Modèle ALM : Apport de la€¦ · 4, rue Chauveau-Lagarde - 75008 Paris - Tél : 01 44 51 72 72 - Fax : 01 44 51 72 73! ! Modèle ALM : Apport de la Logique Floue dans la …

4, rue Chauveau-Lagarde - 75008 Paris - Tél : 01 44 51 72 72 - Fax : 01 44 51 72 73!www.institutdesactuaires.com !

Modèle ALM : Apport de la Logique Floue dans la modélisation des comportements!


•  Solvabilité II : valorisation du bilan selon le principe de la « juste valeur »!

! Actifs : en valeur de marché!! Passifs : vision « Best Estimate »!

•  Le Best Estimate :!

! Représente la valeur actualisée des cash flows futurs de lʼassureur ( Prestation, Frais,…) !! Repose sur des hypothèses réalistes et non nécessairement prudentes (vision 50/50)!

•  Dans les sociétés dʼassurance vie commercialisant des contrats dʼépargne, un modèle ALM (Gestion Actif/Passif) est souvent nécessaire afin de capter lʼensemble des interactions entre lʼactif et le passif!

•  Pour valoriser le passif en « Best Estimate », le modèle ALM doit tenir compte des incertitudes liées :!

! Aux comportements des assurés (rachats, décès,...)!! Aux actions futures du management (politique de taux servis, allocation dʼactif,…)!!

!

INTRODUCTION (1/2)!


•  Bien que relevant dʼun enjeu important dans la détermination du Best Estimate, les lois comportementales soulèvent des difficultés sur leur calibrage, leur modélisation et plus largement leur justification.!

•  Objectif : trouver une modélisation proche de la réalité!

•  Le raisonnement humain!!

Attitude devant un feu tricolore!

! Pour résoudre des problèmes complexes, les être humains utilisent des données approximatives de par une connaissance imparfaite de lʼenvironnement qui les entoure. !

!

! Leurs raisonnements se basent sur des critères plus qualitatifs que quantitatifs. !

! La Logique Floue en modélisant les imprécisions et les incertitudes du raisonnement !! humain, apparait alors comme alternative de modélisation des comportements!

INTRODUCTION (2/2)!

SI le feu est rouge… SI ma vitesse est élevée… ET SI le feu est proche… ALORS je freine fort.


•  Le modèle ALM!!

§  Interactions Actif/Passif!

§  Fonctionnement du modèle ALM!

§  Lois comportementales!

•  Modélisation des rachats conjoncturels par la Logique Floue!!

§  Méthodologie de la Logique Floue !

§  Sensibilités des rachats conjoncturels!

•  Modélisation de la politique de taux servis par la Logique Floue!

•  Analyses des résultats!

SOMMAIRE!


Le Modèle ALM!

•  Interactions Actif/Passif!•  Fonctionnement du modèle ALM!

•  Lois comportementales!


•  Options et garanties des contrats épargnes : interactions entre lʼactif et le passif!

!!•  Les techniques de simulations sont préférées pour évaluer le coût des options et garanties !

�  Le taux minimum garantie (TMG)

�  La participation aux bénéfices (PB)

�  L’option de rachat

�  Allocation d’actifs

�  Réalisation de plus-values

�  Politique de taux servis

�  …

Interactions

LES INTERACTIONS ACTIF/PASSIF!


FONCTIONNEMENT DU MODELE ALM!


•  Rachats structurels (RS)!! Liés à la structure du portefeuille!! Estimés à partir de lʼhistorique de lʼassureur!

•  Rachats conjoncturels (RC)!! Liés à la conjoncture économique et à la performance de lʼassureur!! Absence de données.!! Modélisés traditionnellement à partir dʼune loi proposée par lʼACP!

!

•  Limites de la loi proposée par lʼACPR :!! Absence dʼéléments permettant la justification du calibrage!! Suppose les assurés rationnels!! Un seul critère explicatif : lʼécart de taux servis!! Une unique loi pour tous les assurés!

LOIS COMPORTEMENTALES : RACHATS (1/2)!


!Dʼautres facteurs peuvent expliquer le comportement des assurés en matière de rachats conjoncturels!

•  Lʼâge de lʼassuré!! Les jeunes sont peu réactifs et disposent dʼun encours faible, ils seront moins sensibles à lʼécart entre le

taux servi et le taux concurrent !!

