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1 M.H. ALLOUCHE, V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET* Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique, 1 Transformations de Squire pour un fluide purement visqueux Ecoulement à surface libre sur plan incliné

M.H. ALLOUCHE , V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET*

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Transformations de Squire pour un fluide purement visqueux. Ecoulement à surface libre sur plan incliné. M.H. ALLOUCHE , V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET* . Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique,. 1. Etude de stabilité. - PowerPoint PPT Presentation

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M.H. ALLOUCHE, V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY,

H. BEN HADID, F. ROUSSET*

Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique,

1

Transformations de Squire pour un fluide purement visqueux

Ecoulement à surface libre sur plan incliné

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Etude de stabilité

S.Millet et.al (2007)

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Plan

I. Stabilité d’écoulement de fluide newtonien en canal plan (Squire H.B 1933)

II. Stabilité d’écoulement à surface libre de fluide newtonien sur plan incliné (Yih C.S 1955 et Chang-Demekhin)

III. Stabilité d’écoulement de fluide purement visqueux en canal plan (Nouar et.al 2007)

IV. Stabilité d’écoulement à surface libre de fluide purement visqueux sur plan incliné

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Equation d’Orr-Sommerfeld

• 3 Equations de Navier-Stokes + continuité• [u,p] (x,y,z,t)=champ de base + [u’,p’] (x,y,z,t)

=> 4 Equations aux perturbations• On élimine p’, u’ et w’ => 1 équation d’ordre 4 en v’• Perturbations périodiques : • CL en canal plan : non glissement aux parois• CL à surface libre : non glissement au fond +

contraintes tangentielles et normales à la SL + condition cinématique

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Fluide newtonien en canal plan

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Fluide newtonien en canal plan Squire H.B. 1933

• Perturbations (Orr-Sommerfeld) :

• Relations de Squire :

• Théorème de Squire :

– Pour étudier les instabilités 3D, il suffit d’étudier les instabilités 2D.– Les instabilités 2D sont les plus dangereuses.

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Fluide newtonien sur plan incliné

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Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin et Yih C.S.

• Champ de base :

• Nombres adimensionnels :

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Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin et Yih C.S.

• Eq d’Orr-Sommerfeld identique

• CL différentes :

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Fluide purement visqueux en canal plan

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Fluide purement visqueux en canal plan• Eq d’Orr-Sommerfeld généralisée

3D

Avec θ tenant compte de la perturbation de viscosité fluide purement visqueux • Les relations de Squire sont-elles applicables ?

– Terme en Dw : pas de relation de Squire ! – Introduire une équation supplémentaire ?– Nouar et.al (2007) :

• Etude numérique 3D • En forçant θ=η...• La viscosité perturbée n’intervient qu’au niveau des contraintes de

cisaillement dans le plan (x,y)•

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Fluide purement visqueux sur plan incliné

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Fluide purement visqueux sur plan incliné

• Champ de base Avec

• Nombres adimensionnels :

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Fluide purement visqueux sur plan incliné

• Eq d’Orr-Sommerfeld généralisée

• CLs avec des perturbations 3D :

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Merci de votre attention

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Équations aux perturbations :

Interprétation de :

x

v

y

u

y

U

y

U

x

v

y

u

y

Uxy

'''

'''

'xy

19/40

x

v

y

uxy

'''

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Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et al

• Modèle de Carreau

• Perturbation de contrainte

• Equations aux perturbations 3D

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Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et.al 2007

• Sous quelles conditions le théorème de Squire est-il applicable ?

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Seuil de stabilité (approche Orr-Sommerfeld)

Seuils de stabilité selon l’angle d’inclinaison

(Millet et al. 2007)

–L = 0 dans le cas d’un fluide newtonien–L = 0.5 dans le cas d’un fluide de

Carreauet I = 10-3, n = 0.5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

angle d'inclinaison

Re cr

approche numérique - fluide newtonienapproche numérique - fluide rhéofluidifiantapproche asymptotique - fluide newtonienapproche asymptotique - fluide rhéofluidifiant

Recr

Angle d’inclinaison

cot6

5Re cr

)(cot)1)(1(3.28

71cot

6

5Re 42

3/1LOLnIcr

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Prise en compte de la perturbation de viscosité.

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On peut écrire :

avec :Pente de la loi constitutive en

échelles log y

ud

'y

U

1

y

U

y

ud

'

d