MODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE

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MODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE. Institut des Actuaires Franais Pierre DEVOLDER 28 mai 2003 AXA Belgium UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN. BUT DE L'EXPOSE. - PowerPoint PPT Presentation

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<ul><li><p> MODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE Institut des Actuaires Franais Pierre DEVOLDER 28 mai 2003 AXA Belgium UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN</p></li><li><p>BUT DE L'EXPOSE MODELES ACTUARIELS CLASSIQUES DE L'ASSURANCE Calcul viager des primes en assurance-viePrincipes de tarification en assurance non-vie MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCE MODERNE Mthodologie risque neutre </p><p> UN MARIAGE EST-IL POSSIBLE ?UNE DESCENDANCE EST-ELLE ENVISAGEABLE ?</p></li><li><p>CADRE THEORIQUE COMMUNELEMENTS CONSTITUTIFS EN FINANCE ET EN ASSURANCE :tempsincertitude PROBLEME ELEMENTAIRE : PRIX EN t = 0 D'UN CASH FLOW FUTUR PAYE EN t = T MONDE DETERMINISTE : THINGS ARE DESPERATELY SIMPLE ! </p></li><li><p>CADRE THEORIQUE COMMUN (2)QUID si : M est alatoire i est alatoire T est alatoire MODELISATION DE L'INCERTAIN PAR : UN ENSEMBLE D'ETATS DU MONDE UNE MESURE QUANTIFIANT LES CHANCES DE REALISATION </p><p> LE CADRE EST-IL EXACTEMENT IDENTIQUE EN ASSURANCE ET EN FINANCE ?</p></li><li><p>MODELES CLASSIQUES DE L'ASSURANCETAUX D'ACTUALISATION CONSTANT (Assurance Vie) OU IGNORE (Assurance Non Vie) PHENOMENE ALEATOIRE : OBEISSANT A UNE LOGIQUE DE LOI DES GRANDS NOMBRESNON CORRELE AVEC LES MARCHES FINANCIERS</p><p>2 EXEMPLES SIMPLES : ASSURANCE TEMPORAIRE DECES 1 ANCONTRAT DE REASSURANCE EXCESS OF LOSS </p></li><li><p>ASSURANCE VIEEN CAS DE DECES EN t = 1 : 1 (1)EN CAS DE SURVIE en t = 1 : 0 (2) = PRIME EN t = 0 1 (1) = ?</p><p> t = 0 t = 1</p><p>PRINCIPE D'ESPERANCE MATHEMATIQUE CHARGEMENT DE SECURITE :</p><p> i = dterministeT = dterministeM = alatoire 0 (2) </p></li><li><p>REASSURANCE EXCESS OF LOSS (1) X = MONTANT DE SINISTRE AVANT REASSURANCE = VARIABLE ALEATOIRE DE FONCTION DE REPARTITION FIXEE F</p><p>CONTRAT XL : PAIEMENT PAR LE REASSUREUR DE LA PARTIEDU SINISTRE EXCEDANT UN MONTANT FIXE K :</p><p> Y = ( X K) + PRIME DE REASSURANCE : </p></li><li><p>REASSURANCE EXCESS OF LOSS (2)PRIME PURE :</p><p>CHARGEMENT DE SECURITE :</p></li><li><p>MODELES CLASSIQUES DE L'ASSURANCE - CONCLUSIONALEA RISQUE COMPENSATION PAR LA LOI DES GRANDS NOMBRES 1 . ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A LA MESURE DE PROBABILITE REELLE HEDGING IMPARFAIT CHARGEMENT DE SECURITE ET PRICING VARIABLE FONCTION DE L'AVERSION AU RISQUE</p></li><li><p>MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCEINCERTITUDE LIEE A L'EVOLUTION D'ACTIFS FINANCIERS (Taux d'intrt / Cours d'action) Loi des grands nombres ? SUR CES SOUS-JACENTS ALEATOIRES, DEVELOPPEMENT DE PRODUITS A TARIFER 2 EXEMPLES : OPTION SUR ACTIONOPTION SUR ZERO COUPON</p></li><li><p>OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (1)SOUS-JACENT</p><p> d.S (d &lt; 1) (1)S</p><p>t = 0 u.S (u &gt; 1) (2)</p><p> t = 1</p><p> PRODUIT A TARIFER</p><p> 1 (1)</p><p> = ? </p><p> t = 0 0 (2) t = 1</p><p>q1 - qi = dterministeT = dterministeM = alatoire</p></li><li><p>OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (2)</p><p>TARIFICATIONPRINCIPE ACTUARIEL : ?