202
N d’Ordre : 05 - ISAL - 0029 Ann´ ee 2005 Th ` ese Mod´ elisation num´ erique de mat´ eriaux poreux h´ et´ erog` enes. Application ` a l’absorption basse fr´ equence. pr´ esent´ ee en cotutelle devant L’Institut National des Sciences Appliqu ´ ees de Lyon et L’Universit ´ e de Sherbrooke (Canada) pour obtenir Le grade de docteur Ecole doctorale : M ´ ecanique, Energ ´ etique, G ´ enie civil et Acoustique Ecole Centrale de Lyon - Universit´ e Claude Bernard-Lyon I - INSA Lyon Sp´ ecialit´ e : Acoustique Franck Castel Ing´ enieur ESIP (E.A.C) Soutenue le 25 avril devant la Commission d’Examen compos´ ee de : Noureddine ATALLA, Professeur. Directeur de Th` ese Mohamed HAMDI, Professeur. Rapporteur Walter LAURIKS, Professeur. Membre du jury Xavier OLNY, Maˆ ıtre de Conf´ erences. Membre du Jury Raymond PANNETON, Professeur. Rapporteur Jean-Jacques ROUX, Professeur. Membre du jury Franck SGARD, Dr-HDR. Directeur de Th` ese Cette th` ese a ´ et´ e pr´ epar´ ee au Laboratoire des Sciences de l’Habitat, D´ epartement G´ enie Civil et Bˆatiment ( URA CNRS 1652) de L’Ecole Nationale des Travaux Publics de l’Etat et `a L’Universit´ e de Sherbrooke

Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

N d’Ordre : 05 - ISAL - 0029 Annee 2005

These

Modelisation numerique de materiaux poreux heterogenes.Application a l’absorption basse frequence.

presentee en cotutelle devantL’Institut National des Sciences Appliquees de Lyon

etL’Universite de Sherbrooke (Canada)

pour obtenirLe grade de docteur

Ecole doctorale : Mecanique, Energetique, Genie civil et AcoustiqueEcole Centrale de Lyon - Universite Claude Bernard-Lyon I - INSA Lyon

Specialite : Acoustique

Franck CastelIngenieur ESIP (E.A.C)

Soutenue le 25 avril devant la Commission d’Examen composee de :Noureddine ATALLA, Professeur. Directeur de TheseMohamed HAMDI, Professeur. RapporteurWalter LAURIKS, Professeur. Membre du juryXavier OLNY, Maıtre de Conferences. Membre du JuryRaymond PANNETON, Professeur. RapporteurJean-Jacques ROUX, Professeur. Membre du juryFranck SGARD, Dr-HDR. Directeur de These

Cette these a ete preparee au Laboratoire des Sciences de l’Habitat, Departement Genie Civilet Batiment (URA CNRS 1652) de L’Ecole Nationale des Travaux Publics de l’Etat et aL’Universite de Sherbrooke

Page 2: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation
Page 3: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON - LISTE DES PROFESSEURS

(Mars 2002)

Directeur : STORCK A.

Professeurs :

AUDISIO S. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE

BABOT D. CONT. NON DESTR. PAR RAYONNEMENT IONISANTS

BABOUX J.C. GEMPPM***

BALLAND B. PHYSIQUE DE LA MATIERE

BAPTISTE P. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS

BARBIER D. PHYSIQUE DE LA MATIERE

BASTIDE J.P. LAEPSI****

BAYADA G. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE

BENADDA B. LAEPSI****

BETEMPS M. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

BIENNIER F. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS

BLANCHARD J.M. LAEPSI****

BOISSON C. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE

BOIVIN M. (Prof. emerite) MECANIQUE DES SOLIDES

BOTTA H. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Developpement Urbain

BOTTA-ZIMMERMANN M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Developpement Urbain

BOULAYE G. (Prof. emerite) INFORMATIQUE

BOYER J.C. MECANIQUE DES SOLIDES

BRAU J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du batiment

BREMOND G. PHYSIQUE DE LA MATIERE

BRISSAUD M. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE

BRUNET M. MECANIQUE DES SOLIDES

BRUNIE L. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION

BUREAU J.C. CEGELY*

CAVAILLE J.Y. GEMPPM***

CHANTE J.P. CEGELY*- Composants de puissance et applications

CHOCAT B. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine

COMBESCURE A. MECANIQUE DES CONTACTS

COUSIN M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures

DAUMAS F. (Mme) CETHIL – Energetique et Thermique

DOUTHEAU A. CHIMIE ORGANIQUE

DUFOUR R. MECANIQUE DES STRUCTURES

DUPUY J.C. PHYSIQUE DE LA MATIERE

EMPTOZ H. RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION

ESNOUF C. GEMPPM***

EYRAUD L. (Prof. emerite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE

FANTOZZI G. GEMPPM***

FAVREL J. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS

FAYARD J.M. BIOLOGIE APPLIQUEE

FAYET M. MECANIQUE DES SOLIDES

FERRARIS-BESSO G. MECANIQUE DES STRUCTURES

FLAMAND L. MECANIQUE DES CONTACTS

FLORY A. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION

FOUGERES R. GEMPPM***

FOUQUET F. GEMPPM***

FRECON L. INFORMATIQUE

GERARD J.F. MATERIAUX MACROMOLECULAIRES

GERMAIN P. LAEPSI****

GIMENEZ G. CREATIS**

GOBIN P.F. (Prof. emerite) GEMPPM***

Page 4: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

GONNARD P. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE

GONTRAND M. CEGELY*- Composants de puissance et applications

GOUTTE R. (Prof. emerite) CREATIS**

GOUJON L. GEMPPM***

GOURDON R. LAEPSI****.

GRANGE G. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE

GUENIN G. GEMPPM***

GUICHARDANT M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE

GUILLOT G. PHYSIQUE DE LA MATIERE

GUINET A. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS

GUYADER J.L. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE

GUYOMAR D. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE

HEIBIG A. LAB. MATHEMATIQUE APPLIQUEES LYON

JACQUET RICHARDET G. MECANIQUE DES STRUCTURES

JAYET Y. GEMPPM***

JOLION J.M. RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION

JULLIEN J.F. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures

JUTARD A. (Prof. emerite) AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

KASTNER R. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Geotechnique

KOULOUMDJIAN J. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION

LAGARDE M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE

LALANNE M. (Prof. emerite) MECANIQUE DES STRUCTURES

LALLEMAND A. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energetique et thermique

LALLEMAND M. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energetique et thermique

LAUGIER A. PHYSIQUE DE LA MATIERE

LAURINI R. INFORMATIQUE EN IMAGE ET SYSTEMES D’INFORMATION

LEJEUNE P. GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES

LUBRECHT A. MECANIQUE DES CONTACTS

MASSARD N. INTERACTION COLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITE

MAZILLE H. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE

MERLE P. GEMPPM***

MERLIN J. GEMPPM***

MIGNOTTE A. (Mle) INGENIERIE, INFORMATIQUE INDUSTRIELLE

MILLET J.P. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE

MIRAMOND M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine

MOREL R. MECANIQUE DES FLUIDES

MOSZKOWICZ P. LAEPSI****

NARDON P. (Prof. emerite) BIOLOGIE APPLIQUEE

NIEL E. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

NORTIER P. DREP

ODET C. CREATIS**

OTTERBEIN M. (Prof. emerite) LAEPSI****

PARIZET E. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE

PASCAULT J.P. MATERIAUX MACROMOLECULAIRES

PAVIC G. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE

PELLETIER J.M. GEMPPM***

PERA J. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Materiaux

PERRIAT P. GEMPPM***

PERRIN J. ESCHIL – Equipe Sciences Humaines de l’Insa de Lyon

PINARD P. (Prof. emerite) PHYSIQUE DE LA MATIERE

PINON J.M. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION

PONCET A. PHYSIQUE DE LA MATIERE

POUSIN J. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE

PREVOT P. GRACIMP – Groupe de Recherche en Apprentissage, Cooperation et Interfaces

Multimodales pour la Productique

Page 5: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

PROST R. CREATIS**

RAYNAUD M. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Materiaux

REDARCE H. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

RETIF J.M. CEGELY*

REYNOUARD J.M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures

RIGAL J.F. MECANIQUE DES SOLIDES

RIEUTORD E. (Prof. emerite) MECANIQUE DES FLUIDES

ROBERT-BAUDOUY J. (Prof. emerite) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES

ROUBY D. GEMPPM***

ROUX J.J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON – Thermique de l’Habitat

RUBEL P. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION

SACADURA J.F. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Materiaux

SAUTEREAU H. MATERIAUX MACROMOLECULAIRES

SCAVARDA S. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

SOUIFI A. PHYSIQUE DE LA MATIERE

SOUROUILLE J.L. INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLE

THOMASSET D. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

UBEDA S. CENTRE D’INNOV. EN TELECOM ET INTEGRATION DE SERVICES

THUDEROZ C. ESCHIL – Equipe Sciences Humaines de l’Insa de Lyon

UNTERREINER R. CREATIS**

VELEX P. MECANIQUE DES CONTACTS

VIGIER G. GEMPPM***

VINCENT A. GEMPPM***

VRAY D. CREATIS**

VUILLERMOZ P.L. (Prof. emerite) PHYSIQUE DE LA MATIERE

Directeurs de recherche C.N.R.S. :

BERTHIER Y. MECANIQUE DES CONTACTS

CONDEMINE G. UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE

COTTE-PATAT N. (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE

ESCUDIE D. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON

FRANCIOSI P. GEMPPM***

MANDRAND M.A. (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE

POUSIN G. BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE

ROCHE A. MATERIAUX MACROMOLECULAIRES

SEGUELA A. GEMPPM***

VERGNE P. LaMcos

Directeurs de recherche I.N.R.A. :

FEBVAY G. BIOLOGIE APPLIQUEE

GRENIER S. BIOLOGIE APPLIQUEE

RAHBE Y. BIOLOGIE APPLIQUEE

Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. :

PRIGENT A.F. (Mme) BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE

MAGNIN I. (Mme) CREATIS**

* CEGELY -CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON

** CREATIS -CENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L’IMAGE ET DU

SIGNAL

***GEMPPM -GROUPE D’ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX

****LAEPSI -LABORATOIRE D’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES

INDUSTRIELS

Page 6: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Ecoles Doctorales et Diplomes d’Etudes Approfondieshabilites pour la periode 1999-2003

ECOLES DOCTORALES RESPONSABLE CORRESPONDANT DEA INSA RESPONSABLE

n code national PRINCIPAL INSA n code national DEA INSA

Chimie Inorganique

CHIMIE DE LYON M. D. SINOU M. R. GOURDON 910643

(Chimie, Procedes, UCBL1 87.53 Sciences et Strategies Analytiques

Environnement) 04.72.44.62.63 Sec 84.30 910634

Sec 04.72.44.62.64 Fax 87.17 Sciences et Techniques du Dechet∗ M. R. GOURDON

EDA206 Fax 04.72.44.81.60 910675 Tel 87.53 Fax 87.17

Villes et Societes M. ZIMMERMANN

ECONOMIE, ESPACE ET M.A. BONNAFOUS M. ZIMMERMANN 911218 Tel 84.71 Fax 87.96

MODELISATION DES LYON 2 84.71 M. L. FRECON

COMPORTEMENTS 04.72.72.64.38 Fax 87.96 Dimensions Cognitives et Modelisation Tel 82.39 Fax 85.18

(E2MC) Sec 04.72.72.64.03 992678

EDA417 Fax 04.72.72.64.48

Automatique Industrielle M. M. BETEMPS

ELECTRONIQUE, M. D. BARBIER 910676 Tel 85.59 Fax 85.35

ELECTROTECHNIQUE, INSA DE LYON Dispositifs de l’Electronique Integree∗ M. D. BARBIER

AUTOMATIQUE 85.47 910696 Tel 85.47 Fax 60.81

(E.E.A.) Fax 60.82 Genie Electrique de Lyon M. J.P. CHANTE

910065 Tel 87.26 Fax 85.30

Images et Systemes∗ Mme I. MAGNIN

EDA160 992254 Tel 85.63 Fax 85.26

Analyse et Modelisation M. S. GRENIER

EVOLUTION, ECOSYSTE- M. J.P FLANDROIS M. S. GRENIER des Systemes Biologiques Tel 79.88 Fax 85.34

-ME, MICROBIOLOGIE, UCBL1 79.88 910509

MODELISATION 04.78.86.31.50 Fax 85.34

(E2M2) Sec 04.78.86.31.52

EDA403 Fax 04.78.86.31.49

Documents Multimedia, Images et M. A. FLORY

INFORMATIQUE ET M. L. BRUNIE Systemes d’Information Communicants∗ Tel 84.66 Fax 85.97

INFORMATION POUR INSA DE LYON 992774

LA SOCIETE 87.59 Extraction des Connaissances M. J.F. BOULICAUT

(EDIIS) Fax 80.97 a partir des Donnees Tel 89.05 Fax 87.13

992099

Informatique et Systemes Cooperatifs M. A. GUINET

pour l’Entreprise Tel 85.94 Fax 85.38

EDA407 950131

Biochimie M. M. LAGARDE

INTERDISCIPLINAIRE M. A.J. COZZONE M. M. LAGARDE 930032 Tel 82.40 Fax 85.24

SCIENCES-SANTE UCBL1 82.4

(EDISS) 04.72.72.26.72 Fax 85.24

Sec 04.72.72.26.75

EDA205 Fax 04.72.72.26.01

Genie des Materiaux : Microstructure, M. J.M.PELLETIER

MATERIAUX DE LYON M. J. JOSEPH M. J.M. PELLETIER Comportement Mecanique, Durabilite∗ Tel 83.18 Fax 85.28

UNIVERSITE LYON 1 ECL 83.18 910527

04.72.18.62.44 Fax 84.29 Materiaux Polymeres et Composites∗ M. H. SAUTEREAU

Sec 04.72.18.62.51 910607 Tel 81.78 Fax 85.27

Fax 04.72.18.60.90 Matiere Condensee, Surfaces M. G. GUILLOT

et Interfaces Tel 81.61 Fax 85.33

EDA034 910577

Analyse Numerique, Equations aux M. G. BAYADA

MATHEMATIQUES ET M. F. WAGNER M. J. POUSIN derivees partielles et Tel 83.12 Fax 85.29

INFORMATIQUE UCBL1 88.36 Calcul Scientifique

FONDAMENTALE 04.72.43.27.86 Fax 85.29 910281

(Math IF) Fax 04.72.43.00.35

EDA409

Acoustique∗ M. J.L. GUYADER

MECANIQUE, M. F. SIDOROFF M. G.DALMAZ 910016 Tel 80.80 Fax 87.12

ENERGETIQUE, ECL 83.03 Genie Civil∗ M. J.J.ROUX

GENIE CIVIL, 04.72.18.61.56 Fax 04.72.89.09.80 992610 Tel 84.60 Fax 85.22

ACOUSTIQUE Sec 04.72.18.61.60 Genie Mecanique M. G. DALMAZ

(MEGA) Fax 04.78.64.71.45 992111 Tel 83.03

Thermique et Energetique M. J. F. SACADURA

EDA162 910018 Tel 81.53 Fax 88.11

∗Ecoles doctorales et DEA dont l’INSA est l’etablissement principal

Page 7: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Folio Administratif

These soutenue devant l’Institut des Sciences Appliquees de Lyon

NOM : CASTEL DATE de SOUTENANCE : le 25 Avril 2005Prenoms : FranckTITRE : Modelisation numerique de materiaux poreux heterogenes. Application a l’absorptionbasse frequence.NATURE : Doctorat Numero d’ordre : 05 ISAL 0029Ecole doctorale : Mecanique, Energetique, Genie civil et AcoustiqueSpecialite : AcoustiqueCote B.I.U.-Lyon : T50/210/19 et bis CLASSE :RESUME : Cette these porte sur la modelisation numerique des materiaux poreux heterogenesafin d’optimiser l’absorption acoustique en basses frequences. Une methode elements finisquadratiques basee sur la formulation de Biot generalisee et sur une formulation en fluideequivalent a ete implantee et validee. Une procedure d’adaptation automatique de maillagea egalement ete mise au point et validee dans le cas d’une formulation fluide equivalent. Unestimateur d’erreur a posteriori evalue l’erreur d’interpolation en effectuant une derivationdiscrete du type differences finies sur les valeurs nodales du gradient de la pression. Un criterea ete etabli afin de piloter le raffinement du maillage. Dans un premier temps, l’outil estutilise dans le cadre des materiaux a double porosite (materiaux a deux echelles de pores).Les resultats obtenus confirment les resultats theoriques d’Olny. Le pic caracteristique presentsur les spectres d’absorption des materiaux offrant un bon contraste de permeabilite est bienpredit. Une interpretation de ce pic est proposee a l’aide de la visualisation des puissances dis-sipees par elements. Une technique d’optimisation des materiaux a double porosite basee surla methode des surfaces de reponses est egalement proposee. Enfin, l’adaptation automatiquede maillage est utilisee pour effectuer une etude parametrique de l’absorption de materiauxbi-couches presentant des fuites sur le pourtour de l’une ou l’autre de leur couche. Il estmontre que l’influence de la fuite est plus importante lorsqu’elle est presente sur le pourtourde la premiere couche et que cette derniere n’est pas trop mince. Cette etude montre qu’il estpossible d’ameliorer l’absorption des materiaux au moyen de fuites.L’outil developpe est fiable. L’adaptation automatique reste limitee a l’utilisation d’une for-mulation en fluide equivalent.MOTS-CLES : Acoustique, vibrations, materiaux poreux, methodes elements finis,heterogeneite, double porosite.Laboratoire de recherches : LAboratoire des Sciences de l’Habitat, Departement Genie Civilet Batiment, Ecole Nationale des Travaux Publics de L’EtatDirecteurs de These : Noureddine ATALLA et Franck SGARDPresident du jury :Composition du jury : Noureddine ATALLA Directeur de These

Mohamed HAMDI RapporteurWalter LAURICKS Membre du juryXavier OLNY Membre du juryRaymond PANNETON RapporteurJean-Jacques ROUX Membre du juryFranck SGARD Directeur de These

7

Page 8: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

8

Page 9: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Remerciements

Ce memoire de these s’inscrit dans la lignee d’une etroite collaboration entre le GroupeAcoustique de l’Universite de Sherbrooke et le Laboratoire des Sciences de l’Habitat de l’EcoleNationale des Travaux publics de l’Etat. Ces deux Laboratoires m’ont accueilli en leur seinpour mener a bien mes travaux de recherche. Je tiens donc a remercier tres chaleureusementAlain Berry et Noureddine Atalla, successivement directeurs du G.A.U.S. ainsi que GerardGuarraccino et Marc Fontoynon successivement directeurs du LaSH.

Je tiens egalement a exprimer ma profonde gratitude a mes deux directeurs de these qui ontsu diriger mes travaux malgre la distance, prouvant ainsi leur complementarite et leur etroitecollaboration sur le sujet. Merci donc a Franck Sgard pour son soutien et ces tres nombreuxconseils. Merci egalement pour m’avoir fait partager sa passion pour les elements finis etles materiaux poreux heterogenes. Je remercie tres chaleureusement Noureddine Atalla pourtous ses conseils et les nombreuses idees qu’il a su faire germer au cours de nos discussion.Je le remercie egalement pour sa grande disponibilite, mais aussi pour son soutien moral etfinancier au cours de mon sejour au Canada. Tres sincerement Merci a tous les deux !

Je remercie les membres du Jury qui ont accepte d’evaluer mon travail.

Bien evidemment j’ai une pensee toute particuliere pour tous les copains des labos avecqui j’ai passe trois annees extremement agreables. Je remercie donc Tit’, Le Disciple, Samyet Scoubidoo, Clut l’apotre d’Oberst, FX et Nesrine, FAFA et <((Cot + iMeuh)2) pour leLash mais aussi Remy, Youssef et le legendaire (et non moins terrible) Caribou pour le Gaus.Une mention tres tres speciale va a notre Wannab’ national qui a enormement contribue ace travail.

Un grand grand merci a Mike et a Patrice pour leur aide. Il est clair que cette these neserait pas la meme sans les Bqtools, Mamouth et le SGI de MTL.

Cette experience nous a permis de passer deux hivers au Quebec qui n’auraient sans doutepas ete les memes sans la chaleur de nos amis quebecois. Merci a la famille Jean pour toutesles tourtes et les cipates (Merci Fred et Stephanie), les sorties en raquette, le ramassage deschaudieres et le bouillage de l’eau d’erable avec la famille Cote. Merci pour ces souvenirsextraordinaires. Une pensee toute particuliere est reservee a Martin qui m’a fait son com-pagnon de trappe et de peche apres les journees passees au laboratoire. Mon travail n’auraitcertainement pas ete le meme sans ces bouffees d’air pur et toutes ces truites... merci a Vickypour nous avoir supportes et photographies avec toutes nos bibittes. Un grand merci aussi auxRugbymen Abenakis et du Vert et Or : c’etait l’fun en tab’... au New-York seven’s.

Lorsque j’ai commence a ecrire ces remerciements, j’ai naturellement repense a certainsde mes professeurs qui ont particulierement marque ma scolarite. J’ai donc une pensee toute

Page 10: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

particuliere aujourd’hui pour M. Calmet et Mme et Mr Lavaux professeurs en Lycee a Albi,mais aussi pour Yves Gervais du LEA sans qui je n’aurais jamais entrepris de D.E.A etencore moins de these.

Enfin, je remercie ma famille pour son soutien sans faille pendant toutes ces anneesd’etudes.

10

Page 11: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Resume

Cette these porte sur la modelisation numerique des materiaux poreux heterogenes afind’optimiser l’absorption acoustique en basses frequences. Une methode elements finis quadra-tiques basee sur la formulation de Biot generalisee et sur une formulation en fluide equivalenta ete implantee et validee.

Une procedure d’adaptation automatique de maillage a egalement ete mise au point etvalidee dans le cas d’une formulation fluide equivalent. Un estimateur d’erreur a posteriorievalue l’erreur d’interpolation en effectuant une derivation discrete du type differences finiessur les valeurs nodales du gradient de la pression. Un critere a ete etabli afin de piloter leraffinement du maillage.

Dans un premier temps, l’outil est utilise dans le cadre des materiaux a double po-rosite (materiaux a deux echelles de pores). Les resultats obtenus confirment les resultatstheoriques d’Olny. Le pic caracteristique present sur les spectres d’absorption des materiauxoffrant un bon contraste de permeabilite est bien predit. La position de ce pic peut etreegalement determinee analytiquement pour les materiaux periodiques homogeneisables. Uneinterpretation de ce pic est proposee a l’aide de la visualisation des puissances dissipees parelements. Cette technique permet de mettre en evidence la couche de diffusion. Une techniqued’optimisation des materiaux a double porosite basee sur la methode des surfaces de reponsesest egalement proposee.

Enfin, l’adaptation automatique de maillage est utilisee pour effectuer une etude pa-rametrique de l’absorption de materiaux bi-couches presentant des fuites sur le pourtourde l’une ou l’autre de leur couche. Il est montre que l’influence de la fuite est plus importantelorsqu’elle est presente sur le pourtour de la premiere couche et que cette derniere n’est pastrop mince. Cette etude montre qu’il est possible d’ameliorer l’absorption des materiaux aumoyen de fuites.

L’outil developpe est fiable et simple d’utilisation. L’adaptation automatique reste cepen-dant limitee a l’utilisation d’une formulation en fluide equivalent.

Page 12: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

12

Page 13: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Abstract

This PhD thesis deals with the numerical modelling of the low frequency absorption ofporous heterogeneous materials. A quadratic finite element method based on Biot-Allard’stheory and on an equivalent fluid formulation has been implemented and validated.

An auto adaptative meshing procedure has been developed and validated in the caseof the equivalent fluid formulation. An a posteriori error estimator was used to evaluate theinterpolation errors using a finite difference like derivative of the pressure gradient at the meshnodes. A criterion has been established in order to control the mesh refinement. The developedtool has been used for the modelling of double porosity materials (materials with a double scaleof pores). The results obtained confirm Olny’s analytical results. The distinctive peak foundon the absorption spectra is well predicted. Its position can be determined analytically forperiodic homogeneisable materials. The dissipated powers within the mesh elements are usedto interpret the diffusion layer and the associated absorption peak. Moreover, an optimizationtechnique based on a surface response method is also proposed for double porosity materials.

The developed tool is finally used for a parameters study of double layer materials withlateral leaks. It is shown that air leaks affect more the first layer. This effect increases withthe layer thickness and flow resistance. This study shows in particular that it is possible toenhance the absorption of materials with air partitions.

The developed tool is reliable and easy to use. However, the proposed auto adaptativemeshing technique is limited to the equivalent fluid formulation.

Page 14: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

14

Page 15: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des matieres

1 Introduction 31

1-1 Problematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1-2 Etat de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1-2.1 Ondes et materiaux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1-2.2 Modelisation numerique des materiaux poreux BF : Les elements finis 34

1-2.3 Geometrie et choix du type d’elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1-2.4 Les criteres de maillage dans les milieux poreux . . . . . . . . . . . . . 36

1-2.5 L’adaptation de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1-2.6 Generation automatique de maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1-2.7 Les sources d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1-3 Les materiaux heterogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1-4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1-5 Objectifs et methodologie retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1-5.1 Objectif general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1-5.2 Objectifs specifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1-6 Structure du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

I Aspects Numeriques 49

2 Implantation numerique des elements finis quadratiques 51

2-1 Elements finis quadratiques (Lagrange, P2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2-1.1 Approximation nodale des variables et discretisation des integrales . . 53

2-1.2 Discretisation des integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

15

Page 16: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des matieres

2-2 Profil des matrices et algorithmes de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2-3 Calcul des indicateurs acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2-3.1 Vitesse quadratique moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2-3.2 Pression quadratique moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2-3.3 Bilan de puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2-3.4 Coefficient d’absorption et NRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2-4 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2-4.1 Cas de la colonne poreuse excitee en traction compression . . . . . . . 60

2-4.2 Cas de la colonne poreuse en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2-4.3 Cas de la plaque poreuse encastree excitee par une onde acoustique . . 64

2-4.4 Cas de la plaque poreuse collee sur un support rigide excitee mecani-quement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2-4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2-5 Digression sur les criteres de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2-6 Evaluation des performances des elements quadratiques . . . . . . . . . . . . 69

2-6.1 Cas d’une colonne poreuse guidee et excitee en traction compressionpar un piston rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2-6.2 Cas de la colonne poreuse encastree a ses deux extremites excitee parune onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2-6.3 Cas d’une plaque encastree et excitee par une onde acoustique plane . 73

2-7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Couplage avec un guide d’onde 77

3-1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3-2 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3-3 Couplage entre un milieu poroelastique et le guide d’onde . . . . . . . . . . . 79

3-4 Premiere approche : calcul de A par discretisation de formes modales sur lemaillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3-4.1 Obtention et discretisation des amplitudes modales . . . . . . . . . . . 82

3-4.2 Nombre de modes correctement decrits par discretisation sur un maillage.Limitations et interet pour le calcul de A . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3-5 Deuxieme approche : Calcul et discretisation numerique de A par une integrationanalytique dans le cas d’elements lineaires non deformes. . . . . . . . . . . . . 87

16

Page 17: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des matieres

3-5.1 Particularites des elements lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3-6 Validation et performances des methodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3-6.1 Materiaux perfores et maillages uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3-6.2 Maillages non uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3-7 Determination du nombre de modes a prendre en compte dans le cas de materiauxperfores : perforations carrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3-7.1 Description du probleme et hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3-7.2 Determination de l’impedance moyenne de la perforation . . . . . . . 94

3-7.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4 Adaptation de maillage 99

4-1 Generation du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4-2 Implantation numerique de l’estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4-3 Application de l’estimation d’erreur dans le cas de materiaux poreux modelisespar une formulation de type fluide equivalent et excites acoustiquement. . . . 106

4-4 Procedure de raffinement de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4-4.1 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4-4.2 Sensibilite de l’indicateur acoustique et valeur du critere . . . . . . . . 115

4-5 Un autre indicateur acoustique : la pression quadratique moyenne . . . . . . . 116

4-6 Cas de la formulation poroelastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

II Applications 125

5 Materiaux a double porosite 127

5-1 Coefficient d’absorption de materiaux a simple et a double porosite . . . . . . 128

5-2 Influence des conditions aux limites. Resonances du squelette . . . . . . . . . 129

5-3 Profil de pression dans le materiau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5-3.1 Materiaux a simple porosite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5-3.2 Materiaux perfores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5-4 Cas des materiaux poreux avec des fentes et de materiaux presentant des fuitessur leur pourtour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5-4.1 Champs de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

17

Page 18: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des matieres

5-4.2 Frequence du maximum d’absorption et homogeneisation . . . . . . . 146

5-5 Materiau a double porosite et densite elementaire de puissance dissipee . . . . 150

5-6 Visualisation et mesure de la couche de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6 Optimisation de materiaux au moyen de perforations. Ameliorations desperformances en absorption normale au sens du NRC 155

6-1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6-2 Methodologie des surfaces de reponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6-2.1 Plans d’experiences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6-3 Optimisation d’un materiau au sens du NRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6-3.1 Materiau repondant positivement au phenomene de diffusion en pression159

6-3.2 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6-3.3 Analyse des resultats du plan d’experience . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6-3.4 Verification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7 Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coeffi-cient d’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches 165

7-1 Cas d’un materiau mono-couche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7-1.1 Importance de la prise en compte des modes superieurs dans le cas defuites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7-1.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7-2 Cas de materiaux bi-couches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7-2.1 Cas ou l’epaisseur des couches est fixee a 2.54 cm (1”) . . . . . . . . . 175

7-2.2 Influence de l’epaisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7-2.3 Influence de la taille de la perforation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7-2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8 Conclusion 185

8-1 Contributions de notre travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8-2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

A Parametres des materiaux 189

18

Page 19: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des matieres

B Ressources informatiques 191

C Integration des nouveaux modules 193

References 196

19

Page 20: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des matieres

20

Page 21: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Liste des tableaux

1.1 Exemple de taille de probleme d’apres [47] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1 Exemples de valeurs du NRC pour des materiaux employes dans le batiment. 59

2.2 Proprietes des grilles utilisees et comparaison des resultats. Colonne poreuseguidee excitee par un piston rigide, cas d’une mousse. . . . . . . . . . . . . . 71

2.3 Proprietes des maillages quadratiques et positions des pics. . . . . . . . . . . 72

2.4 Proprietes des maillages lineaires et positions des pics. . . . . . . . . . . . . . 73

2.5 Erreurs relatives sur la position des pics en % . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.6 Caracteristiques des grilles utilisees pour les simulations et comparaison desresultats. Plaque encastree excitee par une onde plane, MatB. . . . . . . . . . 74

2.7 Changement de reference et comparaison des resultats. Plaque encastree exciteepar une onde plane, cas d’une mousse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1 Nombres de modes determines a partir de l’expression de δz (3.55). . . . . . 96

4.1 Erreur relative et valeurs de ξ pour differentes valeurs du critere de maillage. 107

4.2 Cas envisages et valeurs de ξ correspondantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.1 Proprietes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.2 Differentes configurations envisagees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3 Distance mesuree et profondeur de penetration theorique pour les frequences125 Hz, 250 Hz, 500 Hz, 1000 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.4 Proprietes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.5 Valeurs en cm des parametres lax et lpx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.6 Mesoporosite et coordonnees des maxima pour les differentes configurationssimulees avec le materiau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

21

Page 22: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Liste des tableaux

5.7 Frequences des maxima et frequences de quart d’onde du fluide homogeneequivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.1 Parametres acoustiques et mecaniques du materiau retenu. . . . . . . . . . . 159

6.2 Frequence de decouplage, parametres de la configuration et proprietes du materiauMatD, d’apres [67]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.3 Frequences caracteristiques du materiau MatD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.4 Resultats du plan d’experience A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.5 Comparaison des resultats : a) simulations numeriques ; b) predictions dumodele 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.6 Resultats du plan d’experience B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.7 Recherche de l’optimum : Simulations numeriques. . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.1 Proprietes acoustiques des materiaux fibreux etudies. . . . . . . . . . . . . . . 167

A.1 Proprietes physiques des materiaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

A.2 Quelques longueurs d’ondes de Biot a 500 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

22

Page 23: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des figures

1.1 Mouvements induits par le passage d’une onde P et d’une onde S dans unmilieu solide, d’apres [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2 Exemple de maillage anisotrope adapte dans le cas d’un ecoulement periodiquederriere un cylindre. Visualisation d’une allee de Von Karman, d’apres [36] . 38

1.3 Methode indirecte : generation d’hexaedres par division d’un tetraedre . . . 40

1.4 Methode directe : Vue en coupe du maillage d’un cylindre par une methode detype grille. La grille de depart apparaıt au centre du maillage. . . . . . . . . . 41

1.5 Methode directe : generation de maillage hexaedrique par la methode du plas-tering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.6 Methode directe : Exemple de STC et de ses quatre plans de torsion pour unsolide maille par deux elements hexaedriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1 Connectivite d’un element hexaedrique a 20 nœuds . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2 Profil de la partie superieure des matrices : a) modelisation utilisant 8 elementslineaires, b) modelisation utilisant 2 elements quadratiques. . . . . . . . . . . 56

2.3 Configuration monodimensionnelle : excitation mecanique, colonne poreuse ex-citee en traction-compression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4 Cas de la colonne poreuse excitee par un piston. Puissance dissipee par ef-fet structural en fonction de la frequence : −−−ª , elements lineaires ; −−−+ ,elements quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5 Cas de la colonne poreuse excitee par un piston. Puissance dissipee par ef-fets visqueux en fonction de la frequence : −−−ª , elements lineaires ; −−−+ ,elements quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.6 Vue de profil d’une colonne poreuse encastree aux extremites et excitee enflexion par une onde acoustique. Exemple de maillage quadratique. . . . . . . 63

2.7 Cas de la colonne poreuse excitee en flexion. Vitesse quadratique moyennesuivant Z en dB en fonction de la frequence : −−−ª , elements lineaires ; −−−+ ,elements quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

23

Page 24: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des figures

2.8 Configuration tridimensionnelle : excitation acoustique, plaque poreuse exciteepar une onde plane avec des conditions laterales de bords encastres. . . . . . 64

2.9 Cas de la plaque poreuse encastree, excitee par une onde plane : Pression qua-dratique moyenne en dB en fonction de la frequence, −−−ª elements lineaires,−−−+ elements quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.10 Cas de la plaque poreuse encastree excitee par une onde plane. Vitesse qua-dratique moyenne suivant X : −−−ª , elements lineaires ; −−−+ , elements qua-dratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.11 Configuration tridimensionnelle : Excitation mecanique, plaque poreuse exciteepar un piston, conditions laterales de bords libres. . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.12 Cas de la plaque poreuse excitee mecaniquement avec des conditions lateralesde bords libres. Vitesse quadratique moyenne suivant Z en dB en fonction dela frequence : −−−ª , elements lineaires ; −−−+ , elements quadratiques. . . . . 67

2.13 Colonne poreuse encastree a ses deux extremites : Spectre de la vitesse qua-dratique et position des pics de resonance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.14 Taux de convergence pour la position des pics. Pic1 : −−−¤ , lineaires ; − −+ ,quadratiques. Pic2 :−−−♦ , lineaires ;− −× , quadratiques. Pic3 :−−−ª , lineaires ;− −∗ , quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1 Divergence d’un calcul lie a une mauvaise prise en compte du nombre de modessur un maillage uniforme a neuf elements : −−−∗ , 30 modes ; −−−ª , 8 modes. 78

3.2 Probleme d’un materiau poreux heterogene teste en absorption . . . . . . . . 79

3.3 Echantillonnage du mode 2 sur un maillage uniforme monodimensionnel. Mode2 : —, Interpolation lineaire : −−−, Interpolation quadratique : · · . . . . 85

3.4 Echantillonnage du mode 5 sur un maillage uniforme monodimensionnel. Mode5 : —, Interpolation lineaire : −−−, Interpolation quadratique : · · . . . . 86

3.5 Echantillonnage du mode 4 sur un maillage non uniforme monodimensionnel.Mode 4 : —, Interpolation lineaire : −−−, Interpolation quadratique : · · 86

3.6 Element quadrilateral a quatre nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.7 Integration analytique et integration numerique des modes du guide d’onde :−−−ª integration analytique 30 modes maillage lineaire uniforme ;−−−+ integrationnumerique 10 modes maillage quadratique uniforme. . . . . . . . . . . . . . . 90

3.8 Exemple de maillage non homogene. On retrouve trois tailles de maille dis-tinctes. L’heterogeneite fluide correspond a un taux de perforation de 12.1%. 91

3.9 Integration analytique et integration numerique des modes du guide d’onde :−−−ª integration analytique 18 modes maillage lineaire non uniforme ;−−−+ integrationnumerique 10 modes maillage quadratique non uniforme. . . . . . . . . . . . . 92

3.10 Materiau poreux perfore place dans un guide d’onde. . . . . . . . . . . . . . . 93

24

Page 25: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des figures

3.11 Coefficient d’absorption en fonction de la frequence pour le cas 1 : −−−ª , 40modes ; −−−+ , 18 modes ; −−−5 , 8 modes ; −−−, 6 modes. . . . . . . . . . . 97

3.12 Coefficient d’absorption en fonction de la frequence pour le cas 2 : −−−ª , 40modes ; −−−+ , 8 modes ; −−−5 , 2 modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.13 Coefficient d’absorption en fonction de la frequence pour le cas 3 : −−−ª , 40modes ; −−−+ , 6 modes ; −−−, 2 modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1 Maillages compatible et incompatible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2 Generation d’un maillage. 1 et 2 : generation des hexaedres par avancee defront suivant la direction Z. 3 : Affectation des proprietes des elements, chaquetype de materiau est represente par une couleur. . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3 Variation du gradient et concavite sur des elements pour des fonctions expo-nentielles decroissantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4 Comparaison de l’impedance de surface evaluee sur le maillage M1 : − − −,modele de Miki ; −−−ª , reactions nodales ; –, calcul theorique ; −−−+ , calculdu gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.5 Comparaison de l’impedance de surface evaluee sur le maillage M2 : − − −,modele de Miki ; −−−ª , reactions nodales ; –, calcul theorique ; −−−+ , calculdu gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6 Strategie de raffinement par couche du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.7 Maillages uniformes classiques et maillages adaptes . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.8 Maillages utilises pour les simulations. La fleche permet de reperer la face excitee.113

4.9 Coefficient d’absorption en fonction de la frequence : − − , methode classiqueet maillage a) ; —, methode classique et maillages b) ou c) ; − −+ , adaptationde maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.10 Discontinuite liee au remaillage. Portions de spectre : −−−ª ξ<1% ; −−−+ ξ =1.10−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.11 Pression quadratique moyenne en fonction de la frequence calculee pour lesdifferents cas. −−−ª : Cas1 ; −−−+ : Cas2 ; − −· : Cas3. . . . . . . . . . . . . 117

4.12 Coefficient d’absorption calcule en utilisant la formulation poroelastique pourle materiau Mat1 : −−−ª maillage manuel surdimensionne ; −−−+ adaptationautomatique de maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.13 Vitesse quadratique moyenne de la phase solide suivant Z calculee en utilisantla formulation poroelastique pour le materiau Mat1 : −−−ª maillage manuelsurdimensionne ; −−−+ adaptation automatique de maillage. . . . . . . . . . . 119

4.14 Pression quadratique moyenne calculee en utilisant la formulation poroelastiquepour le materiau Mat1 :−−−ª maillage manuel surdimensionne ;−−−+ adaptationautomatique de maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

25

Page 26: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des figures

4.15 Puissance dissipee par effet structural calculee en utilisant la formulation poroelastiquepour le materiau Mat1 :−−−ª maillage manuel surdimensionne ;−−−+ adaptationautomatique de maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.16 Puissance dissipee par effets visqueux calculee en utilisant la formulation poroelastiquepour le materiau Mat1 :−−−ª maillage manuel surdimensionne ;−−−+ adaptationautomatique de maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.17 Puissance dissipee par effets thermiques calculee en utilisant la formulationporoelastique pour le materiau Mat1 : −−−ª maillage manuel surdimensionne ;−−−+ adaptation automatique de maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.18 Puissance dissipee par effet structural calculee en utilisant la formulation poroelastiquepour le materiau MatC :−−−ª maillage uniforme quadratique ;−−−+ adaptationautomatique de maillage ξ<1% ;−∇− adaptation automatique de maillage ξ<5% ;− −· adaptation automatique de maillage ξ = 1e−2. . . . . . . . . . . . . . . 122

4.19 Puissance dissipee par effets visqueux calculee en utilisant la formulation poroelastiquepour le materiau MatC :−−−ª maillage uniforme quadratique ;−−−+ adaptationautomatique de maillage ξ<1% ;−∇− adaptation automatique de maillage ξ<5% ;− −· adaptation automatique de maillage ξ = 1e−2. . . . . . . . . . . . . . . 122

