Methodes Mathematiques Pour Ingenieur

8/12/2019 Methodes Mathematiques Pour Ingenieur

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Mthodes Mathmatiques pour lIngnieur_ CPEI

Par ZINSALO Jol M./ EPAC UAC Page 255

= (2 ) = 2 12 = 2 12 2 + 12 =

24

15

12

32

13

=9

10 .

Cas :Il peut arriver que soient continues sur lintervalle [ , ] et D se prsente

comme suit

= {( , )

( )

( )

}

Alors on utilise le thorme de Fubini :

( , ) = ( , ) , ( , ) .

E x er c i c e d a p p l i c a t i o n

Soit = {

( , )

/

1 ,

1 +

3}

Calculer

=1

( + )

On a donc : = { ( , ) 1 3 1 2}

O 1 2 3

1

2

3


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Exerc i ce

= {( , ) 0; 0 + 1} Calculer=

( , ) avec

( , ) = +

On a : 0 1 0 + 1 ; 0 1

On a donc :

0 10 1 Alors= ( + ) = + 13 = (1) + 13 (1) =

3

4

1

12

(1

)

=16

1 . 4 . Interprtation gomtrique de lintgrale double

Soit

une fonction de variables et . dfinie et continue dans une certaine

rgion du plan .

1

1


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Soit = ( , ) dfinie et continue dans une certaine rgion du plan . Considrons dans cette rgion un domaine D limit par une courbe ferme ( ).

La fonction =

( , ) est reprsente par une surface

et le cylindre droit de

gnratrices parallles ( ) et qui a pour base la courbe ( ) rencontre cettesurface suivant une courbe ().

Figure : Interprtation gomtrique de lintgrale double

Considrons dans le plan deux familles de droites parallles. Une premire

famille est constitue par des droites parallles ( ) rgulirement espaces de.

Une seconde famille est constitue par des droites parallles ( ) rgulirement

espace de .

Le domaine D est ainsi dcoup en domaines lmentaires, laire dun domaine

lmentaire tant = .


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La quantit = ( , ) reprsente, des infiniment petits du 2 nd ordre prs,par rapport , le volume intrieur au cylindre lmentaire de base et limittransversalement par le plan dune part et par la surface

dautre part.

Le volume intrieur au cylindre de base ( ) et limit par le plan et la

surface est gale la somme des volumes lmentaires . Cette somme, note :

= ( , ) est appele i n t gr a l e d ou bl e de

( , ) tendue au domaine D.

Le domaine D est appel domaine dintgration.

( , ) = 1, , c'est--dire laire du domaine D. On note :

( ) = = Exercice1. Calculer le volume du corps limit par les surfaces = 1 + , = 3 , = 5 ,

= 0 et situ dans le 1 er octant.

2. Calculer :

= ( ) , = 2 = 2 1.

= ( +2 )

= , = 2 , = 2, = 3.

= +4 = ( , ) / 0 1 0 1


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1 . 5 . Ch an gem en t de va r i ab l es da ns u ne i n t g r a l e dou b l e .

1.5.1. Les diffomorphismes

Soit une fonction double variables et ,

Soient U et V deux domaines ouverts de .

Supposons que est une application.Soient P et Q deux applications dfinies sur telles que :( , ) , ( , ) = ( , ), ( , ) . On dit que d i ff om or ph i sm e si et seulement si les conditionssuivantes sont vrifies :

On appelle matrice jacobienne de ( , ) la matrice carre dordre 2 note

( , ) dfinie par :

( , ) = ( , ) ( , )( , ) ( , ) On appelle Jacob i en ou d t erm i n a nt j a cobien de ( , ) le dterminant de la

matrice jacobienne

( , ) not [

( , )]. On a :

[ ( , )] = ( , ) ( , )( , ) ( , ) [ ( , )] = ( , ) ( , )( , ) ( , )

Le Jacobien se note aussi :


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( , )( , ) . De faon gnrale, le changement de variables dans une intgrale double

seffectue de la faon suivante :

( , )( ) = ( ( , ))| [ ( , )]| . On peut quelquefois utiliser une symtrie simultane du domaine D et de la

fonction pour rduire lintgrale double de . 1 . 5 . 2 . Ch an gem en t de va r i ab l e en coor don nes po l a i r es

La transformation dune intgrale double lorsquon passe des coordonnes

cartsiennes et aux coordonnes polaires lies par la relation :

= cos= sin

se ralise daprs la formule suivante :

( , )

=

( cos , sin )

.

En effet, dsignons par ( , ) ( cos , sin ). Ici, ( , ) = cos et( , ) = .Le Jacobien est :

[ ( , )] =( , )

( , )

( , ) ( , ) = sin coscos = alors :

( , )

=

( cos , sin )

.


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Si le domaine dintgration est limit par deux demi-droites et = = avec

< et par deux courbes = ( ) = ( ) o ( ) et ( ) sont des

fonctions uniformes pour

et ( )

( ) , alors lintgrale double se

calcule par la formule suivante :

( , ) = ( , ) ( )( ) ( , ) = ( cos , sin ) Dans ces conditions, on calcule dabord, lintgrale :

( , )

( )

( ) .

1 . 5 . 3 . In t gr a l e d ou bl e en coor d on n es cu r vi l i gn es

Soit transformer en passant des coordonnes cartsiennes , aux coordonnes

curvilignes lies par :

= ( , )= ( , )

o les fonctions ( , ) ( , ) admettent des drives premires continues dans

un domaine du plan et le Jacobien de la transformation dans D nesannule pas :

= 0. Dans ces conditions, la formule de transformation dune intgrale double est de laforme :

( , ) = ( , ), ( , ) | | .


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EXERCICE DAPPLICATION1. En passant aux coordonnes polaires calculer :

=

+

+

.

2. Calculer :

= ( + ) ( ) + = 0; =0 ; + =3 ; = 1 3. Calculer

=

= {( , )

+

1}

4. Calculer :

= ( + )

= {( , ) 0 + 2 0} SolutionCalculons les intgrales donnes.

= + + En cordonnes polaires, on a :==

+ = ( ) + ( ) = = 3

=

= ( + ) (

)

o D est un carr limit par


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= 1+ = 3+ = 1

=

1

Posons = + = on aura := 1 ; = 1= 3 ; = 1 = += =

12 ( + )

=12 ( )

Alors le jacobien de la transformation est :

= =12

12

12 12 = 12

|

| =

1

2

= ( + ) ( ) = 12 Vu le fait que le domaine D est lui aussi un carr, on a :=

12 = 12 13 = 16 [1+ 1 ] = 203

=

1

1

3

3

0

1

1

3

3

1

0


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= = {( , ) + 1} =

= {( , ) + 1} Posons :==

0 1, 2 =

( ) ( )

= ( )

=16 12 2 = 124 (2 ) = 148 (1 4 ) =

= ( + )

= {( , ) 0 + 2 0} +

2

0

0

(

0) + (

1)

2

0

0

==

Pour > 0, + 2 0 2 0 2sin 0 2sin . Or 0 0. > 0, 0.

0

2

0

2

.


