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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Prof. Víctor Hugo Lachos DávilaProf. Víctor Hugo Lachos Dávila
AULA: 10-16AULA: 10-16
2
Variável Aleatória Contínua:
• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.
• Assume valores num intervalo de números reais.
• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma v.a. contínua.
1 2 3 4 5 6 x
P(X=x)
Variável aleatória
discreta (f.p.)
Infinitos valores de X
Variável aleatória contínua (funcão
densidade de probabilidade,f.d.p.
)
f(x)
3
(i) A área sob a curva de densidade é 1, isto é,
(ii) f(x) 0, para todo x;
(iii) P(a X b) = área sob a curva da densidade f(x) e acima do eixo x, entre os pontos a e b;
(iv) P(X = x0) = 0, para x0 fixo.
Propriedades dos Modelos Contínuos
Assim,
P(a < X < b) = P(a X < b)
= P(a < X b) = P(a X b)= dxxfb
a )(
1)( dxxfR
Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade f(x) (f.d.p) com as propriedades:
4
MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. continuas)continuas)
Valor EsperadoValor Esperado (média):(média): Dada a v. a. X, o valorvalor esperadoesperado ou esperança matemáticaesperança matemática de X é dada por
E(X) μ Notação:
dxxxf
)( E(X)
VariânciaVariância: : É o valor esperado da v.a. (X – E(X))o valor esperado da v.a. (X – E(X))22, ou , ou seja,seja,
222 ))(()()() - (x Var(X) XEXEdxxf
(X)V 2 arNotação:
5
Exemplo 1Exemplo 1A duração, em anos, de uma lâmpada especial é uma variável A duração, em anos, de uma lâmpada especial é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:aleatória contínua com função densidade dada por:
1f(w)dw R
)( ),0(2 xIce x
f(x)
Notacão usual
c.c , 0
0 x,
2
xcef(x)
1.Encontre o valor da constante c:Das propiredades vistas temos quec>0 e
2c1c0 2
0
0
-
dwedw w
2.Encontre a função de distribuição(f.d.a): c: Da definição temos que
x
-
f(w)dwx)P(XF(x) Claro que para x<0, F(x)=0, pois a função
densidade é nula e para x≥0, temos
6
Continuação exemplo 1Continuação exemplo 1
x
xw edwe0
22 .12 F(x)
3. Calcule a probabilidade da lampada durar até 2 anos: Calculamos
98,01 )2(2 eF(2)
ou0 x, 2-1
0x, 0 2
xe
F(x)
4. Calcule o valor esperado da duração em anos da lampada:
0
20
5.020)( dwwedwwdwwwf w
R
E(X)
b
a
ba
b
a
xfdxgxgxfxgdxf ))(()(|)()())(()(
IMPORTANTE: Integral por partes e Teorema de L’hospital
7
1. Modelo Uniforme
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme com parâmetros e se sua função de densidade de probabilidade é dada por:
cc
xxf
.,0
,1
)(
12
)(,2
)(2
XVarXE
x
xx
x
xF
1
00
)(
A função de distribuição acumulada é dado por:
Notação: X~U( , ))
8
Exemplo: A dureza X de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo (50,70) da escala Rockwel. Qual é a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60?
cc
xxf.,0
7050,20
1)(
Solução: Seja X: dureza de uma peça de aço, X~U(50,70)
20
5
20
1)6055(
60
55
dxXP
Portanto,
602
5070)(
XE
Também,
3,3312
)5070( 22
9
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial com parâmetro , se sua função de densidade é dado por
2. Modelo Exponencial
cc
xexf
x
.,0
0,1
)(
Notação: X~Ex().
A função de distribuição acumulada é dado por:
cc
xexF
x
.0
0,1)(
Pode-se mostrar: 2)(,)( XVarXE
10
Exemplo: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 horas. Cada peça tem um custo de 10,0 unidades monetárias (u.m) e se durar menos de 20 horas, existe um custo adicional de 8.0 u.m.
(a) Qual é a probabilidade de uma durar mais de 150 horas?(b) Determinar o custo esperado.Solução: Se X: tempo de duração de uma peça, do enunciado tem-se que: E(X)=100 horas e X~Ex(100). Ou seja,
223,0)1(1)150(1)150()( 5,1100
150
eeXPXPa
cc
xexF
x
.0
0,1)(100
11
(b) Seja C o custo total de uma peça.
200,810
200,10
xse
xseC
O custo total esperado é: E(C)=10P(C=10)+18P(C=18)
2)200(1)200(1)200()10( eFXPXPCP21)200()200()18( eFXPCP
mueeCE .918,16)1(1810)( 22
12
4. Modelo Normal
Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população.
O histograma por densidade é o seguinte:
30 40 50 60 70 80 90 100
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Peso
De
nsi
da
de
13
- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg;
A análise do histograma indica que:
- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85);
- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).