4.20 Vitesse quadratique calculee en utilisant la formulation poroelastique pour lemateriau MatC : −−−ª maillage uniforme quadratique ; −−−+ adaptation au-tomatique de maillage ξ<1% ;−∇− adaptation automatique de maillage ξ<5% ;− −· adaptation automatique de maillage ξ = 1e−2. . . . . . . . . . . . . . . 123

5.1 Cellule d’un materiau a double porosite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.2 Coefficient d’absorption d’un materiau a double porosite, conditions aux li-mites de glissement : −−−, mesures ; −−−ª , elements quadratiques (5896ddl) ; − −· , modele fluide equivalent ; —, materiau homogene. . . . . . . . . 129

5.3 Puissance dissipee par effet structural : —, C8a ; −−−, C8b ; − −· , C5 ; · · · ,C3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4 Puissance dissipee par effet visqueux : —, C8a ; −−−, C8b ; − −· , C5 ; · · · ,C3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.5 Coefficient d’absorption en fonction de la frequence : —, C8a ; −−−, C8b ;− −· , C5 ; · · · , C3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6 Coefficient d’absorption en fonction de la frequence : —, C8a ; −−−, C8b. . 133

5.7 Coefficient d’absorption d’un materiau a double porosite avec des conditionsaux limites laterales d’encastrement : —, mesures ; −−−× , elements quadra-tiques (5064 ddl) ; − −· , modele du fluide equivalent. . . . . . . . . . . . . . 133

5.8 Profondeur de penetration de l’onde en fonction de la frequence pour le materiauMatF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

26

Page 27: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des figures

5.9 Mesure de la profondeur de penetration de l’onde P2 en fonction de la frequencepour le materiau MatF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.10 Profondeurs de penetration pour le materiau MatF dans le cas homogene et lecas perfore (φp = 0.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.11 Module des impedances nodales a la surface du materiau. . . . . . . . . . . . 138

5.12 Materiau avec des fentes et cellule equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.13 Couche d’air et materiau poreux se superposant places dans un guide d’onde. 140

5.14 Coefficient d’absorption en fonction de la frequence pour les 12 configurationsdu tableau 5.5. Materiau X simulation pc3d2003, formulation fluide equivalent 141

5.15 Module de la pression pour les differentes configurations a 410 Hz. . . . . . . 143

5.16 Module de la pression pour les differentes configurations a 510 Hz. . . . . . . 144

5.17 Module de la pression pour les differentes configurations a 610 Hz. . . . . . . 145

5.18 Geometrie de la cellule : cas des fentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.19 Longueur de quart d’onde en fonction de la frequence. . . . . . . . . . . . . . 148

5.20 Densite elementaire de puissance totale dissipee. Gauche : materiau poreuxhomogene ; Droite : materiau poreux surmonte d’une cavite. . . . . . . . . . . 150

5.21 Comparaison de la densite elementaire de puissance dissipee par effets ther-miques et par effets visqueux pour la configuration 3 − 6 a 410 Hz. Gauche :Puissance dissipee par effets thermiques ; Droite : Puissance dissipee par effetsvisqueux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.22 Comparaison de la densite elementaire de puissance dissipee en fonction de lafrequence. De haut en bas : 410 Hz, 610 Hz et 810 Hz. . . . . . . . . . . . . . 152

5.23 Mesure de la couche de diffusion pour le materiau 17. . . . . . . . . . . . . . 153

6.1 Verification numerique de la manifestation du phenomene de diffusion en pres-sion sur le materiau MatD : −−−, simple porosite ; −−−+ , double porosite. . 160

6.2 Surface de reponse NRC = f(φp, e) du second plan d’experience. . . . . . . . 163

6.3 Droite des maxima et determination de la zone optimale. . . . . . . . . . . . 163

7.1 Configurations etudiees pour les mono-couche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.2 Coefficient d’absorption : —, Materiau sans fuite ; −−−, materiau avec fuite,mode (0,0) uniquement, · · · , materiau avec fuite, tous les modes jusqu’au mode(4,4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.3 NRC en fonction de la resistivite σ pour des materiaux mono-couche : —, sansfuites ; −−−, 1% de fuites laterales ; − −· , 2% de fuites laterales. . . . . . . 169

27

Page 28: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des figures

7.4 Spectres d’absorption en fonction de la frequence : (a) − Mat14 sans fuite,−−−Mat14 avec 2% de fuite ; (b) − Mat20 sans fuite, −− Mat20 avec 2% defuite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.5 Courbes iso-NRC en fonction de la resistivite σ et de l’epaisseur h : (a) sansfuite, (b) 2% de fuite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.6 Superposition des figures 7.5 (a) et (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.7 Configurations testees dans le cas de materiaux bi-couches. . . . . . . . . . . 174

7.8 Comparaison des contours iso-NRC dans les cas 1 et 2. Evaluation des accrois-sements du NRC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.9 Comparaison des contours iso-NRC dans les cas 1 et 3. Evaluation des accrois-sements du NRC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.10 Contours iso-NRC dans la configuration ou h1 = 6 mm et h2 = 44.8 mm. . . 178

7.11 Contours iso-NRC dans la configuration ou h1 = 3 mm et h2 = 47.8 mm. . . . 179

7.12 Contours iso-NRC dans la configuration ou h1 = 1 mm et h2 = 49.8 mm. . . 180

7.13 Spectre d’absorption du systeme constitue de h1 = 1 mm de Mat18 et h2 =49.8 mm de Mat10 : −−−+ sans fuite ; −−−ª avec fuites. . . . . . . . . . . . . 181

7.14 Contours iso-NRC dans la configuration ou h1 = 6 mm et h2 = 44.8 mm :−−−, 1% de fuites ; —, 2% de fuites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.15 Contours iso-NRC dans la configuration ou h1 = 3 mm et h2 = 47.8 mm :−−−, 1% de fuites ; —, 2% de fuites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

C.1 Schema d’integration des nouveaux modules dans l’organisation logicielle. Fi-chiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

C.2 Schema d’integration des modules relatifs a l’adaptation de maillage dans l’or-ganisation logicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

28

Page 29: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Notations et symboles

Notations et principaux symboles du chapitre 1

fd frequence de decouplage de Zwikker et Kostenσ resistivite du materiauφ porosite du materiauρ1 masse volumique de l’agregat poreuxh taille de maille

Notations et principaux symboles du chapitre 2

〈〉 vecteur ligne vecteur colonne[] matrice˜ indique que la variable depend de la frequenceu vecteur uε tenseur d’ordre 2, ici ε est le tenseur des deformationsE fonction partie entiere< partie reelle= partie imaginaire

Notations et principaux symboles du chapitre 3

ρ0 densite de l’air (1.206 kg/m3)c0 celerite du son dans l’air (342.2 m/s)

Notations et principaux symboles du chapitre 4

ξ estimateur d’erreur

29

Page 30: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Table des figures

Notations et principaux symboles du chapitre 5

ρ22 densite equivalente de BiotR coefficient elastique de Biote symbole de l’exponentiellee epaisseur du materiau

30

Page 31: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 1

Introduction

1-1 Problematique

Resultat d’une activite humaine toujours grandissante, le bruit est aujourd’hui un veritableenjeu economique. Il est, au meme titre que l’air, l’un des indicateurs essentiels de ce que l’ondenomme la « qualite de vie ». Les nuisances sonores peuvent etre a l’origine de grandespertes economiques. En ville par exemple, la proximite d’une source importante de bruit tellequ’une gare ou un aeroport peut entraıner la depreciation de biens immobiliers. Dans lesespaces de travail, les nuisances sonores peuvent alterer la qualite du travail en faisant baisserla concentration du personnel expose. On evalue a 15% par annee le nombre de journees detravail perdues en France. Le bruit engendre egalement dans ce pays de nombreuses autresconsequences negatives. On recense par exemple chaque annee 70 000 accidents du travaildus au bruit, 1400 cas de surdite dont 800 cas de surdite lie a l’activite professionnelle, cequi place cette maladie au deuxieme rang des maladies professionnelles. Les repercussions dubruit sur la sante publique et son cout social en font un enjeu majeur.

Une strategie de controle du bruit utilise des materiaux poreux pour dissiper l’energieacoustique. Ces materiaux sont des systemes passifs, par opposition aux systemes actifs, carils ne necessitent pas de source d’energie pour reduire le bruit. Peu couteux, les materiauxporeux sont largement utilises dans l’industrie du transport et le batiment pour reduire lesnuisances sonores et ameliorer le confort des individus, a tel point qu’ils sont presents presquepartout. Dans les batiments on les retrouve aussi bien au niveau des parois que des plafondset des planchers. Ce sont alors des couches de laines minerales, des plaques de mousse, desflocages ou des panneaux de fibres, des platres... Dans les vehicules de transport, ils sontnon seulement presents dans les planchers insonorisants des vehicules, mais ils constituentegalement les mousses et les textiles des sieges, les feutres des plafonds d’habitacles...

Le concept d’heterogeneite1 dans notre cas concerne les materiaux qui allient les avan-

1L’aspect heterogene des materiaux est un fait courant dans la nature et les relations entre ces derniers etl’acoustique remonteraient presque a la nuit des temps, tout au moins en ce qui concerne l’humanite. En effet,bon nombre de materiaux heterogenes sont selectionnes et utilises par l’homme depuis fort longtemps. Onpeut citer l’exemple tres ancien des quartz diaclases [25] dont le son caracteristique revelait (sans doute) [54] lamicrostructure des precieux cailloux aux tailleurs de pierres du paleolithique moyen. Le lecteur notera que destechniques reposant sur des principes identiques sont toujours d’actualite. Elles ont cependant ete ameliorees

31

Page 32: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 1. Introduction

tages de l’interaction entre plusieurs constituants pour dissiper de l’energie : melanges demateriaux poreux et solides, materiaux presentant des defauts tels que des fractures ou encoreles materiaux a deux echelles de porosite. Nombre de materiaux evolues resultent d’assem-blages complexes de constituants divers. L’apparition des methodes numeriques, et notam-ment de la methode des elements finis (MEF), a permis d’ouvrir de nouveaux horizons pourl’investigation de ces materiaux. La methode peut permettre d’etudier les cas heterogenesque nous avons definis precedemment mais, pour repondre aux exigences particuliere de notreproblematique, de nombreuses ameliorations techniques doivent etre faites concernant l’outil.

Une maıtrise ainsi qu’une bonne comprehension des phenomenes complexes d’absorptionet l’elaboration de ce type de structure dissipative, necessitent une bonne connaissance desphenomenes physiques ce qui constitue un enjeu scientifique et technique de taille.

1-2 Etat de l’art

1-2.1 Ondes et materiaux poreux

Les materiaux poreux satures sont des materiaux resultant de l’interpenetration de deuxphases [13]. La premiere phase est solide et constitue le squelette du materiau. La secondephase est celle du fluide saturant les pores du materiau.

On distingue deux types d’interpenetration pour les phases. Le premier type est dit aporosite fermee car la phase solide est continue et la phase fluide est discontinue. Les poresdu materiau constituent des entites fluides isolees les unes des autres et sont donc fermes.Dans le deuxieme type, les deux phases sont continues. Les pores sont alors interconnectespermettant au fluide de circuler et d’etre en contact avec l’exterieur, la porosite est diteouverte.

Une onde de compression (P) et une onde de cisaillement (S)2 peuvent se propager dansun milieu solide isotrope continu. Dans un fluide homogene, une seule onde de compression(P’) peut se propager. Ainsi, dans le cas d’un materiau a porosite fermee, ou la phase fluideest discontinue, seules les deux ondes de type P et S peuvent se propager dans la phase solidealors que dans le cas ou la porosite est ouverte trois ondes (P1, P2 et S) sont susceptibles dese propager puisque les deux phases sont continues.

En 1956, Biot [12] utilise un formalisme lagrangien pour decrire le comportement desmateriaux a porosite ouverte et montre l’existence de trois ondes. Les deux ondes de com-pression (P1 et P2) se propagent dans les deux milieux a la fois en raison du couplage quilie les mouvements des deux phases. Le milieux poreux constitue un tout pour les ondes P1et P2 qui se propagent avec des celerites distinctes. Chaque onde se propage simultanementdans les deux milieux avec des amplitudes differentes.

Lorsque le fluide saturant est tres visqueux le couplage entre les deux phases est fort etles deux ondes de compression ont des proprietes tres differentes. En geophysique ou le fluide

et adaptees pour effectuer de la prospection sismique petroliere, faire de l’analyse ultrasonore en metallurgiepar exemple ou encore faire de l’imagerie medicale.

2Le lecteur peut se reporter a [69] pour visualiser le mouvement de ces ondes P et S.

32

Page 33: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

1-2. Etat de l’art

Fig. 1.1 – Mouvements induits par le passage d’une onde P et d’une onde S dans un milieusolide, d’apres [29] .

saturant est souvent un liquide, les qualificatifs d’onde rapide (P1) et d’onde lente (P2) sontemployes. En plus des differences de celerite, les ondes sont a ce point differentes que lesvitesses dans le milieu fluide et dans le milieu solide sont en phase pour l’onde rapide alorsqu’elles sont en opposition de phase pour l’onde lente, cette derniere etant egalement plusamortie.

Pour les materiaux poreux utilises en acoustique, qui sont satures par de l’air, le couplageest assez faible et il est plus approprie de parler d’onde solidienne et d’onde fluide [2]. Lesquelette du materiaux est generalement beaucoup plus lourd que l’air, il va donc resterpresque immobile lorsque l’air va entrer en mouvement. En revanche lorsque le squelette estebranle ces mouvements vont induire des mouvements du fluide. Pour cette raison la premiereonde (P1) se propage dans les deux milieux avec des amplitudes comparables, alors que ladeuxieme (P2) se propage principalement dans le fluide.

En 1949, Zwikker et Kosten [83] donnent une estimation de la frequence a partir de laquelleil y a decouplage partiel pour l’onde solidienne entre les vibrations de la phase solide et dela phase fluide. A partir de cette frequence notee fd les mouvements du squelette associes aupassage de l’onde P1 n’entraınent plus le fluide. Lorsque le squelette est faiblement ebranleles mouvements de la phase solide sont alors negligeables et le materiau se comporte commeun fluide dans lequel seule l’onde P2 se propage. L’expression de fd est donnee par :

fd =σφ2

2πρ1, (1.1)

ou σ est la resistance au passage a l’air, φ est la porosite du materiau et ρ1 est la masse volu-mique du materiau poreux. Il est bien important de comprendre que le lien entre la frequencede decouplage et le modele de fluide equivalent ne sont qu’une consequence de la predominance

33

Page 34: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 1. Introduction

de l’onde P2 dans ce cas particulier. Lorsque les excitations mettent en mouvement la phasesolide, l’onde P1 est excitee et les mouvements du squelette ne sont plus negligeables. Audessous de la frequence de decouplage la phase fluide est alors automatiquement entraıneepar les mouvements du squelette. Au dessus de cette frequence, le passage de l’onde P1 necontribue plus au mouvement de la phase fluide mais cette onde subsiste dans le squelette.

Pour l’absorption acoustique le modele fluide equivalent est valide en dehors de la reso-nance du squelette. Dans le cas d’excitations mecaniques le modele de Biot generalise doitetre employe pour predire correctement le comportement du materiau.

1-2.2 Modelisation numerique des materiaux poreux BF : Les elementsfinis

Il existe plusieurs types de formulations derivees des equations de Biot pour modeliser lecomportement des materiaux poreux par la methode des elements finis. Pour les recenser, ilest possible de les classer suivant qu’elles font intervenir comme variable [39] :

• le deplacement de la phase solide et le deplacement de la phase fluide, formulation(u, U)

• le deplacement de la phase solide et le deplacement relatif, formulation (u, w)• le deplacement de la phase solide et la pression dans les pores, formulation (u, p)• le deplacement de la phase solide, la pression dans les pores et le deplacement de la

phase fluide, formulation (u, p, U)• le deplacement de la phase solide, le potentiel du deplacement de la phase fluide et la

pression dans les pores, formulation (u, ψ, p)• ou enfin la pression dans les pores, formulation (p).

Historiquement, la plupart de ces modeles ont ete developpes dans les annees 70 pour repondrea des problemes de geomecanique. Ce n’est que dans le debut des annees 90 qu’ils ont etetransposes a des applications en vibroacoustique. Le passage du domaine de la geophysiquea la vibro-acoustique a necessite certaines ameliorations des modeles, notamment au niveaude la prise en compte du couplage visqueux [44, 2] et de la dissipation thermique [19, 2].

Certaines formulations ont ete abandonnees car jugees trop peu performantes et le nombrede formulations que l’on trouve aujourd’hui pour modeliser les problemes de vibro-acoustiquetridimensionnels se reduit alors a 3 voire 4.

Nous citerons la formulation (u, U) qui est la formulation originelle, directement deriveedu modele de Biot generalisee [63, 39, 42, 21]. Elle s’avere un peu lourde a utiliser avec ses 6inconnues nodales (les 3 deplacements de chaque phase) car elle conduit a de gros systemesmatriciels a resoudre.

Toujours dans le cadre des formulations a 6 inconnues par nœuds, il existe la formulation(u, w), on la retrouve dans les versions recentes de codes commerciaux tels que RAYON/PEMet ACTRAN[31].

Ensuite, il y a la formulation (u, p) [8, 6, 23, 68, 66], qui est la plus repandue. Cetteformulation, quoiqu’un peu plus delicate que la formulation (u, U) en ce qui concerne l’in-terpretation des bilans energetiques [22], presente l’avantage de reduire le nombre d’inconnuesnodales de 6 a 4. Elle conserve la meme precision et est aussi robuste que sa consœur a 6

34

Page 35: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

1-2. Etat de l’art

degres de liberte par nœuds [23]. Les systemes a resoudre sont moins « lourds », ce qui permetde faire des gains de temps de calcul et d’utiliser moins de memoire sur les machines. D’autrepart, son expression est exacte [6] et ce choix d’inconnues facilite l’imposition des conditionsaux limites [24]. Ces avantages certains lui valent une grande popularite.

Enfin, nous citerons la formulation en fluide equivalent ou formulation (p). Cette formu-lation est en fait un cas limite du modele poroelastique de Biot-Allard ou l’on considere quela matrice solide (squelette) reste immobile en raison de sa grande rigidite ou de sa masseelevee. On montre alors que l’equation decrivant le milieu est une equation du type equationd’Helmholtz [63]. Malgre les limites qui lui sont propres, cette formulation est particulierementinteressante car elle ne compte qu’une seule inconnue par nœud et est tres facile a implanternumeriquement.

Dans le cadre d’un materiau a squelette souple, il existe aussi une formulation (p), appeleemodele limp. Ce modele a ete ecarte d’emblee car il paraıt difficile de concevoir des materiauxheterogenes au sens ou nous l’entendons (inclusions solides, perforations) lorsque les squelettessont souples.

1-2.3 Geometrie et choix du type d’elements

Le choix du type d’elements depend principalement de deux facteurs :

1. la geometrie des problemes a modeliser,

2. le type de probleme physique,

le premier point etant plutot lie a la forme geometrique et le deuxieme a l’ordre des fonctionsde formes a employer.

Dans leurs applications courantes pour le batiment et les vehicules de transport, les dis-positifs passifs de controle du bruit construits a base de materiaux poreux, se trouvent sousla forme de plaques parallelepipediques.

Ces materiaux se retrouvent egalement sous la forme de cylindres car ils sont habi-tuellement testes en laboratoire dans des tubes a ondes stationnaires. Compte tenu de lapredominance de ces deux types de geometrie, on trouve donc principalement deux type decodes pour la modelisation des materiaux poreux : des codes axisymetriques et des codestridimensionnels.

La modelisation axisymetrique [45, 66], qui transforme un probleme reel tridimensionnelen un probleme modelise de facon bidimensionnelle, est tres interessante car elle permet dereduire considerablement le nombre de degres de liberte des problemes a resoudre. D’autrepart, elle s’avere aussi precise que des codes tridimensionnels [45]. En revanche, ce type decode necessite d’avoir des geometries axisymetriques ce qui n’est pas le cas lorsqu’un materiaupossede des inclusions aleatoires par exemple. Ce type de code n’est donc pas utilisable dansla plupart des cas heterogenes que nous avons a envisager. Nous preferons donc developperune approche tridimensionnelle car elle a l’avantage d’etre plus generale.

Les codes tridimensionnels permettent une plus grande liberte geometrique et peuventpratiquement modeliser n’importe quelle geometrie. En contre partie, ils sont un peu pluslourds a mettre en œuvre et ils conduisent a des systemes beaucoup plus gros que les codes

35

Page 36: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 1. Introduction

axisymetriques.

Concernant le type d’elements a utiliser, les elements lineaires convergent tres lentementet les systemes a resoudre atteignent vite les limites de machines standards [68] lorsque lesdimensions des materiaux depassent quelques dizaines de centimetres. L’augmentation del’ordre des polynomes d’interpolation et l’utilisation d’elements d’ordre p [66] et d’elementshierarchiques [68, 42] permettent de faire des economies en terme de nombre de degres deliberte. Ces methodes permettent de faire converger des cas de materiaux homogenes quine pourraient pas etre modelises avec des elements lineaires par exemple. D’autre part, ellespermettent de reduire les temps de calcul. Il est tout de meme necessaire de rester avec desordres assez bas pour les fonctions de forme et de trouver un compromis [68, 66] pour quele temps d’integration ne fasse pas perdre tout son interet a la methode. Horlin [42] montred’ailleurs qu’il est plus avantageux, d’un point de vue effort et temps de calcul, de raffinerlegerement des grilles utilisant des elements hierarchiques d’ordre 4 ou 5 que d’augmenterl’ordre d’interpolation sur ces grilles. La performance des elements hierarchiques est liee auxmethodes utilisees pour l’integration des fonctions de formes d’ordre eleves [41, 48]. Il est anoter que la pierre d’angle de la methode est de reduire les tailles de systemes en augmentantles tailles des elements. Ce type de methode risque par consequent de perdre de sa performanceen presence d’heterogeneites qui contraignent les tailles des mailles a utiliser.

Des elements quadratiques ont ete developpes et implantes par Goransson [37, 38] pour laformulation (u, U). Pour des raisons de lenteur de convergence constates pour les elementslineaires en presence de conditions aux limites d’encastrement, ils avaient ete proposes commedeveloppement possible par Panneton [63]. Dans le cas de materiaux homogenes, ces elementsconvergent plus vite que les elements lineaires et moins vite que les elements hierarchiques [42].Les tailles de mailles utilisees etant plus petites que les elements hierarchiques, les elementsquadratiques devraient permettre de modeliser les cas heterogenes de maniere satisfaisante etcela sans perdre de leur performance.

1-2.4 Les criteres de maillage dans les milieux poreux

Des travaux sur la convergence des elements lineaires ont ete menes dans le cadre desformulations (u,U) [21] et (u, p) [23]. Ces etudes confirment que le critere de 6 elementslineaires par longueur d’onde peut etre utilise dans certains cas monodimensionnels et bidi-mensionnels sous reserve d’etre applique pour la plus petite des longueurs d’ondes de Biotse propageant dans le materiau. Panneton [63] a montre que la simulation d’une mousse ex-citee en traction compression, avec des elements finis poroelastiques lineaires, necessitait unmaillage comprenant entre 12 et 17 elements par longueur d’onde pour obtenir l’energie dedeformation a 5% pres. Il a fait egalement remarquer que la convergence est plus rapide pourla phase dans laquelle la longueur d’onde est la plus grande. Dans le cas de deformationstridimensionnelles, le critere de 6 elements par longueur d’onde de Biot la plus courte s’averegeneralement insuffisant pour converger [68].

L’etablissement d’un critere reste donc delicat du fait de la nature diphasique des materiauxporeux [68], le comportement d’un materiau etant lie a la nature de l’excitation a laquelle ilest soumis (acoustique, mecanique) mais egalement a sa frequence (phenomenes de resonance,presence et preponderance des ondes P1 ou P2 ou S dans le materiau).

36

Page 37: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

1-2. Etat de l’art

Ce type de constatation a des repercussions directes sur la facon de mailler un domaineporeux. En effet, les maillages generes par les codes de recherche sont pour la plupart uniformes(tous les elements sont identiques) voire meme isotropes. Par exemple, le mailleur implantedans le pretraitement des fichiers de simulation du code elements finis developpe au laboratoire(PC3D2000) ne permet de generer que des maillages uniformes. D’autre part, les criteres demaillage evoques precedemment generalisent cette tendance.

Ceci presente un inconvenient majeur pour la modelisation de la majorite des cas heterogenes.En effet les dimensions des elements sont contraintes par les dimensions caracteristiques dela geometrie et leur plus petit commun multiple.

Il est egalement important de noter que la methode la plus frequemment utilisee pourfournir une solution convergee pour toutes les frequences d’un spectre consiste a construireun maillage pour la frequence maximale a calculer. Si la solution est convergee pour cettefrequence sur un maillage, alors elle le sera egalement sur le meme maillage pour toutes lesfrequences inferieures. Cette methode fournit de tres bonnes solutions numeriques en general,mais elle presente des inconvenients majeurs.

Tout d’abord elle alourdit inutilement les systemes a resoudre aux frequences les plusbasses. En effet, les longueurs d’ondes des phenomenes etant plus grandes pour les bassesfrequences que pour les hautes, les maillages doivent etre moins fins et comporter moins dedegres de liberte en basses frequences.

D’autre part, pour un utilisateur qui souhaiterait etablir un spectre pour un meme cas desimulation, s’arretant a des frequences superieures (ou inferieures), il est difficile d’extrapolerun maillage a partir de la simple donnee du maillage utilise. L’utilisateur est en general obligede s’assurer de la bonne convergence de sa solution.

Enfin nous ferons une derniere constatation sur les erreurs mesurees [66]. En effet, lorsquel’on utilise ce type de maillage les erreurs mesurees par rapport a un spectre de referencecroissent avec la frequence et ne sont significatives que pour les frequences proches de lafrequence maximale.

Il n’y a donc pas de methode optimale et automatique qui garantisse une solution convergee(et le maillage correspondant) pour la modelisation des materiaux poreux en acoustique.

1-2.5 L’adaptation de maillage

Dans des domaines de la physique comme la mecanique ou la mecanique des fluides,certaines techniques permettent de modifier le maillage ou les proprietes des elements a uninstant du calcul. On parle alors d’adaptation de maillage. En effet, il est important enmecanique des fluides de pouvoir suivre un phenomene qui se deplace dans l’espace commeles tourbillons crees dans un ecoulement apres un obstacle. Un exemple est donne sur la figure1.2. Le maillage doit alors s’adapter en etant plus fin dans une zone voisine de ce phenomene.

Trois techniques d’adaptation de maillage [50, 47] sont principalement utilisees en elementsfinis. On retrouve :

la methode-m qui vise a adapter localement le modele physique utilise pour decrire le mi-lieu.

37

Page 38: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 1. Introduction

Fig. 1.2 – Exemple de maillage anisotrope adapte dans le cas d’un ecoulement periodiquederriere un cylindre. Visualisation d’une allee de Von Karman, d’apres [36]

la methode-p qui modifie l’ordre des polynomes d’interpolation en vue d’obtenir un meilleurtaux de convergence de la solution. On retrouve dans cette categorie les elements finisd’ordre p et les elements hierarchiques 3.

la methode-h qui agit sur la taille h des elements du maillage.

Toutes ces methodes sont largement utilisees dans les domaines de la mecanique et de lamecanique des fluides. Pour s’en convaincre le lecteur pourra se reporter a la reference [50].Dans le cas de la modelisation des milieux poreux par elements finis, la diversite des techniqueset le degre de developpement sont moindres. Un exemple de methode-m avec les materiaux po-reux est l’utilisation de modeles simplifies [68, 63], applicables a des configuration specifiques.Pour la methode-p, des elements finis hierarchiques ont ete developpes et utilises recemmentpar Rigobert [68] dans le cadre de la formulation (u, p) et par Horlin [42] pour la formula-tion (u,U). Nous citerons egalement les travaux de Goransson concernant le developpementd’elements quadratiques [39].

Dans ce travail, nous nous interesserons plus particulierement a la methode-h dans le cadrede l’adaptation de maillage.

Dans le domaine des materiaux poreux, la methode-h est synonyme de raffinement uni-forme dans le but d’atteindre la convergence (en maillage), c’est-a-dire une solution duprobleme a une frequence donnee independante de la finesse du support utilise. Cette ap-proche est legitime dans le cas de materiaux homogenes quel que soit le nombre de dimen-sions du probleme a traiter. Cela dit, dans certaines situations tridimensionnelles, il devientimpossible ou illusoire de raffiner uniformement le domaine pour esperer obtenir une solutionconvergee au sens enonce precedemment. Le tableau 1.1, tire de [47] illustre notre propos.

3Nous differentions les elements finis d’ordre superieur et les elements hierarchiques.

38

Page 39: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

1-2. Etat de l’art

Tab. 1.1 – Exemple de taille de probleme d’apres [47]N Nbr d’elements Nb ddl taille rigidite20 8000 107163 5, 5× 108

50 125000 1 568 403 4, 8× 1010

100 1000000 12 271 803 1, 5× 1012

Il presente le nombre de degres de liberte et le nombre de mots machines4 necessaires pourstocker la matrice de rigidite sous forme bande dans le cas d’un cube maille par des elementshexaedriques a 20 nœuds presentant N elements par dimension. On comprend alors pourquoila modelisation tridimensionnelle pose des problemes sur la plupart des stations de travailactuelles. Cet argument a d’ailleurs motive la recherche et le developpement des methodes-m et des methodes-p. D’autres travaux sont egalement entrepris sur la parallelisation desalgorithmes et le partitionnement de grille avec l’apparition de calculateurs paralleles et degrappes d’ordinateurs. Le projet GAMMA mene a l’INRIA5 ou encore le projet METIS mene al’universite du Minnesota 6 regroupent un ensemble d’outils de partitionnement de grille pourl’analyse par elements finis par exemple. Le reseau Quebecois de Calcul Haute Performance(RQCHP) developpe des grappes aux performances interessantes. Nous citerons les projetsMamouth a l’Universite de Sherbrooke7 et le calculateur SGI de l’Universite de Montreal 8.

L’ordre de convergence q d’une solution element fini est defini par :

ε = O(hq), (1.2)

avec ε une erreur globale en energie et h la taille des elements.

Pour des problemes d’elasticite lineaire, en presence de singularites ou de zones ou lesgradients sont tres forts, il n’apparaıt pas judicieux de mailler uniformement le domaine,meme lorsque cela est permis par les capacites de la machine a disposition.

Dans ces cas precis, il a ete montre [47] que l’ordre de convergence de la solutionn’est plus lie au degre p des polynomes d’interpolation mais qu’il a une valeur positiveα, tres inferieure a p. Une analyse des contributions locales de ce meme taux de convergencemontre que l’ordre elementaire qE est proche d’une valeur α souvent inferieure a l’unite pourles elements connectes a la singularite et proche de p pour les autres elements. La convergenceest donc fortement ralentie par la presence de la singularite et l’abaissement de l’ordre (prochede α et non plus de p) qu’elle induit dans sa zone. Par consequent, un maillage raffine uni-formement permet de reduire l’erreur globale mais ne fournit pas un maillage optimal. Celaexplique aussi les limitations des methodes p et donc leur inaptitude a traiter des problemesheterogenes ou a geometries complexes (dicontinuites, ...)

En se limitant a un raffinement local ou a un remaillage global adapte, ce qui signified’intervenir sur le maillage au voisinage des singularites ou des zones de forts gradients (en-

4Pour les nombres flottants un mot machine est code sur 32 bits en simple precision et sur 64 bits en doubleprecision. cf. http ://www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/TC/polycopie-1.6/main004.html

5http ://www-rocq1.inria.fr/gamma/index.html]theme6http ://www.cs.umn.edu//users/ karypis/metis/people/main.html7http ://www.ccs.usherbrooke.ca/ ?t[]=tt.3478http ://www.rqchp.qc.ca/sites/udem/udem.html

39

Page 40: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 1. Introduction

droits ou il est reellement necessaire d’effectuer des modifications compte tenu des remarquesprecedentes), l’utilisateur pourrait faire une economie substantielle et pertinente sur le tempsde calcul. Le fait est qu’il n’existe pas d’etudes faites sur l’adaptation de maillage dans ledomaine de la modelisation acoustique des materiaux poreux. D’autre part, il n’existe pasde code de modelisation de materiaux poreux garantissant une certaine erreur sur le resultatobtenu par la simulation.

Notons que l’adaptation de maillage constitue un moyen possible pour reduire la tailledes problemes que nous avons a modeliser et egalement pour garantir une precision sur lasolution au sens d’un indicateur et d’une tolerance que l’utilisateur aura choisis.

1-2.6 Generation automatique de maillages

Pour pouvoir faire de l’adaptation de maillage il est necessaire de disposer d’un outil pourgenerer automatiquement les maillages [35, 33, 32]. L’utilisation d’elements hexahedriquesdans notre cas restreint le choix des types d’algorithmes tridimensionnels de generation demaillage. La tache est ici ardue, car les algorithmes de maillages tridimensionnels utilisantce type d’elements sont au stade de la recherche [70]. On classe les methodes de generationautomatique de maillage utilisant des elements hexaedriques en deux categories : les methodesindirectes et les methodes directes.

Les premieres passent par une triangulation (generation de tetraedres) du domaine tridi-mensionnel pour generer des elements hexaedriques. La methode la plus simple pour genererdes hexaedres a partir de tetraedres est de subdiviser chaque tetraedre en quatre hexaedres[34].

Fig. 1.3 – Methode indirecte : generation d’hexaedres par division d’un tetraedre

Le principal probleme de cette methode est qu’elle fournit des elements de mauvaise qualite(formes et tailles).

40

Page 41: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

1-2. Etat de l’art

D’autres methodes indirectes utilisent des combinaisons de tetraedres mais elles ne garan-tissent pas la generation de maillages ne contenant que des hexaedres. Les maillages sont ditsalors mixtes ou a hexaedres dominants [3]. C’est pour ces raisons que nous les avons ecarteesde notre etude et que nous avons privilegie les methodes directes.

Les methodes directes generent directement des hexaedres a partir de donnees pertinentesdu domaine a mailler.

On distingue quatre types de methodes directes9[34] :

grille : technique qui vise a adapter une grille de depart a la geometrie du domaine parremplissage des trous entre la grille de depart et la frontiere du domaine.

Fig. 1.4 – Methode directe : Vue en coupe du maillage d’un cylindre par une methode detype grille. La grille de depart apparaıt au centre du maillage.

surface moyenne : le domaine est decompose en sous-domaines maillables au moyen d’unetechnique de generation de surfaces. Ces surfaces resultent d’un processus de recherchede cercle le plus grand pouvant etre contenu dans une region donnee. Chaque sous-regionainsi determinee est ensuite traitee pour etre remplie par des hexaedres.

plastering : correspond a un pavage de l’espace au moyen d’hexaedres par avancee de front.Une illustration en est donnee sur la figure 1.5. Le front avance en tournant suivant leslimites du domaine puis pave l’interieur.

whisker weaving : le STC (spatial twisting continuum) est utilise comme guide pour genererdes hexaedres. Le STC est defini par Tautges [77] comme le dual geometrique d’unmaillage entierement hexaedrique. L’objectif premier est de construire le STC. Cela estfait au moyen de procedures de decomposition en quadrangles des surfaces delimitant ledomaine et en projetant dans l’espace. Un hexaedre est ensuite genere chaque fois quetrois plans de torsion se coupent. Un exemple relativement simple de STC est donnesur la figure 1.6.

Nous pouvons faire les remarques suivantes concernant chacune d’entre elles dans lecontexte de notre problematique. Tout d’abord, on peut reprocher a la methode de la grillede poser des problemes en presence d’inclusions d’une part et d’autre part, de fournir desmaillages trop uniformes pres du centre, zone ou la grille est inseree avant completion.Pour les methodes de la surface moyenne et celle du plastering on leur reprochera d’etre

9Le lecteur pourra se referer a l’excellent site de Steve Owen pour des illustrations de ces methodes et pourles references qui leur sont associees : http ://www.andrew.cmu.edu/user/sowen/survey/hexsurv.html

41

Page 42: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 1. Introduction

Fig. 1.5 – Methode directe : generation de maillage hexaedrique par la methode du plastering

Fig. 1.6 – Methode directe : Exemple de STC et de ses quatre plans de torsion pour un solidemaille par deux elements hexaedriques.

des methodes heuristiques, qui ne garantissent pas un maillage du premier coup. Elles sontegalement reputees susceptibles de generer des problemes lors de la generation des elementsinternes. En effet, dans le cas d’une methode de type plastering se pose le probleme de lageneration du front au voisinage d’un obstacle interne. Dans le cas de l’utilisation d’unemethode du type surface moyenne les inclusions semblent difficiles a traiter. Chaque inclusiondoit etre traitee comme une zone avec une topologie particuliere. Il risque alors d’etre longet delicat de traiter tous les problemes de compatibilite entre les differents sous domainesdetermines. Pour la technique du whisker weaving on imagine quelle peut etre la complexitedu STC dans le cas d’inclusions aleatoires par exemple.

On note egalement que ces algorithmes automatiques sont essentiellement pilotes par lescaracteristiques geometriques des domaines et non par la physique des problemes a traiter.

Une voie possible et originale serait l’utilisation d’algorithmes dits octree [70, 76]. Ce typed’algorithmes presente plusieurs avantages.

Tout d’abord, ces algorithmes permettent la prise en compte d’heterogeneites dans lesdomaines a mailler.

D’autre part la structure hierarchique de la representation en arbre huit-naire du maillagepermet de raffiner le maillage en augmentant simplement l’ordre de la structure. Il est

42

Page 43: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

1-2. Etat de l’art

egalement possible de piloter localement le maillage en jouant sur l’ordre d’une branche del’arbre et de ses sous-branches. Malheureusement le traitement local de zones particulieresreste relativement difficile car il necessite l’insertion de motifs (pattern) [70] qui sont desfragments de maillages tridimensionnels complexes servant de transition entre le maillageglobal et la zone raffinee. Ils assurent la compatibilite du maillage dans les zones de raffine-ment/deraffinement. L’implantation d’un algorithme de ce type est relativement complexe etpourrait constituer a elle seule une bonne partie du temps imparti pour notre these. Cettevoie nous semble toujours etre la plus appropriee pour isoler veritablement et traiter les zonesheterogenes qui, comme nous l’avons vu, sont responsables du ralentissement de la conver-gence.

1-2.7 Les sources d’erreur

Il existe plusieurs sources d’erreur lors de la resolution de problemes physiques par desmethodes numeriques. On trouve generalement, par etapes du processus de resolution, leserreurs dues au choix du modele, celles liees aux simplifications, les erreurs dues a l’entreedes parametres physiques, les erreurs de discretisation et enfin les erreurs d’arrondis dues aucalcul machine. L’erreur qui nous interesse ici est l’erreur de discretisation puisque c’est cellequi est reliee au maillage et au type d’elements employes.

Deux types d’estimation d’erreur a posteriori sont utilises dans le domaine de l’adaptationde maillage [34, 79, 30] : les indicateurs d’erreur bases sur les residus et les estimateurs d’erreurdits geometriques.

Le premier type repose sur des estimations de l’erreur faisant intervenir l’operateur diffe-rentiel du probleme a resoudre. Les proprietes mathematiques de l’operateur permettent dedeterminer des bornes inferieures et superieures de l’estimateur afin d’une part, d’atteindre latolerance donnee et d’autre part de ne pas surestimer cette erreur. Ces estimateurs necessitentune bonne connaissance des proprietes mathematiques des operateurs du probleme considere.Dans le cas de nos materiaux les espaces de travail ne semblent pas encore assez bien definispour etudier ce type d’estimateur. D’autre part, le contexte des materiaux heterogenes rendextremement complexe l’etude de ce genre d’estimateur d’erreur.

Le second type d’estimateurs evalue l’erreur d’interpolation commise au moyen de deve-loppements de Taylor de la fonction solution. Ce type d’estimateurs permet d’obtenir desindications sur la taille admissible h des mailles de la grille [40, 65, 50]. Ce type est par-ticulierement interessant car il a l’avantage d’etre independant du probleme considere [40].L’estimateur d’erreur ne depend que de la variable d’interet et de ses variations ce qui permetde l’utiliser dans le contexte des materiaux heterogenes. D’autre part, son aspect local le rendparticulierement adapte pour generer des maillages non uniformes. Ce type d’estimateurs estrelativement simple a implanter dans le cas d’elements lineaires.

Trois estimateurs bases sur le calcul de la matrice hessienne ont ete etudies par Pichelin[65]. L’idee qui reside dans ce type d’estimateurs est que l’erreur d’interpolation de la solutionest proportionnelle au carre de la taille de l’element et a la derivee seconde de la fonctionsolution.

Il est alors possible de calculer une valeur approchee de la derivee seconde de la solution

43

Page 44: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 1. Introduction

de diverses manieres :Estimateur 1 par condensation de la matrice de masse,Estimateur 2 par calcul de la valeur absolue du hessien,Estimateur 3 par derivation du gradient.

Les deux premiers estimateurs presentent certains defauts comme une diffusion de l’erreursur les elements voisins et un surcroıt de calcul lie a la recherche des valeurs propres [65]. Enconsequence, l’Estimateur 3 retient plus particulierement notre attention.

