termes desolvabilité

1.1 Contexte actuel : Solvabilité I

1.1.1 Présentation

Le cadre règlementaire Solvabilité I, amorcé au cours de la première moitié desannées 1990 et en vigueur depuis les années 2000 en Europe sera remplacé dès jan-vier 2016 par son successeur, Solvabilité II.

L’objectif de solvabilité I est de dresser un bilan financier uniformisé pour lescompagnies d’assurance et de réassurance entre les différents pays d’Europe ainsique de s’assurer de la solvabilité de ces dernières en exigeant un capital minimal àdétenir au sein des fonds propres.

Les fonds propres constituent l’excédent de l’actif d’une entreprise sur son passif.Le passif d’une assurance vie est principalement constitué des réserves mathéma-tiques qui traduisent la dette d’une assurance envers ses assurés et se calcule commeétant la différence entre la valeur actuelle des prestations futures et celle des primesfutures.

Solvabilité I s’articule principalement autour de trois axes :– Calcul de l’actif et du passif en valeur comptable, les provisions techniquesdevant être suffisantes (hypothèses prudentes).

– Investissements dans des actifs sûrs et liquides.– Niveau de fonds propres supérieur à un niveau minimal appelé Exigence enMarge de Solvabilité (EMS) dont le calcul sera détaillé par la suite.

Le bilan financier au sein de Solvabilité I se dresse comme suit :

1.1.2 Atouts et faiblesses de Solvabilité I

La norme Solvabilité I a pour principal avantage d’être simple, rapide à implé-menter et à auditer.

Cette simplicité s’accompagne néanmoins de nombreuses insuffisances, parmilesquelles on retrouve principalement :

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Figure 1.1: Illustration du bilan financier au sein de Solvabilité I

– L’absence de considération du profil de risque spécifique à chaque entreprise :deux entreprises possédant les mêmes provisions et capitaux sous risques pos-sèdent la même EMS alors que les profils de risque sont souvent différents.

– Une harmonisation européenne du calcul des provisions insuffisante.

Afin de pallier à ces défauts, l’autorité compétente EIOPA 1 a progressivementmis en place la directive Solvabilité II.

1.2 La directive Solvabilité II

Le principal objectif de Solvabilité II est d’assurer la protection des assurés vial’exigence en capital minimale qui est le SCR (Solvency Capital Requirement) etqui aspire à couvrir l’ensemble des risques auxquels la compagnie d’assurance estexposée.Par ailleurs elle tend à uniformiser le secteur européen de l’assurance.

Ces exigences sont articulées autour de trois piliers :

Pilier 1 : Exigences quantitatives– Calcul du SCR, exigence minimale de fonds propres– Calcul de la Marge de Risque et du Best Estimate

Pilier 2 : Exigences qualitatives– Renforcement du contrôle interne– Gestion et identification de ses propres risques

Pilier 3 : Exigences de communication

1. European Insurance and Occupational Pensions Authority : Son rôle est d’assurer la stabilitéet l’efficacité du système financier dans l’Union européenne à court, moyen et long terme, notammentdans le secteur de l’assurance-réassurance.

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– Transparence des résultats publiés via différents rapports obligatoires– Amélioration de la communication avec les autorités de contrôle

Le bilan financier au sein de Solvabilité II se dresse comme suit :

Figure 1.2: Illustration du bilan financier au sein de Solvabilité II

Détaillons à présent les exigences quantitatives au sein du pilier 1 que nousretrouverons le long de ce mémoire.

1.2.1 Les provisions mathématiques : Best Estimate et Marge deRisque

Le Best Estimate correspond à l’espérance probabilisée de la valeur actualiséedes cash-flows futurs en considérant toutes les informations disponibles relatives aumarché et à l’entreprise. L’actualisation est effectuée au taux sans risque, aucunemarge implicite ou explicite n’est prise en compte. Toutes les options et garantiespertinentes doivent être évaluées.

La Marge de Risque est une mesure de sécurité qui vient s’ajouter à l’éva-luation du Best Estimate. La Marge de Risque correspond au coût du capital lié àla mobilisation des fonds pour couvrir le SCR. Ce coût peut être estimé à 6% de lavaleur actualisée de la somme des SCR futurs jusqu’à expiration du portefeuille depolices détenus par l’assurance (hypothèse de run-off).

1.2.2 L’exigence en capital : le SCR

Le SCR ou exigence de fonds propres a pour objectif d’assurer la solvabilité del’assurance dans 99,5% des cas. Le SCR correspond en effet à la Value at Risk à99,5% (V aR99,5%) des pertes subies à un horizon d’un an par l’assurance.Concrètement, la V aR99,5% se calcule comme suit :

V aR99.5%(X) = inf [x : P (X > x) 6 0.5%]

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Avec X la variable aléatoire correspondant aux pertes subies par l’assurance à unhorizon d’un an, i.e. X = Fonds propres (1) - Fonds propres (0) avec Fonds propres(t) le niveau des fonds propres pour l’année t.

Une formule analytique permettant de calculer le SCR est fournie par l’autoritéde contrôle responsable, l’EIOPA, qui définit le calcul du SCR comme suit :

SCR = BSCR+Adjtp,dt + SCRopérationnel

L’exigence en capital ou SCR est ventilée entre les différents risques considérésqui sont : le risque de marché, le risque de défaut, le risque opérationnel, les risquesd’assurance vie, non-vie et de santé.Le SCR opérationnel dénote l’exigence en capital afférente au risque opérationnel quivient s’ajouter au BSCR correspondant à l’exigence en capital couvrant les autresrisques, comme l’illustre le schéma suivant où seuls les risques pertinents pour IptiQ(entreprise d’assurance vie) sont représentés :

Figure 1.3: Calcul du SCR

Ainsi pour chaque sous-module de risque (par exemple « Mortality ») une exi-gence en capital est calculée conformément aux spécifications techniques fourniespar l’EIOPA. Par exemple, le calcul du sous-module « Mortality » correspond à laperte de fonds propres suite à une augmentation de 15 % de la mortalité.

Ainsi à chaque sous-module correspond un choc spécifique dont l’impact consti-tue l’exigence en capital de ce sous-module. Les différentes exigences en capital sont

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ensuite corrélées pour obtenir un montant par module qui sont à leur tour corréléspour obtenir le BSCR.

Le SCRopérationnel étant indépendant des autres risques, il vient s’ajouter auBSCR. Les ajustements pour taxes et provisions techniques (Adjtp,dt) correspondentà un allégement du besoin en capital qui traduit une baisse des impôts ainsi que dela participation aux bénéfices que l’on constaterait dans une situation défavorableoù l’assurance verrait ses fonds propres diminuer au montant du SCR (i.e. dans les0,5% des cas les plus défavorables).

Solvabilité II requiert un ratio de solvabilité SCR/Fonds Propres supérieur à100%. Par ailleurs, possédant un contrat de réassurance avec Swiss Re Zurich, il estnécessaire de calculer certains flux financiers selon la norme du Swiss Solvency Testque nous allons décrire dans la suite.

1.3 Swiss Solvency Test (SST)

Le SST s’apparente à Solvabilité II de par l’exigence minimale de fonds propresafin d’assurer la solvabilité de l’entreprise dans les cas les plus défavorables. Cettenorme est en vigueur pour les assurances et réassurances suisses.

Les principales exigences du SST sont les suivantes :

– Calcul du Capital Cible (homologue du SCR) qui comprend deux éléments :

1. L’expected shortfall à 99% des pertes subies

2. La Marge sur valeur de marché

– Calcul du Discounted Best Estimate, provisions techniques calculées sans au-cune Marge de Risque

Le bilan financier conforme à la norme SST se dresse comme suit :

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Figure 1.4: Illustration du bilan financier au sein du SST

La Marge sur valeur de marché a pour objectif de constituer une mesure de sé-curité par rapport à l’évaluation Best Estimate du passif. Elle ne fait cependant paspartie des provisions mais constitue un élément à part entière du capital cible.

L’autre élément du capital cible est l’expected shortfall à 99% des pertes subiespar l’assurance à l’horizon d’un an. Cette mesure de risque se définit comme suit :

ES99%(X) = E[X/X > V aR99%(X)]

Avec X v.a. correspondant aux pertes subies par l’assurance à un horizon d’un an,i.e. X = Fonds propres (1) - Fonds propres (0).

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Chapitre 2

Indicateurs de profitabilité

Au sein de ce chapitre nous présentons différents indicateurs de profitabilité quenous retrouverons le long de ce mémoire.

2.1 L’Internal Return Rate (IRR)

L’Internal Return Rate s’interprète comme le taux de rendement inhérent à unportefeuille de contrats.Afin d’illustrer son calcul, considérons un produit de maturité n générant des fluxFk à l’instant k. L’IRR est le taux d’actualisation qui vérifie :

0 =n∑i=1

Fi

(1 + IRR)i− F0

L’IRR est donc le taux d’actualisation qui annule la valeur actuelle nette d’unproduit générant des flux financiers actualisés à l’IRR.

L’intérêt de l’IRR est qu’il permet de calculer le taux de rendement de différentsportefeuilles d’assurance, ce qui permet d’approcher et de comparer la rentabilité dedifférents produits.

Pour calculer l’IRR il est nécessaire de poser plusieurs hypothèses qui défini-ront le scénario déterministe au sein duquel sont évalués les flux financiers commel’hypothèse de run-off (pas de nouveau business).

2.2 Return On Equity (ROE)

Le Return on Equity est un ratio financier qui se calcule comme suit :

ROE = Résultat NetCapitaux Propres

Cet indicateur permet d’apprécier la capacité d’une assurance à créer des profits àpartir de ses capitaux propres et sera par la suite calculé selon différents scénarios.

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2.3 Autres indicateurs de profitabilité

2.3.1 Résultat de l’année financière

Le résultat de l’année financière se définit comme suit :

+Primes commerciale- Sinistres- Dépenses- Commissions- Variation de provisions+ Retour sur investissement+ Commissions de réassurance- Primes cédées+ Charges cédées- Taxes

=Résultats de l’année financière

C’est sur cet indicateur, auquel on ajoute la variation de l’exigence en capitalque l’on calculera l’IRR.

2.3.2 Injection de capital ou dividende payé

Cet indicateur pour l’année t se calcule comme suit :

Fonds propres disponibles (t)- Fonds propres disponibles (t-1)- Résultats de l’année financière (t)

=ICD(t)

Si l’ICD est positif, cela témoigne d’un besoin de capital. Dans le cas contraire,IptiQ sera en mesure de verser des dividendes à ses actionnaires.

2.3.3 Période négative

La période négative correspond au nombre d’années nécessaires pour que lasomme cumulée des profits devienne positive. Elle correspond ainsi à la durée pen-dant laquelle la compagnie bénéficie d’un crédit d’impôt.

Les indicateurs présentés au sein de ce chapitre reflètent les performances d’unecompagnie sous différents points de vue et seront calculés par la suite dans le cadrede l’étude de profitabilité des portefeuilles de police d’assurance que détient IptiQ.Avant de procéder à l’étude de la profitabilité, nous exposons les formules et défini-tions relatives à l’assurance vie ainsi qu’à la finance.

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Chapitre 3

Formules et définitions

3.1 Mortalité

3.1.1 Formules usuelles

Notons T la variable aléatoire correspondant à la durée de vie restante pour unnouveau-né (d’âge 0).La fonction de répartition de la variable T est donnée par la formule suivante :

F (t) = P [T ≤ t] =: tq0

La fonction de survie se définit comme suit :

F (t) = P [T > t] = 1− tq0 =: tp0

Supposons que F est absolument continue, nous obtenons la formule suivante pourla densité de probabilité :

f(t) = d

dtF (t) = − d

dtF (t)

Considérons à présent un individu d’âge x et notons Tx la durée de vie restantede cet individu. Cette variable a pour fonction de répartition :

P [Tx ≤ t] = P [T ≤ x+ t|T > x] = F (t|x) = F (x+ t)− F (x)1− F (x) = tqx

Sa fonction de survie est ainsi calculée comme suit :

P [Tx > t] = P [T > x+ t|T > x] = F (t|x) = F (x+ t)F (x)

= tpx

3.1.2 Durées de vies non-entières

Les différents taux de mortalité tqx nécessaires aux calculs exposés au sein de cemémoire se trouvent dans les tables de mortalité dont le niveau de granularité estannuel. Cela signifie que pour obtenir le taux de mortalité entre deux âges successifs,il est indispensable de poser une hypothèse.Nous utilisons pour ce faire l’hypothèse de répartition uniforme, qui revient à sup-poser que pour 0 ≤ t < 1 :

tqx = t · qxNous déduisons ainsi :

tpx = 1− t · qx

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3.2 Finance

Etant donné que ce mémoire aborde la modélisation d’actifs financiers, il estnécessaire de définir certaines notions préalables que nous présentons ci-dessous.

3.2.1 Processus stochastiques

Un processus stochastique ou aléatoire décrit le comportement ou l’évolutiond’une variable aléatoire dans le temps. On distingue principalement deux types deprocessus stochastiques : les processus continus, dont l’évolution de la variable sous-jacente est continue et les processus discrets, dont l’évolution de celle-ci ne s’effectuequ’à un certain nombre de points fixes.Au sein ce mémoire nous nous intéressons principalement aux processus stochas-tiques continus, étant donné que les actifs financiers évoluent quasi continuellementau sein des marchés de cotation.

Définissons à présent formellement un processus stochastique en désignant (Ω,F , P )un espace de probabilité :

Processus stochastique

Un processus stochastique à temps continu constitue une famille de variablesaléatoires sur (Ω,F , P ) à valeurs dans un espace E muni d’une tribu ε.

Afin de décrire l’évolution d’un actif financier, définissons la notion de mouve-ment brownien :

Mouvement brownien

Un mouvement brownien (Wt)t>0 (standard) est un processus stochastique quiprésente les trois conditions suivantes :

– W0 = 0– (Wt)t>0 est à accroissements indépendants et stationnaires, i.e. la distributionde Wt+s −Wt ne dépend pas de t et pour toute suite 0 < t1 < ... < tn (n > 2)les v.a. Wt1 ,Wt2 −Wt1 , ...,Wtn −Wtn−1 sont indépendantes.

– ∀ t > 0, Wt suit la loi normale N(0,t).

3.2.2 Martingale

La notion de martingale est centrale en finance. Elle se définit comme suit :

Martingale

Soit (Ω,F , P ) un espace de probabilité, (Ft)t>0 une filtration de Ft (i.e. une fa-mille croissante de sous-tribus de F) et (Mt)t>0 une famille de de variable intégrables.

La famille (Mt)t>0 est appelée martingale si :1. (Mt)t≥0 est Ft-mesurable pour tout entier t.2. Mt est intégrable pour tout entier t.

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3. ∀ s 6t, E[Mt|Fs] = Ms

3.2.3 Calcul d’Itô

Afin d’effectuer des calculs sur les mouvements browniens que nous aborderonspar la suite, il est nécessaire de poser la définition d’un processus d’Itô ainsi que dela formule d’Itô.

Processus d’Itô

Soit (Ω,F , P ) un espace de probabilité, Ft>0 une filtration de F et (Wt)t>0 unmouvement brownien. Le processus (Xt)06t6T est appelé processus d’Itô si :

Xt = X0 +∫ t

0Ksds+

∫ t

0HsdWs

Avec (Kt)06t6T et (Ht)06t6T des processus intégrables adaptés à Ft60

Formule d’Itô

Soit (Xt)06t6T un processus d’Itô et f une fonction deux fois continuement dif-férentiable. Nous avons :

f(Xt) = f(X0) +∫ t

0f ′(Xs)dXs + 1/2

∫ t

0f ′′(Xs)d < X,X >s

Avec < X,X >s=∫ t0 H

2sds et∫ t

0f ′(Xs)dXs =

∫ t

0f ′(Xs)Ksds+

∫ t

0f ′(Xs)HsdWs

Nous sommes enfin en mesure de définir la transformation de Girsanov qui nouspermettra de changer de mesure de probabilité par la suite :

Transformation de Girsanov

Soit (Wt)t>0 un mouvement brownien standard défini sur (Ω,F , P ) et (λt)06t6Tun processus mesurable satisfaisant :

E[exp (12

∫ t

0|λt|2ds)] <∞ pour 0 < t <∞

Soit (Lt)06t6T défini par :

Lt = exp−∫ t

0λsdWs− 1

2

∫ t

0|λt|2ds

pour 0 6 t 6 T

Définissons la loi de probabilité Q équivalente à P par :

Q(A) =∫ALTdP ⇔ Q(A) = Ep[LT 1A] ∀A ∈ Ft

Alors sous Q, Wt = Wt +∫ t

0 λsds est un mouvement brownien standard.

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Chapitre 4

Conclusion de la partie I

Cette partie a permis de définir un cadre d’étude au sein duquel s’inscrit ce mé-moire.

En effet, l’objectif étant de calculer la profitabilité des différents produits d’assu-rance existants ainsi que de proposer une tarification pour les nouveaux produits, ilest nécessaire dans un premier temps de définir les directives qui régissent les calculsdes différents flux.

La tarification d’un produit épargne avec garantie plancher repose sur des mo-dèles stochastiques pour estimer les primes. C’est pourquoi il est nécessaire de dé-finir des notions centrales de mathématiques financières, comme les martingales etles mouvements browniens.

Par ailleurs nous avons exposé les principaux indicateurs de profitabilité quenous retrouverons le long de ce mémoire et qui permettront d’analyser les choixstratégiques qui s’offrent au groupe en termes de rentabilité, ce qui fera l’objet dela partie suivante.

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Deuxième partie

Construction d’un modèle deprofitabilité

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La stratégie d’IptiQ vise à déployer plusieurs produits d’assurance vie en Europe,certains étant actuellement en vente et d’autres en cours d’élaboration.Pour les produits actuellement en vente il est fondamental d’opérer un « Profit Tes-ting » qui consiste à analyser leur profitabilité en fonction des hypothèses choisies :c’est l’objectif d’un modèle de profitabilité.

La construction d’un tel modèle aspire à prendre en compte de manière ex-haustive l’ensemble des flux inhérents au bilan financier de l’entreprise ainsi queles volumes futurs et intègre les exigences en capitaux requises par les autorités decontrôle.

Nous présenterons enfin plusieurs scénarios concernant l’intégration d’un nou-veau partenaire de vente pour IptiQ afin d’analyser l’impact de celui-ci sur la profi-tabilité.

La construction d’un tel modèle se fait en plusieurs étapes :

Figure 4.1: Etapes à la construction d’un modèle de profitabilité

Les étapes présentées ci-dessus seront expliquées pas-à-pas au sein des chapitressuivants.

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Chapitre 1

Projection des flux en run-off

La première étape consiste à analyser la profitabilité des produits que IptiQ adéjà mis en place sur le marché en Europe en situation de run-off en modélisantl’ensemble des flux futurs générés par cette activité.

1.1 Produit Invalidité

Un produit invalidité vise à protéger un assuré contre une baisse de revenus liéeà l’impossibilité physique acquise par suite d’un accident ou d’une maladie non pro-fessionnelle de se procurer un salaire supérieur au tiers de la rémunération normale,ce que l’on appelle l’invalidité. Cette compensation se présente sous la forme d’unversement périodique défini contractuellement.

Nous définirons dans un premier temps les hypothèses de tarification ainsi que deprojection pour un tel produit en situation de run-off avant de présenter les résultatsobtenus.

1.1.1 Hypothèses

Taux d’intérêt

Le Commissariat Aux Assurances, (CAA) qui est l’autorité de contrôle compé-tente au Luxembourg fixe un taux technique maximum que les organismes d’assu-rance ont le droit d’utiliser pour le calcul des provisions et des primes. Pour descontrats de type invalidité celui-ci vaut 1.5 %.

Pour pouvoir calculer les profits afférents à un produit, il est nécessaire d’actua-liser les flux générés par ce dernier par une courbe de taux spot que nous illustronsci-dessous.

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Figure 1.1: Courbe des taux spot en vigueur en fonction du temps en années

Pour les maturités supérieures à 5 ans, la courbe des taux dépasse le taux tech-nique requis par le CAA ce qui conduit à constituer des provisions d’un montantsupérieur à celui obtenu par la courbe des taux spot et donc d’être plus prudent.

Taux de rachat

Le rachat est la possibilité que détient un assuré de récupérer une partie ou latotalité de la provision constituée pour son contrat et lui permet de faire face à unbesoin de liquidité immédiat. Nous utiliserons pour la projection des flux des hypo-thèses de rachats que la compagnie a pu observer sur le marché de l’assurance.

Afin de constituer des provisions prudentes, leur calcul ne tient pas compte desrachats éventuels.Ils sont cependant incorporés lors des projections des flux et impactent donc lenombre de polices futures ce qui permet de ne pas surévaluer la profitabilité d’unproduit et constitue ainsi une mesure de prudence.

Les hypothèses de rachat sont les suivantes :

Ancienneté 1 2 3 4 5 6 7 8+Taux de rachat 3% 6% 7% 5% 4% 3% 3% 2%

Table 1.1: Taux de rachat des contrats invalidité en fonction du nombre d’annéesd’ancienneté dans le contrat

Chargements

On distingue deux types de chargements pour les contrats d’assurances permet-tant d’assurer le fonctionnement de l’entreprise :

• Les chargements de gestion qui permettent de couvrir les dépenses de l’assu-reur.

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• Les chargements d’acquisition qui permettent de couvrir les commissions ver-sées aux intermédiaires.

Le tableau 1.2 présente les différents montants et moyens d’incorporer ces char-gements au sein des primes que nous retiendrons pour la tarification et la projectiondes contrats invalidité. On constatera qu’aucune dépense initiale n’a été retenue ausein des projections (le montant valant 0).

Table 1.2: Chargement pour les contrats invalidités

Contrat de réassurance

La réassurance est un contrat stipulant qu’une société, le réassureur, s’engageà assurer une société d’assurance, la cédante, contre tous ou une partie des risquesauxquelles elle est astreinte.La réassurance permet ainsi d’obtenir une réduction de son engagement mais aussid’augmenter sa capacité de souscription.

