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Modélisation du couplage chimique-mécanique du transport en milieux granulaires
Nadia Saiyouri1, Atmane Katti
1,2
1 Université de Bordeaux1 – CNRS, UMR 5295 I2M – Département GCE, Av.
des facultés 33405 Talence cedex, France.
2 Ecole Centrale Nantes, UMR CNRS 6183 GeM, BP 92101, Nantes cedex 3,
France.
[email protected], [email protected]
RÉSUMÉ. L’objectif de cet article est la présentation d’un modèle couplé non linéaire
développé au laboratoire. Dans un premier temps, on expose le modèle mathématique du
transport et écoulement en milieux poreux saturés, le couplage d’érosion interne et transport
réactif des polluants, ainsi que le couplage érosion interne et déformation de la matrice
solide. Dans un second temps, on présente l’approche numérique adoptée pour résoudre le
modèle mathématique. Enfin, quelques résultats numériques seront donnés.
ABSTRACT. The aim of this paper is the presentation of the nonlinear-coupled model
developed in the laboratory. In a first step, the mathematical model of flow and transport in
saturated porous media, the coupling internal erosion and reactive transport of pollutants
and the coupling internal erosion and deformation of the solid matrix was presented. In a
second step, the numerical approach adopted to solve the mathematical model is developed.
Finally, a presentation of some numerical results was given.
MOTS-CLÉS : Modélisation, couplage, transport, écoulement, érosion, modèle
mathématique.
KEY WORDS : Modelling, coupling, transport, flow, erosion, mathematical model.
31èmes Rencontres de l’AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai 2013 2
1. Introduction
Les effets des polluants sur notre environnement, nous imposent de mettre en
œuvre des investigations approfondies et multidisciplinaires. Notre objectif est de
mieux comprendre le transfert dans les matériaux poreux constitués de deux phases :
solide et fluide en présence du contaminant chimique (réactif ou non réactif), nous
prendrons en compte la mobilité de ces contaminants dans la phase fluide lors des
différents processus physico-chimiques de transport caractérisé par la capacité de
rétention et de libération. La rétention présente un risque de contamination durable
sur les cultures et l’expansion urbaine, alors que la libération présente un risque
majeur de contamination des nappes phréatiques.
Cette présentation est basée sur une démarche de modélisation des phénomènes
de transfert des polluants dans les sols développés au laboratoire. Cette modélisation
est décrite tout d’abord par un modèle de transport et d’écoulement en milieu poreux
saturé, ce modèle est basé sur des équations aux dérivées partielles (EDP). Ces
équations se référant au transport de masse en milieu poreux saturé de type
convection-dispersion-diffusion [CHU 05].
Dans ce modèle, a été ajouté un module d’érosion interne, qui permet de suivre
l’arrachement des particules. Ces particules fines transportent les polluants et se
déplacent dans les porosités du sol. Le modèle se compose d’un ensemble
d’équations différentielles couplées non linéaires résolues en séquence, dans les
codes aux différences et éléments finis. Ce code a été réalisé en utilisant la librairie
d’éléments finis Diffpack. En tenant compte de la porosité, la perméabilité
intrinsèque et la pression interstitielle du sol, ce modèle a permis de suivre
l’évolution et la répartition spatiale des particules érodables et fluidisées. La
modélisation de l’érosion interne à permis de montrer l’influence de ce phénomène
sur le transport des particules, ce qui permet de coupler le modèle de transport des
particules et des polluants avec l’érosion interne.
Dans une troisième phase, on tient compte de l’effet de la déformation de la
matrice solide. Une procédure de moyenne est employée pour coupler l’érosion
interne et la déformation du sol dans les équations de continuité macroscopiques. Ce
qui nous permettra de faire le lien entre le couplage des mécanismes de déformation
des milieux granulaires, au processus de transfert réactif.
2. Modèle de transport et écoulement dans les milieux granulaires
Les milieux granulaires sont constitués par un assemblage de particules solides
de différentes formes et tailles [DAO. 00], entre lesquelles subsistent des espaces
vides appelés pores [BEA. 79 ; YEH. 99]. Ces derniers sont interconnectés par une
ou plusieurs phases fluides caractérisées par une perméabilité intrinsèque, une
porosité et une pression interstitielle.
