MODÉLISATION ET ANALYSE MATHÉMATIQUE EN FILMS MINCES :

  • Published on
    05-Jan-2017

  • View
    219

  • Download
    6

Embed Size (px)

Transcript

  • MODLISATION ET ANALYSEMATHMATIQUE EN FILMS MINCES :FLUIDES VISCO-LASTIQUES, RUGOSITS,

    SURFACES LIBRES, MLANGESET FLUIDES COMPRESSIBLES

    Laurent CHUPIN

    Universit de LyonINSA de Lyon - Ple de Mathmatiques

    CNRS, UMR5208, Institut Camille Jordan21 av. Jean Capelle, 69621 Villeurbanne Cedex, France

    mail : laurent.chupin@insa-lyon.frweb : http://math.univ-lyon1.fr/~chupin

    Septembre 2009

    laurent.chupin@insa-lyon.frhttp://math.univ-lyon1.fr/~chupin

  • Table des matires 1

    Table des matires

    Introduction 3A - Hydrodynamique : les quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4B - Fluides non newtoniens : du microscopique au macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . 6C - Fluides non homognes : le modle de Cahn-Hilliard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9D - Gomtrie de lcoulement : quest ce quun domaine mince ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1 Fluides visco-lastiques et films minces 151.1 quations en film mince : le passage formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Existence dune solution au problme limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Applications numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Justification mathmatique du modle Reynolds-Oldroyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2 Modles micro-macros, quation de Fokker-Planck et films minces 232.1 quation de Fokker-Planck en domaine born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Le modle FENE en film mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Rsultats numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3 Phnomnes de rugosit dans des films minces 333.1 Les rugosits vues comme une perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Effet des rugosits lordre principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    4 Influence de la topographie sur les modles de Saint Venant 414.1 quations de Saint Venant sur un fond plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 quations de Navier-Stokes dans des coordonnes adaptes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 quations de Saint Venant sur un fond non plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    5 Singularits dans des coulements minces de fluides de type Bingham 475.1 quation de Reynolds gnralise au voisinage dune singularit . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Expression de la pression au voisinage dune singularit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    6 coulements diphasiques et films minces 536.1 Modlisation dun coulement diphasique en lubrification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Existence dune solution au problme limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3 Applications numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    7 quation de Reynolds compressible 597.1 quations de Navier-Stokes compressible viscosits variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2 Solution stationnaire aux quations de Navier-Stokes compressible . . . . . . . . . . . . . . . 617.3 Justification de lquation de Reynolds compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

  • 2 Table des matires

    Conclusion et perspectives 65

    Rfrences bibliographiques 69A - Travaux de lauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69B - Autres rfrences cites dans ce mmoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

  • Introduction 3

    Introduction

    Ce mmoire est la synthse de mes travaux raliss depuis la fin de ma thse en dcembre 2003. Il traite dela mcanique des fluides du point de vue mathmatique, et plus particulirement du point de vue des quationsaux drives partielles. Plusieurs aspects y sont dcrits : celui du comportement des fluides dans des domainesde faible paisseur ainsi que celui du comportement de fluides dits complexes. Plus prcisment, ce mmoireest compos des chapitres suivants :

    - Introduction -Dans cette premire partie, je prsente de manire assez gnrale les diverses notions utilises par la suite(quations usuelles, notations, principaux rsultats connus...). Cette introduction est commune tous les cha-pitres et permet davoir un aperu rapide des domaines qui sont dvelopps par la suite.Dans un deuxime temps, je prsente les divers travaux que jai effectus ces cinq dernires annes. Cestravaux sont classs par thmes :

    Chapitre 1 - Fluides visco-lastiques et films minces -Ce chapitre regroupe plusieurs de mes travaux effectus en collaboration avec Guy Bayada, Brnice Grec etSbastien Martin. Il traite de faon gnrale du comportement des fluides visco-lastiques de type Oldroyddans le cadre de la lubrification. On y dmontre en particulier des rsultats thoriques sur le comportementde ces fluides lorsque lpaisseur du domaine devient petite, ainsi que des rsultats numriques permettant devalider le modle limite.

    Chapitre 2 - Modles micro-macros, quation de Fokker-Planck et films minces -Pour des fluides non newtoniens dont la rhologie est plus complexe que celle dcrite par le modle dOldroyd,la question du comportement des coulements dans des domaines de faible paisseur a t jusqu prsent trspeu tudie. Dans les articles correspondant ce chapitre, je me suis essentiellement intress au devenir detelles rhologies (comme celle du modle FENE) dans des domaines minces. Cette tude ma naturellementconduit proposer de nouveaux rsultats au sujet de lquation de Fokker-Planck stationnaire.