1-3 Les materiaux heterogenes

Les materiaux heterogenes ont demontre des proprietes interessantes pour le controle dubruit. Ils peuvent etre constitues de patches de materiaux [7], presenter des perforations[60, 74, 9, 5, 4, 61, 62, 73, 75] ou encore des inclusions fluides ou solides [72, 18, 5]. Destravaux numeriques sont actuellement menes pour tenter d’optimiser ces materiaux et de lesutiliser dans des dispositifs de capotage performants [11]. Dans notre cas nous nous interessonsparticulierement a l’absorption. La double porosite est d’ailleurs reconnue comme un moyend’augmenter l’absorption en basses frequences des materiaux poreux sur une large gamme defrequences [60, 15, 18, 75]. Les materiaux a double porosite sont des materiaux poreux danslesquels des perforations ont ete effectuees periodiquement. Dans des cas de fort contraste depermeabilite, ces materiaux sont le siege d’un phenomene de diffusion en pression [60] qui estresponsable de l’augmentation d’absorption avec ce type de materiaux.

Il existe deux approches pour apprehender le probleme des materiaux a double porosite :une approche numerique et une approche analytique. L’approche analytique est basee surdes techniques d’homogeneisation [60, 15]. Elle necessite une double separation d’echelle pourevaluer l’impedance caracteristique et la constante de propagation d’un milieu fluide homogeneequivalent. Dans l’approche numerique, le probleme du materiau perfore est resolu par unemethode elements finis.

Les limitations de l’approche analytique se situent essentiellement dans les hypothesessur lesquelles elle repose. Tout d’abord, elle necessite une structure periodique, ensuite lesquelette est suppose rigide et enfin la double separation d’echelle necessite des dimensionscaracteristiques pour les pores et les mesopores bien differentes (un ou plusieurs ordres degrandeur). D’autre part, cette approche suppose que le materiau est lateralement infini. Ce-pendant, ce modele reste tres performant car les formules analytiques qui en decoulent per-mettent une implantation simple du modele.

Le modele numerique permet quant a lui d’envisager les cas a modeliser avec une plusgrande liberte geometrique au niveau des formes des mesopores et des conditions de montagedu materiau a etudier. Cependant, il n’en reste pas moins lourd a mettre en oeuvre.

Les deux approches sont donc complementaires. Pour des raisons evidentes de choix dusujet nous nous interesserons a l’approche numerique.

44

Page 45: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

1-4. Conclusion

1-4 Conclusion

Une analyse de ce que nous venons d’exposer nous conduit a la liste suivante des amelio-rations et des contributions possibles de ce travail.

La formulation (u, p) presente plus d’avantages que les autres formulations a 6 degresde liberte par nœuds. La formulation (p) merite une attention particuliere car lorsqu’elle estapplicable, elle permet de reduire considerablement (facteur 4) le nombre d’inconnues nodales.

Au vu des resultats obtenus avec les elements lineaires poroelastiques il semble primor-dial d’elever l’ordre des polynomes d’interpolation a deux fins : d’une part, pour reduire lataille des maillages et donc la taille des systemes a resoudre, d’autre part, pour palier leprobleme du blocage en cisaillement rencontre lors de la modelisation de cas de deformationstridimensionnels. Les elements hierarchiques semblent peu appropries a l’etude de materiauxheterogenes ou les discontinuite geometriques risquent de diminuer leurs performances. Leselements quadratiques semblent plus particulierement indiques. D’autre part, leur ordre etantrelativement peu eleve les temps d’integration devraient rester raisonnables. Ces elementsdevraient egalement permettre une bonne convergence dans les cas tridimensionnels.

L’adaptation de maillage constitue une voie originale et necessaire. Elle permet de reduireles tailles de maillages en basse frequence : le nombre total de degres de liberte du systeme aresoudre pour obtenir un spectre converge est reduit en comparaison a la methode classiquequi utilise un maillage dimensionne pour converger pour la frequence la plus haute. Ellepermet aussi de modeliser des cas heterogenes complexes.

Cette methode necessite cependant la mise en place d’une procedure de generation au-tomatique de maillage conforme aux exigences de notre problematique (i.e qui permette lamodelisation de materiaux heterogenes) et d’une procedure d’estimation de l’erreur d’inter-polation.

Au vu de la litterature la comprehension des phenomenes physiques (puissances dissipees)doit etre approfondie afin de mieux maıtriser les materiaux heterogenes. D’autre part iln’existe pas d’outil d’analyse des phenomenes a l’echelle mesoscopique, il est alors interessantde tirer profit de l’aspect non intrusif et de la souplesse de l’outil numerique pour developperun outil de visualisation des champs a l’interieur des materiaux. Enfin les tentatives d’optimi-sation menees jusque la l’ont ete sur quelques echantillons de materiaux. Il serait interessantde mener une etude plus poussee sur de plus vastes ensembles materiaux.

1-5 Objectifs et methodologie retenue

1-5.1 Objectif general

L’objectif general de ce travail est de modeliser numeriquement par une methode de typeelements finis un materiau poreux heterogene tridimensionnel dans le but d’optimiser lesperformances en absorption.

45

Page 46: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 1. Introduction

1-5.2 Objectifs specifiques

Les objectifs specifiques qui seront abordes dans ce memoire sont les suivants :• Il est primordial d’implanter des elements-finis quadratiques poroelastiques, fluides et so-

lides pour modeliser des materiaux heterogenes. Une procedure de validation numeriqueainsi qu’une evaluation des performances doit etre menee.

• Il est necessaire de modeliser correctement le couplage d’un guide d’onde avec unmateriau heterogene.

• Nous avons a elaborer une strategie d’adaptation automatique de maillage. Tout d’abord,nous devons mettre en place des routines de maillage des domaines poreux heterogenesqui peuvent facilement s’adapter. Ensuite, nous devons developper un estimateur d’er-reur, base sur le gradient, capable de predire correctement l’erreur d’interpolation surnos maillages. Il est egalement necessaire de mettre au point un critere pour adapternotre maillage. Nous devons enfin valider la nouvelle methode par rapport a des resultatsobtenus sur des maillages uniformes pour des materiaux homogenes et heterogenes.

• Nos outils doivent permettre l’optimisation en basse frequence de l’absorption desmateriaux heterogenes. Ils seront donc appliques aux materiaux a double porosite.Nous devons etudier l’influence des conditions aux limites et de la formulation dansle calcul de l’absorption pour etudier les limites de la methode. Nous rappelons quela methode analytique suppose des materiaux lateralement infinis et repose sur unehypothese de squelette rigide. Nous avons ensuite a effectuer une interpretation desphenomenes de dissipation d’energie. Il est egalement necessaire de mettre au pointune methode entierement numerique d’optimisation des materiaux et d’etudier des casde materiaux presentant des perforations dont les dimensions ne permettent pas l’ho-mogeneisation.

1-6 Structure du document

Le document comporte deux parties principales divisees en chapitres. La premiere par-tie s’intitule aspects numeriques. Elle presente les developpements numeriques qui ont eteeffectues afin de fournir des outils adaptes a l’etude des materiaux poreux heterogenes. Lepremier chapitre de cette partie traite de l’implantation numerique des elements finis quadra-tiques. Un deuxieme chapitre porte ensuite sur l’excitation en guide d’onde et les ameliorationsapportees et enfin un troisieme traite de l’adaptation de maillage. Ces ameliorations numeriquesconstituent un apport veritable et necessaire dans le contexte de cette these.

La deuxieme partie traite des applications. Elle est destinee a illustrer les performances del’outil tant sur le plan scientifique (comprehension des phenomenes) que technique (utilisationde la simulation numerique comme outil d’investigation puissant). Le premier chapitre de cettepartie traite des materiaux a double porosite. Nous abordons les aspects de modelisation telsque le role des conditions aux limites. Ensuite nous proposons une interpretation energetiquedes pics presents sur les spectres d’absorption. Dans un deuxieme chapitre nous proposons unemethode d’optimisation au sens du NRC pour des materiaux a double porosite presentant unemeso-perforation centrale. Ce chapitre a pour vocation de donner aux industriels des pistespour optimiser leurs materiaux en effectuant tres peu de simulations numeriques. Enfin, nous

46

Page 47: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

1-6. Structure du document

presentons une etude sur l’impact des fuites sur les mesures d’absorption au tube de Kundtpour des materiaux bi-couches. Cette etude est faite sur une vaste gamme de materiaux dontnous testons les differentes combinaisons. Nous envisageons egalement differentes epaisseurset differentes tailles de fuites. Les resultats sont presentes de facon originale et claire, ce quipermet d’identifier les systemes les plus affectes par la presence de ces fuites.

Une conclusion rappelle enfin les resultats obtenus ainsi que les apports de notre travailet donne les perspectives.

47

Page 48: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 1. Introduction

48

Page 49: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Premiere partie

Aspects Numeriques

49

Page 50: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation
Page 51: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2

Implantation numerique des elements finisquadratiques

Ce chapitre a pour objectif de presenter les contributions de notre travail sur le plannumerique. Dans un premier temps nous presentons les elements finis implantes. Ensuitenous donnons les expressions analytiques et numeriques des indicateurs acoustiques qui sontutilises dans ce memoire. Une procedure de validation ainsi qu’une etude des performances deselements finis quadratiques sont egalement exposees. Dans une autre partie nous abordons leprobleme de l’implantation numerique d’une excitation du type guide d’onde. Cette excitationdoit permettre de simuler correctement le comportement d’un materiau heterogene place dansun tube a ondes stationnaires. Enfin nous proposons une procedure d’adaptation de maillagepour le cas de materiaux poreux a squelette rigide. Une etude preliminaire de la methodedans le cas poroelastique est amorcee en fin de chapitre.

2-1 Elements finis quadratiques (Lagrange, P2)

Les elements finis implantes sont des elements quadratiques classiques [27, 10, 82]. Lafigure 2.1 montre la connectivite des elements finis de volume utilises pour modeliser lessolides, les fluides et les materiaux poroelastiques. Il s’agit d’hexaedres a vingt nœuds. Dansle cas des elements tridimensionnels, le nombre de nœuds geometriques correspond au nombrede nœuds d’interpolation. Les elements sont des elements isoparametriques [10] et les fonctionsde formes associees sont des polynomes d’ordre 2 de type Lagrange incomplets.

Les fonctions de forme P2 relatives a un hexaedre a 20 nœuds tel que decrit dans la figure2.1 sont donnees dans le repere local (ξ, η, ζ) par [10] :

Ni =18

(1 + ξ0) (1 + η0) (1 + ζ0) (ξ0 + η0 + ζ0 − 2) , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (2.1)

51

Page 52: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

pour les nœuds des coins et par :

Ni =14

(1− ξ2

)(1 + η0) (1 + ζ0) , i = 10, 12, 20, 18

Ni =14

(1 + ξ0)(1− η2

)(1 + ζ0) , i = 13, 14, 15, 16

Ni =14

(1 + ξ0) (1 + η0)(1− ζ2

), i = 9, 11, 19, 17

(2.2)

pour les nœuds de milieu d’aretes avec

ξ0 = ξξi η0 = ηηi ζ0 = ζζi i = 1 a 20 (2.3)

ou ξ, η, ζ sont les coordonnees normalisees dans le repere local et ξi, ηi, ζi sont les coordonneesnormalisees du nœud i. Cette famille de fonctions de forme est connue sous le nom de famille deSerendipity ([82], [10]). Ces fonctions remplissent la condition de continuite C0 necessaire aux

1

2 3

4

5

67

8

9

10

11

12

13

1415

16

17

18

19

20

ξ

η

ζ

(1; −1; −1) (1; 1; −1)

(0; 1; −1)

(−1; 1; −1)

(−1; 1; 0)

(−1; 1; 1)

(−1; 0; 1)(−1; −1; 1)

(0; −1; 1)

(1; −1; 1)

(1; −1; 0)

(1; 0; −1)

(−1; 0; −1)

(1; 1 ; 0)

(1; 0; 1)

(1; 1; 1)

(0; 1; 1)

(−1; −1; 0)

(−1; −1; −1)

(0; −1; −1)

Fig. 2.1 – Connectivite d’un element hexaedrique a 20 nœuds

problemes d’elasticite lineaire et d’acoustique [82]. On notera aussi que, bien qu’incompletes,ces fonctions satisfont bien a la condition de completude P 1 des elements devant servir a lamodelisation des problemes d’ordre 1 (problemes d’acoustique et d’elasticite lineaire) car ellescontiennent bien un terme constant et un terme lineaire pour chacune des variables.

Les elements de surface implantes et utilises pour modeliser les coques et les plaques sontdes elements quadrangulaires a huit nœuds du type Lagrange incomplet [20]. Ces elementssont composes :

• d’un element de membrane classique a deux degres de liberte par nœud correspondantsaux deplacements dans le plan de l’element,

• d’un element de flexion cisaillement transversal a trois degres de liberte par nœudcorrespondant au deplacement normal au plan de l’element et aux deux rotations autourdes axes definissant le plan de l’element,

52

Page 53: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-1. Elements finis quadratiques (Lagrange, P2)

• d’une rigidite artificielle ajoutee au degre de liberte correspondant a la rotation suivantl’axe normal au plan de l’element.

Un facteur d’amortissement structural permet de prendre en compte l’amortissement dans laplaque. Pour ce type d’elements de surface, les fonctions de formes Ni peuvent etre deduitesdes fonctions precedentes. Il est possible, par exemple, de prendre la face composee des nœuds1,9,2,10,3,11,4,12 et de calculer les Ni correspondants en posant ζ0 = 1.

2-1.1 Approximation nodale des variables et discretisation des integrales

La discretisation par elements finis revient a decomposer les integrales de la formulationfaible en une somme d’integrales elementaires :

Ωf (ψ, δψ) dΩ '

e∈Ω

Ωe

f(ψ, δψ

)dΩe, (2.4)

ou ψ est une inconnue (variationnelle) et ψ est sa representation en terme de valeurs nodales.On distingue differentes variables de champ suivant que le milieu que l’on considere est fluide,poro-elastique ou encore solide. En revanche, on notera, que dans ce travail (comme dans [63]et [66]), les fonctions de formes utilisees sont identiques quel que soit le champ a discretiser.Seuls les travaux de Rigobert [68] utilisent des fonctions de formes differentes pour les deuxphases. Ceci est lie aux proprietes des fonctions de forme des elements hierarchiques1.

2-1.1.1 Milieu fluide ou fluide equivalent

Dans un milieu fluide ou fluide equivalent, le champ de pression acoustique continu estrepresente par interpolation quadratique des valeurs nodales de la pression pe

a. Ainsi lavaleur pe

a du champ de pression recherche en un point M du domaine de coordonnees (x, y, z)dans le repere global s’ecrit :

pea(M) =

nne∑

i=1

Nipia = 〈N(M)〉e pe

a, (2.5)

ou nne est le nombre de nœuds de l’element et 〈N(M)〉 est le vecteur des fonctions de formeau point M . De maniere plus explicite on ecrit pour un element quadratique a 20 nœuds :

pea(M) = 〈N1(M), ..., Ni(M), ..., N20(M)〉

p1a...

p20a

e

(2.6)

2-1.1.2 Milieu poro-elastique

Dans le cas d’un milieu poro-elastique le champ de deplacement de la phase solide etle champ de pression sur un element Ωe sont respectivement donnes par interpolation des

1La nature interne des degres de liberte supplementaires lies aux fonctions de forme generalisees assure lacompatibilite interne des elements poroelastiques permettant l’utilisation de fonctions de degre different pourles deux phases. Ceci n’est pas le cas dans le cadre d’elements classiques de type h.

53

Page 54: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

deplacements nodaux solides ue et de la pression nodale pe suivant :

u(M)e = [Nu(M)]e ue

=

〈N(M)〉e 0 0

0 〈N(M)〉e 00 0 〈N(M)〉e

uxe

uye

uze

(2.7)

etpe(M) = 〈N(M)〉e pe, (2.8)

2-1.2 Discretisation des integrales

Dans cette partie nous allons donner les expressions discretisees des differentes integralesde volume et de surface dans le cas de la formulation (u, p) classique. Cette formulationpresente l’avantage de ne pas necessiter le calcul de matrices de couplages aux interfacesmateriau poreux/ domaine fluide [23]. Nous l’utilisons donc dans le cas de la modelisationde materiaux comportant des heterogeneite fluides. Les expressions des integrales discretiseesdes autres formulations s’obtiennent de facon analogue et peuvent etre trouvees par exempledans [63], [23], [68], [66], [71]. Pour un milieu poro-elastique la discretisation de la formulationclassique fournit les termes suivants :

Phase solide

∫Ωp

σs (u) : εs (δu) dΩ⇒ 〈δu〉 [K] u∫Ωp

ρu . δudΩ ⇒ 〈δu〉[M

]u (2.9)

[K] et[M

]sont les matrices complexes de raideur in vacuo et de masse associees a la phase

solide du materiau poreux. [K] tient compte de la dissipation structurale dans le squelettevia un facteur de perte ηs.

Phase fluide

∫Ωp

φ2

ρ22∇p.∇δpdΩ⇒ 〈δp〉

[H

]p

∫Ωp

φ2

RpδpdΩ ⇒ 〈δp〉

[Q

]p

(2.10)

[H

]et

[Q

]sont respectivement les matrices complexes relatives a l’energie cinetique et de

compression de la phase fluide [51].

Couplage ∫

Ωpγδ (∇p.u) dΩ⇒ 〈δu〉

[C

]p+ 〈δp〉

[C

]tu (2.11)

[C

]est la matrice de couplage volumique entre la phase solide et la phase fluide.

Termes d’interface (sollicitations,

conditions aux limites, conditions de couplage)

−∫

Γp

[σs.n

].δudS ⇒ 〈δu〉 Fs

∫Γp

[γu.n− φ

ρ0αω2∂p∂n

]δpdS⇒ 〈δp〉 Ff

(2.12)

54

Page 55: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-2. Profil des matrices et algorithmes de resolution

Fs et Ff sont les vecteurs de sollicitations nodales appliquees a la phase solide et a laphase fluide. Ceci nous conduit au systeme matriciel suivant :

−ω2

[M

]+ [K] −

[C

]

−[C

]t

[H

]

ω2−

[Q

]

up

=

FsFf

(2.13)

qui correspond a un probleme de couplage fluide-structure. La resolution numerique de cesysteme necessite le stockage et le traitement de la matrice du membre de gauche.

2-2 Profil des matrices et algorithmes de resolution

Lors de la phase de resolution des systemes matriciels, les performances dependent dutype d’algorithme utilise. Ces algorithmes exploitent les formes et les proprietes des matricesafin d’optimiser les temps de calcul.

Les matrices des problemes que nous avons a traiter contiennent beaucoup de zeros. On lesqualifie de creuses. Le stockage de tous les zeros est inutile car il conduit a des operations dontle resultat est nul ou inchange. D’autre part ce stockage a le defaut d’utiliser des ressourcesmemoires. Il existe plusieurs techniques de stockage et de traitement de ces matrices. Le formatde stockage le plus utilise pour ce type de matrice est le format en ligne de ciel. Les structuresles plus simples utilisent trois vecteurs. Un vecteur contient les indices de numero de ligne,un autre les indices de numero de colonne et le troisieme le coefficient non nul correspondant.Ce type de stockage a l’avantage de reduire la taille occupee en memoire en eliminant leszeros inutiles. Cependant, il a pour inconvenient de rendre complexes les operations sur lamatrice. Des algorithmes de manipulation des matrices sous ce type de format de stockageont ete developpes et sont disponibles dans les librairies d’algebre lineaire2. Le programmede resolution que nous utilisons, resout le systeme par une methode d’elimination de Gaussmultifrontale. Le lecteur peut se reporter a [28] pour plus de details sur la methode. Cetalgorithme tire partie des blocs de la matrice pour effectuer la factorisation.

Nous allons montrer deux exemples de matrice associee au probleme. Pour le cas de lacolonne excitee en flexion decrite sur la figure 2.6 nous avons utilise deux maillages pour com-parer les performances de l’algorithme de resolution. Un premier maillage utilise 8 elementslineaires et l’autre utilise seulement 2 elements quadratiques. Le premier maillage comporte 30nœuds au total et le second 32. Apres imposition des conditions aux limites, le nombre totald’equations algebriques a resoudre vaut 56 dans le cas du probleme modelise avec des elementslineaires et 53 dans le cas des elements quadratiques. Le profil des matrices creuses est donnea titre de comparaison dans la figure 2.2. Sur la station de travail ST1 (Annexe B) , il faut30 ms en moyenne par frequence pour resoudre et calculer les indicateurs acoustiques associesau probleme modelise avec les elements lineaires contre 240 ms pour le probleme modeliseavec les elements quadratiques. Le probleme modelise avec des elements quadratiques est 8fois plus long a resoudre que le probleme utilisant les elements lineaires meme si le nombred’equations est un peu plus faible. Cela vient principalement du profil creux de la matriceassociee au probleme. En effet, la matrice du probleme quadratique comporte plus d’entrees

2http ://www.cse.clrc.ac.uk/nag/hslgdc/

55

Page 56: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

0 10 20 30 40 50

0

10

20

30

40

50

nz = 643

Sym.

Ban

de

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

nz = 719

Sym.

(a) (b)

Fig. 2.2 – Profil de la partie superieure des matrices : a) modelisation utilisant 8 elementslineaires, b) modelisation utilisant 2 elements quadratiques.

(valeurs non nulles, nz = 719) que la matrice correspondant au probleme modelise avec leselements lineaires (nz = 643). D’autre part, la repartition de ces valeurs dans la matriceest moins structuree et aucun bloc ne semble se degager (Fig. 2.2 b)) contrairement au caslineaire ou la structure bande est evidente (Fig. 2.2 a)). Les consequences sont un ralentis-sement des performances de la methode de resolution car l’algorithme ne se trouve pas dansune configuration optimale pour traiter la factorisation de la matrice d’ou un allongement dutemps de resolution. Il est important de noter que les performances en temps d’execution dela resolution dependent du profil des matrices. Dans ce cas precis meme si le nombre de degresde liberte est legerement inferieur, la resolution sera plus longue en raison de la repartitiondes entrees dans la matrice elements finis du probleme considere.

2-3 Calcul des indicateurs acoustiques

Les indicateurs acoustiques presentes dans cette partie permettent de rendre compte defacon pertinente du comportement acoustique et vibratoire des materiaux poreux utilises dansnos simulations. Les expressions donnees dans les paragraphes suivants ne concernent que laformulation (u, p) [71].

2-3.1 Vitesse quadratique moyenne

La vitesse quadratique moyenne est un indicateur important pour caracteriser l’etat vi-bratoire d’un materiau. Dans le cas d’une plaque, cet indicateur permet de quantifier l’energiecinetique et d’evaluer la puissance rayonnee (moyennant la connaissance du facteur de rayon-nement).

Dans le cas d’un materiau poreux, la vitesse quadratique moyenne permet de quantifierl’energie cinetique presente dans la phase solide.

56

Page 57: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-3. Calcul des indicateurs acoustiques

Son expression dans une direction i de l’espace est donnee par :

V 2i =

ω2

2Ωp

Ωp

ui u∗i dΩ, (2.14)

soit encore sous forme matricielle :

V 2i =

ω2

2Ωp〈ui〉 [Mi] u∗i , (2.15)

avec ui le vecteur des deplacements de la phase solide dans la direction i, [Mi] la matrice demasse contenant les coefficients relatifs aux degres de liberte concernes et le signe ∗ denotantla quantite complexe conjuguee. La vitesse de reference utilisee pour les expressions donneesen decibel (dB) est de 5.10−8 m/s.

2-3.2 Pression quadratique moyenne

La pression quadratique moyenne est un autre indicateur important en acoustique. Ilcaracterise la pression acoustique moyenne dans une cavite fluide par exemple ou encore dansla phase fluide d’un materiau poreux. L’expression de la pression quadratique est donnee par :

P 2 =1

2Ωp

Ωp

P P ∗ dΩ, (2.16)

soit encore sous forme matricielle :

P 2 =1

2Ωp〈P 〉 [Q] P ∗ , (2.17)

ou [Q] est la matrice de masse associee a la phase fluide obtenue par assemblage des matriceselementaires [Qe], avec :

[Qe] =∫

Ωe

Ne 〈N〉e dΩe, (2.18)

La pression quadratique sert a definir le niveau de pression sonore Lp dont l’expression estdonnee par :

Lp(dB) = 10 log

(P 2

P 2ref

), avec Pref = 2.10−5 Pa. (2.19)

Le niveau de pression est tres facile a mesurer avec un microphone. Il constitue, un indicateuressentiel en ingenierie acoustique.

2-3.3 Bilan de puissances

Lorsqu’un materiau dissipe l’energie d’une source acoustique, il permet d’en diminuer leseffets. Les materiaux poreux sont de bons dissipateur d’energie acoustique c’est pour celaqu’on les utilise pour reduire les nuisances sonores. En effet, dans ces materiau l’energieacoustique recue est transformee en chaleur qui est ensuite evacuee par le systeme.

57

Page 58: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

Dans ce memoire, nous nous interessons particulierement a l’expression du bilan de puis-sance totale dissipee par un materiau poreux dans le cadre de la formulation (u, p). Cettepuissance totale resulte de trois mecanismes de dissipation qui ont lieu dans le materiau. Lesexpressions des puissances dissipees dans les materiaux poro-elastiques sont tirees de [71].

On distingue tout d’abord la puissance dissipee par amortissement structural Πs, qui estliee aux proprietes viscoelastiques du squelette. Cette puissance a pour expression :

Πs =12=

Ωp

σs (u) : εs (δu) dΩ

), (2.20)

ou = represente la partie imaginaire. Sous forme matricielle cette expression devient :

Πs =12=(

ω 〈u〉 [K] u∗). (2.21)

Un autre terme de dissipation Πv est lie aux effets visqueux. Πv a pour expression :

Πv =12=

(∫

Ωp

φ2

ρ22ω∇p.∇p∗dΩ− ω3

Ωp

ρu . u∗dΩ− ω

Ωp

2γ< (∇p.u∗) dΩ

), (2.22)

avec < la partie reelle. Sous forme matricielle on obtient :

Πv =12=

(1ω〈p∗〉

[H

]p − ω3 〈u∗〉

[M

]u − 2ωγ <

(〈u∗〉

[C

]p

)). (2.23)

A ces deux mecanismes s’ajoute la puissance dissipee par les effets thermiques Πt. Cetteforme de dissipation est due a la conduction thermique entre la phase fluide et le squelettedu materiau poreux. L’expression de Πt est donnee par :

Πt =12=

(−ω

Ωp

φ2

Rp .p∗dΩ

)(2.24)

soit :Πt =

12=

(−ω 〈p∗〉

[Q

]p

)(2.25)

L’expression de la puissance dissipee totale Πdiss est la somme de ces trois formes depuissances dissipees , elle s’ecrit donc :

Πdiss = Πs + Πv + Πt. (2.26)

2-3.4 Coefficient d’absorption et NRC

Nous utilisons deux autres indicateurs : le coefficient d’absorption α et le NRC (NoiseReduction Coefficient). Le premier se deduit des expressions des puissances dissipees enonceesprecedemment. En effet, α est defini comme le rapport de la puissance totale dissipee sur lapuissance incidente :

α =Πdiss

Πinc(2.27)

58

Page 59: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-3. Calcul des indicateurs acoustiques

Cet indicateur traduit la fraction de puissance absorbee par un systeme soumis a une excita-tion. Le coefficient d’absorption depend de la frequence de l’excitation. Il est egalement va-riable d’un materiau absorbant a l’autre. Ainsi, pour caracteriser un materiau, il est necessairede donner le spectre d’absorption de ce dernier en bande fine ou en tiers d’octave par exemple.Afin de pouvoir comparer les materiaux et de reduire la quantite d’information necessaire,nous utilisons un indicateur destine a evaluer le pouvoir absorbant sur tout le spectre demaniere unique. Le NRC (pour Noise Reduction Coefficient), utilise en Amerique du nord,est defini comme la moyenne des valeurs du coefficient d’absorption sur les bandes de tiersd’octave centrees a 250 Hz, 500 Hz, 1000 Hz et 2000 Hz arrondi a 5% pres [1]. Il prend doncdes valeurs comprises entre zero (cas des materiaux parfaitement reflechissants) et 1 (cas desmateriaux parfaitement absorbants).

Le tableau 2.1 tire de [58] donne des exemples de valeur du NRC pour des materiauxcouramment employes dans le batiment.

Materiau NRC

Marbre 0.0acier 0.0-0.1Platre 0.05Bois 0.05-0.15Mousse Polyurethane (1”) 0.30Siege en bois (vide) 0.30Fibres de Cellulose 0.50-0.75Siege (Occupe) 0.8

Tab. 2.1 – Exemples de valeurs du NRC pour des materiaux employes dans le batiment.

La definition du NRC varie quelque peu suivant les sources. Theoriquement un nouvelindice, le SAA (Sound Average Absorption) a ete defini comme une moyenne de l’absorptionsur douze bandes de tiers d’octave afin d’eviter des confusions dans le calcul du NRC (4valeurs d’octave, de tiers d’octave ou encore de bande fine ?). Les valeurs des indices obtenuesavec les differentes methodes de calcul sont pratiquement identiques en raison de l’arrondi.

Nous n’utiliserons comme indicateur que le NRC tel qu’il a ete defini dans cette partie,des qu’il s’agira de comparer les performances absorbantes d’un grand nombre de materiauxou de systemes absorbants.

59

Page 60: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

2-4 Validation

Les elements finis quadratiques ont ete implantes dans le code pc3d20003 afin de traiterdes problemes de vibro-acoustique comportant des materiaux poreux heterogenes et des multi-couches a base de materiaux poreux.

La litterature fournit un ensemble de problemes de vibro acoustique modelises numeriquement([63], [68], [66], [48]). La campagne de validation qui a ete menee pour les elements quadra-tiques implantes s’est largement inspiree de ces travaux. La liste des problemes qui ont etevalides est fournie ci apres.

Pour les problemes faisant intervenir des materiaux poreux seuls soumis a des excitationsmecaniques et acoustiques, les elements quadratiques ont tout d’abord ete valides dans lescas bi-dimensionnels suivants :

• cas de la colonne poreuse excitee en traction compression par un piston ([63],[68]),• cas d’une colonne poreuse en flexion excitee par une onde acoustique [63],

ainsi que les deux cas tridimensionnels suivants [68] :• cas d’une plaque poreuse encastree excitee par une onde plane,• cas d’une plaque poreuse collee sur un support rigide excitee mecaniquement.

Enfin, afin de valider des problemes comportant des couplages, nous avons envisage lesdeux problemes suivants ([63],[68]) :

• cas d’une plaque mince couplee a un poreux,• cas d’une plaque mince couplee a un poreux lui-meme couple a une cavite.

La presentation de tous les resultats de validation est trop fastidieuse et hors de proposdans ce memoire. Nous ne presentons les resultats que pour les cas les plus interessants et lesplus originaux dans le contexte des elements quadratiques et de l’etude des materiaux poreuxheterogenes.

Les materiaux utilises sont ceux donnes en Annexe A. Les resultats obtenus par la methodedes elements finis quadratiques sont compares a ceux obtenus par la methode des elementsfinis lineaires pour les indicateurs pertinents. Les elements finis lineaires utilises pour les simu-lations sont ceux de la version commercialisee du code pc3d2000 : MNS/Nova c©mecanum.inc.

2-4.1 Cas de la colonne poreuse excitee en traction compression

Ce type de configuration fait intervenir une colonne poreuse de dimensions Lx = 0.01 m,Ly = 0.01 m et Lz = 0.1 m, collee sur une paroi rigide au niveau d’une extremite. Ses faceslaterales sont soumises a des conditions aux limites de glissement ou seuls les deplacementssuivant l’axe Z sont autorises. Il s’agit d’un cas monodimensionnel ou le materiau peutetre considere comme lateralement infini. Le materiau subit un mouvement de traction-compression suivant l’axe Z au moyen d’un piston rigide (figure 2.3). Les proprietes du

3Ce code est developpe a la fois par des membres des groupes acoustiques de l’Universite de Sherbrooke etdu Laboratoire des Sciences de l’Habitat de l’E.N.T.P.E.

60

Page 61: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-4. Validation

materiau MatC sont donnees dans le tableau A.1. Les maillages utilises comportent 5 elementsquadratiques et 9 elements lineaires suivant l’epaisseur. La figure 2.5 a) presente les puissances

X

Y

Z

1 cm

1 cm

Déplacement imposé

Uz=0.1 mm

Support rigide

Ux=Uy=Uz=0

Bords guidés

Ux=Uy=0

Bords guidés

Ux=Uy=010

cm

Fig. 2.3 – Configuration monodimensionnelle : excitation mecanique, colonne poreuse exciteeen traction-compression.

dissipees par effet structural alors que la figure 2.5 b) presente les puissances dissipees par leseffets visqueux. Les puissances dissipees calculees avec les deux types d’elements sont en par-fait accord. On remarque que lorsqu’elle est soumise a ce type d’excitation la colonne poreusedissipe de l’energie principalement par effet structural entre 10 Hz et 500 Hz.

2-4.2 Cas de la colonne poreuse en flexion

Une colonne poreuse de dimensions Lx = 0.10 m, Ly = 0.01 m , Lz = 0.01 m, est en-castree a ses deux extremites x = 0 et x = Lx. Elle est soumise a des conditions laterales deglissement et est excitee normalement, sur une autre de ses faces, par une onde acoustiqueplane d’amplitude unitaire. La configuration est decrite sur la figure 2.6.

Les maillages utilises pour les simulations comportent 49 × 1 × 9 elements lineaires et11 × 1 × 4 elements quadratiques. Le materiau utilise est le materiau MatC. La figure 2.7presente les valeurs en decibel (dB) de la vitesse quadratique moyenne en fonction de lafrequence. Sur la figure 2.7, les valeurs de la vitesse quadratique calculee avec les elementsfinis lineaires et quadratiques sont en parfait accord. Les resonances observees sur le spectrepour ce materiau sont bien localisees. Elles mettent en evidence un fort comportement dusquelette au voisinage de ces frequences.

61

Page 62: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

0 100 200 300 400 500 60075

80

85

90

95

100

105

frequence [Hz]

Πs [d

B]

Fig. 2.4 – Cas de la colonne poreuse excitee par un piston. Puissance dissipee par effet struc-tural en fonction de la frequence : −−−ª , elements lineaires ; −−−+ , elements quadratiques.

0 100 200 300 400 500 600−20

0

20

40

60

80

100

frequence [Hz]

Πν [d

B]

Fig. 2.5 – Cas de la colonne poreuse excitee par un piston. Puissance dissipee par effetsvisqueux en fonction de la frequence :−−−ª , elements lineaires ;−−−+ , elements quadratiques.

62

Page 63: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-4. Validation

X

Z

Support rigide

Ux=Uy=Uz=0

Support rigide

Ux=Uy=Uz=0

Pression imposée

P=1 Pa

Lx

Lz

Fig. 2.6 – Vue de profil d’une colonne poreuse encastree aux extremites et excitee en flexionpar une onde acoustique. Exemple de maillage quadratique.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100075

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

Frequence [Hz]

vite

sse

quad

ratiq

ue [d

B]

Fig. 2.7 – Cas de la colonne poreuse excitee en flexion. Vitesse quadratique moyenne suivantZ en dB en fonction de la frequence : −−−ª , elements lineaires ; −−−+ , elements quadratiques.

63

Page 64: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

2-4.3 Cas de la plaque poreuse encastree excitee par une onde acoustique

Une plaque poreuse dont les dimensions sont Lx = 0.70 m, Ly = 0.40 m, Lz = 0.05 mest collee contre un support rigide. Les conditions aux limites laterales sont des conditionsd’encastrements (figure 2.8). La plaque est excitee acoustiquement par une onde plane. Ils’agit d’un cas de simulation tridimensionnel.

Le materiau utilise pour les simulations est la mousse MatB dont les proprietes sontdonnees dans le tableau A.1. Les maillages utilises comportent 15× 8 × 4 elements lineaireset 13 × 6 × 3 elements quadratiques. Les pressions quadratiques calculees dans le materiauporeux sont donnes sur la figure 2.9. Les vitesses quadratiques suivant les axes X et Yont ete egalement calculees. En raison des symetries du probleme, elles sont identiques. Enconsequence, nous ne presentons que la vitesse quadratique suivant l’axe X sur la figure.

Y

X

Z

Lx

Lz

Bords encastrés

Ly

Pression imposéeP=1 Pa

Échantillon PoreuxSupport Rigide

Fig. 2.8 – Configuration tridimensionnelle : excitation acoustique, plaque poreuse excitee parune onde plane avec des conditions laterales de bords encastres.

On remarque que les deux solutions obtenues sont coherentes, cependant elles presententde tres legeres differences pour les frequences les plus grandes. Les deux solutions obtenuessont pourtant convergees pour les deux indicateurs consideres [68] au sens ou l’on n’observeplus de variation de la solution lorsque l’on augmente le maillage pour chaque type d’elementsconsideres. Un ecart semblable apparaissait sur la courbe de pression quadratique donnee parRigobert [68] sans que celui-ci n’ait ete explique, sans doute parce qu’il est tres tres faible(0.03 dB). Nous n’avons malheureusement pas a disposition les resultats obtenus alors, avecles elements hierarchiques. Cependant, une analyse des courbes presentees dans son memoirelaissent aisement penser que la solution obtenue pour la pression quadratique avec les elements

64

Page 65: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-4. Validation

0 100 200 300 400 500 60095.2

95.4

95.6

95.8

96

96.2

96.4

96.6

96.8

97

Frequence (Hz)

Moy

enne

qua

drat

ique

en

dB

Fig. 2.9 – Cas de la plaque poreuse encastree, excitee par une onde plane : Pression qua-dratique moyenne en dB en fonction de la frequence, −−−ª elements lineaires, −−−+ elementsquadratiques.

hierarchiques, correspondrait a celle obtenue avec les elements quadratiques. Ce dernier pointconforte notre analyse par elements quadratiques et ne met donc pas en cause la validite dela solution obtenue avec ces elements.

D’autre part, on observe sur la figure 2.10 que la vitesse quadratique moyenne suivantX n’est pas nulle (idem pour la direction Y ). Ces valeurs des vitesses quadratiques mettenten evidence la presence de l’onde de cisaillement. On note que les elements quadratiquesfournissent des valeurs de la vitesse quadratique moyenne superieures a celles calculees avecles simulations utilisant des elements lineaires. La difference observee provient du blocageen cisaillement des elements lineaires [68] qui sont moins aptes a decrire le comportementvibratoire tridimensionnel de la plaque de materiau poreux.

Remarque 2 :

La tres legere surestimation de la pression quadratique n’est pas un probleme de conver-gence classique au sens ou, en theorie, les elements lineaires devraient converger pluslentement que les elements quadratiques et que donc la courbe obtenue avec les elementslineaires devrait se retrouver sous la courbe obtenue avec les elements quadratiques. Notreavis est que le probleme est lie a la sous-estimation des vitesses quadratiques transversales.Nous pensons donc que ce probleme ne provient pas d’une simple erreur numerique maisplutot qu’il est lie au fait que les elements lineaires ne peuvent pas prendre en compte lecisaillement de maniere satisfaisante comme on peut le voir sur la figure 2.10.

65

Page 66: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

0 100 200 300 400 500 600−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

Frequence (Hz)

Moy

enne

qua

drat

ique

en

dB

Fig. 2.10 – Cas de la plaque poreuse encastree excitee par une onde plane. Vitesse quadratiquemoyenne suivant X : −−−ª , elements lineaires ; −−−+ , elements quadratiques.

2-4.4 Cas de la plaque poreuse collee sur un support rigide excitee meca-niquement

Une plaque poreuse est collee contre un support rigide. Les conditions aux limites lateralesqui sont imposees correspondent a des conditions de bords libres (figure 2.11). La plaque estexcitee mecaniquement par un piston dont le deplacement vaut 0.1 mm. Les dimensions dela plaque sont Lx = 0.35 m, Ly = 0.22 m, Lz = 0.05 m. Ce cas tridimensionnel est egalementissu de la these de Rigobert [68].

Le materiau employe est MatA dont les proprietes sont donnees dans le tableau A.1.

Les maillages utilises comportent 21 × 13 × 8 elements lineaires et 13 × 7 × 5 elementsquadratiques. Dans ce cas, les limites du maillage maximal supportable par les stations detravail a disposition (ST1 et ST2 Annexe B) ont ete atteintes avec les elements lineaires4.Il n’est donc pas possible de raffiner davantage le maillage. Les solutions obtenues avec lesdeux types d’elements sont legerement differentes autour de 400 Hz. Comme dans le casprecedent, la solution obtenue avec les elements quadratiques est legerement plus precise quecelle obtenue avec les elements lineaires.

4Cette assertion n’est plus tout a fait exacte car nous avons depuis acces a un serveur de calcul disposantde 512Go de memoire vive (Cf. ST4 Annexe B).

