Méthodes directes d'optimisation Simplex

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Mthodes directes doptimisation Mthodes une variable et SimplexRfrence P228 | Date de publication : 10 dc. 2002 Catherine PORTE INTRODUCTION Loptimisation est un ensemble de techniques permettant de trouver les valeurs des variables qui rendent optimale une fonction de rponse, appele aussi fonction objectif. Sur le plan mathmatique, cela correspond la recherche des extrmums de fonctions plusieurs variables. Dans le domaine des sciences appliques, il sagit en gnral de trouver loptimum de la rponse doprations industrielles ou dexpriences de laboratoire. Lobjectif de loptimisation est reprsent sur les figures 1 a et b ; sur la figure a, la rponse y est fonction dune seule variable, x, et lon recherche la valeur, xmax, comprise entre les bornes xA et xB qui rend optimale la valeur de la rponse y.

Figure 1 - Optimisation dune fonction objectif

Sur la figure b, la fonction objectif dpend de deux variables x1 et x2 ; elle est reprsente sous la forme de courbes de niveaux ou courbes disorponses. On recherche alors les coordonnes, x1max et x2max, qui correspondent la valeur optimale de y. Une fonction objectif peut tre :

le rendement dune opration (maximum) ; la puret dun produit (maximum) ; la concentration en un produit (maximum ou minimum suivant quil sagit du produit attendu ou dune impuret indsirable) ;1

le cot dune opration (minimum) ; lefficacit dune sparation (maximum), en chromatographie par exemple ; les caractristiques du produit (maximum, minimum ou valeur nominale), etc.

La fonction objectif peut aussi tre la somme, pondre ou non, de plusieurs rponses. Ce sera le rsultat observ, ou mesur, de lopration effectue, que ce soit une analyse, une synthse chimique, une extraction, une formulation, etc. Dans tous les cas, la valeur de la rponse est subie par lexprimentateur. La fonction objectif dpend dun certain nombre de facteurs. On peut dfinir trois types de facteurs :

les facteurs alatoires ; les facteurs qui seront maintenus un niveau donn tout au long des exprimentations ; les facteurs dont on dsire faire varier la valeur au cours des diffrentes exprimentations ; elles seront nommes variables.

Les variables peuvent tre par exemple :

le pH ou la temprature du milieu ractionnel ;la concentration, la masse ou le volume de ractifs ;le dbit dintroduction de solvants, etc.

Il est videmment ncessaire que les valeurs des variables voluent indpendamment les unes des autres. Dans tous les cas, la valeur de la variable est impose par lexprimentateur. Pour pouvoir mettre en uvre toute technique doptimisation, il faut tre capable de maintenir les variables et les facteurs constants aux niveaux dsirs. Il est donc souhaitable que les mthodes doptimisation soient mises en uvre conjointement avec des techniques dautomatisation, de rgulation et de contrle. Il existe de trs nombreuses mthodes doptimisation [1] [13]. La plupart dentre elles ont t cres pour traiter le problme mathmatique consistant trouver lextrmum de fonctions multivariables, non linaires et soumises, ou non, des contraintes. Certaines techniques ont t tudies dans le but de donner aux exprimentateurs une possibilit rationnelle de dterminer les optimums de fonctionnement de leurs systmes physiques. Les mthodes doptimisation peuvent tre classes en fonction du type dtude que lon souhaite mener.o

Premier cas : le phnomne physique est suffisamment connu pour quil soit possible de crer un modle reprsentatif du phnomne. On recherchera alors les extrmums de ce modle de connaissance par les voies classiques (drivation, mthode de Lagrange). Deuxime cas : le phnomne tudi est trop complexe pour en dterminer un modle physiquement significatif. On dsire alors seulement obtenir une relation entre les2

o

variables et la rponse, qui soit reprsentative du phnomne tudi. On postulera alors une reprsentation mathmatique empirique sous forme dune corrlation dont les paramtres seront ensuite dtermins afin de dduire les variables vraiment influentes et de calculer a priori les valeurs de la fonction objectif ; on utilisera ensuite des mthodes doptimisation pour dterminer loptimum de fonctionnement. Dans ce cas, on dit quil sagit dune mthode indirecte doptimisation puisquil faut au pralable avoir un modle mathmatique.o

Troisime cas : on dsire connatre uniquement les conditions de fonctionnement optimal sans rechercher une reprsentation mathmatique du phnomne. Dans ce cas, il sagit dune mthode directe doptimisation puisquelle ne ncessite aucun modle mathmatique.

Dans cet article, nous dcrivons uniquement le troisime cas. Le traitement du premier cas dpend directement du processus tudi et du modle physique correspondant. On rattache ce type loptimisation en chromatographie, par les diagrammes fentres qui impliquent lutilisation dune relation linaire connue entre la rponse et les variables [14] [15]. Le deuxime cas, quant lui, a t dcrit dans les Techniques de lIngnieur [16] [17]. Nous exposerons dabord les mthodes une variable et ensuite les mthodes plusieurs variables. Larticle se compose de deux parties :

la premire, Mthodes directes doptimisation- Mthodes une variable et Simplex , est consacre aux mthodes une variable et la mthode Simplex ; dans la deuxime, Mthodes directes doptimisation- Mthodes drives de la mthode Simplex , sont traites les mthodes drives de la mthode Simplex. .

Les rfrences bibliographiques sont regroupes dans Plans dexpriences 1. Mthodes directes une variable 1.1 Mthode dichotomique squentielle 1.2 Mthode du nombre dor 1.3 Mthode de Fibonacci 1.4 Remarques sur les mthodes univariables

Pour que ces mthodes puissent tre employes avec efficacit, il est ncessaire que, dans lintervalle tudi, la fonction de rponse soit unimodale, cest--dire quelle prsente un seul optimum. Cela est souvent le cas dans la mesure o lexprimentateur, compte tenu de son exprience du phnomne, se place dans une zone relativement peu loigne de loptimum. 1.1 Mthode dichotomique squentielle Cest la mthode intuitive la plus simple et elle procde, pour la recherche dun maximum, par exemple, de la faon suivante (figure 2) [1] et [11c] :

3

Figure 2 - Recherche de loptimum par la mthode dichotomique squentielle Dans lintervalle de recherche [xA ; xB], deux mesures sont effectues aux points dabscisses x1 et x2 proches du milieu de lintervalle et suffisamment loigns lun de lautre pour que les rponses en ces points soient significativement diffrentes. On constate, figure 2, que la rponse au point dabscisse x1 est infrieure la rponse au point dabscisse x2 (y1 < y2). On limine alors la zone [xA ; x1] soit approximativement la moiti de lintervalle dtude. On effectue ensuite nouveau deux mesures de part et dautre du centre de lintervalle restant, [x1 ; xB], cest--dire aux points dabscisses x3 et x4. Ici, la rponse au point dabscisse x3 tant la plus faible, on liminera, la zone [x1 ; x3]. On procde de cette manire jusqu lobtention de la prcision souhaite. Pour valuer lefficacit de cette mthode, on peut relier le nombre dessais, N, lintervalle initial, [xA ; xB], et lintervalle restant, (tableau 1). tape 1 2 3 ... m Nombre dexpriences nouvelles 2 2 2 ... 2 Nombre total dexpriences 2 4 6 ... N = 2mTableau 1 - volution et efficacit de la recherche dichotomique squentielle

Intervalle conserv

...

