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12ème
congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc)
MODELISATION ET COMMANDE
D’UN BRAS MANIPULATEUR
ELHAIEK D., EL BAKKALI L., EL BAHAOUI J.
Equipe de Modélisation et Simulation des Systèmes
Mécaniques M2SM, Université Abdelmalek
Essaâdi,Faculté des Sciences, BP.2121,M‟hannech, 93002,
Tétouan,Maroc
Résumé : Pour mieux connaître l‟évolution spatiale de
notre système(figure1). On procède en deux étapes, la
première est sa modélisation géométrique, cinématique et
dynamique et la deuxième est l‟utilisation d‟une technique
de contrôle PID afin d‟atteindre une position désirée avec
plus de précision. La technique de contrôle PID est basée
sur la méthode de Runge Kutta d‟ordre 2 sous Matlab, la
solution permet de trouver l‟état actuel du système. A partir
du contrôle PID, nous calculons la commande appropriée à
appliquer aux actionneurs de façon à réduire l‟écart entre
l‟état actuel du système et la consigne.
Abstract : In this paper, we present a Modeling and
control of the manipulator arm in order to better understand
the spatial variation of our system is that a manipulator arm
with two degrees of freedom coupled by a spring to static
balance, it is necessary to model the system, what‟s mean
that the determination of models: geometric, kinematic and
dynamic.So that the system can achieve a desired position
with more accurately we use a technique of PID control
based on the Runge Kutta 2 and that is manupuled with
code Matlab simulation to solve the equations of motion of
the system, this search of the solution allows us to find the
current state of the system, and from the PID we can
calculate the appropriate command to be applied to the
actuators to reduce the error between the current state and
the set point of the system.
Mots-clés : Bras manipulateur; Modèle dynamique; Modèle
cinématique ; Contrôle PID.
1. Introduction
La plupart des robots manipulateurs sont pilotés par des
actionneurs électriques, hydrauliques, ou pneumatiques, qui
appliquent des couples (ou forces, dans le cas d'actionneurs
linéaires) au niveau des articulations du robot. La
dynamique d'un robot manipulateur décrit son déplacement
en réponse aux forces d'actionneur [1].
Le problème de contrôle de position pour les robots
manipulateurs consiste à choisir les couples appropriés pour
que le manipulateur puisse suivre la trajectoire désirée [1].
Au cours des dernières années, beaucoup d'attention a été
accordée à l'utilisation de la régulation PID pour les robots
manipulateurs [5].Dans ce sens nous présentons dans ce
présent travail une moélisation et une commande en se
basant sur le contrôle PID d‟un bras manipulateur. 2. Modelisation du système
Soit un système de deux bras manipulateurs RR, de
longueurs l1 et l2et de masses m1 et m2 [4].
Figure 1. Schéma du bras manipulateur à 2ddl
Le vecteur position q est défini par :
[ ]
2.1. Modèles géométrique direct et indirect:
D‟après la figure 1, on peut écrire le système suivant :
( ) (
)
Ce qui nous donne:
(
)
(
)
2.2. Modèle cinématique direct et inverse:
Le modèle cinématique direct s‟écrit:
[ ]
[
] [
]
Le modèle cinématique inverse est :
[
]
[
] [
]
2.3. Modèle dynamique
En utilisant le formalisme de Lagrange, le modèle
dynamique s‟écrit :
Avec:
: Matrice d‟inertie ou de masse.
: Matrice des forces de Coriolis et centrifuges.
: Matrice des couples/forces de gravité et des forces
extérieurs.
: Vecteur des couples des actionneurs.
12ème
congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc)
3. Controle pid du systeme
Pour résoudre ces équations du mouvement pour que le
système puisse atteindre une position désirée avec plus de
précision nous avons utilisé une technique de contrôle PID
associée à la méthode de RUNGE KUTTA d‟ordre 2,ce qui
nous permet d‟obtenir l‟état actuel du système.
La loi de commande du contrôleur PID est donnée par :
∫
Avec:
: Le terme proportionnel qui sert à réduire le temps
de monté
: Le terme dérivatif qui sert à supprimer l‟erreur
statique
: Le terme intégral qui sert à réduire le dépassement,
les oscillations et le temps de stabilisation
: L‟erreur entre l‟état du système et la consigne
Dans notre cas on a :
( )
∫
( )
∫
Les équations du système sont :
[
]
[ ]
[ ( ) ∫
( ) ∫
]
Avec la position finale est :
[
] [
]
En général, l‟objectif de la commande PID est d'amener la
sortie du processus aussi proche que possible de la valeur de
consigne dans un intervalle de temps raisonnable, ce qui
implique une erreur e(t) (figure 2) proche du zéro d'une
manière fiable et rapide.
Les résultats obtenus concernant les signaux d‟erreur sont
présentés ci-dessus :
(a)
(b)
Figure 2. Signal d‟erreur pour q1.(a) et q2 .(b)
La commande appropriée à appliquer aux actionneurs de
façon à réduire l‟écart entre la valeur réelle de la grandeur
et la valeur de consigne est illustrée dans la figure(3) :
(a)
(b)
Figure 3. résultat du couple de la liaison 1.(a) et 2.(b)
La simulation, montre que l‟utilisation de l‟équilibrage
statique permet d‟obtenir des réductions intéressantes des
couples appliqués par les actionneurs [4].
Ainsi qu‟il y a un léger dépassement ou un pic qui se
stabilise rapidement dans un temps raisonnable. Donc la
performance globale est acceptable, du point de vue couples
nécessaires pour atteindre la position désirée.
4. Conclusion
Dans ce travail, nous avons déterminé les couples à
appliquer aux actionneurs. En effet, pour atteindre cet
objectif, nous avons procédé à la résolution des équations
du système en appliquant la méthode de Runge Kutta et le
contrôle PID. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
theta-1 error
thet
a1 e
rror (
rad)
time (sec)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4
-3
-2
-1
0
1
2
theta-2 error
thet
a2 e
rror (
rad)
time (sec)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5
0
5
10
torque of theta 1
torq
ue 1
time (sec)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
torque of theta 2
torq
ue 2
time (sec)
12ème
congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc)
References
[1] Murray, R. M., Li, Z., Sastry, S. S., &Sastry, S. S.
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[4] Gosselin, C., Wang, J., „On the design of statically
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[5] StigMoberg, Jonas Öhr, and SvanteGunnarsson, “A
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IFAC World Congress, pages 1206_1211, Seoul, Korea,
July 2008. URL: http://www.robustcontrol.org.
[6] Manjeet And PoojaKhatri, “TRAJECTORY CONTROL
OF TWO LINK ROBOTIC MANIPULATOR USING
PID “ , Golden Research Thoughts ,Nov-2013
[7] Craig, J. J. (2005). Introduction to robotics: mechanics
and control .Upper Saddle River, NJ, USA::
Pearson/Prentice Hall.
ANNEXE :
(
)
(
)
(
)
( √
)
=
= 0