MODÉLISATION DU TRANSPORT RÉACTIF EN

MILIEU POREUX

Jérôme CARRAYROU

Équipe Hydrodynamique et Transferts en Milieux Poreux

Université Louis Pasteur de Strasbourg

Institut de Mécanique des Fluides et des Solides

UMR 7507 ULP-CNRS

HydroGRID - Rennes - 15 septembre 2003

2

• INTRODUCTION

• PRÉSENTATION DES SCHÉMAS DE SÉPARATION D’OPÉRATEURS

• TRANSPORT – CINÉTIQUE

• TRANSPORT - ÉQUILIBRE INSTANTANÉ

• CONCLUSION

3

LE MILIEU POREUX

u

Convection

u Dispersion

Echange liquide-gaz

INTRODUCTION

Réactions en solution

Dissolution

Précipitation

Sorption

Relargage

Biologie

4

Formulation Mathématique

INTRODUCTION

ut

C D C CTransport non réactif

t

C L C

ConvectionDispersion

,cinft

Cc L Cc Cc C

Transport des espèces cinétiques7 Espèces

t t

Td Tf L Td

dfTd T

ffTf T

Transport des concentrations totales en composants :équilibre instantané

Composants fixés

Composants dissous

3 Composants

7 Espècest = 0 t = t1

t = fin t = t2

Évolution cinétique

t = t0

t = t0

t = t0 ’t = t0

Équilibre Instantané

5

DÉTAIL DE LA FORMULATION CINÉTIQUE

2

1

k

1 2k

C C i i j i i j jf (C ,C ) k C k C

Réaction ordre 1

1

1

2

2

kaq2 2 2 3k

k2 3 3k

CO H O H CO

H CO HCO H

aq2

2 3

CO1 2 1 2 3cin

aqH CO1 2 2 3 1 2cin

2 3

f k CO aq k H CO

f k k H CO k CO

k HCO H

2 1

1k 3.10 s

11k 11,9 s

6 1

2k 8.10 s

10 -1 12k 4,7.10 M s

Dissociation acide carbonique

2N

cin ds o 2

S Of N K

K S K O

Croissance population bactérienne N

cinf1 mMineral Cc ... Cc

n

1 mcin

Cc ... Ccf k 1

Ks

Dissolution d’un minéral

INTRODUCTION

6

1

Nx

i, j j ij

b X C Réaction 2 3 3

22 3 32

H OH

H H CO HCO

H H CO CO

1

i , jNx a

i i jj

C K X

Loi d’action de masse

3

23

1

13 2 3

223 2 3

OH

HCO

CO

OH K H

HCO K H H CO

CO K H H CO

1

Nc

j i, j ii

T b C

Conservation de la matière 2 3

23 3

22 3 3 3

2H

H CO

T H OH HCO CO

T H CO HCO CO

Espèces Composants

Nc espèces Ci Nx composant Xj

5Nc

2Nx

OH 2 3H CO 3HCO 2

3CO H

H 2 3H CO

Théorie Exemple

DÉTAIL DE LA FORMULATION THERMODYNAMIQUE

INTRODUCTION

7

APPROCHE GLOBALE i ,k

NxNc ai, jj i k k

i 1 k 1i

bT K X

t t

Td Tf L Td

INTRODUCTION

i ,k i ,k i ,kNx Nx NxNcd Ncd Ncf Ncd

a a a

i, j i k i, j i k i, j i ki 1 i Ncd 1 i 1k 1 k 1 k 1

b K X b K X L b K Xt t

i ,k i ,k

Nx NxNc Nx Ncda ai,l l

i, j i k i, j i ki 1 l 1 i 1k 1 k 1l

2 Nx2i,l i,l i,l i,m i,ll l l m l

22l m 1l l m ll

a Xb K X b K X

X t

a a a a aX X X X X D D D U

X z z X X z z X zX

Nx

1

Rajouter la cinétique chimique …

8

SÉPARATION D’OPÉRATEURS

COUPLAGEErreurs

de séparationd’opérateurs à minimiser

OPÉRATEURTRANSPORT

OPÉRATEURCHIMIE

INTRODUCTION

Pas de tempsn

Pas de tempsn + 1

PRÉSENTATION des

SCHÉMAS

