Modélisation et modèles probabilistesjcleger.math.free.fr/maths/2016/docs/2016-slides-02... · 2018-08-29 · Modélisation en probabilités Modèles probabilistes généraux- la

Modélisation en probabilitésModèles probabilistes généraux- la théorie

Variables aléatoires réelles, espérance

Modélisation et modèles probabilistes

29 septembre 2016




Qu’est ce que modéliserEt les probabilités ?Modèles probabilistes- la pratiqueDes exemples fondamentaux de modèles

Le point de départ

La physique, la chimie, la biologie, etc...sont des sciences quicherchent à modéliser mathématiquement un certain nombrede phénomènes.Le point de départ est grosso modo toujours le même

1 On cherche à identifier les caractéristiques « visibles »duphénomène. Ces caractéristiques peuvent êtrequantitatives ou qualitatives.

2 Certaines de ces caractéristiques peuvent être mesurablesou observables. En effectuant une expérience, on pourraévaluer ces caractéristiques sur l’expérience donnée.

3 D’autres caractéristiques peuvent être des paramètres del’expérience. On peut, au fil des expériences, varier un ouplusieurs de ces paramètres et, à chaque fois, évaluer lescaractéristiques observables.

4 Convenons d’appeler ces caractéristiques les variables dela modélisation du phénomène observé.





Le point de départ









Le point de départ









Le point de départ









Le point de départ









Voici quelques questions qu’un humain aurait pu se poser il y a10000 ans

En calorimétrie : je dispose de deux bols d’eau, l’une de laneige tout juste fondue, l’autre tout juste portée à ébullition.Je les mélange. Puis-je boire le tout sans me brûler ?En balistique : je lance une sagaie vers le mammouth quej’aimerais manger. Parfois je loupe (trop court ou troplong), parfois je réussis. J’aimerais réussir à coup sûr.En halieutique : dans ce lac, quand je lance mon filet, j’enretire deux sortes de poissons. Certaines années, uneespèce herbivore semble très majoritaire, d’autres années,c’est l’autre espèce carnivore qui est majoritaire.Pourquoi ?





Pour aborder scientifiquement ces questions, on a besoin dedeux concepts : nombre et quantité.Le concept de nombre est très ancien et notre ancêtremangeur de mammouth pouvait très probablement se figurer letroisième problème en termes très similaires (compter lenombre d’animaux).Concernant les quantités, il est clair que dans le premierproblème on peut distinguer que dans un bol il y a plus d’eauque dans le second ou que l’eau froide est plus froide que l’eauchaude. Il n’y a pas de nombres en jeu.





Les grecs (et peut-être avant eux les égyptiens ou d’autresdont on a perdu la trace) ont établi un pont entre ces deuxconcepts en inventant les unités de mesure.On peut dire que le stade d’Olympie est long comme 600 piedsd’HERCULE ou que le rapport entre l’aire d’un cercle et l’aire ducarré ayant pour côté le rayon de cercle, c’est un nombre, est lamoitié du rapport entre le périmètre de ce cercle et le périmètredu carré.Bref, en se servant d’une quantité étalon, on peut évaluer, pardes nombres, les quantités de même nature.





Calorimétrie

Concernant le premier problème, il a fallu quelques centainesd’années pour que les concepts de température et de quantitéde chaleur reçue ou donnée émergent.

On a vu comment les longueurs (les aires, les volumes)peuvent être évalués en les comparant à une longueur(aire, volume) étalon.





Calorimétrie


Il en est de même pour « quantité de matière », ça semesure de façon élémentaire, par exemple, en comparantà la balance avec des poids étalonnés. En se donnant uneéchelle de comparaison, on identifie la masse mesurée àun nombre m.





Calorimétrie


la température, ça se mesure, à l’origine, par un systèmede comparaison avec une matière pouvant se dilater. C’estle principe du thermomètre : une variation de températurese mesure par une variation de longueur de la matière duthermomètre. De la sorte, on identifie la températuremesurée à un nombre T .





Maintenant que l’on sait mesurer, on peut faire desexpériences : dans notre cas, on peut faire varier les massesd’eau froide et d’eau chaude dans notre mélange, varier leurstempératures et mesurer la température finale. On a donc 5variables

m0,m1,T0,T1,Tf

respectivement la masse d’eau froide (m0), celle d’eau chaude(m1), leurs températures initiales (T0 et T1) et la températurefinale du mélange (T ).On peut constater, expérimentalement, que grosso modo, Tsemble être la moyenne pondérée de T0 et T1 avec commecoefficients m0 et m1.

T ∼ m0

m0 + m1.T0 +

m1

m0 + m1.T1

Une telle relation, affine en T0 et T1, est assez facile àconstater sur des tables de mesures.





Cette constatation n’est pas une explication ! Une explicationdoit ressortir d’un niveau plus élémentaire et décrire lemécanisme par lequel on aboutit à cet équilibre.Si on introduit le concept de quantité de chaleur reçue oudonnée par un corps au cours d’une transformation, la relationobtenue s’explique alors par l’établissement d’un bilan : ce quia été donné par l’un a été reçu par l’autre et au final, on a unéquilibre.Un tel principe d’échange est suffisamment simple pour êtreconsidéré comme explicatif. Mais on pourrait poser la questionplus avant : c’est quoi exactement la quantité de chaleur ?comment se produit l’échange, etc...Là, c’est de la physique !





Balistique

Pour le problème de la sagaie, les variables sont certainementla direction initiale du lancer, la puissance avec laquelle celui-ciest effectué et la distance parcourue par la sagaie.Je laisse les spécialistes de mécanique établir que, en terrainplat, si la sagaie est lancée avec un angle initial de α0, unevitesse initiale de v0 alors la distance parcourue 1 est

d =v2

0 sin(2α0)

2.g

On peut douter qu’une telle relation soit directement visible surune expérience en faisant varier les paramètres v0 et α0(personnellement, je n’imagine pas voir/deviner autre chosequ’une relation affine).

1. g l’accélération de la pesanteur, as usualModélisation et modèles probabilistes




Halieutique

Dans ce problème, on n’a pas besoin de concepts physiquesextrêmement élaborés. On peut se contenter, à chaque pêche,de consigner les proportions de chaque espèce, disons A et B,qui doivent donc être des variables du modèle.Une variable importante fait son apparition, c’est le temps.Supposons que nous le mesurions en jours, que nous fassionsune pêche par jour, et que nous notions t le jour.Il y a probablement une relation entre A et B au jour t + 1 et Aet B au jour t . Ceci se traduit par le fait que A et B sontfonctions de t et qu’ils satisfont une relation de récurrence.On peut bien tracer des graphiques donnant A et B enfonctions de t . Il est douteux que l’on puisse se servir de cesgraphiques pour construire une « formule » donnant A et B enfonction de t ;





En résumé

Modéliser, c’est déterminer un ensemble de variablesintéressantes du phénomène étudié, c’est ensuite trouverquelles relations entre variables sont adéquates pour décrire lephénomène, sur une base rationnelle (quels échanges entreles deux populations, quel taux de reproduction, de quoidépend-il, etc...) ou sur une base empirique.C’est aussi être conscient des hypothèses simplificatrices quiont été faites.Finalement, il y a toujours une étape de confrontation critiquedes résultats du modèle avec le phénomène réel.





Le hasard (et donc le calcul des probabilités) peut intervenir dedifférentes manières dans un processus demodélisation/confrontation.Cela signifie que l’on peut considérer certaines variables dumodèle comme des variables aléatoires, i.e. des variablesissues du hasard.

1 On peut croire que le hasard existe réellement dans lanature et donc, certaines variables du modèle seront paressence aléatoires.

2 Même si l’on n’y croit pas, on peut considérer commealéatoires certaines variables que l’on ne peut contrôler oumesurer précisément.

Les probabilités interviennent aussi dans le traitementstatistique des résultats d’expérience et donc la confrontationdu modèle à la réalité.Reprenons nos exemples





Calorimétrie. Dans l’expérience proposée, on a la relation

T =m0

m0 + m1.T0 +

m1

m0 + m1.T1

On peut se demander, par exemple, ce qui se passe pourT , i.e. comment T varie lorsque l’on a une indéterminationsur m0. Si l’on sait que lors de l’expérience m0 estdistribuée d’une certaine façon autour d’une valeurcentrale m0, on peut se demander si, et comment, T estdistribuée autour d’une certaine valeur centrale T .





Balistique. Imaginons notre lanceur de sagaie atteint de lamaladie de PARKINSON. On peut imaginer que son anglede jet ainsi que la vitesse initiale varient toutes les deux etsachant cela, on peut se demander les chances qu’il ad’atteindre(succès) ou pas(échec) une cible ayant unecertaine largeur. Cela peut se mesurer expérimentalementen itérant suffisamment l’expérience pour évaluer laproportion de succès. 2

2. On pourrait aussi se demander l’effet du vent sur le résultat final. Ventque l’on ne maîtrise pas et que l’on pourrait modéliser de façon probabiliste,c’est compliqué !





Enfin, pour un modèle d’évolution de population, le hasardintervient assez naturellement lorsque l’on considère lephénomène au niveau individuel. Chaque animal va avoirune certaine descendance, une certaine façon derencontrer ou pas son prédateur ou sa proie suivant unscénario qui lui est propre. Le modèle déterministe nepeut-être que l’expression de la tendance centrale d’unmodèle microscopique probabiliste sous-jacent.





Ce que comporte un modèle

Un modèle probabiliste pour un système physique oubiologique, c’est, d’abord

1 Une famille de variables aléatoires, souvent numériques,les variables du modèle, X1,...Xn,...,Y1,...,Z ,... qui décriventl’état du système

2 La donnée des relations qu’elles entretiennent entre elles :y a-t-il des relations issues de la physique, de la biologie ?sont elles indépendantes ?...

3 des hypothèses portant sur les distributions de certainesde ces variables, p.ex les X1,...Xn,..