    Chapitre 3 - Phnomnes de rugosit dans des films minces -Contrairement au chapitre prcdent, lhistorique sur les problmes de rugosit dans des domaines mincesest assez riche. Les travaux prsents ici, rsultats de collaborations avec Didier Bresch, Catherine Choquet,Thierry Colin, Marguerite Gisclon et Sbastien Martin, compltent des travaux dj connus. Plus exactement,ils sintressent au cas de domaines minces (dpaisseur ) et rugueux (de taille de rugosits 2) et montrentque selon le point de vue adopt on peut voir ces rugosits comme une perturbation ou bien comme un effet lordre principal.

    Chapitre 4 - Influence de la topographie sur les modles de Saint Venant -En collaboration avec Marc Boutounet, Pascal Noble et Jean-Paul Vila nous avons obtenu de faon rigoureusedes quations de Saint Venant dans des domaines fond non plat. Lapproche suit principalement les idesdveloppes par Jean-Paul Vila lors de la mise en place dun schma itratif pour obtenir des dveloppements tout ordre au voisinage dun coulement uniforme sur un plan inclin. Nous indiquerons dans ce chapitre lesingrdients essentiels la construction de ce schma et verrons comment on a su adapter la mthode au casdun fond non plat. Les modles obtenus permettent de facilement voir linfluence de la topographie sur lesmodles classiques, en particulier si la courbure du fond est petite ou ne lest pas.

  • 4 Introduction

    Chapitre 5 - Singularits dans les coulements minces de fluides de type Bingham -Ce chapitre, rsum dun article ralis avec Liviu Iulian Palade, est consacr des coulements non newto-niens entre deux plaques parallles proches. Nous nous sommes intresss des configurations o le fluiderencontre une singularit. Selon le modle de fluide non newtonien (par exemple fluide quasi-newtonien, oufluide seuil de type Bingham) on dcrit le profil de pression au voisinage de la singularit en fonction delangle de cette singularit.

    Chapitre 6 - coulement diphasiques et films minces -Dans le cadre de la thse de Brnice Grec que jai co-encadr avec Guy Bayada, nous avons propos ettudi un modle de mlange de deux fluides dans un domaine de faible paisseur. En se basant sur lesmodles dinterface diffuse de type Cahn-Hilliard, nous avons montr que, sous des hypothses raisonnables,le modle propos tait bien pos. Une tude numrique de ce modle a aussi t mene, illustrant ainsi lephnomne de cavitation.

    Chapitre 7 - Lquation de Reynolds compressible -Lquation de Reynolds pour des fluides incompressibles est une quation obtenue rigoureusement partir desquations de Navier-Stokes lorsque lpaisseur du domaine tend vers 0. Ce rsultat thorique est justifi depuisplus de vingt ans. Pour ce qui est du cas des fluides compressibles, seuls quelques travaux montrent que pourdes gaz parfaits la justification des quations de Reynolds compressible est encore valide. Nous avons, avecRmy Sart, montr que pour des gaz non ncessairement parfaits, cette approximation tait aussi justifie. Cetravail a aussi permis dobtenir de nouveaux rsultats concernant lexistence de solutions stationnaires pourles quations de Navier-Stokes compressible.

    A - Hydrodynamique : les quations de Navier-Stokes

    Les quations de bilan dcrivant le mouvement dun fluide dans un domaine de lespace forment un ensemblede trois lois de conservation. Dans tous les travaux prsents dans ce mmoire, les coulements sont suppossisothermes et sans change de chaleur avec le milieu extrieur. Ainsi les lois que nous considreront sontuniquement celle de conservation de la masse et celle de conservation de la quantit de mouvement.

    Conservation de la masse - Si (t,x) dsigne la densit (ou masse volumique) dun fluide et u(t,x) savitesse linstant t R+ et en position spatiale1 x alors la loi de conservation de la masse se traduit parla relation suivante (voir par exemple [BF06]) :

    t+ div(u) = 0. (1)

    Conservation de la quantit de mouvement - Cette loi de conservation est directement issue du prin-cipe fondamental de la mcanique de Newton. Elle scrit (l aussi on pourra consulter [BF06])

    t(u) + div(u u) div() = f , (2)

    o est le tenseur des contraintes de lcoulement et o f reprsente lensemble des forces extrieures subiespar lcoulement. Pour fermer un tel systme, il faut par consquent se donner le tenseur des contraintes et lesforces extrieures. Ces dernires dpendent du contexte prcis que lon tudie et sont gnralement dfiniesde manire explicite. Ainsi lorsque lon veut prendre en compte des phnomnes de gravit on utilisera uneforce extrieure de la forme f = (0,g) (voir par exemple la rfrence [8] ou le chapitre 4) et lorsque desforces de frottement ne sont pas ngligeables, on y ajoutera un terme du type f = r0|u|u (voir par exemplela rfrence [20] ou le chapitre 7 de ce mmoire). Quant au tenseur des contraintes , il est directement li

    1Dans de nombreux chapitres de ce mmoire, par soucis de simplicit, les rsultats seront noncs dans le cas de la dimension 2despace. Lensemble est donc ici un ouvert de R2. Ces mmes rsultats sont gnralement valides en dimension 3. Ils sont dailleursnoncs et dmontrs dans les articles cits dans un cadre gnral.

