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U.M.R. n 8579

Mcanique des Milieux Continus

Aide Mmoire

Master-MSROE

A.Modaressi

Laboratoire de Mcanique des Sols, Structures et Matriaux

Ecole Centrale Paris

22 novembre 2004

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2

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Table des matires

1 Vecteurs et Tenseurs 71.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Produit triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Symbole de Kronecker ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Symbole de permutation ijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6 Manipulation des indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Tenseurs dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Matrice dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Composantes dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Composantes dun vecteur transform . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4 Sommation des tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5 Produit des tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.6 Transpos dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.7 Produit tensoriel de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.8 Trace dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.9 Tenseur didentit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.10 Inverse dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.11 Tenseur orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.12 Matrice de Transformation entre deux systmes de coordonnes car-

tsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.13 Transformation dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.14 Transformation dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.15 Tenseurs symtriques et antisymtriques . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.16 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.17 Directions principales et valeurs principales . . . . . . . . . . . . . . 141.2.18 Invariants dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Champs scalaire, vectoriel et tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 Champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Champ tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.4 Divergence dun vecteur ou dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.5 Laplacien dun scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.6 Rotationnel ou Curl dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3

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4 TABLE DES MATIRES

2 Milieu Continu 172.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Description du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.1 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Description eulrienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 tude des Dformations 213.1 Transformation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Vecteur matriel, Transport convectif . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Transport dun volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.3 Transport dune surface oriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Dformation dans une transformation homogne . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Dilatation dans une direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2 Glissement dans un couple de direction orthogonale . . . . . . . . . 23

3.3 Dcomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Tenseur de dformation de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Transformation homogne tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5.1 Formules de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.2 Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7 Transformation infinitsiamale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.8 Gradient dun champ de tenseurs sur la configuration actuelle . . . . . . . 25

3.9 Compatibilit gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Cinmatique du Milieu Continu 274.1 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 Taux de dformation lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2 Mouvement quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Description eulrienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.1 Drive dun vecteur transport par le mouvement . . . . . . . . . 284.2.2 Taux de dformation eulrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 tude du tenseur taux de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.1 Mouvement rigidifiant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.2 Taux dallongement unitaire ou vitesse dextension . . . . . . . . . 294.3.3 Mouvement quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.4 Taux de dilatation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.5 Taux dallongement unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.6 Taux de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Compatibilit du champ de vitesse de dformation . . . . . . . . . . . . . . 314.5 Mouvement rigidifiant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6 Transformation infinitsimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.7 Drives particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.7.1 Drives particulaires en description de Lagrange . . . . . . . . . . 314.7.2 Drives particulaires en description dEuler . . . . . . . . . . . . . 32

4.8 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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TABLE DES MATIRES 5

4.8.1 Description eulrienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.8.2 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Les Puissances Virtuelles et la Modlisation des Efforts 355.1 Efforts et tat de contraintes sur un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Mthode des Puissances Virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Tenseur de contraintes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4 Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5 Conditions aux limites naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 tude des Contraintes 416.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2 Contraintes normale et tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3 Rciprocit des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4 Directions principales, contraintes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.5 Invariants lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.6 Tenseur dviateur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.7 Invariants de s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.8 Contraintes sur la facette Octadrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.9 Plan de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.10 tat de contraintes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.11 Critres de limite dlasticit pour les matriaux isotropes . . . . . . . . . 45

6.11.1 Critre de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.11.2 Critre de von Miss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.12 Contraintes en description de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Thermodynamique des Milieux Continus 517.1 1er principe de la thermodynamique (conservation dnergie) . . . . . . . . 517.2 2me principe de la thermodynamique (bilan dentropie) . . . . . . . . . . 527.3 Expressions lagrangiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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6 TABLE DES MATIRES

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Chapitre 1

Vecteurs et Tenseurs

1.1 Introduction

Considerons le point M(x1, x2, x3)avec :

x = OM=x1e1+ x2e2+ x3e3x = xi ei

1.1.1 Produit scalaire

a bT = a b (1.1)= (a1e1+ a2e2+ a3e3) (b1e1+ b2e2+ b3e3)= a1b1+ a2b2+ a3b3=aibi

= |a| |b|Cos

1.1.2 Produit vectoriel

a b = c=

e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3

(1.2)

1.1.3 Produit triple

a (b c) = (a b) c= (a,b,c) (1.3)

7

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8 CHAPITRE 1. VECTEURS ET TENSEURS

1.1.4 Symbole de Kroneckerij

ij = ei ej =

1 si i= j0 si i =j (1.4)

ii = 11+ 22+ 33= 3 (1.5)

1mam = 11a1+ 12a2+ 13a3 = a1 (1.6)

imam = ai (1.7)

1mmj = 111j+ 122j+ 133j =1j (1.8)

immj = ij (1.9)

immj = ij (1.10)

1.1.5 Symbole de permutation ijk

ei (ej ek) = (1.11)

ijk =

1 si permutation paire1 si permutation impaire0 si permutation quelconque

(1.12)

123 = 231=312 = 1 (1.13)

132 = 321=213 = 1 (1.14)112 = 111= 0 (1.15)

ijk = jki =kij = ikj = kji = jik (1.16)e3 = e1 e2 (1.17)

1.1.6 Manipulation des indices

Substitution

ai = Uimbm (1.18)

bi = Vimcm=bm= Vmncn (1.19)

ai = UimVmncn (1.20)

Multiplication

p = ambm (1.21)

q = cmdm (1.22)pq = ambmcndn=amqmcmdm (1.23)

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1.2. TENSEURS DORDRE 2 9

Factorisation

ijnj ni = 0 (1.24)ni = ijnj (1.25)

ijnj ijnj = (ij ij)nj = 0 (1.26)

Contraction : sommation sur deux indices

ii est la contraction de ij

1.2 Tenseurs dordre 2

Transformations linaires qui transforment un vecteur en un vecteur

a = c (1.27) b = d (1.28)

(a + b) = a + b (1.29) (a) = a (1.30)

(a+ b) = a + b (1.31)(1.32)

si a= a = (galit des tenseurs)