Modélisation du couplage mécanique chimique du transport dans les milieux granulaires.
3
Dans cet article, On va se limiter à l’étude d’un milieu poreux saturé, qu’on
décrit dans une échelle macroscopique, caractérisée par la dimension VER (Volume
Elémentaire Représentatif). Ce concept permet de considérer ce milieu comme
homogène continu et de moyenner les grandeurs physiques sur l’ensemble du
volume.
2.1. Couplage transport et écoulement dans les milieux poreux
Le phénomène physique du modèle est décrit par deux principes : la conservation
de masse et la loi de Darcy qui donnent les équations mathématiques du modèle
[DOM. 98].
Le modèle développé, consiste à coupler le transport et l’écoulement dans un
milieu poreux saturé. Ce modèle a été validé expérimentalement par des essais
d’injection de coulis dans une colonne de sable de Fontainebleau [CHU 07].
« Fig.1 ».
Figure 1. Représentation de la colonne d’injection pour valider le modèle
développé au GeM.
Les variables d’état du problème traité sont la pression P (Pa) et la concentration
des particules du coulis transportée C (kg/m3). L’équation de transport utilisée est de
type convection-dispersion-diffusion [1] qui représente la loi de conservation de
masse du composant transporté [OGA. 70 ; BEA. 79].
[1]
Avec :
q (m/s) : représente la loi de Darcy en milieu poreux saturé, qui dépend des
gradients de pression, de la perméabilité intrinsèque (constante) et de la viscosité
dynamique.
D (m²) : est la dispersion hydrodynamique qui caractérise la propagation des
particules à l'échelle macroscopique résultant de la dispersion mécanique et de la
diffusion moléculaire [BEA.84], n est la porosité considéré constante.
0
CDCq
t
nC
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L’équation d’écoulement est donnée par la loi de conservation de masse de la
phase fluide [2].
[2]
Avec ρf : La masse volumique de la phase fluide (kg/m3), cette dernière est une
fonction de la pression P et de la concentration du coulis de ciment.
La résolution de l’équation d’écoulement donne le champ de vitesse, qui permet
de résoudre dans un second temps l’équation de transport.
2.2. Couplage transport réactif de polluants et érosion interne
L’érosion interne est définie comme un détachement des particules de la
structure d’un sol sous l’action d’un agent physique ou chimique, ce phénomène est
à l’origine du transport particulaire mais également de certains polluants associés
aux particules érodées (Ex : Métaux lourds).
Le phénomène d’érosion interne implique une évolution des phases fluide et
solide du milieu poreux, une variation de la porosité (n) et de la perméabilité
interstitielle (k).
Le modèle couplé de transport réactif de polluant et érosion interne utilisé est
basé sur l’analyse d’un système d’équations différentielles non linéaires. Il est
composé d’une équation de transport de particules érodées [3], d’une équation de
transport des polluants dans l’eau [4] et d’une équation adsorption et désorption des
polluants sur les particules érodées [5].
[3]
[4]
[5]
Avec : λéros est le coefficient d’érosion, χ teneur en particule érodable ; Céros , Ce
et Cm sont respectivement la concentration des particules érodées, des polluants
dissous et particulaires. KA et KD sont les coefficients de la cinétique d’adsorption et
de désorption du polluant. Ces valeurs sont déterminées expérimentalement ou
définie par la littérature.
0
q
t
nf
f
qDq éroséroséros
éros λCCt
nC
érosmDeAeee CCKCKCDqC
t
nC
)()(
)(
érosmDeAérosmérosmérosm CCKCKCCDCqC
t
CnC
))(()(
)(
Modélisation du couplage mécanique chimique du transport dans les milieux granulaires.
5
Le couplage entre érosion interne et transport réactif des polluants est représenté
par l’équation [3], tandis que les équations [4] et [5] permettent de suivre l’évolution
des processus chimiques des polluants.
2.3. Couplage transport et déformation du milieu poreux
Concernant le transport des particules érodées dans les milieux poreux
déformable, le modèle tient compte des couplages entre l’écoulement fluide, le
transport des particules de sol, l’érosion interne et la déformation du squelette solide.