On a :

4

m tant le nombre ditrations. On obtient ainsi :

Pour obtenir une prcision de 103, il est ncessaire de raliser 20 mesures. Bien quintuitivement satisfaisante, cette mthode nest pas trs efficace. En effet, il est ncessaire de raliser chaque itration deux nouvelles expriences ; une technique nimpliquant quune mesure chaque itration permettrait dconomiser des expriences. Cest cet objectif que rpond la mthode du nombre dor. 1.2 Mthode du nombre dor Le lecteur pourra galement se reporter aux rfrences [1] [4] [10] [18] [19] [20].

Principe de la mthode Le principe est identique celui de la mthode prcdente : la zone optimale est cerne de plus en plus prcisment par limination successive dune partie de lintervalle. la premire itration, deux essais sont raliss et ensuite, chaque itration, un seul essai est effectu et est compar au point conserv de litration prcdente. Cela est possible dans la mesure o x1 partage lintervalle [xA ; x2] de la mme faon que x2 partage lintervalle [xA ; xB] ; pour cela on doit avoir la relation :

ceci permet de dterminer la valeur de d.

On a :

ce qui correspond au rapport dor soit 0,618.

Ainsi, lorsque le rapport est gal au rapport dor, soit 0,618, chaque itration, un des essais de litration prcdente pourra tre utilis. Le principe de la mthode est reprsent dans les figures 3 a et b. Lefficacit de la mthode se dduit de la relation entre le nombre dessais, N, lintervalle initial, [xA ; xB], et lintervalle final, (tableau 2). On a :

5

Figure 3 - Recherche de loptimum par la mthode du nombre dor On obtient ainsi :

Pour obtenir la prcision de 103, 16 expriences sont alors ncessaires. tape 1 2 3 ... m Nombre dexpriences nouvelles 2 1 1 ... 1 Nombre total dexpriences 2 3 4 ... N=m+1Tableau 2 - volution et efficacit de la mthode du nombre dor

Intervalle conserv

...

6

Exemple dapplication Exemple Purification de la glycine par cristallisation dans un mlange mthanol/eau : optimisation par la mthode du nombre dor [20] La variable est le pourcentage de mthanol dans le mlange de cristallisation. Le domaine dtude va de 50 100 % en mthanol. La rponse est le rendement en produit pur. Lvolution de la mthode est reprsente dans la figure 4 et le tableau 3. la premire itration, deux essais sont effectus 69,1 % (X1) et 80,9 % (X2) de mthanol dans le solvant de cristallisation. Les rendements en produit pur sont respectivement de 85,3 % et de 88,5 %. Lessai 69,1 % tant le moins bon, la zone conserve est la zone 69,1 % - 100 %, un nouvel essai est effectu 88,2 % en mthanol (X3), le rendement en ce point est alors compar au rendement obtenu pour lessai fait 80,9 % de mthanol et on procde de mme chaque itration. Le processus a t arrt aprs 5 expriences. Un rendement de 89,4 % a t obtenu pour un pourcentage en mthanol de 83,7. Lintervalle entre les deux derniers essais est proche de lerreur exprimentale.

Figure 4 - Optimisation de la purification de la glycine par la mthode du nombre dor Essais effectus lintrieur de lintervalle Intervalle dtude 50 - 100 69,1 - 100 69,1 - 88,2 76,4 - 88,2 MeOH (%) 69,1 80,9 76,4 80,9 Rendement (%) 85,3 88,5 87,2 88,5 MeOH (%) 80,9 88,2 80,9 83,7 Rendement (%) 88,5 88,4 88,5 89,4 Zone limine 50 - 69,1 88,2 - 100 69,1 - 76,4

En gras : expriences effectuesTableau 3 - volution de la purification de la glycine par la mthode du nombre dor

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La mthode du nombre dor est trs efficace lorsquil est possible de faire voluer la variable de faon continue (ceci est le cas pour une concentration, une temprature, etc.). Par contre, lorsque la variable ne peut prendre que des valeurs discrtes, la technique de Fibonacci est mieux adapte. 1.3 Mthode de Fibonacci Le lecteur pourra galement se reporter aux rfrences [1] [4] [10] [21] [22].

Principe de la mthode La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont chaque terme est gal la somme des deux termes prcdents et dont les deux premiers lments sont 0 et 1. Un = Un1 + Un2 les nombres de la suite sont donc : 0 - 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144 233 - 377 - 610 - 987 - 1 597... On remarque que le rapport entre deux nombres successifs de la suite tend trs rapidement vers 0,618, donc vers le nombre dor :

La mthode est, dans son principe, identique celle du nombre dor. Lintervalle de recherche est assimil un nombre de la suite Un, les deux premires expriences seront faites en Un1 et Un2. Suivant les rsultats obtenus lun des deux intervalles [0 ; Un2], ou [Un1 ; Un] est limin ; mais dans tous les cas, lintervalle restant correspond au nombre Un1, et lun des essais de litration est utilis litration suivante. Exemple prenons 34 comme nombre de Fibonacci auquel on associe lintervalle dtude. Les valeurs de la variable pour les deux premires expriences sont 21 et 13, cest--dire les deux nombres prcdant 34 dans la suite :

supposons que la plus mauvaise rponse soit obtenue quand la variable a la valeur 21, lintervalle dtude devient alors [0 ; 21], le nombre de Fibonacci associ est 21 et les valeurs de la variable sont 8 et 13 (dj utilis) pour les deux expriences cette itration, supposons maintenant que la plus mauvaise rponse soit obtenue quand la variable a la valeur 13, lintervalle dtude devient alors [13 ; 34], le nombre de Fibonacci associ est 21 et les deux nombres prcdant 21 dans la suite sont 8 et 13. La variable prend alors la valeur 13 + 8 soit 21 (exprience dj ralise) et 13 + 13 soit 26 (exprience faire).

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Lintrt de cette mthode est de connatre, a priori, le nombre dexpriences raliser. Il est donc ncessaire de bien choisir le nombre de la suite servant reprsenter lintervalle dtude.

Dtermination de Un Exemple supposons que lon cherche dterminer la valeur de la variable x dans lintervalle [100 ; 1 000] fournissant loptimum de la fonction reprsente dans la figure 5. Le domaine dtude est de 900. Le problme est de savoir quel nombre de la suite on va associer ce domaine. Suivant les cas, deux possibilits soffrent lexprimentateur. 1re possibilit : on choisit pour Un le nombre de la suite de Fibonacci le plus proche de la valeur du domaine dtude. Ici on trouve 987 ce qui implique de faire 14 essais. On prendra donc en ralit comme domaine dtude lintervalle [100 ; 1 087]. Les deux premiers essais seront donc effectus 710 (correspondant 100 + 670) et 477 (correspondant 100 + 377). Lvolution est donne dans le tableau 4. Dans les 1re et 2e colonnes, on a le nombre de Fibonacci et lintervalle dtude lui correspondant ; les trois colonnes suivantes se rapportent au 1er essai de lintervalle et les trois colonnes suivantes au 2e essai de lintervalle. On peut constater que les derniers essais impliquent une grande prcision sur la rponse et sur la matrise de la valeur de la variable. 2e possibilit : on dtermine la prcision avec laquelle on peut matriser la valeur de la variable. Supposons que cette valeur soit dans notre cas de 20. On associera 1 unit Fibonacci 20 units relles ; Le nombre de Fibonacci, Un, correspondant notre intervalle sera 55, cest--dire le nombre de la suite le plus proche de 45 (= 900/20) ; ce qui impliquera de faire 8 essais. Lintervalle dtude de la variable sera [100 ; 1 200] (1 200 = 100 + 20 55). Lvolution est donne dans le tableau 5. On saperoit que lon sapproche suffisamment de loptimum en un nombre limit dessais ; les derniers essais tant tous distants entre eux dune valeur gale celle de la prcision impose par lexprience.

