MINISTÈRE DE LA JEUNESSE, DE L’ÉDUCATION ET DE LA RECHERCHE

Direction des personnels enseignants

CAPES EXTERNE & CAFEP-CAPES DE MATHÉMATIQUES

Rapport de Monsieur Jean MOUSSA Inspecteur Général de l’Éducation Nationale

Président du Jury

2006

CENTRE NATIONAL DE DOCUMENTATION PEDAGOGIQUE

1

CONSEILS PRATIQUES AUX FUTURS CANDIDATS

Il est recommandé aux futurs candidats de s’informer à l’avance sur les modalités des concours de recrutement en général et sur celles particulières au CAPES externe et au CAFEP-CAPES de mathématiques. Les renseignements généraux (les conditions d’accès ; la préparation ; le déroulement du concours ; la carrière dans l’enseignement secondaire) se trouvent réunis dans la brochure de l’O.N.I.S.E.P concernant les informations relatifs aux métiers de l'enseignement. Collection parcours Référence: 97822730000796 Niveau: Lycéens/Etudiants. ainsi que sur le site du Ministère www.education.gouv.fr , rubrique SIAC. Les informations spécifiques (programmes ; nature des épreuves) sont publiées dans le bulletin officiel de l’éducation nationale, publication qui informe les enseignants : carrière, programmes, nominations, vacances de postes, concours, etc. Ces renseignements se trouvent également, pour l’essentiel, dans le rapport du concours. Le jury, pour faciliter la recherche d’information émanant des candidats et des formateurs, a en outre créé un site à l’adresse :

www.capes.math.jussieu.fr sur lequel il a réuni l’essentiel des informations utiles à la préparation au concours. Les informations figurant sur ce site n’ont pas de caractère officiel ; seules les informations délivrées directement par la DPE et par le Ministère ont valeur officielle.

« LES RAPPORTS DES JURYS DES CONCOURS SONT ETABLIS

SOUS LA RESPONSABILITE DES PRESIDENTS DE JURY »

2

SOMMAIRE

I. PRESENTATION DU CONCOURS 2006 page 5 1. Composition du jury page 5 2. Programme du concours page 11 3. Statistiques page 27 3.1 Evolution et résultats globaux page 27 3.2 Résultats par catégories page 28 3.3 Résultats par académie page 30 3.4 Répartition des notes page 32 4. Les épreuves écrites page 36 5. Les épreuves orales page 36 5.1 Organisation page 36 5.2 Conseils pratiques page 37 5.3 L’évaluation des épreuves orales page 38 5.4 Première épreuve : exposé sur un thème donné page 39 5.5 Deuxième épreuve : épreuve sur dossier page 40 5.6 Commentaires sur l'utilisation des calculatrices page 41 II. ENONCES ET ANALYSE DES EPREUVES ECRITES page 43 1. Enoncé de la 1° épreuve page 43 2. Analyse de la 1° épreuve page 50 3. Enoncé de la 2° épreuve page 53 4. Analyse de la 2° épreuve page 61 III. SUJETS ET ANALYSE DES EPREUVES ORALES page 64 1. Liste des exposés (première épreuve orale) page 64 2. Sujets de l’épreuve sur dossier (seconde épreuve orale) page 69 3. Analyse des épreuves orales page 70 3.1 Commentaires sur la première épreuve page 70 3.2 Commentaires sur la seconde épreuve page 74 3.3 Les dossiers de la 2°épreuve orale page 76 IV. CONCLUSION page 107 V. ANNEXES page 108 1. Bibliothèque du CAPES page 108 1.1. Programmes page 108 1.2. Ouvrages disponibles (seulement pour l’épreuve sur dossier) page 108 2. Calculatrices page 117 CONCOURS de 3ème VOIE MATHEMATIQUES Session 2006 page 118

3

4

5

I. PRESENTATION DU CONCOURS 2006

Composition du jury. Par arrêté en date du 25 janvier 2006, la composition du jury est la suivante:

Civ

ilité

nom prénom fonction académie

M. MOUSSA Jean IGEN Président

Mme. AEBISCHER Anne-Marie Professeur Agrégée Vice-présidente Besançon

M. CANET Jean François

IA-IPR Vice-président Montpellier

M. CORI René Maître de Conférences Secrétaire général Paris

Mme FLEURY-BARKA Odile Maître de Conférences Vice-présidente Reims

M. FORT Marc IGEN Vice-président

M. SORBE Xavier IGEN Vice-président

Mme ABABOU Rachel Maître de conférences Ministère de la défense

M. ACX Olivier Professeur de Chaire Supérieure Paris

M. AEBISCHER Bruno Professeur Agrégé Besançon

M. AGUER Bernard IA-IPR Amiens

M. ALESSANDRONI Philippe IA-IPR Nancy-Metz

Mme AMIOT Martine IA-IPR Créteil

Mme ANANOU Chantal Professeur Agrégée Paris

Mme ANDRE Stéphanie Professeur Agrégé Versailles

M. ANDRIEUX Jean-Claude Professeur Agrégé Dijon

M. ARTIGUES Christian IA-IPR Bordeaux

M. AUBRY Pierre-Jean Professeur Agrégé Créteil

Mme AUDOUIN Marie-Claude IA-IPR Versailles

M. BADRA Abdallah Maître de conférences Clermont Ferrand

M. BAJI Bruno Professeur Agrégé Limoges

6

Mme BANTEGNIES Florence Professeur de chaire supérieure Paris

M. BARBE Jacques Professeur Agrégé Nantes

M. BECHATA Abdellah Professeur Agrégé Reims

Mme BERTRAND-MATHIS Anne Professeur des Universités Poitiers

Mme BIGEARD Isabelle Professeur Agrégé Grenoble

Mme BLANCHET Anne Professeur Agrégée Grenoble

Mme BLAU Danielle IA-IPR Toulouse

M. BLOUZA Adel Maître de Conférences Rouen

M. BODY Bernard Professeur Agrégé Grenoble

Mme BOISSONNET Emilia Professeur Agrégée Paris

Mme BONVALOT Françoise Professeur Agrégée Caen

M. BOULMEZAOUD Tahar Zamène Maître de conférences Versailles

M. BOURGES William Professeur Agrégé Aix-Marseille

M. BOUSCASSE Jean-Marie Professeur Agrégé Bordeaux

Mme BRAMOULLE Laurence Professeur Agrégée Poitiers

M. BRANDEBOURG Patrick Professeur Agrégé Montpellier

Mme BRISSET Anne Marie Professeur Agrégée Paris

M. BRUCKER Christian Professeur Agrégé Strasbourg

Mme BRUYANT Francine Maître de Conférences Reims

M. BURG Pierre Professeur Agrégé Strasbourg

M. CANON Eric Maître de Conférences Besançon

M. CARRON Christophe Professeur Agrégé Bordeaux

Mme CHOQUER RAOULT Agnès Professeur Agrégée Versailles

Mme CLAVEL Sylvaine Professeur Agrégée Versailles

M. COMPOINT Elie Maître de conférences Paris

Mme COURBON Denise IA-IPR Lyon

Mme COURCON Nicole Professeur Agrégée Nantes

M. COURILLEAU Patrick Maître de conférences Versailles

7

Mme DARRACQ Marie Cécile Professeur Agrégé Grenoble

Mme DEAT Joelle IA-IPR Créteil

M. DESCHAMPS Bruno Professeur des Universités Nantes

M. DIAGNE Malick Professeur Agrégé Orléans-Tours

M. DOGBE Christian Maître de conférences Caen

M. DULON Laurent Professeur Agrégé Bordeaux

Mme DUPONCHEL Domitille IA-IPR Lille

Mme ERNOULT Monique Professeur Agrégée Créteil

M. ESCOFFIER Jérôme Professeur Agrégé Grenoble

Mme EVRARD Sabine Professeur Agrégé Amiens

M. FAURE Christian Professeur Agrégé Montpellier

M. FERRARD Jean Michel Professeur de Chaire Supérieure Lyon

M. GEOFFRIAU François Maître de Conférences Poitiers

Mme GEST Monique Professeur Agrégée Lille

M. GIRAULT Dominique Professeur Agrégé Poitiers

M. GROISON Jean Marc Professeur Agrégé Lyon

Mme HAEGEL Suzy Professeur Agrégée Strasbourg

M. HANS Jean-Luc Professeur de Chaire Supérieure Besançon

M. HARINGTON Bruno Professeur agrégé Montpellier

M. HEROULT François Professeur Agrégé Versailles

Mme HOUARD Catherine Professeur Agrégée Versailles

Mme HUG Patricia Professeur Agrégé Versailles

M. JAMET Pierre Yves Professeur Agrégé Rennes

M. JANIN Robert Professeur des Universités Guadeloupe

Mme JAUFFRET Brigitte IA-IPR Aix-Marseille

M. JEDDI Ahmed Maître de conférences Nancy-Metz

Mme KERVADEC Elisabeth Professeur Agrégée Rennes

M. KHELIF Anatole Maître de conférences Paris

8

M. LAAMRI El Haj Maître de conférences Nancy-Metz

M. LABROSSE Jean Professeur Agrégé Lyon

Mme LAGUILLIER Marie Thérèse Professeur Agrégée Créteil

Mme LAMPLE Hélène Professeur Agrégée Lyon

Mme LANERY Hélène Professeur Agrégé Amiens

Mme LAPOLE Isabelle Professeur Agrégée Amiens

M. LAPOLE René Professeur Agrégé Amiens

M. LASSALLE Olivier IA-IPR Lille

M. LE BARS Michel Professeur Agrégé Paris

Mme LECUREUX - TETU Marie Hélène Professeur Agrégé Toulouse

M. LEFEUVRE Yann Professeur Agrégé Amiens

M. LEGROS Stéphane Professeur de chaire supérieure Rouen

M. LEHMAN Eric Professeur des Universités Caen

M. LEMPEREUR DE GUERNY Robert Professeur Agrégé Versailles

Mme LEROY Aurélie Professeur Agrégé Versailles

M. LETERRIER Pierre Professeur Agrégé Versailles

Mme LETHIELLEUX Claire Professeur Agrégée Paris

Mme LEWILLION Martine IA-IPR Montpellier

M. LUCAS Edouard Professeur Agrégé Paris

M. MALKI Saber Professeur Agrégé Nancy-Metz

M. MAUGER David Maître de Conférences Paris

Mme MEDARD Natacha Professeur Agrégé Grenoble

M. MENEVIS Hervé Professeur Agrégé Paris

Mme MENINI Chantal Maître de Conférences Bordeaux

M. MERCKHOFFER René IA-IPR Versailles

Mme MERDY Claudine Professeur Agrégée Créteil

Mme MEURISSE Anne Professeur Agrégée Lille

M. MICHALAK Pierre IA-IPR Versailles

9

Mme MILIN Sylvie Professeur Agrégée Versailles

Mme MOURGUES Marie-Hélène Maître de Conférences Créteil

M. MOURRET Bernard Professeur Agrégé Montpellier

Mme NAUD Claire Professeur Agrégée Versailles

Mme NOGUES Maryse Professeur Agrégée Montpellier

Mme NOUVET Michèle Professeur Agrégée Caen

M. OUDET Edouard Maître de Conférences Grenoble

M. PAINTANDRE Stéphan Professeur Agrégé Toulouse

Mme PANOFF Brigitte Professeur Agrégé Paris

Mme PAOLANTONI Victoria Professeur Agrégée Grenoble

M. PARISE Laurent Professeur Agrégé Nancy-Metz

Mme PASSAT Isabelle Professeur Agrégée Versailles

M. PETIT Francis Professeur Agrégé Grenoble

M. PIRIOU Laurent Maître de Conférences Nantes

Mme PLANCHE Nathalie Professeur Agrégée Clermont Ferrand

M. PUYOU Jacques Professeur Agrégé Bordeaux

M. QUAREZ Ronan Maître de conférences Rennes

M. QUIBLIER Philippe Professeur de Chaire Supérieure Grenoble

M. RANDRIAMIHAMISON Louis Maître de Conférences Toulouse

M. REVRET Richard Professeur Agrégé Lille

M. REZZOUK Marc Professeur Agrégé Nancy-Metz

M. ROBLET Emmanuel Professeur Agrégé Paris

Mme ROUDNEFF Evelyne IA-IPR Versailles

M. RUPPRECHT David Professeur Agrégé Nancy-Metz

M. SAAI Mustapha Professeur Agrégé Nancy-Metz

Mme SANZ Monique IA-IPR Nantes

M. SCATTON Philippe IA-IPR Reims

M. SERRA Eric IA-IPR Nice

10

Mme SIMONDON Frédérique Professeur des Universités Nancy-Metz

M. TENTI Marc Professeur Agrégé Créteil

Mme TERREAU Corinne Professeur Agrégé Dijon

M. THYS Henrik Professeur Agrégé Amiens

M. TOUPANCE Pierre-Alain Professeur Agrégé Lyon

Mme TRAD Marie-Anne Professeur de Chaire Supérieure Paris

M. TRUCHAN Alain Professeur Agrégé Lyon

M. VEERAVALLI Alain Maître de Conférences Créteil

M. VIAL Jean-Pierre Professeur de Chaire Supérieure Paris

M. VINAVER Georges Professeur Agrégé Versailles

Mme WERQUIN Claude Professeur Agrégée Versailles

M. WERQUIN Philippe Professeur Agrégé Versailles

M. YAHIA-BERROUIGUET Mohamed Professeur Agrégé Aix-Marseille

11

2. Programme du concours Le texte en vigueur est celui paru au B.O. n°8 spécial du 24 mai 2001, modifié par le B.O. n°5

spécial du 20 mai 2004. Le texte ci-dessous tient compte des modifications. ÉPREUVES ECRITES Le programme est formé des titres A et B de l'annexe I ÉPREUVES ORALES Épreuve d’exposé Le programme est formé du titre A augmenté des paragraphes suivants du titre B de l’annexe I : 1.II. « Ensembles, relations, applications. ». 2.I.3. « Structures des ensembles de nombres. ». 2.III.5. « Calcul matriciel », alinéa b). 2.IV.2. « Géométrie vectorielle », alinéa e). 2.V.2. « Configurations ». 2.V.3. « Transformations ». 2.V.4. « Emploi des nombres complexes en géométrie », alinéas a), c) et d). 3.I.1. « Suites de nombres réels et de nombres complexes », alinéas a), b), d) et e). 3.I.2. « Fonctions d’une variable réelle ». 3.II.2. « Dérivation », dans le cas des fonctions à valeurs réelles ou complexes. 3.II.3. « Intégration sur un intervalle compact », dans ce même cas. 3.II.4. « Étude locale de fonctions ». 3.IV.2. « Équations linéaires scalaires », alinéa b). 3.VI.1. « Courbes et surfaces », alinéa a). 4.2. « Variables aléatoires », alinéas a) et c). Épreuve sur dossier Le programme est formé du titre A de l’annexe I. UTILISATION DES CALCULATRICES Circulaire du 16 Novembre 1999 n° 99-186 parue au BOEN n° 42 du 25 Novembre 1999.

ANNEXE I A. Programmes de l’enseignement secondaire 1. La réunion des programmes de mathématiques des collèges et des lycées d’enseignement général et technologique en

vigueur au 1er janvier de l’année du concours et de ceux en vigueur au 1er janvier de l’année précédente. 2. L’utilisation des calculatrices électroniques est défini par les arrêtés du 15 Mai 1997 complétés par la circulaire n° 99-018

du 1.2.1999 parue au BOEN n°6 du 11-02-1999 ainsi que la circulaire du 16-11-1999. Dans ce cadre, les candidats doivent se munir d'une calculatrice scientifique programmable, alphanumérique ou non, et graphique. Ils doivent savoir utiliser leur calculatrice dans les situations numériques et algorithmiques liées au programme. Cet emploi combine les capacités suivantes, qui constituent un savoir-faire de base et sont seules exigibles :

- Savoir programmer une instruction d'affectation. - Savoir effectuer les opérations arithmétiques sur les nombres et savoir comparer des nombres. - Savoir utiliser les touches des fonctions qui figurent au programme et savoir programmer le calcul des valeurs d'une fonction d'une ou plusieurs variables permis par ces touches. - Savoir programmer une instruction séquentielle, alternative ou itérative. - Savoir afficher à l’écran la courbe représentative d’une fonction.

12

Ils doivent en outre munir leur calculatrice de programmes permettant : • la recherche de solutions approchées d'une équation numérique à une variable, • le calcul de valeurs approchées d'une intégrale. B. Programme complémentaire Comme il est indiqué dans les instructions, les problèmes et les méthodes numériques et les aspects algorithmiques et informatiques (construction et mise en forme d’algorithmes, comparaison de leur performance, rédaction méthodique de programmes) sont largement exploités. Dans le texte du programme, ils sont représentés par le signe §.

1. NOTIONS SUR LA LOGIQUE ET LES ENSEMBLES Aucun exposé de logique formelle n'est envisagé. I. Généralités sur le langage et le raisonnement mathématiques. Éléments de logique. Occurrences libres (ou parlantes) et occurrences liées (ou muettes) d'une variable dans une expression mathématique ; signes mutificateurs usuels (∫ …… d… , ∑ , , … | …… ; ∀ ; ∃ ; etc.) ; mutifications implicites. Calcul propositionnel : connecteurs logiques ; tables de vérité ; tautologies. Utilisation des connecteurs et des quantificateurs dans le discours mathématique ; lien entre connecteurs logiques et opérations ou relations ensemblistes. Pratique du raisonnement mathématique : hypothèses, conclusions, quelques figures usuelles du raisonnement (raisonnement par contraposition, par disjonction de cas, par l'absurde, utilisation d'exemples ou de contre-exemples, etc.) ; pour les énoncés sous forme d'implication, distinction entre condition nécessaire et condition suffisante, entre proposition directe et proposition réciproque ; cas particuliers de la recherche de lieux géométriques, d'ensembles de solutions d'équations. II. Ensembles, relations, applications. Opérations ensemblistes usuelles ; produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles. Relations et applications ; lois de composition internes ou externes. Ensemble des parties d'un ensemble ; image directe ou image réciproque d'une partie par une application ; comportement des opérations d'image directe et d'image réciproque vis-à-vis des opérations ensemblistes. Familles d'ensembles ; réunions et intersections « infinies ». Relations d'ordre ; majorants, borne supérieure… Ensemble IN des nombres entiers naturels. Toute partie non vide de IN admet un plus petit élément. Raisonnement par récurrence. Relations d'équivalence ; classes d'équivalence, partition associée, ensemble quotient, compatibilité d'une loi de composition avec une relation d'équivalence (passage au quotient). Construction de ZZ, de QI . III. Rudiments de cardinalité. Équipotence de deux ensembles ; classe des ensembles équipotents à un ensemble donné ; notion de cardinal. Théorème de Cantor (« aucun ensemble n'est équipotent à l'ensemble de ses parties »).

13

Fonction caractéristique d'une partie d'un ensemble ; équipotence entre l'ensemble des parties d'un ensemble E et l'ensemble des applications de E dans 0,1. Ensembles finis et infinis. Ensembles dénombrables : exemples usuels (IN2, ZZ, QI , l'ensemble des suites finies d'entiers, l'ensemble des parties finies de IN, l'ensemble QI [X] des polynômes à coefficients rationnels, l'ensemble des nombres algébriques, etc.). Puissance du continu (cardinal de P(IN) ou de IR) ; non dénombrabilité de IR.

2. ALGEBRE ET GEOMETRIE I. Nombres et structures 1. Groupes a) Groupes, morphismes de groupes. Sous-groupes, sous-groupe engendré par une partie. Groupes cycliques. Ordre d'un élément ; théorème de Lagrange. Image et noyau d'un morphisme de groupes. Sous-groupes distingués, groupe quotient. Groupe opérant sur un ensemble, orbites. Éléments conjugués. § b) Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Cycles ; transpositions. Décomposition d'une permutation en produit de cycles disjoints, en produit de transpositions. Signature d'une permutation, groupe alterné. 2. Anneaux et corps Anneaux (unitaires), morphismes d'anneaux. Sous-anneaux. Anneaux commutatifs, anneaux intègres ; idéaux, idéaux principaux ; anneaux quotients. Corps (commutatifs), sous-corps ; caractéristique d'un corps. 3. Structure des ensembles de nombres a) Anneau ZZ des nombres entiers relatifs (ou rationnels). L'anneau ZZ est intègre ; divisibilité dans ZZ. Division euclidienne ; sous-groupes additifs de ZZ Les idéaux de ZZ sont principaux ; théorème de Bezout. § b) Nombres premiers ; décomposition en facteurs premiers. PGCD, PPCM ; algorithme d'Euclide. c) Congruences ; anneaux ZZ/nZZ, caractérisation des éléments inversibles. d) Corps des rationnels, corps des réels, corps des complexes. Il. Polynômes et fractions rationnelles Dans ce chapitre, K désigne un sous-corps de CI . 1. Polynômes à une indéterminée § a) Algèbre K[X] ; degré d'un polynôme, terme dominant, polynôme unitaire. L'anneau K[X] est intègre ; divisibilité dans K[X]. Division euclidienne. Les idéaux de K[X] sont principaux ; théorème de Bezout.

14

Polynômes irréductibles ; décomposition en facteurs Irréductibles. PGCD, PPCM ; algorithme d’Euclide. b) Fonctions polynômes Racines (ou zéros) d’un polynôme, ordre de multiplicité. Polynômes scindés. Correspondance entre polynômes et fonctions polynômes. Équations algébriques. Relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme scindé. c) Dérivation des polynômes ; formule de Taylor. d) Théorème de D'Alembert ; polynômes irréductibles de CI [X] et de IR[X]. Factorisation des polynômes dans CI [X] et dans IR[X]. 2. Fractions rationnelles à une indéterminée a) Corps K(X) ; forme irréductible d'une fraction rationnelle non nulle. b) Fonctions rationnelles : pôles, zéros ; ordre d'un pôle ou d'un zéro. c) Décomposition en éléments simples. Cas du corps CI et du corps IR. d) Exemples simples de problèmes d'élimination. III. Algèbre linéaire Dans cette partie, K désigne un sous-corps de CI . 1. Espaces vectoriels a) Espaces vectoriels. Applications linéaires, isomorphismes, endomorphismes, automorphismes. Formes linéaires. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E), groupe linéaire GL(E). Espace vectoriel produit d'une famille finie d'espaces vectoriels. b) Sous-espaces vectoriels ; image et noyau d'une application linéaire. Sous-espace engendré par une partie. Somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels , somme directe. Sous-espaces vectoriels supplémentaires, projecteurs. c) Familles libres, familles génératrices, bases. d) Étant donné une application linéaire u de E dans F et un supplémentaire E ' de ker u dans E, u définit un isomorphisme de E ' sur lm u. 2. Espaces vectoriels de dimension finie a) Espaces admettant une famille génératrice finie. Théorème de la base incomplète, existence de bases ; dimension. Dimension d'un sous-espace, rang d'une famille de vecteurs. Existence de supplémentaires. Dimension d'une somme directe. b) Rang d'une application linéaire ; formule du rang, caractérisation des isomorphismes. c) Formes linéaires et hyperplans, équation d'un hyperplan. d) Dualité. Bases associées d'un espace E et de son dual E*. Orthogonal dans E* d'une partie de E, orthogonal dans E d'une partie de E* : dimension de l'orthogonal, double orthogonal.

15

3. Matrices a) Espace vectoriel Mp,q(K) des matrices à p lignes et q colonnes. Isomorphisme entre L (Kq,Kp) et Mp,q(K). Produit matriciel, transposition. Algèbre Mn(K) ; matrices inversibles, groupe linéaire GLn(K). Matrices symétriques, antisymétriques. b) Matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel dans un autre, ces espaces étant munis de bases ; matrice d'un endomorphisme d'un espace vectoriel muni d'une base, matrice d'une famille finie de vecteurs relativement à une base. Matrice de passage (la matrice de passage de la base B à la base C est la matrice dont la j-ième colonne est formée des coordonnées dans B du j-ième vecteur de C). Effet d'un changement de base(s) sur la matrice d'une application linéaire. c) Trace d'une matrice carrée, trace d'un endomorphisme. d) Rang d'une matrice. Utilisation de matrices carrées extraites pour la détermination du rang. Matrices équivalentes. Caractérisation à l'aide du rang. Toute matrice M de rang r est équivalente à la matrice Ir = (αij), définie par les relations αjj = 1 si 1 ≤ j ≤ r, et αij = 0 dans tous les autres cas. Rang de la transposée d'une matrice. e) Systèmes d'équations linéaires, rang. Conditions de compatibilité, systèmes de Cramer. 4. Applications multilinéaires, déterminants a) Définition des applications multilinéaires, des applications symétriques, antisymétriques, alternées. b) Formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n. Déterminant de n vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de dimension n, critère d'indépendance. c) Déterminant d'un endomorphisme, du composé de deux endomorphismes ; caractérisation des automorphismes. d) Déterminant d'une matrice carrée. Déterminant du produit de deux matrices, de la transposée d'une matrice. Mineurs, cofacteurs, développement par rapport à une ligne ou une colonne. e) Applications des déterminants, expression de l'inverse d'une matrice carrée inversible, formules de Cramer ; orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie. f) En relation avec la géométrie, application des déterminants à l'étude des systèmes linéaires de deux ou trois équations à deux ou trois inconnues. 5. Calcul matriciel § a) Exemples de calculs par blocs. Exemples d'emploi de normes matricielles. Conditionnement d'une matrice. § b) Opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) d'une matrice ; addition d'un multiple d'une ligne à une autre, multiplication d'une ligne par un scalaire non nul, échange de deux lignes. Applications à la résolution des systèmes linéaires, au calcul de déterminants, à l'inversion des matrices carrées et au calcul du rang. Algorithme du pivot de Gauss ; pivot partiel, pivot total. 6. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Dans ce paragraphe, le corps de base est IR ou CI . a) Sous-espaces stables par un endomorphisme. Si u et v commutent, lm u et ker u sont stables par v. Polynômes d'un endomorphisme ; théorème de décomposition des noyaux : si P et Q sont premiers entre eux,

ker PQ(u) = ker P(u) ⊕ ker Q(u). b) Valeurs propres d'un endomorphisme, sous-espaces propres, vecteurs propres. c) Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Polynôme annulant un endomorphisme ; lien avec le spectre.

16

Polynôme caractéristique, ordre de multiplicité d'une valeur propre. Théorème de Cayley-Hamilton. Endomorphismes diagonalisables ; l'espace est somme directe des sous-espaces propres. Tout endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé et a toutes ses racines simples est diagonalisable. Pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable, il faut et il suffit qu'il annule un polynôme scindé dont toutes les racines sont simples. Sous-espaces caractéristiques. Tout endomorphisme u dont le polynôme caractéristique est scindé peut être trigonalisé : l'espace est somme directe des sous-espaces caractéristiques Fj et il existe une base de chaque Fj telle que la matrice dans cette base de l'endomorphisme induit par u soit triangulaire supérieure ; en outre, la dimension de Fj est égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre λj. Un tel endomorphisme u s'écrit d'une manière et d’une seule sous la forme u = d + n, où d est diagonalisable, n est nilpotent, et nd = dn. § d) Valeurs propres d'une matrice carrée, vecteurs (colonnes) propres. Matrices semblables. Diagonalisation, trigonalisation des matrices carrées. Exemples d’emploi de décomposition en blocs (produits, matrices diagonales par blocs, triangulaires par blocs). IV. Espaces euclidiens, espaces hermitiens (cf. analyse 3.I.6 espaces préhilbertiens réels ou complexes.) Les espaces vectoriels considérés dans ce chapitre sont de dimension finie. 1. Espaces euclidiens a) Isomorphisme canonique avec le dual. Sommes directes orthogonales. Dimension de l'orthogonal d'un sous-espace, normale à un hyperplan. Projecteurs et symétries orthogonales. b) Adjoint d'un endomorphisme ; matrice associée dans une base orthonormale. Endomorphismes symétriques, antisymétriques. c) Automorphismes orthogonaux. Groupe orthogonal O(E), groupe des rotations (ou spécial orthogonal) SO(E). Matrices orthogonales. Groupes O(n) et SO(n). Matrice associée à un automorphisme orthogonal dans une base orthonormale. Changements de base orthonormale. d) Déterminant de n vecteurs d'un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n. 2. Géométrie vectorielle euclidienne a) Les réflexions engendrent le groupe orthogonal O(E). b) Dans le plan euclidien orienté (n = 2) : matrice d'une rotation ; angle d'une rotation. Morphisme canonique de IR sur SO(2). Classification des automorphismes orthogonaux à partir du sous-espace des points invariants. c) Dans l'espace euclidien orienté (n = 3) : Axe et angle d'une rotation. Les demi-tours engendrent SO(3). Classification des automorphismes orthogonaux à partir du sous-espace des points invariants. d) En dimension 2 ou 3 : groupe des similitudes ; similitudes directes. Rapport d'une similitude, automorphisme orthogonal associé.

17

e) Produit vectoriel en dimension 3 ; expression dans une base orlhonormale directe. 3. Espaces hermitiens a) Sommes directes orthogonales. Projecteurs orthogonaux. b) Adjoint d'un endomorphisme ; matrice associée dans une base orthonormale. Endomorphismes hermitiens, matrices hermitiennes. c) Automorphismes unitaires. Groupe unitaire U(E). Groupe U(n) des matrices unitaires d'ordre n. 4. Calcul matriciel et normes euclidiennes § a) Calcul de la projection orthogonale d'un vecteur sur un sous-espace et de la distance d'un point à un sous-espace. Application aux problèmes de moindres carrés ; minimisation de AX−B2, où A ∈ Mn,p(IR) et rang A = p. § b) Décomposition d'un élément M de GLn(IR) sous la forme M = QR, où Q est orthogonale et R est triangulaire supérieure, par la méthode de Householder. 5. Réduction des endomorphismes symétriques et des endomorphismes hermitiens § a) Diagonalisation d'un endomorphisme symétrique (resp. hermitien) dans une base orthonormale. Diagonalisation d'une matrice symétrique (resp. hermitienne) au moyen d'une matrice orthogonale (resp. unitaire).

La plus grande valeur propre d'une matrice symétrique A est égale à supX

t

tXAXXX≠0

b) Formes bilinéaires symétriques sur un espace euclidien, formes quadratiques, polarisation. Endomorphisme symétrique associé à une forme quadratique ; réduction dans une base orthonormale. V. Géométrie affine et euclidienne Dans ce chapitre, l'étude est placée dans le plan et l'espace. 1. Calcul barycentrique ; repérage a) Sous-espaces affines ; direction d'un sous-espace affine. b) Repères affines, coordonnées barycentriques. c) Parties convexes. d) Repères cartésiens, polaires, cylindriques et sphériques. Changement de repère orthonormal. 2. Configurations a) Position relative de deux plans dans l’espace. Plans perpendiculaires. Plan médiateur d’un segment. b) Cercles dans le plan. Puissance d'un point par rapport à un cercle. Ensemble des points M dont le rapport des distances à deux points A et B est constant, ou tels que l'angle de droites (ou de demi-droites) (MA, MB) soit constant c) Sphères. Intersection d'une sphère et d'un plan, de deux sphères.

18

d) Coniques. Définitions focales, bifocales ; tangente et normale en un point ; ellipse déduite d'un cercle par affinité orthogonale ; hyperbole rapportée à ses asymptotes. Équation cartésienne d'une conique ; réduction en repère orthonormal. Représentations paramétriques d’une conique. Équation polaire d'une conique dont un foyer est à l'origine, la directrice associée et l'excentricité étant données. 3. Transformations a) Applications affines ; effets sur la barycentration et sur la convexité. Application linéaire associée. Projections, affinités, symétries. b) Groupe des transformations affines. Morphisme canonique du groupe affine sur le groupe linéaire ; groupe des translations, groupe des homothéties-translations. Isomorphisme canonique du stabilisateur d'un point O sur le groupe linéaire. c) Groupe des isométries, groupe des déplacements. Les réflexions engendrent le groupe des isométries ; dans l'espace, les demi-tours engendrent le groupe des déplacements. Similitudes planes directes et indirectes. d) Classification des déplacements et des isométries du plan et des déplacements de l'espace à partir de l'ensemble des points invariants. e) Exemples de recherche du groupe des isométries laissant globalement invariante une configuration du plan ou de l'espace. Exemples de recherche de transformations affines transformant une configuration en une autre. 4. Emploi des nombres complexes en géométrie a) Racines de l'unité et polygones réguliers. b) Adjonction d'un point à l'infini au plan complexe.

c) Transformations z az b+ et z az bcz d++

§ d) Lignes de niveau des fonctions z z a− , z z aArg ( )− , z z az b−−

et z z az b

Arg −−

.