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Le domaine dintgration devient :

0 2sin0

2

= [( ) + ( ) ] = = 4 = (12 ) = 12 2 + 1+ 42 = 32 2 = 34

=

1.6. Applications des intgrales doubles

Calcul de la MasseSoit ( , ) la densit de masse ou densit superficielle dun domaine D. La masse

totale de D est donne par :

=

( , )

.

Moments dordre 1 ou moments statiquesOn a :

= ( , ) . =

( , )

.

Calcul des coordonnes du centre de gravitOn a :

= = ( , ) ( , ) = =

( , )

( , )


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Calcul des Moments dinertieLe moment dinertie par rapport aux axes ( ) et ( ) sont respectivement :

=

( , )

= ( , ) Le moment dinertie par rapport lorigine des coordonnes ou momentdinertie polaire est donn par :

= + = ( + ) ( , )

Le moment dinertie par rapport un point A est par dfinition le rel dfini par :

= (( ) + ( ) ) ( , ) Pour un domaine homogne, la densit superficielle nest plus variable cest--dire ( , ) = = .

Pour des figures planes, on a : ( , ) = = 1.

Formule de Huygens

Soit ( , ) un systme matriel. G le centre de gravit de ( , ).

un point ou une droite ou un plan.

parallle H et passant par G. la distance de

la masse de ( , ).

le moment dinertie de ( , ) par rapport

le moment dinertie de ( , ) par rapport

On a :

= +


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Exercice 1Calculer les coordonnes du centre de gravit de chacune des figures limites

par :

1) 25 + 9 = 1 5 + 3 = 1.

2) = 4 + 4, = 2 +4. Exercice 214.2.1. Calculer le moment dinertie polaire de la figure dlimite par les

lignes dquations :

+ = 1, = 0, = 0.

14.2.2. Calculer le moment dinertie de la figure limite par la cardiode

= (1 + ) par rapport laxe .

2. Les intgrales triples

2 . 1 . Df i n i t i on et m t h od e de ca l cu l

Soit

une fonction dfinie sur

. On appelle intgrale triple la quantit

note :

( , , ) . La dtermination de cette intgrale triple se fait de faons similaires au calcul

dintgrale double en commenant par les fonctions tages sur les pavs.

La formule de FUBINI possde deux formes distinctes :

- soit en prenant une intgrale simple dune intgrale double sur le domaine D :

= {( , , ) ; ; } ( , , ) = ( , , ) et il ya trois faons de procder ainsi : on parle alors de procd de

som m a t i o n p a r t r a n c h es .


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- soit en prenant une intgrale double dune intgrale simple

( , , ) =

( , , )

( )

et il y a trois faons de procder ainsi : on parle alors de procd desommation par piles.

On en dduit bien sur un procd de sommation laide de 3 intgrales simples,

de 6 faons possibles :

( , , ) = ( , , ) Thorme

On suppose quil existe deux fonctions continues et dfinies sur [ , ] telle que ( ) ( ) . De plus, on suppose quil existe deuxfonction continues sur [ , ] [ , ] telle que lon puisse crire le domaineD de la faon suivante :

= {( , , ) , ( ) ( ) ( , ) ( , )} .

alors on a :

( , , ) = ( , , )( , )

( , )

( )

( )

Cest la formule de Fubini totale.

Formule de Fubini partielleOn suppose qu'il existe une fonction qui tout [ , ] associe un domaine

. On dfinit un autre domaine

par :

= {( , , )

,

, ( , )}

.

S la fonction est intgrable, alors on a : ( , , ) = ( , ) . Cest la formule de Fubini partielle.ThormeSoit D le paralllpipde [ , ] [ , ] [ , ]. Si

( , , )

,

( , , ) = ( )

( )

( )


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o , , sont des fonctions continues sur [ , ], [ , ] [ , ] respectivement,

alors :

( , , )

=

( )

( )

( )

2.2. Interprtation physique de lintgrale triple

Soit dans lespace rapport un systme daxes de coordonnes cartsiennes un

corps solide htrogne.

Si lon considre une portion du solide de volume et de masse , sa massespcifique ou masse volumique est

. Elle dpend de la rgion considre.

Etant donn un point P du corps solide et une portion de ce solide de volume

et de masse entourant le point P, on appellera masse spcifique au point P lalimite de quand le volume tend vers zro dans ses trois dimensions.

Figure : Interprtation physique de lintgrale triple


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La masse spcifique au point P apparat alors comme une fonction de ce point,

c'est--dire une fonction des trois variables , , coordonnes du point P :

=

( , , ).

Au moyen de trois familles de plans parallles aux plans de coordonnes nous

pouvons dcouper le volume du corps solide en volumes lmentaires :

= .

La masse dun tel volume lmentaire est :

= = ( , , ) . et la masse totale est la somme des masses lmentaires. Cette somme, note :

( , , )

est appele i n t gr a l e t r i p l e tendue au volume de la fonction ( , , ). Levolume est le domaine dintgration.La fonction ( , , ) envisage ci-dessus est toujours positive puisquellereprsente une masse spcifique. Mais la dfinition de lintgrale triple estvidemment gnrale et sapplique une fonction de signe quelconque.

ExerciceCalculer :

1. = o le domaine D est dfini par les ingalits :

0

12 ,

2 ,0

1

2. = o le domaine D est dfini par les ingalits : 0, 0, 0, + 1.


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SolutionCalculons :

1. =

o le domaine D est dfini par les ingalits :

0 12 , 2 ,0 1 = = 12 [ ] =

12

(1

)

=

12

13

=12 2 2 83 + + 13

=12

103

=

12

12

56 =

12

18

56

1

16 =7

192

=7

192

2. = o le domaine D est dfini par les ingalits :

0,

0,

0, +

1.

= = 12 =

12

(1)4 =

1

80(1

) = 180


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2.3. Changement de variables

Si, lors du calcul dune intgrale triple, on a besoin de passer des variables , ,

aux nouvelles variables , , lies aux premires par les relations = ( , , ),

= ( , , ), = ( , , ) o ( , , ), ( , , ) et ( , , ) et leurs drivespremires sont des fonctions qui tablissent une correspondance biunivoque et

bicontinue entre les points du domaine D de lespace et les points dun

certain domaine D de lespace , et que le jacobien J ne sannule pas dans le

domaine D :

=

0,

et que ( , , ) = ( ( , , ); ( , , ); ( , , )), alors on se sert de la formulesuivante : ( , , ) = ( , , ), ( , , ), ( , , ) . | |( , , )

2.3.1. Passage en coordonnes cylindriques

point ( , , ) est repr par un systme de coordonnes cylindriques( , , ) o ( , ) est un systme de coordonnes polaires de la projection

orthogonale de M sur le plan .

Figure : Passage en coordonnes cylindriques


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On a ainsi les formules de changement de variables := cos= sin=

Le jacobien J peut tre calcul :

= = sin cos 0

cos sin 00 0 1

= On retiendra que pour passer en coordonnes cylindriques dans une intgraletriple, on remplacera | | .

2.3.2. Passage en coordonnes sphriquesUn point ( , , ) est repr par un systme de coordonnes sphriques( , , ) o = et est langle polaire de la projection orthogonale de Mest la projection orthogonale sur le plan (orient directement) et .

On impose de faon classique [0,2 ] [; ] ; .

