Modélisation MATLAB

A partir des équations de la mécanique obtenues par la méthode de Lagrange, un modèle Matlab 2D est réalisé afin d’améliorer la compréhension du système, mais aussi d’analyser l’amortissement.

Le Modèle 2D

Le modèle 2D qui a été utilisé est présenté ci-dessous: Il est constitué de deux barres articulées ainsi que des liaisons pivot, qui représentent les articulations des bras de la steadicam :

Ensuite, il faut écrire les équations de la dynamique grâce à la méthode de Lagrange. Cette méthode est la suivante :

        1)  Calculer les différents torseurs cinématiques des 3 solides Barre1, Barre2 et Masse3 en leur centre d'inertie

        2) Calculer l'énergie cinétique du système   à l'aide du théorème de König :

        3) Des deux étapes précédentes, en déduire la puissance virtuelle des accélérations :

        4) Calculer la puissance virtuelle des efforts extérieurs:

       5) Sachant que ces deux puissances virtuelles sont égales et que le système est holonôme, il est possible

d'effectuer une identification terme à terme. L'équation A*=P* permet de mettre le système d'équations sous forme matricielle. 

        Le système obtenu est :

        avec 

        et

        sachant que

Puisque ÿ est une donnée du problème (dérivée seconde par rapport au temps de l'excitation), le problème peut-être reformulé en passant les coefficients qui le multiplient dans le second membre, comme ceci :

Le système est maintenant prêt à être résolu.

Création du programme Matlab

Pour écrire le programme Matlab, il est nécessaire d’adapter le système d’équations différentielles obtenu au langage. Pour cela, il faut définir une fonction permettant d'obtenir le vecteur dq , dérivée de q par rapport à t, tel que :

Ainsi, le système s'écrit :

Puis, dans le script principal est appelé la fonction « ode45 » permettant de résoudre des systèmes d’équations différentielles grâce à la méthode Runge-Kutta. Voici donc un aperçu du programme :

Analyse des premiers résultats

Avant de tracer les différentes courbes obtenues, il est important de noter que :

-          les deux moments M1 et M2 sont, pour l’instant, considérés comme linéaires par rapport aux angles θ1 et θ2.

-          l’excitation en entrée, qui représente la variation de hauteur du corps pendant un mouvement de marche, est définit tel que : 

Par la suite, l'amplitude et la fréquence de cette excitation seront amenées à changer.

Intéressons nous, maintenant, aux réponses obtenues grâce au premier modèle, représentées

par les courbes ci-dessous :

Naturellement, l’excitation en entrée est tracée telle quelle sur le second graphe (courbe en bleue).  La courbe Yc, qui représente le déplacement (suivant l’axe y) de la caméra par rapport au corps, est en parfaite opposition de phase par rapport à l’entrée. C’est justement ce qui permet d’amortir et d’atténuer le mouvement.

En effet, la variation de hauteur de la caméra par rapport au sol, n’est rien d’autre que la somme de la courbe Ycorps avec Yc. Elle est représentée en rouge et a une amplitude bien inférieure aux deux autres : de l’ordre de 2,5cm en régime stationnaire. Avec cette configuration, l'amortissement du mouvement de la caméra par rapport à son excitation d'entrée est donc égal à:

Par ailleurs, il est important de remarquer que l’amortissement dépend fortement de la valeur choisie pour les moments. Par exemple, si l’on augmente considérablement cette valeur, il en résultera une variation d’angle très faible, soit un mouvement de la caméra par rapport au corps presque nul. Autrement dit, les courbes Ycorps et Ycam seraient pratiquement confondues et le système n’amortirait en aucun cas l’excitation.

Prise en compte de la non-linéarité du moment

Afin de se rapprocher au maximum de la réalité avec la simulation, il a été décidé de prendre en compte la non-linéarité des moments. Pour cela, un modèle mathématique nous a été donné, dépendant de différents paramètres :

-          La raideur du ressort K

-          La longueur des bras du parallélogramme L

-          La différence de hauteur des points d’accroche du ressort Δr

-          La longueur à vide du ressort l0

-          L’angle entre le bras et l’horizontale θ

L’équation reliant ces paramètres au moment est définit par l’expression suivante :

Avec 

La réalisation du programme Matlab se faisant en parallèle avec la simulation sous Adams View, il faut essayer de garder une cohérence entre les modèles. C’est pour cela que certains paramètres sont fixés constant : L=17,8cm et Δr=4,347cm (valeurs mesurées sur le modèle réel). Il va donc falloir jouer sur les valeurs de la raideur K et de la longueur à vide l0 afin de régler soitles moments de rappel, soit l’amortissement.

Il est intéressant de tracer la courbe représentant le moment en fonction de l’angle θ.

Afin que le système atténue au mieux le déplacement, il faut se situer sur la partie « linéaire » de la courbe. Mais pas n’importe laquelle ! En effet, pour un même moment, il y a deux solutions d’angle possible. Cependant la partie de gauche, pour θ<-40°, est instable. Mathématiquement, cette pente « dit » que plus l’angle diminue, plus le système est à un niveau d’énergie bas. Ainsi l’angle va tendre vers moins l’infini et faire diverger le modèle.

Par conséquent, pour que le programme donne des résultats cohérents, il faut que l’angle θ reste dans l’intervalle [-20° ; 50°]. Par la suite, certains problèmes spécifiquement dus à cette divergence seront rencontrés

Obtention de la raideur K

Pour trouver la valeur de la raideur K permettant d’amortir au mieux le système, un programme Matlab spécifique a été créé. Une boucle « for » a été mise en place, pour faire varier cette valeur et obtenir celle optimale.

