Mémoire présenté le : pour l’obtention du diplôme de ... · Mémoire présenté le : ... Le contrat individuel permet de mieux répartir le résultat sur toute la ... La sinistralité

Mémoire présenté le :

pour l’obtention du diplôme

de Statisticien Mention Actuariat

et l’admission à l’Institut des Actuaires

Par : Maxence BOCCIARELLI

Sujet : Impacts de la déliaison sur l’équilibre des contrats emprunteurs

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus.

Membre présents du jury de

l’Institut des Actuaires Entreprise : SOGECAP

Nom : Fabrice MULLER

Signature :

Membres présents du jury de la

filière Directeur de mémoire en

entreprise :

Nom : Georges-Louis GONCALVES

Signature :

Invité :

Nom :

Signature :

Autorisation de publication et de

mise en ligne sur un site de

diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel

délai de confidentialité)

Signature du responsable entreprise

Secrétariat Signature du candidat

Bibliothèque :

Résumé

Mots clés : Assurance emprunteur, déliaison, lois de comportement, substitution, risque de rachat,

mortalité, incapacité de travail, Markov, tarif d’équilibre, impacts quantitatifs, démutualisation

Le marché français de l’assurance emprunteur fait l’objet de réformes (loi Lagarde en 2010, loi

Hamon en 2014) visant à permettre une concurrence effective, et à réduire les marges

pratiquées par cette branche d’assurance. La déliaison entre les contrats de prêt et les contrats

d’assurance des emprunteurs risque cependant de conduire à une démutualisation progressive de

des contrats emprunteurs de groupe, avec la substitution des meilleurs profils de risque dont les

tarifs individuels sont avantageux.

L’objectif de ce mémoire est l’étude des impacts de la déliaison sur l’équilibre des contrats

emprunteurs dits contrats groupe des banques, du point de vue de l’assureur. Afin d’évaluer ces

impacts, une modélisation markovienne du contrat emprunteur est proposée, intégrant les risques

décès, incapacité et invalidité de travail et rachat. Ce modèle permet d’évaluer les flux futurs (primes

et sinistres) à partir :

d’une table d’expérience de mortalité ;

d’une table d’expérience d’entrée en incapacité ;

de la table de maintien en incapacité du BCAC ;

de la table de passage en invalidité du BCAC ;

de scénarios de rachat (remboursements anticipés du prêt et substitution de l’assurance).

Une première partie présentera le cadre du mémoire : l’étude des prêts immobiliers et des

spécificités de l’assurance emprunteur précédera la comparaison des contrats groupe et individuels

ainsi que l’analyse des enjeux de la déliaison.

La deuxième partie sera consacrée à la tarification de l’assurance emprunteur, à l’exposé du modèle

markovien mis en place, puis à une application pour une cohorte de référence, pour laquelle les

impacts de la déliaison seront mesurés.

Une dernière partie permettra d’envisager les effets de la déliaison sur un portefeuille groupe. Les

résultats de l’étude seront présentés après l’exposé de la démarché effectuée, comprenant la

classification de ce portefeuille et la modélisation du comportement des assurés.

La modélisation du portefeuille groupe avec tous les profils de risque d’un tel contrat — emprunteurs

âgés, surprimés, fumeurs ou non-cadres —, permettra :

d’évaluer les effets de la déliaison de première année, introduite par la loi Hamon ;

d’envisager le cas d’une déliaison totale de l’assurance emprunteur, dont la substitution

serait rendue possible pendant toute la durée du prêt.

Abstract

Key words : Loan insurance, separation (of loan agreement and insurance), behavior laws,

substitution, surrender risk, mortality, work disability, Markov, equilibrium price, quantitative

impacts, demutualization

The French market of loan insurance is currently being reassessed with reforms (Lagarde law in 2010,

Hamon law in 2014) aiming at increasing competition and reducing margins in this sector. However,

the separation between loan agreements and loan insurance contracts is likely to lead to a

progressive demutualization of so called “group loan insurance”, with the substitution of best risk

profiles, those among whom individual tariffs are advantageous, following the trajectory of their

individual risk.

This report aims to study the impacts of loan agreements and loan insurance contracts separation on

group loan insurance equilibrium, from the insurer the point of view. In order to evaluate these

impacts, a loan insurance modelization using Markov theory has been set up. The model integrates

mortality risk, work disability risk and surrender risk. This model allows to assess the future cashflows

(premiums and claims) from :

mortality rates from an experience table ;

experience law of disability incidence rates age by age ;

persistency rates in disability from BCAC ;

morbidity rates in disability from BCAC ;

surrender scenarios (loan redemption and loan insurance substitution).

A first part presents the study framework : real estate loan and specificities of loan insurance will

precede the comparison of group and individual loan insurance contracts, and sakes analysis of loan

agreements and loan insurance contracts separation.

The second part focuses on loan insurance pricing, develops the modelization based on Markov

theory and ends with an application for a reference model-point, for which the impacts of the

separation of loan agreement and insurance will be measured.

The last part studies the effects of loan agreement and insurance separation on a group portfolio.

The study results will be presented after detailing the global approach, including portfolio

classification and policyholder behaviour modelization. The modelization of the group portfolio, with

its different risk profiles — including aged borrowers, smokers, non-managerial employees and high

risks with extra premium —, will allow us to :

evaluate the effects of first year substitution right, introduce by the Hamon law ;

consider the case of a unlimited substitution right : separation of loan agreement and

insurance which would apply for all loan duration.

Synthèse

Le marché français de l’assurance emprunteur fait l’objet de réformes visant à permettre

une concurrence effective, et à réduire les marges pratiquées par cette branche d’assurance,

où les sinistres ne représentent en moyenne que de l’ordre de la moitié des primes

commerciales.

L’évolution juridique de l’assurance emprunteur : loi Lagarde (2010) puis loi Hamon (2014),

qui instaure un droit de substitution de l’assurance la première année aux emprunteurs,

créent les conditions pour une déliaison entre les contrats de prêt et les contrats

d’assurance des emprunteurs. Cette déliaison modifie pour le moins le modèle du contrat

groupe des banques, qui repose sur une mutualisation entre des assurés de profils de risque

divers. Les contrats individuels (aussi appelés alternatifs), davantage segmentés, vont

logiquement attirer une sélection de meilleurs profils de risque avec des tarifs spécifiques

avantageux. La progression des contrats individuels pourrait entraîner une sélection

systématique des assurés et ainsi une démutualisation progressive de l’assurance

emprunteur allant ainsi jusqu’à exclure certaines personnes de l’accès au crédit à des tarifs

acceptables, notamment les personnes âgées ou sujettes à risques de santé. Le cycle de

démutualisation du contrat groupe se schématise ainsi :

Ce mémoire a pour objet l’étude des impacts de la déliaison sur l’équilibre des contrats

emprunteurs dits contrats groupe des banques, du point de vue de l’assureur. Les contrats

considérés dans cette étude sont des assurances de prêts immobiliers comportant les

garanties décès et arrêt de travail.

Afin d’évaluer les impacts de la déliaison, une modélisation markovienne du contrat

emprunteur est proposée, intégrant les risques décès, incapacité et invalidité de travail et

rachat :

Cette chaîne de Markov à temps discret comporte 7 états, l’incapacité étant annualisée et

l’invalidité considérée comme définitive. La mise en place de ce modèle permet d’évaluer

pour une cohorte définie les flux futurs annuels (primes et sinistres) à partir :





de scénarios de rachat (remboursements anticipés du prêt et substitution de

l’assurance).

La tarification théorique d’une cohorte, équilibrant les engagements de l’assureur et de

l’assuré, permet de comparer les modes de tarification des contrats groupe (dont la prime

est nivelée sur toute la durée du prêt) et des contrats individuels (dont la prime variable

coïncide avec le risque chaque année).

Ces types de tarification sont ensuite illustrés pour une cohorte de référence par la

projection des flux de primes et de sinistres annualisés selon le modèle de Markov. La

tarification du contrat individuel immunise l’assureur contre le risque de rachat, au contraire

du contrat groupe, dont la prime nivelée sur toute la durée du prêt expose l’assureur au

risque de rachat. Le contrat individuel permet de mieux répartir le résultat sur toute la durée

du prêt alors que le résultat du contrat groupe se concentre essentiellement sur les

dernières années du prêt. Les marges de prudence importantes des contrats de marché

empêchent cependant d’observer correctement les effets de la déliaison sur une cohorte.

Par conséquent, l’étude des impacts de la déliaison sur une cohorte s’effectue en

considérant les contrats tarifés à l’équilibre, sans chargement de sécurité.

Pour la cohorte étudiée (âge à l’adhésion 40 ans, durée de prêt 15 ans), l’hypothèse d’un

taux de rachat annuel, caractéristique des remboursements anticipés de prêt (rachats

structurels), implique une perte conséquente de primes d’assurance mais ne déforme pas de

façon importante l’équilibre du contrat groupe.

La déliaison de première année (loi Hamon) n’affecte que de façon proportionnelle à la

substitution les primes et sinistres pour une cohorte. Dans l’hypothèse d’une déliaison

totale, le coût du rachat, exprimé en hausse du S/P, s’élève, pour le contrat groupe et la

cohorte tarifée à l’équilibre, à 5 % dans le cas d’un scénario réaliste de substitution, et à

10 % dans le pire des cas. La déliaison totale affecte ainsi l’équilibre d’une cohorte.

Cependant, l’étude théorique d’une cohorte seule ne permet pas d’observer les effets de la

déliaison la première année autres que la perte de valeur consécutive à la substitution. De

plus, l’étude de la sensibilité des résultats aux paramètres de la cohorte (âge à l’adhésion,

durée du prêt) montre que les impacts des rachats et de la déliaison dépendent de la

cohorte considérée.

Nous modélisons ainsi un portefeuille comme un ensemble de cohortes :

afin de mieux représenter le contrat groupe, constitué de profils de risque divers ;

afin d’étudier la dégradation de la sinistralité d’un contrat groupe suite à la

substitution des meilleurs profils de risque : la déformation du portefeuille groupe

est pour l’assureur l’effet le plus important de la déliaison.

Le portefeuille est construit à partir d’un contrat groupe du marché (produit d’assurance

emprunteur immobilier Société Générale). 86 cohortes sont modélisées par des

classifications des adhésions par la méthode des centres mobiles, et en considérant plusieurs

caractéristiques déterminantes pour la substitution : outre la tranche d’âge des assurés, on

distingue les fumeurs, les non-cadres et les sujets à risque (surprimés). Les flux de primes et

de sinistres relatifs à ces cohortes sont projetés avec l’outil de modélisation markovienne. A

cet effet les caractéristiques (assuré, prêt sous-jacent) et hypothèses de comportement

(sinistralité, rachats) de chaque cohorte sont déterminées à partir des données disponibles.

La sinistralité décès est modélisée par une table de mortalité d’expérience, abattue les cinq

premières années du contrat pour tenir compte des effets de la sélection, de la population

spécifique des emprunteurs et des exclusions prévues au contrat. Les taux de mortalité par

âge sont abattus pour tenir compte du profil de risque de chaque cohorte : caractère

fumeur, catégorie socioprofessionnelle. La sinistralité arrêt de travail est modélisée à partir

d’une table d’expérience d’entrée en incapacité et des tables de maintien en incapacité et

de passage en invalidité du BCAC (2014).

Le comportement de substitution est modélisé avec une approche rationnelle : l’option de

substituer son contrat groupe par un contrat individuel repose sur les caractéristiques de

l’assuré et sur les gains de prix qu’il peut obtenir.

La modélisation rationnelle de la substitution effectuée, basée sur la sensibilité absolue des

emprunteurs au prix (comparaison du coût total de l’assurance groupe et concurrente), met

en évidence pour le contrat groupe une substitution plus importante :

des assurés qui ne sont pas sujets à risque ;

des assurés les plus jeunes ;

des capitaux les plus élevés ;

des non-fumeurs et des cadres.

La segmentation du portefeuille étudiée en 86 cohortes permet de prendre en compte les

différents facteurs de déformations du portefeuille dans le cadre de la déliaison, l’objectif

étant d’en mesurer les impacts pour l’assureur. La modélisation du portefeuille groupe avec

tous les profils de risque d’un tel contrat permet :


d’envisager le cas d’une déliaison totale de l’assurance emprunteur, dont la

substitution serait rendue possible pendant toute la durée du prêt.

Les scénarios de substitution retenus conduisent à des impacts importants de la déliaison de

première année sur le portefeuille groupe. Les résultats obtenus mettent en évidence, au-

delà de la perte de valeur pour l’assureur, une dégradation de la sinistralité du portefeuille

groupe due au départ des « meilleurs risques ». Le droit de substitution la première année

introduit par la loi Hamon conduit avec nos hypothèses à une démutualisation du contrat

groupe, ce qui se traduit pour l’assureur par une hausse du ratio Sinistres/Primes :

Seuil de substitution Taux de substitution global Impact Primes Impact S/P global

3 000 € 11% -16% 7%

1 000 € 33% -39% 21%

0 € 66% -61% 44%

Pour une sensibilité de l’assuré à partir d’un gain de 1000 € en substituant l’assurance

groupe par une assurance moins coûteuse, le portefeuille modélisé verrait la substitution du

tiers de ses assurés, conduisant à une baisse de 39 % du chiffre d’affaires (les capitaux

importants et les prêts long ont en effet davantage tendance à substituer leur assurance) et

à une hausse de 21 % du ratio Sinistres/Primes global du portefeuille.

L’étude de la déliaison totale montre des impacts sur ce contrat plus importants encore,

avec une démutualisation qui progresse chaque année. Les conséquences de la déliaison sur

un portefeuille groupe ne se constateraient réellement qu’après quelques années, ce qui

indique la nécessité pour l’assureur de suivre les effets de la déliaison par génération de

production.

Note of Synthesis

The French market of loan insurance is currently being reassessed with reforms (Lagarde law

in 2010, Hamon law in 2014) aiming at increasing competition and reducing margins in this

sector, where claims only represents half of commercial premiums.

The legal loan insurance evolution : Lagarde law in 2010 and Hamon law in 2014, which set a

one-year substitution right of loan insurance for borrowers, lead to a loan agreements and

loan insurance contracts separation. This separation is a whole change for bank’s model,

whose so called “group loan insurance” is based on the mutualization between policyholders

of different risk profiles. Individual contracts (so called alternative contracts), which

segmentation is important, will logically attract a best risk profiles selection with lower

premiums, reflecting their current risk. The individual contracts progression could lead to a

systematic selection of policyholders, and to a progressive loan insurance demutualization

that could rule out affordable credit access, in particular aged persons or persons exposed to

medical risk factors. The group loan insurance demutualization cycle can be schematized as

follows :

The purpose of this report is to study the impacts of loan agreements and loan insurance

contracts separation on group loan insurance equilibrium, from the insurer point of view.

Considered contracts are real estate loan insurance, death and work disability coverage.

In order to evaluate the impacts of this separation, a loan insurance modelization using

Markov theory has been set up, integrating mortality risk, work disability risk and surrender

risk :

This discrete-time Markov chain is made of 7 states, disability is considered annually and

morbidity permanent. This model implementation allows, for a defined model-point, to

asses the future cashflows (premiums and claims) from :

mortality rates from an experience table ;

experience law of disability incidence rates age by age ;

persistency rates in disability from BCAC ;

morbidity rates in disability from BCAC ;

surrender scenarios (loan redemption and loan insurance substitution).

The theorical pricing for a model-point, based on insurer and policyholder liabilities initial

present values equalization, allows the comparison of the group contract pricing (with level

premiums) and the individual contract pricing (with premiums adjusted on current risk).

These two pricing methods are then illustrated for a reference model-point, by premiums

and claims cash flows projection, annualized with the Markov model. The individual contract

pricing immunizes the insurer against surrender risk, unlike group contract, whose level

premiums make the insurer exposed to the surrender risk. The individual contract offers a

best distribution of insurer result through all the loan duration, whereas group contract

result is concentrated on its last years.

Markets loan insurance contracts include important margin for prudence, which impede to

assess the separation real effects. Therefore, the separation impacts on a model-point are

studied considering the equilibrium pricing, without safety loading.

The considered model-point is a policyholder aged 40 at the souscription, with a 15 years

underlying loan. For this model-point, an annual surrender rate (characteristic of loan

redemption) leads to an important premiums loss but does not really call into question the

group contract equilibrium.

The first year substitution right (Hamon law) only affect premiums and claims

proportionately to the substitution rate of the model-point. In the hypothesis of a full loan

agreements and loan insurance contracts separation (unlimited right of substitution), we

consider the surrender cost for the insurer, expressed as a rise of the Claims/Premiums ratio.

For the reference model-point with a level equilibrium pricing, this cost goes from 5 %

(realistic scenario) up to 10 % in the worst scenario. Thus, whole separation affects the

model-point group loan insurance equilibrium. However, the theorical study of a single

model-point can’t lead to the assessment of first year separation other impacts than the

premiums loss. Moreover, the results sensitivity to the model-point parameters (age at

souscription, loan duration) reveal that surrenders and separation impacts relies on these

parameters.

Therefore, a portfolio is modeled as different model-points :

in order to get a better modelization of the group contract, which is made of

different risk profiles ;

in order to consider the global group contract claims deterioration caused by the

specific substitution of best risk profiles : the group portfolio deformation is for the

insurer the most serious loan agreement and insurance separation consequence.

The portfolio is built from a market group contract (a Société Générale real estate loan

insurance product). 86 model-points are modeled from its policyholders classification (k-

means method), considering different characteristics that are determining for the

substitution : age group, smoking, social-professional group and medical risk factors (which

lead to extra premiums). Premiums and claims cash flows are assessed model-point by

model-point using Markov modelization. For that purpose, characteristics (policyholder,

underlying loan) and behaviour hypothesis (claims, surrenders) are determined for each

model-point from the available data.

Death claims are modeled by a mortality experience table, considering discount rates that

depends on the contract year of service, so that medical selection effects and borrowers

specificities are taken into account. Age by age mortality rate discount are also applied

considering the model-point risk profile : smoking and social-professional group.

Work disability claim are modeled from an experience law of disability incidence rates age

by age, from persistency rates and morbidity rates in disability (BCAC 2014).

The substitution behaviour is modeled with a rational approach : policyholder substitution

rely on his characteristics and potential savings.

Rational modelization of substitution considered, based on borrowers absolute sensitivity to

price (comparison of group and concurrent loan insurance total cost), highlights for the

group contract an higher substitution :

of policyholders without medical risks ;

of younger policyholders ;

of highest underlying loan capital ;

of no-smokers and management employees.

The portfolio segmentation in 86 model-points takes into account the different deformation

factors in the loan agreements and loan insurance contracts separation framework, the

objective being to measure its impacts for the insurer. The modelization of the group

portfolio with its different risk profiles allows :

to assess first year right of substitution effects ;

to consider the whole separation (unlimited right of loan insurance substitution).

Considered substitution scenarios reveal important impacts of the first year separation on

the group portfolio. Results highlights, beyond the premiums loss, a deterioration of its

claims due to the substitution of best risk profiles. The first year right of substitution,

introduced by the Hamon law, with our hypothesis, leads to the group contract

demutualization, which means for the insurer a rise of the Claims/Premiums ratio :

Substitution threshold Global substitution rate Premiums Impact Claims/Premiums Impact

3 000 € 11% -16% 7%

1 000 € 33% -39% 21%

0 € 66% -61% 44%

For a substitution treshold of 1000 € (meaning policyholder will substitue his initial insurance

when he saves at least 1000 € by switching it with an alternative contract), the modeled

portfolio would lose a third of its policyholders. In this case, the premiums loss would be of

39 % (policyholders with highest capitals and longer loans are more likely to substitue their

insurance) and the rise of the global Claims/Premiums portfolio ratio would be of 21 %.

Whole separation study reveals even more important impacts on this group contract, with a

demutualization progressing year by year. Consequences of separation on a group portfolio

would really be in evidence only after a few year, which underlines the necessity for the

insurer to watch for separation impacts by generation of production.

Remerciements

Je tiens à remercier Fabrice Muller pour m’avoir accueilli au sein de sa direction, ainsi que

pour nos échanges constructifs sur cette étude.

Je remercie particulièrement mon responsable de stage Georges-Louis Gonçalves pour

m’avoir permis d’effectuer cette étude très enrichissante et guidé tout au long de ce stage,

ainsi que pour m’avoir transmis un savoir actuariel de qualité.

Je suis très reconnaissant envers Priscilla Chiche, qui a beaucoup contribué à la réalisation de

ce mémoire. Je souhaite la remercier pour son soutien important et sa disponibilité.

Je remercie également toute l’équipe de l’actuariat prévoyance, qui m’a accueilli dans une

ambiance sympathique et apporté un soutien précieux.

J’adresse mes remerciements à l’ensemble du corps professoral de l’ISUP, et tiens à

souligner la qualité de la formation dont j’ai bénéficié.

Enfin, je souhaite remercier Jean-Marie Nessi pour l’attention portée à ce mémoire ainsi que

pour ses remarques pertinentes.