1.2.1 Matrice dun tenseur

=

12 12 1321 22 2332

32

33

(1.33)

1.2.2 Composantes dun tenseur

e1 = 11e1+ 21e2+ 31e3 (1.34) e2 = 12e1+ 22e2+ 32e3 (1.35) ei = jiej (1.36)

11 = e1 ( e1) (1.37)12 = e1 ( e2) (1.38)ij = ei ( ej) (1.39)

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e1

e1 =

1 0 00 0 0

0 0 0

(1.59)

e1 e2 = 0 1 00 0 0

0 0 0

(1.60)

e2 e1 = 0 0 01 0 0

0 0 0

(1.61)a sb = 1

2(aibj+ ajbi) (1.62)

= 11

e1

e1+

12e1

e2

(1.63)

+ 13e1 e3+ ... (1.64) = ijei ej (1.65)

1.2.8 Trace dun tenseur

tr() = ii=11+ 22+ 33 (1.66)

tr() = tr(T) (1.67)

1.2.9 Tenseur didentit

Ia = a (1.68)

Ie1 = e1 (1.69)

Ie2 = e2 (1.70)

Iij = ei

I

ej =ei

ej =ij (1.71)

si a= a = I (1.72)

1.2.10 Inverse dun tenseur

Linverse dun tenseur Aest B tel que :

BA = I (1.73)

B = A1 (1.74)

(AT)1 = (A1)T (1.75)

(B A)1

= A1

B1

(1.76)A a = b a= A1b (1.77)

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1.2.11 Tenseur orthogonal

Le tenseur orthogonal est une transformation linaire o le vecteur conserve sa lon-gueur :

|Qa| = |a| (1.78)|Qb| = |b| (1.79)

(Qb)T (Qa) = bTQTQa= bT(QTQ)a (1.80)= bTa= bTIa (1.81)

QTQ = I QT =Q1 (1.82)Q QT = QTQ= I (1.83)

QimQjm = QmiQmj =ij (1.84)

|Q|2 = |I| = 1 (1.85)

|Q| = 1 =

+1 rotation1 reflexion (1.86)

1.2.12 Matrice de Transformation entre deux systmes de coor-

donnes cartsiennes

ei

= QTei=Qmiem (1.87)

e1 = Q11e1+ Q21e2+ Q31e3 (1.88)

e2 = Q12e1+ Q22e2+ Q32e3 (1.89)

e3 = Q13e1+ Q23e2+ Q33e3 (1.90)

QimQjm = QmiQmj =ij (1.91)

Q11 = e1Qe1 = e1 e1 = Cosinus dangle entre e1 et e1 (1.92)Q12 = e1Qe2 = e1 e1 = Cosinus dangle entre e1 et e2 (1.93)Q21 = e2Qe1 = e2

e1 = Cosinus dangle entre e2 et e

1 (1.94)

Qij = Q11 Q12 Q13Q21 Q22 Q23

Q31 Q32 Q33

(1.95)

1.2.13 Transformation dun vecteur

ai = a ei (1.96)ai = a ei=aQmiem = Qmi(aem) =Qmiam (1.97)a = QT a (1.98)a = Q a (1.99)

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1.2.14 Transformation dun tenseur

ij = eiej (1.100)

ij = eie

j (1.101)

ei = Qmiem (1.102)

ij = Qmi(emQnj)en = QmiQnjemen=QmiQnjmn (1.103)

= QTQ (1.104)

= QQT (1.105)

ii = ii (1.106)

1.2.15 Tenseurs symtriques et antisymtriques

Le tenseur est symtrique si : Aij =ATij =Aji Le tenseur Aest antisymtrique si : Aij = ATij = Aji

A = AS + AA (1.107)

AS = A+ AT

2 (1.108)

AA = A

AT

2 (1.109)

1.2.16 Valeurs propres et vecteurs propres

un vecteur propre transforme un tenseur en un vecteur paralll lui mme

a= a (1.110) est la valeur propre Le vecteur propre peut avoir nimporte quelle longueur. Trs souvent on le normalise

1.

Systme de trois quations , trois inconnus

n= n (1.111)( I) n= 0 (1.112)

solution triviale n= 0 solution non triviale est obtenue en rsolvant lquation caractristique du degr

3det| I| = 0 (1.113)

1, 2, 3 ni obtenu pour i ni1

2+ ni2

2+ ni3

2= 1

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1.2.17 Directions principales et valeurs principales

Si le tenseur est rel et symtrique, toutes ses valeurs propres sont relles. On ditalors que les valeurs sont principales. Les vecteurs propres sont des directions prin-cipales. Elles sont orthogonales entre elles.

Matrice dun tenseur dans la base principale : 1 0 00 2 00 0 3

(1.114)1.2.18 Invariants dun tenseur

Lquation caractristique dun tenseur dordre 2 est une quation cubique en ,quon peut crire sous la forme suivante :

3 II2 + III III I= 0 (1.115)

avec :

II = T r() (1.116)

III =

11 1221 22

+

22 2332 33

+

11 1331 33

(1.117)

= 12(iijj ijji) (1.118)

= 1

2[(T r)2 T r(2)] (1.119)

III I =

11 12 1321 22 2331 32 33

=det[] (1.120) Comme les valeurs principales ne dpendent pas du choix de la base, les II, III et

III Iny dpendent pas non plus. Alors :

II = 1+ 2+ 3 (1.121)III = 12+ 23+ 31 (1.122)

III I = 123 (1.123)

1.3 Champs scalaire, vectoriel et tensoriel

1.3.1 Champ scalaire

Comme la densit, la temprature,le potentiel lctrique, la pression,...

= f(x1, x2, x3) (1.124) = (r+ dr) (r) = dr (1.125)

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1.3. CHAMPS SCALAIRE, VECTORIEL ET TENSORIEL 15

dr = e (1.126)

= grad = x1

e1+ x2e2+ x3

e3 (1.127)

1.3.2 Champ vectoriel

Comme le dplacement, la vitesse, l acclration,le flux,...

dv = v(r+ dr) v(r) = v dr (1.128)(

dv

dr)suivant r = v (1.129)

(

dv

dr )suivante1 = v e1 (1.130)(v)11 = e1ve1=e1(

v

x1) =

v

x1(e1 v) (1.131)

(v)ij = vixj

(1.132)

1.3.3 Champ tensoriel

Les contraintes, les dformations, les vitesses de dformations ou de contraintes,...