Figure : Passage en coordonnes sphriques


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On a ainsi les formules de changement de variables suivantes :

= cos cos = sin cos = sin

et le jacobien J est :

=

= sin cos cos cos cos sincos cos sin cos sin sin0 sin

cos = cos

On retiendra que :

Pour passer en coordonnes sphriques, on remplace | cos | .

On peut aussi utiliser les formules de changement de variable suivante := sin cos= sin sin

= cos

= |sin |

E x er c i c e d a p p l i c a t i o n :

1) Calculer :

= | | = {( , , ) 0 1 + } on passera en coordonnes cylindriques2) Calculer

= ( + + ) = {( , , ) + + 1 } 3)

Calculer


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= ( + ) + + 4) Calculer

=

+ +

5) Calculer

= + o D est limit par le cylindre + = 2 et les plans = 0, = 0, = .

2.4. Applications des intgrales triplesLe volume dun corps qui occupe un domaine D est donn par la formule :

= Si la masse volumique de ce corps est une grandeur variable = ( , , ) alors la

masse se calcule par la formule :

=

( , , )

Les coordonnes du centre de gravit du corps sont dtermines par les

formules :

= ( , , )

( , , )

= ( , , ) ( , , ) = ( , , ) ( , , )


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Les moments dinertie par rapport aux axes des coordonnes sont

respectivement :

= ( + )

= ( + )

= ( + )

Le moment dinertie dun solide ou dun corps de masse volumique ( , , ) par

rapport un axe est par dfinition le rel dfini par :=

( , , )((

) + (

) + (

) )

o H est le projet de M sur . Exercice1) Calculer les coordonnes du centre de gravit du corps prismatique limit

parles plans = 0 , = 0 , = 1 , = 3 , + 2 = 3.

2) Calculer les moments dinertie par rapport aux plans de coordonnes et par

rapport aux axes de coordonnes du solide homogne ( , ) o S est lellipsodeplein dfini par :

+ + 1 , .


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CHAPITRE 15

LES INTEGRALES CURVILIGNES ETLES INTEGRALES DE SURFACE

1. Courbes paramtres

1.1. Dfinitions et interprtations

On appelle courbe paramtre la donne dune fonction de dans telle que

( )( ) Ceci permet de dcrire un ensemble de point facilitant le moyen de trouver les

points de cet ensemble.

Trouver une paramtrisation cest trouver une courbe paramtrique qui dcrit unensemble de points.

Une courbe paramtrique peut aussi sinterprter comme la description dun

point du plan en fonction du temps dans un certain domaine.

Sur une mme courbe, on peut bouger de plusieurs manires et on en dduit

quil y a une infinit de paramtrisations possibles.

Exemple :

Soit la courbe paramtre dfinie par :

( ) = 3 2 1( ) =

+ +1

.


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1.2. Paramtrage classique

1.2.1. Segment

On peut dcrire le segment joignant les points

( , ) et ( , ) soit en termes

de barycentre = {( ,1) ; ( , )} soit en crivant = avec [0,1 ] On est donc parti de A pour arriver B. La paramtrisation classique dans cecas scrit :

( ) = (1) + = + ( )( ) = (1

) + = + (

)

1.2.2. Ellipse

Les courbes dquations :

( ) + ( ) = 1 sont des ellipses de centre

( ; ) daxes ( ) et ( ). La paramtrisation

classique pour les ellipses est la suivante :

( ) = + cos( ) = + sin

On remarque si = alors on a un cercle.

1.2.3. Parabole

Les courbes dquations (

) + = sont des paraboles de sommet

( , ) et

dont laxe de symtrie est parallle ( ). On peut choisir :

( ) = ( ) = ( ) +

ou

( ) = + ( ) = +


280/432



Les courbes dquations ( ) + = sont les paraboles de sommet ( ; ) etdont laxe de symtrie est parallle ( ).On peut choisir :

( ) = ( ) +( ) = ou

( ) = +( ) = +

1.2.4. Hyperbole

Les courbes dquations :

( ) ( ) = 1 sont des hyperboles de centre

( ; ) daxes ( ) et ( ) et dasymptotes les

droites dquations :

= 0 + = 0. On peut choisir : ( ) = cos +

( ) = tan +

1.3. Courbes paramtres en polaire

On donne parfois les paramtrisations en polaire de la forme = ( ). On a alors :

( ) = ( ) cos

( ) = ( ) sin


281/432



Les coniques peuvent scrire de la forme :

=

1

cos (

) 0

[

; ]

.

Si = 0 on a un cercle de centre (0,0 ) et de rayon | | .

Sinon, on a une conique dont un des axes (l'axe focal) est dirig par la

droite passant par (0;0) et d'angle par rapport l'axe ( ). Si = 1 cest une parabole Si

[0;1 ] cest une ellipse

Si b > 1 cest une hyperbole

2. Les intgrales curvilignes

2.1. Dfinitions et gnralitsSoit ( , ) une fonction de variables continue sur un domaine

avec

= ( ) o est une fonction continue sur [ ; ] et tant larc de courbedquation = ( ) contenu dans .

Lintgrale :

=

( , )

( )

( )

( )

1


282/432



est appele intgrale curviligne de ( , ) le long de larc et cest par dfinitionlintgrale :=

,

( ) .

De mme si on considre la fonction inverse de ( ) soit = ( ) = ( ),lintgrale curviligne= ( , )

prise le long de larc

nest autre que

= ( ( ), ) ( ) ( ) .On appelle intgrale curviligne gnrale lexpression :

=

( ; ) + ( ; )

qui reprsente la somme des intgrales dfinies et .

Gnralisation au cas dun contour quelconque

Gnralisons dabord au cas o larc a lallure indique sur la figure ci-aprs :

Figure 2


283/432



Les conditions imposes ne sont plus satisfaites. Il suffit alors de dcomposerle domaine dintgration en autant darcs partiels o est monotone. On auralintgrale curviligne.= + + +

Si peut avoir une reprsentation paramtrique := ( )= ( )

l'intgrale curviligne sur larc

( ; ) + ( ; ) sexprime galement par :

( )

( ) = ( ; ) ( ) + ( ; ) ( )

dont la valeur reste indpendante de la reprsentation choisie.

2.2. Intgrales curvilignes de 1 ere espce

On appelle intgrale curviligne de 1 ere espce lintgrale curviligne de

de

variable prise le long de larc . Elle se calcule daprs la formulesuivante : ( , ) = , ( ) + [ ( )]

avec

= ( )


284/432



Si la courbe est donne par ces quations paramtriques

= ( )

= ( )

avec , alors lintgrale curviligne de 1 ere espce est calcule par : ( , ) = ( ), ( ) [ ( )] + [ ( )] .

Dune faon analogue, on dtermine et on calcule lintgrale curviligne de 1 ere

espce dune fonction

( , , ) prise le long dune courbe dquations

paramtriques :

= ( )= ( )= ( )

par la formule :

( , , ) = ( ), ( ), ( ) [ ( )] + [ ( )] + [ ( )] tant la diffrentielle de larc .

Interprtation physique

Si ( , ) > 0 , alors lintgrale curviligne de premire espce donne par : ( , )

reprsente la masse de la courbe

de densit linaire variable =

( ; ).


