Modelisation

Modeles ARIMA

ARCH-GARCH

Series Temporelles

Pourquoi?

• Modelisation de la croissance• Variables explicatives a choisir?

– Politique fiscale, investissement, technologie, demographie, commerce international, taux de change, taux d’interet

• Series temporelles: Utiliser les valeurs passees de la croissance et des termes d’erreur

• Approche purement statistique• Modeles parsimonieux

Definition

• Une serie temporelle consiste en un ensemble d’observations d’une variable y

• Observations sont espacees dans le temps a intervalles egaux: yi avec i=1,2,....t

• Processus stochastique: Chaque observation est une variable aleatoire et les variables evoluent dans le temps selon certaines lois

• Ce que nous observons: Ensemble limite d’observations

Notions de Base

• Moyenne• Variance• Autocovariance

– Variance de Y avec ses propres valeurs passees

• Autocorrelation• PAC: dernier coefficient de y sur ses m valeurs

passees

Y

T

iitY

TYE

1

1)(

22 ]))([()(Yt

YEYEYV

)])([(YjtYtjt

YYE

0/

jj

Autocorrelations

• Estimer sur la base de

l’echantillon

• La representation des autocorrelations pour tau=1,2… s’appelle le correlogramme

• Permet d’identifier si la serie temporelle consideree se rapproche des caracteristiques de series connues

Autocorrelations Partielles

1 3 M a y 2 0 0 2 D r . M a u r i c e J . R o c h e T o p i c I I : 1 3

D a n s u n p r o c e s s u s A R ( 1 ) , y t e t y t - 2 s o n t c o r r e l e s m e m e s i y t - 2 n ’ e n t r e p a s d i r e c t e m e n t d a n s l e m o d e l e

• L ’ a u t o c o r r e l a t i o n p a r t i e l l e e n t r e n y t e t y t - s e l i m i n e l ’ e f f e t d e s v a l e u r s i n t e r m e d i a i r e s

• L ’ a u t o c o r r e l a t i o n p a r t i e l l e a i n t e r v a l l e s e s t c a l c u l e e p a r u n e s e r i e d e r e g r e s s i o n p a r t i e l l e s

* * *1 1 1

* * *2 1 1 2 2 2

* * * *1 1 2 2

w h e r e

. . . . . . . .

. . .

t t t t t

t t t t

t s t s t s s t s t

y y e y y y

y y y e

y y y y e

• P A C : 1 1 , 2 2 , … . a n d s s .

Bruit Blanc

Gaussien blancBruit ),0( Si

jipour tout 0)(

)(

0)(

2

22

N

E

E

E

t

ji

t

t

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

50

100

150

200

250

300

350

Bruit Blanc N(0,1) Distribution

Modelisation ARMA

• AutoRegressive

• (Integrated)

• Moving Average

• Box Jenkins (1976)

qtqttptpttyyy ........

1111

AutoRegression Moyenne ponderee deBruits blancs

Notations

• Operateur ‘Arriere’

• Operateur ‘Avant’

• Difference

kt

k

tt

yyL

yyL

)(

)(1

1

1)(

LF

yyFtt

12

222

1

2)21()1()(

)1()(

1

tttttt

tttt

yyyyLLyLy

yyyLy

L

Moving Average

• Toujours stationnaire

• Fonction de bruits blancs passes

• Notation avec operateur

qtqtt

tt

qMA

MA

.....y )(

y )1(

11t

11t

q

q

tt

LLLLqMA

LLMA

Ly

...1)( )(

1)( )1(

)(

2

21

1

Exemple MA(q)

14 May 2002 Dr. Maurice J. Roche Topic II : 4

• Jouer a pile ou face

• Gagner $1 for pile et perdre $1 pour face

• Pour tout tt est soit -$1 or +$1.

• Gains moyens pour les 4 dernieres periodes?

– 0.25t + 0.25t-1+0.25t-2+0.25t-3

MA(1)

)1/((1)

1jpour 0)(

)](

)])([()]y)(y[()1(

)1()2(

])[(])y[()y(

)y(

y

12

1

2

121

2

112

1211

211111-tt

21

21

21

2

11

2

2

11

2

tt

t

11t

j

E

EE

E

EEV

E

ttttttt

tttt

tttt

tt

tt

Ma(q)

qjpour 0)(

)...()(

)...1()y(

)y(

.....y

2

2211

222

21

2

t

t

11t

j

j

V

E

jqqjjj

q

qtqtt

Exemple

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4

-3

-2

-1

0

1

2

3MA(1) phi1=0.8

MA(1) phi1=0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Sample autocorrelation coefficients

k-values

sacf va

lues

AC

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Sample partial autocorrelation coefficients

k-values

spacf va

lues

PAC

Exemple

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

MA(3)

Phi=0.8, -0.5,0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Sample autocorrelation coefficients

k-values

sacf valu

es

AC

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Sample partial autocorrelation coefficients

k-values

spacf valu

es

PAC

AR(1)

tty 11t

y

1||

1||

1

1

Stationnaire

Processus explosif

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

Pourquoi?

j

j

jtt

t

j

j

j

j

jtj

j

t

Jt

J

jt

J

j

j

t

ttt

jj

yyEj

yE

yJ

yy

yy

1

21

2

1

2

12224

1

2

1

2

12

0

2

1

10

1

01

1

1

01

11

)0(/)()(

)]1/([])[()(

)1/(...)1(])[()0(

1

1et

1

1

et petit Si

AR(1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Sample autocorrelation coefficients

k-values

sacf

val

ues

Phi=0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Sample autocorrelation coefficients

k-values

sacf

val

ues

Phi=-0.8

AC

PAC

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Sample partial autocorrelation coefficients

k-values

spacf va

lues

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1Sample partial autocorrelation coefficients

k-values

spacf va

lues

AR(2)

