Remerciements · mémoire m'ont non seulement permis de développer le sujet qui m'a été proposé mais aussi d'approfondir mes connaissances sur les di érents dispositifs de retraite

Remerciements

Je tiens tout d'abord à remercier Thierry De La Noue pour m'avoir donné l'opportunité de travailler surun sujet innovant sur le marché de la retraite collective. Les recherches e�ectuées dans le cadre de cemémoire m'ont non seulement permis de développer le sujet qui m'a été proposé mais aussi d'approfondirmes connaissances sur les di�érents dispositifs de retraite en France ce qui m'a été et me sera très utiletout au long de ma carrière professionnelle.

Je tiens également à remercier Julia Rona qui m'a soutenu tout au long de la réalisation de ce mémoire,tant au niveau professionnel qu'au niveau personnel. Je la remercie de son entière disponibilité et de sonsupport.

Je souhaite en�n remercier Frédéric Planchet pour le temps qu'il a consacré à la revue de ce mémoire etpour les conseils précieux qu'il m'a prodigués.

Je terminerai en remerciant les membres de l'équipe du département �Prévoyance Santé, Retraite etAvantages Sociaux� de Towers Watson qui ont participé de près ou de loin à l'élaboration de ce mémoire.

Résumé

La retraite obligatoire en France est aujourd'hui une des préoccupations principales des Français quivoient leur taux de remplacement se réduire sensiblement. Malgré les récentes réformes visant à rétablirl'équilibre �nancier des systèmes de retraite, la situation reste critique avec des évolutions démogra-phiques et économiques contribuant à une baisse du volume des cotisations collectées.

Ces constats ont encouragé le développement ces dernières années des produits de retraite supplémentairecollective et individuelle. Nous avons notamment assisté à l'apparition de nouveaux contrats d'assurancevie proposant des garanties sur un niveau minimum de rente tout en béné�ciant des performances desmarchés �nanciers. Cependant, ce type de produits ne béné�cie pas de la visibilité des dispositifs deretraite collective. Par ailleurs, la garantie coûte chère au souscripteur.

L'objectif de ce mémoire est d'étudier un produit similaire sur le marché de la retraite collective, encoreinexistant, mais qui pourrait être développé dans les années futures. Ainsi, nous nous intéresserons àl'évaluation du coût lié à la mise place d'un régime à cotisations dé�nies avec acquisition durant la phased'épargne d'un taux technique garanti. Plus précisément, ce dispositif permettrait aux salariés qui lesouhaitent de �choisir�, durant la phase d'accumulation du capital, le taux technique qui sera utilisé lorsde la conversion du capital accumulé en rente, le jour de la retraite.

L'évaluation d'un tel produit d'épargne retraite passe par la formulation mathématique du coût de lagarantie. Pour ce faire, nous nous appuierons sur le principe de l'équivalence actuarielle de sorte que lavaleur actuelle de l'engagement de l'assuré soit égale à la valeur actuelle de l'engagement de l'assureur.Di�érents termes aléatoires interviennent alors dans le calcul du coût de la garantie dont deux principaux :le taux technique et l'épargne accumulée.

Plusieurs modèles caractérisant ces deux risques seront présentés et parmi eux, deux seront retenuspour l'évaluation du contrat. La modélisation du taux technique passera par la modélisation du tauxd'intérêt via le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR). L'épargne, composée d'actifs risqués et d'un supportobligataire, a été modélisée selon le modèle de Black & Scholes pour l'actif risqué, et selon le modèleCIR, pour le support obligataire. Les étapes nécessaires au calibrage de ces modèles et la simulation deces deux variables seront détaillées. Nous pourrons dès lors construire un outil de valorisation visant àévaluer le coût de la garantie via une approche de type Monte Carlo.

Nous analyserons ensuite un cas pratique de valorisation, puis nous étudierons la sensibilité de la valeurdu contrat aux principaux paramètres du modèle. Plus précisément, di�érentes estimations du coût dela garantie seront réalisées selon les paramètres suivants : la valeur du taux technique garanti, le nombred'années séparant la date d'achat de la garantie et la date de la retraite et le taux de revalorisation desrentes. Nous verrons alors que la valeur du contrat est très sensible au choix de ces paramètres. En�n,nous présenterons les principaux avantages et inconvénients d'un tel produit.

Mots-clés : retraite collective, régime à cotisations dé�nies, taux technique, garantie, rente viagère,modèle de Cox-Ingersoll-Ross, modèle de Black & Scholes, revalorisation des rentes, phase d'accumula-tion du capital, phase de rente.

Abstract

Retirement in France has become one of the main concerns for French people, since they are currentlyseeing their replacement rate decrease signi�cantly. Despite the recent reforms aimed to restore the�nancial balance of the French obligatory retirement system, the situation remains critical due to thedemographic and economic changes, involving a decrease in the collected contribution volume.

This situation has recently encouraged the development of some additional individual and collectiveretirement products. For instance, new life insurance contract with minimal annuities guarantee thatbene�ts from performances of the �nancial market. However, the visibility of this type of product is notthe same as collective retirement products. In addition, the guarantee is expensive for the policyholder.

The objective of this study is to develop a similar product on the collective retirement market, whichis not yet developed in the French market. We will focus on the valuation of costs related to creatinga de�ned contribution plan with acquisition, during the saving phase, of a guarantee on technical rate.More precisely, this plan would allow the employee to choose, during the capital accumulation phase, thetechnical rate to be used for the conversion of the accumulated capital in annuities at retirement.

The estimation of the cost for such a product for retirement saving implies a mathematical formulationof the guarantee cost using the principle of actuarial equivalence. In order to achieve this, we will even upthe value of the insurance engagement and the insured engagement. Di�erent terms de�ne the guaranteecost calculation. The main ones are the technical rate and the accumulated saving.

Several models characterizing these two risks are presented and among them, two are selected to assessthe contract. The technical rate will be modeled by the Cox-Ingersoll-Ross model (CIR) while the saving,composed of risked assets and bound support, will be modeled following a Black-Scholes model for riskyassets, and following a CIR model for the bound support. We will detail the steps to calibrate thesemodels and to simulate these two variables. We will then be able to build a valorization tool to evaluatethe guarantee cost with a Monte Carlo approach.

We will �rst analyze a numerical application and then study the contract sensibility to the main modelparameters. More precisely, di�erent estimations of the guarantee cost will be realized by using thefollowing parameters: the guarantee technical rate, the revaluation rate and the number of years betweenthe date when the guarantee has been bought and the retirement date. We will then notice that thecontract value is very sensitive to the choice of these parameters. Finally, we will introduce the mainadvantages and disadvantages of such a product.

Keywords: collective retirement, de�ned contribution plan, technical rate, guarantee, life annuity,Cox-Ingersoll-Ross model, Black-Scholes model, annuity revaluation rate, saving phase, annuity phase.

Sommaire

INTRODUCTION 4

1 Une étude préalable : la retraite en France 51.1 Situation de la retraite en France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 La retraite supplémentaire : les dispositifs existants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Régimes de retraite collective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1.1 Article 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1.2 Article 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1.3 Article 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1.4 PERCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1.5 PERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Régimes de retraite individuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2.1 PERP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2.2 Assurance vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Le pouvoir attractif des garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Retraite individuelle : GMWB et GMWB-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Evolution possible sur le marché de la retraite collective . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Régime à cotisations définies et �option d'achat� sur le taux technique :description 162.1 Rappel : conversion d'un capital en rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Détermination du montant d'une rente viagère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.1.1 Rente viagère simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.1.2 Rente viagère de réversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2 Dé�nition du taux technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Revalorisation future de la rente viagère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Principe de fonctionnement d'un régime à cotisations dé�nies . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Fonctionnement d'une garantie sur taux technique dans le cadre d'un régime à cotisations

dé�nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Premières hypothèses et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.1.1 Premières hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.2 Coût de la garantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Modélisation et simulation du taux technique 333.1 Les di�érentes notions de taux d'intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Taux court et taux long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.2 Le taux zéro-coupon et le taux court instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.3 Le taux forward et le taux forward instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Les modèles de taux d'intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.1 Modèles d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1.1 Modèle de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.1.2 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

MEMOIRE ACTUARIAT | Marielle Delai | Novembre 2012 -1-

Valorisation d'un régime à cotisations dé�niesavec acquisition en phase d'épargne d'un taux technique garanti

3.2.2 Les modèles d'arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2.1 Modèle de Heath, Jarrow et Morton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2.2 Modèle de Hull & White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Choix des modèles de taux étudiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Discrétisation des modèles de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1 Modèle de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.2 Modèle CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Calibrage des modèles de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.1 Estimation en univers historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.2 Estimation en univers risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.3 Présentation et analyse des estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6 Simulation du taux technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Modélisation et simulation de l'épargne accumulée 564.1 Modélisation de l'épargne accumulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.1 Cadre de la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.1.1 Rappel : phase d'épargne d'un régime à cotisations dé�nies . . . . . . . . 564.1.1.2 Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.2 Modélisation de l'actif risqué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.2.1 Présentation des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.2.2 Discrétisation du modèle de Black & Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.2.3 Estimation des paramètres du modèle de Black & Scholes . . . . . . . . . 60

4.1.3 Modélisation du support obligataire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2 Simulation de l'épargne accumulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Outil de valorisation de la garantie sur taux technique 645.1 Valeur théorique de la garantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1.1 Rappel : formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1.2 Méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.2.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.2.2 Application au calcul de la prime π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Valorisation en univers risque neutre ou en univers historique ? . . . . . . . . . . . . . . . 675.2.1 Valorisation en univers historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2.2 Valorisation en univers risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Présentation de l'outil de valorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 Présentation et analyse des résultats 706.1 Paramètres et hypothèses retenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.1.1 Hypothèses démographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.1.2 Hypothèses économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Simulation des trajectoires des processus modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2.1 Taux technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2.2 Epargne accumulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3 Résultats de la valorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3.1 Application numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3.2 Impact du taux technique garanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.3 Impact du paramètre τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3.4 Impact de la revalorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

CONCLUSION 84

Sigles et vocabulaire 86

Bibliographie 89

Liste des tableaux 90

MEMOIRE ACTUAIRE | Marielle Delai | Novembre 2012 -2-


Table des �gures 92


Introduction

La situation de la retraite obligatoire en France (CNAV, ARRCO, AGIRC, etc) est critique. Le vieillis-sement de la population, le passage à la retraite de la génération papy-boom et l'évolution défavorablede l'activité économique sont autant de facteurs qui impactent et compromettent la situation �nancièredes régimes de retraite obligatoires.

