Modèle de compte-rendu de TP · Modèle de compte-rendu de TP 3 II. Matériel utilisé : 1. Le prisme : a. Définition : Un prisme est un élément optique utilisé pour réfracter

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Union générale des étudiants de Tunisie

Bureau de l’institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis

Modèle de compte-rendu de TP

Le goniomètre

à prisme

Ce document a été publié pour l’unique but d’aider les étudiants , il est donc strictement

interdit de l’utiliser intégralement en temps que compte-rendu à rendre aux professeurs .



Ce document a été publié pour l’unique but d’aider les étudiants , il est strictement interdit de

l’utiliser intégralement en temps que compte-rendu à rendre aux professeurs .

I. Objectifs de la séance : Etablir les formules du prisme.

Déterminer les conditions d’émergence : condition sur l’angle du prisme et

sur l’angle d’incidence i.

Exploiter l’étude de la déviation en fonction de i.

Déterminer graphiquement le minimum de déviation.

Calculer l’indice d’un prisme à partir du minimum de déviation

Connaître les différentes couleurs du spectre ainsi que leurs déviations

respectives

Utiliser le goniomètre pour mesurer l’angle au sommet d’un prisme

Mesurer la déviation en fonction de i.

Mesurer les angles d’un prisme au goniomètre à prisme.

Mesurer l’indice d’un prisme correspondant à une certaine longueur

d’onde, par le minimum de déviation.


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II. Matériel utilisé :

1. Le prisme :

a. Définition :

Un prisme est un élément optique utilisé pour réfracter la lumière, la réfléchir

ou la disperser en ses constituants (les différents rayonnements de l'arc-en-ciel

pour la lumière blanche). C'est traditionnellement un prisme (solide) droit à

base triangulaire, constitué d'un matériau transparent réfringent : verre,

plexiglas, notamment dont les deux surfaces sont inclinées, l’une par rapport à

l’autre. La partie la plus mince au bord du prisme (S), s’appelle le « sommet » et

la partie la plus épaisse (B), la « base ». L’angle d’inclinaison

entre les deux surfaces est appelé « l’angle au

sommet » du prisme, il est souvent noté A.

b. Principe :

Lorsque la lumière passe de l'air au verre, par exemple, elle est réfractée.

Lorsqu'elle ressort par l'autre face, elle est de nouveau réfractée. Le rayon ou

faisceau incident est donc dévié. Mais l'indice de réfraction n'est pas le même

pour les différentes longueurs d'onde. De sorte que, un faisceau de lumière

blanche est séparé en ses composantes : le bleu est plus dévié que le jaune, lui-

même plus dévié que le rouge. Il s’agit du phénomène de dispersion de la

lumière polychromatique. Dans ces conditions, le prisme peut être

utilisé pour analyser un rayonnement visible

polychrome (spectroscopie).

Dispersion de la lumière blanche à

travers un prisme





c. Géométrie.

Les formules du prisme : i. Réfraction sur la face d'entrée :

Appliquons la loi de Snell-Descartes

sin sin

ii. Réfraction sur la face de sortie : Appliquons encore la loi de Snell-Descartes

sin sin sin sin

iii. Angle A : Dans le triangle IJK, la somme des mesures

angles est d’où :

r r ( )

D’où : r r

iv. Déviation D : Dans le triangle IJS Dans le triangle IJS, la

somme des mesures angles est d’où :

( ) ( ) ( )

Donc ( ) or r r

D’où

Conclusion :

Pour un prisme plonge dans l'air, la théorie complète du prisme est contenue

dans les quatre formules que l'on vient

d'établir.

Ces relations sont générales si l'on adopte les

conventions des signes suivantes :

i et i' sont comptés positivement.

Lorsque les normales extérieures sont

situées entre le sommet et les rayons, on

donne à r et r' le même signe que i et i'.

D ne dépend que de i, n, et A ⇒ On pourra s'en servir pour connaitre n.

Si i>0 et i>r (car n>1), on a i'>r' donc

d’où i i .