IptiQ étant une nouvelle société d’assurance qui ne possède pas encore les ca-pitaux propres suffisants pour assumer des risques conséquents, il est intéressantdans ce cadre de souscrire un contrat de réassurance qui lui permet de faciliter sondéveloppement.

Lors de l’implémentation des contrats invalidité nous adopterons ainsi deuxpoints de vue : le premier étant celui du groupe et considère IptiQ et Swiss Recomme un tout, le deuxième étant celui d’IptiQ uniquement.

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Ceci permettra d’observer la profitabilité du point de vue du groupe que nousappellerons la vision « Brute de Réassurance » et celle du point de vue d’IptiQ no-tée « vision IptiQ ». Nous pouvons d’ores et déjà appréhender les difficultés qui endécoulent, à savoir la nécessité de projeter les flux du point de vue de l’assuranceIptiQ mais également du point de vue de la réassurance Swiss Re.

Le contrat de réassurance utilisé lors de la projection sera un contrat en quote-part. Ce type ce contrat précise que le réassureur partage un pourcentage des primeset des sinistres avec l’assureur. En contrepartie le réassureur fournit une commissionde réassurance égale à un pourcentage de la prime. Nous choisirons une commissionpermettant de couvrir les dépenses de gestion.

Le contrat de réassurance fera intervenir deux réassureurs au sein de deux traitésdistincts et possèdent les caractéristiques suivantes :

Premier traité :

• Nom du réassureur : Swiss Reinsurance Company Ltd• Période de couverture : depuis la commercialisation du contrat jusqu’à extinc-tion• Type de contrat : Quote-part• Part du risque de la réassurance : 40%• Prime de réassurance : basée sur prime commerciale• S&P Rating : AA-• Localisation du réassureur : Zurich

Second traité :

• Nom du réassureur : Swiss Reinsurance Europe S.A• Période de couverture : depuis la commercialisation du contrat jusqu’à extinc-tion• Type de contrat : Quote-part• Part du risque de la réassurance : 30%• Prime de réassurance : basée sur prime commerciale• S&P Rating : AA-• Localisation du réassureur : Luxembourg

IptiQ cède ainsi 70 % des primes et prestations inhérentes au contrat au traversdes deux réassureurs.

Les tables de mortalité

Nous utiliserons les tables présentées dans le tableau suivant :

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Table 1.3: Tables choisies

Pour appréhender au plus près le risque nous différencions les taux de mortalitéen différentes catégories que sont le sexe (homme/femme) et cinq classes de travail.L’objectif est de mettre au point un outil tenant compte de toutes les catégoriespossibles et de pondérer les résultats en fonction de la distribution attendue au seinde ces catégories.

Pour tenir compte de la différentiation du risque en fonction de la classe detravail, nous appliquerons des coefficients sur les tables de passage en invalidité.Les coefficients appliqués à ces tables diffèrent selon la nature du calcul : tarificationou provisionnement, dont leur montant sera plus important pour la dernière catégorieafin d’obtenir une estimation prudente. Les coefficients sont présentés dans le tableau1.4.

Table 1.4: Facteurs appliqués à la table de passage en invalidité

En fonction de l’âge de la police seront appliqués des ajustements sur les tauxde mortalité et les taux de passage en invalidité comme en témoigne le tableau 1.5 .

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Table 1.5: Coefficients appliqués pour la projection

En effet, les tables de mortalité présentent des probabilités de décès prudentes etdonc globalement surévaluées. Les assurés présentant généralement un risque élevé lapremière année de souscription (effet d’aléa moral), le taux de mortalité est maintenuau niveau initial de la table de mortalité puis abaissé les premières années suivantle commencement du contrat.

Répartition du portefeuille

La répartition par classe et par sexe choisie pour l’évaluation de la profitabilitécorrespond à celle observée sur le marché de l’assurance et est décrite par les tableaux1.6 et 1.7.

Table 1.6: Répartition des sexes par classes

Table 1.7: Répartition choisie pour les classes de travail

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1.1.2 Calculs actuariels

Notations utilisées

Nous emploierons les notations suivantes :

Notations générales :– SA : Somme assurée ;– n : Durée de la police ;– p : Durée de prestation ;– β : Coefficient de chargement pour les dépenses de maintenance ;– γ : Coefficient de chargement pour les dépenses administratives ;– F_cost : Charge fixe par police ;– v = 1

1+int : Facteur d’actualisation au taux technique int ;– ω : Age ultime au sein des tables ;– k : Fractionnement du paiement : mensuellement, trimestriellement, semes-

triellement ou annuellement (=12, 4, 2, 1).

Notations pour les individus dits « actifs » :– x : Age de l’assuré à la date d’évaluation ;– qax : Probabilité de décès pour un individu actif d’âge x ;– lax : Nombre de survivants espéré à l’âge x ;– Da

x = laxvx ;

– Nax = Da

x + ...+Daω.

Les deux derniers éléments s’appellent les nombres de commutations pour actifs.

Notations pour individus dits « invalides » :– z : Age de l’assuré lors de son entrée en invalidité ;– qiz,x : Probabilité de décès pour un individu invalide d’âge x ;– rz,x : Taux de recouvrement pour un invalide d’âge x ;– ix : Taux de passage en invalidité pour un actif d’âge x ;– liz,x : Nombre d’invalides d’âge x ;– Di

z,x = liz,xvx ;

– N iz,x = Di

z,x + ...+Diz,ω.

Les deux derniers éléments s’appellent les nombres de commutations pour invalides.

A partir de ces notations nous pouvons déduire les quantités suivantes qui serontutilisées pour la projection ainsi que pour le calcul de la prime.On notera que le nombre d’actifs au cours du temps pour le provisionnement et latarification évolue de la manière suivante :

lax+1 = lax(1− qx)(1− ix) (1.1)

Par ailleurs nous aurons aussi besoin des relations suivantes :– • liz,x+1 = liz,x(1− qiz,x − rz,x)

– • (k)aiz,x:p = N iz,x−N i

z,x+pDiz,x

− (k)δ(1− Diz,x+1Diz,x

)– • (k)δ = k−1

2k– • (k)Dai

x,p = laxvx+1/2.ix.(1− qax

2 ).(k)aix+1/2,x+1/2,p−1/2

– • (k)aix+1/2,x+1/2,p−1/2

= 12((k)aix,x,p + (k)ai

x+1,x+1,p−1 )− 124

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– • (k)Naix,p = (k)Dai

x,p + ...+ (k)Daix+p−1,p

– • (k)aaix,n,p =kNai

x,p−kNaix+n,p

Dax

Calcul de la prime

Avant de pouvoir calculer la prime il est nécessaire d’exprimer certains facteursactuariels.

La valeur actuelle d’une rente viagère qui verse un montant annuel de 1 tant quel’assuré est actif et en vie est la suivante :

aaax:n =Nax −Na

x+nDax

La prime pure est déterminée en égalisant l’engagement de l’assureur à celui del’assuré. En supposant une prime constante au cours du contrat nous avons doncpour une prestation de 1 :

(k)aaix,n,p = PPx,n,p × aaax:n (1.2)

On en déduit la prime pure annuelle nivelée pour une somme assuré de 1 :

PPx,n,p =(k)aaix,n,paaax:n

(1.3)

Cette prime pure est ensuite chargée et appelée prime d’inventaire :

Px,n,p =(1 + γ)(k)aaix,n,p

aaax:n(1.4)

En rajoutant les frais d’acquisition nous obtenons la prime commerciale :

Bx,n,p =(1 + γ)(k)aaix,n,p

(1− β)aaax:n(1.5)

Enfin nous obtenons la prime commerciale pour une prestation de somme assuréeSA :

BSAx,n,p = Bx,n,p ∗ SA+ F_cost (1.6)

Calcul des provisions

Pour une garantie invalidité il est nécessaire de mettre en place deux provisions,une pour les actifs et une autre pour les invalides. En effet nous avons supposé quela prime est constante au cours des versements (prime nivelée) tandis que le risquevarie au cours du temps. Il est donc nécessaire d’avoir un montant appelé provisionpermettant de compenser en partie ces écarts.

La provision pour un actif d’âge x avec une somme assuré de 1 pour 0 ≤ m ≤ ndurant la période de paiement des primes se calcule comme suit :

mVaix = (1 + γ)(k)aaix+m,n−m,p−m − Px,n,p ∗ a

aax+m:n−m (1.7)

La provision pour un invalide d’âge x avec une somme assuré de 1 pour 0 ≤ m ≤ nest donnée par :

mVix = (1 + γ)(k)aiz,x+m,p−m (1.8)

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Exigence en capital sous Solvabilité I

Le calcul de l’EMS régit par la directive Solvabilité I se calcule à partir desquantités suivantes :

– Les provisions techniques (PT)– Les primes (P)– Moyenne des sinistres sur 3 ans (MS)– Les capitaux sous risque (CR)Le calcul de l’EMS est ainsi décomposé sur ces différents facteurs.

Les contrats de réassurance impactent l’exigence en marge de solvabilité car ilsdiminuent le risque supporté par IptiQ.Le calcul de l’EMS sur provisions techniques en date t est noté EMSPT (t), dontl’impact des traités de réassurance IRPT se calcule comme suit :

IRPT (t) =

100% si t = 185% si t > 1 (1.9)

Pour le calcul de l’EMS relatif aux primes et sinistres moyens, cet impact seranoté IRP,MS tel que :

IRP,MS(t) =

100% si t = 150% si t > 1 (1.10)

Les coefficients réglementaires à appliquer seront décrits dans le tableau 1.8 :

Base de calcul Coefficients réglementairesProvision technique 4%

Primes 18%Moyenne des sinistres sur 3 ans 26%

Table 1.8: Coefficients réglementaires pour solvabilité 1

Ainsi le calcul de l’EMS se décompose en deux parties : la première capture lecapital requis relatif aux provisions techniques (EMSPT ), la deuxième (EMSP,MS)concernant les primes et sinistres. Nous obtenons finalement :

EMSPT (t) = RS(t) ∗ IRPT (t) ∗ 4% ∗ TP (t) (1.11)

et :

EMSP,MS(t) = RS(t) ∗ IRP,MS(t) ∗max (18%P (t); 26% ∗MS(t)) (1.12)

Avec RS(t) le ratio de solvabilité en t. Ainsi le cadre Solvabilité I demande uneimmobilisation de capital égale à :

EMS(t) = EMSPT (t) + EMSP,MS(t) (1.13)

1.1.3 Résultats et profitabilité

Les produits d’assurance invalidité sont des produits dits « long terme». En effet,les échéances de tels contrats peuvent s’étendre sur plusieurs dizaines d’années aprèsleur souscription.

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Il est donc fondamental de réaliser une étude de profitabilité pour juger aujourd’huide leur rentabilité. Cette étude permet, à travers divers indicateurs, d’évaluer lacapacité de ce produit à générer de la richesse pour l’assureur.

Nous présenterons dans cette section les résultats de la projection en run-off enfonction des différentes classes de travail, du sexe et de la « vision Brute » ou « visionIptiQ ».

Les primes commerciales obtenues sont décrites dans le tableau 1.9. On constateque plus la classe est risquée plus les primes seront importantes. En effet les tables depassage en invalidité sont différentes suite aux chargements que nous avons appliqués.Ainsi il y aura plus d’invalides pour les classes les plus élevées donc plus de sinistresd’où une prime plus importante.

Classe de travail B1200035,30,30

I 308II 406III 553IV 1023V 1526

Table 1.9: Prime commerciale en fonction de la classe de travail pour un assuréd’âge 35 ans pour une couverture de 30 ans

Figure 1.2: Nombre d’actifs fonction du temps selon les différentes classes de travail

En choisissant 1000 assurés en date 0, l’évolution du nombre d’actif est repré-sentée dans la figure 1.2. On constate que plus la classe de travail est élevée moinsil y a d’assurés actifs. Cela provient des coefficients de passage en invalidité ix quisont plus importants pour les classes élevées.

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Figure 1.3: Provision pour actifs fonction du temps selon les différentes classes detravail

On observe que les provisions sont positives en date 0. Ceci est lié à l’applicationsur les tables d’invalidité de facteurs différents (voir tableau 1.4) entre la tarificationet le provisionnement, ce dernier étant plus prudent (coefficients plus élevés) mèneà un engagement assureur supérieur à l’engagement assuré et donc à une provisionpositive en 0.

Par ailleurs sur la figure 1.3 on constate que les provisions sur les premières an-nées pour les classes II et III sont supérieures à celles des autres classes.Ceci provient du fait que les primes des classes IV et V sont bien supérieures à cellesdes classes II et III par rapport à l’écart des coefficients sur les provisions entre cesclasses.

Nous constatons par ailleurs avec les figures 1.4, 1.5 et 1.6 représentant respecti-vement les sinistres, les provisions pour invalides et l’EMS que plus les classes sontélevées, plus il y aura de sinistres, de provisions et de besoin en capital.

Figure 1.4: Évolution des sinistres en fonction du temps selon les différentes classesde travail

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Figure 1.5: Évolution des provisions pour invalides en fonction du temps selon lesdifférentes classes de travail

Figure 1.6: Évolution du capital requis Solvabilité I en fonction du temps selon lesdifférentes classes de travail

Il est désormais intéressant de comparer la profitabilité des différentes classespour ensuite analyser la profitabilité d’un portefeuille global réparti suivant les hy-pothèses présentées précédemment. De manière générale la mise en place d’un nou-veau produit est très couteuse la première année de par les variations des provisions.Ainsi pour la classe I nous obtenons un profit avec variation d’EMS suivant :

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Figure 1.7: Évolution du résultat + ∆ EMS en fonction du temps pour la classe I

Dans un souci de clarté et de visibilité nous représenterons les flux des profitspour toutes les classes à partir de l’année 1 dans la figure 1.8 ci-dessous en mention-nant dans le tableau 1.10 les valeurs en date 0

Classe de travail Résultat fin année 0 + ∆EMSI -1 952 611II -3 824 604III -4 772 474IV -3 158 692V -2 628 720

Table 1.10: Profit en date 0 suivant les différentes classes

Figure 1.8: Évolution du résultat en fonction du temps selon les différentes classesde travail

Nous constatons que plus la classe possède un indice élevé, meilleur est la pro-

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fitabilité. Cela provient de la prise en compte du risque spécifique à chaque classedans les primes qui est plus important que les hypothèses de déroulement. Ainsi bienqu’il y ait plus de sinistres et donc plus de frais pour les classes à indices élevés, lesprimes permettent de compenser ce coût et même de dégager des profits.

Les pics de profitabilité observés les premières années proviennent de la varia-tion des provisions pour actifs qui deviennent parfois négatives mais aussi des inté-rêts perçus notamment sur les provisions pour invalides. Les dernières années nousconstatons aussi un impact sur la profitabilité puisque la variation de l’EMS devientnégative.

Les tableaux 1.11 à 1.16 comparent différents indicateurs de profitabilité suivantles classes, le sexe et la vision (brute ou IptiQ).

Indicateurs classe I Hommes FemmesIRR brut 8.39% 7.08%IRR IptiQ 7.52% 6.40%

Période négative brute 11 ans 13 ansPériode négative IptiQ 13 ans 14 ans

Table 1.11: Indicateurs de probabilité pour la classe de travail I en fonction du sexe

Indicateurs classe II Hommes FemmesIRR brut 6.74% 5.86%IRR IptiQ 6.17% 5.40%

Période négative brute 13 ans 14 ansPériode négative IptiQ 14 ans 15 ans

Table 1.12: Indicateurs de probabilité pour la classe de travail II en fonction dusexe.

Indicateurs classe III Hommes FemmesIRR brut 7.05% 6.07%IRR IptiQ 6.42% 5.58%

Période négative brute 13 ans 14 ansPériode négative IptiQ 14 ans 15 ans

Table 1.13: Indicateurs de probabilité pour la classe de travail III en fonction dusexe.

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Indicateurs classe IV Hommes FemmesIRR brut 13.06% 10.16%IRR IptiQ 11.03% 8.71%

Période négative brute 8 ans 9 ansPériode négative IptiQ 10 ans 11 ans

Table 1.14: Indicateurs de probabilité pour la classe de travail IV en fonction dusexe

Indicateurs classe V Hommes FemmesIRR brut 19.45% 13.59%IRR IptiQ 15.29% 11.04%

Période négative brute 5 ans 7 ansPériode négative IptiQ 7 ans 9ans

Table 1.15: Indicateurs de probabilité pour la classe de travail V en fonction dusexe

Indicateurs portefeuille résultats pondérésIRR brut 7.97%IRR IptiQ 7.12%

Période négative brute 12 ansPériode négative IptiQ 13 ans

Table 1.16: Indicateurs de probabilité suivant la répartition du portefeuille

On constate ainsi de manière générale que les contrats concernant les femmessont moins profitables que ceux des hommes, ce qui provient des tables de passageen invalidité qui sont plus sévères pour les femmes. Par ailleurs, on constate que lavision brute est plus rentable que la vision IptiQ, ceci provenant du fait que pourun contrat en quote-part à 70% l’atténuation de l’EMS par l’IR ne compense pas lespertes en prime.

1.1.4 Sensibilités

Impact d’un changement de taux technique

Le Commissariat aux Assurances responsable de la législation des assurances auxLuxembourg, a décidé de baisser le taux technique à partir du 1er Juillet 2015. Ainsi,le taux technique des contrats libellés en euros passera de 1,50 % à 0,75 %. Tous lescontrats souscrits après cette date seront affectés par cette mesure, par exemple lescontrats vie entière et temporaire décès ainsi que ceux invalidité. Il est à noter queles contrats souscrits avant cette date conserveront le taux technique précédent. Ilest donc intéressant de voir l’impact d’un tel changement de taux sur la profitabilitéainsi que les solutions envisagé.

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Evolution de L’IRR

Le taux technique impacte le calcul des primes et des provisions. Lorsque descontrats sont déjà vendus sur le marché, il est délicat d’augmenter les primes pourles nouveaux contractants c’est pourquoi il est intéressant de voir l’impact du chan-gement de taux technique sur l’IRR sans avoir besoin de toucher aux primes déjàtarifées. Les tableaux 1.17 et 1.32 présentent ces résultats.

Indicateursportefeuille Taux de 1.5% Taux de 0.75% Variation

absolueIRR brut 7.97% 6.74% -1.23%IRR IptiQ 7.12% 6.15% -0.97 %

Table 1.17: Variation de l’IRR en fonction du taux technique pour le produit inva-lidité

On constate que cela implique une diminution de l’IRR puisque la variation desprovisions sera plus importante les premières années et donc entrainer toutes choseségales par ailleurs une diminution du profit traduit par une baisse de l’IRR.

Solutions envisagées

Afin de diminuer l’impact de ce changement de taux, on peut choisir d’augmen-ter les primes d’un certain pourcentage dont le montant permettrait d’obtenir unIRR minimum. Une autre solution consisterait à tarifer les primes en incorporant lenouveau taux technique. La figure suivante permet d’illustrer la première solutionenvisagée pour différents coefficients appliqués aux nouvelles primes :

Figure 1.9: Evolution de l’IRR en fonction de l’augmentation de la prime pourproduit invalidité

Pour retrouver les mêmes IRR qu’avant le changement de taux, il est nécessaire

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d’augmenter les primes comme suit :

Produit Indicateursportefeuille

Taux de1.5%

Taux de0.75%

Augmentationdes primesnécessaire

Invalidité IRR brut 7.97% 6.74% +6.10%IRR IptiQ 7.12% 6.15% +6.40 %

Table 1.18: Augmentation des primes pour obtenir les mêmes IRR

Opter pour la deuxième solution engendre une augmentation des primes parclasse comme suit :

Classe Primes avectaux 1.5%

Primes avectaux 0.75 %

Variationrelative

I 308 329 +6.29%II 406 434 +6.42%III 553 591 +6.46%IV 1023 1096 +6.67%V 1526 1638 +6.81%

Table 1.19: Évolution des primes commerciales avec le nouveau taux technique

L’impact sur l’IRR est le suivant :

Produit IRRportefeuille Taux de 1.5% Taux de 0.75% Variation

absolue

Invalidité IRR brut 7.97% 8.13% +0.16%IRR IptiQ 7.12% 7.31% +0.19%

Table 1.20: Variation de l’IRR en laissant augmenter les primes

Tarifer les primes avec le nouveau taux technique entrainerait une augmentationmoyenne de 6.45 % (voir table 1.19) ce qui conduirait à un gain sur l’IRR de +0.16% pour la vision brute et de +0.19% pour la vision IptiQ. Pour maintenir ces der-niers au niveau précédant le changement de taux, il suffirait cependant d’augmenterles primes de 6.10 % (respectivement 6.40%) pour l’IRR brut (respectivement IptiQ).

La dernière solution entrainerait ainsi une augmentation des primes inférieuresà celle engendrée par une nouvelle tarification (avec le nouveau taux technique) cequi constituerait un bon compromis entre les assurés et l’assurance qui ne peut sup-porter seule l’impact de ce changement de taux (voir table 1.17).

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1.2 Produit vie entière et temporaire décès

Les produits vie entière et temporaire décès sont des produits sur la vie, qui sedistinguent par la durée de couverture de contrat. Une assurance vie entière s’engageà verser au bénéficiaire le montant prévu lors du décès de l’assuré quelle que soit ladate de survenance de celui-ci. Un contrat temporaire décès en revanche ne proposeune prestation qu’en cas de décès de l’assuré avant une date butoir (en général, avantles 65 ou 70 ans de l’assuré).

L’assurance-vie entière est donc un contrat à durée indéterminée prenant fin à lamort du souscripteur, essentiellement souscrit en vue de transmettre un patrimoineà un ou plusieurs bénéficiaires tandis que les contrats dits temporaire décès visent àprotéger les membres de la famille de l’assuré en cas de décès prématuré de celui-ci.

1.2.1 Hypothèses

Les hypothèses concernant la réassurance, les taux d’intérêts, les tables de mor-talités et les coefficients de chargement sont les mêmes que ceux mentionnés dans lapartie invalidité.