Des réformes ont dernièrement vu le jour a�n de rétablir l'équilibre �nancier du système telles que laréforme Fillon de 2003 ou plus récemment, la réforme du 9 novembre 2010, leur objectif étant de réduirede moitié, à l'horizon 2020, le dé�cit actuel de la CNAV. En revanche, ces dispositifs ne favorisent pasle taux de remplacement des français mais au contraire, conduisent à sa diminution. La retraite devientdonc de nos jours une grande préoccupation des français.

Ces constats devraient aider au développement de la retraite supplémentaire en France. Selon une étudede l'INSEE, en 2010, seuls 12,2 % des français épargnent en vue de leur retraite via un dispositif d'épargneretraite mais la prise de conscience collective tend à se renforcer dans les années à venir. De plus, cedéveloppement s'est vu encouragé par la loi Fillon du 21 août 2003 qui, entre autres, met en place unenvironnement �scal et social favorable pour ce type de régime.

L'épargne retraite collective est une première solution s'o�rant aux salariés désirant disposer d'une rentesupplémentaire à la retraite. Cependant, ce marché est peu innovant, ce qui a encouragé les français àse diriger vers des solutions individuelles telles que le Plan d'Epargne Retraite Populaire (PERP) oul'assurance vie pouvant se révéler risqués selon le type de placement. En outre, la récente crise �nancièrea accentué l'aversion au risque des assurés et par suite le développement, depuis 2005, des contratsd'assurance type variable annuities qui o�rent des garanties et sécurisent l'investissement. Il est di�cileà ce stade de mesurer le succès de ces contrats en France mais les premiers chi�res sont encourageants.AXA, première compagnie d'assurance ayant lancé cette activité en France, annonçait en septembre 2011une croissance de 300 % par rapport à 2010 et un nombre de souscription multiplié par quatre en un an.

Ces produits présentent cependant certains inconvénients : ils n'ont pas la visibilité des contrats d'épargneretraite collective, il est généralement demandé d'investir une prime unique à la souscription, et pour�nir, de nombreux frais sont prélevés.

L'objet de ce mémoire est de développer et évaluer un produit innovant possédant les avantages desproduits d'épargne retraite individuelle tout en se positionnant sur le marché de la retraite collective :un régime à cotisations dé�nies avec acquisition en phase d'épargne d'un taux technique garanti.

Dans un premier temps, la situation de la retraite en France et les di�érents dispositifs d'épargne retraiteexistants sur le marché sont présentés. Puis, dans une deuxième partie, le régime à cotisation dé�niesavec taux technique garanti est décrit et une expression du coût de la garantie est donnée. Nous détaillonsensuite la modélisation et la simulation des principaux risques intervenant dans le coût de la garantie : letaux technique et l'épargne accumulée. Dans une cinquième partie, nous présentons l'outil de valorisationà partir duquel sera déduit le coût de la garantie. En�n, nous présentons et analysons les résultats issusde cet outil et étudions l'impact de certains paramètres d'entrée sur le coût de la garantie.


PARTIE 1

UNE ÉTUDE PRÉALABLE : LA RETRAITEEN FRANCE

Le système actuel de retraite en France peut se découper en trois niveaux généralement appelés �piliers� 1 :

� Le Pilier 1 fait référence aux régimes obligatoires gérés par répartition. Il est composé des régimesde base (CNAV, régimes spéciaux...) et des régimes complémentaires (ARRCO, AGIRC, IRCAN-TEC...)

� Le Pilier 2 est composé des régimes de retraite collective (encore appelés régimes d'entreprise)à adhésion facultative ou conventionnellement obligatoire (PERE, PERCO, régimes à cotisationsdé�nies, régimes à prestations dé�nies...)

� Le Pilier 3 regroupe les régimes de retraite individuelle (PERP destiné aux salariés, Madelin des-tiné aux non salariés, PREFON destiné aux fonctionnaires, assurance vie individuelle...)

Ces deux derniers piliers dé�nissent la retraite supplémentaire (cf. Figure 1.1) et sont gérés par capitali-sation.

Figure 1.1 � Les trois piliers du système de retraite Français

Dans un premier temps, la situation de la retraite obligatoire en France est présentée. Puis, nous détaillonsles principaux dispositifs de retraite supplémentaire en vigueur. En�n, nous nous intéressons au pouvoirattractif des garanties sur le marché de la retraite en France.

1. La classi�cation présentée ici est celle adoptée par la Commission européenne selon la description formulée dans le�Livre vert sur les retraites complémentaires dans le marché unique� publié en 1997 (COM(97)283). Cependant, d'autresclassi�cations en �pilier� existent et di�èrent selon les organismes (GIP, Banque mondiale, OCDE...). Une telle classi�cationse doit donc d'être descriptive et non normative.



1.1 Situation de la retraite en France

Les salariés du secteur privé béné�cient d'o�ce du premier pilier de la retraite composé du régime debase et de régimes complémentaires, qui constituent le fondement de la retraite en France et dont lefonctionnement est basé sur un système dit par répartition.

La répartition est une technique de gestion �nancière des régimes de retraite qui consiste à redistribuerquasi instantanément les ressources (c'est-à-dire l'ensemble des cotisations) aux allocataires du régime.En d'autres termes, les pensions versées aux retraités sont �nancées par les cotisations versées par lestravailleurs actifs. Le régime fonctionne alors sans ou avec très peu de réserves pour faire face auxprestations futures.

La situation �nancière d'un tel régime est donc entièrement liée aux évolutions démographiques de lapopulation des a�liés et aux évolutions économiques telles que le chômage ou l'évolution des salaires.

Le vieillissement de la population représente un premier facteur démographique aux conséquences im-portantes. Ainsi, en 1945, l'espérance de vie à 60 ans était d'environ 14 ans pour un homme et 18 anspour une femme. En 2010, elle est estimée à 22 ans pour un homme et 27 ans pour une femme 2. Onestime qu'une �lle sur 5 née aujourd'hui vivra centenaire. Le graphique 1.2 présente l'augmentation del'espérance de vie à 60 ans entre 2001 et 2011.

Figure 1.2 � Espérance de vie à 60 ans entre 2001 et 2011 2

Pour compenser cet allongement de la vie, des mesures ont été adoptées (réforme des retraites 2010) a�nde relever progressivement l'âge légal de départ à la retraite de 60 à 62 ans.

S'ajoute au vieillissement de la population le passage à la retraite d'une génération née pendant des annéesà forte natalité (générations baby boom) : depuis 2006, les personnes nées à partir de 1946 arrivent enmasse à l'âge de la retraite. En parallèle, l'allongement de la durée des études et le fort taux de chômagede ces dernières années retardent l'entrée dans la vie active des nouvelles générations et donc le débutdes cotisations. Le ratio démographique du régime général, c'est-à-dire le rapport entre actifs cotisantet retraités, s'en voit fortement impacté. Il était évalué à 3,14 en 1975 et fût estimé à 1,44 en 2009, soit1,44 actifs pour un retraité 3. D'ici 2040, ce ratio devrait encore diminuer puisqu'on estime qu'il n'y auraà cette date qu'un actif pour 4 retraités. Le graphique 1.3 ci-dessous illustre la décroissance de ce ratiodepuis 1975.

2. Source : Insee, Bilan démographique et Situation démographique 2010.3. Source : Rapport national d'activité 2009 de la CNAV.



Figure 1.3 � Evolution du ratio démographique depuis 1975

En�n, l'évolution défavorable de l'activité économique (chômage, stagnation des salaires et de la produc-tion intérieure brute) contribue également à une baisse, progressive ou brutale, du volume des cotisationscollectées.

La combinaison de ces di�érents points impacte le taux de remplacement 4 des régimes de retraite obli-gatoire et compromet leur situation �nancière. En 2009, le dé�cit de la Caisse Nationale d'AssuranceVieillesse (CNAV) s'élevait à 7,2 milliards d'euros. Ci-dessous, le graphique 1.4 représente le solde tech-nique de la CNAV depuis 2000.

Figure 1.4 � Solde technique de la CNAV (en milliards d'euros)

Depuis quelques années, des moyens ont été mis en place a�n d'améliorer la situation �nancière de cesrégimes.

