mine pont 2011 corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINTETIENNE, MINES DE NANCY, ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ` TEL ` ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS DADMISSION 2011 ` PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Fili` re MP e (Dur e de l preuve: 3 heures) e e Lusage de la calculatrice est autoris e` Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPEEIVP

Les candidats sont pri s de mentionner de facon apparente sur la premi` re page de la copie : e e PHYSIQUE I MP. L nonc de cette epreuve comporte 6 pages. e e Si, au cours de l preuve, un candidat rep` re ce qui lui semble etre une erreur d nonc , il est invit a le e e e e e` ` e signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil aura et amen a prendre. e` ` Il ne faudra pas h siter a formuler les commentaires (incluant des consid rations num riques) qui vous e e e sembleront pertinents, m me lorsque l nonc ne le demande pas explicitement. Le bar` me tiendra compte e e e e de ces initiatives ainsi que des qualit s de r daction de la copie. e e

TRANSPORTS PLANETAIRES ` e Ce probl` me etudie divers aspects physiques du voyage a l chelle plan taire. Il est compos de e e e deux parties ind pendantes, la premi` re envisage le d placement dun train dans un tunnel creus e e e e dans la sph` re terrestre, la seconde etudie la mont e dun ascenseur le long dun c ble vertical x a e e a e` l quateur. Dans tout le probl` me la Terre est assimil e a un corps sph rique homog` ne de rayon rT , e e e ` e e de centre OT et de masse volumique homog` ne T . e Pour les applications num riques on prendra T = 5, 50103 kg.m3 , rT = 6, 38106 m , et on utilisera e 3 chiffres signicatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de la gravitation de Newton G = 6, 67 1011 m3 .kg1 .s2 . Les vecteurs sont surmont s dun chapeau sils sont unitaires ux ou e dune ` che dans le cas g n ral OP. Une quantit surmont e dun point d signe la d riv e totale par e e e e e e e e = d . rapport au temps de cette quantit e dt

I. Le m tro gravitationnel eDans toute cette partie on n glige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-m me et on se place e e dans le r f rentiel g ocentrique que lon supposera galil en. ee e e On consid` re un point P situ a lint rieur de la sph` re terrestre. On note OT P = = r ur et g (P) e e` e e r le champ gravitationnel cr e par la terre en P. e 1 Justier que g (P) est port par ur et que son module ne d pend que de r, on notera donc e e g (P) = g (r) ur . En utilisant le th or` me de Gauss gravitationnel d terminer lexpression de g (r) en e e e 4 fonction de 2 = GT et r. 3

I.A. Etude pr liminaire e

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2 D duire de la question pr c dente que la force de gravitation sexercant sur un point de masse e e e m situ en P d rive de l nergie potentielle e e e 1 E p (r) = E p0 + m 2 r2 2 o` E p0 est une constante qui d pend de la r f rence choisie et que lon ne demande pas dexpliciter. u e ee Quelle est la dimension de ?

I.B. Le tunnel droitOn relie deux points A et B de l quateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon e le sch ma de la gure 1 qui pr sente egalement les notations utilis es. e e e

F IG . 1 Le tunnel droit On consid` re un mobile ponctuel P de masse m se d placant dans le tunnel sous leffet du champ e e gravitationnel terrestre. La position du mobile est rep r e sur le segment [AB] par la coordonn e x ee e ` u e e telle que PH = x ux o` le vecteur unitaire ux est colin aire a AB et de m me sens et H est la projection orthogonale de OT sur [AB]. On note nalement h = OT H. Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans laxe du tunnel gr ce a un a ` syst` me de connement. Il ny a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec e celles-ci. Un tel connement est envisageable en utilisant des parois magn tiques ! On suppose enn e quun vide sufsament pouss a et cr e dans le tunnel. Sous toutes ces hypoth` ses, on consid rera e e e e e que la seule force qui sapplique au mobile est la force de gravitation quexerce sur lui la terre. ` A linstant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale. 3 D terminer l quation diff rentielle (lin aire) du second ordre v ri e par x (t). En d duire e e e e e e e lexpression de x (t) en fonction de h, rT , et t. 4 D terminer la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le trajet. En quel point e cette vitesse est-elle atteinte ? 5 Exprimer la dur e 0 du trajet entre AB et calculer sa valeur num rique. e e

