Modèle linéaire.

Analyse numérique d’une matrice de

corrélation.

Transitivité et Colinéarité.Thierry Foucart

UMR 6086, Mathématiques, SP2MI, Bd Marie et Pierre Curie, BP 30179 86962  FUTUROSCOPE CHASSENEUIL CEDEX.

1. introduction au modèle linéaire.

1.1 un exemple

• étude des liaisons entre le revenu, l’âge, la CSP, le niveau de diplôme, l’orientation politique, le sexe … au sein d’une population d’électeurs.

• Grand nombre de tableaux croisés : impuissance des tests classiques du 2 et de Fisher

• modélisation : expression mathématique des liaisons.

1.2 modèle linéaire.

Y : revenuX1 : âgeX2 : CSPX3 : diplômeX4 : orientation politique : variable d’ajustement

Y = 0 + 1 X1 + 2 X2 + 3 X3 + 4 X4 +

hypothèses rigides (linéarité, indépendance des observations, normalité et homoscédasticité de la variable d’ajustement ).

1.3 interprétation du modèle

• toutes choses égales par ailleurs.

• recherche d’un effet propre de Xj sur Y : j 0.

• l’âge X1 augmente d’un an : le revenu moyen Y augmente toujours de 1, quelle que soient la CSP, le diplôme, l’orientation politique.

• démarche implicite : on suppose a priori l’existence d’un effet propre et on le contrôle.

1.4 analyse en quatre points :

• Analyse numérique de la matrice des corrélations : transitivité, corrélation partielle.

• Colinéarité : instabilité des estimations

• Evaluation de la régression bornée.

• Régression orthogonale. Sélection des composantes principales.

2. Analyse numérique d’une

matrice de corrélation

2.1 Modèle linéaire. Y = 0 + 1 X1 + … + j Xj + ... + p Xp +

E(Xj) = 0, V(Xj) =

1j = coefficients de régression théoriques

: variable résiduelle : E() = 0, V() = 2

X : matrice des observations des Xj (en colonnes)Y : matrice des observations de Y (en colonne)R : matrice symétrique p x p des corrélations entre les variables Xj

2.2 Estimateur MCO

B : estimateur sans biais de variance minimale (efficace) défini par

(B1, B2, ..., Bp)t.

Bj : estimateur du coefficient j

Les propriétés des estimateurs dépendent de R-1

2.3. Factorisation de Cholesky.

Le calcul de R-1 consiste à factoriser R puis àinverser T.

Factorisation de Cholesky

T matrice triangulaire supérieure

La matrice R étant symétrique définie positive est inversible : la matrice T existe et est inversible.

L

R = T T t

2.4 Calcul de la matrice T i = 1,..., p ti,1 = r1,i / [r1,1 ]

½ (1)

i-1i = 2, ..., p ti,i = [ri,i - ti,k

2 ]1/2 (2) k=1

i-1 ri,j - ti,k tj,k

k = 1i=2,...,p-1 j=i+1,...p tj,i = ___________________ (3)

ti,i

-1 ap,p–1< rp,p–1 < bp,p-1 1

2.5 Encadrement d’un terme

ap,p–1 = – tp–1,p–1 [1 – tp,k2]1/2 + tp–1,k tp,k

bp,p–1 = tp–1,p–1 [1 – tp,k2]1/2 + tp–1,k tp,k

généralisation par permutation

k = 1

k = 1

k = 1

k = 1

p-2

p-2 p-2

p-2

ai,j < ri,j < bi,j

cp,p = tp,k2 rp,p > cp,p

rj,j > cj,j

cj,j = Rj2

k = 1

2.6 terme diagonalp-1

Rj2 : coefficient de détermination obtenu

dansla régression de Xj par les autres

variables explicatives

2.6 Exemple numérique

X1 X2X3 X4

X1 1

X2 0.5 1

X3 0.5 0.5 1

X4 -0.5 0.4 0.3 1

r1,2 ] -0.3697771 , 0.5126343 [

r4,4 ] .98 , + [ R42 =

0.98

3. Relations entre les corrélations

3.1 Transitivité de la corrélation.

X Y ZX 1

R = Y 0.8 1Z r3,1 r3,2 1

•Forte corrélation entre X et Y : r1,2 = 0.8

•Une forte corrélation entre Y et Z (r3,2 = 0.8) implique-t-elle une forte corrélation entre X et Z (r3,1 élevé) ?