En 1999, un Fonds de Réserves des Retraites (FRR) est créé et a pour mission de lisser l'e�et d'un chocdémographique en provisionnant une partie des besoins de �nancement futurs. Ce fonds est �nancé parun prélèvement social de 2 % sur les revenus du patrimoine et de placement, par les excédents de laCNAV, par le produit de cessions d'actifs et par des dotations de natures diverses. L'objectif initial étaitd'atteindre 150 milliards d'euros en 2020. Au 31 décembre 2010, ce fonds ne s'élève qu'à 37 milliardsd'euros.

La fonction publique est elle aussi concernée par ce déploiement de moyens avec la création, par l'article76 de la loi Fillon du 21 août 2003, d'un Régime de retraite additionnel et obligatoire, dénommé �RetraiteAdditionnelle de la Fonction Publique� (RAFP) géré par l'Etablissement de Retraite Additionnelle de

4. Pourcentage des derniers revenus d'activité que l'on perçoit à la retraite.



la Fonction Publique (ERAFP). Ce régime est établi sur le modèle d'un régime en points intégralementprovisionné. Il a donc pour obligation de couvrir en permanence l'intégralité de ses engagements par desactifs �nanciers.

En�n, comme évoqué plus haut, la loi du 9 novembre 2010 portant réforme des retraites devrait égalementpermettre d'améliorer la situation des régimes de retraite en rétablissant l'équilibre �nancier de l'ensembledu système en 2018. Cette réforme permettrait de plus, de réduire le dé�cit de la CNAV d'environ 8milliards d'euros à l'horizon 2020. Malgré tout, le dé�cit devrait subsister. En e�et, ces 8 milliardsd'euros ne correspondent qu'à une réduction de moitié du dé�cit estimé à cet horizon et à réglementationinchangée 5. Par ailleurs, le récent décret paru le 3 juillet 2012 et portant sur le rétablissement de laretraite à 60 ans pour les carrières longues ne devrait pas sensiblement impacter les e�ets des précédentesréformes puisque ce dispositif doit être compensé par une augmentation des cotisations.

L'ensemble des mesures adoptées ont toutes eu pour objectif de consolider la situation �nancière desrégimes de retraite obligatoires et auront pour e�et d'abaisser le niveau des retraites obligatoires ainsique l'illustrent ci-dessous les statistiques produites par le Conseil d'Orientation de Retraites (COR).

Table 1.1 � Taux de remplacement attendu par catégorie en 2000, 2020 et 2040

Ces constats devraient encourager le développement de la retraite supplémentaire. En 2010, seuls 12,2 %des français épargnent en vue de leur retraite via un plan d'épargne retraite (y compris PERP) 6, maisla prise de conscience collective est en cours. En 2012, 2/3 des entreprises proposent à leurs dirigeantsune retraite supplémentaire et cette pratique aspire à s'étendre à l'ensemble des salariés. Le besoin enépargne retraite collective ou individuelle est donc bien présent et tendra à se renforcer dans les annéesà venir.

1.2 La retraite supplémentaire : les dispositifs existants

La retraite supplémentaire rassemble tous les contrats d'investissements, qu'ils soient collectifs ou indi-viduels, permettant la constitution d'une épargne à long terme pendant la vie active, en vue de disposerd'une rente supplémentaire ou d'un capital à la retraite.

Les régimes de retraite supplémentaire comportent deux phases :

� Une phase d'épargne (appelée aussi phase d'accumulation), durant laquelle le compte du salarié estalimenté par des versements périodiques (et éventuellement volontaires) de son employeur et/oude lui-même.

� Une phase de liquidation de l'épargne, qui débute au moment du départ à la retraite et qui peut sefaire soit sous forme de capital, soit sous forme de rente viagère. Dans ce cas, la pension de retraiteest versée au retraité jusqu'à son décès. L'établissement qui verse la pension fait, dès lors, face aurisque de longévité résultant de l'évolution inconnue de la mortalité dans le futur. Ensuite, une

5. Source : CADRAGE N◦15 (2011). Etudes, recherches et statistiques de la Cnav.6. Source : INSEE PREMIERE N◦1325 (2010). Patrimoine des ménages début 2010.



pension de réversion peut éventuellement être versée au conjoint survivant.

L'avenir de la retraite obligatoire étant sujet à questions, salariés et entreprises s'orientent de plus enplus vers ce type de produit a�n de se constituer un complément de revenu. Ce développement s'est vude plus encouragé par la loi Fillon du 21 août 2003 qui étend cette pratique à toutes les catégories depersonnes et met en place un environnement �scal et social favorable, tout en introduisant une part decapitalisation dans le système.

Le montant des cotisations en épargne retraite supplémentaire s'élève à 13,2 milliards d'euros en 2010contre 229,8 milliards d'euros la même année pour la retraite obligatoire. La répartition des cotisationsdans les principaux dispositifs d'épargne retraite salariale est représentée dans le graphe 1.5 ci-dessous.

Figure 1.5 � Montant des cotisations en 2009 (en millions d'euros)

Ces dispositifs d'épargne collective ou individuelle sont brièvement détaillés dans les paragraphes suivants.

1.2.1 Régimes de retraite collective

Les régimes de retraite collective sont mis en place par une entreprise pour ses salariés dans le cadre d'uncontrat collectif soit par décision unilatérale de l'employeur, soit par référendum, soit par négociationavec les partenaires sociaux (accord d'entreprise). De tels régimes ont pour avantage de faire béné�cieraux salariés et à l'entreprise de tarifs attrayants au travers de déductions �scales et sociales sans qu'ilsn'aient à gérer le versement des cotisations, la gestion étant généralement con�ée à un organisme assureur.Toutefois, il est à noter que la �scalité de ces régimes est en constante évolution avec notamment lahausse récente du forfait social qui est passé de 8 % à 20 % au 1er août 2012. Ces dispositifs représententégalement des instruments de motivation et de �délisation.

Les régimes de retraite collective peuvent être classés selon deux catégories :

� Les régimes à "cotisations dé�nies". Dans ce cas, le niveau de la cotisation est �xé dans le contratet le montant de la pension dépend des cotisations et rendements �nanciers.

� Les régimes à "prestations dé�nies" où le niveau de la pension est déterminé dans le règlement durégime.

1.2.1.1 Article 83

L'article 83 est un régime de retraite collective à cotisations dé�nies. Il est dé�ni �scalement dans lecadre de l'article 83 du code général des impôts.



En cas de mise en place par l'entreprise (soit par décision unilatérale, soit par négociation avec lespartenaires sociaux, soit par référendum), il est à adhésion obligatoire pour l'ensemble des salariés ouuniquement une catégorie désormais objectivement dé�nie 7 (de façon homogène et non discriminatoire).Parmi les critères admis par l'administration �gurent notamment les tranches de rémunération (plafondde la sécurité sociale) ou les classi�cations professionnelles dé�nies par les conventions collective. Descritères tels que le temps de travail ou l'ancienneté ne sont pas admis.

De tels contrats sont �nancés par des cotisations obligatoires de l'employeur et éventuellement du salarié,ainsi que des versements libres du salarié rendus possibles par la loi du 9 novembre 2010. Par exemple,un taux de cotisation di�érent peut être appliqué par tranche de salaire. L'entreprise s'engage donc surun niveau de versement : elle a une obligation de moyen.

Deux types de placements de l'épargne accumulée sont possibles : le placement en euros, dans ce cas,l'assureur garanti le capital, ou bien le placement en unités de compte, où l'assureur ne garanti pas lecapital mais un nombre de parts.

Sauf cas exceptionnel, les sommes ainsi épargnées sont bloquées jusqu'au départ à la retraite et ensuiteversées sous forme de rente viagère.

Les droits sont dé�nitivement acquis par le salarié, quelque soit son évolution de carrière. En conséquence,en cas de départ de l'entreprise avant la retraite, le salarié conserve ses droits qu'il peut alors transférersur un compte semblable dans sa nouvelle entreprise.

Les avantages �scaux et sociaux sont nombreux : les abondements déductibles du résultat imposable etl'exonération des charges sociales patronales sous une certaine limite pour l'employeur, et l'exonérationd'impôt sur le revenu des contributions employeur, salariales et des versements volontaires dans certaineslimites pour le salarié à l'instar des rentes qui sont imposables et soumises à charges sociales.

Pour ce type de régime, l'entreprise doit comptabiliser les coûts annuels (c'est à dire le montant quel'employeur est tenu de verser durant la période comptable). Il n'y a aucune obligation de provision typeIAS19 pour ce régime.

A �n 2009, entre 3,7 et 4 millions de salariés sont concernés par ce type de régime. La rente annuellemoyenne versée à cette date s'élevait à 2 321 euros.

1.2.1.2 Article 82

L'article 82 est un régime à cotisations dé�nies semblable à l'article 83, si ce n'est que l'adhésion n'estplus obligatoire mais facultative pour le salarié.

Ces régimes tendent à disparaître avec l'entrée en vigueur de la loi Fillon 2003 puisque l'exonérationde charges sociales que certains régimes prévoyaient se voit supprimée car réservée aux plans d'épargneretraite à caractère collectif.

1.2.1.3 Article 39

Un article 39 est un régime à prestations dé�nies : l'entreprise s'engage à l'avance sur un niveau deretraite dé�ni généralement en pourcentage du ou des derniers salaires. Elle a une obligation de résultat.Il existe deux formes de régimes à prestations dé�nies :

� le régime additif, pour lequel le montant de retraite est indépendant des prestations versées pard'autres régimes,

7. Voir Décret n◦ 2012-25 du 9 janvier 2012.



� le régime di�érentiel, ou régime chapeau, pour lequel le montant de retraite dépend des prestationsversées par d'autres régimes de retraite (obligatoires ou autres). Il y a dans ce cas, forte dépendancede la performance des régimes en déduction. Ainsi, une baisse de ces derniers augmente le coût durégime pour l'entreprise.