Exemples de familles de courbes orthogonales associées à des transformations simples du plan complexe.

3. ANALYSE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE I. Suites et fonctions 1. Suites de nombres réels et de nombres complexes a) Suites convergentes, divergentes ; suites extraites. Opérations algébriques sur les limites. Relations de comparaison : domination (u est dominée par v), prépondérance (u est négligeable devant v) et équivalence (u est équivalente à v). Notations u = O(v), u = o(v) ou u << v, et u ~ v. b) Toute partie majorée non vide de IR admet une borne supérieure. Toute suite croissante majorée de nombres réels converge. Suites adjacentes. Développement décimal d'un nombre réel. Droite numérique achevée IR . c) Toute suite de Cauchy de nombres réels ou complexes converge. De toute suite bornée de nombres réels ou complexes, on peut extraire une suite convergente. Théorème du point fixe pour une application contractante d'un intervalle fermé de IR

19

dans lui-même. § d) Étude du comportement asymptotique de suites. Approximation d'un nombre réel ou complexe au moyen de suites : rapidité de convergence et performance d'un algorithme. Accélération de convergence : méthode de Richardson-Romberg. § e) Exemples d'étude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence un+1 = f(un) et par une condition initiale. Approximation d'une solution d'une équation numérique. Méthode de dichotomie. Méthode des approximations successives ; méthodes de Newton, d'interpolation linéaire et d'ajustement linéaire. 2. Fonctions d’une variable réelle Les fonctions étudiées dans ce paragraphe sont définies sur un intervalle de IR et à valeurs réelles ou complexes. a) Limite d'une fonction en un point ; continuité en un point. Opérations sur les limites et sur les fonctions continues. Image d'une suite convergente par une fonction continue. Comparaison des fonctions au voisinage d'un point domination, prépondérance et équivalence. b) Image d'un intervalle par une fonction continue, image d'un segment. Continuité de la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle. 3. Espaces vectoriels normés, réels ou complexes Les applications étudiées dans ce paragraphe sont définies sur une partie d'un espace vectoriel normé et à valeurs dans un espace vectoriel normé. a) Normes sur un espace vectoriel réel ou complexe. Norme, distance associée, boules. Parties bornées, diamètre d'une partie. Distance d'un point à une partie non vide. Applications lipschitziennes. Produit d'une famille finie d'espaces normés. Exemples de normes usuelles sur les espaces de suites et de fonctions. b) Voisinages d'un point d'un espace vectoriel normé, ouverts, fermés ; adhérence, intérieur et frontière d'une partie, parties denses, points isolés, points d'accumulation. Distance induite sur une partie ; voisinages d'un point, ouverts et fermés d'une partie. c) Limite d'une application suivant une partie, continuité en un point. Applications continues, caractérisation par image réciproque des ouverts ou des fermés. Continuité d'une application composée ; homéomorphismes. Applications uniformément continues. d) Suites convergentes, divergentes. Caractérisation des points adhérents et des applications continues à l'aide de suites. e) Caractérisation des applications linéaires continues, norme d'une application linéaire continue. Normes équivalentes. Exemples de normes matricielles. f) Opérations algébriques sur les limites. Algèbre des fonctions numériques continues. Algèbre des fonctions polynomiales sur IR n ou CI n, base canonique de cette algèbre. 4. Espaces complets a) Suites de Cauchy, espaces complets ; IR n et CI n sont complets. Parties complètes ; les parties complètes d'un espace complet sont les parties fermées. b) Séries d'éléments d'un espace vectoriel normé. Séries convergentes, divergentes, absolument convergentes (c'est-à-dire

20

telles que un < + ∞∑ ). Dans un espace de Banach, critère de Cauchy pour la convergence d'une série, convergence des séries absolument convergentes. c) Théorème du point fixe pour les contractions d'une partie fermée d'un espace complet. d) Critère de Cauchy pour les applications (existence d'une limite en un point). 5. Espaces vectoriels de dimension finie a) Équivalence des normes. Toute suite de Cauchy est convergente. De toute suite bornée on peut extraire une suite convergente. Continuité des applications linéaires et multilinéaires. b) Définition (séquentielle) des parties compactes. Les parties compactes sont les parties fermées bornées. Image continue d'un compact, application aux fonctions numériques. Continuité uniforme d'une application continue sur un compact. 6. Espaces préhilbertiens réels ou complexes Produit scalaire (dans le cas complexe, linéaire à droite, semi-linéaire à gauche), norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz, identité du parallélogramme. Théorème de Pythagore. Famille orthonormale, méthode de Schmidt. Existence d'une base orthonormale dans un espace de dimension finie. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, distance à un tel sous-espace. Exemples de suites de polynômes orthogonaux. 7. Suites d'applications à valeurs dans un espace de Banach Convergence simple, convergence uniforme. Pour des applications définies sur IR n ou CI n : convergence uniforme sur tout compact. Continuité et limite d'une application définie comme limite d'une suite uniformément convergente. Critère de Cauchy de convergence uniforme. L'espace des applications bornées d'un ensemble dans un espace de Banach, muni de la norme uniforme, est complet. Il en est de même pour l'espace vectoriel normé des applications linéaires continues d'un espace normé dans un espace de Banach. 8. Notions sur la connexité Parties connexes ; les parties connexes de IR sont les intervalles. Image d'une partie connexe par une application continue, théorème des valeurs intermédiaires. Connexité par arcs ; elle implique la connexité et, dans le cas d'un ouvert d'un espace vectoriel normé, elle lui équivaut. Il. Fonctions d'une variable réelle : calcul différentiel et intégral Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle non réduit à un point et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie sur IR ou sur CI . 1. Approximation des fonctions sur un segment Approximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier ; approximation uniforme des fonctions continues par des fonctions continues affines par morceaux et par des fonctions polynomiales. Interpolation de Lagrange. 2. Dérivation a) Opérations sur les dérivées : linéarité, produit, quotient, fonctions composées, fonctions réciproques. b) Inégalité des accroissements finis pour une fonction continue sur un intervalle et dérivable sur son intérieur ;

21

caractérisation des fonctions constantes et des fonctions lipschitziennes. Prolongement des fonctions de classe C1 sur un intervalle privé d'un point. c) Extrémums locaux des fonctions dérivables à valeurs réelles. Théorème de Rolle. d) Fonction de Classe Ck (k entier naturel ou k infini) Si deux fonctions sont de classe Ck, leur composée l'est encore. Caractérisation des Ck-difféomorphismes parmi les fonctions de classe Ck (k ⎤ 1). Formule de Leibniz. Définition des fonctions de classe Ck par morceaux : une fonction f est dite de classe Ck par morceaux sur un segment [a,b] s'il existe une suite finie strictement croissante ao = a, a1, …, an = b telle que la restriction de f à chacun des ]ai,ai+1[ soit prolongeable en une fonction de classe Ck sur [ai,ai+1] ; elle est dite de classe Ck par morceaux sur un intervalle quelconque si sa restriction à tout segment est de classe Ck par morceaux. e) Fonctions à valeurs réelles : fonctions convexes. Caractérisation des fonctions convexes de classe C1 par la croissance de la dérivée première et par la position de la courbe par rapport aux tangentes. 3. Intégration sur un intervalle compact Les seules connaissances exigibles portent sur l'intégration des fonctions continues par morceaux. a) Intégrale d’une fonction en escalier sur un segment. Pour les fonctions à valeurs réelles, croissance de l’intégrale. b) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Notations : f t dt

I( )∫ ; f t dt

a

b( )∫ .

Linéarité. Si a ⎠ b, f t dta

b( )∫ ⎠ f t dt

a

b( )∫ .

Pour les fonctions à valeurs réelles, croissance de l’intégrale. Pour les fonctions à valeurs réelles ou complexes, inégalité de Cauchy-Schwarz. c) Additivité par rapport à l’intervalle d’intégration. Approximation de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment [a,b] par des sommes de Riemann associées à des subdivisions de [a,b]. d) Primitives d’une fonction continue sur un intervalle. Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral : soit f une

fonction continue sur I ; pour tout point a de I, la fonction x f t dta

x( )∫ est l’unique primitive de f sur I s’annulant au point a ;

inversement, pour toute primitive F de f sur I, et pour tout couple (a,b) de points de I, f t dta

b( )∫ = F(b) − F(a).

En particulier, pour toute fonction g de classe C1 sur I, et pour tout couple (a,b) de points de I, g(b) − g(a) = ′∫ g t dt

a

b( ) .

Intégration par parties, changement de variable. Exemples de calculs de primitives. e) Inégalité des accroissements finis relative à un couple de fonctions de classe C1, l’une vectorielle, l’autre réelle. Formule de Taylor à l’ordre p avec reste intégral pour une fonction de classe Cp+1 ; inégalité de Taylor-Lagrange. § f) Calcul des valeurs approchées d’une intégrale. Méthode du milieu (ou des tangentes). Méthode des trapèzes, méthode de Simpson : majoration du reste. Algorithmes d’approximation d’une intégrale par ces deux méthodes. 4. Étude locale des fonctions a) Développements limités, opérations sur les développements limités.

22

b) Exemples simples de développements asymptotiques. Intégration des relations de comparaison au voisinage d'un point entre des fonctions continues ; intégration des développements limités. Théorème de Taylor-Young (existence d'un développement limité d'ordre p pour une fonction de classe Cp). 5. Fonctions usuelles a) Fonctions exponentielles et logarithmes, fonctions puissances, fonctions hyperboliques directes et réciproques. b) Fonctions circulaires directes et réciproques. Fonction t eat, où a est complexe. c) Équations fonctionnelles des fonctions linéaires, exponentielles ; logarithmes et puissances. 6. Intégrales impropres a) Intégrales convergentes, divergentes ; critère de Cauchy. Convergence absolue. Emploi de l'intégration par parties. b) Intégrales de fonctions positives. Emploi des relations de comparaison pour l'étude de la convergence. Intégration des relations de prépondérance et d'équivalence au voisinage de +∞ : cas des intégrales convergentes, cas des intégrales divergentes. 7. Intégrales dépendant d'un paramètre a) Passage à la limite uniforme dans les intégrales de fonctions continues sur un segment : application à la dérivation de la limite d'une suite de fonctions de classe C1. Exemples de passage à la limite dans les intégrales impropres.

b) Continuité et intégration des fonctions de la forme x f x t dta

b( , )∫ , où f est continue ; dérivation lorsqu'en outre ∂

∂fx

est

continue. Exemples d'étude de fonctions définies par des intégrales. c) Convergence en moyenne, en moyenne quadratique : normes associées. III. Séries 1. Séries de nombres réels ou complexes a) Séries à termes positifs. Emploi des relations de comparaison pour l'étude de la convergence. Sommation des relations de prépondérance et d'équivalence ; cas des séries convergentes, cas des séries divergentes. Comparaison à une série géométrique : règles de Cauchy et de D'Alembert. Comparaison à une intégrale impropre, Convergence des séries de Riemann ; comparaison à une série de Riemann. b) Séries à termes réels ou complexes. Convergence d'une série alternée dont la valeur absolue du terme général décroît et tend vers zéro ; majoration du reste. Exemples d'emploi de la transformation d'Abel. Exemples d'emploi d'un développement asymptotique du terme général. c) Somme de deux séries, produit d'une série par un scalaire. Série produit de deux séries absolument convergentes :

w u vn p qp q n

=+ =∑

d) Exemples d'encadrement ou d'évaluation asymptotique des restes d'une série convergente, des sommes partielles d'une série divergente.

23

§ e) Recherche de valeurs approchées de la somme d'une série convergente. 2. Séries de fonctions Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie sur IR ou sur CI .. a) Convergence simple, convergence uniforme sur un ensemble d'une série de fonctions ; convergence normale (pour la norme uniforme). b) Continuité et limite en un point de la somme d'une série uniformément convergente. Intégration terme à terme d'une série uniformément convergente de fonctions continues sur un segment ; application à la dérivation terme à terme d'une série de fonctions de classe C1. c) Exemples d'étude de fonctions définies par des séries. 3. Séries entières Les coefficients des séries entières considérées dans ce paragraphe sont réels ou complexes. a) Séries entières d'une variable complexe ; rayon de convergence, disque (ouvert) de convergence, convergence normale sur tout compact du disque de convergence. b) Séries entières d'une variable réelle : intégration et dérivation terme à terme dans l'intervalle (ouvert) de convergence. Développement en série entière de ex, In(1 + x) et (1 + x)α, où α est réel. c) Définition de exp z (ou ez), cos z et sin z pour z complexe. Exponentielle d'une somme, extension des formules de trigonométrie. 4. Séries de Fourier a) Polynômes trigonométriques ; orthogonalité des fonctions x einx. Coefficients et série de Fourier d'une fonction f 2π-périodique continue par morceaux à valeurs complexes (expression sous forme exponentielle, expression en cosinus et

sinus). Sommes partielles ∑−=

=n

nk

ikxkn fcxS e)()( de la série de Fourier de f ; propriété de meilleure approximation en

moyenne quadratique. b) Lorsque f est continue par morceaux, convergence de Sn vers f en moyenne quadratique ; formule de Parseval. Théorème de Dirichlet ; convergence de Sn(x) vers la demi-somme des limites à droite et à gauche de f au point x lorsque f est de classe C1 par morceaux. Convergence normale de la série de Fourier d'une fonction continue et de classe C1 par morceaux. 5. Emploi des séries entières et des séries de Fourier Exemples de recherche de développements en série entière ou en série de Fourier de fonctions d'une variable réelle. § Exemples d'utilisation de tels développements pour obtenir des valeurs approchées d'une fonction. Exemples d'emploi de séries entières pour la recherche de solutions d'équations différentielles. IV. Équations différentielles 1. Systèmes linéaires d'ordre 1 a) Écriture matricielle ′ = +X A t X B t( ) ( ) où A (respectivement B) désigne une application continue d'un intervalle I de IR dans Mn(CI ) ( respectivement CI n ). Exis-tence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy (théorème admis). Dimension de l'espace vectoriel des solutions sur I de l'équation ′ =X A t X( ). . Méthode de variation des constantes. b) Systèmes à coefficients constants : exponentielle d'un endomorphisme ; application au problème de Cauchy. Résolution

24

du système ′ =X AX par réduction de A à une forme diagonale ou triangulaire. 2. Équations linéaires scalaires a) Équation ′′ + ′ + =x a t x b t x c t( ) ( ) ( ) , où a, b, c sont continues sur I à valeurs réelles ou complexes. Système d'ordre 1 associé, étude du problème de Cauchy ; solutions de l'équation sans second membre, méthode de variation des constantes. Expression des solutions dans le cas où l'on connaît une solution de l'équation sans second membre associée ne s'annulant pas sur I. b) Équations linéaires à coefficients constants. Dimension de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène. Cas où le second membre est une exponentielle polynôme. 3. Notions sur les équations non linéaires a) Solutions d'une équation différentielle ′ =x f t x( , ) (resp. ′′ = ′x f t x x( , , ) ), où f est de classe C1 sur un ouvert de IR2 (resp. de IR3). Existence et unicité d'une solution maximale du problème de Cauchy. § b) Recherche de solutions approchées d'une équation différentielle scalaire d'ordre 1 par la méthode d'Euler. c) Résolution des équations des types suivants (en liaison avec la géométrie) : équation associée à une forme différentielle exacte, équation à variables séparables, équation homogène :

dydx

f yx

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d) Exemples d'emploi de changements de variable ou de fonction (en liaison avec des propriétés d'invariance), d'échange de la variabIe et de la fonction, de paramétrages. § e) Exemples d'étude qualitative des courbes intégrales d'une équation différentielle. Exemples de recherche des courbes intégrales d'un champ d'éléments de contact ou d'un champ de vecteurs dans le plan. V. Notions sur les fonctions de plusieurs variables réelles 1. Calcul différentiel Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont définies sur un ouvert de IR p et à valeurs dans IR n. a) Limite, continuité, dérivée selon un vecteur, dérivées partielles. Applications de classe C1 (ou continûment différentiables). b) Développement limité à l'ordre 1 d'une application de classe C1 ; différentielle, matrice jacobienne, jacobien. Si deux applications sont de classe C1, leur composée l'est encore ; difféomorphismes. Matrice jacobienne d'une application composée ou d'une application réciproque (les applications considérées étant de classe C1). Caractérisation des difféomorphismes parmi les applications injectives de classe C1. Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1 ; caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert connexe. c) Dérivées partielles d'ordre k ; théorème de Schwarz. Définition des applications de classe Ck sur un ouvert de IR p à valeurs dans IR n (k entier naturel ou k infini). Si deux applications sont de classe Ck, leur composée l'est encore ; définition des Ck-difféomorphismes (k ⎤ 1). d) Gradient d'une fonction numérique de classe C1, points critiques. Formule de Taylor-Young pour une fonction numérique de classe C1. Étude de l'existence d'un extrémum local (c'est-à-dire d'un maximum local ou d'un minimum local) d'une fonction numérique de deux variables de classe C2 en un point critique où r t−s2 ≠ 0. 2. Calcul intégral Aucune difficulté théorique ne peut être soulevée sur les notions de ce paragraphe. a) Champs de vecteurs. Divergence, rotationnel. Intégrales curvilignes. Potentiel scalaire ; condition nécessaire et suffisante d'existence pour un champ de classe C1 sur un ouvert étoilé.

25

b) Intégrales doubles et intégrales triples. Linéarité, croissance ; additivité par rapport aux ensembles. Calcul par intégrations successives. Changements de variables ; passage en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques. Exemples de calculs d'aires planes et de volumes. VI. Notions de géométrie différentielle 1. Courbes et surfaces L'étude théorique est placée dans des hypothèses très larges. Toutes les formes du théorème des fonctions implicites utiles pour ce paragraphe sont admises. a) Définitions diverses d'une courbe (plane ou non) et d'une surface, par paramétrages ou par équations. b) En un point régulier ; tangente à une courbe, plan normal ; plan tangent à une surface, normale. Tangente à l'intersection de deux surfaces en un point où les plans tangents sont distincts. c) Étude locale d'une courbe paramétrée plane : position de la courbe par rapport à une droite ; concavité en un point birégulier, rebroussements, inflexions. Étude de branches infinies. Construction de courbes paramétrées. d) Étude locale d'une courbe paramétrée de l'espace : plan osculateur en un point birégulier, étude locale en un point trirégulier. e) Enveloppe d'une famille de droites dans le plan, donnée par une équation a(t) x + b(t) y + c(t) = 0, sur un intervalle où ab ba′ − ′ ne s'annule pas. f) Étude des courbes planes définies par des coordonnées polaires : étude locale, comportement asymptotique, construction. 2. Propriétés métriques des courbes planes Longueur d'un arc paramétré de classe C1, abscisse curviligne. Pour un arc birégulier du plan orienté, repère de Frenet, courbure, centre de courbure, développée, développantes. 3. Cinématique du point a) Vitesse, accélération. Trajectoire, loi horaire. Moment cinétique, dynamique. Énergie cinétique. b) Exemples de mouvements. Mouvements rectilignes, mouvements circulaires. Mouvements à accélération centrale ; oscillateurs harmoniques, mouvement des planètes. 4. Probabilités et statistiques 1. Espaces probabilisés Expériences aléatoires . Evénements. Parallèle entre le vocabulaire probabiliste et le vocabulaire ensembliste à propos des opérations sur les événements. Tribus. Probabilités. Espace probabilisé ( P).,, ΑΩ Probabilités conditionnelles. Formule des probabilités totales ; formule de Bayes. Indépendance (en probabilité) d’événements ; indépendance mutuelle d’un nombre fini d’événements ; indépendance deux à deux. Les candidats devront savoir utiliser sur des exemples simples la formule donnant la probabilité d’une réunion finie d’événements (formule de Poincaré, ou de crible). La théorie des espaces probabilisés produits n’est pas au programme. Aucune difficulté théorique ne doit être soulevée sur les espaces probabilisés. 2. Variables aléatoires Définition d’une variable aléatoire réelle, ou plus généralement à valeurs dans IRn. Evénements liés à une variable aléatoire. On admettra que la somme et le produit de deux variables aléatoires sont des variables aléatoires. Les propriétés générales des variables aléatoires sont hors programme. L’objectif est la mise en fonctionnement de ce concept sur les exemples décrits dans les trois alinéas qui suivent. La tribu borélienne de IR n’est pas au programme. a) Variables aléatoires réelles discrètes Loi de probabilité. Fonction de répartition F(x)=P[X≤x]. Moments : espérance (ou moyenne), moment d’ordre 2, variance, écart-type.

26

Variables centrées, variables réduites. Variable aléatoire y = g(X) fonction d’une variable aléatoire discrète X, où g est définie sur l’ensemble des valeurs de X. Lois discrètes usuelles : loi uniforme, de Bernoulli, binomiale, hypergéométrique, géométrique, de Poisson. b) Vecteurs aléatoires (à valeurs dans Rn) discrets. Loi de probabilité d’un vecteur à valeurs dans IR2. Lois marginales. Lois conditionnelles. Indépendance de deux variables aléatoires réelles. Loi de probabilité d’un vecteur à valeurs dans IRn. Indépendance de n variables aléatoires réelles. Linéarité de l’espérance mathématique. Espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires indépendantes. Variance d’une somme de variables aléatoires. Covariance. Coefficient de corrélation linéaire. Stabilité pour la somme des lois binomiales, des lois de Poisson. Dans de nombreuses situations, on rencontre des exemples simples de fonctions de plusieurs variables aléatoires (sommes, produits). On admettra que si X1,…, Xn sont indépendantes, toute fonction de (X1,…, Xp) est indépendante de toute fonction de (Xp+1,…, Xn). Aucune théorie générale des fonctions de plusieurs variables aléatoires n’est au programme. c) Variables aléatoires à densité On dit qu’une variable aléatoires X à valeurs réelles admet une densité f si sa fonction de répartition peut s’écrire sous la forme

∫ ∞−=

xf(t)dt. F(x)

où f est une fonction à valeurs réelles positives ayant un nombre fini de points de discontinuité et telle que

∫+∞

∞−= 1f(t)dt

Moments, espérance (ou moyenne), moment d’ordre 2, variance, écart-type. Variable centrées, variables réduites. Exemples simples de fonctions d’une variable aléatoire (tels que aX + b, X2 , exp X…). Lois définies par une densité usuelle : loi uniforme, exponentielle, normale (ou de Laplace-Gauss). Densité d’un vecteur aléatoire à valeurs dans IR2. Indépendance de deux variables aléatoires réelles à densité. Aucune difficulté théorique ne doit être soulevée sur ces questions. 3. Convergence des suites de variables aléatoires. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (cas des variables discrètes et des

variables à densité). Convergence en probabilité. Loi faible des grands nombres. Approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale.. Approximation de la loi binomiale par la loi de Gauss, par la loi de Poisson. Enoncé du théorème limite central. L’étude de la convergence en loi n’est pas au programme. 4. Notions de statistiques. a) Statistique descriptive : paramètres de position (moyenne, médiane, quantiles, modes) et de dispersion (écart-type,

variance). Divers modes de représentation graphique. b) Echantillons. Intervalle de confiance d’une moyenne ou d’une fréquence. c) Tests d’hypothèse ; les deux types de risque d’erreur. d) Tests de paramètres : estimation du paramètre d’une loi binomiale, de la moyenne m d’une loi normale. Test unilatéral,

bilatéral. Comparaison de deux moyennes.

ANNEXE II

Instructions et commentaires Ils figurent au BOEN n° 33 du 26 septembre 1991 et au BO Spécial n°5 du 21 octobre 1993. Pour les épreuves écrites les candidats doivent se munir de calculatrice afin de s’en servir lorsque ce sera autorisé. Pour les épreuves orales les calculatrices personnelles sont interdites. Pour les sujets qui en nécessiteraient l’usage, les candidats pourront en emprunter une à la bibliothèque du C.A.P.E.S.

27

3. Statistiques 3.1 Evolution et résultats globaux

Année

Postes

Inscrits

Présents aux Deux

épreuves écrites

Admissibles

Présents aux deux

épreuves orales

Admis

CAPES 2001 CAFEP 2001

990 215

6972 1095

5676 889

2109 200

1946 194

990 * 113

CAPES 2002 CAFEP 2002

1125 230

6166 906

4948 745

2213 192

2065 189

1125 * 118

CAPES 2003 CAFEP 2003

1195 230

5755 846

4428 636

2328 214

2174 209

1195 116

CAPES 2004 CAFEP 2004

1003 177

5604 933

4194 658

2040 205

1900 192

1003 103

CAPES 2005 CAFEP 2005

1310 177

6086 1051

4074 644

2473 279

2236 265

1310 139

CAPES 2006 CAFEP 2006

952 135

5787 1096

3983 689

2043 283

1796 265

952 126

* En 2001 et 2002, des listes complémentaires avaient été publiées. La diminution inattendue du nombre des postes offerts n’a pas eu d’effet cette année sur les inscriptions, dont le nombre a peu évolué. Il est connu d’après diverses études que les effets se mesurent en moyenne à quatre ans. Les abandons à l’oral. L’augmentation du pourcentage de candidats admissibles ne s’étant pas présentés aux épreuves orales est frappante1 : environ 7% en 2003 et 2004, 10% en 2005, 12% en 2006. Il est permis d’y voir une baisse de l’attractivité du CAPES externe. Nous n’avons pas mené d’enquête exhaustive auprès des candidats abandonnant de cette manière, mais il y a eu des contacts téléphoniques assez nombreux. Avec les renseignements statistiques disponibles, nous avons pu dégager les quelques tendances qui suivent. Il faut tenir compte en premier lieu des candidats d’un bon niveau et simultanément admissibles au CAPES et à l’agrégation. Certains ont démissionné car ils savaient déjà avant la fin du CAPES qu’ils étaient reçus à l’agrégation. D’autres préfèrent continuer le cas échéant à se préparer à l’agrégation plutôt que de tenter d’être reçus au CAPES, auquel ils se sont inscrits sans réelle motivation et sans une préparation spécifique. Ces candidats expliquent la partie de gauche du tableau qui suit.

1 La grande majorité de ces candidats ne se présente même pas à la première épreuve orale. Nous en contactions certains au téléphone. Ceux qui abandonnent en cours d’oral sont très minoritaires : moins d’un dixième du total des abandons.

28

Taux de non-présentation à l’oral en fonction du rang d’écrit

Rangs De 1 à

204

De 205

à 408

De 409

à 612

De 613

à 816

De 817

à 1020

De 1021

à 1224

De 1225

à 1428

De 1429

à 1632

De 1633

à 1836

De 1837

à 2043

Taux d’abandon

30% 16% 10% 8% 7% 8% 9% 10% 9% 13%

(statistiques sur le CAPES seul)

Une fois ces candidats écartés, on est surpris par la régularité des chiffres : de nombreux candidats se sentent insuffisamment préparés aux épreuves orales, et ceci quasi-indépendamment de leurs capacités telles que l’écrit a permis de les mesurer. Enfin, les femmes et les hommes se comportent très différemment :

% admissibles ne terminant pas les épreuves orales

CAPES CAFEP

femmes 7,5 2 hommes 15,5 10

Faudrait-il voir dans l’augmentation du nombre de défections un effet regrettable de l’image qu’ont de nombreux candidats de leurs probables débuts dans la carrière d’enseignant, à savoir celle du jeune « prof » débutant envoyé dans un collège d’une zone particulièrement difficile ? 3.2 Statistiques par catégories Sont considérés comme présents les candidats qui ont des notes non nulles à toutes les épreuves écrites. Les candidats aux concours étrangers gérés par le jury ne sont pas comptabilisés. Les candidats étrangers aux concours français sont comptés normalement.

CAPES externe de Mathématiques

Inscrits Présents admissibles Admis Ensemble 5784 3981 2040 952 Femmes 2511 1866 892 474 Français et U.E. 5762 3974 2037 952 Union Européenne 26 13 4 2 Etrangers hors UE 22 7 3 0 Moins de 30 ans 4256 3294 1736 845 Moins de 25 ans 2411 2066 1187 621

29

Professions I P a A DIVERS 761 301 138 46 ELEV.IUFM.1ANN. 1842 1715 903 530 ETUDIANT 1187 898 566 238 CADRE CONV.COL 210 71 34 10 SANS EMPLOI 751 358 154 50 VAC.2ND DEGRE 247 163 66 25 MA 93 51 16 7 CONT.2ND DEGRE 470 272 105 32 ASSISTANT EDUC. 223 152 58 14

CAFEP-CAPES privé de Mathématiques Inscrits Présents admissibles Admis Ensemble 1096 676 283 126 Femmes 583 380 134 67 Moins de 30 ans 713 509 219 95 Moins de 25 ans 292 253 121 55

Professions I P a A DIVERS 115 31 14 5 ELEV.IUFM.1ANN. 239 215 114 67 ETUDIANT 149 90 44 17 SECT.TERTIAIRE 16 10 2 0 SECT.INDUSTRIEL 9 7 4 2 SANS EMPLOI 133 54 24 10 FORMATEUR PRIVE 18 9 4 3 MAIT.OU DOC DEL 13 8 4 1 VAC.2ND DEGRE 54 31 6 3 VAC.ENS.SUP. 6 5 3 0 MA 264 179 49 12 CONT.2ND DEGRE 63 29 13 5 ASSISTANT EDUC. 17 8 2 1

Catégories I P a A DIVERS 1990 1764 924 537 ETUDIANT 1187 898 566 238 ENS.TIT.MEN 150 57 29 10 AG.NON TIT.MEN 1219 737 289 91 HORS FP SS EMPL 1238 525 232 76

Catégories I P a A DIVERS 261 222 118 68 ETUDIANT 149 90 44 17 ENS.TIT.MEN 28 10 1 0 AG.NON TIT.MEN 422 257 76 22 ENSEIGN PRIVE 24 12 7 2 HORS FP SS EMPL 212 85 37 17

30

3.3 Résultats par académie

CAPES externe de Mathématiques

Académies I P a A AIX MARSEILLE 297 208 103 41 BESANCON 94 72 41 18 BORDEAUX 228 182 110 55 CAEN 124 95 47 22 CLERMONTFERRAND 89 66 41 29 DIJON 140 108 51 25 GRENOBLE 267 187 113 49 LILLE 430 328 153 74 LYON 295 188 104 44 MONTPELLIER 223 141 79 22 NANCY METZ 184 134 76 33 POITIERS 141 111 62 29 RENNES 266 206 108 53 STRASBOURG 203 135 68 41 TOULOUSE 311 215 125 63 NANTES 214 169 95 40 ORLEANS TOURS 156 117 68 31 REIMS 93 63 40 14 AMIENS 153 95 39 11 ROUEN 133 102 46 27 LIMOGES 57 45 25 13 NICE 192 128 55 30 CORSE 23 18 6 4 REUNION 116 69 17 7 MARTINIQUE 70 42 7 2 GUADELOUPE 105 69 8 3 GUYANNE 17 1 0 0 PARIS/CRET/VERS 1163 687 353 172

Centres d’écrit I P a A DIVERS 105 68 19 11 AIX 297 208 103 41 AMIENS 153 95 39 11 BESANCON 94 72 41 18 BORDEAUX 165 129 82 42 BREST 87 61 34 13 CAEN 123 94 46 21 CLERMONT FERRAN 89 66 41 29 DIJON 109 86 47 22 GRENOBLE 267 187 113 49 LILLE 410 311 149 71 LIMOGES 57 45 25 13 LYON 295 188 104 44 MONTPELLIER 223 141 79 22 NANCY 184 134 76 33 NANTES 214 169 95 40 NICE 190 127 54 30 ORLEANS 95 64 40 18 PARIS 1162 686 353 172 PAU 63 53 28 13 POITIERS 138 110 62 29 REIMS 93 63 40 14 RENNES 179 145 74 40 ROUEN 132 101 46 27 STRASBOURG 202 134 67 41 TOULOUSE 311 215 125 63 TOURS 61 53 28 13 FORT DE FRANCE 70 42 7 2 POINTE A PITRE 105 69 8 3 SAINT DENIS REU 111 65 15 7

31

CAFEP-CAPES privé de Mathématiques

Académies I P a A AIX MARSEILLE 61 36 14 6 BESANCON 17 7 1 0 BORDEAUX 57 36 19 14 CAEN 22 18 6 2 CLERMONTFERRAND 16 9 3 1 DIJON 19 16 7 2 GRENOBLE 45 28 14 7 LILLE 99 65 33 13 LYON 60 42 27 12 MONTPELLIER 41 23 10 4 NANCY METZ 32 12 7 4 POITIERS 14 10 5 2 RENNES 115 71 23 14 STRASBOURG 17 10 0 0 TOULOUSE 38 22 10 5 NANTES 129 90 41 19 ORLEANS TOURS 18 15 2 1 REIMS 6 4 0 0 AMIENS 11 8 5 2 ROUEN 23 11 3 1 LIMOGES 4 2 0 0 NICE 20 11 3 1 CORSE 2 0 0 0 REUNION 6 5 1 0 MARTINIQUE 7 2 0 0 GUADELOUPE 5 3 0 0 PARIS/CRET/VERS 212 120 49 16

