MEQ04 : M anique des fluides incompressibleselefra02/coursMEQ04.pdfCFD (Fluent, CFX, rCD...). Sta ELF 2012 MEQ04: Mécanique des uides ressibles incomp 5 / 149 Structure du cours ério

MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressiblesEmmanuel LefrançoisUniversité de Te hnologie de Compiègne,Laboratoire Roberval, Département Génie des Systèmes Mé aniquesApprentissage AutomneELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 1 / 149

Obje tif de e oursApprentissage (2) Con evoir des systèmesmé aniques omplexes

(1) Connaissan es de baseMEQ04 Mé anique des �uides

(a) Emersonpro ess (b) Originalpropshop ( ) FluentELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 2 / 149

Comment s'y prendre ?Résoudre un problème omplexe observé (Modèle physique) requiertl'identi� ation et la maîtrise : Elasti ité Mé a. des �uides... des propriétés physiques Module de YoungC÷�. de Poisson... Gaz, liquideMasse volumiqueVis osité...... des phénomènes induits Tra tion- omp.Flexion, torsion... Di�usion, transportCavitation, turbulen e...... des outils fondamentaux RDM, MMC, PFDAbaqus, ANSYS... Statique, BernoulliPerte de hargeFluent...ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 3 / 149

Comment s'y prendre ?Résoudre un problème omplexe observé (Modèle physique) requiertl'identi� ation et la maîtrise : Elasti ité Mé a. des �uides... des propriétés physiques Module de YoungC÷�. de Poisson... Gaz, liquideMasse volumiqueVis osité...... des phénomènes induits Tra tion- omp.Flexion, torsion... Di�usion, transportCavitation, turbulen e...... des outils fondamentaux RDM, MMC, PFDAbaqus, ANSYS... Statique, BernoulliPerte de hargeFluent...ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 3 / 149

Dé�nir la mé anique des �uidesLa mé anique des �uides est l'étude du mouvement des �uides, des e�ortsau sein du �uide et en intera tion ave des parois.Premiers travaux re onnus ave Ar himède (287 av.J.-C) qui fut à l'origine de la statique des �uides.L'usage de la CFD (Computational Fluid Dynami s) tend à devenir quasi-indispensable dans la bou le de on eption d'un produit omplexe.MAIS, le bon usage de et outil requiert que l'ingénieur possède une bonne onnaissan e des bases de la mé anique des �uides.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 4 / 149

Dé�nir la mé anique des �uidesLa mé anique des �uides est l'étude du mouvement des �uides, des e�ortsau sein du �uide et en intera tion ave des parois.Premiers travaux re onnus ave Ar himède (287 av.J.-C) qui fut à l'origine de la statique des �uides.L'usage de la CFD (Computational Fluid Dynami s) tend à devenir quasi-indispensable dans la bou le de on eption d'un produit omplexe.MAIS, le bon usage de et outil requiert que l'ingénieur possède une bonne onnaissan e des bases de la mé anique des �uides.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 4 / 149

Obje tifs pour l'ingénieur√ être apable d'appréhender (re onnaitre, prévoir) les phénomènes misen jeu dans le �uide ou par l'a tion de e dernier,√ être en mesure d'e�e tuer des al uls sur les é oulements pour pou-voir dimensionner les installations, produits industriels ou travauxpubli s d'aménagement et de prévoir les phénomènes naturels,√ posséder les onnaissan es né essaires au bon usage (éventuel) desoutils numériques de CFD (Fluent, CFX, StarCD...).ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 5 / 149



Stru ture du oursPériode 1 : semaines 1, 2, 3 et 4X Partie I : Propriétés physiques des �uidesX Partie II : Statique des �uidesX Partie III : Dynamique des �uides parfaitsPériode 2 : semaines 5, 6, 7 et 8X Partie IV : Pertes de harges et réseaux⊲ ⊲ ⊲ Travaux Pratiques (20%)

⊲ ⊲ ⊲ Examen MEDIAN (théorique, 40%)Période 3 : semaines 9, 10 et 11X Partie V : Introdu tion et prise en main de Fluent-ANSYS⊲ ⊲ ⊲ Evaluation FLUENT (40%)ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 6 / 149

Première partiePropriétés physiques des �uidesELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 7 / 149

Pourquoi e hapitre ?. . . pour dé�nir e qu'est un �uide.. . . pour lister ses propriétés physiques et les phénomènes qui en dé oulentdans une démar he �nale de modélisation :+ pression, masse volumique, vis osité, ompressibilité . . .. . . pour lassi�er et lister un ensemble d'outils à vo ation ingénieur et àniveau de omplexité (=réalisme) roissant :+ Statique des �uides (Prin ipe d'Ar himède. . . )+ Prin ipe de Bernoulli (Théorème de l'énergie)+ Pertes de harge (Dimensionnement de réseaux)+ Equations générales de Navier-Stokes → Outil CFDELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 8 / 149



1. Qu'est- e qu'un �uide ?Les �uides omprennent :- les liquides,- les gaz,- les plasmas. Sour e : ParisTe hUn �uide est ...un milieu matériel déformable ave la parti ularité de pouvoir :+ s'é ouler,+ et de pouvoir subir de grandes variations de formes sous l'a tion defor es très faibles (pression, gravité, frottement...).ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 9 / 149

1. Qu'est- e qu'un �uide ?Les �uides omprennent :- les liquides,- les gaz,- les plasmas. Sour e : ParisTe hUn �uide est ...un milieu matériel déformable ave la parti ularité de pouvoir :+ s'é ouler,+ et de pouvoir subir de grandes variations de formes sous l'a tion defor es très faibles (pression, gravité, frottement...).ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 9 / 149

Fluide en mouvement = transport d'énergie sous plusieurs formes+ par sa masse+ par sa vitesse (énergie inétique)+ par sa pression ou température (énergie interne)De nombreuses appli ations- dans la nature : météo, éolien, marée motri e...,- dans le monde industriel : pompes, turbines, moteurs...(a) E luse (Falkirk) (b) Ariane V ( ) Balle de golf (d) InstabilitéELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 10 / 149

Fluide en mouvement = transport d'énergie sous plusieurs formes+ par sa masse+ par sa vitesse (énergie inétique)+ par sa pression ou température (énergie interne)De nombreuses appli ations- dans la nature : météo, éolien, marée motri e...,- dans le monde industriel : pompes, turbines, moteurs...(a) E luse (Falkirk) (b) Ariane V ( ) Balle de golf (d) InstabilitéELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 10 / 149

2. Prin ipes fondamentauxIl s'agit de lois de type bilan qui se déduisent des prin ipes fondamentauxde onservation de :- la masse,- la quantité e mouvement (PFD),- l'énergie (premier prin ipe de la thermodynamique).PSfrag repla ementsV

S

xy

z

Pour être appliquées, es lois requièrent un domaine de dé�nition.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 11 / 149

3. For es de volumePSfrag repla ementsV

SdV

−−→dFv

xy

z

Elles agissent à distan e en tout point du domaine �uide et sont induitesou dérivent des hamps : de gravité, magnétiques, éle trostatiques...−→Fv =

∫∫∫

V

−−→dFv =

∫∫∫

V

ρ−→fv dV .Unités : [−→Fv(x , y , z , t)

]

= N, [ρ] = kg/m3, [−→fv

]

= N/kg = m/s2 !ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 12 / 149

4. For es de surfa eLe mé ani ien des �uides privilégie à la notion de for e, la notion de ontrainte = for e exer ée par unité de surfa e.- Contrainte normale : liée à la pression.−−→dF n

s = −p~ndS.Signe '-' ↔ p s'oppose à la normale.PSfrag repla ements~n

dS

−→dFs

−−→dF n

s

−−→dF t

s- Contrainte tangentielle τ - Elle est dé�nie par :−−→dF t

s = τ~tdS.Cette ontrainte est dire tement liée à la vis osité du �uide.For e totale :−→Fs = ©

∫∫

S

−→dFs ave −→

dFs =−−→dF n

s +−−→dF t

s .ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 13 / 149

4. For es de surfa eLe mé ani ien des �uides privilégie à la notion de for e, la notion de ontrainte = for e exer ée par unité de surfa e.- Contrainte normale : liée à la pression.−−→dF n

s = −p~ndS.Signe '-' ↔ p s'oppose à la normale.PSfrag repla ements~n

dS

−→dFs

−−→dF n

s

−−→dF t

s- Contrainte tangentielle τ - Elle est dé�nie par :−−→dF t

s = τ~tdS.Cette ontrainte est dire tement liée à la vis osité du �uide.For e totale :−→Fs = ©

∫∫

S

−→dFs ave −→

dFs =−−→dF n

s +−−→dF t

s .ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 13 / 149

4.1. Pression d'un �uideLa théorie inétique des gaz dé�nit la pression omme l'intégration des ef-forts résultant des ho s au niveau molé ulaire (transferts de quantité demouvement).PSfrag repla ements ~F = p × S~nsurfa eS

mp~v1

mp~v2La pression est une grandeur thermodynamique intensive et isotrope (invari-ante selon la dire tion).ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 14 / 149

4.2. Contrainte tangentiellePSfrag repla ementsE oulement libre umaxCondition d'adhéren e Pro�lnon visqueux

Postulat de Newton :la ontrainte tangentielle τ est proportionnelle au taux de variation de lavitesse dans la dire tion perpendi ulaire à l'é oulement :τ = µ

∣∣∣∣

du

dy

∣∣∣∣ ave µ la vis osité dynamique.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 15 / 149

4.2. Contrainte tangentiellePSfrag repla ementsu(y)

E oulement libre umax

Condition d'adhéren e u = 0

Pro�lnon visqueuxPostulat de Newton :la ontrainte tangentielle τ est proportionnelle au taux de variation de lavitesse dans la dire tion perpendi ulaire à l'é oulement :

τ = µ

∣∣∣∣

du

dy


4.2. Contrainte tangentiellePSfrag repla ementsy

y + dy

u(y)

u(y) + du




τ = µ

∣∣∣∣

du

dy



y + dy

u(y)

u(y) + du



−τ(y)

+τ(y)

τ |paroi

θ =du

dy


τ = µ

∣∣∣∣

du

dy



y + dy

u(y)

u(y) + du



−τ(y)

+τ(y)

τ |paroi

θ =du

dy


τ = µ

∣∣∣∣

du

dy


5. Masse volumique et notion de ontinuitéLe rapport ∆M

∆V(kg/m3),ave ∆M la masse élémentaire du volume ∆V , est une mesure de la massevolumique du �uide : ρ est la limite pour ∆V → Vcontinu .PSfrag repla ements

∆M

∆V

lim∆V →Vcontinu

= ρ∆V

?◦

A3

µ3Hypothèse de ontinuité : milieu ontinuA l'é helle des phénomènes observés, la nature dis rète et molé ulaire d'un�uide est ignorée : le �uide est assimilé à un milieu ontinu.Intérêt : ⇒ é riture mathématique des prin ipes fondamentaux !ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 16 / 149



∆M

∆V

lim∆V →Vcontinu

= ρ∆V

?◦

A3




∆M

∆V

lim∆V →Vcontinu

= ρ∆V

?◦

A3


5.1. Equation d'étatLa masse volumique ρ dépend de :- la pression p,- la température T .Important :La loi ρ(p, T ) dé�nit l'équation d'état du �uide.Pour un gaz (air) : pV = nrT ave r = 8.31 J/K/molou : p = ρRT ave R = r/M = 286 J/kg/Kave M = 28.9653 g/mol la masse molaire de l'air.ρ = 1.22 kg/m3 à p = 105 Pa et T = 15oC .Pour un liquide supposé in ompressible : ρ ≈ csteEau : ρH2O = 1 000 kg/m3.Mer ure : ρHg = 13 000 kg/m3.Essen e : ρEss. = 750 kg/m3.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 17 / 149




5.2. Compressibilité : oui, mais laquelle ?Tout �uide (liquide ou gazeux) est par nature ompressible.Il faut ependant distinguer :+ la ompressibilité d'un �uide enfermé sous pression qui estdire tement liée au ÷� ient de ompressibilité ;Pompe à vélo Vérin hydrauliqueELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 18 / 149

+ les e�ets de ompressibilité liés notamment à la vitesse du �uide(gaz essentiellement) ;

Passage transsonique Tuyère supersoniqueELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 19 / 149

+ la dépendan e de ρ à la température.

