Modélisation micromécanique de l'endommagement du granite de la Vienne

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Modélisation micromécanique de l'endommagementdu granite de la VienneDjimédo Kondo a & Vincent Renaud aa Laboratoire de Mécanique de Lille , U.R.A. CNRS , 1441 Université de Lille I, F-59655,Villeneuve d'AscqPublished online: 04 Oct 2011.

To cite this article: Djimédo Kondo & Vincent Renaud (2002) Modélisation micromécanique de l'endommagement dugranite de la Vienne, Revue Française de Génie Civil, 6:1, 59-74, DOI: 10.1080/12795119.2002.9692357

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RFGC – 6/2002. FORPRO, pages 59 à 74

Modélisation micromécaniquede l’endommagement du granitede la Vienne

Djimédo Kondo — Vincent Renaud

Laboratoire de Mécanique de LilleU.R.A. CNRS, 1441Université de Lille IF-59655 Villeneuve d’Ascq

RÉSUMÉ. Une modélisation micro-macro 3D de l’endommagement par mésofissuration,récemment développée pour l’étude du comportement des roches quasi fragiles est appliquéeau granite de la Vienne. Elle incorpore les mécanismes de croissance progressive demésofissures en mode mixte, identifiés comme source principale de la déformationanélastique de ces roches. Le couplage de la mésofissuration avec des phénomènes defrottement est pris en compte à l’échelle mésoscopique. Nous présentons ici les éléments debase du modèle micromécanique et sa formulation tridimensionnelle en vitesse. Cetteformulation est assez générale pour permettre de rendre compte des aspects fondamentaux ducomportement des roches quasi fragiles sur différents trajets de sollicitations : anisotropieinduite, dilatance, boucles d’hystérésis, déformations permanentes, etc. L’identification desparamètres du modèle dans le cas du granite de la Vienne et des résultats de simulationseffectuées permettent de montrer la pertinence de la démarche.

ABSTRACT. A general 3D micromechanical damage model, recently developed for quasi brittlematerials is applied to a french granite (granite de la Vienne). This model incorporates mixedmode microcracks growth, identified as the main source of the inelastic deformation of suchrocks. Coupling between microcracking and friction phenomena is taken into account at themesoscopic level. Basic elements of the 3-D model and it’s formulation in rate form arepresented. Identification and application of the model on a French granite (granite deVienne) allow to show that it describes well the salient features of the brittle behavior of thisrocks: load-induced anisotropy, positive dilatancy, hysteresis loops under cyclic compression,non negligible permanent strains, etc.

MOTS-CLÉS : endommagement anisotrope, micromécanique, mésofissuration, roches quasifragiles.

KEYWORDS: anisotropic damage, micromechanics, microcracking, quasi brittle rocks.

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1. Introduction à l’endommagement des roches

Les domaines d’application de la géomécanique concernés par les phénomènesd’endommagement sont nombreux : stockage souterrain de déchets, forages pétroliers,structures bétons, etc. Dans le cas du stockage souterrain par exemple, le massif hôtedoit assurer diverses fonctions, dont celles de barrière à la diffusion d’élémentsradioactifs. Son état d’endommagement joue ainsi un rôle crucial dans l’évaluation despropriétés requises. De manière générale, l’endommagement des matériaux correspondà des modifications irréversibles de leur mésostructure, ces modifications induisantune détérioration des propriétés physiques. Dans le cas des géomatériaux cohérents(roches, bétons), il correspond généralement, lorsque les effets de porosité sontnégligés, à une croissance progressive de mésofissures. L’une des conséquencesmarquantes de la présence de ces mésofissures (défauts de type surfacique) est la forteanisotropie induite dans la réponse non linéaire de ces matériaux. Un autre élémentimportant dans le comportement des roches fragiles est le rôle particulièrement marquédu confinement tel que l’on peut le mettre en évidence dans les tests de compressiontriaxiale. Enfin, suivant le trajet de chargement, le comportement unilatéral éventuelrésultant de la fermeture des mésofissures doit être pris en compte dans la descriptiondu processus de déformation.