Taux de rachat

Les taux de rachats sont en revanche différents que pour les produits invaliditécomme l’illustre la table suivante :

Ancienneté 1 2 3 4 5 6+Taux de rachat 4% 4% 4% 4% 3.5% 3%

Table 1.21: Taux de rachat en fonction du nombre d’années d’ancienneté dans lecontrat

Répartition du portefeuille

Nous supposerons une répartition du portefeuille suivant différents âges d’entréedans le contrat et différentes maturités. Des classes seront définies comme suit :

Classe Age en début de contrat x Nombre d’années du contrat nA 35 30B 45 20C 30 35D 50 15E 20 35

Table 1.22: Définition des classes en fonction des contrats

La répartition du portefeuille suivant les classes est présentée dans le tableausuivant :

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Classe Hommes FemmesA 15.6% 14.4%B 15.6% 14.4%C 10.4% 9.6%D 7.8% 7.2%E 2.6 % 2.4%

Table 1.23: Définition des classes en fonction des contrats

1.2.2 Calculs actuariels

Notations utilisées

Nous noterons :

– SA : Somme assurée– n : Durée de la police– p : Durée de prestation– β : Coefficient de chargement pour les dépenses d’acquisition et de gestion– F_cost : Charge fixe par police– v = 1

1+int : Facteur d’actualisation au taux technique int– x : Age de l’assuré à la date d’évaluation– ω : Age terminal des tables– dec : Soit pri pour calcul sur prime soit pro pour calcul sur provision– qdecx : Probabilité de décès pour un individus actif d’age x– ldecx+1 = ldecx (1− qdecx ) : Décrément du nombre d’assuré– ddecx = ldecx − ldecx+1 : nombre de décès d’âge x– Ddec

x = ldecx vx

– Ndecx = Ddec

x + ...+Ddecω

– Cdecx = ddecx vx+1

– Mdecx = Cdecx + ...+ Cdecω

– adecx:n = Ndecx −Ndec

x+nDdecx

– Adecx:n = Mdecx −Mdec

x+nDdecx

Calcul de la prime

La prime pure constante considérée ici est déterminée en égalisant l’engagementde l’assureur, qui correspond au versement d’un capital en cas de décès, à celui del’assuré qui correspond au paiement d’une prime tant qu’il est vie. Nous avons donc :

Adecx,n = PP decx,n × adecx:n (1.14)On déduit la prime pure annuelle nivelée pour une somme assurée de 1 :

PP decx,n =Adecx,nadecx:n

(1.15)

Celle-ci est ensuite chargée pour obtenir la prime commerciale :

Bx,,n =Aprix:n

(1− β).adecx:n(1.16)

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Enfin la prime commerciale pour une prestation d’une somme assurée SA secalcule comme suit :

BSAx,n = Bx,,n ∗ SA+ F_cost (1.17)

Calcul des réserves

La provision pour un actif d’âge x avec une somme assurée de 1 pour 0 ≤ m ≤ ndurant la période de paiement des primes est la suivante :

mVx = Aprox+m:n−m − PP

prix,n × a

prox+m:n−m (1.18)

La provision pour une somme assurée SA est de :

mVSix = SA× mVx (1.19)

Exigence en capital sous Solvabilité I

Nous utiliserons les mêmes notations que celles utilisées dans la partie sur lescontrats invalidité.

Les coefficients IR sont ainsi identiques et nous avons :

IRPT (t) =

100% si t = 185% si t > 1 (1.20)

L’impact de la réassurance sur l’EMS noté IRCR est tel que :

IRCR(t) =

100% si t = 150% si t > 1 (1.21)

Les coefficients réglementaires à appliquer seront décrits dans le tableau 1.24.

Base de calcul Coefficients réglementairesProvision technique 4%Capitaux sous risque 0.3%

Table 1.24: Coefficients réglementaires pour solvabilité 1 pour contrats temporairesdécès

On peut ainsi déterminer l’EMS de solvabilité pour tout t qui se décompense enEMS sur provisions EMSPT et sur la somme assurée EMSCR :

EMSPT (t) = RS(t) ∗ IRPT (t) ∗ 4% ∗ TP (t) (1.22)

EMSCR(t) = RS(t) ∗ IRCR(t) ∗ 0.3%CR(t) (1.23)

Ainsi le cadre Solvabilité I demande une immobilisation de capital égale à :

EMS(t) = EMSPT (t) + EMSCR(t) (1.24)

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1.2.3 Résultats et profitabilité

Les primes obtenues suivant les classes sont présentées dans le tableau 1.25. Onconstate que plus la personne est âgée plus elle devra payer une prime élevée puisquepour un âge de fin de contrat proche de la retraite elle aura moins de temps pourrépartir le risque.

Classe B100000x,n

A 141B 202C 122D 246E 57

Table 1.25: Prime en fonction de la classe

En analysant les figures 1.10 à 1.11 on constate que les hommes sont plus à risquepour les contrats temporaire décès. En effet, les provisions ainsi que les sinistres sontplus important.

Figure 1.10: Provision en fonction du temps pour des assurés d’âge 35 ans et determe 30 ans en fonction du sexe

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Figure 1.11: Évolution des sinistres en fonction du temps pour des assurés d’âge35 ans et de terme 30 ans en fonction du sexe

Figure 1.12: Évolution du capital requis Solvabilité I en fonction du temps selonles différentes classes de travail

Sachant que la prime est identique pour un homme et pour une femme, on peutdonc constater au sein de la figure 1.13 que les profits seront inférieurs pour leshommes.

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Figure 1.13: Évolution des profits en fonction du temps pour des assurés d’âge 35ans et de terme 30 ans en fonction du sexe

Les tableaux (1.26) à (1.31) présentent les résultats sur les indicateurs de pro-fitabilité en fonction de la vision, du sexe et de la classe. On remarquera que lesfemmes génèrent une meilleure profitabilité ce que traduit un IRR plus important.Par ailleurs, la vision brute est aussi plus intéressante pour les mêmes raisons quecelles mentionnées pour les produits invalidité.

Indicateurs classe A Hommes FemmesIRR brut 4.65% 7.11%IRR IptiQ 4.21% 5.90%

Période négative brute 17 ans 13 ansPériode négative IptiQ 18 ans 15 ans

Table 1.26: Indicateurs de profitabilité pour la classe A en fonction du sexe

Indicateurs classe B Hommes FemmesIRR brut 5.54% 9.99%IRR IptiQ 4.86% 7.80%

Période négative brute 13 ans 10 ansPériode négative IptiQ 14 ans 12 ans

Table 1.27: Indicateurs de profitabilité pour la classe B en fonction du sexe

Indicateurs classe C Hommes FemmesIRR brut 4.42% 6.49%IRR IptiQ 4.04% 5.47%

Période négative brute 18 ans 15 ansPériode négative IptiQ 20 ans 17 ans

Table 1.28: Indicateurs de profitabilité pour la classe C en fonction du sexe

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Indicateurs classe D Hommes FemmesIRR brut 6.59% 13.39%IRR IptiQ 5.61% 9.92%

Période négative brute 10 ans 7 ansPériode négative IptiQ 11 ans 9 ans

Table 1.29: Indicateurs de profitabilité pour la classe D en fonction du sexe

Indicateurs classe E Hommes FemmesIRR brut 3.94% 5.64%IRR IptiQ 3.56% 4.63%

Période négative brute 19 ans 15 ansPériode négative IptiQ 20 ans 18 ans

Table 1.30: Indicateurs de profitabilité pour la classe E en fonction du sexe

Indicateurs portefeuille Résultats pondérésIRR brut 6.14%IRR IptiQ 5.94%

Période négative brute 13 ansPériode négative IptiQ 13 ans

Table 1.31: Indicateurs de profitabilité suivant la répartition du portefeuille

1.2.4 Sensibilités

Au sein de cette section nous avons procédé au même calcul de sensibilité quecelui exposé pour le produit invalidité.

Evolution de L’IRR

L’impact sur l’IRR suite à l’incorporation du nouveau taux technique engendre-rait une baisse des profits pour les produits temporaire décès comme suit :

Indicateursportefeuille Taux de 1.5% Taux de 0.75% Variation

absolueIRR brut 6.14% 5.70% -0.44%IRR IptiQ 5.94% 5.56% -0.38 %

Table 1.32: Variation de l’IRR en fonction du taux technique pour le produit tem-poraire décès

Solutions envisagées

La première solution consistant à maintenir le même niveau d’IRR engendreraitune augmentation des primes qui est la suivante :

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Figure 1.14: Evolution de l’IRR en fonction de l’augmentation de la prime pourproduit invalidité

Pour retrouver les mêmes IRR il serait nécessaire d’augmenter les primes commesuit :

Produit Indicateursportefeuille

Taux de1.5%

Taux de0.75%

Augmentationdes primesnécessaires

Temporaire IRR brut 6.14% 5.70% +4.44%IRR IptiQ 5.94% 5.56% +3.95 %

Table 1.33: Augmentation des primes pour obtenir le même IRR

Une nouvelle tarification des primes engendrerait une augmentation par classequi est la suivante :

Classe Primes avectaux 1.5%

Primes avectaux 0.75 %

Variationrelative

A 141 150 +6.38%B 202 208 +2.97%C 122 131 +7.37%D 246 251 +2.03%E 57 59 +3.51%

Table 1.34: Évolution des primes commerciales en fonction du taux technique

Avec une telle augmentation l’impact sur l’IRR serait ainsi :

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Produit IRRportefeuille Taux de 1.5% Taux de 0.75% Variation

absolue

Temporaire IRR brut 6.14% 6.15% +0.01%IRR IptiQ 5.94% 5.97% +0.03%

Table 1.35: Variation de l’IRR en laissant augmenter les primes

Tarifer les primes avec le nouveau taux technique entrainerait une augmentationmoyenne de 4.76 % (voir table 1.34) ce qui conduirait à un gain sur l’IRR de +0.01% pour la vision brute et de +0.03% pour la vision IptiQ. Pour maintenir ces der-niers au niveau précédant le changement de taux, il suffirait cependant d’augmenterles primes de 4.44 % (respectivement 3.95%) pour l’IRR brut (respectivement IptiQ).

La dernière solution entrainerait ainsi une augmentation des primes inférieuresà celle engendrée par une nouvelle tarification (avec le nouveau taux technique) cequi constituerait un bon compromis entre les assurés et l’assurance qui ne peut sup-porter seule l’impact de ce changement de taux (voir table 1.17).

La première étape de la construction du modèle de profitabilité consistait à cal-culer les flux afférents à deux types de contrats d’assurance sous l’hypothèse derun-off. Nous avons pour ce faire détaillé les hypothèses et le processus de calculpour obtenir la rentabilité de chaque produit.

Nous passons à présent à la deuxième étape, à savoir l’incorporation des volumesfuturs afin de prendre en compte les contrats à venir.

Par la suite, dans un souci de confidentialité, nous considérerons le point de vuedu groupe Swiss Re uniquement (brut), c’est-à-dire en agrégeant les différents pro-duits au sein du portefeuille et les flux afférents à chaque entité (IptiQ, Swiss ReZurich, Swiss Re Europe).

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Chapitre 2

Incorporation des volumesfuturs

2.1 Introduction

IptiQ est une assurance vie qui opère de manière indirecte, c’est-à-dire qu’ellevend ses contrats d’assurance par le biais de partenaires.L’avantage de ce procédé consiste à allouer à chaque partie les tâches relatives à sondomaine d’expertise.

Ainsi, IptiQ, filiale du groupe Swiss Re, gère la tarification et la modélisationdes contrats d’assurance tandis que les partenaires de vente s’attachent à choisir leproduit qui convient le mieux au client.

Par la suite, ils gèrent les contrats détenus en portefeuille, enregistrent les si-nistres et les primes et s’assurent du service après-vente.

IptiQ reçoit ainsi uniquement les informations relatives aux portefeuille de clientsainsi que des sinistre à payer sans se préoccuper du suivi des clients.

Le schéma ci-dessous illustre les relations entre IptiQ et les partenaires de vente :

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Figure 2.1: Représentation simplifiée des dépendances entre IptiQ et les partenairesde vente

Afin d’analyser la profitabilité d’une entreprise, il est nécessaire d’émettre deshypothèses sur les volumes des primes émises dans le futur. Ces hypothèses sontfournies par l’équipe marketing des partenaires de vente en accord avec celle deIptiQ.

2.2 HypothèsesLes volumes des primes émises dans le futur sont supposés comme suit :

Figure 2.2: Volumes des primes émises futures en fonction des années

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Les volumes de 2014 sont ceux qui ont été observés. Le graphique témoigne d’unecroissance très rapide des volumes jusqu’en 2018. En effet, ceux-ci doublent chaqueannée et accroissent par la suite presque linéairement.

Les volumes présentés ici semblent cohérents. En effet, une start-up dynamiqueprésente toujours un profil de vente explosif les premières années suite à l’implémen-tation nouvelle des réseaux de vente et de l’effort en communication.

2.3 MéthodologieAfin de projeter les flux relatifs aux contrats futurs, nous reprenons les hypothèses

de calcul exposées au sein du premier chapitre et incorporons les volumes futurs.Nous obtenons ainsi des flux pour chaque année de déroulement. Ces flux sont ensuiteagrégés pour obtenir une projection en 0 qui comprend toutes les hypothèses devolumes futurs comme le décrit la figure ci-après :

Figure 2.3: Illustration de l’incorporation des volumes futurs

A la fin de cette étape, nous obtenons ainsi l’ensemble des flux futurs projetés ycompris les dépenses modélisées. Celles-ci peuvent cependant différer des dépensesréelles c’est pourquoi il est nécessaire de procéder à un ajustement des dépenses cequi constitue l’étape suivante.

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Chapitre 3

Ajustement des dépenses

3.1 Dépenses modélisées et dépenses réelles

Les dépenses modélisées à travers les coefficients de chargement des primespeuvent différer des dépenses réelles que projette l’entreprise. En effet, les dépensesréelles tendent à dépasser les dépenses modélisées les premières années en raison dufaible volume de primes. Cependant ce phénomène peut s’inverser au cours du tempsavec l’augmentation des volumes comme l’illustre le graphique ci-dessous :

Figure 3.1: Représentation des dépenses réelles et modélisées en fonction du temps

On constate que les dépenses modélisées augmentent du même ordre que lesvolumes des primes figurant dans l’illustration 2.2. La différence observée entre lescourbes sera traitée par un ajustement.

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3.2 Ajustement opéréLa différence entre les dépenses réelles et modélisées doit ainsi être répartie selon

les différents produits présents au sein du portefeuille afin d’intégrer le coût réel subipar l’entreprise au sein du calcul de profitabilité.

Pour ce faire, nous appliquons le principe de proportionnalité en fonction descoûts modélisés pour les produits. Nous illustrons l’ajustement opéré par deuxexemples.

3.2.1 Dépenses réelles supérieures aux dépenses modélisées

Dépensesréelles Produits Dépenses

modélisées

Répartitiondépensesréelles

Dépensestotales

450 Invalidité 100 50 150Temporaire 200 100 300

Table 3.1: Exemple d’ajustement des dépenses modélisées aux dépenses réelles lespremières années

Supposons que nous observons 450 de dépenses réellles mais que l’ensemble desdépenses modélisées atteigne seulement 300 (avec 200 alloués au produit temporaireet 100 alloués au produit invalidité). Il est donc nécessaire de répartir la différence,à savoir 150, entre les deux produits selon le principe de proportionnalité.

Pour juger de la profitabilité des produits séparément, il est en effet nécessairede faire figurer les dépenses effectives au sein de ces derniers.

Notons que cet ajustement s’effectue pour chaque année au sein de la projection.On aura ainsi des écarts très importants les premières années du fait des volumestrès faibles de primes qui seront vite compensés par la suite.

3.2.2 Dépenses réelles inférieures aux dépenses modélisées

Dépensesréelles Produits Dépenses

modélisées

Répartitiondépensesréelles

Dépensestotales

150 Invalidité 100 -50 50Temporaire 200 -100 100

Table 3.2: Exemple d’ajustement des dépenses modélisées aux dépenses réelles lesdernières années

Ce tableau illustre la situation inverse qui se produit à partir de l’année 2018.Il est dans ce cas nécessaire de diminuer les dépenses modélisées pour atteindre leniveau des dépenses réelles et calculer ainsi la profitabilité réelle des produits.

La prochaine étape de la construction d’un modèle de profitabilité consiste àmodéliser l’exigence en capital qui doit être intégrée afin de juger de la profitabilitédes produits.

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Chapitre 4

Projection de l’exigence encapital

4.1 Introduction

Dans le cadre de la vision brute, nous devons projeter les flux relatifs à troisentités différentes : IptiQ, Swiss Re Europe et Swiss Re Zurich. Afin de calculer laprofitabilité du portefeuille au plus juste, il est nécessaire d’incorporer l’exigence encapital requise. Celle-ci est régie par la directive relative à l’entité. Nous calculonsainsi :

– L’EMS pour les années 2014 et 2015 pour IptiQ et Swiss Re Europe– Le SCR pour les années supérieures à 2016 pour IptiQ et Swiss Re Europe– Le Capital Cible dans le cadre du SST pour Swiss Re Zurich

Le calcul de l’EMS pour Solvabilité I a été décrit au sein de la première étape, laprojection des flux en run-off. Concernant les calculs sous SST, ils proviennent ma-joritairement de l’entité Swiss Re Zurich directement.

Les calculs du SCR ont étés opérés pour IptiQ à travers la formule standard etSwiss Re Europe à travers un modèle interne. Nous avons pour ce faire projeté lesprovisions Best Estimate selon les différents chocs qui s’appliquent à notre porte-feuille au sein de Solvabilité II, à savoir les risque d’assurance vie, de défaut et demarché. Le risque d’assurance vie possède le poids le plus important au sein du cal-cul du SCR, c’est pourquoi mon travail s’est principalement axé autour des calculsrelatifs au module vie du SCR.

Les chocs concernant le module vie sur lesquels j’ai travaillé sont les suivants :

– Choc de rachat : cas le plus défavorable entre une hausse et une baisse de 50%des taux de rachat

– Choc de mortalité : hausse de 15% des taux de mortalité– Choc de longévité : baisse de 20% des taux de mortalité– Choc des dépenses : hausse de 10% des dépenses et de 1% des taux inflation– Choc de morbidité : hausse de 35% des taux de passage en invalidité la premièreannée et de 25% ensuite

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4.2 Résultats

4.2.1 Projection de la provision Best Estimate selon les chocs enrun-off

Figure 4.1: Évaluation de la provision Best Estimate pour les contrats vie entière

Figure 4.2: Évaluation de la provision Best Estimate pour les contrats temporairedécès

Figure 4.3: Évaluation de la provision Best Estimate pour les contrats invalidité

Ces tableaux présentent la provision Best Estimate sur lesquels j’ai travaillépour les chocs du module vie selon les produits et pour un volume de primes de 1la première année.

On constate que les scénarios centraux présentent des provisions Best Estimatenégatives les 10 premières années, ce qui est fréquemment observé au début descontrats de type vie entière, temporaire décès et invalidité.

Pour les produits vie entière et temporaire décès, le choc possédant l’impact leplus important est le choc de mortalité. Au contraire, le choc rachat à la baisseengendre une baisse des provisions, c’est donc le choc à la hausse qui sera retenu.

Concernant les produits invalidité, le choc ayant l’impact le plus important est

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celui de morbidité qui diminue considérablement les provisions.

Rappelons que ces calculs correspondent à un volume de 1 et n’intègrent pasencore les volumes futurs.

4.2.2 Incorporation des volumes futurs

Nous présentons désormais la méthode adoptée pour projeter les provisions BestEstimate (BE) selon le choc et produit concerné avec incorporation des volumesfuturs. La méthodologie choisie est illustrée ci-dessous pour le produit vie entière etpour le scénario central :

Figure 4.4: Projection de la provision Best Estimate pour le scénario central et leproduit vie entière en incorporant les volumes futurs

Pour chaque produit et choc au sein du module vie, nous déduisons les provi-sions Best Estimate pour les années futures en incorporant les volumes à partir destableaux de provisions précédents comme l’illustre le graphique ci-dessus. La troi-sième colonne du premier tableau correspond en effet à la ligne « scénario central »du tableau vie entière précédent. Ainsi, chaque élément ti,j du tableau se calculecomme suit :

t(i, i+ k) = V (i)×BE(k + 1)

Avec k variant de 0 à 8 - i pour la ligne i. 1 correspond à la première année pourlaquelle nous effectuons les projections, à savoir l’année 2016.

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Chapitre 5

Résultats

5.1 Scénarios considérésAu sein de cette partie nous présentons les résultats concernant la profitabi-

lité du portefeuille d’assurance sur 10 ans en utilisant les hypothèses de projectionthéoriques présentées précédemment et en considérant la vision brute. Ces résultatspermettront au groupe de prendre des décisions et n’ont pas vocation à être fournisà un quelconque régulateur.

Nous présenterons les résultats de plusieurs scénarios dont le scénario centralconsiste à analyser la profitabilité avec les volumes fournis précédemment. Ce scé-nario inclut des hypothèses de primes émises futures avec les partenaires de venteque possède déjà IptiQ. Afin de déterminer l’impact de l’incorporation d’un nouveaupartenaire de vente en 2016 nous envisagerons 3 scénarios distincts en supposant quel’incorporation d’un partenaire ne change pas les dépenses réelles de IptiQ.

Le scénario 1 consiste à faire des hypothèses sur les primes émises que le nouveaupartenaire va émettre sans impacter les autres partenaires. Les scénarios 2 et 3consisteront à supposer que l’incorporation du nouveau partenaire a un impact surles primes émises par les autres partenaires. Le tableau 5.1 présentera ces impacts.