1.3.4 Divergence dun vecteur ou dun tenseur

divv = tr(v) = vixi

(1.133)

div = imxm

ei (1.134)

1.3.5 Laplacien dun scalaire

2= div(grad) = 2

x12+

2

x22+

2

x32 (1.135)

1.3.6 Rotationnel ou Curl dun vecteur

Curlv= v= e1 e2 e3x1 x2 x3

v1 v2 v3

= ijkvk,j (1.136)

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Chapitre 2

Milieu Continu

2.1 Introduction

But :

Modlisation de la "Ralit" par une formulation mathmatiquequi permet ltude mcanique

tant thoriquequexprimentaledu milieu continu.

Milieu continu ? Volume lmentaire Reprsentatif (VER)

Point matriel , particule

solide qui se dforme liquide qui coule volume du gaz quon comprime ou qui stend matriaux granulaires?

Trois ingrdients : Lois de conservation

quilibre (quantit de mouvement) Masse nergie

Lois de comportement Conditions de gomtries et la compatibilit des dplacements et les dformations Systme dquations diffrentielles quon rsout grce aux conditions aux limites et

les conditions initiales. Rfrentiel: Ensemble des points de lespace euclidien de lobservateur. Repre : Pour reprer les points spatiales des particules dun systme dans un

rfrentiel.changement de repre

changement de coordonnes

changement de rfrentiel changement de lobservateurObjectivit : Carcatre intrinsque vis a vis du changement de rfrentiel.

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18 CHAPITRE 2. MILIEU CONTINU

2.2 Description du mouvement

OM = x= (x1, x2, x3) (2.1)

OM0 = X= (X1, X2, X3) (2.2)

2.2.1 Description lagrangienne

x = (X, t) (2.3)

X = (X, 0) (2.4)

X = (x, t) t, M t, M0 0 (2.5)

Hypothses de continuit :

= 1 bijection M0M0 restent voisins(MM) 0 t domaine matriel (transport par le mouvement) 0 t surface matrielle (surface transporte par le mouvem x0 0 x t frontire est une surface matrielle Ji= DxiDa Jacobien de la transformationJ dterminant de la matrice JacobienneJi 0< J

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2.2. DESCRIPTION DU MOUVEMENT 19

2. Lignes de courant : Des lignes enveloppes du champ des vecteurs v un instantdonnT. Elles constituent une famille de courbes gomtriques 2 paramtres. Le

systme diffrentiel de 2 quations en x1, x2, x3 les dcrivant est donn par :

dx1v1(x, T)

= dx2v2(x, T)

= dx3v3(x, T)

(2.12)

3. Lignes dmission : Lieu des particules passant par point P. Son quation est obtenuepar :

x= ((xp, t), T) t0 t T (2.13)

4. Mouvement stationnaire ou permanent : La vitesse est indpendante de t(v(x, t) =v(x)).

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20 CHAPITRE 2. MILIEU CONTINU

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Chapitre 3

tude des Dformations

Transport convectif : Lexpression de lvolution dun domaine entran par lemouvement.

Dformation: Les "changements" subits par la gomtrie dun systme dans unetransformation entre deux configurations.

3.1 Transformation homogne

x= (X, t) =F(t)X+ c(t) (3.1)

on doit avoir :0< J(x, t) =det[F(t)]< + t (3.2)

Cette dfinition est invariante par changement de repre.Fdfinit une application linairede lespace en raison du caractre affine de la transformation.

3.1.1 Vecteur matriel, Transport convectif

v=F V (3.3)

Le tenseurFdfinit la transformation entre la configuration initiale K0et la configurationactuelle Kt

3.1.2 Transport dun volume

[A,B,C] =

A1 A2 A3B1 B2 B3C1 C2 C3

(3.4)

[a,b,c] = F(t)[A,B,C] (3.5)det[a,b,c] = detF(t)det[A,B,C] (3.6)

21

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22 CHAPITRE 3. TUDE DES DFORMATIONS

det[A,B,C] = 0 (3.7)

det[a,b,c] = t (3.8)

t = detF(t)0 (3.9)

J = detF(t) = t0

dilatation volumique (3.10)

t 00

= J 1 variation du volume (3.11)

3.1.3 Transport dune surface oriente

n = F N (3.12)b = F B (3.13)

S0 = AXN (3.14)

St = Axn (3.15)

0 = AXN BT (3.16)t = Axn bT =Axn BTFT =det[F]AXN BT B (3.17)

AxnFT = det[F]AXN B (3.18)

Axn = det[F[F]TAXN (3.19)

3.2 Dformation dans une transformation homogne

v = F V =V FT (3.20)

w = F W (3.21)

v w = V FTF W =V CW (3.22)avec

C = FTF symtrique, dfini positif (3.23)

C: tenseur de Cauchy.

3.2.1 Dilatation dans une direction

W = V (3.24)

|v|2 = V CV (3.25)

(V) = |v||V|

=(V CV)1/2

|V| (3.26)

(V) 1est lallongement unitaire

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3.3. DCOMPOSITION POLAIRE 23

3.2.2 Glissement dans un couple de direction orthogonale

|v w| = |v| |w| cos( 2 ) (3.27)

sin = V CW

(V CV)1/2(W CW)1/2 (3.28)

exemple 1 :

(e1) =

C11 (3.29)

exemple 2 :

V = e1 (3.30)

W = e2 (3.31)sin =

C12C11C22

(3.32)

si= 0, deux vecteurs, restentaprs transformationnotion de la base principaleet les vecteurs principaux.Cest diagonal dans cette base.

3.3 Dcomposition polaire

F = RU=V R (3.33)R(t) : tenseur de rotation (3.34)

U : tenseur de dformation pure (3.35)

C = FTF =UTRTRU=UTU=U2 (3.36)

(3.37)

La transformation du systme est constitue dune rotation compos avec une appli-cation linaire admettant les directions principales du tenseur des dilatations avecdes valeurs propres positives.