Centres d’écrit I P a A DIVERS 56 33 0 0 AIX 61 36 14 6 AMIENS 11 8 5 2 BESANCON 17 7 1 0 BORDEAUX 33 19 9 6 BREST 40 21 7 5 CAEN 20 16 6 2 CLERMONT FERRAN 16 9 3 1 DIJON 18 15 7 2 GRENOBLE 45 28 14 7 LILLE 98 64 33 13 LYON 60 42 27 12 MONTPELLIER 41 23 10 4 NANCY 32 12 7 4 NANTES 129 90 41 19 NICE 20 11 3 1 PARIS 211 120 49 16 PAU 24 17 10 8 POITIERS 14 10 5 2 RENNES 75 50 16 9 ROUEN 23 11 3 1 TOULOUSE 38 22 10 5 TOURS 8 7 2 1 SAINT DENIS REU 6 5 1 0

32

3.4 Répartition des notes CAPES externe de Mathématiques :

Ecrit : quartiles sur les notes non nulles Présents admissibles Admis épreuve 1 (sur 20) épreuve 2 (sur 20)

10 10

7 7

4 4

11 11

10 10

8 8

12 12

11 11

10 9

Total écrit (sur 40)

20 14 9 22 19 17 23 21 19

Ecrit, épreuve 1 moyenne des admis 10.74 Ecrit, épreuve 2 moyenne des admis 10.46 le total d’écrit est ramené sur 20

Ecrit : histogramme cumulé (sur 20) Total écrit 1 écrit 2 P a A P a A P a A 20 0 0 0 2 2 1 1 1 0 19 0 0 0 4 4 2 2 2 1 18 1 1 0 7 7 4 2 2 1 17 4 4 3 17 17 9 11 11 6 16 18 18 12 39 38 23 20 20 13 15 36 36 22 74 73 42 51 51 35 14 81 81 47 129 128 77 91 90 60 13 159 159 102 249 248 158 226 224 148 12 321 321 222 499 497 319 439 437 281 11 643 643 431 917 912 546 894 883 521 10 1010 1010 639 1314 1275 717 1229 1194 678 9 1371 1371 798 1584 1504 806 1493 1417 764 8 1788 1788 910 2004 1766 888 1824 1642 847 7 2225 2040 952 2368 1913 922 2328 1887 919 6 2623 2040 952 2691 1989 946 2596 1963 940 5 2959 2040 952 3001 2019 949 2879 2013 947 4 3299 2040 952 3323 2037 952 3257 2035 950 3 3593 2040 952 3595 2039 952 3640 2039 952 2 3828 2040 952 3828 2039 952 3829 2040 952 1 3960 2040 952 4082 2040 952 3967 2040 952 0 3981 2040 952 4103 2040 952 3992 2040 952

Oral : quartiles sur les notes non nulles admissibles Admis épreuve 1 (sur 20) épreuve 2 (sur 20)

14 13

10 9

5 6

16 15

13 12

10 9

Total général (sur 80) 45 38 32 50 45 41 le total général est ramené sur 20

33

Oral et total général (sur 20) Total oral 1 oral 2 a A a A a A 20 0 0 42 41 18 18 19 0 0 96 95 41 41 18 0 0 152 150 84 84 17 3 3 211 207 139 136 16 17 17 302 289 212 203 15 38 38 385 368 277 259 14 99 99 498 460 390 352 13 192 192 590 534 488 433 12 336 336 700 613 612 524 11 561 561 807 680 744 607 10 796 796 909 749 892 702 9 1100 952 1002 790 1026 765 8 1376 952 1132 838 1171 818 7 1566 952 1236 868 1292 865 6 1699 952 1333 899 1413 903 5 1767 952 1417 921 1507 920 4 1796 952 1500 934 1606 935 3 1796 952 1571 940 1667 946 2 1796 952 1660 946 1736 950 1 1796 952 1773 951 1787 952 0 1796 952 1807 952 1796 952

Seuil d’admissibilité : 14.40/40 (7.20/20) Seuil d’admission : 38.00/80 (9.50/20) Pas de liste complémentaire

34

CAFEP-CAPES privé de Mathématiques

Ecrit : quartiles sur les notes non nulles Présents admissibles Admis épreuve 1 (sur 20) épreuve 2 (sur 20)

9 10

6 7

3 4

11 11

10 10

8 8

11 12

10 11

8 10

Total écrit (sur 40)

18 13 8 21 19 16 23 20 18

Ecrit, épreuve 1 moyenne des admis 10.05 Ecrit, épreuve 2 moyenne des admis 10.59 le total d’écrit est ramené sur 20

Ecrit : histogramme cumulé (sur 20) Total écrit 1 écrit 2 P a A P a A P a A 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 1 1 1 0 0 0 17 0 0 0 2 2 2 0 0 0 16 2 2 1 3 3 2 1 1 0 15 3 3 2 5 5 3 3 3 2 14 4 4 3 10 10 8 6 6 5 13 11 11 9 19 19 15 22 22 17 12 31 31 26 38 38 29 47 47 36 11 67 67 48 84 82 48 125 122 71 10 115 115 77 153 143 83 172 168 96 9 182 182 105 191 176 93 220 211 111 8 246 246 120 261 222 105 266 239 118 7 314 283 126 318 249 118 351 268 122 6 376 283 126 391 274 124 402 280 125 5 444 283 126 436 280 126 448 282 126 4 512 283 126 500 282 126 518 283 126 3 574 283 126 570 282 126 586 283 126 2 628 283 126 621 283 126 635 283 126 1 670 283 126 695 283 126 669 283 126 0 676 283 126 701 283 126 677 283 126

Oral : quartiles sur les notes non nulles admissibles Admis épreuve 1 (sur 20) épreuve 2 (sur 20)

13 13

9 10

4 6

16 15

13 12

10 9

Total général (sur 80) 43 37 30 50 44 40 le total général est ramené sur 20

35

Seuil d’admissibilité : 14.40/40 (7.20/20) Seuil d’admission : 38.00/80 (9.50/20) Pas de liste complémentaire

Oral et total général (sur 20) Total oral 1 oral 2 a A a A a A 20 0 0 4 4 2 2 19 0 0 9 9 5 5 18 0 0 15 14 10 10 17 1 1 23 22 15 15 16 1 1 32 31 26 26 15 4 4 45 43 40 37 14 10 10 59 54 54 47 13 21 21 74 66 70 60 12 43 43 84 75 82 71 11 64 64 100 88 99 77 10 95 95 117 97 132 93 9 142 126 133 104 151 102 8 186 126 151 113 175 113 7 221 126 167 117 187 117 6 249 126 178 119 204 120 5 261 126 193 123 219 125 4 265 126 209 124 236 126 3 265 126 225 126 244 126 2 265 126 238 126 254 126 1 265 126 260 126 264 126 0 265 126 267 126 265 126

36

4. Les épreuves écrites

Les épreuves écrites avaient lieu dans la première semaine du mois de mars 2006. La proportion des candidats ayant abandonné à l’issue de la première épreuve est revenue à un niveau normal, et même particulièrement bas : moins de 3%. On trouve toujours quelques bonnes copies de première épreuve, suivies d’une absence en seconde épreuve. Nous trouvons aussi, comme d’habitude, quelques candidats fantaisistes (une dizaine) qui viennent à la seconde épreuve sans être venus à la première … Il est rappelé que l’absence à une épreuve entraîne l’élimination du candidat. Le retard est aussi une cause d’élimination, les candidats arrivant après la distribution des sujets n’étant pas autorisés à composer. La définition des épreuves proprement dites, les buts généraux qu’elles poursuivent, ainsi que le programme auquel elles sont limitées, sont détaillées dans les documents officiels (voir la partie qui leur est consacrée dans le rapport). Les correcteurs élaborent leurs grilles de correction lors d’une réunion plénière, tenue après qu’ils aient eu le temps d’analyser les sujets et de lire un échantillon de copies. Chaque copie est ensuite corrigée deux fois, de manière totalement indépendante. Les deux correcteurs jumelés se concertent à la fin de leur travail pour décider de la note finale. Aucun commentaire, aucune annotation particulière ne figure sur les copies. Seule la note finale après harmonisation y est inscrite. Les candidats qui souhaitent après coup revoir leur travail pour mieux comprendre le résultat obtenu peuvent, conformément aux dispositions de la loi n° 78.753 du 17 juillet 1978, obtenir satisfaction en s’adressant à la D.P.E qui conserve les copies pendant un an à cet effet. De manière générale, les sujets des épreuves écrites sont construits dans le but de discriminer l’ensemble des candidats, des meilleurs aux plus faibles ; c’est pourquoi de très bonnes notes ont pu être attribuées à des copies n’abordant pas, et même de loin, l’ensemble du sujet. Ce fait s’explique aussi par le souci qu’ont les auteurs de sujets de construire des problèmes offrant un contenu suffisamment construit, qui aboutisse notamment à un ou des résultats significatifs, et aussi la nécessité de ne pas trop centrer le texte sur une partie trop réduite du programme. Les questions qui recevront un poids particulièrement significatif dans le classement des candidats ne sont pas distinguables dans l’énoncé (d’autant qu’elles ne s’imposent parfois qu’au moment de la correction des copies), ce qui empêche d’estimer raisonnablement la note à la lecture d’une copie isolée, et en conséquence empêche le candidat par lui-même d’avoir une idée raisonnable de la note qu’il recevra.

5. Les épreuves orales 5.1 Organisation Elles ont eu lieu du 28juin au 21 juillet 2006 au lycée Lakanal (Sceaux). Les interrogations avaient lieu tous les jours, dimanches et quatorze juillet inclus. Une pause a eu lieu à mi-parcours du 7 au 10 juillet. Le jury était séparé en 24 commissions de trois personnes. La composition de ces commissions est déterminée en tenant compte de l’obligation de croiser les compétences, ce

37

qui conduit à faire travailler ensemble des personnes intervenant aux divers niveaux possibles, enseignement secondaire, enseignement post-baccalauréat, enseignement supérieur, université et IUFM, inspection pédagogique régionale. La présence de personnels enseignant en IUFM fait pour chaque cas l’objet d’une réflexion appropriée, le but poursuivi étant d’arbitrer au mieux entre deux nécessités contradictoires : d’un côté, éviter autant que possible des situations où il y aurait confusion des rôles de formateur et d’évaluateur, et d’un autre côté, éviter de trop distendre les liens avec les centres de formation. Les candidats sont convoqués en début d’après-midi pour l’épreuve d’exposé et le lendemain matin pour l’épreuve sur dossier. Ils passent successivement devant deux commissions jumelées qui échangent leurs candidats pour la deuxième épreuve. Chaque commission fait passer les deux types d’épreuves. Un membre de la présidence accueille les candidats avant chaque épreuve afin d’en préciser les modalités et rappeler quelques instructions à son sujet. Les candidats pouvaient fournir une adresse électronique lors de leur inscription. Immédiatement après signature de la liste des admissibles, les résultats ont été transmis aux adresses connues, (plus de 95% des candidats admissibles ont été dans ce cas cette année). Les références des textes officiels décrivant la forme des épreuves orales sont rappelées dans la partie 1.2 de ce rapport. 5.2 Conseils pratiques. Les demandes de déplacements ou reports de la date de la convocation ne sont pas examinées par la présidence du jury, sauf dans les deux cas qui suivent : - coïncidence entre deux convocations à des concours de recrutement de l’Education

Nationale auxquels le candidat est simultanément admissible (CAPES et agrégation, ou CAPLP, ou CRPE par exemple)

- cas de force majeure, maladie, ou événement familial d’importance majeure. Lorsque ces demandes peuvent être prises en considération, il n’est pas toujours possible d’y répondre favorablement. Réaliser les arrangements correspondants n'est pas une obligation du jury. La convocation aux épreuves orales comporte un accusé de réception à renvoyer obligatoirement, par retour du courrier, au président du jury. Les candidats négligeant cette obligation compliquent et accroissent la tâche de la présidence. En effet, l’organisation quotidienne des convocations ne permet de tenir compte de demandes légitimes de report de convocation que si la présidence du jury est en mesure de trouver les « places » vacantes laissées par les candidats qui, pour diverses raisons, renoncent à passer les épreuves orales. Il est rappelé aux candidats que l’adresse qu’ils fournissent lors de leur inscription doit être une adresse permanente, valable pour toute la durée des épreuves et pour la phase d’affectation. Ils doivent éventuellement prendre toute disposition pour que le courrier puisse les atteindre pendant toute la période concernée (cf. B.O. spécial n° 13 du 31 août 1995, p. 13). Une tenue vestimentaire correcte est souhaitable : ce qui est convenable en villégiature ne l’est pas nécessairement devant le jury d’un concours de recrutement. L’utilisation des téléphones portables est interdite dans les locaux du concours, tant pour éviter d’éventuelles fraudes que pour ne pas déranger les candidats par des sonneries intempestives. Les oraux sont publics. Le nombre important des visiteurs conduit la présidence du jury à réglementer leurs déplacements dans les locaux du concours. Ils ne peuvent y pénétrer que pour accompagner une vague de candidats dans les salles de commission et ne doivent en

38

aucun cas parler aux candidats ou stationner dans les couloirs. Afin de ne pas trop perturber ni les candidats ni le bon fonctionnement du concours, le nombre des visiteurs pour une interrogation donnée est limité. Le CAPES et le CAFEP sont des concours et non des examens ; comme à l’écrit, la note d’oral sert à classer les candidats les uns par rapport aux autres. Cette note a une valeur relative et ne cherche pas à refléter ce qui pourrait être la valeur objective d’une épreuve. Il est donc difficile voire impossible dans les faits pour le candidat de s’évaluer lui-même, et de prévoir la note qu’il recevra. Les notes des épreuves orales font l’objet de deux saisies informatique indépendantes, suivies d’une confrontation des deux saisies et de l’édition régulière de listes retournées aux commissions pour vérification. Ces dispositifs rendent l’hypothèse d’une erreur de transmission improbable autant qu’il est humainement possible. 5.3 L’évaluation des épreuves orales Á un concours de recrutement de l’enseignement secondaire, l’on se trouve au croisement d’exigences de nature assez diverses. On pourrait se demander pourquoi l’évaluation des compétences purement disciplinaires est présente dans un tel concours, puisque celui-ci s’adresse aux titulaires d’une licence, et que les candidats ont ainsi déjà fait leurs preuves en ce domaine. Cette position mérite d’être discutée, et réfutée, avec soin. Les licences délivrées par des systèmes de formations assez largement autonomes sont loin d’être uniformes, ce qui justifie déjà le maintien de la présence d’une évaluation disciplinaire au sein du CAPES. De plus, les licences ne peuvent pas toujours suffire en elles-mêmes si leur contenu n’a pas été prévu de manière spécifique pour convenir à un futur enseignant du secondaire2. Enfin, il est prévu que certaines personnes, quoique non titulaires d’une licence, ont le droit se présenter au concours. Tous ces facteurs plaident pour le maintien d’une évaluation disciplinaire forte dans les épreuves du CAPES. Par leur position professionnelle, une majorité des interrogateurs aux épreuves orales sont naturellement attentifs en premier lieu au contenu proprement disciplinaire des prestations. En composant les commissions de manière à varier au mieux les points de vue, il est possible de faire en sorte que la capacité proprement professionnelle soit correctement prise en compte. Même si la vérification finale de l’aptitude à pratiquer le métier d’enseignant devant les élèves repose sur l’évaluation du stage, il est demandé au candidat, lors des deux épreuves orales, de montrer qu’il dispose des qualités nécessaires en matière de communication et de présence devant les auditeurs que sont les membres du jury. Il n’y a pas de grille chiffrée d’évaluation pour les épreuves orales ; l’on peut simplement définir trois types de compétences pour lesquelles une insuffisance flagrante amène la commission à abaisser la note de manière significative ou déterminante : - Les compétences en communication : élocution, clarté, attitude envers la commission et capacité de prendre en compte les questions, présentation du tableau, maîtrise du temps, de l’écrit au tableau, de la calculatrice et du rétroprojecteur, etc. - Les compétences disciplinaires et techniques : l’absence de propositions ou d’affirmations mathématiquement inexactes, la présence relativement au thème traité de

2 On observe fréquemment des exposés oraux construits par les candidats sans tenir compte des programmes de l’enseignement secondaire, ce qui à tout le moins montre le décalage de fait entre certains enseignements de licence et ce qui est nécessaire à un futur enseignant de collège ou de lycée.

39

connaissances et de résultats cohérents, l’absence de lacune fondamentale relativement à ce thème, le respect des consignes associées au thème et notamment celles concernant l’usage des calculatrices. - Les compétences de nature pré-professionnelle : connaissance des programmes3, capacité à construire des exposés et des choix d’exercices adaptés et progressifs, maîtrise à un niveau suffisant des propositions, démonstrations, solutions que le candidat propose de lui-même. 5.4 Première épreuve : exposé sur un thème donné. Le texte qui suit s’appuie sur la note parue dans le B.O. spécial n° 5 du 21 octobre 1993, qui définit les épreuves du CAPES externe de mathématiques. La première épreuve orale dure 45 minutes réparties en :

25 minutes pour l’exposé, le candidat gère son temps et sa présentation comme il l’entend, le jury n’intervenant pas sur le contenu, et n’interrompant en aucune manière le candidat, sauf éventuellement en cas de problème pratique.

20 minutes d’entretien avec la commission. Les candidats tirent au sort deux thèmes d’exposé et en choisissent un. Ils disposent de deux heures pour préparer l’épreuve. Ils ne disposent d’aucun document autre que les programmes et les instructions relatives au concours. Les candidats ne sont pas autorisés à utiliser leur calculatrice personnelle. Ils utilisaient l’un des deux modèles disponibles4. Ils peuvent utiliser des transparents ; le jury ne les fournissant pas, il leur est demandé d’apporter des transparents vierges, qui seront dûment identifiés comme tels avant emploi ; les transparents utilisés sont retenus par le jury. Le nombre est limité à trois transparents pendant l’épreuve. Le programme de cette épreuve (cf. B.O. spécial n° 8 du 24 mai 2001 et partie I.2 de ce rapport) est extrait du programme de l’écrit du concours. Les candidats peuvent faire appel à l’intégralité du programme complémentaire (titre B) au cours de cette épreuve, que ce soit pendant leur exposé ou pendant l’entretien avec le jury. Cependant, aucun thème proposé ne peut porter sur les paragraphes extraits du programme complémentaire complétant le programme de cette épreuve, ni a fortiori sur d’autres points du programme complémentaire. Pendant l’entretien, le jury a toute latitude pour interroger le candidat sur les programmes de l’enseignement secondaire. Toute notion abordée par le candidat peut aussi faire l’objet de questions : il est attendu d’un futur enseignant qu’il ne présente à ses élèves que des notions dont il peut parler de manière un tant soit peu construite; par conséquent, une ouverture sur un point hors du programme de cette épreuve n’est susceptible de valoriser la prestation du candidat que si elle repose sur des connaissances suffisamment cohérentes, et si elle s’inscrit de manière logique comme un prolongement acceptable devant une classe du sujet traité. Les thèmes d’exposé proposés forment un ensemble couvrant le programme dans son intégralité et les couplages sont conçus de manière à proposer un vrai choix au candidat, deux thèmes jugés trop proches étant normalement écartés. L’organisation actuelle du concours ne permet pas l’évaluation des compétences des candidats en matière de TICE au sens ou il n’y a pas d’épreuve devant ordinateur. Cette dimension de l’enseignement est abordée à travers l’usage de calculatrices rétroprojetables, dont la

3 Il n’est pas attendu de la part des candidats une connaissance détaillée, excessivement précise des programmes en vigueur ; néanmoins, les confusions ou lacunes les plus grossières sont considérées comme des points négatifs et sont relevées. 4 Pour la session 2007, un troisième modèle sera offert ; voir l’annexe relative aux calculatrices.

40

puissance permet d’aborder l’usage élémentaire de tableurs, ainsi que de logiciels de géométrie. Pour une partie, de plus en plus importante, des sujets, l’illustration de telle ou telle propriété sur une calculatrice est expressément conseillée dans l’intitulé du sujet. Il est vivement conseillé aux candidats de prendre en compte ce conseil. 5.5 Deuxième épreuve : épreuve sur dossier. Choix d’exercices sur un thème donné. Cette épreuve se déroulait sous la forme correspondant à la note parue dans le B.O. n°1 du 1er janvier 2004. L’épreuve sur dossier dure au maximum 45 minutes. Le temps est réparti de la façon suivante :

Pendant 25 minutes au maximum le candidat expose les réponses aux questions contenues dans le dossier, et notamment son choix d’exercice (objectifs, illustration du thème,…), puis ;

Pendant 20 minutes au minimum un entretien s’instaure, entre la commission et le candidat, au cours duquel le candidat sera amené à résoudre, entièrement ou en partie, au moins un exercice choisi par la commission parmi l’exercice proposé par le jury et les exercices proposés par le candidat. Les remarques concernant les TICE sont identiques à celles données pour la première épreuve orale (voir partie 5.4 ci-dessus). Les candidats ne sont pas autorisés à utiliser leur calculatrice personnelle. Ils empruntent l’un des modèles disponibles. Il y a cependant une différence importante entre les deux épreuves. En effet, les tâches que le candidat doit accomplir pendant sa préparation, ainsi que pendant l’épreuve proprement dite, incluent pour une partie appréciable des dossiers des tâches devant explicitement être réalisées sur calculatrice. Il est bien évident que le non-respect de cette consigne se traduit de manière forte dans la notation de l’épreuve. Les candidats peuvent utiliser des transparents ; le jury ne les fournissant pas, il leur est demandé d’apporter des transparents vierges, qui seront dûment identifiés comme tels avant emploi ; les transparents utilisés sont retenus par le jury. Le nombre est limité à trois transparents pendant l’épreuve L’épreuve sur dossier se place au niveau de l’enseignement secondaire (cf. B.O. n°21 du 26 mai 1994). Il n’y a aucune extension de programme dans ce cas. Chaque dossier fait référence à un thème, dont l’intitulé plus ou moins long (le contenu correspondant étant plus ou moins large) figure dans l’en-tête du dossier. Il est essentiel pour le candidat d’interpréter de manière très précise cet intitulé ; notamment, le ou les exercices qu’il adjoint à celui proposé par le jury doivent constituer des illustrations de ce thème tel qu’il est défini, dans toute son ampleur. Ce point est développé dans la partie III.3.2 , analyse de la deuxième épreuve orale). Les candidats ont deux heures pour préparer l’épreuve et peuvent utiliser les ouvrages imprimés disponibles dans le commerce, vierges de toute annotation manuscrite. Ils peuvent les apporter ou en emprunter à la bibliothèque du concours. Le jury peut s’opposer à l’utilisation de certains ouvrages s’il juge que cela risque de dénaturer l’épreuve (cf. B.O. spécial n° 5 du 21 octobre 1993).

41

.La bibliothèque possède un certain nombre de manuels usuels, et pour quelques éditions un assez grand nombre, mais la fourniture d’un ouvrage déterminé ne peut en aucun cas être garantie. C’est pourquoi nous rappelons ici aux candidats qu’ils ont le droit d’utiliser leurs propres manuels. Afin que tous les candidats puissent disposer d’un réel choix leur emprunt est limité en nombre à cinq ouvrages au plus. 5.6 Commentaires sur l'utilisation de la calculatrice L’évolution constatée cette année a poursuivi celle constatée lors des années antérieures, et est une conséquence des efforts fournis par le jury aussi bien que par les préparateurs et les candidats. Cette évolution vers la prise en compte plus importante des TICE dans le concours est rendue possible par la générosité des deux constructeurs présents Texas Instruments, Casio, qui prêtent gracieusement du matériel en quantité suffisante.5 L’appréciation par le jury de l’usage des calculatrices –avec ou sans rétroprojection – met en évidence que si, parfois, cet usage apporte peu à la prestation du candidat (il s’agit par exemple de l’usage de la calculatrice à de simples fins opératoires), les utilisations à but pédagogique pertinent et les démonstrations brillantes deviennent nettement plus nombreuses d’année en année. De plus, la suppression du choix du dossier de seconde épreuve orale, qui oblige les candidats à traiter un sujet pouvant comporter une partie explicite utilisant les TICE, a nettement fait sentir ses effets. Il est de notre devoir de rappeler ici que l’enseignement des mathématiques au collège ou au lycée implique de manière très explicite l’utilisation des TICE. Tous les commentaires des programmes y font référence de manière détaillée. Et, dans le corps des programmes de plusieurs classes, on trouve des indications encore plus précises, notamment pour les classes de quatrième, de première et terminale L, de première et terminale STG, de première et terminale S. Il n’est plus acceptable de voir encore certains candidats, ayant pourtant suivi des préparations dans des centres officiels, ignorer ce fait et ignorer que pendant le concours il leur sera demandé de montrer leur capacité à mettre en œuvre les programmes tels qu’ils sont actuellement écrits. Les candidats et futurs candidats au CAPES externe de mathématiques doivent prendre en compte le fait que, pour le moment, l’aptitude à utiliser les TICE n’y est évaluée qu’à travers l’usage des calculatrices scientifiques. Les modèles admis au concours contiennent tous les fonctions attendues dans les programmes : tableur et logiciel de géométrie ; ils contiennent aussi des fonctions de calcul formel. Il en sera évidemment de même au concours 2007 avec le retour d’une troisième firme. Le jury a rédigé un document6 précisant les attentes en matière de manipulation des modèles proposés. Il est vivement conseillé aux candidats, après avoir choisi le modèle qu’ils utiliseront, de prendre le temps d’étudier le document correspondant tout en se familiarisant avec l’utilisation de la calculatrice. Les conditions de rétroprojection dépendent des salles, mais chaque commission a fait de son mieux pour installer les appareils de manière à pouvoir évaluer convenablement les prestations des candidats sur ce point, en faisant naturellement abstraction de la qualité technique de la projection.

5 Pour la session 2007, nous aurons le plaisir de retrouver l’assistance de la firme Hewlett-Packard. Cf infra. 6 Ce document est en ligne sur le site du jury ; il est présenté sous une forme adaptée pour chaque modèle.

42

II ENONCES ET ANALYSE DES EPREUVES ECRITES

1. Enoncé de la première épreuve

1 Présentation du jeu.

1.1 Les règles du jeu.

Le « tournoi »est un jeu comportant une suite de manches (appelées « duels ») opposant deuxjoueurs, jamais plus. Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu’aucun d’entre euxn’aura été déclaré vainqueur, et forment ainsi une suite (J0,J1, . . .) aussi longue qu’il faudra, cequi nous conduit à considérer une suite infinie de joueurs notée(Jn)n∈N.Le premier duel opposeJ0 etJ1, le vainqueur reste en jeu et se voit opposerJ2 qui entre pour ledeuxième duel. Plus généralement, len-ième duel (n > 2) oppose le joueurJn, qui entre alorsen jeu, au vainqueur du duel précédent, le perdant quittant le jeu.On convient enfin que le premier joueur qui remporteN duels, nécessairement consécutifs, estdéclaré vainqueur et que le jeu prend fin.N est un entier fixé à l’avance, au moins égal à 2, etvalable pour tout le déroulement du tournoi.Le but de ce problème est de rendre compte de ce type de jeu en en proposant diverses modéli-sations probabilistes. On s’intéressera ainsi plus particulièrement à la durée du jeu, c’est-à-direau nombre de duels ayant eu lieu avant la proclamation du vainqueur.

1.2 Les règles communes aux différentes modélisations aléatoires.

La succession des duels en parfaitement décrite si on connait, pour chacun, les numéros desparticipants et le numéro du gagnant, cela tant que le jeu continue, c’est-à-dire tant qu’aucundes joueurs n’a été déclaré vainqueur. On supposera que chaque duel est un jeu de hasard, onconsidèrera ainsi len-ième duel comme un épreuve aléatoireEn, dont on observera les résultatspossibles.On présupposera, sans chercher à l’expliciter, l’existence d’un espace de probabilité(Ω,A ,P)permettant de modéliser le jeu et on s’attachera à décrire l’univers des possibles, c’est à direles issues des différentes épreuves, ainsi que la manière dont on affecte des probabilités auxrésultats observés. Les modèles proposés devront respecter les règles suivantes :

1. Le premier duel : la probabilité que le résultat deE1 soit 1 (J1 est le gagnant du premierduel) estp, où p est un élément de]0,1[ fixé dans tout le problème, le résultat étant 0 avecla probabilité(1− p).

2. Les duels successifs :

(a) Pourn > 2, l’épreuveEn, si elle a lieu, ne depend de celles qui l’on précédées quepar le numéro du joueur opposé àJn (celui qui a remporté le duel précédent).

(b) La probabilité pourJn de remporter ce duel (le résultat estn) est égale àpn, où(pk)k>2 est une suite d’éléments de]0,1[, le joueur qui lui est opposé étant vainqueuravec une probabilité 1− pn.

On admettra par ailleurs que, pour toute suite(An)n∈N d’événements disjoints et dont la réunionest de probabilité 1, il existe une variable aléatoireX à valeurs dansN vérifiant :

∀n∈ N,P[X = n] = P(An)

43

2 Préliminaires.

On se propose ici de démontrer divers résultats qui pourront être utilisés dans la suite duproblème.

2.1 Résultat 1.

(xn)n∈N et (yn)n∈N sont deux suites à termes positifs vérifiant :

xn ∼n→+∞

yn

1. Justifier, pour toutε strictement positif, l’existence d’un entier naturel non nuln0 tel que pourtoutn supérieur ou égal àn0 on ait :∣∣∣∣∣ n

∑k=0

xk−n

∑k=0

yk

∣∣∣∣∣6∣∣∣∣∣n0−1

∑k=0

(xk−yk)

∣∣∣∣∣+ εn

∑k=n0

xk

2. En déduire que, si la série de terme généralxn est divergente, on a :

n

∑k=0

xk ∼n→+∞

n

∑k=0

yk

2.2 Résultat 2.

1. (un)n∈N est une suite à termes positifs telle que la série de terme généralun soit conver-gente.1.a. Montrer qu’on définit une suite de réels par la relation :

∀n∈ N,vn =+∞

∑k=n+1

uk

Quelle est la nature de cette suite ?1.b. Justifier pour tout entier natureln non nul :

n

∑k=1

kuk =n−1

∑k=0

vk−nvn

1.c. Montrer que si la série de terme généralvn est convergente, alors la série de terme généralnun est convergente.1.d. Montrer que si la série de terme généralnun est convergente alors la suite de terme généralnvn converge vers 0.Indication :On pourra éventuellement, après l’avoir justifiée, utiliser la relation :

∀n∈ N∗,vn−1 = ∑k>n

(vk−1−vk)

pour majorer l’expressionnvn−1, lorsquen est un entier naturel non nul.1.e. En déduire que les séries de termes généraux respectifsnun etvn sont simultanément conver-gentes et de même somme.

