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Lois de ComportementMMC
Thomas Gomez
LML
2017-2018
// [email protected] 1/51
Outline I
1 Loi de comportement
2 Comportements de base
3 Les constantes élastiques
4 Au delà du comportement élastique
5 Loi de rhéologie pour les fluidesFluides de StokesFluides NewtoniensFluides non Newtonien
// [email protected] 2/51
Loi de comportement
Définition⌘ lien entre les grandeurs cinématiques (vecteurs déplacements,tenseur des déformations) et les grandeurs dynamiques (tenseurs descontraintes) - Non universelSolide indéformable : la donnée des efforts extérieurs déterminent les 6ddls inconnus du mouvement.Solide déformable : bp plus d’inconnues �! vecteur déplacement,tenseur des déformations, tenseurs des contraintes.Loi de comportement =) resoudre le pb de fermeture
Loi de comportement// [email protected] 3/51
Problème de fermeture
DéfinitionInconnues : Densité ⇢, Déplacements ui, Déformations ✏ij etContraintes �ij
Lois universelles :Conservation de la masse
@t⇢+ @j(⇢vj) = 0
Lois d’équilibre :
Conservation de la quantité de mouvement
⇢�i = ⇢fi + @j(�ij)
Conservation de l’énergieDéfinition des déformations (HPP) :
✏ij =12(@jui + @iuj)
La loi de comportement est une loi non universelle - Relations entreles grandeurs dynamiques et les grandeurs cinématiques
f(�ij , ui, ✏ij , ...) = 0
Loi de comportement// [email protected] 4/51
Comportements de base
Elasticité
Comportements de base// [email protected] 5/51
Comportements de base
Viscosité1687 : Isaac Newton évoque les liquideset les écoulements sous cisaillementdans ses "Principia" :"The resistance which arises from thelack of slipperiness of the parts of theliquid, other things being equal, isproportional to the velocity with whichthe parts of the liquid are separated fromone another."Loi de Newton : T = ⌘ dy
dt
Coefficient de viscosité Newtonien : ⌘(1643-1727)
Comportements de base// [email protected] 6/51
Comportements de base
Viscosité
Comportements de base// [email protected] 7/51
Principaux comportements
Plasticité
Comportements de base// [email protected] 8/51
Comportements de base
Comportements mixtesElastoplasticitéViscoplasticitéElastoviscoplasticité...
Exemple : Viscoelasticite - Modèle de Maxwell
�x = �xressort +�xpatin =F
k+
F
⌘
=) F (t) = k
Z t
�1exp
�k
⌘(t� s)
��x ds = L
0st(�x)
Généralisable au 3D : ���(x, t) = L0st,y2⌦0
(���(y, s))
Comportements de base// [email protected] 9/51
Comportements : Pb modèles
Comportements de base// [email protected] 10/51
Comportements de base : Non Newtonien
Comportements de base// [email protected] 11/51
Les essais
PlasticitéLes essais de base
Matériaux dont le comportement est insensible à la vitesse de
sollicitation
Essai de traction, ou essai d’écrouissage.Essai sous chargement cyclique, ou essai de fatigue.
Matériaux dont le comportement est sensible à la vitesse de
sollicitation
Essai à contrainte constante, ou de fluage.Essai à déformation constante ou de relaxation.
Autres essaisEssai sous chargement multiple
Traction/torsion
Pression interne ou externe
Essais en flexion
Essais de fissuration
Comportements de base// [email protected] 12/51
Les essais : Traction
Comportements de base// [email protected] 13/51
Les essais : Compression
Comportements de base// [email protected] 14/51
Les essais : Observations
ZonesDéformations réversiblesDéformations irréversiblesFonction de la nature dumatériau
Comportements de base// [email protected] 15/51
Comportement élastique
DéfinitionUn milieu est dit élastique si l’état de contrainte actuel est entièrementdéterminé par le gradient de la transformation à l’instant actuel et non par sonhistoire passée
���(x, t) = L⌦0
(F (X, t))
PropriétésLe comportement ne dépend pas de la vitesse de sollicitation.La forme de la loi dépend à priori de la configuration de référence choisie⌦0.
