Modles continus pour les structures rocheuses tenseurs de vitesse de macrodformation e ... plifie les notations en introduisant les adjoints des dif-frents tenseurs. t,jt = - e,;1o*t, Fui

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    06-Feb-2018

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<ul><li><p>l'slIEl5lurl.$ll,</p><p>' Centre d' enseignementet de recherche</p><p>. en mcanique des so/sEcole nationale des pontse:t chaus s e s/Lab oratoire</p><p>central:des poniset chusiees</p><p>6- B, av enue tslarse-PascalCit Descrtes</p><p>Chaynps-sur-Mrne77455 Marne-la-Valle</p><p>Cedex 2, Francesulern@cermes enpc,fr</p><p>" ,'</p><p>Insfituto de materia/esy m,odeJos esfnlc turales</p><p>Unlversitad centralde Venezuela, IIWME</p><p>Facultad de Ingenierial/niversitad central</p><p>de VenezuelaApartado Postal 5036I</p><p>Caracas 1050, Venezuelamcerrola@reacciun.ve</p><p>Continuous models for discontinuousrock structures</p><p>lP 7hI v'",ffiI g, </p><p>'''4ffi.</p><p>| +a '///I an ''/l -0 "/."m</p><p>''rrffi</p><p>ffi',ffi</p><p>%l{Dt; Les dlscussions surcet article sont acceptes</p><p>jusqu'au 30 juin 2002.</p><p>41REVUE FRANAIsE oE corecuNteuE</p><p>N" 974e trimestre 2001</p><p>Modles continuspour les structures rocheusesdiscontinues</p><p>on prsente un modle continu de cosserat pour lesstructures de blocs rocheux. L'introduction d'unerotation de Cosserat et de couples de contraintes permetde prendre en compte la rotation individuelle des blocs etleur rigidit en flexion. On montre que le domaine devalidit de cette homognisation est tendu au cas destructures dont les dimensions sont un faible multiple dela taille des blocs. Par ailleurs diffrents modes deplastification par glissement inter-blocs ou pivotementdes blocs sont introduits dans un modle de plasticitmulticritres. ce modle est illustr par l'tude de larponse d5mamique d'une structure de maonnerie et pardeux exemples de gotechnique, la stabilit d'unefondation souple et la stabilit d'une pente dans unmassif constitu de blocs rocheux.</p><p>Mots-cls : roches fractures, stabilit des pentes,homognisation, milieux de Cosserat.</p><p>The discontinuous structure of blocky rock is approximated byan equivalent Cosserat continuum. This implies the introductionof couple stresses and internal rotations which model therelative rotations between blocks and the bending stiffness ofthe blocks. It is shown that the domain of validity of thehomogenisation is extended to the case of structures with fewblocks. The advantage of the Cosserat homogenisation forblocky structure is also that various failure modes such as inter-block slip and block tilting can be easily described through amulti-criteria plasticity model. This model is illustrated by theanalysis of the d5mamic response of a masonry structure and bytwo examples of soft foundation and slope stability in blockyrock.</p><p>Key words ; jointed rock, slope stability, homogenisation,Cosserat medium.</p></li><li><p>lntroductionIl est courant d'observer que sous l'effet des</p><p>contraintes tectoniques, un massif rocheux prsente unrseau rgulier de fractures lui donnant du point de vuemacroscopique l'apparence d'une structure de blocsrocheux. La mcanique des milieux continus classiquesoffre un cadre appropri et bien tabh lorsqu'il s'agit demodliser un processus de dformation dont la longueurd'onde dominante est grande compare la taille carac-tristique des discontinuits de la structure consid re.Les mthodes d'homognisation permettent de dfinirles caractristiques mcaniques d'un milieu continuquivalent, grande chelle, au matriau discontinu ini-tial (Bakhalov et Panasenko, 19Bg). L'intrt de dvelop-per une approche continue pour un milieu htrogneou discontinu rside dans le fait que les approches &lt; dis-crtes &gt; (Cundall et Hart, 1992) conduisent des calculsnumriques considrables lorsque le nombre des dis-continuits ou des htrognits augmente. Parmi lesavantages d'une reprsentation par milieu continu qui-valent, oD peut galement citer le fait que le maillage parlments finis utilis pour la rsolution d'un problmeaux limites est indpendant de la gomtrie des discon-tinuits. Enfin, dans certains cas, comme pour desmilieux rocheux largement fracturs, on ne dispose pastoujours d'information prcise sur Ies rseaux de failleset de joints et seules des valeurs moyennes des modulesde dformation peuvent tre utilises.