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\

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE ====***Jtfc=; ====

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ~===***·~t=====

UNIVERSITE DE ANNABA =======***;tfc=:=====

INSTITUT DE GENIE CIVIL =======***~t=======

r/lESt' cr 2 ((1":, li ___ _

Présentée à l'Institut de GENIE CIVIL

Pour l'obtention du grade de MAGISTER =======***~t========

Par Mr. BOURAS FAOUl!

rr===========1:1 THE M E 1:1===== =====,

OEVELOPPEAIENT ET VALIOATION 0 'UN ELERENT QUAORILATERE A 4 NOEUOS ET /2 0, L

EN ELERENTS fINIS

Soutenu publiquement le: / / Devant le Jury:

Président: Mr. A.BOUMEKIK M.C U. ANNABA

Raporteur: Mr. M.GUENFOUD Dr C.U.GUELMA

Examinateurs: Mr. A.SERIDI Pr C.U.GUELMA

Mr. K.DJEGHABA Dr U. ANNABA

Mr. O.HERIRECHE Dr C.U.GUELMA

, .

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE ====****". ====

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE =======***~-========

UNIVERSITE DE ANNABA

INSTITUT DE GENIE CIVIL ========****",========

THESE Présentée à l' Insti tut de GENIE CIVIL

Pour l'obtention du grade de MAGISTER _ ........... _-=****"'====

Par Mr. BOURAS FAOUl!

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DEVELOPPERENT ET VALIDATION D'UN ELENENT QUADRILATERE A"I NOEUDS ET /2 0, L

EN ELENENTS fINIS

Soutenu publiquement le: / / Devant le Jury:

Président: Mr. A.BOUMEKIK M.C U. ANNABA

Raporteur: Mr. M.GUENFOUD Dr C.U.GUELMA

Examinateurs: Mr. A.SERIDI Pr C.U.GUELMA

Mr. K.DJEGHABA Dr U. ANNABA

Mr. O.HERIRECHE Dr C.U.GUELMA

REMERCIEMENTS

Ce travail a été fait sous la direction de Mr M. GUENFOUD

pour qui j'adresse tous mes remerciements de m'avoir encouragé

tout au long de cette étude et pour m'avoir soutenu et éclairé de

ces precieux conseils.

Je remercie vivement Monsieur A. BOUMEKIK maître de • conférence à l'université d'Annaba pour l'honneur qu'il me fait en

acceptant de présider le jury.

Messieurs A. SERIDI, O. HARIRECHE et K. DJEGHABA pour

l'intérêt qu'ils ont porté a ce travail en acceptant d'être

membres du jury, qu'ils trouvent ici l'expression de ma profonde

gratitude.

J'adresse aussi mes remerciements à mes collègues de

promotion: S. BEHAZ, K. BOUDJELLAL, A. BOUAZIZ et L. BENAZZOUZ. (je

m'excuse auprès de ceux que j'ai oublié)

Et à tout le personnel sympathique de l'lnstitut de G.Civil

du C.U. de GUELMA.

DEDICACES

Je dédie ce h~mble travail à

Ma très .chen:: mère

Mon père

Toute ma famille

Et à tous mes amis

RESUME

Nous présentons dans ce mémoire la formulation et

l'évaluation d'un élément fini de plaque pour l'analyse statique

et dynamique de plaques minces élastiques de formes quelconques.

L'élément développé est un élément quadrangulaire, possédant

4 noeuds et 3 degrés de liberté (D.L) par noeud, soit le

déplacement transversal et les deux rotations par ,rapport à deux

coordonnées curvilignes orthogonales.

Nous décrivons les différentes étapes de la formulation de

l'élément fondée sur une théorie linéaire des plaques, valable

pour les petits déplacements , petites déformations et rotations

modé rées, et sur les hypothèses cinématiques de _~~E~~t::.~_~~

introduites sous forme discrète.

La matrice de rigidité linéaire, le vecteur sollicitation et

la matrice de masse sont évalués par une intégration numérique de

Gauss 2x2.

L'étude de nombreux problèmes statiques et dynamiques nous

permet de mettre en évidence l'efficacité et la fiabilité de

l'élément.

Les exemples concernent des problèmes linéaires statiques

déplacements, contraintes et dynamiques ( vibrations libtres).

Les résulats sont systématiquement comparés à d'autres

résultats analytiques numériques ou expérimentaux ..

SOMMAIRE

* INTRODUCTION

CHAPITRE l 7

, ~-~,

\ Il ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

1- 1 ELEMENTSQUADRILATERAUX A 12 D.L

1-1-2 DIFFERENTS ELEMENTS RECTANGULAIRES

1-1-3 ELEMENTS QUADRILATERAUX

CHAPITRE II: FORMULATION ENERGETIQUE

11-1

11-2

FORMULATION ENERGETIQUE

PRINCIPES VARRIATIONNELS

CHAPITRE III: CONSTRUCTION DE L'ELEMENT

Page 1

4

4

4

6

10

14

111-1 CONSTRUCTION DE Ku 22

111-2 CONSTRUCTION DU VECTEUR CHARGE EQUIVALENT 27

111-3 CALCUL DES EFFORTS RESULTANTS 27

111-4 CONSTRUCTION DE LA MATRICE DE MASSE 28

CHAPITRE IV: VALIDATION ET TESTS NUMERIQUES

IV-l PATCH-TEST 31

VI-2 TESTS DE ROBINSON 33

VI-3 T~STS DE CONVERGENCE POUR PLAQUES CARREES

ET RECTANGULAIRES 37

VI-4 PLAQUE COURBE AVEC RESULTATS EXPERIMENTAUX 50

VI-5 PLAQUE ENCASTREE AVEC RESULTATS EXPERIMENTAUX 59

CHAPITRE V: COMPORTEMENT DYNAMIQUE

V- COMPORTEMENT DE L'ELEMENT DKQ DANS LE DOMAINE

DYNAMIQUE

CONCLUSIONS

REFERENCES

CHAPITRE VI: ANNEXES

ANNEXE -1

ANNEXE II

ANNEXE III

ANNEXE IV

62

64

65

71

73

74

77

INTRODUCTION

Les plaques et coques constituent une catégorie importante de

l'ensemble des structures rencontrées en génie civil. Leur analyse

nécessite une modélisation faite à partir d~éléments plats

triangulaires" ou quadrilatéraux. La méthode des éléments finis

s'est avérée efficace dans l'analyse de la flexion des plaques

minces; offrant une grande souplesse d'emploi.

Une modélisation des plaques en éléments discrets présente un

grand intéret, vu que ces derniers possèdent comme degré de

liberté (DL) les variables essentielles des calculs à savoir: le

déplacement transversal ~ et les rotations ex et ey autour de X et

y ( fig .1 ) "\r'

Au cours de cette étude nous essayons de formuler un élément

quadrilatéral nommé DKQ (Discret Kirchhoff Quadrilateral). Comme

son nom" l'indique , cet élément nécessite une évaluation numérique

basée sur les hypothèses de Kirchhoff sous forme discrète.

L'élément quadrilatère est à 4 noeuds et douze degrés de liberté.

Ini tialement, nous allons présenté une petite synthèse des

différents éléments à 4 noeuds et à 12 DL ,ensuite nous présentons

la théorie de calcul afin de définir les fonctions d'interpolation

(~x et f3y) en fonction des variables nodales (les douze DL). La

partie théorique se terminera par l'établi~sement de la matrice de

rigidité et du vecteur charge équivalente ainsi que le calcul des

efforts de flexion. Les tests en fin de travail auront pour but de

démontrer la validité et les performances de l'élément formulé

(DKQ) .

- 1-

%,w -,

;-----------~--.~

---

- 2 -

-, --

noeuo ... [~~ 9:1

1 • ,~

\ , \

\

CHAPITRE l

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

1- ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

1-1 ELEMENTS QUADRILATEREAUX A 12 DL

L'intéret et l'importance de la flexion des plaques ont été à

l'origine de la formulation de plusieurs éléments plaques de

flexion.Parmi les articles et les ouvrages qui présentent l'examen

de ces éléments, on se limitera bien sur aux éléments

quadr ilatéraux à 4 noeuds et douze DL soient: w, ex et ey au

niveau des 4 noeuds.