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Nombre de Fibonacci Un 987 610 377 233 144 89 55 34 21 13 8 5 3

Terme Un2 Terme Un1 Intervalle corres-pondant Fibonacci Essai Rponse Fibonacci Essai Rponse 100 - 1 087 100 - 710 100 - 477 244 - 477 333 - 477 333 - 422 367 - 422 388 - 422 388 - 409 388 - 401 393 - 401 393 - 398 393 - 396 377 233 144 89 55 34 21 13 8 5 3 2 1 477 333 244 333 388 367 388 401 396 393 396 395 394 16 280 16 568 14 672 16 568 16 947 16 874 16 947 16 948 610 377 233 144 89 55 34 21 710 477 333 388 422 388 401 409 401 396 398 396 395 7 030 16 280 16 568 16 947 16 879 16 947 16 948 16 932 16 948 16 952,4 16 951,6 16 952,4 16 952,5

16 952,4 13 16 952,1 8 16 952,4 5 16 952,5 3 10 952,4 2

Tableau 4 - volution des nombres de Fibonacci et des rponses f (x) selon la premire mthode

Nombre de Fibonacci Un 55 34 21 13 8 5 3

Intervalle correspondant 100 - 1 200 100 - 780 100 - 520 260 - 520 360 - 520 360 - 460 360 - 420

Terme Un 2 Fibon Essai acci 21 13 8 5 3 2 1 Rponse

Terme Un 1 Fibon Essai acci 34 21 13 8 5 3 2 Rponse

520 (100 + 15 390 21 20) 360 (100 + 16 830 13 20) 260 (100 + 15 130 8 20) 360 420 16 860 16 890

780 (100 + 2 130 21 20) 520 360 15 390 16 860

420 (260 + 16 890 8 20) 460 (360 + 16 530 5 20) 420 400 16 890 16 950

400 (360 + 16 950 2 20) 380 (360 + 16 930 1 20)

Tableau 5 - volution des nombres de Fibonacci et des rponses f (x) selon la deuxime possibilit

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Figure 5 - Exemple de dtermination de Un : recherche de la valeur de x optimisant f (x) Exemple dapplication Exemple Dtermination de la longueur optimale dune chane hydrocarbone [23] Lactivit biologique des esters de la testostrone dpend de la longueur de la chane correspondant lacide. Les auteurs ont voulu obtenir lester dont lactivit est maximale. Ils ont pens que le domaine dintrt tait compris entre C0 et C20. La variable est donc discontinue et la mthode de Fibonacci, bien approprie. Le nombre 21 est associ lintervalle dtude, les deux nombres prcdant 21 dans la suite sont : 13 et 8 ; les esters en C13 et C8 sont synthtiss puis analyss et donnent respectivement 192 % et 420 % dactivit. Lessai en C13 donnant le plus mauvais rsultat, le domaine C13 C21 peut alors tre limin. On procde de la mme faon chaque itration comme on peut le voir dans le tableau 6 et sur la figure 6, o est reprsente la suite des expriences. Comme dans la mthode du nombre dor, un seul essai est effectu chaque itration.

Figure 6 - Optimisation de lactivit de la testostrone par la mthode de Fibonacci

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Intervalle dtude C0 - C21 (21) C0 - C13 (13) C5 - C13 (8) C5 - C10 (5) C7 - C10 (3)

Nombres de Fibonacci 13 et 8 8 et 5 5 et 3 3 et 2 2 et 1

Essai C13 C8 C10 C8 C9

Rponse (%) 192 420 227 420 267

Essai C8 C5 C8 C7 C8

Rponse (%) 420 220 420 380 420

Zone limine C13 - C21 C0 - C5 C10 - C13 C5 - C7 C9 - C10

En gras : les 6 expriences effectuesTableau 6 - volution selon la mthode de Fibonacci (figure )

Conclusion : lintrt des mthodes dcrites dans les paragraphes 1.1 , 1.2 , 1.3 rside dans le fait que les essais ne sont pas uniformment rpartis dans le domaine dtude, mais concentrs dans la zone optimale. Dans ce dernier exemple, sur les six essais, quatre sont effectus dans la zone optimale (en C7, C8, C9 et C10) ce qui permet de connatre au mieux lenvironnement de loptimum C8.

Figure 7 - Mthode de Friedman et Savage pour deux variables 1.4 Remarques sur les mthodes univariables On doit savoir que, dans ces mthodes, toute erreur provoquant linversion du rsultat lors de la comparaison de deux rponses, entrane llimination de la zone qui, au contraire, aurait d tre conserve. La dtermination de loptimum est alors errone. Dans le cas o lon sattend une erreur exprimentale importante, il est prfrable dutiliser un autre type de mthode directe (Uniplex) que lon dcrira dans la deuxime partie (Mthodes directes doptimisationMthodes drives de la mthode Simplex , 6). La mthode du nombre dor et celle de Fibonacci sont des mthodes univariables mais il est possible de les utiliser, dans le cas o lon a plusieurs variables, selon le principe de la mthode de Friedman et Savage [24] qui consiste faire varier un facteur la fois, le fixer sa valeur optimale puis faire progresser les autres. Bien que ralisable, ce procd nest pas trs efficace et peut se bloquer sur une des artes de la fonction de rponse comme le montre la figure 7 o le point I peut tre considr comme correspondant loptimum de fonctionnement.12

Lorsque la variable X2 est fixe la valeur X2,A, loptimum de fonctionnement est obtenu pour la valeur X1,C de la variable X1. La valeur de la variable X1 est alors fixe la valeur X1,C et loptimum de fonctionnement est alors obtenu quand la variable X2 prend la valeur X2,E. Le procd est alors poursuivi jusquau point I o aucune amlioration nest obtenue en imposant les pas de variation choisis aux variables X1 et X2. 2. Mthode directe variables multiples : la mthode Simplex 2.1 Gnralits et principe de la mthode 2.2 Construction du simplex initial 2.3 Exemple de calcul des coordonnes des points du simplex initial 2.4 volution du simplex 2.5 volution en prsence de contraintes 2.1 Gnralits et principe de la mthode

En 1951, Box et Wilson [25] ont dcrit la premire mthode doptimisation empirique des procds chimiques, puis, en 1955, Box propose la technique EVolutionary OPeration (EVOP) [26] qui permet doptimiser des procds chimiques en fonctionnement. Dans cette mthode, les valeurs des variables sont incrmentes selon un plan factoriel deux niveaux (voir figure 8 a) et lon cherche reprer le sens de lvolution vers loptimum et ceci sans mettre en pril le procd lui-mme ; ceci implique que : les valeurs de toutes les variables soient modifies dun essai un autre ; les modifications apportes ces valeurs soient faibles pour ne pas perturber le procd ; le principe de la slection naturelle soit respect pour dplacer le plan dexpriences vers la zone optimale.