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Si i>0 (conventions présentées avant), alors D>0 et la déviation se fait

toujours vers la base.

Discussion des formules du prisme :

i. Conditions d’émergence :

Condition sur « r »

En pénétrant par la première face du prisme, le rayon incident est réfracté puis

tombe sur la deuxième face sous l’angle . Pour qu’il puisse émerger, il

faut que | | (défini par sin

) | |

. Or | |

| | .

On en conclut donc que :

Condition sur « A»

On a r’ r et | | et | |

ii. Etude de la déviation du prisme :

Variation de D avec l’angle A du prisme :

La différenciation des lois du prisme on obtient

n sin r sin i cos i di n cos r dr’ et dr=0.

d dr’

dD di’-dA

D’où :

dD

d

di

dr

n cos r

cos i

Or n>1, alors

>0 car | | | | ce qui entraine cos i cos r et donccos i

n cos r .

La déviation D est donc une fonction croissante de A.





Variation de D avec l’indice n du prisme :

La variation d’indice peut être obtenue en changeant de prisme, tout en

conservant A et i, ou en considérant les indices relatifs à plusieurs radiations

monochromatiques. En effet nous avons vu que la vitesse de propagation d’une

vibration lumineuse dépend de sa longueur d’onde ; or λ

, n dépend de λ

selon une loi qui peut s’écrire dans le domaine visible il s’agit de la loi de

Cauchy:

n a

a, b : constantes.

Donc n diminue si λ augmente, du violet (0,4 µm) au rouge (0,8 µm).

Qu’en est-il de D ? Cherchons la variation dD de D si n varie de dn, en

différenciant les formules du prisme, A et i étant constants :

sin i n sin r n cos r dr sin r dn

n sin r sin i cos i di n cos r dr sin r dn

r r dr dr

D i i dD di

D’où:

dD

dn

sin

cos i cos r

Donc la déviation augmente si l’indice n augmente. Par conséquent la déviation

D augmente si la longueur d’onde λ diminue, c’est-à-dire si l’on passe du rouge

au violet. C’est le phénomène de dispersion de la lumière par le prisme mis en

évidence par Isaac Newton (1642- 1727)


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iii. Minimum de déviation :

La courbe ( ) est représentée avec, comme vu,

ce qui conduit à

.

Cette valeur correspond à un minima

de la courbe ou asymptote horizontale

ce qui se traduit par :

se nomme minimum de déviation.

En dérivant les lois du prisme, on

obtient :

sin i n sin r cos i di n cos r dr

n sin r sin i cos i di n cos r dr

r r dr dr

D i i dD di di

On a donc :

di

di

n cos r cos i n cos rcos i

dr

dr

cos r

cos i

cos i

cos r

D’où on obtient :

dD

di

cos r

cos i

cos i

cos r ( )

Pour D extrémale on a

cos r cos i cos r cos i

En élevant au carré et en injectant les expressions de i et i en fonction de

r et r :

cos r ( n sin r ) cos r ( n sin r )

On a donc r r

(par symétrie et par la 3ème formule du prisme).





Finalement, on obtient à partir de (*) :

Calculons l'incertitude sur la détermination de l'indice n :

Appliquons la fonction logarithme à n :

Ln n Ln (sin

) Ln(sin

)

Nous poserons que : u sin

et v sin

Calculons la différentielle totale de ln (n) :

Ln n Ln (u) Ln(v) par conséquent

Déterminons du et dv :

du

cos

D

d

cos

D

dD

du v

cos

d

D’où :

cot

d

cot

dD

cot

d

(cot

d cot

d )

cot

dD

Remplaçons les "d" par des et nous mettons des valeurs absolues :

|cot

cot

|

|cot

| D

Or A et D étant positifs, cot

cot

n sin

(D )

sin( )


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D’où : n

n

(cot

D

cot

)

cot

D

D

Cependant A et D ont été mesuré avec le même appareil donc ΔA = ΔD ; il en résulte que :

n

n

(cot

)

iv. Dispersion angulaire :

On définit la dispersion angulaire comme étant d=

.

