MFA EAU

Mécanique des fluides appliquée à l’eau 4

Sommaire

1. HYDROSTATIQUE .............................................................................................................. 11 1.1. Rappels théoriques .......................................................................................................... 11

1.1.1. Pression statique ........................................................................................................ 11 1.1.2. Pression relative et pression absolue ......................................................................... 11 1.1.3. Lois fondamentales et principes de l'hydrostatique ................................................... 11 1.1.4. Théorème de Pascal (ou principe de Pascal) ............................................................. 11 1.1.5. Principe d'Archimède ................................................................................................ 12 1.1.6. Action d'un fluide pesant sur une paroi immergée .................................................... 12

1.1.6.1. Action d'un fluide sur une paroi horizontale ...................................................... 12 1.1.6.2. Action d'un fluide sur une paroi verticale .......................................................... 13 1.1.6.3. Action d'un fluide sur une plaque inclinée immergée à une profondeur a de la

surface libre ........................................................................................................ 13 1.1.6.4. Tableau de synthèse pour le calcul des centres de poussée, pour des formes

simples ............................................................................................................... 14

1.2. Exercices d'hydrostatique ............................................................................................... 15 1.2.1. Exercice : mesure de pression en fonction de la masse volumique du fluide ........... 15 1.2.2. Exercice : mesure des hauteurs des 3 fluides en équilibre hydrostatique dans un tube

en U de même section ............................................................................................... 15 1.2.3. Exercice : équilibre hydrostatique de 3 fluides non miscibles dans un tube en U dont

les sections sont différentes ....................................................................................... 15 1.2.4. Exercice : mesure de la hauteur d’eau dans un réservoir .......................................... 16 1.2.5. Exercice : différence de pression hydrostatique entre deux réservoirs fermés .......... 16 1.2.6. Exercice : différence de hauteur d'eau entre deux réservoirs connectés ................... 16 1.2.7. Exercice : hauteur de fluide dans les piézomètres ..................................................... 17

1.3. Exercice Principe de Pascal ............................................................................................ 17

1.3.1. Exercice : transmission de pression ........................................................................... 17

1.4. Exercices Théorème d'Archimède ................................................................................. 17 1.4.1. Exercice : flotteur ...................................................................................................... 17 1.4.2. Exercice : poids réel d'un corps immergé .................................................................. 17 1.4.3. Exercice : fonte de glaçon ......................................................................................... 17 1.4.4. Exercice : volume immergé d'un iceberg .................................................................. 18 1.4.5. Exercice : au temps d'Archimède .............................................................................. 18

1.5. Exercices Poussée hydrostatique .................................................................................... 18

1.5.1. Exercice : poussée hydrostatique sur la paroi d'un barrage ....................................... 18 1.5.2. Exercice : vanne verticale .......................................................................................... 18 1.5.3. Exercice : vanne inclinée ........................................................................................... 18 1.5.4. Exercice : vanne inclinée immergée .......................................................................... 18 1.5.5. Exercice : poussée hydrostatique sur le bouchon d'un réservoir ............................... 19

1.6. Solution des exercices du chapitre 1 .............................................................................. 20

1.6.1. Exercices d'hydrostatique .......................................................................................... 20 1.6.1.1. Solution : mesure de pression en fonction de la masse volumique du fluide .... 20 1.6.1.2. Solution : mesure des hauteurs des 3 fluides en équilibre hydrostatique dans un

U de même section ............................................................................................. 20 1.6.1.3. Solution : équilibre hydrostatique de 3 fluides non miscibles dans un U de

sections différentes ............................................................................................. 20 1.6.1.4. Solution : mesure de la hauteur d’eau dans un réservoir ................................... 21 1.6.1.5. Solution : différence de pression hydrostatique entre deux réservoirs fermés .. 21 1.6.1.6. Solution : différence de hauteur d'eau entre deux réservoirs connectés ............ 22

Sommaire 5

1.6.1.7. Solution : hauteur de fluide dans les piézomètres .............................................. 22 1.6.2. Exercice sur le principe de Pascal .............................................................................. 22

1.6.2.1. Solution : transmission de pression .................................................................... 22 1.6.3. Exercices théorème d'Archimède .............................................................................. 22

1.6.3.1. Solution : flotteur ............................................................................................... 22 1.6.3.2. Solution : poids réel d'un corps immergé ........................................................... 23 1.6.3.3. Solution : fonte de glaçon .................................................................................. 23 1.6.3.4. Solution : volume immergé d'un iceberg ........................................................... 23 1.6.3.5. Solution : au temps d'Archimède ....................................................................... 23

1.6.4. Exercices poussée hydrostatique ............................................................................... 24 1.6.4.1. Solution : poussée hydrostatique sur la paroi d'un barrage ................................ 24 1.6.4.2. Solution : vanne verticale ................................................................................... 24 1.6.4.3. Solution : vanne inclinée .................................................................................... 25 1.6.4.4. Solution : vanne inclinée immergée ................................................................... 25 1.6.4.5. Solution : poussée hydrostatique sur le bouchon d'un réservoir ........................ 26

2. APPLICATION DES LOIS DE L'HYDRODYNAMIQUE DANS LES

ECOULEMENTS PERMANENTS EN CHARGE ............................................................. 27 2.1. Rappels théoriques .......................................................................................................... 27

2.1.1. Equation de la conservation de la masse ou équation de continuité ........................... 27 2.1.2. Equation de la conservation de l'énergie (théorème de Bernoulli).............................. 27