Comme on peut le voir sur la figure 8, les essais sont effectus aux points (1 10) reprsents par les sommets dun cube dans un espace trois dimensions. Les expriences sont ralises dans lordre de la numrotation et rptes de faon dgager une tendance. Dans le cas de la figure 8 a, les expriences 7, 1 et 9 tant les plus mauvaises, on effectue les essais suivants, 11 18, autour de la manipulation 6 (figure 8 b). Le cube se dplace de proche en proche vers loptimum.

Cette technique efficace, mais relativement coteuse en exprimentations a t simplifie en 1962 par W. Spendley, G.R. Hext et F.R. Himsworth [27]. Leur mthode volutive appele mthode Simplex , dont le but initial tait de rechercher des optimums de fonctions non linaires, est maintenant largement utilise dans tous les domaines de la chimie et, en particulier, en chimie analytique [28].

Nous allons expliciter le principe de cette mthode sur un systme deux variables, la gnralisation k variables tant indique par la suite. Prenons lexemple suivant : une rponse, y, dpendant de deux variables, x1 et x2. La surface de rponse correspondant cette fonction est reprsente sur la figure 9 au moyen de courbes disorponses, videmment inconnues de lexprimentateur.13

Figure 8 - Optimisation par la mthode EVOP

Figure 9 - Principe de la mthode Simplex

Le but de la mthode est, rappelons-le, de rechercher la zone optimale, cest--dire de cerner au mieux la position du point M de coordonnes x 1 max et x 2 max. Le principe de la mthode Simplex est le suivant : en plus de lexprience du point de base, on effectue k expriences (k tant le nombre de variables) de faon former une figure rgulire, k + 1 sommets, appele simplex. Dans notre cas, le simplex initial est constitu des points 0, 1 et 2 (figure 9). Les expriences tant effectues, on compare les rponses en ces points (approximativement 37 ; 44 et 47) et on dtermine le plus mauvais point ; dans notre cas, il sagit du point 0 (y 37). Le principe de la mthode est de sloigner de ce plus mauvais point. Pour ce faire, une nouvelle exprience est ralise en un point situ loppos de ce plus mauvais point. Dans notre cas, le deuxime simplex est constitu des points 1, 2 et 3 (avec les rponses respectives de 44 ; 47 et 50), dans lequel le point 1, qui correspond la plus mauvaise rponse, est limin et remplac par le point 4 (y 62). La mme volution est alors ralise partir du nouveau simplex et les itrations sont poursuivies jusqu loptimum.

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Figure 10 - Construction du simplex initial selon Spendley et al

Nous allons donner successivement les diffrentes rgles de construction et dvolution de la mthode. 2.2 Construction du simplex initial Le simplex initial est donc une figure rgulire k + 1 sommets dans un espace k dimensions, ce qui correspond soit un triangle quilatral (3 sommets dans un espace 2 dimensions), soit un ttradre (4 sommets dans un espace 3 dimensions), soit un hyperttradre (nombre de sommets suprieur 4, dans un espace plus de 3 dimensions). Pour que la notion de figure rgulire ait un sens, il est ncessaire de travailler avec des variables adimensionnelles. On utilisera des variables rduites, sans dimension.15

Simplex initial selon Spendley et al. Dans la publication de Spendley et al., le simplex de dpart est orient selon les schmas de la figure 10. Le point initial, A, est plac au centre du repre ; le centre du simplex est situ sur la premire bissectrice afin de ne privilgier aucune direction. Dans un espace deux dimensions, pour obtenir un triangle quilatral de ct gal lunit, les coordonnes des sommets sont donnes dans la matrice suivante :

En gnralisant k dimensions, pour obtenir un ttradre (ou des hyperttradres), on a la matrice reprsente dans le tableau 7. Essai Xi, 1 Xi, 2 Xi, 3 Xi, 4 Xi, 5 Xi, 6 ... Xi, k 0 1 2 3 4 5 6 ... k 0 p q q q q q ... q 0 q p q q q q ... q 0 q q p q q q ... q 0 q q q p q q ... q 0 q q q q p q ... q 0 q q q q q p ... q ... 0 ... q ... q ... q ... q ... q ... q ... ... ... p

Tableau 7 - Matrice du simplex initial, exprime en coordonnes rduites dans un espace k dimensions

Les valeurs des coefficients q et p, lies au nombre de variables, k, sont donnes par les relations :

pour deux variables, on retrouve : p = 0,9659 et q = 0,2588.

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Cette manire de construire le simplex est la plus utilise mais il existe dautres possibilits quant lorientation du simplex qui peut tre faite selon une autre bissectrice [21], les diffrentes matrices en valeurs rduites, pour deux variables, sont donnes dans le tableau 8. Essai i Xi, 1 Xi, 2 Xi, 1 Xi, 2 Xi, 1 Xi, 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 q p p q q p p q p q p q

Tableau 8 - Autres orientations possibles pour le simplex initial deux variables

La dtermination des coordonnes relles des points du simplex se fait grce la relation suivante : xi, j = x0, j + Xi, j xj :

k : est le nombre de variables i : varie de 0 k et correspond au point du simplex j : varie de 1 k et correspond la variable x0, j : est la coordonne relle, pour la variable j, du point au centre du repre xj : reprsente le pas de variation choisi pour la variable j, ou encore la valeur relle correspondant une unit rduite pour la variable j Xi, j : est la coordonne rduite, pour la variable j, du point i.

La valeur des pas de variation, xj, est lie aux connaissances de lexprimentateur. Ces pas doivent tre suffisamment grands pour que le simplex puisse voluer, mais pas trop grands pour quil ne dpasse pas trop vite le maximum. Dautre part, les pas sur chaque variable doivent tre choisis, thoriquement, pour que leurs effets sur la rponse soient peu prs quivalents.

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Figure 11 - Construction du simplex initial selon Czech

Dautres mthodologies consistent crer un simplex k + 1 variables partir du simplex tabli pour k variables.

Simplex initial selon Czech [29] Le simplex une variable est constitu par les extrmits, A et B sur la figure 11, dun segment de droite dune longueur correspondant une unit rduite. partir de ces deux sommets, le simplex deux variables est construit en ajoutant un point plac de telle sorte que les trois points forment un triangle quilatral de ct 1 ; ce nouveau sommet aura donc 0,5 et comme coordonnes rduites.

partir de ce simplex, pour construire le ttradre dans un espace trois dimensions, le point suivant doit tre plac sur la perpendiculaire leve partir du centre de gravit du triangle quilatral (voir figure 11).

