C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, S6rie II b, p. 109-114, 1999 M6canique des fluides num6rique/Computational fluid mechanics

(ii!i~ii i~i iiliii i ̧̧

i i ~: i ~ ! i i ;!!i! i! i ~' i ii! ~'~,I ~! !i i i

M6thode d'approximation nodale optimis6e pour I'acoustique Philippe B O U I L L A R D a, St6phane S U L E A U b

Service des milieux continus, universit6 libre de Bruxelles, CP 194/5, 50, av. F.D.-Roosevelt, B-1050 Bruxelles, Belgique E-mail : pbouilla@smc.ulb.ac.be

b Service de m6canique analytique, universit6 libre de Bruxelles, CP 16514, 50, av. F.D.-Roosevelt, B-1050 Bruxelles, Belgique E-mail : ssuleau@smc.ulb.ac.be

(Requ le 29 jain 1998, accept6 le 15 juillet 1998)

R6sum6.

Abstract.

La m6thode d'approximation nodale est formulre pour rEsoudre les problbmes drcrits par l'6quation de Helmholtz. Elle se fonde sur une approximation par moindres carrrs pondrrrs ~ coefficients variables. L'article montre qu'il est possible de pr6voir la vitesse de propagation de l'onde numrrique et ddtermine les param~tres de la mdthode de rnanibre/l minimiser la dispersion. © Acadrmie des sciences/Elsevier, Paris

aeoustique / m6thodes sans maillage / erreur de dispersion

Optimised meshless method for acoustics

The element-free Galerkin method is formulated for the Helmholtz problem. It is based on a moving least square method. This article shows that it is possible to determine the speed of propagation of the numerical wave and to tune the parameters of the method in order to minimise the dispersion. © Academic des sciences/Elsevier, Paris

acoustics / meshless methods / dispersion error

Abridged English Version

Numerical solutions of the Helmholtz equation, describing, for instance, acoustic wave propagation, suffer spurious phenomena such as the dispersion effect: the analytical and the numerical waves have different phase velocity. This article presents an original formulation of an element-free Galerkin method and mentions two theoretical results allowing us to compute the dispersion error.

THEOREM 1. - I f the nodal values have a sinusoidal evolution with a given wave number, then the

numerical solution also has a sinusoidal evolution with the same wave number.

Note pr6sent6e par Andr6 de JAUMOTTE.

1287-4620/99/032700109 © Acadrmie des sciences/Elsevier, Paris 109

P. Bouillard, S. Suleau

THEOREM 2 (dispersion error). - On a regular distribution of nodes, with a constant size for the domains of influence, the wave number of the numerical solution is the solution of

~ fllcos ( Ik h h) ( K 1 - co 2 MI) = 0 (A) I=0

where

{12 if/=O fll = if I e N 0 (B)

Equation (A) is solved numerically allowing us to fix the parameter of the numerical scheme in order to reduce the dispersion error. This article gives numerical results allowing better choice of basis (figure 1) and of the size of the domain of influence (figures 2 and 3).

1. Introduction

Les mEthodes d'approximation nodale ont connu rEcemment un regain d'intEr~t par l'introduction d'une formulation par moindres carrEs pondErds h coefficients variables (moving least squares). Ces mEthodes, parfois appelEes ~ sans maillage ,~, prEsentent en effet l'Enorme avantage de nEcessiter uniquement une distribution de nceuds, sans devoir Etabli:r une connectivitE par des ElEments. Le gain en temps de gEnEration de maillage est Evident et les raffinements locaux s'obtiennent aisEment.

Le but de cette note est de montrer numEriquement que cette mEthode prEsente des avantages majeurs pour la resolution de problbmes de propagation d'ondes. L'article prEsente les rEsultats dans l'espace ~ une dimension, mais les conclusions restent qualitativement valables lorsque l 'on passe h des espaces de dimensions supdrieures [1].

2. Probl~me module

2.1. Forme variationnelle

Le probl~me gEnEral de la propagation d'ondes acoustiques dans un milieu fermE, dEcrit par une Equation de Helmholtz lorsque l 'on se restreint aux pbEnombnes harmoniques, s'Ecrit sous forme variationnelle d'extremum de la mani&e suivante :

t r o u v e r p ~ H 116H*=0 VEp~ Hlo, 62~ H ° (1)

otJ H 1 et H ° ddsignent les espaces de Hilbert usuels et ]a fonctionnelle H* est dEfinie par :

H* = ~ ( Op a~ - k 2 pfi ) dO ~- jpckA, pfi dF

+f jpck~.fdF+fl 2 ( / ~ i - / 5 ) d F (2)

o~t * dEsigne le complexe conjuguE, p la pression, A n l 'admittance (liEe h l 'amortissement structural), vn la vitesse normale prescrite (vibration d 'un panneau) et 2 un multiplicateur de Lagrange. Le dernier terme de l'Equafion (2) fait appara~tre explicitement la condition aux limites de Dirichlet qui

110

M~thode d'approximation nodale optimis~e pour I'acoustique

est donc impos6e sous forme faible. On remarque 6galement que les conditions de r6gularit6 des fonctions p et 2 ne sont pas les mfimes [6quations (1) et (2)]. I1 en r6sulte que les fonctions d'interpolation pour approcher ces grandeurs ne doivent pas Etre n6cessairement les m~mes.