Notre interet portera sur les solutions pour plaques minces

associées au modèle de Kirchhoff-Love. où ,M cisaillement

transversal est négligeable. ~ .=--

1-1-2 DIFFERENTS ELEMENTS RECTANGULAIRES

Les éléments rectangulaires ont été les premiers éléments à

quatre noeuds à être proposés pour l'étude de la flexion des

plaques . L'un des premiers éléments rectangulaires fut proposé

par Melos~ [21]. C'est un élément de type hybride (deplacement et

contrainte), basé sur des considérations physiques en analogie

--7 avec le comportement des poutres croisées. L'ACM [22] [23]est un ~

élément rectangulaire utilisant une fonction d'interpolation

cUbique complète en plus de deux termes d'ordre quatre (x 3y et

y3X). Il ~st implanté dans de très nombreux codes bien qu'il est

incompatible. Certains tests de convergence marchent bien pour cet

élément. Dawe [24]va utiliser ensuite d'autres polynomes à 12

termes. Clough et Tocher [25]ainsi que Bogner .et Al.[26] proposent

un élément compatible mais incomplet. En faisant intervenir quatre

sous-régions triangulaires(fig.2), Deak et Pian [27]proposeront un

élément rectangulaire compatible.

- 4 -

fig.2. Elément rectangulaire faisant intervenir quatre

sous-regions triangulaires.

" Les travaux de Kikuchi et Ando [28] sur ce type d'élément

utilisent des modèles déplacements hybrides. Leurs produits

présentent une convergence généralement meilleure ·que celle de'

l' ACM. Les critiques des auteurs ( Mang et Gallagher ) [29] font

douter de la fiabilité de ces éléments. Pian [30], et Severn et

Taylor [31] proposent également des éléments rectangulaires à

partir de fonctionnelles hybrides de type contraintes. Un autre

~ élément rectangulaire QC [32] a été proposé par Dhatt et qui est

basé sur l'introduction des hypothèses de Kirchhof f sous forme

discrète.

L'objet de notre étude qui est le DKQ est justement une

généralisation de l'élément QC.

I-1-3 ELEMENTS QUADRILATERAUX

Ce type d'éléments peut être obtenu par assemblage d'éléments

triangulaires à 9 D.L. Des matrices différentes seront cependant

obtenues suivant l'orientation du découpage. (fig. 3)

Un élément quadrilatère Q-19 [33] de formulation identique à

l'élément triangulaire HCT est complet et conforme. Il est obtenu

par assemblage de quatre éléments triangulaires (eux-mêmes obtenus

par trois sous-triangles) et nécessite une condensation statique

de 7 D.L.

Des éléments quadrilatéraux basés sur un modèle hybride

contrainte ont été présenté par Allwood et Cornes [34] avec champ de

contraintes linéaire, quadratique ou cubique, par Torbe et Church

[35] avec champ de contrainte quadratique. Horrigmoe [36] utilise un

- 5 -

F,s. 3. f./Ult'tls q u,u'rtl .. /~r dU' 0 bhf! uS par OSSt",h/1I5"

dt. frià'J 9 ILS

- 6 -

- 0, ...........

élément avec champ de contraintes (moments) linéaire et

déplacement transversal cubique pour l'analyse non linéaire de

coques par facettes planes. Cook [37] étudie une grande variété

d'éléments quadrilatéraux à 12 D.L de type hybride contrainte; qui

sont obtenus par assemblage de quatre éléments triangulaires avec

élimination du noeud milieu par condensation statique. Ces

éléments sont basés sur la théorie des plaques avec cisaillement

transversal et des polynomes différents sont utilisés pour

représenter les contraintes et les déplacements (le long des ~

contours). Ces éléments permettent l'étude des plaques épaisses,

sandwich, et minces mais les critiques des auteurs vont à

l'encontre de leur fiabilité.

Dans la théorie de K1rchhoff, la compatibilité des éléments à

formuler de type déplacement exige une continuité de type Cl

(continuité de la 1è~e dérivée ) du déplacement transversal. Par

contre la théorie des plaques épaisses (c.à.d. avec cisaillement. )

permet de formuler des éléments où la continuité nécesaire du

déplacement w et des rotations de la normale de type Co. Si un

modèle se comporte normalement pour les plaques minces où les

cisaillements sont nuls, il y a avantage à utiliser cette dernière

approche (dite de Mindlin ).

Le QUS4 est basé sur cette approche et a été proposé par

Hughes et al [38]. Il se caractérise par une formulation simple et

ses performances pour certaines plaques carrées; mais hélas leur

comportement n'est pas garanti pour toutes les situations. Un

élément isoparamétrique (avec cisaillement transversal ) QUAD 4 de

Nastran proposé par Mac Neal [39] est modif ié par un ensemble de

techniques telles que: intégration réduite, séléctive, addition de

termes correctifs pour la flexion ... Ces techniques sont basées sur

des résultats effectifs remarqués sur un élément de poutre.Cet

élément ne se comporte pas bien aux deux tests proposés par Robinson

mais atteint une très bonne performance pour l'analyse des plaques

carrées et rectangulaires.

- 7 -

Enfin, Robinson et Haggenmacher [40] proposent un élément LORA

de type contrainte (force à 9 paramètres indéterminés.Des

transformations permettront de repasser à des D.L. de type

déplacement. La formulation est faite à partir d'une série de

tests de Robinson. La performance de cet élément est bonne pour

l'ensemble des tests sauf un.( flexion génée

- 8 -

CHAPITRE II

B

~PRINCIPES ENRGETIQUES EN ELASTICITE

II 1- FORMULATION ENERGITIQUE

Dans ce chapitre, nous allons rappeler brièvement le principe

énergétique de base pour la formulation de l'élément DKQ.

Les résultats de la théorie linéaire de l' élastici té des plaques ne font pas l'objet de cette partie 1 ils seront donc

utilisés sans démonstration.

On définit l'énergie de déformation d'un corps élastique

déformable soumis à un système de forces exterieures; comme étant

le travail emmagasiné dans le corps sous forme d'énergie:

U = 1/2 J< a • t:: + a • t:: + a . ( + L • '1 + L . '1 + 1: . '1 ). dV x x y y z z xy xy xz xz yz yz

V U Energie de déformation totale pour un élément 3-D.

De façon générale pour N éléments et en tenant compte du

cisaillement

N /

U = L \' U;m + e" 1

( 2 )

e Ufm : Energie interieure de déformation de flexion de membrane au

niveau de l'élément.

Energie interieure de déformation due au cisaillement au

niveau de l'élément. Nous allons donc écrire pour les plaques :

U: = 1/2 J < "1 >. [D c ]. {'I }. dA e

Ae

- 10 -

(2.a)

(2.b)

Pour le cas des plaques bi-dimensionnelles, homogène et isotrope

avec un problème de contraintes planes nous avons :

[ D m

] =

[

2 12(1-v )

E h 1

v

[ ~ v

[ 1 (1_v 2 )

0 0

D ] = E h k c 2.(1+v)

v

1

o

0

0

(1-v)/2

P q ] ( 3 )

Avec E, v, h, k respectivement: module de Young, coefficent de

Poisson, épaisseur et le facteur de correction du cisaillement

transversal ( pris généralement égal à 5/6 ), vu la distribution

non uniforme du cisaillement à travers l'épaisseur. Ae:l'aire de l'élément.