1.1. Approches phénoménologiques

La modélisation de l’endommagement fragile a fait depuis quelques années l’objetde nombreuses études, ayant notamment abouti à la formulation de modèlesmacroscopiques basés sur l’utilisation de variables internes d’endommagement (cf. parexemple [CHA 93], ou [KRA 97]). Nombre de travaux portent sur l’étude del’anisotropie induite, la modélisation du frottement ou des effets de refermeture demésofissures restant encore sur plusieurs aspects un thème de recherche relativementouvert [CHA 92]. Sur la base des travaux micromécaniques de Kachanov (1993), unedémarche intermédiaire a été récemment proposée par [DRA 94] et développée dans[HAL 97] ou [DRA 97] (voir également [WEL 99]) : tout en conservant le formalismemacroscopique, judicieux pour le calcul de structures, cette modélisation s’appuie surdes considérations d’ordre microscopique et sur la physique des phénomènes mis enjeu, justifiant ainsi certains choix de sa formulation macroscopique. En outre, cestravaux récents et ceux de [CHA 93] apportent de nouvelles solutions sur des aspectsparticuliers, tels que les effets unilatéraux et/ou le frottement. Soulignons enfin que lamodélisation phénoménologique ou macroscopique de l’endommagement constitue undes volets importants du GDR Forpro, dont les travaux sont synthétisés dans cenuméro spécial ; pour plus de détails, on peut se reporter aux travaux des diverseséquipes concernées.

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1.2. Approches micromécaniques

Parallèlement aux approches phénoménologiques, quelques étudesmicromécaniques (passage méso-macro) de l’endommagement fragile ont étépubliées dans la littérature. On peut notamment citer les travaux de [KAC 82], de[AND 83, FAN 88, JU 91, LEG 82, NEM 88], et plus récemment de [GAM 93] etde [BAT 98]. La modélisation que nous présentons ici s’inscrit dans cette démarchemicromécanique et se justifie par plusieurs raisons. La première est que malgré denombreux avantages précités, les modèles macroscopiques d’inspirationmicromécanique méritent d’être éclairés et soutenus sur certains points (par exemplelois d’évolution, analyse fine des effets unilatéraux liés à la refermeture progressivedes mésofissures, phénomènes de frottement et couplage avec l’endommagement,etc.). La seconde justification de l’étude est l’inexistence encore de modèlemicromécanique de mésofissuration suffisamment général pour traiter à la fois lesaspects tridimensionnels de l’endommagement et des trajets de chargementsquelconques. Les modèles micromécaniques précédemment cités sont soit plans, soitlimités à des trajets monotones.

2. Micromécanique de l’endommagement des roches quasi fragiles

2.1. Méthodologie du changement d’échelle dans les milieux multifissurés

La méthodologie générale de changement d’échelle (passage micro-macro) dansles matériaux hétérogènes comporte trois étapes classiques : la représentation de lamicrostructure, la localisation, l’homogénéisation (par exemple [ZAO 98]). Sa miseen œuvre pratique s’appuie généralement sur les travaux d’Eshelby [ESH 57]portant sur la résolution des problèmes d’inclusion puis d’inhomogénéité dans unmilieu infini. L’évaluation du tenseur d’Eshelby découlant de cette démarcheprésente quelques difficultés dans le cas des milieux fragiles fissurés. Ces difficultéssont liées au fait que les fissures sont des ellipsoïdes aplaties (de fraction volumiquequasi nulle) dont une dimension tend vers 0. Aussi utilise-t-on généralement unmoyen plus direct conduisant par exemple à l’évaluation du champ de déformationmacroscopique en réponse à un champ de contrainte homogène appliqué sur le borddu volume élémentaire représentatif VER [HOR 83]. Cette démarche directe estbasée sur la résolution d’un problème de mécanique de la rupture posé sur un VERcontenant un grand nombre de mésofissures (figure 1).

Considérons donc un VER occupant un volume V et constitué d’une matriceélastique linéaire contenant un grand nombre de mésofissures (supposéescirculaires). Ce VER est sollicité à l’aide de conditions du type contraintesuniformes 6 au contour. Les mésofissures peuvent être caractérisées en 2D(figure 1a et 1b) par leur taille initiale, leur orientation définie à l’aide de l’angle I .L’état mécanique de chaque mésofissure est décrit à l’aide du champ de vecteurs

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discontinuités de déplacement D (ouverture et glissement sur l’ensemble desmésofissures). Dans le cas général 3D, la déformation macroscopique E, moyennedes déformations microscopiques dans le VER, est donnée par [HOR 83, MUR 87,NEM 93] :