2.1.2.1. Interprétation graphique du théorème de Bernoulli ........................................... 28 2.1.3. Théorème d'Euler ........................................................................................................ 28

2.1.3.1. Action d'un jet sur un coude caractérisé par un angle α et sans variation de section ................................................................................................................. 29

2.1.4. Théorème de Torricelli ................................................................................................ 29 2.1.4.1. Fluide idéal ......................................................................................................... 29 2.1.4.2. Fluide réel .......................................................................................................... 29

2.1.5. Temps de vidange totale d'un réservoir cylindrique.................................................... 30 2.1.5.1. Vidange totale pour un fluide parfait ................................................................. 30 2.1.5.2. Vidange totale pour un fluide réel ...................................................................... 30

2.1.6. Pertes de charge ........................................................................................................... 31 2.1.6.1. Perte de charge linéaire ...................................................................................... 31 2.1.6.2. Perte de charge singulière .................................................................................. 32

2.2. Exercices Théorème d'Euler ........................................................................................... 33

2.2.1. Exercice : poussée hydrodynamique sur un coude ...................................................... 33 2.2.2. Exercice : poussée hydrodynamique et perte de charge dans un élargissement

brusque ........................................................................................................................ 33 2.2.3. Exercice : poussée hydrodynamique d'une lance à incendie ....................................... 33

2.3. Exercices Application du théorème de Torricelli ......................................................... 33

2.3.1. Exercice : temps de vidange d'un réservoir ................................................................. 33 2.3.2. Exercice : débit et différence de hauteur piézométrique ............................................. 34 2.3.3. Exercice : débit et hauteur de cavitation dans la canalisation de vidange d'un

réservoir ...................................................................................................................... 34 2.3.4. Exercice : temps pour égalisation des niveaux de 2 réservoirs connectés .................. 35 2.3.5. Exercice : pression, perte de charge et temps d'égalisation des niveaux ..................... 35 2.3.6. Exercice : horloge à eau .............................................................................................. 35

2.4. Exercices Siphon .............................................................................................................. 36

2.4.1. Exercice : pression et hauteur maximale de siphonnage ............................................. 36 2.4.2. Exercice : débit, pression et hauteur de cavitation ...................................................... 37 2.4.3. Exercice : étude d’un cycle vidange-remplissage d'un réservoir ................................ 37


2.5. Exercices Pertes de charge ............................................................................................. 38 2.5.1. Exercice : différence de pression dans un venturi ....................................................... 38 2.5.2. Exercice : accélération d'un fluide dans un convergent .............................................. 38 2.5.3. Exercice : différence de pression dans un divergent ................................................... 38 2.5.4. Exercice : différents calculs de la perte de charge dans une canalisation ................... 39 2.5.5. Exercice : coefficient de perte de charge linéaire dans un conduit relié à un

réservoir ...................................................................................................................... 39 2.5.6. Exercice : relation entre vitesse d'écoulement et perte de charge dans une

canalisation .................................................................................................................. 39 2.5.7. Exercice : relation entre diamètre de canalisation et perte de charge ......................... 39 2.5.8. Exercice : relation entre débit d'écoulement et pression dans une canalisation .......... 40 2.5.9. Exercice : répartition des débits entre réservoirs connectés (solution par

solveur) ....................................................................................................................... 40 2.5.10. Exercice : répartition des débits dans un réseau ramifié (solution graphique) ......... 40 2.5.11. Exercice : pression dans une canalisation reliant deux réservoirs ............................ 41 2.5.12. Exercice : débits de vannes de purge de réservoir .................................................... 41 2.5.13. Exercice : réservoir alimentant gravitairement deux autres réservoirs ..................... 41 2.5.14. Exercice : répartition des débits d'alimentation gravitaire ........................................ 42 2.5.15. Exercice : répartition des débits dans une installation d'alimentation gravitaire ...... 43 2.5.16. Exercice : répartition des débits dans une installation gravitaire .............................. 43 2.5.17. Exercice : puissance hydraulique d'une perte de charge dans une canalisation ........ 43 2.5.18. Exercice : puissance hydraulique nécessaire pour un débit donné dans une

canalisation ................................................................................................................ 44 2.5.19. Exercice : évaluation de la longueur de canalisation entre deux réservoirs d'un

système hydraulique gravitaire ................................................................................. 44 2.5.20. Exercice : étude d'un système hydraulique gravitaire débouchant en gueule bée .... 44

2.6. Exercices Conduites en série .......................................................................................... 45

2.6.1. Exercice : évaluation des pertes de charge des canalisations en série reliant deux réservoirs .................................................................................................................... 45

2.6.2. Exercice : évaluation du débit d'écoulement dans des canalisations en série débouchant à l'air libre ................................................................................................ 45

2.6.3. Exercice : débit et pression dans des canalisations en série ........................................ 45 2.6.4. Exercice : débit dans des conduites en série ............................................................... 46 2.6.5. Exercice : débit dans des conduites en série et longueur équivalente ......................... 46

2.7. Exercices Conduites en parallèle ................................................................................... 46

2.7.1. Exercice : répartition des débits et pressions dans des conduites en parallèle ............ 46 2.7.2. Exercice : répartition des débits dans des conduites en parallèle ............................... 46 2.7.3. Exercice : répartition des débits et longueur équivalente dans des conduites en

parallèle ....................................................................................................................... 47 2.7.4. Exercice : longueur équivalente des conduites en parallèle ........................................ 47 2.7.5. Exercice : répartition des débits dans un système hydraulique avec des conduites en

parallèle ...................................................................................................................... 47 2.7.6. Exercice : application de la méthode Hardy-Cross pour l'évaluation des débits dans

des conduites en parallèle ............................................................................................ 48

