Détermination des efforts dans les barres par la méthode de Crémona

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REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA

Ce document a été conçu par l’association ACCESMAD a destination des

élèves de l’enseignement technique de Madagascar . Il propose une

méthode pédagogique d’assimilation des contenus du texte officiel des

programmes techniques intitulé:

Module de formation : mécanique et résistance des matériaux

(Indexations: UF/05/04/03 UF/T/08 – 03 – 03)

Indexation UNITES DE FORMATION DUREE

UF/05/04/01UF/05/04/02UF/05/04/03UF/05/04/04UF/05/04/05

-généralités et hypothèses-calculs analytiques et graphiques des réactions d’appui-détermination des efforts dans les barres par la méthode de CREMONA-Détermination des efforts dans les barres par la méthode de RITTER-Dimensionnement des éléments d’un système triangulé

 

DUREE TOTALE 90 HEURES

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Connaissances requises pour lire ce document: il faut savoir,

-Réaliser graphiquement l’équilibre d’un point soumis à plusieurs forces ..

-Déterminer graphiquement la valeur d’une force compte tenu de l’échelle des forces choisie.

-Connaître la condition pour qu’une structure treillis soit isostatique et donc exploitable pour la méthode graphique proposée.

Objectifs pédagogiques du document:

-Présenter une méthode graphique globale obtenue en réalisant l’équilibre nœud après nœud de toute la

structure (méthode dite de « Crémona »du nom de son auteur).

-Représenter une force par un vecteur

-Exploiter le graphique pour déterminer les intensités et le sens des efforts normaux dans toutes les barres

-Définir une structure triangulée (ou treillis) avec nœuds articulés.

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ou

-Savoir interpréter les résultats en considérant que les hypothèses concernant les articulations ne sont

qu’approximativement valables (présence de barres continues fréquentes)

8m

2m

Exemple de détermination des efforts dans les barres d’une structure treillis plane

Définition d’un treillis et hypothèses de l’étude: La structure est un assemblages de barres formant des triangles.Toutes les forces sont contenues dans le plan de la structure Les supports des forces convergent aux nœuds . (Absence de charge entre les nœuds)Les extrémités des barres sont articulées sur les nœuds (assemblages du type 1).Le poids propre de la structure n’est pas pris en compte

Conséquence: absence de moment de flexion dans les barres soumises uniquement à un effort normal (compression ou traction)

(1)

Nombre de barres B=13 ; nombre de nœuds N=8

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ou

A B

C

D

E

F

G H

2° Vérifier que la résolution graphique est possible:

1°Nommer les différents noeuds

Méthode graphique de résolution nœud par nœud dite de Crémona(On trouvera une bibliographie succincte de l’auteur de cette méthode Luigi Cremona à la fin du document)

Le nombre d’inconnues Ni à déterminer est égal au nombre de barres B ajouté des 3 inconnues

dues aux actions des appuis :articulation A (XA ,YA) ;appui simple H (YH) ; Ni=B+3=13+3=16

Chaque nœud étant en équilibre, il est possible d’écrire 2 égalités en projection sur l’axe vertical et horizontal par nœud . Le nombre d’équations d’équilibre Néq = 2N = 2*8 =16

Ni=Neq la structure est dite isostatique et peut être résolue par la seule application (ici graphique) du Principe Fondamental de la Statique

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ou Une barre ajoutée entre B et D par ex ne permettrait pas la résolution du système (Ni=17>16)

A B

C

D

E

F

G H

1000 N1000 N

1000 N

3° Faire l’inventaire des forces extérieures

4°Déterminer les réactions aux appuis

1500N 1500N

Les forces et la structure étant ici symétriques la valeur des réactions est évidente

Dans une étude plus complexe , pour déterminer les réactions, il faut appliquer une méthode analytique ou graphique

décrite dans d’autres animations proposées dans ce cours

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ou

A B

C

D

E

F

G H1 1

2

3 4

5

6 7

8 9

10 11

5°Numéroter les domaines délimités par les barres et les forces extérieures

6°Tracer le diagramme des forces s’exerçant sur chaque nœud: Le tracé n’est possible que si les forces inconnues exercées sur le nœud par les barres sont au nombre maximum de 2. .Cela suppose que les forces apportées par les autre barres éventuelles ont été déterminées au préalable en réalisant l’équilibre d’un nœud voisin. L’ordre des nœuds à considérer est donc très important.