285/432



PropritsP1 : Lintgrale curviligne de 1 ere espce est indpendante du sens de parcours du

chemin dintgration

( , ) = ( , ) P2 [ ( , ) ( , )] = ( , ) ( , ) P3

( , )

=

( , )

o c

P4 : Si la courbe dintgration est dcompose en deux parties alors

( , ) = ( , ) + ( , ) . 2.3. Intgrale curviligne de 2 ieme espce

Soit ( , ) et ( , ) 2 fonctions continues aux points de larc

dune courbe

lisse rgie par lquation = ( ) avec .Lintgrale curviligne de 2 ieme espce de lexpression ( , ) + ( , ) prise le long de larc orient est le travail accompli par la force variable= ( , ) + ( , ) le long du chemin curviligne . Elle est note :

( , ) + ( , ) .

Proprits

P1 : Intgrale curviligne de 2 ieme espce change de signe lorsquon change de sens

du parcours du chemin dintgration :

( , ) + ( , ) =

( , ) + ( , )


286/432



P2 ( , ) + ( , ) = ( , ) + ( , ) Lintgrale curviligne de 2 ieme espce se calcule daprs la formule suivante :

( , ) + ( , ) = , ( ) + ( ) , ( ) avec = ( )

Si la courbe est donne par ses quations paramtriques :

= ( )= ( )= ( )

o Alors

( , , ) + ( , , )

+ ( , , )

= ( ) ( ( ), ( ), ( )) + ( ) ( ( ), ( ), ( )) + ( ) ( ( ), ( ), ( )) Exercice

1- Calculer = ( ) o K est un segment de droite compris entre (0,0 ) et(4,3) .Lquation de la droite (AB) est :

=43 =

43.

Par consquent :

= (

) =

4

3

1 +

4

3 =

5

16

=

5

2


287/432



2- Calculer la masse de larc de courbe

( ) = ( ) =

( ) = 0 1 dont la densit

linaire varie suivant la loi =

2 .

On a :

= = 2 = 2 12 [ ( )] + [ ( )] + [ ( )] =

1 + + =

12

+

12 +

34 +

12

=12

+ 122 1 + + + 38 + 12 + 1 + +

=18 3 31 + 32 3 +2 33 .

3- Calculer les coordonnes du centre de gravit de larc de cyclode dquations :

= sin , = 1 cos , . On a :Les coordonnes du centre de gravit G dun arc homogne dune courbe K secalcule daprs les formules :

=1 , = 1

=

[ ( )] + [ ( )] =

(1

) + = 2

2 =

4 2

= 4.

Alors :

=14 = 14 ( ) 2 2 = 12 2 2

=12

2 2 +4 2 +

43 2 = 83


288/432



=14 = 14 (1 ) 2 2 = 12 2 2

=12

2 2 +

13

32

2 =

43

4- Calculer lintgrale curviligne :

= (2 ) + ( + ) C tant le cercle de rayon R centr en O dcrit compltement dans le sens

direct partir du point = , = 0. Solution :Un tel cercle a pour quation :

+ =

On peut obtenir une reprsentation simple en coordonnes paramtriques en

posant :=

=

= =

, Lorsque M dcrit le cercle, varie de 0 2 .

Alors :

= [(2 )( ) + ( + )( )] = (1 ) = 2 .

2.4. Formes diffrentielles

2.4.1. DfinitionsCas de deux variablesSoit U un ouvert de . Exemples douverts : ]1;1 [ ]2;3 [ est un ouvert de par contre ]1;1 ] ]1;1 ] nest pas un ouvert de . On appelle forme diffrentielle sur U toute application telle quil existe deux

applications P et Q telles que :

( , )

,

= ( , ) + ( , ) .


289/432



Cas de trois variablesSoit U un ouvert de .

On appelle forme diffrentielle sur U toute application telle quil existe trois

applications P, Q et R telles que :( , , ) , = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) . Une forme diffrentielle peut tre exacte ou ferme.

2.4.2. Formes diffrentielles exactes

Une forme diffrentielle = ( , ) + ( , ) est dite exacte sur un ouvert U

de (ou admet des primitives sur U) si et seulement sil existe une fonction

dfinie sur de telle que : = .

= = ( , )

= ( , )

= + = ( , ) + ( , ) .

est appele primitive de sur U.La dfinition est analogue pour trois variables relles.Dans des cas simples, une forme diffrentielle peut apparatre comme exacte de

manire vidente.

Exemples :

+ = 12 ( + )

+ = ( )

+ + + = 12 ( + )


290/432



ThormeSi la forme diffrentielle = ( , ) + ( , ) est exacte sur un ouvert U et si est une primitive de alors pour tout chemin

inclus dans U joignant des points

dorigine A et dextrmit B,

= ( , ) + ( , ) = ( )( ) 2.4.3. Formes diffrentielles fermes

La forme diffrentielle = ( , ) + ( , ) est dite ferme si et seulement si :

=

Dans le cas o = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) , elle sera dite ferme si et

seulement si :

= 0

= 0

= 0

THEOREME Toute forme diffrentielle exacte est ferme mais la rciproque est fausse.

Exercice dapplication

Soit la forme diffrentielle dfinie sur =

{( 0;0 )} par :

= + + + Montre que est ferme sur U mais nest pas exacte en considrant un cercle decentre O, de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct.

THEOREMEUn domaine est dit simplement connexe ou domaine sans trou si lintrieur de

toute courbe est contenue dans un domaine .


291/432



Exemple : est un domaine sans trou ou domaine simplement connexe Lellipse est un domaine sans trou

{( 0;0 )} est un domaine avec trou.

THEOREMELa forme diffrentielle = ( , ) + ( , ) est exacte sur un domaine

simplement connexe si et seulement :

= ( , ) ExerciceSoit la forme diffrentielle suivante :

= (3 + 2 + ) + ( + 3 2 ) Dterminer la fonction dont la diffrentielle est gale la forme exacte .2.5. Notion de facteur intgrant

Sil arrive que la forme diffrentielle nest pas exacte, on peut toujours trouver

une fonction qui multiplie la forme pour en faire une forme exacte. Cette fonctionest appele facteur intgrant .

Si = ( , ) + ( , ) nest pas exacte, alors on peut prendre comme

facteur intgrant la fonction :

( , ) ( ; ) telle que = + soit exacte c'est--dire

= (1)

En drivant la relation (1) par rapport , on obtient la relation suivante.

+ = + (2)


292/432



Lquation (2) est le type dquation appel diffrentielle aux drives partielles

que nous ne savons pas encore rsoudre, mais seulement on peut examiner

des cas particuliers.

1ere cas : dpend uniquement de ( , ) ( )

+ = +

( ) = 0 Donc lquation devient

= +

= 1 = Puisque = ( ) alors :

=

et on a :

1= | | =

2me cas : dpend uniquement de y : = ( ) = ( )

+ = +

or

= ( ) = 0 Donc lquation devient :

+ =


293/432



= 1 = Puisque = ( ) alors :

=

et on a :

1= | | =

Exercice dapplication

1- Soit la forme diffrentielle : = ( + ) + (2 ) .Dterminer un facteur intgrant fonction uniquement de pour que soitune forme exacte.2- On considre la forme diffrentielle

= (3 +2 + ) + ( +4 + 5 ) Dterminer un facteur intgrant tel que ( , ) ( , ) = ( + ) o estune fonction diffrentiable sur continue sur . 3- On considre la forme diffrentielle

= ( + +1 )

2

Dterminer un facteur intgrant tel que ( ; )

( , ) = (

) o est

une fonction diffrentiable sur continue sur .