66

Page 67: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-4. Validation

Y

X

Z

Lx

Lz

Bords libresLy

Déplacement imposéUz=0.1 mm

Échantillon PoreuxSupport Rigide

Fig. 2.11 – Configuration tridimensionnelle : Excitation mecanique, plaque poreuse exciteepar un piston, conditions laterales de bords libres.

0 100 200 300 400 500 60090

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

Frequence (Hz)

Moy

enne

qua

drat

ique

en

dB

Fig. 2.12 – Cas de la plaque poreuse excitee mecaniquement avec des conditions lateralesde bords libres. Vitesse quadratique moyenne suivant Z en dB en fonction de la frequence :−−−ª , elements lineaires ; −−−+ , elements quadratiques.

67

Page 68: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

2-4.5 Conclusion

Les elements quadratiques ont ete valides dans les cas enonces en debut de partie. L’outildeveloppe permet de modeliser numeriquement des problemes vibro-acoustiques comportantdes materiaux poreux soumis a des conditions d’excitation et de montage complexes. Cesmateriaux peuvent egalement etre couples a des cavites fluides ou des plaques sous forme demulti-couche. Seuls les cas de validation presentant des resultats originaux ou directement liesa la problematique ont ete presentes ici. On constate, en premiere approche, que les simulationseffectuees avec les elements quadratiques necessitent moins d’elements que les simulationsutilisant des elements lineaires. C’est pour la modelisation des problemes de flexion et desproblemes tridimensionnels que les gains en nombre d’elements sont les plus importants. Cescas ont par ailleurs revele la presence de l’onde de cisaillement S. Lorsque les bords sontcontraints et que l’excitation est acoustique les effets du squelette se presentent sous formede resonances localisees. Dans le cas d’excitations mecaniques l’effet est etendu a l’ensembledu spectre.

Une evaluation des performances dans ces cas precis est proposee dans la section qui suit.

2-5 Digression sur les criteres de maillage

Considerons le cas monodimensionnel d’une barre de longueur L dans laquelle se propageun signal harmonique de longueur d’onde λ. Supposons que cette barre soit constituee d’unmateriau tel que la convergence de la solution soit obtenue pour une longueur de mailleh = λ/6 avec des elements lineaires a deux nœuds (Nnoeudsele

= 2). Le nombre d’elementstotal servant a mailler la barre est E (6L/λ) et le nombre de nœuds Nnoeudslin

correspondantest egal a :

Nnoeudslin= E

(6L

λ

)× (Nnoeudsele

− 1) + 1 (2.28)

soit encore :

Nnoeudslin= E

(6L

λ

)+ 1. (2.29)

Considerons que dans le cas d’elements quadratiques la convergence de la solution pour ceprobleme est obtenue pour une dimension h des elements egale a λ/4. Dans ce cas le nombred’elements quadratiques est inferieur au nombre d’elements lineaires et est egal a E (4L/λ).En revanche le nombre de nœuds employe est superieur car le nombre de nœuds par elementsest egal a trois (Nnoeudsele

= 3) et non plus a deux. Ce nombre peut etre calcule ainsi :

Nnoeudsquad= E

(4L

λ

)× (Nnoeudsele

− 1) + 1 (2.30)

soit encore :

Nnoeudsquads= E

(4L

λ

)× 2 + 1 = E

(8L

λ

)+ 1. (2.31)

Cette remarque a une incidence sur le nombre de degres de liberte de chaque definition deprobleme et donc sur les temps de resolution. En effet les deux solutions du probleme qui

68

Page 69: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-6. Evaluation des performances des elements quadratiques

sont obtenues sont convergees, donc identiques, mais elle n’ont pas necessite le meme effortde calcul.

Le nombre d’equations a resoudre dans le cas de l’utilisation d’elements quadratiques setrouve augmente de E

(2Lλ

)par rapport a l’utilisation d’elements lineaires.

Il faut egalement signaler que le temps necessaire pour effectuer l’integration numeriquedes matrices elementaires est plus long dans le cas d’elements quadratiques car il necessiteplus de points de Gauss. Ce temps s’ajoute au temps necessaire a la resolution.

Ainsi le temps de calcul depend du nombre de degre de liberte, du schema d’integrationchoisi et comme nous l’avons vu precedemment, de la forme des matrices.

Dans certains cas, il peut etre plus long d’obtenir la solution en utilisant des elementsquadratiques qu’en utilisant des elements lineaires meme si le probleme comporte moinsd’elements avec une discretisation par elements quadratiques. L’utilisation systematique d’ele-ments quadratiques n’est donc pas judicieuse. Cependant, l’utilisation de maillages composesd’elements quadratiques presente un certain nombre d’avantages pour resoudre des problemestridimensionnels impliquant des milieux poreux ou les criteres de convergence evoques danscette partie sont bien souvent insuffisants.

2-6 Evaluation des performances des elements quadratiques

L’evaluation des performances est faite en comparant les valeurs des indicateurs obtenussur des maillages donnes a des valeurs de reference. Le nombre de degres de liberte necessaireainsi que les tailles de mailles sont egalement pris en compte. Les temps de calcul des solutionsn’ont pas ete integres a l’etude pour les raisons qui sont liees au processus de resolution et quiont ete evoquees precedemment dans la section 2-2 (page 55). Avant d’effectuer l’evaluationdes performances des elements quadratiques il est necessaire de definir un ensemble de notionsque nous utilisons.

Definition de la solution de reference :

La solution de reference est la solution obtenue sur un maillage raffine successivement apartir duquel aucune variation perceptible de la solution n’est mesuree (superposition parfaitedes pics de resonance sur l’intervalle de frequence considere et ecarts hors resonance inferieursa 0.1 dB). Ce maillage de reference a pour limite superieure la taille maximale de problemespouvant etre supportes par les machines a disposition.

Definition et mesure de l’erreur :

Des solutions sont dites compatibles lorsqu’elles sont identiques au sens de la tolerancesuivante : moins de 5% d’ecarts relatifs sur la position des pics de resonance et ecarts surl’amplitude hors resonance inferieurs a 0.5 dB. Pour les deux types d’elements a disposition(lineaires et quadratiques), nous avons egalement etabli une mesure de l’erreur moyenne afin de

69

Page 70: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

comparer les performances des elements sur les maillages utilises (manifestement differents).Nous avons defini cette mesure de l’erreur comme la valeur moyenne de l’erreur lineairerelative pour tous les points du spectre calcules. Dans le cas d’indicateurs calcules en decibelelle s’exprime comme :

Err =1n

n∑

i=1

|10Refi10 − 10

V ali10 |

10Refi10

(2.32)

ou n est le nombre de points du spectre, Refi est le niveau en dB du ieme point de la courbe dereference a une frequence f et V ali est le niveau en dB du ieme point de la courbe a comparer.

Cette erreur est une erreur relative moyenne pour les frequences du spectre calcule. Cetteerreur presente l’avantage de donner rapidement une idee de l’ecart moyen entre les courbes.D’autre part, elle fournit des valeurs plus grandes que l’erreur introduite par Pilon [66] parexemple ce qui facilite la comparaison entre les methodes, meme a des frequences relativementbasses. En effet l’erreur utilisee par Pilon est basee sur le rapport de la somme des airesdes ecarts entre les courbes sur l’aire totale de la courbe de reference. Les ecarts entre lescourbes sont extremement faibles lorsque l’on travaille a basse frequence du fait de la rapideconvergence des methodes utilisees. Pour pouvoir comparer efficacement les methodes avecune telle definition de l’erreur, il est necessaire de calculer des spectres sur de hautes frequences(typiquement superieures a 2000 Hz) pour avoir des valeurs significatives. Nous ne travaillonsjamais a ces frequences elevees pour plusieurs raisons. Tout d’abord, calculer des spectresjusqu’a 6000 Hz allonge considerablement les temps de calcul et oblige a utiliser des maillagesextremement fins. Ensuite pour ces frequences elevees, les valeurs obtenues par les calculs nesont plus exploitables d’un point de vue physique car de nombreux parametres aleatoires sonta prendre en compte dans les calculs. Il est donc necessaire d’integrer ce type d’incertitudesaux resultats. Ces deux raisons nous ont amene a introduire cette definition d’erreur quipermet une comparaison aisee et rapide des methodes a des frequences inferieures a 2000 Hz.

Nous definissons egalement une frequence de decrochage, qui est la frequence mini-male pour laquelle l’ecart entre l’amplitude hors resonance de la courbe de reference et unesolution compatible est superieur a 0.5 dB. Cette frequence caracterise la frequence maximalede validite du maillage pour que celui-ci fournisse une solution compatible. Ramenee au casdes indicateurs lineaires cet ecart correspond a une erreur relative de 11% ce qui constitueune erreur consequente. Un ecart de 0.11 pour un coefficient d’absorption etant inacceptable,nous le ramenerons a 1%.

Nous nous concentrons principalement sur les performances des elements poroelastiquesdans le cadre de problemes rencontres couramment en acoustique et vibration.

2-6.1 Cas d’une colonne poreuse guidee et excitee en traction compressionpar un piston rigide

Nous reprenons ici le cas monodimensionnel de traction compression de la section 2-4.1 (page 60). Les maillages des simulation Sim1 et Ref. sont des maillages uniformes (i.etous les elements du maillage ont la meme taille h). Ils ont ete elabores en respectant lescriteres de maillage classiques de 4 elements par plus petite longueur d’onde de Biot dans le

cas des elements quadratiques (noteλ

4) et de 6 elements par plus petite longueur d’onde de

70

Page 71: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-6. Evaluation des performances des elements quadratiques

Nom Topo. Nddl h ErrΠdissErrΠs ErrΠv ErrΠt ErrP 2 ErrVz

2

m % % % % % %Ref. lin 76 1, 1.10−2 - - - - - -Sim1 quad 148 2, 0.10−2 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000Sim2 quad 92 3, 3.10−2 0,037 0,044 0,098 0,040 0,040 0,025

Tab. 2.2 – Proprietes des grilles utilisees et comparaison des resultats. Colonne poreuse guideeexcitee par un piston rigide, cas d’une mousse.

Biot dans le cas des elements lineaires (noteλ

6). Ces longueurs evaluees a 500 Hz sont donnees

pour quelques materiaux dans le tableau A.2 de l’annexe A. Les spectres sont calcules pourle MatC entre 10 Hz et 550 Hz.

La solution de reference a converge pour un maillage dont la taille de maille h est egale a

1, 1.10−2 m (Cf. tableau 2.2) ce qui correspond a la valeur calculee par le critere enλ

6pour

la frequence maximale de 550 Hz.

On note que l’erreur lineaire moyenne de Sim1 est nulle pour tous les indicateurs, parconsequent les resultats donnes par les deux approches sont strictement identiques. La solution

de reference etant une solution convergee, cet exemple valide les criteres enλ

4pour les elements

quadratiques. Ce type de critere a initialement ete valide par Panneton [63] puis confirme parDauchez [21] pour les materiaux poroelastiques avec la formulation (u,U). Il a egalement eteconfirme par Debergue [23] pour la formulation (u, p) dans le cas monodimensionnel.

En revanche, on constate que le nombre de degres de liberte de Sim1 est superieur a celuide Ref. (148 contre 76) alors que h est plus grand (2.10−2 contre 1, 1.10−2). Ceci est du au faitque les elements quadratiques comptent 20 nœuds par elements contre 8 pour les elementslineaires. Cet exemple illustre egalement la remarque de la partie 2-5 (page 68).

Pour le maillage appele Sim2 le nombre de degres de liberte a ete reduit de sorte a avoisinercelui utilise par le maillage compose d’elements lineaires. On remarque que la qualite de lasolution se degrade. Ainsi lorsque le critere de maillage n’est pas respecte, la solution estmoins bien convergee.

Dans le cas d’une colonne poreuse excitee en traction compression, il est preferable d’uti-liser des elements lineaires pour la modelisation car la simulation necessite moins de degresde liberte a precision egale sur les indicateurs acoustiques classiques.

2-6.2 Cas de la colonne poreuse encastree a ses deux extremites exciteepar une onde plane

Dans cette section nous avons considere le cas de flexion de la section 2-4.2 (page 61).Nous avons fait varier le nombre d’elements du maillage suivant les directions X et Z commeindique dans les tableaux 2.3 et 2.4, le nombre d’elements suivant la direction Y restant fixeet egal a 1. NX, NY et NZ correspondent au nombre d’elements suivant une direction.

Les positions des pics de resonance entre 10 Hz et 2000 Hz ont ete determinees au Hertz

71

Page 72: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200075

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

Fréquence (Hz)

Vz2 (

dB

, re

f. =

5e

8 m

/s)

Pic 2

Pic 3

Pic 1

Fig. 2.13 – Colonne poreuse encastree a ses deux extremites : Spectre de la vitesse quadratiqueet position des pics de resonance.

pres pour chaque maillage. Lorsque les maillages etaient trop grossiers pour positionner unpic sur cette bande de frequence, nous avons note un signe ”−” dans les tableaux 2.3 et 2.4.

Le maillage flex4 a servi de support pour obtenir la solution de reference. Le spectre calculecorrespondant est donne figure 2.13. Les erreurs relatives calculees sur la position des picsobtenus avec les autres maillages sont donnees dans le tableaux 2.5 puis tracees en fonctiondu nombre de nœuds sur la figure 2.14. Les pentes des segments definis par deux pointsconsecutifs des courbes obtenues nous donnent le taux de convergence approximatif. Cetterepresentation en nombre de nœuds correspond a un facteur 4 pres au nombre de degres deliberte. Ainsi notre approche permet d’estimer le nombre d’inconnues du systeme qu’il fautresoudre pour obtenir une bonne precision sur la position des pics de resonance. Ces picscaracterisent le comportement physique du systeme. Les taux de convergence nous informentsur la methode a privilegier pour obtenir ces pics. En effet, plus la pente est grande et moinsil faudra resoudre d’inconnues pour obtenir precisement les pics de resonance(position etamplitude).

Maillages quadratiques NX NY NZ Nœuds Pic1 Pic2 Pic3Hz Hz Hz

flex1 3 1 1 44 166 841 -flex2 7 1 3 200 138 643 1381flex3 15 1 7 848 136 624 1294flex4 (ref.) 31 1 15 3488 135 621 1287

Tab. 2.3 – Proprietes des maillages quadratiques et positions des pics.

72

Page 73: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-6. Evaluation des performances des elements quadratiques

Maillages lineaires NX NY NZ Nœuds Pic1 Pic2 Pic3Hz Hz Hz

flexlin1 3 1 1 16 221 - -flexlin2 7 1 3 64 152 838 -flexlin3 15 1 7 256 140 665 1452flexlin4 31 1 15 1024 137 632 1324flexlin5 63 1 31 4096 136 623 1295

Tab. 2.4 – Proprietes des maillages lineaires et positions des pics.

Pic1 Pic2 Pic3

Quadratiques

flex1 23,0 35,4 -flex2 2,2 3,5 7,3flex3 0,7 0,5 0,5flex4 0,0 0,0 0,0

Lineaires

flexlin1 63,7 - -flexlin2 12,6 34,9 -flexlin3 3,7 7,1 12,8flexlin4 1,5 1,8 2,9flexlin5 0,7 0,3 0,6

Tab. 2.5 – Erreurs relatives sur la position des pics en %

La figure 2.14 montre que les taux de convergence obtenus pour les trois pics avec leselements quadratiques sont plus grands que ceux obtenus avec des elements lineaires. On noteegalement que pour un nombre de degres de liberte egal ou inferieur, les erreurs obtenues surles positions des pics sont plus faibles avec des elements quadratiques qu’avec les elementslineaires.

2-6.3 Cas d’une plaque encastree et excitee par une onde acoustique plane

On reprend ici la meme configuration que pour la partie 2-4.3 (page 64). Le maillage choisipour calculer la solution de reference est compose de 15× 8× 9 elements lineaires. Les autresmaillages utilises ont ete dimensionnes pour que les simulations presentent un nombre dedegres de liberte voisin pour les simulations effectuees avec les elements lineaires et les elementsquadratiques. Par exemple les grilles utilisees pour les simulations Sim0 et Sim4 presentent desnombres de degres de liberte equivalents de meme que les grilles des simulations Sim1 et Sim5,Sim2 et Sim6 ainsi que Sim3 et Sim7. Les maillages ont ete modifies suivant les trois directionsafin d’etudier l’influence des parametres NX, NY et NZ sur les indicateurs acoustiques. Lesproprietes caracteristiques des simulations ainsi que les erreurs sur les indicateurs acoustiquessont donnees dans le tableau 2.6. Plusieurs observations peuvent etre tirees des resultats dutableau 2.6.

Tout d’abord, on remarque que les erreurs obtenues pour les differents indicateurs consideres

73

Page 74: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

101

102

103

104

10 1

100

101

102

Nombre de noeuds

Err

eu

r en

% s

ur

la p

osi

tio

n r

ela

tive d

es

pic

ss

Fig. 2.14 – Taux de convergence pour la position des pics. Pic1 : −−−¤ , lineaires ; − −+ ,quadratiques. Pic2 : −−−♦ , lineaires ; − −× , quadratiques. Pic3 : −−−ª , lineaires ; − −∗ ,quadratiques.

Nom Topo. Nddl NX NY NZ ErrΠs ErrΠv ErrΠt ErrP 2 ErrVz2

Ref.=Sim0 lin 4096 15 8 9 - - - - -Sim1 lin 3215 16 6 9 0.0101 0.0000 0.0000 0.0000 0.0156Sim2 lin 1896 15 8 4 0.0104 0.0087 0.0033 0.0033 0.0028Sim3 lin 459 8 2 9 0.2138 0.0000 0.0000 0.0000 0.3081Sim4 quad 4841 13 6 4 0.0190 0.0021 0.0008 0.0008 0.0222Sim5 quad 3177 12 8 2 0.0176 0.0022 0.0009 0.0009 0.0187Sim6 quad 2557 13 6 2 0.0175 0.0022 0.0009 0.0009 0.0186Sim7 quad 885 8 2 4 0.0159 0.0021 0.0008 0.0008 0.0226Sim8 quad 477 8 2 2 0.0149 0.0022 0.0009 0.0009 0.0202

Tab. 2.6 – Caracteristiques des grilles utilisees pour les simulations et comparaison desresultats. Plaque encastree excitee par une onde plane, MatB.

sont toutes tres faibles (inferieures a 3%) sauf pour le cas Sim3. On note egalement que lesindicateurs ne presentent pas tous la meme sensibilite au maillage. Pour Sim3 on mesure uneerreur lineaire moyenne de 30% sur la vitesse quadratique suivant l’axe Z et une erreur de21% sur la puissance dissipee par effet structural alors que les erreurs relatives calculees pourles autres indicateurs sont nulles.

On remarque egalement que les differents indicateurs ne presentent pas la meme sensibiliteau raffinement et a la direction suivant laquelle celui-ci est effectue. Ainsi, pour l’indicateurV 2

z si on compare le nombre d’elements de la simulation Sim2 et de la reference, NX et NY

74

Page 75: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

2-7. Conclusion

etant fixes a 15 et 8 elements, on note qu’un passage du nombre d’elements suivant Z de 9 a4 produit une erreur de 0.0028. Lorsque le nombre d’elements NZ = 9 dans la Sim3 et quel’on reduit le nombre d’elements NX et NY par rapport a la reference l’erreur est cette fois-cide pres de 30%. Ceci montre une grande sensibilite de V 2

z au nombre d’elements suivant Xet Y .

On peut aussi voir que les erreurs calculees sont plus homogenes sur les cas utilisant deselements quadratiques que sur les cas utilisant des elements lineaires. La solution obtenueest plus stable lorsqu’on la calcule sur un maillage compose d’elements quadratiques quesur un maillage compose d’elements lineaires. Le fait que l’erreur ne diminue pas suite a unraffinement de maillage indique que les solutions obtenues sont bien convergees pour tout lespectre calcule et qu’elles ne varient quasiment plus sur l’intervalle de frequences concerne.D’autre part un changement de reference pour Sim4 indique que les erreurs obtenues avec leselements quadratiques sont encore plus faibles que celles calculees initialement (cf. Tab. 2.7).Si on considere les simulations faites sur les maillages Sim0 et Sim8 on constate qu’avec 8.5 fois

Nom Topo. Nddl NX NY NZ ErrΠs ErrΠv ErrΠt ErrP 2 ErrVz2

Ref.=Sim4 quad 4841 14 7 5 - - - - -Sim0 lin 4096 16 9 10 0.0186 0.0021 0.0008 0.0008 0.0217Sim8 quad 477 9 3 3 0.004 0.0001 0.0001 0.0001 0.002

Tab. 2.7 – Changement de reference et comparaison des resultats. Plaque encastree exciteepar une onde plane, cas d’une mousse.

moins de degres de liberte l’utilisation d’elements quadratiques pour le maillage permet d’avoirune solution plus precise que celle obtenue avec des elements lineaires (environ 2% sur V 2

z soit0.1 dB). Le gain en terme de degre de liberte est ici considerable. L’utilisation des elementsquadratiques pour former les maillages permet dans ce cas de reduire considerablement la tailledu probleme. D’autre part, la stabilite des solutions obtenues avec les elements quadratiquespermet d’avoir des frequences de decrochage plus hautes pour des maillages donnes.

2-7 Conclusion

Dans un premier temps nous avons montre dans un cas monodimensionnel que l’utilisationdes elements quadratiques permettait un gain de precision mais que meme si les tailles demailles etaient plus importantes, il n’etait pas possible de faire de gain en terme de nombre dedegres de liberte. En revanche, pour des cas bi et tridimensionnels impliquant des materiauxporeux, nous avons compare les performances des elements quadratiques nouvellement im-plantes par rapport a celles des elements lineaires. Ainsi, pour un probleme de flexion d’unepoutre poreuse encastree a ses extremites, les taux de convergence mesures pour le positionne-ment des pics de resonance de la vitesse quadratique montrent que les elements quadratiquesconvergent plus vite en terme de degres de liberte, ce qui permet de reduire les maillages misen jeux.

Dans un cas tridimensionnel de plaque poreuse encastree et excitee par une onde plane,

75

Page 76: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 2. Implantation numerique des elements finis quadratiques

nous avons egalement montre qu’il etait possible de reduire considerablement le nombre dedegres de liberte (8.5 fois) en utilisant des elements quadratiques. D’autre part, les solu-tions obtenues avec ces derniers sont plus stables que les solutions obtenues avec les elementslineaires lorsque l’on modifie le maillage. Les elements quadratiques sont donc particulierementperformants et bien adaptes pour modeliser des problemes de flexion et des problemes tridi-mensionnels impliquant des materiaux poreux.

76

Page 77: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3

Couplage avec un guide d’onde

Dans cette section nous detaillons la modelisation du couplage entre un materiau po-reux heterogene et un guide d’onde. Afin de prendre en compte les effets des discontinuitesd’impedance a l’interface materiau poreux-guide d’onde, le champ de pression est decomposesuivant les modes du guide d’onde. Le couplage entre le materiau poreux et le guide d’ondeest alors pris en compte au moyen d’un operateur d’admittance. Dans cette partie, nous pro-posons de calculer la matrice d’admittance [71] soit au moyen d’une discretisation utilisantles fonctions polynomiales quadratiques des elements nouvellement implantes soit grace a uneintegration analytique exacte en tirant partie de proprietes des elements lineaires.

3-1 Introduction

Les variations d’impedance locales dues aux discontinuites de materiaux a l’interface guided’onde-poreux heterogene generent des ondes evanescentes. Ces ondes s’attenuent avec ladistance et disparaissent des que l’on s’ecarte suffisamment du point ou elles sont generees.

Dans le cas de simulations numeriques de test en absorption de materiaux poreux hetero-genes inseres dans un guide d’onde, il est primordial de prendre en compte les variations dela pression a l’interface materiau heterogene-guide liees a la presence des ondes evanescentesafin de bien modeliser le probleme.

Dans cette partie nous proposons de tenir compte de la presence de ces ondes lieesaux discontinuites d’impedance et au couplage entre le guide d’onde et le materiau poreuxheterogene. Les variations de pression dans le guide d’onde sont prises en compte au moyend’une decomposition modale du champ. Une approche originale, utilisant cette decompositiondu champ de pression sur les modes du guide d’onde a ete developpee par Atalla et al. [9], [5].Elle est brievement rappelee dans le cadre d’un probleme d’absorption dans les paragraphessuivants. Apres avoir montre les problemes de discretisation et d’integration numerique quipouvaient etre lies a l’echantillonnage des modes sur des maillages monodimensionnels simples,nous proposons deux methodes visant a ameliorer la prise en compte des modes dans lesprocedures de calcul numerique des coefficients des matrices elements finis mises en jeu dansles problemes tridimensionnels complexes. Par ailleurs, une methode visant a determiner lenombre de modes a prendre en compte a priori a ete developpee et est presentee dans le cas

77

Page 78: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

particulier d’un materiau poreux a perforation carree centree place dans un guide d’onde.

3-2 Position du probleme

0 500 1000 15000

1

2

3

4

5

6

Fréquence (Hz)

Coe

ffici

ent d

’abs

orpt

ion

: α

Calcul ayant divergé

Calcul ayant convergé

Fig. 3.1 – Divergence d’un calcul lie a une mauvaise prise en compte du nombre de modessur un maillage uniforme a neuf elements : −−−∗ , 30 modes ; −−−ª , 8 modes.

La figure 3.1 montre les resultats d’un calcul du coefficient d’absorption en incidencenormale pour un materiau poreux perfore. Ce calcul a ete effectue sur un maillage uniformecomportant 9 elements suivant chacune des directions x et y et z. Le maillage choisi suit lecritere de Debergue [23] base sur les longueurs d’ondes Biot et indique uniquement une tailled’element maximale acceptable lorsque l’on utilise des elements lineaires. Aucune precautionparticuliere n’a ete prise concernant les modes superieurs et leur nombre. Dans ce cas cenombre a volontairement ete surestime et fixe a 30 modes suivant chacune des directions Xet Y (ce qui correspond a 900 modes au total).

Dans un deuxieme temps, le calcul a ete refait sur le meme maillage avec un nombre demodes reduit a seulement 8 modes suivant les directions X et Y . Dans ce cas le calcul nesemble plus diverger.

A ce stade, il est difficile de dire si la solution obtenue par le deuxieme calcul est effective-ment convergee. Le seul moyen pour s’en assurer est de refaire un calcul supplementaire surun maillage comportant un plus grand nombre d’elements, d’augmenter le nombre de modeset de verifier que les solutions obtenues sont egales.

D’autre part, dans le cas d’une discretisation classique du probleme presente par elementsfinis lineaires il est necessaire de mailler tres finement l’interface poreux-guide d’onde pour

78

Page 79: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

3-3. Couplage entre un milieu poroelastique et le guide d’onde

pouvoir echantillonner correctement les modes superieurs et assurer ainsi la bonne convergencede la solution dans le cas d’un materiau heterogene. Cet aspect limite considerablement lataille des problemes modelisables avec des machines standards et vient, en augmentant lataille de grilles a utiliser, alourdir considerablement la methode.

Il a egalement ete note que la solution pouvait diverger dans des cas comportant desmateriaux poreux homogenes pour lesquels les supports des calculs sont des maillages nonreguliers (ie. la taille des elements varie suivant leur position). Comme nous le verrons, cesmaillages sont tres utiles des que l’on a affaire a des materiaux de dimensions finies pourlesquels les conditions aux limites (e.g encastrement) jouent un role important. Ces maillagesconstituent la seule alternative sensee si on ne veut pas exceder les ressources des machinesavec des grilles extremement raffinees dans le seul but de prendre en compte une particularitegeometrique bien localisee.

En conclusion, l’utilisation de maillages trop grossiers, de maillages non uniformes oud’elements aux fonctions d’interpolation de degre trop faible peut s’averer insuffisante pourprendre en compte un nombre eleve de modes superieurs et peut faire diverger la solutionnumerique pour des simulations de materiaux heterogenes inseres dans un guide d’onde.

3-3 Couplage entre un milieu poroelastique et le guide d’onde

Les expressions etablies dans ce paragraphe sont valables dans le cas d’un couplageentre un milieu poroelastique et une cavite du type guide d’onde mais aussi dans le casd’un couplage entre un fluide et un guide d’onde. On suppose ici que les faces du materiauporeux heterogene en contact avec le guide d’onde ne sont constituees que de materiauxporoelastiques, eventuellement de proprietes differentes, ou encore de fluides. Les constituantssolides sont soit pieges a l’interieur du materiau poreux soit places derriere une lame d’air(s’intercalant alors entre le guide et le materiau solide). Cette hypothese est faite afin desimplifier l’implantation numerique du couplage materiau poreux heterogene-guide d’onde.

L2

L1

Support Rigide

Matériau

Hétérogène

n

x

y

z

Fig. 3.2 – Probleme d’un materiau poreux heterogene teste en absorption

79

Page 80: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

Considerons le cas du probleme d’absorption (cf. Fig. 3.2). L’origine des Z est placeeau niveau de l’interface guide-poreux heterogene et la normale n est sortante au materiauporeux et dirigee suivant Z et dans le sens des composantes negatives. Pour un materiauporeux place dans le guide d’onde, les conditions de couplage au niveau de l’interface guide-poreux heterogene , notee ∂Ωpa, sont donnees par :

σt · n = −paI · np = pa

u.n + φ(U.n− u.n

)=

1ρaω2

∂pa

∂n

(3.1)

pa denote la pression acoustique dans le guide d’onde, la substitution de l’equation (3.1)dans les formulations faibles classique et modifiee, necessite le calcul des termes d’interfacesuivants :

I2 = −∫

∂Ωpa

1ρaω2

∂pa

∂nδp dΓ (3.2)

etIpa =

∂Ωpa

δ(pun

)dΓ−

∂Ωpa

1ρaω2

∂pa

∂nδpdΓ (3.3)

ou n designe la normale sortante au poreux. Le premier terme de (3.3) donne une matrice decouplage fluide-structure classique. Le terme

∫∂Ωpa

1ρaω2

∂pa

∂n δpdΓ apparaissant dans les deuxequations (3.2) et (3.3) peut etre exprime en fonction des modes propres du guide d’onde,comme explique dans [9].

Pour calculer le terme∫∂Ωpa

1ρaω2

∂pa

∂n δpdΓ, la pression acoustique dans le guide pa est

consideree comme la somme d’une pression bloquee pb satisfaisant ∂pb∂n = 0 sur l’interface ∂Ωpa

entre le guide d’onde et le poreux et une pression rayonnee pray par cette meme interface :

pa(M) = pb(M) + pray(M) (3.4)

ou M = (x, y, z) est un point de l’espace. Pour une excitation acoustique par un mode pland’amplitude p0, la pression bloquee pb se reduit a 2p0 en z = 0. La pression rayonnee pray

peut etre decomposee sur la base des modes propres du guide d’onde :

pray(M) =∑m,n

Bmnϕmn(x, y)ejkmn z (3.5)

Pour un guide d’onde rectangulaire de section droite Lx×Ly, ϕmn(x, y) = cos(

mπxLx

)cos

(nπyLy

)

et k2mn = k2 −

(mπLx

)2−

(nπLy

)2. Bmn denotent les amplitudes modales. Soit Mi un point

appartenant a l’interface de coordonnees (xi, yi, 0). Une formulation faible associee a (3.4) estdonnee par :

∂Ωpa

pray (Mi) ϕmn(xi, yi)dΓMi =∫

∂Ωpa

(pa (Mi)− pb (Mi))ϕmn(xi, yi)dΓMi (3.6)

et en utilisant les proprietes d’orthogonalite des fonctions cosinus on obtient l’expression deBmn :

Bmn =1

Nmn

∂Ωpa

(pa (Mi)− pb (Mi))ϕmn(xi, yi)dΓMi (3.7)

80

Page 81: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

3-4. Premiere approche : calcul de A par discretisation de formes modales sur le maillage

ou

Nmn =∫

∂Ωpa

|ϕmn(xi, yi)|2dΓMi (3.8)

est la norme du mode (m,n).Finalement, pour le probleme d’absorption, on obtient

∂Ωpa

1ρ0ω2

∂pa

∂nδpdΓ =

1jω

∂Ωpa

∂Ωpa

A(M1, M2)p(M2)δp(M1)dΓM1dΓM2

− 1jω

∂Ωpa

∂Ωpa

A(M1,M2)pb(M2)δp(M1)dΓM1dΓM2

(3.9)

Dans l’equation (3.9), M1 = (x1, y1, 0) et M2 = (x2, y2, 0). A(M1, M2) est un operateurd’admittance donne par :

A(M1,M2) =∑mn

kmn

ρ0ωNmnϕmn(x1, y1)ϕmn(x2, y2). (3.10)

L’expression (3.9) a l’avantage de formuler le couplage entre le guide d’onde et le poreux entermes d’une admittance de rayonnement dans le milieu emetteur et d’un terme d’excitationdu a la pression bloquee. Pour les frequences d’excitation situees en dessous de la frequence decoupure du guide d’onde, les modes d’ordre superieur conduisent a un operateur d’admittanceimaginaire pur de type inertance.

En resume, la formulation faible des equations gouvernant le comportement de la coucheporeuse heterogene dans le guide d’onde est donnee par :

Ωp

[σs

(u

): εs

(δu

)− ρω2u · δu]dΩ +

Ωp

[ φ2

ω2ρ22∇p ·∇δp− φ2

Rpδp

]dΩ

−∫

Ωp

γδ(∇p · u)

dΩ− 1jω

∂Ωpa

∂Ωpa

A(M1, M2)p(M2)δp(M1)dΓM2dΓM1

+1jω

∂Ωpa

∂Ωpa

A(M1, M2)pb(M2)δp(M1)dΓM2dΓM1 = 0

∀ (δu, δp)(3.11)

3-4 Premiere approche : calcul de A par discretisation de formesmodales sur le maillage

L’expression de l’operateur A necessite la determination des termes d’amplitude modaleBmn qui ont ete ensuite substituees dans l’equation (3.2). Le processus de discretisationnumerique passe par les memes etapes. Dans un premier temps nous chercherons la formediscretisee des amplitudes modales Bmn. Puis, nous reprendrons le calcul de l’integrale desurface (3.2) de la forme faible que nous discretiserons afin d’obtenir l’expression de A.

81

Page 82: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

3-4.1 Obtention et discretisation des amplitudes modales

L’expression de la pression nous donne :

pa(Mi) = pray(Mi) + pb(Mi) (3.12)

La formulation faible de cette equation s’ecrit :∫

∂Ωpa

pray (Mi)ϕdΓMi =∫

∂Ωpa

(pa (Mi)− pb (Mi))ϕdΓMi , ∀ ϕ integrable, (3.13)

ce qui donne d’apres (3.5) en z = 0 :∫

∂Ωpa

pray (Mi) ϕdΓMi =∫

∂Ωpa

∑m,n

Bmnϕmn(x, y)ϕdΓMi . (3.14)

Pour alleger l’ecriture on supprime dans ce qui suit les Mi et (x, y) des expressions. Ladiscretisation en terme de modes retenus de ϕmn(x, y) et Bmn nous permet d’ecrire :

∂Ωpa

pray ϕdΓ =∫

∂Ωpa

ϕ 〈φ〉 BdΓ, (3.15)

avec φ :

φ =

1cos

(πxLx

)

cos(

πyLy

)

...cos

(mπxLx

)cos

(nπyLy

)

, B =

B00

B10

B01...

Bmn

, (3.16)

le vecteur des fonctions modales retenues et B le vecteur des amplitudes modales.La discretisation du membre de droite de (3.13) donne :

∂Ωpa

(pa − pb)ϕdΓMi = 〈ϕ〉 [C] p − 〈ϕ〉 [C] pb. (3.17)

ou [C] est la matrice assemblee des produits des fonctions de formes. En choisissant lesfonctions ϕ1, · · · , ϕmn comme fonctions de ponderations on trouve :

∂Ωpa

(pa − pb)ϕdΓMi = [Φ]t [C] p− pb, (3.18)

ou [Φ] est la matrice des fonctions modales retenues discretisees. Sa forme est donnee par :

[Φ] = [φ1 , · · · , φi , · · · , φnn] , (3.19)

ou les φi denotent les fonctions modales retenues evaluees au nœud i et nn est le nombrede nœuds de l’interface.

82

Page 83: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

3-4. Premiere approche : calcul de A par discretisation de formes modales sur le maillage

L’equation (3.15) se reecrit alors :∫

∂Ωpa

φ praydΓ =∫

∂Ωpa

φ 〈φ〉dΓ︸ ︷︷ ︸

[Q]

B, (3.20)

ou la matrice [Q] est diagonale du fait des proprietes d’orthogonalite des fonctions cosinus.On injecte les resultats des equations (3.18) et (3.20) dans (3.13), ce qui nous donne :

[Q] B = [Φ]t [C] p− pb, (3.21)

d’ou on tire l’expression discretisee de Bmn :

B = [Q]−1 [Φ]t [C] p− pb (3.22)

Calcul de [A]

Passons maintenant a la discretisation de l’integrale (3.2). On suit la meme demarcheque dans le paragraphe precedent, a savoir, on discretise d’abord selon le nombre de modesretenus :

−∫

∂Ωpa

1ρaω2

∂pa

∂nδpdΓ = −

∂Ωpa

1ρaω2

〈φ〉 [K] BδpdΓ, (3.23)

avec [K] la matrice du produit des nombres d’ondes quantiques kmn par le nombre complexej provenant de la derivation suivant le sens des z negatifs. La forme de la matrice depend del’ordre dans lequel on classe les modes. Pour des modes ordonnes selon (3.16), [K] a la formesuivante :

[K] = −j

k00 0 · · · · · · 00 k10 0 · · · 0... 0 k01 0 0...

... 0. . . 0

0 0 0 0 kmn

(3.24)

Ensuite on discretise l’integrale (3.2) sur les nœuds du maillage :

−∫

∂Ωpa

1ρaω2

∂pa

∂nδpdΓ =

1ρaω2

〈δp〉 [C]t [Φ] [K] B. (3.25)

Lorsqu’on remplace l’expression de B par l’expression determinee precedemment (3.22), ontrouve :

−∫

∂Ωpa

1ρaω2

∂pa

∂nδpdΓ = 〈δp〉 1

ρaω2[C]t [Φ] [K] [Q]−1 [Φ]t [C]

︸ ︷︷ ︸[A]

p− pb. (3.26)

L’expression de [A] depend de la matrice de couplage [C]. Cette matrice depend du typed’element choisi puisqu’elle met en jeu les fonctions de formes utilisees. Chaque matriceelementaire de couplage [C]e est integree numeriquement avant d’etre assemblee. Dans le casde l’utilisation d’elements quadratiques cette premiere approche sous-entend donc le calculde [A] au moyen d’une matrice de couplage quadratique calculee numeriquement.

83

Page 84: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

3-4.2 Nombre de modes correctement decrits par discretisation sur unmaillage. Limitations et interet pour le calcul de A

Le champ de pression dans le guide est decompose sur la base modale d’un guide d’ondede section rectangulaire Lx × Ly. Suivant une direction x ou y, la longueur d’onde associee a

un mode d’indice mi est λi =2Li

mi, i = x, y.

Considerons qu’il faille au moins 7 points d’echantillonnage regulierement espaces pour ap-procher correctement par des segments une sinusoıde sur une periode (interpolation lineaire).Le nombre de nœuds Ni, i = x, y que doit comporter le maillage suivant une direction x ouy de l’espace est donne par :

Ni = E

(6Li

λi

)+ 1, i = x, y, (3.27)

ou E symbolise la fonction partie entiere. L’indice du dernier mode superieur correctementdecrit par un maillage constitue d’elements aux fonctions d’interpolation lineaire est donc :

mi = E

(2Li

λi

), i = x, y.

Si l’on raisonne par rapport au nombre de nœuds Ni du maillage suivant une direction, ontrouve :

mi = E

(Ni − 1

3

), i = x, y. (3.28)

Dans le cas d’un maillage utilisant des elements aux fonctions d’interpolation quadratiques,le nombre d’elements necessaires pour decrire correctement une sinusoıde sur une longueurd’onde passe de 6 a 4. Dans ce cas l’indice mi du dernier mode correctement decrit est donnepar :

mi = E

(Ni − 1

2

). (3.29)

Ces criteres sont illustres sur l’ensemble des figures qui suivent. Les hi representent les taillesdes elements d’un maillage monodimensionnel sur lesquels sont echantillonnes des modesdu guide d’onde. Les courbes en traits pleins sur les figures 3.3, 3.4, 3.5 representent lesfonctions sinusoıdales a interpoler alors que les traits pointilles et les cercles represententrespectivement les resultats des interpolations lineaires et quadratiques de ces fonctions. Dansle cas de maillages uniformes, les criteres d’interpolation sont bien adaptes et donnent unebonne limite. En effet pour un maillage a six elements, l’interpolation lineaire doit etre fiablejusqu’au deuxieme mode, ce qui est bien le cas sur la figure 3.3, et jusqu’au troisieme pour leselements quadratiques. Ces criteres sont assez severes et pourraient etre depasses dans le casd’interpolation par des fonctions quadratiques comme sur la figure 3.4, ou le cinquieme modeest bien interpole sur le maillage uniforme a six elements. En revanche il faut etre prudentdes lors que les maillages ne sont plus uniformes et que les points ne sont pas regulierementespaces comme dans la figure 3.5. Meme pour les premiers modes, en l’occurrence le mode4, l’interpolation peut etre tres mauvaise et l’integration peut s’averer completement fausse.L’integration numerique avec des elements aux fonctions de forme lineaires est inadaptee dansce cas-la. Par contre les interpolations sur les elements quadratiques peuvent presenter de bonsresultats, pourvu qu’on n’interpole pas plus d’une demi periode du mode d’indice le plus eleve

84

Page 85: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

3-4. Premiere approche : calcul de A par discretisation de formes modales sur le maillage

h1

h2

h3

h4

h5

h6

Fig. 3.3 – Echantillonnage du mode 2 sur un maillage uniforme monodimensionnel. Mode 2 :—, Interpolation lineaire : −−−, Interpolation quadratique : · ·

par element. Sur la figure 3.5 c’est le cas des elements h1 et h3 pour lesquels les dimensionssont inferieures a la demi-periode du mode 4. Pour l’element h2, par exemple, la longueurdepasse une demi-periode et, dans ce cas, l’interpolation est franchement mauvaise. Sur h4

dont la longueur est egale a la demi-periode, l’interpolation du quatrieme mode presente desdifferences avec la courbe de reference. Il faut donc choisir la taille des elements strictementinferieure a la demi-periode du mode le plus important a prendre en compte pour ne pascommettre d’erreur lors de l’integration numerique avec des elements quadratiques. Dansle cas de l’utilisation d’elements lineaires nous respecterons le critere etabli dans l’equation(3.28).