U et Cont les mmes directions principales

Uest la dformation pure du systme. Les directions principales du tenseur des dilatations dans une configuration sonttransportes convectivement dune autre configuration selon les directions orthogo-nales.

3.4 Tenseur de dformation de Green-Lagrange

v w V W = V(FTF I)W = 2V LW (3.38)avec

L = 1

2(FTF I) =1

2(C I) (3.39)

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La les mmes directions principales que C. Si la transformation est une isomtrie directe (Fest une matrice de rotation), on a

une transformation rigidifiante :FTF =I L= C I= 0 Le tenseur des dformations de Green-Lagrange a videmment les mmes direc-

tion principales que le tenseur des dilatations. Ses valeurs principales sont appelesdformations principales :

Li=1

2(2i 1) (3.40)

o lesisont les valeurs principales du tenseur des dilatations Les glissement sont : sin = L12

(1+L11)(1+L22)

3.5 Transformation homogne tangenteCest le cas gnral de la dformation dun milieu continu. On remplacelocalementen

chaque pointM0 de K0 la transformation par une transformation homognefonction dem0, qui lui est tangente.

xi = (iXj

(X, t)Xj)) + (xi iXj

(X, t)Xj)) + |M0M0| (M0, M0) (3.41)avec lim

M0M0

(M0, M0) = 0 (3.42)

Fij(X, t) =

i

Xj (X, t) (3.43)

F(X, t) = i

Xj(X, t)ei ej (3.44)

F(X, t) = X(X, t) gradient de la transformation enM0 (3.45)

3.5.1 Formules de transport

Transport dun vecteur dM=F(X, t) dM0Transport dun volume dt=J(X, t)d0Transport dune surface oriente da= J(X, t)FT(X, t)

dA0

3.5.2 Dformations

Tenseur des dilatationsdM dM = dM0 C(X, t) dM0C(X, t) =F(X, t)TF(X, t)

Tenseur des dformations de Green-Lagrangee(X, t) = 1

2(F(X, t)TF(X, t) I(X, t))

ds2

ds2

0= 2dM

0 e(X, t)

dM

0

avec : ds= |dM|, ds0 = |dM0|

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3.6. DPLACEMENTS 25

3.6 Dplacements

Le dplacement de la particule situ en M0dansK0, entre les configurationsK0etKtest :

u(X, t) = M0M=x X=(X, t) (3.46)F(X, t) = X(X, t) =I+ Xu(X, t) (3.47)

e(X, t) = 1

2(Xu(X, t) + Xu(X, t)T + Xu(X, t)TXu(X, t)) (3.48)

Relation non linaire entre le champ de dplacement et le champ de dformation deGreen-Lagrange.

3.7 Transformation infinitsiamale

Xu(X, t) 1 M0 0 (3.49)(X, t) =

1

2(Xu(X, t) + Xu(X, t)T)) (3.50)

J = detF =det(I+ Xu) (3.51)linaris J = 1 +tr(Xu) = 1 + div(u) (3.52)

dt = Jd0= (1 +div(u))d0 (3.53)dt d0

d0= div(u) (3.54)

3.8 Gradient dun champ de tenseurs sur la configura-tion actuelle

T(x, t) = T((x, t), t) (3.55)

T(x, t) = T(X, t) (3.56)x = (X, t) =X+ u(X, t) (3.57)

XT(X, t) = gradxT(x, t) X(X, t) (3.58)XT(X, t) = gradxT(x, t) +gradxT(x, t) Xu(X, t) (3.59)

Pour les transformations infinitesimales, on peut confondre les deux oprateurs :

et grad

en particulier

Xu(X, t) et gradxu(x, t)

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3.9 Compatibilit gomtrique

Sont les dformations compatibles avec la continuit du milieu ? La condition ncessaire et suffisante pour quun champ de vecteur soit un champ

de gradient (de fonction scalaire)sur un domaine connexe est : rotationnel nul. Lesscalaires sont les composantes de u, et les vecteurs sont les colonnes du tenseurdformations.

mkiphjij,hk = 0 (3.60)

223,23 = 33,22+ 22,33 (3.61)

+permutation circulaire (3.62)

13,23 12,33 33,21+ 32,31 = 0 (3.63)+permutation circulaire (3.64)

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Chapitre 4

Cinmatique du Milieu Continu

4.1 Description lagrangienne

x= F(t)X+ c(t) t [0, T] (4.1) Drive particulaire : drive par rapport au temps dune grandeur attache un

lment matriel, en suivant la particule dans son mouvement. En dscription lagrangienne identique la driv partielle

V(X, t) =

x(X, t)

t =

dx(X, t)

dt (4.2)

V(X, t) = dF(t)

dt .X+

dc(t)

dt (4.3)

V(X, t) = F(t).X+ c(t) (4.4)

Drive dun vecteur transport par le mouvement :

w = F W (4.5)dw

dt = w= F W (4.6)

Drive dun volume transport par le mouvement :

t = detF(t)0 = J(t)0 (4.7)

t = detF(t)0 = J(t)0 (4.8)

J = detF(t) =det F(t) (4.9)

4.1.1 Taux de dformation lagrangien

v w = V C(t) W =V (I+ 2e) W (4.10)v w = V (FT(t) F(t) +FT(t)F(t)) W (4.11)v w = 2V e(t) W (4.12)

27

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28 CHAPITRE 4. CINMATIQUE DU MILIEU CONTINU

Le tenseur eest appel tenseur taux de dformation lagrangien.

e(t) = 12

(FT(t) F(t) +FT(t)F(t)) (4.13)

4.1.2 Mouvement quelconque

F(X, t) = X(X, t) (4.14)

V(X, t) =

t(X, t) (4.15)

F(t) = XV(X, t) (4.16)dM = XV(X, t) dM0 (4.17)dt = J(X, t)d0 (4.18)

e(X, t) = 1

2(XV(X, t)T X(X, t) + XV(X, t)TX(X, t)) (4.19)