La mise en place de ce contrat est facultative pour l'entreprise et se fait au choix de l'employeur selon :un accord d'entreprise, un référendum ou une décision unilatérale. Il concerne l'ensemble des salariés ouuniquement certaines catégories objectivement dé�nies.

Les droits sont �nancés en globalité par l'entreprise et sont versés au moment du départ à la retraitesous forme de rente viagère. La garantie de retraite est le plus souvent dé�nie en pourcentage du salairede �n de carrière.

Les droits sont exclusivement dus aux salariés présents dans l'entreprise à leur départ en retraite 8 (droitsaléatoires).

L'employeur doit verser une taxe spéciale aux organismes sociaux (soit sur le �nancement au momentde la phase d'épargne, soit sur les rentes au moment de la phase de versement de la rente). Par ailleurs,la rente viagère du salarié est soumise à charges sociales et prélèvements selon un taux dé�ni en fonctiondu montant mensuel de la rente ainsi qu'à l'impôt sur le revenu.

Comptablement, l'entreprise doit réaliser, contrairement aux régimes à cotisations dé�nies, une évaluationactuarielle basée sur des hypothèses actuarielles et des méthodes de projection a�n de mesurer sonengagement au titre des versements futurs.

Ces régimes ne béné�cient qu'à un nombre limité de salariés (en comparaison de l'article 83) : lesdirigeants et les salariés de certains secteurs d'activité (population fermée). A �n 2009, la rente viagèreannuelle s'élevait en moyenne à 4 592 euros.

1.2.1.4 PERCO

Le PERCO, ou encore le plan d'épargne retraite collectif, est un produit issu de la loi Fillon du 21 août2003 qui permet au salarié, avec l'aide de l'entreprise, de se constituer, par capitalisation, une épargneretraite.

Toutes les entreprises ont la possibilité de mettre en place un tel régime à condition qu'un Plan EpargneEntreprise (PEE) soit déjà en place dans l'entreprise. La mise en place peut se faire selon les troismodalités présentées ci-dessus. Tous les salariés ayant au moins 3 mois d'ancienneté peuvent alimenterle PERCO de leur entreprise. L'adhésion à un PERCO est facultative pour le salarié.

Le PERCO peut être alimenté de plusieurs façons : participation (blocage automatique depuis le 10novembre 2010), intéressement, épargne volontaire, abondement de l'entreprise... Le cumul des versementsvolontaires (épargne volontaire et intéressement) ne peut dépasser 25 % de la rémunération annuellebrute. Du point de vue de l'employeur, la réglementation n'impose pas de minimum d'abondement maisen pratique, il est rare qu'un PERCO ne soit pas abondé par l'employeur. En e�et, le salarié ne trouveraitaucun avantage �scal à faire des versements sur ce dispositif : pour exonérer son intéressement ou saparticipation, il préfèrera les placer sur le PEE (toujours proposé aux côtés d'un PERCO) car son épargney est plus disponible.

L'épargne accumulée est ensuite investie en fonds communs de placement d'entreprise de toute nature(monétaires, actions, obligations, fonds solidaires, etc.) mais ne pro�te pas de la garantie d'un fonds eneuros.

8. Voir art. 115 loi Fillon



Les sommes ainsi épargnées sont bloquées jusqu'au départ à la retraite (sauf exception), puis sont verséessoit sous forme de rente viagère, soit sous forme de capital, si l'accord collectif établissant le plan le prévoit.

Les droits sont acquis aux salariés quelque soit leur évolution de carrière.

Ce régime de retraite collective présente de nombreux avantages �scaux et sociaux pour l'employeur etle salarié. Les abondements de l'entreprise sont exonérés de charges sociales patronales et salariales etdéductibles du béné�ce imposable de l'entreprise et de l'impôt sur le revenu. Cependant, ils sont soumisà des contributions patronales spéci�ques. La �scalité applicable au béné�ciaire dépend de la modalité deversement retenue : exonéré si le versement se fait en capital, disposition �scale de rente à titre onéreuxsi le versement se fait sous forme de rente. Dans ce dernier cas, la �scalité est moins lourde que celle surles rentes acquises à titre gratuit, c'est à dire les rentes issues de plans d'épargne avec avantages �scauxen phase de constitution (par exemple article 83 ou 39).

Selon l'association française de gestion �nancière 9, au 31 décembre 2011, plus de 148 000 entreprisesproposaient un PERCO à leurs salariés, soit une progression de 20 % en un an. A la même date, plus de964 000 salariés ont déjà e�ectué des versements, ce qui représente une augmentation 39 % sur un an.L'encours total géré par les PERCO, bien qu'encore très modeste (5 milliards d'euros au 31 décembre2011), est en constante augmentation (+ 25 % sur un an). Ces chi�res démontrent l'intérêt croissantporté par les entreprises et les salariés à ce dispositif.

1.2.1.5 PERE

Le PERE (plan d'épargne pour la retraite d'entreprise) est également un dispositif ayant vu le jour dansle cadre de la loi Fillon en 2003.

L'adhésion est obligatoire et la mise en place du régime peut se faire selon les trois modes de mise enplace présentés plus haut.

Le PERE est généralement alimenté par les cotisations de l'entreprise et éventuellement les cotisationssalariales. Le salarié a de plus, la possibilité d'e�ectuer des versements libres.

La gestion �nancière de ces versements se fait soit en euros (à taux minimum garanti annuel) soit enfonds en euros diversi�é (à capital garanti in �ne), soit en unité de compte.

Les sommes épargnées ne sont disponibles qu'au départ à la retraite sauf en cas d'accident de la vie et lecomplément de revenu constitué est perçu sous forme de rente viagère à l'exclusion de tout autre modede sortie.

C'est un contrat d'assurance retraite à droit dé�nitivement acquis mais indisponible jusqu'à la retraite.

Les cotisations patronales et salariales versées sur un PERE sont exonérées d'impôt sur le revenu et lesversements volontaires du salarié sont déductibles �scalement. Les cotisations patronales sont exonéréesde charges sociales dans une certaine limite et sont déduites de l'assiette soumise à l'impôt sur les sociétés.

Ce dispositif est amené à disparaître dans les années à venir du fait des récentes dispositions qui o�rentla possibilité d'e�ectuer des versements libres sur des plans type Article 83 depuis le 1er janvier 2011.

1.2.2 Régimes de retraite individuelle

L'épargne retraite individuelle permet à un individu, quelque soit sa situation professionnelle, de seconstituer librement une épargne personnelle en vue de sa retraite. Contrairement aux régimes de retraite

9. Source : ASSOCIATION FRANCAISE DE LA GESTION FINANCIERE (AFG) (2012). Les PERCO ontpoursuivi leur progression en 2011. Communiqué de presse.



collective, la retraite individuelle est entièrement à l'initiative de l'épargnant, l'entreprise n'intervenantpas.

1.2.2.1 PERP

Le PERP est le plan d'épargne populaire et correspond à la version individuelle du PERE. Il est lui aussiissu de la loi Fillon du 21 août 2003. Il se constitue par des versements de périodicité et de montantslibres investis soit sur des supports en euros, soit sur des supports en unité de compte. Le rachat ou leretrait est impossible avant échéance. La liquidation de l'épargne s'opère donc à l'échéance sous troisformes possibles :

� rente viagère au moment du départ à la retraite,

� rente viagère di�érée qui permet d'obtenir une fraction de rente garantie lors de chaque cotisation,

� unités de rente, ou encore régime à points. Dans ce cas, les versements permettent d'acquérir despoints qui seront convertis en rente. La valeur de service du point est garantie et revalorisée enfonction des performances du plan.

Le PERP possède un attrait �scal : il permet de déduire les cotisations versées de son revenu déclaré,sous une certaine limite. En revanche, la rente viagère est imposable.

1.2.2.2 Assurance vie

Conçue à l'origine pour favoriser la transmission d'un patrimoine sans droit de succession, l'assurancevie est considérée aujourd'hui comme une nouvelle solution pour se constituer un revenu complémentaireà la retraite. Ce type de contrat est géré par un organisme assureur.

Les versements peuvent se faire de manière périodique, en versement unique ou en versements libres.

Il existe plusieurs types de contrats d'assurance vie, pouvant tous être utilisés en épargne retraite :

� le contrat en euros, qui garantit à l'assuré le capital investit auquel s'ajoutent des intérêts,

� le contrat en unités de compte, plus risqué, qui garantit un nombre de parts. Le capital varie doncen fonction du marché,

� le contrat multi-support, qui est à la fois un contrat en euros et en unités de compte,

� le contrat en actions, qui est un contrat en unités de compte qui doit remplir certains quotas d'in-vestissement en actions mais béné�cie en contrepartie d'un régime �scal favorable.

Le rendement et le risque di�èrent selon le choix de ses supports.

Si le béné�ciaire est encore en vie à maturité du contrat d'assurance vie (minimum huit ans), il recevraun capital ou une rente viagère, en guise d'épargne retraite. Si le béné�ciaire est décédé avant la �n ducontrat, ses béné�ciaires recevront un capital ou une rente de réversion.