HydroGRID - Rennes - 15 septembre 2003

10

Schéma NI Standard

* n

t

C C

L C

Transport non réactif

1 *n

ft

C C

C

Chimie en système fermé

SCHÉMAS DE SÉPARATION

TRANSPORTNon réactif

CHIMIE

Système fermé

Pas de tempsn

Pas de tempsn + 1

11

Schéma NI Strang-splitting

*

2

n

t

CC

L C

Transport non réactif sur un demi-pas de temps

** *

ft

C CC

Chimie en système fermé sur un pas de temps

1 **

2

n

t

CC

L C

Transport non réactif sur un demi-pas de temps

CHIMIESystème fermé

Pas de tempsn

Pas de tempsn + 1

TRANSPORTNon réactif

Demi-pas de temps

TRANSPORTNon réactif

Demi-pas de temps

SCHÉMAS DE SÉPARATION

12

Schéma I Standard

1,

1

n k

C

n

kTT

Lt

RC

CC

Transport réactif

1, 1,n k n k

C TCf

t

CCC

Chimie en système fermé

Terme puits-source 1, 1,n k n k

k C TC t

CR

C

Solution après convergence

1 1,n n

T

C C

TRANSPORTRéactif

CHIMIESystème fermé

Pas de tempsn

Pas de tempsn + 1

SCHÉMAS DE SÉPARATION

13

Schéma I SymétriqueTransport réactif Chimie en système ouvert

1,n k

T

n

kCCf

t

C R

C C 1,

1

n k

C

n

kTTt

RCL

CC

1,n k n

k kT

CC t

CR

CR

1,n k n

k kC

TT t

C

RC

R

TRANSPORTRéactif

CHIMIESystème ouvert

Pas de tempsn

Pas de tempsn + 1

SCHÉMAS DE SÉPARATION

14

SÉPARATION

des OPÉRATEURS

TRANSPORT -

CINÉTIQUE CHIMIQUE

HydroGRID - Rennes - 15 septembre 2003

15

Solutions Exactes

TRANSPORT - CINÉTIQUE

Solution Exacte Réaction Irréversible

(1 espèce) tkEX e1

ktM

Solution Exacte Réaction Réversible

(2 espèces) tk2

T

i

T

0i

T2T

i

T

i0iiEX

Te1k

)k(

k

)kM(tk

k

)k(

kMtM

iijji XkXk)kX( T i jk k k

2

1

k

k21 cc

ii i i j j

0i i

dMk M k M

dtM t 0 M

Réaction

Bilan de Masse

2i i i

i i j j2

0i i

C C CD u k C k C

t x xC t 0, x C x

16

Opérateurde Transport

ni

miT MtnM

1-miCi

miT R-

dt

dM

tRMt1nM 1-miCi

ni

miT

Équation de Bilan de Masse

Condition Initiale

Solution à Flux Constant

TRANSPORT - CINÉTIQUE

Opérateur de ChimieÉquation en Bilan de Masse

nii

jjiii

MtntM

MkMkdt

dM

Équation en Bilan de Masse Total

nTT

T

MtntM

0dt

dM n

TT MtntM

Équation en Bilan de Masse

nii

nTjiT

i

MtntM

MkMkdt

dM

tk

T

nin

i1n

iTe1

k

)kM(MM

17

Schéma NI Standard

tnkTtk

tk

2T

i

T

0i

T2T

i

T

i0i

1niSS

T

T

T

e1tke1

e

k

)k(

k

)kM(tnk

k

)k(

kMM

TRANSPORT - CINÉTIQUE

Schéma NI Strang-splitting

tnkTtk

tk

2T

i

T

0i

T2T

i

T

i0i

1niSS

T

T

T

e1tke1

e1

k

)k(

2

1

k

)kM(tnk

k

)k(

kMM

Schéma I Standard

n

tktkT

2T

i

T

0i

T2T

i

T

i0i

1niIS

TT e2

11

e1

tk

k

)k(

k

)kM(tnk

k

)k(

kMM

Schéma I Symétrique

T

0n 1 nk t0 i i i i

IR Tii 2 2T TT T

(k ) (kM ) (k )M M nk t 1 e

k kk k

18

