Modèles Saturés et Modèles Engendrés par des Indiscernables

Modèles Saturés et Modèles Engendrés par des IndiscernablesAuthor(s): Benoît MariouSource: The Journal of Symbolic Logic, Vol. 66, No. 1 (Mar., 2001), pp. 325-348Published by: Association for Symbolic LogicStable URL: http://www.jstor.org/stable/2694925 .

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THE JOURNAL OF SYMBOLIC LOGIC

Volume 66. Number 1. March 2001

MODELES SATURES ET MODELES ENGENDRES PAR DES INDISCERNABLES

BENOIT MARIOU

Abstract. In the early eighties. answering a question of A. Macintyre, J. H. Schmerl ([13]) proved that

every countable recursively saturated structure. equipped with a function # encoding the finite functions,

is the f-closure of an infinite indiscernible sequence. This result implies that every countably saturated

structure. in a countable but not necessarily recursive language, is an Ehrenfeucht-Mostowski model. by

which we mean that the structure expands, in a countable language, to the Skolem hull of an infinite

indiscernible sequence (in the new language).

More recently, D. Lascar ([5]) showed that the saturated model of cardinality N I of an co-stable theory

is also an Ehrenfeucht-Mostowski model.

These results naturally raise the following problem: which (countable) complete theories have an

uncountably saturated Ehrenfeucht-Mostowski model. We study a generalization of this question. Namely.

we call ACI-model a structure which can be expanded. in a countable language L',. to the algebraic closure

(in L') of an infinite indiscernible sequence (in L'). And we try to characterize the A-saturated structures

which are ACI-models.

The main results are the following. First it is enough to restrict ourselves to RI -saturated structures:

if T has an N 1 -saturated A CI-model then, for every infinite x, T has a 2-saturated A CI-model. We obtain a

complete answer in the case of stable theories: if T is stable then the three Iilowving properties are equivalent:

(a) T is w-stable, (b) T has an N I-saturated A CI-inodel, (c) every saturated inodel of T is an Ehrenflucht-

Mostowski model. The unstable case is more complicated, however we show that ij T hias an S I -saturated

A CI-model then T doesn't havle the independence property.

Le problem etudie ici a pour origine la question suivante, due (selon J. H. Schmerl, [13]) 'a A. Macintyre: existe-t-il un module recursivement sature de l'arithmetique de Peano qui soit engendre par une suite indiscernable ? La reponse, affirmative, de J. H. Schmerl (article suscite) elargit la question: toute structure denombrable, recursivement saturee et munie d'une fonction codant les suites finies est la cloture, pour cette seule fonction, d'une suite indiscernable infinie. Enfin, comme le remarque R. Kaye ([3]), la resplendence des structures denombrables et recursivement saturees permet de renforcer le resultat puisque si X est une telle structure alors on peut l'enrichir d'une fonction fl qui code les fonctions finies de telle sorte que (I, fi) est encore recursivement saturee.

De son cote, J. P. Ressayre a prouve, par d'autres methodes ([11]), que toute structure recursivement saturee denombrable s'enrichit en l'enveloppe de Skolem d'une suite infinie et indiscernable pour le nouveau langage.

Received April 1, 1998; revised December 16, 1998. Travail effectu6 sous la direction d'Jlisabeth Bouscaren dans le cadre de la preparation du dipl6me

de Doctorat, a l'Universit6 Paris 7.

? 2001. Association for Symbolic Logic 0022-4812/01/6601-001 6/$3.40

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326 BENOIT MARIOU

Par abus de langage nous appellerons module d'Ehrenfeucht-Mostowski une structure qui s'enrichit ainsi en l'enveloppe de Skolem d'une suite infinie et indiscernable pour le nouveau langage.

Ce resultat entraine que toute structure saturee denombrable dans un langage denombrable (eventuellement non-recursif) est un module d'Ehrenfeucht-Mostow- ski. Dans [5] (?5 Le cas omega-stable), D. Lascar montre que le module sature de cardinal RI d'une theorie co-stable est un module d'Ehrenfeucht-Mostowski et s'interroge sur cette propriety pour les structures saturees quelconques.

C'est 'a une generalisation de cette question que l'on s'interesse ici: quelles structures A-saturees sont des ACI-modeles; oui on appelle ACI-modele une structure qui s'enrichit en la cloture algebrique (pour le nouveau langage) d'une suite, infinie, indiscernable pour le nouveau langage ? L'elargissement de l'etude 'a toutes les structures A-saturees, saturees en leur cardinal ou pas, a ete suggere par les premiers resultats obtenus dans le cas stable; il donne un interest au problem dans le cas instable et les resultats confirment son opportunity.

On se restraint ici au cas oui le langage initial et le nouveau langage sont denombrables. Des resultats analogues, sans restriction sur les cardinaux des langages, sont cites (?4.3), on pourra trouver les preuves dans [7] et [8].

La premiere partie fixe les notations et rappelle (ou etablit) quelques resultats preliminaires. A la section 2, on commence une approche generale du problem qui conduit 'a des outils plus consequents, ainsi qu'a' quelques resultats simples, notamment: si T a un ACI-modele f I-sature alors, pour tout cardinal infini A, T a un ACI-modHe A-sature. La section suivante revient sur le cas des structures saturees denombrables: on y montre directement que ce sont toutes des modules d'Ehrenfeucht-Mostowski, sans faire appel aux theoremes de Ressayre et Schmerl. Les deux dernieres parties sont consacrees aux structures i -saturees. A la section 4, on resout le problem pour les theories stables en montrant: si T est stable alors les trois proprietes suivantes sont equivalentes: (a) T est w-stable, (b) T a un ACI-modeHe f I-sature, (c) tous les modeHes satures de T sont des modules d'Ehrenfeucht-Mostowski. Enfin, 'a la derniere section, on donne des exemples instables moins immediats que les ordres denses sans extremite et les ordres discrets et on demontre que si T a un A CI-modele f -sature alors T n'a pas la propriety d'independance.

?1. Notations et resultats preliminaires. 1.1. Notations. Tous les langages considers, sauf mention explicite, sont denom-

brables. Les structures sont appelees Id, A', 4V et M, N sont leurs ensembles de base. Si A est un ensemble de parametres acl(A), dcl(A) et (A) sont, respectivement, la cloture algebrique de A, la cloture definissable de A et la sous-structure engendree par A; cl(A) recouvre les trois cas et depend du contexte (on indique, en indice, le langage concerned .

Si a est un uple de parametres, {a } est l'ensemble des points de a et a e A signifie que chacun des points de a est dans A. La longueur de a est J I et le cardinal de A est IHAII.

On appelle tL(a/A) le type de a sur A dans le langage L; et on ecrit a-(L) b pour "a et b ont le meme type (sur vide) dans L".



MODELES SATURES ET MODELES ENGENDRES PAR DES INDISCERNABLES 327

Dans l'ecriture des formules, v, w, z sont des variables et x, y les symboles de constante utilises pour l'ecriture des types. Si n est un entier non-nul, v,, (resp. x-,,) est une abreviation de vo, . . ., vni-I (resp. xo, . x., x/1-1).

Si Ao et A1 sont deux ensembles de parametres, un isomorphisme elmentaire partiel F de Ao sur A1 est une bijection telle que, pour tout Jo E Ao, Jo et F(ao) ont le meme type. Si B est une partie de Ao et p E S(B), F[p] est l'image de p par F, i.e. { (xp(; F(b)) I (p(x; b) c p }, qui est un type complet sur F[B].

La notation SI design une suite de n + 1-uples indexee par l'ordre total I. Si c'est une suite d'elements (n = 0), on l'appelle sI. Le n + 1-uple d'indice i est

ci = (CiO.-. -în- Si J est une partie de I, SJ design, suivant le contexte, la sous-suite de (Qj)i.j de SI ou l'ensemble des points des uples de cette sous-suite, i.e., U{ {,/} I j E J }. Enfin jj design le uple ji, ^ .* . . ^(i,,,-

Lorsqu'on dit que SI est indiscernable on sous-entend "pour l'ordre de I". La suite est dite non-triviale si elle ne repete pas constamment le meme uple et infinie si elle est non-triviale et I est infini.

Si SI est indiscernable, un retirement de SI est une suite indiscernable SJ contenant SI (en particulier I c J). Si SI et SJ sont A-indiscernables, elles sont A-semblables si pour tout entier m et tous m + 1-uples strictement croissants i de I et j de J, &i et j,* ont le meme type sur A.

Si SI et SJ sont semblables et f est une bijection croissants d'une partie H de I sur une partie K de J, on appelle f l'isomorphisme elementaire partiel de SH sur SK tel que, pour tout i e H, f (ji) = j*

On utilisera divers resultats de base de la theorie de la stability qui sont tous detailles dans [4], [9] ou [10]. Au sujet de la propriety d'independance, on pourra par exemple consulter [10]. Comme on ne parlera de suites de Morley que dans des structures stables, une A-suite de Morley sera simplement une suite A-libre et A-indiscernable, i.e., un ensemble A-independant de realisations d'un meme type fort sur A. Rappelons aussi que, pour une theorie complete quelconque, si A est un ensemble de parametres contenant un module I, un n-type p sur A coherite de sa restriction a' M si toute formule (p(x) de p (donc avec parametres dans A) est satisfaite par un n-uple de M. En d'autres termes, p coherite de sa restriction 'a M si, dans S,1(A), p est dans l'adherence de { t(mz/A) I m e Mn }. Le lemme qui suit permet de montrer l'existence des suites indiscernables sans argument combinatoire (voir par exemple [10]).

LEMME 1.1. Soient T une theorie complete, .A un modele de T, I une sous- structure elmentaire de IV et Sc, = (jk)k<w,, une suite de n + 1-uples extraite de X. Si, pour tout entier k, t(jkl /M U {&o . . ., ak}) coherite de sa restriction a M et, pour tous entiers k < 1, ak et j, ont le mehme type sur M U {&o .. k- I }, alors S, est M-indiscernable.