1.3 Le pouvoir attractif des garanties

La diminution du taux de remplacement des régimes obligatoires gérés par répartition et le manque d'in-novation de l'épargne retraite collective ont poussé les salariés à se diriger vers des solutions individuellesplus prometteuses.

Le principal avantage des contrats d'épargne retraite individuelle est leur environnement �scal favorable.Cependant, ils peuvent s'avérer, dans certaines circonstances, risqués pour l'épargnant. Comme évoqué



précédemment, l'épargne individuelle se fait généralement selon deux types de placements :

� les placements en euros, qui ont l'avantage d'être sécurisés (puisqu'ils garantissent le capital investitainsi que des intérêts) mais dont le rendement est faible,

� les placements en unités de compte, où l'épargne est investie sur des supports d'investissements�nanciers. Tout le risque est donc porté par l'assuré.

L'aversion aux placements risqués mais attractifs et la récente crise �nancière, ont encouragé le déve-loppement en France, depuis 2005, des contrats d'assurance type variable annuities dont l'objectif estde garantir un montant minimal d'épargne tout en conservant une exposition au marché �nancier. Cescontrats ont ainsi permis de pro�ter de l'environnement �scal de l'épargne retraite individuelle tout enajoutant des garanties sur les investissements en unité de compte.

Dans un premiers temps, les contrats de type variable annuities permettant aux assurés de se constituerun revenu complémentaire à la retraite seront exposés. En�n, nous présenterons une évolution possiblede ce type de contrat dans le cadre de la retraite collective.

1.3.1 Retraite individuelle : GMWB et GMWB-L

Les variable annuities GMWB 10 et GMWB for life s'adressent à des assurés proches de la retraitedésirant se constituer un complément de revenu a�n d'augmenter leur pouvoir d'achat à la retraite. Cescontrats garantissent un montant minimum de retraits réguliers sur une période déterminée (GMWB)ou un montant minimum de retraits viagers (GMWB-L).

De la même manière que les produits d'épargne retraite classiques, les produits GMWB sont générale-ment composés de deux phases :

� une phase d'épargne, où l'assuré peut e�ectuer des versements périodiques ou libres. Dans cettephase, deux garanties peuvent être choisies : la garantie de revalorisation et la garantie cliquet,

� une phase de mise à disposition du complément de ressource. L'assuré peut alors disposer de retraitsréguliers sur une période dé�nie à l'adhésion. Si, durant cette période, l'épargne est insu�sante,une garantie prend le relais a�n d'assurer un montant identique de retrait.

Dans un contrat GMWB for life, une troisième phase intervient : la phase de déclenchement de la renteviagère. Lorsque l'épargne devient insu�sante, une rente viagère d'un montant égal au dernier versementse déclenche.

1.3.2 Evolution possible sur le marché de la retraite collective

La situation de la retraite obligatoire en France est critique malgré les récentes réformes visant à réduirele dé�cit du système global. De ce fait, la retraite est devenue une des préoccupations principales desfrançais 11 qui voient leur taux de remplacement se réduire sensiblement.

Les dispositifs d'épargne retraite collective et individuelle se sont donc naturellement développés cesdernières années. Deux possibilités s'o�rent alors généralement aux épargnants, investir sur des supportsen unité de compte ou sur des supports en euros. Les premiers permettent certes un rendement plusimportant mais le risque de perte l'est tout autant.

L'o�re de variable annuities s'est donc développée et a élargi le panel de produits existants sur le marché

10. Guaranteed Minimum Withdrawal Bene�t.11. Source : LE CERCLE DES EPARGNANTS (2011). Les Français, l'épargne et la retraite.



de la retraite en France en o�rant des garanties sur un niveau minimum de rente tout en béné�ciant desperformances des marchés boursiers. Ils présentent cependant certains inconvénients.

Tout d'abord, ce type de contrat est un produit d'épargne retraite individuelle et n'a donc pas la visibilitéd'un contrat de retraite collective. De plus, la souscription d'un contrat de type variable annuities s'ac-compagne nécessairement d'une démarche personnelle des épargnants ce qui freine parfois leur volontéinitiale. En�n, il est généralement nécessaire d'investir une prime unique à la souscription. Pour �nir, denombreux frais sont prélevés : des frais de versement de 3 à 5 %, des frais de gestion de l'ordre de 0,95à 1 % mais aussi des frais de garantie de revenus de 0,5 à 3 % qui s'appliquent sur les rentes versés, lavalorisation du contrat en �n de période, ou le fonds dans lequel l'épargne est investie. In �ne, la garantiecoûte chère au souscripteur.

Suite à ces remarques, une question se pose naturellement : pourquoi ne pas combiner un contratd'épargne retraite collective avec une ou des garanties portant directement ou indirectement sur le niveaudes rentes ? Cette question fait l'objet de ce mémoire.

Plus précisément, nous nous attacherons à évaluer un produit encore inconnu sur le marché de la retraiteen France : un régime à cotisations dé�nies garantissant un taux technique acquis durant la phased'épargne et donc indirectement, un montant des rentes. Dans un premier temps, le fonctionnement d'untel produit sera décrit. Puis, le coût de la garantie sera évalué par des méthodes de simulation.


PARTIE 2

RÉGIME À COTISATIONS DÉFINIES ET “OP-TION D’ACHAT” SUR LE TAUX TECHNIQUE :DESCRIPTION

L'objectif de cette partie est de décrire le fonctionnement d'un régime à cotisations dé�nies avec garantiesur le taux technique acquise pendant la phase d'épargne et de formaliser mathématiquement le coûtde cette garantie. Avant cela, nous rappelons et dé�nissons les éléments clés d'un tel produit d'épargneretraite : conversion d'un capital en rente, taux technique, régime de retraite à cotisations dé�nies, etc.

2.1 Rappel : conversion d'un capital en rente

L'achat en phase d'épargne d'une garantie sur le taux technique dans la cadre d'un régime à cotisationsdé�nies aura un impact direct sur le montant de la rente versée à la retraite. En e�et, cette garantieassure au souscripteur une rente minimale à la retraite, et ce quelque soit l'évolution du marché jusqu'aumoment du départ en retraite. L'objectif de cette section est de rappeler la méthode de conversion d'uncapital en rente puisque cette notion interviendra directement lors de la détermination du coût de lagarantie.

2.1.1 Détermination du montant d'une rente viagère

Cette section décrit la détermination du montant d'une rente à partir d'un capital dans le cas d'unerente viagère simple et dans le cas d'une rente viagère de réversion. Les résultats pourront s'étendre sansdi�culté aux autres types de rentes.

2.1.1.1 Rente viagère simple

La conversion d'un capital en rente viagère annuelle passe par la notion de taux de conversion. Un tauxde conversion est un pourcentage que l'on applique au capital a�n d'obtenir la rente annuelle associée.Par exemple, un taux de conversion de 4,54 % pour un assuré de 65 ans signi�e qu'en échange d'uncapital de 100 000 e, cet assuré touchera une rente annuelle minimum de 4 540 e jusqu'à son décès.

Selon le principe de l'équivalence actuarielle, la rente est calculée de sorte que la valeur actuelle probable(VAP) de l'engagement de l'assuré soit égale à la valeur actuelle probable de l'engagement de l'assureur.

Si on note C le capital accumulé, la valeur actuelle probable de l'engagement de l'assuré est :

V AP (Engagement de l′assuré) = V AP (C) = C

Soit T la durée de vie d'un individu. On note Tx = T − x la durée de survie résiduelle d'un individud'âge x, Kx la partie entière de Tx et cx le taux de conversion d'un assuré d'âge x au moment de la



Figure 2.1 � Etapes clés et principales notations d'un versement d'une rente viagère simple

conversion. On suppose que la rente est versée à terme échu. Le graphique 2.1 présente les étapes clés etles principales notations d'un versement d'une rente viagère simple.

La valeur actuelle de l'engagement de l'assureur est donc :

V AP (Engagement de l′assureur) = V AP (

Kx∑k=1

C × cx)

La valeur actuelle probable étant l'espérance actualisée, on obtient alors :

V AP (

Kx∑k=1

C × cx) = E

[Kx∑k=1

C × cx(1 + i)k

/Tx > 0

]

avec i le taux technique qui est le rendement �nancier minimum sur lequel s'engage un assureur pourun contrat d'assurance. Cette notion sera présentée plus en détail dans la section suivante. Si on pose deplus v = 11+i , alors :

V AP (

Kx∑k=1

C × cx) = E

[ ∞∑k=1

C × cx × vk × 1{Tx>k}

/Tx > 0

]=

∞∑k=1

C × cx × vk × P (Tx > k /Tx > 0)

On note P (Tx > k /Tx > 0) = kpx, la probabilité de survivre k années supplémentaires sachant que l'on

est vivant en x. Si lx représente le nombre de survivants à l'âge x, alors kpx peut être modélisé parlx+klx

.

On peut donc écrire :

V AP (Engagement de l′assureur) =

∞∑k=1

C × cx × vk × kpx = C × cx ×∞∑k=1

vk × lx+klx

Soit ax =∑∞k=1 v

k × lx+klx . ax est généralement appelé coe�cient de conversion. On obtient donc :

V AP (Engagement de l′assureur) = C × cx × ax

Selon le principe de l'équivalence actuarielle, on cherche donc à déterminer cx tel que C × cx × ax = C,ou encore cx = 1/ax. Le taux de conversion est donc fonction du taux technique et des probabilités kpx



estimées à l'aide d'une table de mortalité. En France, les tables de référence pour le calcul des rentesviagères sont les tables générationnelles TGH05 et TGF05. Elles sont imposées par la réglementationdepuis le 1er janvier 2007 selon l'article A335-1 du code des Assurance (arrêté du 01/08/2006) à défautde l'utilisation par l'assureur de sa propre table d'expérience homologuée par un actuaire agréé.