Sommaire

INTRODUCTION ................................................................................................................................. 1

PARTIE 1 : CADRE DE L’ETUDE..................................................................................................... 3

1.1 Contrat de prêt .............................................................................................................................. 3

1.1.1 Cadre juridique, prêteur et emprunteur ........................................................................... 3

1.1.2 Prêts immobiliers et amortissement ................................................................................. 4

1.1.3 Garanties du prêt .............................................................................................................. 6

1.2 Spécificités de l’assurance emprunteur ......................................................................................... 8

1.2.1 Marché de l'assurance emprunteur et coût vis-à-vis de celui du prêt .............................. 8

1.2.2 Garanties de l'assurance emprunteur ............................................................................... 9

1.2.3 Anti-sélection, sélection médicale et sociale .................................................................. 11

1.2.4 Réassurance .................................................................................................................... 12

1.3 Contrat groupe et contrat individuel ........................................................................................... 14

1.3.1 Structure juridique des contrats emprunteurs ............................................................... 14

1.3.2 Contrats groupes (bancaires) .......................................................................................... 15

1.3.3 Contrats individuels (alternatifs) ..................................................................................... 16

1.3.4 Evolution de l’assurance emprunteur ............................................................................. 17

1.4 Déliaison de l’assurance emprunteur .......................................................................................... 18

1.4.1 Rachats et substitution de l’assurance emprunteur ....................................................... 18

1.4.2 Loi Lagarde (2010) ........................................................................................................... 18

1.4.3 Loi Hamon (2014) ............................................................................................................ 20

PARTIE 2 : MODELISATION D’UNE COHORTE ...................................................................... 23

2.1 Principe de tarification ................................................................................................................ 23

2.2 Profil de risque par garantie ........................................................................................................ 24

2.2.1 Hypothèses et notations ................................................................................................. 24

2.2.2 Garantie décès ................................................................................................................. 26

2.2.3 Garantie arrêt de travail .................................................................................................. 27

2.2.4 Profil de risque d’un contrat emprunteur ....................................................................... 29

2.3 Types de tarification de l’assurance emprunteur ......................................................................... 30

2.3.1 Prime unique ................................................................................................................... 30

2.3.2 Prime annuelle nivelée en % du capital initial (contrat groupe) ..................................... 32

2.3.3 Prime annuelle variable en % du capital restant dû (contrat individuel) ........................ 33

2.4 Modèle de Markov ...................................................................................................................... 34

2.5 Application à une cohorte ........................................................................................................... 39

2.5.1 Tarif d’équilibre et chargement de sécurité .................................................................... 39

2.5.2 Impact des rachats annuels ............................................................................................. 46

2.5.3 Impact de la déliaison la première année ....................................................................... 48

2.5.4 Impact de la déliaison totale ........................................................................................... 49

2.6 Etude de sensibilité ..................................................................................................................... 53

2.6.1 Sensibilité à la durée du prêt ........................................................................................... 53

2.6.2 Sensibilité à l’âge à l’adhésion ......................................................................................... 55

PARTIE 3 : MODELISATION D’UN PORTEFEUILLE .............................................................. 58

3.1 Etude descriptive d’un portefeuille groupe ................................................................................. 58

3.1.1. Présentation du portefeuille .......................................................................................... 58

3.1.2. Classification automatique des adhésions par la méthode des centres mobiles ........... 60

3.2 Modélisation du comportement .................................................................................................. 62

3.2.1. Sinistralité décès............................................................................................................. 62

3.2.2. Sinistralité arrêt de travail .............................................................................................. 63

3.2.3. Modélisation rationnelle de la substitution ................................................................... 64

3.3 Impacts de la déliaison sur le portefeuille ................................................................................... 68

3.3.1. Impact de la déliaison la première année ...................................................................... 69

3.3.2. Impact de la déliaison totale .......................................................................................... 75

3.3.3. Production annuelle ....................................................................................................... 81

CONCLUSION .................................................................................................................................... 83

BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................................................. 58

ANNEXES ........................................................................................................................................... 86

A. Amortissement d’un prêt à annuités constantes ......................................................................... 86

B. Application à une cohorte : tarif groupe et individuel de marché ................................................ 90

C. Elaboration de l’outil de modélisation de l’assurance emprunteur ............................................. 93

D. Coefficients d’abattement de la mortalité par caractéristiques ................................................... 95

TABLE DES ILLUSTRATIONS ...................................................................................................... 96

Impacts de la déliaison sur l’équilibre des contrats emprunteurs Page 1

Introduction

Le marché français de l’assurance emprunteur fait l’objet de réformes visant à permettre

une concurrence effective, et à réduire les marges pratiquées par cette branche d’assurance,

où les sinistres ne représentent en moyenne que de l’ordre de la moitié des primes

commerciales.

L’évolution juridique de l’assurance emprunteur : loi Lagarde (2010) puis loi Hamon (2014),

qui instaure un droit de substitution de l’assurance la première année aux emprunteurs,

créent les conditions pour une déliaison entre les contrats de prêt et les contrats

d’assurance des emprunteurs. Cette déliaison modifie pour le moins le modèle du contrat

groupe des banques, qui repose sur une mutualisation entre des assurés de profils de risque

divers. Les contrats individuels (aussi appelés alternatifs), davantage segmentés, vont

logiquement attirer une sélection de meilleurs profils de risque avec des tarifs spécifiques

avantageux. La progression des contrats individuels pourrait entraîner une sélection

systématique des assurés et ainsi une démutualisation progressive de l’assurance

emprunteur allant ainsi jusqu’à exclure certaines personnes de l’accès au crédit à des tarifs

acceptables, notamment les personnes âgées ou sujettes à risques de santé.

Ce mémoire a pour objet l’étude des impacts de la déliaison sur l’équilibre des contrats

emprunteurs dits contrats groupe des banques, du point de vue de l’assureur. Afin d’évaluer

ces impacts, une modélisation markovienne du contrat emprunteur est proposée, intégrant

les risques décès, incapacité et invalidité de travail et rachat. Ce modèle permet d’évaluer les

flux futurs (primes et sinistres) à partir :





de scénarios de rachat (remboursements anticipés du prêt et substitution de

l’assurance).

La tarification théorique d’une cohorte, équilibrant les engagements de l’assureur et de

l’assuré, permet de comparer les modes de tarification des contrats groupe (dont la prime

est nivelée sur toute la durée du prêt) et des contrats individuels (dont la prime variable

coïncide avec le risque chaque année). Une mesure des impacts des rachats et de la

déliaison sur une cohorte de référence est ensuite effectuée grâce au modèle markovien mis

en place.


Une étude de sensibilité des résultats aux paramètres de la cohorte, tels que l’âge de

l’assuré ou la durée du prêt, met en évidence la nécessité de modéliser un portefeuille

groupe pour prendre véritablement en compte les impacts de la déliaison pour l’assureur

groupe. A cet effet, le comportement de substitution est modélisé avec une approche

rationnelle : l’option de substituer son contrat groupe par un contrat individuel repose sur

les caractéristiques de l’assuré et sur les gains de prix qu’il peut obtenir.

La modélisation du portefeuille groupe avec tous les profils de risque d’un tel contrat

permettra :


d’envisager le cas d’une déliaison totale de l’assurance emprunteur, dont la

substitution serait rendue possible pendant toute la durée du prêt.

Une première partie présentera le cadre du mémoire : l’étude des prêts immobiliers et des

spécificités de l’assurance emprunteur précédera la comparaison des contrats groupe et

individuels ainsi que l’analyse des enjeux de la déliaison.

La deuxième partie sera consacrée à la tarification de l’assurance emprunteur, à l’exposé du

modèle markovien mis en place, puis à une application pour une cohorte de référence, pour

laquelle les impacts de la déliaison seront mesurés.

Une dernière partie permettra d’envisager les effets de la déliaison de première année, puis

d’une déliaison totale, sur un portefeuille groupe. Les résultats de l’étude seront présentés

après l’exposé de la démarché effectuée, comprenant la classification de ce portefeuille et la

modélisation du comportement des assurés.


PARTIE 1 : CADRE DE L’ETUDE

Ce mémoire ayant pour objectif l’étude des déformations de l’assurance emprunteur

consécutives à sa déliaison, il est important d’en préciser dans un premier temps le contexte.

Cette partie est ainsi consacrée à la présentation des prêts immobiliers, des spécificités de

l’assurance emprunteur, des contrats groupe et individuels ainsi que de la déliaison.

1.1 Contrat de prêt

L’assurance emprunteur a pour objet de garantir le remboursement d’un prêt lors de la

survenance d’un sinistre. Sous réserve de prise en charge du sinistre (dont l’acceptation est

décidée suite à l’étude du dossier et selon les conditions du contrat : franchise, carence,

exclusions), l’assureur se substitue à l’emprunteur dans le remboursement du capital restant

dû au prêteur en cas de décès, ou des échéances de prêt en cas d’arrêt de travail.

1.1.1 Cadre juridique, prêteur et emprunteur

L’étude de l’assurance emprunteur nécessite au préalable de définir précisément son

origine, le prêt. Le contrat de prêt résulte de l’accord de deux parties, le prêteur et

l’emprunteur, le premier mettant à disposition du deuxième une somme d’argent, le capital

initial, en échange du remboursement futur de celui-ci — l’amortissement — ainsi que du

versement d’intérêts compensatoires. En France, le régime juridique des contrats de prêt est

celui du droit des contrats spéciaux : les contrats de crédit sont l’objet du troisième

livre du Code de la consommation.

Le prêteur ne peut exiger un remboursement immédiat ou dans des conditions qui diffèrent

de celles prévues au contrat ; l’emprunteur est à tout moment en droit de mettre un terme

prématuré au contrat par le remboursement anticipé de son prêt, qui peut être partiel ou

total comme le stipule l’article L. 311-22 du Code de la consommation :

« L'emprunteur peut toujours, à son initiative, rembourser par anticipation sans

indemnité, en partie ou en totalité, le crédit qui lui a été consenti. »

Le prêteur subit le comportement de l’emprunteur mais cette asymétrie peut être

compensée par des pénalités prévues par le contrat de prêt en cas de remboursement

anticipé au profit du prêteur, lésé par la renonciation aux intérêts normalement perçus lors

du remboursement régulier du capital prêté.


L’existence et le calcul des indemnités de remboursement anticipé sont réglementés par le

Code de la consommation (articles L. 312-21 et R. 312-2) :

« L'indemnité éventuellement due par l'emprunteur, prévue à l'article L. 312-21 en cas

de remboursement par anticipation, ne peut excéder la valeur d'un semestre d'intérêt sur le

capital remboursé au taux moyen du prêt, sans pouvoir dépasser 3 % du capital restant dû

avant le remboursement. »

Le prêteur est généralement une personne morale (banque, organisme de crédit) participant

à de nombreuses opérations de crédit, qui constituent dans leur ensemble une importante

part de l’activité mais dont la sécurité financière ne dépend pas d’un contrat de prêt seul.

La situation est bien différente pour l’emprunteur, personne physique ou morale pour qui le

prêt revêt une importance cruciale en permettant par exemple :

le financement d’un bien immobilier ;

l’acquisition d’un véhicule ;

le financement de ses études ;

l’investissement nécessaire au développement d’une entreprise.

Le contrat de prêt naît de la rencontre de deux volontés, celles du prêteur et de

l’emprunteur, dont les situations sont cependant opposées, tant en matière d’objectifs que

de risques auxquels ils sont exposés.

1.1.2 Prêts immobiliers et amortissement

Les prêts que nous considérons sont les prêts immobiliers proposés par une banque :

aux acquéreurs d’une résidence principale ou secondaire ;

aux acquéreurs dans le cadre d’un investissement locatif.

Les hypothèses de l’étude sont les suivantes :

le prêt est amortissable et ne comporte pas de différé de remboursement ;

son amortissement est à annuités constantes et sur une durée maximale de 30 ans ;

le prêt est libellé en euros et est à taux d’intérêt fixe strictement positif.

http://www.legifrance.gouv.fr/affichCodeArticle.do;jsessionid=45892293DAC499FAF1A182FBA03787C1.tpdjo11v_3?cidTexte=LEGITEXT000006069565&idArticle=LEGIARTI000006292462&dateTexte=&categorieLien=cid


Bien qu’une partie des prêts immobiliers contractés puisse prévoir un différé partiel ou total

(crédits relais) ou des modalités de remboursement différant de celles définies ci-dessus,

nous cantonnerons la modélisation des prêts à ces hypothèses, les plus fréquentes.

Nous étudions ici l’amortissement d’un prêt à travers ses trois caractéristiques principales :

le capital emprunté, la durée du prêt et son taux d’intérêt.

L’amortissement à annuités constantes signifie que les échéances périodiques de

remboursement, sommes de l’amortissement périodique du capital et des intérêts sur la

période, sont constantes : la charge supplémentaire que représente les intérêts est ainsi

lissée sur toute la durée du prêt.

Les taux d’intérêt proposés par les banques sont actuellement très bas, celles-ci se référant

notamment aux taux des Obligations Assimilables du Trésor français à 10 ans qui sont

historiquement bas depuis 2013 : autour de 2 %.

Les taux d’intérêts (fixes et annuels) des prêts immobiliers accordés sont d’autant plus

élevés que les prêts sont longs et risqués du point de vue de la banque, mais leur moyenne

est de l’ordre de 3 % de janvier 2013 à juillet 2014 :

Figure 1. Les taux d'intérêts des crédits immobiliers aux particuliers — Source Crédit Logement/CSA

L’amortissement du prêt est important pour l’étude de l’assurance emprunteur ; le tableau

d’amortissement du prêt est à l’origine de la tarification de l’assurance emprunteur et de la

modélisation des flux de primes et de sinistres.

Nous détaillons l’amortissement d’un prêt à annuités constantes en Annexe A et en

présentons ici les principaux résultats.


Nous considérons un prêt de durée n années, de capital emprunté K, d’annuités (A1, …, An),

d’amortissements (Am1, …, Amn), d’intérêts (I1, …, In) et de taux d’intérêt annuel r.

L’amortissement du capital s’effectuant à annuités constantes, A = A1 = … = An et on a :

Un prêt plus long permet de réduire l’annuité mais implique une charge totale d’intérêts

supérieure. L’amortissement suit une progression géométrique, de raison (1 + r) et de

premier terme (A – rK).

Nous avons détaillé en Annexe A le mécanisme d’amortissement d’un prêt immobilier de

périodicité de remboursement annuelle et d’annuités constantes. Les hypothèses retenues,

telles que l’absence de différé de remboursement et un taux d’intérêt annuel fixe, réduisent

à trois le nombre de paramètres qui ont un impact sur ce mécanisme d’amortissement : le

capital emprunté, la durée du prêt et son taux d’intérêt. Ces trois caractéristiques du prêt

permettent de calculer le montant de l’annuité et l’ensemble du tableau d’amortissement :

capitaux restants dus successifs, amortissements et intérêts pour chaque année.

Ci-dessous le tableau d’amortissement d’un prêt de 100 000 € sur 10 ans au taux d’intérêt de 3 % :

Année Capital Restant Dû (en début d'année)

Annuité Amortissement

du capital Intérêts

Capital Restant Dû (en fin d'année)

1 100 000 € 11 723 € 8 723 € 3 000 € 91 277 €

2 91 277 € 11 723 € 8 985 € 2 738 € 82 292 €

3 82 292 € 11 723 € 9 254 € 2 469 € 73 038 €

4 73 038 € 11 723 € 9 532 € 2 191 € 63 506 €

5 63 506 € 11 723 € 9 818 € 1 905 € 53 688 €

6 53 688 € 11 723 € 10 112 € 1 611 € 43 576 €

7 43 576 € 11 723 € 10 416 € 1 307 € 33 160 €

8 33 160 € 11 723 € 10 728 € 995 € 22 432 €

9 22 432 € 11 723 € 11 050 € 673 € 11 382 €

10 11 382 € 11 723 € 11 382 € 341 € 0 €

Total

117 231 € 100 000 € 17 231 €

Figure 2. Tableau d'amortissement d'un prêt

1.1.3 Garanties du prêt

Lors de la signature du contrat de prêt, le prêteur met à disposition de l’emprunteur un

capital mais n’est pas certain d’en obtenir par la suite le remboursement intégral :

l’emprunteur peut être victime de décès, d’incapacité ou invalidité de travail, de perte

d’emploi ou de surendettement.


L’antériorité de l’exercice de l’engagement du prêteur par rapport à celui de l’emprunteur,

dont la solvabilité future est inconnue, met ainsi le prêteur dans une situation délicate, ce

qui le conduit à se protéger en amont par différents moyens :

prendre en compte la capacité de remboursement de l’emprunteur

→ conditionner l’octroi du prêt à un revenu minimum et un taux d’endettement

maximum de l’emprunteur, généralement de 33 %.

garantir les défauts de paiement de l’emprunteur qui lui incombent

→ exiger une caution, une hypothèque ou un nantissement.

garantir les évènements incertains altérant sa capacité de remboursement

→ recourir à l’assurance emprunteur, qui couvre les risques de décès, d’incapacité et

invalidité de travail (et éventuellement de perte d’emploi).

En France, en 2012, 98 % des encours de prêts immobiliers bénéficiaient d’une garantie1 :

une caution (53 %), une hypothèque (34 %) ou un autre type de garantie (11 %).

Dans le cadre d’un prêt immobilier, le recours à une de ces garanties sécurise le prêteur en

cas de non-remboursement consécutif à une défaillance de l’emprunteur, mais cette

couverture se fait au détriment de l’emprunteur : dans le cas d’une hypothèque, le bien

immobilier est susceptible d’être vendu aux enchères, et une caution peut aboutir à une

hypothèque conventionnelle ou judiciaire.

En parallèle, l’assurance emprunteur sécurise simultanément le prêteur et l’emprunteur,

prenant en charge les conséquences financières d’évènements incertains tels que le décès

de l’emprunteur, son incapacité ou invalidité de travail ou sa perte d’emploi.

En particulier, la garantie décès de l’assurance emprunteur permet aux proches de

l’emprunteur d’hériter du bien immobilier sans la dette associée, le capital restant dû étant

alors versé au prêteur par l’assureur.

L’assurance emprunteur, objet de notre étude, est particulièrement importante concernant

les prêts immobiliers : elle satisfait aux besoins des deux parties en sécurisant le prêteur,

l’emprunteur et sa famille. Au-delà de la protection qu’elle apporte au prêteur, l’assurance

emprunteur est essentielle pour l’accession à la propriété en France.

1 Source : Le financement de l’habitat en 2012 – ACPR, Juillet 2013


1.2 Spécificités de l’assurance emprunteur

L’assurance emprunteur est une assurance particulière, par son origine — le prêt, qui lui est

sous-jacent, a fait l’objet de la section précédente —, par les garanties qu’elle regroupe, de

natures juridiques différentes, ou encore par la population qu’elle couvre et la sinistralité qui

lui est propre.

Nous présentons dans cette section les spécificités de l’assurance emprunteur et abordons

des aspects économiques, juridiques et techniques.

1.2.1 Marché de l'assurance emprunteur et coût vis-à-vis de celui du

prêt

En France, le marché de l’assurance emprunteur représente 8,2 milliards d’euros de primes

émises en 2012, dont la majorité pour les prêts immobiliers : 5,9 milliards d’euros de chiffre

d’affaires 2 .

Les encours de prêts immobiliers s’élèvent à 772 milliards d’euros, le coût moyen de

l’assurance emprunteur est donc de l’ordre de 0,8 % du capital restant dû pour une année de

garantie. Pour un prêt immobilier de 20 ans, le coût total de l’assurance emprunteur

représente ainsi, en moyenne, de l’ordre de 10 % du capital emprunté.

Dans un contexte de taux d’intérêts bas, l’assurance emprunteur prend une part importante

du coût total du crédit, somme des intérêts, frais de dossier et cotisations d’assurance.

Il n’est pas anodin de remarquer que certaines personnes ne pourraient plus, en cas de

démutualisation forte de l’assurance emprunteur, obtenir un prêt immobilier.

En effet, le coût de l’assurance emprunteur impacte le taux effectif global (TEG) du crédit qui

pourrait dépasser le taux de l’usure légal (TU), indexé sur le TEG moyen constaté3 :

Pour un prêt au taux d’intérêt moyen de 3 %, le taux d’usure de 5 % exige, même en

négligeant les frais de dossier, que le coût de l’assurance emprunteur représente au

maximum une hausse de 2 % du TEG par rapport au taux d’intérêt seul. Autrement dit, les

cotisations d’assurance ne doivent pas excéder 40 % du coût total du crédit.

2 Source : Rapport N° 2013-M086-02 de l’IGF, Novembre 2013

3 Banque de France : pour les prêts à taux fixe, taux effectif moyen constaté au 2

ème trimestre 2014 : 3,83 % ;

taux de l’usure pour le 3ème

trimestre 2014 : 5,11 %


Illustration du coût de l’assurance emprunteur par rapport au coût total du crédit (qui

comprend les intérêts et les cotisations d’assurance) :

D’après l’étude de l’IGF4, pour un prêt immobilier amortissable sur 15 ans au taux d’intérêt

de 3%, cette part de l’assurance emprunteur dans le coût total du crédit s’élève :

pour un emprunteur non-fumeur et cadre de 26 ans, à 15 % (moyenne de marché,

contrats groupe) et 5 % (contrats alternatifs) ;

pour un emprunteur fumeur et non-cadre de 56 ans, à 25 % (contrats groupe) et 40

% (contrats alternatifs).

Cela illustre bien l’enjeu, en matière d’accès au crédit, du coût de l’assurance emprunteur

selon la mutualisation pratiquée, les contrats alternatifs dits individuels étant plus

segmentés que les contrats des bancassureurs (contrats groupe) — voir section suivante.

1.2.2 Garanties de l'assurance emprunteur

D’un point de vue juridique, la couverture d’un prêt par une assurance emprunteur n’est pas

obligatoire en France. Bien qu’elle ne soit pas une nécessité légale, l’assurance emprunteur

est cependant très souvent exigée par la banque pour l’octroi d’un prêt. En particulier, 90 %

des prêts immobilier sont couverts par la garantie décès :

Figure 3. Part des prêts immobiliers couverts par une assurance — Source ACPR

En complément de la garantie décès, la plupart des assurances de prêts immobiliers

comportent également une garantie arrêt de travail, qui couvre l’incapacité de travail

temporaire et l’invalidité permanente.



Lorsque l’emprunteur est retraité ou acquière un bien immobilier à usage locatif, l’assurance

emprunteur comporte la garantie décès seule.

Enfin, la garantie perte d’emploi, peu fréquente, ne sera pas considérée par la suite.

La diversité des garanties que l’assurance emprunteur réunit ainsi que son contexte sont

sources d’incertitudes juridiques.

En effet, bien qu’étant mixte (elle relève des branches vie et non-vie) et particulière (elle est

liée à un prêt et concerne trois parties : le prêteur, l’assureur et l’emprunteur — voir 1.3.1),

l’assurance emprunteur n’est pas un régime spécifique du Code des assurances. Elle est

toutefois régie par différents articles du Code des assurances et du Code de la

consommation qui lui sont spécifiquement dédiés.

En écartant la garantie perte d’emploi, qui couvre un risque divers (branche des assurances

dommages ou « IARD »), nous pouvons considérer l’assurance emprunteur comme une

assurance de personnes au sens du Code des assurances.

Un prêt est parfois contracté par plusieurs personnes, la situation la plus fréquente étant

celle du couple acquéreur d’un bien immobilier. Le prêt peut ainsi être à l’origine de deux

contrats d’assurance emprunteur, chaque emprunteur étant assuré à hauteur d’une certaine

fraction du capital K, la quotité (≤ 100 %).