14
Vamos definir a variável aleatória
A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.
Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a distribuição de probabilidades de X ?
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população.
30 40 50 60 70 80 90 100
0.000
0.015
0.030
Peso
Den
sida
de
15
A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois:
• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. Exemplos:
1. altura
2. pressão sangüínea
3. etc.
• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para a distribuição Binomial.
16
O Modelo Normal
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média e variância , se sua função de densidade é dada por:
2
Rxexfx
,2
1)(
2
).,(~: 2NXNotação
17
Distribuições normais com médias diferentes e variâncias iguais.
Distribuições normais com médias iguais e variâncias diferentes
18
Propriedades da distribuição normal
2)(,)()( XVarXEa
(b) A distribuição é simétrica ao redor de sua média.(c) A área total sob curva é igual a um portanto, cada metade da curva tem 0,5 da área total.(d)
9973,0)33(
9546,0)22(
6896,0)(
XP
XP
XP
19
dtt
xFx
2
2
1exp
2
1)(
A função de distribuição acumulada de uma v.a ).,(~ 2NX
20
Distribuição normal padrão ou reduzida
Se Z é uma variável aleatória normal com média zero e variância um, então Z é chamado de uma v.a. normal padrão ou reduzida e sua f.d.p é dada por:
Rzezfz
,2
1)( 2
2
A função de distribuição acumulada de uma v.a Z~N(0,1) d
dttzZPzz
)5,0exp(2
1)()( 2
21
Uso da Tabela Normal
dttzZPzz
)5,0exp(2
1)()( 2
Observação:
RbaabbZaPiii
zzZPzZzPii
zzzZPzzZPi
,),()()()(
1)(21)(2)()(
0),(1)(1)()()(
22
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511966 0,515953 0,519939 0,523922 0,527903 0,1 0,539828 0,543795 0,547758 0,551717 0,555670 0,559618 0,563559 0,567495 0,2 0,579260 0,583166 0,587064 0,590954 0,594835 0,598706 0,602568 0,606420 0,3 0,617911 0,621719 0,625516 0,629300 0,633072 0,636831 0,640576 0,644309 0,4 0,655422 0,659097 0,662757 0,666402 0,670031 0,673645 0,677242 0,680822 0,5 0,691462 0,694974 0,698468 0,701944 0,705401 0,708840 0,712260 0,715661 0,6 0,725747 0,729069 0,732371 0,735653 0,738914 0,742154 0,745373 0,748571 0,7 0,758036 0,761148 0,764238 0,767305 0,770350 0,773373 0,776373 0,779350 0,8 0,788145 0,791030 0,793892 0,796731 0,799546 0,802337 0,805106 0,807850 0,9 0,815940 0,818589 0,821214 0,823814 0,826391 0,828944 0,831472 0,833977 1,0 0,841345 0,843752 0,846136 0,848495 0,850830 0,853141 0,855428 0,857690 1,1 0,864334 0,866500 0,868643 0,870762 0,872857 0,874928 0,876976 0,878999 1,2 0,884930 0,886860 0,888767 0,890651 0,892512 0,894350 0,896165 0,897958 1,3 0,903199 0,904902 0,906582 0,908241 0,909877 0,911492 0,913085 0,914656 1,4 0,919243 0,920730 0,922196 0,923641 0,925066 0,926471 0,927855 0,929219 1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 0,938220 0,939429 0,940620 0,941792 1,6 0,945201 0,946301 0,947384 0,948449 0,949497 0,950529 0,951543 0,952540 1,7 0,955435 0,956367 0,957284 0,958185 0,959071 0,959941 0,960796 0,961636 1,8 0,964070 0,964852 0,965621 0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258 1,9 0,971284 0,971933 0,972571 0,973197 0,973810 0,974412 0,975002 0,975581 2,0 0,977250 0,977784 0,978308 0,978822 0,979325 0,979818 0,980301 0,980774 2,1 0,982136 0,982571 0,982997 0,983414 0,983823 0,984222 0,984614 0,984997 2,2 0,986097 0,986447 0,986791 0,987126 0,987455 0,987776 0,988089 0,988396 2,3 0,989276 0,989556 0,989830 0,990097 0,990358 0,990613 0,990863 0,991106 2,4 0,991802 0,992024 0,992240 0,992451 0,992656 0,992857 0,993053 0,993244 2,5 0,993790 0,993963 0,994132 0,994297 0,994457 0,994614 0,994766 0,994915 2,6 0,995339 0,995473 0,995603 0,995731 0,995855 0,995975 0,996093 0,996207 2,7 0,996533 0,996636 0,996736 0,996833 0,996928 0,997020 0,997110 0,997197 2,8 0,997445 0,997523 0,997599 0,997673 0,997744 0,997814 0,997882 0,997948 2,9 0,998134 0,998193 0,998250 0,998305 0,998359 0,998411 0,998462 0,998511 3,0 0,998650 0,998694 0,998736 0,998777 0,998817 0,998856 0,998893 0,998930 3,1 0,999032 0,999064 0,999096 0,999126 0,999155 0,999184 0,999211 0,999238 3,2 0,999313 0,999336 0,999359 0,999381 0,999402 0,999423 0,999443 0,999462 3,3 0,999517 0,999533 0,999550 0,999566 0,999581 0,999596 0,999610 0,999624 3,4 0,999663 0,999675 0,999687 0,999698 0,999709 0,999720 0,999730 0,999740 3,5 0,999767 0,999776 0,999784 0,999792 0,999800 0,999807 0,999815 0,999821 3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879 3,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918 3,8 0,999928 0,999930 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946 3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 0,999959 0,999961 0,999963 0,999964
Distribuição normal: valores de P(Z≤z)=Φ(z), z≥0
23
Exemplo: Seja Z~N(0,1), determinar:
(a) P(Z<1,80)(b) P(0,80<Z<1.40)(c) P(Z<-0,57)(d) O valor de k tal que: P(Z<k)=0,05.