Ainsi le premier nœud à considérer ne peut recevoir que 2 barres pour que la construction du diagramme soit réalisable. (il n’est pas possible par ex de commencer par le nœud C)

L’équilibre des nœuds doit s’effectuer suivant l’ordre: A->B->C->D->E->G->H ou l’ordre inverse

Remarque: dans le diagramme, une barre est ici désignée par les deux domaines qu’elle partage.

( ex: la barre diagonale CE est nommée 8->7. le sens de la flèche correspond au sens horaire

de rotation autour du nœud C)

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ou

A B

C

D

E

F

G H1 1

2

3 4

5

6 7

8 9

10 11

2

1

6

2->6 la membrure sup AC« pousse » sur le nœud c’est une compression :NAC=-3300 N

6->1 la membrure inf AB « tire » sur le nœud c’est une traction :NAB=+3000 N

Action sur le nœud A:

Pour déterminer le sens des forces s’exerçant sur le nœud A, il suffit de lire les numéros des sommets du diagramme dans l’ordre correspondant au sens horaire autour du nœud : soit 1-> 2 -> 6 -> 1. L’intensité des forces est proportionnelle à la longueur du segment et de l’échelle choisie

Tracè du diagramme des forces s’exerçant sur A

Échelle:1000N

-Choisir une échelle des forces sur le dessin (ex 2cm=1000N) -Tracer la force extérieure (connue) s’exerçant sur le nœud.

Cette force (en rouge) sépare les domaines 1 et 2 du plan. Nous appelerons 1 son origine et 2 son extrémité

-Tracer la droite passant par l’extrémité 2 de la force et parallèle à la 1ère barre (CA) rencontrée en tournant autour du nœud A dans le sens horaire ... puis tracer la droite passant par l’origine 1 et parallèle à la 2ème barre (BA) jusqu’à l’intersection avec la préc..

L’intersection est appelée « 6 » comme le domaine entre les 2 barres inconnues

L’effort dans la barre AB étant maintenant connu, nous allons pouvoir étudier l’équilibre du nœud B qui reçoit 2 autres barres dont

nous déterminerons les efforts. A ce stade, l’équilibre du nœud C qui reçoit 4 barres n’est pas possible…

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ou

L’équilibre du nœud impose la fermeture du diagramme de chaque nœud !.

A B

C

D

E

F

G H1 1

2

3 4

5

6 7

8 9

10 11

2

1

6

Tracé du diagramme des forces s’exerçant sur B

B n’est soumis à aucune charge extérieure

Parmi les 3 barres qui convergent au point B, deux ont le même support horizontal.

Cette double condition implique que les actions dans les barres horizontales sont égales et opposées et .

que l’effort dans la 3émé barre (ici BC) est nul :Les deux points 6 et 7 sont confondus

7

Action sur le nœud B

7->1, la barre horizontale à droite du nœud B (BE) tire sur le nœud ,elle est sollicitée en traction NBE=+3000N

Le diagramme se résume à 1->6 (et 7) puis 6 (et 7)->1

1->6, la barre horizontale à gauche du nœud B (AB) tire sur le nœud. Elle est sollicitée en traction NBA=+3000N

1000N

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ou

A B

C

D

E

F

G H1 1

2

3 4

5

6 7

8 9

10 11

2

1

6

Tracé du diagramme des forces s’exerçant sur C

7

Action sur le nœud C

8

3

Considérons les sommets du diagramme

dans l’ordre: 2 -> 3-> 8->7(et 6)->22->3 : force extérieure de 1000N3->8 :action de la membrure droite (CD) .Elle pousse sur le nœud:CD est comprimée : NCD= -2250N

8->7:action de la diagonale (CE) .Elle pousse sur le nœud:. Elle est comprimée NCE= -1100N

7->6 effort nul dans le montant BC

6->2 action de la membrure gauche (CA). Elle pousse sur le nœud. Elle est comprimée (effort déjà déterminé lors de l’équilibre du nœud A). NCA= -3300N

1000N

Commençer par tracer la force extérieure (en bleu) d’origine 2 et d’extrémité 3

Tracer la droite passant par 3 et parallèle à la barre CD Tracer la droite passant par 7 et parallèle à la barre CE