</p><p> + chargement de scurit THEORIE FINANCIERE DE L'ARBITRAGE LA PROBABILITE RELLE q N'INTERVIENT PAS DANS LE PRIXLE PRIX EST UNIQUE POUR TOUS LES OPERATEURS</p></li><li><p>OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (3)</p><p>TARIFICATION EN MESURE RISQUE NEUTREPRINCIPE DE DUPLICATION :</p><p> DUPLICATION DES CASH FLOWS DU PRODUIT A TARIFER PAR UNE COMBINAISON LINEAIRE D'ACTIFS CONNUS (actif sans risque i + actif risqu S) t = 1 (et non pas : </p><p> t = 0 </p></li><li><p>OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (4) RESOLUTION</p><p> PRIX INITIAL :</p></li><li><p>OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (5) </p><p> LE NOMBRE EST APPELE </p><p> PROBABILITE RISQUE NEUTRE </p><p>a) Condition pour tre un candidat probabilit : 0 p 1Condition d'quilibre naturel de march</p></li><li><p>OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (6) </p><p> Interprtation financire de cette probabilit : Dans un nombre virtuel o la vraie probabilit q serait remplace par le nombre p, le rendement moyen de l'actif risqu correspondrait au taux sans risque i : p . d + (1 p) . u = 1 + i</p><p>Lien entre la probabilit relle q et le nombre p : ? p &gt; &lt; q ? Equilibre conomique naturel rendement / risque E (rendement actif risqu) &gt; taux sans risque</p></li><li><p>OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (7) </p><p> q . d + (1 q) . u &gt; 1 + i Or 1 + i = p . d + (1 p) . u Donc q . d + (1 q) . u &gt; p . d + (1 p) . u p &gt; q Chargement de scurit : </p></li><li><p>MODELE D'ARBITRAGE DE LA FINANCE - CONCLUSION</p><p>ALEA RISQUE PRINCIPE DE DUPLICATION</p><p>ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A UNE MESURE DE PROBABILITE MODIFIEE HEDGING PARFAIT PRIX UNIQUE DE MARCHE</p></li><li><p>OPTION SUR ZERO COUPONS Modles dterministes</p><p>i = dterministe i = dterministeM = dterministe M = alatoire</p><p> Tarification des Tarification des options zros-coupons sur zro-coupons i = alatoire i = alatoire M = dterministe M = alatoire</p></li><li><p>TARIFICATION DES ZERO-COUPONSDETERMINISTE : STOCHASTIQUE : incertitude sur M = 1 le taux i (zro coupon)= taux spot futur l'instant t P (t, s) = Prix l'instant t d'un zro coupon d'chance s</p></li><li><p>TARIFICATION DES ZERO-COUPONS (2)1re IDEE : 2e IDEE : MODELE D'ARBITRAGE : Non mesurable en to Q est une mesure de probabilit modifie (mesure neutre risque)</p></li><li><p>MODELE GENERAL risque financier Monde stochastique : incertitude sur cash flow les taux futur alatoire risque d'assurance</p><p> corrlation entre les 2 alas ?</p></li><li><p>OPTION SUR ZERO COUPONS (1) M = Risque financier avec corrlation avec la structure de taux</p><p>OPTION SUR ZERO COUPON :DROIT D'ACHETER A UN INSTANT f ANTERIEUR ALA MATURITE s, LE ZERO COUPON A UN PRIX FIXE D'AVANCE A L'INSTANT t (t &lt; f &lt; s)</p><p>MODELE D'ARBITRAGE : </p><p>avec Q = mesure risque neutre</p></li><li><p>OPTION SUR ZERO COUPONS (2) Calcul explicite :</p><p>actualisation esprance risque neutre du cash flow</p></li><li><p>OPTION SUR ZERO COUPONS (3)Mesure Forward neutre : Nouveau changement de mesure de probabilit</p><p> P Q Qf </p><p>monde monde risque monde forward rel neutre neutre </p></li><li><p>ASSURANCE ET FINANCE (1)avec M = flux li des risques financiers et d'assurance</p><p>TITRISATION DE RISQUES D'ASSURANCE INTEGRATION, A COTE DES RISQUES CLASSIQUESDE MARCHE, DES RISQUES TECHNIQUES D'ASSURANCE, DANS DES PRODUITS FINANCIERS</p></li><li><p>ASSURANCE ET FINANCE (2) Exemple type : CAT BOND </p><p>OBLIGATION DONT LES COUPONS ET / OU LE PRINCIPAL SONT MODIFIES EN CAS DE SURVENANCE D'EVENEMENTS ALEATOIRES RELEVANT DE LA SPHERE DE L'ASSURANCE GENERALEMENT DU DOMAINE DES CATASTROPHES (Tremblement de terre / Inondation /..)</p><p>(cf. Loi des Grands Nombres ???)