I.C. Projet de m tro ePour desservir plusieurs points sur l quateur, on consid` re un syst` me de tunnels repr sent s sur la e e e e e gure 2. e Un tunnel circulaire est perc a une distance rH du centre de la Terre dans le plan de l quateur et lon e` creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remont e A1 H1 A2 H2 , etc... Ces tunnels se raccordent e a au tunnel circulaire interne en des points H1 , H2 , . Chaque jonction est tangentielle, cest-` -dire que A1 H1 .OT H1 = A2 H2 .OT H2 = = 0. Les points H1 , H2 , ... sont equip s dun syst` me daiguillage e e

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F IG . 2 Le syst` me de tunnels e

assurant la continuit du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre e le tunnel de descente ou de remont e et le tunnel circulaire. e ` ` On assimile cette rame a un point mat riel P de masse m astreint a circuler dans laxe du tunnel et e ` sans contact avec ses parois gr ce au syst` me de connement. A linstant t = 0, on laisse tomber une a e rame du point A1 et sans vitesse initiale. 6 Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne H1 H2 . D terminer e la vitesse de la rame sur cette portion, en d duire que la dur e 1 du transfert de H1 vers H2 se met e e sous la forme 1 = f (y) e o` y = rT /rH et f est une fonction que lon d terminera. u 7 D terminer la dur e totale du voyage de A1 vers A2 en fonction de , et y. D terminer la e e e e valeur num rique de pour un voyage tel que = /3 avec rH = rT /2. Comparer les caract ristiques e ` de ce voyage avec son equivalent a la surface de la terre. ` 8 Avec un diam` tre moyen de 7 m, evaluer la quantit de d blais a evacuer pour creuser le e e e tunnel circulaire, ainsi quun tunnel radial. Commenter le r sultat obtenu. e ` Lune des nombreuses hypoth` ses n cessaires a la r alisation dun tel projet est la cr ation et le e e e e maintien dun vide sufsant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut etre que partiel sur un tel volume ` ` et le tunnel contient de lair de densit volumique de masse maintenu a la pression p et a la e ` temp rature ambiante. Ce dernier point serait a discuter dans le cadre dune etude plus compl` te que e e nous ne m` nerons pas ici. On supposera que p et sont constantes dans lenceinte du tunnel et que e lair sy comporte comme un gaz parfait. Pour cette etude on se place dans le cas du mouvement dans le tunnel circulaire. Des exp riences da rodynamique montrent que le mouvement dun solide dans un gaz au repos est e e ` soumis a une force de frottement, dite tran e. Cette tran e d pend de la taille caract ristique L et de e e e e la vitesse v du solide ainsi que de la densit du gaz dans lequel seffectue le mouvement. e 9 En effectuant une analyse dimensionnelle, d terminer lexpression de cette force de frottee ment.

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10 On note P la puissance d velopp e par la tran e subie par la rame de m tro lorsquelle e e e e circule dans la portion circulaire du tunnel. D terminer la pression quil faut maintenir dans le tunnel e ` an que P soit comparable a la puissance que d veloppe la force de tran e dans le cas dune rame e e ` ` de TGV circulant a la vitesse de 360 km.h1 a la surface de la terre. On supposera quen dehors e e e de la vitesse la rame de m tro et la rame de TGV poss` dent les m mes carat ristiques physiques. e Commenter le r sultat obtenu. e FIN DE LA PARTIE I

II. Ascenseur spatial Ce probl` me etudie certains aspects physiques de la r alisation dune id e r currente dans de nome e e e breux contextes lascenseur spatial . Il sagit dun m canisme permettant de sextraire du champ e de pesanteur terrestre sans utiliser de fus e. On suppose pour cela quun c ble r alis par lage de e a e e nanotubes de carbone, de plus de 100 000 km de long, inextensible, a pu etre dress a la verticale dun e` e point de l quateur de la Terre. Ce c ble poss` de une masse lin ique = 1, 00 kg.m1 extr mement e a e e ` faible et une r sistance m canique extr mement forte par rapport a un c ble en acier, qui le rend cae e e a pable de supporter de tr` s fortes tensions sans casser. Dans cette partie, le r f rentiel terrestre est en e ee rotation uniforme autour de laxe des p les par rapport au r f rentiel g ocentrique suppos galil en. Il o ee e e e e e effectue un tour en un jour sid ral de dur e T = 8, 62 104 s. La terre est toujours suppos e sph rique e e 4 3 et homog` ne de masse mT = 3 rT T = 5, 98 1024 kg. e

II.A. Etude de l quilibre du c ble e aLes notations sont celles de la gure 3 : Le point dancrage E du c ble est un point de l quateur a e e terrestre, rT est le rayon de la Terre et OT son centre. Laltitude dun point M du l est not e z, a e e e r = rT + z est le rayon OT M et h est la hauteur totale du c ble. Le point H repr sente lextr mit haute du c ble : zH = h et rH = rT + h. Ce point est libre. On pourra enn utiliser le vecteur unitaire a ur = OT M/r.