Par consequent, pour un maillage donne, plus l’ordre d’interpolation est eleve et plusle nombre de modes correctement decrits est important, ce qui se traduit par un gain deprecision sur la solution. Par contre, l’erreur d’echantillonnage sur les modes se reduit lors-qu’on utilise un maillage plus fin. Lorsqu’un calcul est fait sur une grille dimensionnee seule-ment pour les longueurs d’onde de Biot se propageant dans le materiau poreux, le nombrede modes correctement echantillonnes risque de ne pas etre suffisant pour fournir un resultatcorrect. evidemment, si la longueur d’onde acoustique du mode d’ordre le plus eleve a prendreen compte est incluse dans la determination de la taille de maille minimale necessaire a ladiscretisation du domaine le resultat sera correct. Ceci presente quand meme l’inconvenientd’alourdir considerablement le calcul en augmentant le nombre de nœuds du maillage tridi-

85

Page 86: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

h1

h2

h3

h4

h5

h6

Fig. 3.4 – Echantillonnage du mode 5 sur un maillage uniforme monodimensionnel. Mode 5 :—, Interpolation lineaire : −−−, Interpolation quadratique : · ·

h1

h2

h3

h4

λ

Fig. 3.5 – Echantillonnage du mode 4 sur un maillage non uniforme monodimensionnel. Mode4 : —, Interpolation lineaire : −−−, Interpolation quadratique : · ·

86

Page 87: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

3-5. Deuxieme approche : Calcul et discretisation numerique de A par une integration analytique

dans le cas d’elements lineaires non deformes.

mensionnel lorsque la valeur minimale de la taille de maille est contrainte par l’echantillonnagedes modes dans le guide d’onde. D’autre part il est difficile de connaıtre a priori le nombrede modes a prendre en compte dans le cas general. Pour toutes ces raisons, il semble plusjudicieux de calculer la matrice d’admittance [A] en augmentant l’ordre des fonctions d’inter-polations ou encore, independamment du maillage, en utilisant une integration analytique.

3-5 Deuxieme approche : Calcul et discretisation numeriquede A par une integration analytique dans le cas d’elementslineaires non deformes.

L’idee ici est d’integrer analytiquement le produit fonction modale-fonction de forme sanspasser par la discretisation des fonctions modales sur les nœuds du maillage, ce qui revient aremplacer les produits matriciels [C]t [Φ] et [Φ]t [C] dans le calcul de [A] par les valeurs exactes.On repart, par exemple, du membre de droite de l’equation (3.13) et on ecrit explicitementl’etape de discretisation sur les sommets s des elements du maillage appartenant a l’interfaceguide d’onde-poreux :

∂Ωpa

(pa − pb)ϕdΓp =∫

∂Ωe

〈psa − ps

b〉 NϕdΓ, (3.30)

En prenant une fonction ϕmn comme fonction de ponderation, on trouve :∫

∂Ωpa

(pa − pb)ϕmndΓp = 〈psa − ps

b〉∫

∂Ωpa

NϕmndΓe. (3.31)

On cherche donc a integrer analytiquement l’expression :

Imn =∫

∂Ωpa,e

N e(x, y)ϕmn(x, y)dΓe, (3.32)

ou N e(x, y) est une fonction de forme quelconque. Dans le cas d’elements lineaires nondeformes, cette integration peut s’effectuer de facon analytique, N e(x, y) denote a presentune fonction de forme lineaire.

3-5.1 Particularites des elements lineaires

Un element quadrilateral a quatre nœuds est represente sur la figure 3.6. Le jacobienassocie a la transformation (dans le plan z = 0) permettant de passer de l’element de referencea l’element reel s’exprime sous la forme d’un polynome en ξ et η [10] :

J = A0 + A1ξ + A2η, (3.33)

avec les coefficients A0, A1, A2 definis par :

A0 =18

(x31 y42 − x42 y31) ,

87

Page 88: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

Élément de référence Élément réel

1

2 3

4

η

ξ

η

ξ

1

2

3

4

Fig. 3.6 – Element quadrilateral a quatre nœuds

A1 =18

(x21 y34 − x34 y21) , A2 =18

(x32 y41 − x32 y41) ,

ou xij symbolise la difference xi − xj des coordonnees des nœuds d’indices i et j. Les quatrefonctions d’interpolation de ce type d’elements sont donnees, dans le repere de reference, parles relations [10] :

N1(ξ, η) = (1− ξ)(1− η)

N2(ξ, η) = (1 + ξ)(1− η)

N3(ξ, η) = (1 + ξ)(1 + η)

N4(ξ, η) = (1− ξ)(1 + η)

Revenons a l’expression de Imn :

Imn =∫∫

Ae

Nj(x, y) cos(

mπx

Lx

)cos

(nπy

Ly

)dxdy. (3.34)

ou j ∈ [1, 2, 3, 4] dans le cas d’un element lineaire isoparametrique. L’expression de l’integraleImn se reecrit :

Imn =∫ 1

−1

∫ 1

−1Nj(ξ, η) cos

(mπ

Lx

4∑

k=1

Nkxk

)cos

(nπ

Ly

4∑

k=1

Nkxk

)Jdξdη. (3.35)

On a donc a integrer :

Imn =∫ 1

−1

∫ 1

−1(A0 + A1ξ + A2η) Nj(ξ, η) cos

(mπ

Lx(Ax + Bxξ + Cxη + Dxξη)

)

cos(

Ly(Ay + Byξ + Cyη + Dyξη)

)dξdη,

(3.36)

avecAx =

14

(x1 + x2 + x3 + x4) , Ay =14

(y1 + y2 + y3 + y4)

Bx =14

(x2 − x1 + x3 − x4) , By =14

(y2 − y1 + y3 − y4)

88

Page 89: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

3-6. Validation et performances des methodes

Cx =14

(x4 − x1 + x3 − x2) , Cy =14

(y4 − y1 + y3 − y2)

Dx =14

(x1 − x4 + x3 − x2) , Dy =14

(y1 − y4 + y3 − y2) .

Dans le cas particulier ou l’element lineaire reel conserve ses angles droits, les coordonneesdes nœuds ont les proprietes suivantes :

x1 = x4

x2 = x3

y1 = y2

y3 = y4

=⇒

x14 = 0x23 = 0y12 = 0y34 = 0.

(3.37)

Les termes A1, A2, Cx, Dx, By et Dy s’annulent ce qui nous permet de reecrire l’expression(3.36) :

I = A0

∫ 1

−1

∫ 1

−1

(Nj(ξ, η) cos

(mπ

Lx(Ax + Bxξ)

)cos

(nπ

Ly(Ay + Cyη)

))dξdη. (3.38)

Si on note M(ξ) et M(η) les monomes en ξ et η des Nj(ξ, η) et si on developpe les cosinus onvoit qu’il est possible de separer les variables et de reecrire l’expression :

Imn = A0

[cos(Ax) cos(Ay)

∫ 1

−1M(ξ) cos(Bxξ)dξ

∫ 1

−1M(η) cos(Cyη)dη

− cos(Ax) sin(Ay)∫ 1

−1M(ξ) cos(Bxξ)dξ

∫ 1

−1M(η) sin(Cyη)dη

− sin(Ax) cos(Ay)∫ 1

−1M(ξ) sin(Bxξ)dξ

∫ 1

−1M(η) cos(Cyη)dη

+ sin(Ax) sin(Ay)∫ 1

−1M(ξ) sin(Bxξ)dξ

∫ 1

−1M(η) sin(Cyη)dη

].

(3.39)

Remarque 3 :

Le resultat du calcul analytique de cette integrale est tres simple a obtenir d’un pointde vue informatique. Lorsque les elements sont deformes on peut envisager de calcu-ler numeriquement l’integrale I de depart etant donne que les simplifications indiqueesprecedemment ne peuvent pas etre faites, de meme dans le cas d’elements quadratiques,pour lesquels les fonctions d’interpolation comportent des produits ξη et pour lesquelsla separation des variables n’est pas triviale. Le nombre de points de Gauss a prendreen compte depend de l’ordre du mode considere. Par consequent, dans le cas ou uneintegration numerique est choisie le temps necessaire a l’integration risque de devenirnon negligeable.

3-6 Validation et performances des methodes

3-6.1 Materiaux perfores et maillages uniformes

La methode d’integration analytique a ete implantee dans le cas ou les elements lineairesreels sont non deformes (angles droits conserves). On reprend le calcul presente dans la par-tie 3.1. Sur un maillage quadratique on peut discretiser et integrer correctement mi = Li

hi

89

Page 90: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

modes suivant la direction i (cf. § 3-4.2). Dans ce cas Li = 10 cm, l’epaisseur vaut 10 cmet hi = 1 cm ce qui permet de prendre en compte 10 modes mi dans la simulation avec leselements quadratiques. L’integration analytique n’impose aucune restriction sur le nombrede modes a prendre en compte. Le nombre est fixe arbitrairement a 30 dans la simulationutilisant des elements lineaires. le materiau utilise est le materiau MatF dont les proprietessont donnees en Annexe A. On remarque sur la figure 3.7 que lorsque les modes sont correc-

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frequence (Hz)

Coe

ffici

ent d

’abs

orpt

ion

Fig. 3.7 – Integration analytique et integration numerique des modes du guide d’onde :−−−ª integration analytique 30 modes maillage lineaire uniforme ;−−−+ integration numerique10 modes maillage quadratique uniforme.

tement integres la solution ne diverge plus comme sur la figure 3.1. L’integration analytiquepermet dans ce cas d’obtenir des resultats corrects et tres precis dans le voisinage du pic.Les elements quadratiques sont moins precis dans la zone du maximum et du minimum local(zone dont la finesse depend essentiellement du nombre de modes et de leur integration). Onnote une faiblesse du maillage lineaire qui n’est pas assez fin pour assurer la convergencejusqu’a 2000 Hz contrairement au maillage quadratique. Au niveau des temps de simulations,il est plus long d’integrer numeriquement 10 modes que 30 modes de facon analytique (cinqfois plus environ).

Remarque 4 :

Le nombre de modes a prendre en compte est difficile a determiner a priori dans le casgeneral. En revanche dans le cas de materiaux perfores a perforations carrees et souscertaines hypotheses nous montrerons qu’il est possible de l’evaluer.

90

Page 91: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

3-6. Validation et performances des methodes

Trois tailles d'éléments différentes

Hétérogénéité fluide

Matériau poreux

Fig. 3.8 – Exemple de maillage non homogene. On retrouve trois tailles de maille distinctes.L’heterogeneite fluide correspond a un taux de perforation de 12.1%.

3-6.2 Maillages non uniformes

Nous avons teste un cas de materiau heterogene carre perfore de 23√

π mm de cote. Letaux de perforation choisi est de 12.1% ce qui represente une perforation de 8

√π mm de cote.

Afin de reduire le nombre d’elements pour modeliser cette configuration nous utilisons unmaillage non uniforme. Les elements ont des dimensions laterales de 4.4 mm ou de 3.5 mm.Une illustration du maillage utilise est donnee a la figure 3.8. Comme nous l’avons vu dans lasection 3-4.2, l’utilisation d’elements quadratiques est possible dans le cas de maillages nonuniformes tant que l’on a au moins un element quadratique par demi-periode du mode leplus eleve a prendre en compte dans le guide d’onde. Ainsi, le nombre de modes correctementintegre sur un maillage compose d’elements quadratiques presentant les tailles de maillesprecedentes est compris entre 9 et 11. Nous avons donc choisi d’effectuer la simulation utilisantdes elements quadratiques avec 10 modes suivant chacune des dimensions. Nous avons utilisele materiau MatE (cf. annexe A). Les resultats des simulations numeriques sont donnes dansla figure 3.9 ou l’on trace le coefficient d’absorption en fonction de la frequence. Dans le casde maillages lineaires non uniformes, l’integration analytique fournit des resultats valides. Unresultat converge obtenus avec 18 modes suivant chacune des dimensions est donne sur lafigure 3.9.

On remarque que la solution est moins precise au niveau du pic dans le cas utilisantl’integration numerique que dans le cas utilisant l’integration analytique. Lorsque les fonctions

91

Page 92: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frequence (Hz)

Coe

ffici

ent d

’abs

orpt

ion

Double porosité 12,1%

Fig. 3.9 – Integration analytique et integration numerique des modes du guide d’onde :−−−ª integration analytique 18 modes maillage lineaire non uniforme ; −−−+ integrationnumerique 10 modes maillage quadratique non uniforme.

modales sont interpolees par des polynomes quadratiques, la convergence n’a pas encore eteatteinte avec 10 modes, ce qui est le nombre de modes limite supportable par le maillage(hmax = 4.4 mm =⇒ m = 10). La convergence dans ce cas est bien liee au nombre de modesutilises pour le calcul. On remarque d’ailleurs que les solutions sont rigoureusement identiquesen dehors des frequences voisines du pic de double porosite. On note que dans le cas d’unmateriau perfore tel que MatE, la solution converge pour un nombre de modes relativementimportant (18 suivant chaque direction). Pour integrer le meme nombre de modes sur lemaillage quadratique, il faudrait doubler le nombre d’elements suivant chacune des directionspar rapport au maillage employe pour integrer les 10 modes. Par consequent, la methodeanalytique permet de reduire considerablement les maillages mis en jeux car il n’est plusnecessaire de raffiner le maillage, et ainsi penaliser le domaine tridimensionnel poreux, pourbien echantillonner les modes. L’utilisation de l’integration analytique permet d’obtenir demeilleurs resultats. Compte tenu du fait qu’ils requierent moins de ressources et qu’ils sont plusprecis que les resultats obtenus avec les elements quadratiques cette solution est preferable.

3-7 Determination du nombre de modes a prendre en comptedans le cas de materiaux perfores : perforations carrees

Dans cette section nous proposons une methode de determination du nombre de modes aprendre en compte pour assurer la convergence de la solution. La determination de ce nombrede modes repose sur l’expression analytique d’un terme d’impedance moyenne complexe au

92

Page 93: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

3-7. Determination du nombre de modes a prendre en compte dans le cas de materiaux perfores :

perforations carrees

niveau de la perforation. Il est possible d’exprimer ce terme sous forme d’une suite infinieen faisant des hypotheses sur le champ de vitesse [16]. L’idee est de trouver le nombre demodes pour lequel la suite a pratiquement converge vers sa limite. Le nombre de modes ainsidetermine servira pour la simulation numerique.

3-7.1 Description du probleme et hypotheses

Soit un materiau poreux perfore place dans un guide d’onde ( Figure 3.10). On suppose lataille de la perforation petite devant les dimensions transversales du guide d’onde elles memespetites devant la longueur d’onde (i.e. li ¿ Li ¿ λ, i = x, y). La pression dans le guide d’ondepeut s’ecrire comme la somme de la pression bloquee, qui est la pression qui s’etablit lorsquel’interface est parfaitement rigide, et de la pression rayonnee par le materiau. La pressionbloquee verifie ∂pb

∂n |z=0 = 0 a l’interface. On ecrit donc pb = Ai ϕi (x, y)(e−jkiz + ejkiz

), avec

pi = Ai ϕi (x, y) e−jkiz l’onde incidente qui est une donnee du probleme. La pression rayonneepr s’ecrit comme une superposition de modes dans le guide d’onde :

pr =∑mn

Bmnϕmn (x, y) ejkmnz, (3.40)

ou kmn =√

k2 − m2π2

L2x− n2π2

L2y

.

Zb0

Pi

Pr

Z

b

0

Ly

Lxly

lx

Matériau Poreux

perforé

Guide d'onde-Coupe transversale

Fig. 3.10 – Materiau poreux perfore place dans un guide d’onde.

93

Page 94: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

3-7.2 Determination de l’impedance moyenne de la perforation

La vitesse suivant l’axe z s’obtient au moyen de l’equation d’Euler :

vz =j

ωρ0

∂pa

∂z, (3.41)

soit en injectant l’expression de la pression pa dans le guide :

vz =j

ωρ0

∂z(pb + pr) =

j

ωρ0

∂pr

∂z, (3.42)

car le gradient de la pression bloquee est nul suivant la direction de la normale. On trouvedonc pour vz :

vz =−1ωρ0

∑mn

kmnBmnϕmn (x, y) ejkmnz. (3.43)

On cherche a exprimer le coefficient Bmn en fonction de la valeur moyenne de la vitesse auniveau de l’ouverture. En projetant l’expression de la vitesse sur les modes du guide d’ondeon ecrit en z = 0 :

∫ Lx

0

∫ Ly

0cos

(qπx

Lx

)cos

(rπy

Ly

)vz dxdy

=−1ωρ0

∫ Lx

0

∫ Ly

0cos

(qπx

Lx

)cos

(rπy

Ly

)∑mn

kmnBmn cos(

mπx

Lx

)cos

(nπy

Ly

)dxdy

(3.44)

Les proprietes d’orthogonalite des fonctions cosinus nous donnent la relation :

∫ Lx

0

∫ Ly

0cos

(qπx

Lx

)cos

(rπy

Ly

)vzdxdy =

−1ωρ0

∑mn

kmnBmn εLxLy

4δmqδnr (3.45)

avec

ε = 4 si m = n = 0,

= 2 si m ou n = 0,

= 1 si m et n 6= 0,

(3.46)

et δij le symbole de Kroenecker.

La suite du calcul repose sur une hypothese forte en presence d’un materiau poreux quiconsiste a negliger la valeur de la vitesse au niveau du materiau devant celle au niveau dutrou, ce qui revient a considerer que l’on a une paroi rigide en dehors du trou et que le gradientde la pression rayonnee est nul dans la direction normale lorsqu’on est loin du trou. On seretrouve dans le cas d’une cavite ouverte a bases paralleles [16]. On suppose que la vitesse vz

est constante au niveau du trou, on pose alors vz = v et qu’elle est nulle en dehors vz = 0.L’equation (3.45) devient :

v

∫ Lx+lx2

Lx−lx2

∫ Ly+ly2

Ly−ly2

cos(

mπx

Lx

)cos

(nπy

Ly

)dxdy =

−1ωρ0

kmnBmn εLxLy

4. (3.47)

94

Page 95: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

3-7. Determination du nombre de modes a prendre en compte dans le cas de materiaux perfores :

perforations carrees

On deduit l’expression de Bmn :

Bmn =−ρ0ω

kmn

4v

εLxLy

∫ Lx+lx2

Lx−lx2

∫ Ly+ly2

Ly−ly2

cos(

mπx

Lx

)cos

(nπy

Ly

)dxdy. (3.48)

Apres simplification, l’expression des amplitudes en fonction de la vitesse moyenne au niveaude l’ouverture est donnee par :

Bmn = −ρ0ω16v

εkmn

(−1)m+n

2

mnπ2sin

(mπlx2Lx

)sin

(nπly2Ly

), (3.49)

pour m et n pairs.La valeur de la pression moyenne a la surface du trou s’ecrit :

pmoy =1

lxly

∫ Lx+lx2

Lx−lx2

∫ Ly+ly2

Ly−ly2

padxdy, (3.50)

soit encore :

pmoy =∑mn

Bmn1

lxly

∫ Lx+lx2

Lx−lx2

∫ Ly+ly2

Ly−ly2

cos(

mπx

Lx

)cos

(nπy

Ly

)dxdy, (3.51)

ce qui donne apres simplifications :

pmoy =∑mn

Bmn(−1)

m+n2

mnπ2

sin(

mπlx2Lx

)

mπlx2Lx

sin(

nπly2Ly

)

nπly2Ly

. (3.52)

L’impedance moyenne evaluee a donc pour expression :

zmoy =pmoy

v= −ρ0ω

∑mn

pairs

1kmn

lxlyLxLy

sin

(mπlx2Lx

)

mπlx2Lx

sin(

nπly2Ly

)

nπly2Ly

2

. (3.53)

Dans l’expression de zmoy on separe le facteur (m, n) = (0, 0) et on utilise l’expression ω =k c0 :

zmoy

ρ0c0=

lxlyLxLy

+ k∑mn

pairs> (0, 0)

1kmn

lxlyLxLy

sin

(mπlx2Lx

)

mπlx2Lx

sin(

nπly2Ly

)

nπly2Ly

2

︸ ︷︷ ︸δz

, (3.54)

soit encore en utilisant la relation kmn ≈ −i√

m2π2

L2x

+ n2π2

L2y

pour m,n 6= 0, on trouve :

zmoy

ρ0c0=

lxlyLxLy

+ ik∑mn

pairs> (0, 0)

lxlyLxLy

1√m2π2

L2x

+ n2π2

L2y

sin

(mπlx2Lx

)

mπlx2Lx

sin(

nπly2Ly

)

nπly2Ly

2

︸ ︷︷ ︸δz

. (3.55)

95

Page 96: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

La contribution des modes evanescents se porte sur le deuxieme terme δz. Trouver le nombre demodes pour faire converger la solution revient a determiner m et n tels que δz (m,n) ' lim

mn→∞ δz.

Le terme lxlyLxLy

represente le taux de perforation du materiau ou mesoporosite. On le noteegalement φp [60].

Remarque 5 :

L’expression a ete determinee dans le cas d’une paroi rigide impermeable. Or dans le casd’un materiau poreux cette hypothese n’est pas rigoureusement exacte vu que la vitesse nes’annule pas sur le materiau poreux. Cette hypothese a egalement ete faite par Olny [60].Dans une approche similaire des materiaux a double porosite, il indique que la longueurde correction qu’il note δ et que la longueur caracteristique δ′, doivent etre revues a labaisse car les lignes de champ doivent etre moins perturbees dans le cas d’un materiauporeux comparativement aux lignes de champ dans le cas d’un materiau rigide. La prise encompte des conditions exactes modifierait l’expression de δz. Les implications de la priseen compte des expressions exactes de la vitesse sur la convergence de la serie ne sontpas connues. En revanche, cela ne semble en rien contre-indiquer l’utilisation du critereprecedent pour une estimation du nombre de modes. Nous verrons que cette hypothesereste acceptable et que le nombre de modes determine par cette serie surestime legerementle nombre de modes reellement necessaires pour le calcul.

3-7.3 Application

Nous considerons le cas d’un materiau poreux MatD dont les proprietes sont donneesdans l’annexe A, de section carree, perfore en son centre et place dans un guide d’onde. Les

Cas Lx lx φp 99%δz(100, 100) 95%δz(100, 100) 90%δz(100, 100)m m

cas1 0.1 0.01 0.01 18 8 6cas2 0.1 0.033 0.11 8 2 2cas3 0.1 0.0455 0.2070 6 4 2

Tab. 3.1 – Nombres de modes determines a partir de l’expression de δz (3.55).

caracteristiques des cas de simulation, Lx, lx et φp sont donnees dans le tableau 3.1. Lesnombres de modes theoriques sont determines comme suit. Tout d’abord la valeur de la serieδz (3.55) est calculee pour m et n = 100. Cette valeur est supposee tres proche de limmn→∞ δz.On determine ensuite le nombre de modes necessaires pour obtenir 99%δz(100, 100). Cetteconvergence est definie comme le nombre de modes m, n a partir duquel l’erreur relativeentre δz(100, 100) et δz(m,n) est inferieure a 1%. Le nombre de modes necessaire pour obtenir95%δz(100, 100) et 90%δz(100, 100) a egalement ete calcule. Le nombre de modes correspon-dant est fourni dans le tableau 3.1.

Des simulations ont ensuite ete effectuees avec ces nombres de modes integres analytique-ment et les resultats sont compares sur les figures 3.11, 3.12, 3.13. Le maillage utilise a eteajuste de maniere a ce que les resultats soient converges pour des frequences superieures auxfrequences des pics d’absorption. Il a ete determine independamment du nombre de modes aprendre en compte dans le calcul puisque l’integration des modes est faite de maniere analy-

96

Page 97: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

3-7. Determination du nombre de modes a prendre en compte dans le cas de materiaux perfores :

perforations carrees

tique.

Compte tenu des dimensions relativement faibles de la perforation par rapport aux dimen-sions du guide d’onde, le cas 1 est le cas le plus proche des hypotheses theoriques geometriques(lx ¿ Lx). Les cas 2 et 3 possedant des dimensions de perforation plus importantes ne res-pectent plus cette hypothese, le cas 3 etant le cas le plus eloigne et le cas 2 se situant en termed’ordre de grandeur apres le cas 1.

On remarque que le nombre de modes a prendre dans la simulation joue un role importantsur l’allure du pic. Un nombre de modes trop faible tend a diminuer l’amplitude (cas1, cas2et cas3) et a decaler la position soit vers les hautes frequences pour les cas 1 et 2 (figs. 3.11,3.12) soit vers les basses frequences pour le cas 3 (fig. 3.13).

Le nombre de modes determine pour une convergence a 99% de la serie δz permet d’obtenirdes resultats de simulations tres precis au niveau du pic. On note egalement que plus laperforation est petite et plus le nombre de modes a prendre en compte est grand (18 pourcas1, 8 pour cas2 et 6 pour cas3).

Cette methode permet donc de determiner le nombre de modes a prendre a priori pourobtenir un resultat de simulation correct meme pour des tailles de perforation relativement im-portantes (11% et 20%). Afin que les materiaux presentes soient realisables, les mesoporositesφp presentees dans ce memoire ne seront que rarement superieures a 20%.

50 100 150 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frequence (Hz)

Coe

ffici

ent d

’abs

orpt

ion

Fig. 3.11 – Coefficient d’absorption en fonction de la frequence pour le cas 1 : −−−ª , 40modes ; −−−+ , 18 modes ; −−−5 , 8 modes ; −−−, 6 modes.

97

Page 98: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 3. Couplage avec un guide d’onde

200 250 300 350 400 450 500 550 6000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frequence (Hz)

Coe

ffici

ent d

’abs

orpt

ion

Fig. 3.12 – Coefficient d’absorption en fonction de la frequence pour le cas 2 : −−−ª , 40modes ; −−−+ , 8 modes ; −−−5 , 2 modes.

200 250 300 350 400 450 500 550 6000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frequence (Hz)

Coe

ffici

ent d

’abs

orpt

ion

Fig. 3.13 – Coefficient d’absorption en fonction de la frequence pour le cas 3 : −−−ª , 40modes ; −−−+ , 6 modes ; −−−, 2 modes.

98

Page 99: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4

Adaptation de maillage

Nous proposons ici une methode qui permet de resoudre une partie des problemes demodelisation (maillages, nombres d’elements et taille des systemes, convergence, temps decalcul, precision) dans le cas de la formulation fluide equivalent. Nous presentons dans cettepartie, un outil automatique d’adaptation de maillage qui facilite l’analyse par elements finisde l’absorption de certains materiaux poreux heterogenes.

4-1 Generation du maillage

Un algorithme de maillage simple et efficace a ete implante. Cet algorithme s’apparenteaux methodes directes. On peut qualifier la technique employee d’hybride dans le sens ou ellefait appel a la fois a des aspects de la technique de grille, et d’avancee de front du plasteringdans un cas tres simple de geometrie de domaine parallelepipedique (maillage brique ou boıtea chaussure). Une grille bi-dimensionnelle est generee sur une face du domaine. Il s’agit d’unecombinaison des positions des nœuds suivant les deux directions orthogonales definissant leplan de cette face. Ensuite, un front est cree par projection de cette grille et avance en suivantles positions successives des nœuds suivant la troisieme direction. Le volume parallelepipediqueest maille par tranches. Ainsi, il est possible d’obtenir un maillage hexaedrique compatibleavec des elements de taille variable. Les tranches evitent d’avoir des nœuds pendants commedans le figure 4.1. Ce type de generation de maillage, relativement classique, se retrouve dansMODULEF 1 par exemple. Quant aux heterogeneites, elles sont definies par volumes. Ellessont prises en compte dans la definition des positions des nœuds de la grille de depart. Unfichier contient la definition des domaines et les proprietes particulieres de ces heterogeneites.Une simple identification des elements contenus dans ces volumes suffit a affecter les bonnesproprietes aux elements (formulations et proprietes physiques des materiaux).

Un exemple de maillage genere par notre methode est donne dans la figure 4.2.

Le raffinement est possible avec ce type d’algorithme. Il suffit de modifier les positionsdes nœuds et leur nombre dans la liste fournie en entree au mailleur. Des nœuds sont ajoutesdans les zones necessitant plus de finesse. Les tranches sont d’autant plus fines que les zones

1http ://www-rocq.inria.fr/modulef/

99

Page 100: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

Maillage compatible Maillage incompatible

Noeud

Pendant

Fig. 4.1 – Maillages compatible et incompatible.

Fig. 4.2 – Generation d’un maillage. 1 et 2 : generation des hexaedres par avancee de frontsuivant la direction Z. 3 : Affectation des proprietes des elements, chaque type de materiauest represente par une couleur.

necessitent de la precision.

Cet algorithme de maillage a ete implante dans le mailleur de notre code E.F. Il estegalement couple au solver afin que la solution obtenue puisse piloter les modifications. Unschema explique l’integration de ce nouveau module dans l’annexe C.

L’idee d’adaptation de maillage est associee a la notion de critere d’adaptation. Dans notrecas, ce critere est base sur la qualite de la solution au sens d’une interpolation lineaire. Il estdonc necessaire d’estimer cette erreur. Le critere d’adaptation sert a piloter les modifications(globales ou locales) du maillage. Il s’agit d’une valeur seuil que nous allons relier a la variationdu gradient acceptable sur un element. Nous proposons une methode pour la determinernumeriquement dans une autre partie.

100

Page 101: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-2. Implantation numerique de l’estimateur

L’estimation d’erreur est faite a posteriori, en se basant sur la solution obtenue pour unmaillage et une frequence donnes. Cet estimateur est calcule a chaque etape de transformationdu maillage. Ce n’est que lorsque le critere est satisfait pour tous les elements du maillagetransforme que le programme calcule l’indicateur a la frequence suivante.

L’implantation de l’algorithme automatique de maillage se fait donc a l’interieur d’unprocessus iteratif. Ce processus a globalement pour fonctions :

1. de calculer la solution sur le maillage fourni en entree,

2. d’evaluer l’erreur d’un point de vue local (cette evaluation se fait par rapporta la solution obtenue, a la premiere iteration, sur le maillage initial, puis a chaque autre,sur le maillage obtenu precedemment) et,

3. si l’erreur ne satisfait pas le critere, d’adapter le maillage et de retourner au point 1.

Ce qui est nouveau dans cette approche, par rapport a la methode classique qui fixe lataille de tous les elements pour toutes les frequences, c’est que l’on envisage l’aspect local(mais toujours d’un point de vue macroscopique) de l’evolution des phenomenes, ou, plusexactement, de l’evolution locale des variables qui leur sont associees et ce, a chaque frequence.Grace a ce type d’approche, le maillage n’est plus impose dans sa totalite par l’element leplus exigeant, chose fondamentale dans l’etude numerique des materiaux heterogenes. Cettereduction de taille des supports de calcul permet egalement d’envisager la modelisation deproblemes plus importants et plus complexes sur des machines aux performances modestes quine disposaient jusque la pas des ressources suffisantes pour une resolution par une methodeclassique.

Lors de la procedure de validation nous verrons les repercussions de ce genre d’approchesur le controle et la qualite de la solution globale classique (indicateurs acoustiques usuels).De la meme facon, la validation experimentale et la confrontation avec des resultats reels nouspermettront de conclure quant a la pertinence et a l’efficacite de ce type d’approche dans lamodelisation numerique de problemes acoustiques utilisant des materiaux poreux heterogenes.

4-2 Implantation numerique de l’estimateur

L’erreur d’interpolation commise avec une solution elements finis depend des fonctionsd’interpolation utilisees et de la taille des elements du maillage. Plus ce dernier est fin et plusl’erreur commise est faible. L’erreur sur la solution calculee est majoree a une constante prespar l’erreur d’interpolation [65]. Ainsi le controle de l’erreur d’interpolation permet le controlede l’erreur sur la solution [65].

D’autre part, l’erreur d’interpolation est proportionnelle a la taille des mailles h et a laderivee seconde de la fonction solution[64]. Ainsi cette erreur ξ peut etre evaluee par unestimateur du type :

ξ = ch2|D2(πhu)|, (4.1)

ou c est une constante, πhu l’interpolee de la fonction solution u et D2 un operateur approchantla derivee seconde.

L’estimateur que nous avons choisi d’implanter est tire des travaux de Pichelin [65] etestime l’erreur par derivation du gradient. Cet estimateur est valable pour n’importe quel

101

Page 102: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

champ scalaire d’un probleme physique. Il fait simplement intervenir le calcul du gradient dece champ.

Le gradient de la solution est calcule aux differents points de Gauss pour chaque elementpar derivation directe des fonctions de formes lineaires. Le gradient de la solution est ensuiteextrapole aux nœuds du maillage en resolvant un systeme d’equations lineaires ayant pourinconnues les valeurs aux nœuds.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

h h

a0

a1

a2

Fig. 4.3 – Variation du gradient et concavite sur des elements pour des fonctions exponen-tielles decroissantes.

La derivee seconde est ensuite calculee par une methode de type differences finies, enconsiderant la derivee directionnelle du gradient projetee dans la direction unitaire xa del’arete a de l’element. Si on note a0 et a1 les extremites de l’arete a et h la longueur de l’arete,l’expression de l’estimateur sur a est donnee par :

ξ(a) = h|xa∇uh(a1)− xa∇uh(a0)| (4.2)

Cet estimateur est ensuite evalue sur toutes les aretes de tous les elements du maillage.

La figure 4.3 illustre de maniere concrete les grandeurs de cet indicateur. On retrouveen traits pleins les courbes des fonctions envisagees. Il s’agit de fonction exponentielles. Lespointilles representent les interpolations lineaires sur les elements de taille h. Les aretes deselements sont notees a0, a1, a2. Les tangentes des fonctions aux points delimitant les aretessont donnees par les double fleches noires.

Comme on peut le voir sur les courbes de la figure, plus la variation du gradient (pente

102

Page 103: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-2. Implantation numerique de l’estimateur

des tangentes representees par des fleches) est grande et plus l’interpolation lineaire donneune mauvaise approximation de la variation reelle du phenomene. La derivee seconde donneune idee de la concavite de la courbe, l’estimateur nous donne une information sur l’erreurcommise.

Validation du calcul numerique du gradient de la solution

L’impedance de surface du materiau peut etre evaluee numeriquement a partir du calculnumerique du gradient de la pression. Nous allons donner l’expression de l’impedance desurface Zs dans le cas d’une formulation en fluide equivalent. Partant de l’ecriture generalede l’equation d’Euler dans un milieu fluide, on peut ecrire :

ρ∂v

∂t= −∇p, (4.3)

ou ρ est la densite du milieu.

Dans le cas d’excitations harmoniques de la forme v(z, t) = v(z) exp(jωt), cela donne :

jρωv(z) = −∂p

∂z. (4.4)

Dans le cas du fluide equivalent, l’expression de la densite equivalente du milieu est donneepar :

ρ = ρeq = α(ω)ρ0, (4.5)

avec ρ0 la densite de l’air (1.206 kg/m3) et

α(ω) = α∞ +b(ω)

jωφρ0, (4.6)

la tortuosite dynamique tenant compte des effets de viscosite par l’intermediaire de la fonctionde dissipation b. D’ou l’expression de la vitesse :

v(z) = j1(

α∞ + b(ω)jωφρ0

∂p (z)∂z

. (4.7)

L’expression de l’impedance de surface Zs en z s’ecrit :

Zs(z) =p(z)v(z)

=p(z)

1

(α∞+b(ω)

jωφρ0)ω

∂p(z)∂z

(4.8)

Cette expression est evaluee numeriquement en chaque nœud de la surface d’excitation dumateriau poreux. On obtient ainsi une valeur de l’impedance de surface nodale. Ces valeurssont moyennees afin d’evaluer l’impedance de surface. Pour valider le calcul du gradient parextrapolation nous avons utilise une autre methode numerique de calcul de l’impedance desurface. Cette methode a ete validee avec le code MNS/NOVA Mecanum ou Zs est evalueepar la methode numerique dite des reactions nodales.

103

Page 104: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

Dans le cas de la formulation fluide equivalent, nous donnons le calcul du gradient de lapression dans une direction par la methode des reactions nodales. En effet, si l’on ecrit laformulation integrale faible pour un fluide equivalent on obtient :

Ωp

ρeqω2∇p.∇δp− φ

Ke

pδp

]dΩ−

Γp

φ

ρeqω2

∂p

∂nδp dS = 0. (4.9)

Apres la discretisation des integrales suivant la methode des elements finis on obtient :

1ω2

[H

]p −

[Q

]p

︸ ︷︷ ︸R

=[C

] ∂p

∂n

, (4.10)

ou R est le vecteur reaction nodale et[C

]la matrice de couplage assemblee de la face

consideree. Le vecteur gradient nodal elementaire

∂p

∂n

e

se deduit avec :

∂p

∂n

e

=[C

]e−1

Re. (4.11)

Nous avons egalement calcule la valeur de l’impedance de surface par le modele de Miki[56, 55]. Ce calcul theorique base sur le modele de Miki est introduit ici a titre de comparaisonuniquement.

Les resultats numeriques (purement EF) sont presentes sur les figures 4.4 pour un maillagede 15 elements suivant la longueur pour un barreau de 10 cm de Materiau MatF et 4.5 pour unmaillage de 30 elements. Les resultats theoriques obtenus pour l’impedance avec les modelesde Champoux, Allard, Johnson (CAJ) et Miki sont egalement reportes sur ces figures.

Tout d’abord sur la figure 4.4, les solutions obtenues presentent des differences. Les ecartsentre la courbe theorique CAJ et celle obtenue avec les reactions nodales se reduisent avec lafrequence. La courbe obtenue par l’utilisation du modele de Miki tend a minorer les valeurstheoriques CAJ (avec des ecarts quasi constants pour la partie reelle de l’impedance) alors quela courbe obtenue avec l’extrapolation du gradient tend a la majorer. Les ecarts du minorantet du majorant sont presques identiques ce qui prouve que le calcul par la methode du gradientest une bonne approximation au premier ordre. Lorsque l’on reduit les tailles de maille (figure4.5), on remarque que les ecarts entre la courbe theorique et la courbe obtenus avec le gradientse reduisent considerablement. Dans ce cas, les resultats obtenus avec la methode du gradientsont aussi precis que ceux obtenus avec les reactions nodales.

Le gain de precision dans le cas du calcul par la methode du gradient peut s’expliquer par leprocessus d’extrapolation. En effet, le gradient est d’abord calcule aux points de Gauss et estensuite extrapole aux nœuds contrairement a la methode des reactions nodales qui fournit lesvaleurs de la vitesse normale directement aux nœuds du maillage. Plus les elements sont petitset plus la valeur extrapolee va tendre vers la valeur nodale reelle, ce qui tend naturellementa reduire l’erreur sur la valeur du gradient et par la-meme les ecarts entre la courbe obtenuepar la methode du gradient et la courbe theorique. On note que l’estimation de l’impedancede surface par cette methode est aussi valable que l’estimation utilisant le modele de Miki.

La methode des reactions nodales fournit de tres bons resultats mais elle reste un peu pluslourde a mettre en œuvre numeriquement et sa portee est moins generale puisqu’elle depend

104

Page 105: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-2. Implantation numerique de l’estimateur

200 400 600 800 1000 1200 1400−15

−10

−5

0

5

10

15

Fréquence (Hz)

Impé

danc

e de

Sur

face

nor

mal

isée

(un

ité d

e ρ 0 c

0)

Fig. 4.4 – Comparaison de l’impedance de surface evaluee sur le maillage M1 : −−−, modelede Miki ; −−−ª , reactions nodales ; –, calcul theorique ; −−−+ , calcul du gradient.