Impact surprime émise 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022+

Scénario 1 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%Scénario 2 23% 37% 59% 95% 98% 100% 100%Scénario 3 0% 25% 36% 80% 87% 90% 100%

Table 5.1: Impact sur prime émises des autres partenaires

Les volumes de primes émises supposées du nouveau partenaire sont les suivants :

2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023Prime émise(en mio) 5.4 10.6 15.8 21.0 26.2 31.4 36.7 41.8

Table 5.2: Hypothèses sur les primes émises du nouveau partenaire

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5.2 Evolution des différents flux et indicateurs de pro-fitabilité

Nous présentons ci-dessous les principaux résultats suite aux étapes précédenteset selon les trois scénarios :

Figure 5.1: Évolution des primes acquises

Figure 5.2: Évolution du résultat

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Figure 5.3: Évolution de l’exigence en capital

Figure 5.4: Évolution du ROE

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Figure 5.5: Évolution de l’ICD

5.3 Interprétation

On constate avec les figures ci-dessus que les calculs sont identiques selon les scé-narios pour les années 2014 et 2015 car les volumes relatifs au nouveau partenairene sont pas encore intégrés. Ajouter un partenaire de vente toutes choses égales parailleurs (scénario 1) permet d’augmenter le volume des primes émises (voir figure5.1) et donc d’augmenter le résultat (figure 5.2) par rapport au scénario central.En effet augmenter les volumes à partir de 2016 tout en maintenant des dépensesconstantes permet de faire plus de profits puisque les sinistres sont faibles en débutde contrat et que les variations importantes des provisions qui impactent négative-ment le profit ont déjà été réalisées en 2014 et 2015 sous Solvabilité I.La plupart des produits de prévoyance génèrent des provisions Best Estimate néga-tives sous Solvabilité II les premières années ainsi que des variations de provisionsnégatives. Ainsi incorporer des nouveaux volumes à partir de 2016 permet de com-penser les sinistres des contrats précédents et même faire plus de profits dès 2016.

Les scénarios 2 et 3 supposent quant à eux une baisse de volume des ancienspartenaires ce qui atténue le volume des primes émises ainsi que la profitabilité parrapport au scénario central dans un premier temps. Ces scénarios ne compensentainsi pas immédiatement les sinistres des contrats précédents puisque les primesémises restent inférieures à celles du scénario central jusqu’en 2020. Toutefois cephénomène s’inverse au fil du temps puisque la courbe bleue correspondant au scé-nario central se retrouve sous les trois autres courbes les dernières années (voir figures5.2 et 5.1).

La figure 5.3 traduit une exigence en capital proportionnelle aux volumes obser-vés au sein de la figure 5.1. Ainsi le scénario 1 est celui qui requiert le plus de capital.

La figure 5.4 reflète une rentabilité plus importante du scénario 1 suivi du scé-

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nario central les premières années ce qui est directement lié à la figure 5.2 illustrantles profits. Cependant, les scénarios 2 puis 3 s’avèrent plus rentables que le scénariocentral à partir de 2020 ainsi que le scénario 1 à partir de 2021 car leur profit aug-mente les dernières années et que leur exigence en capital est moins importante quecelle du scénario 1, ce qui explique pourquoi les ROE des scénarios 2 et 3 dépassentce dernier qui présente tout de même le résultat le plus élevé.

Enfin on peut constater sur le graphique 5.5 que l’incorporation du nouveau par-tenaire permet de générer des dividendes en 2023.

La construction d’un modèle de profitabilité ainsi que l’analyse de sensibilitéseffectuées dans le même cadre permettent ainsi au groupe d’opérer des choix stra-tégiques pour optimiser la profitabilité en comparant différents indicateurs.L’incorporation d’un nouveau partenaire est donc rentable à plus ou moins longterme selon les scénarios ce qui constitue un choix stratégique pour le développe-ment d’IptiQ du point de vue du groupe.

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Chapitre 6

Conclusion de la partie II

Au sein de cette partie nous avons développé les différentes caractéristiques ethypothèses de calcul concernant les produits invalidité et temporaire décès actuelle-ment commercialisés par IptiQ.

Par la suite nous avons calculé les flux inhérents à ces produits et analysé leurprofitabilité en fonction du sexe et des différentes classes considérées. Nous avons puainsi en déduire la profitabilité globale de portefeuilles composés de ces différentesclasses suivant une répartition définie en adéquation avec les observations sur lesportefeuilles actuellement détenus en situation de run-off.

De plus, une étude de l’impact du changement du taux technique a permis d’en-visager plusieurs solutions pour maintenir un certain niveau de profitabilité.En effet, deux options principales s’offrent à l’entreprise : proposer une nouvelletarification des primes ou bien augmenter ces dernières dans le but d’obtenir uncertain niveau d’IRR. Nous avons constaté que l’augmentation des primes dans lebut de maintenir l’IRR constant s’avère inférieure à celle engendrée par une nouvelletarification, ce qui constitue ainsi le meilleur compromis.

Nous avons ensuite exposé les autres étapes de la construction d’un modèle deprofitabilité, à savoir l’incorporation des volumes de primes futures, l’ajustementdes dépenses et l’intégration de l’exigence en capital. Nous avons également consi-déré trois scénarios concernant l’incorporation d’un nouveau partenaire de vente quidiffèrent selon l’impact de celui-ci sur les ventes des anciens partenaires.

Nous avons ensuite analysé les différents indicateurs de profitabilité selon chaquescénario. Il s’avère que l’incorporation d’un nouveau partenaire est profitable à plusou moins long terme.

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Troisième partie

Implémentation du modèle deHeston pour la tarification decontrats en unités de compte

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L’objectif de cette partie est de présenter les contrats d’épargne et plus par-ticulièrement ceux possédant « une garantie plancher ». Nous verrons par ailleursl’évaluation de ces contrats avec le modèle de Black-Scholes, en déduirons la primepure unique et enfin analyserons les faiblesses d’un tel modèle. Nous utiliserons pourcette partie principalement les sources [5], [6], [11] et [19].

Nous évaluerons ensuite l’engagement de l’assureur pour un contrat en UC autravers du modèle de Black-Scholes et discuterons des faiblesse du modèle qui nousamèneront à considérer un modèle de tarification alternatif : celui de Heston [13].

Il s’agit d’un modèle à volatilité stochastique qui est devenu de plus en pluspopulaire et dont l’implémentation a été réalisée en VBA. Cette partie utiliseraprincipalement les sources : [1, 10, 12, 13, 18], et [20] d’autres références serontmentionnées pour les lecteurs intéressés.

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Chapitre 1

Les contrats d’épargne

1.1 Introduction

L’objectif de cette partie est de présenter les contrats d’épargne et plus par-ticulièrement ceux possédant « une garantie plancher ». Nous verrons par ailleursl’évaluation de ces contrats avec le modèle de Black-Scholes, en déduirons la primepure unique et enfin analyserons les faiblesses d’un tel modèle. Nous utiliserons pourcette partie principalement les sources [5], [6], [11] et [19].

On distingue principalement deux types de contrats d’épargne : les contrats dits« en euros » et les contrats « en unités de compte » (UC).

Les premiers garantissent à échéance, un taux de rendement fixe qui ne dépendpas de l’évolution future des marchés financiers alors que les seconds garantissentun montant indexé sur un actif financier (l’UC). Dans le dernier cas, l’assureur nesupporte aucun risque puisque le montant versé correspond au cours de l’actif.

Toutefois, il existe de nombreuses garanties complémentaires qui sont adosséesaux contrats en UC pour les rendre plus attractifs et qui font supporter un risque àl’assureur, qu’il est nécessaire d’évaluer et de provisionner. Le but de ce chapitre estde présenter l’une de ces garanties, la « garantie plancher » et d’examiner la questionde son évaluation en « juste valeur » sur un contrat en UC à support unique. Pourcela, on présentera la garantie dans une première partie, puis on l’évaluera par lemodèle de Black-Scholes.

Les contrats en unités de compte sont des contrats où les fonds sont investissur des unités de placement cotées en bourse (majoritairement en action et obliga-tion). En France, la liste des supports admissibles est détaillée aux articles L131-1 etR131-1 du Code des Assurances.Nous disons communément que ce type de produitappartient à la branche 23 des assurances.

A chaque versement de prime, celle-ci elle est convertie (après prélèvement desfrais) en un nombre d’UC qui est repris dans le contrat. De même lors d’un rachat,un nombre d’unités est déduit du contrat et le client en perçoit la contre-valeur endevise. Les primes sont donc remplacées par leur valeur d’unité ce qui explique laterminologie anglo-saxonne : "unit-linked".

La valeur d’une unité ou d’inventaire, à l’instant t, est donnée par le rapportentre la valeur du fonds et le nombre d’unités qu’il contient. La valeur du fonds est

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déterminée en fonction des cours boursiers des valeurs qui le composent.

On distingue 2 types de contrat, les contrats «mono-support» et les contrats«multi-supports». Les premiers sont des contrats adossés et composés d’une seuleunité de compte (i.e. d’un seul actif financier), alors que les seconds sont des contratsdont le portefeuille adossé est composé de plusieurs unités de compte. Nous netraiterons ici que le cas des contrats «mono-support».

La valorisation de ces contrats dépend donc du comportement des différents marchésfinanciers. Contrairement à la branche 21 où le volet épargne prévoit un rendementgaranti majoré généralement d’une participation bénéficiaire, la branche 23 ne pré-sente, en principe, aucune garantie de résultat. Ainsi, en contrepartie d’un risqueaccru, ces supports offrent a priori des gains potentiels plus importants.

1.2 La garantie plancher

Avec le développement considérable des contrats en unités de compte et l’évo-lution à la baisse des marchés financiers, il est naturel de s’intéresser aux types degaranties que peuvent proposer ces contrats à leurs souscripteurs. Les turbulencesdes marchés financiers, illustrées par la baisse d’environ 60 % du CAC 40 en 2001,puis en 2008, ont en effet rappelé aux investisseurs le risque lié à ce type de place-ments.

En outre, ces produits peuvent avoir des garanties pour les rendre plus attractifs.Ainsi, en plus d’une partie épargne (prestation en cas de vie) il est possible d’avoirune garantie en cas de décès. Dans ce cas, la compagnie d’assurance conserve lerisque d’assurance (ou technique) qui résulte de la couverture de prévoyance.

Bien que le risque financier ne soit pas supporté par la compagnie d’assurance,il s’agit d’un produit d’assurance vie qui nécessite un preneur, un assuré, un bénéfi-ciaire en cas de vie et en cas de décès. En cas de décès de l’assuré, le contrat prendfin et la contre-valeur des unités du contrat est payée au bénéficiaire.

La garantie décès a pour but de protéger les ayants-droit du souscripteur en casde décès de celui-ci contre une baisse des marchés financiers. Ceci se concrétise parle versement, en cas de décès de l’assuré, d’une prestation égale au maximum entrele cumul des primes investies, nettes des frais de souscription, que l’on notera K,et le montant de la provision mathématique à la date du décès de l’assuré. Ainsi,quelles que soient les fluctuations boursières, le bénéficiaire du contrat recevra auminimum le cumul des primes investies nettes des frais de souscription.

Dans la suite du mémoire nous nous intéresserons aux contrats en unités decompte avec prime unique. Nous pouvons représenter le capital sous risque au coursdu temps de la manière suivante :

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Figure 1.1: Représentation des capitaux sous risques pour un contrat en unité decompte avec garantie plancher

Dans notre exemple, la partie en orange correspond au montant que devra verserl’assureur si l’assuré décède à ce moment. Ainsi, si le décès de l’assuré survient à uninstant t où la valeur du fond est inférieur à K=100, l’assureur devra verser la dif-férence entre K et la valeur du fond. L’engagement de l’assureur sera donc le suivant :

EAt = max(K,St) = St +max(K − St, 0) (1.1)

où St est la valeur du fond à la date t et K est le montant de la garantie plancher. Endécomposant ainsi la formule nous obtenons d’une part St, la partie correspondant aufonds que possède l’assureur dans son portefeuille d’actifs et d’autre part max(K −St, 0), partie sur laquelle porte le risque d’un potentiel paiement. Nous pouvons doncrésumer le coût de la garantie à la charge de l’assureur à une date de décès t par :

Ct = max(K − St, 0) (1.2)

La formule (1.2) correspond exactement au paiement terminal d’une option devente européenne (put).

Rappelons qu’un put est : une option contractuelle de vente par laquelle deuxparties s’accordent pour échanger un actif (appelé sous-jacent) à un prix fixé (appeléprix d’exercice ou strike) à une date prédéterminée (dite date de maturité). Une par-tie, l’acheteur du put, a le droit (non l’obligation) de vendre l’actif sous-jacent auprix d’exercice dans les délais spécifiés tandis que l’autre partie, le vendeur du put,a l’obligation de racheter cet actif au prix d’exercice si l’acheteur décide d’exercerl’option. On parle de «put européen» si le souscripteur peut exercer son droit uni-quement à la date de maturité 1.

1. http ://fr.wikipedia.org/wiki/Put

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Dans notre cas, l’assurance est le vendeur du Put et s’engage à acheter le sous-jacent appartenant à l’assuré à un prix d’exercice K si au décès de ce dernier, lesous-jacent est inférieur à la garantie.

Afin de déterminer l’impact de cette garantie pour l’assureur nous devons dans unpremier temps définir le cadre de notre étude. Ainsi, nous présenterons les hypothèsesde modélisation de l’actif financier ainsi que la probabilité et la filtration choisie.

1.3 Modélisation de l’actif financier

Dans cette partie nous supposons que l’actif financier sous-jacent à notre contratsuit, dans un premier temps, le processus stochastique décrit par l’équation diffé-rentielle suivante :

dStSt

= µdt+ σdW 1t ⇐⇒ St = S0 +

∫ t

0µSxdx+

∫ t

0σSxdW

1x (1.3)

A partir de cette équation nous pouvons, en la résolvant, obtenir l’évolution ducours du support à la date t : (St)t≥0. Avant de pouvoir déterminer l’évolution ducours du support, il est fondamental de choisir une probabilité, puisqu’en fonctionde ce choix, les résultats seront différents.

1.4 Choix de la probabilité et de la filtration

Nous avons la possibilité d’évaluer nos engagements sous 2 probabilités, chacunepossédant ses avantages et ses inconvénients.

1.4.1 Probabilité physique P

On se place en univers monde réel lorsqu’on souhaite apprécier les évolutionsfutures de manière compatible avec les observations historiques. La probabilité uti-lisée dans cet univers est la probabilité physique. Ce choix de probabilité pourraitentrainer des difficultés pour l’estimation des paramètres. En effet, pour la détermi-nation du paramètre σ de notre modèle il serait nécessaire, sous cette probabilité,d’utiliser les données historiques. Or la volatilité estimée sur ces données dépendfortement de la fenêtre de données choisie. Ainsi notre volatilité pourrait ne pas dutout correspondre à celle captée par les marchés financiers et les prix des optionscalculés sur notre modèle différer de ceux présents sur les marchés.

Pour pallier à cette différence des prix que pourrait engendrer le choix de cetteprobabilité nous utiliserons la probabilité risque neutre.

1.4.2 Probabilité risque neutre Q

L’évaluation de notre engagement sous la probabilité risque neutre Q permetd’avoir une logique d’évaluation.

Sous cette approche, l’actif est évalué en comparaison des autres actifs présentssur le marché. Pour la modélisation de l’actif financier que nous avons choisi toutel’aversion au risque des investisseurs est captée par le paramètre µ qui correspondau taux de rendement attendu.

La valeur de µ dépend totalement du degré d’aversion au risque. µ est d’autantplus élevé que le degré d’aversion au risque des investisseurs est grand. Or sous la

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mesure de probabilité risque neutre tous les agents sont neutres au risque, et ainsile taux de rendement espéré de chaque titre est égal au taux sans risque : r.

Nous choisissons donc une probabilité Q équivalente à P qui nous permettrait derespecter cette hypothèse. C’est à dire que pour tout événement A, nous aurons :

P(A) > 0 ⇐⇒ Q(A) > 0.

De plus, si la mesure de probabilité Q est équivalente à P, alors il existe pourtout instant t une variable aléatoire Mt vérifiant :

– Mt ≥ 0 p.s.– EP[Mt] = 1.– Pour toute variable intégrable U : EQ[U ] = EP[MtU ].

De ce fait l’analyse de produits tels que les options de n’importe quel type devientbeaucoup plus simple, il suffit de calculer l’espérance de la valeur de l’option en T,date de fin de contrat, en supposant que le taux de rendement du sous-jacent n’estplus µ mais r puis d’actualiser en utilisant le taux sans risque r. Afin de déterminerla mesure de probabilité risque neutre introduisons maintenant le processus de prixactualisé de l’actif sous-jacent :

St = e−rtSt (1.4)

Une mesure de probabilité Q équivalente à P est appelée neutre au risque si, sousla mesure de probabilité Q, le processus des prix actualisés de l’équation (1.4) estune martingale.

Pour trouver cette mesure martingale équivalente il est nécessaire d’utiliser latransformation de Girsanov ainsi que la formule d’Itô.

Ainsi, (St)0≤t≤T est une martingale sous la mesure de probabilité Q si et seule-ment si nous choisissons avec les mêmes notations que dans la partie 1 :

λt = µ− rσ

Dès lors, sous Q, le processus St satisfait l’équation différentielle stochastiquesuivante :

dSt = rStdt+ σStdWt (1.5)

A partir de cette équation nous pouvons évaluer notre engagement par des mé-thodes financières telles que Black-Scholes. Pour se faire, nous devons dans un pre-mier temps choisir une filtration.

1.4.3 Choix de la filtration

La filtration choisie est la filtration générée par l’économie et le portefeuilled’assurance en supposant par la suite qu’il y a indépendance entre la mortalité etles variables économiques et financières :

Ft = Gt ∨Ht (1.6)

avec Gt = σSu, u ≤ t la filtration générée par l’économie et Ht la filtrationnaturelle du portefeuille d’assurance.

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1.5 Modèle de Black-ScholesLe modèle de Black-Scholes suppose les points suivants :

– Les options européennes ne versent pas de dividende durant la durée de l’op-tion et l’actif sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique.

– Le marché financier est parfait : Aucun investisseur n’est dominant, les titressont infiniment divisibles et il n’y a pas de coût de transaction.

– Le marché est complet : Pour tout actif il existe une stratégie permettant dele dupliquer.

1.5.1 Recherche de la solution

D’après la définition du chapitre 1, St est un processus d’Itô, nous pouvonsdonc appliquer la formule d’Itô présentée au sein de la première partie à la fonctionf(x) = ln(x). En supposant que St soit positif nous obtenons :

d lnSt = (r − σ2

2 )dt+ σdWt (1.7)

Ainsi, µ et σ étant deux nombres réels, (Wt)t≥0 étant un mouvement brownienet T un réel strictement positif il existe alors un processus d’Itô unique (St)0≤t≤Tqui vérifie pour tout t ≤ T l’équation (1.3). Ce processus est donné par :

St = S0 exp(

(r − σ2

2 )t+ σWt

)(1.8)

Ce processus (St)0≤t≤T servira, dans un premier temps, de base de calcul del’engagement de l’assureur.

1.5.2 Loi du rendement de l’actif financier

Pour pouvoir évaluer l’engagement de l’assureur il est nécessaire d’obtenir la loide rentabilité du support du contrat. Si r et σ correspondent respectivement autaux sans risque et à l’écart-type de l’actif financier dont le cours vaut St en t, nousdéduisons de (1.8) l’égalité suivante :

STSt

= exp(

(r − σ2

2 )(T − t) + σ(WT −Wt))

(1.9)

et donc que :STSt∼ LN

((r − σ2

2 )(T − t), σ2(T − t))

(1.10)

1.5.3 Approche par équations aux dérivés partielles

Il est intéressant d’analyser l’approche par équation aux dérivés partielles pourdéterminer une solution au prix d’une option. En effet, nous verrons par la suite quepour d’autres modèles tels que celui de Heston il est fondamental d’utiliser cette ap-proche pour déterminer une solution. Cette section utilisera principalement la source

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[6].

Soit f(St, t) le prix d’une option à la date t avec f fonction régulière, considéronsun portefeuille composé à la date t de :

– α unités de l’option– β unités de l’actif sous-jacent

La valeur du portefeuille en date t vaut :

Π(t) = αf(St, t) + βSt

Ainsi, la variation de la valeur du portefeuille entre les dates t et t + dt est :

dΠ(t) = Π(t+ dt)−Π(t) = αdf(St, t) + βdSt (1.11)

En appliquant la formule d’Itô et sachant que dSt suit l’équation (1.5) on endéduit :

df(St, t) = ∂f

∂x(St, t)dSt +

[∂f

∂t(St, t) + σ2S2

t

2∂2f

∂x2 (St, t)]dt

En remplaçant dans l’équation (1.11) on a :

dΠ(t) =[α∂f

∂x(St, t) + β

]dSt + α

[∂f

∂t(St, t) + σ2S2

t

2∂2f

∂x2 (St, t)]dt

Le risque inhérent au portefeuille est porté par l’évolution du sous-jacent et peutêtre éliminé en posant β = −α∂f∂x (St, t) L’évolution du portefeuille devient alors sansrisque entre t et t+dt et est décrit par :

Π(t+ dt) = Π(t) + α

[∂f

∂t(St, t) + σ2S2

t

2∂2f

∂x2 (St, t)]dt

or en l’absence d’opportunité d’arbitrage on doit avoir :

Π(t+ dt)−Π(t) = rΠ(t)dt.

On en déduit l’équation différentielle partielle de Black-Scholes :

∂f

∂t(St, t) + σ2S2

t

2∂2f

∂x2 (St, t) + rSt∂f

∂x(St, t) = rf(St, t) (1.12)

Avec la condition au bord f(St, T ) = (K − ST )+, f est caractérisé de manièreunique et il est possible d’en déduire une formule fermée pour f(x,t) qui sera présen-tée dans la prochaine partie.

Cette approche par équation différentielle partielle permet d’obtenir une stra-tégie de couverture appelée couverture en Delta. Une telle couverture passe par ladétermination à tout instant d’une quantité d’actif sous-jacent ξt risquée et celled’obligations ηt sans risque permettant de dupliquer exactement les flux d’une op-tion européenne de maturité T. Ainsi l’assurance pourrait se prémunir d’éventuellespertes financières en réajustant le portefeuille créé. En effet, une perte sur l’un des

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deux actifs serait exactement compensée par l’autre pour obtenir le flux final sou-haité : f(ST , T ) = (K − ST )+.