Thermomètres de GaliléeELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 20 / 149

A retenir :⇒ Gaz : négliger es e�ets reste valable pour des é oulements à nombresde Ma h inférieurs à une limite généralement �xée à 0.3, soit une vitessed'é oulement inférieure à 100 m/s.Nombre de Ma h =

Vitesse de l'é oulementVitesse du son⇒ Liquide : l'hypothèse d'in ompressibilité sera systématiquement véri�éesauf dans ertains as parti uliers du type :+ sensibilité à la température : thermomètre de Galilée+ forte pression : presse hydraulique, grandes profondeurs. . .Question légitime : omment justi�er l'hypothèse d'in ompressibilité ?ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 21 / 149





5.3. C÷� ient de ompressibilité χ d'un �uidePSfrag repla ementsT

p

V

PSfrag repla ementsPSfrag repla ements

T

dV

p + dp

V − dV

F

Variation de volume ∆V

V⇔ Variation de pression ∆pRé-é rit sous forme di�érentielle (∆V ,∆p → dV , dp) on dé�nit χ

dV

V= −χdp soit χ = − 1

V

(dV

dp

)

T

.Eau : χeau =1

210−9 Pa−1ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 22 / 149


p

V


T

dV

p + dp

V − dV

F



dV


V

(dV

dp

)

T

.Eau : χeau =1



p

V


T

dV

p + dp

V − dV

F



dV


V

(dV

dp

)

T

.Eau : χeau =1



p

V


T

dV

p + dp

V − dV

F



dV


V

(dV

dp

)

T

.Eau : χeau =1


5.3.a Appli ation pour les liquidesCal ul de la diminution de volume ∆V d'un volume Vde 1 litre d'eau sous l'a tion d'une variation de pression orrespondant à une immersion à une profondeur de 200 m.On onsidère ρ0 m = 103 kg/m3.200 m ↔ ∆p ∼ 20 bars = 2.106 Pa.En appliquant :∆V

V= −χeau × ∆P = −10−9

2× 2.106 = − 1

1000Soit : ∆V = −1 cm3D'où :ρ200 m =1 kg

(10−3 − 10−6)m3= 1001 kg/m3 ∼ ρ0 m

PSfrag repla ementsV

V − dV

200 m

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5.3.a Appli ation pour les liquidesCal ul de la diminution de volume ∆V d'un volume Vde 1 litre d'eau sous l'a tion d'une variation de pression orrespondant à une immersion à une profondeur de 200 m.On onsidère ρ0 m = 103 kg/m3.200 m ↔ ∆p ∼ 20 bars = 2.106 Pa.En appliquant :∆V

V= −χeau × ∆P = −10−9

2× 2.106 = − 1

1000Soit : ∆V = −1 cm3D'où :ρ200 m =1 kg

(10−3 − 10−6)m3= 1001 kg/m3 ∼ ρ0 m

PSfrag repla ementsV

V − dV

200 m


5.3.b Appli ation pour les gazLes gaz parfaits sont dé�nis par la relation d'état :Mé ani ien p = ρRT ou pV = nrT ChimisteDé�nition du ÷� ient de ompressibilité in hangée mais expression ondi-tionnée par le pro essus de transformation. . .. . . LENT Transformation isotherme → pV = cste

χT = − 1

V

dV

dp=

1

p. . . RAPIDE Transformation adiabatique → pV γ = cste

χQ = − 1

V

dV

dp=

1

γpELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 24 / 149


χT = − 1

V

dV

dp=

1


χQ = − 1

V

dV

dp=

1



χT = − 1

V

dV

dp=

1


χQ = − 1

V

dV

dp=

1


6. Vis osité

Sour e : BD Anselme Lanturlu -Aspirisou�e (Savoirs sans frontières)ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 25 / 149

6.1. Observation des e�ets de la vis ositéLa vis osité d'un �uide résulte des for es d'intera tion entre les onstituantsd'un �uide en é oulement (molé ules, parti ules...). Elle se traduit par :+ des for es de frottement qui génèrent une résistan e à l'é oulement,+ une dissipation d'énergie.PSfrag repla ementsy

y + dy

u(y)

u(y) + du



Epaisseur de ou helimite


6.2. Vis osités dynamique et inématiqueOn dé�nit deux vis osités :- dynamique notée µ déterminée expérimentalement,[µ] = N/m2.s = Pa.s = Pl (Poiseuille) = 10 Po (Poises)- inématique notée ν[ν] = m2/s - (1 cm2/s = 1 stokes (St) et 1 m2/s = 104St)Relation de ompatibilité : µ = ρνOrdres de grandeur de µ à 20oC :Air 0.018 mPa.sEau 1 mPa.sHuile 10 − 40 mPa.s

(1 mPa.s = 10−3Pa.s)ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 27 / 149

6.2. Vis osités dynamique et inématiqueOn dé�nit deux vis osités :- dynamique notée µ déterminée expérimentalement,[µ] = N/m2.s = Pa.s = Pl (Poiseuille) = 10 Po (Poises)- inématique notée ν[ν] = m2/s - (1 cm2/s = 1 stokes (St) et 1 m2/s = 104St)Relation de ompatibilité : µ = ρνOrdres de grandeur de µ à 20oC :Air 0.018 mPa.sEau 1 mPa.sHuile 10 − 40 mPa.s

(1 mPa.s = 10−3Pa.s)ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 27 / 149

6.3. Variation de la vis osité ave la températureGAZ For es de ohésion molé ulaire négligeables mais dontl'intensité (via les ho s inter-molé ules) augmente ave latempérature :T ր ⇒ µGaz(T ) ր

T (K) 100 200 300 400

µair (10−2mPa.s) 0.692 1.329 1.983 2.286LIQUIDE For es de ohésion molé ulaire très fortes qui diminuentquand la température augmente :T ր ⇒ µLiq.(T ) ց

T (oC) 0 20 60 100

µeau(mPa.s) 1.8 1 0.6 0.3ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 28 / 149

6.3. Variation de la vis osité ave la températureGAZ For es de ohésion molé ulaire négligeables mais dontl'intensité (via les ho s inter-molé ules) augmente ave latempérature :T ր ⇒ µGaz(T ) ր

T (K) 100 200 300 400

µair (10−2mPa.s) 0.692 1.329 1.983 2.286LIQUIDE For es de ohésion molé ulaire très fortes qui diminuentquand la température augmente :T ր ⇒ µLiq.(T ) ց

T (oC) 0 20 60 100

µeau(mPa.s) 1.8 1 0.6 0.3ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 28 / 149

6.4. Mesure de la vis ositéPlusieurs solutions possibles ave les vis osimètres :... d'OstwaldMesure de la durée d'é- oulement t d'un vol-ume V de liquide àtravers un tube.

... à hute de billeMesure de la durée tque met la bille pourpar ourir une ertainedistan e.

... rotatif de CouetteMesure de l'angle derotation α du ylindreB induit par la rotationimposée du ylindre A.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 29 / 149

7. Tension super� ielleAu onta t d'une paroi, l'eau monte, tandis que le mer ure des end endessous de la surfa e libre moyenne.(a) Eau ourante (b) Eau pure ( ) Tension (d) ApesanteurCette propriété résulte de l'attra tion mutuelle entre les molé ules duliquides et les atomes de la paroi.Tension super� ielle σ = énergie né essaire par unité de surfa e pour on-stituer la surfa e libre.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 30 / 149



7.1. Conta t d'une surfa e libre ave une surfa e solideLa surfa e de ra ordement entre le �uide liquide et laparoi dépend des for es d'adhésion molé ulaire entrele gaz, le solide et le liquide. PSfrag repla ements gazsolide LiquideLiquidemouillantnon mouillant

θ

σ

+ Si θ <π

2⇒ liquide mouillant (ex. : eau)+ Si θ >

π

2⇒ liquide non mouillant (ex. : mer ure)Valeur de la tension super� ielle sur du verreFluide σ (N/m) θ (deg.)eau 0.072 0mer ure 0.435 135ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 31 / 149


θ

σ

+ Si θ <π


π



θ

σ

+ Si θ <π


π


7.2. Formule de Lapla eL'équilibre mé anique est régi parπr2∆p = 2πrσ soit :Formule de Lapla e

∆p =2σ

r

PSfrag repla ementsp1

p2

Film de liquide∆p = p1 − p2

σ

rrgaz

Appli ation surprenantePSfrag repla ements Bulles de savonrobinetD'après la loi de Lapla e, on a p ց lorsque r ր...⇒ à l'ouverture : petite bulle pshitt...−−−−−−→ grande bulle !ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 32 / 149

7.3. Capillarité : loi de JurinL'as ension d'un liquide dans un anal étroit est appelée apillarité.PSfrag repla ementsh

rgazparois du tubeLiquide

θ

σ

Le poids de la olonne de liquide est équilibré par la résultante des for es detension, soit :Loi de Jurinπr2hρg = 2πrσ cos(θ) soit h =

2σ cos(θ)

ρgrELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 33 / 149

7.3. Capillarité : loi de JurinL'as ension d'un liquide dans un anal étroit est appelée apillarité.PSfrag repla ementsh

rgazparois du tubeLiquide

θ

σ

Le poids de la olonne de liquide est équilibré par la résultante des for es detension, soit :Loi de Jurinπr2hρg = 2πrσ cos(θ) soit h =

2σ cos(θ)

ρgrELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 33 / 149

7.4. Appli ationsQUESTION :Le tissu vas ulaire d'une plante peut être assimilé à un ensemble de �ns tubestransportants les éléments nutritifs vers le haut de la tige. Si le rayon de estubes est de r = 10−5 m, jusqu'à quelle hauteur l'eau peut-elle s'élever grâ eà l'e�et de apillarité ?REPONSE :Sa hant que σ = 0.072 N/m et que θ = 0o , on en déduit de la loi de Jurin :h =

2 × 0.072 × 1

1000 × 9.81 × 10−5= 1.5 m.


7.4. Appli ationsQUESTION :Le tissu vas ulaire d'une plante peut être assimilé à un ensemble de �ns tubestransportants les éléments nutritifs vers le haut de la tige. Si le rayon de estubes est de r = 10−5 m, jusqu'à quelle hauteur l'eau peut-elle s'élever grâ eà l'e�et de apillarité ?REPONSE :Sa hant que σ = 0.072 N/m et que θ = 0o , on en déduit de la loi de Jurin :h =

2 × 0.072 × 1

1000 × 9.81 × 10−5= 1.5 m.


Phénomène de avitationLa avitation est un phénomène qui dé rit la naissan e debulles de gaz et de vapeur dans un liquide soumis à unedépression.Si ette dépression est su�samment élevée, la pressionpeut alors devenir inférieure à la pression de vapeur satu-rante, et une bulle de vapeur est sus eptible de naître.La avitation est à l'origine de la hute de rendement d'un omposant et peut êtreresponsable de la détérioration de l'état de surfa e des omposants.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 35 / 149

Deuxième partieStatique des �uidesELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 36 / 149

Appli ations de la statique des �uides

Barrage de Bimont (Aix-en-Proven e) Dé ollage de montgol�èresELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 37 / 149

1. Dé�nition générale de la statique des �uidesLa statique des �uides on erne l'équilibre entre les �uides et les parois,lorsque les �uides n'ont au un mouvement relatif entre eux et par rapportaux parois.Conséquen es- les omposantes tangentielles des for es de surfa e sont nulles : pasd'e�et de la vis osité ;- seules les for es de pression, toujours exer ées normalement à laparoi, sont à onsidérer (et apillarité si né essaire).


