Méthodes Numériques pour la Mécanique

8/7/2019 Methodes Numeriques pour la Mecanique

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Universite de VersaillesSt-Quentin en Yvelines

Departement de Mecanique

Methodes Numeriques pour la Mecanique

L. CHAMPANEY

Resume

Ce document contient les notes du cours de methodes numeriques pour la mecanique delUE5 en Matrise de Mecanique. Les methodes abordees sont principalement les methodes dediscretisation des problemes de mecanique des milieux continus et les methodes de resolutiondes equations dequilibre discretes linearisees. Les methodes numeriques presentees sont

abordees sous langle de leur utilisation pratique. Les aspects theoriques pourront etre re-trouves dans les ouvrages cites dans la bibliographie.

Matrise de mecanique Notes de cours de lUE5


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Table des matieres

Table des matieres

Introduction 6

I Representation des fonctions despace 11

1 Methode generale dapproximation en espace 12

1.1 Problemes consideres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Approximation

(Ritz 1908 - Galerkin 1915) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Exemple : elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Besoins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Methode des Elements Finis 15

2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Choix des fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Fonctions locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.3 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Ecriture sous forme elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1 Interets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Calcul des termes de raideur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.3 Calcul des termes de forces generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Differentes etapes de lecriture dun element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Differentes etapes de la resolution dun probleme . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 MEF 1D : barres elastiques 19

3.1 Ecriture de lelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.1 Geometrie de lelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Choix des fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.3 Expression du champ et de ses derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.4 Matrice de raideur elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.5 Vecteur des forces generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Utilisation de lelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.1 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2 Choix de lelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.3 Calcul de la matrice de raideur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.4 Calcul du vecteur des forces generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.5 Prise en compte des conditions aux limites en deplacement . . . . . . 24

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Table des matieres

3.2.6 Resolution du systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.7 Determination du champ en tout point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.8 Calcul des derivees sur les elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.9 Calcul des reactions aux appuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 MEF 2D : Conduction thermique 27

4.1 Approche variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.1 Probleme local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2 Ecriture variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.3 Theoreme de lenergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Element triangulaire pour la conduction thermique . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.1 Geometrie de lelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.2 Choix des fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.3 Expression du champ et de ses derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.4 Matrice de conductivite elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.5 Vecteur des flux generalises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Utilisation de lelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.1 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.2 Choix de lelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.3 Calcul de la matrice de conductivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.4 Calcul du vecteur des flux generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.5 Prise en compte des conditions aux limites en temperature . . . . . . 334.3.6 Resolution du systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.7 Resolution du systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.8 Calcul des derivees sur les elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Quelques points techniques 36

5.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Element de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Integration numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.1 Integration en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3.2 Integration en dimension deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.4 Calcul des derivees des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.5 Prise en compte des conditions sur les inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.5.1 Forme generale des conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5.2 Methode de penalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.5.3 Methode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 405.6 Resolution du systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.6.1 Methode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6.2 Methode de Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.7 Stockage des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.7.1 Stockage symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.7.2 Stockage symetrique bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.7.3 Stockage symetrique profil (skyline) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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Table des matieres

II Resolution des problemes en temps 43

1 Discretisation temporelle 44

1.1 Representation des fonctions du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.2 Schema dintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3 Types de problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2 Problemes en temps : premier ordre 46

2.1 Exemple : viscoelasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2 Resolution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.2 Utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Resolution implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.2 Utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Problemes en temps : deuxieme ordre 49

3.1 Exemple : dynamique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Determination de la solution transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.2 Resolution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.3 Resolution implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.4 Utilisation des differents schemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Solution du probleme homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.1 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.2 Approche par la methode de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.3 Utilisation pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Bibliographie 55

UVSQ 4 L. Champaney


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Introduction

Solutions recherchees en Mecanique

Dans la formation de Licence et Matrise de Mecanique, vous avez ete amenes a traiter

des problemes de nature diverses dans les disciplines suivantes : Mecanique

des solides rigides,

des fluides,

des solides deformables.

Thermique.

Vibrations

de systemes discrets,

de systemes continus.

Dans toutes ces disciplines, la resolution dun problemes conduit a la recherche de so-

lutions sous forme de champs dependant du temps definis sur le domaine detude et surtout lintervalle detude [0,T]:

U(M,t), V(M,t), (M,t), (M,t), . . . en mecanique du solide deformable,

V(M,t), p(M,t), . . . en mecanique des fluides,

(M,t), q(M,t), . . . en thermique,

ou M et t [0,T].

Problemes poses

Les problemes sont generalement poses sous la forme de systemes dequations aux derivees

partielles parametrees par le temps. Ces equations forment quatre groupes differents :Les equations de conservation ou dequilibre :

div + f = (solides deformable),

ddt{ T

qi} T

qi= Qi (eq. de lagrange),

divq = c t

(thermique),

. . .

les equations de comportement :

= A (solides elastiques),

q + kgradT = 0 (loi de Fourrier),

F = kx (ressort), F = x(amortisseur),

. . .les conditions aux limites (C.L.) :

n = Fd (forces surfaciques),

qn = hd (flux de chaleur),

px=0 = p0 (pression imposee),

Vx=0 = V0 (vitesse imposee),

. . .

les conditions initiales (C.I.) :

xt=0 = x0 (C.I. en position),

xt=0 = x0(en vitesse),

Tt=0 = T0 (en temperature), . . .

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Introduction

Systeme continus / Systemes discrets

Les systeme mecaniques etudies sont de deux natures : les systeme discrets et les systemes

continus.

Systemes discrets

Letat dun systeme continus depend de dun nombre fini n de parametres (notes qi).Plusieurs type de systemes discrets ont ete rencontres :

Les systemes naturellement ( ou volontairement) discrets : Cest le cas des systemes

k1 k2

c1 c2

m1 m2

q1 q2

Fig. 1 Systeme naturellement discret

masses-ressorts (figure 1), etudies en vibration, qui consistent en un ensemble demasses ponctuelles en mouvement. Les parametres sont alors les positions de ce masses.Laspect discret du systeme provient dun choix de modelisation simple.

Les systemes de solides rigides : Dans le cas des ensembles de solides rigides (figure 2),

Fig. 2 Systemes discrets : solides rigides

le cote discret du systeme provient du comportement simple donne a chacun des consti-tuants. Le mouvement dun solide rigide est parametre par un vecteur position et unvecteur rotation. Les composantes de ces torseurs sont les parametres du systeme.

Les treillis : Le cas des treillis (figure 3) est interessant car il est a la limite entre unsysteme discret et un systeme continu. Le cote discret du systeme provient du com-portement simple qui peut etre donne a chacune des barres etant donne la nature dessollicitations dun treillis. Les barres etant seulement sollicites en traction/compression,leur deformation peut etre represente a partir des seuls deplacements des extremites.Les parametres du systeme sont donc les composantes de deplacements des nuds dutreillis

La nature discrete de ces problemes permet de pousser relativement loin letude, surtoutlorsque le nombre de parametres est limite.

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Introduction

1

2

35

4

7

6

B

A D

C

E

F

Fig. 3 Systemes discrets : treil lis

Systemes discrets

Les systemes continus consiste un general dun ou plusieurs domaine(s) (fluide ou solide)appeles milieu(x) continu(s). Letat de ces milieux est represente par un etat en chacun despoints qui le constitue : il faut donc une infinite de parametres pour decrire letat du systeme.

Dans les systemes continus ont ete rencontres en :

mecanique des milieux deformables solides (fig 4),

Fig. 4 Milieu continu solide : deformation dune poutre console

mecanique des milieux continus fluides (fig 5),

V

Fig. 5 Milieu continu fluide : ecoulement autour dun avion

thermique des milieux continus (fluides ou solides) (fig 6),

vibration des milieux continus (fluides ou solides).