2.8. Solution des exercices du chapitre 2 .............................................................................. 49 2.8.1. Exercices Théorème d'Euler ....................................................................................... 49

2.8.1.1. Solution : poussée sur un coude ......................................................................... 49 2.8.1.2. Solution : élargissement brusque ....................................................................... 49 2.8.1.3. Solution : lance à incendie ................................................................................. 50

2.8.2. Exercices Théorème de Torricelli ............................................................................... 50 2.8.2.1. Solution : temps de vidange d'un réservoir ........................................................ 50

Sommaire 7

2.8.2.2. Solution : débit et différence de hauteur piézométrique .................................... 51 2.8.2.3. Solution : cavitation dans une canalisation de vidange ...................................... 51 2.8.2.4. Solution : égalisation des niveaux de 2 réservoirs connectés ............................ 52 2.8.2.5. Solution : pression et perte de charge et temps d'égalisation des niveaux ......... 52 2.8.2.6. Solution : horloge à eau ..................................................................................... 53

2.8.3. Exercices : siphon ........................................................................................................ 55 2.8.3.1. Solution : pression et hauteur maximale de siphonnage .................................... 55 2.8.3.2. Solution : débit, pression et hauteur de cavitation ............................................. 56 2.8.3.3. Solution : étude d'un cycle de vidange-remplissage d'un réservoir ................... 57

2.8.4. Exercices Perte de charge ............................................................................................ 58 2.8.4.1. Solution : perte de charge dans un venturi ......................................................... 58 2.8.4.2. Solution : accélération d'un fluide dans un convergent ...................................... 59 2.8.4.3. Solution : différence de pression dans un divergent .......................................... 59 2.8.4.4. Solution : différents calculs de perte de charge dans une canalisation .............. 59 2.8.4.5. Solution : coefficient de perte de charge linéaire dans une canalisation............ 60 2.8.4.6. Solution : relation entre vitesse d'écoulement et perte de charge ...................... 60 2.8.4.7. Solution : relation entre diamètre et perte de charge ......................................... 61 2.8.4.8. Solution : relation entre débit et pression dans une canalisation ....................... 61 2.8.4.9. Solution : répartition des débits dans un réseau ramifié (solution par solveur) . 62 2.8.4.10. Solution : répartition des débits dans un réseau ramifié (solution graphique) . 62 2.8.4.11. Solution : pression dans une canalisation ........................................................ 64 2.8.4.12. Solution : débits des vannes de purge .............................................................. 65 2.8.4.13. Solution : réservoir alimentant gravitairement 2 autres ................................... 66 2.8.4.14. Solution : répartition des débits d'alimentation gravitaire ............................... 66 2.8.4.15. Solution : répartition des débits dans une installation d'alimentation

gravitaire .......................................................................................................... 67 2.8.4.16. Solution : répartition des débits dans une installation gravitaire ..................... 68 2.8.4.17. Solution : puissance hydraulique d'une perte de charge dans une

canalisation ...................................................................................................... 69 2.8.4.18. Solution : puissance hydraulique nécessaire pour un débit donné dans une

canalisation ...................................................................................................... 69 2.8.4.19. Solution : évaluation de la longueur de canalisation entre 2 réservoirs d'un

système hydraulique gravitaire ........................................................................ 70 2.8.4.20. Solution : étude d'un système hydraulique gravitaire débouchant en gueule

bée .................................................................................................................... 70 2.8.5. Exercices Conduites en série ....................................................................................... 71

2.8.5.1. Solution : évaluation des pertes de charge des canalisations en série reliant deux réservoirs ........................................................................................................... 71

2.8.5.2. Solution : évaluation du débit d'écoulement dans des canalisations en série débouchant à l'air libre ....................................................................................... 71

2.8.5.3. Solution : débit et pression dans des canalisations en série ............................... 71 2.8.5.4. Solution : débit dans des conduites en série ....................................................... 72 2.8.5.5. Solution : débit dans des conduites en série et longueur équivalente ................ 72

2.8.6. Exercices Conduites en parallèle ................................................................................. 72 2.8.6.1. Solution : répartition des débits et pressions dans des conduites en parallèle ... 72 2.8.6.2. Solution : répartition des débits dans des conduites en parallèle ....................... 73 2.8.6.3. Solution : répartition des débits et longueur équivalente dans des conduites en

parallèle .............................................................................................................. 73 2.8.6.4. Solution : longueur équivalente des conduites en parallèle ............................... 74 2.8.6.5. Solution : répartition des débits dans un système hydraulique avec des conduites

en parallèle ......................................................................................................... 74 2.8.6.6. Solution : application de la méthode Hardy-Cross pour l'évaluation des débits

dans des conduites en parallèle .......................................................................... 75


3. CARACTERISTIQUES GENERALES DES POMPES .................................................... 77 3.1. Rappels théoriques .......................................................................................................... 77

3.1.1. Hauteur manométrique totale ...................................................................................... 77 3.1.2. Puissance hydraulique ................................................................................................. 77 3.1.3. Rendement .................................................................................................................. 77 3.1.4. Lois de similitude pour une pompe centrifuge............................................................ 77

3.1.4.1. Pompes semblables ou pompes homologues ..................................................... 77 3.1.4.2. Rognage des roues ............................................................................................. 78 3.1.4.3. Changement de vitesse ....................................................................................... 78