Nous allons maintenant définir les déformations dûes aux effets de flexion~de membrane et de cisaillement. Considerons une plaque (fig. 4 ) soumise à des charges axiales de

compression ou de tension en plus de charges transversales et est

rapportée à un système d'axe cartésien. Le plan X Y est le plan moyen

de la plaque. Les déplacements d'un point de peuvent s'écrire en série de Taylor:

coordonnées ( x, y, z )

2

U( x, y, z = U ( x, y, 0 ) + ( ~ ~ )o.z +

V( x, y, z ) = V ( a V x, y, 0 ) + .( a z ) ~. z + 1/2

En supposant que: W ( x, y, z ) = W ( x, y, 0

Et en posant t--a U "--"-~-~---~av~-~ U

L~_~~~_=_ .. ~~~(_ .. ~z_ ) ~ = J3 yI x, y, 0 = U

V ( x, y, 0 ) = V et W ( x, y, 0 ) = W

! .

- 11 -

z

- 12 -

.. ~

On aura en limitant les développement aux termes linéaires et en négligeant c (à partir des relations d'élasticité) ce qui suit

z

a fJ = a u + z x a x . ax x

8 fJ y

ay ( 6 )

lXY a u a v = a y + a x + z. ""xz = fJ x

a w = fJ y + a y L~~, <.'"

Où cie "" lyZ et ""xz sont les déformations en un x yi xy 1

point .de coordonnées ( x, y, z et fJ"{, fJt ~ont yles rot a tions de la normale ( ou bien rotation des plans YZ et XY autour de X et Y respectivement) (fig 5 ). W étant le déplacement transversal.

D'après les relations cinématiques décomposition suivante :

6 ) et ( 7 ) on aura la

Déformation de membrane --- - -----< C

RI

8 U > = < 8 x

8 V 8 Y

Déformation de flexion --------- --8 fJ

x 8 fJ

y -< (. > = < -8 -,-f x ay

Déformation de cisaillemnt ------- ------

-( "" > = < fJ x

8 W + --8 x

( 8. a )

8 fJ 8 fJ x + __ y>

ay 8 x ( 8. b )

> ( 8. c )

Suivant les hypothèses de la théorie des plaques on néglige les

effets d'interaction de membrane et de flexion. Ce qui \ à ignorer les contraintes dans la surfaçe moyenne ~ ( membrane ), donc nos déformations se réduisent à :

. .::: )

'"

- 13 -

nous amène

a {3 . x

ax-a {3

y ay ( 9 )

a {3 a {3 x + __ y

ay a x

Et les moments de flexion et les efforts de cisaillement

{ H } ; ( :J ; [ D f 1 . {< } (10 a)

=[D c

] . ( 10 b ) (voir fig. 4 )

II 2- PRINCIPES VARRIATIONNELS

II 2-1 Principes variationnels usuels en élasticité

Les problèmes de physique mathématique ou appliquée se posent

à l'ingénieur de deux manières de formulation: locale ou globale. Alors que certaines méthodes numériques, comme celle des

différences finies s'appliquent aux problèmes physiques sous forme

locale, nous nous sommes intéressés à la méthode des éléments

finis pour une formulation globale. Cette dernière fait appel aux principe variationnels dont voici les plus importants et les plus

connus.

al Principe de variation des déplacements, appelé aUSSl "pr,incipe du minimum de l'énergie totale y \\\,1-,.\ bl principe de variation des tensions qui est le "principe du

m~um de l'énergie complémentaire " j' Du fait de la nature de nos travaux nous utiliseront le

"'..-----

principe du minimum de l'énergie totale.

- 14 -

z,w

.. 1 J'( , " "or ... ~ t GCtor '" c(.

'j,v

.f~_5_ blll~c.Tlo"'S POS/7IVCS J',&., ~t f.v

II 2-2 Equations d'élasticité linéaire:

Soit un corps solide déformable, dont la géométrie définit un

domaine V et une surface extérieure( S ).

Le contour se compose de : -Une partie S sur laquelle les déplacements sont imposés

u

-Une partie complémentaire notée Sa sur laquelle sont imposés

des forces exterieures ~. ( voir fig. 6 ). 1

Un rappel des équations d'élasticité est fait tout en les classant en trois catégo~ies

i/ Equation de compatibilité : Elles définissent un champ de déformation et des conditions aux limites sur S

~ i j , k 1

+ ~ le l , i j

- E. i k , j 1

= 0

En d'autres termes plus simples

( = 1/2 . ( D .. U. + D .. U i j 1 J J

U = U i sur S u

/

(--

( 11 )

11. a )

( 12 )

Les équations 11 et 12) exigent un champ de déplacement continu et différentiable. (1. Remarque: Les déformations et les déplacements sont Eetits.

--,----,--~-~--''" ~

i i / Equations d'équilibre Elles définissent un champ de

contraintes et les conditons aux limites sur Sa

D.o .. + f. = 0 } 1 1 J . 1 Dans V ( 13 ) a = a i j j i

cp = CP. - a .n. sur Sa ( 14 ) 1 1 i j J

Avec f. ) et i. ) sont respectivement les forces de 1 1

volume et les forces exterieures de surface imposées. iii/ Lois de comportement du milieu

Dans le cas de matériaux à comportement linéaire élastique;

on a une approche par modèle élastique linéaire de la loi de Hooke

qui est la suivante (;

kl Dans

- 16 -

V ( 15 )

"FIGuQ.t - 06

- 17 -

Avec Cijk1 :composantes du tenseur élasticité.

En notation matricielle les équations précédentes s'écrivent

-Equations de compatibilité

{ E } = [ 1n J. { u }

{ u } = { u }

-Equation d'équilibre ~

[a J { a } + { fi } = { 0 }

{ ~i } = { ~ 1 }

-Loi de comportement

Dans V ( 16 )

Dans V ( 17 )

( 17 )

( 18 )

~ Par application du ;"Principe!'des travaux -virtuels on aura le

résultat suivant :

J 4> i' 8 u i ds + J sa v

Où 8 u. est le 1

f . 8 u dv = J a '. 8 u '. dv (19) i i _ V iJ i ,J /

- -- -, -vi J.,,(~-------' ------ -- -- \... },\:t) ~ champ~ de déplacement cinématlquement

~----------------.

admissible. En notant W le potentiel de déformation il vient

( 20 )

Pour un corps solide en équilibre, l'accroissement de

l'énergie de déformation ( U = J W. dv ) est égal à la somme des v

travaux virtuels des forces de volume et de surface pour tout

accroissement virtuel admissible du champs des déplacements.

Remarque: On peut voir que le potentiel de déformation W

représente une densité volumique d'énergie de déformation W = ~ ~ Ce résultat peut s'exprimer sous forme d'une condition d'extremum

- 18 -

si l'on admet que les forces de volume et'de surface dérivent de potentiels.

POS L1:ton d'iquL(ibre

-7 ~/\,G.

/ ,~

. ~,ri cp, = - a-

l u. 1 .

Le travail 't des forces appliquées est alors

Iv t ... "';," _ ............

't = - G. dv - g. ds "

ou bien : 0 U = 0 't ( 21 )

Ce qui nous amène en introduisant l'énergie potentielle totale V :

o V = 0 ( U - 't ) = 0 ( 22 )

L'équation ( 22 ) est une formulation du potentiel d'énergie sous forme d'extremum ( stationnarité ).

II 2-3- Principe de l'énergie potentielle:

Le principe de variation des déplacements s'annonce comme suit

Il Pour un cinématiquements

état d'équilibre admissibles qui

stable, les déplacements satisfont les conditions

d'équilibre, sont ceux qui minimisent l'énergie potentielle et réciproquement ".

E:, , • lJ

Soit : 0 ( U - 't ) = 0

Où :U = J 0". V lJ

ou, ,. dv = J W ( E:" ). dv l,J V lJ

est l'énergie totale de déformation exprimée

- 19 -

( 23 )

en fonction de

Et ~ = - I f, .b u,. dv - I ~,. b u,. ds ( 24 1 1 1 1

V sa ~ est l'énergie potentielle des charges imposées à partir du

champ de déplacement compatible satisfaisant donc, aux conditions

i/, ii/, 'iii/.