Les problemes traites analytiquement, sont generalement unidimensionnels ou bien degeometrie tres simple. Pour pouvoir traites des situations reelles de geometries complexesbi- ou tridimensionnelles il est indispensable de passer par une premiere etape qui transformeun systeme continu en un systeme discret a laide du premiere forme dapproximation : la

discretisation .

UVSQ 8 L. Champaney


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Introduction

T0 T1q

Fig. 6 Thermique : gradient de temperature dans un mur

Equations du mouvement linearite

En regroupant les equation dequilibre, de comportement et les conditions aux limites(a laide dun formulation globale du probleme, par exemple); On obtient les equations

du mouvement; Pour un probleme discret, il y autant dequation du mouvement que deparametre. En mecanique, ces equations dependent generalement des n parametres et deleurs derivees jusqua lordre 2 :

f(qi(t),qi(t),qi(t)) = 0, i = 1 . . . n

Ces equations du mouvement peuvent etre :

lineaires et elles prennent alors la forme dun systemes lineaire dequations differentiellesdu second ordre :

Mq + Cq + Kq

ou q est le vecteur des parametres. Lintegration de ce systeme et lapplication desconditions initiales permet dobtenir levolution des parametres du systeme au coursdu temps.

ou non-lineaires et alors leur integration devient tres delicate. Les non linearitespeuvent avoir differents origines :

grandes amplitudes des deplacements ou des deformations,

comportement non lineaires des materiaux,

comportement non lineaires des liaisons (contact unilateral, frottement, . . . ),

. . .

Pour permettre une resolution numerique de ces equations, il est indispensable de prati-quer une deuxieme approximation : la linearisation des equations dequilibre.

Problemes lies au temps

La recherche de levolution des parametres du systeme au cours du temps par integrationdes equation dequilibre contient une nouvelle difficulte : la dimension infinie du probleme.Un parametre peut prendre autant de valeurs differentes quil y a dinstants dans lintervalle[0,T], cest a dire une infinite.

Pour les problemes statiques ou stationnaires, lequation dequilibre prend la forme :

Kq = F(t)

et sa resolution ne fait pas intervenir le temps.

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Introduction

Par contre pour des equations dequilibre dordre un

Cq + Kq = F(t)

ou dordre deuxMq + Cq + Kq = F(t)

lobtention de levolution des parametres (et de leur derivees) est realisee numeriquement en

pratiquant une troisieme approximation : lapplication dun schema d integration numerique.Il faut remarquer que pour certains types de problemes levolution temporelle des pa-

rametres peut sobtenir par recomposition modale. Cette technique necessite lecriture dunprobleme aux valeurs propre :

det[K 2M] = 0dont la resolution se fait numeriquement.

Methodes Numeriques en Mecanique

Trois approximations sont donc generalement pratiquees en mecanique :

la discretisation , qui permet de passer dun probleme continu a un probleme discret,

la linearisation des equations dequilibre,

l integration numerique des equations dequilibre.

La linearisation est un processus un petit peu particulier qui depend du probleme traiteet qui est volontairement laisse de cote dans ce cours.

La discretisation fait lobjet du premier chapitre qui se limite a une forme de discretisation

tres employee de maniere industrielle : la methode des elements finis.lintegration des equations dequilibre est traitee dans la deuxieme partie qui presente

les schemas dintegration au premier et au deuxieme ordre explicites et implicite.La troisieme partie traite rapidement des methodes danalyse modale.

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Premiere partie

Representation des fonctionsdespace



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Chapitre 1

Methode generale dapproximationen espace

Dans cette partie, on ne sinteresse qua lapproximation de fonctions despace. Lap-proximation en temps est traitee dans la partie suivante. On ne sinteresse donc qua desfonctions f(M).

1.1 Problemes consideres

On cherche une fonction f(M) avec M . f(M) peut etre scalaire (temperature . . . ),vectorielle (deplacement, vitesse, . . . ) ou tensorielle (contraintes, deformations, . . . ). Elleverifie un probleme aux derivees partielles :

g(f

xi,2f

x2i, . . . ) = 0

avec les conditions aux limites :

f = fd ;f

xi= fd . . . sur

1.2 Approximation(Ritz 1908 - Galerkin 1915)

Un moyen simple de representer f est de lapprocher par la fonction :

fa(M) = qii(M), i = 1 . . . N

ou les qi sont des parametres scalaires et les i(M) sont des fonctions definies sur quidependent du type de probleme traite ainsi que de la richesse de lapproximation.

La recherche de la solution f(M) est remplacee par la recherche des N parametres sca-laires qi. On voit tout de suite que la representation de la fonction f sous forme dun jeu deparametres scalaires est bien adaptee au traitement numerique des problemes.

Les fonctions i(M) doivent etre suffisamment derivables sur pour que le problemepuisse etre pose.

Si les i(M) forment une base, fa(M) est la projection de f dans le sous espace vectorielengendre par les i(M). On parle alors de fonctions de base.



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1.3. Exemple : elasticite

Les conditions aux limites seront prisent en compte. dans le choix des fonctions des basei(M). Elles se traduiront par des relations supplementaires sur les qi.

1.3 Exemple : elasticite

On considere le probleme delasticite suivant : Trouver le champ de deplacement u(M)et le champs de tenseur des contraintes (M) solutions de :

u cinematiquement admissible (CA) : U Uad, statiquement admissible (SA) : ad, = A (comportement elastique).

Les espaces admissibles sont definis par :

Uad =

{v regulier /V = vd sur u

} ad = { regulier, symetrique / div + fd = 0 dans et n = Fd sur F}On pose ce probleme sous forme globale a laide dune approche energetique, le theoreme

de lenergie potentielle :

u solution Uad et minimise lenergie potentielle :

Ep(u) =1

2

A(u) : (u)d Ed(u)

fdud +

FdudS L(u)

On approche u(M) par :

ua(M) = qii(M) (i = 1 . . . N )

On a alors :

Ed(ua) =1

2qi(

A(i) : (j )d)qj

L(ua) = qi(

fdid +

FdidS)

Soit sous forme matricielle :

Ed(ua) =1

2[q]T[K][q] et L(ua) = [q]

T[F]

[K] est appele matrice de raideur et ses elements sont notes Kij :

Kij =

A(i) : (j )d

et [F] matrice des forces generalisees et ses elements notes Fi :

Fi =

fdid +

FdidS



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1.4. Besoins

Lenergie potentielle prend alors la forme :

Ep(ua) =1

2[q]T[K][q]

[q]T[F]

et son minimum est atteint pour :

Ep[q]T

= 0 [K][q] = [F]

La solution du probleme approche est obtenue par resolution dun systeme lineaire detaille N.

La condition Ua CA doit etre prise en compte pendant la resolution par en certain nombrede relations supplementaires entre les qi. Cette derniere operation peut saverer delicate.

1.4 Besoins

Aspect local de lapproximation :

La prise en compte des CL ne porte que sur un petit nombre de parametres.

Lapproximation peut etre enrichie localement

Integration des fonctions de base sur le domaine.

Prise en compte simple de toute sorte de geometrie.

Calcul simple de la valeur de la fonction en un point.



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Chapitre 2

Methode des Elements Finis

2.1 Historique Methode dapproximations :

Fonctions de base sur tous le domaine : Ritz 1908, Galerkin 1915.

Fonctions de bases locales : Courant 1943

Methodes de calcul :

Approches energetiques : Navier 1819, Maxwell-Castigliano 1870

Developpement systematique des approches energetiques : Levy 1947, Garvey 1951

Developpement des approches matricielles

Methode des elements finis

Unification des deux methodes : Argyris 1955 Developpement systematique, vulgarisation et utilisation industrielle : Zienkiewicz

1960

2.2 Choix des fonctions de base

2.2.1 Fonctions locales

Les fonctions de base utilisees par la MEF sont locales autour de points particuliers.Le domaine est represente par un ensemble de points (les nuds). Chaque fonction estassociee a un nud.