4.2 Description eulrienne

x = F(t)X+ c(t) (4.20)

v = v(x, t) (4.21)

v(x, t) = F(t).X+ c(t) (4.22)

= F(t).F1x F(t).F1c+ c(t) (4.23)t [0, T]

K(t) = F(t).F1 (4.24)

v(x, t) = K(t) x+ V0(t) (4.25)

vest une fonction affine de x

4.2.1 Drive dun vecteur transport par le mouvement

w = F(t) F1(t) w (4.26)w = K(t) w (4.27)

Taux de dilatation volumique

t = JJ1

t (4.28)JJ1 = tr(K(t)) (4.29)

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4.3. TUDE DU TENSEUR TAUX DE DFORMATION 29

4.2.2 Taux de dformation eulrien

w m = w m+ w m (4.30)= w (KT(t) +K(t)) m (4.31)= 2w D(t) m (4.32)

D(t) = 1

2(KT(t) +K(t)) (4.33)

D(t)est le tenseur de taux de dformation eulrien ou vitesse de dformation

D(t) = FT(t) e(t) F1(t) (4.34)

4.3 tude du tenseur taux de dformation

4.3.1 Mouvement rigidifiant

v(x, t) = (t)

OM+ v0(t) (4.35)

v(x, t) = (t) x+ v0(t) (4.36)

o est le tenseur du second ordre antisymtrique associci au vecteur .

D(t) = O (4.37)

4.3.2 Taux dallongement unitaire ou vitesse dextension

|w||w| =

w D(t) w|w|2 (4.38)

pour w = e1 (4.39)|w||w| = d11 (4.40)

w m = 2w D(t) m= |w||m| (4.41)pour w= e1 et m= e2 (4.42)

= 2d12 (4.43)pour les directions principales = 0 (4.44)

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4.3.3 Mouvement quelconque

dM = gradxv(x, t) dM (4.45)K(x, t) = gradxv(x, t) (4.46)dM = XV(X, t) dM0 (4.47)

= XV(X, t) F1(X, t) dM (4.48)

4.3.4 Taux de dilatation volumique

dt = dttr(K(x, t)) (4.49)dtdt

= divv(x, t) (4.50)

Tau ou vitesse de dformationdM dM = 2dM D(x, t) dM (4.51)D(x, t) =

1

2(gradxv(x, t) +gradxv

T(x, t)) (4.52)

4.3.5 Taux dallongement unitaire

dsds

= d11(x, t) (4.53)

o ds= |dM| (4.54)et d11=e1 D(x, t) e1 (4.55)

Taux de glissement

= 2d12(x, t) (4.56)

Le tridre orthogonal des directions principales de D(x, t)reste orthogonal.

4.3.6 Taux de rotation

(x, t) = 1

2(gradxv(x, t) gradxvT(x, t)) (4.57)

dM Kt (x, t) dM = (x, t) dM (4.58)(x, t) =

1

2rotv(x, t) (4.59)

(x, t)est le vecteur vitesse de rotation instantane du tridre des directions principalesde D(x, t), linstant t dans le transport par le mouvement.

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4.4. COMPATIBILIT DU CHAMP DE VITESSE DE DFORMATION 31

4.4 Compatibilit du champ de vitesse de dformation

mkiphjDij,hk = 0 (4.60)

2D23,23 = D33,22+ D22,33 (4.61)

+permutation circulaire (4.62)

D13,23 D12,33 D33,21+ D32,31 = 0 (4.63)+permutation circulaire (4.64)

4.5 Mouvement rigidifiant

D(x, t) = 0 (4.65)

(x, t) = (t) antisymtrique arbitraire (4.66)

v(x, t) = (t) x + v0 v0arbitraire (4.67)

4.6 Transformation infinitsimale

D(x, t) = 1

2(XV(X, t) + XV(X, t)T) = e(X, t) (4.68)

4.7 Drives particulaires

On veut tudier lvolution au cours du temps des grandeurs attaches une particuleou un ensemble de particule. Cette grandeur est une fonction de lespace et du temps.

4.7.1 Drives particulaires en description de LagrangeB = B(X, t) tant une grandeur scalaire, vectorielle ou tensorielle relative une

particule, sa driv particulaire sobtient par simple drivation partielle par rapport autemps :

B=B

t(X, t) (4.69)

On peut considrer lintgrale de volume, de surface ou de ligne de ce grandeur prise surle domaine occup par le systme dans la configuration de rfrence par :

I = I(0, t) = 0 B0(X, t)d0 (4.70)I = I(0, t) =

0

B0(X, t)d0 (4.71)

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I = I(L0, t) =L0

B0(X, t)dL0 (4.72)

I = It

= B0t

4.7.2 Drives particulaires en description dEuler

Comme les grandeurs sont dfinies en fonction de leur positions gomtriques dansla configuration actuelle et du temps, on doit driver ces fonctions ou ces intgrales parrapport au temps en suivant la particule ou lensemble des particules concernes.

B = B(X, t) =b((X, t), t) (4.73)

B =

b

t + gradb

t (4.74)

B = dB

dt =

b

t+ gradxb v(x, t) (4.75)

o le second membre de droite est appel terme de convection

(x, t) = dv(x, t)

dt =

v(x, t)

t + gradxv(x, t) v(x, t) (4.76)

Drive particulaire dun vecteur

dM = F DM0 (4.77)

d(dM)

dt =

dF

dtdM0=gradxvF (4.78)

d(dM)

dt = gradxv dM (4.79)

Drive particulaire dun volume

d(dt)

dt =

d

dt(Jd0) = Jd0=

1

J

Jdt (4.80)J = detF (4.81)

J = Jdivv (4.82)d(dt)

dt = divvdt (4.83)

Drive particulaire dun vecteur aire lmentaire

daxnx = JFTdAXNX (4.84)

d(daxnx)

dt = JFTdAXNX+ J

dFT

dt dAXNX (4.85)

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4.8. CONSERVATION DE LA MASSE 33

dFT

dt = F1gradxv (4.86)

d(daxnx)dt

= (divv nx gradxvT nx)dax (4.87)

dt = J(X, t)d0 (4.88)J = Jdivv (4.89)dt = divv(X, t)dt (4.90)I =

d

dt

t

bdt=t

(db

dt+ bdivv)dt (4.91)

I = d

dt t bdt = t bt dt+ t(b v).da (4.92)4.8 Conservation de la masse

La masse de tout domaine materiel reste constante si on suit ce domaine dans sonmouvement.