Les cotisations d’assurance sont calculées au prorata de la quotité, pour un capital assuré K’:

En contrepartie, les prestations versées sont basées sur un capital restant dû assuré CRD’ :

Les banques exigent généralement pour un prêt une couverture totale d’au moins 100 % : un

couple d’emprunteurs peut par exemple s’assurer à 50 % chacun, à 80 % / 20 % ou à 100 %

chacun.

Nous considérerons par la suite les emprunteurs comme étant seuls et entièrement assurés :

nous modéliserons toujours sous l’hypothèse d’une quotité égale à 100 %.

Les termes emprunteur et assuré désigneront la même personne physique pour notre étude

de l’assurance de prêts immobiliers : l’acquéreur du bien immobilier sous-jacent, exposé aux

accidents graves de la vie.


1.2.3 Anti-sélection, sélection médicale et sociale

L’assurance emprunteur contribue à la sécurisation du prêteur et de l’emprunteur.

Néanmoins, il ne s’agit pas d’une démarche spontanée de la part des emprunteurs, qui ne

s’assurent pas parce qu’ils y voient un avantage personnel mais par exigence systématique

du prêteur. Lors de sa demande de prêt, l’emprunteur prend conscience de la nécessité de

l’assurance emprunteur, de son coût et de ses garanties.

Contrairement à d’autres types d’assurances, l’assurance emprunteur n’expose donc pas

l’assureur à une importante anti-sélection.

La population des emprunteurs immobiliers est en grande partie constituée d’actifs ayant

une situation stable, qui ont tous été sélectionnés par la banque pour l’octroi de leur prêt.

Cette sélection sociale exclut les inactifs, dont la mortalité est très supérieure à celle des

actifs, ce qui impacte les tables de mortalité de la population française globale.

D’autre part, les assureurs procèdent, en particulier pour les prêts immobiliers, à une

importante sélection médicale : questionnaire de santé a minima, examens médicaux dans

certains cas. Les porteurs de risques sont ainsi détectés en amont et font l’objet de

surprimes ; les risques aggravés de santé peuvent bénéficier sous certaines conditions d’une

assurance emprunteur dans le cadre de la convention AERAS (s’Assurer et Emprunter avec

un Risque Aggravé de Santé).

Le concours de ces facteurs — sélection sociale, sélection médicale et absence d’anti-

sélection — explique la moindre mortalité des emprunteurs par rapport à la population

française dans son ensemble telle qu’elle est estimée dans les tables de référence.

Cela justifie le recours aux tables d’expérience pour la tarification et le provisionnement en

assurance emprunteur. Nous étudierons la mortalité d’un portefeuille d’assurés issus de la

population des emprunteurs immobilier d’une même banque, cette population faisant

actuellement l’objet de la certification d’une table d’expérience. Notre modélisation se

basera ainsi sur une mortalité d’expérience et prendra en compte l’impact de la sélection

médicale, fort en début de contrat puis décroissant.

Certains décès ne sont pas couverts par l’assurance emprunteur d’après les exclusions

définies au contrat, ce qui réduit encore la mortalité du point de vue de l’assureur.

Pour un prêt immobilier, l’incidence de la mortalité est assez faible mais les capitaux assurés

sont relativement importants. L’assureur est ainsi confronté avec la garantie décès à une

sinistralité de fréquence faible et de coût élevé, ce qui met en évidence une volatilité

importante.


En ce qui concerne la garantie arrêt de travail, l’assureur fait face à une sinistralité de

fréquence supérieure mais de coûts moins élevés et plus étalés dans le temps : le

remboursement des échéances de prêt ne s’effectue pas en une seule fois mais tout au long

de l’incapacité ou de l’invalidité de travail.

L’assurance emprunteur nécessite un volume d’assurés conséquent pour mutualiser

suffisamment les risques, et la réassurance joue un rôle important.

1.2.4 Réassurance

La cession en réassurance est une pratique courante en assurance emprunteur : c’est un

soutien technique et financier pour l’assureur.

L’assurance emprunteur fait le plus souvent l’objet d’une cession en réassurance

proportionnelle : quote-part et/ou excédent de plein.

La réassurance en quote-part est notamment utile pour réduire le besoin en fonds propres

de l’assureur. La répartition équitable d’une quote-part (taux de cession unique pour

l’ensemble des risques assurés) est simple de gestion mais peut conduire à des

conservations nettes jugées trop faible par l’assureur, avec un impact important sur le

résultat technique.

Une telle réassurance s’avère onéreuse et n’est pas forcément nécessaire à l’assureur.

Le traité de réassurance en excédent de plein permet à l’assureur de céder spécifiquement

les risques supérieurs à un certain seuil, le plein de rétention. Le partage des primes et

sinistres s’effectue a priori, selon un taux de cession calculé risque par risque. Ce type de

traité homogénéise les conservations nettes de l’assureur, ce qui conduit à une réduction de

la variance de la sinistralité après réassurance significative au regard de la part des risques

cédés.

La réassurance en excédent de plein convient particulièrement bien à l’assurance

emprunteur de prêts immobiliers : l’assureur cède les plus gros capitaux tout en conservant

une grande partie de son volume d’affaires.

Pour l’assureur, optimiser la réassurance revient à minimiser le ratio5 :

5 Cours de Réassurance : P. Lacoste – ISUP 3

e année, 2013


Au vu de l’importance des capitaux assurés en assurance emprunteur, les engagements de

l’assureur nécessitent la constitution de provisions, tant au titre de la garantie décès que de

la garantie arrêt de travail. Les sinistres futurs font l’objet de provisions pour risques

croissants et les sinistres survenus de provisions pour sinistres à payer.

L’assureur doit être en mesure de faire face à la sinistralité future, y compris dans

l’hypothèse d’un arrêt de la production de nouveaux contrats.

Toutefois, nous ne nous préoccuperons pas du provisionnement de l’assurance emprunteur

dans cette étude. Nous modéliserons la charge sinistre par année de survenance, sans

distinguer prestations effectivement versées et provisions, notre objectif étant d’étudier les

déformations de l’assurance emprunteur dans le cadre de sa déliaison.

La section suivante présente les deux principaux types de contrats d’assurance emprunteur,

les contrats groupe et les contrats dits individuels, qui diffèrent par leur segmentation

tarifaire et leur mode de distribution.


1.3 Contrat groupe et contrat individuel

1.3.1 Structure juridique des contrats emprunteurs

Les contrats d’assurance emprunteur prennent la forme de contrats collectifs à adhésions

facultative. La distinction couramment effectuée entre contrats groupe et contrats

individuels n’est pas d’origine juridique mais provient de la nature du distributeur ainsi que

de la segmentation tarifaire pratiquée.

Un contrat groupe est un contrat entre un organisme de crédit et un assureur, généralement

un bancassureur. Les contrats groupe sont souvent peu segmentés, par opposition aux

contrats dits individuels ou alternatifs qui sont davantage segmentés.

Dans tous les cas, un contrat d’assurance emprunteur est collectif : il est souscrit auprès de

l’assureur par une personne morale (la banque ou l’association souscriptrice) au bénéfice

des emprunteurs qui adhèrent à ce contrat.

L’assurance emprunteur met en jeu trois parties : le prêteur (la banque, éventuellement

souscriptrice), l’assureur (et l’association souscriptrice éventuelle) et l’emprunteur (l’assuré,

adhérent au contrat collectif).

Le contrat groupe est proposé par l’établissement prêteur lors de l’octroi du prêt et peut

être vu comme l’assurance naturelle et par défaut du prêt, sa durée de couverture coïncide

avec celle du prêt et la distribution bancaire simplifie les démarches, l’unique intermédiaire

étant le conseiller bancaire de l’emprunteur.

Le contrat dit individuel, dont le tarif est fortement segmenté, est également un contrat

collectif mais il est vendu :

par un assureur externe, auquel cas sa distribution fait intervenir des

intermédiaires : courtiers, agents généraux d’assurance ;

par le bancassureur qui peut proposer un contrat défensif pour conserver les

emprunteurs souhaitant bénéficier d’un tarif individualisé.

Le contrant individuel représente ainsi une alternative au contrat groupe proposé lors de la

signature du prêt.

Dans le cas d’un contrat groupe en bancassurance, les primes d’assurances sont associées

aux échéances du prêt et reversées par la banque à l’assureur. En revanche, les primes

d’assurances d’un contrat individuel sont directement payées à l’assureur par l’assuré.


Les prestations sont versées à la banque dans le cas d’un décès (remboursement du capital

restant dû) ou à l’assuré en cas d’arrêt de travail (remboursement périodique des échéances

de prêt).

Nous pouvons schématiser les flux des contrats groupe et individuel :

Figure 4. Flux des contrats groupe et individuel

1.3.2 Contrats groupes (bancaires)

Le contrat groupe est destiné à assurer une population bien définie, par exemple celle des

emprunteurs d’une même banque. La logique de ce type de contrat est de garantir pour tous

les emprunteurs le remboursement du crédit pendant toute la durée du prêt, quel que soit

leur évolution (vieillissement, dégradation de l’état de santé), et dans des conditions fixes

tant en terme de tarif que de garanties :

Les contrats de groupe se caractérisent par « l'équilibre entre d’une part un tarif et des

garanties fixes sur la durée du prêt et d’autre part une large communauté d’emprunteurs à

niveaux de risque variés et évolutifs mais engagés sur la durée du prêt. »6

L’assureur évite ainsi une forte anti-sélection de la part des assurés, il dispose d’un volume

important d’assurés qui permet une bonne mutualisation des risques, et il bénéficie d’une

réduction des coûts de gestion.

La distribution bancaire utilise l’infrastructure de la banque : l’assureur n’a pas de

démarchage à effectuer. Il cède en contrepartie d’importantes commissions à la banque.

Outre la mutualisation temporelle qui leur est propre — les assurés payent une prime

6 Source : Rapport de la Fédération Bancaire Française du 23 mai 2013 : les dangers de la déliaison


constante tout au long du prêt —, les contrats groupe présentent une forte mutualisation du

risque de par leur faible segmentation tarifaire.

Les assurés les plus jeunes payent plus que ce qu’ils coûtent contrairement aux plus âgés.

Les fumeurs bénéficient de conditions tarifaires identiques aux autres, de même que les

non-cadres.

Enfin, les contrats groupe s’adressent aussi à une population spécifique : sa mutualisation

permet d’assurer les emprunteurs ayant un risque aggravé de santé (convention AERAS) et

de proposer des tarifs raisonnables aux emprunteurs les plus âgés.

En résume, le principe du contrat groupe est de couvrir l’ensemble d’une population

d’emprunteurs d’une même banque, de bénéficier de coûts réduits et d’une forte

mutualisation. Les adhésions sont considérées dans leur ensemble et non de façon

individuelle.

Cependant, le fondement du contrat groupe est valable sous l’hypothèse primordiale selon

laquelle les emprunteurs conservent leur assurance pendant toute la durée du prêt ; seuls

les rachats anticipés du prêt, dont la proportion est connue et d’ordre structurel, conduisent

à des clôtures prématurées de l’assurance emprunteur.

C’est cette hypothèse essentielle qui est remise en cause par les réformes de la déliaison, en

particulier la loi Hamon qui autorise la substitution de l’assurance emprunteur la première

année suivant la signature du contrat (voir 1.4).

1.3.3 Contrats individuels (alternatifs)

Un contrat individuel est destiné à des emprunteurs d’origines diverses, ce qui conduit

l’assureur à individualiser le tarif. Les contrats individuels proposent ainsi un tarif adapté au

profil de risque de l’assuré : ils peuvent être segmentés par âge, catégorie

socioprofessionnelle, tabagisme et tranche de capital emprunté.

Les contrats individuels sont construits pour garantir un prêt de façon annuelle, les

conditions tarifaires et de garanties sont susceptibles d’évoluer. Les cotisations d’assurance

ne sont pas constantes sur toute la durée du prêt mais correspondent chaque année au

risque que représente l’assuré, qui dépend notamment de l’âge de l’assuré, de son état de

santé et du capital restant dû assuré.

La diversité des emprunteurs couverts par le contrat individuel expose l’assureur à

davantage de risques, ce qui nécessite une marge de prudence supérieure par rapport aux

contrats groupe, dont le volume d’assurés est en général plus important. L’absence d’une


population conséquente et connue, comme celle des clients d’une banque, limite le recours

aux tables d’expérience et soulève un risque de sous-tarification.

Le contrat individuel est vendu par l’intermédiaire de courtiers, le démarchage ayant pour

objectif de récupérer les emprunteurs ayant un bon profil de risque. Cela permet en effet à

l’assureur de sur-tarifer ces derniers tout en restant plus compétitif que les contrats groupe.

1.3.4 Evolution de l’assurance emprunteur

Auparavant, les contrats groupe proposaient un tarif unique. Depuis le début des années

2000, la pression concurrentielle a conduit les bancassureurs à segmenter progressivement

leurs offres par tranche d’âge, mais la mutualisation intergénérationnelle de ces contrats

reste forte en 2013.

La comparaison du coût total de l’assurance emprunteur en 2013 (en moyenne de marché et

exprimé en % du capital emprunté) selon l’âge à l’adhésion et le type de contrat illustre la

mutualisation intergénérationnelle des contrats groupe :

Figure 5. Coût total de l'assurance emprunteur selon le type de contrat et le profil de l’assuré — Source IGF

Malgré les économies que de nombreux emprunteurs pourraient réaliser en choisissant une

offre individuelle d’assurance, la plupart adhèrent au contrat groupe proposé par leur

banque, certains d’entre eux y étant parfois obligés. Le modèle économique de la

bancassurance, fondé sur un commissionnement important et des taux de pénétration des

contrats groupe élevés, est remis en cause.

L’assurance emprunteur fait en effet l’objet d’évolutions juridiques visant à instaurer une

concurrence effective, l’emprunteur n’ayant pas toujours la liberté de choisir son assurance.


1.4 Déliaison de l’assurance emprunteur

La déliaison de l’assurance emprunteur se caractérise pour l’emprunteur par le libre choix de

son assurance de prêt et pour le prêteur par l’interdiction de refuser la délégation

d’assurance. La déliaison, c’est la possibilité pour l’emprunteur de résilier son assurance

pour en souscrire une autre : on parle de substitution d’assurance.

Nous présentons les différents types de résiliations de l’assurance emprunteur, certaines

ayant pour origine le rachat du prêt alors que d’autres sont liés à l’assurance du prêt, dans le

cadre de sa déliaison. Nous étudions ensuite les enjeux de la déliaison à travers les réformes

juridiques récentes de l’assurance emprunteur : loi Lagarde (2010) puis loi Hamon (2014).

1.4.1 Rachats et substitution de l’assurance emprunteur

On distingue plusieurs causes de résiliation du contrat d’assurance emprunteur :

Les rachats anticipés du prêt entraînant la résiliation du contrat d’assurance :

ils peuvent être d’ordre structurels (remboursement anticipé du prêt suite à la vente

du bien acquis dans le cadre de l’emprunt, à un héritage ou à un regroupement de

prêts), ou conjoncturels (consécutifs à la baisse des taux du marché : changement de

banque et nouvel emprunt à un taux d’intérêt plus avantageux) ;

La substitution de l’assurance emprunteur par une autre dans le cadre de la

déliaison.

Les réformes actuelles de l’assurance emprunteur concernent ce dernier point uniquement.

Elles ont pour objectif principal d’accroître la concurrence en renforçant les droits des

emprunteurs en matière de choix d’assurance emprunteurs.

1.4.2 Loi Lagarde (2010)

La volonté d’évolution juridique de l’assurance emprunteur s’est d’abord traduite par la loi

Lagarde7, qui a apporté en 2010 :

7 Loi n° 2010-737 du 1er juillet 2010 portant réforme du crédit à la consommation


la suppression de la disposition législative qui autorise les banques, à l’occasion d’une

demande de crédit immobilier, à imposer au consommateur d’adhérer au contrat

d'assurance emprunteur qu’elles commercialisent (article L. 312-8 du Code de la

consommation) ;

l’obligation de motiver tout refus d’assurance déléguée : le prêteur ne peut refuser

en garantie un autre contrat d’assurance présentant un niveau de garantie

équivalent à celles du contrat qu’il propose (article L. 312-9 du Code de la

consommation) ;

l’interdiction de moduler le taux d’intérêt du crédit selon que l’emprunteur décide ou

non de prendre une assurance déléguée (article L. 312-9 du Code de la

consommation).

La loi Lagarde n’a pas modifié l’équilibre du marché de l’assurance emprunteur et les taux de

délégation des assurances de prêts immobiliers ont peu évolué depuis 2010 — les contrats

groupe représentent toujours de l’ordre de 85 % des assurances emprunteur :

Figure 6. Evolution des taux de délégation de l'assurance emprunteur (prêts immobiliers) — Source FFSA

L’effet très limité de cette loi peut s’expliquer par le contexte particulier de l’octroi du prêt

immobilier. L’acquisition d’un bien immobilier implique beaucoup de démarches : outre

l’obtention du prêt, l’emprunteur est confronté aux actes notariés, à d’éventuels travaux,

déménagement et parfois à la vente d’un autre bien.

14,9% 14,7% 14,9% 15,2% 15,8% 15,6%

85,1% 85,3% 85,1% 84,8% 84,2% 84,4%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

2007 2008 2009 2010 2011 2012

Part des contrats en délégation

Contrats en délégation Contrats groupe


Par conséquent, l’assurance emprunteur est rarement une des préoccupations principales

de l’acheteur lors de la signature du contrat de prêt.

Un délai supplémentaire permettrait aux emprunteurs de véritablement choisir leur

assurance.

La mission effectuée par l’Inspection Générale des Finances en novembre 2013 suggère ainsi

d’autoriser la substitution de l’assurance emprunteur dans les 3 mois qui suivent la

souscription initiale.

1.4.3 Loi Hamon (2014)

La loi Hamon8, entrée en vigueur le 26 juillet 2014, retient finalement la possibilité pour

l’emprunteur de résilier son assurance dans un délai de 12 mois à compter de la signature de

l’offre de prêt, modifiant l’article L. 312-9 du Code de la consommation.

Ce droit de résiliation est unilatéral : l’assureur n’en bénéfice pas.

Le prêteur ne peut refuser la résiliation du contrat d’assurance initial dès lors que

l’emprunteur souscrit à une autre assurance dont les garanties en sont au moins

équivalentes.

La loi Hamon apporte un changement majeur au marché de l’assurance emprunteur en

introduisant sa déliaison la première année. Le droit de substitution est lié la volonté d’une

concurrence effective et d’une baisse des tarifs de l’assurance emprutneur.

Cependant, la substitution risque de déséquilibrer le modèle français de l’assurance

emprunteur de groupe et d’impacter l’ensemble des acteurs concernés : banques, assureurs

et emprunteurs. Les avantages apportés par la déliaison s’accompagnent d’inconvénients

probables pour les différentes parties.

Le départ des meilleurs profils de risques — les jeunes, non-fumeurs, cadres, en bonne santé

— des contrats groupe vers les contrats alternatifs, qui proposent un tarif individualisé,

implique une détérioration des contrats groupe qui nécessite une révision tarifaire.

8 Loi n°2014-344 du 17 mars 2014 relative à la consommation — Article 54


La déliaison peut ainsi aboutir à une segmentation de plus en plus fine des contrats groupe :

Figure 7. Cycle de démutualisation du contrat groupe

Chaque emprunteur paierait alors son assurance en fonction du niveau de risque qu’il

représente, ce qui remettrait en cause l’accès au crédit pour les emprunteurs à risque.

Le modèle français de l’assurance emprunteur permet en effet à tous, par l’intermédiaire

des contrats groupe, de bénéficier d’une couverture d’assurance abordable, y compris pour

les personnes âgées, par la mutualisation intergénérationnelle, et pour les personnes

présentant un risque aggravé de santé, par la convention AERAS (s’Assurer et Emprunter

avec un Risque Aggravé de Santé).

C’est l’accès généralisé au crédit immobilier permis par l’assurance emprunteur qui est remis

en question par la déliaison.

En permettant à l’emprunteur de choisir librement son assurance emprunteur, la baisse

souhaitée des tarifs pourrait aboutir à une démutualisation complète des contrats groupe,

au détriment à la fois de l’équilibre des bancassureurs et des intérêts des emprunteurs.

La déliaison pourrait également être à l’origine9 d’une augmentation des taux d’intérêts ainsi

que d’une révision des conditions contractuelles de l’assurance emprunteur : fin des primes

et garanties fixes sur toute la durée du prêt.


Comparaison du contrat groupe et des contrats individuels

Départ des bons risques qui profitent

d'un meilleur tarif vers les contrats individuels

Détérioriation du risque moyen du

portefeuille groupe

Révision tarifaire du contrat groupe


La loi Hamon répond à la volonté d’une concurrence effective et d’une réduction des coûts

de l’assurance emprunteur — le fort commissionnement pratiqué se traduit par un ratio

sinistres sur primes, de l’ordre de 45 %, parmi les plus faibles du secteur de l’assurance —,

mais la mutualisation des contrats groupe est susceptible de disparaître avec le droit de

substitution.

Du point de vue de la préférence collective, en considérant les individus averses au risque, la

segmentation excessive de l’assurance emprunteur est défavorable. En effet, avant de

connaître son profil de risque, un individu préfère payer un tarif moyen qui n’évoluera pas

plutôt qu’un tarif fortement volatile : la démutualisation de l’assurance emprunteur réduit le

bien-être moyen des individus10.

Nous nous intéressons dans cette étude aux impacts de la déliaison sur l’équilibre des

contrats emprunteurs. Les contrats individuels ne sont pas remis en cause par la déliaison, ils

en sont au contraire les réceptacles. En revanche, les contrats groupe sont fragilisés par la

déliaison : outre une perte de importante de valeur, un portefeuille groupe est exposé à une

dégradation de sinistralité.

Nous étudions dans la seconde partie les contrats groupe et individuels à l’échelle d’une

cohorte. La tarification théorique et la modélisation markovienne de l’assurance emprunteur

précèdent l’analyse des effets de la déliaison sur cette cohorte. Outre la déliaison la

première année, introduite par la loi Hamon, nous considérons également la déliaison totale,

hypothétique et qui consisterait en un droit de substitution de l’assurance emprunteur tout

au long du prêt.