Solução: da tabela normal padrão tem-se:
0,13110,78814-0,91924(0,80)-(1,40)1,40)ZP(0,80(b)
0,964070)80,1()80,1()(
ZPa
0,284339.715661,01)57,0(1)57,0()( ZPZPc64,105,0)()( kkZPd
24
Teorema (Transformação linear de uma variável normal)
Se X é uma v.a. normal com média e variância 2, então a variável aleatória Y=a+bX tem distribuição normal com média y =a+b e variância 222 b
Y .
Uma conseqüência do teorema anterior é a variável
)1,0(~ NX
Z
Exemplo: Se X~N(90,100). Determinar:(a) P(70< X < 100)(b) P(|X-90|<30)(c) O valor de a tal que: P(90-2a <X< 90+2a)=0,99
25
718595,0)97725,01(0,841345
))2(1()1()2()1(
)12()10
90100
10
9070()10070()(
ZPZPZPZP
ZPX
PXPa
0,99731-0.99865021)3(2)33(
)10
30
10
90
10
30()309030()30|90(|)(
ZPZP
XPXPXPb
85,1257,25
995,0)5
(99,01)5
(2
10
2
10
90
10
2)2902()290290()(
aa
aZP
aZP
aXaPaXaPaXaPc
26
Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal com média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos.
(a) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele terminar o exame antes de 100 minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular.
0,0917690,9082411)33,1(1
)33,1(1
)33,1(15
120100)100(
).15,120(~ 2
ZP
ZPZPXP
NX
27
(b) Qual deve ser o tempo de prova de modo que permita o 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?
95,015
120)(
95,0)(
xZPxXP
xXP
z=? , tal que (z)=0,95
Da tabela z= 1,64
(c) Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame?
6,1521564,1120 x
28
80.015
120
15
12080,0)( 21
21
x
Zx
PxXxP
z=? , tal que (z)=0,90
Da tabela z= 1,28
.min2,13928,11512028,115
120
.min8,10028,11512028,115
120
222
111
xxx
xxx
29
Teorema( Combinação Linear de variáveis aleatórias normais)Sejam nXX ,,1 , n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(i, i
2), para
i=1,...,n. Sejam naa ,,1 constantes reais. Seja a variável aleatória Y uma
combinação linear das variáveis aleatórias normais. I sto é
nnXaXaY 11
Então a variável aleatória Y tem distribuição normal com média
i
n
iinnY aaa
1
11
e variância
2
1
22221
21
2i
n
iinn aaa
Y
30
Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 190 g e desvio padrão 100 g. Os pesos das xícaras também são normais com média 170 g e desvio padrão 12,25 g. O peso da embalagem é praticamente constante e igual a 100 g.
(a) Qual é a probabilidade da caixa pesar menos de 2000 g?
completa. caixa da peso :C
embalagem; da peso:E
xícara;ésima-i do peso :X
pires; ésimo-i do peso:
i
iP
Solução. Sejam,
5
1
5
1521521
ii
ii
xícarasdaspesopiresdospeso
EXPEXXXPPPC
31
Tem-se interesse: P(C < 2000)=? Do problema temos:
5,,1)25,12,170(~),10,190(~ 22 iNXNP ii
Do teorema anterior C distribui-se normalmente com média
g
EXEPEi
ii
iC
190010017051905
)()(5
1
5
1
222
5
1
5
1
2
1250025,125105
)()()(
g
EVarXVarPVari
ii
iC
e variância
0,997673)83,2(
1250
19002000)2000(
ZP
ZPCP
32
(b) Qual é a probabilidade de uma xícara pesar mais que um pires numa escolha ao acaso?
