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Lois de ComportementMMC
Thomas Gomez
LML
2017-2018
// [email protected] 1/51
Outline I
1 Loi de comportement
2 Comportements de base
3 Les constantes lastiques
4 Au del du comportement lastique
5 Loi de rhologie pour les fluidesFluides de StokesFluides
NewtoniensFluides non Newtonien
// [email protected] 2/51
Loi de comportement
Dfinition lien entre les grandeurs cinmatiques (vecteurs
dplacements,tenseur des dformations) et les grandeurs dynamiques
(tenseurs descontraintes) - Non universelSolide indformable : la
donne des efforts extrieurs dterminent les 6ddls inconnus du
mouvement.Solide dformable : bp plus dinconnues ! vecteur
dplacement,tenseur des dformations, tenseurs des contraintes.Loi de
comportement =) resoudre le pb de fermeture
Loi de comportement// [email protected] 3/51
Problme de fermeture
DfinitionInconnues : Densit , Dplacements ui, Dformations ij
etContraintes ijLois universelles :
Conservation de la masse
@t+ @j(vj) = 0
Lois dquilibre :
Conservation de la quantit de mouvement
i = fi + @j(ij)
Conservation de lnergieDfinition des dformations (HPP) :
ij =12(@jui + @iuj)
La loi de comportement est une loi non universelle - Relations
entreles grandeurs dynamiques et les grandeurs cinmatiques
f(ij , ui, ij , ...) = 0
Loi de comportement// [email protected] 4/51
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Comportements de base
Elasticit
Comportements de base// [email protected] 5/51
Comportements de base
Viscosit1687 : Isaac Newton voque les liquideset les coulements
sous cisaillementdans ses "Principia" :"The resistance which arises
from thelack of slipperiness of the parts of theliquid, other
things being equal, isproportional to the velocity with whichthe
parts of the liquid are separated fromone another."Loi de Newton :
T = dydtCoefficient de viscosit Newtonien :
(1643-1727)
Comportements de base// [email protected] 6/51
Comportements de base
Viscosit
Comportements de base// [email protected] 7/51
Principaux comportements
Plasticit
Comportements de base// [email protected] 8/51
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Comportements de base
Comportements
mixtesElastoplasticitViscoplasticitElastoviscoplasticit...
Exemple : Viscoelasticite - Modle de Maxwell
x = xressort +xpatin =F
k+
F
=) F (t) = kZ t
1exp
k(t s)
x ds = L
0st(x)
Gnralisable au 3D : (x, t) = L0st,y20
((y, s))
Comportements de base// [email protected] 9/51
Comportements : Pb modles
Comportements de base// [email protected] 10/51
Comportements de base : Non Newtonien
Comportements de base// [email protected] 11/51
Les essais
PlasticitLes essais de base
Matriaux dont le comportement est insensible la vitesse de
sollicitation
Essai de traction, ou essai dcrouissage.Essai sous chargement
cyclique, ou essai de fatigue.
Matriaux dont le comportement est sensible la vitesse de
sollicitation
Essai contrainte constante, ou de fluage.Essai dformation
constante ou de relaxation.
Autres essaisEssai sous chargement multiple
Traction/torsion
Pression interne ou externe
Essais en flexion
Essais de fissuration
Comportements de base// [email protected] 12/51
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Les essais : Traction
Comportements de base// [email protected] 13/51
Les essais : Compression
Comportements de base// [email protected] 14/51
Les essais : Observations
ZonesDformations rversiblesDformations irrversiblesFonction de
la nature dumatriau
Comportements de base// [email protected] 15/51
Comportement lastique
DfinitionUn milieu est dit lastique si ltat de contrainte actuel
est entirementdtermin par le gradient de la transformation linstant
actuel et non par sonhistoire passe
(x, t) = L0
(F (X, t))
PropritsLe comportement ne dpend pas de la vitesse de
sollicitation.La forme de la loi dpend priori de la configuration
de rfrence choisie0.