rT OT E

z M r h H

F IG . 3 Vue g n rale de la Terre et du c ble e e a 11 Rappeler la d nition de lorbite g ostationnaire terrestre. Etablir lexpression litt rale du e e e ` rayon rs correspondant a cette orbite en fonction de la masse mT de la terre, de G et de la pulsation 2 sid rale terrestre = e . T Dans toute la suite du probl` me, on consid` rera un c ble de longueur totale h = 4rs rT , on a donc e e a a e OT H = rH = 4rs . On note gs le module du champ de gravitation en r = rs , cest-` -dire la quantit u e telle que fs = mgs o` fs est le module de la force de gravitation subie par un corps de masse m situ en r = rs . Enn, on note g le module du champ de gravitation en r = rT .

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12 En ecrivant que le c ble est en equilibre, montrer que la d riv e de la tension du c ble en M a e e a v rie la relation e r2 r dT = s dr r 2 rs o` est un param` tre que lon exprimera en fonction de et gs . En admettant que T (rH ) = 0, u e d terminer lexpression de la tension T (r) en fonction de , r et rs . e 13 D terminer les valeurs num riques de rs , gs de la tension du l au point dancrage not e e e e e TE = T (rT ), ainsi que la valeur maximale Tmax de T (r). Commenter le r sultat obtenu, on pourra par exemple se servir de la question 8, on donne aussi le module dYoung de lacier a = 210 GPa et dun c ble en nanotubes de carbonne c = 1 TPa. a

II.B. Mont e de la cage dascenseur le long du l eLe syst` me de propulsion de la cabine est mod lis sur la gure 4. La mont e est assur e par la rotation e e e e e en sens inverses de deux gros cylindres de caoutchouc identiques, chacun de rayon Rc = 1, 00 m, de ` masse mc = 2, 00 103 kg, de moment dinertie par rapport a son axe J = 1 mc R2 . Ces cylindres sont c 2 m s par un moteur electrique exercant sur chacun un couple. Le moment r sultant de ce couple est u e g = +0 uy pour le cylindre de gauche et d = 0 uy pour le cylindre de droite. Les deux cylindres ` serrent le c ble gr ce a un ressort reliant leurs centres. La longueur a vide 0 = Rc et la constante de a a ` raideur k du ressort permettent dassurer un roulement sans glissement au contact du c ble. On prend a a fs = 0, 5 pour le coefcient de frottement statique entre le caoutchouc des cylindres et le c ble. On ` n glige les masses de la cabine, de ses occupants et des moteurs par rapport a celle des cylindres. e

F IG . 4 Vue g n rale des cylindres assurant la mont e de la cabine e e e On n gligera toute action de lair (frottement et vent) sur le syst` me. e e ` Dans le r f rentiel (E, ux , uy , uz ) avec uz = ur la cabine, rep r e par le point M, est en E a t = 0. ee ee ` e La mont e de z = 0 (o` la vitesse est nulle) a z = h dure au total tm = 4 jours et se d compose en e u ` e une phase dacc l ration constante dintensit a = 1 m.s2 pendant une dur e t0 suivie dune phase a ee e vitesse constante de module v0 . ` 14 Calculer les valeurs num riques de la dur e t0 , de la vitesse v0 et de laltitude z0 atteintes a e e la n de la premi` re phase. On v riera que z0 h. e e 15 Justier le fait que lon puisse consid rer que pendant la premi` re phase, la force de e e gravitation exerc e par la Terre sur le syst` me est sensiblement constante et n gliger une des forces e e e ` par rapport a celle-ci.

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16 Expliquer comment la mont e du syst` me le long du l peut affecter la verticalit du c ble e e e a ` au cours de sa mont e. Proposer un moyen technique de rem dier a ce probl` me. e e e Dans toute la suite de cette partie, on supposera que le l reste parfaitement immobile, vertical, tendu et on n gligera la ou les forces susceptibles daffecter la verticalit du l. e e 17 Langle de rotation du cylindre de droite est not , compt positivement comme indiqu e e e sur la gure 4, le vecteur vitesse angulaire de ce cylindre est donc = uy . On prend = 0 pour z = 0. Etablir la relation entre et z. 18 Etablir lexpression litt rale du moment 0 que doit exercer le moteur agissant sur ce e cylindre pour assurer la mont e pendant la premi` re phase (acc l r e) du mouvement en fonction de e e eee e m, Rc , g et a. Effectuer lapplication num rique. 19 Donner lexpression litt rale de la valeur minimale de la constante de raideur k du rese sort assurant le roulement sans glissement du cylindre de droite sur le l pendant la premi` re phase e (acc l r e) du mouvement. Effectuer lapplication num rique. eee e 20 Justier par un calcul num rique que la mont e du syst` me naffecte pas sensiblement la e e e tension du l dans la premi` re phase. e FIN DE LA PARTIE II FIN DE LEPREUVE