44

2. Dans cette question,X désigne une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité(Ω,A ,P) prenant ses valeurs dansN. Déduire de ce qui précède qu’elle admet une espérance siet seulement si la série de terme généralP[X > n] est convergente et qu’on a alors l’égalité :

E[X] =+∞

∑n=0

P[X > n]

2.3 Résultat 3.

(an)n∈N est une suite à termes positifs telle que la série entière∑anxn admette un rayon deconvergenceRstrictement positif. On note :

∀x∈]−R,R[, f (x) = ∑n>0

anxn

1. Montrer quef (x) admet une limite finie lorsquex tend versR sur [0,R[ si et seulement sifest majorée sur[0,R[.On suppose dans la suite de cette partie que l’une de ces conditions équivalentes est réalisée eton noteL la limite.2.a. Montrer que, pour toutn entier naturel :

n

∑k=0

akRk 6 L

2.b. En déduire que la série de terme généralanRn est convergente.2.c. Montrer que la série entière est normalement convergente sur[−R,R]. En déduire que :

∑n>0

anRn = limx→R−

f (x)

3 Première modélisation : le cas particulierN = 2.

Dans cette section on observe la suite des numéros des différents vainqueurs successifs.L’univers des possibles est alors l’ensemble des listes (éventuellement infinies) représentant lesnuméros des joueurs vainqueurs aux différents combats. Ainsi :(0,2,3,3) représentera un jeude 4 combats remportés successivement parJ0, J2, J3 et J3 qui est alors déclaré gagnant dutournoi, ce qui met fin à celui-ci. On noteDn, pourn au moins égal à 2, l’événement : « le jeus’arrête à l’issue dun-ième duel.1.a. ExpliciterD2 à l’aide de la modélisation proposée.1.b. Plus généralement, expliciterDn+1 lorsquen est un entier au moins égal à 2.2. Dans cette question on suppose que, pour toutn > 2, pn est égal àp.2.a. CalculerP(Dn) pour n supérieur ou égal à 2. Vérifier que

⋃n>2Dn est un événement de

probabilité 1. Interpréter ce résultat.2.b. On peut alors considérer une variable aléatoireT égale au nombre de duels qui ont ef-fectivement eu lieu lorsque le jeu s’arrête. Calculer, après avoir justifié leurs existences, sonespérance et sa variance.3. On revient au cas général où, pour touti au moins égal à 2,pi est un réel élément de]0,1[.On pose pour toutn au moins égal à 2 :

βn =n

∏i=2

pi

45

Exprimer, pourn au moins égal à 2,∑nk=2P(Dk) en fonction de la suite(βk)k>2. En déduire que⋃

n>2Dn est un événement de probabilité 1 si et seulement siβn tend vers 0 lorsquen tend versl’infini.Lorsque cette condition est vérifiée on définiraT comme à la question 2.b. et on posera, pourn > 2 :

un = βn−βn+1

Jusqu’à la fin de cette section 3. on suppose qu’il existe un réelα strictement positif tel que,pour touti au moins égal à 2, l’égalité suivante soit vérifiée :

pi = 1− 1iα

4. Donner une condition nécessaire et suffisante surα pour que⋃

n>2Dn soit un événement deprobabilité 1.Indication : on pourra s’intéresser à la suite de terme général− ln(βn).5. Dans cette question,α est égal à 1. Donner une loi deT. T admet-elle une espérance ?6. Dans cette question on suppose : 0< α < 1.6.a. Justifier l’équivalence lorsquen tend vers l’infini :

n

∑k=2

(− ln(pk))∼n

∑k=2

1kα

6.b. Après avoir justifié pour tout entierk au moins égal à 2 l’inégalité :

1kα 6

∫ k

k−1

1xα dx6

1

(k−1)α

démontrer l’équivalence lorsquen tend vers l’infini :

n

∑k=2

1kα ∼

n1−α

1−α

6.c. En déduire que, pour toutc réel strictement positif, la suite de terme général ln(ncun) tendvers−∞ puis que la série de terme généralnun est convergente.Que peut-on en conclure pour l’espérance deT ?

4 Deuxième modélisation : le cas où les probabilités sont constantes.

Dans cette section et jusqu’à la fin du problèmeN est un entier supérieur ou égal à 3 et onsuppose, pour toutn supérieur ou égal à 2 :pn = p. On notera :q = 1− p.Pour toutn entier naturel, on noteAn l’événement « le joueurJn participe à au moins un duel »etGn l’événement « le joueurJn est vainqueur du tournoi ».

4.1 Cas particulier : N = 3 et p = 1/2.

1. Montrer que :

∀n∈ N,P(Gn) =18

P(An)

46

2. Montrer que les événementsA0, A1, A2 etA3 sont des événements certains.3.a. Dans cette question,n est un entier supérieur ou égal à 4. On introduit les événementsAn,k

« le n-ième duel a lieu et opposeJn etJn−k ». Montrer que la probabilité deAn,k est nulle sik estdifférent de 1 ou de 2.En déduire alors pourn > 4 :

P(An) =12

P(An−1)+14

P(An−2)

3.b. On désigne parr1 et r2 (r1 < r2) les deux racines de l’équation :

r2− 12

r− 14

Vérifier que, pourn > 2, on a :

P(An) =4√5

[rn2− rn

1]

3.c. En déduire que la probabilité que le jeu s’arrête est égale à 1. On pourra alors considérerune variable aléatoireT égale au nombre de duels qui ont effectivement eu lieu lorsque le jeus’arrête.Calculer :P[T = 3].Montrer que, pourn > 4 :

P[T = n] = P[Gn−2]

En déduire une expression deP[T = n] pourn > 4 puis l’espérance deT.Indication : Pour 4.1.3.b. et 4.1.3.c. il pourra être intéressant de mener formellement dans unpremier temps les calculs en fonction der1 et der2 et d’utiliser ensuite leur somme et leurproduit.

4.2 Etude du cas général.

On revient au cas général :N > 3 et p est élément de]0,1[. On posera de plus, pour toutnentier naturel :

an = P(An) etgn = P(Gn)

1.a. Calculerg0. Que vautak pour 06 k 6 N ?1.b. Montrer que la série de terme généralgn est convergente.1.c. Justifier, pour toutn non nul, la relation :

gn = p(1− p)N−1an

En déduire que la série de terme généralan est convergente. On posera :

S= ∑n>1

an

2.a. En considérant à nouveau les événementsAn,k définis dans la partie précédente, justifier,pourn strictement supérieur àN, la relation :

an =N−1

∑k=1

p(1− p)k−1an−k

47

ExprimeraN+1 en fonction dep et deN.2.b. En sommant les égalités précédentes, montrer l’égalité :

(1− p)N−1S=N

∑n=1

an−N−1

∑k=1

N−1

∑i=k

p(1− p)k−1aN−i

En utilisant une interversion d’indice dans la somme double, puis la question 1.a. calculerS.En déduire la somme de la série de terme généralgn, puis que la probabilité que le jeu se termineest égale à 1.3. On noteraT une variable aléatoire égale au nombre de duels ayant eu lieu jusqu’à l’arrêt dujeu.3.a. Exprimeran etgn en fonction deT.3.b. En utilisant le résultat 2 des préliminaires montrer queT admet une espérance et donnerl’expression deE[T] en fonction dep et deN. Retrouver le résultat relatif àE[T] de la question4.1.3.c.La formule obtenue vaut aussi pourN = 2 ; retrouver ainsi le résultat de la question 3.2.b.Déterminer l’espérance deT pourN quelconque etp = 1/2.3.c. Démontrer, pourn > N+1 :

(R ) an−an+1 = p(1− p)N−1an−N+1

5 Comportement asymptotique de la loi deT.

5.1 Un lemme.

Démontrer que, pour tout entier naturelr non nul et toute famille(z1, . . . ,zr) de complexesnon nuls, l’égalité : ∣∣∣∣∣ r

∑k=1

zk

∣∣∣∣∣= r

∑k=1

|zk|

n’est réalisée que lorsque :

∀k∈ N,(2 6 k 6 r)⇒ (∃λk ∈]0,+∞[,zk = λkz1)

5.2 Etude d’une fonction associée àT.

1. Montrer qu’on peut définir une fonctionQ par :

∀x∈ [−1,1],Q(x) = ∑n>0

P[T > n]xn

Vérifier qu’elle est continue sur[−1,1] et dérivable sur]−1,1[.2. En utilisant la relation(R ) et en s’inspirant des techniques de calcul mises en oeuvre à laquestion 2.b. de la section 4.2, démontrer, pour toutx de[−1,1], la formule :(

1−x+p

1− p(x(1− p))N

)Q(x) = 1− (x(1− p))N

3. Vérifier que les deux polynômes :

1−X +p

1− p(X(1− p))N et 1− (X(1− p))N

48

admettent dansC une seule racine commune et que celle-ci est simple et réelle. En déduire larelation :

Q(x) = 1− 1p− 1

pB(x)avecB(x) =

N−1

∑k=1

p(1− p)k−1xk−1

5.3 Etude des racines deB.

1. Etudier les variations deB sur R+. CalculerB(1). En déduire queB admet une uniqueracine réelle positiveρN élément de]1,+∞[ et que cette racine est simple.2. En utilisant le lemme, montrer que les racines complexes deB sont de module strictementsupérieur àρN.3. D’après ce qui précède, les pôles deQ sont en particulier de module strictement supérieur à1. Aurait-on pu prévoir directement ce résultat ?

5.4 Recherche d’équivalent.

On notez1, . . . ,zm les racines deB dansC de multiplicités respectivesνk.1. Justifier l’existence d’une famille de complexes non nuls telle que, pour tout complexez demodule inférieur ou égal à 1 on ait :

1B(z)

=m

∑k=1

νk

∑s=1

λk,s

(z−zk)s

2. Dans cette questions et k sont fixés etz désigne un complexe de module inférieur ou égal à1.2.a. Justifier l’égalité :

1(zk−z)s = ∑

n>0Cs−1

n+s−1zn

zn+sk

2.b. En déduire, pour tout k, l’existence d’un polynômePk de degré inférieur ou égal àνk−1tel que :

νk

∑s=1

λk,s

(z−zk)s = ∑

n>0

(Pk(n)

znk

)zn

2.c. En déduire une expression dean+1 pourn > 1.3.a. Montrer, à l’aide des questions précédentes, l’existence d’un réelK tel qu’on ait :

an+1 ∼n→+∞

KρN

n

3.b. Donner une expression deK en fonction dep, B et ρN. En déduire un équivalent à l’infinideP[T = n].

49

2. Analyse de la première épreuve

Contenu de l’épreuve.

Le sujet de cette année proposait l’étude probabiliste d’un jeu comportant une successionde duels opposant à chaque fois deux joueurs suivant des règles précises. On s’intéressait plusparticulièrement au nombre de duels nécessaires à la proclamation d’un vainqueur. Différentesmodélisations étaient proposées dans des cadres simples avant de passer à un cas plus généralafin d’établir l’espérance de la durée du jeu. On s’efforçait enfin d’obtenir des renseignementssur le comportement asymptotique de la loi de la variable aléatoire représentant la durée du jeu.Pour ce faire, la partie préliminaire se proposait d’établir différents résultats sur les suites et lesséries, ainsi que sur le comportement de la somme d’une série entière. Ces propriétés étaient en-suite utilisées sous leur version probabiliste à propos des calculs d’espérance ou de la définitiondes fonctions génératrices comme sommes de séries entières.

Commentaires généraux.

Rappelons que résoudre un énoncé mathématique consiste non seulement à trouver des ré-sultats corrects, mais aussi à justifier précisément les démarche et raisonnement permettant d’yparvenir. Plus encore, il s’agit avant toutes choses de vérifier l’existence des objets sur lesquelson travaille : trop de candidats semblent penser que toute suite admet une limite et que le seulproblème est de l’identifier ou pensent que la somme d’une série (dont on ne peut parler sansen avoir prouvé l’existence) a effectivement les propriétés d’une somme finie. La préparationd’une épreuve de Mathématiques doit donc nécessairement commencer par un apprentissageprécis des définitions et des théorèmes en les replaçant dans les contextes de structures où ellesont effectivement un sens. Par ailleurs, lorsqu’il s’agit de notions délicates d’analyse (et la no-tion de limite en est une), il est important de ne pas se contenter d’idées approximatives ousimplistes (par exemple en pensant uniquement en termes de suites monotones, voire même enne faisant référence qu’aux suites usuelles), il serait bon d’avoir à l’esprit quelques exemples oucontre-exemples simples ce qui éviterait sans doute de grosses erreurs (citons la série de termegénéral 1/n pour éviter de dire que si une suite tend vers 0 la série associée converge...).

On peut regretter que des définitions fondamentales ne soient pas connues comme par exemplel’équivalence de deux suites ou la convergence normale d’une série de fonctions sur un inter-valle. En probabilités, les notions restent souvent trop vagues et on trouve rarement la justifica-tion des calculs faits (sommes ou multiplications de probabilités). Dans les différents domaines,l’évocation complète et motivée des théorèmes utilisés n’est pas la pratique systématique qu’onpourrait attendre. On apprécie d’autant plus les copies présentant un exposé clair et rigoureuxassorti à une rédaction soignée : il faut naturellement se réjouir de la présence à ce concoursd’excellents candidats !

Comme chaque année, on constate que les candidats obtenant des notes satisfaisantes sont ceuxqui ont traité en profondeur un nombre raisonnable de questions. Il n’est pas indispensabled’aborder toutes les parties du problème : on risque alors de se disperser à la recherche de petitsrésultats intermédiaires, ce qui nuit à la compréhension de la démarche inhérente à l’énoncé.Cette stratégie ne permet pas la plupart du temps d’engranger un nombre de points significatif.

50

Etude détaillée de quelques questions.

Partie 2.

Dans toute cette partie, la positivité des suites était essentielle. Elle était utilisée en particu-lier pour obtenir, par sommation, des suites croissantes, l’argument essentiel étant alors que siune suite est croissante, elle converge si et seulement si elle est majorée.

2.1Les suites étant positives (et non strictement positives) il fallait avoir recours à la définitiongénérale de l’équivalence :

un ∼n→+∞

vn⇔ un−vn= o(|un|)

On a trouvé ici beaucoup d’erreurs dans la définition de l’équivalence ou même dans les calculssur les valeurs absolues.

2.2Pour ce résultat classique, on proposait une suite de questions intermédiaires puis une ques-tion récapitulative qui prouvait en particulier que les deux séries étaient simultanément conver-gentes. On attendait pour ce faire une démarche claire de raisonnement dépassant la simpleformule « d’après ce qui précède ». Pour les questions intermédiaires la référence aux suitescroissantes rappelée plus haut n’a pas toujours été claire, les candidats ayant souvent confondusles inégalités sur les sommes partielles avec des inégalités sur les termes généraux des séries.Les différents résultats liant les propriétés des suites et des séries ne sont pas toujours bien uti-lisés.L’énoncé comportait une indication proposant, par exemple, des méthodes de calcul dites de« télescopage des termes ». Certains candidats lui ont préféré la stratégie des «. . . » : rappelonsqu’il est dangereux d’évoquer ainsi une somme infinie, ou un nombre infini de sommes finies.Il ne faut pas oublier dans tous ces problèmes que la justification de ces manipulations se trouvedans la structure d’espace vectoriel des suites convergentes.L’application à l’espérance devait comporter une définition précise de celle-ci (en particulierde son existence). Ici la variable aléatoire était à valeurs positives, rappelons que dans le casgénéral il faut évoquer la convergence absolue de la série. On devait ensuite définir clairementquelles étaient les suites auxquelles on appliquait les résultats précédents : peu de candidats ontpensé à justifier la convergence de la série de terme généralP[X = n].

2.3 Un nombre non négligeable de candidats n’ont pas bien vu les problèmes d’existence desdifférentes limites en jeu ce qui les a conduit à de grosses erreurs de logique dans la démarche.L’étude du comportement enR de la somme d’une série entière est certes délicat, mais la suitedétaillée des questions aurait pu permettre aux candidats de prendre conscience du problème.

Partie 3.

3.1, 3.2, 3.3Dans cette partie le joueur remportant deux jeux successifs était déclaré ga-gnant. L’énoncé proposait de modéliser le jeu par la suite finie des numéros des candidats ga-gnants chaque duel. On aurait souhaité que les candidats utilisent cette modélisation pour décrireles différents événements. Certains ont représenté le jeu par un arbre pondéré ce qui a conduit ungrand nombre d’entre-eux à un résultat correct pour la probabilité de l’événementDn. D’autresont cherché à retrouver des méthodes de dénombrement présupposant ainsi un contexte d’équi-probabilité inadapté dans ce cas. Un nombre substantiel de candidats est parvenu au résultat

51

correct sans justifier toutefois les sommes de probabilités (événements disjoints) ou les calculsde produit liés aux règles du jeu énoncées, en particulier la règle (2.a) :« Pourn > 2, l’épreuveEn, si elle a lieu, ne depend de celles qui l’on précédées que par lenuméro du joueur opposé àJn (celui qui a remporté le duel précédent). »La justification théorique aurait pu être la suivante : pour touti entier naturel non nul, on note,lorsqueEi a lieu,Xi la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut 1 avec la probabilitépi si c’estle candidat entrant qui gagne et 0 sinon. Cette règle implique que, si le jeu ne s’est pas arrêtéavant le duel de numéron, les variables aléatoires(X1, . . .Xn) existent et sont indépendantes. Ilest alors simple de traduireDn à l’aide de ces variables aléatoires, leur indépendance permettantde justifier les calculs effectués (en particulier les produits de probabilités).Un certain nombre de candidats ont mené à bien les calculs d’espérance et de variance, les pro-priétés des séries géométriques étant correctement utilisées.

3.4,3.5,3.6Il s’agissait dans ce contexte probabiliste de réinvestir des notions d’équivalence surles suites et des résultats de convergence pour les séries de Riemann.

Partie 4.

4.1 Le problème de la participation des joueurs a souvent été bien compris. On a vu desmaladresses concernant la suite récurrente linéaire double : on pouvait tout à fait choisir unedémonstration par récurrence mais il ne fallait pas oublier d’initialiser les deux premiers termes(rang 2 et 3).

4.2Seule la question 1 a été largement abordée.

Partie 5.

Cette partie n’a été que très rarement valablement abordée.

52

3. Enoncé de la deuxième épreuve

Définitions et notations

On considère un espace affine euclidien orientéE de dimension 3, de directionE, munid’un repère orthonormal directR0 = (O,

−→i ,−→j ,−→k ).

Le sous-espace affine deE d’équation(z = 0) sera notéP , et sa directionP. Par abusd’écriture, à partir de la partie III, le repère(O,

−→i ,−→j ) deP sera également notéR0.

Si R est un repère d’un espace affineX de dimension quelconquen et siM est un point deX , nous noteronsM (x1, . . . ,xn)R pour signifier quex1, . . . ,xn sont les coordonnées deM dansle repèreR .

La partie deP formée des points à coordonnées entières est notéeZ :

M(x,y)R0 ∈ Z si et seulement si(x,y) ∈ Z2.

Si A et B sont deux points deE , nous noteronsAB la distance deA à B, (AB) la droitepassant par les pointsA etB (quandA 6= B) et [A,B] le segment d’extrémitésA etB.

On noteQ la quadrique deE d’équation :

(Q ) x2−3xy+y2 +x−y− 12

z2 +√

105

z= 0

et C la conique intersection deQ et du planP :

(C )

x2−3xy+y2 +x−y = 0

z= 0.

On noteGA(P ) le groupe affine deP , c’est-à-dire l’ensemble des bijections affines dePsur lui-même :GA(P ) est un groupe pour la composition.

On noteM2(R) l’algèbre des matrices réelles carrées d’ordre 2. Le sous-groupe multiplicatifdes éléments inversibles de cette algèbre est notéGL2(R).

Le but de ce problème est d’étudier l’équation diophantienne :

(Σ) n2−3np+ p2 +n− p = 0,

c’est-à-dire de déterminer l’ensembleS des points deC à coordonnées entières :S = C ∩Z.

La partie I présente une étude géométrique de la quadriqueQ et de la coniqueC ; la partieII donne quelques méthodes arithmétiques d’étude de(Σ) ; la partie III introduit une famille detransformations affines qui permet, dans la partie IV, de décrire l’ensembleS .

Les parties I et II sont indépendantes et la partie III est très largement indépendantedes deux parties précédentes.

53

Partie I : étude de la quadriqueQ et de la coniqueC

I.1. Intersections deQ avec une famille de plans

On pose−→u =√

22

(−→i +

−→j)

et−→v =−→k .

a) Déterminer le vecteur−→w tel que(−→u ,

−→v ,−→w)

soit une base orthonormale directe deE.

b) On poseR1 = (O,−→u ,

−→v ,−→w). Soit M un point deE ; on le représente dans les deux

repères parM(x,y,z)R0 = M(x1,y1,z1)R1. Exprimerx, y et z en fonction dex1, y1 et z1, puis endéduire l’équation deQ dans le repèreR1.

c) Pourt ∈ R, soitPt le plan d’équationz1 = t relativement au repèreR1. Préciser la positiondePt dansR0 et en faire un croquis. Montrer que l’intersection dePt et deQ est un cercle donton précisera le centreCt et le rayonRt .

d) Préciser la valeur det pour laquelle le cercle précédent se réduit à un point. SoitS ce

point ; vérifier queS

(−1

5,15,

√105

)R0

.

I.2. Nature de Q et deC

Soit R le repère(S,−→u ,

−→v ,−→w) ; on note(X,Y,Z) les coordonnées d’un point deE dans ce

nouveau repère.

On noteP ′ le plan admettantR ′ = (S,−→v ,

−→w) pour repère orthonormal.

a) Montrer que l’équation deQ dans le repèreR estX2 +Y2 = 5Z2.

b) Quelle est la nature deQ ? On remarquera en particulier queQ est une surface de révo-lution et on précisera son axe.

c) Montrer qu’un pointM(X,Y,Z)R est élément deP si et seulement siY =−√

105

.

Faire une figure, sur une feuille de papier millimétrée, représentant, dans le repèreR ′, ladroite d’intersectionD = P ∩ P ′, ainsi que les deux droitesD1 et D2 formant Q ∩ P ′. Onprendra une unité égale à 8cm.

Pour toute la fin de cette partie, cette figure sera un outil important. On y placera les élémentsdéfinis ci-dessous ou leurs projections sur P ′, au fur et à mesure qu’ils apparaîtront utiles.

Quelle est la nature de la coniqueC ?

d) Montrer qu’il existe deux cercles dansP ′, de même rayon et centrés sur l’axe(S,−→w),

tangents aux trois droitesD, D1 etD2. On noteΩ1 etΩ2 leurs centres respectifs, et on noteρ lavaleur commune de leurs rayons.

e) On noteS1 etS2 les sphères de centres respectifsΩ1 etΩ2, et de rayonρ. Montrer que ces

54

sphères sont tangentes au planP en deux points notésF1 etF2, et tangentes àQ le long de deuxcercles que l’on noteC1 etC2. Représenter sur la figure précédente les projections orthogonalessurP ′ de ces deux cercles, ainsi que les pointsF1 etF2.

I.3. Deux caractérisations deC

a) SoitM un point quelconque de l’intersectionC = Q ∩P . Montrer que la droite(MS) estcontenue dansQ . On nommeT1 et T2 les intersections respectives de(MS) et des cerclesC1 etC2. Montrer queMT1 = MF1 etMT2 = MF2. Montrer par ailleurs que|MT1−MT2| est constantlorsqueM décritC . Quelle propriété deC peut-on retrouver ainsi ?

b) Pouri ∈ 1,2, on nomme∆i la droite d’intersection du planP et du plan contenant lecercleCi , etUi le centre deCi . PourM point quelconque de l’intersectionC = Q ∩P , soitHi laprojection orthogonale deM sur∆i . Vérifier que les pointsM, S, Hi , Ti etUi sont coplanaires. En

étudiant la figure formée par ces cinq points, prouver que le rapportMHi

MTireste constant quand

M décritC . Quelle propriété deC peut-on retrouver ainsi ?

Partie II : résolution de l’équation diophantienne pour de pe-tites valeurs den

Pourn et p deux entiers tels que 06 p 6 n, on note

(np

)le coefficient binomial :

(np

)=

n!p!(n− p)!

avec la convention 0!= 1.

Pourn et p entiers naturels supérieurs ou égaux à 1, on s’intéresse, lorsqu’elle a un sens, àl’équation :

(Σ1)(

np−1

)=(

n−1p

).

II.1. Une étude élémentaire

a) Montrer que cette équation est équivalente au système :2 6 p+1 6 n,

n2 + p2−3np+n− p = 0.

b) Pourn entier supérieur ou égal à 1, montrer que le polynôme de variableX : n2−3nX+

X2 +n−X possède deux racines réelles, que l’on écrira sous la formeX1 =an−

√bn

2et X2 =

an +√

bn

2oùan etbn sont deux entiers naturels. Pour quelles valeurs dena-t-on 26 X1+16 n ?

Et pour quelles valeurs den a-t-on 26 X2 +1 6 n ?

55

c) Montrer que sib est un entier naturel,√

b est rationnel si et seulement sib est un carréparfait.

d) On suppose que(n, p) est une solution de(Σ1). Montrer que 26 n, que 5n2 +2n+1 estun carré parfait et donner une expression dep en fonction den.

e) Réciproquement, soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2 tel que 5n2+2n+1 soit uncarré parfait. Montrer qu’il existe un uniquep tel que(n, p) soit solution de(Σ1).

f) Pourn0 entier naturel non nul, comment peut-on calculer tous les couples(n, p) solutionsde (Σ1) avec 16 n 6 n0 ? On pourra donner un algorithme de calcul de ces solutions, sansutiliser un langage de programmation précis.

II.2 Une méthode plus arithmétique

Soit (n, p) une solution de(Σ1).

a) On suppose quen et p sont premiers entre eux. Montrer quenp= (n− p)(n− p+1) et endéduire quen divise p−1. Quelles sont toutes les solutions de(Σ1) formées d’entiers premiersentre eux ?

b) On ne suppose plus maintenant quen et p sont premiers entre eux : on noter = n∧ p leurplus grand commun diviseur commun et on posen = ru et p = rv. Montrer successivement :

• r diviseu−v ; • r = u−v ; • v =

√5r2 +4− r

2; • r2 <

2p√5−1

.

c) Faire la liste de tous les couples(n, p) solutions de(Σ1) pourn 6 105.

Partie III : un groupe de transformations affines conservantS .

Dans cette partie et la suivante, nous travaillons exclusivement dans le planP , dont le repère(0,−→i ,−→j ) est encore notéR0.

Les vecteurs −→u , −→v et le repère R1 définis ci-dessous n’ont pas de rapport avec les élémentsde mêmes noms définis dans la partie I.

III.1. Définition d’un nouveau repère R1 associé à la coniqueC

a) SoitI(−1/5,1/5)R0. On pose alorsx1 = x+15

et y1 = y− 15

. Quelle est l’équation deC

dans le repère(I ,−→i ,−→j ) ?

b) Mettre la forme quadratiquea2+b2−3absous la forme d’un produit de formes linéaires.On pourra considérera2 +b2−3abcomme un trinôme d’inconnueb.

c) En déduire qu’il existe une base(−→u ,−→v ) deP telle que :

56

– les relations entre les coordonnées(x,y) dans le repèreR0 et les coordonnées(X,Y) dansle repèreR1 = (I ,−→u ,

−→v ) soient de la forme :X = α

(x+

15

)−(

y− 15

)Y = β

(x+

15

)+(

y− 15

)avecα+β > 0 ;

– l’équation deC dans le repère(I ,−→u ,−→v ) s’écrive : 5XY+1 = 0.

Expliciter les valeurs deα et β, ainsi que les relations exprimant les anciennes coordonnées(x,y) en fonction des nouvelles coordonnées(X,Y).

d) Que sont les axes du nouveau repèreR1 pour la coniqueC ?

III.2. Transformations affines conservantC

Nous étudions dans ce paragraphe l’ensembleG1 des éléments deGA(P ) qui conservent laconiqueC :

G1 = h∈GA(P ), h(C ) = C.

a) Montrer qu’un élémenth deGA(P ) est élément deG1 si et seulement sih(C )⊂ C .

b) Montrer queG1 est un sous-groupe deGA(P ).

c) Soith∈GA(P ). Montrer qu’il existe un et seul sextuplet(a,b,c,d,e, f ) de réels tel que,pour tout pointM(X,Y)R1, l’imageM′ = h(M) deM parh ait pour coordonnées, toujours dansle repèreR1, X′ = aX+bY+c etY′ = dX+eY+ f . Justifier queae−bd 6= 0.

d) Montrer que sih est élément deG1, le sextuplet(a,b,c,d,e, f ) qui lui est associé vérifieles relations :

ad = 0

a f +cd = 0

5c f−ae−bd =−1

b f +ce= 0

be= 0

ae−bd 6= 0

e) En déduire queG1 est formé des transformations de la formeM(X,Y)R1 7−→M′(µX,Y/µ)R1

etM(X,Y)R1 7−→M′(µY,X/µ)R1 oùµ décritR\0. Parmi ces transformations, lesquelles sontdes symétries ?

f) On noteG′1 la partie deGL2(R) définie par :

A∈G′1⇐⇒∃µ∈ R∗, A =

(µ 00 1/µ

)ouA =

(0 µ

1/µ 0

).

57

Montrer queG′1 est un sous-groupe deGL2(R) pour le produit matriciel et que l’application

qui à toute matrice

(a bd e

)de G′

1 associe la transformation affineM(X,Y)R1 7−→ M′(aX +

bY,dX+eY)R1 est un isomorphisme deG′1 surG1.

III.3. Transformations affines conservantZ

Nous nous intéressons dans ce paragraphe à l’ensembleG2 des éléments deGA(P ) quiconservent les points à coordonnées entières :

G2 = h∈GA(P ), h(Z) = Z.

a) Un élément quelconqueh∈GA(P ) vérifianth(Z)⊂ Z est-il nécessairement élément deG2 ?

b) Montrer queG2 est un sous-groupe deGA(P ).

c) Montrer que les éléments deG2 sont exactement les applications de la forme

M(x,y)R0 7−→M′(ax+by+c,dx+ey+ f )R0

où (a,b,c,d,e, f ) ∈ Z6 avec|ae−bd|= 1.

III.4. Le groupe Γ

a) Montrer qu’il existe deux pointsP1 etP2 tels que :– P1 6= O, P2 6= O etP1,P2 ∈ S ;– P1 est d’ordonnée nulle etP2 est d’abscisse nulle.

Montrer qu’il existe deux transformations affinesf1 et f2 telles que :– f1(I) = I , f1(O) = P1 et f1(P1) = O ;– f2(I) = I , f2(O) = P2 et f2(P2) = O.

Si M est un point quelconque deP , nous noterons respectivement(x,y) et (X,Y) les coordon-nées deM dans les repèresR0 et R1. De même, pouri = 1 et 2, nous noterons(xi ,yi) et (Xi ,Yi)les coordonnées defi(M) dans les repèresR et R1. Nous avons donc :

M(x,y)R0 = M(X,Y)R1

f1(M)(x1,y1)R0 = f1(M)(X1,Y1)R1

f2(M)(x2,y2)R0 = f2(M)(X2,Y2)R1

Exprimerx1, y1, x2 ety2 en fonction dex ety et démontrer les relations matricielles :

(X1

Y1

)=

0 λ

1λ

0

(XY

)et

(X2

Y2

)=

(0 1

1 0

)(XY

).

oùλ =7+3

√5

2. En déduire quef1 et f2 sont toutes deux des symétries appartenant àG1∩G2.

b) On s’intéresse maintenant au sous-groupeΓ deGA(P ) engendré parf1 et f2. Montrer queles éléments deΓ sont les élémentsh deGA(P ) qui s’écrivent sous l’une des formes suivantes :

58

(i) h = ( f1 f2)k aveck∈ Z ;(ii) h = f2 ( f1 f2)k aveck∈ Z.

c) Montrer queΓ est isomorphe au sous-groupeΓ1 deGL2(R) engendré par les matricesA1

etA2 :

A1 =

0 λ

1λ

0

A2 =

(0 1

1 0

).

CalculerA1A2 et en déduire :

Γ1 =

(λk 0

0 λ−k

), k∈ Z

∪

(0 λ−k

λk 0

), k∈ Z

.

En déduire que la décomposition obtenue au b) est unique, c’est-à-dire que chaque élémenthdeΓ correspond à un et un seul des deux cas (i) ou (ii) et que l’entier relatifk intervenant dansla décomposition deh est unique.

d) Soit H un groupe dont la loi est notée mutiplicativement : l’élément neutre deH seradonc noté 1. On suppose qu’il existe deux élémentsa1 eta2 deH tels quea2

1 = a22 = 1. Montrer

qu’il existe un unique morphisme de groupeφ : Γ→ H tel queφ( f1) = a1 et φ( f2) = a2.

III.5. Utilisation de Γ pour engendrer une infinité de points deS

a) Montrer queS est stable parΓ, c’est-à-dire que pour tout élémenth de Γ et pour toutélémentM deS , h(M) est élément deS .

Comme l’origineO deR0 est élément deS , on en déduit donc que les pointsMk etNk définispourk∈ Z par : Mk = ( f1 f2)k(O)

Nk = ( f2 ( f1 f2)k)(O) = f2(Mk)

sont tous éléments deS . CalculerM1, M2 etM3 et comparer avec les résultats obtenus à la partieII.

b) Donner l’expression des coordonnées(xk,yk) deMk dans le repèreR0, en fonction deket λ. Quelle transformation permet-elle d’obtenirM−k à partir deMk ?

c) Montrer que les applications :

φ1 :

x 7−→ 12

(1+3x−

√1+2x+5x2

)φ2 :

x 7−→ 12

(1+3x+

√1+2x+5x2

)sont des bijections deR sur lui-même. Quelles sont leurs applications réciproques ?