L’existence d’une telle stratégie : Θ = (ξt, ηt)0≤t≤T vient de l’hypothèse de com-plétude des marchés. En posant Bt = ert le prix d’une obligation en date t de lastratégie est la suivante :

– Investir initialement f(S0, 0)

– Posséder à tout moment la quantité : ξt = ∂f∂x (St, t) d’actif St

– Posséder à tout moment la quantité : ηt =(f(St, t)− St ∂f∂x (St, t)

)e−rt d’actif

sans risque

Ainsi, à tout moment le portefeuille vaudra : f(St, t). Cette stratégie est autofi-nancée du fait qu’il n’y a ni retrait, ni nouvel apport.

1.6 Évaluation de l’engagement de l’assureur et calculde la prime pure unique

Évaluation de l’engagement de l’assureur

Rappelons que le flux à payer au moment du décès d’un assuré correspond au fluxd’une option européenne de prix d’exercice égal au montant de la garantie plancherK et de maturité égale à la durée de vie restante de l’assuré noté T.

Nous cherchons donc à évaluer pour 0 ≤ t < T l’engagement :

V (t, T ) = EQ(e−r(T−t)max(K − ST , 0)/Ft

)= e−r(T−t)

∫ K

0(K − x)dG(x)

où :

dG(x) = P [St ≤ x/Ft] = P [log(ST /St) ≤ log(x/St)/Ft]

= Φ(

log(x/St)− (r − σ2/2)(T − t)σ√T − t

)d’après (1.10)

avec : Φ fonction de répartition de la loi normale centrée réduite :

Φ(z) =∫ z

−∞

1√2πe−x

2/2dx

En effectuant le changement de variable suivant :

v = log(x/St)− (r − σ2/2)(T − t)σ√T − t

⇐⇒ x = St · ev·σ√T−t · e(r−σ

22 )(T−t)

Et en posant :

d1(t, T ) = log(St/K) + (r − σ2/2)(T − t)σ√T − t

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d2(t, T ) = d1(t, T ) + σ√T − t

Nous obtenons :

V (t, T ) = Ke−r(T−t)Φ (−d2(t, T ))− StΦ (−d1(t, T )) (1.13)

A tout instant 0 ≤ t < T nous avons évalué l’engagement de l’assureur enversl’assuré conditionnellement au décès de celui-ci en date T. Nous supposons par lasuite que le portefeuille sera suffisamment important pour que la mortalité observéesur le portefeuille soit celle prédite par la table de mortalité. Ainsi nous pouvonsdéterminer la date T et calculer la prime engendrée par un tel engagement.

Calcul prime pure unique

Nous venons de calculer l’espérance du montant du paiement à effectuer en casde décès de l’assuré. En utilisant des techniques classiques d’actuariat nous pouvonsà présent calculer la prime pure unique (PPU).

En effet, La PPU peut être obtenue en pondérant les flux futurs par la densité demortalité. Dans le modèle discret avec un pas de discrétisation annuel nous avons :

PPU =ω−x∑k=1

V (0, k)kpxqx+k (1.14)

=ω−x∑k=1

(Ke−rkΦ(−d2(0, k))− Ste(µ−r)kΦ(−d1(0, k))

)kpxqx+k (1.15)

Avec :x = Age de l’assuré au début du contratω = Age de l’assuré en fin de garantie plancher (Souvent à la retraite)

La PPU calculée est fonction de 2 paramètres : r et σ, en supposant que le tauxsans risque r est connu, il est nécessaire d’estimer σ

1.6.1 Estimation de σ

Du fait que nous travaillons en probabilité risque neutre, tout actif possède pourtaux de rentabilité r. Les prix sont déduits d’autres actifs présents sur le marché.Nous devons en quelque sorte intégrer le risque capté par les marchés dans la vola-tilité.

C’est pourquoi dans cette partie nous introduirons une volatilité implicite, quiest une volatilité extraite du prix observé des options sur le marché.

Pour notre cas nous utiliserons la volatilité implicite déterminée de manière pros-pective, c’est-à-dire sur les prix de marché de maturité non encore atteinte, ainsi nousaurons des résultats qui reflètent les estimations prévisionnelles de la volatilité denotre support.

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1.6.2 Volatilité implicite

La volatilité implicite du modèle de Black-Scholes est obtenue en égalisant le prixd’une option présente sur le marché et celui obtenu par le calcul de Black-Scholes.

Formellement :Pobs(St,K, T ) = PBS(St, σip,K, T ).

Avec :

σip : La volatilité implicite.Pobs(St,K, T ) : Le prix d’un put européen observé en t sur le marché de prix d’exer-cice K, de maturité T et de sous-jacent S.PBS(St, σip,K, T ) : Le prix d’un put européen calculé en t par la formule de Blacket Scholes de prix d’exercice K, de maturité T et de sous-jacent S.

Il n’existe pas de formule fermée permettant d’obtenir σip en fonction d’autresparamètres. Pour estimer ce paramètre, nous avons recours à une méthode numériqueutilisant une fonction des pertes f(σ) telle que :

f(σ) = [Pobs(St,K, T )− PBS(St, σ,K, T )]2 (1.16)

La volatilité implicite est la valeur σ = σip telle que la différence entre les prixobservés et ceux calculés par Black et Scholes soit nulle

f(σip) = 0.

Il existe plusieurs autres fonctions possibles pour minimiser les écarts, nous les ver-rons par la suite pour le modèle de Heston.

Remarque : Il existe une unique solution σ = σip > 0 vérifiant 1.16 de par lacroissance stricte de la formule de Black-Scholes en fonction de volatilité :

∂PBS∂σ

= Ste−d2

1√T − t√

2π> 0

Par ailleurs, pour mieux comprendre l’évolution de l’engagement de l’assureur ilest important de comprendre l’impact de la maturité ainsi que du prix du sous-jacentsur le prix d’un put européen calculé par Black-Scholes, voir figure (1.2).

On pourra constater que plus la maturité est élevée moins le prix du put estimportant. Ainsi on peut en déduire que pour toutes choses égales par ailleurs, sil ≥ 0,

V (0, T ) ≥ V (0, T + l)

Cependant l’évaluation d’un tel engagement par la formule de Black-Scholes netient pas entièrement compte de la réalité des marchés financiers. C’est pourquoinous allons aborder les limites du modèle de Black-Scholes

1.6.3 Limites de Black-Scholes

Le modèle de Black-Scholes a très fortement influencé l’évolution des marchésfinanciers ces 30 dernières années et est toujours l’un des modèles les plus enseignéset utilisés.

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Figure 1.2: Prix de Black-Scholes pour un put européen avec K=1000 σ = 25% etr=3% en fonction de la maturité en année et du prix du sous-jacent S

Cependant, il est aussi connu que ce modèle n’est pas totalement adapté à laréalité des marchés. Il y a plusieurs faiblesses du modèle principalement liées auxhypothèses. Premièrement, l’hypothèse de distribution log-normale des taux de ren-dement, qui a été critiquée depuis 1963 par Mandelbrot [3] est une hypothèse tropforte qui n’est pas toujours vérifiée. Le 19 Octobre 1987 les contrats à termes dematurité 2 mois du S&P 500 ont perdu 29%, sous l’hypothèse de taux de rendementlog-normale la probabilité de cette événement serait de 10−160 ce qui serait quasi-ment irréalisable voir figure (1.3) d’autant plus que ce n’est pas le seul événementavec une probabilité aussi faible qui s’est finalement produit.

Figure 1.3: Comparaison des log-rapports journaliers du S&P500 source : [6]

De plus, en observant les prix des options présentes sur le marché, nous observonsune volatilité implicite qui dépend du prix d’exercice K de notre option et qui formece qu’on appelle un « smile » de volatilité voir figure (1.4).

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Figure 1.4: Smile de volatilité implicite pour une option d’achat sur S&P500 source :[6]

Nous avons observé que le modèle de Black-Scholes présente certaines insuffi-sances, notamment l’hypothèse log-normale des rendements mais aussi de la pré-sence d’un « smile » de la volatilité implicite, ce qui nous amène à explorer uneautre méthode de modélisation de l’actif sous-jacent : le modèle de Heston avec vo-latilité stochastique.

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Chapitre 2

Volatilité stochastique

2.1 Introduction

Une approche pour modéliser le prix d’une option au travers d’une volatilité évo-luant au cours du temps est de supposer que le prix du sous-jacent et sa volatilitésuivent chacun un processus de diffusion continu.

Hull and White (1987) [14] généralisent le modèle de Black-Scholes pour une vo-latilité variant au cours du temps. Leur modèle représente un fondement pour toutmodèle de volatilité stochastique dans lequel le sous-jacent et la volatilité suiventleur propre processus de diffusion. Dans leur modèle, le prix de l’option est la valeurattendue du prix de Black et Scholes, obtenu par intégration de la distribution devolatilité moyenne au cours de la vie de l’option, et en supposant une corrélationnulle entre le prix des actifs et de la volatilité. L’obtention de la densité de la vo-latilité moyenne nécessite la résolution d’une équation différentielle par approchenumérique (pour plus de détails voir [14]).

Ainsi, tandis que les prix obtenus par l’approche Black-Scholes s’obtiennent parformule fermée, obtenir des prix d’options dans le cadre du Hull et White requiertune puissance de calcul importante. De plus, l’incorporation d’une volatilité stochas-tique entraîne l’apparition d’asymétrie (skewness) dans la distribution des prix dusous-jacent et peut être obtenue en corrélant le processus de diffusion du sous-jacentavec celui de sa volatilité, ce qui permet ainsi d’être plus proche de la réalité.

Il est aussi possible d’obtenir de l’asymétrie en incorporant des sauts dans leprocessus de diffusion de l’actif mais aussi avec un taux de rendement stochastique.

Bakshi, Cao, and Chen (1997) [4] ont comparé les modèles comprenant une vo-latilité stochastique avec taux stochastiques et sauts à celui de Black-Scholes maisaussi les modèles avec simplement de la volatilité stochastique ou volatilité stochas-tique avec sauts et ont conclu que l’amélioration majeure apportée par ces techniquesprovient en réalité de l’incorporation d’une volatilité stochastique pour l’évaluationdes options.

Ainsi les processus avec sauts et taux stochastiques n’entraînent qu’une trèslégère réduction de l’erreur dans l’évaluation des options sur actions et sont plusadaptés pour des options sur devise. C’est pour cette raison que nous avons décidé

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de modéliser le prix de l’option, qui correspond à l’engagement de l’assureur, avecun modèle composé uniquement d’une volatilité stochastique.

2.2 Modèle général

Nous allons ainsi proposer un modèle à volatilité stochastique. Soit v la varianced’un sous-jacent S vérifiant comme équation :

dSt = µStdt+√vtStdZ1,t (2.1)

dvt = ζ(St, vt, t)dt+ σψ(St, vt, t)√vtdZ2,t (2.2)

Avec :dZ1,tdZ2,t = ρdt,

où µ correspond au taux de rendement du sous-jacent sous monde réel, σ à lavolatilité de la variance et ρ la corrélation entre le mouvement Brownien standard dela volatilité Z2,t et celui de l’actif sous-jacent Z1,t. Le processus suivi par la volatilitéest très général, nous n’émettons dans un premier temps aucune hypothèse sur ζ(.)et ψ(.)

Dans le modèle de Black-Scholes il n’y avait qu’une seule source d’aléatoire, leprix du sous-jacent, qui pouvait être couvert avec une obligation. Dans le cas présent,le changement aléatoire de la volatilité doit aussi être couvert dans le but de formerun portefeuille sans risque. Soit Π∗ un portefeuille contenant l’option devant êtreévalué de prix V(S,v,t), une quantité −∆ de l’actif sous-jacent et une quantité −∆1d’un autre actif dont la valeur V1 depend de la volatilité, V1 et V sont supposéesrégulières. On a :

Π∗ = V −∆S −∆1V1

L’évolution du portefeuille pour dt est, en appliquant le lemme d’Ito à V et V1 :

dΠ∗ =∂V

∂t+ 1

2vS2∂

2V

∂S2 + ρσvψS∂2V

∂v∂S+ 1

2σ2vψ2∂

2V

∂v2

dt

−∆1

∂V1∂t

+ 12vS

2∂2V1∂S2 + ρσvψS

∂2V1∂v∂S

+ 12σ

2vψ2∂2V1∂v2

dt

+∂V

∂S−∆1

∂V1∂S−∆

dS

+∂V

∂v−∆1∂V1

∂v

dv

où, par souci de clarté nous n’avons pas mentionné les dépendances en t desvariables St et et vt ainsi que les paramètres de la fonction ψ. Afin que le portefeuillesoit sans risque nous devons choisir pour éliminer le terme en dS :

∂V

∂S−∆1

∂V1∂S−∆ = 0 (2.3)

et :∂V

∂v−∆1

∂V1∂v

= 0 (2.4)

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pour éliminer le terme en dv. Nous obtenons alors :

dΠ∗ =∂V

∂t+ 1

2vS2∂

2V

∂S2 + ρσvψS∂2V

∂v∂S+ 1

2σ2vψ2∂

2V

∂v2

dt

−∆1

∂V1∂t

+ 12vS

2∂2V1∂S2 + ρσvψS

∂2V1∂v∂S

+ 12σ

2vψ2∂2V1∂v2

dt

= rΠ∗dt= r(V −∆S −∆1V1)dt

Cette dernière égalité provient de l’évolution sans risque du portefeuille en l’ab-sence d’arbitrage. Nous avons ici supposé que le taux sans risque r est constant aucours du temps. En rassemblant les termes en V d’un côté et ceux en V1 de l’autreet en utilisant les équations (2.3) et (2.4) nous obtenons :

∂V∂t + 1

2vS2 ∂2V∂S2 + ρσvψS ∂2V

∂v∂S + 12σ

2vψ2 ∂2V∂v2 + rS ∂V∂S − rV

∂V∂v

=∂V1∂t + 1

2vS2 ∂2V1∂S2 + ρσvψS ∂2V1

∂v∂S + 12σ

2vψ2 ∂2V1∂v2 + rS ∂V∂S − rV1

∂V1∂v

≡ f(St, vt, t)

(2.5)

On constate que la première partie de l’équation est une fonction de V seulementet la deuxième de V 1 uniquement. Nous pouvons déduire que chaque côté de l’équa-tion est égal à une fonction f des variables S,v et t. Cette fonction sera utile parla suite pour déterminer certains paramètres pour une évaluation sous probabilitérisque neutre. Nous allons maintenant présenter le modèle que nous implémenteronspour évaluer les contrats en UC avec garantie plancher à savoir le modèle de Heston.

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Chapitre 3

Description du modèle deHeston

Dans ce chapitre nous présenterons le plus populaire des modèles à volatilitéstochastique, le modèle de Heston, et nous montrerons en quoi ce modèle est le plusadapté à l’évaluation des contrats en UC.

3.1 Modélisation de l’actifLe modèle de Heston (1993) sous la probabilité P est un modèle de volatilité

stochastique avec ζ(S, v, t) = κ[θ − vt] et ψ(S, v, t) = 1 dans les équations (2.1) et(2.2). On obtient :

dSt = µStdt+√vtStdZ1,t (3.1)

Où vt correspond à la variance du sous-jacent et suit le processus suivant :

dvt = κ[θ − vt]dt+ σ√vtdZ2,t (3.2)

avec :dZ1,tdZ2,t = ρdt (3.3)

où κ, θ, σ > 0 and |ρ| < 1 sont les paramètres du modèle. Avec :– κ Taux de retour à la moyenne– θ La variance à long terme– σ La volatilité de la variance– ρ Le coefficient de corrélation entre dZ1,t et dZ2,t sous la probabilité PNotons qu’en date t=0 nous devons fixer v0 > 0 ce qui suppose que la variance

n’est pas aléatoire en date 0.

3.2 Approche par équation aux dérivées partielles (EDP)Pour ne pas alourdir la lecture, les étapes permettant d’obtenir l’EDP ne seront

pas présentées dans cette partie mais pourront être déduites de la partie suivantedécrivant le passage en probabilité risque neutre. Par ailleurs, le lecteur pourra aussise référer à [12] et [20] pour plus de détails.Sous le modèle de Heston, le prix de toute option V (St, vt, t, T ) doit vérifier l’équationdifférentielle :

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12vS

2∂2V

∂S2 + ρσvS∂2V

∂v∂S+ 1

2σ2v∂2V

∂v2 + rS∂V

∂S

+κ[θ − v]− Λ(S, v, t)σ

√v ∂V∂v− rV + ∂V

∂t= 0

(3.4)

Λ(S, v, t) est appelé le prix de marché pour risque de volatilité. Heston dans"The Consumption-based Capital Asset Pricing Model" suppose que le prix de mar-ché pour risque de volatilité est proportionnel à la volatilité, formellement :

Λ(S, v, t) = k√vt pour une constante k (3.5)

⇒ Λ(S, v, t)σ√vt = kσvt (3.6)≡ λ(S, v, t)vt (3.7)

λ(S, v, t) représente le prix de marché pour risque de volatilité. Ce paramètren’apparait pas dans (3.1) à (3.3) mais serait présent dans l’évaluation du prix del’option sous probabilité P et devrait sous cette probabilité être évalué. Ceci n’estpas une chose facile mais ce problème est évité en travaillant sous probabilité risqueneutre comme nous pourrons le voir par la suite.

3.3 Passage en probabilité risque neutreL’évaluation en probabilité risque neutre d’un put européen, qui correspond à

l’engagement de l’assureur envers l’assuré, se fait par l’approche d’une mesure mar-tingale équivalente (MME). Le prix correspond au payoff de l’option actualisé sousla MME Q. Ainsi :

Put(St, vt, t, T ) = EQ(e−r(T−t)max(K − ST , 0)/Ft

)où max(K − ST , 0) correspond au payoff de l’option en date T (date de décès

d’un assuré), r le taux sans risque durant la période [t,T]. On supposera ce tauxconstant dans un premier temps.

Il est donc nécessaire de déterminer la probabilité Q utilisée.

Considérons, un portefeuille en delta Π1,t composé d’une option de prix V (t, St, vt, T )avec V fonction supposée régulière, et de la quantité −∆t de l’action St :

Π1,t = V −∆tSt

L’évolution infinitésimale du portefeuille est obtenue en utilisant le lemme d’Ito :

dΠ1,t = dV −∆tdSt

=[∂V

∂t+ µS

∂V

∂S+ 1

2vS2∂

2V

∂S2 + κ[θ − v]∂V∂v

+ ρσvS∂2V

∂v∂S+ 1

2σ2v∂2V

∂v2

]dt

+(∂V

∂S−∆

)S√vdZ1 + ∂V

∂vσ√vdZ2 − µ∆Sdt

85

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La couverture en delta implique ∂V∂S −∆ = 0, ce qui donne pour le portefeuille

déflaté :

dΠ1 − rΠ1dt = dV −∆dS − rV dt+ r∆Sdt

=[∂V

∂t+ 1

2vS2∂

2V

∂S2 + κ[θ − v]∂V∂v

+ 12σ

2v∂2V

∂v2 + ρσvS∂2V

∂v∂S+ Sr

∂V

∂S− rV

]dt

+ σ√v∂V

∂vdZ2

= ∂V

∂v

(κ[θ − v]dt+ fdt+ σ

√vdZ2

)= ∂V

∂vσ√vdZ2

Avec :dZ2 = dZ2 + Λdt et Λ = κ[θ − v] + f

σ√v

(3.8)

où Z2 est un mouvement Brownien sous la probabilité risque neutre Q, Λ est le prixde marché du risque de volatilité et f la fonction obtenue en (2.5).

Maintenant, considérant un portefeuille vega-neutre Π2, c’est à dire un porte-feuille composé d’une action de prix V (t, St, vt, T ) et d’une quantité - Γt de V1(t, St, vt, T )avec

∂U

∂v− Γ∂V

∂v= 0

et en utilisant le même raisonnement que précédemment nous obtenons :

dΠ2 − rΠ2dt =(∂V

∂S− Γ∂V1

∂S

)S[(µ− r)dt+

√vdZ1

](3.9)

=(∂V

∂S− Γ∂V1

∂S

)S√vdZ1 (3.10)

Avec :

dZ1 = dZ1 + Vdt et V = µ− r√v

(3.11)

où Z1 est un mouvement Brownien sous la probabilité risque neutre Q et V estle prix de marché du risque de taux.

En utilisant (3.8) et (3.11) le modèle de Heston (3.1) à (3.3) peut s’écrire sousprobabilité risque neutre Q comme :

dSt = µStdt+√vtSt(dZ1,t − Vdt) = rStdt+

√vtStdZ1,t (3.12)

Où vt correspond à la variance du sous-jacent et suit le processus suivant :

dvt = κ[θ − vt]dt+ σ√vt(dZ1,t − Λdt)

= [κ[θ − vt]− Λσ√vt] dt+ σ

√vtdZ2,t

(3.13)

Le passage de la probabilité réelle à une MME est réalisé par le théorème deGirsanov et nous avons en résumé :

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dZ1 = dZ1 + VdtdZ2 = dZ2 + ΛdtdQdP

= exp−12

∫ t

0(V2u + Λ(S, v, u)2)du

−∫ t

0VudZ1,u −

∫ t

0Λ(S, v, u)dZ2,u

V = µ− r√v

(3.14)

où P représente la probabilité réelle.Ainsi, en posant :

κ = κ+ λ et θ = θκ

κ

et en utilisant les hypothèses faites en (3.5) à (3.7), la modélisation de l’actif par lemodèle de Heston sous probabilité risque neutre Q devient :

dSt = rStdt+√vtStdZ1,t (3.15)

dvt = κ[θ − vt]dt+ σ√vtdZ2,t (3.16)

dZ1,tdZ2,t = ρdt (3.17)

Ces équations gardent la même forme que celles sous la probabilité réelle P. Parla suite, pour une meilleure lisibilité, nous écrirons les paramètres des équations deHeston sans «˜»et nous travaillerons en probabilité risque neutre Q. Pour plus dedétails sur le changement de probabilité pour le modèle de Heston le lecteur pourrase référer à [20]

Le processus (vt)t≥0 est appelé processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) [8] et lesconditions de Yamada -Watanabe 1 permettent d’affirmer qu’il existe une unique so-lution positive. Ainsi, le processus (St)t≥0 possède aussi une unique solution fonctionde la variance. Sachant que les termes en racine ne sont définis que pour vt ≥ 0 ilest fondamental de comprendre le comportement du processus de la variance.

