Modélisation de l'incertitude spatialepour l'inférence de groupe

en IRM fonctionnelle

Merlin Keller,

Groupe Spatial

11/12/08

Plan

I. L'imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (IRMf)

II. L'inférence de groupe en IRMf

III. Modélisation de l'incertitude spatiale

Une expérience d'IRM fonctionnelle

● Acquisition d'une séquence d'images 3D de l'activité cérébrale

● Activité mesurée indirectement par son effet sur le réseau vasculaire ( effet BOLD )

Décours temporel en un voxel

En rouge : Temps d'occurrence (onsets) des stimuli

● On suppose que chaque stimulus induit localement un effet BOLD

● Comment modéliser la relation entre les deux?

Fonction de réponse hémodynamique (HRF)

● Décrit la réponse induite par un événement ponctuel● Souvent supposée connue à l'avance

Modèle linéaire général (GLM)

Yk = X

k +

k,

k ~ N(0,

k)

k: indice du voxel considéré

Yk

X1

X2

Modèle linéaire général (GLM)

On a implicitement supposé que les réponses aux différents événements :● sont identiques ( Stationnarité ) ● s'additionnent ( Linéarité )Régresseurs additionnels :● Conditions expérimentales multiples● Facteurs de nuisance

Yk = X

k +

k,

k ~ N(0,

k)

Yk

Contraste d'intérêt

● On s'intéresse à l'effet BOLD c'k au voxel k, en

réponse à un contraste de conditions expérimentales c.● Exemples : Stimulation – Repos, Condition 1 –

Condition 2, etc.● Le voxel k est dit :

– actif ( pour le contraste c ) si : c'k > 0

– inactif si : c'k = 0

– déactivé si : c'k ≤ 0

Test sur un contraste

● Q : Le voxel est-il actif ?

➔ Test de Student de H0: c'

k = 0 contre H

1: c'

k > 0

– Tk =

– Sous H0 : T

k ~ t

N-p

( N = nombre de scans, p = rg(X) )

– On rejette H0 au niveau si T

k > t

1-,N-p

kc'

Var c kc'

k k

k

k

Tests multiples

● Q : Quelles sont les aires cérébrales activées pour un certain contraste de conditions expérimentales?

➔ Calcul d'une carte de statistiques T, seuillage à t

1-,N-p

● Problème de comparaisons multiples :

– ≃ 50 000 voxels dans une image– Stratégies : Bonferroni, Théorie des champs

gaussiens, tests de permutation, ...

L'inférence de groupe en IRMf

● But : Généraliser les résultats individuels à la population d'intérêt

● Exemple : n sujets on participé à une expérience d'IRMf, et leur données ont été traitées séparément

Quel est la carte d'activation moyenne de la population parente?

?

L'inférence de groupe en IRMf

● Un défi majeur : La variabilité morphologique du cerveau humain

● Approche usuelle : recalage vers un “cerveau type” ( template )

● Suppose possible une correspondance point-par-point entre les images

● En pratique, n'est jamais “parfait”

L'inférence de groupe en IRMf

● Un défi majeur : La variabilité morphologique du cerveau humain

● Approche usuelle : recalage vers un “cerveau type” ( template )

● Suppose possible une correspondance point-par-point entre les images

● En pratique, n'est jamais “parfait”

Approche voxel-based (massivement univariée)

Principe : Après recalage, ou normalisation, vers un template, comparaison des images séparément en chaque voxel

● Approche standard (SPM, FSL)● Suppose les images parfaitement réalignées (en

pratique, lissage spatiale préalable des données)● Alternatives : Comparaison des images à un plus

haut niveau ( Thirion et al. (2007b), Xu et al. (2007), Tucholka et al. (2008), ... )

Résumé de l'approche voxel-based

a) Calcul d'une carte statistique pour tester en chaque voxel la présence d'un effet BOLD moyen positif

b) Calibration de la carte statistique pour détecter les régions activées

➔ Nécessite un modèle de la distribution des effets BOLD à travers les sujets

Modèle à effets aléatoires simple● Les effets individuels 1k , ... , nk

au voxel k sont

modélisés par des variables aléatoires i.i.d, e.g. Gaussiennes :

ik = k + ik , ik⁓ N( 0 , k² )

– k : Effet BOLD moyen dans la population au voxel k

– k : Variabilité de l'effet BOLD dans la population au voxel k

k 2k

k

1k nk...