18

Essai i Xi, 1 Xi, 2 0 1 2 3 4 5 6 0 1 0 0

Xi, 3 0 0

Xi, 4 0 0 0

Xi, 5 0 0 0 0

Xi, 6 0 0 0 0 0

0,5 0,866 0

0,5 0,289 0,817 0

0,5 0,289 0,204 0,791 0

0,5 0,289 0,204 0,158 0,775 0 0,5 0,289 0,204 0,158 0,129 0,764

Tableau 9 - Matrice de construction du simplex selon Czech

La matrice de construction des diffrents simplex est reprsente dans le tableau 9. Elle se prsente sous la forme gnrale donne dans le tableau 10. Les valeurs des termes diagonaux, pn, et non diagonaux, qn, sont obtenues partir des relations suivantes :

Les simplex ainsi construits deux et trois variables sont reprsents dans la figure 11. Essai i Xi, 1 Xi, 2 Xi, 3 Xi, 4 ... Xi, k 0 1 2 3 4 ... k 0 p1 q1 q1 q1 ... q1 0 0 p2 q2 q2 ... q2 0 0 0 p3 q3 ... q3 0 0 0 0 p4 ... q4 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... pk

Tableau 10 - Expression gnrale de la matrice du simplex initial selon Czech

19

Figure 12 - Construction du simplex initial selon Lowe

Simplex initial selon Lowe [30] Le principe est analogue celui du cas prcdent : le simplex initial, deux variables, est situ dans le plan (0, X1, X2). Pour construire le simplex trois variables, le quatrime sommet est plac sur la perpendiculaire leve partir du milieu de la hauteur du triangle prcdent. On a ainsi la matrice de construction du simplex donne dans le tableau 11. La figure 12 reprsente les simplex, ainsi construits, deux et a trois variables. Essai i Xi, 1 Xi, 2 Xi, 3 A B C 0 p1 0 0 p2 0 0 0

20

D

p3

Tableau 11 - Expression gnrale de la matrice du simplex initial selon Lowe

Figure 13 - Construction du simplex initial selon Phan Tan Luu

21

Figure 14 - Construction dun simplex partir dun plan fractionnaire

Simplex initial selon Phan Tan Luu [31] Le simplex initial est centr sur le point de base, on a alors les simplex ABC ( deux variables) et ABCD ( trois variables) de la figure 13 ; le centre de gravit du simplex est plac au centre du repre. Les coordonnes des points sont donnes dans le tableau 12. La gnralisation k variables est indique dans le tableau 13. Essai i Xi, 1 A B C D Xi, 2 Xi, 3

0,5 0,289 0,204 0,5 0 0 0,289 0,204 0,577 0 0,204 0,632

Tableau 12 Matrice de construction du simplex selon Phan Tan Luu

Essai i Xi, 1 Xi, 2 Xi, 3 Xi, 4 ... Xi, k 0 1 2 q1 p1 0 q2 q2 p2 q3 q3 q3 q4 q4 q4 ... qk ... qk ... qk

22

3 4 ... k

0 0 ... 0

0 0 ... 0

p3 0 ... 0

q4 p4 ... 0

... qk ... qk ... ... ... pk

Tableau 13 Expression gnrale de la matrice du simplex initial selon Phan Tan Luu

Les valeurs des termes diagonaux, pn et non diagonaux, qn, sont obtenues partir des relations suivantes :

avec n variant de 1 k.

Simplex initial construit partir dun plan fractionnaire

Dans le cas dun simplex trois variables, (ttradre quatre sommets), les points peuvent tre issus dun plan fractionnaire 23-1, correspondant quatre essais. La figure obtenue (figure 14) est un ttradre rgulier puisque chaque arte est la diagonale dun carr du cube. Les coordonnes des points A, B, C et D sont donnes dans le tableau 14. Essai i Xi, 1 Xi, 2 Xi, 3 A B C D 1 1 +1 +1 +1 +1 1 +1 1 +1 1 1

Tableau 14 Matrice de construction dun simplex trois dimensions partir dun plan fractionnaire

Simplex initial quelconque Enfin, la figure initiale peut aussi tre un triangle quelconque, ceci est utile lorsque la nature des variables est semi-continue [32] [33].

2.3 Exemple de calcul des coordonnes des points du simplex initial Considrons lexemple suivant : on dsire optimiser les paramtres PID (Proportionnel Intgrale Drive) dun rgulateur chaud/froid *34+. Cinq variables ont t retenues, il sagit de :

la bande proportionnelle du canal chaud, XPC, exprime en % ; la bande proportionnelle du canal froid, XPF, exprime en % ; 23

le temps intgral, TI, exprim en secondes ; le temps driv, TD, exprim en secondes ; le recouvrement des deux canaux, R, exprim en %. La fonction de rponse, FR, est la somme pondre de plusieurs rponses (figure 15) : avec :

Si : surface de loscillation autour de la valeur de consigne Tosc : dure des oscillations Ei : dviation par rapport la valeur de consigne a et b : coefficients empiriques.

Lexprience de base est faite au point dont les coordonnes sont les suivantes : XPC = 15 % ; XPF = 6 % ; TI = 570 s ; TD = 10 s ; R = 5 % Les pas de variations choisis sont respectivement : XPC = 5 % ; XPF = 5 % ; TI = 50 s ; TD = 20 s ; R = 20 % Simplex initial selon Spendley et al. Le nombre de variables, k, tant gal 5, on obtient pour p et q les valeurs suivantes :

On trouve ainsi : x1,1 = x0,1 + X1,1 x1 XPC1 = 15 + 0,912 5 = 19,56 20 On procde de la mme faon pour dterminer les valeurs de toutes les coordonnes. Les coordonnes des points du premier simplex sont rassembles dans le tableau 15.

Figure 15 - Fonction de rponse FR Essai X1 0 1 2 0,0 X2 0,0 X3 0,0 X4 0,0 X5 0,0 XPC XPF 15 6,0 7,0 TI TD R

570 10 5 580 14 9

0,912 0,205 0,205 0,205 0,205 20 0,205 0,912 0,205 0,205 0,205 16

10,6 580 14 9

24

3 4 5

0,205 0,205 0,912 0,205 0,205 16 0,205 0,205 0,205 0,912 0,205 16 0,205 0,205 0,205 0,205 0,912 16

7,0 7,0 7,0

616 14 9 580 28 9 580 14 23

Tableau 15 Matrices en variables rduites et relles du simplex selon Spendley et al.

Simplex initial selon Czech Pour calculer les valeurs de p et de q avec n variant ici de 1 5, on utilise les relations dj cites :

n=1

do p = 1

et n=2

do q1 = 0,5 do p2 = 0,866

et n=3

do q2 = 0,289 do p3 = 0,816

et n=4

do q3 = 0,204 do p4 = 0,790

et n=5

do q4 = 0,158 do p5 = 0,775

partir des coordonnes rduites ainsi calcules, on dtermine la valeur des coordonnes relles comme prcdemment. Les coordonnes des sommets du premier simplex sont rassembles dans le tableau 16. Essai X1 0 X2 X3 0,0 X4 0,0 X5 0,0 XPC 15 XPF 6,0 TI TD R

0,0 0,0

570 10 5

25

1 2 3 4 5

1

0,0

0,0

0,0 0,0

0,0 0,0 0,0

20

6,0

570 10 5

0,5 0,866 0,0

17,5 10,3 570 10 5 17,5 7,4 17,5 7,4 611 10 5 580 26 5 580 13 20

0,5 0,289 0,816 0,0

0,5 0,289 0,204 0,790 0,0

0,5 0,289 0,204 0,158 0,775 17,5 7,4

Tableau 16 Matrices en variables rduites et relles du simplex selon Czech

Simplex initial selon Lowe partir du pas de variation, on a directement les valeurs des pi et on en dduit les coordonnes des sommets du simplex qui sont rassembles dans le tableau 17. Essai X1 0 1 2 3 4 5 X2 X3 X4 X5 XPC XPF TI TD R