William Feller a réalisé une classification des différentes bornes pour un proces-sus CIR :

1. Si 2κθ ≥ σ2 et v0 > 0 le processus de la variance (vt)t≥0 reste strictementpositif avec probabilité 1 pour tout t ;

2. Si 0 < 2κθ < σ2 et v0 > 0 la variance touchera l’origine de manière récurrentemais n’y restera pas.

Dans le reste du mémoire, nous choisirons la condition 2κθ ≥ σ2 et v0 > 0permettant d’éviter tout problème de convergence. Le lecteur intéressé pourra seréférer à [1] sur les implications de cette condition.

1. Karatzas & Shreve (1991), Section 5.2.C, voir [15]

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3.4 Marché incomplet

En observant le modèle de Heston nous observons deux sources d’aléa liées auxdeux mouvements Browniens pour un seul actif risqué échangé sur les marchés fi-nanciers (la volatilité n’est pas échangée sur les marchés, c’est uniquement l’actifsous-jacent) cela implique la non complétude des marchés.

Ainsi, nous ne pouvons plus créer une stratégie de réplication uniquement à par-tir de l’actif sous-jacent et d’un actif sans risque, ce qui était le cas pour le modèle deBlack-Scholes. Pour pallier à ce problème et pouvoir déterminer le prix d’une optionil est nécessaire d’ajouter dans la stratégie une option d’achat européen par exemple.

Par ailleurs, on constate que les équations en (3.14) définissant la MME dé-pendent du paramètre Λ(S, v, t) et donc que la probabilité risque neutre n’est pasunique. Ceci entrainerait un prix différent pour une MME différente.

En posant Λ(S, v, t) = λ(S, v, t) ∗ v, où λ est une constante, cela redonne unedynamique risque-neutre ayant la forme du modèle de Heston, mais avec les para-mètres κ et θ au lieu des paramètres "physiques" κ et θ. Ensuite la calibration de cesnouveaux paramètres sur les données de marché permet d’induire le prix du risquede volatilité et ainsi de figer la probabilité risque neutre.

3.5 Solution de forme fermée

Nous allons dans cette partie présenter la solution à l’EDP obtenue pour le mo-dèle de Heston, c’est celle-ci qui nous servira à évaluer l’engagement de l’assureur ennous donnant le prix d’un put européen. C’est également la solution que nous implé-menterons sous VBA pour tarifer notre engagement. Rappelons l’équation obtenuepar l’approche EDP :

12vS

2∂2V

∂S2 + ρσvS∂2V

∂v∂S+ 1

2σ2v∂2V

∂v2 + rS∂V

∂S

+κ[θ − v]− Λ(S, v, t)σ

√v ∂V∂v− rV + ∂V

∂t= 0

(3.18)

Nous présentons le cas d’un call Européen, plus intuitif, puis nous en déduironsle cas d’un put européen par la parité call-put. Un call Européen de prix d’exerciceK de maturité T satisfaisant l’EDP (3.18) est soumis aux conditions suivantes :

Call(S, v, T, T ) = max(S −K, 0)Call(0, v, t, T ) = 0

∂Call

∂S(∞, v, t, T ) = 1

rS∂Call

∂S(S, 0, t, T ) + κθ

∂Call

∂v(S, 0, t, T )− rCall(S, 0, t, T ) + Call(S, 0, t, T ) = 0

Call(S,∞, t, T ) = S

(3.19)

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Par analogie avec la formule de Black-Scholes, nous cherchons une solution de laforme :

Call(S, v, t, T ) = StP1 −Ke−r(T−t)P2 (3.20)

où le premier terme représente la valeur actuelle du sous-jacent et le second terme,la valeur actuelle du paiement du strike. Chacun de ces termes vérifie l’EDP (3.18).Afin d’éviter toute valeur négative du processus (St) il est de rigueur d’exprimerce processus en termes de logarithme du sous-jacent xt = ln(St). En substituant lasolution proposée (3.20) dans l’EDP (3.18) P1 et P2 doivent satisfaire :

12v∂2Pj∂x2 + ρσv

∂2Pj∂v∂x

+ 12σ

2v∂2Pj∂v2 + (r + ujv)∂Pj

∂x

+(aj − bjv)∂Pj∂v

+ ∂Pj∂t

= 0(3.21)

pour j= 1,2, où :

u1 = 1/2, u2 = −1/2, a = κθ, b1 = κ− ρσ, b2 = κ (3.22)

Pour que le prix du call vérifie les conditions (3.19), l’équation (3.21) doit vérifierla condition finale :

Pj(x, v, T ; ln[K]) = 1x≥ln[K]. (3.23)

Ces probabilités peuvent être interprétées comme "ajustées" ou "risque-neutralisées"voir Cox and Ross (1976) [9]. Heston explique que si x suit les processus stochastiquessuivants :

dxt = [r + ujv]dt+√vtdZ1,t, (3.24)

dvt = (aj − bjv)dt+ σ√vtdZt,2 (3.25)

ce qui est notre cas, alors Pj correspond à la probabilité que le call expire dansla monnaie :

Pj = Pr[xT ≥ ln(K)|xt = x, vt = v]. (3.26)

Ces probabilités ne sont pas directement exprimables. Il est possible d’obtenirleurs fonctions caractéristiques cf. [13] respectivement f1(x, v, T ; z) et f2(x, v, T ; z)satisfaisant la même EDP (3.21) sujette à la condition finale :

fj(x, v, T ; z) = exp(izx)

Les fonctions caractéristiques de ces probabilités sont :

fj = exp(Cj +Djv + izx) (3.27)

où :

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Cj = rziτ + κθ

σ2

(bj − ρσzi+ dj)τ − 2ln

[1− gjedjτ

1− gj

],

Dj = bj − ρσzi+ djσ2

[1− edjt

1− gjedjτ

],

gj = bj − ρσzi+ djbj − ρσzi− dj

,

dj =√

(ρσzi− bj)2 − σ2(2ujzi− z2)

Dans ces équations τ = T−t correspond au temps jusqu’à maturité, i correspondà l’unité imaginaire telle que : i2 = −1.

On peut inverser les fonctions caractéristiques pour obtenir les probabilités dé-sirées :

Pj = 12 + 1

π

∫ ∞0

Re

[e−izln[K]fj

iz

]dz (3.28)

Ces intégrales convergent très rapidement et sont donc facilement approchablepar des techniques d’intégration numérique.

Les équations (3.20), (3.27) et (3.28) permettent d’obtenir le prix d’un call eu-ropéen.Ces équations ont étés transcrites sous VBA, le code est disponible au sein de l’An-nexe II.

Sachant que notre objectif est d’estimer le coût de la garantie plancher pour uncontrat en UC qui s’apparente au prix d’un put européen, il faut donc retrouver leprix d’un put par le modèle de Heston grâce à la parité call-put. Le prix d’un puteuropéen à la date t est obtenu par la parité Call-Put donné par :

Put(S, v, t, T ) = Call(S, v, t, T ) +Ke−r(T−t) − St (3.29)

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Chapitre 4

Application aux contrats UC

Jusqu’à présent nous avons vu les équations permettant de déduire le prix d’unput européen, qui correspond au prix de la garantie plancher d’un contrat en UC,mais n’avons pas encore analysé l’influence des paramètres sur le modèle. L’objectifde cette partie sera de calibrer notre modèle pour pouvoir estimer au plus justele coût de cette garantie et d’étudier l’impact de l’évolution des paramètres sur lemodèle.

4.1 Calibrage des paramètres

Pour le modèle de Heston (1993) les paramètres sont obtenus en minimisant l’er-reur entre les prix du modèle et les prix de marchés. Trois fonctions de pertes serontutilisées et présentées par la suite. Cette méthode de calibration réplique les prixobservés puisqu’en utilisant ces paramètres en entrée du modèle, les prix calculésseront au plus proche de ceux de marché. Rappelons que les prix des options sontobtenus sous probabilité risque neutre.

Dans le modèle de Black-Scholes nous avons vu que le paramètre σ peut êtreestimé juste en fonction de la distribution du rendement du sous-jacent. Pour unmodèle à volatilité stochastique comme celui de Heston il n’est pas possible d’ex-primer les paramètres simplement en fonction du sous-jacent. Comme expliqué parChernov and Ghysels (2000) [7], une des manières pour contourner le problème estd’utiliser les prix d’option plutôt que celui du sous-jacent pour l’estimation des pa-ramètres. L’approche par fonction de pertes dans l’estimation des paramètres seracelle présentée.

Supposons qu’il y ait N prix de Put européen présents sur le marché Pi(i =1, 2, ..., N) et que les prix obtenus par le modèle Pi(Θ) dépendent de l’ensemble desparamètres Θ.

4.1.1 $RMSE

La méthode $RMSE ou « root mean squared error loss fuction » donne la racinecarrée de la moyenne des carrés des termes d’erreur ei(Θ)

$RMSE(Θ) =

√√√√ 1N

N∑i=0

ei(Θ)2 (4.1)

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où ∀i = 1, ..., N , ei(Θ) = Pi − Pi(Θ) sont les erreurs d’estimations. Les $RMSEparamètres sont ceux qui minimisent la $RMSE.

Heston ainsi que Baskshi, Cao, and Chen (1997) dans [4] utilisent cette mé-thode pour calibrer leurs paramètres. La méthode $RMSE accorde plus de poidsaux options dans la monnaie car ces dernières sont plus chères. Ceci entraine quel’écart d’erreur entre le prix du marché et celui du modèle va être plus grand et parconséquent, les paramètres estimés vont induire de petites erreurs pour les prix desoptions dans la monnaie.

4.1.2 %RMSE

La méthode %RMSE ou « relative root mean squared error loss function » mi-nimise l’écart relatif (%) de la racine carrée de la moyenne des carrés des termesd’erreur ei(Θ)(i = 1, .., N) :

%RMSE(Θ) =

√√√√ 1N

N∑i=0

(ei(Θ)/Pi)2 (4.2)

Contrairement à la fonction de perte $RMSE, qui minimise la différence simpleentre les prix de marché et ceux modélisés, la fonction de perte %RMSE minimisela différence relative entre ces prix. La méthode %RMSE, assigne plus de poidsaux options fortement hors-jeu car ces options ont des prix relativement faibles. Ordans la formule, ces prix se retrouvent au dénominateur, donc le terme d’erreur estamplifié pour ce type d’options.

4.1.3 ivRMSE

Les fonctions de pertes $RMSE et %RMSE permettent de calibrer les paramètresen minimisant la distance entre les prix de marché et ceux modélisés. Alternative-ment, il est possible de sélectionner des paramètres qui minimisent la distance entreles volatilités implicites obtenues sur les prix des put présents sur le marché et cellesobtenues sur les prix calculés du modèle. Cette méthode s’appelle «implied volatilityroot mean squared error loss function » et nous avons :

ivRMSE(Θ) =

√√√√ 1N

N∑i=1

(σi − σi(Θ))2 (4.3)

Dans cette équation, σi correspond à la volatilité implicite de Black-Scholes ob-tenue par l’équation (1.16) page 78 sur les prix de marchés et σi(Θ) correspond à lavolatilité implicite de Black-Scholes obtenue sur les prix via le modèle de Heston.

La méthode ivRMSE accorde des poids à peu près équivalents à tous les typesd’options.

4.2 Influence des paramètres

Il est fondamental de bien comprendre la signification des paramètres du modèlede Heston puisque c’est ceux-ci qui nous permettront d’évaluer, au plus juste, lagarantie plancher.

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La variance initiale v0

La variance initiale permet d’ajuster la hauteur de la volatilité implicite plutôtque la forme de la courbe. Augmenter v0 monte le « smile » de volatilité implicite, voirfigure suivante. Ce comportement est plutôt intuitif et ne sera pas plus commentévoir figure (4.1).

Figure 4.1: Evolution de la volatilité implicite fonction de v0, θ = 0.01, κ = 0.5σ = 0.225, ρ = 0 S0 = 180 r = 0.05, τ = 2ans

La variance à long terme θ

L’influence de θ est identique à celle de v0, ce paramètre entraine un décalage dela volatilité implicite comme montré sur le graphique (4.2)

Figure 4.2: Evolution de la volatilité implicite fonction de θ, v0 = 0.3, κ = 0.5σ = 0.225, ρ = 0 S0 = 180 r = 0.05, τ = 2ans

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Taux de retour à la moyenne κ

Le taux de retour à la moyenne peut être interprété comme représentant le tauxde volatilité du « clustering ». En effet la volatilité du « clustering » est un phénomèneobservé sur les marchés financiers, cela signifie que de grands mouvements sont suivisde grands mouvements et les petits mouvements de petits mouvements. κ contrôleainsi la courbure de la volatilité implicite. Augmenter le paramètre κ aplatit le smilede volatilité voir figure 4.3.

Figure 4.3: Evolution de la volatilité implicite fonction de θ, v0 = 0.3, κ = 0.5σ = 0.225, ρ = 0 S0 = 130 r = 0.05, τ = 3ans

Corrélation ρ

Plusieurs études empiriques ont montré que la distribution du log rendementn’est pas gaussienne mais qu’elle est caractérisée par une lourde queue de distribu-tion.

Il y a aussi des preuves empiriques et des arguments économiques qui affirmentque le rendement d’une action et la volatilité sont négativement corrélés (aussi ap-pelé « the leverage effect »). Le modèle de Heston permet justement de jouer surcette distribution.La corrélation entre les mouvements browniens standards ρ, qui peut être inter-prété comme la corrélation entre le log-rendement et la volatilité de l’actif, affectel’épaisseur de la queue de distribution.

Intuitivement, si ρ > 0, la volatilité augmentera à mesure que le prix de l’actifaugmente. Cela va entrainer l’épaississement de la queue de distribution à droiteet un rétrécissement de celle de gauche. A l’inverse, si ρ < 0, alors la volatilitéva augmenter quand le prix de l’actif va diminuer, ceci va étendre la queue dedistribution gauche renforçant le fait que le rendement de l’actif et sa volatilité sontnégativement corrélés. Ainsi ρ impacte le skewness de la distribution comme on peutle voir sur la figure (4.4).

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Figure 4.4: Effet de ρ sur le « skewness » de la fonction de densité mettre source :[18]

Le fait de changer le « skewness » par le biais de ρ a aussi un impact sur laforme de la surface de volatilité implicite. Les figures (4.6),(4.5) et (4.7) montrentcet impact.

Figure 4.5: Surface de volatilité implicite, ρ = 0, κ = 2, θ = 0.04, σ = 0.1,V0 = 0.04, r = 1%, S0 = 1 , Strike K : 0.8-1.2, maturité : 0.5-3 ans source : [18]

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Figure 4.6: Surface de volatilité implicite, ρ = 0.5, κ = 2, θ = 0.04, σ = 0.1,V0 = 0.04, r = 1%,S0 = 1 , Strike K : 0.8-1.2, maturité : 0.5-3 ans source : [18]

Figure 4.7: Surface de volatilité implicite, ρ = −0.5, κ = 2, θ = 0.04, σ = 0.1,V0 = 0.04, r = 1%, S0 = 1 , Strike K : 0.8-1.2, maturité : 0.5-3 ans source : [18]

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La volatilité de la variance σ

σ joue sur le Kurtosis de la distribution. Quand σ vaut 0 la volatilité devientdéterministe et alors le log retour serait normalement distribué. Augmenter σ vaaugmenter le kurtosis et créer des queues épaisses des deux côtés voir figure.(4.8).Par ailleurs, σ impacte le « smile » de volatilité, plus σ est important plus le smilesera proéminent. Plus σ est important plus la variance est volatile et donc augmentela possibilité de mouvements extrêmes.

Figure 4.8: L’effet de σ sur le « kurtosis » de la fonction de densité mettre source :[18]

Figure 4.9: Evolution de la volatilité implicite fonction de σ avec, v0 = 0.42, κ =0.01, S0 = 130 r = 0.05, τ = 3ans, θ = 0.01 pour ρ=0 :

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Figure 4.10: Evolution de la volatilité implicite fonction de σ avec, v0 = 0.42,κ = 0.01, S0 = 130 r = 0.05, τ = 3ans, θ = 0.01 pour ρ=0.5 :

Figure 4.11: Evolution de la volatilité implicite fonction de σ avec, v0 = 0.42,κ = 0.01, S0 = 130 r = 0.05, τ = 3ans, θ = 0.01 pour ρ=-0.5 :

Après avoir analysé les sensibilités des paramètres du modèle de Heston, nouspouvons maintenant évaluer l’engagement de l’assurance dans les contrats en UCavec garantie plancher.

4.3 Évaluation de l’engagement de l’assureur et calculde la prime pure unique

Évaluation de l’engagement de l’assureur

Rappelons que le flux à payer au moment du décès d’un assuré correspond au fluxd’une option de vente européenne de prix d’exercice égal au montant de la garantieplancher K et de maturité égale à la durée de vie restante de l’assuré noté T. Parailleurs pour être au plus proche du marché sur l’évaluation du prix des put et donc

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de l’engagement de l’assureur, nous supposerons que l’on a un taux stochastique rtdépendant du temps, mais que, sous la dynamique risque neutre, son évolution estindépendante de celle de St et de vt.

Nous avons donc en utilisant la formule (3.29) un engagement de l’assureur pour0 ≤ t < T :

V (t, T ) = EQ(e−rt(T−t)max(K − ST , 0)/Ft

)= Put(S, v, t, T )

(4.4)

A tout instant 0 ≤ t < T nous avons évalué l’engagement de l’assureur enversl’assuré conditionnellement au décès de celui-ci en date T. Nous supposons par lasuite que le portefeuille sera suffisamment important pour que la mortalité observéesur le portefeuille soit celle prédite par la table de mortalité. Ainsi nous pouvonsdéterminer la date T et calculer la prime engendrée par un tel engagement.

Calcul de la prime pure unique

Nous venons de calculer l’espérance du montant du paiement à effectuer en casde décès de l’assuré. En utilisant les techniques classiques d’actuariats, il est doncaisé de calculé la prime pure unique.

En effet, La PPU unique peut être obtenue en pondérant les flux futurs par ladensité de mortalité, dans le modèle discret avec un pas de discrétisation annuelnous avons :

PPU =ω−x∑k=1

Put(S, v, 0, k)kpxqx+k (4.5)

Avec :x = Age de l’assuré au début du contratω = Age de l’assuré en fin de garantie plancher (Souvent à la retraite)Put(S,v,t,k)= Prix d’un Put obtenu par formule fermée vue en (3.29) page 90

4.4 Simulation stochastique

Jusqu’à présent nous avons évalué l’engagement de l’assureur par des formulesthéoriques fermées nous permettant d’obtenir l’espérance de cet engagement. Demanière pratique il est possible d’obtenir une estimation de cet engagement parsimulation stochastique.

4.4.1 Interêts

L’intérêt principal de la simulation stochastique est de vérifier les résultats ob-tenus par formule fermée. En effet ces formules étant complexes il est fondamentalde s’assurer de la fiabilité des résultats obtenus. Par ailleurs il est aussi possibled’obtenir une distribution des flux à payer en date t=0 vu depuis t=0. Pour celail est nécessaire d’obtenir des réalisations des valeurs prises par l’actif financier aucours du temps. Avec ces réalisations nous pourrons calculer la PPU observée et enutilisant le principe de Monte-Carlo nous obtiendrons une distribution de la variablealéatoire dont la PPU est issue que nous noterons PPUva. Il est important de noterque cette distribution sera fournie sous probabilité risque neutre et ne correspond

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qu’au cas où λ=0 sous probabilité réelle.

Nous simulerons donc le processus du logarithme du prix de l’actif xt = lnStainsi que celui de la volatilité vt de l’actif, et ferons l’hypothèse que la mortalité suitles tables de mortalités.

4.4.2 Méthode de simulation

Il existe de nombreuses méthodes pour simuler la dynamique d’une équationdifférentielle stochastique. Nous n’utiliserons ici que la méthode la plus élémentaire :la méthode d’Euler aléatoire. Le principe est le suivant : simuler les équations deHeston suivantes sous probabilité risque neutre.

dln(St) =[rt −

12vt]dt+

√vtdZ1,t (4.6)

dvt = κ[θ − vt]dt+ σ√vtdZ2,t (4.7)

Un premier problème apparaît, celui de la possibilité d’avoir des valeurs néga-tives pour la variance lorsque la discrétisation d’Euler est directement appliquée àce processus. Ceci poserait un problème lors de la simulation à cause du √vt.

Dans la littérature on trouve plusieurs solutions à ce problème, on peut notam-ment regarder si v<0 et dans ce cas mettre la variance à 0 ou alors son signe peutêtre changé tel que v devienne -v. Alternativement il est aussi possible de modifierle processus de la variance de la même manière que celui de l’actif en définissantle processus du logarithme de la variance. Dans Lord, R., R. Koekkoek and D. vanDijk (2006), [16], la méthode dite de « full truncation »prenant le max entre 0 et vtapparait comme étant celle produisant le plus petit biais de discrétisation c’est donccelle-ci que nous choisirons.

Ainsi en posant S et v pour l’approximation discrète de S et v, la discrétisationd’Euler de l’équation (4.7) avec la notation x+= max(x,0) prendra la forme :

lnSt+∆t = lnSt +[rt −

12 v

+t

]∆t+

√v+t

√∆tεS,t+1 (4.8)

vt+∆t = vt + κ[θ − v+t ]∆t+ σ

√v+t

√∆tεv,t+1 (4.9)

avec εv,t+1 et εS,t+1 des variables aléatoires normales centrées réduites de corré-lation ρ= Corr(εv,t+1, εS,t+1). La relation entre ces variables peut s’écrire :

εv,t+1 = ρεS,t+1 +√

1− ρ2εt+1

où εt+1 suivent une loi normales centrées réduites indépendantes et identique-ment distribuées et qui n’ont aucune corrélation avec εS,t+1.