Soit I une theorie (eventuellement incomplete) dans L. On dira que Z a des fonctions de Skolem si, pour toute L-formule p (v; w), il existe un L-terme u,, (vi) tel que Z F Vv [3w p (v;w) -* (V;ui,(Y))]. Pour tout langage L, il existe une extension L de L et une L-theorie SK(L), appeles langage et theorie de Skolem de L, telles que JfLfl ? JILIJ + t0, toute L-structure s'enrichit 'a L en un module de SK(L) et SK(L) a des fonctions de Skolem.



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Les differents exemples (voir debut de section 2) suggerent de definir une notion de "cloture de suite indiscernable" plus generate que celle de module d'Ehrenfeucht- Mostowski:

DAFINITION. Soit Id un module de T. On dira que 4' est un ACI-modeHe s'il existe

1. un langage denombrable L' contenant L 2. une expansion 4' de ' a L' 3. une suite SI de uples, extraite de M, indiscernable pour L' et infinie

tels que M = aclL'(SI).

Et on appelle ACI-expansion de 4d le triplet (x4, SI, ThL/ (X4)).

Un module d'Ehrenfeucht-Mostowski est donc simplement un ACI-modele avec la propriety supplementaire que la theorie complete de l'expansion a des fonctions de Skolem. Il est naturel de definir aussi la notion intermediaire de DCl-modele en remplacant "acl" par "dcl" dans la definition.

REMARQUE. Cette definition n'impose pas que ThL' (4') elimine les quantificateurs dans L'. En revanche, pour le problem qui nous interesse, c'est une hypothese que l'on peut faire sur T. En general, on utilisera l'existence, pour tout cardinal regulier infini A, de modules A-satures et A-fortement homogenes. Apres avoir fixed un tel module Q, bien que les notions precedentes (types, isomorphismes elementaires partiels, suites indiscernables, semblables, . . . ) soient relatives 'a Q, on ne le rap- pellera pas et on conservera la terminologie et les notations definies plus haut.

1.2. Ordres totaux. Dans le langage Lord des ordres totaux, ODSE est la theorie des ordres denses sans extremite. Tous les ordres considers sont vus comme des ensembles de parametres extraits de modules de ODSE et, puisque ODSE elimine les quantificateurs dans Lord, lorsqu'on parle des types sur un ordre total K, il s'agit des types sans quantificateur sur K dans Lord, qu'on appelle <-types. En particulier les <-types en une variable sur K, non-realises, correspondent naturellement aux coupures sur K, i.e., aux segments initiaux de K. De meme une suite de uples est <-indiscernable si elle l'est au sens d'un module de ODSE qui la contient.

Soient J un ordre total, j un uple extrait de J, K une partie de J et C une coupure sur K. Le <-type de sur K est note t<(j/K), l'ensemble des <-types sur K est note I(K) et pour les <-types on utilise la lettre grecque 1l. L'ensemble des points de J qui realisent C est C[J] = {j E J I C< j < K - C }.

On ne perd pas de generalite (et on simplifie les demonstrations) en ne considerant que les uples strictement croissants qu'on appelle scuples.

Dans Lord les formules atomiques sont au plus en deux variables libres et ODSE elimine les quantificateurs donc dans cette theorie, d'une part les isomorphismes elementaires partiels sont simplement les bijections croissantes, d'autre part toute formule pQ(v; wT; z) equivaut 'a une combinaison booleenne de formules atomiques, chacune d'elles ayant ses variables libres parmi v-, w- ou parmi w, z ou parmi z, v. On en deduit immediatement les faits suivants.

On se place dans un module I de ODSE, dont H, J, K sont des parties et les i, j des uples:

Kea. t< (j -o/K) = t< 1K) ssi t< t< zj ̂ jj ); t< (To/K) = t< (TI / K) et t< (joIK) -t< (-I1/K).




l.b. t<(To/JUK) = t<(Z1/JUK) ssi t<(io/J) = t<(71/J) et t<(io/K) = t<(Z1/K)

De ces resultats et de la categoricite en 8o de ODSE, on tire:

i.c. Si K est fini alors, pour tout entier n, X,,,i (K) est fini. Si K est infini alors flX(K) fl = III, (K) 11

Remarquons que, pour K infini, El (K) a le meme cardinal que 1'ensemble des coupures sur K car il y a au moins autant de coupures sur K (1 -<-types non-realises) que d'elements de K (1 -<-types realises). La propriety, pour K denombrable infini, de ne pas avoir plus de coupures que d'elements est caracterisee par le fait qui suit (voir [12]): on dit que K est disperse si l'ordre dense sans extremite denombrable ne se plonge pas dans K.

i.d. Supposons que K est denombrable. Alors E(K) est denombrable ssi K est disperse.

Le coheritage des <-types est bien connu puisque, si J est un module de ODSE, K contient J, Z est un n + 1-uple et i est un point:

i.e. t<(Z/K) coherite de t<(i/J) ssi, pour tout e < n, t<(i,/K) coherite de t< (ie/J).

If. Supposons que i V J et appelons C la coupure que i realise sur J: t<(i/K) coherite de t<(i/J) ssi C[K] = 0, ou bien C est non-vide sans dernier element et i < C[K], ou bien J -,. C est non-vide sans premier element et C[K] < i.

Remarquons aussi que si t<(i/K) coherite de t<(T/J) alors, pour tout k c K, il existe une formule qui isole le <-type de i sur k et elle est satisfaite par un uple de J, donc il existe

- E J tel que t<(j/k) = t<(Z/k).

La propriety l.a implique qu'une suite est K-<-indiscernable ssi elle est <-indiscernable et tous ses uples realisent le meme <-type sur K. En utilisant le theoreme de Ramsey, on obtient:

1.g. Si E est infini et tous les -e realisent le meme <-type sur K alors il existe une partie infinie F de E telle que la suite (ie)eF est K-<-indiscernable.

1.3. Suitesindiscernables et clotures. On revient a la theorie des modules general. On consider un ensemble de parametres A et une suite A-indiscernable infinie de n + 1-uples, SI = (ji)ijc, tous deux extraits d'un module Q de T. Et on suppose que Q est A+-sature, ouii = 2(AIAI=?8o) (J IS(A)fl).

Notre premier objectif est de ramener le cas de la cloture algebrique 'a celui de la cloture definissable. On va d'abord voir que SI se comporte "de la meme facon" au-dessus de acl(A) et de dcl(A).

LEMME 1.2. 1. La suite SI est acl(A)-indiscernable. 2. Soient J une partie de I et TO, 71 des k-scuples de l. Si t<(zo/J) = t<(ZI/J)

alors t (jf?/ acl (A U SJ)) = t (j-, / acl (A U SJ)).

PREWVE.

(1) Par indiscernabilite pour deux scuples i et j de meme longueur, j- et &T sont congrus modulo toutes les relations d'equivalence finies A-definissables. Si (p (v') est



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une L(A)-formule algebrique et V'(v5; w) une L-formule, on a donc l= Vv' ((p (v')

(2) Immediat de (1). -

Ce lemme permet un premier rapprochement entre les cas des clotures algebrique et definissable. Mais il ne dit rien au sujet des suites semblables, c'est l'objet de la definition et du lemme qui suivent (l'hypothese de saturation de Q" est desormais inutile).

On definit u,(a/b), pour a E acl(b), comme la multiplicity de t(a/b), i.e., le nombre de ses realisations. Pour I dense sans extremite, si a est dans acl(SI) et i dans I, on dira que i est un generateur optimal de a ssi a) a E acl(jj) et b) pour tout j E I, si a E acl(&-) alors uu (a- /j) < u, (a(/lj).

Remarquons que pour J D I et SJ un retirement de SI, si i E I est un generateur optimal de a E acl(SI) alors, pour tout j c J, I~aG7/&i) ? IiaG7/&j) I est dense sans extremite donc il existe i' E I tel que zYY et -$j ont le meme <-type, alors j-' et j. ont le meme type sur acl (j,) donc sur ej&, et donc /u, (a/&,) < ja^)

?_ jta((7/&j). Xc, (a/5^^ % Ha (a/

LEMME 1.3. Supposons I dense sans extremite et considerons une suite indiscernable SJ, semblable a SI. Soient io E I et Jo

- J deux scuples de meme longueur

et a E acl(SI), b c acl(S*) tels que 57j- b'j*. Enfin soient i e I et

3 E J tels que t<( o~Z) =t<(o30). Si io est un generateur optimal de a alors

PREUVE. Puisque les suites sont semblables, j&0^'i =- * ̂ j,* et il existe jo tel que

7o vz, 5b-- gj 5j. En particulier -o a le meme type que a sur j- Mais ,Ua (M/&o) < Yua (a(/1jjo&) donc tout conjugue de a au-dessus de &io realise

aussi t (aG/lj0j ). Donc a ̂ 'Jj ? ao a b'j5 * A

On peut maintenant montrer facilement le lemme qui met en evidence le role fondamental des ordres denses sans extremite.

LEMME 1.4. Soit Sj une suite indiscernable infinie, semblable a' SI, extraite de C. Supposons que J est modeHe de ODSE. Si I = acl(SI) est sous-structure elementaire de QE alors acl(S*) egalement. De meme si on remplace aclpar dcl.

PREUVE. Posons N = cl(S*). Soient b E N et (vp; w) une formule tels que Q 1= 3w (p(b; w). Soient encore j, un scuple de J, generateur optimal de b et z un scuple de I de meme longueur que j. Alors j- j* et il existe a- c cl(jj) tel que a Ji--D 5I

Alors Q :r 3w (p(a-; w) et, par hypothese, il existe c E cl(SI) tel que Q l= (p(a-; c). Soit h E I tel que c E cl(&j). Puisque J est dense sans extremite, il existe k c J tel que t<(hrz) t< (i&g). D'apres le lemme precedent, a -j -jh b-* ̂ & k. Il

existe donc d E cl(J ) tel que a _ bc d et en particulier X F p (b; d). A

Enfin un dernier lemme sur l'indiscernabilite de SI dans ses clotures algebrique et definissable:

LEMME 1.5. Supposons que I est dense sans extremite. Alors SI est indiscernable dans les structures acl(SI) et dcl(SI).