Comportements de base// [email protected] 16/51
Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope
PropriétésCas Hypothèse des Petites Perturbations (HPP) :
���(x, t) = L(E(X, t))
Elasticité classique : Relation linéaire entre contraintes et déformations –Existence d’un potentiel élastique w
@✏ij
Comportement élastique homogène s’il est indépendant du point d’espace
��� = ���0 +⇤⇤⇤ : E ,
⇤⇤⇤ Tenseur des modules d’élasticité.
���0 Tenseur des contraintes résiduelles.
+ Effets thermiques (linéaires)��� = ���0 +⇤⇤⇤ : E+RRR�T 0 .
Comportements de base// [email protected] 17/51
Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope
Loi de HookeSans contraintes résiduelles ni effet thermique
��� = ⇤⇤⇤ : E
Notation indicielle�ij = ⇤ijkl✏kl
Tenseur d’ordre 4 : 81 coefficients pour les matériaux anisotropes.
Robert Hooke1678 : développe sa "True Theory of elasticity"� = E✏ avec E module d’Young (Rigidité)
(1634-1703)
Comportements de base// [email protected] 18/51
Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope
SymétrieSymétrie des tenseurs des déformations et des contraintes
⇤ijkl = ⇤ijlk et ⇤ijkl = ⇤jikl
Se réduit à 36 coefficientsHypothèse thermodynamique - Le tenseur d’élasticité est symétrique
⇤ijkl = ⇤klij
=) Notation de Voigt : 21 coefficients indépendants0
BBBBBB@
�11
�22
�33
�23
�31
�12
1
CCCCCCA=
0
BBBBBB@
⇤11 ⇤12 ⇤13 ⇤14 ⇤15 ⇤16
⇤12 ⇤22 ⇤23 ⇤24 ⇤25 ⇤26
⇤13 ⇤23 ⇤33 ⇤34 ⇤35 ⇤36
⇤14 ⇤24 ⇤34 ⇤44 ⇤45 ⇤46
⇤15 ⇤25 ⇤35 ⇤45 ⇤55 ⇤56
⇤16 ⇤26 ⇤36 ⇤46 ⇤56 ⇤66
1
CCCCCCA
0
BBBBBB@
✏11✏22✏33
�23 = 2✏23�31 = 2✏31�12 = 2✏12
1
CCCCCCA
Comportements de base// [email protected] 19/51
Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope
Cas orthotropeDéfinition : les propriétés élastiques présentent une symétrie selon troisplans perpendiculaires.Remarque : Un modèle isotrope transverse est automatiquementorthotrope (mais l’inverse n’est pas vrai)Exemple : tissus 2D ou 3D orthogonaux.Cas orthotrope : 9 coefficients indépendants
0
BBBBBB@
�11
�22
�33
�23
�31
�12
1
CCCCCCA=
0
BBBBBB@
⇤11 ⇤12 ⇤13 0 0 0⇤12 ⇤22 ⇤23 0 0 0⇤13 ⇤23 ⇤33 0 0 00 0 0 ⇤44 0 00 0 0 0 ⇤55 00 0 0 0 0 ⇤66
1
CCCCCCA
0
BBBBBB@
✏11✏22✏33
�23 = 2✏23�31 = 2✏31�12 = 2✏12
1
CCCCCCA
Comportements de base// [email protected] 20/51
Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope
Cas isotropeDéfinition : propriétés du matériau sont supposées identiques dans toutesles directions de l’espace.Cas isotrope : 2 coefficients indépendants
0
BBBBBB@
�11
�22
�33
�23
�31
�12
1
CCCCCCA=
0
BBBBBB@
⇤11 ⇤12 ⇤12 0 0 0⇤12 ⇤11 ⇤12 0 0 0⇤12 ⇤12 ⇤11 0 0 00 0 0 ⇤44 0 00 0 0 0 ⇤44 00 0 0 0 0 ⇤44
1
CCCCCCA
0
BBBBBB@
✏11✏22✏33
�23 = 2✏23�31 = 2✏31�12 = 2✏12
1
CCCCCCA
Coefficients de Lamé : � et µ
⇤11 = �+ 2µ , ⇤12 = � , ⇤44 = µ
Comportements de base// [email protected] 21/51
Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope
Termes de rigidité élastiqueDéfinition : propriétés du matériau sont supposées identiques dans toutesles directions de l’espace.