59

On noteC1 et C2 les parties deP définies par :M(x,y)R0 ∈ C1⇐⇒ y = φ1(x) ,

M(x,y)R0 ∈ C2⇐⇒ y = φ2(x) .

Montrer queC1 et C2 forment une partition deC . Représenter rapidement les partiesC1 et C2

ainsi que les pointsM−1, M0, M1, M2, N−1, N0 etN1.

d) Montrer que les applicationsf1 et f2 échangent les courbesC1 et C2, et donc queC1 etC2 sont globalement invariantes parf1 f2. Sur quelles parties deC les pointsMk etNk sont-ilssitués ?

Partie IV : résolution de (Σ).

SoitP(n, p)R0 un point deS distinct deO. Le but de cette partie partie est de démontrer queP est image deO par un élémenth deΓ, c’est-à-dire qu’il existek∈ Z tel queP= Mk ouP= Nk.

IV.1. Premier cas :P est élément deC1 et n > 0

Soit la suite(Pi)i>0 définie par récurrence :P0 = P

Pi+1 = ( f1 f2)−1(Pi) pour touti > 0.

Pour touti, on noteraαi et βi les coordonnées dePi dans le repèreR0.

a) Montrer que l’on a, pour touti deN, αi+1 = φ−12 φ1(αi) et βi = φ1(αi).

b) Montrer que la suite(αi)i>0 est strictement décroissante et non minorée. En déduire qu’ilexiste un entierk > 1 tel queαk 6 0 < αk−1.

c) Montrer queαk = 0 puis queP = Mk.

d) Quel est l’ensemble des solutions de l’équation(Σ1) ?

IV.2. Deuxième cas :P est élément deC1 et n < 0

a) Montrer que le pointP′(−p,−n)R0 est élément deC1.

b) En déduire qu’il existe un entier relatifk strictement négatif tel queP = Mk.

IV.3. Troisième cas :P est élément deC2

Montrer qu’il existek élément deZ tel queP = Nk.

60

4. Analyse de la deuxième épreuve

1) Objet du problème et outils utilisés

Ce problème est construit autour de la résolution de l’équation diophantiennen2−3np+p2 + n− p = 0. La conique associée à cette équation est introduite comme section plane d’uncône de révolution, ce qui permet, dans la partie I, de donner la démonstration, dans un casparticulier facilement généralisable, du théorème de Dandelin.

Un ensemble assez large de domaines du programme d’algèbre et géométrie est abordé :géométrie affine euclidienne en dimension 3, géométrie affine plane, arithmétique dansZ, théo-rie élémentaire des groupes, calcul matriciel, analyse réelle élémentaire (étude de fonctions etde suites), mais les connaissances et savoir-faire exigés des candidats sont modestes :

- étudier une quadrique au moyen d’un changement de repère orthonormal donné parl’énoncé : on ne demandait pas aux candidats de connaître les méthodes généralesd’étude des quadriques ;

- reconnaître un cône de révolution ;- savoir caractériser les applications affines du plan et savoir distinguer les symétries ;- connaître le lemme de Gauss, qui suffit à traiter les questions d’arithmétique ;- connaître les notions de sous-groupe et de morphisme de groupe ;- connaître les bases du calcul matriciel, qui n’intervient que comme un outil de calcul

“mécanique” ;- savoir étudier une fonction simple de la variable réelle.

2) Remarques d’ordre général

Les copies sont, sauf exception, bien présentées et facilement lisibles : c’est un point trèspositif. Par contre, nombreux sont les candidats qui, dès les premières questions, ont du malà suivre le cheminement imposé par l’énoncé. Ainsi, de très nombreuses copies font plusieursfois les mêmes calculs aux questionsI.1.b), I.1.c) et I.2.a), alors que le changement de repèreeffectué à la question2.a) n’est que le résultat du changement de base de la question1.b) etdu changement d’origine mis en évidence aux questions1.c)et 1.d). On ne peut que conseilleraux candidats d’essayer de prendre un peu de hauteur dès le début du problème, ce qui nepeut se faire qu’en prenant le temps de bien se familiariser avec les (nombreuses) définitions etnotations de la première page.

Comme indiqué en début d’énoncé, les trois premières parties étaient largement indépen-dantes : la grande majorité des candidats a abordé de façon significative deux de ces troisparties, rarement les trois. La partie IV n’a pratiquement jamais été traitée : il était très difficilede dominer suffisamment les parties précédentes pour répondre avec cohérence aux dernièresquestions. Remarquons qu’il y a toujours, dans les deux ou trois premières parties du problème,matière à rédiger une bonne copie, même en se limitant aux questions “élémentaires”.

La première partie du problème a visiblement surpris par son côté calculatoire ; il estpourtant important pour un professeur de mathématiques de savoir calculer et on ne peut queconseiller au candidat de soigner ses calculs. S’il s’aperçoit que son résultat n’est pas cohérentavec la suite du problème, il doit refaire le calcul au brouillon (on peut relire dix fois un calculfaux sans détecter une erreur grossière) : il est en effet aberrant de voir une erreur d’étourderie

61

(oubli d’un signe, erreur d’addition, . . .) à la questionI.1.b) gâcher toute la suite de la partieI. Le même phénomène a été observé au début de la partie III : le candidat qui ne trouve pasla bonne équation à la question1.a) doit détecter son erreur dès la questionb) et corriger soncalcul.

La fin de la partie I, à partir de la question2.d), a été très peu abordée et les démonstrationslues étaient souvent imprécises, voire fantaisistes. Certains candidats ont cependant fait preuved’une excellente vision dans l’espace et leur copie a été valorisée.

3) Commentaires sur les questions les plus abordées

Partie I

1.a) La plupart des candidats ne pense pas à utiliser le produit vectoriel : rappelons quedans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, si−→u et−→v sont deux vecteursunitaires et orthogonaux, le vecteurw = −→u ∧−→v est l’unique vecteur tel que(−→u ,

−→v ,−→w)

soit une base orthonormale directe. Dans de nombreuses copies, le vecteur−→w est calculétrès laborieusement, le caractère direct de la base étant par ailleurs très mal pris en compte.

1.b) Les relations entre nouvelles et anciennes coordonnées lors d’un changement de basesont mal connues ; de nombreux candidats inversent un système alors que l’expressiondes nouveaux vecteurs donne directement la réponse à la question posée. Dans de trèsnombreuses copies, un résultat correct est obtenu après deux erreurs grossières (mau-vaise formule de changement de base et transposition matricielle abusive : les erreurs secompensent car la matrice de passage est orthogonale).

1.c) Confusion courante entre le rayon du cercle et le carré de ce rayon. Les candidats quipensent à prendre la racine carrée de la “constante” oublient souvent de vérifier le signede cette constante. Enfin, rares sont les candidats qui simplifient le rayon (racine carréed’un trinome de discriminant nul). Pour finir, ceux qui simplifient oublient en général lavaleur absolue (le rayon d’un cercle est un réel positif).

2.a) Les résultats qui précèdent donnent directement l’équation demandée : de nombreusescopies refont en 2 ou 3 pages tous les calculs.

2.b) Peu de candidats reconnaissent l’équation d’un cône (elliptique) de révolution et l’axede révolution est souvent mal caractérisé : on parle souventd’axe −→w ou d’axe(0,

−→w), aulieu de l’axe(S,

−→w).2.c) Des maladresses dans la construction de la figure : dans le repère donné,Y est l’abs-

cisse,Z est l’ordonnée et les droitesD1 etD2 sont de pente±1/√

5 et non pas±√

5.2.d) Des points ont été donnés aux candidats qui n’étaient pas capable de démontrer l’exis-

tences des cercles, mais qui les avaient construits “à la règle et au compas” sur leurschéma.

Partie II

1.a) Comme souvent, la preuve de l’équivalence est très mal rédigée. L’occasion nous estdonnée de rappeler que=⇒ n’est pas une abréviation de la conjonction “donc” et que lessymboles logiques=⇒,⇐⇒, ∃ et∀ ne doivent être employés que dans un cadre logiqueprécis.

1.b) Le calcul dean et bn ne pose aucun problème, mais les inéquations sont souvent trèsmal résolues : ainsi, on lit souvent qu’il y a équivalence entreA6 B etA2 6 B2, sans qu’ilsoit fait référence aux signes des quantitésA etB.

62

1.c) De nombreux candidats ne savent pas qu’un entier est un “carré parfait” s’il est le carréd’un nombre entier : 4 et 49 sont des carrés parfaits, mais 8 n’en est pas un.

1.d) Le lien avec les questions précédentes n’est souvent pas fait.2. Dans toute cette partie, les candidats montrent une méconnaissance complète des notions

de base de l’arithmétique. On peut lire en général le “théorème de Gauss” fantaisiste :si a divisebc et ne divise pasb, a divisec. Nous conseillons à tous les futurs candidatsde trouver un contre-exemple à ce “théorème” et nous rappelons l’énoncé du lemme deGauss : sia divisebcet sia est premier avecb, a divisec.

Partie III

1.c) Trop de candidats ne font pas le lien avec la question b).2.b) La caractérisation d’un sous-groupe est souvent méconnue (il manque régulièrement

qu’un sous-groupe doit être non vide, ou qu’il doit être stable par passage à l’inverse).2.c) Cette question de cours a été très peu traitée.2.d) Les démonstrations lues utilisent toutes une identification non justifiée, identification

d’autant plus facile à deviner que le résultat était donné dans l’énoncé.2.e) Très peu de copies ont présenté une résolution correcte de ce système pourtant élémen-

taire.2.f) Les candidats qui ont abordé cette question disent tous qu’il faut montrer les différentes

stabilités en étudiant tous les cas, mais beaucoup d’entre eux en oublient.

63

III SUJETS ET ANALYSE DES EPREUVES ORALES

1 . Liste des exposés (1e épreuve orale)

01. Utilisation d’arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples de dénombrement. Dé-nombrement des arrangements et des permutations.

02. Exemples de problèmes dont la résolution fait appel à l’utilisation de graphes, orientésou non.

03. Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applica-tions.

04. Description mathématique d’une expérience aléatoire : événements élémentaires, événe-ments, probabilité (on se limitera au cas où l’ensemble d’événements élémentaires est fini).

05. Probabilité conditionnelle ; indépendance de deux événements (on se limitera au cas oùl’ensemble d’épreuves est fini). Applications à des calculs de probabilité.

06. Variable aléatoire à valeurs réelles dont l’ensemble des valeurs est fini. Loi de probabi-lité. Espérance mathématique, variance. Exemples.

07. Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.

08. Séries statistiques à deux variables numériques. Nuage de points associé. Ajustement af-fine par la méthode des moindres carrés. Droites de régression. Applications. L’exposé pourraêtre illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

09. Propriétés axiomatiques deN. Construction deZ.

10. Division euclidienne dansZ, unicité du quotient et du reste. Applications. L’exposé pourraêtre illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

11. PGCD de deux entiers naturels. Nombres premiers entre eux. Applications. L’exposé pourraêtre illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

12. Sous-groupes additifs deZ. Egalité de Bézout. Résolution dansZ d’une équation de laformeax+by= c.

13. Nombres premiers ; existence et unicité de la décomposition d’un nombre en facteurs pre-miers. Infinitude de l’ensemble des nombres premiers. Exemple(s) d’algorithme(s) de recherchede nombres premiers. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’uti-lisation d’une calculatrice.

14. Congruences dansZ. AnneauxZ/nZ.

15. Construction du corpsQ des rationnels. Nombres décimaux, développement décimal d’unnombre rationnel.

64

16. Construction du corpsC des complexes. Propriétés.

17. Module et argument d’un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveauassociées. Applications.

18. Interprétation géométrique des applications deC dansC définies parz 7→ z+ b, z 7→ azetz 7→ z, oùa etb appartiennent àC, a non nul. Exemples d’application à l’étude de configura-tions géométriques du plan.

19. Étude de la fonction deC dansC définie parf : z 7→ z−az−b

, oùa,b sont complexes. Lignes

de niveau pour le module et l’argument de la fonctionf . Applications.

20. Racinesn-ièmes d’un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications.

21. Définition vectorielle d’une droite du plan, d’une droite ou d’un plan de l’espace. Représen-tations paramétriques. Génération des demi-droites, des segments. Parallélisme.

22. Équation cartésienne d’une droite du plan. Problèmes d’intersection, parallélisme. Condi-tion pour que trois droites soient concourantes.

23. Droites et plans dans l’espace. Positions relatives ; plans contenant une droite donnée.

24. Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace.

25. Définition et propriétés du barycentre den points pondérés. Application à l’étude de confi-gurations du plan ou de l’espace.

26. Homothéties et translations ; transformation vectorielle associée. Effet sur l’alignement, lesdirections, les distances... Applications à l’action sur les configurations usuelles.

27. Composées d’homothéties et de translations du plan. Groupe des homothéties-translations.Applications.

28. Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications(calculs de distances et d’angles, optimisation...).

29. Définition et propriétés du produit scalaire dans le plan ; expression dans une base orthonor-male. Application au calcul de distances et d’angles.

30. Le cercle. Positions relatives d’une droite et d’un cercle, de deux cercles. Point de vuegéométrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue.

31. Théorème de l’angle inscrit. Cocyclicité. Applications.

32. Relations métriques dans un triangle rectangle. Trigonométrie. Applications.

33. Relations métriques et trigonométriques dans un triangle quelconque. Applications.

65

34. Droites remarquables du triangle : bissectrices, hauteurs, médianes, médiatrices... (dansl’ordre que l’on voudra).

35. Produit vectoriel dans l’espace euclidien orienté de dimension trois. Point de vue géomé-trique, point de vue analytique. Applications.

36. Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l’espace orienté : calculs dedistances, d’aires, de volumes, d’angles...

37. Orthogonalité dans l’espace affine euclidien : droites orthogonales, droite orthogonale àun plan, plans perpendiculaires. Applications.

38. Réflexion du plan échangeant deux points donnés ; médiatrice, régionnement associé. Ap-plications au triangle et au cercle (cercle circonscrit, angle inscrit...).

39. Réflexions du plan échangeant deux droites sécantes données, bissectrices. Applicationsau triangle et au cercle (cercle inscrit, tangentes à un cercle...).

40. Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme,un rectangle (dans l’ordre que l’on voudra).

41. Rotations planes. Notion d’angle. (On pourra traiter ces notions dans l’ordre que l’on vou-dra.)

42. Groupe des isométries du plan : décomposition d’une isométrie en produit de réflexions,groupe des déplacements, classification des isométries à partir de l’ensemble des points inva-riants.

43. Étude des transformations du plan euclidien qui conservent les rapports de distances.

44. Recherche des isométries du plan conservant un polygone régulier ; exemples (triangle équi-latéral, carré, hexagone, octogone...).

45. Réflexion de l’espace échangeant deux points donnés ; plan médiateur, régionnement as-socié. Étude des isométries de l’espace ayant une droite de points invariants.

46. Réflexions et rotations de l’espace. Effet sur les distances, les angles... Applications à l’ac-tion sur les configurations usuelles.

47. Courbes définies par des équations paramétriques dans le plan. Vecteur dérivé et tangente ;interprétation cinématique.

48. Définitions de la parabole, géométriquement et par équation réduite ; équivalence entre cesdéfinitions. Construction de la tangente et de la normale en un point.

49. Définitions de l’ellipse, géométriquement et par équation réduite ; équivalence entre cesdéfinitions.

66

50. Définitions de l’hyperbole, géométriquement et par équation réduite ; équivalence entre cesdéfinitions.

51. Exemples de représentation paramétrique des coniques ; constructions de la tangente et dela normale en un point à une parabole, une ellipse, une hyperbole.

52. Suites monotones, suites adjacentes. Approximation d’un nombre réel, développement dé-cimal. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’unecalculatrice.

53. Suites convergentes. Opérations algébriques, composition par une application continue. Li-mites et relation d’ordre.

54. Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérationsalgébriques, composition par une application.

55. Étude des suites de terme généralan, nb et n! (a ∈ C,b ∈ R,n ∈ N∗). Croissances com-parées. Exemples de comparaison de suites aux suites précédentes. L’exposé pourra être illustrépar un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

56. Étude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrenceun+1 = f (un) etune condition initiale. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’uti-lisation d’une calculatrice.

57. Exemples d’étude de la rapidité de convergence d’une suite réelle(un)n vers une limite` : cas où|un− `| est dominé parn−a, par kn. . .L’exposé pourra être illustré par un ou desexemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

58. Limite finie d’une fonction à valeurs réelles en un pointa de R. Opérations algébriquessur les limites. Continuité d’une fonction en un point. Exemples.

59. Limite à l’infini d’une fonction à valeurs réelles. Branches infinies de la courbe représen-tative d’une fonction. Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisantappel à l’utilisation d’une calculatrice.

60. Image d’un intervalle par une fonction continue, cas d’un segment. Cas d’une fonctioncontinue strictement monotone.

61. Dérivée en un point, meilleure approximation affine, interprétation géométrique. Exemples.L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calcula-trice.

62. Fonctions dérivées. Opérations algébriques. Dérivée d’une fonction composée. Exemples.

63. Fonction réciproque d’une fonction strictement monotone sur un intervalle deR. Étudede la continuité, de la dérivabilté. Exemples.

64. Comparaison des fonctions : domination, prépondérance, équivalence. Exemples et appli-

67

cations.

65. Inégalité des accroissements finis. Exemples d’applications à l’étude de suites et de fonc-tions. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’unecalculatrice.

66. Théorème de Rolle. Applications.

67. Formules de Taylor. Applications.

68. Développements limités, opérations sur les développements limités.

69. Fonctions polynômes.

70. Fonctions logarithmes.

71. Fonctions exponentielles.

72. Croissance comparée des fonctions réellesx 7→ ex, x 7→ xa et x 7→ ln(x) au voisinage de+∞. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisa-tion d’une calculatrice.

73. Caractérisation des fonctions exponentielles réelles par l’équation fonctionnelle :f (x+y) =f (x)× f (y).

74. Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications.

75. Applications de la dérivation à l’étude des extremums éventuels d’une fonction numériqued’une variable réelle. Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisantappel à l’utilisation d’une calculatrice.

76. Primitives d’une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l’intégrale,inégalité de la moyenne. Applications.

77. Intégration par parties, par changement de variable. Exemples et applications.

78. Diverses méthodes de calcul approché d’intégrales définies. L’exposé pourra être illustrépar un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

79. Méthodes d’approximation des zéros d’une fonction numérique réelle. Exemples. L’exposépourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

80. Étude des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants. Exemples.

81. Exemples d’approximation d’une solution d’une équation différentielle par la méthoded’Euler. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’unecalculatrice.

68

2. Liste des dossiers (deuxième épreuve orale)

Sujet donné leThème

29 Juin Arithmétique30 Juin Séries statistiques à une variable1 Juillet Suites2 Juillet Les nombres complexes3 Juillet Problèmes de grandeurs Calculs de longueur, d’aires et de

volumes4 Juillet Fonctions Etude de recherche d’extremums et

optimisation5 Juillet Techniques de dénombrement6 Juillet Equations, inéuations du premier et

du second degré à une inconnue (oupouvant s’y ramener)

7 Juillet Problèmes de constructions Constructions à l’aide de transfor-mations

8 Juillet Outils Le calcul vectoriel et la géométrieanalytique

12 Juillet Outils Le calcul vectoriel et la géométrieanalytique

13 Juillet Probabilités Probabilités conditionnelles14 Juillet Outils Les barycentres15 Juillet Problèmes de constructions16 Juillet La proportionnalité17 Juillet Fonctions Etude du comportement local18 Juillet Intégration Calcul d’intégrales par des mé-

thodes variées19 Juillet Divers type de raisonnement (par

l’absurde, par récurrence,...)20 Juillet Problèmes de construction Constructions utilisant des configu-

rations connues21 Juillet Equations différentielles

69

3 . Analyse des épreuves orales Les épreuves orales ont été définies par un arrêté ministériel du 30 avril 1991 modifié par un arrêté du 3 août 1993. Les instructions les concernant ont été publiées dans le B.O. spécial n° 5 du 21 octobre 1993. Les objectifs communs aux deux épreuves orales sont précisés dans ces paragraphes, extraits des textes cités : Les épreuves orales visent d’abord à évaluer la capacité à concevoir, mettre en forme et analyser une séquence d’enseignement sur un thème donné. A l’exception des quelques sujets d’exposé (première épreuve) où il est fait référence au programme complémentaire, il convient de se placer au niveau de l’enseignement secondaire, c’est-à-dire de ne pas dépasser le niveau du baccalauréat. Le candidat peut cependant être amené à faire appel aux connaissances acquises dans ses études supérieures pour analyser et commenter la démarche suivie, éclairer un point conceptuel ou technique et situer la question dans son contexte mathématique et scientifique. La mise en valeur de l’enchaînement des étapes du raisonnement constitue un objectif majeur. Les candidats ne doivent en aucun cas se borner à l’exposé, si parfait soit-il formellement, d’une liste de définition, de théorèmes, d’exemples et d’exercices : il est indispensable de dégager l’articulation mutuelle des divers éléments. 3.1 Commentaires sur la 1° épreuve orale On rencontre de très belles prestations, mais aussi les plus mauvaises. Les conseils qui suivent se tiennent volontairement à l’écart d’une collection de « perles » ; leur étude doit permettre à tout candidat d’améliorer sa performance, et en même temps ses capacités à exercer le métier d’enseignant. Modalités pratiques Rappelons brièvement le déroulement de cette épreuve. Le candidat tire au sort une enveloppe contenant deux sujets. Il devra choisir l'un des deux sujets et disposera de deux heures pour sa préparation, sans document; le candidat n'annoncera son choix que lors de sa parution devant le jury. L'épreuve se déroule en deux phases : présentation de la leçon et questions du jury.

• La présentation de la leçon dure 25 minutes, sans interruption du jury. Cette première phase consiste à exposer un plan et à effectuer les démonstrations des propositions énoncées. Le plan doit être aussi riche que possible et peut contenir des exemples, contre-exemples et applications des outils introduits. Le candidat peut gérer son tableau à sa guise, néanmoins il serait bon de réserver une partie du tableau pour faire les démonstrations de manière à ce qu'à la fin l'ensemble du plan figure au tableau. Nous rappelons que cette partie ne fait pas un bon effet si elle se réduit à une recopie mot à mot des notes que l’on lit.

70

• La deuxième phase, d'une durée de 20 minutes, est réservée aux questions du jury. Ces questions peuvent être de divers ordres :

rectifier certaines erreurs ou préciser certains points obscurs dans le plan ou

dans les démonstrations.

vérifier la maîtrise et le recul du candidat sur le sujet traité. En particulier, le candidat est censé répondre sur tous les points présentés dans son plan ainsi qu'à toutes questions relatives au sujet, qu'il aurait omises volontairement ou non.

Remarques sur l’épreuve D'une manière générale le jury souhaiterait encourager les futurs candidats à donner une touche personnelle à leurs plans, ceci ne peut se faire qu'au prix d'un travail régulier et approfondi durant l'année de préparation. Il n’est pas possible pendant les deux heures de préparation de monter une bonne leçon si le sujet n’a pas été travaillé pendant l’année de préparation au concours. Il est par ailleurs risqué de laisser de trop grandes brèches ou « impasses » ; on voit des candidats déstabilisés devant un choix comportant deux sujets fort classiques, ce qui indique a priori que des chapitres entiers ont été ignorés pendant l’année de préparation.

- Sur le plan Les plans doivent être structurés plus rigoureusement, en particulier :

L’ordre dans lequel les notions sont présentées est essentiel, car il montre la vue d’ensemble du candidat par rapport à son sujet et doit éviter répétitions ou cercles vicieux.

Le statut des énoncés est important et parfois joue un rôle important dans la qualité de la leçon : bien différencier une définition d’une proposition, un corollaire d’un théorème fondamental, etc … Par ailleurs il est important de savoir faire ressortir les points les plus importants, en les distinguant d’autres points secondaires. Les présentations formalisées « par équivalence » ne sont pas avantageuses, si les deux implications de sens contraire contenues dans l’équivalence sont de signification trop disparate : rappelons que l’on se prépare ici à l’enseignement secondaire, et non à l’enseignement devant un public de spécialistes. Le plan gagnera en qualité si chaque proposition reçoit une place correspondant à son importance et à sa difficulté (ou sa facilité) d’appréhension par le public de l’enseignement secondaire.

Les définitions et les énoncés des propositions ou théorèmes doivent être préparés dans leur intégralité ; si le candidat n’écrit qu’une version abrégée, il doit s’attendre à ce que le jury lui demande une version détaillée et complète. Pour économiser du temps d’écriture, le candidat peut éventuellement utiliser des transparents.

71

Les plans peuvent être enrichis :

en introduisant de nombreux exemples et contre-exemples bien choisis montrant pour les théorèmes à la fois, leur impact, la nécessité des hypothèses, les limites à leur application : un simple énoncé correct, c’est évidemment bien ; des développements tels que ceux qui viennent d’être décrits montrent que le candidat possède du recul, et une connaissance en profondeur du sujet traité.

en donnant de nombreuses applications, y compris des applications transversales au sens où elles concernent, soit des domaines mathématiques différant du domaine usuel dans lequel s’inscrit le sujet, soit plus largement des domaines issus d’autres sciences , sciences physiques, astronomie, sciences naturelles, etc..

en montrant des figures. En géométrie cela semble le plus naturel, mais un dessin peut se révéler très utile aussi dans les autres domaines, et particulièrement en analyse. Les figures géométriques peuvent être réalisées à main levée, ou aux instruments, ou encore préparées sur des transparents, ou enfin sur le logiciel de géométrie de la calculatrice. Il revient au candidat de choisir la méthode qui met le mieux en valeur son travail et ses compétences ; de belles figures réalisées à la main restent appréciées pour leur élégance ; à l’opposé, des figures bien présentées à la calculatrice, éventuellement animées, témoigneront des capacités du candidat à utiliser les moyens mis à sa disposition, et à s’investir ultérieurement dans l’utilisation des TICE

Le candidat choisit le niveau auquel il place son exposé. En conséquence :

sa prestation lors de l’exposé doit rester cohérente avec le niveau qu’il a choisi s’il aborde les diverses notions de manière trop élevée sur le plan « théorique », le

jury cherchera à vérifier la solidité de l’exposé au niveau correspondant, et il essayera de faire revenir le candidat aux aspects plus concrets et aux applications plus simples.

s’il aborde le sujet à un niveau trop faible, le jury ne se satisfera pas de devoir rester à ce niveau, ce qui amène parfois certains (surtout s’ils écoutent mal les questions par la suite) à quitter le jury inconscients de leur médiocre performance

- Sur les démonstrations Il arrive trop souvent que des candidats présentent un plan sans aucune démonstration. Cette manière de préparer l’épreuve est à proscrire. Rappelons que le candidat est jugé sur le contenu de son plan mais aussi sur sa prestation notamment au cours des démonstrations qui sont faites, en particulier la pertinence du choix des points démontrés par rapport au sujet et la consistance de ceux-ci sont un élément important d'appréciation. Cette exigence renforce la nécessité, pour le candidat, de disposer d’un minimum de recul par rapport aux connaissances présentées, recul nécessaire pour l’aider à trouver quels sont véritablement les « points forts » de son exposé.

72

D'une manière générale, il est conseillé de :

choisir le développement d’un ou de plusieurs points consistants, centraux par rapport au sujet, permettant de montrer son aptitude à raisonner sur les notions étudiées .

de montrer ses qualités pédagogiques en s'efforçant de donner la présentation la plus naturelle possible (l'utilisation de figures est recommandée chaque fois que cela est possible), faisant ressortir clairement la démarche scientifique utilisée et en mettant bien en relief les points cruciaux des différentes preuves; beaucoup de candidats se contentent d'aligner une suite de raisonnements, présentés artificiellement, sans être capable d'expliquer l'origine de leurs motivations.

de bien vérifier l’absence de lacune dans l’enchaînement logique de la démonstration; il arrive souvent qu'un candidat se trouve complètement désarçonné lorsqu'on lui demande d'éclaircir certains passages, ce qui lui fait découvrir des difficultés qui lui avaient échappé.

- Sur les questions du jury Les questions du jury peuvent porter aussi bien sur la conception, l'organisation du plan, que sur les démonstrations, abordées ou non, au cours de l'exposé. Elles peuvent également porter sur les pré-requis ou concerner certains prolongements omis, soit pour s'assurer de la solidité des connaissances, soit pour compléter un plan trop pauvre. Nous insistons sur le fait qu’il est essentiel que les candidats aient un certain recul sur les notions qu’ils devront enseigner et ne peuvent donc en aucun cas se contenter de ne connaître que ce qui est exigible pour un élève du secondaire actuel. Par exemple, s’il est normal d’admettre lors d’un exposé le théorème « Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur cet intervalle » il est insuffisant de la part du titulaire d’une licence qu’il n’ait plus la moindre idée sur les propriétés permettant ce résultat. De même, si la définition rigoureuse des angles est hors de portée d’un élève il n’est pas acceptable qu’un futur enseignant n’y ait jamais réfléchi au point d’être incapable de fournir la moindre piste pour attaquer ce délicat problème, ou plus grave ne pas sembler comprendre l’importance de la question qui se pose. L’entretien commence le plus souvent par la mise au point et la correction d’erreurs de détail, notamment de lapsus ou d’erreurs bénignes, de confusions de notation, etc. Le candidat ne doit pas penser que ces questions constituent des pièges. Dans la suite de l’entretien, il est important d’écouter réellement les questions : d’une part, une question mal écoutée et à laquelle on répond de manière précipitée risque de se conclure par des réponses inadaptées; d’autre part, on attend du futur professeur qu’il sache écouter et analyser les questions de ses futurs élèves, et pour cela, il lui faudra aussi « savoir écouter ». Les questions ne sont pas de niveau constant : le jury peut souhaiter, par des questions très élémentaires, mettre le candidat en confiance ; par des questions plus profondes, il peut souhaiter donner au candidat la possibilité de montrer qu’il dispose de recul par rapport au sujet traité. Une absence de réponse, une erreur, ou une réponse erronée n’est pas nécessairement irréparable, bien au contraire : si le candidat, alerté par d’autres questions du jury, s’aperçoit de son erreur et est capable de la corriger, il laissera l’impression positive d’un futur enseignant capable de réagir valablement lorsqu’il est en difficulté

73

3.2 Commentaires généraux sur la 2° épreuve orale

L’exposé du candidat Jouer la montre lors de l’exposé n’est pas pertinent ; le jury reporte le temps non utilisé pour l’exposé sur la deuxième partie de l’épreuve, et si le candidat remplit son temps d’exposé en résolvant en détail un exercice, - celui proposé par le jury ou un autre – le jury ne peut intervenir pendant cette résolution. Faire un exposé plus court que les 25 minutes maximales autorisées n’est pas considéré comme une faute. Remplir les 25 minutes en traitant des points non demandés expose le candidat au risque d’être interrogé de manière plus exigeante et plus rapide puisque le jury aura moins de temps pour l’entretien. Bien entendu, un exposé de qualité long de 25 minutes est parfaitement pris en compte et joue en faveur du candidat lorsqu’il est conforme à la définition de l’épreuve. Les thèmes des dossiers Les thèmes dans lesquels s’inscrivent les dossiers étaient les mêmes que ceux utilisés pour la session précédente ; nous n’avons pas voulu, pour la deuxième année de fonctionnement de la nouvelle formule, créer des difficultés aux formateurs. Toutefois, il faut bien rappeler que ces thèmes n’ont rien d’immuable ; comme pour la formule antérieure de cette épreuve, l’évolution des thèmes restera progressive, le but étant de suivre le plus continûment possible l’évolution des programmes de l’enseignement secondaire et, plus généralement, de la discipline. Comme l’an dernier, les impasses sont beaucoup plus risquées à cause de la suppression du choix. Tous les thèmes ne peuvent être cependant abordés puisqu’il ne sort qu’une vingtaine de dossiers, et les thèmes non abordés cette année sont susceptibles de l’être une autre année. Par ailleurs, l’ensemble des 20 dossiers utilisés cette année a été construit en tenant compte de plusieurs contraintes ; couvrir au mieux l’ensemble des domaines des divers programmes était une contrainte, mais non décisive. On remarquera que le fait qu’un thème ait été abordé un certain jour n’a pas interdit qu’un thème très voisin, voire identique, apparaisse dans la suite de la session. Interprétation du thème par les candidats, « hors-sujet » Le jury a reçu pour instruction de juger avec une clémence particulière les « hors-sujet », ainsi que la manière dont le thème était couvert. Nous nous proposons de poursuivre dans cette voie, en rappelant que l’énoncé du thème est à prendre au sens littéral de la cartouche figurant en tête du dossier. Trop de candidats, par frilosité, n’ont pas osé s’éloigner de l’exercice proposé par le jury alors même que celui-ci ne couvrait qu’une faible partie du thème. Ils se contentaient de proposer parfois de simples démarquages de l’exercice proposé par le jury.