  • A - Hydrodynamique : les quations de Navier-Stokes 5

    la nature du fluide. Afin de faire apparatre la contribution de la contrainte au repos ainsi que les contributionsvisqueuses, on crit gnralement sous la forme

    = ( div u p)Id + 2sD(u) + . (3)

    Plus prcisment, cette relation fait intervenir la pression hydrostatique p, et les coefficients de viscosit et s (coefficients dits de Lam) qui peuvent ventuellement dpendre de la densit . Le terme additif estappel lextra-contrainte.

    Cas des fluides visqueux : les quations de Navier-Stokes - A partir de ces quations gnrales ilexiste une hirarchie de modles allant du plus simple (le terme simple signifie ici que le modle comportepeu de terme) au plus complexe. Ainsi, parle-t-on de fluide parfait lorsque la contrainte vrifie = p Id,et de fluide newtonien (ou fluide visqueux) lorsque lextra-contrainte est nulle. Pour les fluides newtoniens,les quations du mouvement (2) scrivent

    {t(u) + div(u u) + p div(2sD(u)) ( div u) = f ,t+ div(u) = 0.

    (4)

    Ce systme est ferm ds quon se donne, outre les fonctions (souvent constantes) s et , une loi dtat,cest--dire ds que lon connat une relation entre pression p et densit . Par exemple pour modliser un gazon utilise frquemment une relation du type p = a , a et tant deux constantes. Le systme (4) est ainsi unsystme dquations aux drives partielles ayant pour inconnues u et .

    Les quations de Navier-Stokes compressible (4) sont au coeur des travaux raliss avec Rmy Sart, voirla rfrence [20] ou le chapitre 7 de ce mmoire. On y montre en particulier que, sous des hypothses surles coefficients de Lam, il existe une unique solution stationnaire au systme (4).

    Dans le cas o le fluide newtonien est incompressible (lorsquil ny a pas de dpendance entre la densit etla pression p) lquation de conservation de la masse (1) est quivalente la condition dite dincompressibilitdiv u = 0. Dans ce cadre les quations rgissant le mouvement scrivent

    { (tu + u u) + p su = f ,div u = 0.

    (5)

    Contrairement au cas compressible, la relation dtat (la densit est ici une constante donne) ne donne pasdinformation sur la pression mais celle-ci est quand mme parfaitement dtermine par les quations ( uneconstante additive prs). Dun point de vue mathmatique, la pression p est un multiplicateur de Lagrangeassoci la contrainte dincompressibilit div u = 0.

    Fluides quasi-newtoniens et fluides seuil - Avant de dcrire des fluides non newtoniens plus gnrauxnotons quil existe une classe de fluides intermdiaires appele fluides quasi-newtoniens. Ce sont des fluidespour lesquels la relation entre la contrainte et la dformation D(u) est explicite mais nest plus simplementlinaire comme cest le cas pour les fluides newtoniens. Pour des fluides incompressibles, la contrainte estalors de la forme = p Id + 2f()D(u) o est le second invariant du tenseur des dformations D(u),cest--dire tel que 2 = Tr(D(u)2). Selon la fonction f , on obtient les modles suivants :

    Fluide newtonien . . . . . . . . f() = s,

    Loi de puissance . . . . . . . . f() = sn1,

    Loi de Carreau-Yasuda . . . . f() = + (s )(1 + ()a)(n1)/a,

    Fluide de Bingham . . . . . . . f() =

    s +0

    si 6= 0,

    comportement solide si = 0.

  • 6 Introduction

    Ainsi les quations rgissant le mouvement dun fluide incompressible quasi-newtonien sont

    { (tu + u u) + p div(2f()D(u)) = f ,div u = 0.

    (6)

    Les rsultats prsents au chapitre 5 (qui sont un rsum de larticle [19]) concernent ces fluides. Lors-quun tel fluide est confin entre deux plaques parallles et proches, on a dcrit le comportement de lapression au voisinage dune singularit du domaine.

    B - Fluides non newtoniens : du microscopique au macroscopique

    Le comportement mcanique de nombreux fluides est bien dcrit par la loi constitutive dun fluide incom-pressible newtonien, et donc par les quations de Navier-Stokes (5) prsentes ci-dessus. Nanmoins dautresfluides ont des comportements qui ne sont pas pris en compte par de telles lois, et ce sont souvent ces fluidesqui entrent en jeux dans lindustrie, la biologie... Parmi ces fluides non newtoniens, on peut citer les solutionsde polymres dilus comme les peintures, les dentifrices ou les argiles. Le parti pris ici est de prsenter unmodle dit micro-macro (modle FENE) qui, bien que plus complexe que certains modles visco-lastiques, lavantage dune part de montrer comment gnraliser naturellement des modles p...