4.8.1 Description eulrienne

D

Dt

t

dt = 0 (4.93)t

D

Dtdt+

DdtDt

= 0 (4.94)t

(D

Dt+ divv)dt = 0 (4.95)

t(

t+ div(v))dt = 0 t (4.96)

t

t

dt+ t v ndt = 0 (4.97)qui peut tre crite sous la forme locale :

t+ div(v) = 0 (4.98)

D

Dt+ divv = 0 (4.99)

4.8.2 Description lagrangienne

t

dt=

0Jd0 (4.100)

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0

0d0 =

0

Jd0 0 (4.101)

0 = J (4.102)

avec : J=detF

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Chapitre 5

Les Puissances Virtuelles et laModlisation des Efforts

SoitEun systme matriel de frontire Eet soit D un domaine matriel inclus dansE de frontire D dans la configuration actuelle linstant t. On suppose que D eststrictement inclus dans Eet quil na pas de frontire commune avec E.

5.1 Efforts et tat de contraintes sur un point

Les efforts extrieurs D peuvent tre dcomposs en deux :

1. Les efforts distances : les actions exerces par le systme extrieur E. En des-cription eulerienne reprsentes par une densit de forces f(x, t). Par exemple :f(x, t) =gzez.

2. Les efforts de contact : Les efforts exercs par le complment deD dansE, suppossntre que des actions locales sexerant sur la frontire D. Ils peuvent tre repr-sents en description eulerienne par une densit surfacique de forces Tqui dpendde xet t, mais aussi de lorientation de D au point x linstant t.

T = T(x,t,n)

5.2 Mthode des Puissances Virtuelles

1. On considre le systme dans sa configuration actuelle.

2. On choisit lespace vectoriel des mouvements virtuels (m.v.) quon va considrer pourla modlisation mcanique du systme et de ses sous systmes. Cet espace vectorieldoit contenir les mouvements rigidifiants (m.r.)le systme et ses mouvements rels.

3. Sur cet espace vectoriel on crit les formes linaires continues A(v)et A(v): Puis-sance virtuelle des quantits dacclration du systme :

A(v) =D

vdV (5.1)

35

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36CHAPITRE 5. LES PUISSANCES VIRTUELLES ET LA MODLISATION DES EFFORTS

n

T

E

E

D

D

Fig.1 Dfinition du systme Eet du sous-systme D

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5.2. MTHODE DES PUISSANCES VIRTUELLES 37

A(v) =E

vdV (5.2)

4. On postule les expressions des formes linaires continues Pe(v) pour la puissancevirtuelle des efforts extrieurs au systme E.

Pe(v) =D

f vdV +D

T vdS (5.3)

Pe(v) =E

f vdV +E

T vdS (5.4)

5. On postule les expressions des formes linaires continus Pi(v) pour la puissancevirtuelle des efforts intrieurs au systme E.

6. On crit le principe des puissances virtuelles en rfrentiel galilien R:sur le systme E :

v m.v. P e(v) +Pi(v) =A(v) (5.5)v m.v.r. Pi(v) = 0 (5.6)

sur le sous systme D :

v m.v. P e(v) +Pi (v) =A(v) (5.7)v m.v.r. Pi (v) = 0 (5.8)

Rappel : Mouvement rigidifiant

v(x, t) = v0(t) + (t) OM (5.9)v(x, t) = v0(t) + (t) x (5.10)

o est un tenseur du second ordre antisymtrique associ au vecteur .

pi(v) =A v

v m.v.r. Pi(v) = 0A = 0

pi(v) = t: gradv

t = +

d = 1

2(gradv+ gradvT)

= 1

2(gradv gradvT)

pi(v) = : d : v m.v.r.

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d= 0

Pi(v) = 0

donc:

= 0 symtrique Pi(v) =

D

: d dV =D

div v dVD

n dS

aboutissant la relation :D

f v dV +D

T v dS+D

div v dVD

n dS=D

v dV (5.11)

v m.v.Si on prend : v= 0sur D v= 0sur D

On obtient : n= T (5.12)

Si on prend : v= 0sur D v= 0sur D

On obtient : D

f v dV +D

div v dV =D

v dV (5.13)v m.v.

D

( f div)vdV = 0D v (5.14)

La forme locale scrit sous la forme :=f+ div (5.15)

pour un mouvement au repos : = 0

div+ f= 0 (5.16)

5.3 Tenseur de contraintes de Cauchy

On constate que :T(x,t, n) = T(x,t,n)

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5.4. THORME DE LNERGIE CINTIQUE 39

n1

n2

T2T1

D1

D2

Fig.2 T1=T2 car n1=n2

qui nest quune forme locale du thorme de laction et de la raction.Thorme de Cauchy : La dpendance du vecteur contrainte Tpar rapport n est

linaire.

T(x,t,n) =(x, t) n

: tenseur de contraintes de Cauchy.La donne des contraintes dans trois directions formant une base de lespace suffit ladtermination des contraintes dans toutes les directions.

5.4 Thorme de lnergie cintique

Les mouvements rels du systme appartiennent lespace vectoriel des mouvementsvirtuels considrs. En appliquant la proposition (5.5) du principe des puissances virtuellesau systme Eou sous-systme D avec un mouvement rel von obtient :

Pe(v) + Pi(v) =A(v) (5.17)

ou A(v)scrit sous la forme :

D vdV = D

Dt D v2dV =

D

Dt

K (5.18)

o Kest lnergie cintique du systme.