I - Le mtro gravitationnel 1 Soient P et P deux plans contenant P OT et P (la trace de P est indique en pointills sur la gure). Ils sont plans de Terre symtrie pour la distribution de masse OT P car la Terre est suppose sphrique et de u g r masse volumique homogne. Au point P, g appartient aux deux plans car le champ de gravitation est un vecteur polaire. Or P P = (OT P) est porte par ur donc g(P) = g(P)ur . En coordonnes sphriques, g(P) = g(r, , ). Or la distribution de masse est invariante par rotation autour de nimporte quel axe passant par OT donc g(P) = g(r) et g(P) = g(r)ur . Appliquons le thorme de Gauss la sphre de centre OT et de rayon r = OT P : g.dS = 4Gmintsphre

4 g(r) 4r2 = 4G r3 T 3

En posant 2 =

4 GT , nous obtenons g(r) = 2 r . 3

rappel : Dans le thorme de Gauss, les vecteurs surface dS sont orients vers lextrieur de la surface : dS = dSur . Ainsi g.dS = gdS et g peut tre sorti de lintgrale car g = g(r) est constant sur la sphre dintgration. 2 Exprimons le travail lmentaire de la force de gravitation F = mg qui sexerce sur la masse m en P lorsquelle se dplace de dr : W = F .dr = mg(r)ur . drur + rdu + r sin du = mg(r)dr = m2 rdr qui est une direntielle totale exacte. Le travail de F ne dpend pas du chemin suivi (force conservative) et lon peut donc lui associer une nergie potentielle 1 dnie par dEp = W = m2 rdr. Lintgration donne Ep (r) = Ep0 + m2 r2 . 2 La comparaison du dernier terme avec lexpression de lnergie cintique indique que r est une vitesse donc est linverse dun temps ou une pulsation. 3 On considre que seule la force de gravitation travaille donc le thorme de lnergie mcanique appliqu au mobile scrit : E c + Ep = 0 remarque : On considre que la force de frottement due lair est ngligeable si le vide est susant et que les forces magntiques de connement ne travaillent pas.

8 Entre A et P, lgalit scrit :

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1 1 1 2 mv + Ep0 + m2 r2 0 + Ep0 + m2 rT 2 = 0 2 2 2

v2 = 2 rT 2 r2

H est un point xe dans le rfrentiel terrestre donc le vecteur vitesse de P est : v= dHP = xux dt v2 = (x)2 = x2

De plus r2 = x2 + h2 donc x2 = 2 rT 2 h2 x2 . Drivons cette quation direntielle : 2xx = 22 xx x x + 2 x = 0

donc x = 0 (solution triviale : P reste en A) ou x = 2 x. On reconnat lquation direntielle dun oscillateur harmonique libre non amorti dont les solutions sont : x(t) = A cos (t) + B sin (t) Avec x(0) = 0 et x(0) = rT 2 h2 , nous obtenons x(t) = rT 2 h2 cos (t) .

4 Sur le trajet AB, le mobile a donc un mouvement identique celui dun oscillateur centr en H, damplitude AH et de priode T = 2/. La vitesse est maximale en H et vmax = (x)max = rT 2 h2 . 5 Le trajet AB dure une demi-priode donc 0 = / = 2, 53.103 s = 42 min 14 s . 6 Sur le trajet circulaire (r = cste), Ep = 0 car Ep ne dpend que de r. Le thorme de lnergie mcanique (voir la question 3) conduit Ec = 0. Le mouvement de la rame sur cette portion est donc uniforme, de vitesse v = v(H1 ) = rT 2 rH 2 daprs le rsultat de la question 4. La distance parcourue de H1 H2 est d = rH ( en radian). La dure 1 est : 1 = rH d = = v rT 2 rH 2 1 y2 1 1 (rT /rH )2 1 rT . rH T T T + = = 0 , do : 4 4 2

soit 1 =

f (y) avec f (y) =

et y =

7 La dure pour aller de A1 H1 et de H2 A2 est gale = 0 + 1 = 0 1 +

f (y)

Pour = /3 rad et y = 2, on calcule = 3, 02.103 s = 50 min 22 s .