L’idée est de mettre en évidence le couplage transport des particules et déformation
de la phase solide se fait à partir d’une variation de volume donc une augmentation
de la porosité, liée au départ des particules. Une loi de comportement élastique
linéaire a été utilisée.
Dans un milieu poreux saturé, la déformation du milieu dépend de la contrainte
mécanique appliquée et de la pression du fluide à l’intérieur des pores [DEL. 01].
[6]
Contrainte effective (Pa), P pression interstitielle (Pa), cette expression fait
apparaitre explicitement la pression interstitielle du liquide P qui va être reliée à la
loi de Darcy dans le modèle de transport. Ce qui permettra un couplage entre la
déformation de la matrice solide et le transport de la phase liquide.
Le modèle développé analyse les contraintes et les déformations de la matrice du
sol suivant une loi élastique linéaire (Loi de Hooke).
[7]
Avec E module de Young constant (Pa), la déformation égale au gradient du
déplacement u (m).
L’équation d’équilibre d’un milieu poreux saturé en une dimension dans ce cas
s’écrit :
[8]
Avec est la masse volumique homogénéisée du milieu poreux (kg/m3).
Ce modèle de transport développé à partir du couplage de la déformation
élastique linéaire (Loi de Hooke et l’équation d’équilibre) et l’érosion interne du
P '
E'
02
2
gP
x
uE
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milieu poreux, a été réalisé avec la formule de Terzaghi [6], qui lie la déformation à
la loi de Darcy avec la pression interstitielle dans un milieu poreux.
L’évolution du modèle est décrit par les variables d’état suivant le déplacement
u, la pression interstitielle P, la concentration du composant C, la teneur des
particules érodées χeros, la perméabilité k et la porosité n.
3. Approche numérique pour la résolution des systèmes mathématiques
La méthode de Gauss Seidel est adopté pour la résolution numérique du modèle
mathématique [LAN.99]. La caractéristique intéressante de la méthode d’itération de
Gauss Seidel est que nous devons seulement résoudre des équations aux dérivées
partielles aux normes scalaires.
Dans le cas du transport des particules érodées dans un milieu déformable,
l’équation de transport sera résolue par rapport à C, puis l’équation d’écoulement par
rapport à P en utilisant la plus récente des valeurs calculées de C. Ensuite la loi
d’érosion permet de calculer χeros et l’équation d’équilibre mécanique donne u en
utilisant les plus récentes valeurs calculées P, C et χeros.
L’algorithme de type Gauss Seidel, appliqué au modèle avec déformation, est
décrit par l’ordre des étapes suivantes :
- Soient des approximations initiales de , , ,
- Incrémenter k
- Résoudre selon
- Résoudre selon
- Résoudre selon
- Résoudre selon
- Vérifier le critère de convergence.
La résolution numérique du modèle est réalisée par un code d’éléments finis à
l’aide de la librairie Diffpack.
Le critère de convergence pour arrêter le calcul, consiste à mesurer la variation
des différentes variables entre deux itérations successives en chaque nœud et la
convergence sera supposée atteinte lorsque la différence de chaque variable dans un
nœud du maillage devient inférieure ou égale à une valeur très faible de l’ordre de
10-6
.
4. Résultats et discussion
Les essais expérimentaux portant sur le couplage érosion – transport de polluants
ont été réalisés au laboratoire GeM. Le dispositif est composé d’une cellule
Modélisation du couplage mécanique chimique du transport dans les milieux granulaires.
7
d’érosion, connectée à un réservoir de solution chimique (Métaux lourds…), les
effluents sont récupérés à la sortie de la cellule de percolation « Figure 2 ».
Figure 2. Dispositif expérimental d’érosion couplée au transfert de polluants
[KHA 11].
L’injection dans la colonne de sol constituée d’un mélange de sable de
Fontainebleau à 10% et d’argile kaolinite Speswhite (KS), à une pression constante
de 200 kPa d’une solution de Pb(NO3)2, donne l’évolution de la concentration des
particules érodées sur différents points de la colonne. La « Figure 3 » représente
l’évolution de la concentration du polluant en fonction du temps de calcul. Ce
graphique montre que l’érosion accélère le transport de la contamination.