� � SS

DnnDV

E d2

10³ �� H [1]

0H représente la déformation de la matrice solide supposée élastique linéaire, S estl’ensemble des mésosurfaces de discontinuités présentes dans le VER de volume V.En l’absence de toute irréversibilité, [1] permet de définir une relation )(6 fE .

cx2 )LVVXUH UHFWLOLJQH �'

x1cx1

x2

I

a) b)

cx1

cx2

x1

x3

cx3

x2

\

I

c)

Figure 1. a) VER 2D : matrice contenant des mésofissures ; b) mésofissure 2Disolée dans la matrice ; c) mésofissure dans un milieu tridimensionnela) 2-D RVE: Solid matrix with random microcracks; b) 2-D mesocrack isolated inRVE; c) 3-D mesocrack isolated in RVE

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2.2. Modélisation micromécanique proposée

2.2.1. Contexte de la modélisation micro-macro des roches fragiles mésofissurées

La description que nous venons de faire permet donc le calcul des propriétéshomogénéisées pour une matrice fragile contenant une population figée demésofissures. La problématique de l’endommagement est plutôt celle de l’évolution(dissipative) d’une telle mésostructure avec le chargement. Les mécanismesdissipatifs considérés sont l’endommagement par croissance progressive demésofissures et le frottement sur les lèvres des mésofissures lorsque celles-ci sontfermées. De nombreuses observations en mécanique des roches (en particulier surdes granites) indiquent, dans le cas de sollicitations de compression, unemésofissuration orientée perpendiculairement à la contrainte principale mineure[KRA 83, MYE 95, PAT 76, TAP 76]. L’un des mécanismes physiques reconnuspertinents pour la description d’un tel mode de déformation est celui de mésofissuresfrottantes et se propageant en mode mixte (voir coupe 2D, figure 2). La distributioninitiale en taille et en orientation des mésofissures étant supposée aléatoire,l’ensemble des mésofissures sera représenté par la densité initiale 0Z . De manière

générale, les mésofissures interagissent entre elles et peuvent induire des effets nonlocaux importants [PIJ 88]. Mais du fait de la mécanique particulière des interactionsentre fissures (effet d’amplification et d’écrantage), on peut montrer qu’unehypothèse de non-interaction constitue une bonne approximation pour les propriétésélastiques homogénéisées et ceci sur pour une grande plage de densité [BER 94,KAC 93, REN 96].

HYPOTHESE.– On suppose donc que les mésofissures n’interagissent pas entre elles.

REMARQUE.– Malgré sa pertinence pour les propriétés élastiques effectives, cettehypothèse s’avère très restrictive pour les lois de croissance de mésofissures. Eneffet, les conditions de propagation des fissures dépendent de manière cruciale de laconfiguration spatiale des mésofissures.

L’hypothèse de non-interaction autorise une schématisation du milieuendommagé par une matrice fragile infinie contenant une mésofissure isolée. Cecipermet de simplifier le problème élémentaire posé sur le VER et d’utiliser les outilsclassiques de la mécanique linéaire de la rupture1.

1. Ce traitement n’exclut pas complètement la prise en compte des interactions, par exemplepar une modélisation autocohérente. Mais dans ce cas, contrairement à l’évaluation despropriétés élastiques effectives, la résolution du problème de croissance de mésofissuredevient inextricable.

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2.2.2. Aspect tridimensionnel du modèle

La modélisation micromécanique proposée est une extension tridimensionnelledes travaux 2D de [NEM 88]. Nous en présentons ici les éléments de base. Pour plusde détails, on pourra se référer au travail de thèse de Renaud [REN 98]). Notonsd’abord que l’analyse théorique de la fissuration 3D en mode mixte reste encore unsujet très débattu, les tentatives récentes de certains auteurs [LEB 99] débouchantnéanmoins sur des formulations qui restent à exploiter dans le cadre de la mécaniquede l’endommagement. Dans l’état actuel des connaissances, la modélisationmicromécanique tridimensionnelle de l’endommagement fragile ne peut êtreraisonnablement abordé que dans le contexte de solutions approchées du problèmegénéral de fissuration tridimensionnelle. La « porte de sortie » empruntée iciconsiste à considérer une série de problèmes 2D obtenus grâce à des coupes planesde la fissure 3D ; ces coupes sont paramétrées par un angle E (voir figure 2). Cecipermet notamment de se ramener à une pseudo-analyse 2D des branches (figure 2b),situation pour laquelle il existe des solutions analytiques approchées [COT 80,NEM 86]. Les simplifications indiquées permettent donc de ramener l’étude del’endommagement induit à celle de la mésofissure branchée représentée à l’aide destrois variables évolutives que sont (voir figure 2b) :