2.2. Approximation de Ritz

Consid6rons un sous-espace X h de Hi( 12 ) et yh de H°((2) (nous pr6ciserons dans le paragraphe 3 le type de sous-espace, h est associ6 ici ~t la densit6 de la distribution de n~euds [2]). L'approximation de Ritz consiste h chercher des solutions ph e X het 2 h e yh telles que :

H,(ph, ,~h) : 0 V•p h U- X h, V(~2h • yh (3)

ce qui conduit au systbme d'6quations lin6aires :

,} K~,~ 0 = (4)

pour lequel :

K = f ( V N ) ' ( V N ) d g 2 , c = f r N t N A n all, M = ~ f o N ' N d f 2 (5)

(6)

oh N et ~ sont respectivement les fonctions d'interpolation du champ de pression ph et des param~tres de Lagrange ,~h telles que :

ph = Np, 2 h = JVA (7)

2.3. Notion de dispersion

L'approximation num6rique d'une onde se propageant pr6sente un ph6nombne de dispersion : les ondes exacte (solution du probl~me (1)), et num6rique ne se propagent pas b la m~me vitesse. Ce ph6nom~ne, et l'effet de pollution qui en d6coule, sont d6crits dans [3]. Le calcul de dispersion pour la m6tbode d'approximation nodale est expos6 dans le paragraphe 3.2.

3. M~thodes d'approximation nodale

3.1. Approximation par moindres carr~s pond&~s d coefficients variables

La m6thode des moindres carr6s pond6r6s b coefficients variables est d6crite pour une fonction scalaire g quelconque, mais s'6tend directement ~t toute fonction tensorielle. L'approximation gh(x ) est choisie polynomiale sous la forme :

gh(x ) = p t ( x ) a (x ) (8)

ofa le vecteur P ( x ) contient les termes de la base. Par exemple, la base polynomiale de degr6 1 est p t ( x ) = {1,x} et celle de degr6 2 est p t ( x ) = {1,x, x2}. I1 est important de remarquer que les coefficients a*(x) de l'expression (8) sont variables. Supposons conna?tre la fonction g en les noeuds I. Les coefficients a*(x) sont d6termin6s en r6solvant le probl6me de minimisation de la norme L 2 discrete pond6r6e suivante :

min ~ w1(x* ) ( pt (xt) a* - gl) 2 (9) 5"

1--1

I I I

E Bouillard, S. Suleau

off wt(x* ) est une fonction poids non nulle dans un voisinage de x I appel6 domaine d'influence (voir paragraphe 3.4) et n l e nombre de nceuds pr6sents darts ce domaine. La solution du probl~me (9) conduit ~ la d6finition des fonctions de forme •

off l 'on a pos6 •

N ( x ) = Pt ( x ) A - 1 ( x ) B ( x ) (10)

A ( x ) = ~ , w t (x ) P ( x t ) P' ( x l ) (11) I=1

B ( X ) = [Wl(X ) P ( x 1 ) ..... Wn(X ) P ( x . ) ] (12)

Les fonctions de forme (10) sont non rationnelles.

3.2. Calcul de dispersion

Notons Pi les valeurs nodales de pression solutions du syst6me (4), p h (x ) la solution num6rique apr~s approximation et ph( Xi ) la valeur de l 'approximation num6rique au nceud i. Par d6finition de la m6thode (9), on a

Pi ~ ph(xi ) (13)

THI~OREME 1. - Pour une distribution r~gulikre de nceuds, on ddmontre que si les valeurs nodales Pi varient de fagon harmonique, alors la solution approchde varie dgalement de fagon harmonique.

Ddmonstration du thgorOme 1. - On postule que les valeurs nodales varient selon

Pi = A exp( jk h x: ) (14)

On consid6re un domaine d'influence contenant ( 2r + 1 ) noeuds ; on calcule l 'approximation (9) et on d6montre que ph(xi) varie de faqon p6riodique avec le m6me nombre d 'onde k h

ph( Xi ) = B exp( jk h xi ) (15)

THI~OR~ME 2 (calcul de la dispersion). - Considdrons une distribution r~guli~re de nteuds et des domaines d'influence tels que les nceuds i et (i + s) sore connectgs, alors le nombre d'onde de la solution approchge est solution de

o~

S

fltcos ( Ik h h ) ( K I - co 2M1) = 0 (16) 1=0

1 si I = 0

fll = 2 si I ~ I~ 0 (17)

D#monstration du thdorOme 2. - En faisant abstraction de l'influence d'6ventuelles conditions aux limites de Dirichlet, la matrice du syst~me (4) est ( 2s + 1 ) diagonale (il existe des entr6es non nulles sur la diagonale et sur l e s s diagonales sup6rieures et inf6rieures). On isole la i ~ 6quation et on exprime la relation (15).