Au minimum de déviation :

⇒dD

dλ

sin

cos D

dn sin

cos i

dn

dλ

2. Le goniomètre à prisme :

a. Définition :

Un goniomètre à prisme est un appareil qui permet de réaliser à la fois des

mesures d’angle de déviation. Il permet de déterminer l'indice de réfraction d’un

prisme.

b. Description de l'appareil

un collimateur C, fixe. une lunette mobile autour d’un axe vertical, dont

la position est repérée sur le cercle gradué en degrés et minutes.

une plate-forme tournante, support du prisme. Tous ces objets vont être détaillés par la suite.

La présence de ces éléments dans le goniomètre et les réglages se justifient à partir des deux conditions d’utilisation suivantes :





) On éclaire le prisme avec un faisceau de lumière parallèle. C’est à cette condition que l’image d’un point est un point. On dit qu’il y a stigmatisme. Par conséquent, l’image d’une fente fine sera vue à travers le prisme avec la même finesse.

2) La direction du faisceau incident doit être perpendiculaire à l’arête du prisme. Le plan de section principale ainsi défini contient le rayon émergent correspondant à un rayon incident donné et l’angle D de déviation des rayons. Collimateur C : il est formé

d’une fente fine F, réglable

en largeur, placée dans le

plan focal objet d’une lentille L1.

Cette fente est éclairée par la lampe

spectrale. La position de F par rapport à

L1 (mise au point, netteté) se règle en

agissant sur le tirage du collimateur, à

l’aide de la bague moletée.

Lunette d’observation L : c’est une lunette astronomique, c’est-à-dire qu’elle est

formée d’un objectif (L2) et d’un oculaire (L3), que l’on règlera de telle sorte que

le plan focal objet de L3 , matérialisé par un réticule (croix) soit confondu avec le

plan focal image de L2. Dans ces conditions, un faisceau incident de rayons

parallèles donnera un faisceau émergent parallèle, qui sera donc vu sans

accommoder par l’observateur (dont l’œil est sensé être normal).

La lunette est mobile autour d’un axe vertical, d’un mouvement rapide

puis d’un mouvement lent si la vis de blocage V1 est serrée ; elle est mobile

autour d’un axe horizontal à l’aide de la vis V2.

Plate-forme support de prisme : elle est réglable en hauteur et doit être maintenue à la hauteur par serrage de la vis V3. Le plateau supérieur est muni de trois vis calantes qui permettent de rendre

b. Réglages du goniomètre :

Il est important de faire les réglages dans l’ordre exposé.

Réglage de la lunette sur l’infini


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i. Réglage de l’oculaire : on éclaire le plan du réticule à l’aide de la source

auxiliaire S, latérale à la lunette. Pour cela on place (à l’aide du bouton

b) une lame semi-transparente à 45° de l’axe de la lunette, et on règle le

tirage de l’oculaire de manière à voir nettement le réticule.

ii. Réglage de l’objectif de la lunette par autocollimation : la source

auxiliaire S envoie un faisceau de lumière qui émerge de la lunette. Ce

faisceau est réfléchi sur un miroir plan, ou sur une face du prisme. On

observe alors une image du plan réticulaire : cercle lumineux dont R’ est

l’image du réticule R. On met au point cette image en agissant sur le

tirage de la lunette jusqu’à voir nettement le réticule R et son image R’.

Réglage du collimateur sur l’infini :

Il s’agit de placer la fente-source F au foyer objet de l’objectif du

collimateur. On escamote la lame d’autocollimation, et on vise la fente F, éclairée

par la lampe spectrale, avec la lunette réglée. En agissant sur la bague moletée,

on met au point l’image de la fente F, et on règle la finesse de celle-ci de manière

à garder un éclairage suffisant.

Réglage de l’axe optique de l’ensemble

Pour que les raies observées soient nettes, il faut :

que les axes optiques du collimateur et de la lunette soient confondus que cet axe commun soit perpendiculaire à la fente-source et à l’arête du

prisme La fente du collimateur possède un fil marquant son milieu, dont l’image

devra être superposée au fil horizontal du réticule ; ceci se fait à l’aide de la vis

se trouvant sous la lunette.