2.2.2 Maillage

En fait le domaine est represente par un nombre finis delements de forme simple. Lesnuds sont les sommets des elements. Les elements assurent la couverture du domaine avecun recouvrement maximal de maniere a ce que:

. . . d Ne

e=1

e

. . . de

Il sagit la dune deuxieme approximation de la methode car la couverture du domaine

peut etre incomplete (voir figure 2.1).



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2.3. Ecriture sous forme elementaire

Fig. 2.1 Approximation de couverture du domaine

2.2.3 FonctionsLes fonctions de base sont choisies de telle maniere que :i = 1 au nud i et i = 0 au nud j j = i.Et la fonction i est non nulle sur les elements doit le nud i est un somment.Ainsi lorsque

fa(M) = qii(M) i = 1 . . . N

qi est directement la valeur de fa(M) au nud i.En pratique les fonctions i sont simples (polynomiales de bas degre) et la richesse de

lapproximation est donnee par la taille des elements du maillage (finesse du maillage).

La simplicite de forme des elements permettra lintegration des fonctions sur le domaine.

2.2.4 Exemples

1 2 3 4 5 6

1

4

6

Fig. 2.2 Fonctions de base lineaires en 1D

2.3 Ecriture sous forme elementaire

2.3.1 Interets

Le calcul des termes de rigidite et de raideur nud par nud (fonction de base parfonction de base) nest pas tellement systematique car chaque fonction de base na pas lememe domaine de couverture. On prefere calculer les contributions de chaque element ce quiconduit a des calculs similaires sur chaque element.

On parle alors de matrice de raideur elementaire et de vecteur forces generalisees elementaire.

Ces elements seront assembles entre eux pour forme la matrice et le vecteur complet.



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2.3. Ecriture sous forme elementaire

1

2

6

4

53

8 7

4

6

Fig. 2.3 Fonctions de base lineaires en 2D

1 2

1

2

2 3

2

3

3 4

3

4

4 5

4

5

5 6

5

6

Fig. 2.4 Contributions elementaires

2.3.2 Calcul des termes de raideur

Chaque terme de la matrice de raideur, Kij , fait intervenir des produits des derivees desdeux fonctions i et j . Il nest non nul que sur les elements dont les nuds i et j sont dessommets.

Par exemple, en elasticite :

Kij =

A(i) : (j )d)

peut secrire

Kij =

e

e

A(i) : (j )de) =

e

Keij

La matrice de raideur globale peut etre construite comme un assemblage de matrices deraideur relatives a chacun des elements. Elles sont appelees matrices de raideur elementaires.

2.3.3 Calcul des termes de forces generalisees

Chaque terme du vecteur forces generalisees, Fi, fait intervenir la fonctions i seulement.Il nest non nul que sur les elements dont le nud i est un sommet.

Par exemple, en elasticite :

Fi =

fdid +

FdidS)

peut secrire

Fi = e efdide + e

FdidSe) = e Fe

i



18/55

2.4. Differentes etapes de lecriture dun element

Le vecteur forces generalisees global peut etre construit comme un assemblage de vecteursforces generalisees relatifs a chacun des elements. Il sont appeles vecteurs forces generaliseeselementaires.

2.4 Differentes etapes de lecriture dun element

1. Choix de la geometrie de lelement

1D segments droits ou courbes

2D triangles, quadrangles a bords droits ou courbes

3D tetraedres, pyramides, prismes, cubes droits ou courbes

2. Choix des fonctions de base et des inconnues

3. Expression des champs et de leurs derivees

4. Calcul de la matrice de raideur elementaire5. Calcul des vecteurs forces generalises elementaires associe aux differents cas de char-

gement

2.5 Differentes etapes de la resolution dun probleme

1. Maillage : decoupage du domaine en elements geometriques

2. Choix de la formulation : Choix des fonctions de base

3. Calcul des matrices de raideur : calcul des matrices elementaires puis assemblage de lamatrice globale.

4. Calcul du vecteur des forces generalisees : idem5. Prise en compte de CL sur les inconnues.

6. Resolution du systeme lineaire.

7. Determination du champ en tout point.

8. Calcul des derivees sur les elements.

9. Determination des reactions aux limites.



19/55

Chapitre 3

MEF 1D : barres elastiques

Pour illustrer la resolution dun probleme de mecanique par la methode des element finis,ce chapitre presente un exemple simple unidimensionnel. On sinteresse a un probleme deresistance des materiaux ou nintervient que la traction. Cest un probleme de barre elastique.

3.1 Ecriture de lelement

3.1.1 Geometrie de lelement

i j

L/2 L/2

x

Fig. 3.1 Geometrie de lelement Barre

On considere une section S et un module dYoung E constants.

3.1.2 Choix des fonctions de base

Le choix est guide par les criteres suivant :

Simplicite.

Representation des champs de solide rigide.

Representation des champs de deformation constants. Regularite.

On verifier les criteres precedents on choisit le polynome de plus bas degre qui permetdobtenir une deformation constante sur lelement, cest a dire un polynome de degre un:

(x) =du(x)

dx= a = cste u(x) = ax + b

Pour assurer la continuite entre deux elements, on ecrit plutot :

u(x) =uj ui

L

x +ui + uj

2ou



20/55

3.1. Ecriture de lelement

u(x) = ui(

x

L

+1

2 i(x)

) + uj (x

L

+1

2 j(x)

)

ce qui donne la representation graphique suivante des fonctions de base.

j

L/2 L/2

i j

i

1

x

Fig. 3.2 Fonctions de base de lelement Barre

3.1.3 Expression du champ et de ses derivees

deplacement

u(x) = x

L+ 12

xL

+ 12 ui

uj

deformation

(x) =du(x)

dx=

ui ujL

(x) =

1L

1L

uiuj

Contrainte

N(x) = ES (x) = ES(ui uj

L)

N(x) = ESL ESL ui

uj 3.1.4 Matrice de raideur elementaire

Energie de deformation elementaire :

Ed =1

2

L2

L2

ES 2(x)dx

Ed =

1

2 ES(

uj

ui

L )2

L =

1

2

ES

L (

uj

ui

L )2



21/55

3.1. Ecriture de lelement

quon souhaite ecrire sous la forme

Ed = 12 ui uj [Ke] uiuj

soit

[Ke] =

ES

LES

LES

LES

L

=

ES

L

1 11 1

On peut aussi lobtenir sous la forme :

Ed =1

2 L2

L2

ES (x)(x)dx

Ed =

ui uj 1

2

L2

L2

ES

1L1L

1L

1L

dx

uiuj

Soit:

[Ke] =

L2

L2

ES

1

L21L2

1L2

1L2

=

ES

L

1 11 1

3.1.5 Vecteur des forces generalisees

De maniere generale, le travail des forces exterieures sexprime sous la forme :

L = Fiui + Fj uj +

L2

L2

f(x)u(x)dx

Dans le cas de forces concentrees on a donc :

[Fe] =

FiFj

Pour les forces reparties, lexpression depend de f(x) :

f(x) constant, f(x) = f

L = f

L2

L2

uj ui

Lx +

ui + uj2

dx

= f(ui + uj

2)L =

ui uj

fL2fL2

soit:

[Fe] =

f L

2 1

1



22/55

3.2. Utilisation de lelement

f(x) lineaire, f(x) = f2xL

L = f

2

L

L2

L2

x uj uiL x +ui + uj

2 dx

L = f2

L

2

L3

3.8

uj uiL

=

f L

6(uj ui)

soit:

[Fe] =f L

6

11

3.2 Utilisation de lelement

On se pose le probleme de Resistance de Materiau suivant. Une barre de longueur l, desection S et constitue dun materiau de caracteristique elastique E est soumise a son proprepoids (f = g). Elle est soumise a une action F a une extremite en encastree a lautre.

f

xF

l

g

Fig. 3.3 Barre soumise a son propre poids et a une action en bout

La solution RdM est :

Effort normal

N(x) = f(l x) FDeformation

(x) =f

ES(l x) F

ES

Deplacement

u(x) = fES

(lx x2

2) F

ESx

3.2.1 Maillage

On utilise le maillage presente sur la figure 3.4. Il est compose de trois elements delongueurs identiques et donc de quatre nuds.