PREUVE. Supposons d'abord que I est fO-fortement homogene (ce qui signifie dans ce contexte que pour tous i, , scuples de I de meme longueur, il existe une permutation croissants de I envoyant Z sur j).

Soient k un entier et To, jo deux k + 1-scuples de I. Il existe un L-isomorphisme elementaire partiel de SI sur SI qui envoie jjO sur &3. Il s'etend en un L-isomorphisme elementaire partiel de cl(SI) sur lui-meme, qui est aussi un automorphisme de la structure cl(SI).

Dans le cas general, quitte 'a passer a une extension elementaire de Q, on peut supposer qu'il existe, dans Q, un retirement SJ de SI avec J fo-fortement homogene. Par ce qui precede SJ est indiscernable dans cl(Sj), donc SI aussi. Et d'apres le lemme precedent cl(SI) est sous-structure elementaire de cl(Sj). -I

?2. ACI-expansions et etirements. Commencons par quelques exemples d'ACI- modeles A-satures. Les plus naturels sont ceux qui sont la cloture d'une suite indiscernable dans leur propre langage: parmi eux, les modeles non-denombrables des theories fortement minimales et meme quasi-fortement minimales; ainsi que tous les modules A-satures des quatre theories d'ordre dense et des quatre theories d'ordre discret infini.

Si T est A-categorique, son module de cardinal A est un module d'Ehrenfeucht- Mostowski: si I est un ordre total de cardinal A et I est un enrichissement de Skolem d'un module de T qui contient une suite SI indiscernable pour L; alors la sous-L-structure AV, de I, engendree par SI est L-elementaire dans I donc 4V est module de T (de cardinal A), IV est une expansion de Skolem de IV et SI est indiscernable pour L dans T (et N = (SI) L).

2.1. Arguments combinatoires. Nous commencons l'etude des ACI-expansions de structures saturees par une observation qui, bien que simple, permet de mettre en evidence des conditions necessaires dans le cas des structures tO-saturees (corollaire 2.2) et tI-saturees (corollaire 2.4).

LEMME 2.1. Soient d' un module de T' et SI une suite indiscernable infinie, extraite de M, telle que M = aclL' (SI ). Si J est une partie denombrable dispersed de I alors /'ensemble des L'-types sur ac/LI (Si) re'alise's par les uples de M est denombrable.

PREUVE. Pour chaque scuple i de I, l'ensemble T (Z) des types sur aclL' (Si)

realises par les uples de ac/LI (oj) est denombrable (L' est denombrable). D'apres le corollaire 1.2.2, si deux scuples i et

- de I ont le meme <-type sur

J alors T(Z) = T(j). Enfin J est denombrable et disperse, donc l'ensemble des <-types sur J est denombrable. -

COROLLAIRE 2.2. Si T a un ACI-modele No-sature' alors, dans T, /'ensemble des types sur vide est denombrable.

PREUVE. Lemme precedent avec J 0. -1

REMARQUE. Sous ces hypotheses, T a donc un module sature denombrable et on va voir (lemme 2.5.1) qu'on en obtient une ACI-expansion en etirant la suite SI en SIO, oU Io est l'ordre dense sans extremite denombrable.

La preuve precedent demontre plus que ce qu'annonce le corollaire 2.2 puisque c'est l'ensemble des types sur aclL (0) qui est denombrable.



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Par ailleurs, ce qui vaut pour T vaut aussi pour Teq: si (,/1', SI, T') est une ACI- expansion de /, module de T, alors ((/W/)eq, SI, (T1),q) est une ACI-expansion de /eq (en fait ((/S)eq IL'ULoqSI. T' U Teq) suffit). On s'interesse donc aux relations d'equivalence definissables dans f. On generalise la notion de type fort 'a toutes les theories completes: si f est un module de T et a e M, on definit la relation d'equivalence E,, sur les uples de M, par Ea, (b; c) si b et c ont le meme Le -type sur ac/ea(7). On dira qu'un module f de T est E-sature si, pour tout a- dans M, toute Ea,-classe est representee dans / (pour tout 1/ >- / et tout ,B e N, il existe be MtelqueE,(b~,,)).

COROLLAIRE 2.3. Si T a tin ACI-modele E-sature alors, pour tout uple a7 dans tout modkle de T, l'ensemble des E,-classes est d~enombrable.

PREUVE. Soient / un module E-sature de T et (Q/', SI, T') une ACI-expansion de f. I1 suffit de montrer le resultat pour les uples de M (/ est en particulier N%-sature).

On a remarque que ((X/)eq, SI, (T1)e) est une ACI-expansion de Xeq. Si -

est dans M,

- dans I et a- e aclL' (&a) alors, d'apres le lemme 2. 1, l'ensemble des (L/)eq_

types sur acl(LI)eq (&i) realises dans (X/)eq est denombrable et il en est de meme de l'ensemble des Leq-types sur aclLeq (a) realises dans M. -1

REMARQUE. Une theorie stable T qui a un ACI-modele R,-sature est donc extra- stable (tout type sur un ensemble fini est de multiplicity finie). Comme ce modele est aussi N%-sature, d'apres le corollaire 2.2, T a peu de types sur vide (S(0) est denombrable).

Reciproquement si T est extra-stable et a peu de types sur vide, alors son module sature denombrable, qui est R.-sature, a une ACI-expansion (voir section 3).

La classe des theories stables qui ont un ACI-modele R,-sature est donc exactement la classe des theories stables, extra-stables, ayant peu de types sur vide. Ce qui exclut les theories superstables non-co-stables.

Terminons par le premier resultat qui utilise la dispersion pour les ordres totaux infinis.

COROLLAIRE 2.4. Supposons qu'un modele R I-sature de T, /, a une ACI-expansion (Q/', SI, T'). Si I est disperse' alors T est co-stable.

PREUVE. I1 suffit de verifier que si J est une partie denombrable de I, l'ensemble des L-types sur cl(Si) que realisent les uples de M est denombrable (, est RI -sature). C'est immediate par le lemme 2.1 car J est aussi disperse. -

2.2. Etirements. I1 s'agit encore ici d'un resultat technique sur les ordres denses sans extremite: si T a un ACI-modele No ou R I -sature, quitte 'a changer de module, on peut supposer que la suite indiscernable est indexee par un ordre dense sans extremite.

LEMME 2.5. Soient / tin modele de T, (Q/', SI, T') une ACI-expansion de / et (V, une extension elementaire No-saturee de lw', qui contient une suite SJ, semblable a SI pour L'. Supposons que J est dense sans extremite. Posons 1' = aclL' (S).

(1) si /' est No-sature alors A" (= A/"|L) est No-sature'. (2) si l et J sont Ri-satures alors A est 1-sature.

Le mehme resultat vaut si on remplace A CIpar DCI et acl par dcl.




PREUVE. Puisque J est dense sans extremite, A"' est module de T' (et meme sous-structure elementaire de C') et X est module de T (lemme 1.4).

(1) Soient b E N, p e S(b) et f, une realisation de p. Soient J, un scuple de J, generateur optimal de b, et i un scuple de I de meme longueur. Soit enfin a e CILI (&i) tel que J a--(LI) b^J*. Puisque / est No-sature, il existe c dans M tel que5c7a-(L) f^b. Alors il existe h e I tel que clL'(&j) CommeJestdense sans extremite, il existe k e J tel que t<(hiZ) = t<(k.J). D'apres le lemme 1.3, J-v, -(L') b-&*^5*; donc il existe d dans CILI(a5) tel que c -a-(LI) d-b.

Alors d est dans N et djb -(L) fl^b. (2a): cas oui T n'est pas co-stable. D'apres le corollaire 2.4, I n'est pas disperse. Puisque J est dense sans extremite, il suffit de verifier que, pour toute partie Jo

de J, dense sans extremite et denombrable, tout L-type p sur CILI (SJO) est realise dans N. Comme I n'est pas disperse, Jo se plonge dans I, i.e., il existe une partie Io de I et une bijection croissants f de Io sur Jo. L'application induite f est un L'-isomorphisme elementaire partiel de SIO sur SJ qui se prolonge en un L'-isomorphisme elementaire partiel F de CeL (SIo) sur CILI(s0). Alors F' [p] est un L-type sur ClL' (SIO), realise dans M par un uple c (CeLI (SIO) est denombrable). Soit h e I tel que c E ClL'(5J).

Comme J est N, -sature, il existe k e J tel que t< (h -IO) = t<(k^f [Io]), i.e., pour touti e Io, t<(h, ) = t<(k f ()). Pour tout a E CILI (SIO), a 57 -(L') F(6)<>57

soient 7 e Io un generateur optimal de a et . f (), d'apres le lemme 1.3 (et la remarque qui le precede), a Fa (J-)(L') F(a)j$*^$*. Donc F se prolonge en un L'-isomorphisme elementaire partiel G de CeLI (S} sur eL (Sr} ) G(c )est

dans N et realise p. (2b): cas oui T est co-stable. Si Jo est une partie de J, dense sans extremite et denombrable, et p un L-type sur

B = ClL' (SQ ), il existe un uple b de B tel que p est l'unique extension non-deviante

de sa restriction a b. On va montrer que X contient une suite de Morley de pjX, de longueur N,; ce qui permettra de conclure car alors un des uples de cette suite sera b-independant de B et realisera donc p. On consider encore un scuple j de J, generateur optimal de b, un scuple i de I de meme longueur que j et a- dans CILI (05) tel que JJaz-(L') b^>3:*. Puisque f est N1-sature, il existe, dans M, une

suite de Morley S de p' = {(x; a-) I p(x; b) e p , } de longueur N1 . I1 existe une partie I, de I, de cardinal 1I telle que CILI (SI, ) contient S et, comme J est N 1-sature, il existe une partie J1 de J et une bijection croissants f de {i} U I, sur {.} U J1 telles que f (i) =. Grace au lemme 1.3, on verifie que, pour tout h e II,

a v -(L') D D2 (h)- Jonc il existe un L'-isomorphisme elmentaire partial

F de CIL'(SIU{ }) sur cl (S {^}) tel que F(J-) b. Alors F[S] est une suite de Morley de pl, de longueur N,, et contenue dans N. -

REMARQUIE. Les demonstrations (1) et (2a) sont similaires. Dans le premier cas tous les types d'ordre finis se plongent dans I qui est infini. Dans le second cas on a besoin de la meme propriety pour les types d'ordre denombrables, c'est exactement la propriety de non-dispersion.