Test sur l'effet moyen

● L'effet BOLD moyen est-il positif pour le voxel k?

➔ Test de Student de H0 :

k ≤ 0 contre H

1 :

k > 0

– Tk =

– Sous H0 : T

k ~ t

n-1

– On rejette H0 au niveau si T

k > t

1-,n-1

k

std( )k

k k

k

k

● Avantages :– Rend la détection d'activation simple à mettre en

oeuvre

– Approche de référence ( logiciel SPM )

● Limites : Suppose– les effets BOLD directement observés :

néglige les erreurs d'estimation

– les images parfaitement recalées : néglige les erreurs de normalisation spatiale

Modèle à effets aléatoires simple

Modèle intra-sujet

● ik effet BOLD (inconnu) du sujet i au voxel k

● ik estimé de ik (par GLM). Si le nombre de scans acquis N est assez grand :

ik = ik + ik , ik ⁓ N(0 , sik²), sik

supposé connu

ik ik

sik

Modèle mixte

● Inclut dans le modèle à effets aléatoires simple les modèles intra-sujets

1k 2k iknk......

sik

1k 2k

ik nk

k

k

Modèle mixte

● S'écrit sous forme d'un modèle hiérarchique :

ik = ik + ik , ik ⁓ N(0 , sik²)

ik = k + ik , ik⁓ N(0 , k²)

● Ou de manière équivalente :

ik = k + ik , ik

⁓ N(0 , k² + sik²)

● Si s1k² = ... = snk², on retrouve le modèle précédent

Test sur l'effet moyen● But : Tester H

0 :

k ≤ 0 contre H

1 :

k > 0

● Statistique de décision : Le rapport des vraisemblances maximales

( L(k,

k²) : vraisemblance

du modèle mixte )

– Pas d'expression explicite : Calcul par algorithme EM

– Loi sous H0 inconnue : Calibration par un test de

permutation

sup L(k,

k²)

k≤0

sup L(k,

k²)

k>0

R =

k k

k

FIAC dataset (Meriaux et al., 06)

Localizer dataset (Keller et al., 08)

Localizer dataset (Keller et al., 08)

Modèle mixte

● Avantages :– Prends en compte les erreurs d'estimation individuelles

– Permet un gain en sensibilité pour la détection d'activations (Meriaux06, Keller08a) par rapport à l'approche standard

● Limites :– Suppose toujours les images parfaitement recalées :

néglige les erreurs de normalisation spatiale.

Q : Peut-on inclure les erreurs de normalisation spatiale dans le modèle mixte?

Prise en compte de l'incertitude spatiale

● On ne suppose plus les images parfaitement recalées

– vl ∈ ℝ3 voxel de l'espace standard

– uil ∈ ℝ3 erreur de recalage du sujet i au voxel l (inconnue)

– vk = vl + uil voxel déplacé (uil discrétisé)

● Modèle inter-sujet :

i(vl) = (vl + uil) + il , il

⁓ N(0 , ²)

– i(vl) = il effet du sujet i au voxel l

– (vl + uil) = (vk) = k effet moyen au voxel k

vluil

vk

Modélisation du champ de déplacement● ui = (uil)1≤l≤p champ de déplacement du sujet i,

défini par :

– V' = (vk , ... , vk ) points de contrôle (voxels)

– K(l, k ) = K(∥vl – vk ∥) noyau d'interpolation

– wi = (wij)1≤j≤m paramètres de déplacement du champ i

● l = 1, ... , p : uil = ∑ K(l, kj) wij

(cf. Allassonière et al., 07)