Il s’agit maintenant d’évaluer le montant à verser en cas de décès en date t soitpour la simulation i et l’individu j :

M(i,j)t = (K − S(i)

t ).1S(i)t <K∩T (j)

x =t(t) (4.10)

qui correspond à la différence entre la garantie plancher (K) et le cours du sous-jacent pour la simulation i au moment t noté S(i)

t et dans le cas où l’assuré j décède

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au moment t et que le cours du sous-jacent soit inférieur au montant de la garantieplancher pour la simulation i.

Pour obtenir une réalisation de la variable aléatoire dont la PPU est l’espéranceil suffit d’évaluer la somme (sur N individus et M simulations) actualisée sur tout tde la réalisation de M (i,j)

t c’est à dire :

ppu = 1MN

T∑k=1

M∑i=1

N∑j=1

e−rkkM(i,j)k (4.11)

Nous sommes maintenant en mesure de comparer la formule théorique et celleutilisée pour la simulation :

1MN

T∑k=1

M∑i=1

N∑j=1

e−rkkM(i,j)k = 1

N

T∑k=1

M∑i=1

N∑j=1

e−rkk(K − S(i)t ).1S(i)

t <K∩T (j)x =t(k)

=T∑k=1

1M

M∑i=1

e−rkk(K − S(i)t ).1S(i)

t <K1N

N∑j=1

1T (j)x =k(k)

or

1N

N∑j=1

1T (j)x =k(k) −−−−−−−→

N→+∞E[1Tx=k(k)

]= kpxqx+k

1M

M∑i=1

e−rkk(K − S(i)t ).1S(i)

t <K −−−−−−−→M→+∞e−rkkEQ [max(K − Sk, 0)] = V (0, k)

où V (0, k) est l’estimation de l’espérance de la variable aléatoire décrite dansl’équation (4.4) page 99 pour t=0 et T=k.

Ainsi nous avons :

1MN

T∑k=1

M∑i=1

N∑j=1

e−rkM(i,j)k −−−−−−−→

N,M→+∞

T∑k=1

V (0, k)kpxqx+k = ppu

Ce qui montre bien que notre procédure de simulation approche la PPU.

4.4.3 VaR et TVaR

Sur un produit comme la garantie plancher il faut être conscient de la volatilité durisque inhérent. Il existe pour cela des mesures de risque qui permettent d’exprimerle risque par un nombre réel. La prime par exemple est une mesure de risque puisquenous utilisons la distribution des pertes futures probables et la transposons en uneprime appropriée.

Nous décrirons deux mesures de risques supplémentaires à savoir la « Value AtRisk »(VaR) et la « Conditional Tail Expectation »(TVaR) afin d’avoir une meilleurevision de la distribution de la PPUva.

La VaR d’ordre α Vα correspondra dans notre mémoire à :

Vα(PPUva) = infV : P [PPUva ≤ V ] ≥ α (4.12)

on peut voir Vα comme la prime nécessaire en 0 pour couvrir un sinistre qui aune probabilité α de se réaliser.

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Cependant cette mesure possède d’énormes faiblesses comme notamment le faitqu’il existe des cas où le montant nécessaire pour couvrir au seuil α les cas estinférieur à la perte moyenne :

Vα(PPUva) ≤ E[PPUva]

Pour plus de détails sur les faiblesses de cette mesure de risque voir Artzner(1998)[2].

Ainsi une mesure permettant de palier aux défauts de la VaR est la « ConditionalTail Expectation » de seuil α ou CTEα :

CTEα(PPUva) = E[PPUva/PPUva > Vα(PPUva)] (4.13)

CTEα représente la prime moyenne espérée sachant que cette prime appartientau quantile supérieur (1-α) de la distribution de la prime.

Nous constatons que lorsque α = 0, CTEα = E[PPUva] et quel que soit α>0CTEα est supérieur à la prime moyenne, palliant ainsi à l’inconvénient majeur dela VaR.

4.5 Résultats

Dans cette partie nous utiliserons la théorie vue précédemment et l’appliqueronspour en obtenir les résultats pratiques.

Nous verrons notamment le calcul de la prime pure unique par le modèle deHeston avec les différentes méthodes de calibration mais aussi celui par le modèlede Black-Scholes.

Nous analyserons par ailleurs la distribution de la prime obtenue par simulationpour le modèle de Heston suivant les différentes méthodes de calibration et enfinnous analyserons la méthode de calibration qui permet d’être suffisamment prédictifen comparant nos résultats à ceux de marché.

Avant de pouvoir évaluer l’engagement de l’assureur et de déterminer la primepure unique pour le contrat en unité de compte avec garantie plancher, il est néces-saire d’estimer les paramètres de notre modèle.

4.5.1 Données

Nous utiliserons des données de marché correspondant aux options sur l’indiceS&P500. Les données choisies seront présentées dans le tableau 4.1. Par ailleurs,nous avons choisi des données dont le strike est proche du prix du sous-jacent endate 0 : S0. En effet, notre contrat garantit le montant investi en date initiale soitun multiple de S0, il est donc fondamental d’être correctement calibré en ce point.

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Maturité Strike K Prix de marché1.9167 1925 140.70.9167 1950 82.10.4167 2000 48.40.4167 2025 551.9167 2025 176.40.4167 2050 59.10.9167 2050 114.40.0833 2065 18.50.0833 2070 20.10.9167 2075 1211.9167 2075 196.90.0833 2080 23.70.0833 2085 24.80.0833 2100 320.4167 2100 81.40.9167 2100 131.41.9167 2100 207.80.0833 2120 44.90.4167 2125 89.11.9167 2125 219.30.4167 2175 117.40.9167 2175 168.11.9167 2175 243.60.9167 2200 185.2

Table 4.1: Données de marché choisies pour la calibration du modèle de Hestonpour un sous-jacent de prix S0 = 2078

Nous choisirons la courbe des taux sans risque correspondant à celle des tauxSWAP de mi- année 2015 :

Figure 4.12: Courbes des taux Swap fonction de la maturité en mois

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4.5.2 Résultats de la calibration

Pour la calibration nous utiliserons les données précédentes et nous minimiseronsles différentes « Loss function » $RMSE, %RMSE et ivRMSE.

La méthode de calibration a été mise en place sous VBA en utilisant la formulefermée permettant de calculer le prix des put européen vu en (3.29), page 90. Parailleurs, pour trouver les paramètres de Heston permettant de minimiser ces diffé-rentes "Loss function" nous utiliserons l’algorithme de Nelder-Mead, un algorithmetrès connu et avec une convergence très rapide. Il est notamment utilisé par desprogrammes de modélisation mathématique comme MatlabTM , une description del’algorithme sera faite en Annexe I.

Nous choisirons les paramètres de départ utilisés dans la source suivante [17] quisont des paramètres respectant la condition de William Feller ainsi que les conditionsfondamentales v0 > 0, κ ≥ 0 , θ ≥ 0, et −1 ≤ ρ ≤ 1 et qui permettent uneconvergence rapide voir tableau (4.2) :

Paramètres Valeurs initialesρ -0.2051κ 1.3784θ 0.2319σ 1.0359v0 0.0231

Table 4.2: Paramètres initiaux de calibration

Après un maximum de 5000 itérations nous obtenons pour les différentes mé-thodes les résultats suivants présentés dans le tableau 4.3.

Paramètres $RMSE %RMSE ivRMSELoss function 5.1236 0.0714 0.0127

ρ -0.1859 -0.2383 -0.2090κ 3.6681 1.7280 0.2761θ 0.0369 0.0508 0.3364σ 0.5221 0.6272 1.2867v0 0.0062 0.0090 0.0105

Table 4.3: Résultats de la calibration

Avec les paramètres de calibration présentés dans le tableau 4.3 nous sommes trèsproches des données comme nous pouvons le constater notamment par les petitesvaleurs des Loss functions mais aussi avec les figures 4.13, 4.15 et 4.16 qui comparentles prix calculés à partir des données et ceux de marchés. Pour la méthode ivRMSEnous verrons aussi la comparaison entre les volatilités implicites calculées et cellesde marchés puisque c’est cette volatilité qui est minimisée par la méthode ivRMSEvoir figure 4.14.

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Figure 4.13: Comparaison des prix de marché utilisés pour la calibration à ceuxcalculés par le modèle pour différentes maturités par la méthode ivRMSE

Figure 4.14: Comparaison des volatilités implicites calculées sur les prix de marchéutilisées pour la calibration à celles calculées par les prix calculés par le modèle pourdifférentes maturités par la méthode ivRMSE

Figure 4.15: Comparaison des prix de marché utilisés pour la calibration à ceuxgénérés par le modèle pour différentes maturités par la méthode $RMSE

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Figure 4.16: Comparaison des prix de marché utilisés pour la calibration à ceuxgénérés par le modèle pour différentes maturités par la méthode %RMSE

Nous devons par ailleurs vérifier que notre modèle est suffisamment prédictif. Eneffet nos contrats ont des durées pouvant aller jusqu’à 30 ans il est donc fondamentalque notre modèle puisse répliquer correctement le prix d’options à long terme. C’estpourquoi lors de notre calibration nous n’avons pas utilisé toutes les options présentessur le marché mais seulement celles avec une maturité inférieure à deux ans. Pourvérifier que notre modèle est prédictif nous allons maintenant comparer les prixde put calculés par le modèle aux prix de marché pour les plus grandes maturitésdisponibles à savoir 29 mois.

Le tableau 4.4 compare les prix des Put de marchés de maturité 29 mois à ceuxobtenus par les modèles alors que le tableau 4.5 compare la volatilité implicites deces Put avec ceux de notre modèle :

Srike K Prix demarché

Prix$RMSE Variation Prix

%RMSE Variation

1825 133.1 125.83 -5.5% 116.14 -12.7 %1875 151.5 146.25 -3.5% 132.43 -12.6 %1925 169.2 162.01 -4.2% 150.54 -11.0 %2150 266.3 269.17 1.1% 264.87 -0.54 %2275 333.7 344.21 3.1% 334.26 0.17 %2300 348 363.70 4.5% 355.72 2.22%

Table 4.4: Comparaison des prix de maturité 29 mois à ceux obtenus par le modèle

Une comparaison graphique des prix de marchés de maturité 29 mois à ceux dumodèle sera présentée aux figures 4.17, 4.18 et 4.19.

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Srike KVolatilité

implicite demarché

Volatilitéimplicitecalculée

Variation

1825 0.201 0.254 26.4%1875 0.199 0.249 25.2%1925 0.195 0.246 26.1%2150 0.179 0.242 35.5%2275 0.169 0.225 32.8%2300 0.167 0.232 38.8%

Table 4.5: Comparaison des volatilités implicites de marché de maturité 29 mois àcelles obtenues par le modèle avec calibration ivRMSE

Figure 4.17: Comparaison des prix de marché à ceux calculés par le modèle pourune maturité de 29 mois par la calibration $RMSE

Figure 4.18: Comparaison des prix de marché à ceux calculés par le modèle pourune maturité de 29 mois par la calibration %RMSE

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Figure 4.19: Comparaison des prix de marché à ceux calculés par le modèle pourune maturité de 29 mois par la calibration ivRMSE

On constate que les méthodes $RMSE et %RMSE sont assez prédictives puisquetrès proche de la réalité alors que la méthode ivRMSE s’éloigne de presque 30%de la réalité. Nous pouvons donc supposer que tarifer notre garantie en utilisant laméthode ivRMSE aboutira à une prime pure unique plus élevée.

Par ailleurs, on constate que les éloignements par rapport aux valeurs de marchéspour les méthodes $RMSE et %RMSE étaient prévisibles de par la définition mêmede leur Loss functions.

En effet pour les prix d’options dans la monnaie la méthode $RMSE entraine depetites erreurs alors que pour la méthode %RMSE ce sont les options en dehors dela monnaie qui entrainent de petites erreurs comme expliqué dans leur présentation.Nous pouvons par ailleurs comparer les valeurs des Loss functions pour les donnéesde maturité 29 mois.

Loss function $RMSE %RMSE ivRMSESur données decalibration 5.1236 0.0714 0.0127

Sur données à29 mois 9.1045 0.0864 0.05661

Table 4.6: Comparaison des Loss functions sur les données de calibration et surcelles à 29 mois

La différence des loss function pour la méthode $RMSE est principalement dûeaux prix bien plus élevés pour les options de maturité 29 mois, et ne remet donc pasen cause la bonne calibration avec la méthode $RMSE.

Avec les résultats que nous avons observés nous pouvons affirmer que la méthodede calibration ivRMSE ne permet pas d’obtenir une bonne prédiction car elle four-nit des prix trop supérieurs à ceux de marché. En revanche les méthodes $RMSE et%RMSE permettent d’obtenir de bons résultats de prédiction.

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Maintenant que notre modèle est correctement calibré nous pouvons donc calcu-ler la prime pure unique de notre contrat.

4.5.3 Calcul de la prime pure unique

Le calcul de la prime pure unique se fera avec les différents paramètres de ca-libration sous VBA par la formule fermée, utilisant la formule (4.5) page 99. Nouschoisirons un assuré d’age 35 ans avec une couverture sur 20 ans, en supposant quele portefeuille soit suffisamment grand pour suivre l’évolution fournie par la tablede mortalité. Nous obtenons les PPU suivantes :

$RMSE %RMSE ivRMSEPPU 18.68 16.49 29.81

Table 4.7: Prime pure unique selon les différentes méthodes de calibration

Comme nous pouvions déjà imaginer la prime obtenue pour la calibration avec laméthode ivRMSE est bien supérieure à celle obtenue avec les deux autres méthodes.

Pour obtenir la prime prime pure unique calculée à partir du modèle de Black-Scholes, nous utiliserons exactement les mêmes hypothèses. Sur la figure 4.20 nouspouvons voir l’évolution de la volatilité historique du S&P500 de 1995 à 2015. Noussupposerons que la moyenne de ces volatilités au cours de cette période soit proche decelle des 20 prochaines années. Ainsi nous choisirons d’évaluer notre engagement avecune volatilité σenga = 20.85% qui correspond à la moyenne des volatilités observées.

Figure 4.20: Volatilité historique du S&P500

Nous obtenons en utilisant la formule (1.15) page 77 :

PPUBS = 16.50

On constate que cette prime est presque égale à celle obtenue par la méthode%RMSE. Avec la méthode $RMSE, qui semble fournir les résultats les plus proches

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de la réalité, il y a tout de même un écart de 13%. Nous pourrions obtenir debien plus grands écarts en utilisant une des forces du modèle de Heston à savoir sacapacité à reproduire le smile de volatilité. En effet en fixant K à une seule valeurnous ne voyons pas l’impact du smile de volatilité, mais si l’assuré cherche à savoirle prix pour différentes valeurs de K, les différences avec le modèle de Black-Scholespourraient devenir bien importantes.

Tout de même, le fait de ne plus se baser sur une hypothèse de rendementlog-normale entraine une augmentation de la prime comme nous pouvions nous yattendre.

4.5.4 Vérification par simulation stochastique

Nous savons que la PPU est une prime moyenne, c’est à dire qu’en moyenne, ellecouvre l’espérance des pertes futures actualisée selon les paramètres du modèles (ρ,σ, κ ...) Nous sommes maintenant en mesure de déterminer cette prime. Cependant,nous devons vérifier nos calculs afin de les valider. Ainsi nous utiliserons la simulationstochastique pour vérifier nos résultats. Par ailleurs, nous n’avons aucune idée de ladistribution des pertes moyennes et il serait intéressant de pouvoir en connaitre lavolatilité. Pour cela nous nous intéresserons à la quantité suivante :

ct(i) = 1

N

T∑k=1

N∑j=1

e−rk(K − S(i)k ).1S(i)

k<K∩T (j)

x =k(k) (4.14)

On remarque qu’en faisant la moyenne des ct(i) sur le nombre i de simulationsnous obtenons la ppu qui est un estimateur de la PPU. Nous choisirons i=10 000puisque pour ce nombre de simulations le prix d’un put simulé sera suffisammentproche de sa vraie valeur voir figure (4.21) :

Figure 4.21: Prix d’un put européen en fonction du nombre de simulations, pourun prix réel de 176.4 par la méthode $RMSE

Le tableau 4.8 présente les statistiques obtenues en choisissant N=100 000 indi-vidus, avec pour maturité du contrat T=20 ans et un âge de l’assuré x=35 ans pouri=10 000.

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Statistiques $RMSE %RMSE ivRMSEMoyenne 19.087 16.193 30.102Erreur type 0.183 0.161 0.240Médiane 13.842 10.832 29.083Ecart type 18.347 16.159 24.019Variance 336.608 261.128 576.917Minimum 0 0 0Maximum 69.776 65.380 73.129VaR 99,5% 63.742 57.512 71.607TVaR 99,5% 65.643 60.196 72.115Confiance (99,5%) 0.515 0.454 0.674

Table 4.8: Statistiques de la distribution du coût moyen actualisé

On observe comme nous nous y attendions que les valeurs des primes pures ob-tenues par les formules fermées présentées dans le tableau ?? se trouvent dans l’inter-valle de confiance donné par le théorème central limite [Moyenne−Confiance;Moyenne+Cconfiance] avec :

Confiance = Erreur Type× z99.75% (4.15)

Erreur Type = Ecart Type√i

(4.16)

Cela confirme déjà que l’implémentation de la formule fermée été correctementréalisée.

Par ailleurs nous pouvons aussi constater que pour les 3 méthodes la TVaR estrelativement proche ainsi en choisissant de tarifer avec la méthode $RMSE nouspourrions tout de même affirmer que la TVaR ne se situe pas loin de 65.6 obtenu.

Voici la distribution des coûts moyens en t=0 :

Figure 4.22: Distribution du coût moyen selon les différentes méthodes de calibra-tion

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4.6 Avantages et inconvénients du modèle de HestonLe modèle de Heston qui est aujourd’hui reconnu par les professionnels et en-

seignants comme étant un modèle de qualité, possède tout de même quelques défauts.

L’un des avantages fondamental du modèle de Heston est sa formule semi-ferméepour les put européens qui permet notamment une calibration rapide et donc le calculdes primes de la manière la plus optimale.

Contrairement au modèle de Black-Scholes celui de Heston permet d’avoir unedistribution des rendements non-lognormale (Fort skew et queue de distributionépaisse)

Le modèle tient par ailleurs compte de l’effet de levier c’est à dire de la corréla-tion négative entre les rendements de l’actif et la volatilité implicite.

Un des points faibles du modèle de Heston porte sur la calibration en probabilitérisque neutre. En effet pour cette calibration nous avons eu recours aux put présentssur le marché qui n’ont que très peu de maturités différentes. Par ailleurs il n’estpas possible de trouver de put de maturité supérieure à 3 ans alors que nos contratscourent sur des durées supérieures. Enfin, les prix produits par le modèle de Hestonsont très sensibles aux paramètres choisis lors de la calibration. Il est donc fonda-mental de bien calibrer le modèle.

Il est tout de même possible d’avoir de bons résultats et de coller à la réalitéen utilisant les données disponibles et éviter le sur-ajustement aux données commeprésenté dans la littérature et mentionné précédemment.

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Chapitre 5

Conclusion de la partie III

Au sein de cette partie nous avons réalisé un descriptif des produits en unités decompte avec garantie plancher et proposé une première approche de tarification àtravers le modèle de Black-Scholes. Celui-ci présentant des insuffisances soulignéesnotamment par de nombreux auteurs et exposées ci-dessus, nous proposons commealternative le modèle de Heston avec volatilité stochastique.

Il était nécessaire au préalable de calibrer les paramètres sur les données demarché et de vérifier que notre modèle était capable de prédire correctement les prixde marché.

Pour se faire nous avons comparé les résultats obtenus par le modèle de Hestonsur des prix non utilisés lors de la calibration. Nous avons constaté que parmi lestrois méthodes de calibration, deux d’entre elles ont permis d’obtenir des résultatssatisfaisants.

Par la suite nous avons pu obtenir les primes modélisées grâce à une formulefermée implémentée sous VBA, et comparer les résultats à ceux obtenus par simula-tion. Les résultats obtenus nous ont permis de valider l’implémentation de la formulefermée.

Enfin nous avons comparé les primes pures uniques obtenues suivant les dif-férentes méthodes de calibration à celles obtenues par la modélisation de Black-Scholes. Les insuffisances de ce dernier modèle conduisent à sous-évaluer la primepure unique puisque celle-ci est inférieure à celle obtenue par le modèle de Heston.

L’un des avantages fondamental du modèle de Heston réside dans sa formulefermée permettant le calcul de notre engagement qui permet notamment une cali-bration rapide et donc le calcul des primes de la manière la plus optimale.

Contrairement au modèle de Black-Scholes celui de Heston permet d’avoir unedistribution des rendements non-lognormale et d’être plus accord avec l’évolutionréelle des marchés et ainsi de mieux caper les risque inhérent à des produits de typeunité de compte.

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Conclusion

L’objectif principal de notre étude a été de fournir des outils permettant de jugerde la profitabilité d’une assurance vie en phase de développement et de proposer unmodèle de tarification pour les produits épargne avec garantie plancher.

Afin de poursuivre ce but il était nécessaire dans un premier temps de définir lecadre de l’étude et de présenter notamment les normes de solvabilité au sein des-quelles nos calculs s’inscrivent.

Par la suite, nous avons détaillé les étapes de la construction d’un modèle deprofitabilité pour les produits actuellement détenus comme les produits invaliditéet temporaire décès. Ce modèle constitue un outil fondamental pour les dirigeantsafin de les aider à orienter leurs choix stratégiques. Cela nous a permis d’analyser laprofitabilité de ces produits selon la répartition actuelle des portefeuilles et d’opérerdes calculs de sensibilité sur le taux technique.