�ij = ��ij✏kk + 2µ✏ij
avec ✏kk = trace(E).Cette loi s’inverse pour obtenir les déformations à partir des contraintes(souplesses élastiques)
�kk = (3�+ 2µ)✏kk =) ✏ij =1
2µ�ij �
�
2µ(3�+ 2µ)�kk�ij
Les coefficients de Lamé (Pa) ont une signification physiqueMesurables à partir d’essais spécifiques (traction, ...)
Comportements de base// [email protected] 22/51
Les constantes élastiques
Essai de traction simple
��� =
0
@� 0 00 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@✏L 0 00 ✏T 00 0 ✏T
1
A
Les constantes élastiques// [email protected] 23/51
Les constantes élastiques
Essai de traction simple
��� =
0
@� 0 00 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@✏L 0 00 ✏T 00 0 ✏T
1
A
Définition : On définit le module d’Young et le coefficient de Poisson
E =�
✏Let ⌫ = �✏T
✏L
D’après la loi de comportement élastique
✏ij =1
2µ�ij �
�
2µ(3�+ 2µ)�kk�ij
=)(✏L = 1
2µ� � �2µ(3�+2µ) =
�+µµ(3�+2µ)�
✏T = � �2µ(3�+2µ)�
Les constantes élastiques// [email protected] 24/51
Les constantes élastiques
Essai de traction simple
��� =
0
@� 0 00 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@✏L 0 00 ✏T 00 0 ✏T
1
A
On en déduit :Module d’Young
E =µ(3�+ 2µ)
�+ µ
Coefficient de Poisson
⌫ =�
2(�+ µ)
Les constantes élastiques// [email protected] 25/51
Les constantes élastiques
Essai de glissement simple
��� =
0
@0 � 0� 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@0 �/2 0
�/2 0 00 0 0
1
A
Les constantes élastiques// [email protected] 26/51
Les constantes élastiques
Essai de glissement simple
��� =
0
@0 � 0� 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@0 �/2 0
�/2 0 00 0 0
1
A
Définition : On définit le module de Coulomb (de cisaillement) par
G =⌧
�
Loi de comportement élastique
✏ij =1
2µ�ij �
�
2µ(3�+ 2µ)�kk�ij =) �/2 = ⌧ ⇥ 1/2µ
Module de CoulombG = µ
Les constantes élastiques// [email protected] 27/51
Les constantes élastiques
Essai de compression hydrostatique
��� =
0
@� 0 00 � 00 0 �
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@✏ 0 00 ✏ 00 0 ✏
1
A
Définition : On définit le module de compressibilité par
K =�
3✏
Loi de comportement élastique
✏ij =1
2µ�ij �
�
2µ(3�+ 2µ)�kk�ij =) 3K = 3�+ 2µ
Les constantes élastiques// [email protected] 28/51
Les constantes élastiques
En résumé
E =µ(3�+ 2µ)
�+ µ, ⌫ =
�
2(�+ µ), 3K = 3�+ 2µ , G = µ
µ = G =E
2(1 + ⌫), � =
⌫E
(1� 2⌫)(1 + ⌫), 3K =
E
1� 2⌫
Lois de comportement
✏ij =1 + ⌫
E�ij �
⌫
E�kk�ij () �ij = ��ij✏kk + 2µ✏ij
Les constantes élastiques// [email protected] 29/51
Equations de Navier / Beltrami
Problème de mécanique des solides déformables (cas élastique déformable)
(ui,�ij)
8>>>>>>><
>>>>>>>:
✏ij =12 (@jui + @iuj)
⇢
✓@2ui
@t2� fi
◆� @�ij
@xj= 0 , 8M 2 ⌦0
�ij = ��ij✏kk + 2µ✏ij , 8M 2 ⌦0
TTT = ��� · n = td , 8M 2 @⌦td
uuu = ududud , 8M 2 @⌦u
+ Conditions initialesSolutions analytiques trop complexes =) traitement numérique2 schémas possibles selon les variables retenues
En déplacements si on élimine les contraintes - Equations de Navier
En contraintes si on élimine les déplacements - Equations de Beltrami
Les constantes élastiques// [email protected] 30/51