L’idée de ce programme, est de déterminer l’amplitude de la variation de hauteur de la caméra par rapport au sol pour chaque raideur.

Dans cette partie de programme, certains points sont importants à remarquer.

-          Tout d’abord, la résolution du problème, se fait maintenant en deux étapes. Une première étape dite d’initialisation. Le logiciel calcul la solution pour un système sans excitation. Ainsi, les valeurs finales de θ1 et θ2 sont en fait les angles autour desquels le système va osciller. Ces valeurs sont ensuite utilisées comme valeur initiale pour le problème général, ce qui permet de réduite le temps du régime transitoire.

-          Deuxièmement, l’amplitude de la variation de hauteur de la caméra par rapport au sol est obtenu grâce à une fonction appelée « peak2peak ». Cette fonction est définie de manière à donner la différence entre le maximum et le minimum de la courbe étudiée.

-          Finalement, à chaque itération, l’amplitude est testée afin de déterminer la plus petite de toutes et de conserver la raideur respective.

Avec les paramètres définis précédemment et une longueur à vide l0 = 0.93 * R., la raideur déterminée a une valeur de : K = 15500 N/m

Voici les courbes obtenues pour ce paramétrage :

L’amplitude de la caméra en sortie est de 8,9mm. Soit un amortissement de :

Variation de la fréquence et choix de la longueur à vide du ressort

Avec une telle atténuation, le choix des paramètres du ressort semble être le bon. Cependant, la fréquence d’utilisation du système n’est pas fixe et constamment égale à 2Hz. Intéressons nous à une excitation de même amplitude que la précédente, mais avec une fréquence de 3Hz. Voici les courbes obtenues :

Clairement, le système diverge. Regardons la vidéo de l’animation afin de mieux comprendre le problème rencontré :

Le bras de la steadicam commence à diverger subitement, dès que l’angle θ1 dépasse une position bien précise. Ceci est dû au problème évoqué précédemment lors de la définition du moment non linéaire. Il va donc falloir ajuster la longueur à vide l0 afin de rester dans l’intervalle défini.

Pour cela, l’idée est de se recentrer autour de l’axe horizontal puisque le bras descend trop bas. Physiquement, il faut que le moment du ressort soit plus important. Il est donc nécessaire de raccourcir la longueur à vide l0. Voici la variation d’angle et de hauteur obtenue pour une valeur de l0 égale à 0.85*R :

Le système atténue presque parfaitement l’excitation d’entrée. En effet, le pourcentage d’amortissement est de 88,1%.

Voici une courte vidéo permettant de se rendre compte du mouvement du steadicam pendant son utilisation :

Cartographie et analyse du pourcentage d’amortissement

Maintenant que les paramètres du modèle semblent être au point pour un amortissement optimisé, il faut analyser les résultats obtenus. Pour cela, une cartographie va être dessinée afin de représenter l’amplitude de sortie en fonction de la fréquence et de l’amplitude d’entrée. Un coefficient « Result » est défini tel que :

Pour une variation de fréquence de 0,5Hz à 3,5Hz et une variation d’amplitude de 1cm à 7cm, voici ce qui est obtenu:

Premièrement, cette cartographie nous montre que le système amplifie l’excitation d’entrée autour de la fréquence 1Hz. Autrement dit, avec les paramètres établis, la fréquence propre du système est à 1Hz. Ceci pose un problème puisque l’intervalle de fréquence de la marche humaine se situe entre 1,2Hz et 3Hz. Il faudrait donc décaler ce mode propre vers une fréquence plus basse, c’est-à-dire réduire la raideur (avec une masse constante). Ce qui entrainerait, par la même occasion, une diminution de la longueur à vide du ressort afin de rester centre autour de l’axe horizontal.

Deuxièmement, il est important de remarquer que plus l’amplitude en entrée est grande, plus le ratio des amplitudes est faible. En réalité, l’amplitude de sortie augmente, mais proportionnellement à l’entrée, elle diminue.

Finalement, ce graphe permet surtout de se rendre compte que la steadicam a une fonction de filtrage des hautes fréquences.

Tout au long de cette étude, un coefficient d’amortissement à été utilisé afin de se rendre compte de l’importance de l’amortissement. Rappelons sa définition :

Il est donc intéressant de tracer son évolution en fonction de la fréquence d’utilisation :

Par définition, ce coefficient est un pourcentage. Ainsi, dès qu’il supérieur à 0%, cela signifie que le système amorti l’excitation. Et plus il est proche de 100%, plus la steadicam est efficace. On remarque un «  pic » négatif, juste avant la fréquence 1Hz, c’est la fréquence propre. Ce qui est parfaitement cohérent avec la cartographie précédemment analysée.

De la même manière, ce graphe montre clairement que le système filtre les vibrations à haute fréquence. Plus précisément, la steadicam est de plus en plus efficace lorsque la fréquence augmente.

Puisque le mouvement en sortie du mécanisme est plus ou moins sinusoïdal, il est intéressant d’effectuer une analyse de Fourier. Pour cela, la fonction FastFourierTransform a été utilisée sous Matlab. Pour une fréquence d’excitation de 4Hz, voici la courbe obtenue :

Encore une fois, le « pic » principal se situe à 1Hz. On remarque un second « pic », bien plus petit que le précédent, à 4Hz. Cela correspond à la fréquence d’excitation. Ce qui montre, de nouveau, que le système amorti bel et bien la vibration d’entrée.