3.2.2 Choix de lelement

On utilise lelement defini precedemment. On a alors l = 3L. La matrice de raideur est :

[Ke] =ES

L 1 11 1



23/55


1 2 3 4

1 2 3

Fig. 3.4 Maillage de la barre

3.2.3 Calcul de la matrice de raideur

Le maillage est defini par le tableau de connectivite 3.1.

element nud i nud j

1 1 22 2 3

3 3 4

Tab. 3.1 Table de connectivite du maillage

On pratique lassemblage des matrices elementaires :

[K] =3ES

l

1 1 0 01 1 + 1 1 00 1 1 + 1 10 0 1 1

u1u2u3u4

Ce qui donne :

[K] =3ES

l

1 1 0 01 2 1 0

0 1 2 10 0 1 1

3.2.4 Calcul du vecteur des forces generalisees

Force concentree sur lelement 3 :

[Fe] = 0

F Force repartie sur tous les elements

[Fe] =F l

6

11

On pratique lassemblage des vecteurs elementaires :

[F] =

F l6

F l6 +

F l6

F l6 +

F l6

F l6 F

u1u2u3

u4



24/55


Ce qui donne :

[F] =

F l

6F l3

F l3

F l6 F

3.2.5 Prise en compte des conditions aux limites en deplacement

La condition dencastrement au nud 1 secrit : u1 = 0. La facon la plus simple deresoudre est de remplacer le systeme :

3ES

l

1 1 0 0

1 2

1 0

0 1 2 10 0 1 1

u1u2u3u4

=

F l6

F l3

F l3

F l6 F

par:

3ES

l

1 2 1 00 1 2 1

0 0 1 1

u2u3

u4

=

F l3

F l3

F l6 F

3.2.6 Resolution du systeme lineaire

Le systeme a pour solution :

u2 =l

3ES

5

6f l F

u3 =l

3ES

8

6f l 2F

u4 =l

3ES

9

6f l 3F

3.2.7 Determination du champ en tout point

La figure 3.5 donne la representation elements finis du champ u(x).

3.2.8 Calcul des derivees sur les elements

La deformation (x) et leffort normal N(x) sont calcules de maniere elementaire :

(x) =ui uj

LN(x) = ES

ui ujL

Element 1

(x) =1

ES

5

6f l F

N(x) =

5

6f l F



25/55


1 2 3 4

u

Fig. 3.5 Deplacement calcule et solution Rdm (pour F = f l/6)

Element 2

(x) =1

ES

3

6f l F

N(x) =

3

6f l F

Element 3

(x) =1

ES

16

f l F

N(x) =1

6f l F

1 2 34

Fig. 3.6 Deformation calculee et solution Rdm (pour F = f l/6)

Il est interessant de remarquer que le champ N(x) nest pas statiquement admissible.



26/55


3.2.9 Calcul des reactions aux appuis

Le champ N(x) netant pas SA, il ne peut etre utilise pour le calcul des reactions aux

appuis. Pour calculer la reaction R a lencastrement, on peut resoudre :

3ES

l

1 1 0 01 2 1 0

0 1 2 10 0 1 1

u1u2u3u4

=

F l6 + R

F l3

F l3

F l6 F

Qui donneR = F f l



27/55

Chapitre 4

MEF 2D : Conduction thermique

Pour presente lapplication de la methode des elements finis a des problemes bidimen-sionnels, ce chapitre sinteresse a un probleme simple de conduction thermique. La simplicitevient, ici, du fait que le champ discretise est le champ de temperature qui ne comporte quuneseule inconnue par nud contrairement a un champ de deplacement en elasticite planequi, lui, aurait deux inconnues par nuds : les deux composantes du deplacement dans leplan.

4.1 Approche variationnelle

4.1.1 Probleme local

On sinteresse a un domaine occupe par un materiau conducteur de chaleur. Sur lapartie du bord 1 est imposee une temperature Td et sur le reste du bord 2 est imposeun flux de chaleur hd.

Le probleme local de conduction thermique est pose sous la forme :Trouver le champ de temperature T(M) et le champ de vecteur courant de chaleur qc(M)

tels que :

Liaison

T = Td, M 1

Equilibre thermique

divqc = 0, M ; qcn + hd = 0, M 2

Comportement thermique (loi de Fourrier)

qc = kgradT, M

En posant q(M) = qc(M) et (M) = T T0, on obtient le probleme suivant :Trouver les champs (M) et q(M) tels que:

Liaison

= d, M 1



28/55

4.1. Approche variationnelle

Equilibre thermique

divq = 0,

M

; qn = hd,

M

2

Comportement thermique (loi de Fourrier)

q = kgrad, M

qui est analogue a celui de lelasticite lineaire (voir tableau 4.1)

Mecanique Thermique

u(M) (M) qc = q

grad

fd 0Fd hdud d

Tab. 4.1 Analogie mecanique-thermique

4.1.2 Ecriture variationnelle

Par analogie avec lelasticite le probleme precedent peut etre ecrit sous la forme :

q(M), verifiant les conditions dequilibre thermique, et (M), verifiant les conditions de

liaison et de regularite, sont solution du probleme de conduction quand ils minimisent lafonctionnelle J(,q) :

J(,q) =1

2

q grad

k1

q grad

d

En developpant, on obtient :

J(,q) =1

2

qk1qd +

kgrad

gradd

qgradd

Or :

qgradd =

divq0

d

div(q)d

=

1qn

d

dS

2qnhd

dS

Donc

J(,q) = 12 qk1qd

1qnddS (= Ec(q))

+12 kgradgradd 2 hddS (= Ep())



29/55

4.2. Element triangulaire pour la conduction thermique

4.1.3 Theoreme de lenergie potentielle

Le champ decart de temperature (M), verifie les condition de regularite et de tempe-

rature imposee, et minimise la fonctionnelle :

Ep() =1

2

kgrad

gradd

2

hddS

4.2 Element triangulaire pour la conduction thermique

4.2.1 Geometrie de lelement

i

j

k

xiyi

xk

yk

xjyj

Fig. 4.1 Geometrie de lelement

On considere une epaisseur e et un coefficient k constants.

4.2.2 Choix des fonctions de base

Le choix est guide par les criteres suivant :

Simplicite.

Representation des champs de solide rigide.

Calcul du gradient possible.

Regularite.

Ce qui conduit a choisir une fonction lineaire en x et en y. La temperature est ecrite surlelement :

(M) = ii(x,y) + j j (x,y) + kk(x,y) = + x + y

Par exemple, la fonction i secrit :

i(x,y) =(x xj )(yj yk) (y yj )(x xk)

(xi xj )(yj yk) (yi yj )(x xk) =N

D

On peut remarquer que :

N = ( jk jM).z = 2.Aire(jkM) et D = ( jk ji).z = 2.Aire(ijk)



30/55

4.2. Element triangulaire pour la conduction thermique

i

j

k

1

Fig. 4.2 Fonctions de base de lelement

On a alors :

i(M) =Aire(jkM)

Aire(ijk)

j (M) =Aire(ikM)

Aire(ijk)

k(M) =Aire(ijM)

Aire(ijk)qui sont les coordonnees barycentriques de M dans le triangle ijk (On a i + j + k = 1).