Événements, probabilité, distributions

Un événement, c’est le fait qu’une (ou plusieurs) variable soitlocalisée, ou pas, dans une zone numérique donnée, c’estaussi une combinaison logique de tels faits. Typiquement si X ,Y sont des variables du modèle, à valeurs réelles, I, J sont desintervalles de R, le fait que X appartienne à I est unévénement, le fait que simultanément X ∈ I et Y ∈ J l’est aussi.Un événement est donc donné par une proposition logiquefaisant intervenir la localisation des valeurs prises par lesvariables du modèle.On calcule des probabilités d’événements. P(X ∈ I) désignerala probabilité que la valeur prise par la variable X appartienne àl’intervalle I. C’est un nombre entre 0 et 1 décrivant laproportion d’états du système, de cas de figure, qui mènent aurésultat X ∈ I.





1 Un/l’ événement certain c’est quand dans tous les cas defigure, la proposition logique décrivant l’événement estvérifiée. Sa probabilité est 1 = 100%.

2 Un événement quasi-certain ou presque sûr c’est unévenement de probabilité est 1 = 100%.

3 Un/l’ événement impossible c’est quand dans tous les casde figure, la proposition logique décrivant l’événement estfausse. Sa probabilité est 0 = 0%.

4 Un événement quasi-impossible ou négligeable c’est unévenement de probabilité est 0 = 0%.





Les probabilités d’événements doivent satisfaire à des règleslogiques « naturelles ».

1 Si un événement A implique un événement B, laprobabilité de A doit être inférieure à celle de B car laproportion de cas de figure où A est réalisé est inférieure àla proportion de cas de figures où B est réalisé.

2 Si deux événements A et B sont incompatibles au sens oùaucune configuration du système vérifiant A vérifie B etvice-versa, la probabilité de leur alternative (A ou B estvrai) est la somme de leurs probabilités.

3 Enfin, deux événements A et B sont indépendants, si laprobabilité de leur conjonction (A et B est vrai) est leproduit de leurs probabilités.





Connaître la famille de nombres P(X ∈ I) où I décrit l’ensembledes intervalles de R c’est connaître la distribution de X .Une telle distribution peut-être une donnée de la modélisationou un résultat recherché dans le traitement mathématique dumodèle.





Espérance

L’espérance d’une variable numérique X doit être comprisecomme la moyenne des valeurs prises par X lorsque que l’onmoyenne sur tous les états possibles du système.Le mot espérance provient de la théorie des jeux : si dans unjeu (par exemple pile ou face), le succès A rapporte unesomme donnée alors que l’échec non(A) ne rapporte rien,l’espérance de gain pour ce jeu est

Montant à gagner× probabilité de gagner

En formules, si A est un événement, on note 11A la variablealéatoire valant 1 si l’événement A survient, 0 sinon. Ellereprésente le gain du joueur si le montant à gagner est de 1.On a

E(11A) = P(A)





Si le montant à gagner en cas de succès est s, le gain dujoueur est donné par la v.a.r s.11A, son espérance est

E(s.11A) = s.P(A) = s.E(11A)

Si un jeu a trois issues possibles, marquées par la famillecomplète d’événements incompatibles A1, A2, A3, avec unesomme sk à gagner en cas de survenue de l’événement Akalors l’espérance de gain est

Montant s1× probabilité de A1 + Montant s2× probabilité de A2+..

En formules si S est le gain de ce joueur, on a

S = s1.11A1 + s2.11A2 + s3.11A3

et

E(S) = s1.P(A1) + s2.P(A2) + s3.P(A3)

= s1.E(11A1) + s2.E(11A2) + s3.E(11A3)





Retours sur les calculs de premières année

La théorie que vous avez vue en première année est bâtie surla considération de

1 Un ensemble Ω fini, un événement A étant une partiequelconque de Ω

2 Une suite finie de poids (pω)ω∈Ω vérifiant

∀ω ∈ Ω, 0 ≤ pω ≤ 1 et∑ω∈Ω

pω = 1

permettant de définir la probabilité d’un événement A parla formule

P(A) :=∑ω∈A

pω =∑ω∈Ω

11ω∈Apω

3 et surtout de considérer qu’une variable aléatoire réelle Xest une application X : Ω→ R





Retours sur les calculs de premières année

Ce cadre rattache la théorie des probabilités auxmathématiques « standard ». Il permet de ne traiter que le casoù un nombre fini de variables prenant un nombre fini devaleurs interviennent.





Dans ce cadre, si X , Y sont deux v.a.r, I, J deux intervalles,l’événement (X ∈ I) est une partie de Ω, c’est la partie

X ∈ I := ω ∈ Ω,X (ω) ∈ I = X−1(I)

Sa négation est l’événement (X 6∈ I), i.e

X 6∈ I := ω ∈ Ω,X (ω) 6∈ I= ω ∈ Ω,X (ω) ∈ I

L’événement (X ∈ I et Y ∈ J), c’est la partie

X ∈ I et Y ∈ J := ω ∈ Ω,X (ω) ∈ I et Y (ω) ∈ J= ω ∈ Ω, (X (ω),Y (ω)) ∈ I × J





les opérations d’alternative ( ou ), de conjonction ( et ) et denégation (.) recherchées pour les évenements probabilistes setraduisant respectivement d’un point de vue ensembliste parles opérations de réunion, d’intersection ou de complémentaire.A titre d’exemples : si X , Y sont deux v.a.r, I, J deux intervalles,

X ∈ I ou Y ∈ J = X ∈ I ∪ Y ∈ JX ∈ I et Y ∈ J = X ∈ I ∩ Y ∈ J

X 6∈ I = X ∈ I





Évacuer Ω des calculs

La nature exacte de Ω n’intervient pas dans un calculprobabiliste. Seules les distributions (et les quantitésassociées) des v.a. interviennent et nous intéressent.Supposons que X soit une variable aléatoire ne pouvantprendre que les valeurs réelles x1, x2 et x3 où x1 < x2 < x3. Onsuppose que l’on connaît les trois probabilités suivantes :

p1 := P(X = x1), p2 := P(X = x2) et p3 := P(X = x3)

les événements X = x1, X = x2 et X = x3 sontmutuellement incompatibles : on rejette le fait que dans un casde figure donné, la valeur prise par X soit à la fois x1 et x2.






Il y a plusieurs (une infinité si l’on y réfléchit) modèlesprobabilistes finis possibles

Le plus simple : Ω = x1, x2, x3 ⊂ R, P définie sur P(Ω)par le système de poids (x1,p1), (x2,p2) et (x3,p3) et enfinX : Ω→ R définie par ∀ω ∈ Ω, X (ω) = ω.Variante à numerotation : Ω = 1,2,3, P définie sur P(Ω)par le système de poids (1,p1), (2,p2), (3,p3) et enfinX : Ω→ R définie par ∀ω ∈ Ω, X (ω) = xω.Variante inutilement compliquée : Ω = 1,2,3 × 0,1, Pdéfinie sur P(Ω) par le système de poids ((1,0),p1/3),((2,0),p2/3), ((3,0),p3/3), ((1,1),2p1/3), ((2,1),2p2/3)et ((3,1),2p3/3) et enfin X : Ω→ R définie par∀ω = (ω1, ω2) ∈ Ω, X (ω) = xω1 .

On peut, dans chaque cas, dessiner les événements X = x1,X = x2 et X = x3. Modélisation et modèles probabilistes





L’alternative de ces trois événements est certaine : X doitprendre une valeur et, par hypothèse, c’est l’une des troisvaleurs x1, x2 ou x3. En conclusion, on doit avoir

p1 + p2 + p3 = P(X = x1) + P(X = x2) + P(X = x3)

= P((X = x1) ou (X = x2) ou (X = x3)) = 1

Si I est un intervalle quelconque de R, la probabilité P(X ∈ I)se calcule comme suit car l’événement X ∈ I est l’alternativedes trois événements incompatibles X = x1 et X ∈ I,X = x2 et X ∈ I et X = x3 et X ∈ I.

P(X ∈ I) = P(X = x1 et X ∈ I) + P(X = x2 et X ∈ I)+P(X = x3 et X ∈ I)






Si, par exemple x1, x2 ∈ I et x3 6∈ I, on a, par redondance,

X = x1 et X ∈ I = X = x1, X = x2 et X ∈ I = X = x2,

et X = x3 et X ∈ I est impossible et donc

P(X ∈ I) = P(X = x1 et X ∈ I)︸︷︷︸p1

+P(X = x2 et X ∈ I)︸︷︷︸p2

+

P(X = x3 et X ∈ I)︸︷︷︸0

= p1 + p2





Représentation graphique d’une distribution ettransformations.

Pour représenter graphiquement une distribution de v.a. réelleX , on place une barre (fléchée) de hauteur P(X = xk ) audessus de chaque valeur xk pouvant être prise par X .c.f. figures 1 et 2Une telle représentation est réminiscente de la présentation enhistogramme de données statistiques.





0.0 0.5 1.1x

0.1

0.6

0.3

p

0.00 0.25 1.21y

0.1

0.6

0.3

FIGURE – Une variable aléatoire X , sa distribution et la distribution deY = X 2.





1.1 0.0 1.1x

0.1

0.6

0.3

p

0.00 1.21y

0.6

0.4

FIGURE – Idem que pour la fig. 1. Noter queP(Y = 1.21) = P(X = −1.1) + P(X = 1.1)





Exercice 1.—Représenter graphiquement la distribution d’unevariable X suivant la loi binomiale B

(4, 1

2

), puis la distribution

de Y = X − 2 et enfin celle de Z = Y 2 − 2.





La fonction de répartition d’une v.a. réelle

Soit X une variable aléatoire réelle. Sa fonction de répartitionFX est la fonction FX : R→ [0,1] ⊂ R définie par la formule

∀x ∈ R, FX (x) = P(X ≤ x) = P(X ∈ ]−∞, x ])

Les figures 3 et 4 montrent les graphes des fonctions FX et FY .Noter le « saut » de ces fonctions aux valeurs prises par lesvariables avec probabilité > 0.La fonction de répartition FX d’une v.a.réelle X caractérise ladistribution de X .Une telle fonction est croissante sur R, continue à droite en toutpoint de R, de limite 0 en −∞, de limite 1 en +∞.Dans le cas d’un v.a. ne prenant qu’un nombre fini de valeurs,elles est constante par morceaux.