X Y ZX 1

R = Y 0.8 1Z r3,1 r3,2 1

• r3,2 =-0.2 r3,1 ]-0.75, 0.43[

• r3,2 = 0.6 r3,1 ] 0, 0.96 [

• r3,2 = 0.746 r3,1 ] 0.196, 1[ (>>0 pour n=100)

• r3,2 = 0.919 r3,1 ] 0.499, 1[

3.2 Evaluation de la transitivité

3.3 Représentation graphique

ensemble des couples (r3,2, r3,1) tels que la matrice soit définie positive (r1,2 = 0.8)

3.4 Généralisation• cas d’une matrice p x p :

• relation entre r1,2 et r3,4 : quelle est la conséquence de la liaison entre la CSP et le diplôme (r1,2) sur la liaison entre l’âge et le revenu (r3,4) ?

X1 X2 X3

X4

X1 1

X2 0.5 1

X3 0.5 0.5 1

X4 -0.5 0.4 0.3 1

3.5 Représentation graphique

3.6 Représentation graphique

3.7 Positionnement du coefficient de corrélation

Evaluation de la position de ri,j dans son intervalle ] a, b [ à l’aide d’un indice variant de –1 à 1

- 1 (ri,j – (a+b)/2) / [ (b – a)/2 ] 1

3.8 corrélation partielle

• relation entre rk,l et rpi,j : rk,l tend vers a (ou b) implique que rpi,j tend vers 1 en v.a. (sous conditions)

On obtient le coefficient de corrélation partielle :

• ri,j = (a + b)/2 si et seulement si rpi,j = 0• rpi,j fonction linéaire croissante de ri,j• ri,j tend vers a ou b si et seulement rpi,j tend vers 1 en v.a.

rpi,j = (ri,j – (a+b)/2) / [ (b – a)/2 ]

4. Colinéarités statistiques.

4.1 Application du modèle• Domaine d’application D = ensemble des

valeurs vraisemblables des variables explicatives.

• forte liaison entre la CSP et le diplôme : un employé a rarement un diplôme BAC+5. Le modèle ne permet pas d’estimer le revenu d’un employé titulaire d’un BAC+5.

• Plus les variables explicatives sont nombreuses :plus le risque de colinéarité est élevé.moins la colinéarité est visible.plus le domaine d’application est restreint.

4.2 Colinéarités statistiques

• entre deux variables : leur coefficient de corrélation linéaire est proche de 1 en valeur absolue .

• entre plusieurs variables : il existe une combinaison linéaire de ces variables de variance faible (d’où l’ACP).

4.3 Conséquences numériques

Les termes de la matrice R-1 sont élevés, en particulier les termes diagonaux.

Termes diagonaux de VB : variances des estimateurs Bj

4.4 Effets de la colinéarité statistique

• Variances des estimateurs MCO des j élevées : d’où valeurs des coefficients estimés parfois élevées.

• Coefficients de corrélation entre les Bj proches de 1 : compensation entre les estimations

• Conséquence : coefficients estimés parfois opposés aux coefficients théoriques

• Coefficient de détermination instable.

4.5 modèle simulé.

Y = 0.5 X1 + 0.5 X2 – 0.5 X3 – 0.5 X4 +

n = 100 R 2 = 1

X1 X2 X3 X4

X1 1

X2 0.5 1

X3 0.5 0.5 1

X4 -0.5 0.4 0.3 1

4.6 Interprétation du modèle :

Le modèle théorique correspond aux propriétés suivantes :

• l’âge et la CSP ont un effet propre positif sur le revenu (1 = 2 = 0.5 )

• le diplôme et l’orientation politique un effet propre négatif sur le revenu (3 = 4 = - 0.5 ).

4.7 Estimations suivant les MCO

(premier échantillon, n = 100) Estimation écart-type t vraie valeur

b1 1.6339 0.8739 1.870 0.5b2 -0.1482 0.5659 -0.262

0.5b3 -1.0375 0.4153 -2.498 -0.5b4 0.4439 0.7848 0.566 -0.5

b0 -0.1650 0.1110 -1.486 0

R2 = 0.49

4.8 Estimations suivant les MCO

(deuxième échantillon, n = 100)Estimation écart-type t vraie valeur

b1 0.4638 0.7832 0.592 0.5b2 0.3674 0.5072 0.724 0.5b3 -0.5204 0.3722 -1.398 -

0.5b4 -0.5594 0.7033 -0.795 -0.5b0 -0.0985 0.0995 -0.990 0

R2 = 0.50

4.9 Coefficient de déterminationTroisième exemple

X1 X2 X3 Y

X1 1

X2 0.6 1

X3 -0.279 0.6 1

Y 0.0446 0 0 1

R2 = 0.99536 (r1,2 = 0.600)