74

Pour renforcer l’information des candidats, les dossiers ont été légèrement modifiés dans leur présentation ; le thème dans lequel les exercices choisis par le candidat doivent se situer est rappelé littéralement dans l’intitulé de la question correspondante. Il a aussi été noté que trop de candidats n’osaient pas varier le niveau des exercices qu’ils proposent. Certains dossiers suggèrent fortement cette ouverture, notamment par le moyen des extraits de programmes qui y sont attachés. Equilibre des différents éléments de l’épreuve La présidence du concours était très attentive à ne pas laisser le travail sur l’exercice proposé par le jury envahir l’ensemble de cette épreuve. Dans cet esprit, des instructions ont été données aux commissions de sorte qu’elle répartissent convenablement le temps d’entretien entre, d’une part, les questions relatives à l’exercice du jury, résolution éventuellement comprise, et d’autre part l’étude des exercices présentés par le candidat. Des instructions similaires étaient données aux candidats : chaque vague est reçue séparément et reçoit une série de conseils pour préparer et passer l’épreuve dans les meilleures conditions. Parmi ces conseils figurait l’avertissement disant que le travail sur l’exercice proposé par le jury ne constituait qu’une partie de l’épreuve, et que par conséquent ils doivent penser à partager leur temps de préparation de manière adaptée à l’importance de chaque point à traiter. Cette consigne de travail s’est heurtée au fait qu’une partie des candidats arrivait devant les commissions en ayant trop peu travaillé sur leurs propres exercices. Aussi dans certains cas, l’interrogation sur les exercices proposés par les candidats se trouvait-elle quelque peu limitée. Nous avons renforcé cette demande d’équilibrage de l’épreuve en allégeant dans la mesure du possible le travail de rédaction demandé sur l’exercice proposé par le jury. L’importance des exercices proposés par les candidats se trouve ainsi très clairement réaffirmée. Bilan relatif à cette nouvelle épreuve La note de service ne modifiait en apparence que quelques éléments de définition de l’épreuve, mais la transformation est suffisamment profonde pour que l’on puisse parler de véritable nouvelle épreuve. D’une part, la suppression du choix du dossier a conduit, y compris en première épreuve par un resserrement de l’éventail des choix d’exposés, à un accroissement très fort du risque couru lorsque le candidat « fait des impasses ». Il ne semble pas que cela ait conduit à une démoralisation des candidats. Plusieurs faits ont sans doute joué ; le taux de succès au concours, commandé par le nombre des postes puisque le jury les a tous pourvus, n’en a aucunement souffert ; la moyenne des notes attribuées n’est pas inférieure à celles qui étaient attribuées lors des sessions précédentes, ce qui montre que les commissions ont d’instinct adapté leurs exigences à l’accroissement objectif de la difficulté de l’épreuve consécutive à la suppression du choix. D’autre part, le fait de donner un exercice comme base de travail aux candidats a conduit, en ce qui concerne les questions et l’exposé du candidat relatif à cet exercice, à une amélioration de la qualité des exposés, (fait très généralement noté par les commissions) ce qui a sans doute contribué aussi au maintien des notes à un niveau satisfaisant.

75

Un deuxième objectif était visé : la réhabilitation de dossiers traditionnellement « mal-aimés », soit parce que portant sur le niveau collège, soit parce qu’ils traitent de « mathématiques appliquées » (probabilités, graphes, statistiques, modélisation). Il était possible de construire le lot de dossiers qui a été utilisé pour cette session en y intégrant un nombre significatif de ces thèmes. Un troisième objectif était la prise en compte des TICE. Les deux modèles de machine mis en service ont permis de mettre en valeur les domaines usuels d’intervention du calcul automatisé dans l’enseignement secondaire : mise en œuvre d’algorithmes, tracé de figures géométriques pouvant être animées, calculs statistiques. La mise en œuvre de dossiers comportant une ou plusieurs questions devant explicitement être résolues à l’aide d’une calculatrice obligeait les candidats à passer par la machine. Le message fort selon lequel il est risqué de se présenter à cette épreuve si l’on ne possède pas quelques rudiments sur la manipulation de l’un de ces modèles est certainement passé. Rappelons ici que le niveau de virtuosité demandé reste très raisonnable, et que le jury a publié un document – un pour chaque modèle, les deux étant mis sur pied d’égalité autant que possible – précisant dans quel esprit nous nous attendons à voir employer ces machines. Pour la prochaine session qui verra revenir un troisième constructeur, un document similaire sera publié pour le modèle fourni. Enfin, un dernier objectif était l’approfondissement de la culture commune de l’évaluation au sein du jury. Nous avons mis en oeuvre des dispositifs de contrôle quotidien permettant d’assurer que l’équité du concours était maintenue, et que les candidats ne se sont pas trouvés pénalisés – ou favorisés – par le fait qu’ils ont passé leur épreuve sur dossier tel ou tel jour, sur un dossier d’apparence plus difficile ou plus facile. Le fait que chaque commission recevait successivement cinq candidats traitant le même dossier jouait évidemment aussi en faveur de l’équité de la notation, et, contrairement à certaines craintes initiales, les a conduit à apprécier cette manière de travailler. Ce suivi journalier a permis de constater qu’il n’y avait pas de dérive contraire à l’équité du concours ; les répartitions journalières des notes de seconde épreuve orale varient un peu, certes, mais pas de manière significativement plus forte que les moyennes journalières de première épreuve orale. Il n’a pas été nécessaire de recourir a des ajustements a posteriori. 3.3 Les dossiers de la 2° épreuve orale Ci-dessous, les vingt dossiers dans l’ordre de leur parution. On n’a pas jugé utile de donner ici les annexes des dossiers, c'est-à-dire les extraits de programmes qui les accompagnent. Ces dossiers sont suivis par vingt courts rapports ; on a indiqué pour chaque dossier les classes pour lesquelles des extraits de programmes avaient été mis en annexe ; dans deux cas particuliers, une solution rédigée de l’exercice proposé par le jury est donnée.

76

Sujet du 29 Juin

Theme : Arithmetique

1. L’exercice propose au candidat

1) Soit m un entier relatif. On note (Em) l’equation 11x+ 13y = m, d’inconnue (x, y).

Trouver toutes les solutions (x, y) de (Em) dans Z× Z.

2) On suppose desormais que m est un entier naturel. Montrer qu’il y a autant desolutions (x, y) de l’equation (Em) dans N × N qu’il y a d’entiers dans le segment[5m

11,6m

13

].

3) Montrer que si m < 143 (resp. m > 143), alors l’equation (Em) possede au plus (resp.au moins) une solution (x, y) dans N× N.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le Jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Degagez les methodes et outils necessaires a la resolution de cet exercice.

Q.2) Ecrire un algorithme renvoyant, pour un entier naturel m donne, la ou les solutionseventuelles (x, y) de l’equation (Em) dans N×N. Cet algorithme pourra etre implantesur votre calculatrice ou simplement decrit au tableau dans un langage de votre choix.

Q.3) Comment pourrait-on montrer que 119 est le plus grand entier naturel m tel que(Em) n’ait pas de solution dans N× N ?

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :– Sa reponse a la question Q.2).

– Un ou deux enonces d’exercices se rapportant au theme « Arithmetique ».

——————————

77

Sujet du 30 Juin

Theme : Series statistiques a unevariable

1. L’exercice propose au candidatLe tableau ci-contre indique, pour chaque mois de l’annee 2004, trois donnees concernantle site web du CAPES (la « bande passante » represente le volume d’information qui aete charge).

Mois Visiteurs differents Visites Bande passanteJanvier 2004 353 425 62 MoFevrier 2004 577 744 144 MoMars 2004 834 1 151 169 MoAvril 2004 650 803 132 MoMai 2004 2 498 3 404 1 021 MoJuin 2004 2 324 3 254 907 MoJuillet 2004 2 636 3 482 589 MoAout 2004 1 410 1 916 274 MoSeptembre 2004 2 525 3 553 681 MoOctobre 2004 2 897 4 135 2 600 MoNovembre 2004 3 861 5 232 4 372 MoDecembre 2004 2 452 3 157 2 499 Mo

a Donner pour ces trois series de donnees le tableau des effectifs cumules croissants.

A quels types de questions ces tableaux permettent-ils de repondre ?

b Calculer la moyenne du nombre des visiteurs et la moyenne du nombre des visites. Ons’interesse au nombre moyen de visites par visiteurs : un eleve propose de le calculerchaque mois et de faire la moyenne des resultats obtenus. Un autre propose de fairele quotient moyenne des visites moyenne des visiteurs. Obtient-on le meme resultat ?Pourquoi ? En moyenne quelle est la bande passante utilisee par un visiteur ?

c Proposer une ou deux representations graphiques permettant de visualiser les donneesdu tableau.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1. Preciser a quel niveau d’enseignement une telle activite peut trouver sa place.Indiquer comment vous la mettriez en œuvre dans une classe.

Q.2. Quelles representations graphiques peut-on obtenir en reponse a la question 3) ?Montrer sur un ecran de calculatrice une de ces representations.

Q.3. Donner au moins un autre exemple permettant d’illustrer l’interet et les limites de lanotion de moyenne, vous pourrez (sans que ce soit une obligation) utiliser le graphiqueci-contre. Enoncer les theoremes mis en jeu dans l’exercice.

78

NOMBRE DE GRIPPES PAR SEMAINE EN 1999

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

500000

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52

Moyenne

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

– sa reponse a la question Q.3.– un ou plusieurs exercices sur le theme : « Series statistiques a une variable. »

——————————

Sujet du 1 Juillet

Theme : Les suites

1. L’exercice propose au candidat

Soit α ∈ R\ 2. On considere la suite (un)n∈N definie par :u0 = 0

u1 = a ∈ Rpour tout n ∈ N , un+2 = αun+1 − (α− 1)un

1) On pose pour tout n ∈ N, vn = un+1 − un. Montrer que (vn)n∈N est une suitegeometrique.En deduire vn en fonction de α, n, et a.

2) On pose pour tout n ∈ N, wn = un+1− (α− 1)un. Montrer que (wn)n∈N est une suiteconstante.

3) Calculer un en fonction de vn et wn puis un en fonction de α, n et a.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le Jury

79

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Proposer une utilisation de la calculatrice pour le calcul des premiers termes des troissuites rencontrees.

Q.2) Comment choisiriez-vous les suites auxiliaires (vn)n∈N et (wn)n∈N dans le cas d’unesuite (un)n∈N definie avec une relation de recurrence de la forme : un+2 = 2un+1+3un ?

Q.3) Le parametre α prend des valeurs dans R prive de 2, pourquoi ?

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

(i) sa reponse a la question Q.2)

(ii) Deux exercices sur le theme des suites, mettant en jeu d’autres notions sur les suites.

——————————

Sujet du 2 Juillet

Theme : OutilsLes nombres complexes

1. L’exercice propose au candidat

On se donne un rectangle ABCD (direct) et on pose AB = CD = a, AD = BC = b(a > 0, b > 0).On se pose le probleme suivant (cf fig.1) : existe-t-il un triangle equilateral APQ inscritdans le rectangle ABCD (le point P appartenant au segment [BC] et le point Q au segment[CD]) ?

1) Soit P un point quelconque de [BC] et Q un point quelconque du segment [CD].On pose DQ = x et BP = y. Montrer que APQ est equilateral si et seulement six = 2a− b

√3

y = 2b− a√

3

Indication : utiliser les affixes, et une rotation de centre A.

2) En deduire que le probleme a une solution si et seulement si

√3

26

a

b6

2√3

et

qu’alors elle est unique.

3) On suppose que le probleme pose admet une solution. On construit les trianglesequilateraux BCI et CDJ , comme indique figure 2. Soit P le point d’intersectiondes droites (AJ) et (BC), et Q le point d’intersection des droites (AI) et (CD).Montrer que APQ est le triangle equilateral cherche.

En deduire une construction du triangle APQ a la regle et au compas.

80

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1 Degagez les methodes et outils necessaires a la resolution de cet exercice.

Q.2 En utilisant l’environnement de geometrie dynamique de la calculatrice, construirele rectangle ABCD et le triangle equilateral APQ (quand il existe). Animer la figurede facon a voir les conditions limites entre lesquelles le probleme pose admet unesolution.

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :– Sa reponse a la question Q.1).

– Un ou deux enonces d’exercices se rapportant au theme « Geometrie : nombrescomplexes ».

——————————

81

Sujet du 3 Juillet

Theme : Problemes de calculs de grandeursCalculs de longueurs, d’aires et de volumes

1. L’exercice propose au candidat

ABCDA′B′C ′D′ est un cube de cote 4 cm, I et O sont les centres respectifs des carresADD′A′ et A′B′C ′D′.

D

O

J

I

B’

D’

C’

B

C

A

A’

1) Construire le triangle A′C ′D en vraie grandeur.

2) a) Montrer que OCC ′ est rectangle en C ′.b) Calculer OC.

3) Calculer IC.

4) Soit J le milieu de [OI]. Calculer CJ puis A′J puis A′C.

5) a) Les points A′, J et C sont-ils alignes ?b) Quelle est la position relative de la droite (OI) et du plan (A′JC) ?

6) Determiner le volume de la pyramide OD′A′BC.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Degager les savoirs mis en jeu dans la resolution de l’exercice.

Q.2) Construire un enonce demontrant que les points A′, J et C ne sont pas alignes enutilisant les theoremes d’incidence de seconde.

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

– Sa reponse a la question Q.2).– deux enonces d’exercices, varies par le niveau concerne et la methode de resolution

utilisee, se rapportant au theme : « Problemes de calculs de grandeurs : Calculsde longueurs, d’aires et de volumes »

82

——————————

Sujet du 4 Juillet

Theme : FonctionsEtude de recherche d’extremum et d’optimisa-tion

1. L’exercice propose au candidat

1) Pour tout reel α de ]0, 2[, on considere la fonction x 7→ gα(x) =√

1− x2 +√1− (x+ α)2.

a) Determiner l’ensemble de definition Dα de gα.

Montrer que la courbe representative de gα possede un axe de symetrie vertical.

b) Montrer que pour tout x de Dα, on a g′′α(x) < 0.

En deduire que gα admet un unique maximum en x0 = −α2

.

2) En utilisant gα, montrer que l’aire maximale d’un trapeze de hauteur α (avec

0 < α < 2) inscrit dans un cercle de rayon 1 est egale a α√

4− α2 (en unites

d’aire).

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera la question suivante :

Q.1) Degager les methodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

Q.2) Utiliser la calculatrice pour verifier les resultats des questions 1 et 2 (sans que celase substitue aux calculs « a la main »).

Q.3) Quelle suite pourriez-vous donner a la question 2) ?

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :– Sa reponse a la question Q.3).

– Deux exercices sur theme « problemes d’optimisation ».

——————————

83

Sujet du 5 Juillet

Theme : Techniques de denombrement

1. L’exercice propose au candidat

Un homme travaille a Manhattan, dans un quartier ou les avenues sont orientees nord-sudet les rues est-ouest. Il travaille a sept pates de maison a l’est et huit pates de maison aunord de son domicile. Pour aller a son travail chaque jour il parcourt donc la longueur dequinze pates de maison (il ne se dirige ni au sud ni a l’ouest).On suppose qu’il existe une voie le long de chaque pate de maisons et qu’il peut prendren’importe lesquelles dans ce schema rectangulaire. Le dessin ci-dessous illustre la situation ;un trajet a ete represente en pointille.

N

1) Proposer un « codage » permettant de decrire le trajet represente.

2) Combien de trajets differents l’homme peut-il emprunter ?

3) L’homme pretend que le nombre de trajets est aussi le nombre de suites de huitentiers naturels dont la somme est 8. A-t-il raison ?

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera la question suivante :

Q.1) A quel niveau pensez-vous pouvoir proposer cet exercice ? Quelles indicationssouhaiteriez-vous ajouter (questions intermediaires, suggestion de representations,. . .) ?

Q.2) La question 3) de l’exercice

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :– Deux exercices sur le theme :« Techniques de denombrement »

——————————

84

Sujet du 6 Juillet

Theme : Equations, inequations du premier et du second degre aune inconnue ou pouvant s’y ramener

1. L’exercice propose au candidat

Elio et Nora s’arretent au magasin du coin de la rue et composent chacun un assortimentde friandises comportant des bonbons et des chewing-gums.Les deux enfants se servent le meme nombre de bonbons et Elio prend deux fois plusde chewing-gums que Nora. Un bonbon coute 6 centimes d’euro, un chewing-gum 12centimes d’euro. L’assortiment compose par Nora a une valeur de 1,20 euro. Elio a achete20 friandises.

1) Quelle peut etre la composition de l’assortiment de Nora ?

2) On sait de plus qu’Elio a paye 1,68 euro. Quelle peut etre la composition del’assortiment de Nora ?

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le Jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Degager les diverses etapes de la resolution de cet exercice (on pourra distinguersuivant le niveau de la classe).

Q.2) Indiquer les connaissances et savoir-faire mis en jeu ainsi que les objectifs d’appren-tissage vises dans cet exercice.

Q.3) Le nombre de solutions d’un probleme se ramenant a la resolution d’une equationdu premier ou du second degre a une inconnue est-il dependant du choix de cetteinconnue lorsque plusieurs possibilites sont envisageables ?

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

i) sa reponse a la question Q.2)

ii) l’enonce d’exercices se rapportant au theme «Equations, inequations du premieret du second degre a une inconnue ou pouvant s’y ramener ».

——————————

85

Sujet du 7 Juillet

Theme : Problemes de constructionsConstructions a l’aide de transformations

1. L’exercice propose au candidat

Dans cet exercice on considere deux cerclesconcentriques (Γ) et (Γ′), de rayons respectifsr et r′ avec r > r′ (figure ci-contre).Le but de l’exercice est la construction d’unecorde [AB] de (Γ), coupant (Γ′) en deuxpoints A′ et B′, telle que :

AA′ = A′B′ = B′B

A

B

A′

B′

(Γ)

(Γ′)

O

i) a) Justifier que le point A peut etre choisi arbitrairement sur (Γ).

b) Montrer que, pour toute corde [AB] de (Γ) coupant (Γ′) en deux points A′ etB′, on a AA′ = BB′.

ii) On fixe un point A sur (Γ) et on note (Γ1) l’image de (Γ) par l’homothetie h de

centre A et de rapport1

3.

a) Montrer que, si une corde solution du probleme existe, alors A′ ∈ (Γ1) ∩ (Γ′).

b) En deduire le nombre de cordes convenables menees de A (on discutera suivant

les valeurs du rapportr′

r).

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le Jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Degager les methodes utilisees dans cet exercice.

Q.2) Construire la figure de l’enonce a l’aide du module de geometrie d’une calculatriceet indiquer des utilisations possibles de cette construction avec des eleves.

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :Deux exercices sur le theme : « Probleme de construction : Construction a l’aidede transformations », dont l’un, au moins, utilisera une autre transformation que celleutilisee dans l’exercice propose.

——————————

86

Sujet du 8 Juillet

Theme : OutilsLe calcul vectoriel et la geometrie analytique

1. L’exercice propose au candidat

On considere dans le plan P rapporte a un repere orthonormal(O;

→ı ;→)

le cercle Γ de

centre O et de rayon 1.Soit A le point de coordonnees (1; 0) et soit A′ le point de coordonnees (−1; 0).

1) Pour tout point H du segment [AA′], distinct de A et A′, on mene la perpendiculaire

∆ a la droite (AA′). La droite ∆ coupe le cercle Γ en M et M ′. On pose−−→OH = x

→i .

Calculer, en fonction de x, l’aire du triangle AMM ′.

2) Soit f la fonction numerique definie sur [−1; 1] par f(x) = (1− x)√

1− x2.Dresser le tableau de variation de f .

3) Montrer que le triangle, AMM ′, d’aire maximale est equilateral.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Degager les methodes et les theoremes utilises dans cet exercice.

Q.2) Construire, a l’aide du module de geometrie d’une calculatrice, la figure proposee etconjecturer a l’aide de cette figure le resultat attendu.

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

Deux exercices sur le theme : « Le calcul vectoriel et la geometrie analytique. »

——————————

87

Sujet du 12 Juillet

Theme : OutilsLe calcul vectoriel et la geometrie analytique

1. L’exercice propose au candidat

L’espace E est rapporte a un repere orthonormal (O,~i,~j,~k). On considere l’ensemble (S )defini par :

S =M(x, y, z) ∈ E ; x2 + y2 + z2 − 4x+ 2z + 1 = 0

1) Montrer que (S ) est une sphere dont on donnera le centre et le rayon.

2) Montrer que le point A(2, 2,−1) appartient a (S ) et determiner une equationcartesienne du plan (P1) tangent a (S ) au point A.

3) a) Montrer que le plan (P2) d’equation x+ y − z − 1 = 0 coupe (S ).

b) Determiner le rayon du cercle (C ) intersection de (P2) et (S ).

c) Determiner les coordonnees du point Ω centre de (C ).

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Enoncer les theoremes et les outils mis en jeu dans l’exercice.

Q.2) Rediger un enonce detaille pour aider un eleve de Terminale S a faire la question 3)c).

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

– Sa reponse a la question Q.2).– Les enonces de deux exercices de geometrie analytique dont l’un au moins permet de

resoudre un probleme pose dans l’espace.

——————————

88

Sujet du 13 Juillet

Theme : Probabilites conditionnelles

1. L’exercice propose au candidat

On considere un carre ABCD et son centre de gravite Ω. On note E = A,B,C,D,Ω.Une puce se deplace aleatoirement en sautant d’un point de E a un autre. La seulecontrainte est que si un saut relie deux sommets du carre, ceux-ci doivent etre adjacents.A chaque saut, tous les deplacements possibles sont equiprobables. La puce ne reste pasdeux fois de suite au meme endroit.Au depart (c’est-a-dire avant son premier saut) elle se trouve au point Ω.Pour tout n de N, on note Ωn l’evenement « la puce se trouve au point Ω a l’issue de sonn-ieme saut ».On definit de meme les evenements An, Bn, Cn, Dn. On notera pn = p(Ωn) (donc p0 = 1).

1) Calculer p1 et p2.

2) Pour tout n de N, justifier les egalites p(An) = p(Bn) = p(Cn) = p(Dn) =1

4(1− pn).

3) Montrer que pn+1 =1

3(1− pn) pour tout n de N (utiliser la formule des probabilites

totales).

4) En deduire que pour tout n on a pn =1

4+

3

4

(−1

3

)n

puis limn→+∞

pn =1

4.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Degagez les methodes et outils necessaires a la resolution de cet exercice.

Q.2) Comment se generalise le probleme si l’on remplace le carre ABCD par un polygonea k sommets ?

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

– Sa reponse a la question Q.2).

– Un ou deux exercices se rapportant au theme « Probabilites conditionnelles ».

——————————

89

Sujet du 14 Juillet

Theme : OutilsLes barycentres

1. L’exercice propose au candidat

Soit ABC un triangle du plan.Les points A′, B′ et C ′ sont respectivement definis

par−−→AC ′ =

1

3

−→AB,

−−→BA′ =

1

3

−−→BC et

−−→CB′ =

1

3

−→CA.

Les droites (AA′) et (BB′) se coupent en un pointK, les droites (BB′) et (CC ′) se coupent en unpoint I et les droites (AA′) et (CC ′) en un pointJ .

1) Ecrire les points A′, B′ et C ′ comme bary-centres des points A, B et C.

2) Montrer que le point I est barycentre de(A, 2), (B, 1) et (C, 4).

3) Definir de meme les points J et K commebarycentres des points A, B et C.

4) Montrer que les points I, J et K sont respec-tivement les milieux de [CJ ], [AK], et [BI].

5) En deduire une comparaison des aires destriangles BKJ , IJK, ABJ et AIJ etdeterminer le rapport des aires des trianglesABC et IJK.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Enoncer les proprietes des barycentres utilisees dans cet exercice.

Q.2) Quelle reponse feriez-vous a un eleve qui vous demanderait comment traiter laquestion 2) si les coefficients n’etaient pas fournis ?

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

– Sa reponse a la question Q.1).– Les enonces d’un ou plusieurs autres exercices, dans lesquels une etude barycentrique

permet de mettre en evidence des proprietes geometriques, en variant les situationsetudiees.

——————————

90

Sujet du 15 Juillet

Theme : Problemes de constructions

1. L’exercice propose au candidat

On considere deux droites paralleles d et δ et un point A n’appartenant ni a d ni a δ. Lebut de l’exercice est de construire un triangle ABC rectangle isocele en B tel que le pointB appartienne a la droite d et que le point C appartienne a la droite δ .

1) Si une telle construction est realisable, determiner les similitudes directes de centreA qui transforment B en C.

2) Resoudre le probleme pose. Combien y a-t-il de solutions ?

3) Reprendre l’exercice en supposant les droites d et δ secantes.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Expliciter la demarche generale de resolution de ce probleme.

Q.2) Quelles indications, ou questions supplementaires ajouteriez-vous a l’enonce pour leproposer a une classe ?

Q.3) Presenter a l’aide du module de geometrie dynamique de la calculatrice la figurecomportant les solutions du probleme lorsque les droites d et δ sont paralleles.

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

– sa reponse a la question Q.2) ;– l’enonce d’un exercice se rapportant au theme : « problemes de construction ».

——————————

91

Sujet du 16 Juillet

Theme : La proportionnalite

1. L’exercice propose au candidat

Pendant plusieurs siecles, on a utilise et enseigne la regle de fausse position. L’encadreci-dessous propose un extrait d’un ouvrage edite en 1784, consultable aujourd’hui sur lesite de la Bibliotheque Nationale de France, expliquant cette regle.

En utilisant la typographie actuelle

Proposition 265. La regle de fausse position serta trouver un nombre inconnu par le moyen d’unnombre suppose. Soit propose, par exemple, de trou-ver un nombre dont la moitie, le quart et le cinquiemefassent 456.Je suppose que ce nombre est 20. Mais il est clair quela moitie, le quart et le cinquieme de 20 ne font que19. ma supposition est donc fausse. Elle n’en servirapas moins cependant a me faire connaıtre le nombredemande. Car puisque deux quantites sont toujoursentre elles comme leurs parties semblables (Proposi-tion 242), on peut les regarder l’une comme la sommedes antecedents d’une suite de termes proportion-nels, l’autre comme la somme des consequents. Orces deux sommes sont entre elles (Proposition 241),comme un nombre quelconque d’antecedents est aumeme nombre de consequents et reciproquement ;donc la moitie plus le quart, plus le cinquieme de20 sont a la moitie plus le quart, plus au cinquiemedu nombre que je cherche, comme le nombre 20 estlui meme au nombre cherche.J’ai donc,

19456

=20x

soit x = 480.

92

1) Resoudre le probleme pose : « trouver un nombre dont la moitie, le quart et lecinquieme fassent 456 ».

2) Le nombre 20 a-t-il ete choisi au hasard ? Le resultat trouve depend-il de ce choix ?

3) L’auteur fait reference a deux proprietes etablies auparavant (numerotees 242 et 241).la premiere citee (242) :« Deux quantites sont toujours entre elles comme leurs parties

semblables » peut se traduire aujourd’hui par l’egalite :a

b=ka

kb. Quelle propriete

des tableaux de proportionnalite peut traduire la seconde ?

4) En appliquant cette methode, trouver la solution du probleme pose par Fances Pellosgentilhomme nicois de la fin du XVesiecle : « Une lance a la moitie et le tiers dansl’eau et 9 paumes a l’exterieur. Je te demande combien elle a de long ? ».

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le Jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Quelles sont les proprietes sur lesquelles repose la « regle de la fausse position » ?

Q.2) Quelle classe de problemes cette regle permet-elle de resoudre ?

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

Divers exercices sur le theme « La proportionnalite ». On veillera a ce que ce choixrecouvre diverses classes de l’enseignement secondaire.

——————————

93

Sujet du 17 Juillet

Theme : FonctionsEtude du comportement local

1. L’exercice propose au candidat

On considere la fonction f definie sur [0, π] par f(x) = e− cos x.On note Cf sa courbe representative dans un repere (O, I, J) du plan.Le but de l’exercice est de determiner le nombre de tangentes a Cf passant par l’origine Odu repere.

1) a) Determiner l’equation de la tangente Ta a Cf au point d’abscisse a de [0, π].

b) Montrer que Ta passe par O si et seulement si a sin a = 1.

2) Soit la fonction ψ definie sur ]0, π] par ψ(x) = sin x− 1

x.

a) Etudier les variations de ψ′ sur ]0, π].

b) En deduire que la fonction ψ admet un maximum absolu M qu’elle atteint enun unique x0 de l’intervalle ]0, π].

c) Calculer ψ′(π

2

)et en deduire la position de

π

2par rapport a x0.

d) Calculer ψ(π

2

)et en deduire le signe de M .

3) A l’aide des questions precedentes, determiner le nombre de tangentes a Cf qui passentpar O.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le Jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Degager les outils et les methodes necessaires a la resolution de cet exercice.

Q.2) A l’aide de votre calculatrice, donner une valeur approchee des coordonnees des pointsou la tangente a la courbe Cf passe par O. Tracer Cf et les tangentes en question.

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :– Sa reponse a la question Q.1).

– Un ou deux enonces d’exercices se rapportant au theme « Fonctions ».

——————————

94

Sujet du 18 Juillet

Theme : IntegrationCalcul d’integrales par des methodes variees

1. L’exercice propose au candidat

1) Verifier que pour tout x reel :

ex

1 + ex= 1− 1

1 + ex

2) En deduire

∫ 1

0

dx

1 + ex.

3) Determiner

∫ 1

0

e2x

(1 + ex)dx et

∫ 1

0

e2x

(1 + ex)2dx.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Enoncer les resultats fondamentaux pour le calcul des integrales mis en jeu dansl’exercice precedent.

Q.2) Quelle reponse feriez-vous a un eleve qui vous demanderait comment calculer∫ 1

0

dx

(1 + ex)4?

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :– sa reponse a la question Q.2)– d’autres exercices sur le theme « Calculs d’integrales par des methodes

variees »

——————————

95

Sujet du 19 Juillet

Theme : Divers types de raisonnements(par l’absurde, par recurrence,...)

1. L’exercice propose au candidat

On se propose ici d’illustrer une figure du raisonnement mathematique : le raisonnementpar l’absurde.

On se donne une partie A de N∗, finie et non vide.

On suppose que pour tous elements m et n de A, l’entierm+ n

pgcd(m,n)est encore dans A.

1) Montrer que l’entier 2 est element de A.

2) Montrer que l’ensemble fini A ne contient que des entiers pairs.

3) Montrer que l’ensemble A se reduit au singleton 2.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera la question suivante :

Q.1) Degager les outils et methodes necessaires a la resolution de l’exercice.

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera au moins deux exercices illustrantle raisonnement par l’absurde, ou par contraposition, ou par « analyse-synthese ». A ceteffet, il puisera dans les domaines de la geometrie, de l’analyse, des probabilites...

——————————

96

Sujet du 20 Juillet

Theme : Problemes de constructionsConstructions utilisant des configurations connues

1. L’exercice propose au candidat

Soit (Γ) un cercle de centre O et [AB] une corde de (Γ). Soit M un point de (Γ), distinct

de A et de B. La bissectrice de AMB coupe (Γ) en U .

1) A l’aide d’un logiciel de geometrie dynamique, construire la figure. Quelle conjecturepeut-on faire sur le point U et sur le triangle AUB lorsque M decrit un arc de cercled’extremites A et B ?

2) Demontrer cette conjecture et preciser la position de U .

3) Soit (Γ) un cercle de centre O, [AB] une corde de (Γ) et N un point de ]AB[.

Construire un triangle ABC tel que C ∈ (Γ) et tel que la bissectrice de ACB passepar N .

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Presenter la figure realisee sur la calculatrice et l’animation permettant de mettre enevidence la conjecture.

Q.2) Degager les proprietes mises en jeu dans la resolution de l’exercice et indiquer a quelniveau on peut le proposer.

97

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

– Sa reponse a la question Q.1).– plusieurs enonces d’exercices, varies, de constructions de triangles verifiant des conditions

metriques ou geometriques.

——————————

Sujet du 21 Juillet

Theme : OutilsLe calcul vectoriel et la geometrie analytique

1. L’exercice propose au candidat

On considere dans le plan P rapporte a un repere orthonormal(O;

→ı ;→)

le cercle Γ de

centre O et de rayon 1.Soit A le point de coordonnees (1; 0) et soit A′ le point de coordonnees (−1; 0).