0.0 0.5 1.1x

0.1

0.7

1.0

p

0.00 0.25 1.21y

0.1

0.7

1.0

FIGURE – Une variable aléatoire X , Y = X 2, distributions et fonctionsde réparition.





1.1 0.0 1.1x

0.1

0.7

1.0p

0.00 1.21y

0.6

1.0

FIGURE – Idem que pour la fig. 3.





La formule de transfert

Si X est une v.a prenant un nombre fini de valeurs réellesdistinctes, x1, . . . , xK , on a

X =K∑

k=1

xk11X=xk

et son espérance est

E(X ) =K∑

k=1

xkP(X = xk )





Si maintenant h : R→ R est une fonction quelconque. Lavariable Y = h(X ) définie par

∀ω ∈ Ω, Y (ω) = h(X (ω))

est une variable prenant les valeurs h(x1), . . . ,h(xK ). On a laformule de transfert

E(h(X )) =K∑

k=1

h(xk )P(X = xk )

Elle permet de calculer l’espérance d’une fonction quelconquede X . La donnée de la formule de transfert générique, avec unefonction h quelconque, est équivalente à la donnée de ladistribution de X .





Exercice 2.—1. Soit X une v.a. réelle ne prenant qu’un nombre fini devaleurs distinctes x1, . . . , xK. Montrer que pour tout x ∈ R,

FX (x) = P(X ≤ x) =K∑

k=1

11xk≤x)P(X = xk ) =∑

k :xk≤x

P(X = xk )

2. Montrer que si de plus, les valeurs prises par X sontpositives, on a

E(X ) =

∫ +∞

0P(X > x) dx =

∫ +∞

0(1− FX (x)) dx





Probabilités conditionnelles

Evaluer la probabilité conditionnelle d’un événement Arelativement à un événement B, c’est évaluer la proportion deconfigurations satisfaisant à la fois les événements A et B parmicelles satisfaisant l’événement B. En formule, si P(B) > 0,

P(A|B)︸︷︷︸probabilité de A sachant B

=P(A et B)

P(B)

Une remarque de notation importante : « A sachant B » ou« (A|B) » n’est pas un événément. La notation P(A|B) nesignifie pas que l’on applique la probabilité P à A|B, qui n’apas de sens !D’un point de vue pratique, donner des probabilitésconditionnelles est souvent une façon de spécifier lamodélisation à un niveau fin.





Pour illustrer ceci, supposons que nous disposions d’unepopulation de 36 individus, composée de 1

3 de garçons et de 23

de filles. Parmi les garçons, 33% portent des lunettes alors quec’est le cas pour seulement 25% des filles.Une question simple est la proportion d’individus portant deslunettes.On peut régler cette question de deux façons.





La première, naïve, consiste à dénombrer les individus :Il y a 12 garçons dont 4 portent des lunettes, il y a 24 filles dont6 portent des lunettes. Il y a donc, sur les 36 individus, 10individus porteurs de lunettes, ce qui fait une proportion de1036 = 27,8% de porteurs de lunettes dans cette population.On peut faire ce raisonnement sans connaitre le nombred’individus. Si N est le nombre total d’individus,Il y a 1

3 .N garçons et 13 .

13 .N garçons porteurs de lunettes, il y a

23 .N filles et 1

4 .23 .N filles porteuses de lunettes, ce qui fait un

total de (19 + 1

6).N = 518 .N de porteurs de lunettes et donc une

proportion de 27,8% de la population.





La seconde (en apparence plus savante, mais on fait la mêmechose ! !). On considère l’expérience aléatoire de tirer au sort(uniformément) un individu I et on considère les événementsA =« I porte des lunettes », B =« I est une fille » et C =« I estun garçon ».La question est la valeur de P(A).





L’utilisation d’une phrase entre « » pour désigner un événementpeut mener à des ambiguités et est une mauvaise pratique.D’un point de vue de la méthode, il est préférable d’introduireimmédiatement des variables aléatoires, p.ex. des indicatrices,permettant l’écriture usuelle de ces événements. Soit S et Mdéfinies par

S =

0 si I est un garçon1 si I est une fille

et M =

0 si I sans lunettes1 si I à lunettes





On a alors

A = M = 1, B = S = 1 et C = S = 0

et les données du problème, s’expriment par les faits suivants

P(B) =23, P(C) =

13, P(A|B) =

14

et P(A|C) =13

On a donc

P(A et B) = P(A|B).P(B) =14.23, P(A et C) = P(A|C).P(C) =

13.13

et, sachant que A = (A et B) ou (A et C), avec une alternativeexclusive, on a

P(A) = P(A et B) + P(A et C) =5

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Ces méthodes donnent évidemment le même résultat, lapremière a l’avantage de la naïveté et de la simplicitéconceptuelle, la seconde ouvre la porte à une possibilité degénéralisation dans le cas d’une population infinie. Notonsqu’on a montré au passage la formule des probabilités totales :Si B1, . . .BN est un système complet d’événementsincompatibles (de probabilité > 0), on a, pour tout évenementA,

P(A) =N∑

n=1

P(A|Bn).P(Bn)





Espérance conditionnelle

B étant un événement de probabilité > 0, l’applicationP(.|B) : A 7→ P(A|B) est une probabilité sur l’ensemble desévénements. Si X est une variable aléatoire réelle, on peuttenter de calculer son espérance relativement à cetteprobabilité. Il s’agit de l’espérance conditionnelle de Xconditionnée à B 2.

2. cette notion n’est pas formellement au programme, on voit cependantqu’elle n’en est pas disjointe...





Elle est notée E(X |B). Si X prend un nombre fini de valeursx1, . . . , xK ⊂ R, on a, par transcription de la formule usuelled’espérance, la formule

E(X |B) =K∑

k=1

xK .P(X = xk |B)

Exercice 3.—Montrer que, de plus, si B1, . . .BN est un systèmecomplet d’événements incompatibles (de probabilité > 0), on a,

E(X ) =N∑

n=1

E(X |Bn).P(Bn)





Indépendance d’événements

Si un événement B est de probabilité > 0 et A est unévénement, on traduit l’indépendance de A relativement à Bpar le fait que

P(A) = P(A|B)

Si on lit cette formule à haute voix, on se rend compte qu’ellesignifie que la proportion de configurations vérifiant A parmicelles vérifiant B est la proportion de configurations vérifiant Aparmi toutes les configurations. C’est bien l’idée que l’on se faitde l’indépendance statistique.





On peut réécrire cette relation de façon à traiter le casP(B) = 0. Ceci symétrise la relation d’indépendance.

DéfinitionDeux événements A et B sont indépendants si

P(A et B) = P(A).P(B)

D’un point de vue pratique, l’indépendance de deuxévénements (ou de variables aléatoires) est souvent unespécification du modèle, un choix, donc, du modélisateur.





Indépendance de variables aléatoires

DéfinitionSoient X et Y deux variables aléatoires réelles.

X et Y sont dites indépendantes si pour tous intervalles Iet J, les événements X ∈ I et Y ∈ J sontindépendants i.e.

P(X ∈ I et Y ∈ J) = P(X ∈ I).P(Y ∈ J)

X et Y sont indépendantes ssi pour toutes fonctionsf ,g : R→ R,

E(f (X ).g(Y )) = E(f (X )).E(g(Y ))





Deux dés indépendants

On considère deux dés à 6 faces, équilibrés. Une partie, c’estdeux joueurs Pierre et Iris, et un tirage de ces deux dés.

Si la somme des deux dés est un nombre pair, Pierrereçoit d’Iris un montant de αp × somme,Si la somme des deux dés est un nombre impair, Iris reçoitde Pierre un montant de αi × somme. La questionest :comment choisir αp et αi de sorte que le jeu soitéquitable.






Il faut définir les variables aléatoires fondamentales du modèle,traduire les hypothèses, donner une version mathématique dela question finale et enfin, faire les calculs.






On peut poser comme variables fondamentales X1 et X2, leschiffres tirés respectivement par le premier dé et le second.L’hypothèse sur les dés indique que on peut supposer X1, X2indépendantes et uniformément distribuées sur 1, . . . ,6.La somme est S = X1 + X2.La variable qui nous intéresse est Gi , le gain d’Iris. (Noter queGi = −Gp où Gp est le gain de Pierre).On a Gi = αi .S.11S impair − αp.S.11S pair.Finalement, on dira que le jeu est équitable si E(Gi) = 0.






Il s’agit de calculer E(Gi) en fonction de αi et αp pour trouver lacondition cherchée de jeu équitable.






On a, par linéarité de l’espérance,

E(Gi) = αi .E(S.11S impair)− αp.E(S.11S pair)

Il suffit de calculer E(S.11S impair) et E(S.11S pair).






On a

E(S.11S impair) + E(S.11S pair) = E(S) = E(X1) + E(X2) = 7

Il suffit de calculer E(S.11S pair).






Calculons ce qu’il faut de la loi de Y = S.11S pair pour évaluerE(Y ). C’est une variable à valeurs dans 0,2,4,6,8,10,12.De la formule de l’espérance, il est a priori inutile de calculerP(Y = 0).On calcule par disjonction de cas puis indépendance.






(Y = 2) = (X1 = 1 et X2 = 1)

et, par indépendance

P(Y = 2) = P(X1 = 1).P(X2 = 1) =1

36






(Y = 4) = (X1 = 1 et X2 = 3) ou (X1 = 2 et X2 = 2) ou (X1 = 3 et X2 = 1)

par incompatibilité

P(Y = 4) = P(X1 = 1 et X2 = 3)+P(X1 = 2 et X2 = 2)+P(X1 = 3 et X2 = 1)

et, par indépendance,

P(Y = 4) = P(X1 = 1).P(X2 = 3)+P(X1 = 2).P(X2 = 2)+P(X1 = 3).P(X2 = 1) =3

36=

112






(Y = 6) = (X1 = 1 et X2 = 5) ou (X1 = 2 et X2 = 4) ou (X1 = 3 et X2 = 3) ou . . .

par incompatibilité,

P(Y = 6) = P(X1 = 1 et X2 = 5)+P(X1 = 2 et X2 = 4)+P(X1 = 3 et X2 = 3)+. . .

et, par indépendance,

P(Y = 6) = P(X1 = 1).P(X2 = 5)+P(X1 = 2).P(X2 = 4)+P(X1 = 3).P(X2 = 3)+· · · =536






De même,

P(Y = 8) =5

36, P(Y = 10) =

336

et P(Y = 12) =1

36

et, par la formule de l’espérance,

E(Y ) =1

36(2 + 4× 3 + 6× 5 + 8× 5 + 10× 3 + 12) =

12636

=72






Pour finir, on a

E(S.11S impair) = 7− E(S.11S pair) =72

d’oùE(Gi) =

72

(αi − αp)

et donc, le jeu est équitable si et seulement si αi = αp.