3.1.5. Notions de NPSH disponible et NPSH requis ............................................................ 79 3.1.5.1. NPSH disponible ................................................................................................ 79 3.1.5.2. NPSH requis ...................................................................................................... 79 3.1.5.3. Condition de fonctionnement d'une pompe ....................................................... 79

3.1.6. Couplage des pompes ................................................................................................. 79 3.1.6.1. Couplage en série ............................................................................................... 79 3.1.6.2. Couplage en parallèle ......................................................................................... 80

3.2. Exercices caractéristiques de pompe et étude de réseau muni d'une pompe ............ 82

3.2.1. Exercice : détermination du NPSH et de la puissance de pompe ............................... 82 3.2.2. Exercice : NPSH et hauteur de cavitation ................................................................... 82 3.2.3. Exercice : hauteur de cavitation d'une pompe ............................................................. 82 3.2.4. Exercice : débit et HMT de pompe dans un circuit hydraulique ................................ 83 3.2.5. Exercice : débit de pompage et temps de remplissage d'un réservoir ......................... 83 3.2.6. Exercice : puissance hydraulique de pompe ............................................................... 83 3.2.7. Exercice : puissance hydraulique d'une pompe nécessaire pour un temps de

remplissage donné ...................................................................................................... 84 3.2.8. Exercice : apport de la pompe dans un réseau hydraulique ........................................ 84 3.2.9. Exercice : débit et puissance de pompe dans un système hydraulique ....................... 84 3.2.10. Exercice : puissance hydraulique pour un débit donné ............................................. 84 3.2.11. Exercice : débit et puissance hydraulique dans un système hydraulique .................. 85 3.2.12. Exercice : caractéristiques d'une pompe immergée dans un circuit de pompage ..... 85 3.2.13. Exercice : point de fonctionnement d'une pompe dans un réseau ............................ 85 3.2.14. Exercice : répartition des débits dans un réseau de 3 réservoirs dont l'un est muni

d'une pompe .............................................................................................................. 86 3.2.15. Exercice : étude d'un réseau hydraulique muni d'une pompe ................................... 86 3.2.16. Exercice : répartition des débits dans un réseau en parallèle dont l'une des

branches est munie d'une pompe ............................................................................... 87 3.2.17. Exercice : hauteur de cavitation d'une pompe en fonction de la valeur de la pression

atmosphérique ........................................................................................................... 87 3.2.18. Exercice : pompes semblables (détermination du nouveau diamètre et de la nouvelle

vitesse) ...................................................................................................................... 87 3.2.19. Exercice : rognage et changement de vitesse de pompe ........................................... 87

3.3. Exercices avec 2 pompes ................................................................................................. 88

3.3.1. Exercice : point de fonctionnement d'une pompe seule et de 2 pompes identiques en parallèle ...................................................................................................................... 88

3.3.2. Exercice : point de fonctionnement des pompes identiques en série ou en parallèle ....................................................................................................................... 88

3.3.3. Exercice : point de fonctionnement des pompes différentes en parallèle ................... 88

3.4. Solution des exercices du chapitre 3 .............................................................................. 89 3.4.1. Caractéristiques de pompe et étude de réseau muni d'une pompe .............................. 89

3.4.1.1. Solution : détermination du NPSH et de la puissance de pompe ....................... 89 3.4.1.2. Solution : NPSH et hauteur de cavitation .......................................................... 90

Sommaire 9

3.4.1.3. Solution : hauteur de cavitation d'une pompe .................................................... 90 3.4.1.4. Solution : débit et HMT de pompe dans un circuit hydraulique ........................ 90 3.4.1.5. Solution : débit de pompage et temps de remplissage d'un réservoir ................ 91 3.4.1.6. Solution : puissance hydraulique de pompe ....................................................... 91 3.4.1.7. Solution : puissance hydraulique d'une pompe nécessaire pour un temps de

remplissage donné .............................................................................................. 92 3.4.1.8. Solution : apport de la pompe dans un réseau hydraulique ................................ 92 3.4.1.9. Solution : débit et puissance de pompe dans un système hydraulique ............... 92 3.4.1.10. Solution : puissance hydraulique pour un débit donné .................................... 93 3.4.1.11. Solution : débit et puissance hydraulique dans un système hydraulique ......... 94 3.4.1.12. Solution : caractéristiques d'une pompe immergée dans un circuit de

pompage ........................................................................................................... 95 3.4.1.13. Solution : point de fonctionnement d'une pompe dans un réseau .................... 95 3.4.1.14. Solution : répartition des débits dans un réseau de 3 réservoirs dont l'un est

muni d'une pompe ............................................................................................ 95 3.4.1.15. Solution : étude d'un réseau hydraulique muni d'une pompe ........................... 97 3.4.1.16. Solution : répartition des débits dans un réseau en parallèle dont l'une des

branches est munie d'une pompe ..................................................................... 97 3.4.1.17. Solution : hauteur de cavitation d'une pompe en fonction de la valeur de la

pression atmosphérique .................................................................................... 97 3.4.1.18. Solution : pompes semblables (détermination du nouveau diamètre et de la

nouvelle vitesse)............................................................................................... 98 3.4.1.19. Solution : rognage et changement de vitesse de pompe ................................... 98

3.4.2. Exercices avec 2 pompes ............................................................................................. 99 3.4.2.1. Solution : point de fonctionnement d'une pompe seule et de 2 pompes identiques

en parallèle ............................................................................................................ 99 3.4.2.2. Solution : point de fonctionnement des pompes identiques en série ou en

parallèle .............................................................................................................. 100 3.4.2.3. Solution : point de fonctionnement des pompes différentes en parallèle ........... 101