4.2.3 Expression du champ et de ses derivees

temperature

(M) =

i j k ij

k

= []t []

gradient

grad =

,x,y

=

x

y

[]

=

x

y

i j k

[B]

ij

k

avec [B] =

i,x j,x k,xi,y j,y k,y

= 12A

(yj yk) (yk yi) (yi yj )(xk xj ) (xi xk) (xj xi)

4.2.4 Matrice de conductivite elementaire

Energie elementaire :

1

2

kgrad

gradd =

1

2[]t [Ke] [] =

1

2k []t [B]t [B] [] eA

soit

[Ke] = keA [B]t [B]



31/55


4.2.5 Vecteur des flux generalises

De maniere generale, le travail exterieur sexprime sous la forme :

2

hd(M)dS = []t [Fe]

Dans le cas simple dun flux constant, hd(M) = cste = hd sur le bord ij on a :

ij

hddS =

ij

hd []t [] d =

ij

hd []t [] d

Donc :

[Fe] =

ij

hd

ijk

d avec ij

id =1

2long(ij)

Alors :

[Fe] =hd2

long(ij)

11

0

4.3 Utilisation de lelement

On se pose le probleme de conduction thermique suivant. Un domaine rectangulaireABCD (AB = 2a et BC = a) est soumis a un flux hd sur la paroi DA. Les parois BC etCD sont isolantes et la paroi AB est isotherme a une temperature imposee d.

La temperature de reference est de 0 et, pour simplifier, on choisit d = 0.

A B

D C

hd

=d

hd = 0 (isolation)

(paroi isotherme)

Fig. 4.3 Probleme de conduction thermique

4.3.1 Maillage

On utilise le maillage presente sur la figure 4.4. Sa table de connectivite est donnee dansle tableau 4.2



32/55


1 3 5

2 4 6

1

2

3

4

Fig. 4.4 Maillage du domaine

4.3.2 Choix de lelement

On utilise lelement defini precedemment. Les elements 1 et 3 sont identiques et ont lameme matrice de conductivite elementaire definie par :

[B1,3] =1

a2

a 0 aa a 0

=

1

a

1 0 11 1 0

[K1,3] = ka2

2[B]t [B] =

k

2

2 1 11 1 0

1 0 1

Attention, le signe de laire provient de lorientation de lelement par rapport au sens trigo-nometrique.

De meme, les elements 2 et 4 sont identiques et ont la meme matrice de conductiviteelementaire definie par :

[B2,4] =1

a2

a 0 a0 a a

=

1

a

1 0 10 1 1

[K2,4] = k

a2

2 [B]

t

[B] =

k

2 1 0 10 1 11 1 2

4.3.3 Calcul de la matrice de conductivite

Le maillage est defini par le tableau de connectivite 4.2.On pratique lassemblage des matrices elementaires :

[K] =k

2

2 1 11 1 + 1 +0 + 0 0 11 0 + 0 +1 + 1 + 2 0 1 1 1

0 1 +0 1 1 2 + 1 + 1 +0 + 0 10 0 1 0 + 0 + 0 +1 + 1 11 1 2

1234

56



33/55


element nud i nud j nud k

1 1 2 32 2 3 43 3 4 54 4 5 6

Tab. 4.2 Table de connectivite du maillage

Ce qui donne :

[K] =k

2

2 1 1 0 0 01 2 0 1 0 01 0 4 2 1 0

0

1

2 4 0

1

0 0 1 0 2 10 0 0 1 1 2

4.3.4 Calcul du vecteur des flux generalisees

Le flux est impose sur lelement 1 pour lequel on a :

[Fe1] =hd2

a

11

0

Les vecteurs flux elementaires sont nuls sur tout les autres elements.On pratique lassemblage des vecteurs elementaires :

[F] =ahd

2

110000

123456

4.3.5 Prise en compte des conditions aux limites en temperature

La condition de temperature imposee aux nuds 1,3 et 5 secrit : 1 = 3 = 5 = 0. Lafacon la plus simple de resoudre est de remplacer le systeme :

k

2

2 1 1 0 0 01 2 0 1 0 01 0 4 2 1 0

0 1 2 4 0 10 0 1 0 2 10 0 0 1 1 2

123456

=ahd

2

110000

par:



34/55


k

2

2 1 0

1 4

1

0 1 2

24

6

=

ahd

2

10

0


Le systeme a pour solution :

2 =7

12

ahdk

; 4 =2

12

ahdk

; 6 =1

12

ahdk


La figure 4.5 donne la representation elements finis du champ (x).

1 3 5

2 4 6

Fig. 4.5 Champ de temperature calcule

4.3.8 Calcul des derivees sur les elements

Le vecteur flux de chaleur est calcule element par element :

q = kgrad = k[B][]

Par exemple, sur lelement 1 on a :

[B1] =1

a

1 0 11 1 0

et []

ahd12k

07

0

donc

q1 = k

1

a

ahd

12k 1 0 1

1 1 0 0

70



35/55


soit

q1 =hd12

07

Sur lelement 2 on a :

[B2] =1

a

1 0 10 1 1

et []

ahd12k

70

2

donc

q2 =hd12

52

Il est interessant de remarquer que le champ q(x) ne verifie pas les conditions aux limites.



36/55

Chapitre 5

Quelques points techniques

5.1 VocabulaireQuelque soit le type de probleme, les inconnues (les qi) sont denommees degres de liberte

et bien souvent abregees d.d.l.Les problemes lineaires couramment rencontres dans le monde industriel peuvent aller

jusqua cent ou deux cent mille degres de liberte. Les applications traitant des problemesavec un million de ddl commencent a apparatre, dautant plus facilement que lusage decalculateurs paralleles se generalise.

5.2 Element de reference

La plupart du temps, tous les elements dun maillage sont differents. Ainsi, les fonctionsde bases ne sont pas identiques sur les elements. De plus, lintegration des termes de raideursur un element de taille et dorientation quelconque peut etre compliquee.

Alors tous les codes elements finis utilisent la notion delement de reference. Il sagit dunelement aux formes et dimensions simples, dans un espace de reference, qui est commun atous les elements du meme type (voir figure 5.1).

1

1

x

y

1

2

T1

T2

Fig. 5.1 Element de reference et transformation geometrique

Les elements reels sont definis a partir de lelement de reference par une transformationgeometrique definie par les positions des nuds dans lespace reel.



37/55

5.3. Integration numerique

Dans lespace de reference :

sont donnees les fonctions de base. Elles sont alors communes a tous les elements. Parexemple, pour le triangle a trois nuds, on aura :

1 = (1 )(1 ) 2 =

3 =

sont realisees les integrations.e

f(,)dxdy =

ref

f(,)JT(,)dd

ou JT est le jacobien de la transformation.

5.3 Integration numeriqueLes termes a integrer sur les elements sont des polynomes et sont le plus souvent integres

numeriquement. La methode generale dintegration numerique est de remplacer la sommecontinue par une somme discrete de la maniere suivante :

ref

h(,)dd =

npi=1

wih(i,i)

ou les (i,i) sont des points particuliers (points dintegration) et les wi sont les poidsdintegration.

La methode la plus utilisee dans le cadre de la methode des elements finis est la methodede Gauss, pour laquelle les positions et les poids sont determines de maniere a integrerexactement un polynome de degre le plus eleve possible.Dans ce cas, les points dintegrationsont communement appeles points de Gauss.