Tirer des boules avec remise

Le passionnant phénomène en considération est le suivant : ondispose d’un sac contenant N fruits (prunes et quetsches),indiscernables au toucher, dont une proportion p de prunes etune proportion q de quetsches. On a

p + q = 1

L’opération élémentaire effectuée est la suivante : on prend unfruit dans le sac, on note son type et on le remet dans le sac.L’opération complète est la suivante : on effectue n opérationsélémentaires successives.On compte au final le nombre S de prunes. La question estdonner la distribution de S.





La méthode combinatoire

La méthode combinatoire consiste à considérer lesconfigurations possibles, à évaluer leur probabilité d’apparitionet à les dénombrer.Une configuration pour cette expérience est une suite de nlettres, P ou Q, correspondant au codage d’un tirage. Parexemple PPQQ....PQ code le fait que les deux premiers tiragesont été des prunes, les deux suivants des quetsches, l’avantdernier une prune et le dernier une quetsche.Une telle configuration à une probabilité pnbre de P .qnbre de Q

d’apparition. Il y a 2n telles configurations. Trouver la loi de S,qui prend clairement ses valeurs dans l’ensemble 0, . . . ,n,consiste, pour chaque s ∈ 0, . . . ,n, à trouver et dénombrerles configurations comportant exactement s fois la lettre P.






Il y a exactement(n

s

)telles configurations, toutes ayant même

probabilité d’apparition psqn−s et donc

∀s ∈ 0, . . . ,n , P(S = s) =

(ns

)psqn−s

On dit que S suit la loi binomiale B (n,p).





La modélisation élémentaire

On va maintenant modéliser cette expérience de façonnaturelle, en tirant effectivement les fruits les uns après lesautres. La question est : est-ce que cette façon de calculerdonne les mêmes résultats que la méthode combinatoireclassique ?Les variables du modèle que l’on construit sont (asseznaturellement),

1 X1, X2,....Xn, Xk désignant le résultat du k -ième tirage. Onconvient que Xk = 1 si on y a tiré une prune et Xk = 0sinon.

2 X1, X2,....Xn sont indépendantes. (remise)3 S = X1 + · · ·+ Xn, grâce à la convention précédente.4 La distribution de chaque Xi est connue. Xi suit une loi de

BERNOULLI de paramètre de succès pModélisation et modèles probabilistes




Modèle binomial : méthode 1

Notons, pour k ∈ 1, . . . ,n, Sk = X1 + · · ·+ Xk . On a, pour1 ≤ k ≤ n − 1, Sk+1 = Sk + Xk+1 etSk et Xk+1 sontindépendantes. Sk+1 prend clairement ses valeurs dans0, . . . , k + 1. Pour s ∈ 0, . . . , k + 1, on a, « endécomposant cet événement suivant les valeurs de Xk+1 »,

P(Sk+1 = s) = P(Sk = s et Xk+1 = 0) + P(Sk = s − 1 et Xk+1 = 1)

= P(Sk = s)P(Xk+1 = 0)

+P(Sk = s − 1)P(Xk+1 = 1) par indep.= P(Sk = s).q + P(Sk = s − 1).p

Par récurrence, à l’aide de la formule du triangle de PASCAL, onmontre que, pour tout 0 ≤ s ≤ k , P(Sk = s) =

(ks

)ps.qk−s





Modèle binomial : méthode 2

La méthode que l’on présente maintenant est basée sur leprincipe du polynôme générateur d’une variable aléatoire Nprenant un nombre fini de valeurs entières positives. Cepolynôme caractérise complètement la loi de la variable N.On définit donc, pour x ∈ R,

πN(x) := E(xN) =∗∑

n=0

P(N = n)xn

Connaissant le polynôme, on retrouve ses coefficients quidonnent la loi de N et réciproquement, connaissant la loi de N,on peut construire le polynôme.Si X ∼ B(p), on a, pour t ∈ R,

πX (t) = E(tX ) = q + p.t = 1− p + p.t





Pour S = X1 + · · ·+ Xn, on a, pour t ∈ R,

πS(t) = E(tS) = E(tX1 ...tXn )

= E(tX1)...E(tXn )( indépendance )

= (q + p.t)n

=n∑

s=0

(ns

)qn−sps.ts( NEWTON)

On a donc que pour tout s ∈ 0, . . . ,n, P(S = s) =(n

s

)qn−sps

et S ∼ B (n,p).





Simulation informatique

0 1 2 3 4 5 60.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

FIGURE – Simulation d’une expérience de BERNOULLI, n = 5,p = 0.5. simulation sur N = 100 expériencesModélisation et modèles probabilistes




Tirer des boules sans remise

Le passionnant phénomène en considération est le suivant : ondispose d’un sac contenant N fruits (prunes et quetsches),indiscernables au toucher, dont une quantité p.N de prunes etune quantité q.N de quetsches. On a

p + q = 1

L’opération élémentaire effectuée est la suivante : on prend unfruit dans le sac, on note son type et on ne le remet pas dans lesac.L’opération complète est la suivante : on effectue n ≤ Nopérations élémentaires successives.On compte au final le nombre Sn de prunes. La question estdonner la distribution de Sn. Il s’agit de la loi hypergéométriqueH (n,p,N).






La méthode combinatoire consiste à considérer lesconfigurations possibles, à évaluer leur probabilité d’apparitionet à les dénombrer.Pour décrire cette expérience, on numérote les objets enplaçant les P en premier et on met un x sous ceux qui ont ététirés, un o sous les autres. Par exemple pour p.N = 3, q.N = 2,N = 5, n = 3

P1 P2 P3 Q4 Q5o x x o x

signifie que l’on a tiré les prunes 2 et 3 et la quetsche 5. Lenombre de prunes tirées est S = 2.





Une configuration pour cette expérience est une suite de Nlettres, x ou o comportant n x , correspondant au codage d’untirage.Il est clair que S peut prendre toutes les valeurs s entremax(0,n − q.N) et min(n,p.N)Le nombre total de configurations est

(Nn

)et l’on voit que le

nombre de configurations comportant s prunes et n − squetsches est

(p.Ns

).(q.N

n−s

).

On a donc P(S = s) =(p.N

s ).(q.Nn−s)

(Nn)

.





Modèle hypergéométrique

On modélise cette expérience de la même façon naturelle quepour le modèle avec remise. On verra que de la sorte onretrouve le résultat combinatoire.–Les variables du modèle que l’on construit sont (asseznaturellement),

1 X1, X2,....Xn, On convient que Xk = 1 si on y a tiré uneprune au k -ième tirage et Xk = 0 sinon.

2 Sk = X1 + · · ·+ Xk , le nombre total de prunes obtenues auk -ième tirage. On a Sk+1 = Sk + Xk+1.






On modélise cette expérience de la même façon naturelle quepour le modèle avec remise. On verra que de la sorte onretrouve le résultat combinatoire.–La distribution 3 de chaque Xk : X1 ∼ B(p) et, sis ∈ 0, . . . ,p.N, k ∈ 1, . . . ,n − 1,

P(Xk+1 = 1|Sk = s) =p.N − sN − k

,

P(Xk+1 = 0|Sk = s) = 1− p.N − sN − k

=q.N + s − k

N − k

3. sauf pour le premier, elle n’est connue que conditionnellementModélisation et modèles probabilistes





On modélise cette expérience de la même façon naturelle quepour le modèle avec remise. On verra que de la sorte onretrouve le résultat combinatoire.–De ceci, on déduit par récurrence sur 1 ≤ k ≤ N que

Qk : Sk suit la loi H (k ,p,N)

est vraie pour tout k , 1 ≤ k ≤ N.






2 4 6 8 10 12 14 160.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

FIGURE – Simulation de tirages sans remise N = 100, n = 50,p.N = 20, simulation sur K = 1000 expériencesModélisation et modèles probabilistes




Chaînes de MARKOV

Il s’agit d’une méthode de modélisation pour des phénomènesévoluant stochastiquement dans le temps. On considère letemps discret. Chaque étape dans l’évolution se déduit de laprécédente en faisant intervenir le hasard.Le système que l’on considère peut être dans un certainnombre (fini) d’états. Par exemple, supposons que (pour uneraison que j’ignore) un champignon puisse prendre troiscouleurs : Rouge (R), Vert(V) ou Bleu(B).On constate que ce champignon, s’il est d’un certaine couleur àun instant donné, il passe à une autre couleur, au top chronosuivant, avec certaines probabilités





Pour fixer les idées1 S’il est R, il devient R avec probabilité 0.5, V avec proba

0.3 et B avec proba 0.2,2 S’il est V, il devient R avec probabilité 0.2, V avec proba

0.4 et B avec proba 0.4,3 S’il est B, il devient R avec probabilité 0.3, V avec proba

0.3 et B avec proba 0.4,La question que l’on se pose est sachant qu’au départ n = 0 lechampignon est R, quelle est la proba qu’à l’instantn = N(= 10), il soit B ?