</p><p>Le milieu continu homognis ne peut reproduireque Ie comportement grande chelle du matriau relet c'est l sa principale limitation. On peut cependanttendre le domaine de validit de l'approche continue enayant recours des modles de milieux continusd'ordres suprieurs ou milieux continus gnraliss quipossdent dans leur formulation des degrs de libertcinmatiques supplmentaires comme les milieux deCosserat (Cosserat, 1909) etlou des gradients de dfor-mation d'ordres suprieurs. Les modles de milieuxcontinus gnraliss contiennent dans leur descriptionune ou plusieurs longueurs internes relies la micro-structure du matriau. Dans cet article, oo prsente toutd'abord le cadre gnral de la mcanique des milieuxcontinus gnraliss travers le formalisme de Mindlin(1964). Les milieux stratifis et les structures de blocsreprsentent deux exemples pour lesquels la thorie deCosserat est tout fait adapte. Ces deux exemples sontprsents et illustrs pour le cas de structures de maon-nerie et pour celui de la stabilit de pentes rocheuses.</p><p>EMilieux continus gnralisset formalisme deMindlin</p><p>La description de la statique et de la cinmatiquedes milieux continus possdant une microstructure (oumilieux continus gnraliss) a t prsente d'unemanire systmatique par Germain (1973a, b) partirde l'application du principe des puissances virtuellesen suivant le formalisme propos par Mindlin (1964).</p><p>Dans une description classique, un milieu continuest une distribution de points matriels caractriss parune position X et une vitesse v. Dans une thorie quiprend en compte Ia microstructure du matriau, oh</p><p>associe chaque particule matrielle un continuumC(X) dformable autour du point X appel microvo-Iume. Les tenseurs de vitesse de macrodformation eet de macrorotation c sont dfinis comme la partiesSrmtrique et la partie antis5rmtrique du gradient duchamp de vitesse :</p><p>1r^ ,, l rnr, : V@,v t </p><p>+ rvy) ,0,j - ;(iv,, - rv;) (1)L</p><p>On dfinit un tenseur de vitesse de microdformationV correspondant la dformation du microvolume C(X)suppose homogne. La vitesse dformation relative y estalors dfinie comme Ia diffrence entre le gradient demacrovitesse et la vitesse de microdformation :</p><p>Y=Vv-Y</p><p>Enfin, on dfinit le tenseur d'ordre 3 de gradient devitesse de microdformation</p><p>r-VY (3)Les quantits statistiques duales drivent alors de</p><p>l'application du principe des puissances virtuelles et del'expression de la puissance des efforts intrieurs :</p><p>u/, = tueu + ouyu + l,ruu Krr @)o r est le tenseur de contrainte de Cauchy (sym-trique) associ au tenseur de vitesse de macrodforma-tion r ; cr, est le tenseur de contraintes relatives associau tenseur de vitesse de dformation relative y ; p est letenseur de double contraintes associ au gradient devitesse de microdformation r (tenseur d'ordre 3)</p><p>On peut crire lasous la forme</p><p>Ev\/i) -o o = r + cr est le tenseur de contraintes totales.</p><p>Le principe des puissances virtuelles permetd'crire les quations d'quilibre pour un milieucontinu gnralis sous la forme</p><p>:or* { = 0 (6)0**,;"t,,u+O-u-g</p><p>o f et O reprsente respctivement les forces de volumeet les doubles forces de volume. Du principe des puis-sances virtuelles on dduit galement les conditions auxfrontires. On suppose que la frontire V du volume Vconsid r est divise en deux parties complmentaires,{V,, V) et {Vu/ Vu} respectivement, telles QUe :</p><p>surVr:u-usurVr:V-Vlsur AV": o.n -T </p><p>J)</p><p>sur Vu: p.n - TLe formalisme ci-dessus permet d'obtenir les quations</p><p>de base d'un milieu de Cosserat. Un milieu de Cosserat estun milieu micropolaire pour lequel le microvolume C(X)est un corps rigide. Par consquent un milieu de Cosseratest un milieu continu qui associe chaque point