334 BENOIT MARIOU

Le lemme 2.5 semble etre un cas particulier du theoreme A qui suit, et on aurait pu, en effet, fusionner les deux preuves pour montrer directement le theoreme A. Nous avons prefere distinguer deux types d'etirements:

- ceux qui permettent de se ramener 'a un ordre riche en conservant la meme saturation (lemme 2.5),

- ceux qui permettent d'obtenir des ACI-expansions de modules arbitrairement satures (theoreme A).

2.3. Reduction du problem. On montre ici qu'une theorie complete denombrable qui a un ACI-modele RI -sature a, pour tout cardinal infini I, un DCI-modele A- sature. On procede en deux temps. D'abord si T a un ACI-modele R I-sature alors T a un ACI-modele A-sature pour tout A (theoreme A). Ensuite si T a un ACI-modele A-sature alors T a un DCI-modele A-sature (theoreme B).

THEORtME A. Supposons que f, modcHe R I-sature de T, a tine ACI-expansion (X/', SI, T'). Soient I un cardinal infini, J tin modcle A-sature' de ODSE et SJ une suite semblable a' SI pour L' (dans une extension elementaire de /(').

Alors I1' = aclL' (S*) est modle de T' et..Ar (= XA/L) est A-sature'. De meme si on remplace A CIpar DCI et acl par dcl.

Le cas oui I <? RI est trait par le lemme 2.5. Dans le cas contraire, considerons un retirement SJ de SI. Comme SJ et SJ sont

semblables pour L', CIL' (S) et ClL/ (Si) sont L'-isomorphes et il suffit de montrer le resultat pour Si. Grace au lemme 1.4, on sait que CL/ (Si) est module de T' et, d'apres le lemme 2.5, son reduit 'a L est RI-sature.

On va voir maintenant qu'il est A-sature. Soient K une partie de J de cardinal strictement inferieur 'a et p un type dans L sur ClL' (SK)-

Pour trouver une realisation de p dans CIL' (SA) on va d'abord montrer qu'il existe une maniere uniforme de construire, 'a partir de Si (dans le sens defini ci- dessous, propriety 2.ii), des realisations des restrictions de p aux ensembles de la forme ClL/ (SH), oUi H est une partie finie de K.

Si H est une partie de K, on appelle solution partielle de p sur H un triplet (n, it, p) ou n est un entier non-nul, it un n-<-type sur H et p(vi; wI) une L'-formule tels qu'il existe un n-scuple jde J realisant it et pour lequel p(v3, &^) est algebrique et une de ses solutions realise p CIL/ (SH)

Remarquons immediatement qu'il existe une solution partielle de p sur H ssi P IC'L/ (SH) est realise dans CIL' (Si) et que, si H' est une partie de H et (n, it, p) une solution partielle de p sur H, alors (n, 2<lH/, p) est solution partielle de p sur H'. On en deduit la propriety suivante.

2.i. I1 existe un entier No et une L'-formule po tels que, pour toute partie finie H de K, il existe it, un No-<-type sur H, tel que (No, it, po) est une solution partielle de p sur H.

PREUVE. Supposons le contraire: pour chaque couple (n, p) ou n est un enter et p une L'-formule, il existe une partie finie H(n ,f) de K telle que, pour tout n-<-type it sur H(n.1p), (n, it, p) n'est pas solution partielle de p sur H(n,(f)

Mais H = U{ H( (n.~) I n < co, p L'-formule } est denombrable, donc la restriction de p 'a CIL (SH) est realisee dans CIL' (S1) (R1-saturation) et il existe une solution




partielle (N, H, P) de p sur H. Et comme H(N,(D) C H, (N, HIH(N.), (D) est une solution partielle de p sur H(N ).

2.ii. Il existe un No-<-type H1o sur K tel que, pour toute partie finie H de K, (No, HI0IH, Soo) est une solution partielle de p sur H.

PREUVE. Soit H une partie finie de K, YN,(H), l'ensemble des No-<-types sur H est fini donc il n'y a qu'un nombre fini d'entre eux, 2t1.H, . .., l-n(H).H, tels que (No, leH, Soo) (1 < e <? n(H)) est une solution partielle de p sur H; et, d'apres la propriety 2.i, n(H) n'est pas nul. De plus, chaque 7Ce.H est isole par une Lord (H)- formule V'e.H (X) et on appelle PH (X) la disjonction des Ve.H (X).

Alors A(x) = {PH() I HfinicK}UfO I 0 Lord(K)-6efofC, J W 0}est consistent: par compacite et par 2.i.

Soit H-0 n'importe quelle completion de A(xG) en un NO-<-type sur K. Si J realise H-0 et H est une partie finie de K alors J = PH (J), donc HIo IH est un des 7Ce.H donc (No, HOI H, po) est une solution partielle de p sur H. -

2.iii. p est realise dans CILI (SJ).

PREUVE. Soit Jo une realisation de H-0 dans J (J est [K +-sature). Puisque, par exemple, (No, H0 Io, So) est solution partielle de p sur vide, la formule fo (v3, &05) est algebrique. Supposons qu'aucune de ses solutions ne realise p. Alors il existe une partie finie H de K telle qu'aucune solution de foo(vi, oj.) ne realise la restriction de p a CIL' (SH). Pourtant (No, HOI H, Soo) est solution partielle de p sur H donc il existe une realisation -i de IO H et une solution b de po (v3, j,) qui realise P ICI/ (SH). D'apres le corollaire 1.2.2, puisque Jo et 1i ont le meme <-type sur H, o&0 et Jj, ont le meme L'-type sur CILI (SH); donc il existe a tel que tL1 (e5 05/ CIL' (SH))

tL' (b ,j1 / CIL' (SH)), qui est donc, 'a la fois, solution de (oo0(0, oj.) et realisation de P ICILI (SH)

THEORtME B. Supposons que /1' est une L'-structure qui contient une suite indiscernable infinie SI telle que I est dense sans extre'mite et M = aclL' (SI). Alors /1' a une DCI-expansion (Q/", SI, T") (la suite gene'ratrice est la meme).

LEMME 2.6. Soit T une L-theorie complete. II existe une extension La de L, telle que IL" | |LIJ + to, et une La-theorie Y.' (T) telle que

1. tout modele de T s'enrichit en un modele de 1a (T) 2. siAa / 7== T Ua (T) alors, pour toute partie A de M, aClL(A) = (A) LI

PREUVE. Le langage LC (qui depend de T) est constitute (a) des symboles de L; (b) pour chaque L-formule en une variable libre p(w) et chaque entier N tels que T [- 9=N+lw fp(w), de N + 1 nouveaux symboles de constant cp,. .., c'P

et (c) pour chaque L-formule en k + 2 variables libres (vo; ... .; Vk; w) et chaque entier N, de N + 1 nouveaux symboles de fonctions f +lo) .. +1N) d'arite k + 1.

Les axiomes de Y" (T) sont les La-enonces suivants: - Ai<J N c, 7 A A&(N (p(c?), pour chaque L-formule p (w) et chaque entier

N tels que T [_ :N=+lw p(w) - EVi [P7N lw o(vJ; w) -) Ai<J?NfX+li)(v) #- ff+l Ij) () AAi<N (O v;

f (N 1 ,)(V))] et Vi3 [ (9j=N+ w O(v5; w)) vo] pour chaque L-formule p en au moins deux variables libres et chaque entier N. -1



336 BENOIT MARIOU

LEMME 2.7. Soient T une L-theorie complete, / un modele de T et SI une suite indiscernable infinie extraite de M. Soient L' un langage etendant L et T' une L'-theorie contenant T.

II existe un modele 1"' .de T' et tine suite SI extraite de N tels que

1. A" = 1rIL est une extension elernentaire de / 2. SI est indiscernable pour L' 3. SI et SI sont semblables pour L.

PREUVE. D'abord T(M) U T' est consistent par le lemme de consistence de Robinson.

I1 existe donc un module A1' de T' tel que f se plonge elementairement dans A. Et, quitte 'a passer a une extension elementaire de jif', on peut supposer que A1' est III Ij+-sature.

Soient n la longueur des uples de SI et

A = {f V(Vo0; ... *; k) I k < co, IvoI = 1= 5k I= n, V L'-formule }.

Pour toute partie finie A0 de A, il existe une partie infinie Io de I telle que SI, est indiscernable pour les formules de AO0; i.e., pour toute wVK0; ... ; Vk) e Ao et tous scuples i, j E Io, 1' == V/('jj) <-* Vt/(i) (theoreme de Ramsey).

On ajoute au langage l'ensemble { xi I i e I } oui chaque xi est un n-uple de nouveaux symboles de constant. Par ce qui precede, l'ensemble

T' U { (p(ii) I Z scuple de I, p L-formule, / I== (P~) } U {/ v(x) <+ V/ v() I e c A, , j scuples de I }

est finiment realise dans IV'; et il existe donc une suite S* de n-uples de N qui le realise. -

PREUVE DU THE'ORtME B. Appelons L+ le langage (L')a (denombrable) et .+ la L+-theorie ya (T') donnes par le lemme 2.6. Considerons un module X+ de T' u.+ dont le reduit 'a L' est une extension elementaire de /1' et qui contient une suite SI, indiscernable pour L+ et semblable a SI pour L' (lemme 2.7).

L'application I: ovi J- J est un L'-isomorphisme elementaire partiel de SI sur SI et s'etend en un L'-isomorphisme elementaire partiel F de aclL'(SI) sur aclL' (SI Donc si on pose 9' = aclL' (SI), F est un isomorphisme de f ' sur 9'.