•  Lʼancienneté !! Les assurés dont lʼancienneté est élevée ont une meilleure connaissance du marché!! Les assurés dont lʼancienneté est faible ne bénéficieront pas dʼabattement fiscal en cas de rachat!!

•  Lʼinertie des assurés!! Un assuré ne rachète pas nécessairement son contrat si lʼassureur lui sert un taux moins avantageux que la

concurrence mais si cela fait plusieurs années quʼil lui propose des taux moins attractifs!!

•  Frais dʼacquisition!

•  Pénalité de rachat!

•  …!

LOIS COMPORTEMENTALES : RACHATS (2/2)!


•  Les actions du management dans les modèles ALM sont traditionnellement modélisées par des fonctions ou des problèmes dʼoptimisation!

•  Exemples dʼactions du management dans notre modèle :!!

! Objectif de taux servis servir le taux concurrent !! Allocation dʼactif 70% dʼobligation, 10% dʼaction, 15% dʼimmobilier et 5% de monétaire!

•  Limites :!!

! Le management nʼest pas impliqué dans la modélisation!! Modélisation pouvant devenir complexe!! Les simplifications usuelles ne sont pas réalistes!

•  Alternative possible !

Ø  Modélisation des comportements par la théorie de la logique floue…!

LOIS COMPORTEMENTALES : ACTION DU MANAGEMENT!


Modélisation des rachats conjoncturels par la Logique Floue!

1.  Méthodologie de la logique floue !•  Pré-requis et définitions !

•  Le raisonnement en logique floue!•  La fuzzification •  L’inférence floue •  La défuzzification

!2.  Sensibilités des rachats conjoncturels!!


1. Méthodologie de la Logique Floue


Opérateurs de Zadeh

Intersection : ET

Réunion : OU

))(),(()( xxMINx BABA µµµ =∩

))(),(()( xxMAXx BABA µµµ =∪

•  Limites de la théorie classique des ensembles :!! La taille dʼun individu (moyen, grand?)!!

Nécessité de créer des ensembles flous!

•  Variables et ensembles flous!! Une variable linguistique correspond à un triplet (X,U,R) :!

•  X = la variable (ex: la taille)!•  U = univers du discours = valeurs prises par la variable (ex: mètre )!•  R = ensemble de sous-ensemble flous (ex: petit, moyen, grand)!

! Un ensemble flou A est caractérisé par sa fonction dʼappartenance !

!

•  Opérateurs flous!

PREREQUIS ET DEFINITIONS!

]1,0[)(; ∈∈∀ xXx Aµ


LE RAISONNEMENT EN LOGIQUE FLOUE!

Fuzzification

Passage du quantitatif au

qualitatif

Inférence floue

Simulation du raisonnement

humain

Défuzzification

Prise de décisions

Domaine flou Valeurs numériques

Valeurs numériques

Entrées Sorties


La fuzzification est lʼétape qui permet de passer du monde réel au monde flou. "!

•  Méthode :!! Déterminer les variables floues dʼentrée et de sortie du modèle !! Déterminer pour chacune de ces variables leurs ensembles flous associés!! Déterminer la fonction dʼappartenance de chacun de ces ensembles flous!!

Dans le cadre des rachats conjoncturels:"

ETAPE 1 : LA FUZZIFICATION (1/2)!


Les fonctions dʼappartenance des variables dʼentrée et de sortie. Elles sont déterminées à lʼaide de jugements dʼexperts et dʼintuitions.!

ETAPE 1 : LA FUZZIFICATION (2/2)!


ETAPE 2 : LʼINFERENCE FLOUE (1/4)!

•  Déterminer la matrice de décisions!

Etablir lʼensemble des règles de décisions possibles pour un individu"

! SI prémisse 1… ET prémisse 2… ALORS conclusion!•  Liens logiques : ET chaque variable influence conjointement la décision!

! Calibrage de la matrice!•  Expertise !•  Justification rigoureuse!!