Dans notre thèse en discrétisant les équations ( 22 ), ( 23 )

et (24 nous parviendront à la construction de la matrice de

rigidité [ Ka ] et~ du vecteur force exterieur { F }.

- 20 -

CHAPITRE III

CONSTRUCTION DE L'ELEMENT

-~. 'L-/

~

III 1- CONSTRUCTION DE Ko:

Etant donné que notre étude porte sur un élément de plaque

mince, alors l'énergie interne de cisaillement transversal Usera c

négligée devant l'énergie interne dûe à la flexion Uf .

Donc comme il a été cité auparavant, la formulation de

l'élément DKQ est basée sur la discrétisation de l'énergie interne

de déformation dûe à la flexion uniquement

~ Uf = L Ue f

e

Au niveau élémentaire

Ue = 1/2. J < f. >. [ Df ] . { [ } dx. dy ( 25 ) f A

{ c } et [ Df ] sont données respectivement par les expressions

(9 et 3).

allons essayer

et le {J, fJ -"~ y

de trouver une relation entre les déplacement transversal w,

Nous rotations

recherchant un élément qui représente les caractéristiqu€~

tout en

de type .,

Kirchhoff i. e.- : d'une part les var iables nodales finales doivent

être le déplacement transversal w et ses dérivées par rapport à x et à y ( w, w et w ) aux quatre noeuds de l'élément; d'autre part

., " . ,X,. . .. , y

l'_~ypothè~~ ~,e Kirch.h.9ff doit être satisf ai te le long du contour de l'élément. l' \ l'>: ,.(Î( ]

\ ~ \

Par souci de compatibilité de l'élément, les conditions

ci-dessous sont retenues pour formuler la matrice de rigidité du

DKQ 8 f3 x et f3 y sont définies par des polynomes quadra,tl.ç;l.uessur

un élément 8

f3 x = \' N f3 ~ i' xi i = 1

Où N. sont l

coordonnées € et Tl qui

l'élément de référence ).

~ .. e

8

LN,. fJ . hl 1 Y l

( 26 )

les fonctions d'interpolation des sont les paramètres classiques sur

fJ. et J3. sont des var iables nodales Xl yl

- 22 -

et j :: 2.. ~ • 4 1 1

'j ~ l2., 2 3 . -5 4 1 4 1

- 23 -

affeC?\eS aux noeuds sommets et aux noeuds milieux (

~J En introduisant l'hypothèse de Kirchhoff on

al Aux noeuds sommets:

voir fig. 7 )

qJ2.t iJillt ... ':'

+ W

{ '1 }i = rx;

, x i } = 0 ( 27 ) fJ Yi + W

, y i

= 1, 2, 3, 4

bl Aux noeuds milieux

( 28 )

k = 5, 6, 7, B

S La coordonnée le long du contour (W,s = ~ ~ )

au point k du déplacement Ci) W, s k représente la dér i vée transversal w, dont la variation est choisie cubique le long du

'''--'---''''

côté dont k est le point milieu

w k = -3/2. l ... ( w , 8 1 J

.- w .) - 114 ( w , l , J

( voir Annexe l

Avec K = 5, 6, 7, B milieu des côtés ij.

Où i j = 1, 2, 3, 4 respectivement.

1 .. est la longueur ij ( fig. 5 ) o ~n varie linéairement le long des côtés " 2, ", ,

f3 k = 1/2. ( f3 .+ fJ . n nI nJ

29 )

k toujours égal à 5, 6, 7, B est milieu des côtés 1, 2, 3, 4

Le vecteur des variables nodales d'un élément DKQ est donc

<Un >. = < W 1 ex1 eY1

En posant

W 2 ex 2 ~:L2"""" W 4; x 4

W,y et ey = .. ~~

e y4 > ( 30 )/

( 31 ) ,---~--~-~~,-~~~,~-'""",...".---~ < .. ->-<~~~----~.-...-~._~

e et e sont les rotations autour des axes x et y x y

respectivement (fig. 4 ).

Ainsi nous avons établi des expressions de ( 27 ) à (.31 ) qui

vont nous permettre de trouver des variables nodales temporaires

fJ X ! et f3 yi ( 26 ) en foncton des composantes du vecteur { Un }.

Ce qui nous amène à écrire pour les fonctions d'interpolation #

et fJy :

.. J . J'\

- 24 -

x

ç, T) ) >

J. { Un } ( 32 ) ç, T) ) >

Ou' < H Hl Hl 2 t H >=< ....... >e < 1 1~ > r < H ....... H > sont x x x y y y

les douze composantes du nouveau vecteur d'interpolation obtnues- à·~.-

partir des coordonnées des noeuds et des

< N >. ( voir Annexe II

fonctions d'interpolation

i

Hl = 3/2 ( as·Ns - as,Ns Hl = 3/2 ds,Ns - ds,NB x y

HZ= bs,Ns + bs,Ns H2 = -N + e S ,N5 + es,Ns ( 33 ) x y 1

3 N - ( c 5 ·N5 cs·Ns H3 b .. N be·Ns H = + = - -x 1 y !ci S

Les fonctions H4 HS Hb H4 HS , H6 , sont obtenues des x' x' x' y' y y

expressions ( 33 ) en remplaçant N1 par N~ et les indices s et 5

par

Les

les

5 et 6 respectivement. , 7 S 9 7 fonct10ns H , H , H , H ,

x x x y

indices s et 5 par 6 et 7. en remplaçant N 1 par N 4 et

E f' H10 Hl1 H12 H10 Hl1 et H1Z sont obtenues en remplaçant n 1n x' x' x' y' Y Y

N1 par N3 et les indices 5 et s par 7 et respectivement.

Les facteurs rentrant dans les expréssions ( 33 ) sont :

x .. 1 J

2 2 2 CL = (1/4 x .. - 1/2 y .. )/1 ..

.. IJ IJ 1J

e = (-1/2 x2 .+ 1/4 2 )/1 2 le IJ Yij ij

3/4 x . y . 1 j i J

1. ) 1 J

2

et

Avec k = 5, 6, 7, S pour les côtés 12, 23, 34, 41 ( fig. 7

Un calcul précis de < HX > est présenté en Annexe II. Ainsi une combinaison des expressions ( 33 ) et ( 9 ) donne

[ B ] matrice reliant les gradients aux variables nodales.

- 25 -

Elle est égale à :

< H > x,x jll < H x.' ç > + j12< H >

x ,1/

[ B ] = < H > y , y = j 21 < H y , ç > + j22< H > y ,1/

<H x, y ; H > Y,x jl1<Hy,ç> + j12<H y ,1/> Jj Zl<

+j22 <

Où j .. sont les termes inverses de la matrice jacobienne de la l J

transformation géométrique: [ j ] = [ J ]-1.

[ J

[ J

~

Nous avons donc :

[ x 12+ x34 + 1/ (X 12 + X34 ) y 21+

] = X3Z + X + E, (X 12 + x 34 ) Y32 +

4 l

] [ J 11 J 12 ] = J 21 J 22

On tire les expréssions de j 11 ' j 12 /

j 11 J 22

j12 - J 12

= det [J ] = det [J

j 21 - J 21

j 22 J 11

= det [J ] = det [J ,

Où : det [J ] = J 11 · J 22 - J 21 0 J 12 et Xi j = Xi - X j et Yi j = Yi - Y j

Les termes de < H 1:> / x,,>

< H > / x/Tl

Y34+ 1/ Y 12 + Y34 ] = Y41 + TI Y 1~: + Y:l 4

( 34 )

j 21 / j 22

) ]

]

35

et < H > y,1/ sont

fonctions de N. 1: etN. noElles sont définies en Annexe II. l ,':, l ,"

L'élément DKQ aura une matrice de rigidité définie par

. \. l 1 l 1 , ,\[ K ] =

o -1-1

\ ' \, '

T [ B ] . [ D ]. [ B ]. det [ J ]. dE,. dT) 0 \!

i cette'intégrale sera evaluée par la méthode de Gauss-Legendre

nécessitant quatre points d'intégration ( 2x2 )

- 26 -

III 2- CONSTRUCTION DU VECTEUR CHARGE EQUIVALENT:

L'énergie potentielle pour une charge à distribution uniforme

q suivant z s'écrit pour un élément: z

U e ext = qz J W dAe = < U Ae n

>

L'interpolation de w n'étant pas définie sur l'élément lors de - -

la formulation de sa matrice de rigidité, nous aurions pu choisir une

interpolation linéaire simple de w pour le vecteur charge

équivalent.