– le glissement moyen b de la partie centrale de la mésofissure,

– la longueur l de chacune des deux branches,

– l’orientation T des branches par rapport à la normale à la partie centrale de lamésofissure.

a) b)Figure 2. a) Croissance de mésofissure 3D ; b) approximation par coupes 2Dparamétrées par l’angle E (seule la moitié de la fissure branchée est représentée)a) 3-D mesocrack growth; b) Approximation by 2-D cuts determined byE (only thehalf branched crack is represented here)

W(n,0)

E

D

e'3=n

e'1

e'2 T

W(n,E)

e'2

e"2=n"

e'3=n

e"3

l

a

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2.2.3. Formulation en vitesse

La modélisation de l’endommagement par mésofissuration telle que nous venonsde l’esquisser nécessite en priorité la description de la croissance progressive desmésofissures en mode mixte. Dans l’analyse théorique de ce problème, la présencede frottement sur la partie centrale inclinée joue un rôle particulièrement important.En effet, les travaux de [BRA 63], puis ceux de [NEM 82] ont clairement montré quec’est le cisaillement effectif résultant sur la partie centrale qui permet ledéveloppement en mode 1 des branches. Ce cisaillement effectif dépend desmécanismes de frottement en jeu : un frottement de type Coulomb est considérédans cette étude. On aboutit ainsi à un couplage à l’échelle mésoscopique entrel’endommagement et le frottement.

Analyse de la déformation

La première étape de la modélisation étant la représentation de la mésostructure,la description géométrique précédemment présentée doit être complétée par uneanalyse mécanique. Celle-ci est réalisée en choisissant le vecteur saut de

déplacement (glissement b) sur la partie centrale et la longueur l et l’angle debranchement (T ) comme variables caractérisant l’état de mésofissuration. Enpratique, les longueurs sont normalisées par rapport à la demi-taille initiale a des

mésofissures : glissement abb /~ , longueur de branche : all /

~ . On suppose une

densité initiale de mésofissures VNa /30 Z (densité au sens de Budiansky), avec N

le nombre de mésofissures et V le volume du VER. On montre alors par [1], eneffectuant la résolution complète du problème approché 3D [REN 98] que :

> @°¿

°¾

½

°̄

°®

��

� � 0~~

0~

:4~~

03

201

000 qblpbll

EdE SVGGEEDD

QZHHH [2]

0H représente la déformation élastique de la matrice. 0p , 0q , D , E et G sont des

tenseurs du second ordre dont les composantes sont fonction des angles I et\ (caractérisant l’orientation des mésofissures (voir figure 1c). 0p et 0q

représentent les effets du glissement de la partie centrale des mésofissures ; D , E et

G ceux du chargement extérieur sur les branches des mésofissures. Ces tenseurs,

issus de l’écriture de la normale à l’aide de I et \ et du calcul de dH (équation [1]),sont donnés en détail dans [REN 98]. La distribution initiale en orientation étantsupposée aléatoire, la moyenne des déformations est obtenue en intégrant la partie

),( I\Hd de la déformation suivant I et \ :

� �³ ³ 2/

020 sin,

2

1 SI

S\II\H

SH dddd [3]

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Lois d’évolution de la mésostructure

La loi de comportement proposée est formulée en vitesse, pour être assezgénérale et permettre de décrire la dépendance de la réponse non linéaire des rochesquasi fragiles avec le trajet de sollicitations. L’écriture incrémentale est obtenue surla base de l’équation [2] via des relations décrivant l’évolution de l’état demésofissuration en fonction de l’incrément du champ de contraintes imposé. Enpratique, il s’agit d’écrire pour chaque famille de mésofissures l’évolutionincrémentale des variables cinématiques (l� ,T� et b� ) avec 6� . Pour cela, on choisit afonction seuil associée à l (endommagement) du type critère de Griffith :