● wi champ de Markov Gaussien (GMRF) sur V' :

p(wi) ∝ exp - ∑∥wij∥² - h ∑ wijt wij'

1 m

j=1

m

j=1

m

j ~ j'

12²

m m

Modèle complet

i = i + i ; i

⁓ N(0, Si²)

i = (V + ui) + i ; i ⁓ N(0, ²Ip)

ui = K wi ; wi ⁓ N(0, Q-1)

avec :

– Si² = diag(sil², 1≤l≤p )

– Q matrice de précision des wi : Q( j, j ) = -2 ; Q( j, j' ) = h 1{ j ~ j' }

● Vraisemblance complète :

f( , , w | , ²) = f( | ) p( | w, , ²) p(w)

Inférence Bayésienne

● But : Soit ( , ²) une loi a priori, déterminer :

( , ² | ) = ( , w , , ² | ) d dw

∝ f( , , w | , ²) ( , ²) d dw● Pas d'expression analytique...● Solution : Échantillonner ( , w , , ² | )

➔ ( t, w t , t, (²)t )1≤t≤B

➔ ( t, (²)t )1≤t≤B échantillon de ( , ² | )

∫∫

= min 1,

Échantillonnage a posteriori● Échantillonneur de Gibbs :

– Blocs : , w , ( , ²) – Tirages successifs dans ( |...), (w |...), ( , ² |...)

● Pb : (w | ...) ∝ p( | w, , ²) p(w) difficile à simuler● Metropolis-Hastings 'naïf' : w' tirée dans p(w), acceptée

avec probabilité

– Fruste (tirage dans l'a priori)

– Faible taux d'acceptation observé ( < 0.1 en moyenne)

– Semble difficile à améliorer en pratique

p( | w', , ²)p( | w, , ²)

Etude sur données simulées

Données :

● n = 30 images simulées suivant la loi f( i | , ²) (² fixé)

● Données volumiques (ici en coupe centrale)

Estimation des paramètres● ( t, (²)t )1≤t≤B échantillon de ( , ² | ) ; estimé par la moyenne a posteriori :

= ∑ t

– Dans le modèle mixte, sans incertitude spatiale– Dans le modèle complet

t=1

B1B

^

Signal initial Sans incertitude spatiale Avec incertitude spatiale

Détection de régions● Courbes ROC pour la détection

par seuillage des région où : > 0

● Régions détectées par seuillage optimal (minimisation du risque binaire)

Signal initial Sans incertitude spatiale Avec incertitude spatiale

Perspectives

● Méthode :– Améliorer l'échantillonnage des champs de déplacement

– Estimation du paramètre d'incertitude spatiale ² ● Applications :

– Détection des aires cérébrales impliquées dans une tâche donnée par sélection Bayésienne de modèle

– Application aux images anatomiques : Évaluation de l'incertitude de recalage

Bibliography (1/2)

● Allassonière et al. (2007) Toward a coherent statistical framework for dense deformable template estimation.

● Keller et al. (2008) A mixed-effect statistic for two-sample group analysis in fMRI. ISBI'08

● Keller et al. (2008) Dealing with spatial normalization errors in fMRI group inference using hierarchical modeling. Statistica Sinica, 18, 4, 1357-1374

● Meriaux et al. (2006) Combined permutation test and mixed-effect model for group average analysis in fMRI. Hum. Brain Mapping 27, 402-410

● Thirion et al. (2007) High level group analysis of fMRI data based on Dirichlet process mixture models. NeuroImage 35, 105-120

● Tucholka et al. (2008) Probabilistic Anatomo-Functional Parcellation of the Cortex : How many regions?

Bibliography (2/2)

● Xu et al. (2007) Bayesian spatial modeling of fMRI data : a multiple subject analysis. Tech. rep., University of Michigan, department of Biostatistics