Modelisation Modeles ARIMA ARCH-GARCH Series Temporelles

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    04-Apr-2015

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<ul><li> Page 1 </li> <li> Modelisation Modeles ARIMA ARCH-GARCH Series Temporelles </li> <li> Page 2 </li> <li> Pourquoi? Modelisation de la croissance Variables explicatives a choisir? Politique fiscale, investissement, technologie, demographie, commerce international, taux de change, taux dinteret Series temporelles: Utiliser les valeurs passees de la croissance et des termes derreur Approche purement statistique Modeles parsimonieux </li> <li> Page 3 </li> <li> Definition Une serie temporelle consiste en un ensemble dobservations dune variable y Observations sont espacees dans le temps a intervalles egaux: y i avec i=1,2,....t Processus stochastique: Chaque observation est une variable aleatoire et les variables evoluent dans le temps selon certaines lois Ce que nous observons: Ensemble limite dobservations </li> <li> Page 4 </li> <li> Notions de Base Moyenne Variance Autocovariance Variance de Y avec ses propres valeurs passees Autocorrelation PAC: dernier coefficient de y sur ses m valeurs passees </li> <li> Page 5 </li> <li> Autocorrelations Estimer sur la base de lechantillon La representation des autocorrelations pour tau=1,2 sappelle le correlogramme Permet didentifier si la serie temporelle consideree se rapproche des caracteristiques de series connues </li> <li> Page 6 </li> <li> Autocorrelations Partielles </li> <li> Page 7 </li> <li> Bruit Blanc Bruit Blanc N(0,1) Distribution </li> <li> Page 8 </li> <li> Modelisation ARMA AutoRegressive (Integrated) Moving Average Box Jenkins (1976) AutoRegression Moyenne ponderee de Bruits blancs </li> <li> Page 9 </li> <li> Notations Operateur Arriere Operateur Avant Difference </li> <li> Page 10 </li> <li> Moving Average Toujours stationnaire Fonction de bruits blancs passes Notation avec operateur </li> <li> Page 11 </li> <li> Exemple MA(q) </li> <li> Page 12 </li> <li> MA(1) </li> <li> Page 13 </li> <li> Ma(q) </li> <li> Page 14 </li> <li> Exemple MA(1) phi1=0.8 AC PAC </li> <li> Page 15 </li> <li> Exemple MA(3) Phi=0.8, -0.5,0.3 AC PAC </li> <li> Page 16 </li> <li> AR(1) Stationnaire Processus explosif </li> <li> Page 17 </li> <li> Pourquoi? </li> <li> Page 18 </li> <li> AR(1) Phi=0.5 Phi=-0.8 AC PAC </li> <li> Page 19 </li> <li> AR(2) Conditions de stationarite: noteavec </li> <li> Page 20 </li> <li> AR(2) Les proprietes dun processus AR(2) sont etudiees comme suit: Autocovariance: Autocorrelation: Donc: Comme, alors: </li> <li> Page 21 </li> <li> AR(p) Conditions de stationarite: Les racines de lequation suivante doivent etre inferieures a 1 en valeur absolue </li> <li> Page 22 </li> <li> AR(p) Le processus AR(p) sexprime: La fonction dautocovariance est: </li> <li> Page 23 </li> <li> ARMA(1,1) Les autocorrelations diminuent progressivement Similaire a AR(1) Mais fonction plus compliquee des parametres Depend des deux coefficients </li> <li> Page 24 </li> <li> ARMA(p,q) Le processus mixte ARMA(p,q) secrit: Le processus peut sexprimer comme un MA pur ou un AR pur </li> <li> Page 25 </li> <li> Box-Jenkins (1976) 1) Identification: Un premier modele est choisi apres examen des autocorrelations Si rho ne decroit pas rapidement: indication de non-stationarite Si rho(k)=0 pour k&gt;q et les autocorrelations partielles decroissent MA(q) Si rho(k) decroit et les autocorrelations partielles sont =0 pour k&gt;p AR(p) Si pas de point de rupture clair ARMA(p,q) </li> <li> Page 26 </li> <li> Box-Jenkins (1976) 2) Estimation Maximum de vraisemblance Goodness of fit (criteres AIC, Schwartz) 3) Tests de verification sur les residus - Est ce que les erreurs sont aleatoires? - Non autocorreles: Test de Box-Ljung - Normalite: Test de Jarque Bera </li> <li> Page 27 </li> <li> Estimation </li> <li> Page 28 </li> <li> Previsions AR(1) </li> <li> Page 29 </li> <li> Previsions MA(1) Le modele secrit Supposons que nous connaissons phi et que eps(0)=0 Prouver que apres avoir observe y(n), nous connaissons egalement les valeurs de eps(t) pour t=1,2,.n </li> <li> Page 30 </li> <li> ARCH Hypothese de constance de la volatilite rarement verifiee sur marches financiers Auto Regressive Conditional Heteroskasticity La volatilite semble etre correlee dans le temps Fat Tails (kurtosis) </li> <li> Page 31 </li> <li> Volatility Clusters S&amp;P 500 </li> <li> Page 32 </li> <li> Fat Tails </li> <li> Page 33 </li> <li> ARCH(1) Engle (1982) La volatilite conditionelle est fonction des observations passees </li> <li> Page 34 </li> <li> Volatilite autocorrellee Kurtosis&gt;3 Proprietes </li> <li> Page 35 </li> <li> GARCH(1,1) ARCH(p) difficile a estimer Bollerslev(1986) Generalized.....ARCH Correspond a ARCH( ) </li> <li> Page 36 </li> <li> Extensions Integrated GARCH Les coefficients somment a 1: Les chocs passes persistent tres longtemps GARCH in Mean Relation directe entre rendement et risque dun actif Dans la specification du rendement moyen, inclure une function de la variance conditionnelle Exponentional GARCH Les chocs passes ont un impact asymmetrique sur la volatilite </li> <li> Page 37 </li> <li> News Impact Curve Relation entre erreur Et volatilite future </li> <li> Page 38 </li> <li> Test Engle(1982) ARCH(q) Hypothese H0 de volatilite constante Regression Les epsilons sont obtenus par estimation du modele sous hypothese de volatilite constante Statistique LM: nR 2 suit Chi2(q) </li> </ul>