Le tableau 2.1 ci-dessous présente quelques exemples de taux pour la conversion d'un capital selon l'âgede l'assuré et le taux technique. La table de mortalité utilisée pour déterminer ces taux est la tableTGH05 pour la génération née en 1950.

Table 2.1 � Exemples de taux pour la conversion d'un capital (rente viagère simple)

Plus l'assuré est âgé, plus le taux de conversion est élevé. En outre, comme évoqué dans la section 3.2,le taux de conversion est plus faible pour un taux technique de 0 % que pour un taux technique de 2 %et cela quelque soit l'âge de l'assuré.

Pour plus de lisibilité, le graphique 2.2 représente ces taux de conversion en fonction de l'âge de l'assuré.

Figure 2.2 � Exemples de taux pour la conversion d'un capital (rente viagère simple)

2.1.1.2 Rente viagère de réversion

Une rente viagère avec réversion est une rente qui sera versée à vie au conjoint du premier béné�ciaire,après le décès de ce dernier. L'objectif de cette rente est de protéger le conjoint survivant en maintenanttout ou une partie de son niveau de revenu. Concrètement, l'assureur versera la rente viagère au sous-cripteur jusqu'à son décès, puis au béné�ciaire de la réversion jusqu'à son propre décès. Ce processus estschématisé par la �gure 2.3 ci-dessous.



Figure 2.3 � Etapes clés et principales notations d'un versement d'une rente viagère de réversion

L'assuré a le choix du taux de réversion au moment de la conversion en rente, c'est-à-dire le pourcentagede la rente qui sera perçue par le conjoint. Par exemple, si l'assuré choisit un taux de réversion de 50 %et qu'il perçoit une rente de 5 000 e par an au moment de son décès, le conjoint se verra alors verserun rente de 2 500 e par an. Dans le cadre d'un régime à cotisations dé�nies, plusieurs taux de réversionsont proposés selon les contrats. Généralement, le taux de réversion proposé est de 60 % ou 100 %.

La rente de base est naturellement minorée en fonction à la fois de l'âge du conjoint au moment de lamise en service de la rente et du taux de réversion demandé. En e�et, l'assureur s'engage à e�ectuer sesversements de rentes non plus auprès d'une seule personne mais de deux. La durée totale de versementse voit donc allongée.

Notons que le choix du taux de réversion est dé�nitif. Le montant de la rente ne sera donc pas réévaluési le conjoint décède avant l'assuré.

Formellement, la VAP de l'engagement de l'assuré reste inchangée, soit C, la valeur du capital accumuléau moment du départ à la retraite. La VAP de l'engagement de l'assureur est :

V AP (Engagement de l′assureur) = V AP (

Kx∑k=1

C × cx +Ky∑Kx+1

ρ× C × cx)

avec x l'âge du premier béné�ciaire, y l'âge du conjoint et ρ le taux de réversion. On a alors :

V AP (

Kx∑k=1

C×cx+Ky∑Kx+1

ρ×C×cx) = E

Kx∑k=1

C × cx × vk +Ky∑

k=Kx+1

ρ× C × cx × vk/Tx > 0 et Ty > 0

qui est donc égal à,

E

[ ∞∑k=1

C × cx × vk × 1{Tx>k} +∞∑k=1

ρ× C × cx × vk × 1{Tx≤k 0 et Ty > 0

]

= C × cx

[ ∞∑k=1

vk × P (Tx > k /Tx > 0) + ρ∞∑k=1

vk × P (Tx ≤ k et Ty > k /Tx > 0 et Ty > 0)

]



Or, P (Tx ≤ k et Ty > k /Tx > 0 et Ty > 0) = P (Tx ≤ k /Tx > 0)× P (Ty > k /Ty > 0) = kqx × kpy =(1− kpx)× kpy.

On obtient donc :

V AP (Engagement de l′assureur) = C × cx

[ ∞∑k=1

vk × kpx + ρ∞∑k=1

vk × (1− kpx)× kpy

]

Si on note axy =∑∞k=1 v

k × lx+klx ×ly+kly

, alors :

V AP (Engagement de l′assureur) = C × cx [ax + ρ(ay − axy)]

En égalisant les VAP, on en déduit alors le taux de conversion cx =1

ax+ρ(ay−axy) .

Le tableau 2.2 présente quelques exemples de taux de la conversion selon l'âge du conjoint et le taux deréversion. Les tables de mortalité utilisées sont les tables TGH05 et TGF05. On suppose que l'assuré estun homme et son conjoint une femme. L'âge de l'assuré est �xé à 67 ans (génération née en 1950) et letaux technique à 2 %.

Table 2.2 � Exemples de taux pour la conversion d'un capital (rente viagère de réversion)

On remarque que plus le conjoint est âgé, plus le taux de conversion est élevé. A contrario, plus le tauxde réversion est important, plus le taux de conversion est faible.

Le tableau précédent est représenté ci-dessous sous forme graphique pour plus de lisibilité.

Figure 2.4 � Exemples de taux pour la conversion d'un capital (rente viagère de réversion)



2.1.2 Dé�nition du taux technique

Comme présenté dans les paragraphes précédents, le taux technique joue un rôle essentiel dans le calculde rentes viagères et plus particulièrement dans cette étude puisque le produit d'épargne retraite quenous cherchons à évaluer propose une garantie qui porte directement sur ce paramètre. La valorisationd'un tel produit passera donc par la modélisation et la simulation du taux technique. Il est donc capitalde dé�nir cette notion en amont. C'est l'objectif de cette section.

Le taux technique, noté i, est le rendement �nancier minimum sur lequel s'engage un assureur pour uncontrat d'assurance et qui est anticipé dans le calcul des provisions mathématiques par actualisationdes �ux �nanciers futurs. En d'autres termes, le taux technique est une garantie de taux minimum derendement valable pour toute la durée de versement de la rente.

Ce taux technique pouvant facilement être comptabilisé par l'assureur par anticipation puisque �xe, ilmajore alors le montant de la première rente sous forme d'un précompte. C'est-à-dire que le montant dela première rente inclut déjà les rendements futurs attendus sur toute la durée de versement. Le montantest donc majoré par anticipation.

Ainsi, par exemple, une homme âgé de 65 ans (génération née en 1950), disposant d'un capital de100 000 e pourra obtenir une rente viagère annuelle d'environ 4 245 e à taux technique 0 % (c'est-à-diresans prendre en compte par anticipation dans le tarif une partie des revenus �nanciers futurs) ou unerente annuelle d'environ 5 520 e à taux technique 2 % 12.

Pour éviter les dérives (promesse de rente élevée par un taux technique trop ambitieux), le niveaumaximum des revenus �nanciers pouvant être anticipés dans le tarif est plafonné réglementairementselon les taux d'intérêt des emprunts d'Etat et selon les opérations d'assurances (vie ou non vie). Dansle cas d'opérations d'assurance vie, la règle de détermination est dé�nie dans l'article A 132-1-1 du codedes Assurances. Le taux technique maximal est fonction du taux de référence moyen (TRM), soit 60 %de la moyenne sur le 6 derniers mois du taux moyen des emprunts d'Etat 13 (TME).

Plus précisément, le taux technique maximal applicable aux tarifs d'assurance vie est �xé sur une échellede taux d'origine 0 et de pas 0,25 point. Il évolue selon la position du TRM par rapport au dernier tauxtechnique maximal en vigueur. Tant que le TRM n'a pas diminué d'au moins 0,1 point ou augmenté d'aumoins 0,35 point par rapport au dernier taux technique maximal en vigueur, ce dernier demeure inchangé.Si le taux de référence dépasse ces limites, le nouveau taux technique devient le taux immédiatementinférieur au taux de référence mensuel sur l'échelle de pas 0,25 point.

Concrètement, au 31 mai 2011, l'augmentation du TME a conduit à une augmentation du taux techniquemaximal applicable en assurance vie. En e�et, les 60 % du TME moyen des 6 derniers mois était de 2,15 %�n mai 2011. Ce taux de référence mensuel a donc augmenté de plus de 0,35 point par rapport au derniertaux technique maximal en vigueur de 1,75 %. Par conséquent, le nouveau taux technique maximalapplicable passe à 2,00 % au 31 mai 2011. Ce qui signi�e que l'assureur garantit un rendement annuelminimum de 2,00 %.

Notons que lorsqu'un nouveau taux technique maximal est applicable, les entreprises d'assurance dis-posent de trois mois pour opérer cette modi�cation.

La �gure 2.5 ci-dessous représente l'historique des taux techniques maximum observés depuis 2007 ainsique l'évolution des 60 % du TME moyen des 6 derniers mois 14.

12. Les calculs ont été e�ectués en utilisant la table de mortalité générationnelle des hommes TGH05 pour la générationnée en 1950.13. Le taux moyen des emprunts d'Etat est le taux de rendement sur le marché secondaire des emprunts d'État à taux �xe.14. Source : Note interne de Towers Watson.



Figure 2.5 � Historique des taux techniques maximum observés depuis 2007

En septembre 2007, le TRM était de 2,62 %, soit 0,37 % au dessus du taux technique en vigueur un moisauparavant (2,25 %). Le taux technique a par conséquent augmenté de 0,25 points, soit 2,50 %.