D'apres les proprietes de .+, on a aclL' (S) K(S) L+; donc P est la base d'une sous-L+-structure de X+, qu'on appelle 9+. Posons aussi T+ = ThL+ (9+)*

Alors 9+ est une expansion de _9' 'a L+. D'autre part I est dense sans extremite donc SI reste indiscernable dans la sous-L+-structure qu'elle engendre (lemme 1.5), i.e., dans 9+. Donc (9+, SI, T+) est une DCI-expansion de ?9A'.

Enfin (Q/', SI) et (I9', SI) sont isomorphes (par F) donc il existe une DCI-expansion (/+, SI, T+) de f1'. -1

En utilisant les deux theoremes, on aboutit au resultat annonce. Si un module

RI -sature, /, de T a une ACI-expansion (Gf', SI, T') alors on consider J un ordre dense sans extremite A-sature et SJ un retirement de SI (pour L') et 1' = aclL/ (SJ).

Alors X est A-sature et (X', SJ, T') en est une ACI-expansion. Comme X' est la cloture algebrique de Si pour son propre langage et J est dense sans extremite, X' a une DCI-expansion (iV", SJ, T"), qui est aussi une DCI-expansion de X.




REMARQUE. Pour une theorie complete denombrable T, on a donc l'equivalence entre les deux proprietes suivantes: (a) T a un ACI-modele t I-sature; (b) pour tout cardinal infini I, T a un DCI-modele A-sature.

L'objectif etant de caracteriser les theories qui satisfont (a), par la suite, en presence d'un ACI-modele A-sature, on pourrait supposer que c'est un DCI-modele. Cependant les outils developpes jusqu'ici permettent en general de traiter simultanement les deux cas.

En revanche, les proprietes des enrichissements obtenus peuvent distinguer net- tement les ACI-expansions et les DCI-expansions de modules satures d'une theorie donnee.

Considerons par exemple la theorie T des corps algebriquement clos de car- acteristique 0 (dans le langage L des anneaux unitaires) et S un module de dimen- sion infinie. I1 est la cloture algebrique au sens algebrique-d'une base de tran- scendance et donc la cloture algebrique dans L-au sens modele-theorique-d'une suite indiscernable pour L et infinie par hypothese. Puisque T est t I -categorique, X peut etre enrichi en l'enveloppe de Skolem d'une suite indiscernable pour le nouveau langage (voir remarque au debut de cette section). Cette expansion est alors instable d'apres la demonstration classique citee dans [2]. Mais le meme argument vaut pour toute expansion f' de S telle que K = dclL' (SI) OU S1 est une suite indiscernable pour L' extraite de K: Si ThL' (X') est stable alors SI est totalement indiscernable et toute permutation de I induit un unique automorphisme de ff'; en particulier si f est une permutation de I d'ordre fini n et F l'automorphisme induit alors F'2 = Id-,.

Le corps 5 a donc une ACI-expansion (K, SI, T) avec T fortement minimale, et pour toute DCI-expansion (X', SI, T') de X, T' est instable.

Des questions de ce type sont etudiees dans [6].

?3. Cas denombrable. On sait, grace aux theoremes de Ressayre et Schmerl, que toute structure saturee denombrable est un module d'Ehrenfeucht-Mostowski. Nous donnons ici une preuve directe de ce fait. Precisement, on va montrer:

PROPOSITION. Soit / une structure sature'e denombrable. II existe une extension denombrable L' de L et une extension T' de T, qui a desfonctions de Skolem, telles que:

pour tout ordre total denombrable infini I, il existe une expansion /1' de / module de T' et une suite d'elements SI = (ai)igj, extraite de M, indiscernable pour L' et infinie, telles que M = (SI ) L'.

REMARQUE. I1 n'y a aucun espoir, en general, d'obtenir un /1' qui soit, 'a son tour, sature. Considerons, par exemple, le module denombrable d'une theorie 0o- categorique et non-co-stable. Comme ThL' Q(/') est une skolemisee de T, toute sous-structure de f1' est elementaire et son reduit 'a L est isomorphe 'a . Donc, pour tout uple de parametres a extrait de M, il y a 28o L-types sur la sous-L'- structure de /1' engendree par J et donc 21o L'-types sur a-.

Si L est un langage et I un ordre total infini, L[I] est le langage L U { ci I i e I } ou les ci sont de nouveaux symboles de constant. Et on definit l'ensemble yL (I)



338 BENOIT MARIOU

de L[I]-enonces suivant:

{ci -/ c1j I i < j E I}U {f o(j) <) () I o L-formule, , Y scuples de I}.

Dans un module f de IL(I), la suite (c")iGi est indiscernable pour L et le lemme suivant, corollaire classique du theoreme de Ramsey (voir par exemple [1]), est frequemment cite pour affirmer l'existence des suites indiscernables.

LEMME 3.1. Si la L-theuorie T a des modeles infinis et I est un ordre total infini alors T U IL (I) est consistante.

Nous entamons ici la preuve proprement dite de la proposition: f est une structure saturee denombrable dans un langage denombrable L et T sa theorie complete. En particulier, pour chaque entier n, S,+1 (0) est denombrable. Donc, si on ajoute au langage L, pour chaque entier n et chaque type p e S,7+1 (0), un nouveau symbole de fonction f1, d'arite n, le langage L+ obtenu est encore denombrable.

Pour chaque entier n et chaque type p e S,2+, (0), on appelle p- la restriction de p aux n premieres variables et on se donne une enumeration (Apj)k<,, des formules de p. Pour chaque entier k, on definit le L+-enonce

Vvn [w A i(v; w) - A S(Wn: fZ(i37))] et F(p) { I/' k < o} i k i;k

Par definition, les ensembles F(p) ont la propriety suivante:

3.i. dans un modele de T U F(p), si tL(a) a p alors tL(a^f1,(a)) p.

On pose X+ = U{ F(p) I n < co, p e S,,+1 (0) }. De 3.i on deduit immediatement:

3.i. si -9+ est modele de T U X+ alors 9 (= -9+L) est N%-sature.

3.ii. si A+ est une sous-L+-structure de + alors X -< 91 et X+ l= Y+.

On decrit maintenant une expansion de f a L+ dont on verifiera aisement qu'elle satisfait V+. Soient n un entier et p un element de Sn+q (0), pour tout a e M'" on pose f1,(a) = b, out b est

- n'importe quel point de M si / I= Vw - p (57; w); - tel que l= Ai<K fP(J-,b) si K est le plus grand des entiers k tels que

f ]= w Ai-k 0i' (aI;w); - tel que tL(ab) =p si tL(a) p. On appelle Io l'ordre dense sans extremite denombrable. On vient de voir que

T U I+ a un module infini, donc la L+[Io]-theorie T' = T U I+ U YL+(Io) est consistante (lemme 3.1). Soit (9E+t (ai)iGI.) un module de T'.

Soit .+ la sous-L+-structure de 9+ engendree par { ci I i e Io }. Son reduit X au langage L est module de T (par 3.iii). Egalement par 3.iii, X+ est module de I+ donc At est to-satur' (par 3.ii). Comme N est denombrable et T est complete, f et A/ sont isomorphes.

Par definition, N est la L+-cloture de s10 = (ci)ieI0 et il reste donc a verifier que s10 est indiscernable dans A"+ car rien ne dit que Jf+ est elementaire dans 9+. C'est le lemme 1.5.

On a trouve une DCI-expansion (Af+, s1,, T+) de At (qui est le module sature denombrable de T puisqu'isomorphe 'a X/) oui T+ n'est pas une skolemisee de T




mais a tout de meme la propriety 3.iii: toute sous-L+-structure d'un module de T+ est elementaire pour L. L'interet du langage L+ est le nombre restraint de ses nouveaux symboles et la clarte qu'il apporte a la preuve (par rapport au langage de Skolem de L).

Enfin on conclut en considerant L+ (le langage de Skolem de L+) et 1+ U SK (L+). On reproduit la demonstration avec n'importe quel ordre total denombrable infini I: T U .+ U SK(L+) a un module infini donc T U .+ U SK(L+) U .-jj(I) a un module (9?+, (ai)ijI) (et donc (ai)jeI est indiscernable dans 9+) mais cette fois SK(L+) a des fonctions de Skolem, donc elimine les quantificateurs dans L+. Donc (aji)ij reste indiscernable pour L+ dans la sous-L+-structure qu'elle engendre (on n'a pas besoin de 1'homogeneite de I).

?4. Cas non-denombrable stable.

THEORtME C. Soit T une theorie denombrable, complete et stable. Sont equivalents

(1) T est co-stable (2) T a un ACI-modcle i ,-sature (3) tout module sature' de T est un module d'Ehrenfeucht-Mostowski.

Une theorie denombrable et stable a un module sature de cardinal 2" ; ce qui rend triviale l'implication (3) z (2). Il reste donc 'a montrer (1) z (3) et (2) z (1).

4.1. Preuve de (l) =#(3). La construction qu'on va presenter est une generalisation directe de celle de D. Lascar dans [5] (voir introduction). Dans cet article, elle nest qu'une tape et, d'ailleurs, D. Lascar ne s'interesse qu'aux structures co-stables, saturees de cardinal t j. Et il a besoin d'une suite indiscernable indexee par l'ordre dense sans extremite sature de cardinal t j, ce qui l'oblige a supposer que 2NO - ti .

On a donc generalise cette construction 'a toutes les structures co-stables saturees et on a elimine l' hypothese du continu des hypotheses.

Concernant l'ordre indexant la suite indiscernable, contrairement 'a la demarche de D. Lascar, on s'est efforce de mettre en evidence le fait que tries peu de contraintes present sur lui (pour le lemme 4.3, on ne suppose rien d'autre sur I que cof(I) ? ,u).

En particulier, on obtient des modules arbitrairement satures de T qui sont enveloppes de Skolem de suites indexees par des ordres disperses, ce qui, avec le corollaire 2.4, caracterise les theories co-stables.