matrielune vitesse de translation et une vitesse de rotation proprecrl' diffrente de la rotation d'ensemble rrl. Dans la suitel'indice c sera utilis pour distinguer la rotation de Cosse-rat de la rotation macroscopigue. Par consquent, le ten-seur de microdformation est purement antis5rmtrique eton l'identifie rrl', et le gradient de microrotation, gale-ment antis5rmtrique, reprsente un tenseur de courbure ;</p><p>'Yri=Tij = tij</p><p>K..,UK</p><p>(2)</p><p>puissance des efforts intrieurs (4)</p><p>orru' - or.V, * l"rurKyr (5)</p><p>Ito,,-'*;r= ro.;f</p><p>(B)</p><p>42REVUE FRANA|SE or comcHNlQUEN'974e trimestre 9001</p></li><li><p>La partie symtrique du tenseur de dformationrelative y concide avec le tenseur de macrodforma-tion e et la diffrence entre macro- et microdforma-tion est purement antis;rmtrique et reprsente la diff-rence entre la rotation individuelle du microvolume etla rotation d'ensemble du domaine autour du microvo-lume.</p><p>Les quantits statiques qui apparaissent dans unmilieu de Cosserat se dduisent de l'application duprincipe des puissances virtuelles. Le tenseur decontraintes relatives o coincide avec la partie antisy-mtrique du tenseur de contraintes totales o. On sim-plifie les notations en introduisant les adjoints des dif-frents tenseurs.</p><p>t,jt = - e,;1o*t, Fui. = - u,ITIo,, @,, = - e,jo @0, T,j - - eupMt (9)o e est le tenseur de permutation dfini par</p><p>1 si 4k est une permutation paire de 123-1 si rJk est une permutation impaire de 123 (10)0 sinon</p><p>abcd (ou micro-lment) dont les cts sont petits com-pars l'paisseur des couches (Fig. 1).</p><p>;.1.li;i.i,li;i'ii.iiiiiiiiiiiiiitit::1i::1111t:iftiff1til;ttttt1t': Schma d'un milieu stratifi.</p><p>Si la s5rmtrie des contraintes tangentielles est res-pecte pour le micro-lment, celle-ci est viole pour lemacro-lment ds qu'il y a glissement le long desfrontires des couches. L'quilibre est alors assur parl'apparition de moments de flexion (Fig.2) ,</p><p>e,UK</p><p>II</p><p>ro' est le vecteur dedes moments etcontraintes.</p><p>-</p><p>rotation de Cosserat,m est la densit de</p><p>O et M sontcouple de</p><p>dM</p><p>=*Tr*-Tr*:0ax(12)</p><p>Un exemple d'applicationdes milieux deCosserat Iles massifs rocheux stratifis</p><p>,: ti(u" - u1u)</p><p>La structure stratifie du matriau conduit unedouble chelle : une chelle macroscopique o l'l-ment de volume reprsentatif peut tre reprsent parle rectangle ABCD (ou macro-lment) dont les ctssont grands par rapport l'paisseur des couches etune chelle microscopique reprsente par le rectangle</p><p>Les massifs rocheux sont Ie plus souvent fracturs.Bien que le rseau de fractures puisse tre complexe,on peut gnralement observer une certaine rgularitdes discontinuits, i.e. des directions prfrentiellesd'orientation de la fracturation. Les fractures sont sou-vent rugueuses et remplies par un matriau plustendre , ce qui cre une rsistance au glissement relatifle long des deux faces de la discontinuit. Desapproches similaires celles dveloppes pour lesmatriaux composites ont t appliques pour repr-senter les roches stratifies par un milieu continu qui-valent anisotrope (Salamoil, 1968) . La taille du volumelmentaire du milieu homognis est grande com-pare l'paisseur des couches individuelles. Cetteapproche est valide tant qu'il n'y a pas de glissementinterne le long des couches.</p><p>Considrons un milieu plan infini constitu decouches lastiques planes parallles identiques d'pais-seur 2h. Soit u et w les composantes du dplacement.On suppose que le poids des couches suprieuresempche l'ouverture des joints. Pour une loi d'interfacelastique le glissement tangentiel le long des jointss'crit de facon linaire :</p><p>1_</p><p>dx</p><p>Rupture de symtrie des contraintestangentielles.