2.1.3 Revalorisation future de la rente viagère

Le montant d'une rente viagère calculé au moment de la conversion d'un capital n'est pas �xe maisévolue au cours des années. La rente viagère garantit simplement un montant minimum. Ce montantpeut béné�cier tous les ans d'une revalorisation au titre de la répartition des béné�ces réalisés parl'assureur. En e�et, à la mise en place de la retraite, le capital constitutif est transféré sur un fonds desrentes. Ce sont les résultats �nanciers et techniques de ce fonds qui vont permettent de revaloriser lesrentes annuellement.

La �gure ci-dessous représente le passage de l'épargne accumulée investie dans le fonds de l'assureur versle fonds des rentes (et fonds de revalorisation) au moment du départ à la retraite.

Figure 2.6 � Fonds de revalorisation et fonds des rentes



La revalorisation totale de la rente est donc la combinaison de deux éléments :

� le taux technique (déjà anticipé dans le montant de la rente)

� et le rendement �nancier disponible

Le rendement �nancier disponible se décompose schématiquement de la manière suivante :

Figure 2.7 � Taux de revalorisation disponible

Le résultat technique est observé par exemple lorsque la mortalité réelle est moins importante que lamortalité attendue. Dans ce cas, on parle de perte technique.

La revalorisation disponible de la rente (au delà du rendement anticipé par le taux technique) est doncdé�nie comme la di�érence entre le rendement �nancier disponible, les frais d'assureur, le résultat tech-nique et le taux technique. Dans la suite de ce mémoire, nous appellerons taux de rendement �nancierdisponible net le taux de rendement �nancier disponible une fois les frais d'assureur et les pertes (ougains) techniques déduits.

La souscription d'une rente viagère calculée avec un taux technique à 2 % permet d'obtenir immédiate-ment une rente viagère d'un montant supérieur à la rente qui aurait été obtenue avec un taux techniqueà 0 % (cf. exemple précédent). En revanche, les rentes calculées à taux 0 % se revaloriseront plus viteet seront à long terme (durée de vie supérieure à l'espérance de vie moyenne) plus intéressantes pour lerentier. En e�et, avec le taux technique, l'assureur fait une estimation de ses éventuels rendements. Plusil voit grand plus la revalorisation à partir de la deuxième rente sera faible et inversement.

A titre d'illustration, on se place dans le cadre de l'exemple précédent (homme de 65 ans avec un capitalde 100 000 e). Les arrérages de rente ont été calculés avec un taux technique de 0 % et un taux techniquede 2 % pour un même taux de rémunération de 4 %. La �gure 2.8 ci-dessous représente l'évolution deces arrérages dans le temps 10.



Figure 2.8 � Evolution des arrérages de rente selon le taux technique (0 % et 2 %) pour un taux derémunération de 4 %

Ce graphique illustre bien l'impact du taux technique dans la revalorisation future de la rente. Pour unmême taux de rémunération du capital �xé à 4 %, les premiers versements sont plus favorables avec letaux technique à 2 %. Mais le rapport s'inverse, vers 79 ans, et la rente à taux technique 0 % devientplus avantageuse.

Si l'on compare maintenant, selon les mêmes hypothèses les rentes annuelles cumulées, le montant cumulédes rentes annuelles avec un taux technique de 0 % devient supérieur à celui obtenu avec un taux techniquede 2 % à 89 ans (cf. �gure 2.9).

Figure 2.9 � Evolution des arrérages de rente cumulés selon le taux technique (0 % et 2 %) pour untaux de rémunération de 4 %



2.2 Principe de fonctionnement d'un régime à cotisations dé�nies

Un régime à cotisations dé�nies, appelé aussi �article 83� en France, est un contrat collectif à adhésionobligatoire faisant béné�cier à l'employeur et au salarié d'exonérations �scales et sociales. L'employeura une obligation de moyen envers ses employés puisqu'il s'engage à verser périodiquement un niveau decotisations. Le �nancement du régime est prévu et connu (par exemple 3 % du salaire par an) mais lemontant des prestations de rente reste inconnu jusqu'au jour du départ à la retraite car il dépend dela performance �nancière des sommes investies et de la situation du marché �nancier au moment de laconversion du capital en rente.

Le principe de fonctionnement est le suivant : lors de la mise en place du régime, l'assiette de cotisationet un ou plusieurs taux de cotisations sont dé�nis. Puis, suit une période d'accumulation où l'employeuret/ou le salarié versent des cotisations (voire des versements libres) dans un fonds individuel chez unassureur. Ce fonds individuel peut être de deux sortes : en euros, dans ce cas, l'assureur garantit lecapital, ou en unité de compte, dans ce cas, l'assureur ne garantit pas le capital mais un nombre departs. Le capital accumulé est donc constitué des cotisations, d'éventuels versements libres, mais aussid'intérêts �nanciers plus ou moins importants suivant la performance du support �nancier choisi. En�n,au moment de la retraite, les sommes accumulées sont liquidées sous forme de rente. La sortie en capitaln'est pas autorisée, contrairement au PERCO.

Ces di�érentes phases peuvent être synthétisées par le schéma ci-dessous (cf. Figure 2.10).

Figure 2.10 � Fonctionnement d'un régime à cotisations dé�nies

Plusieurs types de rentes peuvent être envisagées :

� une rente viagère simple : le retraité perçoit une rente tant qu'il est en vie,

� une rente de réversion : dans ce cas, si le retraité décède avant le béné�ciaire de la réversion, cedernier sera assuré de percevoir à son tour une rente.

2.3 Fonctionnement d'une garantie sur taux technique dans le

cadre d'un régime à cotisations dé�nies

L'objectif de ce mémoire est d'évaluer le coût d'une garantie sur taux technique d'un régime de retraite àcotisations dé�nies. Le fonctionnement général d'un �article 83� a été rappelé dans la section précédente.Nous nous attachons ici à décrire le principe de la garantie sur taux technique.

Comme évoqué précédemment, le taux technique intervient lors de la conversion en rente viagère ducapital accumulé, c'est-à-dire au moment de la retraite. Ce taux est lié au marché obligataire et est



indépendant de la volonté de l'assuré. L'idée première d'une garantie sur taux technique est de donnerl'opportunité à l'assuré, durant la phase d'accumulation du capital, de �choisir� le taux technique quisera utilisé lors de la conversion en rente. Rappelons que le niveau du taux technique est règlementé parl'article A 132-1-1 du code des Assurances et ne peut être choisi arbitrairement par l'assuré.

Ce nouveau dispositif permettrait à l'assuré d'acheter librement cette garantie à n'importe quel momentdurant la phase d'accumulation du capital si le taux technique lui semble avantageux. Au moment de laconversion en rente, le taux technique utilisé sera donc celui qui était en vigueur à l'achat de la garantie,si ce dernier est supérieur au taux technique réglementaire au jour de la retraite.

Finalement, toute l'épargne accumulée porte un risque de taux sur une seule journée : le jour de l'achatde la garantie, c'est à dire le jour du choix du taux technique.

Par exemple, considérons qu'un assuré retraité au 01/01/2020 ait choisi de souscrire une garantie surtaux technique au 31/07/2011. Supposons qu'au jour de sa retraite, le taux technique soit de 1,75 %.La conversion du capital se fera selon le taux technique garanti au 31/07/2011, soit 2 %, et non selon letaux technique en vigueur le 01/01/2020. Si, par contre, le taux technique au jour de la retraite est de2,25 %, c'est ce dernier qui sera utilisé lors de la conversion en rente.

Un tel dispositif suppose donc qu'un taux technique plus élevé est plus avantageux qu'un taux techniqueplus bas. Or, comme évoqué dans la section 2.7, ce n'est le cas que lors des premiers versements puisquele montant de la rente à taux technique plus bas tend à égaler puis dépasser le montant de la rente àtaux technique plus élevé.

Cependant, la situation ne s'inversera que lorsque la durée de vie du retraité sera supérieure à l'espérancede vie moyenne. L'attractivité de ce dispositif d'épargne retraite n'est donc pas remise en cause.

Le graphique 2.11 ci-dessous schématise le fonctionnement d'un régime à cotisations dé�nies avec tauxtechnique garanti. Dans ce cas, la rente versée à la retraite sera au moins égale à celle versée dans lecadre du même régime à cotisations dé�nies mais sans garantie sur taux technique (voir graphique 2.10).Le montant de rente supplémentaire éventuellement obtenu si i0 > iτ est représenté en hachuré.



Figure 2.11 � Fonctionnement d'un régime à cotisations dé�nies avec taux technique garanti

2.4 Formulation mathématique

Dans cette section, nous tâchons de dé�nir avec clarté les principales notations et hypothèses récurrentesde ce mémoire a�n de donner une première expression du coût de la garantie sur taux technique d'unrégime à cotisations dé�nies comme présenté précédemment.

2.4.1 Premières hypothèses et notations

2.4.1.1 Premières hypothèses

Dans la suite de cette étude, nous supposerons que le versement des rentes se fait annuellement à termeéchu. En d'autres termes, les rentes sont perçues à chaque �n d'année, si l'assuré est toujours en vie.

De plus, nous ferons dans un premier temps l'hypothèse selon laquelle l'assuré recevra une rente viagèresimple au moment de sa retraite. Les autres types de rentes présentées section 2.2 pourront être traitésde manière semblable.