J2 G (ou ICKIK lors de la propagation des branches) [4a]

T étant associé à la direction maximisant le taux de restitution G , on a :

0 w

w

T

G [4b]

En écrivant la condition de consistance sur ces relations et sur le critère deCoulomb pour le glissement, on aboutit après résolution à des relations du type :

6 �� :Al , 6 �� :BT et 6 �� :Cb [5]

Les tenseurs du second ordre A, B et C et dépendent de l’état actuel decontrainte, de l’incrément de charge appliqué et de l’état de mésofissuration[REN 98]. La différenciation de [5] permet alors d’établir la loi en vitesse :

6 �� :LE [6]

dans laquelle le tenseur d’ordre 4 L est la matrice tangente de la loi decomportement du matériau homogénéisé.

3. Application au comportement mécanique du granite de la Vienne

3.1. Identification des paramètres du modèle

La réponse en compression triaxiale et en extension latérale du granite de laVienne a été étudiée à l’aide du modèle développé. La détermination des paramètresn’a pas posé de problème particulier, les divers paramètres (coefficients élastiques,ténacité, etc.) étant relativement bien documentés dans la partie expérimentale. Onnotera toutefois que le frottement et la cohésion sont retenus comme des paramètresmacroscopiques, ce qui peut faciliter leur détermination à partir de données d’essaistriaxiaux.

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Les valeurs retenues sont celles que l’on peut couramment trouver pour desgranites. La seule difficulté rencontrée dans cette phase d’identification réside dansla détermination de la densité initiale de mésofissures 3D, les données disponiblesétant fournies dans le plan. Des hypothèses complémentaires sont nécessaires poureffectuer ce passage du 2D au 3D. Nous avons préféré procéder à l’identification dece paramètre par calage sur une courbe triaxiale, en l’occurrence celle de l’essai à5 MPa. La valeur obtenue est de l’ordre de 1.00 Z . Cette valeur apparaît

néanmoins un peu élevée par rapport aux données brutes en coupe plane. Letableau 1 récapitule l’ensemble des valeurs moyennes utilisées dans les simulations.Les résultats issus de cette calibration sont montrés sur la figure 3a. Sur l’ensemble

des figures, les déformations sont en 610� . L’évolution de la mésofissurationcorrespondante (en exemple la variation de la longueur moyenne de branchement)est indiquée sur la figure 4a.

E0 (MPa) Q0P C (MPa)

cK1 ( MPa m) 0Z

80 000 0,22 0,6 3 1 0,1

Tableau 1. Valeurs numériques des paramètres du modèle pour le graniteNumerical values of the model parameters

3.2. Simulation des essais triaxiaux

Comportement monotone

Nous présentons ici les résultats des simulations pour l’essai triaxial à MPa 20 deconfinement (figure 3b). On observe de manière générale une bonne concordanceavec les données d’expérience. Pour cet essai, nous montrons également l’évolutionde la mésostructure du matériau (croissance de mésofissures) avec le chargement(figure 4b). Les résultats montrent que comparativement à l’essai de calage(confinement de MPa 5 ), l’évolution de la mésostructure dans l’essai à MPa 20 estmoins rapide, les longueurs moyennes de branchement atteintes étant beaucoupmoins importantes. Ceci confirme le rôle retardateur de la croissance de fissures,généralement attribué à la pression de confinement. L’examen détaillé des résultatsmicromécaniques par famille d’orientation de mésofissures montre une activationsélective des mésofissures, certaines étant plus longues et plus ouvertes que d’autres.

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Figure 3a. Réponse en compression triaxiale monotone MPa 203 V

Response under triaxial monotonous compression MPa 203 V

Figure 3b. Réponse en compression triaxiale monotone MPa 53 V

Response under triaxial monotonous compression MPa 53 V

0

50

100

150

200

250

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

Contrainte(MPa)

Axiales

Latérales

Volumique

simulation

vites s e : 4,2E-6

s -1

V��V� max : 219,9 MPa

0

50

100

150

200

250

300

350

-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Déformation (E-6)

Contrainte(MPa)

Axiales

Latérales

Volumique

simulation

vites s e : 4,2E-6

s -1

V��V� max : 317,0 MP a

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a)

b)

Figure 4. Compression triaxiale monotone ; évolution de la longueur moyenne desmésofissures avec le chargement : a) MPa53 V ; b) MPa203 V