1) Pour tout point H du segment [AA′], distinct de A et A′, on mene la perpendiculaire

∆ a la droite (AA′). La droite ∆ coupe le cercle Γ en M et M ′. On pose−−→OH = x

→i .

Calculer, en fonction de x, l’aire du triangle AMM ′.

2) Soit f la fonction numerique definie sur [−1; 1] par f(x) = (1− x)√

1− x2.Dresser le tableau de variation de f .

3) Montrer que le triangle, AMM ′, d’aire maximale est equilateral.

2. Le travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Degager les methodes et les theoremes utilises dans cet exercice.

Q.2) Construire, a l’aide du module de geometrie d’une calculatrice, la figure proposee etconjecturer a l’aide de cette figure le resultat attendu.

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :

Deux exercices sur le theme : « Le calcul vectoriel et la geometrie analytique. »

——————————

98

Dossier N˚1, 29 juinArithmetique

(extraits de programmes : Terminale S, specialite)

La premiere question est une equation diophantienne classiquement etudiee en TerminaleS (specialite). La suite de l’exercice consiste a en rechercher les solutions positives.Les candidats ont ete genes par la formulation de la question Q.3), et plus de la moitied’entre eux ne l’ont en fait pas comprise.Pour la premiere question, il est trop frequent que les candidats s’abstiennent d’effectuerla preuve complete : comme ils ont procede par condition necessaire, on attend qu’ilss’inquietent aussi de savoir si la condition trouvee est suffisante.Pour l’algorithmique, c’est-a-dire pour la question Q.2), les candidats se sont souventlimites a programmer l’algorithme d’Euclide.Il etait tres rare que les candidats presentent des exercices necessitant l’utilisation d’unecalculatrice ; ceci n’etait pas explicitement demande.Enfin, ce dossier a ete juge tres discriminant et relativement difficile.

Dossier N˚2, 30 juinStatistiques

(extraits de programmes : 4e, 3e, 1e ES, 1e S)

L’exercice propose par le jury s’est revele long, notamment a cause du nombre de questionsposees. Par ailleurs, la nature du sujet laissait une large latitude d’initiative aux candidats(nature du travail demande, niveau auquel se placer), ce a quoi ils sont peu habitues. Dire,au vu de l’exemple suggere sur les cas de grippe, qu’il y en a beaucoup plus en hiver quedans les autres saisons ne semble pas, pour trop de candidats, avoir sa place dans une telleepreuve ; pourtant, le dossier est en coherence avec l’evolution actuelle des programmes(« lecture de l’information chiffree », voir classes de serie L entre autres).Le dossier a rempli son role et s’est revele discriminant.L’utilisation des calculatrices reste souvent insuffisamment maıtrisee, et a sans douteoccupe trop de temps de preparation pour de nombreux candidats.Le vocabulaire statistique elementaire (mediane, moyenne, etendue, quartile, ecart-type)est trop souvent meconnu voire inconnu de certains candidats.Les exercices presentes par les candidats n’ont pas toujours ete prepares en ce qui concerneleur resolution, et sont trop souvent demunis de presentation pedagogique.

Dossier N˚3, 1er juilletSuites

(extraits de programmes : 1e S, Terminale S)

La reponse a la premiere question (calcul de termes successifs a l’aide d’une calculatrice)pouvait etre realisee de maniere minimale (entree de valeurs particulieres des parametreset observations particulieres correspondantes) ou bien en utilisant les possibilites du calculformel. L’important pour le candidat etait de manifester des aptitudes a illustrer et aobserver le comportement des suites obtenues.Pour la question Q.2), beaucoup de candidats ont cherche a tort une suite constante, aulieu de chercher deux suites geometriques (de raison non necessairement nulle).Le theme est large, et il etait souhaite que les candidats proposent des exercices ne selimitant pas a des recurrences lineaires.

99

Dossier N˚4, 2 juilletOutils : les nombres complexes

(extraits de programmes : Terminale S)

L’impression generale est celle d’un dossier qui s’est revele difficile a traiter dans le tempsimparti. Il a ete percu comme long, et s’y ajoutait le travail demande sur la calculatrice.La consequence a ete que la partie « choix d’exercices »a ete particulierement negligee, lesexercices proposes n’etant pas assez travailles.Bien qu’une amelioration soit percue par rapport a l’annee derniere, l’usage de l’environ-nement geometrique des calculatrices reste encore trop souvent meconnu et l’animation apose beaucoup de problemes aux candidats.Le plus inquietant est la persistance des difficultes logiques rencontrees par les candidatsdans l’etablissement des equivalences que reclamait l’exercice.

Dossier N˚5, 3 juilletProblemes de calcul de grandeurs. Calculs de longueurs, d’aires et de

volumes(extraits de programmes : 4e, 3e, Seconde)

Malgre un nombre eleve de questions dans l’exercice propose par le jury (et de fait, peu decandidats ont traite la derniere question), ce dossier a bien rempli son role. Les candidatsn’ont pas ete deroutes par les calculs de longueurs. En revanche, la question Q.2) a rarementete traitee de maniere satisfaisante.Les exercices proposes par les candidats etaient divers ; certains candidats ont proposedes choix interessants et varies, d’autres proposaient des choix pauvres, souvent limites ala geometrie plane ; il n’etait pas explicitement demande que parmi les exercices, l’un aumoins concerne la geometrie a trois dimensions, mais l’absence totale etait necessairementun facteur limitant la richesse du choix du candidat.

Dossier N˚6, 4 juilletProblemes d’optimisation

(extraits de programmes : 1e S)

Le dossier s’est revele discriminant.Sur l’exercice propose par le jury, trop de candidats ont peine dans les calculs, et n’ont pasaborde la derniere question. La recherche de l’axe de symetrie est souvent maladroite. Lerapport entre la fonction et le probleme de maximisation n’est pas toujours percu.La question Q.2) du dossier appelait diverses reponses. Le candidat pouvait utiliser lespossibilites du calcul formel ; rares sont ceux qui se sont lances dans cette direction. Lavisualisation graphique etait aussi prevue, a l’aide du module de geometrie.

Dossier N˚7, 5 juilletTechniques de denombrement

(extraits de programmes : 1e STI, STL, SMS, Terminales STI, STL, SMS, S)

Sur l’exercice propose par le jury, le fait que le contenu soit « concret »a conduit certainscandidats a donner des solutions sans necessairement savoir comment justifier la validitede leur reponse. La difficulte de la question Q3) a ete assez generalement jugee excessivepar les commissions, ce qui est un peu surprenant, s’agissant d’un probleme extremementclassique de combinatoire.Les exposes des candidats ont ete souvent assez pauvres et courts, de sorte que l’impressionetait celle d’un sujet peu discriminant. Mais cette impression ne concorde pas avec l’analyse

100

statistique des notes recues par l’ensemble des candidats ayant compose ce jour. En effet,la dispersion de leurs notes est tout a fait dans la normale des dispersions observees lesautres jours.Certains candidats maıtrisant insuffisamment les concepts ou les connaissances fondamen-tales essayent de faire intervenir les probabilites, mais dans la confusion.Les exercices proposes par les candidats sont tres inegaux, et il est trop frequent de voirechouer la resolution.Pour ce dossier particulier, vu les reactions rencontrees, voici une proposition pour lasolution complete de l’exercice propose par le jury.

1 : A tout chemin possible on peut associer la succession des choix que l’on fait a chaqueintersection rencontree. Ces choix peuvent etre codes par « E »(est) et « N »(nord), cesdeux directions etant les seules repondant aux conditions proposees. Le chemin dessinedevient par exemple : « ENNNNEENEENENNE ». Il est evident que, vice-versa, la donneede cette suite permet de connaıtre sans ambiguıte le chemin correspondant puisqu’a chaqueintersection, on saura ou se diriger. 2 : Les chemins ayant les points de depart et d’arriveedonnes ont tous en commun qu’il faut aller 8 fois vers le nord et 7 fois vers l’est. Dans lecodage, on trouvera donc necessairement sept fois « E »et 8 fois « N ». Donc tout codageest une suite de quinze symboles composee de 7 « E »et « N ». Vice-versa, a toute suitede quinze symboles composee de 7 « E »et 8 « N »correspond un unique chemin possible.Il apparaıt ici en fait une bijection entre l’ensemble des chemins et l’ensemble des suitesde 15 caracteres dont 7 « E »et 8 « N ».

Le nombre des solutions est alors :

(157

)=

(158

)= 6435

3 : A chaque chemin on peut associer la longueur des parcours que l’on fait vers le norddans chacune des avenues (orientees nord-sud) que l’on rencontre ou croise. Il y a 8 avenuespossibles, visibles sur le dessin (les 7 pates de maison separent ces 8 avenues), ce quidonnera, quel que soit le chemin, une suite de huit entiers naturels. Ainsi au chemin donneen exemple on peut associer la suite ; a partir de ce nouveau codage, on retrouvera l’anciencodage, ou directement le chemin comme suit :– placer 0 « N »avant le premier « E », c’est-a-dire emprunter la 1e avenue rencontree sur

0 pates, donc prendre la rue vers l’est jusqu’a l’avenue suivante ;– placer 4 « N »entre le premier « E »et le second, c’est-a-dire emprunter la deuxieme

avenue sur 4 pates exactement vers le nord, puis prendre la rue atteinte vers l’est jusqu’al’avenue suivante ;

– placer 0 « N »entre le second « E »et le troisieme, c’est-a-dire emprunter la troisiemeavenue rencontree sur 0 pate, et prendre la rue vers l’est jusqu’a l’avenue suivante ;

– placer 1 « N »entre le troisieme ” E ” et le quatrieme, etc.Ces instructions determinent le chemin (ou la suite associee) de maniere non ambigue,puisque l’on sait pour chaque avenue rencontree ce que l’on doit faire.Les huit entiers naturels formant la suite ont obligatoirement pour somme 8, pour que lepoint d’arrivee soit bien celui demande.On trouve ici une bijection entre l’ensemble des suites de huit entiers naturels de somme8 et celui des chemins. Le nombre cherche est donc le nombre de suites de huit entiersnaturels de somme huit, cqfd.

Dossier N˚8, 6 juilletEquations, inequations du premier et du second degre a une inconnue ou

pouvant s’y ramener(extraits de programmes : 5e, 4e, 3e, Seconde, 1e S)

101

Comprehension de l’exercice du jury : Les candidats ont eu des difficultes a situer leniveau ou cet enonce peut etre propose, certains y ont vu la resolution d’une equationdiophantienne ; pour la plupart, ils ont effectue une mise en equation a deux inconnues etse sont concentres sur la resolution du systeme.Difficultes d’ordre pedagogique : Les questions sur la progression suivie en college et

au lycee dans le domaine relatif au dossier ne trouvent guere de reponses claires, et lescandidats evaluent difficilement l’interet pedagogique de l’exercice propose en fonction duniveau envisage. Difficultes d’ordre mathematique : Les confusions et les lacunes remontentsouvent a la logique elementaire (statut d’une egalite, equivalence de systemes, nature del’ensemble auquel on s’interesse). Les candidats peinaient a trouver un statut pour ladeuxieme equation redondante.Exercices proposes par les candidats : Certains ne comportent aucune mise en equations,d’autres sont des « clones »de l’exercice du jury. On a quand meme vu des exercices avecsupport geometrique, ou conduisant a une resolution graphique, ce qui etait apprecie.

Dossier N˚9, 7 juilletProblemes de construction

Constructions a l’aide de transformations (extraits de programmes : Seconde, 1e S,Terminale S)

On attendait des candidats qu’ils sachent presenter un raisonnement par analyse etsynthese, tout en mettant en evidence les transformations utilisees.La synthese est souvent omise, que ce soit dans la resolution de l’exercice du jury ou danscelle des exercices proposes par le candidat.La question 1b) de l’exercice du jury est souvent etablie a partir d’un long raisonnementsur des triangles isometriques alors que l’utilisation d’une reflexion etait beaucoup plusclaire et simple.On regrette la faible utilisation des possibilites d’animation des figures.Parmi les exercices proposes par les candidats, on rencontre trop souvent une mauvaiseinterpretation du theme, car ils s’arretent au mot transformation sans proposer de reelprobleme de construction.

Dossier N˚10, 8 juilletOutils. Le calcul vectoriel et la geometrie analytique

(extraits de programmes : 1e S, Terminale S)

Ce dossier, bien que l’exercice propose par le jury comportat une etude de fonctionnumerique (au demeurant assez simple), n’etait pas un dossier d’analyse. Autrement dit,l’etude de la fonction en question 2) n’etait qu’un « a cote », les points centraux etantla maniere de calculer les coordonnees des points M et M ′, l’aire du triangle, ainsi quel’identification d’un triangle equilateral.L’exercice s’est revele assez facile, et presque tous les candidats savaient le resoudre.L’utilisation de la calculatrice a ete globalement maıtrisee par une grande partie.Les exercices proposes par les candidats ont ete d’un interet tres variable, et ne cadraientpas toujours bien avec l’intitule du theme.

Dossier N˚11, 12 juilletOutils. Le calcul vectoriel et la geometrie analytique

(extraits de programmes : 1e S, Terminale S)

Ce dossier s’est revele tres ouvert, et la qualite des propositions d’exercices effectuees parles candidats etait tres variable, ce qui constituait un bon item d’evaluation.

102

Sur l’exercice du jury, on remarque que l’ensemble de la question 3) est tres discriminant ;nombreux sont les candidats qui n’abordent pas cette question de maniere geometrique,et se contentent de poser le systeme des deux equations (plan et sphere), ce qui ne peurpermet pas de trouver la solution. Ceci est a relier avec les observations selon lesquellestrop de candidats n’ont meme pas tente de realiser une figure.

Dossier N˚12, 13 juilletProbabilites conditionnelles

(extraits de programmes : 1e S, Terminales ES et S)

Le manque de variete des exercices proposes par les candidats a ete particulierementremarque a l’occasion de ce dossier : l’etude de la fiabilite d’un test de depistage d’unemaladie apparaissait avec une frequence impressionnante.L’exercice propose par le jury a ete assez diversement traite, et il s’est revele en faitfortement discriminant.La question portant sur la generalisation a un polygone a permis - les concepteurs dudossier ne l’avaient en aucun cas fait expres - la confusion entre le 4 de la formule dela derniere question de l’exercice et le 4 comme nombre de sommets du carre, de sorteque beaucoup de candidats, qui n’avaient pas correctement aborde cette question, se sontcontentes de remplacer 4 par k. . .La deuxieme question appelait evidemment une resolution utilisant l’argument du rolesymetrique joue par les quatre sommets (toute autre methode serait beaucoup plus longue,et passerait vraisemblablement par le resultat de la question suivante). Ceci s’est reveledifficile pour les candidats. Il n’etait pas necessaire de fournir de maniere particulierementformalisee la preuve de cette symetrie ; neanmoins une demonstration de l’egalite desquatre nombres pouvait etre etablie par recurrence en restant strictement dans le cadredes programmes.

Dossier N˚13, 14 juilletOutils : les barycentres

(extraits de programmes : 1e S, Terminale S)

La question Q.2), de caractere plus didactique, a ete tres peu abordee par les candidats.S’agissant de la resolution de l’exercice propose par le jury, elle est reussie par peu decandidats.Bien que les candidats connaissent et enoncent generalement les proprietes classiques ducalcul barycentrique, ils ne sont en majorite pas capables d’appliquer ces proprietes a laresolution de l’exercice propose. En particulier, l’associativite, souvent presentee commegeneralite, n’est que rarement utilisee pour tenter de resoudre la question 2) de l’exercice dujury. Les candidats preferent une approche vectorielle, et tentent plus ou moins adroitementd’obtenir les reponses grace a la relation de Chasles, ce qui les mene a des calculs lourdset qui n’aboutissent pas souvent.Dans l’ensemble, ce sujet est apparu particulierement difficile pour les candidats.

Dossier N˚14, 15 juilletProblemes de constructions

(extraits de programmes : 1e S, Terminale S)

L’impression d’ensemble est nettement pessimiste.L’exercice propose par le jury reposait sur une methode tres claire d’analyse et synthese,et etait absolument depourvu de pieges caches. L’outil a utiliser, si l’on supposait laconstruction realisee, etait une similitude. Or les extraits de programmes fournis avec

103

le dossier etaient non ambigus a ce sujet. Pourtant les candidats, dans leur tres grandemajorite, n’arrivaient pas d’eux-memes a fournir une solution.La question relative a la calculatrice a ete souvent abordee, mais avec des resultats assezdisparates.Les difficultes rencontrees par les candidats sur l’exercice du jury ont contribue a unefaiblesse notable de leurs propositions, malgre les avertissements qui sont donnes a touslors de l’accueil.

Dossier N˚15, 16 juillet La proportionnalite (extraits de programmes : 6e, 5e,4e, 3e)

Ce dossier a ete moins discriminant que la moyenne des autres. L’originalite de lapresentation de l’exercice du jury a permis a certains candidats d’aborder l’aspect histo-rique des mathematiques ; mais cela a aussi ete source de difficultes pour certains candidatsmaıtrisant insuffisamment notre langue.Le theme est une partie fondamentale des programmes de college, et a ce titre il sejustifie pleinement en tant que sujet de dossier. Du point de vue du contenu strictementmathematique, la pauvrete n’est qu’apparente, quand on constate que, d’une part, larelation liant la methode de la fausse position a la linearite n’est le plus souvent apparueaux candidats que pendant l’interrogation, et d’autre part, la question « l’assertiona

b=c

d⇒ a

c=b

d=a+ b

c+ dest-elle vraie ? »a particulierement deroute les candidats.

S’il est vrai que ce dossier jouait sur une partie limitee des connaissances des candidats, ilmontre toute l’importance qu’il faut apporter a l’etude de ce theme. Les exercices proposespar les candidats ont ete nombreux, mais trop souvent hors sujet ; il convenait aussi de selimiter au niveau du college.

Dossier N˚16, 17 juilletFonctions. Etude du comportement local(extraits de programmes : 1e S, Terminale S)

Le sujet, assez classique, contenait un exercice accessible aux candidats, qui ont dansl’ensemble reussi a effectuer les calculs demandes. Mais ils ont souvent eprouve desdifficultes a enoncer de maniere claire et rigoureuse les proprietes et theoremes utilises, qu’ils’agisse du theoreme des valeurs intermediaires ou du corollaire cite dans le programme determinale S (cas d’une fonction strictement monotone). Sur la question Q1), les candidatspresentent le plus frequemment des outils, sans etudier les methodes.La manipulation de la calculatrice etait dans l’ensemble assez satisfaisante ; cependanton en est reste le plus souvent a l’illustration des resultats par ailleurs trouves, et non al’utilisation pour emettre des conjectures.Le theme propose, version large (« les fonctions ») laissait une grande liberte de choix auxcandidats, et allait bien au-dela de l’etude des comportements locaux. Cela ne les a malgretout pas conduits, dans l’ensemble, a utiliser toute l’amplitude du theme, et leurs choixont souvent ete juges peu varies.

Dossier N˚17, 18 juilletIntegration. Calcul d’integrales par des methodes variees

(extraits de programmes : Terminale S)

Tres peu de candidats arrivent a proposer une resolution de la question Q2) par desmethodes accessibles a des eleves de terminale. De facon generale, les candidats n’ont pas

104

prete assez attention aux extraits de programmes, et ils proposent des exercices utilisantexplicitement la technique du changement de variables.Le calcul integral, pour les candidats se resume trop souvent au calcul de primitives,malgre les presentations qui en sont donnees actuellement en terminale S, et l’existence del’integrale presuppose generalement la continuite de la fonction, de sorte que le calcul del’integrale de la fonction entiere, par exemple, semble impossible.

Dossier N˚18, 19 juilletDivers types de raisonnement (par l’absurde, par recurrence . . .)

(extraits de programmes : 1e S, Terminale S)

Pour ce dossier, nous proposons d’abord une solution de l’exercice du jury.

(1) L’ensemble n’etant pas vide, on applique la proposition au couple (a, a) ou a est elementde A . Cela donne 2 ∈ A.(2) Supposons que A contient un entier impair. En tant que partie finie non vide del’ensemble des entiers naturels, la partie formee des elements impairs de A possede unplus grand element n = 2k + 1. L’application de la proposition au couple (n, 2) donne2k + 3 ∈ A puisque (n, 2) sont premiers entre eux. Ceci contredit le fait que n soit le plusgrand element de A . (3) Supposons que A contient un entier autre que 2. En tant quepartie finie non vide de l’ensemble des entiers naturels, la partie formee des elements de Aautres que 2 possede un plus petit element, qui sera pair d’apres le resultat de la question(2). Soit a = 2b cet entier. L’application de la proposition au couple (a, 2) donne b + 1puisque le plus grand commun diviseur de (a, 2) est 2. On a necessairement a > 4 , d’oub > 2 ce qui implique b+ 1 < 2b = a . Ceci contredit l’hypothese selon laquelle a = 2b estle plus petit element de A autre que 2.

Le sujet a ete recu avec un grand interet par l’ensemble du jury. La question 3 del’exercice du jury n’a ete que rarement resolue par les candidats. La confusion entrenegation et contraposee reste tres repandue. Les raisonnements par recurrence ont etepreferes aux arguments par maximalite/minimalite, pourtant plus adaptes a cet exercice.La meconnaissance de la logique elementaire est egalement souvent relevee.Les exercices proposes par les candidats sont souvent non pertinents, ou bien se reduisent ades applications extremement simples du cours. Dans l’ensemble, les reactions des candidatsont ete tres « normales », ainsi que l’evaluation par le jury, alors que les auteurs du dossiercraignaient que celui-ci paraisse anormalement difficile, ce qui n’a pas ete le cas.

Dossier N˚19, 20 juilletProblemes de constructions

(extraits de programmes : 5e, 4e, 3e, Seconde)

L’exercice propose par le jury se situait deliberement a un niveau de college ou de seconde ;il s’appuyait essentiellement sur le theoreme dit de l’angle inscrit. La redaction de la reponsea la question Q1) pouvait se limiter a l’observation de l’invariance du point U d’intersectionlorsque l’on deplace le point M, la conjecture etant donc que ce point est fixe. Malgre le lienetroit de cet exercice avec un theoreme fondamental, beaucoup de candidats echouaient ale resoudre par eux-memes. En revanche, la maıtrise du logiciel de geometrie dynamiqueetait dans l’ensemble assez bonne.Les exercices proposes par les candidats etaient trop souvent mal choisis, l’instruc-tion « exercices [..] de construction de triangles verifiant des conditions metriques ougeometriques »n’ayant pas apparemment ete bien prise en compte.

105

Dossier N˚20, 21 juilletEquations differentielles

(extraits de programmes : 1e STI, Terminales STI et S)

La question Q.2) conduisait a l’emploi de la methode d’Euler, seule methode d’approxima-tion des solutions d’une equation differentielle mentionnee dans les programmes, et doncseule a pouvoir etre utilisee dans ce cadre. Les extraits de programmes adjoints au dossieretaient particulierement precis a ce sujet.Les candidats qui avaient resolu correctement le probleme pose n’ont pas toujours comprisce qui etait attendu dans cette question, et se contentaient de proposer un trace graphiquesimple de la solution trouvee. Souvent, en fait, ils ignoraient ce qu’est la methoded’approximation d’Euler.

106

107

IV. CONCLUSION Le travail d’un jury de concours tel que celui-ci a des répercussions importantes et durables si l’on considère qu’il s’agit de recruter les futurs enseignants de collège et de lycée. A côté d’autres voies d’accès adaptées aux personnels déjà en situation d’enseignant, mais d’importance numérique moindre, le concours externe « donne le ton » pour les jeunes étudiants en ce qui concerne les exigences attendues en matière de recrutement. La situation actuelle en matière de ratio candidats/postes permettait tout à la fois de maintenir un niveau d’exigence raisonnable et de pourvoir tous les postes. En ce sens elle est satisfaisante. Il n’en reste pas moins que d’importantes inquiétudes se font jour ; les effectifs présents en licence de mathématiques sont souvent fortement orientés à la baisse, et en revanche, les prochaines années verront de nombreuses fins de carrière chez les enseignants. Il n’est pas dans les missions d’un président de jury d’étudier, et de confirmer ou d’infirmer ces prévisions. Il lui est toutefois permis de s’inquiéter du fait que, comme il est dit plus haut, pour attirer de nouveaux candidats, il semble bien qu’il faille plusieurs années. Les effectifs de candidats paraissent en effet suivre l’évolution du nombre des postes, mais avec environ quatre années de retard. Aussi doit-on attirer l’attention sur le fait que le calcul du nombre de postes offerts doit prendre en compte cette réactivité non immédiate du public, sinon on risque de perpétuer voir d’aggraver les distorsions de la pyramide des âges dans le corps enseignant, distorsions fâcheuses à tous points de vue, depuis la bonne prise en compte de la formation continue (la situation qui prévaut depuis un certain temps, avec une grande masse de professeurs en fin de carrière, n’est pas favorable à une prise en compte aisée des évolutions nécessaires) jusqu’aux inégalités en qualité de recrutement qui en résultent (un ratio trop faible candidats/postes ne peut qu’induire un recrutement de qualité moindre, et à l’inverse un ratio trop élevé laisse perdre des vocations de qualité). L’introduction des TICE dans un concours de cette taille se heurte à de nombreux obstacles, qui n’ont pas permis la mise en œuvre d’une épreuve sur ordinateur. Pour y suppléer en partie, l’utilisation pendant les épreuves orales de calculatrices performantes a été fortement encouragée ces dernières années. La rénovation des matériels est devenue effective et à peu près continue depuis l’introduction de prêts gracieux par les constructeurs. L’introduction de tablettes de rétroprojection a suivi. Le nombre des sujets de première épreuve pour lesquels l’utilisation d’une calculatrice est encouragé ou imposé s’est accru, et en réponse, le taux d’utilisation par les candidats augmente de manière significative. Concernant l’épreuve sur dossier, le fait que l’utilisation des calculatrices y est rendue explicite pour une partie d’entre eux, jointe au fait que le candidat se voit proposer un dossier unique, a considérablement renforcé la place des TICE. L’évolution des sujets doit suivre celle des programmes ; cependant, le choix proposé aux candidats a pour effet un délaissement de certaines parties des programmes « mal-aimées » par les candidats voire par les formateurs. Ceci contredit une évolution raisonnablement rapide des sujets réellement traités (et donc préparés) par les candidats. Pour être en mesure de piloter avec efficacité ces évolutions nécessaires, il faut se séparer de tel ou tel sujet qui, bien qu’indiscutablement intéressant sur le plan de la discipline, a perdu son importance dans les programmes de l’enseignement secondaire, et introduire sans délai les innovations. La suppression du choix laissé aux candidats lors de la seconde épreuve visait à faciliter ces transformations en continu.

108

Je tiens à remercier tous les membres du jury pour leur disponibilité et pour la motivation dont ils ont fait preuve afin de réussir une session satisfaisante à tous points de vue. Je tiens également à remercier aussi tous nos partenaires, les éditeurs qui ont donné des manuels, les constructeurs de calculatrices Texas Instruments et Casio qui ont prêté du matériel, je salue le retour de la firme Hewlett-Packard, prévu pour l’an prochain, les universités qui ont prêté des livres, M. le Proviseur du Lycée Lakanal et toute son équipe, qui nous accueille, le SIEC qui nous prête des rétroprojecteurs, pour leur efficacité et leur soutien.

V. ANNEXES

5.1 Bibliothèque du C.A.P.E.S. 5.1.1 Programmes (documents disponibles dans les salles de préparation, utilisables pour les

deux épreuves orales) B.O. hors série n°2 du 30/08/01 : Programme de seconde générale et technologique. B.O. hors série n°8 du 31/08/00 : Programme de Première ES. B.O. hors série n°7 du 31/08/00 : Programme de mathématiques-informatique, Première L. B.O. hors série n°3 du 31/08/01 : Programme pour l'option facultative, Première L. B.O. hors série n°7 du 31/08/00 : Programme de Première S. B.O. spécial 2 du 02/05/91 : Programme de 1ère SMS, STI (sauf spécialités "Arts appliqués" et "Génie

optique") et STL. B.O. hors série n°8 du 02/10/97 : Programme de 1ère STI spécialités "Arts appliqués" et "Génie

optique". B.O. hors série du 24/09/92 : Programme de 1ère STT (tome III, brochure 1). B.O. hors série n°4 du 30/08/01 : Programme de Terminale ES. B.O. hors série n°3 du 30/08/01 : Programme pour l'option facultative de Terminale L. B.O. hors série n°4 du 30/08/01 : Programme de Terminale SMS, STI, STL et STT. B.O. spécial n°8 du 07/07/94 : Programme de Terminale STI (sauf spécialités "Arts appliqués" et

"Génie optique"). B.O. hors série n°8 du 02/10/97 : Programme de Terminale STI spécialités "Art appliqués" et "Génie

optique". B.O.E.N. spécial n°8 du 07/07/94 : Programme de Terminale SMS. 5.1.2 Ouvrages disponibles (seulement pour l’épreuve sur dossier)

Ouvrages généraux NIVEAU SERIE TITRE REM AUTEURS ANNEE EDITEUR

COL ENSEIGNER LA GEOMETRIE COUSIN-FAUCONNET

1995 ARMAND COLIN

COL LE CALCUL LITTERAL 1999 IREM COL PETIT X N°44 1996 IREM COL PETIT X N°4 1984 IREM COL GESTION DE DONNEES ET STAT 1997 IREM COL PETIT X N°40 1995 IREM COL DES CHIFFRES ET DES LETTRES 1991 IREM COL AUTOUR DE THALES 1995 IREM LYC ENSEIGNER LA GEOMETRIE DANS

L'ESPACE N°99 1995 APMEP

LYC L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES

ROBERT,LATTUATI,PENNINCKX

1999 ELLIPSES

LYC GEOMETRIE GAUTIER,COLOMB…

1999 ELLIPSES

LYC MATHS ET SCIENCES ECO ET SOCIALES

1996 IREM

LYC POUR UNE PRISE EN COMPTE DES CALCULATRICES SYMBOLIQUES EN 1998 IREM

109

ANALYSE LYC FAIRE DES MATHS AVEC DES

CALCULATRICES SYMBOLIQUES TROUCHE 1998 IREM

LYC LA GEOMETRIE PLANE 1989 IREM LYC MATHS ET FILIERE ECO ET SOCIALE 1996 IREM LYC AIMER FAIRE DES MATHS 3 1996 IREM LYC AIMER FAIRE DES MATHS 4 1997 IREM LYC AIMER FAIRE DES MATHS 5 1998 IREM GEN SHAUM THEORIE ET APPLICATIONS DE LA

STATISTIQUE MURRAY R.SPIEGEL

1972 MC GRAW-HILL

GEN LE NOMBRE PI ADCS 1992 ACDS GEN HISTOIRE D'ALGORITHMES:DU

CAILLOU A LA PUCE CHABERT,BARBIN…

1993 BELIN

GEN ENSEIGNER LES MATHEMATIQUES 1989 CRDP GEN COURS DE CALCUL DES

PROBABILITES CALOT 1967 DUNOD

GEN STATISTIQUE DESCRIPTIVE-TD (APPLICATIONS EXCEL)

MONINO,KSIANSKI,LE CORNU

2000 DUNOD

GEN EXERCICES DE CALCUL DES PROBABILITES

CALOT 1986 DUNOD

GEN LES OLYMPIADES DE MATHEMATIQUES:REFLEXES ET STRATEGIES

BELHAJ SOULAMI 1999 ELLIPSES

GEN GEOMETRIE CARRAL 1995 ELLIPSESGEN TOPOLOGIE GENERALE ET ANALYSE

FONCTIONNELLE SCHWARTZ 1970 HERMAN

N GEN METHODES MATHS POUR LES

SCIENCES PHYSIQUES SCHWARTZ 1965 HERMAN

N GEN GROUPES ET GEOMETRIES SENECHAL 1979 HERMAN

N GEN METHODES MODERNES EN

GEOMETRIE FRESNEL 1996 HERMAN

N GEN APPROXIMATION ET OPTIMISATION LAURENT 1972 HERMAN

N GEN LA GEOMETRIE DU TRIANGLE SORTAIS 1994 HERMAN

N GEN ABREGE D'HISTOIRE DES

MATHEMATIQUES DIEUDONNE 1986 HERMAN

N GEN CALCUL INFINITESIMAL DIEUDONNE 1980 HERMAN

N GEN GEOMETRIE DE L'ESPACE ET DU PLAN SORTAIS 1988 HERMAN

N GEN AUX ORIGINES DU CALCUL

INFINITESIMAL CERCLE D'HISTOIRE DES SCIENCES

1999 IREM

GEN POURQUOI PAS DES MATHEMATIQUES

2000 IREM

GEN ENSEIGNER LES MATHEMATIQUES 1 1999 IREM GEN PROBLEME DE MISE EN EQUATIONS 1996 IREM GEN DES STATISTIQUES A LA PENSEE

STATISTIQUE 2001 IREM

GEN ANGLES ROTATIONS 1993 IREM GEN APPORTS DE L'OUTIL INFO…A LA

GEOMETRIE 1994 IREM

GEN LE VRAI ET LE FAUX GANDIT 2001 IREM GEN ALGORITHMIQUE &TRADUCTION

POUR CALCULATRICES DE GRAEVE 2001 IREM

GEN RALLYE:PRÊT A AFFRONTER L'EPREUVE DE MATH

1998 IREM

GEN HISTOIRE DES MATHS POUR NOS CLASSES

1991 IREM

GEN INITIATION A LA CRYPTOLOGIE COHEN,OLIVIER 2000 IREM GEN LA JUBILATION EN MATHS DELEDICQ 2001 IREM GEN POURQUOI AIMER ENCORE FAIRE

DES MATHS 1994 IREM

GEN FRAGMENTS D'ARITHMETIQUE 1999 IREM GEN UNE HISTOIRE DE CONIQUES 1996 IREM GEN ENSEIGNER LES MATHEMATIQUES 2 1999 IREM GEN SIMILITUDES 1999 IREM GEN INITIATION A L'ARITHMETIQUE 1999 IREM GEN MATHS:APPROCHE PAR DES TEXTES

HISTORIQUES TOME 2 1990 IREM

GEN INFO-MATHIC:ACTIVITES MATHS DANS UN ENVIRONNEMENT INFORMATIQUE

1998 IREM

GEN MATHS:APPROCHE PAR DES TEXTES 1986 IREM

110

HISTORIQUES GEN MATHS:APPROCHE PAR DES TEXTES

HISTORIQUES TOME 3 2001 IREM

GEN AIMER ENCORE FAIRE DES MATHS 2 1995 IREM GEN EXERCICES DE GEOMETRIE

ELELMENTAIRE TRUFFAULT 1996 IREM

GEN AIRES 2000 IREM GEN LES CONIQUES 1997 IREM GEN COURS DE GEOMETRIE ELEMENTAIRE TRUFFAULT,VOGE

L 1995 IREM

GEN ENSEIGNER L'ARITHMETIQUE 2000 IREM GEN LA RECURSIVITE EN GEOMETRIE:LES

FRACTALS CUPPENS 1986 IREM

GEN MATHEMATIQUES AU FIL DES AGES GROUPE EPISTEMOLOGIE ET HISTOIRE

1987 IREM

GEN METHODES DE MATHS ET PROGRAMMATION

NIZARD 1988 LAVOISIER TEC &DOC

GEN ELEMENTS D'HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

BOURBAKI 1984 MASSON

GEN METHODES NUMERIQUES BAKHVALOV 1976 MIR MOSCOU

GEN RECUEIL D'EXERCICES ET DE PROBLEMES D'ANALYSE MATHEMATIQUES

DEMIDOVITCH 1965 MIR MOSCOU

GEN EPISTEMOLOGIE DES MATHEMATIQUES

CLERO 1990 NATHAN

GEN PROBABILITES ET INFERENCE STATISTIQUE

ABBOUD,AUDROING

1989 NATHAN

GEN DICTIONNAIRE DES MATHEMATIQUES BOUVIER,GEORGE,LE LIONNAIS

1996 PUF

GEN SUITES ET SERIES COMBES 1982 PUF GEN ALGEBRE LINEAIRE ET APPLICATIONS

TOME 1 MASCART,STOKA 1984 PUF

GEN ALGEBRE LINEAIRE ET APPLICATIONS TOME 2

MASCART,STOKA 1985 PUF

GEN LE CALENDRIER COUDERC 1986 QUE SAIS-JE?