200 400 600 800 1000 1200 1400−15

−10

−5

0

5

10

15

Fréquence (Hz)

Impé

danc

e de

Sur

face

nor

mal

isée

(un

ité d

e ρ 0 c

0)

Fig. 4.5 – Comparaison de l’impedance de surface evaluee sur le maillage M2 : −−−, modelede Miki ; −−−ª , reactions nodales ; –, calcul theorique ; −−−+ , calcul du gradient.

105

Page 106: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

de la formulation. En effet, comme nous le voyons, elle ne donne la valeur du gradient depression que pour un type de face a la fois et pour un type de formulation. Dans cet exempleil est necessaire d’implanter le calcul du gradient pour les huit faces de nos elements si on veutetre en mesure de calculer le gradient suivant les 3 directions. D’autre part, la procedure decalcul des reactions depend du type de formulation utilisee. Il est donc necessaire d’implantercelle-ci pour chaque type de formulation (fluide equivalent, poroelastique). Compte tenu denos objectifs, le calcul du gradient par la methode d’extrapolation a ete juge adequat. En effet,il donne une bonne estimation des variations locales de la pression ce qui est suffisant pourdonner une estimation de l’erreur. D’autre part, la procedure que nous avons implantee nedepend pas de la formulation choisie et est tres rapide ce qui constitue de serieux avantages.

Remarque 6 :

Dans un premier temps, nous avons decide de ne pas implanter la methode des reactionsnodales car l’estimation d’erreur ne requerrait pas une tres grande precision dans le cal-cul du gradient. Nous attendions de conclure quant a la pertinence de la methode avantd’aller plus avant dans le calcul precis de l’indicateur. Il peut etre judicieux d’implanter etd’utiliser la methode des reactions nodales pour le calcul du gradient sachant que tous lesoutils ont ete implantes pour realiser son calcul (tous les outils de detection et selectiondes faces pour les elements ont ete mis au point et valides lors de la procedure d’insertiondes matrices de couplage [17]).

4-3 Application de l’estimation d’erreur dans le cas de mate-riaux poreux modelises par une formulation de type fluideequivalent et excites acoustiquement.

Coefficient d’absorption : valeur limite de l’estimateur, determination pra-tique du critere d’adaptation

Une fois l’estimateur choisi et implante numeriquement, il est necessaire de definir unevaleur limite a partir de laquelle le maillage doit etre transforme. Cette valeur definit le critered’adaptation. Nous presentons ici la methode choisie pour determiner la valeur limite d’uncritere d’adaptation de maillage pour l’absorption. Cette valeur va permettre d’automatiserla procedure de raffinement de maillage et de calculer la solution avec une precision souhaitee.Nous nous interessons particulierement a l’absorption car c’est l’indicateur acoustique le plusimportant dans le contexte de notre problematique. Cet indicateur est calcule par bilan depuissance tel qu’indique au paragraphe 2-3.4 (page 58).

Nous considerons un probleme monodimensionnel ou une colonne poreuse homogene estexcitee par une onde acoustique plane. Nous nous placons dans les hypotheses du fluideequivalent (squelette rigide). Dans le cas d’une excitation harmonique, le module de la pressiondecroıt a l’interieur du barreau poreux de facon exponentielle a l’image de ce que nous avonsobserve sur la figure 4.3. Nous reviendrons sur ce point dans la section 5-3.

Afin de limiter autant que possible l’erreur d’interpolation sur la variation de la pressiondans le barreau nous allons fixer la valeur maximale que nous tolerons pour l’estimateur. Cecirevient a fixer une valeur limite acceptable pour considerer que la variation de la pression

106

Page 107: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-3. Application de l’estimation d’erreur dans le cas de materiaux poreux modelises par une

formulation de type fluide equivalent et excites acoustiquement.

peut etre approchee par une droite sur un element.

Nous travaillons a frequence fixee (500 Hz) sur un materiau reel et nous choisissons lafrequence de maniere a avoir la dynamique la plus grande possible pour la variation de pressiondans le barreau. Nous ajustons la frequence de sorte a n’avoir ni un module de la pressiontrop uniforme dans le barreau (cas des basses frequences) ni de variation trop rapide (cas deshautes frequences).

Dans le meme temps nous definissons un ensemble de maillages afin de comparer notreestimation aux criteres de maillage usuels. Une evaluation de l’erreur relative sur l’amplitudedu coefficient d’absorption est egalement donnee.

Nous definissons un maillage uniforme volontairement surdimensionne afin d’etre certainque la solution qu’il fournit est bien convergee. Le spectre d’absorption obtenu avec ce maillageconstitue la solution de reference. Des maillages plus grossiers dont les tailles de mailles sontegales a λ/6, λ/12, λ/18 et λ/24 sont crees, λ etant la longueur caracteristique de l’onde P2a la frequence choisie (500 Hz).

Les solutions obtenues sur ces differents maillages sont comparees a la solution de referenceet l’erreur relative commise est evaluee. Les trois valeurs de l’estimations d’erreur ξ obtenuesavec notre critere sont egalement donnees. Nous avons reporte l’erreur maximale estimee,l’erreur minimale, ainsi que l’erreur moyenne (moyenne obtenue sur l’ensemble des elements).Les resultats a 500 Hz sont donnes dans le tableau 4.1. Nous rappelons que les maillagesutilises ici sont tous uniformes ce qui signifie que les longueurs de tous les elements dansune direction donnee sont identiques pour un meme maillage. On note que l’erreur relative

Rapport : Amplitude a 500 Hz Erreur en % ξ min ξ max ξ moyenRef. 0.440 - 1.03e-7 8.98e-7 3.82e-7λ/6 0.420 4.59 1.87e-2 1.87e-2 1.87e-2λ/12 0.435 1.29 1.7e-3 6.1e-3 3.94e-3λ/18 0.438 0.58 4.92e-4 2.41e-3 1.37e-3λ/24 0.439 0.33 2.05e-4 1.12e-3 6.2e-4

Tab. 4.1 – Erreur relative et valeurs de ξ pour differentes valeurs du critere de maillage.

decroıt bien avec le raffinement uniforme de maillage. Dans ce cas le maillage a 6 elements parlongueur d’onde nous fournit l’amplitude du coefficient d’absorption avec une erreur relativeegale a 4.59%.

L’erreur d’interpolation estimee decroıt aussi avec la taille des elements. Notons egalementque l’estimation de l’erreur varie en fonction de la position des elements. Nous avons reportedans le tableau 4.1 la valeur maximale et la valeur minimale ainsi que la valeur moyenneobtenues pour chaque maillage. L’estimation d’erreur est maximale pour les elements prochesde la face d’excitation et elle est minimale pour ceux se trouvant a l’extremite du barreau. Ilest donc important de reduire la taille des elements pour bien modeliser le phenomene. Dansce cas cela revient a interpoler sur des elements plus petits. Les erreurs locales d’interpolationsont responsables de l’erreur relative mesuree sur le coefficient d’absorption, les plus fortescontributions a l’erreur etant dues aux premiers elements. Nous allons nous servir des valeursobtenues pour jauger notre estimateur et definir un critere.

107

Page 108: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

Nous fixons trois valeurs limites de ξ a partir des valeurs moyennes mesurees pour controlerl’erreur sur le coefficient d’absorption. Il est bien entendu que ces valeurs traduisent l’erreurd’interpolation commise sur un element. Elles sont donc independantes de la frequence et dumateriau considere.

Pour etre sur d’avoir une estimation de l’amplitude du coefficient d’absorption a moinsde 5% d’erreur relative, la valeur du critere notee ξ<5% doit etre inferieure a 1, 87.10−2. Nousavons fixe la valeur ξ<5% a 2.10−3 et la valeur ξ<1% a 4.10−4.

Ces valeurs limites de l’indicateur sont volontairement choisies un ordre de grandeurinferieur aux valeurs moyennes ce qui permet de garder une certaine marge de securite.

Une derniere valeur de critere pour une erreur relative voisine de 5%, notee ξ 5%, a etefixee a 1.10−2. Pour cette derniere valeur le coefficient de securite a donc ete reduit.

Quelle que soit la variation consideree, l’erreur estimee ne pourra pas exceder l’une desvaleurs choisie, cela constituera notre critere. La valeur choisie au depart pour ξ permet decapturer le phenomene physique et ses variations avec une precision fixee et constante parelement. En generalisant aux trois directions de l’espace, nos criteres reviennent a considererla variation spatiale du phenomene. Les trois valeurs seront utilisees et comparees dans lessections qui vont suivre. Elles nous permettront de determiner le critere le plus pertinent.

4-4 Procedure de raffinement de maillage

Une fois la valeur du critere choisie, il est necessaire d’etablir une strategie de raffinement.

Tous les elements du maillage sont balayes et l’estimateur est calcule sur chaque arete.On distingue alors deux cas :

• la valeur calculee de ξ est inferieure a l’une des valeurs limite etablies precedemment,dans ce cas le maillage n’est pas modifie.

• le critere n’est pas atteint, i.e la valeur limite de l’estimateur ξ est excedee, le maillagedoit alors etre raffine.

Le raffinement est effectue en coupant l’element incrimine. Ce decoupage est effectue par lemilieu et perpendiculairement a l’arete sur laquelle l’estimateur est superieur a la valeur fixeepour le critere d’erreur. Un exemple est presente sur la figure 4.6. Considerons un maillagebidimensionnel presentant 4 elements a 4 nœuds (fig. 4.6 a). Le critere est depasse sur l’aretepresentee en rouge (gris) sur la figure 4.6 b. En c l’element est coupe suivant la ligne pointilleeet il est necessaire de rajouter deux nœuds, representes egalement en rouge (gris) pour creerun nouvel element plus petit. Le maillage obtenu (fig. 4.6 d) presente 5 elements, mais il n’estpas conforme car il presente un nœud pendant. En e le decoupage est etendu aux elementsvoisins afin d’obtenir un maillage compatible (fig. 4.6 f).

108

Page 109: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-4. Procedure de raffinement de maillage

a b

c d

e f

Fig. 4.6 – Strategie de raffinement par couche du maillage

109

Page 110: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

4-4.1 Tests

Test sur une seule frequence : Materiau MAT1 a 500 Hz

On teste le programme avec le meme probleme monodimensionnel que precedemment. Lemaillage initial comporte deux elements. Le critere est fixe a la valeur ξ<1%. La frequence decalcul est fixee a 500 Hz. Deux maillages adaptes B5, B8 comportant respectivement 4 et 7elements ont ete realises automatiquement par le mailleur, suivant les instructions relativesau critere lorsque celui-ci n’etait pas satisfait. Le maillage B8 est optimal au sens de notrecritere, il est le resultat final du processus d’iteration : tous ces elements remplissent le critere.L’erreur relative commise sur l’amplitude du coefficient d’absorption a 500 Hz est donnee dansle tableau 4-4.1.

Support : Amplitude a 500 Hz ErreurRef. 0.4403 -B3 0.4201 4.59B5 0.4346 1.29B8 0.4391 0.26

Les maillages B3 et B5 sont identiques aux maillages des rapports λ/6 etλ/12.

B8 ne differe du maillage en λ/24 que d’un element. On note, dans le cas du maillageadapte, un tres leger accroissement de la precision et un gain d’un element au niveau del’extremite de la colonne (zone qui n’est pas excitee). Physiquement on peut comprendrequ’il faille moins d’elements dans cette region ou la pression ne varie quasiment plus, et ou lespuissances dissipees vont etre quasiment nulles. Dans ce cas l’adaptation suit le sens physique.

En revanche il peut sembler contradictoire du point de vue E.F que l’erreur mesuree soitplus faible dans ce cas.

En fait cela peut s’expliquer par le calcul de la solution pour chacun des deux problemes.En effet, la solution obtenue depend du support sur lequel est effectue le calcul : le maillage.Les valeurs nodales de la pression obtenues pour les deux solutions ne sont pas identiques,car les positions des nœuds ne sont pas rigoureusement identiques. D’autre part les matricesdes problemes discretises sont differentes. En effet, la contribution de l’element de differenceaffecte les valeurs de la solution fournie par le solver. Dans ce cas, le fait de rajouter un elementdans cette zone penalise la precision et la convergence de la solution. La solution obtenue estmeilleure dans le cas adapte puisque l’erreur relative est moins importante. Cela montre quelorsque le maillage est adapte la convergence de l’indicateur coefficient d’absorption (en termede degres de liberte2) peut etre plus rapide.

Test multifrequentiel sur un autre materiau poreux heterogene

Nous considerons la configuration heterogene d’un materiau poreux presentant une fente.Un apercu de la geometrie est donne sur la figure 4.8, ou le materiau poreux apparaıt en vert

2la taille de maille n’a plus de sens ici puisqu’elle depend des zones et des variations des champs lies auprobleme.

110

Page 111: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-4. Procedure de raffinement de maillage

B3

B5

Lambda/6

Lambda/18

Lambda/24

B8

Lambda/12

Maillages uniformes Maillages adaptés

h

h

sen

s d

es h

cro

issa

nts

1ère itération

2ième itération

ExcitationExcitation

Fig. 4.7 – Maillages uniformes classiques et maillages adaptes

111

Page 112: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

et la fuite, plus mince, apparaıt en rose/magenta. Cette configuration (config. 1-8) est etudieeen detail au chapitre 5. Le materiau utilise est le materiau Mat17. Le spectre d’absorptionest calcule entre 10 Hz et 2000 Hz par pas de 10 Hz.

Ce cas a ete simule respectivement avec un maillage grossier uniforme comportant 10×4×9elements, note a) sur la figure 4.8. Compte tenu de la longueur de l’onde P2 ce maillagea une frequence de decrochage qui se situe a 1000 Hz environ si l’on se refere au criteremonodimensionnel de six elements par longueur d’onde. Un maillage b) (Fig.4.8), plus fincomportant 20×8×18 elements et valable jusqu’a environ 2000 Hz a egalement ete construitsuivant ce meme critere.

La simulation a ensuite ete effectuee en utilisant notre procedure de maillage adaptatifautomatique et en imposant un critere d’erreur de 1%. Le maillage a’) qui est fourni en entreeau programme est tres grossier et est presente sur la figure 4.8. Le maillage obtenu a la fin dela procedure d’adaptation est egalement donne (Fig.4.8 b’)). Comme nous le verrons un peuplus loin, ce dernier maillage est le resultat de tous les remaillages successifs.

Les resultats obtenus pour les spectres des coefficients d’absorption sont presentes sur lafigure 4.9. Les temps de resolution approximatifs sont donnes en unites arbitraires. Afin demieux percevoir les differences entre les spectres obtenus, 2 zones, visibles en pointilles, etsituees autour de 400 Hz et 1900 Hz ont ete agrandies.

Aux frequences inferieures a 1000 Hz les resultats obtenus par les trois maillages concordentparfaitement. Des differences apparaissent entre la solution obtenue sur un maillage homogenegrossier et celle obtenue par le processus adaptatif aux frequences superieures a 1000 Hz(frequence de decrochage du maillage grossier). Ces differences sont en fait dues a un defautde convergence du maillage grossier en haute frequence. Le maillage plus fin presente moinsde defauts. Compte tenu des positions relatives des courbes, la convergence est meilleure enhaute frequence pour la solution adaptee automatiquement.

D’autre part, le temps de calcul necessaire pour obtenir la solution pour l’ensemble duspectre avec l’algorithme iteratif constitue une veritable performance compte tenu de laprecision obtenue sur la solution. 23 unites de temps seulement ont ete necessaires pourle processus adaptatif contre 594 pour le maillage le plus fin et 15 pour le maillage grossier(utilises avec la methode classique).

On comprend d’autant mieux la performance que l’on compare les maillages utilises parles programmes. Le calcul de la solution sur le maillage homogene necessite la resolution d’unprobleme a priori dimensionne pour les plus hautes frequences. La resolution du probleme enbasse frequence est donc penalisee par un excedent de degres de liberte.

Dans le cas adaptatif, le nombre total d’inconnues calculees est plus faible puisque lenombre de degre de liberte n’augmente que lorsque cela est necessaire. Dans ce cas particulierde maillage d’entree, l’algorithme a procede en tout et pour tout a 18 remaillages pour aboutirau maillage b’). Les temps necessaires aux remaillages sont tres faibles puisque le nombred’unites de calcul n’excede que de 8 unites le temps de calcul sur le maillage grossier.

Concernant un aspect plus physique, l’algorithme utilise montre bien l’aspect bidimen-sionnel du probleme modelise. Il n’est pas necessaire de raffiner le maillage suivant toutes lesdirections comme nous l’avons fait dans le cas du maillage plus fin mais seulement dans deux

112

Page 113: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-4. Procedure de raffinement de maillage

Fig. 4.8 – Maillages utilises pour les simulations. La fleche permet de reperer la face excitee.

113

Page 114: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fréquence (Hz)

α

Fig. 4.9 – Coefficient d’absorption en fonction de la frequence : − − , methode classique etmaillage a) ; —, methode classique et maillages b) ou c) ; − −+ , adaptation de maillage.

114

Page 115: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-4. Procedure de raffinement de maillage

directions. Afin de verifier la performance de l’algorithme d’adaptation automatique, nousavons refait le calcul suivant la methode classique avec le maillage c) (Fig.4.8) ne prenantque deux elements suivant la direction transversale Y . Dans ce cas, 30 unites de tempsde calcul sont necessaires pour resoudre le probleme sur l’ensemble du spectre. Les gainsavec le processus adaptatif ne sont que de 7 unites, ce qui peut paraıtre minime. Le faitest que la procedure adaptative n’a necessite aucune intervention de l’utilisateur et que lesresultats obtenus en haute frequence restent tout de meme plus precis. Un autre avantage dela procedure d’adaptation vient de ses donnees d’entree. A un type de probleme ne correspondplus qu’un seul maillage, quelle que soit la frequence de calcul maximale a atteindre. On noteque le maillage a’) est tres simple et qu’il ne tient compte que des exigences geometriquesminimales du probleme.

Il est important de noter que le processus de remaillage n’a pas ete reellement optimise.En effet, la procedure implantee ne fait qu’ajouter des nœuds au maillage. En quelque sorte,le maillage final est la somme des maillages successifs.

Il est plus aise de visualiser cela en comparant les maillages b’) et c’) de la figure 4.8. Lemaillage b’) est le maillage resultant du processus iteratif evoque precedemment. Le maillagec’) est obtenu a partir du maillage a’) en ne tenant compte que du probleme a 2000 Hz. Lesmaillages etant manifestement differents, on note donc une certaine heredite dans le maillagefinal lorsque celui-ci n’est pas reinitialise a chaque frequence. La reinitialisation systematiquerisque de s’averer couteuse en temps. Des etudes complementaires doivent etre menees dans cesens. Certains remaillages un peu maladroits peuvent sans doute etre evites en reinitialisant lemaillage seulement a certaines frequences ce qui permettra d’economiser des degres de liberteet de gagner encore du temps.

4-4.2 Sensibilite de l’indicateur acoustique et valeur du critere

Les remaillages effectues par l’algorithme peuvent engendrer des discontinuites entre lapartie du spectre calculee avant le remaillage et la partie du spectre calculee apres. Cesdiscontinuites sont le resultat du changement de grille de calcul et de la tolerance (erreuradmissible) liee au critere choisi que l’utilisateur s’est fixee. La figure Fig. 4.10 montre unexemple de discontinuite a 427 Hz pour une valeur de ξ fixee egale a 1.10−2 (erreur relatived’environ 5%). Une diminution de la valeur du critere a ξ<1% suffit a eliminer les discontinuites,comme on peut le voir sur la figure 4.10. Le programme procede alors a un plus grand nombrede remaillages (3 pour 1 dans l’intervalle de frequence presente), mais la continuite des spectresest nettement amelioree aux frequences de remaillage indiquees par des fleches et situees a288 Hz, 387 Hz et 506 Hz. Les etapes de remaillage ne penalisent pas trop les temps de calculcar elles sont tres rapides (quelques fractions de secondes). D’autre part, il est important defaire remarquer que les temps de calcul restent toujours inferieurs a ceux de la procedureclassique etant donne que d’une part, les remaillages manuels (i.e lorsque l’utilisateur decidede definir un nouveau maillage) sont plus longs que les remaillages automatiques et que d’autrepart, la methode automatique ne calcule la solution que pour un nombre de degres de liberteutiles a la frequence consideree.

Sur la figure Fig. 4.10, on note une inversion de la position des spectres. La encore,la solution semble plus precise dans le cas du maillage le plus grossier entre 200 Hz et

115

Page 116: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

200 250 300 350 400 450 500 550 600

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

Fr

Co

eff

cie

nt

d’

ab

so

rptio

n :

a

Remaillage à

288Hz

Remaillage à

387Hz

Remaillage à

506Hz

Remaillage à

427Hz

Fig. 4.10 – Discontinuite liee au remaillage. Portions de spectre :−−−ª ξ<1% ; −−−+ ξ = 1.10−2

427 Hz et on retrouve le paradoxe evoque precedemment (§ 4-4.1). La solution obtenue parla methode elements finis est sensible a la position des points et a leur nombre. Des etudescomplementaires doivent etre menees dans ce sens afin d’expliquer plus precisement ce phe-nomene.

Remarque 7 :

Au jour d’aujourd’hui les raisons de ces ecarts ne sont pas clairement identifiees. Lessources d’erreur possibles pourraient se situer essentiellement autour de la sensibilite dela solution calculee a la precision donnee sur la position des points et de la sensibilite dusolveur a la taille des systemes a resoudre.

4-5 Un autre indicateur acoustique : la pression quadratiquemoyenne

Nous avons defini un critere d’adaptation de maillage pour l’absorption des materiauxporeux a matrice rigide. Toujours pour le cas d’une formulation fluide equivalent, il peut etreutile de definir un critere relatif a d’autres indicateurs acoustiques. La pression quadratiquedans le materiau est un exemple d’indicateur couramment utilise.

Un test a ete effectue dans le cas de l’indicateur : pression quadratique moyenne. Le criterea ete ajuste aux valeurs indiquees dans le tableau Tab. 4.2. Le spectre de pression quadratiquea ete calcule pour 74 frequences allant de 50 Hz a 1500 Hz variant par pas logarithmique. Lestemps de calcul correspondants sont donnes a titre de comparaison en unites arbitraires carils dependent des machines utilisees. Les allures des spectres de pression quadratique moyennedans le materiau sont fournies sur la figure Fig. 4.11. Les Cas 1 et Cas 2 donnent des valeurs

116

Page 117: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-5. Un autre indicateur acoustique : la pression quadratique moyenne

ξ Nbr. de remaillages Temps

Cas1 4e-4 10 23Cas2 2e-3 5 13Cas3 1e-2 2 8

Tab. 4.2 – Cas envisages et valeurs de ξ correspondantes.

0 500 1000 150088

89

90

91

92

93

94

95

96

97

Fréquence (Hz)

Pre

ssio

n Q

uadr

atiq

ue M

oyen

ne (

dB)

Fig. 4.11 – Pression quadratique moyenne en fonction de la frequence calculee pour lesdifferents cas. −−−ª : Cas1 ; −−−+ : Cas2 ; − −· : Cas3.

identiques de la pression quadratique moyenne sur l’ensemble du spectre. Des differences sont anoter dans le Cas 3. Malgre tout, elles restent minimes compte tenu du fait que pour la pressionquadratique moyenne une precision de 1 dB est couramment acceptee. On remarque que letemps de calcul peut etre reduit en jouant sur la sensibilite de l’indicateur ξ. On remarqueque le critere a 5% du Cas 3 donne des resultats tres satisfaisants. Pour cet indicateur, il estsuffisant contrairement a l’indicateur lineaire que constitue le coefficient d’absorption ou lesdiscontinuites liees aux remaillages etaient visibles. Le processus est tres rapide puisque lestemps de calcul pour les 74 frequences d’interet n’excedent pas 13 unites sur une station detravail.

Dans le cas d’un indicateur en decibel comme la pression quadratique moyenne, la valeurdu critere d’adaptation peut etre choisie moins contraignante pour le maillage. Ceci a poureffet de diminuer le nombre d’adaptations et les calculs en sont grandement acceleres pourune precision identique. L’echelle logarithmique lissant les ecarts, le phenomene evoque auparagraphe precedent n’est pas perceptible sur les spectres avec les trois valeurs choisies pourle critere.

117

Page 118: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

0 500 1000 15000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fréquence (Hz)

Coe

ffcie

nt d

’abs

orpt

ion

: α

Fig. 4.12 – Coefficient d’absorption calcule en utilisant la formulation poroelastique pourle materiau Mat1 : −−−ª maillage manuel surdimensionne ; −−−+ adaptation automatique demaillage.

4-6 Cas de la formulation poroelastique

L’estimateur ξ defini precedemment peut etre egalement utilise dans le cas de la formula-tion poroelastique lorsque la phase fluide domine le comportement. Dans le cas ou la frequencede decouplage [83] est relativement basse, et que le comportemment du materiau poreux peutse ramener a celui d’un fluide equivalent, les valeurs limites du critere peuvent etre choisiesidentiques a celle definies dans le paragraphe 4-3.

Les figures 4.12-4.17 montrent les resultats du materiau poreux MatA, semi-infini (Condi-tion laterales de glissement), excite par une onde plane acoustique et colle sur un supportrigide. La simulation a ete faite en utilisant la formulation poroelastique. Avec ce type de for-mulation le spectre d’absorption obtenu en utilisant la procedure automatique d’adaptationfournit des resultats valides 4.12. Il en est de meme pour tous les autres indicateurs presentessur les figures 4.15-4.17. Ceci est principalement du au fait que le comportement de notremateriau est domine par le comportement de la phase fluide comme l’indique sa frequencede decouplage. D’autre part, les indicateurs acoustiques relatifs a la phase solide sont relati-vement peu exigeants en matiere de precision sur la solution puisqu’il sont exprimes en dB.Dans cet exemple les criteres etablis dans le paragraphe 4-3 restent valables.

Dans les cas ou le comportement elastique est important, les limites de validite de lamethode restent encore a determiner et d’autres simulations doivent etre effectuees. Nousavons egalement choisi d’utiliser la formulation poroelastique combinee a la procedure d’adap-tation de maillage pour modeliser le cas du materiau MatC excite en traction compression,conformement a la configuration decrite dans la figure 2.3. Les resultats sont donnes sur les

118

Page 119: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-6. Cas de la formulation poroelastique

0 500 1000 150010

20

30

40

50

60

70

80

Fréquence (Hz)

Vite

sse

quad

ratiq

ue m

oyen

ne (

dB r

ef.=

5e−

8 m

/s)

Fig. 4.13 – Vitesse quadratique moyenne de la phase solide suivant Z calculee en utilisantla formulation poroelastique pour le materiau Mat1 : −−−ª maillage manuel surdimensionne ;−−−+ adaptation automatique de maillage.

0 500 1000 150088

89

90

91

92

93

94

95

96

97

Fréquence (Hz)

Pre

ssio

n qu

adra

tique

(dB

ref

.= 2

0e−

6 P

a)

Fig. 4.14 – Pression quadratique moyenne calculee en utilisant la formulation poroelastiquepour le materiau Mat1 : −−−ª maillage manuel surdimensionne ; −−−+ adaptation automa-tique de maillage.

119

Page 120: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

0 500 1000 150020

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Fréquence (Hz)

Πs (

dB r

ef.=

1e−

12 W

)

Fig. 4.15 – Puissance dissipee par effet structural calculee en utilisant la formu-lation poroelastique pour le materiau Mat1 : −−−ª maillage manuel surdimensionne ;−−−+ adaptation automatique de maillage.

0 500 1000 150054

56

58

60

62

64

66

Fréquence (Hz)

Πν (

dB r

ef.=

1e−

12 W

)

Fig. 4.16 – Puissance dissipee par effets visqueux calculee en utilisant la formu-lation poroelastique pour le materiau Mat1 : −−−ª maillage manuel surdimensionne ;−−−+ adaptation automatique de maillage.

120

Page 121: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-6. Cas de la formulation poroelastique

0 500 1000 150040

42

44

46

48

50

52

54

56

58

Fréquence (Hz)

Πτ (

dB r

ef.=

1e−

12 W

)

Fig. 4.17 – Puissance dissipee par effets thermiques calculee en utilisant la formu-lation poroelastique pour le materiau Mat1 : −−−ª maillage manuel surdimensionne ;−−−+ adaptation automatique de maillage.

figures 4.18, 4.19, 4.20.

Cette fois encore, les indicateurs choisis ont correctement ete evalues par la methode etles resultats ont converge meme pour la valeur de ξ = 1e − 2 qui avait ete jugee inadequatedans le cas de l’excitation acoustique.

En revanche, on note que les maillages lineaires adaptes automatiquement qui ont servipour ce calcul sont relativement lourds. Il a fallu jusqu’a 49 elements lineaires avec l’adaptationautomatique alors que 6 elements quadratiques suffisent pour converger. D’autre part, ungrand nombre de remaillages ont ete effectues par le programme. Ceci denote une certaineinadequation de nos criteres pour ce type de configuration. Une etude prenant en compte lesvariations des deplacements de la phase solide au lieu de la pression pourrait etre envisageeafin d’adapter les maillages sur les mouvements du squelette. Toujours en utilisant l’estimateurξ, une limite basee sur les contraintes maximales autorisees doit donc etre definie et utiliseepour atteindre la convergence des indicateurs acoustiques relatifs au comportement de laphase solide. Dans ce cas une plus grande precision risque d’etre necessaire pour le calcul del’indicateur et la methode des reactions nodales semble etre la seule alternative envisageablepour le calcul des gradients.

Cette derniere remarque sur les tailles des maillages lineaires obtenus automatiquementdans les cas ou le comportement du solide est important, nous renforce dans l’idee que ceselements ne sont pas adaptes dans ces cas et qu’il faut plutot utiliser des elements quadra-tiques.

121

Page 122: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

0 100 200 300 400 500 60075

80

85

90

95

100

105

Fréquence (Hz)

(d

B r

ef.

= 1

e

12 W

s

Fig. 4.18 – Puissance dissipee par effet structural calculee en utilisant la formu-lation poroelastique pour le materiau MatC : −−−ª maillage uniforme quadratique ;−−−+ adaptation automatique de maillage ξ<1% ;−∇− adaptation automatique de maillageξ<5% ; − −· adaptation automatique de maillage ξ = 1e−2.

0 100 200 300 400 500 600 20

0

20

40

60

80

100

Fréquence (Hz)

Πν (

dB

ref.

= 1

e

12 W

)

Fig. 4.19 – Puissance dissipee par effets visqueux calculee en utilisant la formu-lation poroelastique pour le materiau MatC : −−−ª maillage uniforme quadratique ;−−−+ adaptation automatique de maillage ξ<1% ;−∇− adaptation automatique de maillageξ<5% ; − −· adaptation automatique de maillage ξ = 1e−2.

122

Page 123: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

4-6. Cas de la formulation poroelastique

0 100 200 300 400 500 60090

95

100

105

110

115

120

125

130

135

Fréquence (Hz)

Vit

ess

e q

uad

rati

qu

e m

oyen

ne (

dB

ref.

= 1

e-1

2 W

)

Fig. 4.20 – Vitesse quadratique calculee en utilisant la formulation poroelastique pour lemateriau MatC : −−−ª maillage uniforme quadratique ; −−−+ adaptation automatique demaillage ξ<1% ;−∇− adaptation automatique de maillage ξ<5% ; − −· adaptation automa-tique de maillage ξ = 1e−2.

123

Page 124: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 4. Adaptation de maillage

124

Page 125: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Deuxieme partie

Applications

125

Page 126: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation
Page 127: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5

Materiaux a double porosite

Cette partie est une application de notre outil a l’etude numerique de materiaux a doubleporosite. Ces materiaux presentent deux echelles de porosite : l’une microscopique et l’autremesoscopique. Deux types de porosites mesoscopiques sont envisages dans ce chapitre. Lepremier concerne les perforations dites centrees car l’etude de plaques poreuses perforeesperiodiques peut se ramener a l’etude d’une seule cellule elementaire qui presente une seuleperforation en son centre. Le second type, concerne un materiau presentant des fentes oul’equivalent d’une grosse fuite sur son pourtour.

Ce type de materiaux a ete etudie experimentalement et analytiquement [60, 9]. Le butici est d’illustrer, au moyen de l’outil numerique developpe, les phenomenes de dissipation seproduisant dans les materiaux a double porosite et de confirmer les resultats de l’approchetheorique menee par Olny.

Fig. 5.1 – Cellule d’un materiau a double porosite

127

Page 128: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

5-1 Coefficient d’absorption de materiaux a simple et a doubleporosite

Dans cette section nous simulons numeriquement une mesure d’absorption en tube deKundt pour un materiau poreux. L’echantillon utilise pour la modelisation est un morceauparallelepipedique de laine de roche dont les caracteristiques physiques sont donnees dans letableau 5.1. Les dimensions laterales du materiau sont (Lc×Lc) et l’epaisseur e est constanteet fixee a 11.5 cm. Nous comparons les resultats obtenus dans le cas ou l’echantillon esthomogene et dans le cas ou il est perfore en son centre. Le trou est alors carre et de dimension(a×a) conformement a la vue de face de la figure 5.1. La mesoporosite φp est egale au rapport

Materiau 1 : Laine de rocheResistivite σm = 135000 Nm−4sPorosite φm = 0.94Tortuosite α∞ = 2.1Longueur caracteristique visqueuse Λ = 49 · 10−6 mLongueur caracteristique thermique Λ′ = 166 · 10−6 mCoefficient de Poisson ν = 0Module de Young in vacuo E = 1 · 107 PaCoefficient d’amortissement η = 0.1Densite de la phase solide ρ1 = 175 kg/m3

Tab. 5.1 – Proprietes physiques

de la surface de l’echantillon sur la surface de la perforation, soit :

φp =a2

Lc2 . (5.1)

Les dimensions de l’echantillon et du trou ont ete definies de telle sorte que Lc = 8.5 cm eta = 2.83 cm. La mesoporosite est alors egale a 0.11.

La grille utilisee pour les simulations numeriques comporte 9 × 9 × 4 elements quadra-tiques a 20 nœuds. Des conditions aux limites de glissement ont ete imposees sur les cotesde l’echantillon lors de la simulation numerique afin de reproduire le comportement d’unmateriau semi-infini. Dans le cas presentant la perforation, nous avons effectue les calculsavec la formulation poroelastique (u, p) ainsi qu’avec la formulation fluide equivalent. Dansle cas du materiau homogene la formulation fluide equivalent a ete utilisee dans un premiertemps. Nous verrons dans le paragraphe suivant que cette approche n’etait pas justifiee.

Des mesures experimentales d’absorption en tube de Kundt ont ete effectuees par Olnysur un echantillon circulaire de dimensions equivalentes [75, 62].

La figure 5.2, presente les differents coefficients d’absorption. On note que le coefficientd’absorption du materiau homogene est nettement inferieur a celui du materiau a doubleporosite.

Les deux resultats numeriques et le resultat experimental concordent bien pour les frequences

128

Page 129: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-2. Influence des conditions aux limites. Resonances du squelette

Fréquence [Hz]

Fig. 5.2 – Coefficient d’absorption d’un materiau a double porosite, conditions aux limites deglissement : −−−, mesures ; −−−ª , elements quadratiques (5896 ddl) ; − −· , modele fluideequivalent ; —, materiau homogene.

inferieures a 500 Hz. Les spectres d’absorption de ce materiau a double porosite presententun pic caracteristique important en dessous de cette frequence [60], [62].

Pour les frequences superieures ou egales a 500 Hz, on observe plusieurs differences entreles spectres, avec notamment des pics, moins importants que celui evoque precedemment,presents autour de 500 Hz et de 1600 Hz sur les resultats de la simulation numerique utilisantdes elements poroelastiques. Ces pics ne sont pas presents sur la courbe obtenue en utilisant laformulation fluide equivalent. Il s’agit donc de phenomenes lies au comportement du squelette.On note qu’un pic est egalement visible sur la courbe experimentale autour de 1400 Hz.

Nous allons etudier l’influence des conditions aux limites imposees au niveau des paroislaterales sur la localisation des pics attribues au comportement du squelette dans la sectionqui suit.

5-2 Influence des conditions aux limites. Resonances du sque-lette

Dans cette section nous etudions de facon purement numerique l’influence des conditionsaux limites sur le comportement d’un echantillon. Pour un echantillon sans perforation et dememe taille et nature que precedemment nous avons simule une mesure d’absorption en tubede Kundt avec des conditions laterales de glissement et des conditions laterales d’encastre-ment. Ensuite, nous avons simule le comportement d’echantillons de dimensions plus petites,egales a 5 cm et 3 cm, avec des conditions laterales d’encastrement. Enfin, nous avons repris

129

Page 130: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

un echantillon perfore identique a celui utilise dans la section precedente auquel nous avonsapplique, cette fois-ci, des conditions aux limites d’encastrement.

Echantillon homogene

Les configurations etudiees sont recapitulees dans le tableau 5.2 :

Nom du cas Taille de l’echantillon Condition LateralesC8a 8.5 cm GlissementC8b 8.5 cm EncastrementC5 5 cm EncastrementC3 3 cm Encastrement

Tab. 5.2 – Differentes configurations envisagees.

Le coefficient d’absorption est defini comme le rapport des puissances dissipees sur lapuissance incidente. La puissance dissipee dans les materiaux poreux resulte de la somme detrois phenomenes de dissipation distincts : la dissipation par effet structural, la dissipationpar effets visqueux et la dissipation par effets thermiques.

Les puissances dissipees par effet structural ont ete calculees pour tous les cas presentesdans le tableau 5.2 et sont donnees en fonction de la frequence dans la figure 5.3. Tout d’abord,

102

103

10

20

30

40

50

60

70

Πs

(dB

)

Fréquence (Hz)

Fig. 5.3 – Puissance dissipee par effet structural : —, C8a ; −−−, C8b ; − −· , C5 ; · · · , C3.

on remarque que l’on retrouve les pics du cas C8a autour des frequences quart d’onde et trois-quarts d’onde de l’onde d’origine solide. La frequence quart d’onde est donnee analytiquementpour un materiau semi-infini par [2] :

fr =14l

√< (Kc)

ρ1(5.2)

130

Page 131: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-2. Influence des conditions aux limites. Resonances du squelette

avecKc = λ + 2µ, (5.3)

ou λ et µ sont les coefficients de Lame. Ainsi dans les cas simules avec des conditions auxlimites de glissement le pic quart d’onde doit se situer autour de f = 520 Hz et le pic troisquart d’onde autour de f = 1560 Hz, ce qui correspond precisement aux valeurs preditespar le modele poroelastique dans la figure 5.3. Le pic quart d’onde se decale vers les hautesfrequences lorsqu’on impose les conditions d’encastrement sur les bords (cas C8b). Il tend aetre rejete encore a plus haute frequence si l’on reduit la taille de l’echantillon (cas C5 et C3).L’imposition des conditions aux limites d’encastrement tend a rigidifier le comportement localde la matrice solide ce qui se traduit par une augmentation de la valeur apparente de Kc etdonc de la valeur de fr. La modification du comportement local (i.e. dans le voisinage de lasurface sur laquelle on impose la condition) est d’autant plus importante que les dimensionstransversales de l’echantillon sont reduites. C’est ce que l’on observe sur la figure 5.3 pourles cas C5 et C3. Ainsi il est possible de reduire le comportement de la phase solide dansune gamme de frequence donnee en contraignant le materiau sur les bords et en diminuantla taille de l’echantillon. Des remarques sur le raidissement du comportement d’un materiauporeux contraint sur les bords du guide d’onde ont egalement ete faites dans [80]. De manieresimilaire, une autre technique [43], utilise de petites aiguilles ou clous fixes a l’arriere del’echantillon afin de rigidifier artificiellement la matrice solide des echantillons a tester sanstrop modifier la structure poreuse du materiau. Ces deux methodes modifient le comportementbasse frequence de la phase solide, observe precedemment, en rejetant les pics de resonance ades frequences plus hautes que la frequence de coupure du tube. Aux frequences de resonance

102

103

52

54

56

58

60

62

64

66

68

Πv (

dB

)

Fréquence (Hz)

Fig. 5.4 – Puissance dissipee par effet visqueux : —, C8a ; −−−, C8b ; − −· , C5 ; · · · , C3.

du squelette (figure 5.4), on note une diminution de la puissance dissipee par effets visqueux.A la frequence de resonance quart d’onde du squelette, il y a autant d’energie dissipee pareffet structural que par effets visqueux (64 dB sur les deux figures 5.3, 5.4). Ceci provientdu fait que le materiau utilise possede un facteur de perte structural η suffisant pour que lephenomene de dissipation par effet structural soit important. Les deux puissances dissipeespar effet structural et par effet visqueux etant du meme ordre et la puissance dissipee par

131

Page 132: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

effet thermique etant negligeable [5] on doit par consequent observer un pic a la frequencequart d’onde lorsqu’on observe la courbe d’absorption. C’est bien ce qui se produit sur lafigure 5.5. On remarque que la diminution de la taille de l’echantillon et l’imposition deconditions aux limites d’encastrement ne jouent que sur les resonances du squelette. Le facteurd’amortissement structural joue donc un role important dans la presence des pics de resonance.Il ne doit pas etre trop important, sans quoi le pic a la resonance est tres amorti et dans cecas il devient invisible, ni trop faible sans quoi le comportement du materiau tend vers celuid’un materiau rigide. La valeur du coefficient η influe egalement sur la largeur du du pic dela resonance du squelette. Plus il est faible et plus le pic tend a etre etroit.