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 15 1 0,0 0,0 0,0 0,0 20

6,0 570 10 5 6,0 570 10 5 570 10 5

0,5 1

0,0 0,0 0,0 17,5 11

0,5 0,5 1

0,0 0,0 17,5 8,5 620 10 5 0,0 17,5 8,5 595 30 5 17,5 8,5 595 20 25

0,5 0,5 0,5 1

0,5 0,5 0,5 0,5 1

Tableau 17 Matrices en variables rduites et relles du simplex selon Lowe

Simplex initial selon Phan Tan Luu Les valeurs des termes diagonaux, pn, et non diagonaux, qn, sont obtenues partir des relations dj cites :

n=1

do p1 = 0,5 et

do q1 = 0,5

n=2

do p2 = 0,577 et

do q2 = 0,289 26

n=3

do p3 = 0,612 et

do q3 = 0,204

n=4

do p4 = 0,632 et

do q4 = 0,158

n=5

do p5 = 0,645 et

do q5 = 0,129

partir des coordonnes rduites ainsi calcules, on dtermine les valeurs des coordonnes des sommets du simplex initial ; elles sont rassembles dans le tableau 18. Essai X1 0 1 2 3 4 5 X2 X3 X4 X5 XPC XPF TI TD R 2 2 2 2

0,5 0,289 0,204 0,158 0,129 12,5 4,6 560 7 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,289 0,204 0,158 0,129 17,5 4,6 560 7 0,577 0,0 0,0 0,0 0,204 0,158 0,129 15 0,612 0,0 0,0 0,158 0,129 15 0,632 0,0 0,129 15 0,645 15 8,9 560 7 6 6 6 601 7

570 23 2 570 10 18

Tableau 18 Matrices en variables rduites et relles du simplex selon Phan Tan Luu

Conclusion : on constate quavec les matrices de construction de Czech et Lowe, il est ais dajouter une dimension au simplex initial ce qui nest pas le cas avec la matrice de construction de Spendley et al. 2.4 volution du simplex Le lecteur pourra galement se reporter aux rfrences [27] [35].

Rgle 1 : Calcul des coordonnes du nouveau point

Une fois le simplex construit, les expriences sont ralises et les essais tris en fonction de leur rponse. On dnomme :

B, le meilleur essai (the Best) ; W, le plus mauvais essai (the Worst) ; N, le second plus mauvais (Next to the Worst).

27

On a vu quun nouveau simplex doit tre etabli aprs limination du plus mauvais point du simplex prcdent. La manire la plus simple de raliser un essai dans la direction oppose au plus mauvais point est de dterminer les coordonnes du point R (Reflex), symtrique du plus mauvais point par rapport au centre de gravit des points restants (figure 16). Les valeurs des coordonnes du point R sont obtenues partir de la relation : XR, j = XG, j + (XG, j XW, j) G dsignant le centre de gravit :

j dsigne la variable et, ici, varie de 1 2 (k = 2). Le mme calcul peut tre fait directement en coordonnes relles.

Figure 16 - Dtermination des coordonnes du symtrique du plus mauvais point

28

Figure 17 - Rgle 2 : cas o le nouveau point est son tour le plus mauvais

Rgle 2 : Cas o le nouveau point est son tour le plus mauvais

29

Lorsque le symtrique du plus mauvais point dans un simplex est, son tour, le plus mauvais point dans le nouveau simplex, la procdure se trouve bloque, lutilisation de la rgle dvolution conduirait, dans lexemple donn dans la figure 17 a, osciller perptuellement de 0 en 3 et de 3 en 0.

Figure 18 - Rgle 3 : cas o le simplex tourne autour dun faux optimum

Dans ce cas, pour litration suivante, on prend le symtrique du second plus mauvais point (N) dans le meilleur des deux simplex. En effet si Y3 > Y0, on prend le symtrique, 4, du point 1 dans le simplex constitu des points 1, 2 et 3 (figure 17 a). Si, au contraire Y0 > Y3, on prend le symtrique, point 1 dans le simplex constitu des points 0, 1 et 2 (figure 17 a). , du

Cette situation peut se produire dans les cas suivants : Lun des cts du simplex est confondu avec la ligne de plus grande pente de la fonction de rponse, comme on le constate sur la figure 17 a. Une erreur exprimentale a provoqu une inversion dans le classement des essais (figure 17 b). Dans le simplex 1, cest en ralit le point 1 qui est le plus mauvais et non le point 2. En prenant le symtrique du point 2, on se dirige dans la mauvaise direction. La rponse en 4 tant infrieure la rponse en 2, le point 4 est ignor et lvolution poursuivie en prenant le symtrique du point considr comme le 2e plus mauvais dans le simplex 1. La zone optimale est atteinte et le simplex entoure cette zone, auquel cas le symtrique dun point est toujours plus mauvais que le point quil est cens remplacer (figure 17 c). 30

Rgle 3 : limination dun point surestim

Dans la publication originale, Spendley et ses collaborateurs ont prvu le cas o le simplex tourne autour dun point artificiellement bon, en raison dune erreur exprimentale alatoire, et probablement importante, comme cest le cas dans la figure 18 a. En effet, dans le simplex 1, le meilleur point a t grossirement surestim puisquil est nouveau considr comme le meilleur dans le simplex suivant. Pour pallier ce risque derreur, si un point est considr comme le meilleur dans k + 1 simplex successifs, il est ncessaire de le vrifier par une seconde mesure. Si la rponse est confirme, lvolution normale est poursuivie, si au contraire, la rponse est en ralit plus faible, il est alors limin et la procdure normale est poursuivie, comme dans le cas de la figure 18 b.

Critres darrt

Spendley et ses collaborateurs ont conseill, lorsque lon approche de loptimum :

soit de rduire la taille du simplex pour localiser le maximum avec plus de prcision ; soit dutiliser les points du simplex comme un plan dexpriences et, en ajoutant quelques points, de dterminer un modle quadratique qui fournit le maximum par calcul (voir par exemple les plans de Box et Behnken [36]).

Mais la procdure la plus courante, lorsque lon a affaire un systme exprimental, est darrter les itrations quand la diffrence entre les rponses de tous les points du simplex est infrieure une certaine valeur impose par lexprimentateur. De nombreux exemples dutilisation de la mthode simplex initiale ont t dcrits dans la littrature. En raison de son succs, cette mthode a subi quelques amliorations et notamment la possibilit de lutiliser en prsence de contraintes.

2.5 volution en prsence de contraintes Il existe plusieurs types de contraintes : celles qui vont concerner les variables et celles qui concernent dautres rponses. Le domaine de variation des variables nest pas infini et est souvent born :

une concentration, une quantit, un dbit ne peuvent prendre de valeurs ngatives ; un pH en milieu aqueux ne peut prendre de valeurs suprieures 14 ; une temprature est limite par les tempratures dbullition ou de fusion du solvant ; la quantit dun ractif peut tre limite en fonction de son cot, etc.

