B. Bottollier - ISARA

MODULE 10 : METHODE DU SIMPLEXE

Principe de la méthode

C'est une méthode d'optimisation à " petits pas " ou séquentielle qui conduit

graduellement vers l'optimum d'une réponse, cette méthode ne nécessite pas de

modèle. Chaque nouvelle expérience va être déterminée à partir de l'analyse des

résultats des expériences précédentes.

Pour k facteurs nous réaliserons, au départ, n = (k + 1) essais. Sur les N mesures

(N réponses), une est plus mauvaise que les autres (notée M), elle sera écartée

et remplacée par une nouvelle expérience, qui, compte tenue des résultats aura

le maximum de chances d'être meilleure que les autres. Il s'agit donc d’appliquer

ce principe en suivant les 3 règles du simplexe explicitées ci-dessous.

Représentation géométrique pour k = 2 facteurs

On représente graphiquement le domaine expérimental et on positionne les

essais dans ce domaine. Pour une étude à 2 facteurs, les facteurs indépendants

X1 et X2, en variables codées, se matérialisent par 2 axes orthogonaux, les 3

(= k+1) essais du départ se situeront donc dans ce plan pour former un triangle

équilatéral de côté égal à 1.

Remarque: le simplexe de départ pour k = 2 facteurs dans le cas d’un simplexe de

type 1 est un triangle équilatéral de côté = 1, symétrique par rapport à la 1ère

bissectrice du repère.

Les essais sont exprimés en variables codées. Nous verrons plus loin, dans les

concepts qui suivent, comment fixer les niveaux des facteurs pour les essais du

départ et comment calculer les coordonnées d'un point image symétrique du plus

mauvais.

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1ère règle du simplexe:

"Supprimer l'expérience pour laquelle la réponse est la plus mauvaise (M) et de la

remplacer par une autre expérience située à l'opposée (M*), symétrique par

rapport au centre de gravité des k autres sommets. Un nouveau simplexe est

alors déterminé par les k sommets conservés et le nouveau point correspondant à

la nouvelle expérience. La procédure est alors répétée."

Exemple : Dans le simplexe 123 (ensemble des expériences 1, 2 et 3), de type 1,

l’expérience 3 donne la plus mauvaise réponse si on veut maximiser Y. On va donc

réaliser l’expérience 4 qui se trouve à l’opposé de l’expérience 3 (notée 4 = 3*, 4

est symétrique de 3 par rapport à 1 - 2).

L'information graphique se présente dans un tableau de la forme :

simplexe Essai X1 X2 Y

départ

1 0 0 10

2 0.966 0.259 11.862

3 0.259 0.966 6.913 M

123 4 = 3* 0.707 -0.707

NB: les valeurs prises par les variables codées sont expliquées dans les parties

suivantes "choix du simplexe de départ" et "calcul des coordonnées de l'image

d'un point".

-2,4

-1,6

-0,8

0

0,8

1,6

2,4

-2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4

X1

X2

(3)

(4=3*)

(1)

(2)

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2ème règle du simplexe:

"Si le simplexe oscille entre 2 points, c'est le cas lorsque l'un des côtés du

simplexe suit l'arête de la surface de réponse, c'est le 2ème plus mauvais point

qui est abandonné à la place du 1er à partir du simplexe précédent"

Exemple : Dans le 1er simplexe 123, de type 1, l’expérience 3 donne le résultat le

plus mauvais si on veut maximiser Y. On réalise l’expérience 4, symétrique de

l’expérience 3. Dans ce nouveau simplexe 124, l’expérience 4 donne la plus

mauvaise réponse. Donc on retourne dans le simplexe 123 et on choisit le

symétrique de la 2ème plus mauvaise expérience à savoir dans ce cas l’essai 1. On

réalisera donc l’expérience 5 symétrique de 1 et on analysera les résultats du

simplexe 235.

L'information graphique se présente dans un tableau de la forme :

simplexe Essai X1 X2 Y

1 0 0 11.50 2ème M

2 0.966 0.259 15.94

3 0.259 0.966 11.20 1er M

123 4 = 3* 0.707 -0.707 11.24

123 5 = 1* 1.225 1.225

-2,4

-1,6

-0,8

0

0,8

1,6

2,4

-2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4

X1

X2

(3)

(4=3*)

(1)

(2)

(5=1*)

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3ème règle du simplexe:

"Si après k + 1 réflexions c'est le même sommet qui est conservé, soit on

considère ce point optimum et on confirme ce résultat, soit on repart de ce point

avec un pas de simplexe plus petit"

Exemple : Simplexe de départ de type 1, après 6 essais réalisés au total, on

remarque que l'on tourne autour de l'essai N°3 pour maximiser Y, il faut

continuer avec un pas plus petit, dans la zone autour de l'essai 3, si on souhaite

affiner l'optimisation.

simplexe Essai X1 X2 Y

1 0 0 11,2

2 0,966 0,259 11,4

3 0,259 0,966 11,7

123 4 = 1* 1,225 1,225 11,5

234 5 = 2* 0,518 1,932 12

345 6 = 4* -0,448 1,673

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5

X1

X2

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)