Erreurs et Nombres Adimensionnels

TRANSPORT - CINÉTIQUE

Nos 1OSN k t 2 1 2OS TN k t k k t

Schéma Réaction irréversible Réaction réversible

11

k t

SS k t

eE k t

e

11

T

T

k t

SS Tk t

eE k t

e

NI Strang-splitting

11

21

k t

ST k t

e tE k

e

1

121

T

T

k t

ST Tk t

e tE k

e

I Standard 1

1IS k t

k tE

e

1

1 T

TIS k t

k tE

e

I Symétrique 0IRE 0IRE

NI Standard

19

Vérification numérique

Condition imposée à la limite- Flux

- Concentration

Erreurs de Séparation d’Opérateurs- Bilan de Masse

- Profil de Concentration

Vérification Numérique

1 1 1 1 1 1 11 1 1

2

2

2

n n n n n n n n ni i i i i i i i iC C C C C C C C C

U D kt x x

Solutions analytiques

Solution numérique de référence :- transport : différences finies amont implicites- chimie : Crank-Nicholson

Solution numérique par OS :- transport : différences finies amont implicites- chimie : résolution exacte

TRANSPORT - CINÉTIQUE

20

Erreurs sur le bilan de masse en régime permanent

TRANSPORT - CINÉTIQUE

21

Erreurs sur les concentrations en régime permanent

TRANSPORT - CINÉTIQUE

22

A propos du Schéma I Symétrique...

TRANSPORT - CINÉTIQUE

Critère de stabilité : transport convectif pur 1n ni iC C 1

n p n pi iC C

Si alors

Problème si formulation explicite en temps :

11

1 k tn n n k t ni i i i

U t eC C C e C

x k t

1 11 1

1

1

1

k tn n n ni i i i

k tk t n n

i i

U t eC C C C

x k t

U t ee C C

x k t

1

k t

k t

U t k te

x e

x

tU k x

Stabilité Critère de stabilité :

Au 1er ordre

1,11

n m n n nmi i i i

C

C C C CU R

t x

1

1m n nT i i

U tR C C

t x

Transport

1, 1 1n n k tTi i

T

R kCc C e

k R

1,1

1 k tn n n k t ni i i i

U t eCc C C e C

x k t

1

11 1

k tn n k t n

C i i i

U t eR t C C e C

x k t

Chimie

SÉPARATION

des OPÉRATEURS

TRANSPORT -

ÉQUILIBRE INSTANTANÉ

HydroGRID - Rennes - 15 septembre 2003

24

Schéma NI Standard

Pas de contraintes sur la mise en œuvre

Diffusion numériqueimportante

TRANSPORTNon réactif

CHIMIESystème fermé

Pas de tempsn

Pas de tempsn + 1

TRANSPORT - ÉQUILIBRE

n

j jj

Td TdTd

t

L

1

1

n nj d j j

n nj f j j

Td f Td Tf

Tf f Td Tf

1

1

n n nj d j j j

n n nj f j j j

Td f Td Tf Td t

Tf f Td Tf Td t

L

L

Transport Équilibre instantané

Solution

25

1, 1,

n k n

j j kj j

Td TdTd R

t

L

1, 1

1

n k nj jk

j

Tf TfR

t

1, 1 1, 1 1,

1, 1 1, 1, 1,

n k n k n kj d j j

n k n k n kj f j j

Td f Td Tf

Tf f Td Tf

Schéma I Standard

Formulation de l’opérateur de transport implicite en temps nécessaire

Diffusion numériquefaible

TRANSPORTRéactif

Pas de tempsn

Pas de tempsn + 1

CHIMIESystème fermé

TRANSPORT - ÉQUILIBRE

26

A propos du Schéma I Standard…Avec une formulation explicite en temps :