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n

T

Fig.3 Tne dpend que de net non pas du rayon de courbure

5.5 Conditions aux limites naturelles

Quand Det Eont une frontire commune : n = T

Si T est donn, cest une condition aux limites naturelle associe la loi de bilan. Sur une partie libre, T= 0. T peut ne pas tre connu (les efforts sur une partie encastre)

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Chapitre 6

tude des Contraintes

6.1 Notations

=

11 12 1321 22 2331 32 33

(6.1)ou :

= xx xy xz

yx yy yzzx zy zz

(6.2)ou :

=

11 12 1321 22 2331 32 33

(6.3)

=

112233231312

(6.4)

6.2 Contraintes normale et tangentielle

Tpeut tre dcompos en deux composantes : une composante normale quon appelle la contrainte normale :Tn = n T=n n

si Tn > 0 traction

si Tn < 0 compression une composante tangentielle ou contrainte de cisaillement : Tt = T Tn n

41

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42 CHAPITRE 6. TUDE DES CONTRAINTES

T

Tt

Tn. n

n

Fig.1 Contraintes normale et tangentielle

6.3 Rciprocit des contraintes

Si(n, n, k)forment une base orthonorme, la symtrie de implique :nn =nn. Lacomposante selon n de la cission sur la facette de normale n est gale la composante

selon nde la cission sur la facette de normale n.

6.4 Directions principales, contraintes principales

Les valeurs principales de sont appeles contraintes principales et notes :1, 2 et3 ou I , II et II I. Dans une base orthonome dirige selon les directions principalesdes contraintes de Cauchy, la matrice scrit :

=IeI eI+ IIeII eII+ II IeII I eII I (6.5)Il ny a pas de cission sur la facette perpendiculaire une direction principale.

6.5 Invariants lmentaires

Les quantits suivantes sont des scalaires invariants dans tout changement de base :

I1 = tr() =I+ II+ II I (6.6)

I2 = 1

2

tr(: ) =1

2

tr(2) =1

2

(2I+ 2II+

2II I) (6.7)

I3 = 1

3tr(: : ) =

1

3tr(3) =

1

3(3I+

3II+

3II I) (6.8)

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6.6. TENSEUR DVIATEUR DES CONTRAINTES 43

In = 1

ntr(n) (6.9)

Nous avons introduit les invariants II, III et III I en 1.2.18 pour obtenir le polynomecaractristique en . Les relations suivantes existent entre ces invariants :

II = I1 (6.10)

III = I21

2 I2 (6.11)

III I = det= IIIII I (6.12)

Toute fonction isotrope, valeur scalaire, de sexprime comme une fonction symtriquedes contraintes principales, ou encore des invariants I1, I2, I3 ou II, III, III I (Cette pro-prits sera utilises dans lcriture de critre de plasticit par exemple).

6.6 Tenseur dviateur des contraintes

On dcompose en une partie sphrique et une partie dviatoire :

partie sphrique ou contrainte moyenne :m= tr()

3 =I1/3

partie dviatorique : s= mIOn a ainsi :

= s+ mI (6.13)

tr(s) = 0 (6.14)

6.7 Invariants de s

J1 = tr(s) = 0 (6.15)

J2 = 1

2tr(s: s) =I2 I1

2

6 (6.16)

J3 = 1

3tr(s3) =I3 2 I1J2

3 +

I3127

(6.17)

Ainsi toute fonction scalaire de peut scrire comme une fonction de I1et des invariantsJ2et J3de s.

6.8 Contraintes sur la facette Octadrale

Cette facette est une facette dont la normale est donne par :(33

,33

,33

)dans le repredes directions principales de . La contrainte normale et la cission sont respectivementdonns par :

oct = I1/3 =m (6.18)

|oct| = 2J2/3 (6.19)On parle alors de la contrainte octadrale oct ou du cission octadral|oct|.

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6.9 Plan de Mohr

Pour des raisons de simplicit considrons le cas 2D. Si on se place en axes principales,le tenseur de contraintes sur un pointMest diagonal et les valeurs propres sontIetII.On a ainsi :

=

I 0

0 II

(6.20)

Si nous voulons les composantes du vecteur-contraintes sexerant sur une facettedfinie par sa normale n faisant un angle avec la direction principale majeur (I), on a :

n =

cos sin

(6.21)

T = n= Icos IIsin

(6.22)

Si maintenant nous projetons ce vecteur-contraintes sur des axesnet laxe t perpendicu-laire n, on obtient :

nnnt

=

T n

T t

=

Icos

2 + IIsin2

(I II)sin cos

(6.23)

do :

nnnt = I+II

2 + III

2 cos2

III2 sin2 (6.24)Nous constatons que quand la normale ntourne de 360 autour du point M :

Dans le plan(I , I I )(directions principales), lextrmit du vecteur contraintes dcritune ellipse dite "ellipse de Lam".

Dans le plan mobile (n, t), lextrmit du vecteur-contrainte dcrit un cercle ayantson centre sur laxe n labscisse I+II

2 et de rayon III

2 .

6.10 tat de contraintes remarquables

1. Contraintes en un point de la surface libre (Figure 2) : T = n= 02. Traction ou compression simple ; Etat de contrainte uniaxial (Figure 3 :

TI = InI

TII = TII I= 0

ou

TII = TII I=IInII=II InII I

TI = 0

3. Cisaillement simple (Figure 4)

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6.11. CRITRES DE LIMITE DLASTICIT POUR LES MATRIAUX ISOTROPES45

Fig.

2 Etat de contrainte en un point de surface libre

4. Etat de contrainte "triaxial de rvolution" (Figure 5)

TII = IInII=TII I=II InII I

5. Traction ou compression isotrope (Figure 6)

Tn =mn n =mI

6.11 Critres de limite dlasticit pour les matriauxisotropes

Pour certains matriaux, lexprience montre que lon peut dterminer un domainelastique initial tel que si le tenseur de contraintes reste lintrieur de ce domaine,

le comportement du matriau reste lastique. On dfinit alors la fonction de charge ftel que :

f

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==0 = =0

Fig.3 Etat de contrainte uniaxial

de la fonction de charge fne dpend pas de lorientation de dans tout repre R.Ellesexprime donc comme une fonction symtrique des contraintes principales ou une fonctiondes invariants de ou de I1 et les invariants de s.