La contrainte peut tre une autre fonction de rponse :

la concentration en une impuret produite lors de la raction tudie ; 31

le cot de lopration ; les caractristiques des produits obtenus (proprits mcaniques dun polymre par exemple).

Si la contrainte est dpasse, la rponse est considre comme la plus mauvaise et ainsi on prend le symtrique du second plus mauvais point. Ce type dvolution est reprsent sur la figure 19 et peut se produire :

si la manipulation nest pas ralisable en raison du dpassement dune contrainte physique ; si la manipulation a t ralise mais la valeur de la fonction de contrainte dpasse.

Figure 19 - volution en prsence dune contrainte 3. EXEMPLES DAPPLICATION DE LA MTHODE SIMPLEX 3.1 Optimisation dune sparation multicomposants par chromatographie liquide 3.2 Optimisation dune rponse chromatographique 3.1 Optimisation dune sparation multicomposants par chromatographie liquide Le lecteur pourra galement se reporter la rfrence [37]. Les auteurs cherchent optimiser la sparation des ions Ca2+, Cu2+, Cd2+, Mn2+ et Zn2+. La rponse est Pinf (informing Power), qui est dfinie selon lexpression :

avec : 32

i, j : recouvrement entre le i e et le j e pic n : nombre de substances t : temps dlution.

La phase luante est constitue deau, dacide chlorhydrique et de dimthylsulfoxyde (DMSO). Les variables sont les concentrations, exprimes en gramme par kilogramme de solution, en acide chlorhydrique et en dimthylsulfoxyde. La figure 20 montre la sparation correspondant au point de dpart du simplex pour une phase luante compose de 57 g dacide chlorhydrique, 225 g de dimthylsulfoxyde et 718 g deau. Lvolution du simplex est donne dans le tableau 19 et la figure 21. Dans le neuvime simplex, constitu des points 9 (Pinf = 0,315), 10 (Pinf = 0,327) et 11 (Pinf = 0,300), le nouveau point 11 est son tour le plus mauvais. Lvolution est poursuivie en prenant le symtrique du second plus mauvais point, 9. Dans le simplex suivant, on fait la mme observation et on procde de mme. Simplex Sommets Pinf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1, 2, 3 4, 2, 3 4, 2, 5 4, 6, 5 4, 6, 7 8, 6, 7 8, 6, 9 8, 10, 9 11, 10, 9 1 4 4 4 4 8 8 8 0,027 2 0,220 2 0,220 2 0,220 6 0,220 6 0,312 6 0,312 6 0,102 3 0,102 3 0,102 5 0,235 5 0,235 7 0,235 7 0,235 9 0,098 0,098 0,210 0,210 0,225 0,225 0,315 0,315 0,315

0,312 10 0,327 9

11 0,300 10 0,327 9

11, 10, 12 11 0,300 10 0,327 12 0,295 13, 10, 12 13 0,296 10 0,327 12 0,295

33

12

13, 10, 14 13 0,296 10 0,327 14 0,305Tableau 19 volution du simplex

Figure 20 - Sparation initiale correspondant au point 1 du simplex

Figure 21 - volution du simplex en fonction des deux variables

34

Figure 22 - Sparation au point optimum

35

Figure 23 - volution avec contrainte

Il est noter que dans les six derniers simplex le point 10 est toujours le meilleur. La sparation au point optimum 10 est donne dans la figure 22 a. On peut remarquer que la sparation est beaucoup plus rapide que pour loptimum 4, amlioration dun facteur 7, mais moins efficace puisque les pics correspondant au zinc et au cadmium sont confondus. Les auteurs ont alors impos une contrainte correspondant un seuil maximum pour le recouvrement entre deux pics. Si la valeur de recouvrement est infrieure ce seuil, une trs faible valeur pour Pinf sera arbitrairement affecte ce point. Lvolution du simplex est alors reprsente sur la figure 23. Dans le simplex 3, le symtrique du plus mauvais point, 2, donne le point 6 o la contrainte est dpasse, il est alors considr comme le plus mauvais. Les auteurs ont choisi de revenir au simplex 2 et de prendre le symtrique du second plus mauvais point (2), soit le point 7 . Dans tous ces simplex, le point 4 est le meilleur. Aprs vrification confirmant la valeur de la rponse en 4, ce point est considr comme loptimum et la sparation est reprsente dans la figure 22 b o lon constate un compromis entre une bonne sparation des pics et une diminution de la dure de lanalyse. 3.2 Optimisation dune rponse chromatographique Loptimisation dune CRF, Chromatographic Response Function, est un exemple dapplication courante et facile mettre en uvre de la mthode Simplex [38]. Nous allons dcrire les rsultats obtenus dans notre laboratoire [39]. On dsire sparer quatre alcools par chromatographie en phase gazeuse et la fonction de rponse est laCRF dont on cherche le maximum. Cette rponse a pour expression :

avec : 36

N : nombre de pics

: somme des rsolutions des pics i : variant de 1 N tM : temps maximal danalyse tN : temps de rtention du dernier pic tm : temps minimal danalyse t1 : temps de rtention du premier pic

a, b et x sont des constantes arbitraires : ici, x = 0,5 ; b = 1 ; a = 1,5. Les variables retenues sont la temprature de la colonne et le dbit du gaz vecteur. Le point de base et les pas de variation sont donns dans le tableau 20. Variable j xA, j xj 7,0 C

Temprature 1 199,0 C

Dbit du gaz 2 3,45 cm3 s1 0,5 cm3 s1Tableau 20 Point de base du simplex et pas de variation

Deux types de contraintes sont pris en compte :

la premire contrainte concerne le domaine de la variable temprature de la colonne qui doit tre compris entre 70 et 220 C. La manipulation ne sera pas faite si les coordonnes imposes pour cette variable sont en dehors de ce domaine ; la deuxime contrainte concerne la dure maximale danalyse qui a t fixe 7 minutes. La manipulation sera excute, mais si la dure de lanalyse est suprieure 7 minutes, lessai sera considr comme le plus mauvais.

On prend pour matrice de dpart celle dfinie par Spendley et al. Le calcul des coordonnes relles du premier simplex est le suivant : xB, 1 = 199,0 + 0,965 9 ( 7,0) xB, 1 = 192,2 C xB, 2 = 3,45 + 0,258 8 ( 0,5) xB, 2 = 3,32 cm3 s1 xC, 1 = 199,0 + 0,2588 ( 7,0) xC, 1 = 197,2 C xC, 2 = 3,45 + 0,965 9 ( 0,5) xC, 2 = 2,97 cm3 s1 Le tableau 21 rassemble donnes et rsultats pour le premier simplex.