102

103

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

α

Fréquence (Hz)

Fig. 5.5 – Coefficient d’absorption en fonction de la frequence : —, C8a ; −−−, C8b ; − −· ,C5 ; · · · , C3.

Echantillon perfore

Si nous revenons a l’echantillon perfore, une modification du type de conditions aux limiteslaterales doit simplement rejeter le pic vers des frequences plus hautes conformement auxremarques faites precedemment. C’est bien ce qui se produit lorsque l’on observe la figure 5.6.On remarque que le pic est rejete plus haut en frequence que pour l’echantillon sans trou.L’effet de la condition au limite d’encastrement est plus important sur un materiau perforeque sur un materiau homogene. Cette discontinuite de la structure solide tend a accroıtrel’influence des conditions aux limites. Lorsqu’on observe le coefficient d’absorption sur lafigure 5.7, on remarque que le pic visible sur la courbe du coefficient d’absorption est bienrejete vers les hautes frequences (leger pic visible vers 1600 Hz). En revanche, si on comparece resultat numerique avec la courbe experimentale presentee sur la meme figure, on remarqueque le pic lie a la resonance du squelette obtenu experimentalement se situe un peu plus basen frequence (vers 1400 Hz). Notre etude nous pousse a croire que l’echantillon experimentaletait contraint sur ces bords et que les conditions aux limites liees au montage dans le tubeetaient proches de conditions d’encastrement et/ou que le module d’Young du materiau etait

132

Page 133: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-2. Influence des conditions aux limites. Resonances du squelette

102

103

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Πs

(dB

)

Fréquence (Hz)

Fig. 5.6 – Coefficient d’absorption en fonction de la frequence : —, C8a ; −−−, C8b.

legerement plus faible que la valeur utilisee pour la simulation.

Fig. 5.7 – Coefficient d’absorption d’un materiau a double porosite avec des conditions aux li-mites laterales d’encastrement : —, mesures ; −−−× , elements quadratiques (5064 ddl) ; − −· ,modele du fluide equivalent.

133

Page 134: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

5-3 Profil de pression dans le materiau

5-3.1 Materiaux a simple porosite

Les materiaux poreux sont des milieux dissipatifs, l’amplitude des ondes est attenuee aucours de leur propagation, et dispersifs, la vitesse de propagation de l’onde depend de lafrequence. Pour tenir compte de cet aspect dissipatif, le nombre d’onde associe aux ondes sepropageant dans le milieu poreux est complexe. Lorsque la matrice solide du materiau peutetre supposee rigide, ce nombre d’onde s’ecrit en regime harmonique [2] :

kfeq = ω

(ρ22

R

) 12

. (5.4)

Il est possible de decomposer ce nombre complexe sous sa forme algebrique, ou k′ denote sapartie reelle et k′′ est sa partie imaginaire :

kfeq = k′ + jk′′. (5.5)

Les caracteristiques de l’onde sont telles qu’elle a une longueur λ egale a 2πk′ , une vitesse de

phase c qui est egale a ωk′ et un coefficient d’amortissement spatial egal a |k′′| [14].

L’onde de pression p(x, t) se propageant dans le sens positif suivant un axe note X decette onde dans un materiau d’epaisseur infinie s’ecrit :

p(x, t) = P0ek′′xej(ωt−k′x) (5.6)

La profondeur de penetration δp dans le materiau poreux est egale a :

δp =∣∣∣∣

1k′′

∣∣∣∣ (5.7)

Cette profondeur varie en fonction de la frequence. Elle est tracee pour le materiau MatFutilise precedemment sur la figure 5.8.

Nous avons simule avec notre outil le comportement d’un echantillon de ce materiausuppose lateralement infini et faisant 10 cm d’epaisseur. Afin de reproduire des conditionsexperimentales de mesures d’absorption, cet echantillon est suppose colle sur une paroi rigideet place dans le guide d’onde. Les conditions aux limites laterales sont des conditions deglissement, la face arriere du materiau est supposee collee sur un support rigide. Le casenvisage est monodimensionnel et nous avons utilise des elements lineaires compte tenu desremarques faites dans le paragraphe 2-5 (page 68). Le maillage utilise est un maillage uniformecomportant 100 elements suivant l’epaisseur. L’amplitude de l’excitation est fixee a 1 Pa.

La profondeur de penetration de l’onde a ete mesuree a partir des resultats des simula-tions numeriques en tracant le module de la pression a l’interieur du materiau (fig. 5.9). Pardefinition, la profondeur de penetration est la distance, mesuree dans la direction normalea l’excitation, a partir de l’interface guide-poreux, pour laquelle le module de la pression a

chute d’un rapport1e.

134

Page 135: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-3. Profil de pression dans le materiau

101

102

103

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Frequence [Hz]

Pro

fond

eur

de p

énét

ratio

n [m

]

Fig. 5.8 – Profondeur de penetration de l’onde en fonction de la frequence pour le materiauMatF.

1000 Hz

500 Hz

250 Hz

125 Hz

δp

Fig. 5.9 – Mesure de la profondeur de penetration de l’onde P2 en fonction de la frequencepour le materiau MatF.

Ces distances ont ete evaluees a partir des valeurs nodales ce qui revient a avoir uneincertitude de mesure de ±0.5 mm sur notre maillage. Pour les quatre valeurs de la frequence125 Hz, 250 Hz, 500 Hz, 1000 Hz les distances theoriques δp donnees sur la figure 5.9 et cellesmesurees δp sur les graphes sont donnees dans le tableau 5.3.

On note un tres bon accord entre les mesures obtenues numeriquement et les distancescalculees theoriquement aux frequences 250 Hz, 500 Hz et 1000 Hz. En revanche on note unecart entre la valeur theorique de la profondeur de penetration et la distance mesuree a 125 Hz.

135

Page 136: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

Freq. |Pmax|e δp δp

Hz Pa m m125 0.685 0.042± 0.0005 0.0448250 0.666 0.032± 0.0005 0.0317500 0.639 0.023± 0.0005 0.02291000 0.607 0.017± 0.0005 0.0172

Tab. 5.3 – Distance mesuree et profondeur de penetration theorique pour les frequences125 Hz, 250 Hz, 500 Hz, 1000 Hz.

Cet ecart est du a la presence de l’onde regressive dans le materiau qui n’est pas infini maissuppose d’epaisseur finie L = 10 cm dans la simulation.

Lorsque l’on suppose l’existence d’une onde regressive dans un materiau poreux d’epaisseurL colle sur un support rigide, le module de la pression en un point d’abscisse x du materiaua pour expression :

|p| = P1

√e2k′′x + e2k′′(2L−x) + 2e2k′′L cos(k′x) cos(k′(x− 2L))− 2e2k′′L sin(k′x) sin(k′(x− 2L)),

(5.8)ou P1 est l’amplitude de l’onde progressive se propageant dans le materiau poreux evaluee aupoint d’abscisse x = 0.

Le module de la pression theorique calcule en tenant compte de l’onde regressive a 125 Hzpour une epaisseur L = 10 cm est egal a 0.6843 Pa pour l’abscisse x = 0.042. La valeurmesuree precedemment sur le maillage de 100 elements est de 0.6877 Pa, ce qui corresponda une erreur relative de 0.5%. Pour l’abscisse x = 0.0448 on trouve un module de la pressiontheorique egal a 0.5980 Pa contre une valeur mesuree de 0.6016 Pa soit une erreur relativede 0.6%. L’influence de l’onde regressive liee a la reflexion sur la paroi rigide est a prendreen compte pour comparer les profondeurs de penetration theoriques et mesurees en bassefrequence. La profondeur de penetration apparente est plus faible lorsque l’onde regressive nepeut pas etre negligee.

On remarque egalement que la solution fournie par le calcul element-fini est bien convergeeavec ce maillage et qu’elle permet d’evaluer, dans ce cas, le champ de pression dans le materiauporeux avec une precision inferieure a 1%.

5-3.2 Materiaux perfores

Nous comparons la penetration de l’onde dans le materiau MatF pour un echantilloncubique de 10 cm d’arete dans un cas homogene et dans un cas presentant une perforationcentrale donnant une mesoporosite φp egale a 0.11. La figure 5.10 donne le module du champde pression a 1000 Hz dans les plans XZ situes a l’ordonnee y = 10 cm et y = 5 cm pourle materiau MatF. Le premier plan, presente a gauche sur la figure, donne les isocourbes dumodule de la pression a la surface du materiau suivant son epaisseur. Le plan y = 5 cm, adroite, donne le module de la pression dans le plan longitudinal coupant le materiau et la

136

Page 137: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-3. Profil de pression dans le materiau

Fig. 5.10 – Profondeurs de penetration pour le materiau MatF dans le cas homogene et lecas perfore (φp = 0.11).

perforation en leur milieu, permettant une vue en coupe. Le cas sans perforation est presenteen haut sur la figure 5.10.

Dans le cas sans perforation, les deux plans sont identiques et on obtient des iso-courbesrectilignes et perpendiculaires a la direction de propagation.

Dans le cas ou le materiau est perfore, les contours ne sont plus rectilignes et la profondeurde penetration varie en fonction de la position dans le materiau. La profondeur de penetrationest d’autant plus grande que l’on est proche de la perforation. On remarque sur la vue encoupe (plan y = 5 cm) que la pression varie dans le materiau a l’echelle mesoscopique.

Si l’on calcule le module de l’impedance nodale de surface du materiau et qu’on trace cetteimpedance en fonction des nœuds du maillage on obtient le graphe de la figure 5.11. Loin dubord du trou, l’impedance de surface du materiau perfore est tres proche de celle du materiausans perforation et les surfaces representant les impedances pour les deux configurations sontpresque confondues. La valeur de l’impedance au nœud correspondant au couple d’indices(19,19) du materiau perfore est tres legerement inferieure avec une valeur de 1683 Pa.m−1.s acelle obtenue pour le materiau homogene qui vaut 1704 Pa.m−1.s. D’autre part, la presence dela perforation augmente l’impedance de surface du materiau au voisinage de la discontinuiteavec une valeur maximale de 1826 Pa.m−1.s pour le nœud (1,11). Au centre de la perforationle module de l’impedance calcule chute. Il est tres proche de l’impedance caracteristique del’air avec 433 Pa.m−1.s.

137

Page 138: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

Fig. 5.11 – Module des impedances nodales a la surface du materiau.

La presence de la perforation a pour effet de diminuer localement l’impedance d’entree dumateriau facilitant la penetration de l’onde.

5-4 Cas des materiaux poreux avec des fentes et de materiauxpresentant des fuites sur leur pourtour

Dans cette partie nous etudions numeriquement le cas d’une cellule elementaire placeedans un guide d’onde presentant une couche d’air sur une de ses faces. Compte tenu dessymetries (cf. figure 5.12), ce cas peut representer un materiau avec des fentes mais ce type

138

Page 139: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-4. Cas des materiaux poreux avec des fentes et de materiaux presentant des fuites sur leur

pourtour

de configuration peut aussi s’apparenter a un materiau presentant une fuite tres grossiere sursa partie superieure (Fig. 5.13). Pour etre homogeneisable le materiau a double porosite doitpresenter une double separation d’echelle ce qui revient a avoir des perforations centimetriquescompte tenu des longueurs d’ondes P2 des materiaux que nous utilisons dans nos simulations.Le but est toujours de corroborer les resultats d’Olny au moyen de simulations numeriqueset de valider l’approche numerique dans le cas de materiaux avec des fentes. La consideration

Air

Matériau Poreux

Cellule

élémentaire

Matériau avec des fentes

Vue de

profilVue de face

Fig. 5.12 – Materiau avec des fentes et cellule equivalente.

de fuites plus realistes dans le cas de mesures d’absorption dans le tube de Kundt, impliquel’utilisation de dimensions plus reduites pour les fuites (de l’ordre du millimetre). Ce cas sesitue donc aux limites des hypotheses d’ordre geometrique sur lesquelles repose la techniqued’homogeneisation qu’utilise Olny. Ce cas est en revanche envisageable d’un point de vuenumerique avec notre approche element finis. Il sera traite a part dans le chapitre 7.

5-4.1 Champs de pression

Dans cette section nous montrons les variations du champ de pression dans le cas d’unmateriau poreux surmonte d’une couche d’air. L’ensemble materiau poreux-couche d’air d’e-paisseur 10 cm est place dans un guide d’onde. Ce systeme est excite par une onde acous-tique plane. Un schema decrivant le type de cas envisage a ete presente sur la figure 5.13.Lx represente la dimension laterale du guide dans le plan de la coupe longitudinale. lax etlpx representent respectivement la dimension laterale de la fuite et la dimension laterale dumateriau poreux dans le plan de la coupe longitudinale. Suivant ce type de configuration, lecoefficient d’absorption du systeme a ete calcule pour les valeurs des parametres lax et lpx

indiquees en centimetres (cm) dans le tableau 5.5. Pour le materiau donne dans le tableau5.4, 12 simulations ont ete effectuees. Le materiau choisi a une resistivite (σ = 96659 Nm−4s)

139

Page 140: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

x

z

lax

lpx

Gu

ide d

'on

de

Air

Matériau Poreux

Paroi rigide du guide d'onde

Paroi rigide du guide d'onde

Fig. 5.13 – Couche d’air et materiau poreux se superposant places dans un guide d’onde.

ce qui nous place dans des cas de fort contraste de permeabilite, favorables au phenomenede diffusion [62]. Le squelette du materiau est considere comme rigide et la formulation uti-lisee pour la simulation numerique est une formulation du type fluide equivalent. On peut

Materiau 2Resistivite σm = 96659 Nm−4sPorosite φm = 0.99Tortuosite α∞ = 1.0Longueur caracteristique visqueuse Λ = 25.1 · 10−6 mLongueur caracteristique thermique Λ′ = 50.2 · 10−6 m

Tab. 5.4 – Proprietes physiques

remarquer (Tab. 5.5) que les valeurs de la dimension du tube Lx sont constantes suivantune meme ligne alors que les valeurs de lax sont constantes suivant la colonne consideree. Larealisation experimentale de ces tests d’absorption necessiterait quatre tubes differents. Onnote ici l’interet de l’outil numerique qui nous permet de nous affranchir de ces contraintesexperimentales et des couts engendres. Les valeurs des deux parametres Lx et lax croissentrespectivement de haut en bas et de gauche a droite comme l’indiquent les fleches de la lignedu haut et de la colonne de droite. Le sens de variation de la mesoporosite Φp est indiquedans la colonne de gauche et dans la derniere ligne du tableau 5.5. Ce dernier parametre varie

140

Page 141: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-4. Cas des materiaux poreux avec des fentes et de materiaux presentant des fuites sur leur

pourtour

donc suivant les lignes et les colonnes en raison des variations simultanees de lax et lpx.

Le nom des 12 simulations est indique au moyen des valeurs des parametres lax et lpx reliespar un trait d’union comme indique dans le tableau 5.6. Ainsi la simulation 1− 8 correspondau cas ou lax = 1 cm et lpx = 8 cm. Les spectres ont ete calcules par pas de 10 Hz entre 50 Hz

lax

↑ Φp

lax : 1 2 3

↓ Lx

lpx : 8 7 6lax : 1 2 3lpx : 9 8 7lax : 1 2 3lpx : 10 9 8lax : 1 2 3lpx : 11 10 9

Φp

→Tab. 5.5 – Valeurs en cm des parametres lax et lpx.

et 1000 Hz, sauf lors de la determination des positions des maxima ou le pas frequentiel a etereduit a 1 Hz dans les zones d’interet.

Les spectres des 12 simulations sont donnes a la figure 5.14. Les lignes verticales presentes

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

0 500 10000

0.5

1

410 Hz 510 Hz 610 Hz

1-9

2-7

2-8

2-9

1-8

1-10

1-11

3-6

3-7

3-8

3-92-10

Fig. 5.14 – Coefficient d’absorption en fonction de la frequence pour les 12 configurations dutableau 5.5. Materiau X simulation pc3d2003, formulation fluide equivalent

141

Page 142: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

Config lax lpx Φp fmax αmax

1-11 1 11 0,008 405 0,8371-10 1 10 0,090 409 0,8581-9 1 9 0,100 409 0,8771-8 1 8 0,110 414 0,8992-10 2 10 0,160 516 0,9692-9 2 9 0,180 521 0,9792-8 2 8 0,200 530 0,9902-7 2 7 0,220 540 0,9973-9 3 9 0,250 575 1,0003-8 3 8 0,270 588 0,9963-7 3 7 0,300 601 0,9893-6 3 6 0,330 615 0,975

Tab. 5.6 – Mesoporosite et coordonnees des maxima pour les differentes configurations si-mulees avec le materiau.

sur les spectres ont ete placees aux frequences des maxima des configurations 1-8, 2-7 et 3-6 etles lignes horizontales indiquent les amplitudes des maxima d’absorption des simulations 1-8,1-9, 1-10 et 1-11. Ces lignes servent de repere pour comparer les positions des pics observespour les differentes configurations.

On note, sur l’ensemble des spectres, un decalage du pic vers les basses frequences lorsqueLx augmente (sens vertical descendant). On peut faire la meme remarque suivant le senshorizontal (droite-gauche), lorsque lax diminue. Par consequent, le decalage du pic corresponda des variations de la mesoporosite φp. Le pic se decale vers les basses frequences lorsquela mesoporosite diminue. Cette remarque s’observe egalement sur tableau 5.6 et rejoint lesremarques faites par [9]. Concernant les amplitudes de ces maxima on note cependant que pourles configurations ou lax = 1 cm et lax = 2 cm l’amplitude du maximum croit avec la valeurde Φp alors que pour les simulations ou lax = 3 cm c’est l’inverse 1. Par consequent, pour unmateriau donne, l’amplitude du maximum qui peut etre atteinte passe par un maximum pourune valeur bien definie de la mesoporosite ou un couple de valeurs (lax, lpx).

Dans un second temps nous avons trace pour chaque configuration le module du champ dela pression dans la fente et dans le materiau poreux aux frequences proches des maxima d’ab-sorption indiquees sur la figure 5.14. Les modules de la pression obtenus pour les frequencesde 410 Hz, 510 Hz et 610 Hz sont montres respectivement sur les figures 5.15, 5.16 et 5.17.Sur chaque figure, les 12 configurations sont representees, et un schema dans le coin superieurgauche rappelle la face qui a ete excitee ainsi que les directions et le sens des axes x et z. Lesbords noirs epais symbolisent les parois rigides du guide. Afin de mieux distinguer le milieuporeux et la fente, les deux domaines ont ete separes sur les representations. Ainsi la partiequi correspond a la fente se trouve toujours au dessus du milieu poreux et en est separee parun leger espace. Par souci de clarte le schema indiquant les axes et les positions des paroisn’est pas reproduit sur les autres configurations. Le numero de la configuration est indique enbas a droite pour chaque graphique et suit la disposition du tableau 5.5. L’echelle du module

1Cette constatation nous poussera a rechercher cette valeur optimale mais au sens de NRC dans une autrepartie.

142

Page 143: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-4. Cas des materiaux poreux avec des fentes et de materiaux presentant des fuites sur leur

pourtour

de la pression est donnee en pascal a gauche de la figure pour les trois frequences considerees.Chaque figure comporte sa propre echelle de pression, ceci afin d’offrir un maximum de dyna-mique dans les couleurs et de pouvoir comparer les 12 configurations a une frequence donnee.Une autre figure sera consacree a une comparaison a differentes frequences pour la configu-ration 3 − 6. Si l’on observe les trois echelles de pression utilisees, on trouve des valeurs

x

z

1-9

2-7

2-8

2-9

2-10

1-8

1-10

1-11

3-6

3-7

3-8

3-9

0

.3

.6

.9

1.2

1.5

1.8

2.1

2.4

2.7

3

3.3

3.6

3.9

4.2

4.5|P|

Fig. 5.15 – Module de la pression pour les differentes configurations a 410 Hz.

maximales de 4.5 Pa a 410 Hz de 5 Pa a 510 Hz et de 6.6 Pa a 610 Hz. La valeur maximaleatteinte par le module de la pression augmente avec la frequence d’observation.

Pour une frequence donnee, si l’on compare les differentes figures on remarque que cesvaleurs maximales se lisent sur les configurations ayant leur maximum d’absorption a lafrequence consideree. Ainsi a 410 Hz le module de la pression atteint des valeurs du modulede la pression importantes pour les configurations 1−8, 1−9, 1−10, 1−11 alors qu’a 510 Hz

143

Page 144: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

Fig. 5.16 – Module de la pression pour les differentes configurations a 510 Hz.

144

Page 145: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-4. Cas des materiaux poreux avec des fentes et de materiaux presentant des fuites sur leur

pourtour

Fig. 5.17 – Module de la pression pour les differentes configurations a 610 Hz.

145

Page 146: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

le module de la pression atteint des valeurs importantes pour les configurations 2− 7, 2− 8,2− 9, 2− 10 et qu’a 610 Hz le module de la pression atteint des valeurs importantes pour lesconfigurations 3−6, 3−7, 3−8, 3−9. Il y a donc coıncidence entre le domaine de frequencespour lequel la valeur du module de la pression est importante dans le systeme cavite-poreuxet le domaine de frequence pour lequel on observe un maximum d’absorption sur le spectre.

On remarque egalement que le maximum du module de la pression est atteint dans unezone qui se situe toujours a proximite de la paroi rigide, dans le fond de la cavite, et proche del’interface cavite d’air-poreux. On note d’ailleurs que les iso-lignes sont d’autant plus courbeesdans la cavite fluide que l’on s’approche du fond de la cavite (i.e de la terminaison rigide)et de l’interface poreux-cavite, ce qui traduit une dependance du champ de pression dans lacavite suivant les deux directions (x et z). La dependance suivant ces deux memes directionsdu champ de pression dans le materiau poreux est egalement bien visible sur l’ensemble desfigures 5.15, 5.16 et 5.17 contrairement a la figure 5.8 ou le champ ne variait que suivant unedirection. On note que le champ de pression varie a l’echelle mesoscopique dans le domaineporeux.

5-4.2 Frequence du maximum d’absorption et homogeneisation

Il est possible de determiner la frequence du maximum a partir du spectre d’absorption soiten le calculant grace au modele analytique lorsque le materiau est homogeneisable soit grace ades simulations numeriques. Pour traiter efficacement un probleme d’acoustique particulier etfournir une solution passive adaptee, il peut etre interessant de predire a priori la position dece maximum. Pour cela, nous allons calculer la frequence de quart d’onde du milieu homogeneequivalent en homogeneisant les materiaux avec des fentes en utilisant les resultats de Olny[61], et Sgard et al. [75]. Nous prenons les notations de la figure 5.18.

a

b

e

Fig. 5.18 – Geometrie de la cellule : cas des fentes.

a correspond a la demi-longueur de la fente, b correspond a la demi-longueur du domaineporeux et e correspond a l’epaisseur de la cellule. Dans un premier temps nous calculons la

146

Page 147: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-4. Cas des materiaux poreux avec des fentes et de materiaux presentant des fuites sur leur

pourtour

mesoporosite φp qui est definie par :

φp =a

a + b. (5.9)

La frequence de diffusion, frequence autour de laquelle la longueur d’onde dans le domainemicroporeux varie a l’echelle de la mesoperforation (Figs. 5.11, 5.15, 5.16 et 5.17), s’ecrit :

ωd =(1− φp)P0

φmσmD(0), (5.10)

ou D(0) est un parametre geometrique homogene a une permeabilite statique thermique. Dansle cas de fentes, son expression est donnee par :

D(0) = (1− φp)b2

3. (5.11)

La fonction D(ω) correspondante est definie de la maniere suivante :

D(ω) = −i(1− φp)δ2d

1−

tanh(

bδd

√i)

bδd

√i

, (5.12)

ou δd represente l’epaisseur de la couche de diffusion. C’est l’epaisseur de materiau a l’interieurde laquelle la pression du domaine microporeux varie fortement. Cette zone est bien visiblesur les figures 5.15, 5.16 et 5.17. Elle sera mesuree et decrite plus precisement dans la section5-6.

Il reste encore a determiner la fonction Fd, qui represente le rapport de la pression moyennedans le domaine microporeux et de la pression dans le mesopore :

Fd(ω) = 1− iω

ωd

Deq(ω)Deq(0)

. (5.13)

Cette expression calculee, il est possible de determiner la compressibilite Kdp equivalentedu milieu suivant :

Kdp =

φp

P0+ (1− φp)

Fd

(ω P0

φmKm

)

Km

−1

. (5.14)

L’expression de la densite equivalente du milieu a double porosite ρdp est donnee par :

ρdp =1(

(1−φp)ρeq

+ φp

ρ0

) . (5.15)

La longueur de quart d’onde du fluide homogene equivalent λ 14

s’obtient alors :

λ 14

=14f<

√Kdp

ρdp

. (5.16)

147

Page 148: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Fréquence [Hz]

λ1/4

[m]

Fréquence de quart d'onde

Epaisseur du matériau

Fig. 5.19 – Longueur de quart d’onde en fonction de la frequence.

Config fmax f 14

erreurHz Hz %

1-11 405 406 0.21-10 409 407 0.51-9 409 408 0.21-8 414 409 1.22-10 516 535 3.72-9 521 536 2.92-8 530 536 1.12-7 540 537 0.63-9 575 593 3.13-8 588 593 0.93-7 601 594 1.23-6 615 595 3.2

Tab. 5.7 – Frequences des maxima et frequences de quart d’onde du fluide homogeneequivalent.

La frequence de quart d’onde f 14

est la frequence pour laquelle λ 14

= e. Elle peut etredeterminee graphiquement en tracant la longueur de quart d’onde en fonction de la frequence.Un exemple est donne ci apres figure 5.19 dans le cas de la configuration 3-6.

Les frequences quart d’onde calculees et les frequences des maxima mesurees sur lesspectres obtenus numeriquement sont comparees dans le tableau 5.7. Les frequences d’ab-sorption maximale sont predites a moins de trois pour cent pres ce qui constitue une bonneapproximation. Les ecarts bien qu’acceptables sont dus principalement au fait que les dimen-

148

Page 149: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-4. Cas des materiaux poreux avec des fentes et de materiaux presentant des fuites sur leur

pourtour

sions de la mesoperforation sont vraiment du meme ordre de grandeur que les dimensions dudomaine poreux pour certaines simulations. C’est le cas notamment pour les configurations1 − 8, 3 − 6 dans ces cas l’hypothese de separation d’echelle n’est plus vraiment respectee.D’autre part nous n’avons pas effectue de correction d’epaisseur du materiau dans le calcul desparametres (longueur caracteristique de diffusion et facteur de forme). En effet, Olny [60, 75]propose, dans le cas d’un materiau d’epaisseur finie, d’ajouter l’aire de la surface de contactentre le domaine microporeux et le milieu exterieur a l’aire de l’interface entre le domainemicroporeux et le mesopore pour le calcul de la longueur de diffusion. Les figures 5.15, 5.16et 5.17 montrent d’ailleurs le caractere diffusif de l’onde incidente dans la partie du materiauproche de cette surface.

La prediction obtenue ici reste plus que satisfaisante et les resultats calcules dans le cas dumateriau infini permettent de bien rendre compte de la physique du materiau fini. La simula-tion numerique, qui vient de prouver sa validite, permet d’elargir le champ des investigationsen etendant le domaine d’etude a des geometries non homogeneisables.

149

Page 150: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

5-5 Materiau a double porosite et densite elementaire de puis-sance dissipee

Dans cette section nous presentons les puissances dissipees par elements. Les puissancesdissipees par effets visqueux et thermiques ont ete calculees pour chaque element du maillagedans le cas de la configuration 3− 6 a 410 Hz ainsi que dans le cas d’un materiau homogenea la meme frequence. Les resultats sont montres sur la figure 5.20 a gauche pour un materiauhomogene et a droite pour un materiau surmonte d’une cavite. Les echelles de puissance uti-lisees sont identiques dans les deux cas. Seules les parties correspondantes du materiau poreuxhomogene et du materiau surmonte de la cavite sont representees. La partie comprenant lacavite a ete remplie de materiau poreux dans le cas homogene. Cette partie est cachee. Lesmaillages utilises pour faire les calculs sont identiques dans les deux cas.

Cas homogène :

Zone de matériau poreux non représentée

Cas non-homogène :

Zone de la cavitée non représentée

Fig. 5.20 – Densite elementaire de puissance totale dissipee. Gauche : materiau poreux ho-mogene ; Droite : materiau poreux surmonte d’une cavite.

Dans le cas du materiau homogene, on note que la dissipation se produit principale-ment dans une couche proche de l’interface guide d’onde-materiau poreux dont l’epaisseurcorrespond alors a la profondeur de penetration dans le materiau. Dans le cas du materiausurmonte d’une cavite, la dissipation s’etend egalement dans le poreux le long de l’interfaceavec la cavite. Le gain observe sur la figure 5.2 pour l’absorption est du a cette dissipa-tion supplementaire. Maintenant, si l’on compare la densite elementaire de puissance dissipeepar effets thermiques et la densite elementaire de puissance dissipee par effet visqueux (Fig.5.21), on note que les zones de forte dissipation pour les deux phenomenes se correspondentgeographiquement. Par contre la puissance dissipee par effets visqueux est superieure a lapuissance dissipee par effets thermiques de deux ordres de grandeur (10−8 contre 10−10).La dissipation par effets visqueux est donc le phenomene de dissipation preponderant pourles frequences voisines de la frequence de diffusion. Une remarque analogue, concernant lesspectres des puissances a deja ete faite dans [5].

Si on compare (Fig. 5.22) l’evolution de la densite de puissance elementaire dissipee enfonction de la frequence pour la configuration 3 − 6, on note que la puissance dissipee croıtd’autant plus que l’on se rapproche de la frequence du maximum et qu’elle diminue des quel’on a passe cette frequence.

150

Page 151: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-5. Materiau a double porosite et densite elementaire de puissance dissipee

Fig. 5.21 – Comparaison de la densite elementaire de puissance dissipee par effets thermiqueset par effets visqueux pour la configuration 3− 6 a 410 Hz. Gauche : Puissance dissipee pareffets thermiques ; Droite : Puissance dissipee par effets visqueux.

On note que le phenomene de dissipation est localise dans l’espace. En effet, la dissipationn’est pas uniforme dans le materiau mais se trouve etre plus importante dans la zone prochede l’interface entre le materiau poreux ainsi que la cavite proche de l’interface poreux-guided’onde. Ces zones correspondent a des zones ou la vitesse est maximale (cf. Fig. 5.17 config.3-6). Le phenomene de dissipation additionnelle dans le cas du materiau a double porosite seproduit a l’interieur de la couche de diffusion en pression. Il ne se produit d’ailleurs de manieresignificative que pour les frequences inferieures a la frequence de diffusion. Le maximum dedissipation est atteint pour une frequence bien determinee pour laquelle la pression dansle systeme milieu poreux-cavite passe par un maximum. Donc, plus la couche de diffusionsera importante a une frequence et plus la puissance dissipee a l’interieur du materiau seraimportante, augmentant par consequent la valeur du coefficient d’absorption a cette memefrequence.

151

Page 152: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

410 Hz

610 Hz

810 Hz

Fig. 5.22 – Comparaison de la densite elementaire de puissance dissipee en fonction de lafrequence. De haut en bas : 410 Hz, 610 Hz et 810 Hz.

5-6 Visualisation et mesure de la couche de diffusion

Olny [60] nous fournit une expression de l’epaisseur de couche de diffusion δd. Cetteepaisseur peut avoir une interpretation analogue a celle d’une couche limite visqueuse ou

152

Page 153: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

5-6. Visualisation et mesure de la couche de diffusion

thermique. Son expression est donnee par :

δd =

√P0Πm (0)

φmηω, (5.17)

avec P0 la pression statique, Πm (0) la permeabilite statique du milieu poreux et η la viscositede l’air.

Il s’agit d’une estimation de l’epaisseur de la couche interne du materiau poreux pour la-quelle la pression varie fortement. Elle est definie comme l’epaisseur pour laquelle l’amplitude

de la pression a decru dans un rapport1e. On notera que la couche de diffusion depend de la

frequence acoustique de l’excitation et non de son amplitude.

Pour la retrouver sur les graphes representant les variations du module de la pression, il estpossible d’effectuer une mesure de l’epaisseur de la couche pour laquelle la valeur maximale

du module de la pression a diminuee de1e.

Ainsi pour le materiau utilise precedemment dans le cas de la configuration 3-6 on trouvea 610 Hz que δd = 1.66 cm. Numeriquement on peut mesurer une couche de diffusion egale a1.67 cm (Fig. 5.23), ce qui traduit une erreur extremement faible et un bon accord entre lavaleur obtenue theoriquement par Olny et l’approche numerique utilisee.

δdFig. 5.23 – Mesure de la couche de diffusion pour le materiau 17.

153

Page 154: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 5. Materiaux a double porosite

154

Page 155: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 6

Optimisation de materiaux au moyen deperforations. Ameliorations desperformances en absorption normale ausens du NRC

Dans ce chapitre, nous proposons une methode d’optimisation des performances en ab-sorption normale de materiaux poreux perfores. Cette methode repose a la fois sur les outilsnumeriques que nous avons developpes et sur une utilisation simple de la theorie des plansd’experiences. Nous verrons a travers un exemple qu’il est possible d’optimiser un materiau enutilisant un nombre reduit de simulations numeriques. Le processus d’optimisation consistea trouver les parametres epaisseur et taille de perforation qui permettent d’obtenir une ab-sorption maximale sur une bande spectrale allant de 225 Hz a 2250 Hz. Un indice unique, leNRC (Noise Reduction Coefficient), est utilise afin de quantifier de facon unique l’absorptionsur cette bande de frequence.

6-1 Introduction

Le NRC (Noise Reduction Coefficient) est un indice unique rendant compte de l’absorp-tion d’un materiau. Comme nous l’avons deja mentionne en 2-3.4 (page 58), cet indice estdetermine a partir du spectre d’absorption d’un materiau en moyennant les valeurs du co-efficient d’absorption sur les bandes de tiers d’octave centrees a 250 Hz, 500 Hz, 1000 Hzet 2000 Hz. Il prend donc des valeurs comprises entre zero (cas des materiaux parfaite-ment reflechissants) et 1 (cas des materiaux parfaitement absorbants). Il est etabli seule-ment sur quatre valeurs du coefficient d’absorption ce qui peut s’averer satisfaisant pourdes domaines d’application comme le batiment mais insuffisant pour des applications mu-sicales par exemple qui necessitent une connaissance plus particuliere du spectre. En effet,deux materiaux presentant un meme NRC n’ont pas des performances identiques a toutesces frequences mais seulement en moyenne. Cet indicateur est largement repandu et est tresutilise par les industriels du batiment.

Comme nous l’avons vu dans le chapitre 5, un phenomene de diffusion de pression peut

155

Page 156: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 6. Optimisation de materiaux au moyen de perforations. Ameliorations des performancesen absorption normale au sens du NRC

se manifester dans des materiaux poreux periodiques presentant une double echelle de per-foration [60]. Pour les materiaux offrant un bon contraste de permeabilite, ce phenomene setraduit essentiellement par un pic sur le spectre d’absorption. La position du pic depend dumateriau utilise, de son epaisseur, des tailles de l’echantillon et de la perforation ainsi que dela forme de cette derniere [5], [9]. Pour des echantillons de laines minerales classiques et desperforations de l’ordre du centimetre, ce pic se situe generalement entre 200 Hz et 1000 Hz cequi est la bande de frequence couverte par le NRC. Pour des pics qui se situeraient en dessousde 200 Hz un indicateur du meme type couvrant les basses frequences pourrait etre utilise.

Dans le cas de guides d’ondes, Pilon [67] a montre qu’il etait possible d’identifier lesmateriaux reagissant a la presence de fuites laterales. En effet, ces conditions de montage par-ticulieres peuvent produire des differences entre la valeur theorique du coefficient d’absorptioncalculee analytiquement pour un materiau de dimensions laterales infinies et la valeur mesureeexperimentalement. Soit le phenomene de diffusion de pression se produit pour un materiau,et les differences observees sur l’absorption sont positives du fait de l’accroissement du coeffi-cient d’absorption lie au phenomene (comme dans le cas des perforations periodiques), soit lescavites laterales jouent le role de fuites acoustiques et les differences observees sont negativesdu fait de la diminution de l’absorption.

Dans le cas d’un materiau de forme cylindrique presentant une fuite sur son pourtour,Pilon [67] definit le rapport des permeabilites statiques du domaine micro poreux Πs et dudomaine meso poreux Πs

m comme etant egal a :

Πsm

Πs=

σφmR2m

8η, (6.1)

ou, σ est la resistivite du materiau, φm est la mesoporosite, R2m = 2Rt − t2 avec 2R le

diametre du tube et t la dimension des fuites. Afin de quantifier les ecarts entre les spectresavec et sans fuites, il propose des regressions polynomiales etablies pour des configurationsou R et t prennent des valeurs correspondant a des diametres de tube et des tailles de fuitespossibles. Dans le cas de materiau de forme cylindrique presentant une fuite sur leur pourtour,ces polynomes permettent d’identifier les materiaux et les configurations pour lesquels lephenomene de diffusion en pression va se produire.

Les caracteristiques du pic telles que la hauteur, la position et la largeur spectrale, varienten fonction de l’epaisseur du materiau et de la taille de la perforation [9]. La modification dela forme des pics due aux variations des parametres rend difficile la comparaison des spectres.

Il est cependant possible d’evaluer l’effet de ces variations sur le spectre d’absorption d’unpoint de vue global au moyen du NRC.

L’optimisation des materiaux perfores revient a determiner l’epaisseur et la taille de lamesoperforation qui fournissent le plus grand NRC.

Cette section pourrait s’adresser a des manufacturiers desireux de fournir une nouvellegamme de produits, optimises en absorption normale au sens du NRC en effectuant desperforations. En effet, comme application de nos outils, nous proposons une methodologienumerique permettant de repondre aux deux problemes suivants :

Probleme 2D : Pour un materiau repondant positivement au phenomene de double po-rosite, quelles doivent etre l’epaisseur et la taille de la perforation a utiliser pour obtenir

156

Page 157: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

6-2. Methodologie des surfaces de reponses

un NRC maximal ?Probleme 1D : Pour une epaisseur donnee de ce meme materiau, quelle doit etre la taille

de la perforation pour obtenir le NRC maximal ?

6-2 Methodologie des surfaces de reponses

La methodologie des surfaces de reponses [57] fait appel a un ensemble d’outils mathema-tiques et statistiques simples, dont le but est de modeliser et d’analyser une reponse influenceepar plusieurs variables. L’analyse des resultats permet d’elaborer un modele simplifie de lareponse en fonction des variables dont elle depend. Cette methodologie s’avere tres efficacepour trouver des solutions a des problemes d’optimisation.

Dans notre cas, nous voulons rendre maximale la reponse NRC en fonction de la meso-porosite φp et de l’epaisseur e du materiau (Probleme 2D). La reponse NRC est une fonctiondes deux variables φp et e. On l’ecrit :

NRC = f(φp, e) + ε (6.2)

ou f est la fonction reponse et ε represente l’erreur observee sur la reponse. La surface definiepar la fonction f est appelee surface de reponse.

Les relations entre les variables et la reponse sont inconnues a priori. Il est donc necessaired’approcher sur un intervalle de variations la veritable fonction de reponse. Habituellement,on choisit un polynome d’ordre peu eleve. Dans le cas ou les surfaces sont courbees [57], onutilise un polynome d’ordre 2 ou 3, rarement superieur, preferant alors reduire le domained’approximation.

Suivant ce dernier principe nous nous sommes limites a des polynomes d’ordre 2, pourconserver un modele simple, capable de prendre en compte la courbure locale des surfacesde facon satisfaisante et de trouver l’optimum avec une precision raisonnable. Sous formematricielle un modele d’ordre 2 s’ecrit :

y = β0 + 〈x〉 b+ 〈x〉 [B] x, (6.3)

ou y est la reponse predite par le modele, β0 la valeur estimee du parametre constant dumodele, 〈x〉 le vecteur contenant les variables. 〈b〉 est le vecteur des parametres estimes d’ordre1 et [B] est la matrice des parametres estimes d’ordre 2. L’estimation de ces parametres sefait au moyen d’une minimisation d’erreur au sens des moindres carres.

L’analyse de la surface de reponse modelisee permet de conclure quant au comportementdu systeme reel. La recherche des valeurs optimales revient a rechercher la position d’un pointstationnaire sur cette surface. En derivant y par rapport a x on trouve les coordonnees dupoint stationnaire xs :

xs = −12

[B]−1 b. (6.4)

Dans le cas ou la zone ciblee est trop vaste et ou la precision du modele obtenu n’est passuffisante, la zone de variation des parametres peut etre redefinie dans la zone de l’optimumpresume xs et reduite.

