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Page 1: MODELISATION ET COMMANDE D’UN BRAS …smsm.fsac.ac.ma/congres/12congres/VI/t2/0228.pdf · 2015-04-03 · linéaires) au niveau des ... En utilisant le formalisme de Lagrange, le

12ème

congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc)

MODELISATION ET COMMANDE

D’UN BRAS MANIPULATEUR

ELHAIEK D., EL BAKKALI L., EL BAHAOUI J.

Equipe de Modélisation et Simulation des Systèmes

Mécaniques M2SM, Université Abdelmalek

Essaâdi,Faculté des Sciences, BP.2121,M‟hannech, 93002,

Tétouan,Maroc

[email protected]

[email protected]

Résumé : Pour mieux connaître l‟évolution spatiale de

notre système(figure1). On procède en deux étapes, la

première est sa modélisation géométrique, cinématique et

dynamique et la deuxième est l‟utilisation d‟une technique

de contrôle PID afin d‟atteindre une position désirée avec

plus de précision. La technique de contrôle PID est basée

sur la méthode de Runge Kutta d‟ordre 2 sous Matlab, la

solution permet de trouver l‟état actuel du système. A partir

du contrôle PID, nous calculons la commande appropriée à

appliquer aux actionneurs de façon à réduire l‟écart entre

l‟état actuel du système et la consigne.

Abstract : In this paper, we present a Modeling and

control of the manipulator arm in order to better understand

the spatial variation of our system is that a manipulator arm

with two degrees of freedom coupled by a spring to static

balance, it is necessary to model the system, what‟s mean

that the determination of models: geometric, kinematic and

dynamic.So that the system can achieve a desired position

with more accurately we use a technique of PID control

based on the Runge Kutta 2 and that is manupuled with

code Matlab simulation to solve the equations of motion of

the system, this search of the solution allows us to find the

current state of the system, and from the PID we can

calculate the appropriate command to be applied to the

actuators to reduce the error between the current state and

the set point of the system.

Mots-clés : Bras manipulateur; Modèle dynamique; Modèle

cinématique ; Contrôle PID.

1. Introduction

La plupart des robots manipulateurs sont pilotés par des

actionneurs électriques, hydrauliques, ou pneumatiques, qui

appliquent des couples (ou forces, dans le cas d'actionneurs

linéaires) au niveau des articulations du robot. La

dynamique d'un robot manipulateur décrit son déplacement

en réponse aux forces d'actionneur [1].

Le problème de contrôle de position pour les robots

manipulateurs consiste à choisir les couples appropriés pour

que le manipulateur puisse suivre la trajectoire désirée [1].

Au cours des dernières années, beaucoup d'attention a été

accordée à l'utilisation de la régulation PID pour les robots

manipulateurs [5].Dans ce sens nous présentons dans ce

présent travail une moélisation et une commande en se

basant sur le contrôle PID d‟un bras manipulateur. 2. Modelisation du système

Soit un système de deux bras manipulateurs RR, de

longueurs l1 et l2et de masses m1 et m2 [4].

Figure 1. Schéma du bras manipulateur à 2ddl

Le vecteur position q est défini par :

[ ]

2.1. Modèles géométrique direct et indirect:

D‟après la figure 1, on peut écrire le système suivant :

( ) (

)

Ce qui nous donne:

(

)

(

)

2.2. Modèle cinématique direct et inverse:

Le modèle cinématique direct s‟écrit:

[ ]

[

] [

]

Le modèle cinématique inverse est :

[

]

[

] [

]

2.3. Modèle dynamique

En utilisant le formalisme de Lagrange, le modèle

dynamique s‟écrit :

Avec:

: Matrice d‟inertie ou de masse.

: Matrice des forces de Coriolis et centrifuges.

: Matrice des couples/forces de gravité et des forces

extérieurs.

: Vecteur des couples des actionneurs.