Comportements de base// [email protected] 16/51
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Cas linaire, lastique, homogne et isotrope
PropritsCas Hypothse des Petites Perturbations (HPP) :
(x, t) = L(E(X, t))
Elasticit classique : Relation linaire entre contraintes et
dformations Existence dun potentiel lastique w
ij [email protected]
@ij
Comportement lastique homogne sil est indpendant du point
despace
= 0 + : E ,
Tenseur des modules dlasticit.0 Tenseur des contraintes
rsiduelles.
+ Effets thermiques (linaires) = 0 + : E+RRRT
0 .
Comportements de base// [email protected] 17/51
Cas linaire, lastique, homogne et isotrope
Loi de HookeSans contraintes rsiduelles ni effet thermique
= : E
Notation indicielleij = ijklkl
Tenseur dordre 4 : 81 coefficients pour les matriaux
anisotropes.
Robert Hooke1678 : dveloppe sa "True Theory of elasticity" = E
avec E module dYoung (Rigidit)
(1634-1703)
Comportements de base// [email protected] 18/51
Cas linaire, lastique, homogne et isotrope
SymtrieSymtrie des tenseurs des dformations et des
contraintes
ijkl = ijlk et ijkl = jikl
Se rduit 36 coefficientsHypothse thermodynamique - Le tenseur
dlasticit est symtrique
ijkl = klij
=) Notation de Voigt : 21 coefficients indpendants0
[email protected]
112233233112
1
CCCCCCA=
0
[email protected]
11 12 13 14 15 1612 22 23 24 25 2613 23 33 34 35 3614 24 34 44
45 4615 25 35 45 55 5616 26 36 46 56 66
1
CCCCCCA
0
[email protected]
112233
23 = 22331 = 23112 = 212
1
CCCCCCA
Comportements de base// [email protected] 19/51
Cas linaire, lastique, homogne et isotrope
Cas orthotropeDfinition : les proprits lastiques prsentent une
symtrie selon troisplans perpendiculaires.Remarque : Un modle
isotrope transverse est automatiquementorthotrope (mais linverse
nest pas vrai)Exemple : tissus 2D ou 3D orthogonaux.Cas orthotrope
: 9 coefficients indpendants
0
[email protected]
112233233112
1
CCCCCCA=
0
[email protected]
11 12 13 0 0 012 22 23 0 0 013 23 33 0 0 00 0 0 44 0 00 0 0 0 55
00 0 0 0 0 66
1
CCCCCCA
0
[email protected]
112233
23 = 22331 = 23112 = 212
1
CCCCCCA
Comportements de base// [email protected] 20/51
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Cas linaire, lastique, homogne et isotrope
Cas isotropeDfinition : proprits du matriau sont supposes
identiques dans toutesles directions de lespace.Cas isotrope : 2
coefficients indpendants
0
[email protected]
112233233112
1
CCCCCCA=
0
[email protected]
11 12 12 0 0 012 11 12 0 0 012 12 11 0 0 00 0 0 44 0 00 0 0 0 44
00 0 0 0 0 44
1
CCCCCCA
0
[email protected]
112233
23 = 22331 = 23112 = 212
1
CCCCCCA
Coefficients de Lam : et
11 = + 2 , 12 = , 44 =
Comportements de base// [email protected] 21/51
Cas linaire, lastique, homogne et isotrope
Termes de rigidit lastiqueDfinition : proprits du matriau sont
supposes identiques dans toutesles directions de lespace.
ij = ijkk + 2ij
avec kk = trace(E).Cette loi sinverse pour obtenir les
dformations partir des contraintes(souplesses lastiques)
kk = (3+ 2)kk =) ij =1
2ij
2(3+ 2)kkij
Les coefficients de Lam (Pa) ont une signification
physiqueMesurables partir dessais spcifiques (traction, ...)