294/432



2.6. Indpendance dune intgrale curviligne de seconde espce du contourdintgration

Soient ( , ) et ( , ) et leurs drives partielles premires continues dans un

domaine simplement connexe et soit un contour situ entirement dans ce

domaine alors la condition ncessaire et suffisante pour que lintgrale curviligne :

( , ) + ( , ) soit indpendante du contour dintgration consiste vrifier dans le domaine

lidentit :

= .

Lorsque les conditions ci-dessus sont satisfaites, lintgrale curviligne sur un

contour ferm intrieur au domaine D est nulle :

( , ) + ( , ) = 0

Exercice

Calculer :

=

[( + 3 ) + ( + 3 ) ]

( ; )

( ; )

1- calculer :

= ( + ) Sur divers contours ferms :

a- le long de la circonfrence = cos= sin

b- le long du contour limit par un arc de parabole = et un segment

de droite = 1.


295/432



2- Calculer :

=

[(2

3) + (

) ]

( , )

( , )

2.7. Formule de GREEN-RIEMANN

Soit un domaine born rgulier de et son bord. Si le plan est orient, alorson peut orienter la courbe avec la rgle suivante : Si en un point de , le vecteur dirige la tangente la courbe

Si est un vecteur orthogonal dirig vers lintrieur de

alors

quand on parcourt dans le sens de , on dit que lon va dans le sens

positif si et seulement la base , est directe. Sinon, on dit que lon va

dans le sens ngatif.

THEOREME Soit un bord parcouru dans le sens positif comme dcrit prcdemment. Alors

si = ( , ) + ( , ) est une forme diffrentielle de classe alors lintgrale

= ExerciceCalculer en appliquant la formule de GREEN-RIEMAN

= (

+ )

o est la circonfrence parcourue dans le sens antihoraire.


296/432



2.8. Calcul des aires de surfacesLaire dune figure limite par un contour ferm se calcule daprs la formule :

=

Le contour dintgration est parcouru de faon que le domaine limit par ce

contour reste gauche (sens positif).

Exercice1) Calculer laire de la surface limite par lastrode :

=

= 0 2

2) Calculer laire de la surface limite par les paraboles = , = .

3. Intgrale de surface

Lintgrale de surface se dfinit partir de lintgrale double, comme lintgrale

curviligne se dfinit partir de lintgrale simple. Considrons la surface dfinie

par =

( , ).

Figure : Intgrale de surface


297/432



et la portion S limite par un contour qui se projette sur le plan suivant lecontour C.Si ( , , ) est une fonction de trois variables , , continue dans une rgion de

lespace qui contient la surface S. Par dfinition, on appelle intgrale de surface la

quantit :

( , , ) l'intgrale double de la fonction :

( , ) = ( , ,

( , ))

tendue au domaine D intrieur la courbe C dans le plan .

On appelle intgrale de surface de 1 ere espce la quantit relle dfinie par :

( , , ) = , , ( , ) 1 + + D tant la projection de S sur le plan .

Si ( , , ) , ( , , ) et ( , , ) sont des fonctions continues et que S est la face

de la surface lisse dfinie par la direction de la normale (cos ,sin ,cos ), alors

lintgrale de surface de 2 me espce correspondante sexprime comme suit :

+ + = ( cos + cos + cos )

Lors du passe lautre face de la surface, cette intgrale change de signe.

Si la surface est donne sous forme implicite c'est--dire son quation est

donne par ( , , ) = 0 , alors les cosinus directeurs de la normale sont dfinis

par les formules suivantes :

cos ( ) =

+ +


298/432



cos ( ) =

+ +

cos ( ) =

+ + o le signe devant le radical doit concorder avec la face considre de la surface.

Les moments dinerties dune portion de la surface par rapport aux axes de

coordonnes sexprime par les intgrales de surface suivantes :

= ( + ) ; = ( + ) ; = ( + )

On peut calculer les coordonnes du centre de gravite dune portion de surface

daprs les formules :

=1 ; = 1 ; = 1

Exercice1) Calculer

= ( + )

o est une portion de surface conique = + contenue dans les plans

= 0 = 1

2) Calculer le moment dinertie de lhmisphre =

par rapport

laxe ( ).3) Calculer les coordonnes du centre de gravit de la portion du plan =

limite par les plans + = 1 ; = 0 = 0 .

4. Formules de STOKES et dOSTROGRASKI-GAUSS : lments de la thoriedu champ

4.1. Formule de Stokes

Rappelons la formule de GREEN-RIEMANN :


299/432



( , ) + ( , ) = Dans le cas de deux variables , on admet que cette formule se gnralise

dans lespace pour donner la formule identique dans appele formule de

Stokes :

( , , ) + ( , , ) + ( , , ) = + +

tant la courbe autour de laquelle est prise lintgrale curviligne et une

surface sappuyant sur .

4.2. Formule dOSTROGRADSKI

Soit un domaine de limit par une surface et , trois fonctions de, continument drivables sur . Alors la formule dOSTROGRADSKIsnonce comme suit : + + = + +

Si un vecteur variable est une fonction vectorielle du point de lespace M alors

= ( ) = ( )

o ( , , ) et = + + alors ce vecteur dfinit un champ vectoriel et on a :

( ) = + +

= + +

=

= +


300/432



On appelle f l u x d u c h a m p v ec t or i el ( ) travers une surface dans le sens

dfini par le vecteur unitaire de la normale = cos ( ) + cos ( ) +cos ( ) lasurface , lintgrale de surface : =

( cos+Q + R )

La formule dOstrogradski-Gauss sous forme vectorielle est de la forme :

= On appelle intgrale linaire du vecteur pris le long dune courbe lintgrale

curviligne :

= ( + + ) qui reprsente le travail accompli par le champ vectoriel le long de lacourbe K.

N.B Si le contour est ferm alors lintgrale linaire :

= ( + + )

est appele circulation du champ vectoriel le long du contour .

La formule de stokes sous la forme vectorielle scrit :

= c'est--dire que la circulation du vecteur le long du contour dune certaine

surface est gale au flux du rotationnel travers celle-ci.

5. Potentiel scalaire

Soient U un ouvert de et un champ de vecteurs de classe sur U.On dit que drive dun potentiel scalaire (ou admet un potentiel scalaire) si etseulement sil existe un champ scalaire de classe sur U tel que :=

s'il existe, un tel champ scalaire

est appel p o t en t i e l s ca l a i r e d e .


301/432



On appelle champ scalaire une rgion de lespace dans laquelle chaque point( , , ) est associe une grandeur ( , , ). Lensemble des points dun champ scalaire o la fonction

prend une valeur

constante

(

, ,)

= est appel suivant le cas, isobare (pour la pression),

isotherme (pour la temprature), quipotentiel (pour le potentiel)

T h or m e

Soient U un ouvert de et un champ de vecteurs de classe sur U.Si admet un potentiel scalaire alors = .Exercice1. Montrer que le champ vectoriel : {( 0,0 )}

( , , ) = 2( + ) ,2( + ) ,1 + 3+ drive dun potentiel scalaire et calculer celui-ci.

