MMC lectures LoisComportement - thomas-gomez.net ??tenseur des dformations, tenseurs des contraintes. Loi de comportement =) resoudre le pb de fermeture Loi de comportement// @univ

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  • Lois de ComportementMMC

    Thomas Gomez

    LML

    2017-2018

    // thomas.gomez@univ-lille1.fr 1/51

    Outline I

    1 Loi de comportement

    2 Comportements de base

    3 Les constantes lastiques

    4 Au del du comportement lastique

    5 Loi de rhologie pour les fluidesFluides de StokesFluides NewtoniensFluides non Newtonien

    // thomas.gomez@univ-lille1.fr 2/51

    Loi de comportement

    Dfinition lien entre les grandeurs cinmatiques (vecteurs dplacements,tenseur des dformations) et les grandeurs dynamiques (tenseurs descontraintes) - Non universelSolide indformable : la donne des efforts extrieurs dterminent les 6ddls inconnus du mouvement.Solide dformable : bp plus dinconnues ! vecteur dplacement,tenseur des dformations, tenseurs des contraintes.Loi de comportement =) resoudre le pb de fermeture

    Loi de comportement// thomas.gomez@univ-lille1.fr 3/51

    Problme de fermeture

    DfinitionInconnues : Densit , Dplacements ui, Dformations ij etContraintes ijLois universelles :

    Conservation de la masse

    @t+ @j(vj) = 0

    Lois dquilibre :

    Conservation de la quantit de mouvement

    i = fi + @j(ij)

    Conservation de lnergieDfinition des dformations (HPP) :

    ij =12(@jui + @iuj)

    La loi de comportement est une loi non universelle - Relations entreles grandeurs dynamiques et les grandeurs cinmatiques

    f(ij , ui, ij , ...) = 0

    Loi de comportement// thomas.gomez@univ-lille1.fr 4/51

  • Comportements de base

    Elasticit

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 5/51

    Comportements de base

    Viscosit1687 : Isaac Newton voque les liquideset les coulements sous cisaillementdans ses "Principia" :"The resistance which arises from thelack of slipperiness of the parts of theliquid, other things being equal, isproportional to the velocity with whichthe parts of the liquid are separated fromone another."Loi de Newton : T = dydtCoefficient de viscosit Newtonien :

    (1643-1727)

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 6/51

    Comportements de base

    Viscosit

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 7/51

    Principaux comportements

    Plasticit

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 8/51

  • Comportements de base

    Comportements mixtesElastoplasticitViscoplasticitElastoviscoplasticit...

    Exemple : Viscoelasticite - Modle de Maxwell

    x = xressort +xpatin =F

    k+

    F

    =) F (t) = kZ t

    1exp

    k(t s)

    x ds = L

    0st(x)

    Gnralisable au 3D : (x, t) = L0st,y20

    ((y, s))

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    Comportements : Pb modles

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 10/51

    Comportements de base : Non Newtonien

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 11/51

    Les essais

    PlasticitLes essais de base

    Matriaux dont le comportement est insensible la vitesse de

    sollicitation

    Essai de traction, ou essai dcrouissage.Essai sous chargement cyclique, ou essai de fatigue.

    Matriaux dont le comportement est sensible la vitesse de

    sollicitation

    Essai contrainte constante, ou de fluage.Essai dformation constante ou de relaxation.

    Autres essaisEssai sous chargement multiple

    Traction/torsion

    Pression interne ou externe

    Essais en flexion

    Essais de fissuration

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 12/51

  • Les essais : Traction

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 13/51

    Les essais : Compression

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 14/51

    Les essais : Observations

    ZonesDformations rversiblesDformations irrversiblesFonction de la nature dumatriau

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 15/51

    Comportement lastique

    DfinitionUn milieu est dit lastique si ltat de contrainte actuel est entirementdtermin par le gradient de la transformation linstant actuel et non par sonhistoire passe

    (x, t) = L0

    (F (X, t))

    PropritsLe comportement ne dpend pas de la vitesse de sollicitation.La forme de la loi dpend priori de la configuration de rfrence choisie0.

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 16/51

  • Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    PropritsCas Hypothse des Petites Perturbations (HPP) :

    (x, t) = L(E(X, t))

    Elasticit classique : Relation linaire entre contraintes et dformations Existence dun potentiel lastique w

    ij =@w

    @ij

    Comportement lastique homogne sil est indpendant du point despace

    = 0 + : E ,

    Tenseur des modules dlasticit.0 Tenseur des contraintes rsiduelles.

    + Effets thermiques (linaires) = 0 + : E+RRRT

    0 .

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 17/51

    Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    Loi de HookeSans contraintes rsiduelles ni effet thermique

    = : E

    Notation indicielleij = ijklkl

    Tenseur dordre 4 : 81 coefficients pour les matriaux anisotropes.