4. APPLICATION DES LOIS DE L'HYDRODYNAMIQUE DANS LES

ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE ............................................................................ 103 4.1. Rappels théoriques ........................................................................................................ 103

4.1.1. Paramètres géométriques ........................................................................................... 103 4.1.2. Paramètres hydrauliques ........................................................................................... 103

4.1.2.1. Charge hydraulique ............................................................................................ 103 4.1.2.2. Charge spécifique ............................................................................................... 103

4.1.3. Différents régimes d'écoulement ............................................................................... 104 4.1.3.1. Régime permanent .............................................................................................. 104 4.1.3.2. Ecoulement uniforme ......................................................................................... 104 4.1.3.3. Ecoulement permanent uniforme ....................................................................... 104 4.1.3.4. Ecoulement permanent varié .............................................................................. 104 4.1.3.5. Régime transitoire .............................................................................................. 105

4.1.4. Calcul inhérent aux différents régimes ...................................................................... 105 4.1.4.1. Equation du régime uniforme ............................................................................. 105 4.1.4.2. Equation pour le régime permanent graduellement varié .................................. 105 4.1.4.3. Ressaut hydraulique ........................................................................................... 107

4.1.5. Déversoir ................................................................................................................... 107 4.1.5.1. Déversoir submergé ou noyé .............................................................................. 108

4.2. Exercices Ecoulement à surface libre .......................................................................... 109

4.2.1. Exercice : caractéristiques géométriques des canaux et débits ................................. 109 4.2.2. Exercice : étude de l'écoulement dans un canal rectangulaire .................................. 109 4.2.3. Exercice : débit et section critique ............................................................................ 110


4.2.4. Exercice : pente critique dans un canal rectangulaire ............................................... 110 4.2.5. Exercice : ressaut et régimes d'écoulement dans un canal rectangulaire .................. 110 4.2.6. Exercice : déversoir à mince paroi dans un canal rectangulaire ............................... 110 4.2.7. Exercice : lame d'approche du déversoir rectangulaire en mince paroi .................... 110 4.2.8. Exercice : écoulement dans un venturi ..................................................................... 111 4.2.9. Exercice : écoulement dans un venturi avec changement de pente .......................... 111

4.3. Solution des exercices du chapitre 4 ............................................................................ 112

4.3.1.1. Solution : caractéristiques géométriques des canaux et débits .......................... 112 4.3.1.2. Solution : étude de l'écoulement dans un canal rectangulaire ............................ 112 4.3.1.3. Solution : débit et section critique...................................................................... 113 4.3.1.4. Solution : pente critique dans un canal rectangulaire ........................................ 113 4.3.1.5. Solution : ressaut et régimes d'écoulement dans un canal rectangulaire ........... 113 4.3.1.6. Solution : déversoir à mince paroi dans un canal rectangulaire ......................... 113 4.3.1.7. Solution : lame d'approche du déversoir rectangulaire à mince paroi ............... 114 4.3.1.8. Solution : écoulement dans un venturi ............................................................... 114 4.3.1.9. Solution : écoulement dans un venturi avec changement de pente .................... 115

5. PROBLEMES ET ANNALES ............................................................................................ 116

5.1. Problème 1 : étude d'un réseau hydraulique .................................................................... 116 5.2. Problème 2 : étude d'un système de pompage en parallèle ............................................. 117 5.3. Problème 3 : calcul de pertes de charge selon deux méthodes différentes ..................... 119 5.4. Problème 4 : étude du circuit d'aspiration d'une pompe .................................................. 120 5.5. Annales BTS GEMEAU 2004 1re session (partie hydraulique) ...................................... 123 5.6. Annales BTS GEMEAU 2004 2e session (partie hydraulique) ....................................... 127 5.7. Annales BTS GEMEAU 2005 1re session (partie hydraulique) ...................................... 132 5.8. Annales BTS GEMEAU 2005 2e session (partie hydraulique) ....................................... 135 5.9. Annales BTS GEMEAU 2006 1re session (partie hydraulique) ...................................... 138 5.10. Annales BTS GEMEAU 2006 2e session (partie hydraulique) ..................................... 146 5.11. Annales BTS GEMEAU 2007 1re session (partie hydraulique) .................................... 150 5.12. Annales BTS GEMEAU 2007 2e session (partie hydraulique) ..................................... 155

6. SOLUTION DES PROBLEMES ET ANNALES ............................................................. 162

6.1. Solution problème 1 : étude d'un réseau hydraulique ...................................................... 162 6.2. Solution problème 2 : étude d'un système de pompage en parallèle ................................ 164 6.3. Solution problème 3 : calcul de pertes de charge selon deux méthodes différentes ........ 166 6.4. Solution problème 4 : étude du circuit d'aspiration d'une pompe .................................... 168 6.5. Solution Annales BTS GEMEAU 2004 1re session (partie hydraulique) ........................ 169 6.6. Solution Annales BTS GEMEAU 2004 2e session (partie hydraulique) ......................... 172 6.7. Solution Annales BTS GEMEAU 2005 1re session (partie hydraulique) ........................ 175 6.8. Solution Annales BTS GEMEAU 2005 2e session (partie hydraulique) ......................... 177 6.9. Solution Annales BTS GEMEAU 2006 1re session (partie hydraulique) ........................ 181 6.10. Solution Annales BTS GEMEAU 2006 2e session (partie hydraulique) ....................... 187 6.11. Solution Annales BTS GEMEAU 2007 1re session (partie hydraulique) ...................... 190 6.12. Solution Annales BTS GEMEAU 2007 2e session (partie hydraulique) ....................... 192