Equations de Navier / Beltrami
Problème de mécanique des solides déformables (cas élastique déformable)Formulation en déplacement - Equations de Navier
(�+ µ)@i(@juj) + µ@2jjui + ⇢fi = ⇢@2
ttui
Formulation en contrainte - Equations de Beltrami
@2kk�ij +
1
1 + ⌫@[email protected]�kk +
⌫
1� ⌫⇢@kfk�ij + ⇢(@ifj + @j fi) = 0
avecfi = fi �
@2ui
@t2
Les constantes élastiques// [email protected] 31/51
Modules d’élasticité
Les constantes élastiques// [email protected] 32/51
Synthèse des lois de comportements
Les constantes élastiques// [email protected] 33/51
Constantes d’élasticité
Les constantes élastiques// [email protected] 34/51
Au delà du comportement élastique
Comportement non linéaireComportement plastiqueComportement visco-élastiqueRéponse rhéologique non-linéaire
� = f( ✏|{z}plasticité
,d✏
dt|{z}viscosité
)
Au delà du comportement élastique// [email protected] 35/51
Fluides de Stokes
HypothèsesTenseur des contraintes �ij
Fonction continue du tenseur des taux de déformation Sij et de l’état
thermodynamique local.
Indépendant de la translation et de la rotation de l’élément : ie. propriétés
du fluide identiques pour tous les observateurs, qques soient les systèmes
d’axes qui les transportent.
Le fluide est sans élasticité, ie aucun effet mémoire.Le fluide est homogène : �ij ne peut dépendre explicitement descoordonnées.Le fluide est isotrope : mêmes propriétés dans toutes les directions.
Les directions principales des contraintes et des déformations coïncident.
La loi de comportement peut s’écrire dans un repère principal
�ij = f(S11, S22, S33)�ij avec f symétrique par rapport aux deux dernières
variables.
En absence de taux de déformation Sij = 0, le tenseur des contraintes se
réduit à celui créé par une pression hydrostatique, càd
�11 = �22 = �33 = f(S11, S22, S33) = �p, lorsque S11 = S22 = S33 = 0.
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides de Stokes/ [email protected] 36/51
Loi de rhéologie
Fluides Newtonien = Fluide de Stokes linéaireHypothèses pour les Contraintes visqueuses ⌧ij
Dépendance linéaire et isotrope avec Sij :
µ = ⌧/� = cstePas de dissipation dans une compression isotrope (hypothèse de Stokes)
Seuls les gaz et les liquides ayant une structure chimique suffisamment
simple.
Taux de déformation pas trop importants.
Tenseur des contraintes
�ij = �p�ij + ⌧ij = �p�ij +2µ
[email protected]�ij + 2µSij
Tenseur des taux de déformations : Sij = 12 (@iuj + @jui)
Viscosité dynamique (resistance au cisaillement) : µ
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides Newtoniens/ [email protected] 37/51
Loi de rhéologie
FluidesNewtonien : eau, huile, airNon Newtonien : Mayonnaise, Polymères, Crèmes, Sang ...
Seuil de contrainte : il faut exercer une contrainte minimale pour que la
mayonnaise s’écoule.
Effet Weissenberg(1893-1976) : Polymères (longues chaines de
macromolécules)
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 38/51
Loi de réhologie
Non Newtonien : Modèle d’Ostwald de Waele en loi de puissance
Rhéo-épaississant⌧ / �n
avec n > 1Produits alimentaires à base d’amidon, ...