2. Equation fondamentale de la statique des �uides2.1. Loi d'équilibrePSfrag repla ementsρ~Fx ,~i

y ,~j

z , ~k

dxdy

dz

O

p(x , y , z) p(x , y , z) +∂p

∂xdx

Bilan des for es exer ées sur et élément de volume :√ un hamp de for e (gravité...) par unité de masse noté ~F

√ une for e de pression p(x , y , z) sur ha une des fa es.Rem. : seules les pressions exer ées sur les fa ettes en x et x + dxsont i i représentées.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 39 / 149

L'équilibre des for es sur l'axe x s'é rit :ρ~F .~i × dV + p(x , y , z) × dydz −

(

p(x , y , z) +∂p

∂xdx

)

× dydz = 0,d'où : ρFx − ∂p

∂x= 0.En généralisant sur les trois axes, on obtient :Equation fondamentale de la statique des �uides

ρ~F − ~∇p = ~0Notation du Gradient : −−→grad p ⇔ ~∇p =

∂p/∂x

∂p/∂y

∂p/∂z


2.2. Statique des �uides dans le hamp de pesanteur : hydrostatiqueDans le hamp de pesanteur, la for e de volume par unité de masse s'é rit :~F = ~g = −g~k (Attention au signe !)où ~k est le ve teur unitaire verti al orienté de bas en haut (opposé à lagravité d'après le signe).Proje tion de l'équation fondamentale sur les 3 axes :∂p

∂x= 0,

∂p

∂y= 0 et − ρg − ∂p

∂z= 0.On en déduit que p = p(z) et par intégration (si ρ = cste) :Equation fondamentale de l'hydrostatique

p + ρgz = cste ave ~g ↓, ~k ↑ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 41 / 149

Travaux dirigés 1Cal ul de la onstante et pro�l du hamp de pressionOn onsidère un bassin ouvert, rempli d'un liquide de masse volumique ρ.Deux as sont onsidérés pour une origine de l'axe z respe tivementlo alisée au niveau de la surfa e libre et au fond du bassin.PSfrag repla ements patm

z = 0

z = 0

zz

h

ρρQ1 Exprimer la pression p(z) après al ul de la onstante pour les deux as de �gure ;Q2 Tra er p(z) ;Q3 En déduire l'expression de la pression relevée au fond du bassin.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 42 / 149

3. Prin ipes généraux résultant de la loi de l'hydrostatique3.1. Surfa es isobaresLes surfa es isobares (p = cste) dans un �uide homogène sont des planshorizontaux (prin ipe des vases ommuni ants).PSfrag repla ementspatm

patm

p > patm

p > patm

p < patm

ρ

~g

z

Ce prin ipe ne s'applique qu'au sein d'un �uide unique (=homogène).→ tous les réservoirs ommuniquent entre eux !ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 43 / 149

3.2. Surfa e libreLa surfa e de séparation entre deux �uides non mis ibles et au repos est unplan horizontal. La surfa e libre est horizontale et à pression atmosphérique onstante.PSfrag repla ements patm = cste

ρ1

ρ2 > ρ1Isobares:p=cs

te

(a) Exemple 1PSfrag repla ements patm

! R1R2

ρ1

ρ2 < ρ1

~g

Interfa e(b) Exemple 2Interfa e ⇒ égalité des pressions statiques entre les deux �uidesELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 44 / 149

3.3. Di�éren e de pressionLa di�éren e de pression pB − pA entre deux points A et B situés dans le�uide, ne dépend que de la hauteur zB − zA qui les sépare :pB − pA = ρg(zA − zB).

PSfrag repla ementsHHH AAA B B B

patm

patm

~g

zzz z

p(z)

p(0)

ρ

ρρLe pro�l verti al de pression est indépendant de la forme du bassinELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 45 / 149

3.4. Prin ipe de Pas alDans un �uide in ompressible et en équilibre, les pressions se transmettentintégralement.Si pA ր ⇒ pB ր simultanément de la même quantité.


3.5. Loi de onservation des volumes dépla ésRégle générale pour deux états hydrostatiques onsé utifs∑Volumes dépla és entrants =∑Volumes dépla és sortants

PSfrag repla ements S1 (m2)

U1 (m)S2

U2

(a) Cas élémentaire

PSfrag repla ementsS1 (m2)

U1 (m)

S4

U4

S3

U3

S2

U2

V = cste(b) Cas multi-entrées/sortiesU1S1 = U2S2 U1S1 + U4S4 = U2S2 + U3S3ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 47 / 149

4. Appli ations4.1. Tube piézométrique : vases ommuni antsPSfrag repla ementspatm

patm

~g

A A′

M

hθ

Ligne piézométrique(a) Exemple (b) Vases ommuni antsRésultat de l'exemple (a) :

pM − pA

ρg= zA − zM = h ave pA = patm.Au une in�uen e de :- la distan e entre le tube piézométrique et le réservoir,- l'in linaison θ du tube.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 48 / 149

4.2. Baromètre de Torri elli (1644) : mesure de patm

PSfrag repla ementspatm

~g

A

MToC

h

pv

mer ure (Hg)

- Tube rempli de mer ure : ρHg = 13 546 kg/m3- Partie supérieure du tube à la pression de vapeursaturante pv (≈ vide) de Hg à ToC :pv (2Hg , 0oC) = 0.158 Pa << 1 atm.Valeur de h ?

pA + ρHggzA = pM + ρHggzMave : pA = patm, pM = pvSoit :patm = ρHggh + pv ≈ ρHggh.Ave la mesure : h = 0.76 mQuestion : al uler la longueur de tube né essaire pour mener la mêmeexpérien e ave de l'eau (pv (eau, 20oC) = 2340 Pa).ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 49 / 149

4.3. Presse hydrauliquePSfrag repla ementsl

L

~gs S

~f

~F~n~n

ρ(a) Exemple (b) IllustrationSour e : En y lopédie Quillet (1937-53)Hypothèse : on suppose les deux pistons dans le même plan.Résultat de l'exemple (a)Nous avons : ~f = −p × s~n et ~F = −p × S~n ⇒ |f |s

=|F |S

= p.Conservation des débits (ou volume) : s × l = S × L ⇒ fF= s

S= L

lQuestion : al uler le rapport de se tions né essaire pour que le poids d'unvéhi ule de 10 tonnes soit équilibré par le poids d'un homme (80 kg).ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 50 / 149

4.4. Tube en UPSfrag repla ements~gρ1

ρ2

patm

h1

h2

h1 = 0.8 m, ρ1 = 750 kg/m3, ρ2 = 1000 kg/m3 ⇒ h2 = ??

(1) : p(1)(z) + ρ1gz = cste1 → p(1)(z) = patm + ρ1g(H + h1 − z)

(2) : p(2)(z) + ρ2gz = cste2 → p(2)(z) = patm + ρ2g(H + h2 − z)Au niveau de l'interfa e (z = H) des deux liquides : p(1)(H) = p(2)(H).D'où :ρ1h1 = ρ2h2 ⇒ h2 = h1

ρ1

ρ2

= 0.6 mELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 51 / 149

4.5. Expérien e du Tonneau de Pas alOn onsidère un tonneau rempli d'eau dans lequel plonge untube reux verti al long de 10 m et de se tion 1 cm2 .On remplit le tube ave 1 litre d'eau (1 kg).Pression dans le tonneau : pton.=patm+ρgh ≈ 2 atm.Chaque plan he onstituant la paroi du tonneau a une surfa eS = 60 dm2 = 0.6 m2.Elle subit don une poussée de :

F = (pton. − patm) × S ≈ 105 × 0.6 = 60 000 N,soit 6 tonnes ⇒ le tonneau �explose�.Sour e : En y lopédie Quillet (1937-53)ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 52 / 149

5. Cal ul d'e�orts sur domaine immergé5.1. For e résultante sur surfa e planePSfrag repla ements

patm

patmO

s

s

G h(s)

hG

~g

~n

ρ

ds

Sα

−→dF

−→FRelation :

−→OG × S =

∫∫

S

−→OPds

Soit une plaque plane d'axe s, de surfa e immergéeet de largeur L et in linée de α. Elle est baignée dansun liquide de masse volumique ρ.On a : −→dF = patmds~n − (patm + ρgh(s))ds~n

= −ρgh(s)ds~nRésultante : −→F =

∫∫

S

−→dF = −ρg~n

∫∫

S

h(s)ds.La profondeur hG du bary entre de S est dé�niepar : hG × S =∫∫

S

h(s)ds,Soit la forme générale :−→F = −(p(zG) − patm)S~nELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 53 / 149

Travaux dirigés 2Cal ul d'e�orts résultants sur les fa es d'un solide immergé


5.2. Centre de poussée P

PSfrag repla ementspatm

patm

O

s

s

M

sP

h(s)

hP

~g

x

z

y

~n

ρ

ds

S

α

−→dF

−→FRelations :−→dF = −ρgh(s)ds~n

h(s) = s × sin(α)

Position du entre de poussée P dé�nie par :−→OP ∧ −→

F =

∫∫

S

−−→OM ∧ −→

dF = ρg sin(α)

∫∫

S

s2ds ~jsoit, après simpli� ation pas sin(α) :sP × ρg sG S = ρg

∫∫

S

s2ds = ρg × Io

Io : moment quadratique de la surfa e S en O.Théorème de Huyghens : Io = IG + s2

G × SD'où :sP =

∫∫

S s2ds

S × sG

= sG +IG

S × sGPlaque re tangulaire de largeur b et de longueur L : IG = bL3/12.Plaque ir ulaire de rayon R : IG = πR4/4.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 55 / 149

Travaux dirigés 3Cal ul de l'e�ort résultant sur une trappe immergéeLa paroi d'un bassin omporte une trappe d'a ès im-mergée onstituée d'une plaque rigide re tangulaire dedimensions a par b. Son bary entre est immergé à uneprofondeur zG = −h.Elle est supportée par un axe harnière enO′ prévu pour résister à un ouple maximumCmaxi = 6 105 N .m.Q1 : Cal uler la résultante des e�orts de pression ex-er ées sur la plaque fon tion de h ;Q2 : Déterminer le point d'appli ation de ette résul-tante fon tion de h ;Q3 : En déduire la profondeur d'immersion h maxi-male supportable par la harnière.

PSfrag repla ements x

h ?

~g

b

O

O′

z

Patm

Patm

ρ

trappeCmaxi

Données : ρ = 103 kg/m3, a = 2 m, b = 1 m, g = 9.81 m/s2.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 56 / 149

5.3. Théorème des proje tions : as parti ulier d'une pression uniformePSfrag repla ements

dS dSzα

S Sz

Fx = po × SzFx = po × Sz

x

z ~n

~xp = pop = poLa résultante des proje tions selon ~x des for es de pression uniforme quis'exer ent sur une surfa e quel onque S, est égale à la for e de pressionuniforme qui s'exer erait sur la proje tion Sz de ette surfa e ⊥ à ~z.Fx = ~F .~x = po

∫

S

~n.~x︸︷︷︸

=cos(α)

dS = po

∫

Sz

dSz = po × Sz .Question : omment justi�er une pression uniforme quand la rigueurimpose l'appli ation de la loi de l'hydrostatique ?→ voir du �té des dimensions du système...ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 57 / 149

Travaux dirigés 4 Cal ul d'e�ort sur un lapet à billeOn onsidère un lapet à bille tel qu'illustré �gure suivante :��

��

��

��PSfrag repla ements

P1

P2

R

dLes dimensions étant supposées faibles (R = 2 cm et d = 3.5 cm), lespressions de part et d'autre seront supposées homogènes au voisinage du lapet, P1 = 10 bar et P2 = 15 bar .Question : al uler la résultante des e�orts de pression sur la bille.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 58 / 149

Travaux dirigés 5 (à titre personnel)Cal ul d'e�ort sur une plaque in linéeUne plaque plane homogène de masse m = 75 kg et de largeur L = 1 m, estsuspendue à l'extrémité d'un réservoir par une harnière au niveau de la surfa elibre d'un bassin. L'autre extrémité est libre.PSfrag repla ementsθ

x

y RO~g

ρQuestion : Cal uler l'angle θ que fait la plaque ave la verti ale (R = 1.2 m).Indi es : équilibre des moments - e�orts résultant - position du entre de pousséeSolution : tan(θ) =2

3

ρR2

mELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 59 / 149

Prin ipe d'Ar himède

Sour e : BD Anselme Lanturlu -Aspirisou�e (Savoirs sans frontières)ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 60 / 149

Prin ipe d'Ar himèdePSfrag repla ementsSV

GV

Fz

La poussée Fz s'exerçant sur la surfa e fermée S entourant V et ontenue dans le �uide :- n'admet pas de omposante horizontale,- est une for e verti ale égale et opposée au poids du volume V de�uide dépla é,- s'applique au entre de gravité GV de V .A RETENIR : Fz = FArchi = ρgV ≡∮

St

p~n.~kdSELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 61 / 149


GV

Fz


St



GV

Fz


St



GV

Fz


St



GV

Fz


St



GV

Fz


St


PreuvePSfrag repla ements

A BSiVi

SeVe

St = Si ∪ Se

Vt = Vi ∪ Ve

p(z)

patm

~k

A l'équilibre : ∑

i

−→Fi = ~O ⇒ −−−→

Poids +−→F pression = ~0.où : ~Fpression = −

∮

St

p~n dS = −∫

Si

p~n dS −∫

Se

p~n dS+ Théorème des proje tions : −∫

Se

p~n dS = −∫

SAB

patm~k dS+ Théorème de la divergen e :