Modélisation

Si on suit notre méthode de modélisation, on voit que lesvariables qui importent sont X0,X1, . . . ,Xn, . . . ,XN , Xn donnantla couleur du champignon à l’instant n. On sait que X0 = R etce qu’on cherche c’est

P(XN = R), P(XN = V ) et P(XN = B)

Ce que donne l’énoncé, c’est la loi conditionnelle de Xn+1sachant Xn. On a

1 S’il est R, P(Xn+1 = R|Xn = R) = 0.5,P(Xn+1 = V |Xn = R) = 0.3 et P(Xn+1 = B|Xn = R) = 0.2,

2 S’il est V, P(Xn+1 = R|Xn = V ) = 0.2,P(Xn+1 = V |Xn = V ) = 0.4 et P(Xn+1 = B|Xn = V ) = 0.4,

3 S’il est B, P(Xn+1 = R|Xn = B) = 0.3,P(Xn+1 = V |Xn = B) = 0.3 et P(Xn+1 = B|Xn = B) = 0.4,





Pour calculer la loi de Xn+1, appliquons la formule desprobabilités totales, les définitions des probabilitésconditionnelles en « décomposant les événements suivant lesvaleurs de Xn »,

P(Xn+1 = R) = P(Xn+1 = R|Xn = R)P(Xn = R)

+P(Xn+1 = R|Xn = V )P(Xn = V )

+P(Xn+1 = R|Xn = B)P(Xn = B)

P(Xn+1 = V ) = P(Xn+1 = V |Xn = R)P(Xn = R)

+P(Xn+1 = V |Xn = V )P(Xn = V )

+P(Xn+1 = V |Xn = B)P(Xn = B)

P(Xn+1 = B) = P(Xn+1 = B|Xn = R)P(Xn = R)

+P(Xn+1 = B|Xn = V )P(Xn = V )

+P(Xn+1 = B|Xn = B)P(Xn = B)





Pour calculer la loi de Xn+1, appliquons la formule desprobabilités totales, les définitions des probabilitésconditionnelles en « décomposant les événements suivant lesvaleurs de Xn »,

P(Xn+1 = R) = 0.5P(Xn = R) + 0.2P(Xn = V ) + 0.3P(Xn = B)

P(Xn+1 = V ) = 0.3P(Xn = R) + 0.4P(Xn = V ) + 0.3P(Xn = B)

P(Xn+1 = B) = 0.2P(Xn = R) + 0.4P(Xn = V ) + 0.4P(Xn = B)

Ce qui n’est pas sans rappeler le calcul matriciel.





Calcul matriciel et matrice de transition

Posons

A =

0.5 0.2 0.30.3 0.4 0.30.2 0.4 0.4

, Pn =

P(Xn = R)P(Xn = V )P(Xn = B)

La relation précédente se traduit par

∀n ∈ 0, . . . ,N − 1 , Pn+1 = A.Pn

Une récurrence immédiate donne que PN = AN .P0 où levecteur P0 traduit la position initiale.






0 1 2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

FIGURE – Simulation d’une chaîne de MARKOV, N = 10, A et P0donné dans le texte. simulation sur K = 100 expériences.=théorique, ×=simulé





Avec

A′ =

0.5 0.2 0.30.1 0.4 0.30.4 0.4 0.4





0 1 2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

FIGURE – Simulation d’une chaîne de MARKOV, N = 10, A′, P0 donnédans le texte. Simulation sur K = 1000 expériences. =théorique,×=simulé




L’axiomatique de KOLMOGOROV

Variables aléatoires réelles, nombre fini de valeursV.a. uniforme sur [0, 1]

L’existant

Nous avons revu les concepts de base du calcul desprobabilités de première année, qui concerne les calculs surdes modèles « finis ».On a notamment revu la définition d’un espace probabilisé(Ω,P) où Ω est un ensemble fini, dont la famille des partiesP(Ω) est appelée la famille des événements etP : P(Ω)→ [0,1] ⊂ R est une application qui à chaqueévénement A associe sa probabilité P(A).Le plus important pour la modélisation, c’est l’introduction et lamanipulation des variables aléatoires.






L’existant

Le cadre de première année rattache la théorie des probabilitésaux mathématiques « standard ». Il permet de ne traiter que lecas où un nombre fini de variables prenant un nombre fini devaleurs interviennent.J’espère avoir démontré dans la partie précédente que l’onpeut progressivement se désintéresser de l’hypothèse definitude et mener beaucoup de calculs sans se préoccuper dela forme exacte de l’ensemble Ω.






Disclaimer

On donne maintenant les définitions générales d’espaceprobabilisé, de tribu (d’événements), de probabilité qui vontpermettre de traiter le cas de variables prenant possiblementune infinité de valeurs et le cas d’un nombre infini de variables.C’est une théorie très abstraite, ces définitions sont auprogramme mais, comme on le verra assez rapidement, on vapeu s’en préoccuper.






Un modèle probabiliste est construit par la donnée desvariables intéressantes, de leurs distributions et de leursrelations et permet de calculer probabilité d’événements,espérance de variable, etc...Il s’agit fondamentalement, pourfaire des calculs fondés mathématiquement, de savoir qu’ilexiste au moins un ensemble Ω, une tribu d’événements T etune probabilité P sur cette tribu « supportant » lemodèle, i.e. les variables aléatoires voulues. Les résultatsattendus doivent être indépendants du choix de Ω, T , P.Cette question d’existence est logiquement extrêmementdélicate et en conséquence...






Pour chacun des modèles probabilistes quenous rencontrerons, nous admettrons qu’il

existe un (Ω, T ,P) abstrait permettant de fairedes calculs sensés.

A savoir donc, mais sans en faire une fixation. LAPLACE,BERNOULLI,.. faisaient au XVIIIe et XIX e du calcul desprobabilités sans cet arsenal logique 3 qui date des années1930.

3. Cet arsenal n’est pas inutile, il a permis de lever et/ou résoudre certainsparadoxes que les pratiques antérieures ont pu mettre à jour






Tribu d’événements

DéfinitionSoit Ω un ensemble non vide. T un sous-ensemble a de P(Ω).On dit que T est une tribu (d’événements) si

1 ∅ ∈ T , Ω ∈ T , respectivement l’événement impossible etl’événement certain

2 T est stable par passage au complémentaire.

Si A ∈ T , alors A ∈ T

3 T est stable par ∪ dénombrable b : Si (An)n∈N est unefamille d’éléments de T alors ∪n∈NAn ∈ T où

∪n∈NAn = ω ∈ Ω, ∃n ∈ N, ω ∈ An

a. Les éléments de T sont donc des parties de Ω.b. union dénombrable Modélisation et modèles probabilistes





Tribu d’événements

DéfinitionSoit Ω un ensemble non vide. T un sous-ensemble a de P(Ω).On dit que T est une tribu (d’événements) si

1 ∅ ∈ T , Ω ∈ T , respectivement l’événement impossible etl’événement certain

2 T est stable par passage au complémentaire.

Si A ∈ T , alors A ∈ T

3 T est stable par ∩ dénombrable b : Si (An)n∈N est unefamille d’éléments de T alors ∩n∈NAn ∈ T où

∩n∈NAn = ω ∈ Ω, ∀n ∈ N, ω ∈ An

a. Les éléments de T sont donc des parties de Ω.b. intersection dénombrable Modélisation et modèles probabilistes





Probabilité sur une tribu

DéfinitionSoit T une tribu sur un ensemble Ω. Une applicationP : T → [0,1] ⊂ R est appelée une (mesure de) probabilité. Si

1 P(∅) = 0 et P(Ω) = 1.2 Si A1, . . . ,An, . . . est une famille (au plus dénombrable)

d’événements incompatibles alors

P(∪n∈NAn) = P(A1 ∪ · · · ∪ An ∪ . . . )= P(A1) + · · ·+ P(An) + . . .

= limN→+∞

N∑n=1

P(An)






En conséquences directes

Proposition1 Si A ⊂ B alors P(A) ≤ P(B)

2 (Formule de POINCARÉ)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

En langage presque courant, on peut lire1 La probabilité d’un événement impossible est nulle. La

probabilité d’un événement certain est 1.2 Si A1 et A2 sont incompatibles alors la probabilité de

l’alternative de A1 et A2 est la somme des probabilités.






Exemples graphiques : Carré

Considérons le carré Ω = [0,1[× [0,1[ subdivisé en petitscarrés Ci,j =

[ i4 ,

i+14

[×[

j4 ,

j+14

[, i , j ∈ 0, . . . ,3, de côté 1

4

comme sur la figure 9L’ensemble C = Ci,j , i , j ∈ 0, . . . ,3 est un ensemble departies de Ω. Il comporte 16 éléments. Ce n’est pas une tribude parties de Ω.Par contre, l’ensemble T0 où chaque élément est une figure Tformée d’une union finie de carrés Ci,j est une tribu de partiesde Ω. Il comporte 216 éléments.






Exemples graphiques : Carré

Une probabilité P0 sur cette tribu est donnée par l’applicationdéfinie par

∀T ∈ T0, P0(T ) =aire(T )

aire(Ω)= aire(T )

Sur la figure 9, on a

P0(T1) =4

16, P0(T2) =

316, P0(T1∩T2) =

116

et P0((T1 ∪ T2)) =1016






0 14

12

34

10

14

12

34

1

T1

T2 T1 ∩T2

T1 ∪T2

FIGURE – Le carré, T1 en rouge, T2 en bleu, des éléments de la tribuT0






Sur ce même Ω, on peut définir de façon un peu vague, unetribu T beaucoup plus large, à savoir, l’ensemble des parties ducarré admettant une aire 4 et définir sur cette tribu T laprobabilité P définie par

∀T ∈ T , P(T ) =aire(T )

aire(Ω)= aire(T )

Spécifier la probabilité d’un événement A, c’est imposer unemesure de la proportion de A relativement à Ω.

4. C’est beaucoup plus délicat que ça n’en a l’air !Modélisation et modèles probabilistes





0 14

12

34

10

14

12

34

1

T1

T2

T1 ∩T2

FIGURE – Le carré Ω, quelques éléments de la tribu TModélisation et modèles probabilistes





Exemples graphiques : Segment

Considérons maintenant le segment Ω = [0,1[ subdivisé enpetits segments Sk =

[ k16 ,

k+116

[, k ∈ 0, . . . ,15, de longueur

116 comme sur la figure 11. On a épaissi les segments enhauteur pour pouvoir voir les couleurs.L’ensemble S = Sk , k ∈ 0, . . . ,15 est un ensemble departies de Ω. Il comporte 16 éléments. Ce n’est pas une tribude parties de Ω.Par contre, l’ensemble T0 où chaque élément est une figure Tformée d’une union finie de segments Sk est une tribu departies de Ω. Il comporte 216 éléments.