2. Trouve la circulation du champ vectoriel = ( +3 +2 ) + (2 + )

+ (

)

suivant le contour dun triangle

o

(2,0,0 ),

(0,3,0 )

(0,0,1 ).

3. En appliquant la formule dOSTROGRADSKI transforme en intgrale de

volume :

= + + .


302/432



Planche dexercicesExercice 11. Soit la forme diffrentielle donne par :

=(3

)

+(2

6

) a) est elle exacte ? Dterminer un facteur intgrant ( , ) ( + ) o est une fonction dune variable relle diffrentiable.b) Calculer alors lintgrale curviligne :

(3 ) + (2 6 )( ; )( ; ) 2. Calculer les intgrales doubles ou triples suivantes :

) = (

2) o est l intrieur du triangle de sommets A (

2;2 ), (0,0 )et B (2,4 ).

) = o D est le disque de centre K (1;0 )et de rayon 1.) = + + ( 2) o D est la boule unit .) =

4

o D est le demi

disque tel que +

4 et

0.

3. Une plaque occupe le domaine D et sa densit superficielle en tout point

( , ) a pour mesure la distance de M laxe des abscisses. Calculer la masse

de la plaque.

E x e r c i c e 2

1. Dterminer le volume intrieur lellipsode dquation :

+ + = 1 o , et sont trois r els strictement positifs.

2. Calculer les coordonnes du centre de gravit du domaine :

= ( , ) / + 1, 0 et 0 3. Calculer lintgrale curviligne sur de la forme diffrentielle dfinie par :

= + o est le carr orient de sommets conscutifs

( , ), (

, ), (

,

) ( ,

).


303/432



En dduire que la forme diffrentielle nest pas exacte.

4. Calculer la circulation du champ de vecteurs :

( , ) =

( + )

;

( + )

le long du segment [ ] avec (1,1 ), (2,2) et parcouru de A vers B.5. Changer lordre dintgration dans lintgrale suivante o est supposecontinue := ( , ) .

E x e r c i c e 3

On considre le domaine de suivant :

= ( , , ) / 0 , 0, + ( ) + 2(1 + ), 2 . On souhaite calculer les intgrales suivantes := et =

1. Etudier le changement de variables donn pour tout ( , , ) par :( , , ) = ( , ,

).

Que se passe t il dans et ? Peut on en dduire quelque chose pour ou ?

2. Montrer que :

= ( , , ) / 0 2 , ( , ) = {( , ) / 0 , + (1+ ) }.3. En dduire, en prcisant le nom du thorme employ, que :

=

( ) , ( ) = cos

4. Soit fix. En utilisant un changement de variables en polaire de la forme :

( , ) = ( , ) montrer qu il existe une constante que l on pr cisera telle que ( ) = (1 + ) . On prcisera le domaine de ( , ) et le nom des outils employs. Calculer .

5. Calculer lintgrale double suivante :

=

= {( , )

/

0 ,

0, +

1 }.


304/432



E x e r c i c e 4

On note pour tout > 0 , = {( , ) / + = }, le cercle de centre (0,0)et de rayon R. On note ce cercle parcouru dans le sens trigonomtrique. Ondfinit =

{(,

)

/ 4 + = 1

} une courbe de

et on note cette courbe parcourue dans le sens trigonomtrique. On

considre le domaine suivant :

= {( , ) / 1 3 + 4}. On note le bord de D orient dans le sens positif. Soit la formediffrentielle dfinie sur \ {( 0,0 )} par :

=

4 + +

4 + .

1. Rappeler la nature de et dessiner sur une m me igure ,C et D.

2. Donner une paramtrisation de et calculer, en utilisant cette

paramtrisation, lintgrale curviligne suivante :

= . 3. On se propose de calculer lintgrale curviligne :

=

.

a) Enoncer la formule de Green-Riemann.

b) En appliquant la formule de Green-Riemann sur D, calculer I.

c) En dduire = . d) En vous inspirant de la mthode prcdente, montrer que = pour tout> 0.

4. Trouver tous les cercles du plan tels que :

+ = 0. 5. En appliquant la formule dOstrogradski-Gauss, transformer lintgrale desurface suivante en une intgrale de volume :

= + + .


305/432



CHAPITRE 16

EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES

Dans tous les domaines scienti ques, la mise en quation d un problme conduit

trs souvent des quations reliant une fonction et ses drives premires et

secondes. Voici quelques exemples de telles situations :

- Charge dun condensateur travers une rsistance :

= + o q est la charge du condensateur, R la rsistance, U la tension du

gnrateur qui est souvent constante.

- Charge dun condensateur travers une rsistance et dune inductance :

= + +

- change thermique :La temprature T dun corps voisin dune source de chaleur temprature

constante peut vri er la relation :

= ( ) o K est une constante ngative.

- Mouvement dun point matriel soumis une force centrale :

= O m est la masse du point. Les conditions initiales permettent en gnral de

trouver une solution unique.


306/432



1. Notions fondamentales

On appelle quation diffrentielle dordre toute relation de la forme :

( , , , ",, ( )) = 0

entre la variable x , la fonction y et ses n drives successives , ",, ( ) o F

est une fonction de .

Une quation diffrentielle est donc une quation tablissant une relation entre

les variables indpendantes, leurs fonctions et les drives ou diffrentielles de

cette fonction.

Si lquation est dune seule variable, elle est dite quation diffrentielleordinaire ; en cas de deux ou plusieurs variables, lquation est dite quationdiffrentielle aux drives partielles.

On appelle ordre dune quation diffrentielle, lordre le plus lev des drivescontenues dans lquation. Lordre de lquation diffrentielle est donc gal

lordre maximum des drives.

Par exemple : +5 = est une quation diffrentielle ordinaire du 1 er ordre.

4 = est une quation diffrentielle ordinaire du 2 nd ordre. + = est une quation diffrentielle ordinaire du 3 e ordre.Rsoudre lquation diffrentielle dordre consiste chercher toutes les

fonctions y drivables n fois en x vrifiant cette quation.

Notation : Par souci de simplification des critures, y reprsente y(x) .

On appelle solution dune quation diffrentielle une fonction diffrentiable= ( ) qui, substitue la fonction inconnue, transforme cette quation en une

identit.


307/432



2. Equations diffrentielles du premier ordre

On appelle quation diffrentielle du premier ordre toute relation de la forme

( , , ) = 0

entre la variable x , la fonction y et sa drive premire y o est une fonction de

dans . La rsolution de lquation diffrentielle dpend de la forme de la

fonction F .

2.1. Equations diffrentielles variables sparables

On appelle quations variables sparables, toute quation de la forme :

( ) ( ) = 0 ( )

= ( )

La s paration des variables passe par =

( )

( ) = 0 ( ) = ( )

La solution sobtient par intgration de chaque membre :

( ) = ( )

Exemple 1Rsoudre : = 0 (constante) et y une fonction de x

= =

(

0) ( ) = ( ) =

1

= ln| | + = + ln| | = + | | =

La solution gnrale est :

=

.