10

Source : Concurrence dans l’assurance emprunteur : baisser les prix sans les rendre imprévisibles — B.

Villeneuve, Octobre 2013


PARTIE 2 : MODELISATION D’UNE COHORTE

Nous avons présenté le cadre de l’étude : le contrat de prêt, les spécificités de l’assurance

emprunteur, les types de contrats (groupe et individuel) et les enjeux de la déliaison ont fait

l’objet de la première partie.

Afin de mesurer les impacts de la déliaison sur l’équilibre des contrats emprunteurs, nous

étudions d’abord les effets de la déliaison à travers une cohorte seule. Le portefeuille,

modélisé comme un ensemble de cohortes, sera étudié dans la troisième partie.

Les objectifs de cette partie sont les suivants :

comparer les différents types de tarification qui existent en assurance emprunteur ;

étudier les impacts des rachats et de la déliaison sur une cohorte ;

mettre en évidence les paramètres qui ont le plus d’influence sur le tarif d’équilibre.

2.1 Principe de tarification

La tarification d’un contrat d’assurance emprunteur nécessite dans un premier temps

d’évaluer la sinistralité future à laquelle l’assureur s’attend à être confronté. L’évaluation de

cette sinistralité permet ensuite de répartir la prime dans le temps, de façon à ce que

l’équilibre des engagements de l’assureur et de l’assuré soit respecté :

Nous nous limitons à la tarification technique — sont exclus chargements et frais

d’acquisition et de gestion, cessions en réassurance et produits financiers. Nous nous

intéressons au tarif d’équilibre, pour lequel le résultat technique attendu est nul, ce tarif

d’équilibre (prime pure) pouvant ensuite être majoré (chargement de sécurité).

La tarification d’équilibre d’une cohorte s’effectue dans un cadre bien défini. Pour

l’assurance emprunteur, elle nécessite de définir :

l’assuré : âge à l’adhésion ;


le prêt : durée du prêt, taux d’emprunt, capital initial, annuité ;

le contrat d’assurance : quotité, garanties ;

les hypothèses de sinistralité ;

le taux d’actualisation des flux futurs ;

dans notre cas, les rachats sont pris en compte : probabilité de rachat chaque année.

Dans le cadre de notre étude, nous considérons les garanties décès et arrêt de travail, qui

couvrent respectivement des risques vie et non-vie. Ce sont les garanties les plus fréquentes

parmi celles exigées par les organismes de crédits.

En cas de décès de l’assuré, et sous réserve d’acceptation de prise en charge du sinistre,

l’assureur verse à la banque prêteuse le capital restant dû assuré (produit de la quotité et du

capital restant dû au moment du sinistre), ce qui clos le contrat d’assurance.

En revanche, en cas d’arrêt de travail (incapacité ou invalidité de l’assuré), l’assureur se

substitue temporairement à l’assuré dans le remboursement des échéances du prêt.

Nous étudions la sinistralité liée à chacune de ces deux garanties.

2.2 Profil de risque par garantie

Nous précisons dans un premier temps les hypothèses et notations qui vont nous permettre

d’évaluer la sinistralité future.

2.2.1 Hypothèses et notations

Nos hypothèses sont les suivantes :

les modalités du contrat sont définies à la signature et n’évoluent pas en cours de contrat, l’assurance est renouvelée annuellement pendant toute la durée du prêt ;

le prêt sous-jacent est amortissable, à taux d’intérêt fixe, sans différé et à annuité constante ;

le capital emprunté est intégralement assuré : quotité de 100 % ;

chaque année, l’assuré peut racheter son contrat ;

l’assuré ne rachète pas son contrat tant qu’il est en état d’incapacité ou d’invalidité ;

les rachats, décès, passages en incapacité et invalidité et retours à la validité sont supposés intervenir en milieu d’année ;


l’incapacité est prise en charge pendant une durée maximale de 3 ans et comporte une franchise de 3 mois ;

en cas d’invalidité, le capital restant dû est entièrement remboursé et le contrat est clos (en réalité, l’invalidité est définitive dans plus de 80 % des cas) ;

les rachats et décès sont indépendants ;

les flux de primes et de prestations sont annuels et versés en milieu d’année ;

les flux futurs sont actualisés.

Ces hypothèses sont fortes et simplificatrices mais elles sont indispensables pour modéliser

précisément les engagements de l’assureur.

Nous adoptons les notations suivantes :

Notation Description Domaine de définition

x Age à l’adhésion de l’assuré [|18 ans ; 80 ans|]

n Durée du prêt [|1 an ; 30 ans|]

k Ancienneté du contrat [|1 ; n|]

CI Capital initial assuré ] 0 € ; CImax*]

CRDk Capital restant dû en milieu d’année k ] 0 € ; CI [

A Annuité ] 0 € ; CI [

rk Probabilité de rachat l’année k [0 ; 1]

ypx Probabilité de survie entre l’âge x et l’âge x+y [0 ; 1]

yqx Probabilité de décès entre l’âge x et l’âge x+y [0 ; 1]

i Taux d’actualisation des flux futurs ≥ 0 %

ex Probabilité d’entrée en incapacité dans l’année à l’âge x [0 ; 1]

mx1 Fraction moyenne d’annuité à prendre en charge au

titre de la 1ère année en incapacité (entrée à l’âge x)

[0 ; 0,75]

(franchise de 3 mois)


titre de la 2ème année en incapacité (entrée à l’âge x) [0 ; 1]


titre de la 3ème année en incapacité (entrée à l’âge x) [0 ; 1]

Figure 8. Tableau récapitulatif des notations utilisées

* CImax : capital maximal assuré prévu par le contrat d’assurance


2.2.2 Garantie décès

Les probabilités de décès considérées concernent par hypothèse les décès effectivement pris

en charge par l’assureur, bien qu’en réalité la sinistralité réglée ne soit pas assimilable à la

mortalité en raison des exclusions prévues au contrat.

Nous rappelons qu’en cas de décès de l’assuré, l’assureur rembourse à la banque le capital

restant dû et le contrat est clos. Les prestations sont supposées être versées par année de

survenance, en milieu d’année, sans délai ni constitution de provisions.

Avec les hypothèses et notations précédemment définies, nous pouvons modéliser les

engagements de l’assureur, en valeur actuelle probable à t = 0, relatifs à la charge de sinistre

décès pour un assuré d’âge à l’adhésion x, en tenant compte d’une probabilité de rachat

annuelle rk :

La prime de risque décès s’écrit ainsi :

Ci-dessous le profil de risque lié à la garantie décès (sinistralité décès attendue chaque

année) pour un emprunteur type (prêt de 15 ans, âge à l’adhésion 40 ans) :


Figure 9. Profil de risque décès — emprunt à 40 ans sur 15 ans

Nous détaillons ci-après par la même démarche la prime de risque arrêt de travail.

2.2.3 Garantie arrêt de travail

La garantie incapacité de travail comporte une franchise de 3 mois et une durée maximale

de prise en charge de 3 ans. Les probabilités d’entrée en incapacité considérées

correspondent par hypothèse aux états d’incapacité de travail effectivement pris en charge

par l’assureur, même si en réalité nombre d’entre eux ne le sont pas en raison des exclusions

prévues au contrat.

En cas de prise en charge de l’incapacité de travail de l’assuré, l’assureur se substitue

temporairement à l’assuré dans le remboursement des échéances de prêt, modélisées

comme des annuités. Les prestations sont supposées être versées par année de survenance,

en milieu d’année, sans délai ni constitution de provisions.

Pour rappel, nous adoptons les notations suivantes :

ex : probabilité d’entrée en incapacité à l’âge x ;

mxk : fraction moyenne d’annuité à prendre en charge au titre de la kème année en

incapacité (k = 1, 2 ou 3) pour une entrée en incapacité à l’âge x.

rk : probabilité de rachat l’année k en étant valide (par hypothèse, l’assuré en arrêt de

travail ne rachète pas son contrat).


Les hypothèses et notations précédemment définies permettent d’évaluer les engagements

de l’assureur, en valeur actuelle probable à t = 0, relatifs à la charge de sinistre incapacité de

travail pour un assuré d’âge à l’adhésion x, en tenant compte d’une probabilité de rachat

annuelle rk :

Cette mise en équation de la sinistralité incapacité de travail est simplifiée, ne tenant pas

compte des retours à l’état valide ni des passages en état d’invalidité ; cette représentation

littérale permet néanmoins d’écrire la prime de risque arrêt de travail sous la forme :


Ci-dessous le profil de risque lié à la garantie arrêt de travail (sinistralité arrêt de travail

attendue chaque année) pour un emprunteur type (prêt de 15 ans, âge à l’adhésion 40 ans) :

Figure 10. Profil de risque arrêt de travail — emprunt à 40 ans sur 15 ans

2.2.4 Profil de risque d’un contrat emprunteur

Pour un emprunteur type (prêt de 15 ans, âge à l’adhésion 40 ans), le profil de risque tenant

compte des deux garanties est le suivant :

Figure 11. Profil de risque d’un contrat emprunteur — emprunt à 40 ans sur 15 ans

Dans le cadre de notre tarification d’équilibre d’une cohorte, la répartition des primes

d’assurances sur la durée du prêt succède à l’évaluation de la sinistralité future, conduisant à

différents types de tarification.

L’étude porte sur le risque : la modélisation ne tient pas compte des chargements

d’acquisition et de gestion, seule la prime pure est considérée.


2.3 Types de tarification de l’assurance emprunteur

La première façon d’équilibrer les engagements de l’assureur et de l’assuré consiste à établir

une prime unique, payée en début de contrat au titre de la sinistralité future dans son

ensemble.

2.3.1 Prime unique

La prime unique correspond à la prime de risque précédemment évaluée : on la note

également (garantie décès) et (garantie arrêt de travail).

Pour la garantie décès :

Pour la garantie arrêt de travail :

Par commodité, nous raisonnons en considérant la garantie décès seule, mais les modes de

tarification étudiés restent valables pour la garantie arrêt de travail.

L’assureur, avec la prime unique, a la possibilité de s’immuniser contre le risque de rachat :

calcul de la prime unique sous l’hypothèse de non-rachat :

rééquilibrage des engagements assureur et assuré en introduisant une valeur de

rachat du contrat d’assurance, notée pour un rachat en début d’année k :


Le versement d’une prime unique en début de contrat est avantageux à la fois pour

l’assureur et l’assuré11 :

immunisation de l’assureur contre le risque de rachat ;

coûts de gestion diminués (encaissement unique) ;

produits financiers perçus par l’assureur ;

coût total de l’assurance emprunteur moindre (actualisation plus importante).

Cependant, l’assurance emprunteur prend rarement la forme d’une prime unique en France.

En effet, bien qu’elle réduise le coût total de l’assurance et le TEG du prêt, la prime unique

représente une somme importante, en particulier pour les prêts immobiliers dont les

capitaux empruntés sont plus élevés et s’accompagnent de frais liés à l’acquisition du bien

immobilier.

L’autre façon, plus courante, d’équilibrer les engagements de l’assureur et de l’assuré, est le

fractionnement en prime périodique. Le versement de la prime périodique coïncide avec

celui de l’échéance du prêt : la prime est généralement mensuelle mais nous la modélisons

de façon annuelle — de même que pour l’annuité du prêt et les flux de prestations.

Notons (PP1, ..., PPn) la suite des primes pures annuelles payées en milieu d’année au titre de

la garantie décès.

En tenant compte des rachats annuels, l’équilibre des engagements de l’assureur et de

l’assuré s’écrit :

Parmi l’ensemble des solutions (PP1, ..., PPn) de cette équation, deux sont remarquables :

la prime pure nivelée sur toute la durée du prêt : (en % du CI)

la prime pure qui coïncide chaque année avec la charge sinistre :

Ces deux façons de répartir la prime de risque dans le temps sont opposées.

La prime nivelée est considérée comme étant la tarification des contrats groupe, et la prime

variable celle des contrats individuels.

11

Source : Marché de l’emprunteur : les nouvelles opportunités — OPTIMIND, Avril 2012


2.3.2 Prime annuelle nivelée en % du capital initial (contrat groupe)

La prime nivelée étant constante tout au long du prêt, nous avons :

Par rapport à la charge sinistre décès, la prime est nivelée sur toute la durée du contrat :

du point de vue de la fréquence de sinistre — les taux de mortalité augmentent

avec l’âge ;

du point de vue du montant de sinistre — le capital restant dû, indemnisé en cas de

décès, décroît au cours du contrat.

Ce mode de tarification est ainsi basé sur l’âge à l’adhésion, le tarif du contrat groupe

s’exprime en pourcentage du capital initial et n’évolue pas au cours du contrat.

Tout comme l’annuité, la prime nivelée apporte, en plus de sa simplicité, un certain confort à

l’emprunteur. Au début du prêt immobilier, lorsque la situation financière de l’emprunteur

est souvent compliquée, la cotisation d’assurance qu’il paye est inférieure à ce qu’il serait

amené à payer s’il était tenu compte du capital restant dû, maximal en début de contrat.

Cependant, comme la prime est fixée pour toute la durée du prêt, l’assureur est fortement

exposé au risque de rachat. La tarification peut prendre en compte un taux de rachat annuel

de l’ordre de 10 %, correspondant aux rachats anticipés des prêts d’ordre structurels. En

revanche, une hausse imprévue des rachats peut mettre en danger l’assureur. En particulier,

les emprunteurs auraient intérêt à résilier leur assurance groupe avant son terme au profit

d’un contrat individuel, le capital restant dû devenant faible au regard de la prime payée.

La tarification du contrat groupe, dont la prime est nivelée sur toute la durée du prêt,

expose fortement l’assureur aux rachats. La déliaison de l’assurance emprunteur est

ainsi susceptible de remettre en cause ce type de tarification.


2.3.3 Prime annuelle variable en % du capital restant dû (contrat individuel)

Contrairement au contrat groupe, la prime du contrat individuel n’est pas nivelée dans le

temps : indexée sur le risque réel, elle couvre les sinistres de façon annuelle. Les

engagements assureur et assuré sont ainsi équilibrés chaque année :

Le contrat individuel, avec un tarif basé sur l’âge atteint et exprimé en pourcentage du

capital restant dû, ne comporte pas de mutualisation temporelle : l’assureur est immunisé

contre le risque de rachat.

La distinction effectuée ci-avant pour la garantie décès entre tarif basé sur l’âge à l’adhésion

et exprimé en pourcentage de capital initial (contrat groupe) et tarif basé sur l’âge atteint et

exprimé en pourcentage de capital restant dû (contrat individuel), reste valable pour la

garantie arrêt de travail.

Afin d’illustrer pour une cohorte ces deux principaux types de tarification de l’assurance

emprunteur, et de mesurer les impacts de la déliaison à l’échelle de cette cohorte sur un

contrat groupe et un contrat individuel, nous proposons une modélisation markovienne de

l’assurance emprunteur.


2.4 Modèle de Markov

Notre souhaitons être en mesure d’évaluer les flux futurs d’un contrat d’assurance

emprunteur : les primes encaissées par l’assureur et les prestations qu’il verse en cas de

sinistre.

La modélisation d’une cohorte par une chaîne de Markov à temps discret permet de

retranscrire de façon annuelle les flux de primes et de sinistres, les états de cette chaîne

représentant le comportement de l’assuré (décès, incapacité ou invalidité de travail,

rachat) :

Figure 12. Chaîne de Markov à temps discret à 7 états

Les flèches représentent les transitions effectivement modélisées entre les états.

Pour un prêt de durée n, notons l’état d’un assuré l’année k. On distingue 7 états :

N° Etat Etat

1 Valide 2 Rachat 3 Décès 4 Incapacité de travail année 1 5 Incapacité de travail année 2 6 Incapacité de travail année 3 7 Invalidité de travail

Figure 13. Descriptif des états


L’état de l’assuré est ainsi un processus vérifiant :

La fin du prêt ne fait pas l’objet d’un état en tant que tel mais trois états (Décès, Rachat et

Invalidité) sont des états absorbants :

Les autres états (Valide, Incapacité) sont des états de retour :

Le recours à plusieurs états pour modéliser l’incapacité de travail a l’avantage d’éviter le

recours au semi-markovien, plus complexe car nécessitant la prise en compte de

l’ancienneté dans l’état.

La prise en charge par l’assureur de l’incapacité de travail étant limitée à trois ans, nous

retenons trois états d’incapacité, qui correspondent aux trois années d’ancienneté en

incapacité de travail.

Nous effectuons l’hypothèse de Markov : l’état ne dépend de ) qu’à travers

. Autrement dit, le futur ne dépend du passé qu’à travers le présent :

La loi du processus est ainsi entièrement caractérisée par les 7*n probabilités de

transition :

L’hypothèse de Markov simplifie la modélisation mais elle est contestable. En effet, en cas

d’entrée en incapacité de travail suivi d’un retour à la validité, on pourrait estimer que

l’assuré est davantage susceptible d’entrer à nouveau en état d’incapacité de travail que s’il

ne l’avait jamais été jusqu’à présent.

Notre chaîne de Markov n’est pas homogène : les probabilités de transition , de l’état i

l’année k à l’état j l’année k+1, dépendent de l’âge atteint x+k de l’assuré.


Les probabilités de transition de l’année k à l’année k+1 constituent une matrice

stochastique, que l’on note pour un assuré d’âge à l’adhésion x :

Le produit matriciel du vecteur et des matrices de transition (

est

égal au vecteur .

La loi de l’état de l’assuré l’année k, , s’obtient ainsi directement par le calcul matriciel à

partir des probabilités de transitions :

: probabilité de rachat l’année k :

comprend les remboursements anticipés du prêt et les résiliations de l’assurance

dans le cadre de la déliaison.

: probabilité de décès l’année k, entre l’âge x+k et l’âge x+k+1 :

taux de mortalité obtenu par abattement de la table TH 00-02.

: probabilité d’entrée en incapacité l’année k, entre l’âge x+k et l’âge x+k+1 :

table d’entrée en incapacité de travail.

: probabilité de rester valide entre l’âge x+k et l’âge x+k+1 :

.

: les états décès et rachat sont absorbants.

(

: probabilité de passer la première (la deuxième) année complète en état

incapacité de travail :

s’obtient par l’annualisation de la loi de maintien en incapacité du BCAC (2014).

: probabilité de décès l’année k, entre l’âge x+k et l’âge x+k+1, en

étant en état d’incapacité de travail de 1ère (resp. 2ème, 3ème) année :

majoration de la table de mortalité :

.

: probabilité d’entrer en invalidité de travail l’année k, entre l’âge x+k

et l’âge x+k+1, en étant en état d’incapacité de travail de 1ère (resp. 2ème, 3ème) année

s’obtient par annualisation de la loi de passage d’incapacité en invalidité du BCAC.


: par hypothèse, l’invalidité est définitive (versement du capital restant dû en

cas de passage en invalidité).

: l’assuré ne rachète pas tant qu’il est en état d’incapacité.

;

;

.

Par exemple, pour un assuré de 40 ans à l’adhésion, avec une hypothèse de non-rachat, la

matrice de transition obtenue est la suivante :

Valide Rachat Décès Incap. 1 Incap. 2 Incap. 3 Inval. (Année 1)

Valide 99,23% 0% 0,12% 0,65% 0% 0% 0% Rachat 0% 100% 0% 0% 0% 0% 0% Décès 0% 0% 100% 0% 0% 0% 0% Incap. 1 72,21% 0% 0,35% 0% 26,98% 0% 0,46% Incap. 2 59,56% 0% 0,35% 0% 0% 36,11% 3,98% Incap. 3 71,19% 0% 0,35% 0% 0% 0% 28,45% Inval. 0% 0% 0% 0% 0% 0% 100%

(Année 0) Figure 14. Matrice de transition la première année

Le produit des matrices de transition (

fournit la matrice de transition sur 15 ans :


Valide 94,14% 0% 3,61% 1,02% 0,38% 0,14% 0,71% Rachat 0% 100% 0% 0% 0% 0% 0% Décès 0% 0% 100,00% 0% 0% 0% 0% Incap. 1 89,51% 0% 3,78% 0,97% 0,36% 0,14% 5,24% Incap. 2 80,09% 0% 3,43% 0,87% 0,32% 0,12% 15,16% Incap. 3 67,12% 0% 2,84% 0,73% 0,27% 0,10% 28,94% Inval. 0% 0% 0% 0% 0% 0% 100,00% (Année 0)

Figure 15. Matrice de transition sur 15 ans

En considérant l’assuré initialement valide, le produit matriciel

donne alors la loi de probabilité de l’état de l’assuré l’année 15 :


94,14% 0,00% 3,61% 1,02% 0,38% 0,14% 0,71%

Figure 16. Loi de probabilité de l'état de l'assuré l'année 15


La suite ) des états par lesquels passe successivement l’assuré au cours des n

années du prêt permet d’en déduire les flux de primes et de sinistres relatifs à chaque

année :

seuls les assurés valides (état 1) versent la prime d’assurance ;

les décès et passages en invalidité de travail (états 3, 7) sont indemnisés à hauteur du

capital restant dû au moment du sinistre ;

l’incapacité de travail (état 4, 5, 6) : on estime une fraction moyenne d’annuité à

prendre en charge au titre de la 1ère (resp. 2ème, 3ème) année en incapacité, à partir de

la table de maintien en incapacité du BCAC (2014) et en prenant en compte la

franchise de 3 mois.

Nous considérons que l’ensemble des sinistres survenus l’année k sont déclarés sans délais,

et que leur prise en charge est immédiate. Cela ne correspond pas exactement à la réalité —

les délais de déclaration et d’étude du dossier de sinistre sont de quelques mois à plus d’un

an — mais permet de prendre en compte les prestations par année de survenance. On

modélise ainsi la sinistralité réelle de l’année k telle qu’elle sera connue par l’assureur in fine.

Ceci est important dans le cadre de notre modélisation annuelle de l’assurance emprunteur

et de la mesure des effets des rachats et de la déliaison : il s’agit bien d’étudier la sinistralité

liée à chaque année de garantie, sans s’intéresser au processus de règlement des sinistres

(prestations et provisions constituées au titre des prestations futures).

Tous les résultats présentés par la suite sont obtenus par cette modélisation markovienne.