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ou

A B

C

D

E

F

G H1 1

2

3 4

5

6 7

8 9

10 11

2

1

6

Tracé du diagramme des forces s’exerçant sur D

7

Action sur le nœud D

8

3

9

4

3->4 force extérieure 1000N

4->9 la membrure (DF) pousse sur le nœud :NDF= -2230N

9->8 Le montant vertical(DE) tire sur le nœud: NDE= +1000N

8->3la membrure CD poussesur le nœud; NCD:-2230N

Diagramme des forces:3 -> 4 -> 9 -> 8-> 3

1000N

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ou

A B

C

D

E

F

G H1 1

2

3 4

5

6 7

8 9

10 11

2

1

6

Tracé du diagramme des forces s’exerçant sur E

7

Action sur le nœud E

8

3

9

4

10

1

diagramme:8->9->10->1->7->8

8->9:le montant vertical (ED) tire sur le nœud NED=:+1000N

9->10 La diagonale (FE) pousse sur le nœud; NFE=-1100N

10->1, la barre horizontale ( EG) tire sur le nœud.NEG=+3000N

1->7; la barre horizontale de gauche(BE) tire sur le nœud :NBE=+3000N

7->8; la diagonale (CE)pousse sur le nœud, NCE=-1100N

1000N (En l’absence de force extérieure sur le nœud, le diagramme n’est pas modifié)

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ou

A B

C

D

E

F

G H1 1

2

3 4

5

6 7

8 9

10 11

2

1

6

Tracé du diagramme des forces s’exerçant sur G

7

Action sur le nœud G

8

3

9

4

10

1

11

Diagramme des forces:10->11->1->10

10 et 11 sont confondus :l’action du montant (FG) sur le nœud est

nulle 11->1 la barre horizontale (HG)tire sur le nœud; NHG= +3000N

1->10 La barre horizontale (EG )tire sur le nœud; NEG=+3000N

1000N

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ou

A B

C

D

E

F

G H1 1

2

3 4

5

6 7

8 9

10 11

2

1

6

Tracé du diagramme des forces s’exerçant sur F

7

Action sur le nœud F

8

3

9

4

10

1

11

5

Diagramme des forces: 4->5->11 (et 10)->9->4

4->5 force extérieure de 1000N

5->11 la membrure FH poussesur le nœud . NFH=-3350N

11->10 action nulle du montant

10->9 la diagonale EF pousse sur le nœud; NEF=-1100N

9->4 la membrure DF pousse sur le nœud; NDF:-2230N

1000N

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ou

A B

C

D

E

F

G H1 1

2

3 4

5

6 7

8 9

10 11

2

1

6

Tracé du diagramme des forces s’exerçant sur H

7

Action sur le nœud H

8

3

9

4

10

1

11

5

diagramme des forces: 5->1->11->5

Le polygone complet (crémona) débute au point 1 en s’orientant vers le haut et se referme par le bas au même point 1.

5->1 force extérieure 1500N

1->11 la barre horizontale GH tire sur le nœud ;NGH=+3000N

11->5 la membrure FH pousse sur le nœud NFH=:-3350N

1000N

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ou

8m

2m

Récapitulation des efforts dans les barres

-3300N

-2230N

0N+3000N +3000N

-1100N

-2230N

-3300N

+3000N+3000N

-1100N

+1000N

- =compression ; + =traction

Les limites du Crémona: l’une des hypothèses de cette étude est de considérer que toutes les barres sont articulées à leur extrémitésPour des raisons de construction, les membrures sup et inf sont souvent réalisées d’un seul tenant entre le faitage et le bas de pente.Les nœuds B et C par exemple ne sont plus alors des articulations. Ainsi , le déplacement vertical de ces nœuds lors de la mise en charge de la poutre entraine l’apparition d’une flexion des ces barres continues. A l’effort normal théorique de traction ou compression s’ajoute un moment de flexion inévitable. L’expérience montre en général une faible Incidence sur les contraintes et les déplacements lorsque ces barres sont continuesL’étude de Crémona reste un moyen pratique ne nécessitant pas de calcul…Cependant il faut réaliser un dessin assez précis!Si l’on veut obtenir les efforts seulement dans quelques barres, le méthode de Ritter (uniquement analytique et décrite dans ce cours) est mieux adaptée .

B

C

Page 15/16

ou

Le modèle de poutre treillis formée de barres articulées n’est souvent qu’une approximation de la réalité .

Luigi Cremona, (Pavie, 7 décembre 1830 - Rome, 10 juin 1903 (à 72 ans)), est un mathématicien et homme politique italien.

Sa réputation est bâtie principalement sur son Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Introduction d'une théorie géométrique des courbes planes). Il a enrichi notablement la connaissance des courbes algébriques et des surfaces algébriques. Il a également donné son nom à l'épure de Cremona utilisée

en statique graphique pour déterminer les efforts dans une structure triangulée. Luigi Cremona est devenu membre étranger de la Royal Society le 3 avril 1879.

Un cratère lunaire porte son nom.

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ou Echap