R2 = 0.45260 (r1,2 = 0.599)

4.10 Variation du coefficient de détermination R4

2 en fonction de r1,2

5. Détection de la colinéarité.

X1 X2 X3

X4

X1 1

X2 0.5 1

X3 0.5 0.5 1

X4 -0.5 0.4 0.31

5.1 Facteurs d’inflation• Facteurs d’inflation  :

• Indice de multicolinéarité (Tomassonne) :

En l’absence totale de colinéarité, les facteurs d’inflation et l’indice I sont égaux à

1

fj = 1 / (1 – Rj2)

(termes diagonaux de la matrice R-1)

I = (1/p) fj

(moyenne des facteurs d’inflation)

5.2 Valeurs propres• On note 1, 2, …, p les valeurs propres de R

classées suivant les valeurs décroissantes.

• L’indice de conditionnement  (Belsley et al.):

= 1/ p (ou 1/ p)

• L’indice de multicolinéarité : I = (1/p) 1/ j

Faibles valeurs propres : colinéarité statistique

5.3 Application au modèle simulé

b1 f1 = 62

b2 f2 = 26b3 f3 = 14b4 f4 = 50

•Facteurs d’inflation :

I = 38

= 148.83

1=2.019 2=1.47 3=0.5 4= 0.007

•Valeurs propres

• Indice de conditionnement

•Indice de multicolinéarité

6. Application de la régression

bornée.

6.1 Estimateur biaisé d’un paramètre

E[(X’ – )2] = V(X’) + [E(X’) – ]2

E[(X – )2] = V(X) > E[(X’ – )2]

6.2 Estimateur de la régression bornée

(Pour k = 0, on retrouve l’estimateur des MCO)

critère des MC sous la contrainte B 2 M

6.3 Application.

• On fait varier k de 0 à 1.

• on estime les coefficients de régression par l’estimateur de la régression bornée.

• On construit la représentation graphique des bj en fonction de k appelée ridge trace.

• On choisit k de façon que leurs valeurs soient stabilisées.

6.4 Premier exemple

6.5 estimations (k = 0.1)

6.6 Deuxième exemple

6.7 estimations (k = 0.02).

6.8 Distances entre vecteur observé et vecteur réeld, B= bj–j

(erreur quadratique)

• 50 échantillons de taille 100 : 50 distances

1) par la régression des MCO k = 02) par la régression bornée k = 0.013) par la régression bornée k = 0.05

6.9 Résultats numériques

Carrés des distances entre vecteurs estimés et vecteur vrai

(50 vecteurs estimés)

6.10 Les 20% plus mauvais résultats par les

MCO

6.11 fonction de répartition des carrés des distances

(MCO)

6.12 Variation de la moyenne des ||B - ||2

6.13 Optimisation

Meilleure Moyenne des Variancevaleur de k : carrés des distances k = 0.078 0.039 0.001

Forte stabilité de l’erreur quadratique pour

0.05 < k < 0.1

6.14 Critique de la régression bornée

• amélioration considérable des estimations

• mise en oeuvre nécessitant une démarche critique d’analyse des coefficients de régression.

• résultats discutables dans le cas de coefficients de régression théoriques élevés en valeur absolue. D’où la nécessité de les évaluer a priori.

6.15 Développements• Régression bornée partielle : on calcule

les dérivées des coefficients de régression par rapport à chaque terme diagonal de R, et on on ajoute une constante à ceux dont la dérivée est la plus grande en v.a.

• Détection de valeurs influentes : les valeurs observées influentes sont celles par rapport auxquelles les dérivées des coefficients de régression sont les plus grandes en v.a.

7. régression orthogonale

7.1 MéthodeACP du tableau de données X :

• U : tableau des vecteurs principaux, vecteurs propres unitaires de R.

• C : tableau des composantes principales Cl

(n lignes et q colonnes)

On considère les composantes principales comme variables explicatives.

C = X U

7.2 Modélisation et estimateurs

estimateur B’’ des coefficients de régression des variables initiales :

Y = 0’ + 1’ C1 + … + l’ Cl + ... + p’ Cp +

B’ = 1/n D1/Ct Y

B’’ = U B’ VB’’ = U VB’ Ut

l’ = cov (Y, Cl) / l

7.3 Choix des composantes principales

Algorithme descendant

On sélectionne la composante principale Cl en fonction de son coefficient de régression bl’ avec la variable expliquée Y.

• bl’ > b’0 : on sélectionne la composante principale.

• bl’ < b’0 :on écarte la composante principale.

Le test sur le coefficient de corrélation partielle rpl est équivalent : on fixe alors une valeur limite rp0.