5.3.1 Integration en dimension un

On integre de la maniere suivante :

11

h()d =

npi=1

wih(i)

Les 2np inconnues i et Avec np wi sont calcules de manieres a integrer exactement n + 1monomes. La methode permet donc dintegrer exactement un polynome de degre n = 2np1.Quelques jeux de position des points et de poids de Gauss sont donnes dans le tableau 5.1

5.3.2 Integration en dimension deux

On procede de la meme maniere en dimension deux pour integrer :

11

11

h(,)dd =

npi=1

wih(i,i)

La methode permet alors dintegrer exactement des polynomes dordre n (i

j

aveci + j n).



38/55

5.4. Calcul des derivees des fonctions

np i wi n

1 0 2 1

2

1/

3 1 3

3 0 8/9 5

1/

3/5 5/9

4 0.3399810435 0.6521451548 70.8611363115 0.3478548451

Tab. 5.1 Integration numerique de Gauss a une dimension

np i i wi n

1

1 1/3 1/3 1/2 1

12

3

31/2

01/2

1/21/2

0

1/6 2

1

2

3

31/62/31/6

1/61/62/3

1/6 2

1

2

3

4

4

1/31/53/51/5

1/31/51/53/5

27/9625/9625/9625/96

3

Tab. 5.2 Integration numerique de Gauss sur un triangle

5.4 Calcul des derivees des fonctions

Le calcul des derivees des fonctions representees se fait element par element. Les fonctionscalculees sont discontinues dun element a lautre. Se pose alors la question des points ouexprimer ces derivees.

Il ne semble pas judicieux dutiliser les nuds a cause de la discontinuite entre les elementsen ces points.

La plus part des codes elements finis utilisent, par choix, les points dintegration (pointsde Gauss). Ils ont lavantage detre situes a linterieur des elements. De plus, ce choix permetun calcul direct de quantites necessitant une integration (energies, moyennes, . . . ).



39/55

5.5. Prise en compte des conditions sur les inconnues

5.5 Prise en compte des conditions sur les inconnues

5.5.1 Forme generale des conditions

Le methode des elements finis sappuie sur la minimisation dune energie sous des condi-tions sur les inconnues (deplacements imposes (admissibilite cinematique), temperature im-posee, . . . ). Nous donnons a ces conditions la forme generale suivante :

[C][q] = []

ou [C] contient la reduction au zones de liaison considerees et [] les valeurs a imposer.Par exemple, dans le cas de la figure 5.2, la condition secrit sous la forme :

1 0 0

0 0 1 [C]

u1u2

u3

[q]

= 0

ud []

ud

1 2 3

Fig. 5.2 Exemple de conditions sur les inconnues

Le probleme a resoudre est donc de trouver le vecteur des inconnues [q] tel que :

[q] minimise Ep([q]) =1

2[q]t[K][q] [q]t[F]

et verifie [C][q] = []

5.5.2 Methode de penalisation

Dans cette approche, on minimise la quantite :

Ep(qi) +g

2[[C][q] []]t [[C][q] []]

ainsi, plus le parametre scalaire g est grand plus la condition [C][q] = [] est assuree.Cette approche est simple car elle ne consiste qua lajout de termes eleves dans le

systemes lineaire :

qi= 0 [K] + g[C]t[C] [q] = [F] + g[C]t[]

Ce nest pas une methode exacte car la valeur de g est limite par des problemes numeri-ques de conditionnement de la matrice du systeme lineaire.

Si on considere le probleme pose sur la figure 5.2, on aura :

[K] = k k 0

k 2k k0 k k et [F] = 0

00



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5.5. Prise en compte des conditions sur les inconnues

en posant k = ESL

, avec L longueur des elements, S section de la barre et E module dYoung.On a alors :

[C]t[C] = 1 0 0

0 0 00 0 1

et [C]t[] = 0

0ud

Le systeme a resoudre devient :

k + g k 0k 2k k

0 k k + g

u1u2

u3

=

00

gud

dont la solution est :

u1 =k

2(k + g)ud 0 u2 = ud

2u3 =

k + 2g

2(k + g)ud ud

est proche de la solution voulue lorsque g est grand.

5.5.3 Methode des multiplicateurs de Lagrange

Dans cette approche, on cherche les extremums de :

Ep(qi) + []t [[C][q] []]

Ces extremums correspondent a :

Epqi

= 0 [K][q] [F] + []t[C] = 0

Epi

= 0 [C][q] [] = 0donc la condition sur les inconnues est imposee strictement.

Le systeme lineaire a resoudre devient alors :[K] [C]t

[C] [0]

[q][]

=

[F][]

On peut montrer que les i sont les actions dans les liaisons servant a imposer les condi-tions sur les inconnues.

Si on considere le probleme pose sur la figure 5.2, on aura a resoudre :

k k 0 1 0k 2k k 0 0

0 k k 0 11 0 0 0 00 0 1 0 0

u1u2u312

=

0000

ud

dont la solution est :

u1 = 0 u2 =ud2

u3 = ud 1 =k

2ud 2 = k

2ud

qui est la solution voulue. On remarque que les i correspondent, ai signe pres, aux effortsa appliquer pour obtenir les deplacements imposes.



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5.6. Resolution du systeme lineaire

5.6 Resolution du systeme lineaire

Il existe deux grandes classes de methodes directes de resolution de grand systemes

systemes lineaires qui sont utilisees pour la methode des elements finis. Ces sont les methodesde Cholesky et de Crout.

5.6.1 Methode de Cholesky

Cette methode est adaptee aux matrices symetriques definies positives dont les termesdiagonaux sont strictement positifs. Elle consiste a decomposer la matrice [K] sous la forme :

[K] = [L]t[L]

ou [L] est une matrice triangulaire inversible.La resolution se fait en deux etapes de la maniere suivante :

[L][] = [F] (montee)

[L]t[q] = [] (descente)

Les avantages de cette approche sont les suivants :

La matrice [L] a la meme taille que la matrice [K] assemblee et peut donc etre stockeenumeriquement a sa place.

La methode est adaptee aux multi-resolutions (plusieurs seconds membres) qui sontnecessaires lorsquil y a changement des conditions au limites en effort ou modificationdes valeurs imposees des inconnues.

5.6.2 Methode de Crout

Cette methode est adaptee aux matrices obtenue lorsque les conditions sur les inconnuessont traitees par la methode des multiplicateurs de Lagrange :

[A] =

[K] [C]t

[C] [0]

ou [K] est symetrique definie positive et [C] est rectangulaire et injective. Elle consiste adecomposer la matrice [A] sous la forme :

[A] = [L]t[D][L]

ou [L] est une matrice triangulaire inversible a diagonale unite et [D] est une matrice diago-nale dont les termes sont non nuls.

La resolution se fait dune maniere similaire a celle de Cholesky et lapproche est aussiadaptee aux multi-resolutions.

5.7 Stockage des matrices

Les matrices de rigidite utilisees par la methode sont symetriques et ont bien souvent unprofil de bande. Apres assemblage, il est bien evident que la totalite de la matrice nest pas

stockee. Il existe differentes methodes pour stocker la matrice ou ses decompositions.



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5.7. Stockage des matrices

5.7.1 Stockage symetrique

On stocke les N(N + 1)/2 termes dune triangulaire :

1 2 4 6 103 9 1 12

6 20 27 9

7

1

...

7

5.7.2 Stockage symetrique bande

On stocke toutes les bandes :

1 2 43 9 0

6 20 27 9

7

1

...

7

5.7.3 Stockage symetrique profil (skyline)

On stocke les termes des bandes ainsi que la position des termes diagonaux:

1 2 63 4 7

5 89 10

11

1

...

11

et

1359

11



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Deuxieme partie

Resolution des problemes en temps



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Chapitre 1

Discretisation temporelle

1.1 Representation des fonctions du tempsOn a vu dans le chapitre precedent que les methodes dapproximation en espace conduisent

a representer les fonctions sous la forme :

f(M) = qii(M) ; M

Lorsquon traite des problemes devolution on cherche des solutions sous la forme f(M,t).Lapproximation en espace consiste generalement a chercher ces fonctions sous la forme :

f(M,t) = qi(t)i(M) ; M ; t [0,T]

Il se pose pour la representation des fonctions du temps qi(t) les memes problemes quepour la representation des fonctions despace.