L’espérance des flux futurs (et celle des états dans lesquels l’assuré passe) sera considérée,

mais notre modélisation permet également de simuler la trajectoire de l’assuré et d’obtenir

une distribution des flux futurs par la méthode de Monte-Carlo.

Nous étudions à travers ce modèle de Markov, pour une cohorte de référence, les deux

principaux modes de tarification de l’assurance emprunteur : la prime nivelée du contrat

groupe et la prime coïncidant avec le risque réel du contrat individuel. Nous mesurons

ensuite les impacts de la déliaison à l’échelle de cette cohorte sur un contrat groupe et un

contrat individuel.


2.5 Application à une cohorte

2.5.1 Tarif d’équilibre et chargement de sécurité

Nous déterminons le tarif d’équilibre associé à une cohorte de référence selon le mode de

répartition de la prime dans le temps — prime nivelée sur toute la durée du prêt ou indexée

chaque année sur la sinistralité attendue.

La cohorte étudiée représente un emprunteur type, dont les caractéristiques sont définies :

âge à l’adhésion : 40 ans ;

capital initial : 100 000 € ;

durée du prêt : 15 ans ;

taux d’intérêt annuel : 3 % ;

garanties décès et arrêt de travail (franchise de 3 mois), quotité = 100 % ;

probabilité de rachat annuelle : 0 % ;

Il s’agit de notre scénario central, à partir duquel nous effectuerons une étude de sensibilité.

Nous considérons un taux d’actualisation de 0 % ; les caractéristiques suivantes de

l’emprunteur sont inconnues : sexe, catégorie socioprofessionnelle, tabagisme.

La sinistralité est modélisée par une chaîne de Markov à 7 états dont les probabilités de

transition sont basées notamment sur la table de mortalité TH 00-02 abattue et sur les

tables du BCAC (Bureau Commun d’Assurances Collectives) de maintien et passage en

incapacité et invalidité (voir 2.4). Nous retenons un abattement de 50 % de la table de

mortalité TH 00-02 et un abattement de 50 % des probabilités de passage en invalidité.

L’obtention du tarif d’équilibre s’effectue en trois étapes :

projection des états de transition, des flux de primes pures (arbitraires) et de

sinistres, dont les espérances sont calculées sur toute la durée du prêt ;

ajustement des primes : calcul du tarif en % de capital initial qui équilibre les

engagements de l’assureur et de l’assuré sur les 15 ans, ainsi que de la suite des tarifs

annuels en % de capital restant dû équilibrant chaque année les engagements de

l’assureur et de l’assuré ;

validation du tarif d’équilibre : nouvelle projection des flux tenant compte du tarif

ajusté et vérification de la nullité du résultat technique attendu cumulé sur les 15 ans

(tarif groupe) ou chaque année (tarif individuel).


Illustrons dans un premier temps le coût de l’assurance pour notre cohorte de référence :

Année 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Coût total

Prime pure décès (nivelée) 109 109 109 109 109 109 109 109 109 109 109 109 109 109 109 1 640 €

Prime pure décès (sinistres) 116 124 130 135 138 140 140 136 129 119 106 89 70 45 16 1 633 €

Prime pure arrêt de travail (nivelée) 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 966 €

Prime pure arrêt de travail (sinistres) 20 32 45 64 67 69 72 74 75 77 77 77 76 74 71 969 €

Prime pure (nivelée) 174 174 174 174 174 174 174 174 174 174 174 174 174 174 174 2 606 €

Prime pure (sinistres) 136 157 175 199 205 210 211 209 204 196 182 166 145 119 88 2 601 €

Intérêts (3 %) 3000 2839 2673 2501 2325 2144 1957 1764 1566 1361 1151 934 711 481 244 25 650 €

Figure 17. Illustration du coût de l'assurance emprunteur

La prime commerciale payée par l’emprunteur étant de l’ordre du double de la prime pure,

on constate le coût important que représente l’assurance emprunteur : plus de 5 000 € pour

un assuré de 40 ans empruntant 100 000 € sur 15 ans, soit compte-tenu des 25 650 €

d’intérêts environ 18 % du coût total du crédit (somme des intérêts et des cotisations

d’assurance). La garantie décès pèse autour de deux tiers de ce coût. Toutes choses égales

par ailleurs, pour un emprunteur de 50 ans, le coût de l’assurance emprunteur s’élève à près

de 40 % du coût total du crédit.

Dans le tableau ci-dessus, le flux de prime constant correspond à la prime nivelée dans le

temps du contrat groupe, l’autre étant celle du contrat individuel, assimilable à la charge

sinistre annuelle. Ci-dessous leur évolution ainsi que le détail par garantie :

Figure 18. Prime nivelée (contrat groupe) et prime variable (contrat individuel) — emprunt à 40 ans sur 15 ans


Les trois premières années correspondent à la montée en charge de la sinistralité incapacité

et invalidité de travail : la prise en charge de l’incapacité est d’une durée maximale de 3 ans.

A partir de la quatrième année, la charge sinistre arrêt de travail évolue peu, fluctuant selon

les probabilités de passage et de maintien en incapacité et invalidité par âge.

La charge sinistre décès croît les six premières années, la hausse des taux de mortalité étant

prépondérante par rapport à la baisse du capital restant dû ; cette tendance s’inverse

ensuite, l’amortissement du capital ayant davantage d’effet que le vieillissement sur la

charge sinistre à partir de la septième année. Le pic de charge sinistre décès en milieu de

contrat d’assurance emprunteur est fréquent mais n’est pas systématique — par exemple,

pour un emprunteur de 30 ans, la sinistralité décès est maximale en début de contrat et

décroît tout au long du contrat.

Par construction du contrat individuel, le résultat technique attendu est nul chaque année :

les primes perçues couvrent constamment les sinistres.

Ce n’est pas le cas du contrat groupe : en raisonnant sur l’ensemble des garanties, la prime

constante perçue par l’assureur est suffisante pour couvrir les sinistres en début et en fin de

contrat. En revanche, en milieu de contrat, la charge sinistre est supérieure à la prime

nivelée, ce que l’on observe ci-dessous (résultat technique attendu négatif pour les années 4

à 11 — cohorte de référence, âge à l’adhésion 40 ans et durée de prêt de 15 ans) :

Figure 19. Résultat technique annuel attendu — emprunt à 40 ans sur 15 ans


La prime nivelée ne couvre pas la sinistralité en milieu de contrat. Cela met en évidence,

pour ce type de tarification avec répartition uniforme des primes dans le temps, la nécessité

pour l’assureur de tarifer au-delà du tarif d’équilibre.

Ci-dessous le résultat technique cumulé attendu pour la cohorte de référence, exprimé en %

de la prime lissée, ainsi que le détail par garantie :

Figure 20. Résultat technique cumulé attendu — emprunt à 40 ans sur 15 ans

La tarification d’équilibre conduit bien à un résultat technique cumulé attendu nul sur toute

la durée du contrat groupe. Le résultat cumulé lié à la garantie décès est négatif tout au long

du contrat alors que celui lié à la garantie arrêt de travail est toujours positif.

Au global, deux périodes se succèdent : le résultat cumulé est positif les 5 premières années

puis négatif les 10 dernières années. La prime nivelée d’équilibre, en plus d’exposer

l’assureur aux rachats, ne permet pas de faire face à la sinistralité tout au long du prêt.

Une marge de prudence permet à l’assureur, en contrepartie d’un tarif moins compétitif, de

se prémunir contre les rachats. Toutes choses égales par ailleurs, pour la cohorte de

référence, une hausse de 10 % du tarif par rapport au tarif d’équilibre (pour la garantie

décès, 0,120 % du capital initial soit 120 € au lieu de 0,109 % ; pour la garantie arrêt de

travail, 0,071 % du capital initial soit 71 € au lieu de 0,064 %), dans l’hypothèse d’une

sinistralité inchangée, a un fort impact sur le résultat technique cumulé attendu :


Figure 21. Chargement de sécurité de 10 % : impact sur le résultat technique cumulé — emprunt à 40 ans sur 15 ans

Un chargement de sécurité de 10 % par rapport au tarif d’équilibre conduit à un résultat

technique cumulé toujours positif : l’assureur est ainsi immunisé contre le risque de rachat.

Le résultat technique cumulé lié à la garantie décès est négatif jusqu’à la treizième année,

mais il est compensé par celui lié à la garantie arrêt de travail.

Le résultat cumulé du contrat groupe sur 15 ans s’élève avec la marge de prudence de 10 %

à 150 % de la prime lissée, soit un résultat annuel moyen de 10 % : on retrouve bien le

chargement de sécurité.

Pour plus de clarté, nous présentons les résultats suivants toutes garanties confondues.

Considérons les contrats groupe et individuel tarifés à l’équilibre ainsi qu’avec un

chargement de sécurité de 10 %.

Ci-dessous le résultat technique cumulé attendu, exprimé en % de la prime d’équilibre

nivelée, pour ces quatre contrats :


Figure 22. Résultat cumulé des contrats groupe et individuel et chargement de sécurité de 10 %

La tarification basée en pourcentage du capital restant dû du contrat individuel immunise

l’assureur contre le risque de rachat, contrairement au contrat groupe, tarifé en

pourcentage du capital initial. Le résultat attendu du contrat individuel tarifé à l’équilibre est

par construction nul chaque année. Avec le même chargement de sécurité, le contrat

individuel conduit à un résultat cumulé croissant et plus stable que celui du contrat groupe,

qui fluctue autour.

Le contrat groupe nécessite par conséquent une marge de prudence par rapport au tarif

d’équilibre plus importante que ne le nécessite le contrat individuel. Pour la cohorte étudiée,

un chargement de sécurité de 10 % est suffisant pour que le résultat technique cumulé du

contrat groupe soit toujours positif.

En revanche, pour que le résultat technique annuel du contrat groupe soit toujours positif,

un chargement de sécurité de 30 % est nécessaire :


Figure 23. Résultat annuel des contrats groupe et individuel et chargement de sécurité de 10 % et 30 %

Dans le cas d’un rachat possible à tout moment, le coût maximal du risque rachat lié à la

cohorte de référence est ainsi de 30 % pour un contrat groupe tarifé à l’équilibre.

A niveau de prudence équivalent, le contrat individuel permet de mieux répartir le résultat

sur toute la durée du prêt alors que le résultat du contrat groupe se concentre

essentiellement sur les dernières années du prêt.

Nous avons comparé pour une cohorte de référence les contrats groupe et individuel d’un

point de vue théorique : calcul du tarif d’équilibre puis ajout d’une marge de prudence.

Une comparaison du tarif d’équilibre avec des tarifs groupe et individuel effectivement

pratiqués sur le marché (voir Annexe B) montre qu’à l’échelle de la cohorte, les contrats de

marché comportent une marge de prudence suffisante pour faire face aux rachats. Leur

chargement de sécurité important par rapport au tarif d’équilibre empêche ainsi d’observer

les effets des rachats et de la déliaison. Par conséquent, l’étude des impacts des rachats et

de la déliaison sur une cohorte s’effectue en considérant les contrats tarifés à l’équilibre,

sans chargement de sécurité.


Dans cette section, les effets des rachats puis de la déliaison sont étudiés à l’échelle de la

cohorte de référence (âge à l’adhésion 40 ans, durée du prêt 15 ans), précédemment tarifée

à l’équilibre sous l’hypothèse de non-rachat. On mesure ainsi l’impact des rachats par

rapport au scénario central de non-rachat.

2.5.2 Impact des rachats annuels

Les prêts immobiliers peuvent faire l’objet de remboursements anticipés entraînant la

résiliation du contrat d’assurance : ces rachats d’ordre structurels liés au prêt sont souvent

de l’ordre de 10 % par an.

Ci-dessous les flux de primes des contrats groupe et individuel tarifés à l’équilibre sans

rachats et l’impact de 10 % de rachats annuels :

Figure 24. Impact des rachats annuels sur les primes des contrats groupe et individuel — emprunt à 40 ans sur 15 ans

Les rachats annuels ont un impact fort sur le volume des primes perçues par l’assureur, tant

dans le cas d’une prime nivelée (contrat groupe) que d’une prime variable (contrat

individuel). Pour la cohorte de référence, le cumul des primes sur toute la durée du prêt est

réduit de près de 50 % avec un taux de rachat annuel de 10 % :

Prime nivelée cumulée sans rachats 2 527 €

Prime individuelle cumulée sans rachats 2 527 €

Prime nivelée cumulée (rachats annuels 10%) 1 285 €

Prime individuelle cumulée (rachats annuels 10%) 1 362 €


Ci-dessous l’impact des rachats annuels sur le résultat cumulé attendu du contrat groupe

tarifé à l’équilibre (celui du contrat individuel est par construction toujours nul) :

Figure 25. Impact des rachats annuels sur le résultat cumulé du contrat groupe — emprunt à 40 ans sur 15 ans

Pour la cohorte de référence, l’hypothèse de 10 % de rachats annuels conduit à un résultat

cumulé négatif sur l’ensemble du contrat groupe. L’effet des rachats annuels sur le résultat

de l’assureur est cependant moindre que celui sur son chiffre d’affaires.

Ci-dessous le tarif d’équilibre, exprimé en % du capital initial (prime nivelée), en fonction du

taux de rachat annuel :

Figure 26. Sensibilité du tarif d'équilibre au taux de rachat annuel


L’hypothèse d’un taux de rachat annuel — chaque année, l’assuré rachète son contrat avec

une certaine probabilité — impacte peu le tarif d’équilibre par rapport au scénario central

(pas de rachats i.e. taux de rachat annuel nul).

En fait, l’hypothèse d’un taux de rachat annuel, caractéristique des remboursements

anticipés de prêt, implique une perte importante de primes d’assurance mais ne déforme

pas de façon importante l’équilibre des engagements de l’assureur et de l’assuré.

Nous étudions désormais l’impact de la déliaison la première année, introduite par la loi

Hamon, sur la cohorte de référence (en considérant le contrat groupe tarifé à l’équilibre).

2.5.3 Impact de la déliaison la première année

Dans le cadre de la modélisation annuelle des flux de primes et de sinistres, la déliaison la

première année se traduit par un effet identique sur les primes et les sinistres futurs. En

considérant une cohorte seule, la déliaison la première année est assimilable à une perte de

primes proportionnelle au taux de substitution :

Figure 27. Impact de la substitution la première année sur les primes et sinistres — emprunt à 40 ans sur 15 ans

A l’échelle de la cohorte telle que nous l’avons modélisée, la substitution la première année

n’affecte que de façon proportionnelle les flux de primes et de sinistres ainsi que le résultat

attendu du contrat groupe.


2.5.4 Impact de la déliaison totale

Bien qu’une cohorte seule soit ici considérée, nous allons modéliser la déliaison totale

(substitution possible pendant toute la durée du prêt) sur un scénario extrême. On considère

que toute la cohorte est rachetée soit à 100 % l’année 1, soit uniquement l’année 2 et en

totalité, etc. Cela correspond au pire scénario dans le cadre de la déliaison totale et fournit

une majoration du coût du rachat en fonction de l’année de rachat. L’hypothèse d’un taux

de rachat de 100 % l’année k n’est toutefois pas réaliste, et nous rappelons qu’a priori, les

sinistrés en arrêt de travail ne substituent pas leur assurance.

Afin de mesurer l’impact de la déliaison totale sur la cohorte de référence, nous comparons

ainsi le tarif d’équilibre nivelé selon la durée effective de l’assurance (par exemple, pour un

rachat la dixième année, l’équilibre des engagements s’effectue sur les 10 premières années

et non plus sur toute la durée du prêt). Ce tarif, exprimé en % du capital initial, est un bon

indicateur du risque souscrit, synthétisant la sinistralité annuelle moyenne à laquelle

l’assureur s’attend à être confronté pour la couverture des k premières années d’un prêt.

Le tarif d’équilibre nivelé pour un rachat certain l’année k est noté .

Pour la cohorte de référence (âge à l’adhésion 40 ans et prêt de 15 ans), on définit à partir

de cet indicateur le coût du rachat l’année k, :

Le tarif correspond au tarif d’équilibre nivelé du contrat groupe sous l’hypothèse de non-

rachat (durée effective de l’assurance égale à la durée du prêt) : .

Ci-dessous le coût du rachat , exprimé comme une hausse du ratio sinistres sur primes

(S/P), lié aux garanties décès puis arrêt de travail, selon l’année du rachat :


Figure 28. Coût du rachat (garantie décès) en fonction de l’année du rachat — emprunt à 40 ans sur 15 ans

Figure 29. Coût du rachat (garantie arrêt de travail) en fonction de l’année du rachat — emprunt à 40 ans sur 15 ans

Pour la cohorte de référence tarifée à l’équilibre (prime nivelée selon l’hypothèse de non-

rachat) :

Le rachat la huitième année, en milieu de contrat, est le plus préjudiciable pour

l’assureur du point de vue de la garantie décès : l’impact sur le S/P global est de 21 %

→ cela est cohérent avec le profil de risque décès (voir 2.2.2) et la baisse importante

du capital restant dû en fin de prêt.


Le risque rachat n’est pas coûteux pour l’assureur du point de vue de la garantie

arrêt de travail (coût négatif quel que soit l’année du rachat).

→ cela est cohérent avec le profil de risque arrêt de travail (voir 2.2.3) : la sinistralité

arrêt de travail croît tout au long du prêt, l’annuité étant constante et les taux

d’incidence croissants.

Ci-dessous le coût du rachat toutes garanties confondues :

Figure 30. Coût du rachat en fonction de l’année du rachat — emprunt à 40 ans sur 15 ans

En considérant les deux garanties, seuls les rachats ayant lieu à partir de la cinquième du

contrat sont coûteux pour l’assureur, et ils le sont à hauteur maximale de 9 %, en cas de

rachat la dixième année, soit un ratio Sinistres / Primes (S/P) de 109 %.

En notant (r1, … , rn) les probabilités de rachat annuelles, le coût C des rachats pour

l’assureur peut s’évaluer ainsi :

Pour la cohorte étudiée, le rachat est préjudiciable à l’assureur à partir de la cinquième

année. Dans le cadre d’une déliaison totale, prenons comme exemple le scénario de

substitution suivant pour cette cohorte :


Pour ce scénario de substitution, le coût des rachats par rapport au tarif d’équilibre nivelé

est estimé à , soit un ratio S/P global pour l’assureur de 105 %.

A l’échelle d’une cohorte, la déliaison totale, c’est-à-dire le droit de substitution de

l’assurance pendant toute la durée du prêt, remet en cause la mutualisation temporelle des

contrats groupe à prime nivelée : contrairement à la déliaison de première année, la

déliaison totale n’impacte pas que le chiffre d’affaires de l’assureur, mais également sa

rentabilité, de façon positive ou négative selon la durée effective du contrat d’assurance.

Nous avons étudié la tarification à l’équilibre pour une cohorte de référence, ainsi que les

impacts des rachats et de la déliaison sur cette cohorte (d’âge à l’adhésion 40 ans, de durée

du prêt 15 ans et de taux d’intérêt 3 %).

L’étude de sensibilité des résultats aux caractéristiques de la cohorte permet d’en identifier

les facteurs déterminants. Cela est indispensable pour appréhender par la suite un

portefeuille, qui sera modélisé comme un ensemble de cohortes diverses.


2.6 Etude de sensibilité

La modélisation markovienne de l’assurance emprunteur nous a permis d’étudier le tarif

d’équilibre d’une cohorte de référence, d’âge à l’adhésion 40 ans et de durée du prêt 15 ans.

Nous étudions désormais la sensibilité du tarif d’équilibre nivelé dans le temps, exprimé en

% de capital initial, et de l’impact de la déliaison totale, à la durée du prêt puis à l’âge à

l’adhésion.

2.6.1 Sensibilité à la durée du prêt

Ci-dessous le tarif d’équilibre, en % du capital initial, de la cohorte (âge à l’adhésion 40 ans)

en fonction de la durée du prêt :

Figure 31. Sensibilité du tarif d'équilibre (en % du capital initial) à la durée du prêt

La durée du prêt a un impact important sur le tarif d’équilibre, qui est différant selon la

garantie :

le tarif décès croît avec l’allongement du prêt en raison de l’augmentation de la

mortalité liée au vieillissement de l’assuré ;

le tarif arrêt de travail, exprimé en % du capital initial, est d’autant plus élevé que le

prêt est court : l’annuité, à l’origine de la charge sinistre arrêt de travail, est plus

importante pour un prêt court (voir Annexe A).


Cela met en évidence la part relative des garanties décès et arrêt de travail : plus le prêt est

long, plus la garantie décès est prépondérante.

Toutes garanties confondues, le tarif d’équilibre est plus élevé pour les prêts les plus courts

et pour les prêts les plus longs que pour ceux de durée moyenne.

Pour des prêts de durée 5, 10, 15 et 20 ans, ci-dessous le coût du rachat (hausse du S/P

global) dans le cadre de la déliaison totale, en fonction de la durée effective de l’assurance :

Figure 32. Coût du rachat en fonction de la durée du prêt et de l’année de rachat — emprunt à 40 ans

En fonction de la durée du prêt, le rachat en milieu de contrat groupe conduit à une hausse

du S/P global de 5 à 10 %. Il est rappelé qu’il s’agit ici du scénario extrême de rachat pour

une cohorte, avec une probabilité de rachat nulle jusqu’à l’année k et égale à 1 l’année k.

Une autre façon de constater l’effet de la déliaison totale en fonction de l’année du rachat

est l’étude de la sensibilité du tarif d’équilibre à durée effective de l’assurance emprunteur.

Nous nous intéressons ici au tarif d’équilibre de l’assurance dont la durée effective est

inférieure à la durée du prêt. Cela revient à considérer l’hypothèse d’un rachat certain qui

intervient une année donnée : nous déterminons le tarif d’équilibre relatif à l’assurance des

k premières années pour un prêt de durée n.

Ci-après la sensibilité du tarif d’équilibre (exprimé en % de capital initial) à la durée effective

de l’assurance emprunteur, pour quatre prêts, de durées 5, 10, 15 et 20 ans :


Figure 33. Sensibilité du tarif d'équilibre (en % du capital initial) à la durée effective de l’assurance

Pour un prêt donné, le tarif d’équilibre est maximal lorsque le rachat intervient en milieu du

prêt (durée effective de l’assurance de l’ordre de la moitié de la durée du prêt).