~Fpression = −∮

Si+SAB

p~n dS = −∫∫

Vi

~∇p dv = −∫∫

Vi

ρ~gdv = ~FArchi . �ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 62 / 149


A BSiVi

SeVe

St = Si ∪ Se

Vt = Vi ∪ Ve

p(z)

patm

~k


i

−→Fi = ~O ⇒ −−−→


∮

St

p~n dS = −∫

Si

p~n dS −∫

Se


Se

p~n dS = −∫

SAB


~Fpression = −∮

Si+SAB

p~n dS = −∫∫

Vi

~∇p dv = −∫∫

Vi



A BSiVi

SeVe

St = Si ∪ Se

Vt = Vi ∪ Ve

p(z)

patm

~k


i

−→Fi = ~O ⇒ −−−→


∮

St

p~n dS = −∫

Si

p~n dS −∫

Se


Se

p~n dS = −∫

SAB


~Fpression = −∮

Si+SAB

p~n dS = −∫∫

Vi

~∇p dv = −∫∫

Vi



A BSiVi

SeVe

St = Si ∪ Se

Vt = Vi ∪ Ve

p(z)

patm

~k


i

−→Fi = ~O ⇒ −−−→


∮

St

p~n dS = −∫

Si

p~n dS −∫

Se


Se

p~n dS = −∫

SAB


~Fpression = −∮

Si+SAB

p~n dS = −∫∫

Vi

~∇p dv = −∫∫

Vi



A BSiVi

SeVe

St = Si ∪ Se

Vt = Vi ∪ Ve

p(z)

patm

~k


i

−→Fi = ~O ⇒ −−−→


∮

St

p~n dS = −∫

Si

p~n dS −∫

Se


Se

p~n dS = −∫

SAB


~Fpression = −∮

Si+SAB

p~n dS = −∫∫

Vi

~∇p dv = −∫∫

Vi


Stabilité d'un orps immergéSour e : En y lopédie Quillet (1937-53)- Si orps homogène + entre de poussée C et entre de gravité G onfondus : équilibre indi�érent ;- Si orps inhomogène : équilibre assuré que si C est situé au dessus de

G sur une même verti ale (ex. stabilité des navires) ;- Si une partie du orps immergé est ompressible, l'équilibre esttoujours instable (ex. ludion, sous-marins).ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 63 / 149







Le ludionPrin ipe : modi� ation du poids ou de la poussée d'Ar himèdesour e : www.lepetitar himede.frAppli ation : Sea glider

sour es :www2.sese.uwa.edu.au, fa ulty.washington.eduELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 64 / 149

Travaux dirigés 6Prin ipe d'Ar himède appliqué à l'IslandisLes ontinents sont onstitués d'une roûte de masse volumique ρ1 et d'épaisseur onstante h �ottant à la surfa e d'un milieu (manteau) que l'on onsidérera i i omme un liquide de masse volumique ρ2.PSfrag repla ementsGla e

Manteau Croûtex

h

eAu ours de l'ère quaternaire, la S andinavie était re ouverte d'une épaisseur e degla e (Islandis) de masse volumique ρ3.Q1 : Cal uler la profondeur d'immersion x dans le manteau.L'Islandis a fondu régulièrement depuis ette époque située il y T années entraînantune remontée de la S andinavie à une vitesse V onstante. On appellera x ′ l'a tuelleprofondeur d'immersion.Q2 : Cal uler V en mètres par siè le.Valeurs numériques : ρ1 = 2 900kg/m3 ; ρ2 = 3 300kg/m3 ; ρ3 = 990kg/m3 ;e = 2 000 m ; h = 36 km ; T = 60 000 ans.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 65 / 149

Travaux dirigés 7 Vase immergéUn solide de masse volumique ρs , de hauteur L et de se tion S, est immergé dans unréservoir ontenant un liquide de masse volumique ρ.Q1 : Exprimer les pressions p1 et p2 sur les fa es supérieure et inférieure du solide.Q2 : En déduire la résultante F1P des for es de pression sur le solide.Q3 : Soit M1 la masse du solide. Donner l'expression de la résultante des for es sur le solide.Un solide reux dont le fond est d'épaisseur e et le bord de se tion s est rempli du mêmeliquide.Q1 : Exprimer les pressions p1 sur la fa e supérieure, p2 sur le bord inférieur et p3 sur la fa eintérieure.Q2 : En déduire la résultante F2P des for es de pression sur le solide.Q3 : Soit M2 la masse du solide. Donner l'expression de la résultante des for es sur le solide.La avité est partiellement remplie d'une hauteur h d'air, où règne la pression p4.Q1 : Exprimer p4.Q2 : En déduire la résultante F3P des for es de pression sur le solide.Q3 : Donner l'expression de la résultante des for es sur le solide.Q4 : E rire la ondition pour que le solide reste au fond du réservoir.PSfrag repla ements H

L

S

p1

p2

ρsρ

PSfrag repla ementsH

L

p1

p2p3

e

ρ

PSfrag repla ementsH

L

p1

p2

p4h

ρELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 66 / 149

Travaux dirigés 8Cal ul d'e�orts sur poutre immergéeOn onsidère une poutre de iment de se tion triangulaire, immergée aufond d'un bassin rempli d'eau (masse volumique ρ ), dont la base est à laprofondeur h sous la surfa e libre.Q1. Cal uler les for es de pression relative par unité de longueur appliquéesaux �tés AB et BC. Montrer que la omposante horizontale est nulle.Q2. Cal uler la omposante verti ale de ette for e de pression sur AB etBC.Q3. Retrouver e résultat à partir de la poussée d'Ar himède appliquée surla poutre.PSfrag repla ements90o

60o30oA B C h

2L~g

patm


Travaux dirigés 9Presse hydraulique ave présen e d'un gazOn onsidère la presse illustrée i- ontre rem-plie d'un liquide (ρ) et initialement à la pres-sion Po . En l'absen e de bulles d'air et pourun dépla ement onnu de U1, le dépla ementU3 se déduit de la onservation du débit :U3 = U1 × S1/S3.La présen e de bulles dans le liquide entraîneune perte en débit sortant. Ce gaz est i imatérialisé par une hambre remplie d'air devolume initial Vo .

PSfrag repla ementsPo

ρ

VoPgo

Patm

S1

U1

S2

U2

S3

U3

kairQ1 Déterminer les équations d'équilibre régissant e problème resp. pourune transformation isotherme puis adiabatique du gaz.Q2 Connaissant Po , U1 et U3, en déduire le volume d'air initial Vo ontenu dans le système ainsi que la pression �nale PfDonnées : S1 = 0.3 m2, S2 = 0.05 m2, S3 = 0.2 m2, k = 10

5 N/m, Po = 105 Pa, U1 = 0.4 m, U3 = 0.33 mELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 68 / 149

Travaux dirigés 10 Pèse-lettreOn onsidère le pèse-lettre tel qu'illustré i- ontre. Unplateau P est solidaire d'un tube T de diamètre d . Celui- i oulisse sans frottement dans un réservoir ontenant unliquide ρ. De e réservoir, débou he à l'air libre un tube T ′de diamètre d ′. Le niveau de la surfa e libre est repéré parune é helle dont le zéro orrespond à l'absen e de lettresur le plateau.PSfrag repla ements

~g

d

d ′

z

0ρQ1 : on pose une lettre de masse m et la surfa e libre monte d'une hauteur h.E rire la relation entre m et h.Q2 : le plateau ne peut des endre que d'une hauteur l . Déterminez la masse max-imum M que e plateau peut supporter.Q3 : une lettre a�ran hie pour la Grande-Bretagne ne doit pas dépasser 20 gr. souspeine d'être surtaxée. En pesant la lettre, le liquide monte de h = 6 cm. Aura-t'ondroit à une surtaxe ?Données : d = 27 mm, d ′ = 5 mm, l = 40 mm et ρ = 900 kg/m3.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 69 / 149

Travaux dirigés 11Dispositif de hasse d'eau simpli�éLe système de lapet représenté sur la �gure ommande le niveau d'eau dans un réservoir alimenté par de l'eau à lapression p0 .0PSfrag repla ements L1

L2

L3

lapet, s O'AO B

ρρb

p0

L'obturation de l'ori� e s par le lapet s'e�e tue sous l'a tion de la for e de �ottaison du �otteur et transmise par latige AOBO' qui pivote autour du point O.Les segments OB et BO' sont perpendi ulaires (AO = L1, OB = L2, BO = L3). Lorsque le lapet se ferme, BO' esthorizontale.Q1 : Exprimer la relation entre p0 et les for es qui s'exer ent sur la boule de masse volumique ρb < ρ, entrée en O'à l'extrémité immergée de la tige.Q2 : Cal uler le diamètre de la boule pour que l'eau a�eure à son sommet lorsque p0 = 6 bar si le diamètre del'ori� e est d = 3 m ; ave L1 = 4 m , L2 = 10 m, L3 = 20 m et pour ρb = 150kg/m3 .Q3 : Cal uler alors la pression pour laquelle le niveau s'établit en immergeant la boule sur les 3/4 de sa hauteur.Q4 : Que se passe-t-il si p0 > 6 bar ?ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 70 / 149

Troisième partieDynamique des �uides parfaitsELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 71 / 149

1. Obje tifsL'objet de e hapitre est l'étude de la dynamique des �uides in�uen és parles for es en présen e.Hypothèses :Nous limiterons ette étude dans le adre stri t des é oulements :√ in ompressibles : liquide, gaz à basse vitesse (Ma h< 0.3) ;√ parfaits : pas d'e�ets visqueux.Pour un volume élémentaire de �uide dV, le PFD s'é rit :

ρ dV × ~Γ =∑−→

F .La dynamique des �uide requiert la mesure de l'a élération lo ale ~Γ(x, t).ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 72 / 149

2. A élération - Dérivée parti ulaireOn dé�nit en M(x , y , z , t) la vitesse et l'a élération lo ales :~U =

u(x , y , z , t)v(x , y , z , t)w(x , y , z , t)

et ~Γ(x , y , z , t) =d ~U

dt=

du/dt

dv/dt

dw/dt

.La omposante selon x de l'a élération est une dérivée de typedi�érentielle totale, soit :du(x , y , z , t)

dt=

∂u

∂t+

∂u

∂x

dx

dt+

∂u

∂y

dy

dt+

∂u

∂z

dz

dt.Remarque : ∂u

∂t

∣∣∣∣x ,y ,z

,∂u

∂x

∣∣∣∣y ,z ,t

...

PSfrag repla ementsx

y

z

M

~V


Si nous suivons la parti ule dans son mouvement, nous pouvons é rire en haque point M(x , y , z , t) de sa traje toire :dx

dt= u,

dy

dt= v et dz

dt= w .

PSfrag repla ementsx

y

z

uv

wM

~V

On é rira don :Du

Dt=

∂u

∂t︸︷︷︸variation lo ale+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z︸︷︷︸variation onve tive , idem pour Dv

Dtet Dw

DtCette dérivée est appelée dérivée parti ulaire.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 74 / 149

3. Interprétation et généralisationLa variation onve tive résulte du dépla e-ment de la parti ule que l'on suit au ours deson mouvement dans un hamp de vitesse sta-tionnaire mais non homogène.PSfrag repla ements

u րu ց

x

x

u(x)

A B C

tA

tB

tCPour une grandeur f s alaire (ρ, T ...), ve torielle (~V ) ou tensorielle ([σ]),on é rira :df

dt=

∂f

∂t+ u

∂f

∂x+ v

∂f

∂y+ w

∂f

∂z=

∂f

∂t+ ~V .~∇fCette dérivée est la base même des équations générales de la mé aniquedes �uides. Elle est l'outil qui permet de ara tériser le bilan d'une grandeurtransportée.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 75 / 149

Travaux dirigés 12Mesure d'une température par un ballon sonde en as ensionUn ballon sonde s'élève depuis une station ausol (z = 0) à une vitesse Vo supposée on-stante.Au ours de son as ension, la sonde quil'équipe, mesure au ours du temps l'évolu-tion de température suivante : Sour e : wikipediaT (t) = To − αt, ave To : température au solL'ingénieur hargé de ré upérer les données de la sonde et de les post-traiterdoit onvertir un pro�l temporel T (t) en un pro�l spatial T (z) ara térisantla ourbe de température en fon tion de l'altitude. Comment pro ède-t'il ?ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 76 / 149

4. Equation d'EulerL'équation d'Euler résulte de l'appli ation duPFD appliqué à un volume élémentaire de �uidede masse dm = ρ dV :ρ dV × ~Γ =

∑−→F .