Comportements de base// [email protected] 22/51
Les constantes lastiques
Essai de traction simple
=
0
@ 0 00 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@L 0 00 T 00 0 T
1
A
Les constantes lastiques// [email protected] 23/51
Les constantes lastiques
Essai de traction simple
=
0
@ 0 00 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@L 0 00 T 00 0 T
1
A
Dfinition : On dfinit le module dYoung et le coefficient de
Poisson
E =
Let = T
L
Daprs la loi de comportement lastique
ij =1
2ij
2(3+ 2)kkij
=)(L =
12
2(3+2) =
+(3+2)
T = 2(3+2)
Les constantes lastiques// [email protected] 24/51
-
Les constantes lastiques
Essai de traction simple
=
0
@ 0 00 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@L 0 00 T 00 0 T
1
A
On en dduit :Module dYoung
E =(3+ 2)
+
Coefficient de Poisson
=
2(+ )
Les constantes lastiques// [email protected] 25/51
Les constantes lastiques
Essai de glissement simple
=
0
@0 0 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@0 /2 0
/2 0 00 0 0
1
A
Les constantes lastiques// [email protected] 26/51
Les constantes lastiques
Essai de glissement simple
=
0
@0 0 0 00 0 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@0 /2 0
/2 0 00 0 0
1
A
Dfinition : On dfinit le module de Coulomb (de cisaillement)
par
G =
Loi de comportement lastique
ij =1
2ij
2(3+ 2)kkij =) /2 = 1/2
Module de CoulombG =
Les constantes lastiques// [email protected] 27/51
Les constantes lastiques
Essai de compression hydrostatique
=
0
@ 0 00 00 0
1
A ()Loi de comportement
EEE =
0
@ 0 00 00 0
1
A
Dfinition : On dfinit le module de compressibilit par
K =
3
Loi de comportement lastique
ij =1
2ij
2(3+ 2)kkij =) 3K = 3+ 2
Les constantes lastiques// [email protected] 28/51
-
Les constantes lastiques
En rsum
E =(3+ 2)
+ , =
2(+ ), 3K = 3+ 2 , G =
= G =E
2(1 + ), =
E
(1 2)(1 + ) , 3K =E
1 2Lois de comportement
ij =1 +
Eij
Ekkij () ij = ijkk + 2ij
Les constantes lastiques// [email protected] 29/51
Equations de Navier / Beltrami
Problme de mcanique des solides dformables (cas lastique
dformable)
(ui,ij)
8>>>>>>>>>>>>>:
ij =12 (@jui + @iuj)
@[email protected]
fi @ij
@xj= 0 , 8M 2 0
ij = ijkk + 2ij , 8M 2 0TTT = n = td , 8M 2 @tduuu = ududud , 8M
2 @u
+ Conditions initialesSolutions analytiques trop complexes =)
traitement numrique2 schmas possibles selon les variables
retenues
En dplacements si on limine les contraintes - Equations de
NavierEn contraintes si on limine les dplacements - Equations de
Beltrami
Les constantes lastiques// [email protected] 30/51
Equations de Navier / Beltrami
Problme de mcanique des solides dformables (cas lastique
dformable)Formulation en dplacement - Equations de Navier
(+ )@i(@juj) + @2jjui + fi = @
2ttui
Formulation en contrainte - Equations de Beltrami
@2kkij +1
1 + @[email protected] +
1 @kfkij + (@ifj + @j fi) = 0
avecfi = fi
@[email protected]
Les constantes lastiques// [email protected] 31/51
Modules dlasticit
Les constantes lastiques// [email protected] 32/51
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Synthse des lois de comportements
Les constantes lastiques// [email protected] 33/51
Constantes dlasticit
Les constantes lastiques// [email protected] 34/51
Au del du comportement lastique
Comportement non linaireComportement plastiqueComportement
visco-lastiqueRponse rhologique non-linaire
= f( |{z}plasticit
,d
dt|{z}viscosit
)
Au del du comportement lastique// [email protected]
35/51
Fluides de Stokes
HypothsesTenseur des contraintes ij
Fonction continue du tenseur des taux de dformation Sij et de
ltatthermodynamique local.
Indpendant de la translation et de la rotation de llment : ie.
proprits
du fluide identiques pour tous les observateurs, qques soient
les systmes
daxes qui les transportent.
Le fluide est sans lasticit, ie aucun effet mmoire.Le fluide est
homogne : ij ne peut dpendre explicitement descoordonnes.Le fluide
est isotrope : mmes proprits dans toutes les directions.
Les directions principales des contraintes et des dformations
concident.