Nous avons constaté que les produits invalidité et temporaire décès permettent,en situaton de run-off, de générer un IRR brut de respectivement 7.97% et 6.14%.Ces derniers dépendent du taux technique auquel sont évaluées les primes et lesprovisions. Une modification de son montant, comme prévu par l’autorité de contrôleluxembourgeoise en 2015, impacte donc considérablement l’IRR. Afin de proposerdes solutions permettant de compenser la baisse de profitabilité engendrée par unediminution du taux technique, nous avons analysé deux possibilités.La première consistait en l’analyse de l’augmentation des primes nécessaires pourmaintenir le même niveau d’IRR, la deuxième étant une nouvelle tarification desproduits. Nous avons constaté que la deuxième solution entraîne une augmentationdes primes inférieure à la première, et représente donc un meilleur compromis entrel’assurance et les assurés.

Nous avons ensuite intégré des hypothèses concernant les volumes de primes fu-tures et considéré plusieurs scénarios suite à l’incorporation d’un nouveau partenairede vente en analysant l’impact de celui-ci sur les différents indicateurs de profita-bilité. En conclusion, l’incorporation d’un nouveau partenaire permet d’augmenterla profitabilité à plus ou moins long terme selon le scénario envisagé et même dedégager des dividendes.

Enfin, nous avons présenté les produits en unités de compte avec garantie plan-cher et étudié leur tarification à travers le modèle Black-Scholes. Ce modèle présentecependant des insuffisances qui empêchent de capturer au mieux le risque inhérentà de tels produits, c’est pourquoi notre étude s’est poursuivie avec le développementdu modèle de Heston.

En effet, ce modèle ne suppose pas des rendements log-normaux et s’accompagne

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d’une volatilité stochastique, ce qui permet de mieux répliquer les prix de marché.Par ailleurs, l’avantage du modèle de Heston est la présence d’une formule ferméepermettant de calculer le prix d’options ce qui constitue un modèle tarificationidéal. Cette dernière a tout de même dû être validée par le biais de simulationsstochastiques qui se sont avérées concluantes.

Après validation de la tarification des contrats en unités de compte avec garantieplancher, il sera nécessaire de déterminer les flux relatifs aux contrats afin de lesincorporer dans le modèle de profitabilité.

Il pourrait également être intéressant d’appliquer le modèle de Heston à diffé-rentes garanties proposant des strikes différents, ce qui mettrait en relief l’avantagedu modèle de Heston consistant à modéliser le smile de volatilité.

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Table des figures

1.1 Illustration du bilan financier au sein de Solvabilité I . . . . . . . . . 141.2 Illustration du bilan financier au sein de Solvabilité II . . . . . . . . 151.3 Calcul du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Illustration du bilan financier au sein du SST . . . . . . . . . . . . . 18

4.1 Etapes à la construction d’un modèle de profitabilité . . . . . . . . . 26

1.1 Courbe des taux spot en vigueur en fonction du temps en années . . 281.2 Nombre d’actifs fonction du temps selon les différentes classes de travail 361.3 Provision pour actifs fonction du temps selon les différentes classes de

travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.4 Évolution des sinistres en fonction du temps selon les différentes

classes de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5 Évolution des provisions pour invalides en fonction du temps selon les

différentes classes de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6 Évolution du capital requis Solvabilité I en fonction du temps selon

les différentes classes de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.7 Évolution du résultat + ∆ EMS en fonction du temps pour la classe I 391.8 Évolution du résultat en fonction du temps selon les différentes classes

de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9 Evolution de l’IRR en fonction de l’augmentation de la prime pour

produit invalidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.10 Provision en fonction du temps pour des assurés d’âge 35 ans et de

terme 30 ans en fonction du sexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.11 Évolution des sinistres en fonction du temps pour des assurés d’âge

35 ans et de terme 30 ans en fonction du sexe . . . . . . . . . . . . . 481.12 Évolution du capital requis Solvabilité I en fonction du temps selon

les différentes classes de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.13 Évolution des profits en fonction du temps pour des assurés d’âge 35

ans et de terme 30 ans en fonction du sexe . . . . . . . . . . . . . . . 491.14 Evolution de l’IRR en fonction de l’augmentation de la prime pour

produit invalidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1 Représentation simplifiée des dépendances entre IptiQ et les parte-naires de vente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2 Volumes des primes émises futures en fonction des années . . . . . . 542.3 Illustration de l’incorporation des volumes futurs . . . . . . . . . . . 55

3.1 Représentation des dépenses réelles et modélisées en fonction du temps 56

4.1 Évaluation de la provision Best Estimate pour les contrats vie entière 59

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4.2 Évaluation de la provision Best Estimate pour les contrats temporairedécès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Évaluation de la provision Best Estimate pour les contrats invalidité 594.4 Projection de la provision Best Estimate pour le scénario central et

le produit vie entière en incorporant les volumes futurs . . . . . . . . 60

5.1 Évolution des primes acquises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 Évolution du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3 Évolution de l’exigence en capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4 Évolution du ROE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.5 Évolution de l’ICD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.1 Représentation des capitaux sous risques pour un contrat en unité decompte avec garantie plancher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.2 Prix de Black-Scholes pour un put européen avec K=1000 σ = 25%et r=3% en fonction de la maturité en année et du prix du sous-jacent S 79

1.3 Comparaison des log-rapports journaliers du S&P500 source : [6] . . 791.4 Smile de volatilité implicite pour une option d’achat sur S&P500

source : [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1 Evolution de la volatilité implicite fonction de v0, θ = 0.01, κ = 0.5σ = 0.225, ρ = 0 S0 = 180 r = 0.05, τ = 2ans . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Evolution de la volatilité implicite fonction de θ, v0 = 0.3, κ = 0.5σ = 0.225, ρ = 0 S0 = 180 r = 0.05, τ = 2ans . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Evolution de la volatilité implicite fonction de θ, v0 = 0.3, κ = 0.5σ = 0.225, ρ = 0 S0 = 130 r = 0.05, τ = 3ans . . . . . . . . . . . . . 94

4.4 Effet de ρ sur le « skewness » de la fonction de densité mettre source :[18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.5 Surface de volatilité implicite, ρ = 0, κ = 2, θ = 0.04, σ = 0.1,V0 = 0.04, r = 1%, S0 = 1 , Strike K : 0.8-1.2, maturité : 0.5-3 anssource : [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.6 Surface de volatilité implicite, ρ = 0.5, κ = 2, θ = 0.04, σ = 0.1,V0 = 0.04, r = 1%,S0 = 1 , Strike K : 0.8-1.2, maturité : 0.5-3 anssource : [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.7 Surface de volatilité implicite, ρ = −0.5, κ = 2, θ = 0.04, σ = 0.1,V0 = 0.04, r = 1%, S0 = 1 , Strike K : 0.8-1.2, maturité : 0.5-3 anssource : [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.8 L’effet de σ sur le « kurtosis » de la fonction de densité mettre source :[18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.9 Evolution de la volatilité implicite fonction de σ avec, v0 = 0.42,κ = 0.01, S0 = 130 r = 0.05, τ = 3ans, θ = 0.01 pour ρ=0 : . . . . . 97

4.10 Evolution de la volatilité implicite fonction de σ avec, v0 = 0.42,κ = 0.01, S0 = 130 r = 0.05, τ = 3ans, θ = 0.01 pour ρ=0.5 : . . . . 98

4.11 Evolution de la volatilité implicite fonction de σ avec, v0 = 0.42,κ = 0.01, S0 = 130 r = 0.05, τ = 3ans, θ = 0.01 pour ρ=-0.5 : . . . 98

4.12 Courbes des taux Swap fonction de la maturité en mois . . . . . . . 1034.13 Comparaison des prix de marché utilisés pour la calibration à ceux cal-

culés par le modèle pour différentes maturités par la méthode ivRMSE 105

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4.14 Comparaison des volatilités implicites calculées sur les prix de marchéutilisées pour la calibration à celles calculées par les prix calculés parle modèle pour différentes maturités par la méthode ivRMSE . . . . 105

4.15 Comparaison des prix de marché utilisés pour la calibration à ceux gé-nérés par le modèle pour différentes maturités par la méthode $RMSE 105

4.16 Comparaison des prix de marché utilisés pour la calibration à ceux gé-nérés par le modèle pour différentes maturités par la méthode %RMSE106

4.17 Comparaison des prix de marché à ceux calculés par le modèle pourune maturité de 29 mois par la calibration $RMSE . . . . . . . . . . 107

4.18 Comparaison des prix de marché à ceux calculés par le modèle pourune maturité de 29 mois par la calibration %RMSE . . . . . . . . . 107

4.19 Comparaison des prix de marché à ceux calculés par le modèle pourune maturité de 29 mois par la calibration ivRMSE . . . . . . . . . 108

4.20 Volatilité historique du S&P500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.21 Prix d’un put européen en fonction du nombre de simulations, pour

un prix réel de 176.4 par la méthode $RMSE . . . . . . . . . . . . . 1104.22 Distribution du coût moyen selon les différentes méthodes de calibra-

tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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Liste des tableaux

1.1 Taux de rachat des contrats invalidité en fonction du nombre d’annéesd’ancienneté dans le contrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2 Chargement pour les contrats invalidités . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3 Tables choisies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4 Facteurs appliqués à la table de passage en invalidité . . . . . . . . . 311.5 Coefficients appliqués pour la projection . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6 Répartition des sexes par classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7 Répartition choisie pour les classes de travail . . . . . . . . . . . . . 321.8 Coefficients réglementaires pour solvabilité 1 . . . . . . . . . . . . . . 351.9 Prime commerciale en fonction de la classe de travail pour un assuré

d’âge 35 ans pour une couverture de 30 ans . . . . . . . . . . . . . . 361.10 Profit en date 0 suivant les différentes classes . . . . . . . . . . . . . 391.11 Indicateurs de probabilité pour la classe de travail I en fonction du sexe 401.12 Indicateurs de probabilité pour la classe de travail II en fonction du

sexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.13 Indicateurs de probabilité pour la classe de travail III en fonction du

sexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.14 Indicateurs de probabilité pour la classe de travail IV en fonction du

sexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.15 Indicateurs de probabilité pour la classe de travail V en fonction du

sexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.16 Indicateurs de probabilité suivant la répartition du portefeuille . . . 411.17 Variation de l’IRR en fonction du taux technique pour le produit

invalidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.18 Augmentation des primes pour obtenir les mêmes IRR . . . . . . . . 431.19 Évolution des primes commerciales avec le nouveau taux technique . 431.20 Variation de l’IRR en laissant augmenter les primes . . . . . . . . . . 431.21 Taux de rachat en fonction du nombre d’années d’ancienneté dans le

contrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.22 Définition des classes en fonction des contrats . . . . . . . . . . . . . 441.23 Définition des classes en fonction des contrats . . . . . . . . . . . . . 451.24 Coefficients réglementaires pour solvabilité 1 pour contrats tempo-

raires décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.25 Prime en fonction de la classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.26 Indicateurs de profitabilité pour la classe A en fonction du sexe . . . 491.27 Indicateurs de profitabilité pour la classe B en fonction du sexe . . . 491.28 Indicateurs de profitabilité pour la classe C en fonction du sexe . . . 491.29 Indicateurs de profitabilité pour la classe D en fonction du sexe . . . 501.30 Indicateurs de profitabilité pour la classe E en fonction du sexe . . . 50

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1.31 Indicateurs de profitabilité suivant la répartition du portefeuille . . . 501.32 Variation de l’IRR en fonction du taux technique pour le produit

temporaire décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.33 Augmentation des primes pour obtenir le même IRR . . . . . . . . . 511.34 Évolution des primes commerciales en fonction du taux technique . . 511.35 Variation de l’IRR en laissant augmenter les primes . . . . . . . . . . 52

3.1 Exemple d’ajustement des dépenses modélisées aux dépenses réellesles premières années . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Exemple d’ajustement des dépenses modélisées aux dépenses réellesles dernières années . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1 Impact sur prime émises des autres partenaires . . . . . . . . . . . . 615.2 Hypothèses sur les primes émises du nouveau partenaire . . . . . . . 61

4.1 Données de marché choisies pour la calibration du modèle de Hestonpour un sous-jacent de prix S0 = 2078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 Paramètres initiaux de calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3 Résultats de la calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.4 Comparaison des prix de maturité 29 mois à ceux obtenus par le modèle1064.5 Comparaison des volatilités implicites de marché de maturité 29 mois

à celles obtenues par le modèle avec calibration ivRMSE . . . . . . 1074.6 Comparaison des Loss functions sur les données de calibration et sur

celles à 29 mois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.7 Prime pure unique selon les différentes méthodes de calibration . . . 1094.8 Statistiques de la distribution du coût moyen actualisé . . . . . . . . 111

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Annexe I - Algorithme Nelder-MeadCet algorithme est principalement utilisé afin de calibrer les modèles utilisés pour lasimulation d’actifs financiers.

Soit une fonction f(x) à n variables qu’on cherche à minimiser et soient n+1valeurs (x1, ..., xn+1) telles que :

f1 ≤ f2 ≤ ... ≤ fn ≤ fn+1 (5.1)

Avec fk = f(xk). La valeur parmi (x1, ..., xn+1) menant à une minimisation de lafonction f est ainsi x1, xn+1 engendrant la valeur la plus élevée.A chaque itération, les n meilleures valeurs (en termes de minimisation) sont rete-nues et la valeur xn+1 est remplacée conformément aux règles suivantes :

1. Calcul du point de réflexion xr = 2x − xn+1 avec x =∑ni=1

xin correspondant

à la moyenne des n meilleurs points et fr = f(xr).Si f1 ≤ fr < fn alors xn+1 est remplacé par xr, les points (x1, ..., xn, xr) étantensuite réordonnés conformément à la formule (5.1) ce qui crée un autre jeude variables (x1, ..., xn, xn+1) à la fin de cette étape.Cette étape est ensuite réitérée sur le point xn+1 au sein du nouveau vecteur(x1, ..., xn, xn+1).Sinon, procéder à l’étape suivante.

2. Si fr < f1, calcul du point d’expansion xe = 2xr − x et fe = f(xe). Si fe < fralors le point xn+1 est remplacé par xe, le vecteur (x1, ..., xn, xe) étant ensuiteréordonné.Cette étape est ensuite réitérée sur le point xn+1 au sein du nouveau vecteur(x1, ..., xn, xn+1).Sinon, procéder à l’étape suivante.

3. Si fn ≤ fr < fn+1, calcul du point xoc = 12xr + 1

2 x. Si foc ≤ fr, le point xn+1est remplacé par xoc, le vecteur (x1, ..., xn, xoc) étant ensuite réordonné.Cette étape est ensuite réitérée sur le point xn+1 au sein du nouveau vecteur(x1, ..., xn, xn+1).Sinon, procéder à l’étape suivante.

4. Si fr ≥ fn+1, calcul du point xic = 12 x + 1

2xn+1. Si fic < fn+1, le point xn+1est remplacé par xic, le vecteur (x1, ..., xn, xic) étant ensuite réordonné selonles valeurs que prend la fonction f.Cette étape est ensuite réitérée sur le point xn+1 au sein du nouveau vecteur(x1, ..., xn, xn+1).Sinon, procéder à l’étape suivante.

5. Evaluation de f(x) aux points vi = x1+ 12(xi−x1) pour i=2,...,n+1. Le nouveau

vecteur se constitue dès lors des points x1, v2, v3, ..., vn+1 qui sont réordonnés.Cette étape est ensuite réitérée avec le nouveau vecteur obtenu.

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Annexe II - Code informatique

Le code s’inspire de [10] mais a été adapté et corrigé pour correspondre aux calculsd’assurance.

Calcul de l’engagement de l’assureur pour une date ”daynum” par simulationstochastiques :

Function Hestonpr ixs imul ( Putcal As Str ing , kappa , theta , lambda , rho, SigmaV , daynum , star tS , r f , s ta r tv , K, ITER)

Dim a l l S ( ) As DoubleDim enga ( ) As DoubleDim cursS As DoubleDim curv As DoubleDim pr ixReDim a l l S (daynum) As DoubleReDim enga (daynum) As Doubles imPathcalc = 0de l t a t = (1 / 12)For i t count = 1 To ITERlnSt = Log ( s t a r tS ) : vt = s t a r t vcurS = s ta r tSFor daycnt = 1 To daynume = Appl i ca t ion . NormSInv (Rnd)eS = Appl i ca t ion . NormSInv (Rnd)ev = rho ∗ eS + Sqr (1 − rho ^ 2) ∗ elnSt = lnSt + ( r f − 0 .5 ∗ Appl i ca t ion .Max( vt , 0 ) ) ∗ de l t a t+ Sqr ( App l i ca t ion .Max( vt , 0 ) ) ∗ Sqr ( d e l t a t ) ∗ eScurS = Exp( lnSt )vt = vt + kappa ∗ ( theta − Appl i ca t ion .Max( vt , 0 ) ) ∗ de l t a t+ SigmaV ∗ Sqr ( App l i ca t ion .Max( vt , 0 ) ) ∗ Sqr ( d e l t a t ) ∗ eva l l S ( daycnt ) = curSNext daycnt

I f Putcal = " Cal l " ThensimPathcalc = simPathcalc+ Exp((−daynum / 12) ∗ r f ) ∗ Appl i ca t ion .Max( a l l S (daynum) − K, 0)

Elses imPathcalc = simPathcalc+ Exp((−daynum / 12) ∗ r f ) ∗ Appl i ca t ion .Max(K − a l l S (daynum) , 0)

End I fNext i t countHestonpr ixs imul = simPathcalc / ITEREnd Function

Calcul de l’engagement de l’assureur pour une date ”daynum” par formule fer-mée :

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Function Heston ( PutCall As Str ing , kappa , theta , lambda ,rho , sigma , tau , K, S , r f , v )

Dim phi As DoubleDim P1_int (1001) As Double , P2_int (1001) As Double , phi_int (1001) As DoubleDim p1 As Double , p2 As Double , xg (16) As Double , wg(16) As Doublecnt = 1For phi = 0.0001 To 100.0001 Step 0 .1phi_int ( cnt ) = phiP1_int ( cnt ) = HestonPun ( phi , kappa , theta , lambda ,rho , sigma , tau , K, S , r f , v )

P2_int ( cnt ) = HestonPdeux ( phi , kappa , theta , lambda ,rho , sigma , tau , K, S , r f , v )

cnt = cnt + 1Next phip1 = 0 .5 + (1 / WorksheetFunction . Pi ) ∗ TRAPnumint( phi_int , P1_int )p2 = 0 .5 + (1 / WorksheetFunction . Pi ) ∗ TRAPnumint( phi_int , P2_int )I f p1 < 0 Then p1 = 0I f p1 > 1 Then p1 = 1I f p2 < 0 Then p2 = 0I f p2 > 1 Then p2 = 1Hestonc = S ∗ p1 − K ∗ Exp(− r f ∗ tau ) ∗ p2I f PutCall = " Ca l l " ThenHeston = HestoncE l s e I f PutCall = "Put " ThenHeston = Hestonc + K ∗ Exp(− r f ∗ tau ) − SEnd I fEnd Function

HestonPun utilisé dans le code précédent est décrit ci-après :

Publ ic Function HestonPun ( phi , kappa , theta , lambda , rho ,sigma , tau , K, S , r f , v )

mu1 = 0 .5b1 = Set_cNum( kappa + lambda − rho ∗ sigma , 0)d1 = cNumSqrt (cNumSub(cNumSq(cNumSub(Set_cNum(0 , rho ∗ sigma ∗ phi ) , b1 ) ) , cNumSub(Set_cNum(0 , sigma ^ 2 ∗ 2 ∗ mu1 ∗ phi ) , Set_cNum( sigma ^ 2 ∗ phi ^ 2 , 0 ) ) ) )g1 = cNumDiv(cNumAdd(cNumSub(b1 , Set_cNum(0 , rho ∗ sigma ∗ phi ) ) , d1 ) ,cNumSub(cNumSub(b1 , Set_cNum(0 , rho ∗ sigma ∗ phi ) ) , d1 ) )

DD1_1 = cNumDiv(cNumAdd(cNumSub(b1 , Set_cNum(0 , rho ∗ sigma ∗ phi ) ) , d1 ) ,Set_cNum( sigma ^ 2 , 0 ) )

DD1_2 = cNumSub(Set_cNum(1 , 0 ) , cNumExp(cNumProd(d1 , Set_cNum( tau , 0 ) ) ) )DD1_3 = cNumSub(Set_cNum(1 , 0 ) , cNumProd( g1 ,cNumExp(cNumProd(d1 , Set_cNum( tau , 0 ) ) ) ) )

DD1 = cNumProd(DD1_1, cNumDiv(DD1_2, DD1_3) )CC1_1 = Set_cNum(0 , r f ∗ phi ∗ tau )CC1_2 = Set_cNum(( kappa ∗ theta ) / ( sigma ^ 2) , 0)CC1_3 = cNumProd(cNumAdd(cNumSub(b1 ,Set_cNum(0 , rho ∗ sigma ∗ phi ) ) , d1 ) , Set_cNum( tau , 0 ) )

CC1_4 = cNumProd(Set_cNum(2 , 0 ) , cNumLn(cNumDiv(

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Page 126: Mémoire présenté devant - ressources-actuarielles.net · Remerciements Je voudrais remercier tout d’abord Monsieur Rejean Besner, dirigeant agréé pour IptiQassurance,filialedeSwissRe,pourm

cNumSub(Set_cNum(1 , 0 ) , cNumProd( g1 , cNumExp(cNumProd(d1 , Set_cNum( tau , 0 ) ) ) ) ) , cNumSub(Set_cNum(1 , 0 ) , g1 ) ) ) )cc1 = cNumAdd(CC1_1, cNumProd(CC1_2, cNumSub(CC1_3, CC1_4) ) )f_1 = cNumExp(cNumAdd(cNumAdd( cc1 , cNumProd(DD1, Set_cNum(v , 0 ) ) ) ,Set_cNum(0 , phi ∗ Appl i ca t ion . Ln(S ) ) ) )

HestonPun = cNumReal (cNumDiv(cNumProd(cNumExp(Set_cNum(0 , −phi ∗ Appl i ca t ion . Ln(K) ) ) , f_1 ) , Set_cNum(0 , phi ) ) )End Function

où chaque fonction ”Cnum” correspond aux opérations sur les complexes qui ontdu être préalablement implémentées.

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