6.11.1 Critre de Tresca

f() =Sup{|I J 0|I, J=I , II, III } (6.25)

6.11.2 Critre de von Miss

f() =

J2 k (6.26)ou :

f() =1

6[(I II)2 + (II II I)2 + (II I I)2] k (6.27)

trs souvent on utilise la notation contrainte quivalent de von Miss : eq =

3J2 quinest que la contrainte de traction simple donnant la mme valeur de f que lexpression6.26.

6.12 Contraintes en description de Lagrange

1. Soit T(x,t,n), le vecteur contrainte au point M linstant t pour la direction n.La force lmentaire dF sexerant sur la surface dSdaire dA passant par M etorthogonale n est gale : dF = T dA = ndA. Si on exprime dF laide de

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6.12. CONTRAINTES EN DESCRIPTION DE LAGRANGE 47

Fig.4 Cission simple

=

Fig.5 tat de contrainte triaxial de rvolution

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m===

Fig.6 Traction isotrope

llment de surface dS0, dans la configuration de rfrence on obtient le tenseur deBoussinesq ou Piola-Lagrange :

B=J FT (6.28)

avec :dF=B n0dA0 Equation de mouvement en variable de Lagrange est simple : divXB+ 0f=0 Il est non symtrique

2. On dfinit une force fictive dF0, attache llment dS0 qui aprs transport de-viendrait dF.

dF = F dF0 (6.29)

= JF1 FT (6.30)

= 1J

F FT (6.31)

, le tenseur de Piola-Kirchhoff, est symtrique. dF0 na pas de ralit physique.

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6.12. CONTRAINTES EN DESCRIPTION DE LAGRANGE 49

M0

M1

n0

n

dA0dA

dF=T.dA

Fig.7

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Chapitre 7

Thermodynamique des MilieuxContinus

7.1 1er principe de la thermodynamique (conservationdnergie)

On suppose que le systme nchange avec lextrieur que du travail et de la chaleur.Le premier principe de la thermodynamique postule lexistence dune fonction de ltatappele nergie interne (E) et ayant la dimension dun travail telle que :

DEDt

+DKDt

=Pe(v) +Q (7.1)

ceci est aussi valable pour tout sous-systme D. Pour le taux de chaleur Q on fait lhy-pothse quil ny a pas dchange de chaleur distance entre les particules du systme etque Q est la somme de :

1. un terme d aux actions distance : il exprime le taux de chaleur fournie distanceaux particules du systme par lextrieur E. En description eulrienne reprsentepar une densit volumique de flux de chaleur r.

2. Les termes de conduction la frontire entreDet E, supposs ntre que des actionslocales sexerant sur la frontire D. Ils peuvent tre reprsents en description

eulrienne par une densith qui dpend de x et t, mais aussi de lorientation de Dau point x linstant t.

h = h(x,t,n)

On peut dmontrer que h a forcment la forme dun flux que lon crit sous la formesuivante :

h = q(x) no qest le vecteur courant de chaleur sortante. On a ainsi :

Q = D

q n dS+D

r dV =D

(r div(q)) dV (7.2)

51

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52 CHAPITRE 7. THERMODYNAMIQUE DES MILIEUX CONTINUS

On introduit la densit massique dnergie interne e, appele aussi nergie interne spci-fique, on a ainsi :

E=D

edV et E=D

edV (7.3)

Lutilisation du thorme de lnergie cintique et la relation (7.1) aboutissent au premierprincipe de la thermodynamique sous forme globale (quation de bilan) donne ci-dessous :

DedV =

D

(: d + r div(q))dV (7.4)

o sous sa forme locale :e= : d + r

div(q) (7.5)

7.2 2me principe de la thermodynamique (bilan den-tropie)

Le deuxime principe de la thermodynamique des milieux continus postule lexistencedun reprage universel de temprature, appel temprature absolue note T, positive, etdune fonction de ltat thermodynamique du systme appele entropie, note S, tel quchaque instant, pour le systme Eet le sous systme D on a les ingalits fondamentalessuivantes :

DS

Dt = S

E

r

TdV

E

q nT

dS (7.6)

DS

Dt = S

D

r

TdV

D

q nT

dS (7.7)

On introduit lentropie massique ou spcifiques, on a ainsi :

S=D

sdV et S=D

sdV (7.8)

s+ div(q

T

)

r

T0 (7.9)

En tenant compte de lquation de lnergie (7.9), on obtient :

: d + (Ts e) qT

.gradT 0 (7.10)

Cette ingalit est transforme en introduisant la fonction thermodynamique appelelnergie libre et dfinie par lnergie libre massique :

=e T s (7.11)

On obtient lingalit de Clausius-Duhem :

: d (+ sT) qT

.gradT 0 (7.12)

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7.3. EXPRESSIONS LAGRANGIENNES 53

quon peut dcomposer en deux termes correspondants aux dissipations intrinsques vo-lumiques :

1= :d (+ sT) (7.13)et la dissipation thermique volumique :

2= q

T.gradT (7.14)

La rversibilit thermodynamique signifie qu tout instant, pour toute particule du sys-tme on a :

1= 0 et 2= 0 (7.15)

volution adiabatique : q= 0en tout point et chaque instant. volution isotherme : T =cte dans le systme et dans le temps.

7.3 Expressions lagrangiennes

: d

=

: L

0(7.16)

T = gradT

F (7.17)

: L + 0(Ts e) 0

qT T F1 0 (7.18)

do en posant :

q0

=0

F1 q (7.19)

on obtient lingalit fondamentale en description de lagrange :

: L + 0(Ts e) q0

T T 0 (7.20)

: L 0(+ sT) q0T T 0 (7.21)

[1], [2], [3], [4]

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54 CHAPITRE 7. THERMODYNAMIQUE DES MILIEUX CONTINUS

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Bibliographie

[1] P. Germain, Mcanique. ELLIPSES, 1986.

[2] J. Salencon, Mcanique du Continu, vol. I, II, III. Ellipses, AUPELF/UREF, marke-ting ed., 1995.

[3] J.Lemaitre and J.L.Chaboche, Mcanique des matriaux solides. Dunod, 1985.

[4] W. Lai, D. Rubin, and E. Krempl, Introduction to Continuum Mechanics.Butterworth-Heinemann Ltd., third ed., 1993.

Documents

MMC_2000-2