Ainsi donc, nous avons considéré une interpolation plus

plus deux termes du complet complète avec un polynôme

quatrième ordre, soit ç q3

avec la formulation de la

cubique 3 et f, D,

matrice

ce qui apparai t plus cohérent

de rigidité où des fonctions

cUbiques ont été retenues pour w sur le contour de l'élément.

< fe > = q J 1 J 1 < N > det [J ]d~ di' z -1 -1

( 36 )

Cette intégrale est évaluée numériquement et les fonctions < N >

sont données en Annexe IV

III 3- CALCUL DES EFFORTS RESULTANTS

Le vecteur { M } des moments (Eq. 10 a) est lié au vecteur de

courbure { E } par la matrice élastique [ Dr ] .

{ M } = [ Dr ] { E } ( 37 )

Pour un point M de coordonnées x et y d'un élément, le

vecteur { M } est obtenu connaisant le vecteur < U > : n

{ M } = [ Dr ] { E } = [ Dr ] [ B (x ,y) ] { Un }

Des valeurs différentes sont obtenues le long des frontières des

éléments.

- 27 -

Dans notre programme, le calcul de { M } est effectué au

centre de gravité, et/ou aux noeuds sommets de l'élément et/ou au milieu des côtés de l'élément.

III 4- CONSTRUCTION DE LA MATRICE MASSE

L'expression de la matrice masse élementaire s'obtient en considérant le travail virtuel des forces d'inertie OWa .

( 38)

avec p: Masse volumique .. e ( ) U. i=l,4

1 Composantes du vecteur accélération dans le repère

local lié à l'élément.

Comme l'expression 37 ,nous allons écrire

( 39)

N :Fonctions d'interpolation données en annexe IV.

{ti e}T = { ü , 'y., ·w· ,ex' eY1 ez} Le travail des efforts d'inertie peut alors se mettre sous la

forme matricielle suivante:

La matrice masse élémentaire [ Me] est telle que

[ Me] = f p < N > T < N > dv ve

Ayant une épaisseur constante:

(40)

(41 )

1 1

[ Me] = p h L 1 L 1 < N > T < N > det [ J ] dt: dT) ( 43)

- 28 -

,~~ \. La flèche w ( x, y ) n'étant pas définie de manière continue

sur l'élément DKQ, il est alors nécessaire dans ce cas de choisir

une interpolation pour celle-ci. Un po~yn~l!'e Hermit:ien peut ce rôle. Ce dernier est basé sur le quadrilatère à quatre de continuité semi-C 1 qui a comme pôlynome de base

jouer

noeuds

< P > = < 1 1; 11 1;2 1;11 112 1;3 1;211 1;11 2 113 1;311 3

1;11 > Les fonctions de forme ainsi que leur~ dérivées résultant' de cette base p6lynomiale sont données en annèxe IV .

c. L1l-

\-h...r l'Y) \. ~" Z;-' ~

- 29 -

CHAPITRE IV

VALIDATION ET TESTS NUMERIQUES

IV- TESTS NUMERIQUES DE L'ELEMENT DKQ:

Dans ce chapitre, nous allons présenter les ré sul tats de

plusieurs test~ numériques standards pour la convergence du DKQ et d'analyses de cas pratiques. Une comparaison avec des résultats

expérimentaux est faite pour certains exemples.

Les résultats des tests numér iques font intervenir un ou plusieurs éléments DKQ. Parmi les problèmes étudiés les l(;-o,..pS?J?j,tions de ~obinson sont incluses. Notre intéret porte sur

les déplacements et les efforts M , M , M . Ces derniers peuvent x y xy

être évalués en neuf points par élément (au centre de gravité, aux noeuds sommets et aux milieux des côtés.

IV-l PATCH-TEST

La formulation. théorique assure la compatibilité de l'élément DKQ car les variables (3x et f3 y intervenant dans le "principe"-"'~

variationnel" sont continues. Donc, le problème proposé en (fig.8) -

conf irme la compatibilité de l'élément. C'est un assemblage de cinq éléments DKQ qui modélisent une plaque rectangulaire reposant

sur trois appuis ( en 1,2, I_.J-~ Cette plaque est sollicitée aux

quatre coins de manière à générer une distribution ( théorique )

unitaire des efforts M , M 1 et M x y xy

En résultat, nous obtenons une répartition uniforme effective et unitaire pour

M 1 pour différente valeurs de v ainsi que pour xy

géométries.

- 31 -

M, M 1 et x y

différentes

Y

1 JJ N

l 1 .0.-

1·-

~. 5 6

13 L-

Conditioni limitei ~ W· 0 OU~'l\oeUaS '.~ el 7

SoLlitÎ1otàon. : My = b QU~ noeuds 2 er B

MI • .&. .. "',. IUIII",d .. .t 1

""1 ""aJ M.sQ ""li- noeeud .. ct 2-

M~ :-Q QUX ()oaud~ 1 et 8

p ~ -; " 'lu oocCAd 8

~

..... p Cl

lJ

• 1(

Ré~,"tofS: M" :1\\) -.: M4~ .. 1 co tou1 pOlot du r~ctal)9le lindép&od.ot d~ V)

lPou(" Q;'ZO, b-::.IO. E='COO. h::l,wa:: 1'2..4B aVec.

U • O.!) et wa::;~. b po",,. v: 0)

- 32 .-

IV-2 TEST DE ROBINSON : ----------

Dans cette partie, on s'intéresse aux deux problèmes proposés

par Robinson. On prend un seul élément rectangulaire encastré le

long d'un côté (fig. 9 ). les caractéristiques sont: largeur b =1

épaisseur h = 0.05, E = 107 , V = 0.25. L'influence du rapport L/h

allant de 1 à 10 4 est étudiée pour deux types de

sollicitations.L~ test A est défini par l'action de deux couples

M = 1 appliqués aux noeuds 2 et 3 pour la flexion génée. Le test y

B est caractérisé par l'action de deux charges concentrées p = 1 x

agissant en sens opposé aux noeuds 2 et 3 ( torsion génée ). les

valeurs obtenues pour W J suivant L /h sont reportées dans les

graphes des figures 10 et 11 pour les deux types de sollicitations.

- 33 -

7

TEST

- 34 -

WX1000 100~------------------------------~

80

60

40

20

-+- 16R16(Ref)

+-. OKQ

-j- LORA

-B- QUA04-MSC/NASTRAN

o L..--.....L.----L----L_-'----L-----I...-.l..--.....L.----L-----L- .--L __ ..L_-'--~

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

L/h FIGURE 10- TEST A ( FLEXION GENEE) POUR

DIFFERENTS ELEMENTS A 4 NOEUDS

- 35 -

WX1000 45~--------------------------------~

-- 16R16

40 . -+ LORA

35

30

25

20

15

10

5

-+- OKa

~ aUAD4MSC/NASTRAN

O~~~--~~~--~~--~~~--~~~

. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

L/h FIGURE 11-TEST B ( TORSION GENEE) POUR

DIFFERENTS ELEMENTS A 4 NOEUDS

- 36 -

Nous présentons les résultats d'une série d'analyse de

plaques carrées et rectangulaires encastrées et simplement

supportées, soumises à une charge concentrée au centre .Les

maillages sur un quart de plaque sont associés à un découpage en N

= l, 2, 3, 4 et 8 sections identiques le long d'un côté. les

résultats obt~nus ( déplacement au centre et moments de flexion et

réaction ) sont comparés aux résultats que nous avons pu relever

dans la littérature et concerant des éléments rectangulaires ou

quadrilatéraux à 12 D.L.( fig 12 et 13). Les solutions de

référence sont extraites de TIMOSHENKO .(l'V-elL....s\)7""v-...:,.L,'-~ ~ -\

Les Figures 14 à 20 concernent les variations et les erreurs -----sur le déplacement au centre en fonction du découpage suivant les

différentes configurations géométriques, le chargement et les

condi tions aux bords, alors que les figures 21 à 23 concernent

l'erreur sur les moments de flexion ou de torsion significatifs.