Exemples graphiques : Segment

Une probabilité P0 sur cette tribu est donnée par l’applicationdéfinie par

∀T ∈ T0, P0(T ) =longueur(T )

longueur(Ω)= longueur(T )

Sur la figure 11, on a

P0(T1) =4

16, P0(T2) =

316, P0(T1∩T2) =

116

et P0((T1 ∪ T2)) =1016

Comme pour le carré, on peut aussi considérer la tribu T detoutes les parties T du segment unité admettant une longueur.La longueur longueur(T ) d’une telle partie peut-être interprétéecomme la probabilité P(T ) de l’événement T .






0 14

12

34

1

T1 T2 T1 ∩T2T1 ∪T2

FIGURE – Le segment, T1 en rouge, T2 en bleu, des éléments de latribu T0

Pouvez vous deviner la transformation qui fait passer du carréau segment et réciproquement ?






Variables aléatoires réelles

DéfinitionSoit un espace probabilisé (Ω, T ,P).Une variable aléatoire réelle, X , est une application X : Ω→ Rtelle que pour tout intervalle I ∈ R

X ∈ I︸︷︷︸notation probabiliste

:= ω ∈ Ω,X (ω) ∈ I = X−1(I)︸︷︷︸notation ensembliste

est un événement, i.e. est dans T .






Un exemple graphique

Reprenons le cas où Ω est le carré [0,1[× [0,1[, P l’aire etprenons comme v.a., à valeurs dans [0,1[, X1 et X2 définies par

∀ω = (ω1, ω2) ∈ [0,1[× [0,1[ , X1(ω) = ω1, X2(ω) = ω2






Sur la figure 12, on a représenté

T1 =

X2 ∈

[12,34

[et T2 =

X1 ∈

[14,12

[On a

P(12≤ X1 <

14

) =14, P(

14≤ X2 <

12

) =14,

P(12≤ X1 <

14

) =14

et14≤ X2 <

12

) =1

16






Une interprétation graphique plus imaginative montre que, si I1,I2 sont deux intervalles quelconques de R, alors

X1 ∈ I1 est un rectangle « vertical »de largeur P(X1 ∈ I1),de hauteur 1X2 ∈ I2 est un rectangle « horizontal »de largeur 1, dehauteur P(X2 ∈ I2),X1 ∈ I1 ∩ X2 ∈ I2 est un rectangle de largeurP(X1 ∈ I1), de hauteur P(X2 ∈ I2),On a donc P(X1 ∈ I1 et X2 ∈ I2) = P(X1 ∈ I1).P(X2 ∈ I2).Ceci étant vrai pour tout couple d’intervalle (I1, I2), les v.aX1 et X2 sont indépendantes ?






0 14

12

34

10

14

12

34

1

T1

T2 T1 ∩T2

FIGURE – Le carré, T1 en rouge, T2 en bleu, T1 ∩ T2Modélisation et modèles probabilistes





Posons maintenant les v.a. D1 et D2 définies par

D1 =

0 si 0 ≤ X1 <

14

1 si 14 ≤ X1 <

12

2 si 12 ≤ X1 <

34

3 si 34 ≤ X1 < 1

et D2 =

0 si 0 ≤ X2 <

14

1 si 14 ≤ X2 <

12

2 si 12 ≤ X2 <

34

3 si 34 ≤ X2 < 1

Pour résumer, pour (i , j) ∈ 0, . . . ,3 × 0, . . . ,3, ω ∈ [0,1[2,(D1(ω),D2(ω)) = (i , j) si et seulement si ω ∈ Ci,j . D1 et D2 sontdes variables prenant un nombre fini de valeurs, uniformémentdistribuées sur 0, . . . ,3 et indépendantes.






En d’autres termes, on a « construit »un espace 5 pour lamodèlisation de l’expérience de tirer indépendamment deuxdés à 4 faces numérotées de 0 à 3 6. Cet espace est différentde l’espace naturel, fini, où l’on prend Ω′ = 0, . . . ,32 et P′ laprobabilité uniforme sur Ω′.Les calculs relativement à un espace ou à l’autre donnent lesmêmes résultats concernant les expériences à deux dés, lenouvel espace permet en plus de se garder la possibilité deconstruire d’autres v.a. n’ayant rien à voir avec l’expérience desdeux dés.

5. En fait deux : (Ω, T0,P0) et (Ω, T ,P), ce dernier n’ayant été que trèsincomplètement défini.

6. Les amateurs de jeux de rôles apprécierontModélisation et modèles probabilistes





Et si l’espace est le segment ?

0 14

12

34

1

T1 T2 T1 ∩T2

FIGURE – Le segment, T1 en rouge, T2 en bleu, T1 ∩ T2. On peututiliser le segment pour modéliser le tirage de deux dés 4 facesindépendants

A partir de maintenant, nous ne spécifions plus l’espace Ω.






Variables aléatoires réelles, opérations

PropositionSoit X , Y , Z ,... des v.a.r

1 (Stabilité par CL) Si λ, µ sont des nombres réels alorsλ.X + µ.Y est une v.a.r.

2 (Stabilité par composition I) Si h : I → R est une fonctionréelle de variable réelle, X à valeurs dans I, un intervallede R, alors a Y = h(X ) définie par

∀ω ∈ Ω, Y (ω) = [h(X )](ω) = h(X (ω)) = (h X )(ω)

est une variable aléatoire réelle.

a. modulo des hypothèses très faibles sur h






Variables aléatoires réelles, opérations

PropositionSoit X , Y , Z ,... des v.a.r

1 (Stabilité par CL) Si λ, µ sont des nombres réels alorsλ.X + µ.Y est une v.a.r.

2 (Stabilité par composition II) Si h : R2 → R est une fonctionréelle de variable réelle, Z = h(X ,Y ) définie par

∀ω ∈ Ω, Z (ω) = [h(X ,Y )](ω) = h(X (ω),Y (ω))

est une variable aléatoire réelle.






Commentaires sur les hypothèses : on peut prendre h continue,continue par morceaux, monotone, et d’une façon générale,toute fonction que l’on rencontre dans la pratique.Exemples : Prendre une v.a, prendre son max, son min, mettreau carré, prendre le log, l’exp,....

Exercice 4.—Jet de deux dés à 4 faces, loi de la somme, loi dela différence.Indication:Faire une décomposition des évenements suivant lavaleur prise par le premier dé ( i.e. formule des probabilités totales)






Variables aléatoires réelles, loi, fonction de répartition

DéfinitionSoit un espace probabilisé (Ω, T ,P). Soit X une variablealéatoire réelle. La loi de X est la donnée de la famille denombres P(X ∈ I), I intervalle de R

Plus modestement, on peut se contenter de la sous-famille desintervalles ]∞, x ], x ∈ R pour reconstruire la famille complète.La loi de X est donc donnée par la connaissance de la fonctionde répartition de X ,

FX : R → [0,1]x 7→ P(X ≤ x) := P(X ∈ ]−∞, x ])

Par exemple, pour a < b, on a

P(X ∈ ]a,b]) = FX (b)− FX (a), P(X ∈ ]a,+∞[) = 1− FX (a)






PropositionLa fonction de répartition FX d’une v.a.r X est une fonctionR→ [0,1], vérifiant

1 FX est croissante2 limx→−∞ FX (x) = 0, limx→+∞ FX (x) = 13 (Hors programme) continue à droite en tout point






Si X est une variable aléatoire (réelle) prenant un nombre finide valeurs distinctes x1, . . . , xN , on a vu que la loi de X est ladonnée des nombres

p1 = P(X = x1), . . . ,pN = P(X = xN)

On a vu sur un exemple à 3 valeurs que la donnée de cettefamille est équivalente à la connaissance de la loi de X au sensdonné précédemment. Plus précisément :Si I est un intervalle de R,

P(X ∈ I) =N∑

k=1

11xk∈Ipk






Exemples

Exercice 5.—Si X suit la loi uniforme sur k

n , k ∈ 0, . . . ,n

où n ∈ N∗. Tracer histogramme, fonction de répartition, ide mpour Y = X 2. Formule de transfert générique pour une fonctionpour X . c.f. figure 14.

Exercice 6.—Tracer, à la machine, histogramme et fonction derépartition pour la loi binomiale B (n,p).1. Prendre pour p fixé, des valeurs de n augmentant. Observerl’évolution des graphiques.2. Fixer λ > 0. Prendre des valeurs de n augmentant et p = λ

n






0 kn

k+1n

1

x

1n+1

1

p

0(kn

)2(k+1n

)2 1

y

1n+1

1

p

FIGURE – X ∼ U kn , k∈0,...,n, sa distribution et la distribution de

Y = X 2, fonctions de répartition.






Probabilité et espérance, v.a de BERNOULLI

DéfinitionUne variable aléatoire de BERNOULLI est une variable aléatoirene pouvant prendre que les valeurs 0 (échec,faux) ou 1(succès,vrai).

Une indicatrice d’événement 11A est une v.a de BERNOULLI

et réciproquement. On a A = 11A = 1 .Toute v.a.r prenant un nombre fini de valeurs estcombinaison linéaire de v.a de BERNOULLI. Si X est àvaleurs dans x1, . . . , xK, en posant Ak = X = xk, on a

X =K∑

k=1

xk11Ak






Définition et loi

On présente maintenant l’exemple fondamental de v.a.rpouvant prendre une infinité de valeurs.

DéfinitionSoit U une variable aléatoire réelle. On dit que U suit la loiuniforme sur [0,1] si, pour tout intervalle I de R,

P(U ∈ I) = longueur(I ∩ [0,1])

Dans ce cas, on note U ∼ U[0,1].






Fonction de répartition d’une loi uniforme

Calcul et graphe. Fonction de répartition du carré d’une telle loi.c.f. fig. 15.Remarque sur la probabilité de prendre une valeur« exactement ».