Matrice de décisions pour les rachats conjoncturels : "

0

Encours faible et faibles connaissances du marché è Pas réactifs

Encours important et désire de s’assurer une bonne retraite è Très réactifs


Il y a donc 8 règles de décisions à prendre en compte :

Exemple : (Ecart de rendements -1.7%; Ancienneté 3.5 ans; Age 61 ans) =0xRemarque : Pour chaque combinaison d’entrée, plusieurs règles de décisions peuvent être déclenchées. D’après la forme des fonctions d’appartenance, on peut prendre en compte jusqu’à 8 règles de décisions

Ecart des rendements Ancienneté du contrat Age de l'assuré Ensembles flous Y_rdmt Ensembles flous Y_ancien Ensembles flous Y_age Fortement néga7f 0,40 Faible 0,75 Jeune-‐Adulte 0,00

Faiblement néga7f 0,60 Moyenne 0,25 Adulte 0,86

Proche de 0 0,00 Importante 0,00 Retraité 0,14

Faiblement posi7f 0,00

Fortement posi7f 0,00

Règles Ecart de rendement ET Ancienneté ET Age de l'assuré ALORS Rachat

R1 Fortement néga7f ET Faible ET Adulte ALORS Posi7f R2 Fortement néga7f ET Moyenne ET Adulte ALORS Posi7f

R3 Fortement néga7f ET Faible ET Retraité ALORS Posi7f

R4 Fortement néga7f ET Moyenne ET Retraité ALORS Posi7f R5 Faiblement néga7f ET Faible ET Adulte ALORS Proche de 0 R6 Faiblement néga7f ET Moyenne ET Adulte ALORS Posi7f R7 Faiblement néga7f ET Faible ET Retraité ALORS Proche de 0 R8 Faiblement néga7f ET Moyenne ET Retraité ALORS Proche de 0

ETAPE 2 : LʼINFERENCE FLOUE (1/4) - EXEMPLE!


•  Définir le degré dʼactivation de la règle R :!Déterminer la véracité de chacune des propositions déclenchées par les caractéristiques

de lʼindividu"

! Niveau de vérité des propositions è MINIMUM entre les degrés dʼappartenance! Pour R1 : !

)( 0xRµ

%40)( 01=xRµ

Règles Ecart de rendement MIN Ancienneté MIN Age de l'assuré Degré d'ac7va7on Rachat R1 0,40 MIN 0,75 MIN 0,86 0,40 Posi7f



0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

-5% 5% 15% 0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

-5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00%

Implication

)('

1y

RPositifµ)(1y

RPositifµ

•  Implication : !Déterminer la fonction dʼappartenance de chaque conclusion possibles en fonction du

niveau de vérité de la proposition""

! Evaluer la fonction dʼappartenance de la conclusion de la règle R!

•  Méthode Mamdani

Pour R1: !

))(),(()( 0' yxMINy

RR conclusionRyconclusion µµµ =



•  Agrégation des conclusions!Caractériser la décision floue par une unique fonction dʼappartenance"

"! Les fonctions dʼappartenance des conclusions de chaque règle floue sont reliées par un « OU »

logique è un « MAX » en logique floue!

NiyMAXyiRconclusionyFINALE ≤≤∀= 1));(()( 'µµ

Agrégation



Cette étape permet de repasser dans lʼunivers réel pour prendre une décision "

•  Deux méthodes de défuzzification :!–  Méthode du centre de gravité (COG) :

–  Méthode de la moyenne des maxima (MM) :

Prise de décision réelle

∑

∑

∫∫

=

=

×== n

ii

n

iii

G

x

xx

dxx

dxxxx

0

0

)(

)(

)(

)(

µ

µ

µ

µ

N

x

dx

xdxx

N

ii

MM

∑

∫∫ === 0

ETAPE 3 : DEFUZZIFICATION!


2. Sensibilités des rachats conjoncturels


•  Résultats proches des préconisations de l’ACP

•  Résultats plus stables avec la défuzzification par centre de gravité

•  Evolution de la réactivité des individus retranscrite dans les résultats

•  Les différentes méthodes de défuzzification

•  Cohérence avec la matrice de décisions

SENSIBILITES DES RACHATS CONJONCTURELS (1/2)!


•  Impacts des changements dans la matrice de décisions!Hypothèse : La connaissance joue un rôle plus important que lʼencours sur la réactivité des

jeunes adultes dʼancienneté importante!