Seja X: peso de uma xícara; P: peso de um pires. P(X > P)=P(X – P >0)=?
.25025,1210
;20190170
);(~
22222
2
PXY
PXY
YY
onde
NPXYSeja
Logo,
0,103835.
0,8961651)26,1(1
250
)20(01
)0(1)0(
ZP
ZP
YPYP
33
Corolário (Propriedade reprodutiva da distribuição normal)Sejam nXX ,,1 , n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(, 2), para
i=1,...,n. Então a variável aleatória
n
iin XXXY
11
tem distribuição normal com média n e variância
),(~ é, isto , 22 nnNYn
).1,0(~/
1 Nn
X
n
nXY
n
ii
Exemplo: o peso de uma caixa de peças é uma variável aleatória normal com média de 65 kg e desvio padrão de 4 kg. Um carregamento de 120 caixas de peças é feito. Qual é a probabilidade que a carga pesar entre 7.893 kg e 7.910 kg?
34
120,,1),16,65(~caixa ésima-i da peso : iNXX ii
)1920,7800(~
)16120,65120(~carga da peso :120
1
NY
NXYYi
i
010966,0482997,0493963,0
)12,2()51,2()51,212,2(
1920
78007910
1920
78007893)79107893(
ZP
ZPYP
35
Exemplo: Estudo do Sindicato de Bancários indica que cerca de 30% dos funcionários de banco têm problemas de estresse, provenientes das condições de trabalho. Numa amostra de 200 bancários, qual seria a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença?
)3,0 ,200(~problema o com bancários de N : o BXX
948,0)7,0()3,0)(200
()50(200
50
200
k
kk
kXP
Resultado muito trabalhos: 151 termos para somar
A aproximação pela Normal é baseada no Teorema Limite Central. Em geral quanto mais simétrica for a f.p. da Binomial, melhor será a aproximacão.
Aproximação da Binomial pela NormalAproximação da Binomial pela Normal
36
Distribuição Binomial n = 10 p = 0,2
37
Distribuição Binomial n = 20 p = 0,2
38
Distribuição Binomial n = 50 p = 0,2
Para p fixado, a medida que n cresce, os histogramas vão se tornando mais simétricos e com a forma da curva Normal. Tal aproximação será mais rápida para 5.0p
39
sendo Y ~ N(np ; np(1 – p) ).
Aproximar a distribuição de probabilidades de X pela distribuição de probabilidades de uma variável aleatória Y tal que
Portanto, • P( a X b) P(a Y b)
• P( X a) P(Y a)
• P( X b) P(Y b)
X ~ b(n ; p) E(X) = np Var(X) = np(1 – p)
Y ~ N( y, y2) com y = n p e y
2 = n p (1 – p).
Idéia BásicaIdéia Básica
40
Logo temos que , desta forma
938,0)54,1()42
6050
42
60()50()50(
ZP
YPYPXP
)42,60(~ NY
No Exemplo anterior temos que:
42)1()( e 60)( com ),3,0 ,200(~ pnpXVarnpXEBX
Probabilidade exata = 0,948 (usando a distribuição binomial).
Note que estamos aproximando uma distribuição discreta por uma contínua onde as probabilidades pontuais são zero, assim para melhorar tal aproximação alguns autores preferem usar a correção de continuidade
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Correção de Continuidade
Para melhorar a aproximação, usamos a correção por continuidade no cálculo com a Normal como segue:
9478,0)-1.62()42
605,49
42
60()5,49()50(
ZP
YPYPXP
9292,0)46.1()42
605,50
42
60()5,50()50(
ZP
YPYPXP
0182,0)42
605,50
42
60
42
605,49()5,505,49()50(
YPYPXP
Para probabilidade pontuais, criamos um intervalo artificial:
Probabilidade exata = 00190 (usando a distribuição binomial).
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Exemplo: Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade (probabilidade de funcionar adequadamente num certo período) igual a 0,9. Se esses componentes funcionarem de forma independente um do outro e se o sistema funcionar adequadamente enquanto pelo menos 87 componentes estiverem funcionando, qual é a confiabilidade do sistema?X : número de componentes que funcionam adequadamente dos 100
X ~ b(100; 0,9)
n = 100 p = 0,9
E(X) = np = 1000,9 = 90
Var(X) = np(1 – p) = 100 0,9 0,1 = 9
Confiabilidade do sistema: P(X 87)=??
P(X 87) P(Y 87) P(Y 86,5) Y ~ N(90 ; 9)
876976.0)16,1( )16.1()3
905,86
9
90(
ZP
YP
Probabilidade exata = 0.8761232 (usando a distribuição binomial).