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12ème

congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc)

3. Controle pid du systeme

Pour résoudre ces équations du mouvement pour que le

système puisse atteindre une position désirée avec plus de

précision nous avons utilisé une technique de contrôle PID

associée à la méthode de RUNGE KUTTA d‟ordre 2,ce qui

nous permet d‟obtenir l‟état actuel du système.

La loi de commande du contrôleur PID est donnée par :

Avec:

: Le terme proportionnel qui sert à réduire le temps

de monté

: Le terme dérivatif qui sert à supprimer l‟erreur

statique

: Le terme intégral qui sert à réduire le dépassement,

les oscillations et le temps de stabilisation

: L‟erreur entre l‟état du système et la consigne

Dans notre cas on a :

( )

( )

Les équations du système sont :

[

]

[ ]

[ ( ) ∫

( ) ∫

]

Avec la position finale est :

[

] [

]

En général, l‟objectif de la commande PID est d'amener la

sortie du processus aussi proche que possible de la valeur de

consigne dans un intervalle de temps raisonnable, ce qui

implique une erreur e(t) (figure 2) proche du zéro d'une

manière fiable et rapide.

Les résultats obtenus concernant les signaux d‟erreur sont

présentés ci-dessus :

(a)

(b)

Figure 2. Signal d‟erreur pour q1.(a) et q2 .(b)

La commande appropriée à appliquer aux actionneurs de

façon à réduire l‟écart entre la valeur réelle de la grandeur

et la valeur de consigne est illustrée dans la figure(3) :

(a)

(b)

Figure 3. résultat du couple de la liaison 1.(a) et 2.(b)

La simulation, montre que l‟utilisation de l‟équilibrage

statique permet d‟obtenir des réductions intéressantes des

couples appliqués par les actionneurs [4].

Ainsi qu‟il y a un léger dépassement ou un pic qui se

stabilise rapidement dans un temps raisonnable. Donc la

performance globale est acceptable, du point de vue couples

nécessaires pour atteindre la position désirée.

4. Conclusion

Dans ce travail, nous avons déterminé les couples à

appliquer aux actionneurs. En effet, pour atteindre cet

objectif, nous avons procédé à la résolution des équations

du système en appliquant la méthode de Runge Kutta et le

contrôle PID. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

theta-1 error

thet

a1 e

rror (

rad)

time (sec)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4

-3

-2

-1

0

1

2

theta-2 error

thet

a2 e

rror (

rad)

time (sec)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

0

5

10

torque of theta 1

torq

ue 1

time (sec)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

torque of theta 2

torq

ue 2

time (sec)

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12ème

congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc)

References

[1] Murray, R. M., Li, Z., Sastry, S. S., &Sastry, S. S.

(1994). “A mathematical introduction to robotic

manipulation”.CRC press.

[2] PatrikAxelsson, “ Simulation Model of a 2 Degrees of

Freedom Industrial Manipulator “ , 17th June 2011.

[3] Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar,

“ Robot Modeling and Control” . John Wiley & Sons, 2005.

[4] Gosselin, C., Wang, J., „On the design of statically

balanced motion bases for flight simulators‟, AIAA

Modeling and Simulation Technologies Conference and

Exhibit, AAIA-98-4364, Boston, MA, August 10-12, 1998.

[5] StigMoberg, Jonas Öhr, and SvanteGunnarsson, “A

benchmark problem for robust control of a multivariable

nonlinear flexible manipulator”. In Proceedings of 17th

IFAC World Congress, pages 1206_1211, Seoul, Korea,

July 2008. URL: http://www.robustcontrol.org.

[6] Manjeet And PoojaKhatri, “TRAJECTORY CONTROL

OF TWO LINK ROBOTIC MANIPULATOR USING

PID “ , Golden Research Thoughts ,Nov-2013

[7] Craig, J. J. (2005). Introduction to robotics: mechanics

and control .Upper Saddle River, NJ, USA::

Pearson/Prentice Hall.

ANNEXE :

(

)

(

)

(

)

( √

)

=

= 0