- 37 -

0.72 .---------------------,

0.69

0.66 Wc

0.63

--0 K Q

W Analy.- 0.6116

0.6~--~----~--~----~--~----~--~

f 1 '---

2 4-.~

FIGURE 12-PLAQUE ENCASTREE (b/s-H.

5 -6 7

CHARGE CONCENTREE. DEPLACEMENT CENTRAL.

- 38 -

8

Wc 1.65...-------------------,

1.5

1.35

1.2 1 2 3 4 5 6 7 Wc réf. - 1.266 N

1 ~DKQ -+- LORA -+- QUAD4 -8- QUS41

FIGURE 13-PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE (b/a-1).CHARGE CONCENTREE.DEPLACEMENT

CENTRAL

- 39 -

8

-- OKT(A) -+- OKT(B) 4-- OKQ

0/0 Erreur 35~----------------------------------~

30 y y

25 DKT(A) DKT(B)

x c x

20

y

15

DKQ

10 c

x

5

OL----L----~==~====d===~----~--~

1 2 3 4 5 6 7

N. FIGURE 14-COMPARAISON SUR L'ERREUR DE LA

FLECHE ENTRE OKT ET OKQ.PLAQUE SIMPLEMET SUPPORTEE-CHARGE CONCENTREE-(b/a-1)

- 40 -

8

0/0 Erreur 16~----------------------------------~

~ OKT(A) -+- DKT(B) -+- OKQ

14

12

10

8

6

4

2

o~~·~----~----~----~----~----~-----

1 2 3 4 5 6 7

N

FIGURE 16-COMPARAISON SUR L'ERREUR DE LA FLECHE ENTRE OKT ET DKQ.PLAQUE ENCASTREE

CHARGE CONCENTREE (b/a-1)

- 41 -

8

'-

Wc

2.1

1.9

1.7

1.5 '---_-'--_---L-_~ _ ___'_ __ _'____~ _ ___'

1 2 3 4 5 6 7

W analy. • 1.803 N

OKa -t- LORA -+- aUAD4

-8- ACM -*- PIAN

FIGURE 16-PLAQUE SIMPLEMENT SUPPORTEE (b/a-2).DEPLACEMENT CEN TRAL. CHARGE

CONCENTREE

- 42 -

8

Wc 1~------------------------------------~

0.,8 ~---

0.6 b c y

a

W Analy. • 0.788 N el 2 V= a,?> x 0.4 '--__ ~ _ __L._ _ ___L_ _ ___'_ __ ~ _ __"__ _ __'

1 2 3 4 5 6 7 8

N

-- OKa -+- LORA 4- aUAD4

-8- aUS4 --*" ACM

FIGURE 17- PLAQUE ENCASTREE(b/a-2). CHARGE ENCASTREE.DEPLACEMENT CENTRAL.

- 43 -

"0 Erreur

10

---o~~----------~--------------------~

-10

-20

-30~--~----~--~----~--~----~--~

1 2 3 4 6

N

- LORA -t- aUA04 -+- ACM

-8- aUS4 --*- OKa

FIGURE 18-ERREUR SUR LE DEPLACEMENT CENTRAL-PLAQUE ENCASTREE (b/a-2)­

CHARGE ENCA~T~E Ub1.tl ct!..- rl. ft

- 44 -

7 8

Wc

2.5 '1

~ -N-2

2.3 b w-0.3

c. A )(

2.1

1.9

1.7

1. 5 1-----:.--1-__ --1--__ L---_--1-__ -L-__ L---_---I

1 2 3 4 5 6 7

W réf. • 1.8.509 N

1 ~ OKQ -+- LORA -+- PIAN

FIGURE 19-PLAQUE RECTANGULAIRE (b/a-3) SIMPLEMENT SUPPORTEE SOUS CHARGE CONCEN­

TREE. DEPLACEMENT CçNTRAL

. - 45 -

8

W 0.9~--------------------------------~

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4 L---_--'-__ ....J.-__ L---_---'-__ ~ __ l.._ _ __l

1 2 3 4 5 6 7 8

N W Analy.- 0.791

- OKa -+ LORA --* aUA04 -B- aUS4

FIGURE 20- PLAQUE ENCASTREE (b/a-3). DEPLACEMENT CENTRAL-CHARGE CONCENTREE.

- 46 -

IMxyl

0.06 f-

~

-~l 1

0.04

'1

0.02

o

-0.02 1

1 1

\1/ \l, .." 'l' 'l'

Mxy Analy.(b/a-1)-0.0609

Mxy Analy.(b/a-2)· -0.03

Mxy ~naly.(b/,.·3)· -0.Q9

2 3 4

.

1 1 1

5 6 7

N

--- b/ a- 1 -+- b/ a- 2 --*- b/ a- 3

FIGURE 21-PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE SOUS CHARGE CONCENTREE- REACTION AU COIN -

- 47 -

\V

8

1· ~ OKQ -+- ACM ---*- KA

% Erreur sur R 16~----------------------------------~

y R-12Mxy/PI

- B

12 f-

I

..

8

4

2 3 4 5 6 7 8 9

N FIGURE 22-PLAQUE CARREE SIMPLEMENT

APPUYEE. CHARGE CONCENTREE. ERREUR SUR LA REACTION AU COIN

- 48 -

10

My 0.2~--------------------------------~

0.18

0.16

0.14

0.12

My Analy.(b/a-1)- 0.1267

My Analy.(b/a-2)- 0.164

----------------~-----------... \

My Analy.(b/a-3)· 0.168

0.1~--~----~--~----~----~--~--~

1 .2 3 4 5 6 7

N

~ b/a-1 -+- b/a-2 --+- b/4

FIGURE 23-PLAQUE ENCASTREE SOUS CHARGE CONCENTREE-MOMENT D'ENCASTREMENT (My)

- 49 -

8

, --

r- IV.::4_P~A.QU~ fOQR~E_AyEf gEÊ.U~T~T_EXPEgI!:!EN!AQX_:

COUL et DAS ont proposé une méthode analytique et ont

accompli des essais expérimentaux sur un pont courbe simplement

supporté le long de deux rayons et soumis à trois types de charge

concontrées. Les données mécaniques sont celles d'un matériau en

plexiglas et sont indiquées sur la Fig.( 24 ). Cette plaque a été

étudiée égalemertt par ALLWOOD et CORNES qui ont fourni des

résultats numériques en considérant un maillage de 60 éléments

hybrides quadrilatéraux à 12 D.L ..

Nous avons également modélisé

découpage régulier en 60 élements DKQ

la dalle

(10 x 6

cCLŒbe avec un

entièr~. Les résultats reportés sur les Figures

sur la plaque

25 à 27

concernent les variations des déplacements w le long du rayon

central pour les trois cas de charge concentrée Fig. 24 ) et

les variations des moments de flexion M et M le long du rayon f· t

central pour les trois cas de charge ( Fig~ 28 à 31 ).

- 50 -

B

A

~roy/

V 1

CoractùistiqIJe!): E :r. 4.6 x. 105 Ib/po2. h =O./ü8po V:: o. jj

Cf\Ot"gements: PA -=p{)-=p(.. =1 lb

FiS 2.4-_ PLAQUE COUf\8E. OONNE~S ET DEc.oUPAGE.