7.4 Premier type d’erreur

Y = 0’ + 1’ C1 + … + l’ Cl + ... + p’ Cp +

(théo.)

erreur possible : introduire Cl avec l’ nul :

la moyenne des carrés des erreurs est égale à :

bl’2 l

(erreur de type I)

Y = b0’ + b1’ C1 + … + bl’ Cl + ... + bp’ Cp + e

(obs.)

7.5 Second type d’erreur

erreur possible : éliminer Cl avec l’ non nul

(erreur de type II)

La moyenne des carrés des erreurs est égale à l’

2 l

Y = b0’ + b1’ C1 + … + bl’ Cl + ... + bp’ Cp + e

(obs.)

Y = 0’ + 1’ C1 + … + l’ Cl + ... + p’ Cp +

(théo.)

7.6 évaluation de l’erreur de type II:

• l’ inconnu : Démarche baysienne

• Probabilité a priori sur l’ensemble contenant le coefficient de régression l’

• E(l’2 l ) : mesure de l’erreur de type II.

• En pratique : on étudie le coefficient de corrélation partielle (loi normale tronquée).

7.7 Algorithme

• On calcule la somme des deux erreurs

• on en déduit celui qui minimise la moyenne des deux erreurs.

•On choisit la région critique du test en fixant un coefficient de corrélation

partielle limite.

•On recommence le calcul en faisant varier le coefficient de corrélation partielle limite de -1 à 1.

On applique cet algorithme aux deux exemples précédents.

7.8 Application (1e

simulation).Pour chaque valeur du coefficient de

corrélation partiel limite rp entre 0 et 1, on calcule la somme des deux erreurs

7.9 Résultats numériques

Valeur limite du coefficient de corrélation partielle 0.0991

Valeur du coefficient de corrélation correspondant 0.0709

Valeur limite du F 0.9422 vraisemblance P(F>f)= 0.3389

7.10 Exemple 1 : conclusion

• toutes les composantes principales sont conservées.

• les coefficients de régresion sont égaux aux coefficients de régression initiaux (MC). • la régression bornée et la régression orthogonale donnent des résultats très différents.

• D’où la nécessité d’une réflexion a priori sur les coefficients de régression théoriques.

7.11 Application (2e

simulation).

• Valeur limite 0.149, observée 0.002. On élimine C4.

• On élimine également C1, et les prédicteurs retenus sont C2 et C3 (variance résiduelle estimée minimale).

Exemple 2 : conclusion

0.047

0.094

0.104

0.065

b1 0.449

b2 0.323

b3 -0.561

b4 -0.556

0.464

0.367

-0.520

-0.559

0.783

0.507

0.372

0.703

Régression orthogonale des moindres carrésestimation écart-type estimation écart-type

La régression orthogonale diminue considé-rablement les écarts-types des estimateurs.

7.13 Commentaires sur l’algorithme

• Eliminer une composante principale de faible variance n’est pas toujours une bonne décision.

• Le choix des composantes principales à éliminer dépend de [r(Y,Cl) 2 / l ].

• Risque de 1e espèce correspondant à la valeur limite largement supérieur à 5%.

• Conserver une composante principale de variance relativement élevée n’est pas toujours une bonne décision.

CONCLUSION• Le modèle linéaire compense

l’impuissance des tests classiques en recourant à des hypothèses rigides.

• Ces hypothèses mathématiques sont vérifiées dans les simulations effectuées, mais jamais dans la réalité.

• Une réflexion non statistique sur la nature des données est indispensable pour appliquer le modèle linéaire et en interpréter correctement les résultats.

BIBLIOGRAPHIE1. Colinéarité et régression linéaire, Math. &

Sci. hum. Mathematics and Social Sciences (43e année, n° 173, 2005(4), p. 5-25).

2. évaluation de la régression bornée. Revue des Nouvelles Technologies de l’Information, éd. Cépaduès sous presse.

3. Limites de l’informatisation des sciences de l’homme et de la société. Contribution à l’ouvrage collectif Les sciences humaines et sociales à l’heure des technologies de l’information et de la communication, dir. B. Reber C. Brossaud , publication prévue juin 2007, Hermès, Paris.

Complémentshttp://foucart.thierry.free.fr

Matrices de corrélation

X1 X2 X3 X4 Y

X1 1.000

X2 0.500 1.000

X3 0.500 0.500 1.000

X4 -0.500 0.400 0.300 1.000

Y1 0.540 0.216 -0.107-0.491 1.000

Y2 0.486 0.084 -0.199-0.584 1.000