Figure 3. Evolution de la concentration du Pb(NO3)2 sur les particules du sol
érodés sur différents points de la colonne en fonction du temps.
Les résultats de la simulation numérique obtenues pour le points Z = 0.05 (m) de
la colonne en fonction du temps, avec ou sans érosion est donnée « figure 4 ». Le
modèle mathématique reproduit approximativement les effets du couplage érosion
interne et transport réactif.
31èmes Rencontres de l’AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai 2013 8
Figure 4. Résultat de simulation numérique d’évolution de la concentration du
polluant transporté Pb(NO3)2 en fonction du temps avec et sans érosion pour
Z=0.05 (m).
Les résultats de calculs numérique des équations de transports des particules
érodées couplé avec la déformation du sol est donnée par la « figure 5 », pour des
valeurs des paramètres de modélisation indiqué dans le « Tableau 1 » :
Notation Valeur
Taille de la colonne (, H) (0.1 m, 0.1m)
Concentration initiale des particules
érodables 0 1700 kg m
-3
Concentration initiale des particules
fluidisées (transportées) C0 0 kg m
-3
Porosité initiale n0 0.242
Perméabilité intrinsèque initiale k0 1.31 10-12
m2
Coefficient de diffusion moléculaire Dd 10-10
m2 s
-1
Module de Young E 140 MPa
Densité initiale de l’eau porale ρ0 1,050 kg m-3
Coefficient de pression εP 3.8 10-8
Pa-1
Coefficient de concentration ε 2.9 10-4
m3 kg
-1
Densité du sol érodé ρm 1,300 kg m-3
Coefficient d’érosion 2.5 10-4
m-1
Coefficient de dommage β 7 10-3
m3 kg
-1
Tableau 1. Valeurs des paramètres utilisés pour la modélisation.
Modélisation du couplage mécanique chimique du transport dans les milieux granulaires.
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Figure 5. Evolution du déplacement de la matrice du sol en fonction du temps
(s) et de la distance au point d’injection (m).
La « figure 5 » représente l’évolution du déplacement u en fonction du temps et
de la distances du points d’injection. Le déplacement maximum est proche de 9 mm.
Le modèle de couplage transport de particule érodées dans un milieu poreux
déformable permet de mettre en évidence l’effet de la déformation du sol, pour un
comportement élastique linéaire.
5. Conclusion et perspectives
Le modèle présenté dans ce travail, porte sur le couplage transport et écoulement
en milieu poreux saturé, le couplage transport réactif et érosion interne et le
couplage transport des particules érodées en milieu poreux déformable.
L’utilisation du principe de conservation de la masse et de la loi de Darcy, a
permis de construire un modèle de transport et d’écoulement en milieu poreux. La
prise en compte de l’érosion interne et du transport réactif ont amélioré le modèle en
intégrant la masse érodée, validé par des essais expérimentaux et des simulations
numériques. Le comportement mécanique du milieu poreux a été intégré en
exploitant le principe de Terzaghi, permettant un couplage mécanique et transport de
particules érodées. La modélisation de ce couplage a été réalisée en fonction des
variations de la porosité, de la perméabilité intrinsèque et de la pression interstitielle.
Dans un premier temps, une première perspective de cette étude, serait une
amélioration du modèle élastique (loi de Hooke) qui permettrait la prise en compte
de l’élasticité non linéaire avec un module d’élasticité variable. Une seconde
amélioration consisterait à étudier la plasticité du sol.
Dans une seconde phase, il s’agit d’améliorer le couplage transport réactif avec
le comportement mécanique en prenant en compte l’interactivité entre l’érosion
interne et les deux derniers processus. Enfin, une comparaison entre les résultats
31èmes Rencontres de l’AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai 2013 10
numériques du modèle et les résultats des essais expérimentaux sont nécessaire pour
valider le code.
6. Bibliographie
[BEA 79] Bear J., Hydraulic of groundwater, Mc Grew-Hill Series, in Water Resources and
Environnemental Engineering, New-York, 1979.
[BEA 84] Bear J. and Bachmat Y. Transport phenomena in porous Media, Nato ASI Series
pp 5-61, 1984.
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