Des methodes de representation de type elements finis a la fois pour lespace et le tempsexistent, mais la methode generale consiste a representer les fonctions du temps par leursvaleurs a des instants particuliers appeles piquets de temps. Lintervalle [0,T] est divise en hintervalles identiques et on appelle pas de temps la quantite :

t =T

h

Les piquets de temps sont alors definis par :

tk = kt = k Th

; k = 1,h

La quantite de variables scalaires a stocker pour representer la fonction f(M,t) est doncN h, ou N est le nombre de degres de liberte et h le nombre de piquets de temps.

Pour la suite, on utilise la notation suivante :

q(t = tk) = qk

Par abus de langage, on confond la notion dinstant et la notion de piquet de temps : onappelle instants les piquets de temps ou sont calculees les solutions.



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1.2. Schema dintegration

1.2 Schema dintegration

On appelle schema dintegration, la relation qui lie les variables recherchees a un instant

donne aux variables supposees connues aux instants precedents :

qt = f(qt1,qt1,qt1, . . . qt2,qt2,qt2, . . .)

qt = g(qt1,qt1,qt1, . . . qt2,qt2,qt2, . . .)

qt = h(qt1,qt1,qt1, . . . qt2,qt2,qt2, . . .)

. . .

On appelle schema dintegration a un pas, un schema qui lie les variables cherchees unique-ment aux variables connues a linstant precedent.

1.3 Types de problemesLes problemes devolution consideres sont formules par un systeme dequations aux

derivees partielles en temps et en espace avec des conditions aux limites (espace) et desconditions initiales (temps).

La dependance en temps de la solution peut provenir de lexistence de termes de vitesseou dacceleration :

dans lequation dequilibre :

div + f = 2u

t2, en solide,

divq = c

t

, en thermique,

. . .

dans le comportement :

= A(u) + B(u

t), viscoelasticite,

. . .

Dans ce chapitre concernant le temps, nous considerons dabord les problemes du premierordre en temps (equation differentielles du premier ordre par rapport au temps) puis lesproblemes du second ordre. Dans la derniere partie, nous nous interessons a la recherche desolutions harmoniques.



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Chapitre 2

Problemes en temps : premier ordre

2.1 Exemple : viscoelasticiteOn considere un probleme quasistatique de viscoelasticite lineaire pour un materiau de

type Kelvin Voight. La loi du comportement est du type :

= A(u) + B(u) avec u =u

t

avec la condition initiale :u(M,t)t=0 = u0

Lenergie de deformation prend alors la forme :

12

A(u) : (u)d + 12

B(u) : (u)d

Apres la discretisation en espace :

u(M) = qi(t)i(M) et u(M) = qi(t)i(M) (i = 1 . . . N )

Lenergie de deformation devient :

Ed(u) =1

2qi(t)(

A(i) : (j )d)qj (t) +1

2qi(t)(

B(i) : (j )d)qj (t)

qui secrit :

Ed(ua) =1

2[q(t)]T[C][q(t)] +

1

2[q(t)]T[K][q(t)]

ou [C] est la matrice damortissement qui contient les termes de viscosite.Les conditions initiales secrivent sous la forme :

qi(t)t=0 = qi0 soit [q(t)]0 = [q0]

Apres minimisation, le systeme a resoudre devient :

[C][q(t)] + [K][q(t)] = [F(t)]



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2.2. Resolution explicite

Il sagit dun systeme differentiel du premier ordre de taille N. Il existe de tres nombreusesmethodes pour resoudre ce type de probleme. Parmi elles, il existe deux grandes categories :Les methodes explicites et le methodes implicites.

Apres application dune discretisation en temps, ces schemas numeriques donnent unlien entre le calcul de la fonction a un instant ti et sa valeur aux instants precedents. Nousnous limiterons aux methodes a un pas pour lesquels le calcul ne depend que des valeurs alinstant precedent.

2.2 Resolution explicite

2.2.1 Generalites

Par exemple, on cherche la solution x(t) du probleme :

dxdt

= f(x,t) x(t = 0) = x0,

le schema dintegration dEuler explicite est defini par la relation suivante :

xk =xk+1 xk

t

Ainsi, lorsquon ecrit le probleme a linstant tk et quon applique le schema, on obtient uneexpression explicite de linconnue a linstant tk+1 en fonction des donnees du pas precedent :

xk+1 = xk + tf(xk,tk)

2.2.2 Utilisation

Dans lexemple precedent de viscoelasticite, le schema dEuler explicite secrit :

[qk] =1

t([qk+1] [qk])

On lapplique a lequation dequilibre a linstant tk :

[C][qk] + [K][qk] = [Fk]

et on obtient :

[C][qk+1] = ([C] t[K])[qk] + t[Fk]On a une expression quasi-explicite des inconnues nodales a linstant tk+1, surtout dans

le cas ou [C] est diagonalisable.

2.3 Resolution implicite

2.3.1 Generalites

Par exemple, on cherche la solution x(t) du probleme :

dxdt

= f(x,t) x(t = 0) = x0,



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2.3. Resolution implicite

le schema dintegration dEuler implicite est defini par la relation suivante :

xk+1

=xk+1

xk

t

Ainsi, lorsquon le probleme a linstant tk+1 et quon applique le schema, lexpression delinconnue a linstant tk+1 nest pas explicite. Elle necessite la resolution dun probleme dontla complexite depend de f(x,t) :

xk+1 tf(xk+1,tk+1) = xk

2.3.2 Utilisation

Dans lexemple precedent de viscoelasticite, le schema dEuler implicite secrit :

[qk+1] =1

t([qk+1] [qk])

On lapplique a lequation dequilibre a linstant tk+1 :

[C][qk+1] + [K][qk+1] = [Fk+1]

et on obtient :

([C] + t[K])[qk+1] = ([C][qk] + t[Fk+1]

Il faut alors resoudre un systeme lineaire a chaque pas de temps pour obtenir les inconnues

nodales a linstant tk+1.



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Chapitre 3

Problemes en temps : deuxiemeordre

3.1 Exemple : dynamique du solide

Si on considere un probleme de dynamique du solide elastique, lequation dequilibre localdevient :

div + fd = u M ,t [0,T]Lenergie a minimiser prend alors la forme :

E(u) =1

2

uud +1

2

A(u) : (u)d

fdud

FdudS

Apres la discretisation en espace :

u(M) = qi(t)i(M) et u(M) = qi(t)i(M) (i = 1 . . . N )

et apres minimisation, le systeme a resoudre devient :

[M][q(t)] + [K][q(t)] = [F(t)]

Il sagit dun systeme differentiel lineaire du deuxieme ordre a N inconnues et a coeffi-cients constants. Il est du meme type que ceux rencontres lors de lanalyse dynamique desystemes discrets du type masse-ressorts. [M] est appelee matrice de masse et est definiepar:

Mij = i(M)j (M)dSi on considere de plus un materiau viscoelastique lequation differentielle devient :

[M][q(t)] + [C][q(t)] + [K][q(t)] = [F(t)]

mais nous ne nous interesserons pas a ce type de problemes.

3.2 Determination de la solution transitoire

3.2.1 Generalites

De meme que pour les systemes du premier ordre, il existe un grand nombre de schema

dintegration. Ici encore est faite la distinction entre schema explicites et schema implicites.Nous ne considererons ici quun exemple simple de chacun des types de schema.