Rhéo-fluidifiant⌧ / �n
avec n < 1Ketchup, Peintures
Viscosité apparanteµ = ⌧/� = m(�)n�1
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 39/51
Loi de réhologie
Non Newtonien : Mesures expérimentales
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 40/51
Loi de réhologie
Non Newtonien : Modèle d’Ostwald de Waele en loi de puissance
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 41/51
Loi de réhologie
Non Newtonien : Modèle d’Ostwald de Waele en loi de puissance
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 42/51
Loi de réhologie
Non Newtonien : Rého-épaississant
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 43/51
Exemple d’application des écoulements non Newtoniens
Les écoulements sanguinsConsidéré comme Newtonien dans les vaisseaux de diamètre assez large(Artéres).Vaisseaux de petite taille (< 1mm) ⇠ taille des globules rouges =) µn’est plus constante.Fluide rhéofluidifiant : viscosité décroit quand le taux de cisaillementaugmente
� ⌘ Taux de déformation
� =p
2(tr(Sij))2
Viscosité
µf (�) = k�n�1 , n < 1
où k et n sont des caractéristiques biologiques du sang.
Contraintes
�ij = 2µf (�)Sij
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 44/51
Exemple d’application des écoulements non Newtoniens
Autres type de modèle pour le sangFonction de pondération avec µ0 = 0.056Pa.s et µ1 = 0.00345Pa.s.
�(�, µ1, µ0) =µ(�)� µ1µ(0)� µ1
Autres exemples de fonction de pondération
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 45/51
Exemple d’application des écoulements non Newtoniens
Les écoulements sanguins
MultiphysiqueInteraction fluide/structurePulséGéométrie complexeMulti-échelleViscoélasticité (mémoire) : la viscosité dépend aussi de la déformation
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 46/51
Application des écoulements non Newtoniens
Réduction de traînéePetite quantité de polymère dans un fluide NewtonienCoefficient de frottement de Fanning
f =1
4
D
L
�p
⇢v2/2
D diamètre de la conduite, �p gradient de pression, L longueur, v vitessemoyenneRe ⇠ 105 + concentration de 5ppm (parts per million) =) réduction de40% du nombre de Fanning.
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 47/51
Application des écoulements non Newtoniens
Effet Weissenberg
Effets centrifugesContraintes centripètes dues au cisaillement
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 48/51
Application des écoulements non Newtoniens
Siphon sans tube
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 49/51
Application des écoulements non Newtoniens
Contraction
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 50/51
Application des écoulements non Newtoniens
Extrusion
Comprimé de façon élastique dans le direction radiale"Mémoire" de l’historique de la déformationLe cisaillement produit une contrainte élastique de traction dans ladirection axiale (longues chaines moléculaires).
Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 51/51
![SSND101 – Loi de comportement visqueux pour des él[] · L’amortisseur visqueux est représenté par ... Modèle rhéologique de l’amortisseur visqueux. Les valeurs des différentes](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5b98ef1109d3f219118d0164/ssnd101-loi-de-comportement-visqueux-pour-des-el-lamortisseur-visqueux.jpg?t=1685619232)
![Loi de comportement des milieux poreux : modèle de[] · Code_Aster Version default Titre : Loi de comportement des milieux poreux : modèle de[...] Date : 09/02/2011 Page : 8/44](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5b96723009d3f206218b6bd8/loi-de-comportement-des-milieux-poreux-modele-de-codeaster-version-default.jpg?t=1685619232)
![Loi de comportement de plaques en béton armé GLRC [] · 2015-08-04 · Code_Aster Version default Titre : Loi de comportement de plaques en béton armé GLRC_[...] Date : 23/04/2012](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5f05f7847e708231d4159f26/loi-de-comportement-de-plaques-en-bton-arm-glrc-2015-08-04-codeaster-version.jpg?t=1685619232)
![Choix du comportement élasto-(visco)-plastique · • Pour les lois hyperélastiques ( de type Mooney-Rivlin) voir [R5.03.19] Loi de comportement hyperélastique. Matériau presque](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5fc6ec6d3414c84c59541a69/choix-du-comportement-lasto-visco-plastique-a-pour-les-lois-hyperlastiques.jpg?t=1685619232)
![· Code_Aster Version default Titre : Loi de comportement des milieux poreux : modèle de[...] Date : 09/02/2011 Page : 8/44 Responsable : PLESSIS Sarah Clé : …](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5b9745e909d3f2e10f8c5f99/-codeaster-version-default-titre-loi-de-comportement-des-milieux-poreux-.jpg?t=1685619232)