On consider donc une L-theorie c-stable T. On va montrer ici:

PROPOSITION. Il existe

- une extension denombrable L# de L - une L#-themorie T# qui contient T et a desfonctions de Skolem (et donc elimine

les quantificateurs dans son langage) - et une suite (a,) n<o) indiscernable pour L#

telles que, pour tout cardinal infini u, il existe une suite SI, semblable a (an),,<(, pour L#, telle que (SI) L# IL est le modele sature' de cardinal ,u de T.

REMARQUE. C'est sensiblement plus fort que la propriety (3) du theoreme C puisque les suites sont des suites d'elements (par opposition aux n-uples) et les

expansions de tous les modules satures sont uniformes (meme theorie T# et suites

semblables deux-a'-deux).



340 BENOIT MARIOU

La premiere extension de L est le langage L+ constitute de L, d'une infinite de nouveaux symboles de constant { ci I i E o } et d'un nouveau symbole de fonction f p d'arite n + 1 pour chaque entier n et chaque type p E S,+1I (0) (S(0) donc L+ sont denombrables). Comme precedemment, si p est un n + 1 type, p- design sa restriction aux n premieres variables.

LEMME 4.1. II existe une L+ -theorie T+ telle que

(1) T+ contient T U { ciy 4cI i < j <w } (2) tout module t o-sature de T s'enrichit en un modele de T+ (3) pour tout modee -V+ de T+, tout entier n, tout p E Sn+I (0) et tout b E N1n Si

t(b) = p- alors (a) pour tout entier i, b^fp (b, cj) realise p, (b) (f1p(b, cj))j<o, est une b-suite de Morley pour L.

PREUVE. Grace aux nouveaux symboles, on va "recopier" le comportement des suites de Morley dans les modules de T. Pour un entier n et p E S,,1 (0), on se donne un n-uple de reference a-P realisant p-, on definit q - tO(b/a'P) oui b est tel que a-P-b realise p, et on fixe une suite de Morley (Mk)k<c) de q. L'ensemble

(p) ={ pQ(; Wk) I k < w, p L-formule et l= p(a'; (a k) }

contient p (v; wo) et est denombrable. On peut donc trouver une enumeration ('p)kk<. de I(p); et qui a en plus la propriety suivante: pour tout entier k, OP[ a ses variables libres parmi vn, W, Wk.

Alors on pose, pour tout entier K,

VitK= iY ([~W0* WK A p(V; Wk)] -) A pk O(; ffp(Q, co); . fp)(', Ck)));

k?K k?K

puis F(p) = {O O I K < ao} et T+ = T U {Ck = c/ I k < I < a)} U U{ F(p) I n < w, p E Sn+1 (0) } (et (1) est verified) .

(2) Si -I est un module 10-sature de T, on l'enrichit en un module de T+ de la facon suivante. Les ci sont interprets par des elements de N distincts deux-a'-deux. Soient n un entier, p E Sn+I (0) et a- un n-uple de N. Ou bien 5- realise p- et il existe une suite (,Uk)k<0, d'elements de N telle que aii(Uk)k<c- a(^(Mk)k<o et on pose f p (, Ck) =1k pour tout k. Ou bien il existe une formule yVjY) tell que V(x) EE p- et A/ r -iyj&) alors Vt E E(p), donc il existe un plus grand entier K tel que -I }= . ... . WKi Ak<K (Okp(a; wo; .. .; WK-1). Si K 0 O alors on interprete les fp (&, Ck) n'importe comment. Sinon il existe ,u/0,/.,1K- 1 dans N tels que 4f I= Ak<K sO' (4; io; * * K-/1) et on pose f p(&, Ck) /1k si k < K et n'importe quoi sinon.

(3) Si -+ est module de T+ et un n-uple & de N realise p- alors

a P(mk)k<c -(L) (f p(5, Ck))k<co* -

On passe maintenant au langage L# ' L+, langage de Skolem de L+, et on se place dans une skolemisation d'un module de T+, (i.e. dans un module de T - = T+ U SK(L+)): desormais A est un cardinal infini fixed et 4 un module A+-sature de T#. Rappelons que T4 a des fonctions de Skolem et donc elimine les quantificateurs dans L#.




Quelques notations: Si A est une partie de C, //#[A] design la sous-L#- structure de C# engendree par A (qui est module de T#), M[A] est sa base et 4'[A] est IW#[A]I L (qui est donc module de T); enfin XI4' est CIL#(0) (qui n'est pas vide).

On choisit un ultrafiltre non-trivial 21 sur o et, pour toute partie A de C contenant N, on definit le 1-type p#(A) dans le langage L# comme la limite selon 21 des tL#(ci/A), i.e., p#(A) - {fo(x) I S? L#(A)-formuleet{i<o l o (ci)}E1}. Enfin p#(N) est appele p4. On verifie sans peine que, dans Ci:

- p#(A) est un L#-type complet sur M[A] et p#(A) = p#(M[A]) - si a-a --(L#) b/fl et tL#(a/M[a]) = p#4(a) alors tL# (//M[b]) p#(b) - si Ao C AI alors p#(A) IM[Ao] = p#(Ao) et p#(Ai) coherite de p#(AO).

On extrait maintenant de C# (qui est t I-sature) une suite indiscernable de r6ference: ao realise pO et, pour tout entier n, a,+I realise p#(ao, . . ., a,,). Alors (an )n<, et .# satisfont les hypotheses du lemme 1. 1, donc (a,,),,<,, est indiscernable pour L#.

Soient I un ordre total de cardinal A et de cofinalite au moins ,u (, A) et SI (ai);ic une suite semblable 'a (a,1)n<(, pour L#, extraite de C (toujours la saturation de (#).

LEMME 4.2. Soient J une partie de I et i un element de I. Si i majore strictement J alors tL# (i /M [sJ]) - P# (SJ) .

PREUVE. Soient k < o et j un k-scuple de J. Par definition,

C i (L#) aO ... ak-1 ak,..

Or tL#(ak/M[ao. ak-]) p (ao. , ak-l) donc tL#(Ui/M[j]) P = P(J M[5e].

LEMME 4.3. W [SI] est p -sature'.

PREUVE. Soient J une partie de I de cardinal strictement inf6rieur 'a ,u et q un 1-type sur M[sJ] dans L. Soient encore un uple a de M[sj] tel que q est l'unique extension non-deviante de q c et a une realisation de q dans t. Posons p = tL(a a). D'une part /4 #[SJ] est elementaire dans C#, donc module de T+; d'autre part a realise la restriction de p aux n premieres variables. Donc la suite (dk)k<c, d'elements de M[sj], definie par dk f= p(a, Ck), est une suite de Morley

de q I . Ainsi (dk)k<(, est indiscernable pour L et 4, son type moyen sur M[sj], ne devie pas sur a (voir par exemple [9]). Or 4 = q c donc 4 q.

Considerons une L-formule p(v; w- ) et b un uple de M[SJ]. Par definition, si q F- o (x;b) alors X = { k < o (dklb)} {k < [ |o (f )(a,cO);b)} est cofini. Et alors X E 1 et p# (SJ) F- (fp (a, x), b). Donc, pour toute L-formule yVv) ta parametres dans M[sJ]: q F- V (x) ssi P# (SJ) F- V (f p (, x)) .

Il reste donc 'a trouver une realisation f, de P# (SJ) dans M[SI ], car alors f 1p(, ,B) sera dans M[sI] et realisera q. Or il existe, dans I, un majorant strict io de J

IJ I < ,u < cof (I)) et f, = ajo convient. -1

On a prouve le resultat pour les cardinaux reguliers. En effet, le cardinal A est arbitraire donc, si ,u est un cardinal regulier, on peut le supposer plus petit que A. Alors pour I = (u, E), l4[sj] est ,u-sature de cardinal ,u.



342 BENOIT MARIOU

LEMME 4.4. Soient 8 un ordinal, (,u)j,<, une suite strictement croissants de cardinaux infinis et ,u = Uc<, du. Si (#Wj),<, est une chamne elementaire de modeles de T tels que, pour tout a, W., est p1a-sature alors - = Uc<, d#4 est -sature.

PREUVE. I1 suffit de verifier que 4t est uc,-sature pour chaque a < 8. Or T est w-stable et 4t est la reunion croissants des Alp, a < ,B < 8, qui sont tous ,Ua -satures. A

Ce dernier lemme permet de conclure pour les cardinaux singuliers (un cardinal singulier est la reunion des cardinaux reguliers qu'il majore).

4.2. Preuve de (2) == (1). La theorie T est stable, AW est un module i I-sature de T et (/4', SI, T') est une ACI-expansion de AW. On peut supposer par le lemme 2.5.2 que I est dense sans extremite et t I-sature. On fixe une partie denombrable, dense sans extremite, Io de I et on pose /do/ CILI (SIO ) et /do - /do IL . Par le lemme 2.5.1, A0 est donc sature denombrable.

On va montrer que l'ensemble des L-types sur Mo, realises dans AW est denombrable. Pour cela on va voir que, si T est un scuple de Io et j, k deux scuples de I -- Io ayant le meme <-type sur i, alors les memes L-types sur Mo sont realises dans ClL' (&( â) et dans CIL' (r. On procede en deux tapes, le lemme 4.7 est l'objectif de la premiere. Les deux lemmes qui suivent vont permettre de relier le coheritage dans I 'a la deviation dans AW.

LEMME 4.5. Supposons que J C K sont des parties de I, que J est module de ODSE et que T est un scuple de I. Si t< (T/K) coherite de t< (T/J) alors, pour tout a E CIL' (SJUf), tL' (a! CIL' (SK)) coherite de tLI (a/ ClL' (SJ)).

PREUVE. D'apres le lemme 1.4, CILI (Si) est module de T' (et on peut parler de coheritage). Soient a E clL(Sju{f1) et j E J tel que a E clL1(j(_Uj). Si

c dans CIL' (SK) et k dans K sont tels que c E ClL (C-), alors f-k est dans K et, par hypothese (t<(i/K) coherite de sa restriction 'a J), il existe T' dans J tel que t<(3'/7-k) = t<(T/7-k) (remarque apres le resultat if). On a vu qu'alors tL/ (cI%//clLI(cIJc j)) = tL (cY/C1L/ (cI c )) donc il existe b 5 clL'(J./ &J) tel

que~~~~~~~~~~~~ tL bC, 1'(-C )=t'( /CL ayC )). Alors b est dans CIL/ (Si) et

tL1 (b /c) = tLI(al/c).