PSfrag repla ementsx ,~i

y ,~j

z , ~k

dx

dy

dz

p

p +∂p

∂xdx

~V

~F

Ce volume élémentaire est pla é dans un hamp de for es volumiques ~F etde pression. Proje tion du PFD sur l'axe des x :ρ

du

dtdV = ρFx dV + pdydz − (p +

∂p

∂xdx)dydz , ⇒ ρ

du

dt= ρFx − ∂p

∂x.La généralisation sur les 3 axes onduit à l'équation d'Euler :

ρd~u

dt= ρ~F − ~∇p.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 77 / 149

5. Lignes de ourant (LDC)Dé�nitionLes lignes de ourant (LDC) sont les ourbestangentes en haque point au ve teur vitessede l'é oulement.PSfrag repla ements

x ,~iy ,~j

z , ~k

M

M ′

~V

~V

Ligne de ourantOn dé�nit :−−→MM ′ = dx~i + dy~j + dz~k et ~V = u~i + v~j + w~kLes lignes de ourant sont alors dé�nies par :LDC tangente à~U ⇒

−−→MM ′ ∧ ~U = ~0soit :

dx

u=

dy

v=

dz

w.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 78 / 149

6. Equation d'Euler le long d'une ligne de ourantOn onsidère l'équation d'Euler :ρ

d~u

dt= ρ~F − ~∇p.que l'on projette sur le ve teur tangent τ à la ligne de ourant d'abs isse save ~u.~τ = u(s, t) et p(s, t) telle que :

du

dt=

∂u

∂t+

∂u

∂s

ds

dtave ds

dt= u.On en déduit :

ρdu

dt= ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂s

)

= ρ~F .~τ − ∂p

∂s,où ~τ =

~u

|~u| .ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 79 / 149

7. Théorème de Bernoulli (1738) OUTIL 1L'équation de Bernoulli résulte de l'intégration del'équation d'Euler le long d'une ligne de ourant, dans le hamp de pesanteur pour un é oulement stationnaire,parfait et in ompressible. D. Bernoulli (1700-1782)~F = −g~k et ~k.~τ = sin(θ) =

dz

ds.L'équation d'Euler en stationnaire ave u(s) et p(s) se simpli�e selon :

∂

∂s=

d

ds=⇒ ρu

du

ds= −ρg

dz

ds− dp

ds.L'intégration le long de s ave ρ onstant donne :

p + ρgz + ρu2

2= cste.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 80 / 149

7.1. Interprétation énergétique de l'équation de Bernoulli (1/2)Energie inétique par unité de volume [J/m3]

Ec = ρu2

2Energie de pression par unité de volume [J/m3]Elle résulte du travail W de la for e de pression pour permettre à unvolume V de s'é ouler à travers une se tion S

W = pS l = pV =⇒ Ep =WV = pEnergie potentielle de gravité par unité de volume [J/m3]

Eg = ρgzELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 81 / 149

7.2. Interprétation énergétique de l'équation de Bernoulli (2/2)Energie TOTALE par unité de volume [J/m3]

Et = Ec + Ep + Eg = ρu2

2+ p + ρgz = pt Pression totalePSfrag repla ements

ρV 2

1

2

p1

ρgz1

ρV 2

2

2

p2

ρgz2

z

Pour des onditions d'é oulement stationnaire et parfait, etteénergie se onserve don le long de la traje toire d'une parti ule�uide et don le long de la ligne de ourant :pt = cste =⇒ ρ

u2

2+ p + ρgz = cste.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 82 / 149

8. Pression génératri e OUTIL 2La quantité pg = p + ρgz est appelée pression génératri e.Propriété fondamentalePour une se tion donnée où les lignes de ourant sont parallèles entre elles,la pression géneratri e est onstante sur la se tion.⇒ la pression est don hydrostatique le long d'un plan ⊥ aux LDC.

PSfrag repla ementspg = p + ρgz = onstante

(a) E oulement dans une analisationPSfrag repla ementsp = patm

(b) E oulement à travers un ori� eELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 83 / 149

8.1. Mesure de la pression génératri eLa pression génératri e traduit l'énergie potentielle disponible dans le �uidep.u.v. Lorsque l'énergie inétique du �uide augmente, 'est don auxdépens de pg .Cette pression est mesurée à l'aide d'un tube piézométrique :On a la relation :pgA′ = pgA = pgB = pgB′soit en onsidérant pA = pB = patm, on endéduit :

zA′ = zB′ .

PSfrag repla ementsQ

A′ B′

A

B

patmpatm

pg = cste

L'ouverture débou hant à l'intérieur de la onduite, s'appelle la prise depression statique.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 84 / 149

Travaux dirigés 13Mesures des pressions génératri e et totaleOn onsidère un bassin de grandes dimensions pour alimenter un débit Qvpar gravité le long d'une analisation de diamètre d . Deux prises de pressionA et B (piézométrique et pitot) sur la analisation de sortie permettent lesmesures de niveau hA et hB (voir �gure).PSfrag repla ements

O

Q

hA ? hB ?d

z

AB

patm

Q1. Cal uler le niveau hA.Q2. Cal uler le niveau hB .Données numériques : d = 5 cm et Qv = 1 l/sELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 85 / 149

9. Notion de débits massique et volumiqueSoit un domaine de volume V et de surfa e fermée S ontenant un �uidede masse volumique ρ.PSfrag repla ementsx ,~i

y ,~j

z , ~k

dS

~n

~V

V

SLigne de ourantLe débit massique de �uide élémentaire, à travers une surfa e élémentairedS orientée selon ~n, s'é rit :

dQm = ρ~V .~ndS = ρVndS.où Vn est la omposante normale de la vitesse (~n orientée vers l'extérieur).ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 86 / 149

10. Cal ul des débits massique et volumiqueLe débit massique total résulte don de l'intégration des débits élémentairessur toute la surfa e fermée S du volume onsidéré :

Qm =

∫∫

S

ρ~V .~ndS en kg/s .On dé�nit le débit volumique par :Qv =Qm

ρen m3/s.


11. Conservation du débit OUTIL 3Prin ipePour un domaine de ontour S possédant demultiples entrées-sorties, la onservation du débitse traduit par la relation :©∫∫

S

~V .~ndS = 0,ou en ore :∑

Qout −∑

Qin = 0.

PSfrag repla ements~V1, S1,~n1

~V2, S2,~n2

~V3, S3,~n3

~V4, S4,~n4~V5, S5,~n5

~V6, S6,~n6 n÷udPour le as illustré i- ontre, nous avons don :+Q3 + Q5 + Q6 − Q1 − Q2 − Q4 = 0.Cette relation peut aussi s'appliquer sur les n÷uds d'un réseau de onduites.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 88 / 149

12. C÷� ient de ontra tion d'un jetLe ÷� ient de ontra tion dépend de la forme de l'ori� e qu'il ara tériseet se dé�nit par le rapport de la se tion ontra tée du jet sur la se tion del'ori� e :Cc =

sc

Save 0.6 ≤ Cc ≤ 1

Sour e : www.bg.i .a .ukELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 89 / 149

13. Appli ations de l'équation de bernoulli13.1. Formule de Torri elli (1608) (à transformer en TD)PSfrag repla ementsASA

B

zA

zBSB

patm

patm

S

h

Conservation du débit :uA × SA = uB × SBPlan ⊥ aux lignes de ourant ‖

pg = cste ⇒ pB = patm.

Relation entre uB et h ?Relation de Bernoulli sur la ligne de ourant joignant les points A et B :pA + ρgzA + ρ

u2

A

2= pB + ρgzB + ρ

u2

B

2,soit :

ρgzA = ρgzB + ρu2

B

2

(

1 −(

SB

SA

)2)

.On obtient ainsi :uB =

√√√√

2gh

1 −(

SB

SA

)2

B lo alisé dans la se tion ontra tée !ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 90 / 149

13. Appli ations de l'équation de bernoulli13.1. Formule de Torri elli (1608) (à transformer en TD)PSfrag repla ementsASA

B

zA

zBSB

patm

patm

S

h

Conservation du débit :uA × SA = uB × SBPlan ⊥ aux lignes de ourant ‖

pg = cste ⇒ pB = patm.

Relation entre uB et h ?Relation de Bernoulli sur la ligne de ourant joignant les points A et B :pA + ρgzA + ρ

u2

A

2= pB + ρgzB + ρ

u2

B

2,soit :

ρgzA = ρgzB + ρu2

B

2

(

1 −(

SB

SA

)2)

.On obtient ainsi :uB =

√√√√

2gh

1 −(

SB

SA

)2

B lo alisé dans la se tion ontra tée !ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 90 / 149

13.2. Tube de Pitot (à transformer en TD)Le tube de Pitot permet de mesurer la vitesse d'un é oulement.Relation entre U∞ et pGA − pGBOn a ptM = ptA = ptB .Soit : pgA + 0 = pgB +ρ

2U2

∞

U∞ =

√

2

ρ(pGA − pGB)

PSfrag repla ementsPression totale mesurée Pression génératri e mesurée

A′

B′

AB

M

U∞, ρ

ρm

UA = 0 : point d'arrêth

Relation entre U∞ et hL'équilibre hydrostatique au manomètre (tube en U) s'é rit :pA′ = pA + ρg(zA − zA′) = pB + ρg(zB − zB′) + ρmghSoit au �nal : U∞ =

√

2(ρm − ρ)

ρghELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 91 / 149

13.3. E�et Venturi (à transformer en TD)PSfrag repla ementsA B

A′ B′

uA uB

SA

SB

α

h =pgA − pgB

ρg

Relation entre Q et hBernoulli entre A et B :pgA +

ρ

2u2

A = pgB +ρ

2u2

BConservation du débit :uA × SA = uB × SB.Hydrostatique dans les tubes :

pgA = pgA′ et pgB = pgB′

On en déduit Q = UB × SB :Q =

SB√

1 −(

SB

SA

)2

√

2(pgA − pgB)

ρ.

Q = SB

√2gh

√

1 −(

SB

SA

)2.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 92 / 149

Quelques onséquen es de l'e�et Venturi. . .

sour es : google imageELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 93 / 149

Travaux dirigés 14Jet d'eau du la de Genève ***On onsidère le jet d'eau alimenté à partir d'une pompe et d'un réservoir de grandesdimensions tel qu'illustré i-dessous.PSfrag repla ements

d = 107 mm H = 156 mRéservoirEn négligeant les pertes d'énergie dues aux frottements ave l'air, déterminer lapression, le débit massique ainsi que la puissan e né essaire pour alimenter le jetd'eau de diamètre initial 107 mm et devant s'élever verti alement à une hauteurde 156 m ?ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 94 / 149

Travaux dirigés 15Mesure de pression par tube de Pitot ***Un aérodrome est soumis à un vent que l'on assimilera à un é oulement uniformesur une grande altitude, parallèle au sol et de vitesse V .PSfrag repla ements ~V

~UavionPitotPitotUn avion est immobile sur et aérodrome. Un tube de Pitot, équipant une de sesailes et dirigé vers le nez de l'appareil, mesure lorsque l'avion est fa e au vent, unepression totale de Pto pas als.Cet avion vole maintenant à basse altitude et à une vitesse Uavion dans le sens duvent ; le Pitot donne alors une pression totale Ptv .a/ Cal uler la vitesse du vent.b/ Cal uler la vitesse Uavion de l'appareil, omptée par rapport au sol.patm = 1 atm ; ρ = 1.3 kg/m3, Pto = 101510 Pa et Ptv = 1.14 105 PaELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 95 / 149

Travaux dirigés 16 Vase de MariotteUn tube T est plongé dans un �a on de diamètre D (se tion S), rempli de liquidejusqu'au niveau x au-dessus de l'extrémité inférieure B du tube.Le �a on se vide à travers une onduite de hauteur h2 et de diamètre d (se tions), où la perte de harge est supposée négligeable.Pendant une première phase d'é oulement, que nous ne al ulerons pas, le liquidesitué au repos dans le tube T s'éva ue et le tube se remplit d'air.PSfrag repla ements A B UT

sS xOh1

h21- Pendant la deuxième phase d'é oulement, x ≥ 0, la surfa e libre est au-dessus de B, et la pression en B restevoisine de la pression atmosphérique.a/ Donner l'expression de la pression en A, au-dessus de la surfa e libre.b/ Exprimer la vitesse U en sortie de la onduite. Quelles sont alors les parti ularités de la vitesse d'é oulement ? Endéduire l'expression du débit volumique Q.2- On dé�nit l'origine des temps t = 0 au début de la deuxième phase, le niveau dans le �a on est alors x0 .a/ Cal uler la variation V(t) du volume éva ué, puis la variation x(t) du niveau de la surfa e libre.b/ La phase 2 se termine au temps t1. Etablir la relation entre t1 et x0 . / On se donne D = 200 mm et x0 = h1 + h2 = 100 mm. Cal uler la vitesse de sortie U. Quel doit être le diamètremaximum d du tube d'éva uation pour que le temps d'é oulement de la phase 2, t1 , soit supérieur à tmin = 1 min ?d/ Que devient l'expression de U pendant la troisième phase, x < 0 ?ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 96 / 149