7. ANNEXES ............................................................................................................................. 196 7.1. Propriétés de l'eau ............................................................................................................ 196 7.2. Abaque de Moody ............................................................................................................ 197

8. REFERENCES ..................................................................................................................... 198

Hydrostatique 11

1. HYDROSTATIQUE

1.1 Rappels théoriques 1.1.1 Pression statique

La pression statique est la force qu’exerce un fluide au repos sur une certaine surface. Cette force est son poids, donc dû à la pesanteur. Dans le cas d'un cylindre rempli d'eau par exemple, la pression statique exercée par le fluide sur

le fond du cylindre est : Poids de l'eau m.gPression statique = =Surface S

Or hSVm ... ρρ == où ρ est la masse volumique du fluide, S est la surface de la base du cylindre et h, la hauteur de fluide. D’où, la pression statique exercée par le fluide est égale à : hgP ..ρ= .

1.1.2 Pression relative et pression absolue La pression effective en un point du liquide est la pression due au liquide seulement, en ne tenant pas compte de la pression atmosphérique.

queatmosphérirelativeabsolue PPP +=

1.1.3 Lois fondamentales et principes de l'hydrostatique

Les lois fondamentales de l'hydrostatique se résument aux énoncés suivants :

• pour la première loi, la pression est identique en tous les points d'un plan horizontal dans un fluide au repos (surface isobare) ;

• pour la seconde loi, la différence de pression entre 2 niveaux dans un fluide au repos ne dépend que de ce fluide et de la hauteur séparant ces 2 niveaux. En effet, soit un liquide au repos, homogène et incompressible, pour deux points A et B situés à des altitudes différentes (voir schéma ci-dessous), les pressions statiques PA et PB sont égales à : PA = ρ. g. zA + Patm et PB = ρ. g.zB + Patm d’où hgPP AB ..ρ=− où : PA et PB sont exprimées en Pa, ρ la masse volumique du fluide constante en kg/m3 et g l’accélération de la pesanteur en m/s2.

PA

PB h zB

zA

Les principes fondamentaux de la statique des fluides peuvent être illustrés par l'exemple ci-contre :

• pour le premier principe, la différence de pression entre 2 niveaux dans un fluide au repos ne dépend ni de la forme du contenant ni du volume de fluide au-dessus de ces niveaux,

• pour le second principe, c'est l'additivité des pressions c'est-à-dire que la pression à un niveau peut être déduite de la pression du niveau plus élevé par ajout de la pression due à la colonne de fluide au repos les séparant

• pour le troisième principe, tous les points d’un fluide situés sur un même plan horizontal sont à la même pression et ce quelle que soit la forme du contenant.

1.1.4 Théorème de Pascal (ou principe de Pascal)

Toute variation de pression en un point d'un liquide ou d’un fluide en général entraîne la même variation en tous ses points. Le principe de fonctionnement d'une presse hydraulique repose sur ce théorème.


1.4.4 Exercice : volume immergé d'un iceberg Un iceberg, dont le volume V est de 500 m3 flotte à la surface de l'océan ; quel est le volume immergé sachant que la masse volumique de la glace ρglace est de 920 kg.m-3, celle de l'eau océanique 1 028 kg.m-3 (avec g = 9,81 m.s-²). Idem dans une rivière où ρrivière = 1 000 kg.m-3 ?

1.4.5 Exercice : au temps d'Archimède

La couronne de Hiéron, tyran de Syracuse, pesait 7 465 g. Immergée dans l'eau, elle semblait ne peser que 6 998 g. Montrer que cette couronne n'est pas en or pur. Calculer la composition de la couronne sachant qu'elle contient de l'argent et de l'or. Données : masse volumique de l'or : 19,3 g.cm-3 ; de l'argent : 10,5 g.cm-3.

1.5 Exercices Poussée hydrostatique 1.5.1 Exercice : poussée hydrostatique sur la paroi d'un barrage

Un barrage a 50 m de haut et 120 m de large. Quelle est la force de poussée de l'eau sur la paroi du barrage et déterminer la cote de son centre de poussée.

1.5.2 Exercice : vanne verticale

côté amont

côté aval

Z1

Z2

Z3

Eau Eau

Soit une vanne de retenue d'eau : 1) Trouver les pressions absolues et relatives sur la vanne aux cotes z1, z2 et z3 du côté amont et du côté aval. données : z1 = 0 m ; z2 = 2 m ; z3 = 3 m avec g = 10 m.s-2 et ρeau = 1 000 kg/m3 2) Si la vanne a une largeur L de 2 m, déterminer la poussée sur la vanne et la cote du centre de poussée.

1.5.3 Exercice : vanne inclinée

1,5 m

6 m

60° A

B

Déterminer la poussée résultante sur la vanne AB large de 0,8 m et la profondeur du centre de poussée.

1.5.4 Exercice : vanne inclinée immergée

1,5 m

3 m

45°

A

B

Soit la porte rectangulaire montrée ci-contre (angle = 45° et largeur = 2 m) pivotant en B vers l’extérieur du réservoir. Calculez la force à l’appui en A pour maintenir la porte fermée (le poids de la porte étant négligé).