Monotonous triaxial compression; Evolution of branched mesocracks average withloading: a) MPa53 V ; b) MPa203 V

l moyen

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 50 100 150 200 250

VV11 - VV22

l/a

l moyen

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 50 100 150 200 250 300 350

VV11 - VV22

l/a

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Réponse sous sollicitation cyclique

Les résultats obtenus pour des cycles de chargement-déchargement réalisés àdifférents niveaux de chargement sont présentés sur la figure 5a. Ils indiquent laprésence d’importantes déformations permanentes engendrées par un glissementrésiduel sur la partie centrale des mésofissures (et une ouverture résiduelle desbranches). Les variations du glissement moyen au cours des premiers cycles estindiquée sur la figure 5b. Commentons de manière plus précise le déchargement-rechargement du matériau. Celui-ci fait apparaître différentes phases :

i) la première phase de décharge correspond à un blocage du glissement moyenet de l’ouverture moyenne des mésofissures. Le module de décharge est relativementproche du module initial ;

ii) il s’ensuit une phase de glissement en sens opposé des lèvres de la partiecentrale des mésofissures, le frottement étant mobilisé dans le sens opposé à celui dela charge. La décharge complète conduit notamment à des valeurs résiduelles duglissement (et de l’ouverture moyenne des branches) qui sont non négligeables ;

iii) le rechargement fait apparaître une forte irréversibilité à l’échellemacroscopique.

Ces analyses peuvent être détaillées par famille (même orientation) demésofissures.

La conséquence macroscopique de ces mécanismes microscopiques couplantendommagement par ouverture des branches des mésofissures et glissement est uncomportement cyclique complexe à l’échelle macroscopique : anisotropie de laréponse, forte dilatance, réponse hystérétique et déformations permanentes plus oumoins importantes.

3.3. Essai d’extension latérale

L’essai d’extension latérale classique est intéressant pour deux raisons : ilcorrespond à un trajet proche de ceux que l’on peut rencontrer au cours ducreusement de certains ouvrages souterrains ; il constitue aussi un test relativementdifférent des chemins triaxiaux précédents. La figure 6 montre les résultats de lasimulation de l’essai d’extension latérale tel qu’il a été réalisé expérimentalement, lejeu de données étant strictement le même. La concordance avec les résultatsexpérimentaux est satisfaisante. Notons toutefois que dans le cas de cet essai,l’apparition de l’endommagement est tardive et sa croissance est très rapide.

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a)

b)

Figure 5. Compression triaxiale cyclique MPa 53 V : a) réponse macroscopique ;

b) variation du glissement moyen des mésofissuresCyclic triaxial compression MPa 53 V : a) macroscopic response; b) Variation of

the average sliding with loading

Variation du glissement moyen

0.E+00

1.E-04

2.E-04

3.E-04

4.E-04

5.E-04

6.E-04

7.E-04

0 50 100 150 200

s11-s22

b

Essai triaxial cyclique à 5 MPa

0

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Déf.axialeDéf.latérale

Déf.volumiquesimulation

Figure 6. Réponse du matériau en extension latéraleMaterial response under lateral extension

4. Conclusion

Dans le cadre des approches micro-macro, nous avons bâti un modèle decomportement tridimensionnel des matériaux mésofissurés. Ce modèle prend encompte les mécanismes physiques essentiels de la déformation fragile des rochesquasi fragiles : anisotropie induite par la mésofissuration, dilatance, déformationspermanentes non négligeables, présence de boucles d’hystérésis. Il permetégalement de suivre de manière relativement fine l’évolution de la mésofissurationdu matériau étudié. A travers quelques exemples, nous avons montré la pertinenced’une telle démarche pour décrire le comportement complexe du granite de laVienne. Enfin, soulignons que la généralité du modèle micromécanique proposépermet d’aborder d’autres applications (par exemple étude de la refermeture demésofissures) ou même le comportement d’autres matériaux du génie civil tels queles bétons, qui ne sont pas traités dans cette étude.

Remerciements

Cette étude a été financée par le CNRS et l’ANDRA dans le cadre du GdRFORPRO et correspond au numéro de contribution FORPRO 2000/09 A.

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Documents

Modélisation micromécanique de l'endommagement du granite de la Vienne