• Conditions de stationarite:

2

21

22211

1)( LLL

yyyyttttt

1

1

1

2

21

21

note avec

AR(2)

• Les proprietes d’un processus AR(2) sont etudiees comme suit:

• Autocovariance:

• Autocorrelation:• Donc:• Comme , alors:

0/

jj

AR(p)

• Conditions de stationarite: Les racines de l’equation suivante doivent etre inferieures a 1 en valeur absolue

0...2

2

1

1

p

ppp xxx

AR(p)

• Le processus AR(p) s’exprime:

• La fonction d’autocovariance est:

ARMA(1,1)

• Les autocorrelations diminuent progressivement

• Similaire a AR(1)

• Mais fonction plus compliquee des parametres

• Depend des deux coefficients

ARMA(p,q)

• Le processus mixte ARMA(p,q) s’ecrit:

• Le processus peut s’exprimer comme un MA pur ou un AR pur

Box-Jenkins (1976)

1) Identification: Un premier modele est choisi apres examen des autocorrelations– Si rho ne decroit pas rapidement: indication de

non-stationarite– Si rho(k)=0 pour k>q et les autocorrelations

partielles decroissent MA(q)– Si rho(k) decroit et les autocorrelations

partielles sont =0 pour k>p AR(p)– Si pas de point de rupture clair ARMA(p,q)

Box-Jenkins (1976)

2) Estimation

Maximum de vraisemblance

Goodness of fit (criteres AIC, Schwartz)

3) Tests de verification sur les residus

- Est ce que les erreurs sont aleatoires?

- Non autocorreles: Test de Box-Ljung

- Normalite: Test de Jarque Bera

Estimation

1 4 M a y 2 0 0 2 D r . M a u r i c e J . R o c h e T o p i c I I : 1 5

• B a s e s u r e s t i m a t i o n p a r m a x i m u m d e v r a i s e m b l a n c e• T e s t e r c h a q u e m o d e l e p o u r v e r i f i e r l a n o n - c o r r e l a t i o n d e s

r e s i d u s• S i p l u s i e u r s m o d e l e s s e m b l e n t v a l i d e s , u t i l i s e r l e s c r i t e r e s

d ’ i n f o r m a t i o n• C h o i s i r l e m o d e l e q u i m i n i m i s e l e s c r i t e r e s :

A I C T l n ( S S R ) 2 ( p q 1 )

S B C T l n ( S S R ) ( p q 1 ) l n ( T )

• C e n e s o n t p a s d e s t e s t s d ’ h y p o t h e s e f o r m e l s

• P o s s i b i l i t e s d e r e s u l t a t s c o n t r a d i c t o i r e s

Previsions AR(1)

Previsions MA(1)

• Le modele s’ecrit• Supposons que nous connaissons phi et que

eps(0)=0• Prouver que apres avoir observe y(n), nous

connaissons egalement les valeurs de eps(t) pour t=1,2,….n

ARCH

• Hypothese de constance de la volatilite rarement verifiee sur marches financiers

• Auto Regressive Conditional Heteroskasticity

• La volatilite semble etre correlee dans le temps

• Fat Tails (kurtosis)

Volatility Clusters1

00

*[lo

g(s

p(t

))-(

log

(sp

(t-1

)))]

Volatility Clusteringdate

22dec1999 31mar2000 09jul2000 17oct2000

-6.00451

4.65458

S&P 500

Fat TailsF

ract

ion

Kurtosis100*[log(sp(t))-(log(sp(t-1)))]

-6.00451 4.65458

0

.113636

ARCH(1)

• Engle (1982)

• La volatilite conditionelle est fonction des observations passees

0,0

][]]|[[][ nelleinconditio Variance

iid avec

]|[ lleconditione Variance

]|[][ hypotheseRelaxer

]|y[y

2

1

2

1

22

1

2

2

1

22

1tt

tt

tttt

tttt

ttt

ttt

tt

hARCH

hEEEE

zhz

hE

EE

E

• Volatilite autocorrellee

• Kurtosis>3

Proprietes

)1(

cotesdeux des Soustraire

22

2

1

2

2

1

ttttt

ttt

t

tt

zhhv

v

h

h

GARCH(1,1)

• ARCH(p) difficile a estimer

• Bollerslev(1986)

• Generalized.....ARCH

• Correspond a ARCH()

1,0,0,0

12

1

ttt hh

Extensions

• Integrated GARCH– Les coefficients somment a 1: Les chocs

passes persistent tres longtemps

• GARCH in Mean – Relation directe entre rendement et risque d’un actif– Dans la specification du rendement moyen, inclure une

function de la variance conditionnelle

• Exponentional GARCH – Les chocs passes ont un impact asymmetrique sur la

volatilite

News Impact Curve

Con

ditio

nal V

aria

nce:

GA

RC

H

News Impact Curve: dCPI w/ ARMA(1,1)error (t-1)

Con

ditio

nal V

aria

nce:

EG

AR

CH

Conditional Variance: GARCH Conditional Variance: EGARCH

-9.8 9.8

.587194

40.1751

.404425

83.8448

Relation entre erreur Et volatilite future

Test – Engle(1982)

• ARCH(q)• Hypothese H0 de volatilite constante

• Regression• Les epsilons sont obtenus par estimation du

modele sous hypothese de volatilite constante

• Statistique LM: nR2 suit Chi2(q)

22

11....

qtqtth

0...21

q

tqtqttu

22

11

2 ....