L'erreur de dispersion est mesur6e par la quantit6 •

k - k h kh - k h h e = T - k ~ (18)

112

M6thode d'approximation nodale optimis6e pour I'acoustique

3.3. Parambtres de la m6thode

La m6thode d'approximation nodale pr6sente plusieurs param~tres que l'on peut fixer de mani~re h rninimiser voire h 61iminer la dispersion. Les param~tres principaux sont : la base P (qui ne doit pas n6cessairement etre polynomiale) et la mille des domaines d'influence. Le but de cette note est de d6terminer num6riquement le choix optimal de ces paramNres pour minimiser ou 61iminer la pollution.

4. Tests

4.1. Choix de la base

Lafigure 1 montre la convergence de la solution EFGM en semi-norme H 1 pour diff6rents kh. On observe qu'il y a un int6rfit h travailler avec une base quadratique. Ce r6sultat ne s'6tend pas ~un degr6 quelconque [ 1].

1.E+O0

I.E-OI

Figure 1. Courbe de convergence de l 'erreur en semi-norme H 1, comparaison bases

linfiaire et quadratique pour diff6rents kh. l .E-02

Figure 1. Convergence curve of the error in H j seminorm, linear basis vs. quadratic

basis for several kh. 1,E-03

1 .E-04

Erreur relative en semi-norme H j

- u - - lin. ( k h =0 .5 ) ~'i~ - - + - - lin. (ldl = 1.0) a ~ • - - lin. (kh = 2.0)

%, ',",, - - - ~ - - q.aa. ( ~ = o.s) ~'1-'~_ ~ * quad. (kh = 1.0) • ~ .~- - . ~ - . • quad. (kh = 2.0)

1/h

10 100 1000 10000

Bien entendu, si 1'on choisit une base de type pt ( x ) = { 1, cos ( kx ), sin ( kx ) }, nous constatons que l'erreur de dispersion est nulle car la base contient la solution harmonique au probl~me de Helmholtz (1).

4.2. Domaines d'influence

La figure 2 donne l'erreur de dispersion (18) en fonction de la taille du domaine d'influence. On observe qu'il existe une valeur minimale en deq~ de laquelle la matrice A ( x ) [relation (11)] est singulibre et qu'il existe une valeur maximale au-delh de laquelle les r6sultats se d6t6riorent nettement. I1 existe donc une taille optimale pour les domaines d'influence correspondant/: :

dinfl 2 ~< T ~< 3 (19)

La figure 3 donne l'erreur de dispersion (18) en fonction de kh pour diff6rentes tailles du domaine d'influence. On observe qu'~ la valeur d:nn = 3h (se situant dans les limites de la relation (19)), l'erreur de dispersion reste tr~s faible pour des valeurs de kh jusqu'h 2,5. On remarque 6galement sur

113

P. Bouillard, S. Suleau

0.2

0.15

0.1

0.05

erreur de

dispersion

/

kh =2.5 /

/ s ~ /

4 d#!lt / h

Figure 2. Erreur de dispersion en fonction de la taille du domaine d'influence.

Figure 2. Dispersion error as a function of the size of the domain o f influence.

0.3

0.2

0.1

erreur de dispersion

di,fl

di,fl = 5.0 h ]

di,jl = 3.0 h ' !

0 l 2 kh 3

Figure 3. Erreur de dispersion en fonction de kh pour diffrrentes tailles de domaine

d'influence.

Figure 3. Dispersion error as a function of kh for several sizes of domain of influence.

cette figure que la solution 616ments finis standard de G alerkin (correspondant au cas particulier off di,n = h) prrsente, pour une m~me distribution de noeuds, une erreur de dispersion nettement plus importante qu'un choix optimal de la m6thode proposEe,.

5. Conclusions et perspectives

Cette note prrsente une m6thode d'approximation qui ne ndcessite plus la g6n6ration d'un maillage et mentionne les rrsultats throriques permettant d'rvaluer l'erreur de dispersion a priori, de manibre choisir les parambtres de la mrthode qui permettent d'61iminer la dispersion (h une dimension). La formulation de la m6thode d'approximation nodale permet, pour les espaces de dimensions suprrieures, de minimiser la dispersion. Lorsque l'onde est plane, il est mEme possible d'61iminer la dispersion.

R6f6rences bibliographiques

[ 1 ] Bouillard R, Suleau S., Element-free Galerkin method for Hemholtz problems: formulation and numerical assessment of the pollution effect, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 162 (1-4) (1998) 317-335.

[2] Belytschko T., Lu Y.Y., Gu L., Element-free Galerkin methods, Int. J. Numer. Meth. Eng. 37 (1994) 229-256. 13l Bouillard R, Ihlenburg E, Error estimation and adaptivity for the finite element method in acoustics, in: Ladev~ze R, Oden

J.T. (Eds.), Advances in Adaptive Computational Mechanics, Elsevier, Kidlington, Oxford, 1998, pp. 477-492.

1 1 4