308/432



Vrifions que = est satisfait. Si = ; alors =

= = 0 Remarque : Lcriture des constantes dintgration tant un peu lourde ; on

simplifiera les critures en utilisant quasi systmatiquement la mme notation.

Exemple 2Rsoudre = est une fonction de x .

=

= = ln | | = ln | | + ln =

= = =

Df i n i t i on : Cond i t i on s i n i t i a l es

- En faisant varier la constante dintgration C ; la solution y dcrit une

famille de fonctions reprsentes par une famille de courbes. De la

connaissance dune valeur de y en un point , ( ) = , on dduit une

valeur de la constante C : la solution y , qui prend en compte cette valeur de

C , est alors unique : cest la solution de lquation (reprsente par une

courbe de la famille). On appelle conditions initiales la relation ( ) = On peut aussi avoir une information sur une drive mais alors lunicit dela solution nest plus assure.

- La solution dune quation diffrentielle dordre n contient n constantes et

par consquent n conditions initiales sont ncessaires afin de trouver les

valeurs des constantes qui satisfont les conditions donnes.

Suite de lexemple 1 :Supposons que (0) = 2 , (0) = = = 2 La solution vrifiant la condition initiale est : = 2 Exercice1) Trouver la solution particulire de lquation diffrentielle :


309/432



= vrifiant la condition initiale (0) = 1.

2) Trouver la solution particulire de lquation diffrentielle :(1+ ) + = 0

vrifiant la condition initiale (1) = 1.

3) Dans une chambre dont la temprature est de 20C, un corps sest refroidi de

100 60C en 20 mn. On demande de trouver la loi de refroidissement du

corps ; en combien de minutes sa temprature tombera t elle 30C ?

Toute lvation de temprature dans la chambre est ngliger.

2.2. Equations diffrentielles linaires du 1 er ordre sans second membre

Toute quation de la forme (avec a et b des fonctions de ( ) 0) :

( ) + ( ) = 0 (1)

est appele quation diffrentielle linaire du 1 er ordre sans second membre.

Contre-exemple

( ) + ( ) = 0 ( ) + ( ) = 0 ne sont pas des quations

diffrentielles linaires en y.

La rsolution dune quation diffrentielle linaire du 1 er ordre sans second

membre est directe en se ramenant une quation variables sparables :

( ) + ( ) = 0 ( ) = ( ) 1

= ( )( )

1 = ( )( ) ln | | = ( )( ) + =

( )

( )

=

( )

( ) ,


310/432



La solution gnrale de lquation ( ) + ( ) = 0 est de la forme :

=

( )( ) ,

(2)

Exemple 3

Rsoudre : 2 = 0 On a donc ( ) = ( ) = 2

= 2

= 2 = 2

ln| | =2ln | | + = ln | | + = = , 2.3. Equations diffrentielles linaires du 1 er ordre avec second membre

Toute quation de la forme (avec a et b des fonctions de ( )

0 ) :

( ) + ( ) = ( ) (3)

est appele quation diffrentielle linaire du 1 er ordre avec 2 nd membre.

( ) est le second membre de lquation.

Deux mthodes pour la rsolution de cette quation :

1) Lune simple, mais dutilisation limite : la mthode didentification ,2) Lautre gnrale, mais plus laborieuse : la mthode de variation de la

constante de Lagrange.

2.3.1. Rsolution par la mthode didentification

La mthode didentification nest applicable que si :

1) Les coefficients sont constants : ( ) = ( ) = .


311/432



2) Le second membre est identifiable sous la forme dune fonction polynme

exponentielle ou sinus/cosinus.

Thorme

La solution gnrale de lquation avec 2 nd membre (SGEA2M, y sobtient en

rajoutant la solution gnrale de lquation sans second membre (SGES2M),

note , une solution particulire de lquation avec 2 nd membre (SPEA2M) note

Y :

2 = 2 + 2 Recherche de la solution gnrale de lquation sans second membre

vrifie lquation (1) + = 0

Daprs la rsolution de lquation (1) = ; Recherche dune solution particulire Y de lquation avec second membre :De la forme du second membre g(x) on dduit la forme de Y . Do le nom de

la mthode par identification.

Forme de g(x) Forme de Y

( ) = ( ) = + + = ( ) = + + O apparaissent toutes les puissancesdcroissantes de

( ) = ( ) = ( )

Sauf si = 2 = =

= ( )

( ) = ( ) + ( )

Cas particuliers :( ) = ( )

( ) = ( )

= ( ) + ( )


312/432



O ( ) ( ) sont des polynmes de degr n et les coefficients de ( ) sont

dterminer par la mthode didentification des polynmes.

Si ( ) est une combinaison linaire des formes vues ci-dessus, alors Y lest

aussi.

La solution particulire Y vrifie lquation (3) : + = ( ). en remplaant

dans cette expression Y par la forme dduite de celle de ( ) suivant le tableau ci-

dessus, on obtient un systme dquations permettant dobtenir les valeurs de A,

B, . Puis en dduire Y.

Exemple 5 :Rsoudre + = ( )

On a donc : = )1 Recherche de la SGES2M :

+ = 0 = = = ln | | =

+ = =

=

Recherche dune SPEA2M Y en fonction du 2 nd membre

Nous tudierons 2 cas diffrents :

1) ( ) =

Le second membre tant un polynme de degr 2, Y est aussi un polynme

de degr 2. On pose donc :

=

+ +

= 2

+

, solution particulire, vrifie lquation :

+ = . Do :(2 + ) + ( + + ) = + (2 + ) + ( + ) = = 12 + = 0+ = 0 = 1= 2= 2

Do = 2 + 2 est une solution particulire de lquation avec 2 nd membre.La solution gnrale de lquation avec 2 nd membre est :


313/432



= + = = + 2 +2 ; 2) ( ) =

On pose donc = = Soit + = + = 2 = = Do =

La solution gnrale avec second membre :

= + = = +12 ,

2.3.2. Rsolution par la mthode de variation de la constante deLagrange

Soit rsoudre lquation diffrentielle suivante :

( ) + ( ) = ( ) ( )

On pose :

( ) + ( ) = 0

On trouve une solution de la forme :

= ( )( ) Il sagit dans cette mthode de considrer C non plus comme une constante mais

comme une fonction de . On pose donc :

= ( ) ( )

( )


314/432



Il faut ensuite calculer la drive premire de y et remplacer dans lquation de

dpart ( ) les expressions de y et de y pour dterminer lexpression de ( ) quil

faut ensuite intgrer.

Exercice : Rsoudre

+ = .

+ = tan , (0) = 0.

+ 1

=

+

Mthode de Bernoulli

Les quations linaires du premier ordre peuvent tre galement intgres

suivant la mthode de Bernoulli qui consiste en ce qui suit. En posant = , o

et sont deux fonctions inconnues, on met lquation initiale sous la forme :

= + ( ) [ + ( ) ] + = ( )

En partant du fait que lune des fonctions inconnues (par exemple ) peut tre

choisie dune faon arbitraire (on sait que ce nest que le produit qui doit

vrifier lquation initiale), on prend pour nimporte quelle solution particulire

de lquation + ( ) = 0 (par exemple = ( ) ), solution qui rend doncgal zro le coefficient de dans la dernire quation.