- 51 -

w/100, po

1.7

1.2 '--__ ..J.--__ --'---__ --L-__ --L. __ ----' __ -----'

7 8 9 10 11 12 13

rayon, po

Experience -t- OKa

4- Sol. Analytique -8- Eléments hybrides

FIGURE 25-PLAQUE COURBE DEPLACEMENT SUIVANT ABC - CHARGE AU POINT A -

- 52 -

w/100, po

5

3

1~----~------~----~------~----~----~

7 8 9 10 11 12 13

rayon, po

Experie~ce -+- OKa'

-+- Sol. Analytique -B- Eléments hybrides

FIGURE 26- PLAQUE COURBE.DEPLACEMENT SUIVANT ABC- CHARGE AU POINT B

- 53 -

~-

1

1-w/100, po

5

3

1~· ----~------~----~------~----~-----~

7 8 9 10 11 12 13

rayon, po

-- Experience -t- OKa

-+ Sol. Analytique -8-- Eléments hybrides

FIGURE 27-PLAQUE COURBE. DEPLACEMENT SUIVANT ABC- CHARGE AU POINT C -

- 54 -

Mt, Ib.po/po 1.2 ,-----------------------,

0.9

0.6

8 9 10 11 12 13

rayon, po

-- Experience -+- OKa

*"" Sol. Analytique -tt- Eléments hybrides

FIGURE 28- PLAQUE COURBE MOMENT Mt SUIVANT ABC -CHARGE AU POINT A -

- 55 -

Mt,lb.pO/po 0.8~--------------------------------~

0.6

0.4

0.2 '-----~---------~-----'---~----' 7 8 9 10 11 12 13

rayon, po

-- Experience -t- OKa

-*- . Sol. Analytique -8- Eléments hybrides

FIGURE 29- PLAQUE COURBE. MOMENT Mt SUIVANT ABC - CHARGE AU POINT B -

- 56 -

Mr,lb.po/po

0.4

0.2

0 7 8 9 10 11 12 13

rayon, po

----- Experience -f-- OKa

-*- Sol. Analytique -B- Eléments hybrides

FIGURE 30- PLAQUE COURBE.MOMENT Mr SUIVANT ABC- CHARGE AU POINT B -

- 57 -

Mt,lb.po/po 1.2~------------------------------------~

0.8

0.4

o~----~----~----~------~----~----~

7 8 9 10 11 12 13

rayon, po

Experience +- OKa

--*- Sol. Analytique -B- Eléments hybrides

FIGURE 31- PLAQUE COURBE. MOMENT Mt - CHARGE AU POINT C -

- 58 -

Nous présentons sur la Fig. 32 les résultats de l'analyse

statique d'une plaque encastrée sur un côté, de forme

parallélipédique et soumise à une charge uniforme répartie. Les

flèches obtenues en six points sont comparées aux valeurs

obtenues avec l'élément rectangulaire ACM avec les éléments

triangulaires DKT et HSM. L'élément rectangulaire conduit à une

erreur de discétisation géométrique relativement importante et il

est de plus incompatible.

- 59 -

ELEMENT MAILLAGE POINT 1

DKT 4 X 4 0.304

* (41], [42] ( 2 . 4 )

HSM 4 X 4 0.264

[41],[42'] (11.1)

ACM 6 X 8 0.296

[25] ( 0 .3 )

DKQ 4 x 8 0.280 (6.1)

VALEURS EXPERIMENTALES [25] 0.297

mo;II098 4 x a avec: OKQ

DEPLACEMENT TRAVERSAL

POINT 2 POINT :3 POINT 4 POINT 5 POINT 6

0.198 0.113 0.121 0.056 0.023

( 2 . 9 ) ( 6 . 6 ) ( 6 . 2 ) ( 0 . 7 ) ( 2 . 3 ) .

0.173 0.100 0.095 0.043 0.021

(15.2) (17.8) (26.4) (22.5) ( 5 . 5 )

0.198 0.114 0.114 0.052 0.02

( 2 . 9 ) ( 6 . 2 ) ( 6 . 2 ) ( 7 .1) (10.45)

0.202 0.114 0.114 0.053 0.02 ( 6 . 5 ) (6.2) ( 6 . 2 ) ( 7 .0) (10.45)

0.204 0.121 0.129 0.056 0.022

* Pourcentage d'erreur (en valeur absolue) par rapport aux ~aleurs experimentales.

FIGURE 32- PLAQUE ENCASTREE AVEC RESULTATS EXPERIMENTAUX.

_. 60 -

" ..

CHAPITRE V

COMPORTEMENT DYNAMIQUE

v- COMPORTEMENT DE L'ELEMENT DKQ DANS LE DOMAINE DYNAMIQUE

Pour vérifier l'aptitude de l'élément à considérer les

problèmes dynamiques, nous avons calculé dans ce chapitre les

premières fréquences propres de deux structures pour lesquelles

nous disposons de solutions analytiques ou expérimentales.

- La première structure considerée est une plaque carrée appuyée

simplement s~r les bords. Le tableau 1 donne les résultats

obtenus pour les modes (1,1), (1,3), (3,1) et (3,3) avec

différents maillages.

Il est à remarquer que notre élément présente une convergence

satisfaisante vers la solution de référence.

- La seconde structure considérée est une plaque rectangulaire

encastrée sur tout le contour.

Nous pouvons également constater que les résultats concordent

bien avec les solutions de référence.

- 62 -

* - Présentation des deux exemples :

- Plaque carrée simplement appuyée sur tout le contour

E la f) =

h = 0,0 a = 1 v = 0,3 a p 0,91575 =

a

- Plaque rectangulaire encastrée sur son contour

1

[1 L = 0,18 l = 0,13 h = 6 x 10- 4

E 2,07 10 ·11

= X

-L p = 0,3 p = 7700

L

- 63 -

CONCLUSIONS

Nous pouvons constater à travers la série de tests effectués

que l'élément (DKQ) évalué présente les caractéristiques

suivantes:

-Les résultats de l'élément DKQ pour l'analyse élastique

statique des plaques minces associée à la théor ie de Kirchhof f

sont performant~ et ce independamment du rapport longueur sur

épaisseur ( tests de Robinson )

-Le Patch-test est là pour verifier que la compatibilité de

l'élément est assurée.

-Des rapports diverses pour des plaques rectangulaires

b/ a = 1, 2 , 3 présents dans l t analyse de celles-ci sous

differents cas de charges et de conditions aux bords, donnent des

résultats très fiables.

pqr -Nous observons en fin, qu'un bon

le cas de plaque courbe et que

comportement est constaté

l'élément DKQ est très

intéréssant dans son comportement dans le domaine dynamique

( vibration libre ).

-En conclusion, nous pouvons remarquer que l'élément DKQ est

très simple dans sa formulation et fiable e.t eff icace dans son

comportement.

- 64 -

REFERNCES

1. BATOZ, J. L., DHATT, G., " Modélisation des structures par éléments finis" vol.l. France.

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- 69 -

CHAPITRE VI

ANNEXES

Annexe 1 :

Dérivation du déplacement transverse le long du contour ( S )

au point milieu ( k ) .. 1

west choisie cubique le long du côté donc •

a w -- = a a s 1 i =0 1

W 1 = w . + 2a 2 ·l + 3a3 ·l ,8. ,SI

J

( 1 )

1 12 13 w. 1 1 = w. + w .' + a 2 • + a 3 ] S= l,SI ( 2 )

En multipliant ( 1

soustraction on trouve :

par l et ( 2 ) par 2 et en faisant une

1 (w . , S]

+ w .) + 2 ( w. , Sil

- w j

a = 3

On remplace ( 3

w .- w ,S] ,Si

w . - W ,8] ,81

= 2.1

W k 1 ,8 8=1/2

dans (

[I( w

3 .