Hydrostatique 21

On peut alors extraire hmercure. Le calcul donne : 6 2M = 1000.20.10 = 2.10 kg− −eau et

SMh

mercure

mercuremercure .ρ= 2

34

2.10h = = 3.10 m

13600.5.10

−−

−mercure

La dénivellation entre les 2 surfaces libres est : mercureeau hhh −=Δ Δ = 0,1 0,003 = 0,097 m−h

1.6.1.4 Solution : mesure de la hauteur d’eau dans un réservoir 1. Par application du principe fondamental de l’hydrostatique, on a :

• la pression au point C : ).(. xhgPP eauatmC ++= ρ • la pression au point C’ situé sur le même plan horizontal que C dans la 2e branche du U :

).(.' dxgPPP mercureDatmC +++= ρ car PD est une pression relative C et C’ étant sur le même plan horizontal, les pressions en ces points sont égales, d’où :

).(.).(. dxgPPxhgP mercureDatmeauatm +++=++ ρρ On peut donc extraire x :

)..(....

gghgdgP

xmercureeau

eaumercureD

ρρρρ

−−+

= 90 000 +13 600.9,81.0,5 1 000.9,81.20x = = 0,319 m(1 000 13 600).9,81−

−

2. De la même façon et selon la même démarche, on peut évaluer h avec l’hypothèse donnée dans l’énoncé qui est que le point C reste à la même position quelle que soit la hauteur d’eau dans le réservoir :

• la pression au point C : ).(. xhgPP eauatmC ++= ρ • la pression au point C’ situé sur le même plan horizontal dans la 2e branche du U :

).(.' dxgPPP mercureDatmC +++= ρ car PD est une pression relative C et C’ étant sur le même plan horizontal, les pressions en ces points sont égales, d’où :

).(.).(. dxgPPxhgP mercureDatmeauatm +++=++ ρρ Connaissant x (calculé précédemment), on peut extraire h :

gxgdxgP

heau

eaumercureD

...).(.

ρρρ −++

=

50 000 +13 600.9,81.(0,319 + 0,5) 1 000.9,81.0,319h = = 15,923 m1 000.9,81−

1.6.1.5 Solution : différence de pression hydrostatique entre deux réservoirs fermés On détermine alors la pression sur le plan horizontal, matérialisé par le trait noir séparant l’eau du mercure :

• sur la branche de gauche : mercuremercurehuilehuileAgauche hghgPP .... ρρ ++= • sur la branche de droite : eaueauBdroite hgPP ..ρ+=

Ces 2 pressions sont égales car les points à gauche et à droite se trouvent sur un plan horizontal et dans le même fluide (ici le mercure). On a donc : droitegauche PP = eaueauBmercuremercurehuilehuileA hgPhghgP ...... ρρρ +=++

eaueaumercuremercurehuilehuileAB hghghgPP ...... ρρρ −+=− L’application numérique donne :

B AP P = 900.9,81.1,1 + 133 600.9,81.0,3 1 000.9,81.0,8 = 41 889 Pa− − ou 0,41889 bar ou 4,270 mce


Un déversoir est à mince paroi ou crête mince si l'épaisseur de la crête est inférieure à la moitié ou même aux 2/3 de la charge.

Déversoir rectangulaire ou de Bazin Déversoir triangulaire

• Généralement : hghLCQ d ..2....32=

• Pour q ≥ 0,01 m3/s hghLQ ..2...μ= ou 3/2= 4, 429Q μ.L.H avec µ = 0,385

• Si la nappe est libre, sans contraction latérale :

hghLmQ ..2...= avec m calculé comme suit : 0, 003 2(0, 405 ).[1 0, 55.( ) ]

hm

h h b= + +

+ pour

0,1 m < h < 0,5 m et 0,2 m < b < 2 m

8 2. . . . 2. .15 2

Q c tan h g hdα

= pour q faible

pour L/h = 2 cd = 0,59 pour L/h = 4 cd = 0,62

Déversoir à seuil épais Venturi

L1 L1L2

h1 et h2 correspondent aux hauteurs d'eau dans les sections A1 de largeur L1 et A2 de largeur L2

HgHLcQ d ..2...32= avec cd = 0,577 noyé : ).(.2.. 212 hhgAKQ −=

avec 2

1

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

AA

cK v où cv = 0,98

non noyé : 3/22 1= 0,385 . 2Q L gh

Venturi noyé : la hauteur en aval est plus grande que la hauteur dans la section rétrécie (écoulement fluvial en aval donc). Venturi dénoyé : la hauteur en aval est plus petite que la hauteur dans la section rétrécie (écoulement torrentiel en aval et critique au col).

4.1.5.1 Déversoir submergé ou noyé

4.1.5.1.1 Déversoir à mince paroi

2

0 1. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

a

b

HH

QQ où Q0 est le débit

calculé en fonction de Ha

Problèmes et annales 123

5.5 Annales BTS GEMEAU 2004 1re session (partie hydraulique)

Question C : Caractéristiques et fonctionnement hydro-techniques Le Document n° 4 représente de façon simplifiée le système d’adduction hydraulique de la zone agro-industrielle projetée. Une électropompe immergée (GRUNDFOS SP 210/6) alimentera par sur-verse un réservoir R1 qui desservira gravitairement un second réservoir R2. Les principales caractéristiques de ce système sont données dans le Document n° 4. Remarques préliminaires :

• utiliser impérativement la formule suivante : 3

16

2

2

29,10

D

QK

J = avec J : perte de charge unitaire

en m/m ; Q : débit en m3.s-1 ; D : diamètre intérieur en m ; K : coefficient de rugosité selon

Manning-Strickler = 105 m1/3.s-1 • Dans les calculs de perte de charge, on considérera que les distances projetées sont égales aux distances au niveau du terrain naturel. • Toutes les cotes sont rattachées au niveau géographique national et sont exprimées en mNGF. • On négligera :

- les pertes de charge singulières, sauf indication contraire ; - le terme U2/2g dans l’expression de la charge hydraulique.