</p><p>Ces moments de flexion des couches conduisent une rotation locale comme degr de libert supplmen-taire de la cinmatique du macro-lment. Cette rotationlocale ne peut tre prise en compte dans le cadre de lamcanique des milieux continus classiques et ncessited'avoir recours la thorie de Cosserat. Par ailleurs, cesmoments de flexion donnent naissance de forts gra-dients dans la distribution locale des contraintes. Celaaffecte sensiblement la fois le mode de dformation etle mode de rupture des diffrentes couches. l1tlTJ</p><p>REVUE FRANAISE DE GEOTECHNIQUEN" 97</p><p>4e trimestre 9001</p><p>",{</p><p>(11)</p><p>4rlI</p></li><li><p>Dans un milieu de Cosserat bidimensionnel, la cin-matique de chaque point matriel est dfinie par deuxdegrs de libert de translation (u, w) et un degr delibert de rotation rrr' (Fig. 3). Le tenseur de dforma-tion relative et le vecteur courbure (quation B) s'expri-ment de la facon suivante :</p><p>(t)c</p><p>^"</p><p>l,/v-X1</p><p>o11 = (K+ G)Ty + (K - G)yzz622= (K- G)ytL + (K + G)Tzz</p><p>612= [G + G,]yrr+ (G - G,)Tz,621= (G - Gr)yrr+ (G + G,)T21</p><p>IT), = M*,IT), = M*,</p><p>Dans les relations de comportement (15), K est le modulede compressibilit bidimensionnel et G est le module decisaillement qui relie la partie symtrique de la dformationdviatorique la partie s5rmtrique de la contrainte dviato-</p><p>u u (-T**: ^ ;T*r=;*rlr-Ox c,z</p><p>wewcTrr=-,Tr, - ^ -CI' (13)Oz Ox</p><p>cot crr'K" = </p><p>= )Kz: ^- </p><p>x2</p><p>Ox OZ</p><p>b,x2</p><p>x, + dx,</p><p>x2</p><p>x, + dx,</p><p>x, + dx,</p><p>d*, (a)</p><p>(b)</p><p>xt</p><p>xtxt</p><p>m" ,IIlz f ;-OXZ</p><p>-:,:'</p><p>*'(lozr</p><p>m,</p><p>I \'' + a;;dx 'l/6zt</p><p>Uo',lll2</p><p>'ffiif*$r1*,,ffii,tffiffiffi QuantitscinmatiquesdansunmilieudeCosserat.</p><p>Les quations d'quilibre (6) en l'absence de forceset de couples de volume deviennent :</p><p>oo , or, _n----vx z</p><p>M+?,'- o r 4)x z</p><p>m- m-+++*or* -or* =0Ox OZLes deux premires equations d'quilibre sont for-</p><p>mellement les mmes que pour un milieu continu clas-sique. Une quation d'quilibre supplmentaire pourles couples de contraintes est introduite (Fig. a).</p><p>Les quations de comportement d'un milieu de Cos-serat bidimensionnel lastique isotrope s'crivent(Schaefer, 1962; Vardoulakis et Sulem, 1995) :</p><p>X2</p><p>xl x, + dx,</p><p>iiuxliiilfiiiiliilifii;i$ffii#iiiii quation d'quilibre dans un milieu deCosserat. (a) quilibre des forces ; (b)quilibre des moments.</p><p>rique. IJn autre module de cisaillement G. (module de cisaille-ment de Cosserat) est introduit qui relie la partie antis5rm-trique de Ia dformation relative la partie antisSrmtrique deIa contrainte dviatorique. Enfin, les couples de contraintessont relis aux courbures correspondantes par un module deflexion M qui a la dimension d'une force. Ainsi, dans unmilieu de Cosserat bidimensionnei lastique isotrope deuxparamtres supplmentaires sont introduits par rapport aumilieu lastique classique (de Cauchy) : un module de cisaiile-ment G, et une longueur interne I - tfvtc. Les relations decomportement (15) peuvent tre gnralises au cas d'unmilieu lastique anisotrope :</p><p>o11 : CrrTrr* CrrTn622= CrrTr.,i CrrTn</p><p>o12= IG + G,(1 - a)lyp+ IG - GJy^62.1 = IG - G JYrr+ IG + G.[1 + a)lTzt</p><p>ITI, : Mr*tiffl, = Mrlr.,</p><p>Dans les relations (16), cr est un paramtre d'aniso-tropie. Les modules de flexion gnralement diffrentsM, et M, introduisent alors deux longueurs internes</p><p>(16)(15)</p><p>etI--</p><p>lz : I M z / G . Un milieu de Cosseratou plusieurs longueurs caractristiques</p><p>44REVUE FRANAISE DE GOTECHNIQUEN" g7</p><p>4e trimestre 2001</p><p>ozz*#O*,</p><p>I --.o,_l* o', *a*,Ldxz,I</p><p>l;,*ff.*'ll-_ . oull </p><p>ot'+Tx,s!-lot,f</p><p>AX,</p><p>possde donc une</p></li><li><p>(ou longueurs internes) dans la fomulation des relationsde comportement. Ces longueurs internes sont relies lataille de la microstructure comme on Ie verra par la suite.</p><p>Les coefficients des relations de comportement (16)peuvent s'exprimer explicitement partir des moduleslastiques des couches individuelles supposes iso-tropes et des caractristiques lastiques des joints. Pource faire, on considre diffrents chargements lmen-taires du milieu stratifi (Zvolinskii et Shkhinek, 1984).Notons que les valeurs de CeS Constantes peuventdpendre...</p></li></ul>

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