2.6.2 Sensibilité à l’âge à l’adhésion

Ci-dessous le tarif d’équilibre, en % du capital initial, de la cohorte (durée du prêt 15 ans) en

fonction de l’âge à l’adhésion :

Figure 34. Sensibilité du tarif d'équilibre (en % du capital initial) à l’âge à l’adhésion


Le tarif d’équilibre dépend fortement de l’âge de l’emprunteur à l’adhésion :

les charges sinistres décès et arrêt de travail sont croissantes avec le vieillissement de

l’assuré (augmentation des taux d’incidence) ;

l’extinction de la garantie arrêt de travail pour les retraités impacte progressivement

le tarif d’équilibre (à partir d’un âge à l’adhésion de 52 ans pour un prêt de 15 ans).

Par rapport à la garantie arrêt de travail, la garantie décès est d’autant plus importante que

l’emprunteur est âgé à l’adhésion. Toutes garanties confondues, le tarif d’équilibre est

croissant avec l’âge à l’adhésion.

Pour des emprunteurs d’âge à l’adhésion 30, 40, 50 et 60 ans, le cumul sur 15 ans du résultat

technique attendu (contrat groupe à l’équilibre), exprimé en % de la prime nivelée, est le

suivant :

Figure 35. Résultat cumulé du contrat groupe en fonction de l’âge à l’adhésion — durée du prêt 15 ans

Toutes choses égales par ailleurs, le résultat cumulé en milieu de contrat est d’autant plus

négatif que l’assuré est âgé à l’adhésion.

Ci-dessous le coût du rachat (hausse du S/P global) dans le cadre de la déliaison totale, en

fonction de la durée effective de l’assurance, selon l’âge à l’adhésion (30, 40, 50 et 60 ans) :


Figure 36. Coût du rachat en fonction de l’âge à l’adhésion et de l’année de rachat — durée du prêt 15 ans

Le coût des rachats (impact sur le S/P) est d’autant plus important que l’assuré est âgé à

l’adhésion.

L’étude de la sensibilité du tarif d’équilibre du contrat groupe (prime nivelée dans le temps

et exprimée en % de capital initial) aux paramètres considérés montre que les déformations

observées pour les garanties décès et arrêt de travail sont souvent opposées. Le poids relatif

de ces garanties dépend de l’âge de l’emprunteur et de la durée du prêt sous-jacent.

L’âge de l’assuré à l’adhésion et la durée du prêt sont des facteurs de tarification importants

de l’assurance emprunteur. Outre leur impact sur le tarif d’équilibre, l’âge à l’adhésion et la

durée du prêt affectent les effets des rachats et de la déliaison à l’échelle de la cohorte.

La mutualisation temporelle (primes nivelées sur toute la durée du prêt) des contrats groupe

expose l’assureur aux rachats : la durée effective de l’assurance en impacte l’équilibre. La

déliaison totale affecte ainsi l’équilibre du contrat pour une cohorte. Cependant, l’étude

théorique d’une cohorte seule ne permet pas d’observer les effets de la déliaison la

première année, introduite par la loi Hamon, autres que la perte de valeur consécutive à la

substitution.

Nous modélisons dans la troisième partie un portefeuille comme un ensemble de cohortes :

afin de mieux représenter le contrat emprunteur, constitué de profils divers ;

afin d’étudier les autres effets de la déliaison, notamment la dégradation de la

sinistralité d’un contrat groupe suite à la substitution des meilleurs profils de risque.


PARTIE 3 : MODELISATION D’UN PORTEFEUILLE

L’étude d’un contrat groupe du marché (produit d’assurance emprunteur immobilier Société

Générale) permet de modéliser un portefeuille, constitué de profils de risque divers, comme

un ensemble de cohortes. Les cohortes sont retenues en effectuant une classification des

adhésions nouvelles par la méthode des centres mobiles, et en considérant plusieurs

caractéristiques déterminantes pour la substitution : outre la tranche d’âge des assurés, on

distingue les fumeurs, les non-cadres et les sujets à risque. Les flux de primes et de sinistres

relatifs à ces cohortes sont projetés avec l’outil de modélisation markovienne (voir Annexe

C), les caractéristiques (assuré, prêt sous-jacent) et hypothèses de comportement

(sinistralité, rachats) de chaque cohorte étant déterminées en amont. La projection de la

production nouvelle selon plusieurs scénarios de substitution permet de mesurer les impacts

de la déliaison à l’échelle du portefeuille groupe.

3.1 Etude descriptive d’un portefeuille groupe

Nous présentons le produit d’assurance de prêts immobiliers étudié, à partir duquel nous

construisons différentes cohortes.

3.1.1. Présentation du portefeuille

Le produit modélisé dans cette étude est un contrat d’assurance de prêts immobiliers

accordés aux particuliers par la banque Société Générale. Ce contrat de bancassurance est

appelé dans cette étude contrat groupe SG.

Le contrat est segmenté selon l’âge à l’adhésion : on distingue les 5 tranches d’âge suivantes,

couvertes par les garanties décès et arrêt de travail :

Tranche d’âge 18-35 ans 36-45 ans 46-55 ans 56-64 ans 65-79 ans Garanties Décès et Arrêt de travail Décès

Le tarif, exprimé en % du capital initial assuré, est nivelé : la prime est fixée pour toute la

durée du prêt. Au sein d’une tranche d’âge, pour un même capital initial assuré, tous les

assurés paient la même prime, à l’exception des sujets à risque qui font l’objet d’une

surprime.


Outre la mutualisation temporelle et la mutualisation entre profils de risque divers

(caractéristiques du prêt, fumeurs, non-cadres, sujets à risques), le contrat groupe SG

présente également une mutualisation intergénérationnelle. Par exemple, la tranche d’âge

des 56-64 ans est sous-tarifée par rapport à sa sinistralité, ce qui est compensé par une sur-

tarification des plus jeunes (18-35 ans) vis-à-vis de leur profil de risque.

Les contrats individuels du marché sont davantage segmentés que ce contrat groupe : leur

tarification tient notamment compte de la catégorie socioprofessionnelle (CSP) et du

caractère fumeur de l’assuré.

Les données disponibles pour ce produit sont les bases des adhésions et des sinistres. Pour

chaque adhésion, nous disposons du capital initial assuré (à travers le capital initial et la

quotité), de la durée du prêt, de l’âge à l’adhésion, de la tranche d’âge, du tarif et de la

surprime éventuelle, qui permet d’identifier les sujets à risque. En revanche, la catégorie

socioprofessionnelle et le caractère fumeur de l’assuré sont inconnus. Le taux d’emprunt est

supposé être de 3 %.

Les données retenues sont les adhésions nouvelles de l’année 2013. Pour simplifier la

construction des cohortes, nous considérons les prêts amortissables sans différé ni in fine,

soit environ 26 000 des 45 000 adhésions produites en 2013.

Ci-dessous les caractéristiques moyennes par tranche d’âge pour ces adhésions :

Tranche d’âge 18-35 ans 36-45 ans 46-55 ans 56-64 ans 65-79 ans Ensemble

Répartition de la production 2013 (hors différés et prêts in fine) 36 % 31 % 21 % 10 % 2 % 100 %

Age moyen à l’adhésion 30 ans 40 ans 50 ans 60 ans 66 ans 42 ans

Durée moyenne des prêts 17 ans 14 ans 12 ans 8 ans 5 ans 14 ans

Capital initial assuré moyen (k€) 96 110 108 102 108 104

Proportion de surprimés 4 % 6 % 10 % 15 % 15 % 7 %

Figure 37. Caractéristiques des adhésions 2013 par tranche d’âge

Les 5 cohortes relatives aux tranches d’âge sont trop hétérogènes pour modéliser les

différents effets de la déliaison : au sein d’une tranche d’âge, les durées des prêts s’étalent

de 1 an jusqu’à 30 ans, les capitaux sont assez volatiles, et les surprimés doivent faire l’objet

d’une cohorte distincte.

Une modélisation plus fine du portefeuille est nécessaire : on souhaite ainsi segmenter

chaque tranche d’âge en plusieurs cohortes.


3.1.2. Classification automatique des adhésions par la méthode des

centres mobiles

Les adhésions considérées pour construire les cohortes sont celles produites en 2013.

Pour chaque tranche d’âge, on retient une cohorte constituée des surprimés. Une

classification des adhésions de la tranche d’âge n’ayant pas fait l’objet de surprimes est

ensuite effectuée : classification par la méthode des centres mobiles.

Les étapes de la construction des cohortes du portefeuille sont les suivantes :

traitement des données d’adhésions : suppression des doublons et des données

erratiques, vérification de la cohérence des champs, puis séparation en 5 bases

d’adhésions (une par tranche d’âge) ;

pour chaque tranche d’âge, séparation des surprimés et des non-surprimés ;

traitement de la base des non-surprimés : les données sont centrées et réduites ;

classification des non-surprimés sur les variables âge à l’adhésion, durée du prêt et

capital initial assuré.

→ Classification supervisée par la méthode des centres mobiles : le nombre

de classes est fixé a priori (2 classes pour les 65-79 ans et 4 classes par autre

tranche d’âge), et les adhésions sont affectées de façon itérative à la classe

dont le centre en est le plus proche du point de vue de la distance euclidienne

(en considérant les trois variables centrées réduites).

affectation de chaque adhésion à sa classe puis calcul des caractéristiques moyennes

de chaque classe ;

ventilation des classes obtenues en 4 cohortes : non-fumeurs non-cadres, non-

fumeurs cadres, fumeurs non-cadres et fumeurs cadres (avec l’hypothèse d’une

proportion de 33 % de fumeurs et de 50 % de cadres) ; ventilation en seulement 2

cohortes (non-fumeurs et fumeurs) des classes des 65-79 ans, retraités.

Ci-dessous le récapitulatif de la segmentation des adhésions en cohortes :


Figure 38. Etapes de construction des cohortes du portefeuille

Ces différentes étapes conduisent ainsi à un portefeuille de 86 cohortes :

Ci-dessous les caractéristiques moyennes des 23 classes obtenues avec les 5 classifications

effectuées sous SAS (avant ventilation selon les caractéristiques fumeurs et CSP) :

Tranche d'âge Classe Effectif Duree du prêt (ans) Age à l'adhésion (ans) Capital initial assuré (k€) Surprimés

18-35 ans

0 358 17 30 94 100%

1 2 466 8 31 56 0%

2 754 20 31 240 0%

3 2 634 20 26 89 0%

4 3 151 21 32 101 0%

36-45 ans

0 448 14 41 137 100%

1 2 574 19 38 106 0%

2 2 319 6 40 74 0%

3 312 14 41 407 0%

4 2 364 18 43 107 0%

46-54 ans

0 554 12 51 138 100%

1 2 234 9 52 72 0%

2 519 13 50 273 0%

3 2 241 14 48 86 0%

4 42 12 50 746 0%

55-64 ans

0 377 8 60 119 100%

1 703 6 57 74 0%

2 51 3 60 677 0%

3 927 7 62 82 0%

4 510 15 58 110 0%

65-79 ans

0 73 6 68 120 100%

1 154 11 65 57 0%

2 258 3 69 128 0%

Figure 39. Caractéristiques des classes obtenues avec les classifications


Au sein des tranches d’âge, certaines classes se distinguent par une durée de prêt courte ou

longue, ou des gros capitaux. Comme souhaité, une classe des surprimés est retenue pour

chaque tranche d’âge.

Les 86 cohortes du portefeuille sont modélisées avec l’outil de projection des flux futurs

(voir Annexe C) ; les adhésions sont supposées être toutes produites en même temps.

Chaque cohorte est modélisée de façon markovienne (voir 2.4) selon des hypothèses de

sinistralité et des scénarios de substitution qui sont détaillés dans la section suivante.

3.2 Modélisation du comportement

3.2.1. Sinistralité décès

Le produit étudié fait actuellement l’objet d’une construction de table de mortalité

d’expérience, dont les étapes sont les suivantes :

Recueil et traitement des données ;

Calcul des taux de mortalité bruts par la méthode de l’exposition au risque ;

Lissage des taux de mortalité bruts et marge de prudence ;

Validation de la table d’expérience retenue.

Dans le cadre de notre modélisation markovienne, la table retenue est la TH 00-02 abattue à

50 % et représente la mortalité à long terme. On applique un abattement supplémentaire

par année d’ancienneté pour tenir compte de la sous-mortalité en début de contrat, en

raison notamment de la sélection, dont l’impact est initialement important puis décroît au

cours du temps.

→ Abattement supplémentaire les 5 premières années :

Année d'ancienneté année 1 année 2 année 3 année 4 année 5 année ≥6

Abattement de la mortalité des non-surprimés 80 % 75 % 65 % 50 % 25 % 0 %

Abattement de la mortalité des surprimés -100 %

Pour les sujets à risques ayant fait l’objet de surprimes, une majoration de la mortalité est

appliquée (+ 100 %).

→ Abattement/majoration supplémentaire de la mortalité par âge en fonction des

caractéristiques CSP/fumeurs (voir tableau d’abattement par âge en Annexe D).


3.2.2. Sinistralité arrêt de travail

Le scénario central d’entrée en incapacité de travail est retenu en prenant une marge de

prudence par rapport à la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % des taux

d’entrée annuels en incapacité de travail bruts (sinistralité d’expérience du produit) :

Figure 40. Table d’entrée en incapacité de travail retenue

Les taux d’entrée en incapacité sont abattus par CSP (cadres/non-cadres) : voir tableau

d’abattement par âge en Annexe D.

La modélisation du maintien en incapacité et du passage en invalidité s’effectue à partir des

nouvelles tables du BCAC (2014), le passage en invalidité étant abattu de 50 % pour tenir

compte du profil de risque de la population des emprunteurs.

Pour mesurer les impacts de la déliaison sur le portefeuille, nous proposons une

modélisation rationnelle de la substitution, fondée sur une hypothèse de sensibilité à un

certain seuil qui représente le gain pour l’emprunteur à substituer son assurance par une

autre, de coût total moins important.


3.2.3. Modélisation rationnelle de la substitution

Nous proposons une modélisation rationnelle de la substitution, fondée sur la sensibilité des

emprunteurs au prix : la substitution est déterminée par le gain potentiel effectué par

l’emprunteur en résiliant son assurance groupe pour une autre de coût total inférieur.

Par hypothèse, les emprunteurs sujets à risques, ayant fait l’objet de surprimes, ne

substituent pas leur assurance.

Notons δ le seuil déclencheur de la substitution : le seuil de substitution δ, en euros, est

inconnu. Le coût total de l’assurance est la somme des cotisations d’assurances prévues sur

toute la durée du prêt.

Pour différents seuils δ, et pour chaque cohorte non-surprimée du portefeuille (dont

l’effectif est noté nC), les étapes suivantes sont effectuées :

calcul, pour chaque adhésion i de la cohorte, du coût total de l’assurance groupe SG,

noté ;

estimation, pour chaque adhésion i de la cohorte, du coût total de l’assurance

concurrente la moins chère pour cet assuré (en tenant compte de l’âge de l’assuré,

de son prêt : durée, capital initial assuré et de son profil : CSP, caractère fumeur),

noté ;

pour chaque adhésion i, calcul de l’indicatrice de substitution associée au seuil de

substitution δ, notée :

calcul du taux de substitution associé au seuil δ de la cohorte, noté :


Pour chaque cohorte, on obtient ainsi un taux de substitution associé au seuil , qu’il est

possible d’affiner. En considérant par exemple que 25 % des adhésions de la cohorte

substituent dès le premier euro gagné, 25 % supplémentaires substituent à partir d’un gain

de 1000 €, 25 % à partir d’un gain de 3000 € et 25 % sont insensibles au prix (seuil de

substitution infini), le taux de substitution retenu est la moyenne pondérée des taux de

substitution relatifs aux seuils intermédiaires :

Il est également possible de raisonner en coût relatif, en considérant le taux de substitution

suivant12 :

Ci-dessous les taux de substitution obtenus pour des seuils allant de 0 à 5 000 €, calculés à

partir des indicatrices de substitution de chaque adhésion du portefeuille étudié (production

2013), par tranche d’âge et au global :

Figure 41. Taux de substitution par tranche d’âge en fonction du seuil de substitution

12

Voir « Assurance des emprunteurs collectives et individuelles » — ACTUARIS, Mai 2013


Sur l’ensemble du portefeuille étudié, pour un seuil δ = 1000 €, la modélisation indique que

30 % des adhésions vont substituer leur assurance. Pour un seuil de substitution donné, le

taux de substitution est croissant avec l’âge (à l’exception de la tranche des 65-79 ans, qui

comporte la garantie décès seule et dont le tarif est élevé). Cela s’explique par la

mutualisation intergénérationnelle du contrat groupe : les plus jeunes bénéficient pour

beaucoup d’un coût total d’assurance moindre avec les contrats individuels segmentés.

Ci-dessous les taux de substitution obtenus par tranche de capital initial assuré :

Figure 42. Taux de substitution par tranche de capital initial assuré en fonction du seuil de substitution

La substitution obtenue est d’autant plus élevée que les capitaux initiaux assurés sont

importants : le coût total de l’assurance étant proportionnel au capital initial assuré, cela est

cohérent avec l’hypothèse d’une sensibilité absolue au prix. La substitution des capitaux les

plus importants remet en cause la réassurance en excédent de plein du contrat groupe.

Ci-dessous les taux de substitution des fumeurs et des non-fumeurs :


Figure 43. Taux de substitution selon le caractère fumeur en fonction du seuil de substitution

Pour un seuil de substitution donné, les non-fumeurs sont nettement plus nombreux à

substituer leur assurance que les fumeurs en raison du tarif moindre qui leur est proposé par

les contrats individuels plus segmentés ; cela est également le cas pour les cadres, qui, à

sensibilité au prix identique, substituent ainsi davantage que les non-cadres.

La modélisation rationnelle de la substitution effectuée, basée sur la sensibilité absolue des

emprunteurs au prix (comparaison du coût total de l’assurance groupe et concurrente), met

en évidence pour le contrat groupe une substitution plus importante :

des assurés qui ne sont pas sujets à risque ;

des assurés les plus jeunes ;

des capitaux les plus élevés ;

des non-fumeurs et des cadres.

La segmentation du portefeuille étudiée en 86 cohortes (voir 3.1.2) permet de prendre en

compte ces différents effets de la déliaison, l’objectif étant de mesurer l’impact de la

déliaison sur le portefeuille groupe dans sa globalité.


3.3 Impacts de la déliaison sur le portefeuille

Afin de mesurer les impacts de la déliaison sur le portefeuille étudié, une segmentation en

86 cohortes homogènes des adhésions produites en 2013 a été effectuée, chaque cohorte

faisant l’objet d’une modélisation de la sinistralité et de la substitution qui lui est propre.

A travers cette modélisation, nous mesurons :

la perte de valeur pour l’assureur groupe suite à la déliaison (Impact sur les Primes) ;

la dégradation de la sinistralité du portefeuille suite au départ des meilleurs profils

de risque (Impact sur le ratio Sinistres/Primes, noté S/P) : cette déformation du

portefeuille, qui n’a pas pu être constatée à l’échelle de la cohorte dans la deuxième

partie de l’étude, remet en cause la mutualisation du contrat groupe.

Il est rappelé que dans toute l’étude, les primes considérées sont les primes pures, hors

chargements.

Nous étudions successivement la déliaison la première année (loi Hamon) et la déliaison

totale de l’assurance emprunteur en considérant les 86 cohortes produites en même temps

(une seule génération de production et vision run-off). Une production de plusieurs

générations est finalement effectuée.

Pour plus de lisibilité, les résultats de la modélisation des 86 cohortes du portefeuille sont

présentés par caractéristique : les cohortes sont regroupées par tranche d’âge, caractère

fumeur, CSP, surprimés. Cela permet de constater les impacts de la déliaison selon le profil

de risque.

Les résultats de la projection du portefeuille sans rachats, hors déliaison (scénario central),

sont les suivants (primes pures cumulées sur toute la durée des prêts et S/P global) :

Caractéristique Répartition effectif initial Primes (M€) S/P global

18-35 ans 36% 23,7 50%

36-45 ans 31% 25,9 73%

46-54 ans 21% 18,6 96%

55-64 ans 10% 5,9 140%

65-79 ans 2% 2,1 36%

Non-fumeurs 67% 51,2 66%

Fumeurs 33% 25,0 95%

Cadres 50% 37,4 53%

Non-cadres 50% 36,7 101%

Non-surprimés 93% 70,2 64%

Surprimés 7% 6,0 212%

Portefeuille 100% 76,2 75%

Figure 44. Primes et S/P global du portefeuille hors déliaison


Le portefeuille est initialement constitué en majorité de jeunes (18-35 ans et 36-45 ans), de

non-fumeurs, et 7 % des adhésions ont fait l’objet de surprimes.

Les ratios S/P distincts selon la tranche d’âge et le profil de risque reflètent bien la

mutualisation des contrats groupe peu segmentés : mutualisation intergénérationnelle et

mutualisation entre profils de risque divers.

Pour le portefeuille (réunion des 86 cohortes), le S/P global (déroulé de la génération dans

son intégralité) avant déliaison est de 75 %. Ce S/P de 75 % sera notre référence pour

étudier les impacts de la déliaison la première année puis de la déliaison totale sur le

portefeuille.

3.3.1. Impact de la déliaison la première année

Pour mesurer l’impact de la déliaison sur le portefeuille dans le cadre de la loi Hamon, trois

scénarios de substitution la première année sont retenus :

seuil de substitution 3000 € (hypothèse d’une sensibilité au prix faible : les assurés ne

substituent qu’à partir d’un gain supérieur à 3000 €) ;

seuil de substitution 1000 € (hypothèse d’une sensibilité au prix moyenne : les

assurés substituent si leur gain est supérieur à 1000 €) ;

seuil de substitution 0 € (hypothèse d’une sensibilité au prix forte : les assurés

substituent si leur gain est positif) ;

Ci-dessous la répartition du portefeuille par tranche d’âge et par caractéristique après la

période de substitution (12 premiers mois), selon le scénario de substitution :

Scénario Hors déliaison Seuil 3000€ Seuil 1000€ Seuil 0€

Caractéristique Répartition effectif année 2

18-35 ans 36% 33% 25% 11%

36-45 ans 31% 31% 31% 24%

46-54 ans 21% 24% 29% 36%

55-64 ans 10% 11% 15% 27%

65-79 ans 2% 2% 1% 1%

Non-fumeurs 67% 64% 59% 46%

Fumeurs 33% 36% 41% 54%

Cadres 50% 49% 48% 46%

Non-cadres 50% 51% 52% 54%

Non-surprimés 93% 92% 90% 80%

Surprimés 7% 8% 10% 20%

Portefeuille 100% 100% 100% 100%

Figure 45. Répartition des effectifs l’année 2 selon le scénario de substitution de première année


On constate une déformation de la structure des âges des assurés du portefeuille : plus les

assurés sont sensibles à un écart de coût total d’assurance faible, plus les tranches des 46-54

ans et des 55-64 ans représentent une part importante du portefeuille. De la même façon,

les fumeurs, les non-cadres et les surprimés sont d’autant plus nombreux en proportion que

le seuil de substitution est faible. La déliaison conduit ainsi à une dégradation du profil de

risque du portefeuille.