[ ( 3 2"

1 ) on obtient

, S j + w

1 8 1 +2(

13

2.1

w , 8 i

+ W .) ' 8 J

+ l

- 71 -

( 3 )

w.- w. ) ] 1 J

=

2( w.- w. ) ] 1 J

') 1<'

=W [

W ,- W , ,8] ,81

+ l. 2.1

W - W , s j , 81

3/2.-' -----l

, 1

2 (w, -w) ] 1 .J

+ 1 2

+ 3/4. [ l( W,8i + W,8j )

13

=W t ( 3 / 21 - 3 / 1) + W j ( 3 / 1

1 J + 2( w, - W,) ]

- 3/21) + w,(-1/4) , 1

+ W ,(-1/4) ,.J

'fi - 3 / 21 . ( W - WJ' ) -1 / 4 . (W , + W ,sk IJ ,SI ,SJ

Avec. 1" longueur du côté de noeud 1 et j. 1 J

a W W - --- 1 Dérivée 'de W au point i. ,8i - a s

i

w . = ,8 J

a W

a s 1 j

Dérivée de W au point J.

+

a W = a si k

-w Dér i vée de W au point k milieu, du···-,sk

côté ij

- 72 -

Annexe II :

Elément de référence et fonctions d' interpolation N. et 1

leures dérivées N. et N. 1'1; l'T)

TI

4 7 3 1

6 [

8 - 1 1

- 1

1 5 2

1

{ Ni } { : ;' } { cl N } 1

i ;-: (1-1;}:(1-T).(1+€+T) (1-T) . (2€-n) (1-F,) . (F,+2T)

1 -4 4 4

(1+€). (l-n). (l-€+n) (1-17) . (2F,-T) (1+1;) . (2 r/-1; ) 2 -

.4 4 4

(1+,~). (1+T)}. (l-€-n) (1+T). (2~+T) (1+€). (E,+2n) 3 -

4 4 4

(ç-l).(l+T).(l+ç-T) (n+l). (2ç-n) (E,-1}.(E,-2n) 4 -

4 ·4 4

2 (1-1; ).(1-T)} ( l- I; ~ )

5 -1; (l-n ) -2 , 2

2 (l-n }.(l+ç) (

2 1- TI )

6 2 2

-T) (1+F. )

-(1-1;2).(1+T) ( 1- E,~)

7 2 -1; (l+n )

2

(1-n 2 ).(1-1;) ( 1-2

n ) 8 2 -

2 -11 (1-f. )

- 73 -

Annexe III :

=

Fonction d'interpolation pour ~x

"(

On

~x

4

-2:

n

sin)' .. 1 J

- sin)'. 1 J

cos)' .. 1 J

s

] [:: ] k

pose )' i j = )'k cos}'. = Ck et sin}'. = Sk 1 J 1 J 8

= l: N .. ~ (Variation quadratique de /3 et ~ 1 X X Y i = 1 i

4 B

= -l: N .. w i=1 l,xi

+ l: N . . f3 1 X

(Hypothèse de Kirchhoff aux sommets ) i =5 i

4 B

= -l: N .. w l , xi

+ L Nk • (C. f3 1 n

i=5 - S.~

1 S i

=

=

i = 1

4

-l: N. w 1 ,x. i = 1 1

4

-l: N. . w 1 , X .

i = 1 1

B

+ l: N.C./3 lin

i =5

8

8

+ l: N.S.w i=5 1 l ,B

(Hypothèse de

Kirchhoff aux milieux 8

+ 1/2.l: NkC k (~n + f3 ) + L N S w n k k ,s k k=5 j k=5

k milieu du côté i-j et variation linéaire de f3 du côté )

n le long

8 8 N. . w

1 i = 1

,x. 1

- 1/2~~5NkCk (w,n i + w'/n~ +k~'iNkSkW,Sk

- 74 -

.. ' .......... ......

4 88.

= -2: N .. W 1 , x i

- 1/2.2: NkC k (w n + W ) + L NkSk·(-3wi/21i· k=5 'i ,nj k=5 J i = 1

- W 14 , S i

+ 3w/21 J i j

- W 14) 1 s .

J

W cubique le long du côté

) + (S e - C e )+ k x k y

j J

8 ~

+ 2: NkS k [-3w. 121 .. - 1/4{ S e + C e )+3w. 121 . . -1 1J k Y k x. J lJ

k =5 . i

- 1/4 ( sel- ce] k Y k x

J

8 U

-3/2 2: N S (w-w.) Il -1/4 .L NkCkS k ( 0 + 0 ) + k =5 k k 1 J 1 .J k :: 5 x 1 X

8

+ 1/4.2: NkS:{ e + e ) k::5 Yi Y j

En posant: a k= -Sk/lij

On trouve

b 3C S 14 t C - -c~ô/2 +S2 /4 k= - k k e 'k- k k'

4 B 8

(3 = L N.e + 3/2 L Nkak(wi-w)+ ·L Nkb k ( x i=1 1 Yi k=5 .J k::5

e + e )-x x

i j

8

- L Nkc k ( e + e k=5 Yi Y j

C . R - Hl H8 omme . p - < . . . • • . . . . . . . > . x x x

Où { Un} est : < w 1 ex 1

e ............. . e > Y4 Y1

- 75 - .

( 1 )

En développant ( 1 ) on aura :

H~ = 3 .( Nsas - NBa B )/2

/"---\

HZ = x

Pour trouver

Nsbs +

N -1 Nscs

( H4 x

HS ' X

( H7 ,HB

NBbB

- NBc B

H6 ' X

on remplace

,H9 on remplace

1 ,5 et 13 par Z ,6 et 8

1 ,5 et B par 3 ,7 et 6

(Hl0,Hl1,H1Z) on remplace 1 ,5 et B par 4 ,8 et 7

Un raisonne~ent analogue à celui qui vient d'être fait, nous

permet de trouver ~y

- 76 -

Annexe IV :

Elément cubique ( quadrilatère, 4 noe~ds )

fonctions d'interpolation utilisées dans

masse cohérente, ainsi que la charge équivalente.

le calcul de la

1)

u 4 .u3

> €

~

u 1 u2

u = u

u. l '1;

U 1, 1)

n. d. d. l = 12

i= 1, 2, 3, 4

La base polynomiale de la fonction d'interpolation est:

< P > = < 1

. { N } N= 8

a. ( a-ç-1) )

+ nd a. ( 1_ç2)

a. ( 2 3 1-n )

+ b. ( a+ç-n )

1_ç2) nd -b. (

b. ( 2 6 1-r) )

nd 3{: c. ( a+€+1) )

-c( 1_ç2)

-c. ( 2 9 1-1) }

d. ( a-€+1) ) r nd 4 11 d. ( 1_ç2)

-d. ( 2 12 l-T) )

Avec :a = ( 1- ç )( 1- T)

c = ( 1+ 1; )( 1+ 1) a = 2- 1;2_1)2 .

f,TI 2 3

~ TI TI

8 { ~ ~ } 8 { ~ ~ } 2 2

(l-1).(-3+3ç +1) +1) ) 2 2

(l-~).(-3+3n +~ +~ )

-a( 1+31;, ) (-1+F, )(1-E;2 )

(-l+n ) (l-n 2

) -a( 1+3n )

."} "?

(l-n).(+3-3~L-T)~-n ) (1+~) . (-3+31) -1; +~2) .,

-b( 1-31; ) (l+ç )(1-1; L)

( 1-T) )( 1-r) 2 ) -b( 1+31) )

2 ., (1-1).(+3-3ç _r)L+1) ) (l+E) . (3-31)

2 2 -f, +ç

-c( 1-31; ) (-1-1:

(-1-1) ) ( 1-1) 2 ) -c(

2 2 (1+1) . (-3+3€ +1) -1) ) (l-ç).(

-d( 1+31; ) (l-ç

(1+11 )(1-1) 2 ) -d(

b = ( 1+ ç ) ( 1- 11 )

d = ( 1- ç ) ( 1+ 11 )

- 77 -

)(1_1;2 )

1-311 )

2 2 3-31) -1; -1; )( 1-F,2 )

1-3T) )

)

)