</p></li><li><p>CAT BONDS Exemples MODELE SUR UNE PERIODE : 108 si pas de catastrophe 100 0 si catastrophe</p><p>MODELE SUR 2 PERIODES :</p><p> 108 8 100 100 108 0 100</p></li><li><p>CAT BONDSMECANISMES D'ATOMISATION DU RISQUERassuranceRassureurClassique</p><p>Assureur</p><p>Marchfinancier Cat Bond</p></li><li><p>CAT BONDSALTERNATIVE AUX SCHEMAS TRADITIONNELS DE REASSURANCE APPEL AU MARCHE DES CAPITAUX POUR MIEUX DILUER LE RISQUE augmentation ces dernires annes des risques de nature cat modifications climatiquesconcentration de population dans des zones risque concentration dans le monde de la rassurance / capital limitPOINT DE VUE DE L'EMETTEUR</p></li><li><p>CAT BONDSINTERET D'UN INVESTISSEUR POUR ACHETER CE TYPE DE PRODUIT ?2 ELEMENTS :Hedging naturel dans des secteurs influencs favorablement par l'occurrence de catastrophesElment de diversification : risques non corrls avec les risques traditionnels des marchs financiersPOINT DE VUE DE L'ACHETEUR</p></li><li><p>CAT BONDSPROBLEME DE LA THEORIE DU PORTEFEUILLEmaximiser l'esprance de rendementtout en minimisant sa variance(quilibre rendement / risque)</p><p>M titres risqus de rendement alatoire (R1,R2,..,RN) E(Ri) = i COV (Ri, Rj) = ij+ 1 titre non risqu de rendement certain RO E(R0) = r0 COV (R0, Rj) = 0Diversification / MODLE DE MARKOWITZ</p></li><li><p>MODELE DE MARKOWITZ (2)PORTEFEUILLE : X = (x0, x1,xN) xi = part investie dans l'actif i CRITRE D'OPTIMISATION :rendement moyen du portefeuille : variance du portefeuille :</p></li><li><p>MODELE DE MARKOWITZ (3)PORTEFEUILLE EFFICIENT X*: Il n'existe pas un autre portefeuille tel que </p><p>PROBLEME D'OPTIMISATION : minimisation du risque sous contrainte :</p><p> sous contraintes : et</p></li><li><p>MODELE DE MARKOWITZ (4)</p><p>FRONTIERE EFFICIENTE : sans actif avec introduction de non risqu l'actif non risqurendementcart typer0droite de marchefficiente </p></li><li><p>MODELE DE MARKOWITZ (5)INTRODUCTION D'UN ACTIF COMPLEMENTAIRE DE RENDEMENT R N+ 1 ALEATOIRE risque lev rendement moyen lev non corrlation avec les N titres risqus dplacement vers le haut de la frontire efficiente</p></li><li><p>MODELE DE MARKOWITZ (6)</p><p>meilleur rendement moyen risque fixr0rendement. CATrisque sans actif avec actif CAT CAT</p></li><li><p>TARIFICATION DES CAT BONDS (1)Application aux cat-bonds</p><p>c(k) = coupon / principal = cash flow alatoire pay en k, contingent un risque d'assurance (k = 1, ., T)</p></li><li><p>TARIFICATION DES CAT BONDS (2)EXEMPLE DE FORMULE CONTINGENTE Ds qu'une catastrophe se produit durant la vie de l'obligation, les coupons et le principal sont rduits d'un facteur 1 f (0 &lt; f &lt; 1) et il n'y a plus paiement aprs.</p><p> = instant d'arrive de la catastrophe = threshold time = premier instant d'un processus ponctuel de Poisson</p></li><li><p>TARIFICATION DES CAT BONDS (3)HYPOTHSE DE NON CORRLATION Indpendance entre le processus des taux spot { r } et le processus ponctuel de Poisson</p><p>o Q = probabilit de survenance de la CAT sous la mesure neutre risque </p></li><li><p>TARIFICATION DES CAT BONDS (4) COTATION AU PAIR expression du coupon du CAT Bond = 1 si f = 0 :</p></li><li><p>TARIFICATION DES CATS BONDS (5)Q = MESURE RISQUE NEUTRE = ? APPLICATION DES RAISONNEMENTS D'ARBITRAGE AU RISQUE CONTINGENT ? </p><p> MODLE INCOMPLET : L'ENSEMBLE DES CASHFLOWS POSSIBLES NE PEUT ETRE DUPLIQUE A L'AIDE D'ACTIFS DE BASE. NON UNICITE DE LA MESURE RISQUE NEUTRE NON UNICITE DU PRIX BORNES SUR LE PRIX EN VUE D'EVITER LES OPPORTUNITES D'ARBITRAGE</p></li><li><p>TARIFICATION DES CAT BONDS (6)PRIX PUR (cf Prime pure en assurance) : PRENDRE POUR Q = PROBABILIT RELLE DE SURVENANCE DE CAT CHARGEMENT POSSIBLE . VU LA NON UNICITE THEORIQUE DU PRIX D'ARBITRAGE ESTIMER LE PRIX A L'AIDE D'UNE PROBABILITE DE SURVENANCE SUPERIEURE A LA PROBABILITE REELLE (Processus de Poisson : &gt; rel)</p></li></ul>