Ci-dessous les primes cumulées par tranche d’âge et profil de risque (regroupement des

cohortes ayant ces caractéristiques), selon le scénario de substitution :


Caractéristique Primes (M€)

18-35 ans 23,7 17,0 8,4 3,5

36-45 ans 25,9 21,7 15,2 8,9

46-54 ans 18,6 17,9 15,9 10,9

55-64 ans 5,9 5,9 5,9 5,7

65-79 ans 2,1 1,5 1,1 0,8

Non-fumeurs 51,2 40,1 25,9 13,8

Fumeurs 25,0 23,9 20,6 16,0

Cadres 37,4 30,9 21,9 13,7

Non-cadres 36,7 31,6 23,6 15,3

Non-surprimés 70,2 58,0 40,5 23,8

Surprimés 6,0 6,0 6,0 6,0

Portefeuille 76,2 64,0 46,5 29,8

Figure 46. Primes selon le scénario de substitution de première année

La déliaison conduit à une perte de chiffre d’affaires pour l’assureur, cette perte étant

principalement due à la substitution des meilleurs profils de risque : les plus jeunes, les non-

fumeurs, les cadres et les non-surprimés.

Outre une perte de valeur importante, le portefeuille groupe est également exposé avec la

déliaison à une hausse du ratio S/P global. L’impact sur le S/P est d’autant plus important

que le seuil de substitution considéré est faible :


Caractéristique S/P global

18-35 ans 50% 53% 58% 72%

36-45 ans 73% 76% 83% 98%

46-54 ans 96% 97% 101% 115%

55-64 ans 140% 140% 140% 143%

65-79 ans 36% 38% 43% 51%

Non-fumeurs 66% 71% 81% 101%

Fumeurs 95% 97% 103% 115%

Cadres 53% 57% 65% 79%

Non-cadres 101% 106% 117% 138%

Non-surprimés 64% 67% 73% 83%

Surprimés 212% 212% 212% 212%

Portefeuille 75% 81% 91% 108%

Figure 47. S/P global selon le scénario de substitution de première année


Le S/P lié à chaque tranche d’âge et à chaque profil de risque est impacté à la hausse par la

substitution de première année, ce qui traduit une dégradation du profil de risque moyen au

sein de toutes les sous-populations considérées.

La hausse du S/P global suite à la déliaison s’explique à la fois par la substitution des

meilleurs profils de risque de chaque tranche d’âge (de plus, les surprimés, considérés

insensibles au prix, restent tous dans le portefeuille), et par la substitution bien plus

importante des 18-35 ans et des 36-45 ans par rapport à celle des 46-54 ans et des 55-64

ans, sous-tarifés.

Ci-dessous la comparaison du taux de substitution de première année global, de l’impact sur

les primes et de l’impact sur le S/P global (portefeuille dans son ensemble), en fonction du

seuil de substitution :

Seuil Taux de substitution global Impact Primes Impact S/P global

3 000 € 11% -16% 7%

1 000 € 33% -39% 21%

0 € 66% -61% 44%

Figure 48. Impacts de la déliaison la première année sur le portefeuille selon le seuil de substitution

Comme vu précédemment pour trois scénarios de sensibilité au prix (seuils 0 €, 1000 € et

3000 €), la perte de primes et la dégradation de la sinistralité du portefeuille sont d’autant

plus importants que l’est le niveau de substitution.

Cependant, la perte de valeur n’est pas proportionnelle au taux de substitution de première

année. Cela s’explique par la modélisation de la substitution retenue, qui se base sur la

sensibilité au coût total d’assurance : pour un seuil de substitution donné, les capitaux

importants et les prêts longs, qui ont un écart de coût total d’assurance absolu supérieur,

sont davantage susceptibles de substituer.

En considérant par exemple un seuil de sensibilité au prix de 1000 €, le taux de substitution

du portefeuille, obtenu par moyenne pondérée de la substitution liée à chaque cohorte

modélisée, est de 33 %. La substitution importante la première année dans le cadre de cette

hypothèse de sensibilité moyenne au prix conduit au global pour l’assureur à une perte de

39 % des primes, et une hausse de 21 % de la sinistralité du portefeuille modélisé.

L’impact de la déliaison de première année sur le S/P est, d’après notre modélisation,

davantage dû à la garantie décès qu’à la garantie arrêt de travail :

Seuil Impact S/P global Impact S/P Décès Impact S/P Arrêt de travail

3 000 € 7% 8% 5%

1 000 € 21% 23% 15%

0 € 44% 50% 30%

Figure 49. Impacts de la déliaison la première année sur le S/P par garantie du portefeuille selon le seuil de substitution


Figure 50. Coût de la substitution la première année : impact sur le S/P par garantie

Pour les scénarios de substitution retenus, ci-dessous le S/P lié à chaque année (déroulé de

la génération) :

Figure 51. Impact de la substitution la première année sur le S/P annuel


Hors substitution, le ratio S/P annuel est presque toujours inférieur à 100 %, ce qui reflète la

marge de prudence inhérente au contrat groupe. Avec la déliaison de première année, le S/P

annuel obtenu dépasse 100 % sur une période d’autant plus longue que le seuil de

substitution considéré est faible. Pour une sensibilité à un écart de prix de 1000 €, le S/P

annuel est ainsi supérieur à 100 % pour les années 5 à 10.

La perte de primes et la dégradation de la sinistralité du portefeuille dans le cadre de la

déliaison de première année se traduisent comme suit sur le résultat technique annuel :

Figure 52. Impact de la déliaison de première année sur le résultat technique annuel

La baisse importante du résultat technique de la deuxième année par à celui de la première

année s’explique par la modélisation de la substitution : les rachats sont considérés de façon

annuelle et sont supposés intervenir en milieu d’année. Par conséquent, les adhésions

faisant l’objet d’une substitution la première année font tout de même l’objet d’une demi-

année de primes et de sinistres, comme si la déliaison intervenait 6 mois après l’adhésion.

La décroissance du résultat technique annuel se poursuit jusqu’à la sixième année en raison

notamment de la dissipation progressive de l’effet de la sélection médicale. Le résultat

technique annuel croît ensuite avec la baisse de la sinistralité globale en fin de contrat

(baisse du capital restant dû impactant la garantie décès), et fluctue en fonction des fins de

prêts des différentes cohortes modélisées.

La déliaison de première année conduit ainsi à une baisse importante du résultat technique,

qui résulte à la fois de la perte de valeur et de la déformation du portefeuille (hausse du

S/P).


Le résultat technique cumulé du portefeuille se déroule ainsi :

Figure 53. Impact de la déliaison de première année sur le résultat technique cumulé

Le résultat technique cumulé du portefeuille est fortement réduit par la substitution la

première année, et devient même négatif à partir de la sixième année pour le scénario de

sensibilité forte au prix (seuil de substitution de 0 €).

Pour un seuil de substitution de l’ordre de 600 €, qui correspond à un taux de substitution

global la première année d’environ 43 %, le résultat cumulé est nul sur les 10 premières

années puis se stabilise. Ce seuil de 600 € constitue un point d’équilibre du point de vue du

résultat cumulé du portefeuille modélisé.

La modélisation rationnelle de la substitution dans le cadre de la loi Hamon a permis de

mesurer les impacts de la déliaison la première année sur un portefeuille groupe :

impact sur les primes : perte de valeur ;

impact sur le S/P : dégradation de la sinistralité du portefeuille.

Ces deux effets de la substitution de première année affectent le résultat technique de

l’assureur, mais nous souhaitons également intégrer la déformation du portefeuille groupe

résultant d’une substitution des bons profils de risque tout au long du contrat.


Nous considérons toujours le même portefeuille, modélisé en 86 cohortes (une génération

de production), en effectuant l’hypothèse de déliaison totale, autrement dit d’une

substitution de l’assurance autorisée pendant toute la durée du prêt.

3.3.2. Impact de la déliaison totale

Afin de mesurer les impacts potentiels de la déliaison totale sur le portefeuille étudié, les

hypothèses suivantes sont effectuées :

chaque année, l’emprunteur a tendance à substituer son contrat d’assurance groupe

lorsque les primes qu’il lui reste à payer en conservant cette assurance jusqu’au

terme de son prêt sont supérieures aux primes d’un contrat individuel concurrent ;

le tarif du contrat individuel est indexé sur le risque propre à cet emprunteur, et

comporte un chargement de sécurité de 20 %.

Pour un prêt de durée n, la substitution d’un assuré l’année k dépend ainsi de l’écart entre le

coût de l’assurance groupe lié aux n-k dernières années de couverture du prêt, et le coût

estimé de l’assurance individuelle pour ces n-k dernières années.

Dans le cadre d’une substitution autorisée pendant toute la durée du prêt, cette

modélisation permet de prendre en compte à la fois le départ des meilleurs profils de risque,

en début de contrat, et le départ d’autres assurés pour qui, en cours de contrat, l’adhésion à

un contrat individuel devient intéressante. En particulier, le tarif du contrat individuel

évoluant selon le capital restant dû, certains assurés deviennent au cours du contrat de bons

profils de risque vis-à-vis du contrat groupe.

Avec la déliaison totale, de nouveaux assurés ont chaque année intérêt à substituer leur

contrat groupe par un contrat individuel. Toutefois, les assurés ne sont pas tous sensibles au

gain induit par la substitution. Par exemple, certains assurés estimeront ce gain insuffisant

par rapport aux démarches nécessaires ou éprouveront une certaine méfiance vis-à-vis de la

résiliation de leur assurance initiale, d’autres ne seront pas informés de la possibilité de

substituer leur assurance emprunteur, ou le seront tardivement. On considère ainsi qu’à

partir du moment où l’assuré a un intérêt significatif à substituer son contrat d’assurance

groupe, la probabilité annuelle de substitution de cet assuré croît pendant 3 ans : 20 % la

première année, 35 % la seconde et 50 % les suivantes.


Pour évaluer les effets de la déliaison totale sur le portefeuille étudié, les étapes suivantes

sont effectuées :

le portefeuille est modélisé en 86 cohortes (voir 3.1.2) ;

on détermine pour chaque cohorte (de durée de prêt n) l’année kmin à partir de

laquelle l’assuré est susceptible de substituer son assurance emprunteur :

pour cette cohorte, les taux de substitutions de chaque année, notés (t1, ..., tn), se

déduisent de kmin comme suit :

Ce scénario de substitution, intégrant une sensibilité relative et progressive au prix, est plus

réaliste que celui faisant intervenir des seuils absolus de sensibilité au prix (voir 3.3.1). Afin

de comparer l’impact de la déliaison totale avec celui de la déliaison la première année

seule, nous considérons également le scénario de déliaison la première année suivant :


On constate la dégradation progressive du profil de risque du portefeuille au cours du temps

pour le scénario de déliaison totale :

Figure 54. Dégradation du profil de risque du portefeuille dans le cadre de la déliaison totale

Chaque année, de nouveaux assurés substituent leur assurance : il s’agit des « bons profils

de risque », pour qui le contrat groupe devient moins intéressant en terme de tarif que les

contrats individuels davantage segmentés. La déformation progressive de la proportion de

non-cadres, fumeurs et surprimés dans le cadre de la déliaison totale se constate bien avec

notre modélisation d’une génération du portefeuille en 86 cohortes.


Ci-dessous, pour les scénarios de déliaison retenus, la répartition du portefeuille l’année 10,

les primes cumulées et le S/P sur 20 ans :

Scénario Hors déliaison Déliaison année 1 Déliaison totale


Caractéristique Répartition effectif année 10

Caractéristique Primes (M€)

18-35 ans 42% 40% 16%

18-35 ans 23,7 19,6 5,4

36-45 ans 34% 35% 40%

36-45 ans 25,9 22,5 10,9

46-54 ans 20% 21% 37%

46-54 ans 18,6 17,0 11,7

55-64 ans 3% 3% 6%

55-64 ans 5,9 5,4 4,1

65-79 ans 1% 1% 0%

65-79 ans 2,1 1,8 1,1

Non-fumeurs 67% 66% 51%

Non-fumeurs 51,2 43,9 19,5

Fumeurs 33% 34% 49%

Fumeurs 25,0 22,4 13,7

Cadres 50% 47% 11%

Cadres 37,4 30,7 8,7

Non-cadres 50% 53% 89%

Non-cadres 36,7 33,9 23,5

Non-surprimés 92% 91% 79%

Non-surprimés 70,2 60,5 27,9

Surprimés 8% 9% 21%

Surprimés 6,0 5,9 5,4

Portefeuille 100% 100% 100%

Portefeuille 76,2 66,4 33,3


Caractéristique S/P global

18-35 ans 50% 52% 61%

36-45 ans 73% 76% 94%

46-54 ans 96% 99% 116%

55-64 ans 140% 146% 171%

65-79 ans 36% 37% 36%

Non-fumeurs 66% 69% 90%

Fumeurs 95% 99% 124%

Cadres 53% 55% 68%

Non-cadres 101% 104% 120%

Non-surprimés 64% 66% 80%

Surprimés 212% 214% 229%

Portefeuille 75% 79% 104%

Figure 55. Comparaison des scénarios de déliaison au global

Par rapport à la déliaison de première année, la déliaison totale a un impact bien plus

important :

sur le profil de risque du portefeuille : proportion croissante au cours du temps des

plus âgés, des fumeurs, des non-cadres et des surprimés ;

sur le chiffre d’affaires de l’assureur : au global, perte de 56 % des primes avec la

déliaison totale contre 13 % dans le cas de la déliaison de première année ;

sur la sinistralité du portefeuille : au global, hausse du S/P de 38 % avec la déliaison

totale contre 5 % pour la déliaison de première année :

Scénario Impact Primes Impact S/P global

Déliaison année 1 -13% 5%

Déliaison totale -56% 38%


Pour les trois scénarios retenus, ci-dessous le déroulé du résultat technique annuel, cumulé,

du S/P annuel ainsi que de la hausse du S/P annuel :

Figure 56. Comparaison des scénarios de déliaison : déroulé sur 20 ans

Le scénario de sensibilité relative et progressive au prix considéré met en évidence :

un impact significatif de la déliaison de première année : perte de résultat et

dégradation du portefeuille ; cet impact est cependant absorbé par la marge de

prudence inhérente au contrat groupe : ces déformations ne remettent pas en cause

l’équilibre du contrat.

un impact considérable de la déliaison totale : outre la perte importante et

progressive de primes tout au long du contrat, le résultat technique annuel est

négatif dès la quatrième année, le résultat cumulé est négatif malgré la marge de

prudence initiale (S/P hors déliaison de 75 %), le S/P annuel est supérieur à 100 % de

la quatrième à la seizième année, et l’impact sur le S/P est très important y compris

les dernières années (effet substitution engendrée par la baisse du capital restant dû

donc des coûts des contrats individuels).


Dans le cas d’une déliaison totale, avec les hypothèses retenues, notre modélisation conduit

à un impact très important sur l’équilibre du portefeuille groupe.

Cependant, nous avons jusqu’à présent considéré une génération de production (vision run-

off). Afin de mesurer l’impact de la déliaison totale sur un portefeuille groupe dont la

production est continue, ce qui est en réalité le plus souvent le cas, on considère dans la

section suivante l’empilement de plusieurs générations : production annuelle de nouveaux

contrats.


3.3.3. Production annuelle

Nous modélisons toujours le portefeuille étudié par les 86 cohortes précédemment

étudiées, mais en considérant une production de 26000 nouveaux contrats chaque année.

Le portefeuille est lancé en 2015 et observé pendant 20 ans.

Les résultats ci-dessous sont le déroulé par année comptable :

du scénario central : hors déliaison (pas de substitution de l’assurance) ;

du scénario de déliaison totale retenu : hypothèse de sensibilité relative et

progressive au prix.

Figure 57. Impacts de la déliaison totale sur un portefeuille en production annuelle


On remarque qu’avec une production continue de nouveaux contrats, le résultat technique

annuel reste positif les 10 premières années. L’impact de la déliaison totale est

artificiellement atténué les premières années par la production continue de nouveaux

contrats.

Ainsi, dans le cas d’une évolution juridique autorisant la substitution de l’assurance tout au

long du prêt, les impacts de la déliaison totale pourraient ne se constater réellement qu’au

bout de quelques années.

Les conséquences d’une déliaison totale modifient en profondeur l’assurance des

emprunteurs de groupe. Ces portefeuilles aujourd’hui rentables deviendraient déficitaires si

seuls les assurés surprimés ou fumeurs ou généralement « plus risqués » restent, tous les

« bons risques » partant vers des contrats moins onéreux car plus segmentés.

La déliaison soit de première année soit totale pose la question de la mutualisation qui n’est

plus effective dans un « contrat groupe » qui se segmente au fil des années (perte des

« meilleurs risques »). Les solutions actuarielles évidentes investiguées dans ce mémoire

seraient :

1. changer la tarification en prime nivelée (prime en pourcentage du capital initial) en

prime de risque (prime en pourcentage du capital restant dû) afin de limiter la

sensibilisation au rachat de crédit et de la déliaison

2. anticiper la segmentation progressive du portefeuille, en ajustant par exemple les

surprimes attribuées aux porteurs des risques aggravés (sans tenir compte de la

mutualisation avec le groupe qui s’amenuise dans le temps)

3. suivre les effets de la déliaison par génération de production et non au global sur les

portefeuilles afin de mesurer au plus tôt leurs effets à moyen et long termes.


Conclusion

La modélisation markovienne de l’assurance emprunteur, intégrant les risques décès, incapacité et

invalidité de travail et rachat, a permis d’étudier les impacts de la déliaison sur l’équilibre des

contrats emprunteurs. L’étude d’une cohorte de référence (assuré de 40 ans, prêt de durée 15 ans) a

mis en évidence l’exposition au risque de rachat de l’assureur groupe. Le contrat groupe, dont la

prime est nivelée sur toute la durée du prêt, doit ainsi adopter une plus grande marge de prudence

que le contrat individuel, dont la tarification segmentée et basée sur le capital restant dû immunise

l’assureur contre le risque de rachat.

La déliaison de première année (loi Hamon) n’affecte que de façon proportionnelle à la substitution

les primes et sinistres pour une cohorte. Dans l’hypothèse d’une déliaison totale, le coût du rachat,

exprimé en hausse du S/P, s’élève, pour le contrat groupe et la cohorte tarifée à l’équilibre, à 5 %

dans le cas d’un scénario réaliste de substitution, et à 10 % dans le pire des cas ; ce coût est absorbé

par les contrats groupe de marché, qui intègrent un chargement de sécurité important.

La modélisation d’une cohorte seule ne permettant pas de mesurer tous les effets de la déliaison,

l’étude s’est poursuivie par la modélisation d’un portefeuille groupe en 86 cohortes de profils de

risque divers, dont la sinistralité a été modélisée par des tables d’expérience et la substitution par

des hypothèses de sensibilité des emprunteurs au prix.

La modèle rationnel de substitution proposé conduit à des impacts importants de la déliaison de

première année sur le portefeuille groupe. Les résultats obtenus mettent en évidence, au-delà de la

perte de valeur pour l’assureur, une dégradation de la sinistralité du portefeuille groupe due au

départ des « meilleurs risques ». Le droit de substitution la première année introduit par la loi

Hamon conduit avec nos hypothèses à une démutualisation du contrat groupe. L’étude de la

déliaison totale montre des impacts sur ce contrat plus importants encore, avec une démutualisation

qui progresse chaque année. Les conséquences de la déliaison sur un portefeuille groupe ne se

constateraient réellement qu’après quelques années, ce qui indique la nécessité pour l’assureur de

suivre les effets de la déliaison par génération de production.

Il est important de souligner les limites de l’étude. La modélisation effectuée (modélisation

markovienne du comportement, modélisation du portefeuille en cohortes et modélisation

rationnelle de la substitution) se base sur de nombreuses hypothèses, et ne peut prétendre refléter

la réalité. Il faut donc rester prudent : les résultats obtenus nous donnent seulement une indication

des effets potentiels de la déliaison de l’assurance emprunteur.

Les impacts potentiellement importants de la déliaison sur l’équilibre de l’assurance emprunteur de

groupe nécessitent toutefois un suivi particulier. L’assureur peut anticiper la substitution spécifique

des meilleurs profils de risque du portefeuille en ajustant les primes, mais la déliaison pose la

question de la viabilité d’une tarification en prime nivelée. La loi Hamon étant entrée en vigueur en

juillet 2014, nous n’avons à ce jour pas connaissance de l’ampleur de la substitution : l’étude

mériterait d’être prolongée avec un recul d’expérience.