∀x ∈ R, P(U = x) = P(U ∈ [x , x ]) = 0






0 kn

k+1n

1

x

1n+1

1

p

0(kn

)2(k+1n

)2 1

y

1n+1

1

p

FIGURE – X ∼ U[0,1], Y = X 2, fonctions de répartition, comparaisonavec le cas discret.






Variable uniforme, simulations et fabrication de v.aprenant un nombre fini de valeurs.

Pour simuler (informatiquement) des variables aléatoires, leslangages informatiques disposent en général d’un générateurde nombres aléatoires. L’instruction s’appelle toujours rand()ou random().Pour nous ce sera np.random.rand() où np est l’alias denumpy






Variable uniforme, simulations et fabrication de v.aprenant un nombre fini de valeurs.

Chaque appel à ce générateur retourne un nombre uniformeentre 0 et 1, indépendant des précédents. Cela signifie que sil’on fait plusieurs appels successifs, la suite des nombresobtenus a les mêmes propriétés statistiques (distribution,moyenne, ...) qu’une suite (abstraite) de valeurs prises parU1, . . . ,Un où U1, . . . ,Un sont des v.a indépendantes et

∀k ∈ 1, . . . ,n , Uk ∼ U[0,1]






La question qui se pose est la suivante : à partir de cegénérateur U, comment construire une v.a. (prenant un nombrefini de valeurs) ayant une loi discrète finie donnée.Supposons que l’on doive simuler une v.a. X prenant troisvaleurs distinctes (non nécessairement numériques), x1, x2 etx3. L’information dont on dispose est la distribution de X

p1 := P(X = x1), p2 := P(X = x2), p3 := P(X = x3),

La méthode est simple (graphique) On découpe l’intervalle[0,1] en trois intervalles disjoints I1, I2 et I3 de longueursrespectives p1, p2 et p3. On tire au sort U grâce au générateuruniforme. Si U ∈ I1, on prend X = x1, si U ∈ I2, on prendX = x2,...






En d’autres termes, on pose

I1 = [0,p1[ , I2 = [p1,p1 + p2[ , I3 = [p1 + p2,1[ et

X =

x1 si U ∈ I1x2 si U ∈ I2x3 si U ∈ I3

On a X = x1 = U ∈ I1 et doncP(X = x1) = P(U ∈ I1) = p1, etc...






En termes de fonction sur Ω,

∀ω ∈ Ω, X (ω) =

x1 si U(ω) ∈ I1x2 si U(ω) ∈ I2x3 si U(ω) ∈ I3

On a X = x1 = U ∈ I1 et doncP(X = x1) = P(U ∈ I1) = p1, etc...






En Python cela donne la fonction suivante






Pour finir, généralisons au cas de K valeurs. Si X prend unnombre fini de valeurs numériques ordonnéesx1 < x2 < · · · < xK , avec probabilités p1, p2,..pK , ce mécanismepeut s’exprimer à l’aide de la fonction de répartition de X . Si F(ne dépendant que de la distribution connue de X ) est définiepar

∀x ∈ R, F (x) := P(X ≤ x)

(On pose x0 := −∞, F (x0) := 0)

X = xk si U ∈ Ik := [F (xk−1),F (xk )[




Espérance et v.a.r intégrablesVariables de carré intégrableIndépendanceProbabilités conditionnelles

On admet qu’il exist une opération E, agissant sur les variablesaléatoires réelles positives, dont le résultat est soit un nombreréel, soit le symbole∞, et telle que

1 E(11) = 1, E(0) = 02 Si A ∈ T , E(11A) = P(A),3 Si X est une variable aléatoire réelle prenant des valeurs

positives alors E(X ) a toujours un sens 7. Il s’agit soit d’unnombre réel positif, soit du symbole infini.

4 Dans ce cas, on a l’équivalence E(X ) = 0 si et seulementsi P(X = 0) = 1.

5 (Croissance de l’espérance) Si X et Y sont deux variablesaléatoires réelles prenant des valeurs positives et siX ≤ Y , alors 8

0 ≤ E(X ) ≤ E(Y )

7. La formule de l’exercice 2, p.46 peut servir de définition pour le cas leplus général.

8. avec l’extension naturelle de cette écriture au cas où l’un des deux vaut∞





1 (Additivité de l’espérance) Si X et Y sont deux variablesaléatoires réelles prenant des valeurs positives, alors, avecl’extension naturelle de cette écriture au cas où le symbole+∞ apparaît,

E(X + Y ) = E(X ) + E(Y )

2 (Homogénéité de l’espérance) Si X est une variablealéatoires réelle prenant des valeurs positives etλ ∈ [0,+∞[, alors, avec conventions particulières pourgérer le cas E(X ) =∞, on a

E(λ.X ) = λ.E(X )





1 Ce qui est à comprendre c’est que E est un genre demoyenne. On moyenne sur tous les « ω »

2 E se comporte essentiellement comme le symbole∑

ou lesymbole

∫.





Variables aléatoires réelles intégrables

DéfinitionSoit X une variables aléatoire réelle.

1 On dit que X est intégrable ou que X admet uneespérance si E(|X |) 6=∞.

2 Si X est intégrable, X + = max(X ,0) et X− = −min(X ,0)le sont aussi, sont à valeurs positives, on a

X = X + − X−, |X | = X + + X−,

et on poseE(X ) := E(X +)− E(X−)

RQ : ceci n’est pas sans rappeler les intégrales absolumentconvergentes. C’est exprès.





PropositionSoit X , Y des variables aléatoires réelles intégrables et λ, µdeux nombres réels,

1 (Linéarité de l’espérance) Z = λ.X + µ.Y est une variablealéatoire réelle intégrable et

E(Z ) = E(λ.X + µ.Y ) = λ.E(X ) + µ.E(Y )

2 (Croissance) Si X ≤ Y alors E(X ) ≤ E(Y ) avec égalité ssiP(X = Y ) = 1.

3 (Inégalité triangulaire)

|E(λ.X + µ.Y )| ≤ |λ|.E(|X |) + |µ|.E(|Y |)

La façon dont se comporte h(X ) ou h(X ,Y ) pour une fonction hquelconque est un de nos problèmes centraux.





Exemples

Le cas de v.a. prenant un nombre fini de valeurs.

Exercice 7.—Soit n un entier naturel non nul, soit X unevariable suivant la loi U0, 1

n ,...,n−1

n , nn

. Soit f : [0,1]→ R unefonction continue.1. Donner une formule pour Sn(f ) = E(f (X )). Appliquer cetteformule à f : x 7→ x2.2. Quelle est, en général, la limite de Sn(f ) lorsque n→ +∞.3. Quelle est la valeur de cette limite pour l’exemple proposé.c.f. figure 15.





L’espérance d’une fonction d’une variable uniforme

Supposons que U ∼ U[0,1]. On a la formule de transfertsuivante :Si h : R→ R est une fonction, on a

E(h(U)) =

∫ +∞

−∞h(u)11u∈[0,1] du =

∫ 1

0h(u) du

pourvu que cette dernière intégrale soit absolumentconvergente.On convient que E(h(U)) = +∞ si h est positive et l’intégralediverge vers +∞.





Exemples :1 Calculer E(U2), E( 1

1+U ), E( 1√1−U2

).

2 Calculer E(e−λ.U) où λ ∈ R.3 Les v.a.r ln U, 1

U , 1√U

sont-elles intégrables ?

4 Soit V une v.a.r uniforme sur [0,1]. Donner l’espérance deU + V , de U − V .





Exemples :

1 Calculer E(U2), E( 11+U ), E( 1√

1−U2).

2 Calculer E(e−λ.U) où λ ∈ R.

3 Les v.a.r ln U, 1U , 1√

Usont-elles intégrables ?






Exemples :

1 Calculer E(U2), E( 11+U ), E( 1√

1−U2).

2 Calculer E(e−λ.U) où λ ∈ R.

3 Les v.a.r ln U, 1U , 1√

Usont-elles intégrables ?






Exemples :

1 Calculer E(U2), E( 11+U ), E( 1√

1−U2).

2 Calculer E(e−λ.U) où λ ∈ R.3 Les v.a.r ln U, 1

U , 1√U

sont-elles intégrables ?






Variables intégrables, Inégalité de MARKOV

Théorème (Inégalité de MARKOV)

Si X est une variable aléatoire réelle, positive, alors, pour toutseuil λ > 0,

P(X ≥ λ) ≤ E(X )

λ





Démonstration.On peut se limiter au cas où X est intégrable. Comme X estpositive, on a

11X≥λ ≤Xλ

Par croissance et linéarité de l’espérance, il vient

E(11X≥λ) ≤E(X )

λ





Variables de carré intégrable, définition

DéfinitionSoit X une v.a.r. On dit que X est de carré intégrable ou admetune variance si X 2 est intégrable.

Exercice 8.—Soit U ∼ U[0,1].1. U est de carré intégrable ?2. 1√

Uest intégrable sans être de carré intégrable ?





Variables de carré intégrable, CAUCHY–SCHWARZ

Théorème (Inégalité de CAUCHY–SCHWARZ)

Si X et Y sont deux v.a.r de carré intégrable alors X .Y estintégrable et on a

|E(X .Y )| ≤ E(|X |.|Y |) ≤ E(|X |2)12E(|Y |2)

12





Une conséquence en est la suivante :

PropositionSi X est de carré intégrable, elle est intégrable et

|E(X )| ≤ E(|X |) ≤ E(X 2)12

Démonstration.On applique le théorème précédent à X et Y = 11. Y est decarré intégrable et E(Y 2) = E(Y ) = 1.





Variables de carré intégrable, Variance et covariance

Proposition-Définition1 Si X est de carré intégrable a, sa variance est définie par

V(X ) = E((X − E(X ))2)

2 Son écart-type, σ(X ) = V(X )12 .

3 Si X et Y sont de carré intégrable, leur covariance estdéfinie par

Cov(X ,Y ) = E((X − E(X )).(Y − E(Y )))

4 On a |Cov(X ,Y )| ≤ σ(X ).σ(Y ).

a. La terminologie officielle est « X admet une variance ».