Travaux dirigés 17 Débitmètre à VenturiIl est ourant d'utiliser un venturi pour mesurer les débits de gaz oude liquides hargés d'impuretés (poussières, �bres...) risquant debou her d'autres types de débitmètre. Le �uide est supposéin ompressible, de masse volumique onstante ρ. La mesure estréalisée entre une se tion amont S1 , où la vitesse moyenne du �uideest U1 et le ol, de se tion S2, où la vitesse du �uide est U2.PSfrag repla ementsQ,ρS1, U1, p1, z1

S2, U2, p2, z2

ρm

hA B ~g

a/ Exprimer la onservation du débit entre les se tions S1 et S2 .b/ En première appro he, les pertes de harge entre 1 et 2 sont négligeables. Sa hant que pg = p + ρgz = onstantedans une se tion de la onduite, é rire l'équation de Bernoulli entre S1 et S2. / En déduire l'expression de la vitesse théorique U2 au ol (en négligeant les frottements visqueux), puisl'expression du débit Qtheo , en fon tion de pg1 − pg2.d/ En réalité, le passage du �uide dans le onvergent et l'entrée du ol génère une faible perte de harge que l'onpeut prendre en ompte sous la forme d'un oe� ient de débit Cq . E rire l'expression du débit réelQreel = Cq × Qtheo dans la onduite.e/ La di�éren e de pression pg1 − pg2 est mesurée par la dénivellation h d'un tube en U ontenant un �uidemanométrique de masse volumique ρm > ρ. E rire la relation entre Qreel et h.f/ Appli ation numérique : D1 =7 m , D2 = 2 m , ρm = 13.6 10

3 kg/m3 , ρ = 103 kg/m3, Cq = 0.975.1/ On peut mesurer une hauteur maximale h < 0, 4 m dans le manomètre.Cal uler quel est le débit maximum Qreel que l'on peut mesurer ?2/ Cal uler la valeur de pg1 − pg2 au débit maximum.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 97 / 149

Travaux dirigés 18 Ar hite ture égyptienneUn ar hite te égyptien du deuxième millénaire avant J.C. setrouva devant le di� ile problème de faire des endre une pierrede dimensions importantes (base arrée de �té L et de hauteurh) dans une heminée également arrée et de même �té sur unehauteur Ho . Il utilisa l'astu e suivante : il remplit la heminée desable et ouvrit un ori� e ir ulaire de diamètre d (voir �gure) à labase de la heminée.Le sable est supposé être un �uide parfait et la pierre glisse sansfrottement dans la heminée. ρp est la masse volumique de lapierre, ρs elle du sable. PSfrag repla ements Pierre

Sableh

Ho

d

L

a/ Cal uler la pression statique po dans le sable au onta t de la pierre.b/ Cal uler la vitesse Vs du sable dans la se tion ontra tée du jet à la sortie de l'ori� e lorsque la pierre est à unehauteur Ho par rapport au jet. On supposera d << L. / Cal uler le débit volumique Qv du sable s'é happant de la heminée. On appellera Cc le ÷� ient de ontra tion.d/ Cal uler la vitesse de des ente Vd de la pierre aux alentours de l'altitude Ho .Appli ation numérique : ρs = 2500kg/m3 , ρr = 2700kg/m3 , Ho = 15m, L = 3m, h = 2m, d = 0.2m, Cc = 0.6.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 98 / 149

Travaux dirigés 19Lo omotive 231 ***Les lo omotives Pa i� 231 (à tra tion vapeur) possédaient un système de ravitaillement en eau pendant la mar hedu train. Ce dispositif est s hématisé sur la �gure i-dessous :PSfrag repla ements O

O′Eau~V R

h

h′TUn tuyau T olle te, par son ori� e O′, l'eau d'une rigole située sur le bord de la voie et la rejette dans le réservoir

R par son ori� e O. Ce tuyau a un diamètre intérieur D. L'entrée O′ est à une profondeur h′ par rapport à la surfa elibre de l'eau et le point O à une hauteur h par rapport à ette même surfa e.a/ Cal uler la valeur VOL de la vitesse de la lo omotive pour que l'eau se maintienne à l'extrémité supérieure O dutuyau T sans qu'au un é oulement ne se produise. On supposera le réservoir à pression atmosphérique et le point Otoujours hors de l'eau.b/La lo omotive progresse désormais à une vitesse VL supérieure à VOL.b.1/Exprimer le débit massique Qm de l'eau entrant dans le réservoir.b.2/ Cal uler le débit pour VL = 60 km/h. On prendra D = 15 cm.b.3/ Le réservoir R a une apa ité de 10 m3. Quelle doit être la longueur minimale de la rigole pour le remplir omplètement à la vitesse de VL = 60 km/h ?Appli ation numérique : g = 9.81 m/s2, h = 2.5 m, ρeau = 1000 kg/m3.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 99 / 149

Travaux dirigés 20Alimentation d'un réservoir sous pressionPour remplir rapidement le réservoir d'une voiture de ourse, d'une apa ité Vr , on utilise une uve pressurisée.L'air situé au dessus du liquide est à la pressionp > patm. L'alimentation se fait via un tuyau T quiplonge au fond de la uve et débou he à patm.a/ En l'absen e de vidange de la uve, al uler la pression p0 au fond de ette uve. On notera ρ la masse volumique du �uide et H la hauteur supposéeinvariable du niveau d'essen e dans la uve.b/ Cal uler la vitesse du �uide s'é oulant du tube T . On supposera le �uideparfait, le réservoir de grandes dimensions et l'extrémité libre du tuyau située àune hauteur h mesurée par rapport au fond de la uve. / Le diamètre du tube est noté D. Cal uler le temps né essaire pour remplir leréservoir.Appli ation numérique : g = 9.81 m/s2, H = 1 m, h = 1.1 m, ρ = 900 kg/m3,D = 3 cm, Vr = 600 l , p = 10 bar .ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 100 / 149

14. Généralisation de l'éq. de Bernoulli : pompes et turbinesSi des éléments sont interposés le long d'une ligne de ourant, il est alorsné essaire de orriger la relation de Bernoulli d'après :PSfrag repla ementsA Bapports

dépenses ptB = ptA + Apports − DépensesIl est alors question d'é oulements à énergie non onstante.Apports : pompes, moteurs, a umulateurs, sour es de pression...Dépenses : turbines, vérins, ommandes...ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 101 / 149

14.1. Exemple : puissan e délivrée par une turbineCal uler la puissan e P délivrée par une turbine alimentée par une onduitede diamètre d = 50 cm ave un débit Q = 1000 m3/h puisant dans un la situé 20 m plus haut. Les pertes de harge sont i i négligées.Bilan d'énergie :ptB = ptA − ∆Pturb.PSfrag repla ements

Turbined

A

B

patm

patm

20 m

soit :∆Pturb. = ρgh − ρ

2u2

B = 195 103 Paave uB =4Q

πd2= 1.4 m/s,d'où :

P = ∆Pturb. × Q = 5.42 104 W .ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 102 / 149

14.2. Ligne piézométrique - Ligne de hargeOn appelle harge H, la forme :H =

pt

ρg=

u2

2g+

p

ρg+ z [mètres].Cette dénomination est très utilisée en hydraulique des onduites et�uviales. Elle traduit l'énergie par unité de poids.On appelle ligne de harge, le pro�l de H le long d'une LDC.On appelle ligne piézométrique, le pro�l de pg le long d'une LDC.PSfrag repla ements

u∞ =√

2gz

z =u2

∞

2g

ligne de hargeligne piézométriqueELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 103 / 149

Travaux dirigés 21Puissan e d'une pompe ***Une pompe débite 9000 litres d'eau à la minute. Sa onduite d'aspirationhorizontale a un diamètre de 0.3 m ; sur l'axe règne une pression P1 de 0.2 m demer ure au dessous de la pression atmosphérique. Sa onduite de refoulementhorizontale a un diamètre de 0.2 m ; sur l'axe, situé 1.22 m plus haut que lepré édent, règne une pression P2 supérieure de 0.7 bar à la pressionatmosphérique.PSfrag repla ementsP1

P2 0.2 m

0.3 m1.22 m

En supposant que le rendement de la pompe soit de 80%, quelle puissan emé anique doit-on lui fournir ?On prendra ρHg = 13600kg/m3 et g = 10m/s2.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 104 / 149

Travaux dirigés 22Sustentation sur oussin d'air ***On veut onstruire un véhi ule à oussin d'air de forme ir ulaire et de rayon R. Le rotor aspire l'air ambiant et le omprime à la pression po supposée uniforme sous le arter.PSfrag repla ements Rotor

pa , ρ

po , ρ hRA l'équilibre le débit aspiré par le rotor est égal à elui qui s'é happe sous la jupe du véhi ule située à une hauteur hau-dessus du sol, le poids Mg du véhi ule est supporté par la pression régnant sous le arter. On néglige la vitesse del'air sous le arter (sauf au passage sous la jupe).a/ Cal uler le débit Q aspiré par le rotor en fon tion de M, g, R, h, et ρ en négligeant les pertes de harge.b/ La puissan e fournie au rotor étant P et le rendement du rotor étant de 0.7, al uler la garde au sol h. / Etudier la stabilité verti ale du véhi ule. Que se passe-t-il si h augmente (ou diminue) pour Q onstant ?d/ A.N : R = 1.5 m ; Mg = 12000 N ; P = 50 kW ; ρ = 1.2 kg/m3.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 105 / 149

Quatrième partiePertes de harge et réseauxELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 106 / 149

Introdu tion généraleDé�nitionLes pertes de harges désignent les pertes d'énergie mé anique résultant dutravail de ontraintes de frottement engendrées par la vis osité du �uide.On distingue les pertes de harge :√ réparties dans les onduites longues où le régime est établi ;√ singulières résultant d'une singularité de la analisation : oude, élargissement, vanne...Mesurée entre deux points 1 et 2 le long d'une LDC, elle traduitla diminution de pression totale :

pt1 − pt2 =∑

i

∆pi : perte de harge umuléeELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 107 / 149


pt1 − pt2 =∑

i



pt1 − pt2 =∑

i



pt1 − pt2 =∑

i


Illustrations

(a) Hydraulique industrielle (b) Climatisation∆pt = pentréet − psortiet =

∑

∆psingulières +∑∆prépartiessour e : www.energieplus-lesite.beELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 108 / 149

Pertes de harges répartiesELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 109 / 149

Pertes de harge réparties dans une onduiteDans e as, on a u1 = u2 = u ar se tion onstante.(a) Vanne fermée (b) Vanne ouvertePour une onduite ir ulaire de diamètre D et delongueur L :∆p = Λ

L

D

ρ

2u2 où Λ(Re ,

ε

D)

→ Re =uD

ν: nombre adimensionnel de Reynolds

→ ε

D: rugosité relativeELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 110 / 149

Pertes de harge réparties dans une onduiteDans e as, on a u1 = u2 = u ar se tion onstante.(a) Vanne fermée (b) Vanne ouvertePour une onduite ir ulaire de diamètre D et delongueur L :∆p = Λ

L

D

ρ

2u2 où Λ(Re ,

ε

D)

→ Re =uD

ν: nombre adimensionnel de Reynolds

→ ε

D: rugosité relativeELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 110 / 149

Expérien e de O. Reynolds (ingénieur et physi ien irlandais)

Expérien e de O. Reynolds (1883)Régime laminaire (Re < 2000) Régime transitoire ( )Régime turbulent ( )


Régimes d'é oulements dans une onduitePour une onduite de diamètre D, le nombre de Reynolds Re s'é rit :Re =

uD

νIl permet d'identi�er les régimes d'é oulement :√ laminaire : Re < 2000√ transitoire : 2000 < Re < 3000√ turbulent : Re > 3000Ordres de grandeur ( analisation ir ulaire de 10 cm de diamètre)Fluide (20oC) ν (×10−6m2/s) u (m/s) ⇔ Re = 3000Air 15.6 0.47Eau 1 0.03Huile 50 1.5Si se tion quel onque : D → DH =4S

χave χ : périmètre mouillé.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 112 / 149


uD




uD



Pertes de harge réparties : as du régime laminairePour e régime d'é oulement, la rugosité de la paroi de la analisation n'apas d'in�uen e et don , Λ(Re).Pour un régime laminaire établi, la relation pression-débit est donnée par laformule de Poiseuille :∆pg =

8µQL

πR4⇒ ∆pg =

64

Re

L

D

ρu2

2,soit par identi� ation :

Λ =64

ReELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 113 / 149

Pertes de harge réparties : as du régime turbulentDiagramme de Moody (1944)

Diagramme résultant des expérien es de Nikuradse (1932)ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 114 / 149

Le ture du diagramme de MoodyCas de onduites lisses : formules empiriques√

4.103 < Re < 105 → Λ =0.316

R0.25e

(Blasius)√ Re > 105 → 1√

Λ= 2 log10(Re

√Λ) − 0.8 (Karman-Prandtl)Cas de onduites rugueuses : le ture dire te du diagramme


Mise en pratique : problématique 1In onnue : ∆P Données : Qv , tuyau lisse, L, ∅D, eauPSfrag repla ements ∆P ?Q = 20l/s

∅D = 0.1mL = 2mBernoulli généralisé −→ pt1 − pt2 = ∆P ave ∆P = Λ(U)

L

D

ρ

2U2Pro édure : al ul DIRECT !