La loi de comportement peut scrire dans un repre principal
ij = f(S11, S22, S33)ij avec f symtrique par rapport aux deux
derniresvariables.
En absence de taux de dformation Sij = 0, le tenseur des
contraintes serduit celui cr par une pression hydrostatique, cd
11 = 22 = 33 = f(S11, S22, S33) = p, lorsque S11 = S22 = S33 =
0.
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides de Stokes/
[email protected] 36/51
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Loi de rhologie
Fluides Newtonien = Fluide de Stokes linaireHypothses pour les
Contraintes visqueuses ij
Dpendance linaire et isotrope avec Sij :
= / = cstePas de dissipation dans une compression isotrope
(hypothse de Stokes)
Seuls les gaz et les liquides ayant une structure chimique
suffisamment
simple.
Taux de dformation pas trop importants.
Tenseur des contraintes
ij = pij + ij = pij +2
[email protected] + 2Sij
Tenseur des taux de dformations : Sij = 12 (@iuj + @jui)Viscosit
dynamique (resistance au cisaillement) :
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides Newtoniens/
[email protected] 37/51
Loi de rhologie
FluidesNewtonien : eau, huile, airNon Newtonien : Mayonnaise,
Polymres, Crmes, Sang ...
Seuil de contrainte : il faut exercer une contrainte minimale
pour que la
mayonnaise scoule.
Effet Weissenberg(1893-1976) : Polymres (longues chaines de
macromolcules)
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
[email protected] 38/51
Loi de rhologie
Non Newtonien : Modle dOstwald de Waele en loi de puissance
Rho-paississant / n avec n > 1Produits alimentaires base
damidon, ...
Rho-fluidifiant / n avec n < 1Ketchup, Peintures
Viscosit apparante = / = m()n1
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
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Loi de rhologie
Non Newtonien : Mesures exprimentales
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
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Loi de rhologie
Non Newtonien : Modle dOstwald de Waele en loi de puissance
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
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Loi de rhologie
Non Newtonien : Modle dOstwald de Waele en loi de puissance
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
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Loi de rhologie
Non Newtonien : Rho-paississant
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
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Exemple dapplication des coulements non Newtoniens
Les coulements sanguinsConsidr comme Newtonien dans les
vaisseaux de diamtre assez large(Artres).Vaisseaux de petite taille
(< 1mm) taille des globules rouges =) nest plus constante.Fluide
rhofluidifiant : viscosit dcroit quand le taux de
cisaillementaugmente
Taux de dformation
=p
2(tr(Sij))2
Viscosit
f () = kn1 , n < 1
o k et n sont des caractristiques biologiques du
sang.Contraintes
ij = 2f ()Sij
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
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Exemple dapplication des coulements non Newtoniens
Autres type de modle pour le sangFonction de pondration avec 0 =
0.056Pa.s et 1 = 0.00345Pa.s.
(, 1, 0) =() 1(0) 1
Autres exemples de fonction de pondration
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
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Exemple dapplication des coulements non Newtoniens
Les coulements sanguins
MultiphysiqueInteraction fluide/structurePulsGomtrie
complexeMulti-chelleViscolasticit (mmoire) : la viscosit dpend
aussi de la dformation
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Application des coulements non Newtoniens
Rduction de tranePetite quantit de polymre dans un fluide
NewtonienCoefficient de frottement de Fanning
f =1
4
D
L
p
v2/2
D diamtre de la conduite, p gradient de pression, L longueur, v
vitessemoyenneRe 105 + concentration de 5ppm (parts per million) =)
rduction de40% du nombre de Fanning.
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Application des coulements non Newtoniens
Effet Weissenberg
Effets centrifugesContraintes centriptes dues au
cisaillement
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Application des coulements non Newtoniens
Siphon sans tube
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
[email protected] 49/51
Application des coulements non Newtoniens
Contraction
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
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Application des coulements non Newtoniens
Extrusion
Comprim de faon lastique dans le direction radiale"Mmoire" de
lhistorique de la dformationLe cisaillement produit une contrainte
lastique de traction dans ladirection axiale (longues chaines
molculaires).
Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/
[email protected] 51/51