LEMME 4.6. Soient J une partie denombrable, dense sans extremite, de I et T, j deux scuples de I. Si {i} 0 {n } c J alors il existe un entier n et Jo, Jn des parties denombrables, denses sans extremite, de I telles que

- J J, C C Jo - pour toute coupure C sur Jo, C[ 0 ou C[j] = 0 - pour tout e < n, t< (T/Je) ou t< (/Je) coherite de sa restriction a Je+

PREUVE. L'idee est de proceder par recurrence sur le nombre de coupures sur

J qui sont realisees, 'a la fois, par des points de i et par des points de j et sur le

nombre total de points de j qui realisent de telles coupures. Pour eviter une double

recurrence, on definit s (T, j/J) comme suit. Soient m le nombre de coupures sur

J que realisent les elements de {i^3} et C1, ..., C,, ces coupures: si m = 0,

s(7, J) = 0 ; sinon s (7, jJ) = 1e"n I|| Ce PI I I 11 Ce [31 11 -

Si s (7, j/J) 0 O alors, soit T et -

sont dans J, soit ils ne realisent pas les memes

coupures sur J; dans les deux cas n = 0 et Jo = J conviennent.




Soit I un entier. Supposons le lemme vrai lorsque s (T, j/J) < I et considerons un triplet (T, J, J) tel que s (7, j/J) / I + 1 et {f} ln {J} c J. Puisque s (7, j/J) nest pas nul, il existe une coupure C sur J telle que C[f] et C[3] ne sont pas vides. Comme J est dense sans extremite, C est non-vide sans dernier element ou J -. C est non-vide sans premier element. Les deux cas sont analogues et on ne traite que le premier. Soient h et k les entiers tels que ih et 1k sont les plus grands elements, respectivement, de C [T] et C W3]. Comme {i} n {j } c J, ih et 1k sont distincts et, par exemple, i4, < k (l'autre cas est symetrique) et il existe une partie denombrable, dense sans extremite, H de I telle que ih < H < 1k (I est dense).

Le fait que tous les elements de H realisent C est crucial. I1 assure que K = J U H est dense sans extremite (et denombrable) et que, pour tout point i de T ne realisant pas C, t<(i/K) coherite de t<(i/J) car, soit i E J, soit i realise une coupure C' sur J et C'[K] = 0. De plus si un point i de T realise C, par definition de h, on a i ? ih < H = C[K], donc t<(i/K) coherite de sa restriction 'a J. C'est donc le cas pour tous les points de T, donc t< (T/K) coherite de t< (T/J) (resultat le).

Remarquons que s(T, /J) se calcule aussi comme 1j{,}s(i, j/J) et que s(i, j/J) est le cardinal de { j E {j} I j realise la meme coupure que i sur J }. Donc pour tout i, s(i,j/K) < s(i,j/J). Mais Ak realise la meme coupure que i/, sur J mais pas sur K, donc s(i1,j/K) < s(ih,j/J) et s(7,j/K) < s(7,/J). On peut appliquer l'hypothese de recurrence parce que {i} n {j} c K: soit K = J, Jo une suite convenable pour (7, -, K). Alors J = J,,+1, J,1, . . ., Jo convient pour (7,J, J). -1

Outre les deux lemmes precedents, la preuve du lemme 4.7 s'appuie sur les deux observations suivantes. Par definition du coheritage, si un L'-type p' coherite de sa restriction 'a un module A/' de T' alors P IL coherite de sa restriction 'a IV IL D'autre part, dans une theorie stable, les notions de coheritier et d'extension non- deviante coincident: si p est un L-type sur un ensemble de parametres contenant un module 41 de T alors p coherite de sa restriction 'a N ssi p ne devie pas sur N.

LEMME 4.7. Soient J une partie denombrable, dense et sans extre'mite' de I et T, j deux scuples de I. Si {T} n {j } c J alors cl/ (SjU{,} ) et CIL'(SJU{J} ) sont CIL'(SJ)-

independants (pour L).

PREUVE. Soient Jo, ..., Jn des parties denombrables, denses et sans extremite de I satisfaisant les conclusions du lemme precedent pour T, j et J. On verifie, par recurrence sur m, que si m ? n alors ClL' /(Sj,..u ) et ClL' (SJ,.U{1) sont ClL' (SJ1,)-

independants; et pour m = n le lemme sera prouve. Pour 0, c'est le lemme 4.5. Si i est un point de t alors, soit i E Jo, soit i realise

une coupure C sur Jo que ne realise aucun point de -

et donc C[Jo U {j}] - 0. Dans les deux cas t< (i/Jo U {j}) coherite de sa restriction 'a Jo. Donc t< (i/Jo U {J}) coherite de t< (i/Jo) et, pour tout a- E CIL' (SJ1U0 ij), tL' (a/ CIL' (SJ1Ufj})) coherite de sa restriction 'a CIL (SJO) et il en est de meme dans L.

Supposons que c'est vrai pour un entier m et que m + 1 < n. Par exemple, t< (Z/J,.7) coherite de sa restriction a J,1,+ (l'autre cas est symetrique). Alors, pour tout a- E

CIL' (SJI)1+I Uf, ), tL' (a /CI1'(SJI)1 )) coherite de tL1 a CILI (SJI))+I )) et tL (a / CILI (SJI).) ne devie pas sur CIL' (SJ1,+I). Or, par hypothese de recurrence, tL(a/ CILI (SJ,. Uf-1})) ne devie pas sur C1L/ (SJ1 ) donc il ne devie pas sur CL (SJ,,,+, )

Le lemme suivant constitue la seconde tape. I1 affirme l'existence d'un module au-dessus duquel on pourra appliquer les resultats sur le coheritage.



344 BENOIT MARIOU

LEMME 4.8. Soient H une partiefinie de I et , k deux scuples de I. Si jet k ont le meme <-type sur H et ne rencontrentpas H alors il existe unepartie J, denombrable, dense et sans extre'mite', de I telle que J contient H, j et k ont le meme <-type sur J etj, k ne rencontrentpas J.

PREUVE. Pour chaque h E H, soit KI, une partie denombrable dense sans extremite contenant h et telle que sa cloture convexe ne rencontre pas {j} U {k}. Alors J = UhGH KI, convient. -

On peut maintenant conclure la demonstration generate. Si -

et k sont deux scuples de I -. Io et io un scuple de Io tels que t< (J/I0) = t< (k/o), on a une partie J denombrable, dense et sans extremite de I telle que: io E J, t< (j/J) -t< (k/J) et { n~k} 0 J = 0. On pose 4' -clL'(SJ) et, comme t<(7o^j/J) = t<(T0-k/J), Ujo aQ et Jto^Jk ont le meme L'-type sur N.

Puisque j ne rencontre pas Io, pour tout scuple i de Io, on a {j} n {i} c J donc, dans L, CILI (SjufJ -) et CILI (SJU{,} ) sont N-inde'pendants. Donc C1L/ (SJU{f } ) et ClLI (SJUIo) sont N-independants. De meme pour ClL' (Sju{f-}) et ClL' (SJUI.)

Maintenant si b est dans ClL' (5t0 -a-), il existe c dans ClL' (&t0 ^t ) tel que

tLI (b-oJ5zj-/N) = tLI (Csjto CO&-N).

Alors b et c' ont meme L-type sur N et ce type est stationnaire puisque 4 est module de T. Enfin to E J donc b est dans ClL'(SJu{J}) et c est dans ClLI(SjU{f}).

Donc ils sont tous les deux N-independants de CL/ (SJUIo) et tL(b/ ClL' (SJuio)) =

tL (C`/ C1X(SJUIo )) . Donc tL (b /Mo )= tL (c/Mo ) On vient de verifier le resultat annonce au debut de la preuve: si i E Io et

j E I -. Io, l'ensemble (denombrable) des L-types sur Mo realises dans ClL/ (&(_&5) depend seulement de i et de t<(j1/). Or Io est denombrable et, pour i dans Io, l'ensemble des <-types sur i est denombrable. Donc l'ensemble des types sur Mo realises dans AW est denombrable, et c'est S(MO) puisque AW est 1 I-sature.

4.3. Remarques complementaires. Au ?4. 1, on a montre qu'il existe un procede uniforme pour faire apparaitre tous les modules satures d'une theorie w-stable T comme des modules d'Ehrenfeucht-Mostowski: on a une skolemisee denombrable de T et une suite de reference, indiscernable pour le nouveau langage, telles que tout module sature de T peut etre enrichi en l'enveloppe de Skolem d'un retirement de cette suite de reference.

Cette propriety n'est pas specifique a l'enrichissement de Lascar: PROPOSITION. (T w-stable.) Soit L' une extension denombrable de L. Supposons

qu'il existe un modee i I-sature AW de T qui a une A CI-expansion (x/', SI, T') dans L'. Alors, pour tout cardinal infini A, le modee sature de cardinal A, 4's, de T a une A CI-expansion (A1r,, SJ, T') oUt SJ est semblable a S1 pour L'.

PREUVE. Ce resultat est un raffinement du theoreme A dans le cas w-stable. L'idee essentielle est que pour obtenir un module A-sature de T il suffit d'etirer S1 en SJ ou J est dense sans extremite et a la propriete suivante: pour tout jo < ji J, il existe dans ]jo; jli [ une copie de l'ordre A* + A (X* est l'ordre inverse de l'ordinal A). On verifie facilement qu'il existe un tel J de cardinal A. -1

La seconde remarque concerne la cardinalite des langages. Si T est denombrable, superstable et non-w-stable, on vient de voir qu'elle n'a pas, au sens oui nous l'avons




defini, d'ACI-modele sature. Mais si on s'autorise des expansions dans des langages non-denombrables, on a l'analogue exact de (1) - , (3):

PROPOSITION ([7] et [8]). Soit T tine the'orie complete, d~enombrable, superstable non-o-stable. II existe

- une extension L' de L de cardinal 2'o - une L'-the'orie T' qui contient T et a desfonctions de Skolem - et une suite (an)n<o,, indiscernable pour L'

telles que tout modee sature' non-denombrable de T s'enrichit en tin modele de T' engendre' (au sens de L') par un retirement de (anf)n<(I).