Nous supposerons que le taux technique utilisé au moment de la conversion en rente est le taux techniquemaximal dé�nit section 3.2. En outre, nous considérerons dans la suite un taux de revalorisation de la renteconstant. Des simulations pourront être e�ectuées par la suite selon deux scénario : taux de revalorisationcroissant et taux de revalorisation décroissant.

En�n, pour simpli�er, nous supposerons que l'achat de la garantie ne peut se faire qu'en début d'annéesous forme d'une prime unique. De plus, nous considérerons des frais de gestion nuls ou intégralementprélevés à la souscription. La conversion en rente s'e�ectuera à la �n de l'année durant laquelle l'assurépart en retraite et le premier versement de la rente ne se fera qu'après une année complète passée à laretraite.

2.4.1.2 Notations

Soit 0 la date d'achat de la garantie et x l'âge de l'assuré à cette date. On note κ la date de retraite del'assuré et τ = [κ] + 1, la date de conversion du capital en rente. τ + 1 correspond donc à la date dupremier versement de la rente. Ces dates clés peuvent être représentées par le schéma 2.12.



Figure 2.12 � Notations et dates clés d'un régime à cotisations dé�nies avec taux technique garanti

On note en�n iτ le taux technique en vigueur au moment de la conversion du capital en rente (soit enτ) et i0 le taux technique garanti, c'est à dire le taux technique en vigueur à l'achat de la garantie (soità la date 0).

En�n, le taux d'actualisation est noté r. Le taux de rendement �nancier disponible net de frais et depertes techniques est noté λ et la revalorisation disponible est noté λg dans le cas où la garantie sur tauxtechnique est exercée et λsg dans le cas contraire.

2.4.2 Coût de la garantie

Selon le principe de l'équivalence actuarielle, le coût de la garantie, noté π, est déterminé de manière àégaliser les valeurs actuelles probables de l'engagement de l'assureur et de l'engagement de l'assuré, c'està dire :

V AP (Engagement de l′assureur pour un contrat avec garantie)

= V AP (Engagement de l′assuré pour un contrat avec garantie)

= V AP (Engagement de l′assuré pour un contrat sans garantie) + π

En e�et, l'engagement de l'assuré pour un contrat avec garantie, c'est à dire l'ensemble des sommes qu'ilva verser à l'assureur dans le cadre de ce contrat, correspond exactement à son engagement pour uncontrat sans garantie auquel s'ajoute le prix de la garantie π.

En�n, toujours selon le principe de l'équivalence actuarielle, les VAP de l'assureur et de l'assuré dans lecadre d'un contrat sans garantie sont égales, on obtient alors :

V AP (Engagement de l′assureur pour un contrat avec garantie)

= V AP (Engagement de l′assureur pour un contrat sans garantie) + π

On en déduit donc le prix de la garantie :

π = V AP (Engagement de l′assureur avec garantie)−V AP (Engagement de l′assureur sans garantie)



On s'intéresse donc aux �ux de l'assureur avec ou sans garantie sur taux technique. Ces �ux correspondentaux rentes que l'assureur va devoir payer au retraité. La période considérée pour le calcul de l'engagementde l'assureur est donc la phase de rente.

Pour rappel, ax+τ (ou a′x+τ ) représente le coe�cient de conversion du capital en rente pour un assuré

d'âge x+ τ au moment de la conversion, c'est à dire au moment de la retraite et Cτ représente la valeurdu capital accumulé à la même date.

Flux sans garantie entre j et j + 1 : Si l'assuré est à la retraite et en vie entre j et j + 1, il recevra audébut de l'année j + 1 (ou de manière équivalente à la �n de l'année j) la rente minimum (c'est à direhors revalorisation) F sgj+1 =

Cτax+τ

avec :

ax+τ =

∞∑k=τ+1

vk−τ × lx+τ+k−τlx+τ

=

∞∑k=τ+1

vk−τ × lx+klx+τ

et v = 11+iτ .

Flux avec garantie entre j et j + 1 : Si l'assuré est à la retraite et en vie entre j et j + 1, il recevra audébut de l'année j + 1 (ou de manière équivalente à la �n de l'année j) la rente minimum (c'est à direhors revalorisation) F gj+1 =

Cτa′x+τ

avec :

a′x+τ =

∞∑k=τ+1

wk−τ × lx+τ+k−τlx+τ

=

∞∑k=τ+1

wk−τ × lx+klx+τ

et w = 11+iτ+[i0−iτ ]+

15. En d'autres termes, si i0 > iτ le taux de conversion sera fonction de i0, le taux

technique garanti et inversement.

Finalement, la VAP de l'engagement de l'assureur étant l'espérance de la somme des �ux futurs actualisés,on obtient alors :

V AP (Engagement de l′assureur avec garantie) = V AP (

∞∑j=τ+1

(1 + λg)j−τ × F gj × 1{Tx>j})

= E

∞∑j=τ+1

(1 + λg)j−τ × F gj × e−

∫ j0rsds × 1{Tx>j}

avec λg = λ− iτ − [i0− iτ ]+, le taux de revalorisation de la rente avec garantie et 1{Tx>j} égal à 1 lorsquel'assuré est en vie lors du versement de la rente.

15. Rappel : [a− b]+ = max(a− b, 0).



De la même manière,

V AP (Engagement de l′assureur sans garantie) = V AP (

∞∑j=τ+1

(1 + λsg)j−τ × F sgj × 1{Tx>j})

= E

∞∑j=τ+1

(1 + λsg)j−τ × F sgj × e−


avec λg = λ− iτ , le taux de revalorisation de la rente sans garantie.

Finalement le prix de la garantie s'écrit :

π = V AP (Engagement de l′assureur avec garantie− Engagement de l′assureur sans garantie)

= E

∞∑j=τ+1

[(1 + λg)j−τ × F gj − (1 + λ

sg)j−τ × F sgj]× e−


Développons maintenant le terme[(1 + λg)j−τ × F gj − (1 + λsg)j−τ × F

sgj

].

(1 + λg)j−τ × F gj −(1 + λsg)j−τ × F sgj

= Cτ ×[

(1 + λg)j−τ

a′x+τ− (1 + λ

sg)j−τ

ax+τ

]

= Cτ ×

[(1 + λg)j−τ∑∞

k=τ+1 wk−τ × lx+klx+τ

− (1 + λsg)j−τ∑∞

k=τ+1 vk−τ × lx+klx+τ

]

= Cτ ×

(1 + λ− iτ − [i0 − iτ ]+)j−τ∑∞k=τ+1

(1

1+iτ+[i0−iτ ]+

)k−τ× lx+klx+τ

− (1 + λ− iτ )j−τ∑∞

k=τ+1

(1

1+iτ

)k−τ× lx+klx+τ

=

Cτ ×

(1 + λ− i0)j−τ∑∞k=τ+1

(1

1+i0

)k−τ× lx+klx+τ

− (1 + λ− iτ )j−τ∑∞

k=τ+1

(1

1+iτ

)k−τ× lx+klx+τ

si i0 > iτ0 sinon



Dans le cas où l'on considère que la revalorisation est nulle, l'expression précédente se simpli�e. En e�et,l'inégalité i0 > iτ équivaut à :

1 + i0 > 1 + iτ ⇐⇒(

1

1 + i0

)k−τ<

(1

1 + iτ

)k−τ

⇐⇒(

1

1 + i0

)k−τ× lx+klx+τ

<

(1

1 + iτ

)k−τ× lx+klx+τ

⇐⇒∞∑

k=τ+1

(1

1 + i0

)k−τ× lx+klx+τ

<

∞∑k=τ+1

(1

1 + iτ

)k−τ× lx+klx+τ

⇐⇒ 1∑∞k=τ+1

(1

1+i0

)k−τ× lx+klx+τ

>1∑∞

k=τ+1

(1

1+iτ

)k−τ× lx+klx+τ

On peut donc réécrire la di�érence des �ux (sans revalorisation) F gj − Fsgj sous la forme :

F gj − Fsgj = Cτ ×

1∑∞k=τ+1

(1

1+i0

)k−τ× lx+klx+τ

− 1∑∞k=τ+1

(1

1+iτ

)k−τ× lx+klx+τ

+

On en déduit donc π :

π = E

∞∑j=τ+1

(1 + λ)j−τ ×(F gj − F

sgj

)× e−


= E

∞∑j=τ+1

(1 + λ)j−τ × Cτ ×

1∑∞k=τ+1

(1

1+i0

)k−τ× lx+klx+τ

− 1∑∞k=τ+1

(1

1+iτ

)k−τ× lx+klx+τ

+

× e−∫ j0rsds × 1{Tx>j}

Si on suppose que les risques �nanciers et les risques d'assurance sont indépendants, on obtient alors :

π =

∞∑j=τ+1

jpx × E

e− ∫ j0 rsds × (1 + λ)j−τ × Cτ × 1∑∞

k=τ+1

(1

1+i0

)k−τ× lx+klx+τ

− 1∑∞k=τ+1

(1

1+iτ

)k−τ× lx+klx+τ

+

=

∞∑j=τ+1

lx+jlx× E

e− ∫ j0 rsds × (1 + λ)j−τ × Cτ × 1∑∞

k=τ+1

(1

1+i0

)k−τ× lx+klx+τ

− 1∑∞k=

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Remerciements · mémoire m'ont non seulement permis de développer le sujet qui m'a été proposé mais aussi d'approfondir mes connaissances sur les di érents dispositifs de retraite