• On prendra pour la valeur de l’accélération de la pesanteur (g) 9,81 m.s-2 C.1 Etude de l'alimentation gravitaire du réservoir R2. Le réservoir R1 alimentera gravitairement le second réservoir R2 par une conduite de 3 km de longueur et de diamètre intérieur 200 mm. En H, une vanne assurera la régulation hydraulique de cette partie de l’adduction. Un robinet à flotteur arrêtera l’alimentation dès que le réservoir R2 sera plein. Le profil en long de la conduite est donné dans l'Annexe n° 1. C.1.1 On suppose que le niveau de l’eau dans le réservoir R1 est maintenu à la cote 264,00. C.1.1.1 Représenter sur l'Annexe n° 1 (à rendre avec la copie), entre A et H : - le plan de charge ; - la ligne piézométrique pour le débit transité maximum. En déduire, graphiquement, la pression minimale et la pression maximale dans la conduite dans ces conditions de fonctionnement. C.1.1.2 Vérifier par le calcul la valeur de la pression minimale obtenue graphiquement ci-dessus. Exprimer vos résultats en mCE et en bars. C.1.1.3 Citer le risque principal encouru au point de pression minimale. C.1.2 Pour éviter le risque encouru au point de pression minimale, on souhaite que la pression dans la conduite reste en tout point supérieure ou égale 5 mCE. Le réservoir R1 étant toujours maintenu à la cote 264,00 : C.1.2.1 Expliquer, en traçant la ligne piézométrique, comment l’installation d’une vanne de régulation hydraulique en H permet d’obtenir la pression minimale souhaitée. Préciser le type de vanne de régulation à installer. C.1.2.2 Déterminer le débit transité entre R1 et R2 après installation de la vanne de régulation. C.1.2.3 Déterminer la perte de charge singulière que doit créer la vanne de régulation. C.1.2.4 Citer les équipements hydrauliques nécessaires au bon fonctionnement de cette adduction. Préciser leurs points d’implantation. C.2. Etude du refoulement automatisé vers le réservoir R1. Les caractéristiques de l’alimentation du réservoir R1 sont les suivantes : • Cote du niveau du réservoir R1 = 264,00 ; • Electropompe immergée GRUNDFOS SP 210/6 (Annexe n° 2) ;

Solutions des problèmes et annales 187

6.10 Solution Annales BTS GEMEAU 2006 2e session (partie hydraulique) C.1. Calculons la norme de la force pressante (‘Poussée’) sur la plaque d’obturation horizontale du forage lorsque l’électropompe ne fonctionne pas (préciser sa direction, son sens et son point d’application). L’électropompe ne fonctionnant pas Cpiézo = 439 m et zplaque = 340 m. Pression sur la plaque = différence des charges hydrauliques 439 – 340 = 99 m = 99 × 1000 × 9,81 = 971 190 Pa. Surface de la plaque = π/4 × D2 = π/4 × 0,2542. Force = Pression × surface = 49 211 N. Cette force a son point d’application au centre de la plaque (axe de forage) et est dirigée vers le haut. C.2. Justifions brièvement l’absence d’évent sur la plaque d’obturation du forage. Il ne peut y avoir d’évent car la canalisation est remplie d’eau vu qu’il y a une poussée d'eau sur la plaque. L’évent sert à dégazer et il n’y a pas d’air ; dans ce cas, comme l'eau est sous pression, elle jaillirait. Etude du refoulement C.3. Calculons la pression relative au point D lorsque le réservoir est alimenté avec un débit de 150 m3.h-1. Les points E et D sont respectivement à 490,95 m et 339,5 m. La longueur de canalisation est de 2 580 m et son diamètre est de 0,2 m. Calcul des pertes de charge :

01,589,1 ...1,1 −= DqLPdCL 1,89 5,01150= 1,1.2,58.( ) .0, 2 = 22,195 m3600−

LPdC ,

LS PdCPdC .1,0= = 2, 2195 mSPdC . En appliquant Bernoulli en pression relative et sans tenir compte du terme dynamique dans la charge hydraulique tel qu'indiqué dans l'énoncé, on obtient :

+ = +DD E

Prz z PdC

ρ.g = +−D

E DPr

z z PdCρ.g

= 490,95 339,5 + 22,195 + 2, 2195 = 175,864 m−DPrρ.g .

La charge relative en D sera : = + = 175,864 + 339,5 = 515,364 mDD D

PrHr zρ.g .

C.4. Démontrons que la pompe UPA 250- 41 /6b est susceptible de satisfaire correctement à la contrainte de pompage la plus défavorable en explicitant la démarche, les calculs et les hypothèses. Le cas défavorable de pompage correspond au débit maximal permis pour le bon fonctionnement de la pompe avec la perte de charge maximale. Celle-ci ne peut être maximale que dans le cas du filtre sale. En appliquant Bernoulli et en négligeant le terme dynamique dans la charge comme indiqué dans l'énoncé, on aboutit à : PdCzHMTC Epiézo +=+ .

Documents

MFA EAU