    Robert Hooke1678 : dveloppe sa "True Theory of elasticity" = E avec E module dYoung (Rigidit)

    (1634-1703)

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 18/51

    Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    SymtrieSymtrie des tenseurs des dformations et des contraintes

    ijkl = ijlk et ijkl = jikl

    Se rduit 36 coefficientsHypothse thermodynamique - Le tenseur dlasticit est symtrique

    ijkl = klij

    =) Notation de Voigt : 21 coefficients indpendants0

    BBBBBB@

    112233233112

    1

    CCCCCCA=

    0

    BBBBBB@

    11 12 13 14 15 1612 22 23 24 25 2613 23 33 34 35 3614 24 34 44 45 4615 25 35 45 55 5616 26 36 46 56 66

    1

    CCCCCCA

    0

    BBBBBB@

    112233

    23 = 22331 = 23112 = 212

    1

    CCCCCCA

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 19/51

    Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    Cas orthotropeDfinition : les proprits lastiques prsentent une symtrie selon troisplans perpendiculaires.Remarque : Un modle isotrope transverse est automatiquementorthotrope (mais linverse nest pas vrai)Exemple : tissus 2D ou 3D orthogonaux.Cas orthotrope : 9 coefficients indpendants

    0

    BBBBBB@

    112233233112

    1

    CCCCCCA=

    0

    BBBBBB@

    11 12 13 0 0 012 22 23 0 0 013 23 33 0 0 00 0 0 44 0 00 0 0 0 55 00 0 0 0 0 66

    1

    CCCCCCA

    0

    BBBBBB@

    112233

    23 = 22331 = 23112 = 212

    1

    CCCCCCA

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 20/51

  • Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    Cas isotropeDfinition : proprits du matriau sont supposes identiques dans toutesles directions de lespace.Cas isotrope : 2 coefficients indpendants

    0

    BBBBBB@

    112233233112

    1

    CCCCCCA=

    0

    BBBBBB@

    11 12 12 0 0 012 11 12 0 0 012 12 11 0 0 00 0 0 44 0 00 0 0 0 44 00 0 0 0 0 44

    1

    CCCCCCA

    0

    BBBBBB@

    112233

    23 = 22331 = 23112 = 212

    1

    CCCCCCA

    Coefficients de Lam : et

    11 = + 2 , 12 = , 44 =

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 21/51

    Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    Termes de rigidit lastiqueDfinition : proprits du matriau sont supposes identiques dans toutesles directions de lespace.

    ij = ijkk + 2ij

    avec kk = trace(E).Cette loi sinverse pour obtenir les dformations partir des contraintes(souplesses lastiques)

    kk = (3+ 2)kk =) ij =1

    2ij

    2(3+ 2)kkij

    Les coefficients de Lam (Pa) ont une signification physiqueMesurables partir dessais spcifiques (traction, ...)

    Comportements de base// thomas.gomez@univ-lille1.fr 22/51

    Les constantes lastiques

    Essai de traction simple

    =

    0

    @ 0 00 0 00 0 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @L 0 00 T 00 0 T

    1

    A

    Les constantes lastiques// thomas.gomez@univ-lille1.fr 23/51

    Les constantes lastiques

    Essai de traction simple

    =

    0

    @ 0 00 0 00 0 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @L 0 00 T 00 0 T

    1

    A

    Dfinition : On dfinit le module dYoung et le coefficient de Poisson

    E =

    Let = T

    L

    Daprs la loi de comportement lastique

    ij =1

    2ij

    2(3+ 2)kkij

    =)(L =

    12

    2(3+2) =

    +(3+2)

    T = 2(3+2)

    Les constantes lastiques// thomas.gomez@univ-lille1.fr 24/51

  • Les constantes lastiques

    Essai de traction simple

    =

    0

    @ 0 00 0 00 0 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @L 0 00 T 00 0 T

    1

    A

    On en dduit :Module dYoung

    E =(3+ 2)

    +

    Coefficient de Poisson

    =

    2(+ )

    Les constantes lastiques// thomas.gomez@univ-lille1.fr 25/51

    Les constantes lastiques

    Essai de glissement simple

    =

    0

    @0 0 0 00 0 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @0 /2 0

    /2 0 00 0 0

    1

    A

    Les constantes lastiques// thomas.gomez@univ-lille1.fr 26/51

    Les constantes lastiques

    Essai de glissement simple

    =

    0

    @0 0 0 00 0 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @0 /2 0

    /2 0 00 0 0

    1

    A

    Dfinition : On dfinit le module de Coulomb (de cisaillement) par

    G =

    Loi de comportement lastique

    ij =1

    2ij

    2(3+ 2)kkij =) /2 = 1/2

    Module de CoulombG =

    Les constantes lastiques// thomas.gomez@univ-lille1.fr 27/51

    Les constantes lastiques

    Essai de compression hydrostatique

    =

    0

    @ 0 00 00 0

    1

    A ()Loi de com