GEN LES NOMBRES ET LEURS MYSTERES WARUSFEL 1961 SEUIL GEN STATISTIQUE ET CALCUL DES

PROBABILITES MASIERI 1988 SIREY

GEN LE CERCLE D'EULER COLLET,GRISO 1987 VUIBERT GEN DICTIONNAIRE DES MATHEMATIQUES BOUVIER GEORGE

LE LIONNAIS 1996 PUF

GEN ENSEIGNER LES STATS DU CM A LA SECONDE.POURQUOI?COMMENT?

1998 IREM

Ouvrages d’enseignement supérieur

SUP 1erCYC

LE LES MATHEMATIQUES DE A A Z LARROCHE,LAURENT 2002 DUNOD

SUP 1erCYCLE

LES SERIES DELMER 1995 DUNOD

SUP 2ème ANNEE

BEST OF MATHEMATIQUES:LES MEILLEURS SUJETS DE CONCOURS

BOUTILLON 2000 DUNOD

SUP 2ème CYCLE

CALCUL DIFFERENTIEL ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES

AZE,CONSTANS,HIRIART-URRUTY

2002 DUNOD

SUP 2ème CYCLE

THEORIE DES GROUPES DELCOURT 2001 DUNOD

SUP 2ème CYCLE

INTRODUCTION A LA LOGIQUE DAVID,NOUR,RAFFALLI 2001 DUNOD

SUP 2ème CYCLE,AGREG,

EI

ANALYSE NUMERIQUE HERON,PICARD,ISSARD-ROCH

1999 DUNOD

SUP 2ème CYCLE,AGREG,

EI

PROCESSUS STOCHASTIQUES:PROCESSUSDE POISSON,CHAINES DE MARKOV ET MARTINGALES

FOATA,FUCHS 2002 DUNOD

SUP 2ème CYCLE,

EI

CALCUL DIFFERENTIEL POUR LA LICENCE

DONATO 2000 DUNOD

SUP 2ème CYCLE,

EI

CALCUL SCIENTIFIQUE SAINSAULIEU 2000 DUNOD

SUP 2ème ANALYSE NUMERIQUE ET EQUATIONS AUX NICAISE 2000 DUNOD

111

CYCLE,EI

DERIVEES PARTIELLES

SUP 2èmeCYCLE

STATISTIQUE INFERENTIELLE FOURDRINIER 2002 DUNOD

SUP 2èmeCYCLE

ELEMENTS D'INTEGRATION ET D'ANALYSE FONCTIONNELLE

EL KACIMI ALAOUI 1999 ELLIPSES

SUP 2èmeCYCLE,EI,AGREG

ANALYSE ET GEOMETRIE:METHODES HILBERTIENNES

ROOS 2002 DUNOD

SUP AGREG COURS D'ANALYSE:ANALYSE REELLE ET INTEGRATION

DOUKHAN,SIFRE 2001 DUNOD

SUP AGREG COURS D'ALGEBRE TAUVEL 1999 DUNOD SUP AGREG TOPOLOGIE ET ANALYSE

FONCTIONNELLE GONNORD,TOSEL 1996 ELLIPSES

SUP AGREG LECONS D'ALGEBRE(PREPARATION A L'ORAL)

MADERE 1998 ELLIPSES

SUP AGREG CALCUL DIFFERENTIEL(THEMES D'ANALYSE)

GONNORD,TOSEL 1998 ELLIPSES

SUP AGREG COURS D'ALGEBRE PERRIN 1996 ELLIPSESSUP AGREG MODELISATION A L'ORAL DE

L'AGREG:CALCUL SCIENTIFIQUE DUMAS 1999 ELLIPSES

SUP AGREG THEMES D'ANALYSE EXBRAYAT,ALESSANDRI 1997 MASSON SUP AGREG ALGEBRE POUR L'AGREGATION

INTERNE TAUVEL 1996 MASSON

SUP AGREG ELEMENTS D'ANALYSE ZUILY,QUEFFELEC 1995 MASSON SUP ANNEE

S1&2 MATHEMATICA COOMBES ET AL. 2000 DUNOD

SUP ANNEES1&2

SYSTEME D - ANALYSE SOROSINA 1999 DUNOD

SUP CAPES EPREUVE ORALE D'EXPOSE:33 LECONS POUR SE PREPARER EFFICACEMENT

BAJOU,SAINT-LANNES,SORBE

2003 DUNOD

SUP CAPES GEOMETRIE AFFINE ET EUCLIDIENNE

DELODE 2000 DUNOD

SUP CAPES ANALYSE ET PROBAS:ECRITS 1996-97(avec rappels de cours)

CHRISTOL,DECOMPS-GUILLOUX,PIQUET

1999 DUNOD

SUP CAPES ALGEBRE ET GEOMETRIE:ECRITS 1996-99(avec rappels de cours)

BORIES-LONGUET,JARRAUD

1999 DUNOD

SUP CAPES NOS 20 SUJETS PREFERES BORIS-LONGUET,DECOMPS-GUILLOUX,JARRAUD,MELEARD,PIQUET

2000 DUNOD

SUP CAPES L'EPREUVE SUR DOSSIER A L'ORAL:GEOMETRIE

ROBERT 1995 ELLIPSES

SUP CAPES L'EPREUVE SUR DOSSIER A L'ORAL:ANALYSE

LAMBRE 1998 ELLIPSES

SUP CAPES ALGEBRE ET GEOMETRIE:ECRITS 1991-96(avec rappels de cours)

BORIES-LONGUET,JARRAUD,LEVY-BRUHL

1997 MASSON

SUP CAPES ANALYSE ET PROBAS:ECRITS 1991-96(avec rappels de cours)

MELEARD,PIQUET,DECOMPS-GUILLOUX

1997 MASSON

SUP CAPES ANALYSE(avec rappels de cours) LEVY-BRUHL,PIQUET,SERVIEN,VAUTHIER

1987 MASSON

SUP CAPES ALGEBRE ET GEOMETRIE LEVY-BRUHL,PIQUET,SERVIEN,VAUTHIER

1987 MASSON

SUP CAPES 34 PB CORRIGES POSES A L'ECRIT DU CAPES

CHEVALLET 1999 VUIBERT SUP

SUP CAPES &

AGREG

STRUCTURES ALGEBRIQUES EN GEOMETRIE

AIME 1999 ELLIPSES

SUP CAPES &

AGREG

GEOMETRIE:COURS ET EXERCICES CORRIGES

BIGARD 1998 MASSON

SUP CAPES &

AGREG

ALGEBRE LINEAIRE(COURS ET EXERCICES)

ROUDIER 2003 VUIBERT

SUP CAPES &

AGREG INTERN

E

COMPLEMENTS D'ALGEBRE ET DE GEOMETRIE

DE BIASI 2000 ELLIPSES

SUP CAPES &

AGREG INTERN

E

MATHEMATIQUES POUR LE CAPES ET L'AGREG INTERNE

DE BIASI 1998 ELLIPSES

SUP CAPES MATHEMATIQUES POUR LE CAPES DE BIASI 1995 ELLIPSES

112

&AGREG

INTERNE

ET L'AGREG INTERNE

SUP CNAM INITIATION A L'ANALYSE NUMERIQUE

THEODOR 1989 MASSON

SUP CYCLES1&2,EI

TOUTES LES MATHEMATIQUES STÖCKER 2002 DUNOD

SUP DEUG MATHEMATIQUES DELMER 1996 DUNOD SUP DEUG FONCTIONS DE PLUSIEURS

VARIABLES ET INTEGRATION DELMER 1997 DUNOD

SUP DEUG 1 EXERCICES D'ANALYSE:CALCUL INTEGRAL

BOSCHET 1997 MASSON

SUP DEUG A1

ENSEIGNER AUTREMENT LES MATHEMATIQUES

1990 IREM

SUP DEUG MIAS/M

ASS

ALGEBRE GENERALE,TD DENMAT,HEAULME 2000 DUNOD

SUP DEUG MIAS/M

ASS

BEST OF ANALYSE 1èreANNEE PARZYSZ 2001 DUNOD

SUP DEUG MIAS/MASS/SM

ALGEBRE 1èreANNEE LIRET,MARTINAIS 1997 DUNOD

SUP DEUG MIAS/MASS/SM

ANALYSE 1èreANNEE LIRET,MARTINAIS 1997 DUNOD

SUP DEUG MIAS/MASS/SM

ANALYSE 2èmeANNEE LIRET,MARTINAIS 1998 DUNOD

SUP DEUG MIAS/MASS/SM

ANALYSE 2èmeANNEE PROCHASSON 2000 DUNOD

SUP DEUG MIAS/MASS/SM

ALGEBRE ET GEOMETRIE 2èmeANNEE

PROCHASSON 2001 DUNOD

SUP DEUG SVT

ANALYSE BLONDEL 2000 DUNOD

SUP DEUG1 EXERCICES D'ANALYSE:176 EXERCICES ET 105 TESTS CORRIGES(avec rappels de cours)

SCHMITT 1997 MASSON

SUP DEUG1 FONCTIONS D'UNE VARIABLE CALVO 1997 MASSON SUP DEUG1

SM COURS DE MATHEMATIQUES DIXMIER 1976 GAUTHIE

R-VILLARS

SUP DEUG2 SM

COURS DE MATHEMATIQUES DIXMIER 1977 GAUTHIER-VILLARS

SUP LICENCE

ALGEBRE 3èmeANNEE SCHWARTZ 2003 DUNOD

SUP LICENCE

TOPOLOGIE ET ANALYSE SKANDALIS 2001 DUNOD

SUP LICENCE 1

MIAS/MASS/SM

ALGEBRE 1èreANNEE LIRET,MARTINAIS 2003 DUNOD

SUP LICENCE 1

MIAS/MASS/SM

ANALYSE 1èreANNEE LIRET,MARTINAIS 2003 DUNOD

SUP LICENCE

3,MASTER1,EI

INTRODUCTION A L'ANALYSE NUMERIQUE:APPLICATIONS SOUS MATLAB

BASTIEN,MARTIN 2003 DUNOD

SUP LICENCE1

MIAS/MASS/SM

LES MATHEMATIQUES EN LICENCE TOME1

AZOULAY,AVIGNANT,AULIAC

2003 EDISCIENCE

SUP MAITRISE

INTRODUCTION A L'ANALYSE NUMERIQUE MATRICIELLE ET A L'OPTIMISATION

CIARLET 1988 MASSON

SUP MAITRISE

INTRODUCTON A L'ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

RAVIART,THOMAS 1988 MASSON

SUP MASTER,EI

SIMULATION NUMERIQUE EN C++ DANAILA,HECHT,PIRONNEAU

2003 DUNOD

SUP MASTER1&2,AGREG

INTRODUCTION A LA THEORIE SPECTRALE

LEVY-BRUHL 2003 DUNOD

SUP MP L'ORAL(ENTRAINEMENT AUX CONCOURS

MONIER 2002 DUNOD

SUP PREPA ANALYSE 1-COURS TOME 1 MONIER 1997 DUNOD

113

1 SUP PREPA

1 ANALYSE 2-COURS TOME 2 MONIER 1996 DUNOD

SUP PREPA 1

ALGEBRE 1 MONIER 2000 DUNOD

SUP PREPA 1&2

GEOMETRIE MONIER 2000 DUNOD

SUP PREPA 2

ALGEBRE 2 -COURS TOME 6 MONIER 1998 DUNOD

SUP PREPA 2

ANALYSE-TOME 3 MONIER 1997 DUNOD

SUP PREPA 2

ANALYSE4-TOME 4 MONIER 1997 DUNOD

SUP PREPA1 ALGEBRE 1-COURS TOME 5 MONIER 1996 DUNOD SUP PREPA1

&2 GEOMETRIE-TOME7 MONIER 1997 DUNOD

SUP PREPA2 MATHEMATIQUES 2ème ANNEE DESCHAMPS,WARUSFEL...

2001 DUNOD

SUP PREPA2 ANALYSE 3-COURS TOME 3 MONIER 1997 DUNOD SUP STS-IUT SERIES DE

FOURIER,TRANSFORMATION DE LAPLACE

BENICHOU,BOY,POUGET

1995 ELLIPSES

SUP ANALYSE BLONDEL 2000 DUNOD SUP LE NOMBRE D'OR ET LES NOMBRES

DE FIBONACCI MEYER STEYAERT 1981 IREM

SUP PROBAS ET STATS 1996 IREM SUP L'ENSEIGNEMENT DES STATS ET

PROBAS 1999 IREM

SUP RMS 1998/99 VUIBERT

Manuels scolaires

6 DECIMALE 1996 BELIN 6 MATH ET CLIC 2000 BORDAS 6 NUL EN MATHS ? 1997 BORDAS 6 MATHS 1996 BORDAS 6 MATH ET CLIC PROF 2000 BORDAS 6 DIMATHEME 2000 DIDIER 6 100 PROBLEMES SANS PEINE 1998 HACHETTE 6 CINQ SUR CINQ 1994 HACHETTE 6 ALPHA 1994 HATIER 6 TRIANGLE 96/00 HATIER 6 DOCUMENTS D'ACCOMPAGNEMENT 1996 M.E.N. 6 TRANSMATH 1996 NATHAN 5 DECIMALE 1997 BELIN 5 MATHS JAUNE 1997 BORDAS 5 MATHEMATIQUES SERRA 2001 BORDAS 5 MATHEMATIQUES PROF CORRIEU BATIER DELAGRAV

E 5 DIMATHEME 1997 DIDIER 5 DIMATHEME 2001 DIDIER 5 CINQ SUR CINQ 97/00 HACHETTE 5 NOUVEAU PYTHAGORE PROF 1997 HATIER 5 TRIANGLE PROF 1997 HATIER 5 TRANSMATH 1997 NATHAN 5 TRANSMATH PROF 2001 NATHAN 4 DECIMALE 1998 BELIN 4 MATHEMATIQUES 1998 BORDAS 4 MEDIAMATH 2002 BORDAS 4 METHODES EN PRATIQUE 1988 CRDP 4 DIMATHEME 1998 DIDIER 4 DIMATHEME 2002 DIDIER 4 TOUT SIMPLEMENT 1998 HACHETTE 4 CINQ SUR CINQ 2002 HACHETTE 4 CINQ SUR CINQ 1998 HACHETTE 4 DIABOLO 2003 HACHETTE 4 TRIANGLE 1998 HATIER 4 NOUVEAU PYTHAGORE 1998 HATIER 4 TOUT LE PROGRAMME EN 300 1997 HATIER

114

EXERCICES 4 SUIVI SCIENTIFIQUE IREM 1988 INTER IREM4 NOUVEAU TRANSMATH PROF 1998 NATHAN 4 TRANSMATH PROF 2002 NATHAN 4 TRANSMATH 1988 NATHAN 3 COMPRENDRE ET REUSSIR 1997 BELIN 3 METHODES EN PRATIQUE 1989 CRDP 3 DIMATHEME 1999 DIDIER 3 CINQ SUR CINQ PROF 2003 HACHETTE 3 CINQ SUR CINQ 1999 HACHETTE 3 TOUT SIMPLEMENT 1999 HACHETTE 3 NOUVEAU PYTHAGORE PROF 1999 HATIER 3 TRIANGLE 1999 HATIER 3 TRIANGLE PROF 2003 HATIER 3 SUIVI SCIENTIFIQUE IREM 1989 INTER IREM3 MATHEMATIQUES 1999 BORDAS 3 DIABOLO 2004 HACHETTE 2 MATHEMATIQUES 1998 BELIN 2 INDICE 2000 BORDAS 2 MATHEMATIQUES PROF 2000 BREAL 2 MATHEMATIQUES 2000 BREAL 2 MODULOMATH 2004 DIDIER 2 DIMATHEME 2000 DIDIER 2 REPERES 2004 HACHETTE 2 PYRAMIDE 2000 HACHETTE 2 DECLIC 1998 HACHETTE 2 SIGMATH 1998 HATIER 2 ENONCES ET SCENARIOS 1993 INTER IREM2 LIAISON COLLEGE SECONDE 1990 INTER IREM2 HYPERBOLE 2000 NATHAN 2 TRANSMATH 2000 NATHAN 2 PHYSIQUE PHYSIQUE DURRANDEAU 2000 HACHETTE 1 ES FRACTALE OBLIG 1998 BORDAS 1 ES FRACTALE OPT 1998 BORDAS 1 ES MATHEMATIQUES 2001 BREAL 1 ES DIMATHEME OBLIG 2001 DIDIER 1 ES DIMATHEME OPT 2001 DIDIER 1 ES DECLIC 2001 HACHETTE 1 ES TRANSMATH 1998 NATHAN 1 ES TRANSMATH 2001 NATHAN 1 ES HYPERBOLE 2001 NATHAN 1 L INDICE 2001 BORDAS 1 L MATH INFO 2001 DELAGRAV

E 1 L MANUEL DE MATHEMATIQUES 2002 ELLIPSES 1 L FICHES TD TP 2002 ELLIPSES 1 L MATH INFO 2003 HACHETTE 1 L DECLIC 1999 HACHETTE 1 L DECLIC 2001 HACHETTE 1 L MATH INFO 2001 HATIER 1 L TRANSMATH 2001 NATHAN 1 S MATHEMATIQUES 2001 BELIN 1 S INDICE 2001 BORDAS 1 S FRACTALE 2001 BORDAS 1 S MATHEMATIQUES 2001 BREAL 1 S DIMATHEME GEOMETRIE 2001 DIDIER 1 S DIMATHEME ANALYSE 2001 DIDIER 1 S GEOMETRIE TERRACHER 2001 HACHETTE 1 S DECLIC 2001 HACHETTE 1 S ANALYSE TERRACHER 2001 HACHETTE 1 S TRANSMATH 2001 NATHAN 1 S HYPERBOLE 2001 NATHAN 1 SMS DIMATHEME 1998 DIDIER 1 STI DIMATHEME 1998 DIDIER 1 STT INDICE 2003 BORDAS 1 STT SIGMATH 2001 FOUCHER

115

1 STT MATHEMATIQUES 2002 HACHETTE T ES FRACTALE SP 1998 BORDAS T ES FRACTALE OBL 1998 BORDAS T ES MATHEMATIQUES 2002 BREAL T ES MATHEMATIQUES 1998 BREAL T ES DIMATHEME SP 1998 DIDIER T ES DIMATHEME OBL 1998 DIDIER T ES DECLIC 1998 HACHETTE T ES DECLIC 2002 HACHETTE T ES LE GUIDE ABC BAC 2002 NATHAN T ES TRANSMATH 2002 NATHAN T ES HYPERBOLE 2002 NATHAN T L DECLIC 1999 HACHETTE T S MATHEMATIQUES 1998 BELIN T S FRACTALE OBL 1998 BORDAS T S FRACTALE SP 1998 BORDAS T S FRACTALE SP 2002 BORDAS T S FRACTALE OBL 2002 BORDAS T S INDICE SP 2002 BORDAS T S INDICE OBL 2002 BORDAS T S MATHEMATIQUES SP 2002 BREAL T S MATHEMATIQUES OBL 2002 BREAL T S MATHEMATIQUES SP 1998 BREAL T S MATHEMATIQUES OBL 1998 BREAL T S DIMATHEME SP 1998 DIDIER T S DIMATHEME OBL 1998 DIDIER T S BAC AVEC MENTION 1998 ELLIPSES T S EXERCICES 1999 ELLIPSES T S FOR MATH 1999 ELLIPSES T S MATHEMATIQUES SP TERRACHER 1998 HACHETTE T S MATHEMATIQUES OBL TERRACHER 1998 HACHETTE T S DECLIC SP 1998 HACHETTE T S DECLIC OBL 1998 HACHETTE T S CORRIGES TERRACHER 1998 HACHETTE T S CORRIGES TERRACHER 1996 HACHETTE T S MATHEMATIQUES TERRACHER 2002 HACHETTE T S DECLIC 2002 HACHETTE T S TRANSMATH OBL 2002 NATHAN T S TRANSMATH SP 1998 NATHAN T S TRANSMATH OBL 1998 NATHAN T S HYPERBOLE OBL 2002 NATHAN T S HYPERBOLE SP 2002 NATHAN T STI DIMATHEME 1997 DIDIER T STI MATHEMATIQUES 1998 HACHETTE T STI MATHEMATIQUES 1998 NATHAN T STT COMPTABILITE GESTION 1999 DIDIER T STT DIMATHEME 1999 DIDIER T STT COMPTABILITE GESTION 1997 FOUCHER T STT MATHS ACA ET ACC 1997 FOUCHER T STT MATHS ACA ET ACC 2002 HACHETTE T STT MATHS ACA ET ACC 1998 HACHETTE T STT COMPTABILITE GESTION 1998 HACHETTE T STT COMPTABILITE GESTION 2002 HACHETTE T STT COMPTABILITE GESTION 1998 NATHAN T STT MATHS ACA ET ACC 1998 NATHAN T ENSEIGNER LES PROBAS 1994 IREM

BEP INDUSTRIEL

MATHEMATIQUES 2 BARUSSAUD,FAVRE ARTIGUES,THEVENON

1994 FOUCHER

BEP INDUSTRIEL

MATHEMATIQUES INDUSTRIEL,SANITAIRE ET SOCIAL

ASTIER,VRIGNAUD 2002 NATHAN

BEP TERTIAIRE

LES CAHIERS DE MATHEMATIQUES BARUSSAUD,NOËL 2001 FOUCHER

BEP TERTIAIRE

MATHEMATIQUES TERTIAIRE,HÔTELLERIE,RESTAURATIO

ASTIER,VRIGNAUD 2002 NATHAN

116

N BTS INDUST

RIEL ANALYSE,ALGEBRE LINEAIRE,NOMBRES COMPLEXES

BATIMENT & LABO

VERLANT 1997 FOUCHER

BTS INDUSTRIEL FOUCHER BTS TERTIAI

RE ANALYSE ET ALGEBRE LINEAIRE TOME1

INFORMATIQUE ET GESTION

VERLANT 1997 FOUCHER

BTS TERTIAIRE HACHETTE BTS PROBAS ET STATS,STATS

INFERENTIELLES 1996 IREM

BTS/IUT PROBAS ET STATS GACÔGNE,FRUGIER 1990 EYROLLES

Annales

BAC ES ANNALES CORRIGE 1998 HATIER BAC ES ANNALES SUJETS 1998 HATIER BAC ES ANNALES SUJETS 1995 VUIBERT BAC ES L ANNALES SUJETS 1997 NATHAN BAC ES L ANNALES CORRIGE 1997 NATHAN BAC ES L ANNALES CORRIGE 1998 VUIBERT BAC ES L ANNALES SUJETS 1998 VUIBERT BAC L ANNALES CORRIGE 1998 HATIER BAC L ANNALES SUJETS 1998 HATIER BAC L ANNALES SUJETS 2000 HATIER BAC L ANNALES SUJETS 2001 HATIER BAC L ANNALES SUJETS 1996 VUIBERT BAC S ANNALES CORRIGE 1998 HATIER BAC S ANNALES CORRIGE 1998 HATIER BAC S ANNALES SUJETS 1998 HATIER BAC S ANNALES SUJETS 1997 NATHAN BAC S ANNALES CORRIGE 1998 NATHAN BAC S ANNALES CORRIGE 1998 VUIBERT BAC S ANNALES SUJETS 1998 VUIBERT BAC S ANNALES SUJETS 1996 VUIBERT BAC S ANNALES SUJETS 1995 VUIBERT BAC STT STI ANNALES SUJETS 1995 NATHAN BAC STT STI ANNALES CORRIGE 1996 NATHAN BAC STT STI ANNALES CORRIGE 1998 NATHAN BAC STT STI ANNALES SUJETS 1998 NATHAN

BREVET ANNALES CORRIGE 1998 HATIER BREVET ANNALES CORRIGE 1997 NATHAN BREVET ANNALES SUJETS 1997 NATHAN BREVET ANNALES SUJETS 1998 NATHAN BREVET ANNALES CORRIGE 1994 VUIBERT BREVET ANNALES SUJETS 1994 VUIBERT BREVET ANNALES SUJETS 1995 VUIBERT BREVET ANNALES SUJETS 1996 VUIBERT BREVET ANNALES SUJETS 1998 VUIBERT

Le jury remercie tous les éditeurs qui ont contribué à l’actualisation de la bibliothèque en facilitant l’acquisition de leurs ouvrages récents. Il tient à mentionner tout particulièrement les maisons d’édition suivantes, qui ont fait preuve d’une grande générosité, et ont fourni gracieusement un nombre significatif de manuels parus en 2005 à l’occasion de la mise en œuvre des nouveaux programmes de terminale. BREAL – DIDIER – DUNOD – MASSON – VUIBERT - NATHAN

117

5.2. Calculatrices Depuis la session 1994, les calculatrices personnelles sont interdites pour les deux épreuves orales (cf. B.O. n°13 du 15-04-93). Pour les sujets qui en nécessiteraient l’usage, les candidats pourront en emprunter une à la bibliothèque du CAPES. Pour la session 2006 deux constructeurs ont permis par des prêts gracieux de proposer une quantité suffisante de modèles récents de calculatrices rétroprojetables. Les modèles présents étaient :

Casio, Classpad 300 Texas Instruments, Voyage 200

Pour la session 2007, il est prévu un prêt d’un troisième modèle :

Hewlett-Packard, 49G

Le jury, dans le souci d’aider candidats et formateurs à se préparer de manière efficace aux épreuves, a mis en ligne sur son site deux documents :

Un aperçu du Casio Classpad 300 Un aperçu du TI Voyage 200

que tout visiteur du site peut librement utiliser. Un document analogue concernant la Hewlett-Packard 49G sera mis en ligne dès que possible. Ces documents, assortis d’une introduction, montrent dans quel esprit le jury souhaite voir utiliser ces machines. Des exemplaires imprimés de ces textes étaient mis à la disposition des candidats pendant leur préparation, de sorte qu’il leur était inutile de s’en munir pour se présenter aux épreuves.

CONCOURS DE TROISIEME VOIE Mathématiques

Session 2006

Composition du jury : nom prénom grade académie Mme RUGET (Présidente) Claudine IGEN Mme AUDOUIN Marie-Claude IPR Versailles Mme BLAU Danielle IPR Toulouse M. BOUSCASSE Jean-Marie Professeur Agrégé Bordeaux Mme BRIANT Nathalie Professeur Agrégé Montpellier M. CHAREYRE Bernard Professeur Agrégé Créteil Mme ERNOULT Monique Professeur Agrégé Créteil M. FAVREAU Jean Professeur Agrégé Versailles Mme LELARGE Michèle Professeur Agrégé Paris M. MERCKHOFFER René IPR Versailles M. MICHALAK Pierre IPR Versailles M. MURGIER Thierry IPR Montpellier M. PUYOU Jacques Professeur Agrégé Bordeaux Mme ROUDNEFF Evelyne IPR Versailles Mme SAINT-LANNES Maryse Professeur Agrégé Paris Rapport de la présidente : Les candidats présents aux épreuves du concours du CAPES troisième voie pour la première session 2006 ont été au nombre de 83 (70 dans le public et 13 dans le privé). Après l’écrit, 20 candidats ont été déclarés admissibles pour le public et 5 pour le privé. Après l’oral, 9 candidats ont été déclarés admis pour le public, et un pour le privé. S’agissant du public, la barre de la liste principale d’admission est de 9/20, la moyenne générale des candidats admis (écrit plus oral) est de 10,48/20. Pour le privé, la barre est de 9/20, et la moyenne générale des admis est de10,13. A l’écrit, les candidats au troisième voie, qui passaient la première épreuve du CAPES ont moins bien réussi, en général que les autres candidats. A l’oral, la deuxième épreuve n’a pas permis de réellement mettre en valeur les apports spécifiques de ces nouveaux candidats relatifs à leur carrière professionnelle précédente. Une certaine timidité a pu les gêner, ou pour la plupart, un manque de réflexion préalable, en particulier pour ceux qui, parmi eux, avaient été employés dans différents métiers proches de l’éducation. On relève, parmi les admissibles public et privé réunis, les catégories d’emplois précédents suivantes : Cadres du secteur privé conventions collectives : 2 + 1 Sans emploi 1 + 2 Formateurs dans le secteur privé 2 + 1 Personnel enseignant non titulaire 1 Vacataire enseignant du supérieur 1 Contractuel second degré 3 ² Maître d’internat 1 Maître auxiliaire 1

118

Elève IUFM première année 5 Salarié secteur tertiaire 2 Contractuel CFA 1

Les candidats admis ont fait preuve d’une grande régularité dans leurs résultats aux différentes épreuves. Ils ont de plus montré une motivation profonde et sérieuse pour le métier auquel ils prétendaient. Le jury suggère aux futurs candidats de mettre d’une façon plus éclatante leurs spécificités en valeur, et espère qu’ils bénéficieront d’une préparation de qualité.

119