Lquation prcdente se mettra alors sous la forme :

= ( ) =( )

= ( ) ( ) do

= + ( ) ( )


315/432



En multipliant par , on trouve, pour la solution de lquation initiale,

lexpression prcdente :

=

( ) ( )

( ) +

Une quation (non linaire) de la forme :

+ ( ) = ( )

o 0, 1, est appele quation de Bernoulli . Celle-ci peut tre mise sousla forme dune quation linaire par remplacement de la fonction inconnue laide de la substitution = . Par suite, lquation initiale se ramne la

forme :

11+ ( ) = ( )

En intgrant des quations de Bernoulli concrtes, il nest pas ncessaire de les

mettre au pralable sous forme dquations linaires, car il suffit dappliquer

directement soit la mthode de Bernoulli, soit celle de variation de la constante

arbitraire.

ExerciceIntgrer lquation :

+ = ( )

2

1+ = 4 1 + SolutionRsoudre dabord :+ = 0

Dont la solution est :

=

En faisant varier la constante en fonction de la variable , on a :


316/432



=( )

, = ( ) ( ) La substitution de et dans lquation initiale donne :

( )

( )

+( )

=( )

( )

=[ ( )]

Lintgration de lquation obtenue :

( )[ ( )] =

On obtient :

1[ ( )] = ( ) = 1

3=

1

3

La solution gnrale de lquation initiale est :

=( )

=1

3 Rsolvons :

2

1+ = 4

1 +

Cest aussi lquation de Bernoulli. Intgrons la par la mthode de Bernoulli.Pour ce faire, posons = . En substituant = et = + dans

lquation initiale, on fait grouper les termes contenant au premier degr :

+ 2 1 + = 4 1 + Prenons pour une solution particulire quelconque de lquation :

2 1 + = 0.

En sparant les variables dans cette dernire, on trouve :

=2 1 + ; =

(1+ ) ; = 1 + ( )

Pour trouver , on a lquation :

= 4

1 +

Puisque = 1 + , on a :


317/432



=4 1 +

Sparons les variables et intgrons :

2

=

2

1 + ;

=

+

Ainsi donc,

= ( + ) = = ( + )( + ) . 2.4. Equations diffrentielles homognes

2.4.1. Dfinition et rsolution

Une quation diffrentielle est dite homogne si, en remplaant par et par, lquation reste inchange. Alors on peut crire cette quation sous la forme :

= et pour la rsolution, utiliser le changement de variable :

=

Ainsi, = et = + quil faut substituer dans lquation homogne

permettant dobtenir une quation variables sparables par rapport lanouvelle fonction inconnue de la forme :

( ) + ( ) = 0.

Aprs rsolution en intgrant chaque membre, est remplac par . Exemple1) Vrifier que lquation :

=

+

est homogne et la mettre sous la forme :

= . 2) Rsoudre :

( + ) = . Autre dfinition :Une quation diffrentielle de la forme :

( , ) + ( , ) = 0


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est homogne si ( , ) et ( , ) sont deux fonctions homognes de mme degr.

On dit quune fonction ( , ) est homogne de degr si :

( , ) =

( , ).

Exercice :

1) Trouver lintgrale gnrale de lquation :

( +2 ) + = 0

2) Trouver la solution particulire de lquation :

= +

2.4.2. Equations se ramenant aux quations homognes

Les quations de la forme :

=

+ ++ +

se ramnent, pour 0, aux quations homognes en faisant lasubstitution = + , = + , o ( , ) est le point dintersection des droites+ + = 0 et + + = 0 .

Si

= 0 , alors la substitution + = permet de sparer les

variables.

Exercice Trouver lintgrale gnrale de :(2 + + 1 ) + ( +2 1) = 0 ( + + 2 ) + (2 +2 1) = 0


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3. Equations diffrentielles dordres suprieurs3.1. Notions gnrales

On appelle quation diffrentielle du ordre une quation de la forme

, , ,, ",, ( ) = 0 .

La solution dune telle quation est fournie pour toute fonction = ( ) fois

diffrentiable qui fait de lquation donne une identit c'est--dire :

, ( ), ,( ), "( ),, ( )( ) = 0

3.2. Equations de la forme ( ) =

( )

La solution dune telle quation est obtenue en intgrant n fois.

Exemple : Trouver la solution particulire de lquation : = vrifiant les conditions

initiales (0) = 1 , (0) = 0.

En intgrant successivement lquation donne, on obtient :

= =

+

= ( + ) = + 2 + + Utilisons les conditions initiales :1 = 2 + ; = 1 ; 0 = 1 + ; = 1.= ( + ) +

3.3. Equation diffrentielle de la forme , ( ) , ( ) , ( ) = necontenant pas la fonction cherche

Dans ce cas on peut abaisser lordre dune telle quation en prenant comme

nouvelle fonction inconnue la drive inferieure de lquation donne, c'est--dire( ) = .

On obtient alors lquation :

, , , ( ) = 0

Ainsi donc lordre de lquation baisse de units.


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Exercice Trouver la solution gnrale de lquation :

=

Posons =

. Lquation prendra la forme :

= = . = , = , = + On obtient :

+ = ( 1) = En intgrant, on obtient : (

1) = +

1 =

d'o :

= .

En revenant la variable , on obtient lquation :

=

Do il vient :

=

=

1

1

+

ExerciceUn corps de masse m tombe verticalement dune certaine attitude, sa vitesse

initiale tant nulle. Pendant la chute, le corps rencontre la rsistance de lair qui

est proportionnelle au carr de la vitesse de chute.

En dsignant par lespace parcouru, trouver la loi mouvement du corps en

fonction du temps.

3 . 4 . Equa t i on d i f f r en t i e l l e de l a f o r m e , , , ,, ( ) = n econ t ena n t pa s de va r i ab l e i n dpend an t e

Une telle quation admet labaissement de son ordre si lon pose = et que lonprend lui-mme pour une nouvelle variable. Dans ce cas :=

= +


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en fonction de et des drives de par rapport , lordre de lquation

devenant de cette faon, infrieur dune unit.Exercice :Rsoudre :

1 + =

Posons :

= =

Lquation devient :

1 + =

1 + =1

12

21 + =

1

12

(1 + ) = | | +

1 + = | | +

1 + = 1 + = = 1 + = = 1 = 1 = = = 1

+

= ( + )

3.5. Equa t i ons d i f f r en t i e l l es de l a f o rm e, , , ,, ( ) = , , ,, ( )

Une telle quation admet labaissement dune unit de son ordre par la

substitution : =


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o est une nouvelle fonction inconnue.

Exercice :Rsoudre :

3 = 4 + Divisons les deux membres de cette quation par . On a :3 = 4 1 +1 (1)

(1) 3 4 1 = 1 Posons :

= = = + (1) devient3 + 4=1 4 = 1 + 1

1+ = 14

=

+ = tan

= . (

)

= . 4 | | = 4 4 + = 4 do la solution gnrale est :

=

.


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4. Equations linaires dord

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