√Q = 0.02 m3/s → U = Q/S = 2.54 m/s

√ Re =UD

ν= 2.5465 105 → Λ =

0.316

R0.25e

= 0.0141

√∆P = 912.2 PaELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 116 / 149



L

D

ρ


√Q = 0.02 m3/s → U = Q/S = 2.54 m/s

√ Re =UD

ν= 2.5465 105 → Λ =

0.316

R0.25e

= 0.0141




L

D

ρ


√Q = 0.02 m3/s → U = Q/S = 2.54 m/s

√ Re =UD

ν= 2.5465 105 → Λ =

0.316

R0.25e

= 0.0141




L

D

ρ


√Q = 0.02 m3/s → U = Q/S = 2.54 m/s

√ Re =UD

ν= 2.5465 105 → Λ =

0.316

R0.25e

= 0.0141




L

D

ρ


√Q = 0.02 m3/s → U = Q/S = 2.54 m/s

√ Re =UD

ν= 2.5465 105 → Λ =

0.316

R0.25e

= 0.0141




L

D

ρ


√Q = 0.02 m3/s → U = Q/S = 2.54 m/s

√ Re =UD

ν= 2.5465 105 → Λ =

0.316

R0.25e

= 0.0141


Mise en pratique : problématique 2In onnue : Q Données : ∆P, tuyau lisse, L, ∅D, eauPSfrag repla ements ∆P = 912.2 PaQ ?

∅D = 0.1mL = 2mBernoulli généralisé −→ ∆P = Λ(U)

L

D

ρ

2U2 −→ U

?=

√

2D∆P

Λ(U)ρLPro édure : al ul ITERATIF en donnant une estimation de Λ(1) !1. Λ(1) ≈ 0.03 → U(1) = 1.74 m/s → R(1)e = 1.74 1052. Λ(2) ≈ 0.015 → U(2) = 2.42 m/s → R(2)e = 2.42 1053. Λ(3) ≈ 0.0142 → U(3) = 2.53 m/s → R(3)e = 2.53 1054. Λ(4) ≈ 0.0141 → U(4) = 2.54 m/s → R(4)e = 2.54 105ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 117 / 149



L

D

ρ

2U2 −→ U

?=

√

2D∆P




L

D

ρ

2U2 −→ U

?=

√

2D∆P




L

D

ρ

2U2 −→ U

?=

√

2D∆P




L

D

ρ

2U2 −→ U

?=

√

2D∆P




L

D

ρ

2U2 −→ U

?=

√

2D∆P




L

D

ρ

2U2 −→ U

?=

√

2D∆P


Mise en pratique : problématique 3In onnue : D Données : ∆P, tuyau lisse, L, Q, eauPSfrag repla ements ∆P = 912.2 PaQ = 20l/s

∅D ?L = 2mBernoulli généralisé −→ ∆P = Λ(D)

L

D

ρ

2U2 −→ D

?=

5

√

8Λ(D)LρQ2

π2∆PPro édure : al ul ITERATIF en donnant une estimation de D(1) !1. D(1) ≈ 0.2 → R(1)e = 5.09 105 → Λ(1) = 0.01182. D(2) ≈ 0.096 → R(2)

e = 2.45 105 → Λ(2) = 0.01423. D(3) ≈ 0.1 → R(3)e = 2.55 105 → Λ(3) = 0.0141ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 118 / 149



L

D

ρ

2U2 −→ D

?=

5

√

8Λ(D)LρQ2





L

D

ρ

2U2 −→ D

?=

5

√

8Λ(D)LρQ2





L

D

ρ

2U2 −→ D

?=

5

√

8Λ(D)LρQ2





L

D

ρ

2U2 −→ D

?=

5

√

8Λ(D)LρQ2





L

D

ρ

2U2 −→ D

?=

5

√

8Λ(D)LρQ2



Pertes de harges singulièresELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 119 / 149

Pertes de harge singulières (1)Elles sont référen ées à une vitesse U dite de référen e :∆p = k

ρ

2U2Entrées et sortie de réservoirPSfrag repla ements

se tion bords vifsk = 0.5

se tion bords arrondisk = 0.04

se tion ré-entrantek = 0.9

sortiek = 1Elargissements brusques

k =

(

1 − A1

A2

)2

, U = U1

PSfrag repla ementsA1

A2C÷� ient asso ié à la vitesse la plus élevée (se tion A1)ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 120 / 149

Pertes de harge singulières (2)Rétre issements brusquesPSfrag repla ementsA1

A2

A2/A1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

k 0.37 0.35 0.32 0.27 0.22 0.17 0.10 0.06 0.02 0C÷� ient asso ié à la vitesse la plus élevée (se tion A2)Vannes, robinets ouverts10 < k < 70Se référer aux données onstru teur.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 121 / 149

Pertes de harge singulières (3)PSfrag repla ements

R

D

PSfrag repla ements α

Coudesarrondis :R/D 0.5 0.75 1 1.5 2

k 0.9 0.45 0.35 0.25 0.2brusques :α 15o 30o 45o 60o 90o

k 0.1 0.2 0.5 0.7 1.3


C÷� ient de débit (Dis harge ÷� ient)Ce ÷� ient (Cq) est employé dans les al uls pour le dimensionnementdes vannes ou à la détermination des débits qui les traversent (Masoneilan,1944).De manière générale...Ce ÷� ient est dé�ni tel que :Qv = Cq × Sref

√

2∆pG

ρSur le plan pratique...Il ara térise la apa ité en débit d'un omposant et s'obtient par identi�- ation après appli ation de la forme généralisée de Bernoulli entre un pointamont et un point aval du omposant.Comme le ÷� ient de perte de harge singulière k, Cq est TOUJOURSréféren é à une se tion Sref donnée.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 123 / 149

Appli ation : ÷� ient de débit d'un VenturiOn s'intéresse au Venturi illustré i-dessous et dont on souhaite déterminerle Cq référen é à la se tion au ol (THROAT ) s.On note S les se tions situées en amont (1) et en aval (2) du ol.Bernoulli généralisé entre (1) et (2) : ∆p = pg1 − pg2 = k

ρ

2U2

0Conservation du débit : Qv=sUO=SU1 d'où : pg1 − pg2 = kρ

2

Q2v

s2Soit au �nal :Qv =

s√k

√

2

ρ(pg1 − pg2) = Cq × s

√

2

ρ(pg1 − pg2) ave Cq =

1√kELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 124 / 149

Appli ation : ÷� ient de débit d'un diaphragmeOn onsidère le diaphragme illustré i-dessous et présentant 3 se tions S0,S1 et S2.PSfrag repla ements S0S1 S2

Montrer que le ÷� ient de débit référen é à la se tion S0 est :Cq =

1√√√√k+

(S0

S2

)2(

1 −(

S2

S1

)2) tel que Qv = CqS0

√

2

ρ(pg1 − pg2)où k est le ÷� ient de perte de harge référen é en SO.Remarque : Pour le as S2 >> S0 on retrouve Cq ≈ 1√

k.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 125 / 149

Réseaux de tuyauteries (1)Eléments en sériePSfrag repla ements

A B

D1, L1 D2, L2 D3, L3 D4, L4 D5, L5vannevanne pompe moteur limiteur de débitRe1 6= Re2 6= Re3...Conservation du débitQ = U1S1 = U2S2...Cumul pertes de hargesptB = ptA ±

∑

∆pELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 126 / 149

Travaux dirigés 23Cal ul de pompe : ir uit en série (Partie 1/2)Aspiration :Haut. : Ha = 3 m, long. : La = 5 mRefoulement :Haut. : Hr = 20 m, long. : Lr = 50 mImmersion de la répine :Hi = 0.5 m sous la surfa e libre

Débit : Qv = 750 l/minTuyaux lissesDiamètre unique : D = 0.1 mC÷�. répine : kcr = 10C÷�. robinet : kro = 30C÷�. oude : kco = 0.9Question : déterminer la harge Hp de la pompe, la puissan e P à fournirpour un rendement η = 0.75 et tra er le pro�l de harge.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 127 / 149

Suite Cal ul de pompe : ir uit en série (Partie 2/2)

Question : mêmes données que pré édemment.La harge de la pompe est désormais onnue (Hp = 29, 65 m), 'est ledébit qu'il faut déterminer.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 128 / 149

Réseaux de tuyauteries (2)Eléments en parallèle → requiert une appro he itérative !PSfrag repla ementsD1, L1

D2, L2

D3, L3

QQ

Q1

Q2

Q3

A B

∆ptConservation du débitQ = U1S1 + U2S2 + ..Egalité des pertes de harges∆pt1 = ∆pt2 = ...ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 129 / 149

Travaux dirigés 24 Cir uit en parallèleOn onsidère un ir uit ave deux bran hes onne tées en parallèle, ha unede longueur et diamètre di�érents et munies d'une vanne (k1 et k2). Le �uideest de l'eau : ρ = 1000 kg/m3, ν = 10−6m2/s.PSfrag repla ementsA BQ = 0.02 m3/s

k1 = 5

k2 = 3

Q1?

Q2?