37

Point Xi, 1 A B C G R 0,00 0,9659 0,2588

Xi, 2 0,0000 0,2588 0,9659

xi, 1 199,0 192,2 197,2

xi, 2 3,45 3,32 2,97

CRF

Code

9,68 W 7,32 B 9,58 N

0,61235 0,61235 194,795 3,145 1,2247 1,2247 190,4 2,84 7,24 R

Tableau 21 Premier simplex et dtermination du symtrique du plus mauvais point

Les analyses HPLC sont alors effectues : le point A ayant pour rponse 9,68 est donc considr comme le plus mauvais point (W). Le calcul des coordonnes du point symtrique, R (Reflex), peut tre fait, comme on la vu : soit encoordonnes rduites :

puis : XR,1 = XG,1 + (XG,1 XW,1) = 0,61235 + (0,61235 0,00) = 1,2247 ce qui donne, en variables relles : xR,1 = xA,1 + XR,1 x1 = 199,0 + 1,2247 ( 7,0) = 190,4 soit directement en coordonnes relles :

puis : xR, 1 = xG,1 + (xG,1 xW,1) = 194,7 + (194,7 199) = 190,4

38

Figure 24 - volution du simplex. Application la sparation dalcools par CPG

On procde de la mme faon pour la variable x2. La valeur de la fonction de rponse en ce point R (CRFR = 7,24) est suprieure celle du plus mauvais point (CRFW = 9,68). Ce point est donc conserv et devient le point D. Dans ce nouveau simplex, constitu des points B, C et D, la plus mauvaise rponse est celle du point B. On calcule alors les coordonnes de son symtrique et on procde de la mme faon chaque itration. Lvolution du simplex est reprsente sur la figure 24 et le tableau 22. On constate que la progression seffectue en respectant la rgle 1 (voir 2.4) jusquau simplex no 9, constitu des points J (CRFJ = 2,98), H (CRFH = 3,42) et K (CRFK = 3,48) ; dans ce simplex le symtrique de K redonnerait le point I prcdemment limin, on applique la rgle 2 en liminant le point H. La rgle 2 est nouveau applique au simplex no 17, constitu des points R, S et Q. 39

Dans le simplex no 22, le symtrique du plus mauvais point, W, conduit un point qui a d tre limin car la contrainte de temps tait dpasse. On construit alors le nouveau simplex avec le symtrique du second plus mauvais point, V. On a arrt la progression au simplex 23 car, dune part, le symtrique de W est nouveau limin, la contrainte de temps tant dpasse et, dautre part, le symtrique du second plus mauvais point, Y, donne le point V, dj obtenu. On a donc considr le point X comme reprsentant loptimum. En 25 essais, on est pass dune fonction de rponse chromatographique de 9,7 + 12,2. Un autre exemple dapplication, extrmement intressant car les variables sont ici discontinues, est loptimisation de lactivit biologique des acides phnoxyactiques [33] ; les variables sont les valeurs des constantes de Hammett et de Hansch des substituants des acides. Dans ce cas, le simplex, toujours un triangle, perd sa forme rgulire et se dforme plus ou moins au cours de son volution mais la mthode nen est pas moins efficace. Simplex Sommets CRF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A, B, C D, B, C D, E, C D, E, F G, E, F G, H, F G, H, I J, H, I J, H, K J, L, K J, L, M N, L, M N, L, O A 9,68 B D 7,24 B D 7,24 E D 7,24 E G 3,56 E 9,58 C 7,32 9,58 C 7,32 6,52 C 7,32 6,52 F 6,52 F 3,63 3,63 3,63 3,53 3,53

G 3,56 H 3,42 F G 3,56 H 3,42 I J 2,98 H 3,42 I

J 2,98 H 3,42 K 3,48 J J 2,98 L 2,98 L 1,96 K 3,48

1,96 M 2,23 1,96 M 2,23 1,96 O 1,55

N 1,48 L N 1,48 L

40

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

N, P, O N, P, Q R, P, Q R, S, Q R, S, T R, U, T V, U, T V, W, T V, W, X Y, W, X

N 1,48 P N 1,48 P R 0,33 R 0,33 R 0,33 R 0,33 V 8,22 V 8,22 V 8,22 P S S

0,66 O 1,55 0,66 Q 0,11 0,66 Q 0,11 0,67 Q 0,11 0,67 T T T T X 5,05 5,05 5,05 5,05 12,21

U 2,77 U 2,77 W 7,27 W 7,27

Y 10,05 W 7,27

X 12,21

Tableau 22 volution du simplex pour la sparation dun mlange dalcools par CPG

4. PRINCIPALES CARACTRISTIQUES DE LA MTHODE SIMPLEX partir des rgles dutilisation de la mthode et de ces exemples dapplication, les caractristiques principales suivantes peuvent tre dgages.

Variables

Il existe deux aspects principaux relatifs la nature et au nombre des variables : Comme on la vu, les variables peuvent tre continues ou discontinues mais doivent pouvoir prendre plusieurs valeurs. Ceci exclut donc toute variable binaire, cest--dire celles qui possdent seulement deux tats. Le domaine de variation des variables est, a priori, illimit mais peut tre soumis des contraintes qui dpendent du phnomne tudi. Laugmentation du nombre de variables entrane seulement une augmentation linaire du nombre dexpriences, k + 1, pour tablir le simplex initial. Le nombre ncessaire dessais pour obtenir loptimum nest, ensuite, pas li de faon directe au nombre de variables. Il est bien vident quil est plus sage de limiter le nombre de variables. Nanmoins, il est rassurant de savoir quune variable non-influente ne perturbe en rien la marche du simplex. Par contre, il nest pas possible de mettre en vidence le fait quelle ninfluence pas la progression du simplex car sa valeur volue comme celle de variables influentes.

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Il est ais dajouter une variable au cours de lexploitation du simplex ; il suffit, pour cela, de construire un nouveau simplex en prenant comme point de base loptimum dj obtenu, avec une dimension supplmentaire.

Rponses

Il existe, l encore, deux aspects principaux en rapport avec la nature et le nombre des rponses. Comme on la vu, la seule exigence de la mthode est dtre capable destimer le plus mauvais point et ceci entrane deux consquences principales : dune part, il est possible de travailler avec une rponse qualitative qui peut tre un critre subjectif de qualit ou desthtique et, dautre part, la mthode tolre des erreurs alatoires sur la rponse et, donc, ne ncessite pas une grande prcision ce qui est souvent le cas dans le domaine exprimental. La mthode ne peut tolrer plusieurs rponses simultanes car le simplex progresserait probablement dans des directions diffrentes. Par contre, il est possible dtablir une rponse unique en utilisant une relation pondre de diverses fonctions de rponse.

Mthodologie

La mthode envisage aussi le cas o il y a une erreur, mme grossire, sur lestimation du meilleur point puisque, lorsquun point est conserv dans k + 1 simplex, il est rpt. La mthode prvoit donc de sautocontrler. Ce principe de droit lerreur confre la mthode une grande souplesse dutilisation qui lui permet de se diriger obligatoirement vers loptimum, mais avec plus ou moins de rapidit, tout particulirement dans le cas de manipulations dlicates dont les rsultats sont susceptibles dtre entachs derreurs importantes. La mthode est volutive, elle peut ainsi suivre un optimum qui volue avec le temps, en raison, par exemple, de la drive dun appareillage ou de la qualit dune matire premire. De mme que pour les variables, on peut, comme on la vu dans le troisime exemple, imposer une contrainte la rponse ou encore une fonction de contrainte. Enfin, il est possible de changer de critre de rponse au cours de loptimisation : par exemple, on peut commencer loptimisation avec un premier critre de rendement puis continuer avec un critre de puret, le rendement optimal servant alors de fonction de contrainte.

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