Schéma NI Standard Schéma I Standard

1, 1, 1,n k n n n n kj j j j jTd Td Tf Td t Tf L

1, 1,

n k n

j j n kj j

Td TdTd R

t

L

1, 1

1

n k nj jk

j

Tf TfR

t

nj j n

j

Td TdTd

t

L

Transport

1, 1 1, 1, 1,

1, 1 1, 1, 1,

n k n k n kj d j j

n k n k n kj f j j

Td f Td Tf

Tf f Td Tf

1

1

n nj d j j

n nj f j j

Td f Td Tf

Tf f Td Tf

Équilibre instantané

TRANSPORT - ÉQUILIBRE

1, 1

1, 1

n k n n nj d j j j

n k n n nj f j j j

Td f Td Tf Td t

Tf f Td Tf Td t

L

L

1

1

n n n nj d j j j

n n n nj f j j j

Td f Td Tf Td t

Tf f Td Tf Td t

L

L

Solution

27

Conditions du Test

R é a c t i o n C o n s t a n t e d ' é q u i l i b r e p K

OHOHH 2 1 4 , 0

332 HCOHCOH 6 , 3

233 COHHCO 1 0 , 3

23

23 COCa)s(CaCO 8 , 4 2

23

23 COSr)s(SrCO 9 , 0 3

2222ff SrCaSrCa - 0 , 0 2 1

I n j e c t i o n ( D u r é e = 2 t 0 ) M10071 532

,COH ; M10157 52 ,Sr ; 02 Ca

L e s s i v a g e ( D u r é e = 1 0 t 0 ) M10071 532

,COH ; 02 Sr ; M10634 32 ,Ca

d’après Lefèvre et al. 1993

Précipitation de calcite et de strontionite

Échange d’ions calcium - strontium

Longeur 12 cm

Référence : 1 200 maillesTest : 120 mailles

TRANSPORT - ÉQUILIBRE

28

Courbes d’élution du Strontium

Pecomp = 1,6

Peref = 0,16

TRANSPORT - ÉQUILIBRE

CONCLUSION

HydroGRID - Rennes - 15 septembre 2003

30

1, 1,n k n

j j kj j

Td TdTd R

t

L 1, 1

1

n k nj jk

j

Tf TfR

t

1, 1 1, 1 1,

1, 1 1, 1, 1,

n k n k n kj d j j

n k n k n kj f j j

Td f Td Tf

Tf f Td Tf

n n + 1

1,

,n k n

kCC T

C Cf C T

t

R

1,

1

n k n

kTCT

C CC

t

L R 1,n k n

k kCC T

C C

t

R R

1,n k n

k kTT C

C C

t

R R

TRANSPORTRéactif

CHIMIESystème fermé

Schéma I Standard

TRANSPORTRéactif

CHIMIESystème ouvert

Schéma I Symétrique

Chimieà l’équilibreinstantané

Cinétiquechimique

CONCLUSION

31CONCLUSION

Transport Réactif en Milieux Poreux par Séparation d’Opérateurs

• Schéma I Symétrique : Transport - Cinétique

• Schéma I Standard : Transport - Équilibre

• Erreurs d’OS faibles

• Code évolutif

• Utilisation de méthodes spécifiques pour chaque opérateur– Gain en précision, robustesse et rapidité

32

Schéma I Standard et EFDM

Pecomp = 1,6

Peref = 0,16

CONCLUSION