L1 = 20 m, D1 = 0.1 m

L2 = 30 m, D2 = 0.15 mQuestion : Déterminer les valeurs de débits Q1 et Q2 dans les embran he-ments 1 et 2. Les pertes de harges générées aux embran hements et aux oudes seront supposées négligeables.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 130 / 149

E oulement dans les milieux poreux : loi de Dar y (1856)Cette loi régit l'é oulement stationnaire à faible vitesse d'un�uide in ompressible de vis osité µ à travers un milieu poreuxde longueur L et ara térisé par une perméabilité notéeK (m2) ( onsidérée omme signi� ative de la surfa e util-isable pour l'é oulement).Elle relie le débit d'é oulement Qv à travers la se tion A àla perte de harge ∆P :

(UA =) Qv =K

µA∆P

Lave K en m2.soit :

∆P = QvµL

KA= U

µL

Klinéaire en vitesse !ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 131 / 149

Travaux dirigés 25 Filtration d'un aquariumOn souhaite assurer le renouvellement en eau d'un aquarium d'une ontenan e de 500litres (2 fois le volume à l'heure).Le dispositif omporte un ir uit d'alimentation qui vient aspirer l'eau au fond pour lafaire passer au travers d'un �ltre de perméabilité K = 1.53 10−9 m2, de surfa e Sf et delongueur L avant d'être réinje tée dans le bassin au niveau de la surfa e libre.Le dispositif est loisonné en trois ompartiments omme illustré sur le s héma i- ontre.a/ Cal uler la hauteur d'eau h dans le ompartiment de la pompe. Le ÷� ient deperte de harge à l'entrée est noté ke ;b/ Cal uler la puissan e de la pompe à fournir en onsidérant en rendement η = 0.7.Pour le ir uit de réinje tion, on négligera la perte de harge répartie et elle due àl'aspiration de la pompe au pro�t de elle générée par les 2 oudes (kc ) et on tiendra ompte d'un ÷� ient kbuse pour la buse d'éje tion.Données : de = 2 cm, ds = 1 cm, Af = 10

−2 m2, L = 0.2 m, H = 0.5 m, ke = 0.8,kc = 0.9 et kbuse = 1.Le propriétaire ayant dé idé de hanger de pompe, on mesure désormais une hauteurh = 0.25 m de hauteur d'eau dans le ompartiment de la pompe. / Cal uler le débit de la nouvelle pompe. PSfrag repla ements Filtre L

h

H

Q, de , ke

Q, ds


Quelques mots sur les pompes...Les pompes se divisent en deux atégories prin ipales :+ les pompes entrifuges : le mouvement duliquide résulte de l'a roissement d'énergie quilui est ommuniqué par les e�ets entrifuges.Le réglage de débit s'e�e tue soit en modi�ant la vitesse du moteur, soiten plaçant une vanne au voisinage du refoulement de la pompe.+ les pompes volumétriques : l'é oulementrésulte de la variation du volume o upé par leliquide (dépla ement d'un élément mobileparfaitement ajusté : piston, engrenages...).Le réglage de débit s'e�e tue soit en modi�ant la vitesse du moteur, soiten limitant la ourse du mobile mais JAMAIS ave une vanne (risque dedétérioration).ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 133 / 149

Pompes entrifuges : point de fon tionnementLe hoix d'une pompe est adapté à un ir uit s'il permet de ompenser l'ensemble des pertes de harge de e dernierpour assurer un débit donné.Point de fon tionnement et ourbes ara téristiquesLe point de fon tionnement de l'ensemble (pompe, ir uit) s'obtient ensuperposant la ara téristique de la pompe ave la harge du ir uit sur ungraphe (Q, HMT ).HMT pour Hauteur Manométrique Totale (en mètres).Les ourbes HMT ara térisent seulement les pompes entrifuges !ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 134 / 149

ExemplePoints de fon tionnement pour une vanne ouverte à 75% et 100%.

(a) S héma et harge du ir uit (b) Points de fon tionnementsour e : www.azpro ede.frELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 135 / 149

Travaux dirigés 26PétrolierLa oque d'un pétrolier peut être grossièrement assimilée à un parallélépipède de dimensions H (hauteur), a (base)et L (longueur). La masse à vide du pétrolier est notée M. Plein, il ontient N m3 de pétrole de masse volumique ρB .La masse volumique de l'eau est ρ.a/ Cal uler, en supposant que le bateau ne prend pas de gîte, la profondeur immergée du pétrolier vide et dupétrolier plein.On veut soutirer un peu de mazout léger ontenu dans le bateau à l'aide du ir uit s hématisé Fig. 1.b/ En négligeant les e�ets de variation des surfa es libres, onstruire la ara téristique harge/débit ( harge en m,débit en m3/h) de l'installation entre les points A et B, pour un débit allant de 0 à 150 m3/h.Mazout : ν = 3.510−6 m2/s. Conduite de rugosité absolue ε = 0.04 mm.

kco,90 = 1.2, kco,45 = 0.2, kin = 0.5, kres = 1. / La pompe P a la ara téristique i-jointe (Fig. 2). En l'absen e de vanne sur le ir uit, trouver le débit de vidange.d/ On veut limiter le débit à 50m3/h. Cal uler le ÷� ient de perte de harge kvanne de la vanne à utiliser.e/ Le hoix du diamètre du tuyau vous parait-il judi ieux ?A.N. : L = 200m, H = 20m, a = 30m, M = 4 000 tonnes, N = 70 000 m3, ρB = 900 kg/m3, ρ = 1 000 kg/m3 etQv = 2 400 m3/h.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 136 / 149

PSfrag repla ementsA

BPétrolier

Pompe5 m 17 m0.1 m100 m 20 m 300 mkco,45

kco,90

kin

kres

Figure: 1 : Cir uit simpli�é de vidange d'un pétrolierPSfrag repla ementsHp(m)

050

50100

100 150 Qv (m3/h)Figure: 2 : Cara téristique de la pompeELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 137 / 149

Pompes entrifuges : NPSH requis et NPSH disponibleLe NPSH (net positive su tion head) quanti�e la hauteur manométriqued'aspiration disponible pour éviter la vaporisation (p ≈ psat) en amont de lapompe. NPSH(disponible) = pamont − psat

ρg> NPSH(requis).Le NPSH requis est toujours donné par le fabri ant de la pompe enfon tion du débit et l'on doit véri�er.

T (oC) -20 -10 0 +10 +20 +40 +60 +100psat (mBar) 1.03 2.6 6.10 12.3 23.4 73.8 199 1013(Données pour l'eau, 1 mBar=100 Pa)Le NPSH s'exprime aussi bien :+ en Pa : pamont − psat ,+ qu'en mètres : pamont − psat

ρg.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 138 / 149

Travaux dirigés 27NPSH et positionnement de pompeOn souhaite amener de l'eau à un débit donné Q et à une hauteur h référen ée parrapport à la surfa e libre d'un bassin d'alimentation de grandes dimensions.On onsidère deux positionnements possibles pour la pompe (aspirante et en harge) :PSfrag repla ements h

Q

(a) Position hautePSfrag repla ements h

Z

Q

(b) Position basseEn se basant sur le ritère :NPSH(disponible) > NPSH(requis)déterminer en le justi�ant, le hoix de positionnement de la pompe le pluspertinent.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 139 / 149

Travaux dirigés 28Pertes de harge d'un ir uit+pompeLa pompe �gurant sur le s héma i-dessous délivre un débit de 25 L/s dans le tube3-4 et la buse 5. On suppose que l'é oulement est sans frottement sauf dans labuse qui possède un ÷� ient de perte de harge kb = 0.18 et un ÷� ient de ontra tion Cc = 0.95.PSfrag repla ementsy1 h1

h2y52 3 4 5T1 T2

PompeLes otes des points de mesure indiquées sur le s héma sont :y1 = 3 m, y2 = 1.5 m, y3 = y4 = 2.5 mLes surfa es valent : A2 = 0.015 m2, A4 = A3 = 0.01 m2, A5 = 0.003 m2.a/ Cal uler la harge totale de la pompe ;b/ En déduire la puissan e né essaire pour un rendement de pompe η = 0.8 ; / Déterminer les niveaux h1 et h2 du liquide dans les olonnes T1 et T2.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 140 / 149

Travaux dirigés 29 Résevoirs inter- onne tésOn onsidère un système de trois réservoirs inter onne tés R1, R2 et R3 dont les niveaux sont supposés onstants.PSfrag repla ements Réservoir R1 Réservoir R2Réservoir R3

H1

H2

A BC

I VPar rapport au niveau du plan d'eau dans R3, le niveau dans R1 est H1 = 18 m et elui dans R2 est H2 = 6 m. Lesréservoirs R1 et R2 sont reliés par une onduite AB de diamètre d1 = 0.1 m. Sur ette onduite est bran hée en Iune onduite IC de diamètre d3 = 0.15 m reliant les réservoirs R1 et R2 au réservoir R3. Les longueurs de esdi�érentes onduites sont respe tivement L1 = 150 m pour AI, L2 = 350 m pour BI et L3 = 500 m pour IC.Sur la onduite IC est pla ée une vanne V. Le ÷� ient de perte de harge linéaire des trois onduites est Λ = 0.02.On néglige l'ensemble des pertes de harge singulière à l'ex eption de la perte de harge induite par la vanne de ÷� ient kv .a/ La vanne V est fermée. Cal uler le débit orrespondant entre les réservoirs R1 er R2.b/ La vanne V est partiellement ouverte. On observe que :+ à faible ouverture, R1 débite dans R2 et R3 ;+ à grande ouverture, R1 et R2 débitent dans R3.Déterminer le ÷� ient kv de la vanne pemettant d'annuler le débit Q2 (entre I et B) tout en assurant un débit Q3entre les réservoirs 1 et 3. Cal uler Q3.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 141 / 149

Travaux dirigés 30Réservoir surélevé pour alimentation de iternesPSfrag repla ements

Réservoir

FiltreClapet

he

z

h = 20 m

1

23

4A

B

C DVanne 0 Vanne 1 Vanne 2Citerne 1 Citerne 2Segment 1 − 2 lisse : l1 = 8 m, ∅D1 = 250 mmSegment 3 − 4 lisse : l2 = 50 m, ∅D2 = 200 mmSegment A − B lisse : L1 = 500 m, ∅D3 = 175 mmSegment B − C lisse : L2 = 20 m, ∅D3 = 175 mmSegment B − D lisse : L3 = 60 m, ∅D3 = 175 mmC÷� ients de perte de harge : kfiltre = 4.4, kvanne = 0.5, kclapet = 5.5, k4 = 1, kA = 0.5, kcoude = 0.2Une pompe de harge HP alimente en eau un réservoir de sto kage ave un débit onstant Q = 60l/s. Ce réservoirpermet de remplir, suivant le besoin, une ou plusieurs iternes à la fois.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 142 / 149

Partie A : étude du ir uit d'alimentationOn s'intéresse tout d'abord au ir uit alimentant le réservoir. Le �uide est pompédans un bassin dont le niveau onstant sera pris omme référen e. Le ir uithydraulique se ompose d'un �ltre à l'aspiration, d'une pompe, d'une vanned'arrêt V0 (ouverte) et d'un lapet anti-retour.Tous les ÷� ients de perte de harge singulière sont basés sur la vitesse lo alede la onduite.On rappelle l'expression générale de la perte de harge répartie dans une onduitede longueur l et de diamètre d :∆p = Λ

d

lρ

U2

2.Pour éviter les risques de avitation dans la pompe, la pression à l'entrée (2) doitrester supérieure à la pression de vapeur saturante. Par sé urité, on �xe la valeurminimale à p2 = 0.4 bar .A.1/ Cal uler le nombre de Reynolds Re et en déduire le ÷� ient Λ.A.2/ Cal uler la hauteur maximale he où pla er la pompe.A.3/ Cal uler la puissan e à fournir à la pompe de rendement η = 0.75 pourremplir un réservoir jusqu'à la ote z = 30 m ?ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 143 / 149

Partie B : remplissage des iternesDans la suite du problème, on suppose le niveau du réservoir onstant.Dans un premier temps, on souhaite ne remplir que la iterne C1 en ouvrant lavanne V1 et en fermant la vanne V2.B.1-a/ Etablir la relation entre UC , g , h et K , le terme K désignant le ÷� ientde perte de harge équivalent dans le tronçon ABC .B.1-b/ Le volume d'une iterne étant de 25 m3, en déduire le temps né essairepour e�e tuer son remplissage.On e�e tue maintenant le remplissage des deux iternes en ouvrant V1 et V2.Pour le oude à l'entrée de la onduite B − C , la perte de harge est basée sur UC .B.2-a/ E rire puis résoudre le système de 3 équations exprimant UB, UC et UD enfon tion de g , h, K1 de (AB), K2 de (BC) et K3 de (BD).B.2-b/ En déduire les temps né essaires pour remplir C1 et C2.B.2- / On souhaite obtenir le même temps de remplissage pour les 2 iternes enfermant partiellement V1. Cal uler le ÷� ient kv1 de la vanne V1 pour yparvenir.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 144 / 149

Cinquième partieTravaux PratiquesELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 145 / 149

TP 1 : ara térisation d'une pompe entrifuge

Obje tifDéterminer pour plusieurs régimes de fon tionnement, les ourbes ara téristiques de la pompe et véri�er la théorie des similitudes.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 146 / 149

TP 2 : ara térisation d'un réseau de pompes en série

Obje tifEtudier et ara tériser un réseau de pompes en série.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 147 / 149

TP 3 : pertes de harge réparties et singulières

Obje tifDéterminer les pertes de harge réparties et singulières et omparer lesrésultats à la théorie.ELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 148 / 149

TP 4 : é oulements laminaire et turbulent

Obje tifCara tériser la transition entre é oulements laminaire et turbulent etdéterminer le ÷� ient de perte de harge répartie de la onduiteELF 2012 MEQ04 : Mé anique des �uides in ompressibles 149 / 149

Documents

MEQ04 : M anique des fluides incompressibleselefra02/coursMEQ04.pdfCFD (Fluent, CFX, rCD...). Sta ELF 2012 MEQ04: Mécanique des uides ressibles incomp 5 / 149 Structure du cours ério