Formule de KOENIG–HUYGENS

Proposition-Définition1 Si X admet une variance, sa variance vaut

V(X ) = E(X 2)− E(X )2

2 Si X et Y admettent une variance, leur covariance vaut

Cov(X ,Y ) = E(X .Y )− E(X ).E(Y )





Variables de carré intégrable, centrage, normalisation

Une variable aléatoire positive est d’espérance nulle si etseulement si P(X = 0) = 1. ( On dit que X est nulle presquesûrement.)Une variable aléatoire est de variance nulle, V(X ) = 0, si etseulement si P(X = E(X )) = 1. Autrement dit ssi X est uneconstante presque sûrement.Supposons que X est une variable aléatoire admettant unevariance.

si C une constante ( i.e. une variable ne prenant presquesûrement qu’une valeur), on a

V(X + C) = V(X )

si λ est une constante, V(λ.X ) = λ2V(X ).





On peut se servir de ces deux propriétés pour centrer, puisnormaliser une v.a non constante X , de carré intégrable.

X ∗ =X − E(X )

σ(X )

est une variable d’espérance nulle (centrée), de variance 1. Ondit qu’elle est centrée-réduite.Remarquer que si X est mesurée dans une certaine unité,alors E(X ), σ(X ) sont dans la même unité et X ∗ est sans unité.





Exercice 9.—Si X ∼ B(n, 1

2

). Donner l’histogramme de X ∗.

Dans quel ensemble fini X ∗ prend-elle ses valeurs ?

Exercice 10.—Même question si X ∼ U0,...,2n où n ∈ N∗.





La règle de la somme

PropositionSi X et Y sont de carré intégrable alors

V(X + Y ) = V(X ) + V(Y ) + 2Cov(X ,Y )

Exercice 11.—Donner une formule pour V(∑N

n=1 Xn) où les Xnsont de carré intégrable.





Variables de carré intégrable,BIENAYMÉ–TCHEBYCHEFF

L’inégalité de BIENAYMÉ–TCHEBYCHEFF est une traduction del’idée de répartition de X autour de son espérance.

Théorème (Inégalité de BIENAYMÉ–TCHEBYCHEFF)

Si X est de carré intégrable, on a, pour tout seuil λ > 0,

P(|X − E(X )| > λ) ≤ V(X )

λ2





Théorème (Inégalité de BIENAYMÉ–TCHEBYCHEFF)

Si X est de carré intégrable, on a, pour tout seuil λ > 0,

P(|X − E(X )| > λ.σ(X )) ≤ 1λ2

Notamment, si λ = 2, on obtient qu’avec probabilité supérieureà 75%, X est distant de la constante E(X ) de moins de 2écart-types. Ceci, quelle que soit la distribution de X .Cette inégalité n’est pertinente que pour λ > 1.





0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

E(X) E(X) +2σ(X)E(X)−2σ(X)

FIGURE – BIENAYMÉ–TCHEBYCHEFF : Au moins 75% de la populationest à moins de 2 écarts-types de la moyenne.





Variables de carré intégrable, coeff. de corrélation etrégression linéaire

Le problème de la régression linéaire est le suivant. On disposede deux variables X (non constante) et Y , de carré intégrable.Faire la régression linéaire de Y sur X consiste à trouver lavariable Y , fonction affine de X « la plus proche »de Y au sensdes moindres carrés, i.e. trouver deux réels a et b tels que

E((Y − (aX + b))2)

soit minimal. On pose alors Y = aX + b.





Le calcul montre que

Théorème

Y =Cov(X ,Y )

V(X )(X − E(X )) + E(Y )

où, en variables centrées et réduites, si X et Y sont nonconstantes,

Y ∗ = ρ(X ,Y )X ∗

où ρ(X ,Y ) = Cov(X ,Y )σ(X)σ(Y ) est le coefficient de corrélation linéaire.





RQ : pour trouver rapidement la formule de Y , On cherche a etb tels que Cov(X , Y ) = Cov(X ,Y ) et E(Y ) = E(Y ).

1 Si Cov(X ,Y ) = 0 (ρ(X ,Y ) = 0), on dit que X et Y sontnon corrélées.

2 Si ρ(X ,Y ) > 0, on dit que X et Y sont positivementcorrélées.

3 Si ρ(X ,Y ) < 0, on dit que X et Y sont négativementcorrélées.





Exercice 12.—Soit X ∼ U[0,1], Y = X 2.1. Donner les valeurs de V(X ), V(Y ), Cov(X ,Y ).2. Donner une formule pour Y la régression linéaire de Y sur X .3. En Python, tirer 100 nombres xi suivant la loi de X de façonindépendante. Tracer les nuages de points (xi , yi) le nuage(xi , yi) et tracer la droite des moindres carrés calculéestatistiquement. c.f. fig. 17.





0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

0.4

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Données

reg. lin. théo.moindres carrés stats

FIGURE – Une série de 20 nombres x tirés indépendamment suivantX ∼ U[0,1], Y = X 2, les (xi , yi ), les (xi , yi ), la droite des moindrescarrés du nuage (xi , yi )





PropositionSi X et Y sont non corrélées, on a

V(X + Y ) = V(X ) + V(Y )

Si X1, . . . ,Xn sont deux à deux non corrélées, i.e.

∀i , j ∈ 1, . . . ,n , i 6= j ⇒ Cov(Xi ,Xj) = 0

alorsV(X1 + · · ·+ Xn) = V(X1) + · · ·+ V(Xn)





Indépendance d’événements

DéfinitionSoit (Ω, T ,P) un espace probabilisé

1 Soit A,B ∈ T deux événements. On dit que A et B sontindépendants si P(A ∩ B) = P(A)P(B).

2 Soit A1, . . . ,An ∈ T une famille d’événements. On dit qu’ilssont (mutuellement) indépendants si pour toutesous-famille Ai1 , . . . ,Aik , i1 < i2 < · · · < ik ,

P(Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ) = P(Ai1) ∩ . . .P(Aik )

3 Soit A1, . . . ,An, · · · ∈ T une famille (infinie) d’événements.On dit qu’ils sont (mutuellement) indépendants si toutesous-famille finie est indépendante.





Exercice 13.—Montrer que si A est indépendant de lui-mêmealors P(A) = 1 ou P(A) = 0

Exercice 14.—Montrer que si A et B sont indépendants, A et Ble sont aussi.





Définition(s)

Définition (Première définition)1 Deux v.a.r X et Y sont indépendantes si pour tous

intervalles I, J de R,

P(X ∈ I et Y ∈ J) = P(X ∈ I).P(Y ∈ J)

2 De façon analogue, les v.a.r X1, . . . ,Xn sont dites(mutuellement) indépendantes si pour tous intervallesI1, . . . , In,

P(X1 ∈ I1 et . . .Xn ∈ In) = P(X1 ∈ I1) . . .P(Xn ∈ In)





Traduisons ceci en termes d’espérance en utilisant la relationfondamentale P(A) = E(11A).X et Y sont indépendantes si pour tous intervalles I et J,

E(11X∈I.11Y∈J) = E(11X∈I).E(11X∈J)

Prenons maintenant une fonction f de la forme f =∑K

k=1 fk11Iket g =

∑L`=1 g`11J` où (Ik )1≤k≤K et (J`)1≤`≤L sont deux familles

finies d’intervalles de R. Un peu d’algèbre (on pourra testeravec des familles de deux intervalles) utilisant uniquement lalinéarité de l’espérance montre que

E(f (X ).g(Y )) = E(f (X )).E(g(Y ))





On a bien évidemment un énoncé similaire pour une familleX1, . . . ,Xn de variables indépendantes en prenant desfonctions f1, . . . , fn en escalier sur R :

E(n∏

ν=1

fν(Xν)) =n∏

ν=1

E(fν(Xν))





Définition (Deuxième définition équivalente)1 Deux v.a.r X et Y sont indépendantes si pour toutes

fonctions f ,g : R→ R

E(f (X ).g(Y )) = E(f (X )).E(g(Y ))

pourvu que ces espérances soient bien définies.2 De façon analogue, les v.a.r X1, . . . ,Xn sont dites

(mutuellement) indépendantes si pour toutes fonctionsf1, . . . , fn : R→ R,

E(n∏

ν=1

fν(Xν)) =n∏

ν=1

E(fν(Xν))

dès que cette formule à un sens.





Corrélation et indépendance

Proposition1 Si X et Y sont deux variables de carré intégrable

indépendantes, elles sont non corrélées : Cov(X ,Y ) = 0.2 La réciproque est très fausse, contrairement à ce que

croit le monde entier.





Lemmes d’indépendance

On a les résultats suivants

Lemme (des coalitions)

Si X1, . . . ,Xn,Y1, . . . ,Yp sont indépendantes et si u : Rn → R,v : Rp → R alors, en posant

U := u(X1, . . . ,Xn) et V := v(Y1, . . . ,Yp),

les variables U et V sont indépendantes.





Lemmes d’indépendance

On a les résultats suivants

LemmeSi X1, . . . ,Xn sont indépendantes et si u1, . . . ,un : R→ R alors,en posant

U1 := u1(X1), . . .Un := un(Xn),

les variables U1, . . . ,Un sont indépendantes.





Ce qui a été dit dans la section de rappels de première année,s’applique tel quel au cadre théorique général. On peutnotamment rappeler la formule des probabilités totalesénoncée en termes de probabilités conditionnelles.





ThéorèmeSi B1, . . . ,Bn, . . . est une famille (possiblement indexée parn ∈ N∗ d’événements formant un système completd’événements incompatibles, alors, pour tout événement A

P(A) = P(A|B1).P(B1) + · · ·+ P(A|Bn).P(Bn) + . . .

= limN→+∞

N∑n=1

P(A|Bn).P(Bn)

Rq : Si P(Bn) = 0, la probabilité conditionnelle P(A|Bn) n’estpas bien définie. On prend cependant la conventionP(A|Bn).P(Bn) = 0 (Zéro super absorbant) dans la formule.


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Modélisation et modèles probabilistesjcleger.math.free.fr/maths/2016/docs/2016-slides-02... · 2018-08-29 · Modélisation en probabilités Modèles probabilistes généraux- la