Bibliographie

Mémoires :

Emmanuelle AUER — Modélisation d’un contrat emprunteur : Impacts & Résultats — 2007

Jérémy LEVY — Modèle de rentabilité d’un produit de prévoyance dans le cadre de Solvabilité II — 2011

Adrien SURU — Le rachat : modélisations et préconisations — 2011

Romain MOLINA — Modélisation des risques décès, arrêt de travail et rachat d’un portefeuille d’assurance emprunteur sous les directives « Solvency II » — 2012

Stéphanie PRIMEL — Tarification, Rentabilité et Impacts de Solvabilité II sur les contrats

Emprunteur - Application aux garanties Décès et Incapacité — 2012

Supports de cours :

Olivier LOPEZ — Modélisation stochastique — 2012

Charles BOUVEYRON — Classification — 2012

Antoine MANTEL — Assurance vie — 2013

Denis NEITER — Réglementation des assurances — 2013

Razvan IONESCU — Modèle de durée — 2013

Pierre LACOSTE — Réassurance — 2013

Frédéric PLANCHET — Méthodes de lissage et d’ajustement — 2014

Ouvrages :

Pierre PETAUTON — Théorie et pratique de l’assurance vie, 4e Edition — 2012

Code des assurances — www.legifrance.gouv.fr Code de la consommation — www.legifrance.gouv.fr


Publications :

CREDOC — La nouvelle sensibilité des consommateurs aux prix — Novembre 2005

Jean BERARD — Simulation de modèles stochastiques et méthode de Monte-Carlo — 2006

OPTIMIND — Marché de l’emprunteur : les nouvelles opportunités — Avril 2012

Fédération Bancaire Française — Rapport du 23 mai 2013 : les dangers de la déliaison — Mai 2013

ACTUARIS — Etude « Assurance des emprunteurs collectives et individuelles » — Mai 2013

ACPR — Le financement de l’habitat en 2012 — Juillet 2013

Bertrand VILLENEUVE — Concurrence dans l’assurance emprunteur : baisser les prix sans les rendre imprévisibles — Octobre 2013

IGF — Rapport N° 2013-M086-02 : Assurance-Emprunteur — Novembre 2013

Julien THOMAS, Frédéric PLANCHET — Critères de validation : aspects méthodologiques — 2014

Journal officiel de la république française — LOI n°2014-344 du 17 mars 2014 relative à la consommation, Article n°54 — Mars 2014


Annexes

A. Amortissement d’un prêt à annuités constantes

Considérons un prêt de durée n années, de capital emprunté K, d’annuités (A1, …, An),

d’amortissements (Am1, …, Amn), d’intérêts (I1, …, In) et de taux d’intérêt annuel r.

Ces notations permettent de détailler l’égalité des engagements respectifs du prêteur et de

l’emprunteur, actualisés au taux d’intérêt r (calcul en valeur actuelle à t = 0) :

L’amortissement du capital s’effectuant à annuités constantes, notons A = A1 = … = An, ainsi :

L’annuité est proportionnelle au capital emprunté et fonction du taux d’intérêt et de la

durée du prêt. L’emprunteur ayant besoin d’un capital donné pour acquérir un bien et

subissant le taux d’intérêt qui lui est proposé, la durée du prêt est le seul levier d’action sur

le montant de l’annuité :

Un prêt plus long permet de réduire l’annuité.

Notons I la somme des intérêts sur toute la durée du prêt :


Un prêt plus long implique une charge totale d’intérêts supérieure.

L’annuité k se décompose en amortissement Amk et en intérêts Ik :

En notant CRDk le capital restant dû en fin d’année k, i.e. après k échéances (avec CRD0 = K et

CRDk = 0), nous avons :

Ces relations permettent d’écrire :

Pour un prêt à annuités constantes, le respect du principe de calcul des intérêts conduit

donc à une progression géométrique de l’amortissement, dont la suite (Am1, …, Amk) est de

raison (1 + r) et de premier terme (A – rK).

Application numérique :

Prenons l’exemple d’un prêt de durée n = 10 ans, de capital emprunté K = 100 000 € et de

taux d’intérêt annuel r = 3 %.

Afin d’obtenir son tableau d’amortissement, calculons l’annuité A, les amortissements Amk

et les intérêts Ik :


Nous pouvons ainsi construire le tableau d’amortissement de ce prêt sur 10 ans :

Année Capital Restant Dû (en début d'année)

Annuité Amortissement

du capital Intérêts

Capital Restant Dû (en fin d'année)

1 100 000 € 11 723 € 8 723 € 3 000 € 91 277 €

2 91 277 € 11 723 € 8 985 € 2 738 € 82 292 €

3 82 292 € 11 723 € 9 254 € 2 469 € 73 038 €

4 73 038 € 11 723 € 9 532 € 2 191 € 63 506 €

5 63 506 € 11 723 € 9 818 € 1 905 € 53 688 €

6 53 688 € 11 723 € 10 112 € 1 611 € 43 576 €

7 43 576 € 11 723 € 10 416 € 1 307 € 33 160 €

8 33 160 € 11 723 € 10 728 € 995 € 22 432 €

9 22 432 € 11 723 € 11 050 € 673 € 11 382 €

10 11 382 € 11 723 € 11 382 € 341 € 0 €

Total

117 231 € 100 000 € 17 231 €

Figure 58. Tableau d'amortissement d'un prêt

Ci-dessous l’évolution du capital restant dû au cours des 10 années de ce prêt :

Figure 59. Evolution du capital restant dû d'un prêt sur 10 ans

Le taux d’intérêt assez faible du prêt explique l’apparente décroissance linéaire de la suite

des capitaux restants dus, qui est en réalité arithmético-géométrique.


On constate la décomposition des annuités, constantes, en une part croissante

d’amortissement du capital, dont la progression est géométrique, et une part décroissante

d’intérêts, dont la progression est arithmético-géométrique :

Figure 60. Parts de l'amortissement et des intérêts dans le remboursement d'un prêt à annuité constante

Ci-dessous les résultats du calcul de l’amortissement pour trois prêts : le prêt A

précédemment détaillé, le prêt B allongé et le prêt C dont le taux d’intérêt est doublé :

Prêt Durée du prêt Taux d'intérêt Capital Annuité ∑ Annuités Intérêts Part des intérêts

A 10 ans 3 % 100 000 € 11 723 € 117 231 € 17 231 € 15 %

B 15 ans 3 % 100 000 € 8 377 € 125 650 € 25 650 € 20 %

C 10 ans 6 % 100 000 € 13 587 € 135 868 € 35 868 € 26 %

Le prêt B, plus long que le prêt A, est d’annuité plus faible mais comporte plus d’intérêts, ce

qui illustre les résultats précédemment obtenus.

Toutes choses égales par ailleurs, le prêt C, qui a un taux d’intérêt plus élevé que le prêt A, a

une annuité supérieure et davantage d’intérêts.

Enfin, l’ensemble du tableau d’amortissement est proportionnel au capital emprunté :

modifier cette caractéristique ne déforme pas la structure de l’amortissement du prêt.


B. Application à une cohorte : tarif groupe et individuel de marché

Nous comparons, pour la cohorte de référence (âge à l’adhésion 40 ans, durée du prêt 15

ans), le tarif d’équilibre étudié avec des tarifs groupe et individuel effectivement pratiqués

sur le marché.

Les hypothèses suivantes sont retenues :

l’assuré n’est pas surprimé suite à la sélection médicale ;

l’assuré est un cadre fumeur.

Les tarifs groupe et individuel de deux contrats du marché conduisent pour cette cohorte

aux flux de primes et de sinistres suivants :

Année 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Total

Prime pure (contrat groupe marché) 210 210 209 209 208 208 207 206 206 205 204 203 202 201 200 3 087 €

Prime pure (contrat individuel marché) 200 213 221 227 232 234 235 230 217 199 180 153 119 77 28 2 766 €

Sinistres 127 147 165 188 193 197 198 196 190 182 169 154 134 110 82 2 433 €

Figure 61. Flux des contrats groupe et individuel de marché

Sur toute la durée du prêt, pour cette cohorte, le chargement de sécurité du contrat groupe

de marché est de 27 % alors que celui du contrat individuel est de 14 % : on constate bien

une marge de prudence du contrat groupe plus importante que celle du contrat individuel.

Cette marge de prudence permet à l’assureur groupe de s’attendre à percevoir chaque

année davantage de primes que de sinistres :


Figure 62. Contrats groupe et individuel de marché : prime et sinistres — emprunt à 40 ans sur 15 ans

Ci-dessous le résultat technique cumulé attendu, exprimé en % de la prime d’équilibre

nivelée, pour les contrats groupe et individuel de marché et tarifés à l’équilibre :

Figure 63. Résultat cumulé des contrats groupe et individuel : tarif d’équilibre et de marché — emprunt à 40 ans sur 15 ans


Prenons comme référence la prime pure annuelle du contrat groupe, notée PP.

Dans notre exemple, le résultat cumulé attendu est toujours positif :

de l’ordre de 4 PP pour le contrat groupe ;

de l’ordre de 2 PP pour le contrat individuel.

A l’échelle de la cohorte, les contrats de marché comportent une marge de prudence

suffisante pour faire face aux rachats. Le chargement de sécurité important par rapport au

tarif d’équilibre empêche ainsi d’observer les effets des rachats et de la déliaison.

Par conséquent, l’étude des impacts des rachats et de la déliaison sur une cohorte s’effectue

en considérant les contrats d’équilibre, sans chargement de sécurité.


C. Elaboration de l’outil de modélisation de l’assurance emprunteur

L’outil de projection des effectifs et flux futurs consiste en la modélisation markovienne de

l’assurance emprunteur par cohortes. Ayant pour objectif d’évaluer les déformations de

l’assurance emprunteur, notamment dans le cadre de la déliaison, notre modélisation se

fonde sur de nombreuses hypothèses : hypothèses de production, de sinistralité, hypothèses

comportementales… Il est cependant important d’être conscient de ses limites. Le but n’est

pas de simuler la réalité, mais d’en proposer une simplification :

« Nous possédons déjà un modèle complètement réaliste : c’est le monde réel lui-

même. Or ce ‘modèle’ est trop compliqué pour être compréhensible. Ce n’est que

lorsqu’un postulat simplificateur aboutit à un modèle qui fournit des réponses

incorrectes aux questions auxquelles il est censé répondre que son manque de

réalisme peut être considéré comme une imperfection. Sinon son manque de réalisme

est alors une vertu. Dans ce cas, le postulat simplificateur permet d’isoler certains

effets et d’en faciliter la compréhension. » 13

C’est précisément ce dernier point qui nous intéresse : pouvoir observer l’impact de certains

scénarios et hypothèses sur l’équilibre de l’assurance emprunteur, et en identifier les

principaux leviers, afin d’appréhender les mécanismes de l’assurance emprunteur et les

enjeux de la déliaison.

Cette exploration passe par la formalisation simplifiée de la réalité, le modèle, dont le

développement peut se schématiser par le cycle suivant :

Figure 64. Cycle de construction du modèle

13

Source : Romer, David. 1997. Macroéconomie approfondie. Paris : Ediscience


La conception de l’outil s’est faite avec plusieurs contraintes et objectifs :

une utilisation élargie de l’outil : au-delà des prêts immobiliers, objets de notre

étude, prévoir la modélisation de tous types de prêts ;

faciliter la modification, l’utilisation de l’outil et le stockage des résultats ;

une architecture commune aux calculs déterministes et simulations stochastiques ;

optimiser les temps de calcul et veiller à ne pas trop alourdir le fichier.

Pour ses atouts ergonomiques, son interactivité avec le langage de programmation Visual

Basic et ses nombreuses fonctionnaliés, le logiciel Excel nous a semblé être le plus approprié

compte tenu de nos objectifs. Certains traitements et calculs ont été effectués avec le

logiciel SAS, qui gère efficacement de gros volumes de données comme les bases

d’adhésions et de sinistres des prêts immobiliers.


D. Coefficients d’abattement de la mortalité par caractéristiques

Ci-dessous les coefficients d’abattement de la table de mortalité appliqués par âge, en

fonction des caractéristiques de la cohorte :

(NF : non-fumeurs, F : fumeurs, NC : non-cadres, C : cadres)

Age qx (TH 00-02 abattue de 50 %) NF F NC C NFNC NFC FNC FC

18 0,041% 8% -15% -49% 49% -38% 53% -72% 42%

19 0,047% 8% -15% -49% 49% -38% 53% -72% 42%

20 0,051% 8% -15% -49% 49% -38% 53% -72% 42%

21 0,053% 8% -15% -49% 49% -38% 53% -72% 42%

22 0,053% 8% -15% -49% 49% -38% 53% -72% 42%

23 0,052% 8% -15% -49% 49% -38% 53% -72% 42%

24 0,052% 8% -15% -49% 49% -38% 53% -72% 42%

25 0,052% 8% -15% -49% 49% -38% 53% -72% 42%

26 0,053% 8% -15% -49% 49% -38% 53% -72% 42%

27 0,054% 8% -17% -49% 49% -37% 54% -74% 41%

28 0,056% 9% -19% -49% 49% -35% 54% -77% 40%

29 0,057% 10% -21% -49% 49% -34% 55% -80% 39%

30 0,058% 11% -23% -49% 49% -33% 55% -83% 38%

31 0,060% 12% -25% -48% 48% -30% 54% -84% 35%

32 0,062% 13% -27% -46% 46% -27% 53% -85% 32%

33 0,066% 14% -28% -45% 45% -25% 53% -86% 29%

34 0,071% 15% -30% -43% 43% -22% 52% -87% 26%

35 0,077% 16% -32% -42% 42% -20% 51% -88% 24%

36 0,083% 17% -34% -41% 41% -18% 51% -89% 21%

37 0,090% 17% -35% -40% 40% -16% 51% -90% 19%

38 0,098% 18% -37% -39% 39% -14% 50% -91% 16%

39 0,107% 19% -39% -38% 38% -12% 50% -91% 14%

40 0,118% 20% -42% -37% 37% -9% 50% -94% 11%

41 0,132% 21% -42% -37% 37% -8% 50% -94% 10%

42 0,147% 21% -42% -36% 36% -7% 49% -93% 9%

43 0,163% 21% -42% -35% 35% -7% 49% -92% 7%

44 0,180% 21% -42% -34% 34% -6% 48% -91% 6%

45 0,199% 21% -42% -33% 33% -6% 47% -90% 5%

46 0,217% 21% -42% -33% 33% -5% 47% -89% 4%

47 0,236% 21% -42% -32% 32% -5% 46% -88% 4%

48 0,254% 21% -42% -32% 32% -4% 46% -87% 3%

49 0,272% 21% -42% -31% 31% -4% 45% -86% 2%

50 0,291% 21% -42% -30% 30% -3% 45% -86% 1%

51 0,312% 21% -42% -30% 30% -3% 45% -85% 0%

52 0,334% 21% -42% -29% 29% -2% 44% -84% -1%

53 0,358% 21% -42% -29% 29% -2% 44% -83% -2%

54 0,383% 21% -42% -28% 28% -1% 43% -82% -2%

55 0,410% 21% -42% -28% 28% -1% 43% -82% -3%

56 0,437% 21% -42% -27% 27% -1% 42% -81% -4%

57 0,466% 21% -42% -26% 26% 0% 42% -80% -5%

58 0,498% 21% -42% -26% 26% 0% 41% -79% -6%

59 0,533% 21% -42% -25% 25% 1% 41% -78% -6%

60 0,573% 21% -42% -25% 25% 1% 41% -78% -7%

61 0,617% 21% -42% -24% 24% 2% 40% -77% -8%

62 0,668% 21% -42% -24% 24% 2% 40% -76% -9%

63 0,724% 21% -42% -23% 23% 2% 39% -76% -9%

64 0,788% 21% -42% -23% 23% 3% 39% -75% -10%

65 0,860% 21% -42% -23% 23% 3% 39% -75% -10%

Figure 65. Coefficients d’abattement de la mortalité


Table des Illustrations

Figure 1. Les taux d'intérêts des crédits immobiliers aux particuliers — Source Crédit Logement/CSA 5

Figure 2. Tableau d'amortissement d'un prêt ......................................................................................... 6

Figure 3. Part des prêts immobiliers couverts par une assurance — Source ACPR ................................ 9

Figure 4. Flux des contrats groupe et individuel ................................................................................... 15

Figure 5. Coût total de l'assurance emprunteur selon le type de contrat et le profil de l’assuré —

Source IGF .............................................................................................................................. 17

Figure 6. Evolution des taux de délégation de l'assurance emprunteur (prêts immobiliers) — Source

FFSA ........................................................................................................................................ 19

Figure 7. Cycle de démutualisation du contrat groupe ......................................................................... 21

Figure 8. Tableau récapitulatif des notations utilisées ......................................................................... 25

Figure 9. Profil de risque décès — emprunt à 40 ans sur 15 ans .......................................................... 27

Figure 10. Profil de risque arrêt de travail — emprunt à 40 ans sur 15 ans ......................................... 29

Figure 11. Profil de risque d’un contrat emprunteur — emprunt à 40 ans sur 15 ans ......................... 29

Figure 12. Chaîne de Markov à temps discret à 7 états ........................................................................ 34

Figure 13. Descriptif des états ............................................................................................................... 34

Figure 14. Matrice de transition la première année ............................................................................. 37

Figure 15. Matrice de transition sur 15 ans .......................................................................................... 37

Figure 16. Loi de probabilité de l'état de l'assuré l'année 15................................................................ 37

Figure 17. Illustration du coût de l'assurance emprunteur ................................................................... 40

Figure 18. Prime nivelée (contrat groupe) et prime variable (contrat individuel) — emprunt à 40 ans

sur 15 ans ............................................................................................................................... 40

Figure 19. Résultat technique annuel attendu — emprunt à 40 ans sur 15 ans ................................... 41

Figure 20. Résultat technique cumulé attendu — emprunt à 40 ans sur 15 ans .................................. 42

Figure 21. Chargement de sécurité de 10 % : impact sur le résultat technique cumulé — emprunt à 40

ans sur 15 ans......................................................................................................................... 43

Figure 22. Résultat cumulé des contrats groupe et individuel et chargement de sécurité de 10 % .... 44

Figure 23. Résultat annuel des contrats groupe et individuel et chargement de sécurité de 10 % et 30

% ............................................................................................................................................. 45

Figure 24. Impact des rachats annuels sur les primes des contrats groupe et individuel — emprunt à

40 ans sur 15 ans .................................................................................................................... 46

Figure 25. Impact des rachats annuels sur le résultat cumulé du contrat groupe — emprunt à 40 ans

sur 15 ans ............................................................................................................................... 47

Figure 26. Sensibilité du tarif d'équilibre au taux de rachat annuel ..................................................... 47

Figure 27. Impact de la substitution la première année sur les primes et sinistres — emprunt à 40 ans

sur 15 ans ............................................................................................................................... 48

Figure 28. Coût du rachat (garantie décès) en fonction de l’année du rachat — emprunt à 40 ans sur

15 ans ..................................................................................................................................... 50

Figure 29. Coût du rachat (garantie arrêt de travail) en fonction de l’année du rachat — emprunt à 40

ans sur 15 ans......................................................................................................................... 50

Figure 30. Coût du rachat en fonction de l’année du rachat — emprunt à 40 ans sur 15 ans ............. 51

Figure 31. Sensibilité du tarif d'équilibre (en % du capital initial) à la durée du prêt ........................... 53


Figure 32. Coût du rachat en fonction de la durée du prêt et de l’année de rachat — emprunt à 40 ans

............................................................................................................................................... 54

Figure 33. Sensibilité du tarif d'équilibre (en % du capital initial) à la durée effective de l’assurance . 55

Figure 34. Sensibilité du tarif d'équilibre (en % du capital initial) à l’âge à l’adhésion ......................... 55

Figure 35. Résultat cumulé du contrat groupe en fonction de l’âge à l’adhésion — durée du prêt 15

ans .......................................................................................................................................... 56

Figure 36. Coût du rachat en fonction de l’âge à l’adhésion et de l’année de rachat — durée du prêt

15 ans ..................................................................................................................................... 57

Figure 37. Caractéristiques des adhésions 2013 par tranche d’âge ...................................................... 59

Figure 38. Etapes de construction des cohortes du portefeuille .......................................................... 61

Figure 39. Caractéristiques des classes obtenues avec les classifications ............................................ 61

Figure 40. Table d’entrée en incapacité de travail retenue .................................................................. 63

Figure 41. Taux de substitution par tranche d’âge en fonction du seuil de substitution ..................... 65

Figure 42. Taux de substitution par tranche de capital initial assuré en fonction du seuil de

substitution ............................................................................................................................ 66

Figure 43. Taux de substitution selon le caractère fumeur en fonction du seuil de substitution ........ 67

Figure 44. Primes et S/P global du portefeuille hors déliaison ............................................................. 68

Figure 45. Répartition des effectifs l’année 2 selon le scénario de substitution de première année .. 69

Figure 46. Primes selon le scénario de substitution de première année .............................................. 70

Figure 47. S/P global selon le scénario de substitution de première année ......................................... 70

Figure 48. Impacts de la déliaison la première année sur le portefeuille selon le seuil de substitution

............................................................................................................................................... 71

Figure 49. Impacts de la déliaison la première année sur le S/P par garantie du portefeuille selon le

seuil de substitution ............................................................................................................... 71

Figure 50. Coût de la substitution la première année : impact sur le S/P par garantie ........................ 72

Figure 51. Impact de la substitution la première année sur le S/P annuel ........................................... 72

Figure 52. Impact de la déliaison de première année sur le résultat technique annuel....................... 73

Figure 53. Impact de la déliaison de première année sur le résultat technique cumulé ...................... 74

Figure 54. Dégradation du profil de risque du portefeuille dans le cadre de la déliaison totale.......... 77

Figure 55. Comparaison des scénarios de déliaison au global .............................................................. 78

Figure 56. Comparaison des scénarios de déliaison : déroulé sur 20 ans ............................................. 79

Figure 57. Impacts de la déliaison totale sur un portefeuille en production annuelle ......................... 81

Figure 58. Tableau d'amortissement d'un prêt ..................................................................................... 88

Figure 59. Evolution du capital restant dû d'un prêt sur 10 ans ........................................................... 88

Figure 60. Parts de l'amortissement et des intérêts dans le remboursement d'un prêt à annuité

constante ............................................................................................................................... 89

Figure 61. Flux des contrats groupe et individuel de marché ............................................................... 90

Figure 62. Contrats groupe et individuel de marché : prime et sinistres — emprunt à 40 ans sur 15 ans

............................................................................................................................................... 91

Figure 63. Résultat cumulé des contrats groupe et individuel : tarif d’équilibre et de marché —

emprunt à 40 ans sur 15 ans .................................................................................................. 91

Figure 64. Cycle de construction du modèle ......................................................................................... 93

Figure 65. Coefficients d’abattement de la mortalité ........................................................................... 95

Documents

Mémoire présenté le : pour l’obtention du diplôme de ... · Mémoire présenté le : ... Le contrat individuel permet de mieux répartir le résultat sur toute la ... La sinistralité