Réglage de l’horizontalité de la plate-forme

On place alors le prisme sur la plate-forme, l’arête utilisée doit être au

centre du platine. Par autocollimation sur chaque face du prisme, on règle

l’horizontalité de celle-ci. On vise l’image du réticule réfléchie par une face du

prisme et en agissant sur les vis calantes de la plate-forme on amène en

coïncidence l’image du fil horizontal du réticule avec le fil lui-même. Par

tâtonnements successifs sur chaque face du prisme on obtient l’horizontalité de

la plate-forme.





Figu

re r

epré

sen

tati

ve d

’un

go

nio

mèt

re à

pri

sme


13

3. Manipulation : 1. Mesure de l’angle au sommet du prisme :

Montrons que On sait que

D’où on a :

Donc :

On obtient finalement :

Le plateau est orienté de façon à ce que le faisceau envoyé par le collimateur éclaire les deux faces du prisme en même temps. Procéder de la façon suivante :

Repérer à l'œil nu l'image réfléchie de la fente source par chaque face du prisme.

Viser successivement ces deux images qui sont dans les

directions faisant un angle = 2A.

La mesure de l'angle = 2A est faite avec une incertitude absolue qui vaut 2 Δ0, car elle est le résultat de la mesure de deux angles. Par conséquent, la mesure de l'angle au sommet A du prisme s'effectue avec une incertitude de Δ0=0°1’.

On en conclut que : ° °

5 °5





2. Courbe de dispersion :

Le but est de mesurer la déviation minimale Dm obtenue pour des longueurs d'onde λ connues et d'en déduire ainsi l'indice du prisme par la relation :

n sin

(D )

sin( )

On procède de la façon suivante pour mesurer le minimum de

déviation D correspondant à chaque raie λ :

L'angle incident i est d'abord repéré : c'est la direction du faisceau sans déviation. (On rappelle qu'on a intérêt à éclairer le prisme en

incidence rasante (

) pour être sûr de trouver des rayons

émergents.

On observe à l'œil nu le rayon réfracté.

On tourne le prisme de manière à faire diminuer l'angle d'incidence tout en observant l'image réfractée.

Pour un certain angle, on voit l'image s'arrêter et repartir dans l'autre sens : c'est le minimum de déviation.

On repère la position de l'image en la pointant avec la lunette

(position 0 de la lunette). On note 0 l'angle ainsi mesuré.

On procède de la même manière en éclairant l'autre face avec le collimateur (position β1 de la lunette). On note β1 l'angle ainsi mesuré.

L'angle entre les deux positions de la lunette est 2Dm. On en déduit alors la valeur de l’indice n du prisme.


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A la suite de la série de mesures effectuées expérimentalement suivant le processus précédent on a obtenu le tableau suivant :

Couleur Jaune Vert Bleu –vert Indigo Violet

α0 117°53’ 116°32’ 115°03’ 112°58’ 111°02’

Dm 38°40’30’’ 38°51’30’’ 39°10’ 39°34’ 39°54’30’’

n 1,5175 1.5196 1.5230 1.5276 1.5314

(

) (m-²) 3,013.10

12 3,353.10

12 4,137.1012 5,265.10

12 6.013.1012

Δ Dm 1’ 1’ 1’ 1’ 1’

Δn 7.645 7.656 7.673 7.686 7.715

Traçons maintenant la courbe d’étalonnage Dm=f(λ).





3. Vérification de la loi de Cauchy :

Et maintenant traçons la courbe de dispersion n= (

)

On remarque que la courbe qui correspond à n= (

)est une

demi-droite décroissante qui ne passe pas par l’origine, donc on

peut écrire n(λ) b

avec b=n0 l’ordonnée à l’origine et a= la

pente de la courbe.

On a donc bien vérifié la loi de Cauchy.

n(λ) n λ

avec n0 et

de même dimension que n (adimensionné) donc de

même dimension que c'est-à-dire en M² .

Le baron Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

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