La reciproque est encore vraie. Et on peut en fait l'etendre aux theories stables de cardinal arbitraire:

PROPOSITION ([7] et [8]). Soit T une theorie complete et stable dans un langage L. Supposons qu'il existe une extension L' de L et un modele 11 L'11 +-sature, 4', de T tels que 4' s'enrichit a L' en la cloture algebrique d'une suite indiscernable pour L'.

Alors T est superstable, et si JIL'11 < 2'0 alors T est totalement transcendante.

?5. Cas non-denombrable instable. 5.1. Beaucoup d'exemples. Commencons par un exemple de theorie instable qui a

un DCI-modele t I -sature mais dont aucun module n'est la cloture d'une suite indiscernable dans son langage. Le langage L est Lord U { c1 I n < co } ou les cn sont des symboles de constant et la theorie est l'exemple habituel de theorie 'a trois modules denombrables: < est un ordre total dense sans extremite et (c,1),,<c, est une suite strictement croissants. Un module AW est caracterise par les parties V0 = ]-oo; co[, Vn+,I ]C,1; cn+I [ pour n < o et V1, = { m E M I c, < m, pour tout n < co et il est A-sature ssi tous les V, sont denses sans extremite (non-vides) et A-satures. Par consequent, si AW est t%-sature, pour toute partie A de M, cl(A) = A; et, pour toute suite indiscernable SI extraite de M, l'ensemble des points des uples de SI ne rencontre qu'un nombre fini des V,. Donc cl(SI) n'est pas M tout entier.

Il suffit d'ajouter une fonction unaire f pour obtenir une DCI-expansion de AW. La nouvelle theorie affirme que f est une bijection, envoie Vo, sur Vo et chaque V,2 sur Vn+I et est croissants sur chaque V,. Soient I un ordre dense sans extremite A-sature, et Af le module dans sequel chaque Va est isomorphe 'a I. Il s'enrichit naturellement en un module de la nouvelle theorie et, pour le nouveau langage, V" (ordonne comme dans /W) est indiscernable et engendre AW.

On expose maintenant une construction simple qui permet d'obtenir de nombreux exemples. Etant donned deux langages Lo et L,, le langage Lo LH L, est la reunion disjointed de Lo et de L, augmentee d'un nouveau symbole de relation unaire P. Si Ado est une L0-structure et Id, une LI-structure, Ado LJ Id est la Lo LJ LI-structure

- dont la base est l'union disjointed de Mo et Ml - ou P est interpreted par Mo - ou il n'y a pas d'autre structure pour Lo que celle de Ado - ou il n'y a pas d'autre structure pour LI que celle de Id,.

Enfin, si To et T1 sont des theories completes respectivement dans Lo et LI, To U TI est l'ensemble des Lo L LI -e'nonces satisfaits par toutes les structures Ado L Id, oui Y/d est un module de To et Id, est un module de TI.



346 BENOIT MARIOU

Un examen facile de la satisfaction des Lo L LI -formules permet de montrer tout ce qu'on attend de cette construction:

5.i Si /d -- /ro et IC+1 . 1r alors /do LiJ WI q ro HJ ,Il

5.ii. Si A'0 _ o et A1 r, alors A'o LJ .1rAo LH A1.

5.iii. Si To et T1 sont completes alors To LJ T1 est complete et tout module de To LJ T1 est de la forme A'o Li A'I oui A'o est un module de To et A'I est un module de T1.

5.iv. Soient50, bo E Mo, CO c Mo, a, bI E M1, et C1 c M1 tfo~f, (ao-51/CoU C1) tf0HuY{(b&_b1/Co U C1) ssi t0(5a0/C0) = tf9bo/co) et t4,(al/C1) = tx,f (b I/ CI)

5.v. To LJ T1 est stable (resp. superstable, co-stable) ssi To et T1 sont stables (resp. superstables, co-stables).

5.vi. /do Li /W est A-sature ssi /do et /W sont A-satures.

Enfin, en vertu de la propriety 5.iv, si SIO (oi0)jI est une suite indiscernable extraite de A'o et S1 - ( )icI une suite indiscernable extraite de A'I, alors la suite (jol?â)ici est indiscernable dans A'o Li A'I.

5.vii. Si To et T1 ont chacune un ACI-modele 1 I -sature alors To LJ T1 a un ACI- modele i I -sature.

PREUVE. Soit I un ordre dense sans extremite 1 I -sature. D'apres le lemme 2.5.2 (et les hypotheses sur To et T1), il existe un module i I -sature Ido de To qui a une ACI-expansion (d's, SIO T') et un module 1 I-sature AId de T1 qui a une ACI-expansion (Id"', S1, T{"). Alors (Ad' Li A'd", (S0^Sl)%, To' L T{") est une ACI-expansion de A0 Li Ad, qui est 1 I -sature. -

En particulier, pour toute theorie co-stable To, To Li ODSE est une theorie instable qui a un ACI-modele 81-sature.

5.2. Conditions necessaires. Remarquons que si L- c L, une ACI-expansion d'une L-structure A' est aussi une ACI-expansion de AIL-* Donc si T a un ACI-modele 1i -sature alors tout reduit stable de T est c-stable.

Ceci s'applique aux theories To Li T1: si To est stable et To LJ T, a un ACI-modele 1 I-sature alors To est c-stable. En effet, le reduit de To L T1 'a Lo U {P} est To LJ Tc, ou T,, est la theorie de l'ensemble infini sans structure. Sous nos hypotheses To LJ T,, est stable proprietye 5.v), donc c-stable et, d'apres 5.v, To aussi.

THMORNmE D. Soit T une theorie complete denombrable. Si T a un ACI-modde 1i -sature alors T n'a pas la propriety d'independance.

PREUVE. La preuve est un simple argument combinatoire encore fonde sur le lemme 2.1. Considerons Id, module 81~-sature de T ayant une ACI-expansion (A', SI, T') et supposons qu'une L-formule (vQ; wT ) a la propriety d'independance dans T. On va trouver une partie denombrable et dispersed J de I telle qu'il y a 28o L-types sur aclL/ (SJ); ce qui contredit l'hypothese de saturation de A' puisque, d'apres le lemme 2.1, l'ensemble des L-types sur aclL/ (Sj) realises dans A' est denombrable.




Supposer que 'p(v; wi) a la propriety d'independance, c'est exactement supposer l'existence de deux suites (as,),aco, et (bw)wcWI telles que, pour tout ordinal denombrable a et toute partie W de w1, p(a,;bw) est satisfaite ssi a E W. Comme AW est fi-sature, on peut supposer que les a, sont dans M et donc que, pour chaque a E w1, il existe un scuple TC, (qu'on peut choisir de longueur non- nulle) tel que Jc, E aclL' (ek). Alors il existe un entier non-nul n et une partie infinie E de Wi tels que, pour tout a E E, T0, est de longueur n. L'appartenance est encore un bon ordre sur E et grace au theoreme de Ramsey (resultat lg), on sait qu'il existe une partie infinie F de E telle que, pour l'ordre induit sur F, la suite (z0x)aGF

est <-indiscernable. Quitte 'a reduire F on peut le supposer denombrable et alors J = U{ {fa} a Ia E F } est une partie denombrable de I.

Une partie G de F est aussi une partie de co, et, pour tout a E F, f (a6a, bG) est satisfaite ssi a E G. Donc les bG tels que G E 9(F) ont deux-a'-deux des L-types distincts sur U{ {f f} a Ia E F } qui est inclus dans aclL' (SJ ).

Enfin le lemme suivant montre que J est disperse parce que F est bien ordonne.

Etant donnes deux ordres totaux _f et Of, et I, J leurs ensembles de base respec- tifs; J* design l'ordre inverse de celui de J1 sur I, et J1 + Jf est l'ordre sur I U J dont la restriction 'a I (resp. J) est >J (resp. Of) et tel que tout element de I est strictement plus petit que tout element de J.

LEMME 5. 1. Soient I un ordre total, F Un bon ordre et (je)eF une suite <-indiscernable de n-scuples de I. L'ensemble J = U{ {f } I e E F } est disperse'.

PREUVE. I1 existe un ordinal limite 8 et un entier k tels que F est isomorphe 'a 8 + k. On verifie facilement, par recurrence sur n, que J est isomorphe 'a un ordre total du type Ko + . + K,,2 out m est un entier et chaque Ki est 8, 6* ou 1. -1

5.3. Remarques complementaires. I1 est naturel, lorsqu'on etudie les proprietes d'une theorie T, de se demander lesquelles d'entre elles se transferent aux extensions de T par des constantes. D'abord il est evident que si T(A), pour un ensemble de parametres denombrable A, a un ACI-modele A-satur' alors T egalement. Dans le cas stable, la reciproque decoule du theoreme C: si T a un ACI-modele z I-sature et A est denombrable alors T donc T(A) sont co-stables et T(A) a un ACI-modele

i I -sature. C'est en general faux pour les theories instables: par exemple pour la theorie de l'ordre dense sans extremite, si A est une partie dense d'un module, T(A) a 210 types sur vide et n'a pas d'ACI-modele to-sature. En revanche, lorsque A est fini, on peut facilement montrer que:

PROPOSITION. Supposons qu'un nodele i j-sature 4W de T a une ACI-expansion

(/W', SI, T')

(1) si i c I alors T (aclL' (oj)) a un ACI-modele Z1 -sature (2) si ac est un uple de parame'tres alors T(a) a un ACI-modele t I-sature.

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EQUIPE DE LOGIQUE

U. F. R. DE MATHEMATIQUES

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Modèles Saturés et Modèles Engendrés par des Indiscernables