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3.2. Determination de la solution transitoire

3.2.2 Resolution explicite

Le schema dEuler explicite etendu au second ordre secrit :

[qk1] =1

t2([qk+1] 2[qk] + [qk1])

On lapplique a lequation dequilibre a linstant tk1 :

[M][qk1] + [K][qk1] = [Fk1]

et on obtient :

[M][qk+1] = 2[M][qk] ([M] + t2[K])[qk1] + t2[Fk1]

On a une expression explicite des inconnues nodales a linstant tk+1, car [M] peut etresimplement diagonalisee par concentration des masses aux nuds.

3.2.3 Resolution implicite

Le schema dEuler implicite etendu au second ordre secrit :

[qk+1] =1

t2([qk+1] 2[qk] + [qk1])

On lapplique a lequation dequilibre a linstant tk+1 :

[M][q

k+1

] + [K][q

k+1

] = [F

k+1

]

et on obtient :

([M] + t2[K])[qk+1] = 2[M][qk] [M][qk1] + t2[Fk+1]Les inconnues nodales a linstant tk+1 sont alors obtenues par resolution dun systeme

lineaire.

3.2.4 Utilisation des differents schemas

Certain de ces schemas dintegration sont soumis a des conditions sur la taille du pas

de temps assurant la stabilite du schema. Ceci est particulierement vrai pour les schemasexplicites. La stabilite de ces schemas nest assuree que lorsque le pas de temps t est pluspetit que le temps necessaire pour quune onde traverse un element. Le critere de choix dupas de temps est de la forme :

t c

ou est la taille du plus petit element du maillage et c est la celerite des ondes longitudinalesdans le materiau. Cette condition de stabilite est appelee condition de Courant. Il va sansdire quavec un tel critere, le nombre de piquets de temps peut devenir tres important lorsquele maillage est fin.

On distingue alors deux classes de problemes du deuxieme ordre :

Les problemes lents, caracterises par des temps de chargement longs par rapport ala duree de letude (figure 3.1). Un petit nombre de pas de temps est necessaire a la



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3.3. Solution du probleme homogene

T

F

Fig. 3.1 Chargement lent

fois a la description des variations du chargement et a la description de la solution.Pour ces problemes, on preferera utiliser les schemas implicites pour profiter de leurs

caracteristiques de stabilite.Dans le domaine de la dynamique des solides, ce type de probleme sera plutot du genrechoc lent, ou propagation dondes lentes.

Les problemes rapides, caracterises par des temps de chargement courts par rapport ala duree de letude (figure 3.2). Il est alors obligatoire dutiliser un grand nombre depas de temps pour representer les variations du chargement. Les schemas implicitesdeviennent alors trop couteux et on leur preferera les schemas explicites (la taille dupas de temps netant sans doute pas trop eloignee de celle assurant la stabilite).

T

F

Fig. 3.2 Chargement rapide

Dans le domaine de la dynamique des solides, ce type de probleme sera plutot du genrechoc crash.

3.3 Solution du probleme homogene

3.3.1 Modes propres

On cherche les solutions du probleme homogene :

[M][q(t)] + [K][q(t)] = 0,

sous la forme :[q(t)] = [q]eit

Cest-a-dire quon cherche tous les couples (j ,[qj ]) tels que :

([K] 2[M])[q] = 0



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3.3. Solution du probleme homogene

Les j sont les pulsations propres du systeme et les [qj ] sont les modes propres associes.[M] etant une matrice (N N) symetrique, definie et positive, elle peut etre factorisee

par la methode de Cholesky sous la forme :

[M] = [L][L]t

ou [L] est une matrice triangulaire.On peut alors reecrire le probleme precedent sous la forme du probleme aux valeurs

propres :[A][X] = [X]

en posant :[A] = [L]1[K][L]t ; = 2 ; [X] = [L]t[q]

La matrice [M] etant une matrice (N N) symetrique, definie et positive, elle a doncN valeurs propres j associees aux N vecteurs propres [Xj ]. Elles donnent les pulsationspropres du systeme et les modes propres associes :

j =

j ; [qj ] = [L]t[Xj ]

3.3.2 Approche par la methode de Rayleigh-Ritz

Le cours de vibrations de matrise a introduit la methode de Rayleigh-Ritz pour lap-proximation des modes et frequences propres dun systeme continu. De meme que pour lamethode de Ritz, la methode de Rayleigh-Ritz est basee sur lutilisation de fonctions de basedefinies analytiquement sur tout le domaine.

Lutilisation dune base de fonctions de type elements finis dans la methode de Rayleigh-

Ritz conduit au probleme aux valeurs propres du paragraphe precedent. En effet, le quotientde Rayleigh est :

R([q]) = 2 =[q]t[K][q]

[q]t[M][q]

et en ecrivant que la solution minimise ce quotient, on obtient :

R([q])

[q]=

[K][q].[q]t[M][q] q]t[K][q].[M][q]([q]t[M][q])2

= 0

[K][q]

[q]t[M][q] [q]

t[K][q]

[q]t[M][q]

[M][q]

[q]t[M][q]= 0 =

[K][q] 2[M][q][q]t[M][q]

soit le probleme aux valeurs propres

([K] 2[M])[q] = 0

3.3.3 Utilisation pratique

La recherche des frequences et modes propres est numeriquement tres couteuse. Mais,dans la pratique, on ne recherche jamais tous les modes de vibration. On se limite auxquelques premiers modes (les N/10 premiers, par exemple). En effet, les modes dordres elevessont associes a des phenomenes a petite longueur donde quil parat difficile de representerlorsque la longueur donde est plus petite que la taille dun element. Ce phenomene estillustre sur la figure 3.3 qui donne les quatre premiers modes de flexion dune poutre. On

montre clairement que, pour quatre elements, il est delicat de representer plus que les deuxou trois premiers modes.



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3.4. Analyse modale

1 2 3 4 5

I

II

?III

?IV

Fig. 3.3 Quatre premiers modes de flexion dune poutre

3.4 Analyse modale

On peut montrer que les modes de vibration de la structure forment une base. Il peutparatre interessant de chercher la solution en temps du probleme sous forme dune approxi-mation par projection sur la base des quelques premiers modes propres :

[q(t)] = ap(t)[qp] p = 1 . . . m , m NLa recherche de [q(t)], cest-a-dire de N fonctions du temps scalaire, est remplacee par la

recherche de quelques fonctions du temps scalaires ap(t). Lorsquon dispose deja des premiersmodes et lorsque le nombre N de degres de liberte est important, cette approche peut savererparticulierement efficace.

Par ailleurs, lorsque les modes sont associes a des mouvements simples de la structure, ilpeut etre facile dimaginer le nombre de modes a utiliser pour representer le phenomene. Par

exemple, sur la figure 3.4, il est clair que seul le mode I est necessaire a la representation de lasolution du premier probleme (flexion) et que le mode I seul ne permet pas la representationde la solution du deuxieme probleme (torsion).



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3.4. Analyse modale

I

II

Fig. 3.4 deux premiers modes de vibration dune plaque encastree



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Bibliographie

Bibliographie

[1] A. Curnier. Methodes Numeriques en Mecanique des Solides. Presses Polytechniques etUniversitaires Romanes, 1993.

[2] M. Geradin and D. Rixen. Application a la dynamique des structures. Masson, 1993.

[3] R.J. Gibert. Vibrations des Structures. Eyrolles, 1988.

[4] T. Gmur. Dynamique des Structures Analyse Modale Numerique. Presses Polytech-niques et Universitaires Romanes, 1997.

[5] J.F. Imbert. Analyse des structures par Elements Finis - 3eme edition. CEPADUESEditions, 1997.

[6] O.C. Zienkiewicz and R.L. Taylor. The Finite Element Method, Basic Formulations andLinear Problems, 4th edition. Mac Graw Hill, 1994. (existe en francais).

Documents

Méthodes Numériques pour la Mécanique