Remarque : une seule colonne à changer dans notre matrice de décisions

•  Impact de la matrice de décisions immédiat et important

SENSIBILITES DES RACHATS CONJONCTURELS (2/2)!


Modélisation de la politique de taux

servis par la Logique Floue!


•  Variables et ensembles flous!

•  La matrice de décisions!

Variables Entrées Sor+e

PPE Produits financiers Ra7o de solvabilité Poli7que de taux servis

Ensembles flous Faible

Convenable Elevée

Faibles Appréciables

Elevés

Passable Bon

Très bon

Peu concurrente Concurrente

Très concurrente Univers de discours [0%, 4%] [20%, 130%] [100%, 400%] [85%, 120%]

Poli7que de taux servi Produits financiers &PPE

Faibles Appréciables Importants

Solvabilité (ra7o MSR) Faible Convenable Forte Faible Convenable Forte Faible Convenable Forte

Passable Peu concurrente

Peu concurrente

Peu concurrente

Peu concurrente Concurrente Concurrente

Peu concurrente Concurrente Concurrente

Bon Peu concurrente

Peu concurrente

Peu concurrente Concurrente Concurrente Concurrente Concurrente Concurrente Très

concurrente

Très bon Peu concurrente

Peu concurrente Concurrente Concurrente Concurrente Très

concurrente Concurrente Très concurrente

Très concurrente

POLITIQUE DE TAUX SERVIS!


Niveau de PPE Ensemble(s) flou(s)

0.30% 100% faible

1.70% 100% convenable

2.25% 50% convenable & 50% forte

3% 100% forte

•  Toutes les décisions prises lors du calibrage de la matrice de décisions se retranscrivent dans les résultats

SENSIBILITES DU MANAGEMENT ACTION!


Analyses des résultats!


•  Les résultats obtenus avec notre matrice de décisions sont comparables aux résultats obtenus avec la courbe de rachats « ACPR »!

•  La vision plus fine du management est au global en adéquation avec la vision ACPR!

•  La logique floue :!

! Permet de justifier et dʼargumenter lʼutilisation de la fonction ACPR!! Apporte une méthodologie simple de calibrage !

Ecart : 0,09% des fonds propres

APPORTS DE LA LOGIQUE FLOUE (1/3)!


•  La logique floue permet une modélisation individuelle du comportement de rachat!

•  Méthodologie directement applicable sur des portefeuilles atypiques!

•  La matrice de décisions est un outil pertinent pour modifier/ajuster le comportement de certaines classes dʼassurés !

Société A : moyenne d’âge = 47 ans Société R : moyenne d’âge = 65 ans Société J : moyenne d’âge = 20 ans

Société A : scénario central Société B : scénario « réactif »


+3,79% +5,45%

-5,24%


•  Meilleure gestion du taux servi par rapport à notre modèle standard!•  Réels apports de la logique floue:!

! Niveau dʼoptimisation flexible!

! Etablie un lien concret entre la politique du management et sa modélisation!

! Force le management à prendre position!

! Le module logique floue se positionne comme un outil dʼaide à la décision intéressant!

Ecart : 3,2% des fonds propres



•  Logique innovante et cadre conceptuel mathématique rigoureux pour traduire les expertises!

•  Apporte des justifications sur un problème où les données sont insuffisantes !! Justification du calibrage et généralisations des courbes de rachats conjoncturels proposées par lʼACP!

•  Fournie un lien concret entre la politique du management et sa modélisation!

•  Limites!! Sources dʼerreurs difficiles à identifier !! Résultats sensibles aux fonctions dʼappartenances et aux univers de discours!

•  Recommandations dʼutilisation!! Justifications du calibrage de la matrice de décisions contrôlées par le régulateur!! Comprendre ses assurés : questionnaire de souscription, analyses des causes de rachats,…!

•  Axes de développement possibles!! Allocation dʼactif, politique dʼextériorisation des PVL,…!! Outil dʼaide à la décision au sein de lʼORSA!

CONCLUSION!


Contacts : §  [email protected]

§  [email protected]

Merci de votre attention

Questions / Réponses!

Documents

Modèle ALM : Apport de la€¦ · 4, rue Chauveau-Lagarde - 75008 Paris - Tél : 01 44 51 72 72 - Fax : 01 44 51 72 73! ! Modèle ALM : Apport de la Logique Floue dans la …