157

Page 158: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 6. Optimisation de materiaux au moyen de perforations. Ameliorations des performancesen absorption normale au sens du NRC

La determination et l’analyse de la surface de reponse est grandement facilitee par le choixd’un plan d’experience.

6-2.1 Plans d’experiences

La methode la plus efficace pour ajuster un modele a des points experimentaux, consistea utiliser des plans d’experiences [57], [26]. La notion de plan d’experience fait appel a unensemble de methodes qui permettent la planification et l’analyse d’experiences. Ces methodespermettent d’organiser et de choisir les experiences afin d’extraire un maximum d’informationdes resultats obtenus. Contrairement a la demarche classique qui vise a ne faire varier qu’unparametre a la fois en fixant les autres, les plans d’experiences font varier tous les parametresen meme temps. Cet aspect reduit considerablement le nombre d’experiences a mettre enœuvre. L’extraction de l’information contenue dans les resultats se fait au moyen d’outilsstatistiques simples.

Habituellement, avant de faire des experiences, un experimentateur doit determiner les pa-rametres ou facteurs dont depend la reponse qu’il souhaite modeliser. Il doit aussi determinerles plages de variation de ces parametres. Pour la construction d’un plan d’experience, l’expe-rimentateur doit determiner les niveaux (valeurs) que vont prendre les parametres. On appelleplan factoriel, tout plan contenant des combinaisons des niveaux des differents parametres.Lorsque le plan contient toutes les combinaisons possibles de ces niveaux on dit qu’il estcomplet sinon on le dit fractionnaire.

Pour la determination d’un modele d’ordre 2, deux types de plans sont particulierementadaptes : les plans dits centraux composes, qui sont bases sur des plans factoriels 2k (adeux niveaux et k parametres) fractionnaires, et les plans factoriels 3k (a trois niveaux et kparametres) complets.

Les plans dits centraux composes sont tres populaires car ils sont simples et rapides amettre en œuvre.

Ils sont bases sur des plans 2k mais different, car les plans a deux niveaux par parametres nepermettent pas d’etablir des modeles quadratiques. Afin de prendre en compte la courbure dessurfaces, les plans initiaux sont augmentes de 2k experiences axiales. Ces experiences axialessont des combinaisons de valeurs intermediaires des parametres. Des experiences centralessont egalement ajoutees pour determiner la variance de la reponse predite. Cette approche quiajuste un plan en composant des plans plus simples suit les regles de la strategie sequentielle.Cette strategie vise a ajouter une nouvelle sequence experimentale chaque fois que la sequenceprecedente s’est averee insuffisante pour determiner un modele conforme a la reponse veritable.Un modele d’ordre superieur est envisage chaque fois que le modele d’ordre inferieur a echoue,tendant toujours a minimiser le nombre d’experimentation et permettant de valoriser toutesles experiences menees en les incluant dans les nouveaux plans.

Les plans factoriels 3k sont faits pour determiner des modeles d’ordre 2. Ils sont plus lourdsa mettre en œuvre car ils comportent a priori plus d’experiences. Dans le cas de 2 parametreset lorsqu’aucune hypothese particuliere n’est faite sur les parametres, les deux types de planspresentent un nombre identique d’experiences.

158

Page 159: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

6-3. Optimisation d’un materiau au sens du NRC

Lorsque la courbure de la reponse est pressentie et que le nombre de parametres est egala deux nous utilisons preferentiellement les plans 3k. Dans les autres cas ce sont les planscentraux composes qui sont utilises.

6-3 Optimisation d’un materiau au sens du NRC

L’enonce de notre premier probleme est : Pour un materiau M repondant positivementau phenomene de double porosite, quels doivent etre l’epaisseur et la taille de la perforation autiliser pour obtenir un NRC maximal ?

Repondre a cette question, necessite par consequent de :

1. trouver un materiau repondant positivement au phenomene de double porosite,

2. trouver le NRC maximal en considerant le NRC comme une fonction des variables e etφp.

6-3.1 Materiau repondant positivement au phenomene de diffusion en pres-sion

Pour ce premier point nous avons utilise le critere defini par Pilon dans le cas d’uneconfiguration determinee. Nous avons retenu le materiau dont les caracteristiques figurentdans le tableau 6.1. Les parametres de la configuration (R et t), les coefficients a,b et c du

Nom φ σ α∞ Λ Λ′ ρ1 E ν ηMatD 0.93 67992 1.42 36.45 81.78 106 1.107 0 0.1

Tab. 6.1 – Parametres acoustiques et mecaniques du materiau retenu.

polynome quadratique utilise et les resultats du critere sont donnes dans le tableau 6.2. Le

fdec H R t Coefficients σR2mφ

8ηΣ∆alpha

Σαth

( Hz) (m) (m) (m) a b c (%)MatD 90 0.1 0.0145 0.0005 -1.7986e-6 -1.7249e-2 -0.8804 446 6.5

Tab. 6.2 – Frequence de decouplage, parametres de la configuration et proprietes du materiauMatD, d’apres [67].

rapport des permeabilites statiques est de 446. Les differences calculees grace aux modelespolynomiaux etablis par Pilon sont bien positives et de l’ordre de 6.5%. Le phenomene dediffusion en pression devrait se produire pour le materiau choisi. La frequence de decouplage[83] est de 90 Hz. Cette valeur est inferieure a la frequence du spectre la plus basse a prendreen compte pour le calcul du NRC qui est de 225 Hz. Pour ce materiau, le mouvement de laphase solide n’intervient pas dans la gamme de frequence de calcul du NRC, nous utilisons laformulation en fluide equivalent pour les simulations numeriques.

159

Page 160: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 6. Optimisation de materiaux au moyen de perforations. Ameliorations des performancesen absorption normale au sens du NRC

Nous avons aussi verifie les regles donnees par Olny [62]. Pour le meme materiau, supposantune epaisseur de 10 cm, une taille d’echantillon de 10 cm et une taille de perforation de 1 cmde diametre, les valeurs calculees pour la frequence visqueuse et pour la frequence de diffusionainsi que leur rapport sont donnes dans le tableau 6.3. La valeur de 0.0261 trouvee pour le

Materiau P0 ρ0 D(0) ων ωdωνωd

Pa kg.m−3 m2 rad.s−1 rad.s−1

MatD 101325 1.206 0.0016 36923.7 964.2167 0.0261

Tab. 6.3 – Frequences caracteristiques du materiau MatD.

quotientων

ωdest tres inferieure a l’unite ce qui montre que le materiau choisi est un bon

candidat. Une verification numerique en effectuant une simulation montre que le phenomene

0 500 1000 1500 2000 2500 30000.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fréquence [Hz]

α

Fig. 6.1 – Verification numerique de la manifestation du phenomene de diffusion en pressionsur le materiau MatD : −−−, simple porosite ; −−−+ , double porosite.

de diffusion en pression se produit bien en comparant le spectre du materiau homogene aveccelui du materiau perfore. Pour des raisons geometriques, la perforation de la simulation estde forme carree et son cote mesure 2 cm. Les resultats presentant le coefficient d’absorptionα en fonction de la frequence sont donnes dans la figure 6.1.

On voit apparaıtre nettement l’influence de la perforation avec la presence d’un pic d’ab-sorption a 200 Hz.

160

Page 161: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

6-3. Optimisation d’un materiau au sens du NRC

6-3.2 Optimisation

Pour le second point, la determination du NRC maximal est effectuee au moyen d’unplan factoriel complet de deux parametres a trois niveaux 32 et en utilisant la methodologiedes surfaces de reponse. Les resultats sont fournis par des simulations numeriques supposantun materiau a matrice rigide (formulation fluide equivalent) insere dans un guide d’onde. Lataille du guide d’onde est fixee a 10 cm× 10 cm.

Les valeurs de l’epaisseur e pour les simulations ont ete fixees a 0.03 cm ,0.05 cm et 0.1 cm.Ce sont des valeurs courantes pour les epaisseurs de materiaux. Pour la mesoporosite φp, lesvaleurs choisies sont 0, 0.11 et 0.3. La valeur 0 correspond a un materiau homogene. Lavaleur 0.3 correspond a la plus grande perforation que l’on estime realisable d’un point devue pratique dans un materiau poreux. En effet, les perforations ne doivent pas affecter latenue du materiau. La valeur de 0.11 correspond a une valeur intermediaire. Cette valeur dela mesoporosite a ete choisie car nous disposions de resultats avant l’elaboration du plan. Cesresultats ont donc ete integres au plan.

Les resultats, en terme de NRC, des 9 simulations numeriques de ce plan note A sontpresentes dans le tableau 6.4. L’utilisation d’une methode numerique d’experimentation, sup-

Plan Aφp

0 0.11 0.30.03 0.55 0.55 0.47

e 0.05 0.63 0.70 0.610.1 0.62 0.83 0.74

Tab. 6.4 – Resultats du plan d’experience A

prime les repetitions des simulations centrales et simplifie considerablement le traitementstatistique car il n’y a pas de dispersion des resultats pour une meme experience.

6-3.3 Analyse des resultats du plan d’experience

Les coefficients du modele d’ordre 2 sont obtenus a partir des resultats du plan A enutilisant la methode des moindres carres. L’equation du modele NRC obtenu ainsi que lecoefficient de correlation R2 sont donnes par :

NRC = 0.2893 + 9.6896× e + 0.7728× φp − 60.6054× e2 − 4.1726× φ2p + 8.3523× eφp,

R2 = 0.9412.(6.5)

On note d’importants ecarts entre les valeurs des simulations (Tab. 6.5 a) et celles preditespar le modele (Tab. 6.5 b), ce que confirme le coefficient de correlation R2 du modele qui vaut0.9412. En effet, seule la valeur centrale du plan coıncide (cellules grisees dans les tableaux).Le modele presente donc une mauvaise adequation aux points de simulation meme si les ordresde grandeur sont respectes. Les valeurs des deux tableaux indiquent cependant que les valeurs

161

Page 162: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 6. Optimisation de materiaux au moyen de perforations. Ameliorations des performancesen absorption normale au sens du NRC

Plan Aφp

0 0.11 0.30.03 0.55 0.55 0.47

e 0.05 0.63 0.70 0.610.1 0.62 0.83 0.74

Modele 1φp

0 0.11 0.30.03 0.52 0.59 0.45

e 0.05 0.61 0.70 0.600.1 0.63 0.77 0.76

a b

Tab. 6.5 – Comparaison des resultats : a) simulations numeriques ; b) predictions du modele1.

Plan Bφp

0 0.1 0.20.075 0.63 0.79 0.76

e 0.1 0.62 0.82 0.800.125 0.62 0.81 0.83

Tab. 6.6 – Resultats du plan d’experience B.

les plus importantes du NRC se situent pour des niveaux des parametres proches de 0.11 pourφp et de 0.1 m pour e (valeurs en rouge (ou en fonce) dans Tab. 6.5 a) et dans Tab. 6.5 b).

Les parametres du modele sont reevalues dans cette zone afin de determiner la positiondu maximum. Un deuxieme plan d’experience note B est construit en recentrant autour dela valeur maximale de 0.83 du NRC. φp prend des valeurs comprises entre 0.05 < φp < 0.2 ete prend des valeurs comprises entre 0.075 < e < 0.125. Pour ce nouveau plan d’experience,l’epaisseur est augmentee mais la plage de variation est moins large que pour le plan A. Lazone analysee est donc moins grande meme si elle porte desormais sur des valeurs qui n’ont pasete testees lors du premier plan. Les resultats des simulations numeriques du plan d’experienceB sont donnes dans le tableau 6.6. Un nouveau modele est construit en minimisant l’erreur ausens des moindres carres. La surface de reponse obtenue avec le nouveau modele est presenteesur la figure Fig. 6.2 son equation est donnee par :

NRC = 0.4913 + 2.0735× φp + 3.04368× e− 10.0344× φ2p − 16.5517× e2 + 8.0× eφp

R2 = 0.9959(6.6)

Il n’y a pas de maximum strict pour les niveaux des parametres qui ont ete choisis. Enrevanche, il est possible de definir une droite, ensemble des points emergeants (rising ridge[57]), appelee droite des maxima sur la figure 6.3. On remarque que pour l’intervalle desepaisseurs allant de 0.075 cm a 0.125 cm la position des maxima correspond a des valeurs dela meso-porosite comprises entre 13% et 15%.

On note un ralentissement de l’accroissement de NRC le long de cette droite. Le NRCaugmente de pres de 3% entre 7.5 cm et 9 cm, puis de 2% entre 9 cm et 11 cm. A partir de11 cm d’epaisseur plus aucun accroissement notable de NRC ne se fait.

Nous definissons ainsi une zone optimale situee entre 9 cm et 11 cm, a l’interieur de laquelle

162

Page 163: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

6-3. Optimisation d’un materiau au sens du NRC

0.070.08

0.090.1

0.110.12

0.13

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

e [ m]φp

NR

C

Fig. 6.2 – Surface de reponse NRC = f(φp, e) du second plan d’experience.

0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.1250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

e

φp

0.765030.77262

0.77262

0.780210.78021 0.78021

0.7878

0.7878 0.7878

0.79539

0.79539 0.79539

0.80298

0.80298

0.80298

0.80298 0.80298

0.81057

0.81057

0.81057

0.81057 0.81057

0.81817

0.8181

7

0.81817

0.818170.81817

0.82576

0.82576

0.82576

0.825760.82576

0.83335

0.83335

0.833350.83335

0.84094

Droite des maxima

Zone O ptimale

[m]

Fig. 6.3 – Droite des maxima et determination de la zone optimale.

le NRC ne varie plus de facon notable.

L’intervalle choisi donne une marge pour une eventuelle conception car une variation de2 cm pour l’epaisseur d’un materiau absorbant peut entraıner des gains de poids considerables.Il peut en etre tenu compte lors de recherche d’optima pour des projets particuliers danslesquels le poids constitue une donnee essentielle du probleme a traiter.

Par exemple pour une epaisseur de 10 cm, la valeur de la mesoporosite correspondant a

163

Page 164: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 6. Optimisation de materiaux au moyen de perforations. Ameliorations des performancesen absorption normale au sens du NRC

un maximum pour le NRC est comprise entre 12% et 14%. La valeur du NRC est alors de83% alors que la valeur du NRC obtenue pour le materiau sans perforation est de 62% (cf.Tab.6.6) ce qui constitue un gain d’absorption de 21%.

Il est possible d’affiner le modele en reduisant une fois de plus l’intervalle de variationdes parametres e et φp et d’effectuer un troisieme plan d’experience. Cependant la precisionatteinte ici est bien suffisante. En effet, les gains en terme de NRC lies a des valeurs de e etφp plus precises, ne suffiraient pas a motiver la realisation technique de materiaux necessitantun tel controle et une telle qualite au niveau de la decoupe des perforations.

6-3.4 Verification

A des fins de verifications, des simulations numeriques sont effectuees pour des valeurs dela mesoporosite de 11%, 12%, 13%, 14%, 15% et une epaisseur de 10 cm. Ces points serventnon seulement a valider le modele et a tester sa robustesse et son adequation en dehors despoints de simulation mais aussi a valider le maximum trouve pour cette epaisseur-la. Lesresultats de ces dernieres simulations sont donnes dans le tableau 6.7. L’optimum determine

φp NRC0.11 0.82680.12 0.82780.13 0.82710.14 0.82510.15 0.8223

Tab. 6.7 – Recherche de l’optimum : Simulations numeriques.

par les simulations numeriques se situe bien pour une valeur de la mesoperforation egale a 12%ou 13% ce qui concorde avec les predictions du modele etabli au moyen du plan d’experienceB. Les valeurs optimales de e et φp ont bien ete determinees pour ce materiau.

Dans le cas ou la valeur optimale du NRC coıncide avec une epaisseur de materiau com-mercialise cela permet d’envisager d’utiliser le materiau sous une autre forme. Dans le casou cette epaisseur n’existe pas, cela peut conduire a la realisation d’un materiau ayant desapplications bien specifiques a l’acoustique. On peut aussi envisager d’optimiser le materiauuniquement pour les epaisseurs existantes, ce qui correspond au cas du deuxieme problemeenonce au debut de cette partie. Il suffit alors de trouver la mesoperforation optimum pourune epaisseur donnee. Ceci revient a analyser la courbe de reponse et non la surface. Unetechnique similaire transposee cette fois-ci a des courbes de reponses peut etre utilisee. Dansle cas ou le materiau n’existerait que dans les epaisseurs 2.5 cm, 5 cm et 10 cm nous avons ef-fectue les recherches du maximum a l’aide du deuxieme modele. Pour chacune des epaisseurs,les valeurs optimales de la mesoporosite ont ete trouvees respectivement egales a 11%, 13%et 13%.

164

Page 165: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7

Impact des fuites acoustiques sur lesmesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche etbi-couches

Dans cette partie nous nous proposons d’etudier l’impact de fuites laterales sur les me-sures d’absorption faites au tube a ondes stationnaires rectangulaire pour des materiauxporeux mono-couches et bi-couches. Ces conditions de montage modifient l’absorption desmateriaux entraınant des erreurs lors de la determination des parametres acoustiques avecdes methodes inverses. L’impact de fuites a ete etudie numeriquement par Pilon [67] au moyend’un code elements-finis axi-symetrique. Ses travaux considerent que la pression imposee surle materiau et la fuite est uniforme, ce qui constitue une approximation du champ de pres-sion au voisinage de la fuite. Dans une premiere partie, nous reprenons le probleme d’unmateriau poreux mono-couche, presentant des fuites laterales, place dans un guide d’onde enutilisant le developpement du chapitre 3 sur le couplage entre un materiau poreux heterogeneet un guide d’onde. Cette approche permet de prendre en compte plus precisement le champde pression a l’interface entre le guide d’onde et le materiau poreux et de calculer le coef-ficient d’absorption. Nous discutons alors des implications de l’approximation de Pilon surses conclusions. Nous presentons ensuite les resultats obtenus pour des bi-couches constituesa partir de combinaisons de 20 materiaux fibreux couvrant une large gamme de resistivites.Nous montrons en particulier que les fuites laterales affectent le coefficient d’absorption desmateriaux resistifs. Nous montrons egalement que les fuites peuvent ameliorer l’absorption demateriaux et de ce fait qu’elles peuvent etre utilisees pour fabriquer des systemes absorbantsaux performances accrues (panneau de materiaux partitionnes par des cloisons rigides). Lesgraphiques presentes peuvent servir d’abaques pour choisir les systemes les plus performants.

7-1 Cas d’un materiau mono-couche

Nous avons simule numeriquement des mesures d’absorption au tube de Kundt pour desechantillons de materiaux poreux mono-couche d’une epaisseur constante egale a 5.08 cm.

165

Page 166: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7. Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches

10 cm

10 c

m

10 cm

10 c

m

h

Poreux

Configuration 2 : Matériau avec fuite

Configuration 1 : Référence

h

Poreux

Paro

i rigid

e

On

de p

lan

e

Coupe longitudinale Vue de face

fuite

hg

Fig. 7.1 – Configurations etudiees pour les mono-couche

Deux types d’echantillons (avec et sans fuites laterales) sont places dans un guide d’onde. Ilssont colles sur une paroi rigide et sont excites sur leur face avant par une onde plane. Les paroisdu guide sont toutes considerees comme des parois rigides. La geometrie des cas envisages estpresentee sur la figure 7.1. La fuite a pour dimension laterale hg et sa profondeur est egalea l’epaisseur du materiau. Les proprietes des materiaux fibreux utilises pour les simulationssont donnees dans le tableau 7-1 [2]. Pour les calculs numeriques, les maillages ont ete adaptesautomatiquement en suivant la procedure enoncee dans le chapitre 4 (page 99). Toutes lessimulations ont ete effectuees en supposant le squelette du materiau comme rigide id est enutilisant une formulation fluide equivalent.

7-1.1 Importance de la prise en compte des modes superieurs dans le casde fuites laterales

Comme dans le cas de perforations centrales, il est important de savoir s’il est necessairede prendre en compte les modes evanescents pour bien modeliser la presence de la fuite dansle guide et de la discontinuite d’impedance qu’elle induit a l’interface guide d’onde-materiauxporeux. Dans le cas d’un changement de section dans un conduit circulaire l’amplitude de lapression des modes plans des sections amont et aval ne sont pas egales[46]. Cette discontinuitede pression a l’interface se traduit localement sur l’impedance par un terme correctif d’induc-

166

Page 167: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

7-1. Cas d’un materiau mono-couche

Nom φ σ α∞ Λ Λ′

[N.s.m−4] [m] [m]MAT1 0.99 2000 1.000 1.72E-04 3.45E-04MAT2 0.99 2549 1.000 1.53E-04 3.06E-04MAT3 0.99 3248 1.000 1.35E-04 2.71E-04MAT4 0.99 4138 1.000 1.20E-04 2.40E-04MAT5 0.99 5273 1.000 1.06E-04 2.13E-04MAT6 0.99 6720 1.000 9.46E-05 1.89E-04MAT7 0.99 8563 1.000 8.38E-05 1.67E-04MAT8 0.99 10911 1.000 7.43E-05 1.48E-04MAT9 0.99 13904 1.000 6.58E-05 1.31E-04MAT10 0.99 17717 1.000 5.84E-05 1.16E-04MAT11 0.99 22577 1.000 5.17E-05 1.03E-04MAT12 0.99 28769 1.000 4.58E-05 9.17E-05MAT13 0.99 36660 1.000 4.06E-05 8.13E-05MAT14 0.99 46714 1.000 3.60E-05 7.20E-05MAT15 0.99 59527 1.000 3.19E-05 6.39E-05MAT16 0.99 75854 1.000 2.83E-05 5.66E-05MAT17 0.99 96659 1.000 2.51E-05 5.02E-05MAT18 0.99 123170 1.000 2.22E-05 4.44E-05MAT19 0.99 156952 1.000 1.97E-05 3.94E-05MAT20 0.99 200000 1.000 1.74E-05 3.49E-05

Tab. 7.1 – Proprietes acoustiques des materiaux fibreux etudies.

167

Page 168: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7. Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches

tance qui s’exprime comme une serie infinie dont l’expression fait apparaıtre les amplitudesdes modes evanescents1 [46, 16].

Afin de repondre a cette question, nous avons trace les valeurs du coefficient d’absorptionsimule pour le materiau 18 du tableau 7.1 dans un cas sans fuite, avec une fuite de dimension0.5 mm (1%) en ne prenant en compte que le mode (0,0) puis en prenant en compte tous lesmodes jusqu’au mode (4,4) pour lequel la courbe d’absorption est convergee. Les resultats sontdonnes sur la figure 7.2. On note que dans le cas ou seul le mode (0,0) est pris en compte, la

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

α

Fréquence [Hz]

Fig. 7.2 – Coefficient d’absorption : —, Materiau sans fuite ; −−−, materiau avec fuite,mode (0,0) uniquement, · · · , materiau avec fuite, tous les modes jusqu’au mode (4,4).

courbe obtenue n’est pas exacte. Le pic predit n’a ni la bonne position (430 Hz contre 330 Hzavec tous les modes jusqu’au mode (4,4)) ni la bonne valeur d’amplitude (0.55 contre 0.60).

Comme nous l’avons fait remarquer dans le cas d’une perforation centree, il est importantde tenir compte des modes superieurs pour predire correctement l’amplitude et la position dupic et pour calculer correctement le coefficient d’absorption.

L’importance est relative a la precision que l’on s’accorde pour rendre compte du phenomenede diffusion.

Dans le cas de Pilon [67], de si faibles variations ne modifient en rien ses conclusions. En ef-fet la variation d’amplitude locale occasionnee par la prise en compte des modes evanescentssur le spectre d’absorption est negligeable compte tenu de la definition d’erreur qu’il uti-lise (normalisation de la somme des ecarts par l’aire de la courbe convergee etablie jusqu’a6000 Hz).

1Ces expressions sont les formes generalisees des corrections de longueur utilisees pour les tubes.

168

Page 169: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

7-1. Cas d’un materiau mono-couche

7-1.2 Resultats

Nous avons choisi de representer le NRC (Noise Reduction Coefficient) (c.f. Chapitre 6)plutot que le spectre du coefficient d’absorption car ceci presente l’avantage de simplifier lapresentation tout en donnant un aspect global de l’absorption. Si l’on trace le NRC en fonction

104

105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

NR

C

σ [ N.s.m-4]

Fig. 7.3 – NRC en fonction de la resistivite σ pour des materiaux mono-couche : —, sansfuites ; −−−, 1% de fuites laterales ; − −· , 2% de fuites laterales.

de la resistivite des materiaux pour des configurations sans fuite, avec 1%(hg = 0.5 mm) et2% (hg = 1 mm) de fuites laterales on obtient le graphique de la figure 7.3. On remarque quepour une meme configuration les fuites n’ont pas le meme effet suivant le type de materiau.On note aussi une influence de la taille de la fuite sur l’absorption globale du materiau [71].Typiquement on peut dire que pour les materiaux dont la resistivite est superieure a environ15000N.s.m−4, la valeur du NRC augmente d’autant plus que le materiau est resistif et que lesfuites sont importantes. Pour les materiaux dont la resistivite est inferieure a 15000N.s.m−4,on remarque que les valeurs du NRC sont d’autant plus faibles que les fuites sont importanteset la resistivite faible. Il est necessaire de tenir compte de ce phenomene lors des mesuresd’absorption au tube de Kundt[67]. En consequence, les experimentateurs doivent porter uneattention toute particuliere a la qualite de leurs echantillons, notamment lors de la phase dedecoupe lorsque les materiaux a couper ont des resistivites elevees. Ce type de conditions demontage peut fausser les resultats des parametres obtenus lors de processus de caracterisationinverse des materiaux.

Lorsque l’on compare (Fig. 7.3), les valeurs obtenues pour le materiau Mat14 sans fuiteet celles avec 2% de fuite, on observe que le NRC passe de de 0.6 a 0.75, ce qui representeun gain de 25%. Pour le materiau Mat20, le NRC passe de 0.45 pour la configuration sans

169

Page 170: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7. Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches

fuites a 0.65 pour la configuration avec 1% de fuite ce qui represente un gain de 44%. Ilest donc possible d’ameliorer l’absorption de ces deux materiaux en utilisant des fuites. Lesspectres d’absorption correspondants sont presentes sur la figure 7.4. Ils montrent que legain s’accompagne de legeres pertes en tres basses frequences (au dessous de 200 Hz pourMat14 et au dessous de 150 Hz pour Mat20). Les spectres obtenus montrent qu’il est possibled’avoir des pics tres localises, comme c’est le cas avec Mat20 ou le pic est centre a 390 Hzavec une largeur totale d’environ 200 Hz, ou bien un effet plus large bande avec relativementpeu d’emergence comme c’est le cas avec Mat14. On retrouve avec les fuites les memes effetsqu’avec les materiaux perfores [71].

Dans un cas de materiau mono-couche nous avons egalement mesure l’influence de l’epais-seur et de la resistivite sur le NRC. Nous avons effectue des simulations pour les 20 materiauxpour des epaisseurs variant de 5 mm a 5 cm par pas de 5 mm pour la configuration sansfuite et une configuration avec 2% de fuite. L’outil numerique developpe est relativementadapte pour effectuer ce genre d’etude. Le raffinement automatique de maillage a notammentpermis d’obtenir des resultats converges sans avoir a effectuer manuellement le maillage detous les cas envisages, ce qui aurait pu etre une tache fastidieuse compte tenu du nombrede simulations (400 pour le graphique de la figure 7.5 et plus de 4000 pour pouvoir tracertous les graphiques de ce chapitre !). Les resultats pour les configurations mono-couche de cesmateriaux sans fuite et avec 2% de fuite sont presentes sous forme de contours iso-NRC dansla figure 7.5.

Tout d’abord dans le cas de la configuration sans fuite (Fig. 7.5 (a)), on remarque de facongenerale que plus l’epaisseur est importante et plus le NRC est important. Il suffit pour s’enconvaincre de suivre une meme verticale. On note cependant que pour les materiaux pourlesquels σ est superieur a 80000N.s.m−4, il existe une epaisseur limite au dela de laquelle leNRC ne croıt plus en fonction de l’epaisseur. Ceci est du a l’effet de peau presente dans lasection 5-3. Ainsi pour un materiau ayant une resistivite d’environ 150000N.s.m−4, le NRCest maximal et egal a 50% a partir d’une epaisseur h d’environ 3 cm.

Lorsque le materiau presente 2% de fuites (Fig. 7.5 (b)) laterales on remarque que seule lazone des contours NRC=0.5, 0.6, 0.7 change d’allure de maniere significative. Cette zone tenda s’etendre vers des materiaux plus resistifs. Les deux graphiques ont ete superposes (figure7.6) afin de mieux apprecier les differences.

Les contours en rouge correspondent au cas sans fuite alors que les contours noirs corres-pondent au cas avec 2% de fuite. Les contours obtenus pour les deux types de configurationsne sont pas superposables et il est possible d’estimer les variations de NRC en effectuant lesdifferences entre les valeurs des contours. Ainsi, lorsqu’une zone du graphique initialementcomprise entre deux contours rouges de valeurs du NRC egales a 0.5 et 0.6 se retrouve entredeux contours noirs de valeurs 0.6 et 0.7, on peut dire que l’accroissement moyen de la zoneest de 10%. Ces zones ou le NRC s’accroıt en moyenne de 10% et 20% ont ete representees engris clair et gris fonce sur la figure 7.6. Les zones pour lesquelles aucune variation superieureou egale a 10% n’est perceptible restent en blanc.

Une frontiere a ete etablie afin de delimiter trois zones ou l’influence des fuites estdifferente. On note une zone dans laquelle les fuites ameliorent le NRC de maniere signi-ficative avec des accroissements pouvant atteindre 20%, une zone ou les fuites deteriorent lesperformances (variation inferieure a 10%) et une zone dans laquelle la presence de ce type de

170

Page 171: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

7-1. Cas d’un materiau mono-couche

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frequence [Hz]

α

(a)

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frequence [Hz]

α

(b)

Fig. 7.4 – Spectres d’absorption en fonction de la frequence : (a) − Mat14 sans fuite,−−−Mat14 avec 2% de fuite ; (b) − Mat20 sans fuite, −− Mat20 avec 2% de fuite.

171

Page 172: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7. Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches

104

105

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

σ [ N.s.m-4]

h [

m]

NRC

0.1

0.10.1

0.1

0.2

0.2

0.20.2

0.3

0.3

0.30.3

0.4

0.4

0.4 0.4

0.5

0.5 0.5

0.5

0.6

0.6

0.6

0.7

(a)

104

105

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

σ [ N.s.m-4]

h [

m]

NRC

0.1

0.10.1 0.1

0.2

0.2

0.20.2

0.3

0.3

0.30.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5

0.5 0.5

0.6

0.6 0.6

0.6

0.7

0.7

(b)

Fig. 7.5 – Courbes iso-NRC en fonction de la resistivite σ et de l’epaisseur h : (a) sans fuite,(b) 2% de fuite.

172

Page 173: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

7-1. Cas d’un materiau mono-couche

Zone

d'amélioration

Zone de pertes

104

105

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

σ [ N.s.m-4]

h [

m]

NRC

0.1

0.10.1 0.1

0.2

0.2

0.20.2

0.3

0.3

0.30.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5

0.5 0.5

0.6

0.6 0.0.6

0.lioration6lioration

0.7

0.7

10% 20%

Accroissement du NRC :

sans fuite

avec fuite

Contours :

0.7

0.70.70.7

0.7

0.70.70.7

lioration

0.6

0.7

éliorationlioration

0.6 0.0.0.66

0.7

0.5 0.5

6

0.50.5 0.50.5

0.66lioration0.liorationlioration6liorationliorationliorationliorationlioration0.0.liorationlioration66liorationlioration

0.40.4

Zone inchangée

Fig. 7.6 – Superposition des figures 7.5 (a) et (b)

fuites n’a aucune influence sur le NRC.

Ainsi les materiaux du tableau 7-1 presentant une epaisseur inferieure a 2 cm ne sont pasaffectes par la presence de fuites meme s’ils sont tres resistifs. Dans la zone de deteriorationon note que la diminution du NRC est d’autant plus forte que le materiau est epais et peuresistif. En revanche a l’interieur de la zone d’amelioration, le NRC croit avec l’epaisseur dumateriau (ou de la fuite) et la resistivite.

L’influence des fuites sur une mesure d’absorption au tube de kundt depend de la taillede la fuite, du materiau considere et de son epaisseur. Les graphiques presentes permettent ala fois de voir les situations pouvant poser des problemes lors de mesures effectuees pour descaracterisations inverses ainsi que les materiaux dont l’absorption peut etre amelioree.

173

Page 174: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7. Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches

7-2 Cas de materiaux bi-couches

Le comportement d’un materiau bi-couches compose de deux couches de materiaux pre-sentes dans le tableau 7-1 est etudie suivant trois types de configurations. La premiere confi-guration est la configuration de reference. Elle ne comporte pas de fuite et le materiau estsuppose etre parfaitement ajuste aux dimensions du guide. Les deux autres configurationsetudiees sont des configurations pour lesquelles des fuites sont presentes sur l’une ou l’autredes couches. Les epaisseurs des couches sont variables et sont notees respectivement h1 et h2.Les echantillons sont supposes carres et ont une longueur d’arete inferieure ou egale a 10 cm.Les vues en coupe et de face des configurations envisagees sont donnees a la figure 7.7. La

10 cm

10 c

m

10 cm

10 c

m

10 cm

10 c

m

h1 h2

co

uch

e 2

co

uch

e 1

co

uch

e 2

co

uch

e 1

h1 h2

Configuration 2 : fuites sur la couche 1

Configuration 3 : fuites sur la couche 2

Configuration 1 : Référence

h1 h2

co

uch

e 2

co

uch

e 1

paro

i rigid

e

on

de p

lan

e

Fig. 7.7 – Configurations testees dans le cas de materiaux bi-couches.

174

Page 175: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

7-2. Cas de materiaux bi-couches

configuration de reference comporte deux couches de materiaux parfaitement ajustees auxdimensions d’un guide carre de dimensions 10 cm × 10 cm. Pour la deuxieme configuration,des fuites de 1% sont presentes sur la premiere couche ce qui represente un espace d’air entrele materiau et les parois du guide egal a 0.5 mm. Ce type de fuite correspond a une incertitudecourante sur la taille d’un echantillon liee a un processus de decoupe. La deuxieme couche estsupposee etre parfaitement ajustee aux dimensions du tube. Enfin pour la troisieme configu-ration, seule la deuxieme couche presente des fuites de 1%, nous n’envisageons ici que les casou une seule des deux couches constituant le materiau a des fuites.

7-2.1 Cas ou l’epaisseur des couches est fixee a 2.54 cm (1”)

Dans cette partie les epaisseurs h1 et h2 des deux couches sont egales. Elles sont fixees a2.54 cm, ce qui represente une epaisseur totale de 5.08 cm.

104

105

104

105

NRC0 45 0.45

0.5 0.5 0.5

0.55 0.55 0.55

0.6

0.6

0.6 0.6 0.6

0.650.60.65

0.65

0.65

0.65

0.65

0.70.70.7

0.70.7

0.7

σ2

[N.s.m-4]

σ1

[N

.s.m

-4]

0.650.60.6

0.70.70.70.7

0.7

0.70.7

0.70.70.7

0.70.7

0.70.7

0.7

0.60.650.60.60.60.650.60.60.650.60.6

0.6 0.6 0.6

0.650.650.65

0.6 0.6 0.60.6

0.650.650.650.65

0.550.55

0.6 0.6 0.6

0.55

0.60.6

0.55

0.6 0.60.6 0.60.6

0.5 0.50.5 0.5

0.55 0.55

0.50.5 0.5 0.5

0.550.55 0.550.550.550.550.550.55

0.45

0.5 0.5 0.50.50.5 0.50.50.50.5

00.4545 0.4500 4545 0.450.45

0.55 0.550.550.55 0.550.55

10% 15%5%

Accroissement du NRC :

sans fuite

avec fuite

Contours :

Fig. 7.8 – Comparaison des contours iso-NRC dans les cas 1 et 2. Evaluation des accroisse-ments du NRC.

175

Page 176: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7. Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches

104

105

104

105

NRC0.45 0.45 0.45

0.5 0.5 0.5

0.55 0.55 0.55

0.6

0.6

0.6 0.6 0.6

0.650.650.65

0.650.65

0.65

0.65

0.65

0.70.70.7

0.70.7

0.7

σ2

[N.s.m-4]

σ1

[N

.s.m

-4] 0.7

0.7

0.7

0.70.70.7

0.650.65

0.65

0.650.65

0.65

0.65

0.650.650.650.650.650.65

0.650.650.650.650.650.65

5%

Accroissement du NRC :

sans fuite

avec fuite

Contours :

Fig. 7.9 – Comparaison des contours iso-NRC dans les cas 1 et 3. Evaluation des accroisse-ments du NRC.

La figure 7.8 correspond a la superposition des contours du NRC de la configuration dereference et de la configuration 2. La figure 7.9 correspond a la superposition des contours duNRC de la configuration de reference et de la configuration 3. La resistivite de la premierecouche est presentee en ordonnee alors que la resistivite de la deuxieme couche est presenteeen abscisse. Les contours correspondant au cas de reference sont traces en traits rouges et lescontours correspondant aux configurations comportant des fuites sont traces en traits noirsepais. La resolution des contours (difference entre deux contours consecutifs) dans ce cas est de5% et les accroissements ont ete evalues de la meme facon que dans la section precedente. Lesniveaux de gris correspondants sont indiques en legende. La diagonale en pointilles representeles configurations pour lesquelles les deux couches sont constituees d’un meme materiau. Cescas sont identiques au cas du mono-couche de la section precedente.

La presence de fuites modifie les contours. Un accroissement du NRC allant jusqu’a 15%peut etre observe pour les materiaux les plus resistifs sur la configuration 2 alors que pourla configuration 3 l’accroissement maximal n’est que de 5%. L’effet est donc plus important

176

Page 177: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

7-2. Cas de materiaux bi-couches

sur le systeme bi-couches lorsque la fuite est presente sur la premiere couche plutot que surla deuxieme.

Lorsque la fuite est presente sur la premiere couche, les materiaux de la premiere couchedont la resistivite est superieure a 30000N.s.m−4 sont tres sensibles a la presence de fuites.Quel que soit le materiau qui leur est adjoint en deuxieme couche, la presence de fuites de1% fait varier le NRC de 5 a 15%. Plus le materiau de la premiere couche est resistif et plusla variation est importante.

Lorsque la fuite est presente sur la deuxieme couche, des variations de l’ordre de 5% surle NRC peuvent etre obtenues pour des bi-couches dont la premiere couche est constitueed’un materiau dont la resistivite est inferieure a 30000N.s.m−4 et la deuxieme couche estconstituee d’un materiau dont la resistivite est superieure a 80000N.s.m−4.

Tout comme dans le cas mono-couche ce sont ces materiaux qui presentent le plus derisques d’erreurs lors de mesures. Ce sont aussi les materiaux qui peuvent etre utilises pourleurs proprietes absorbantes particulieres. L’etude sur les materiaux mono-couche a montreque l’effet des fuites dependait du materiau mais egalement de la taille de la fuite et de sonepaisseur. Dans un deuxieme temps, nous allons modifier ces deux parametres afin d’analyserleur influence sur des materiaux bi-couches.

7-2.2 Influence de l’epaisseur

Dans cette section nous avons fait varier l’epaisseur des couches de materiaux. L’epaisseurde la premiere couche a ete fixee a 6 mm, 3 mm et 1 mm. De facon a garder une epaisseurtotale constante et egale a 5.08 cm les valeurs des epaisseurs de la deuxieme couche ont etefixees respectivement a 44.8 mm, 47.8 mm et 49.8 mm. Les simulations ont ete effectueesen supposant le bi-couches parfaitement ajuste d’une part et presentant 1% de fuite sur lapremiere couche d’autre part.

Tout d’abord on remarque que l’allure des contours change avec l’epaisseur des materiauxmis en jeux. L’epaisseur et les types de materiaux utilises modifient l’absorption des systemesbi-couches.

La comparaison des figures 7.10 et 7.11 montre qu’une diminution de l’epaisseur de lapremiere couche faisant passer celle-ci de 6 mm a 3 mm necessite l’emploi d’un materiau plusresistif pour maintenir un NRC de 0.7.

Les iso-lignes sont tres courbees sur la figure 7.10, presentant a la fois une partie horizontaleet une partie verticale (forme de boomerang). Cette forme denote un controle de l’une ou del’autre des couches suivant le type de bi-couches. Ainsi un contour horizontal montre que lemateriau utilise en premiere couche domine le comportement global du systeme bi-couchepuisque le materiau intervenant en deuxieme couche ne modifie pas la valeur du NRC obtenu.Un contour plutot vertical montre que le comportement global du systeme bi-couches estcontrole par la deuxieme couche.

Les valeurs des resistivites des materiaux interviennent sur le comportement comme onpeut le voir sur la figure 7.10 mais l’epaisseur joue egalement un role. Plus l’epaisseur de lapremiere couche diminue (figures 7.11 et 7.12) et plus les iso-lignes deviennent verticales ce

177

Page 178: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7. Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches

104

105

104

105

σ2 [ N.s.m-4 ]

σ1 [

N.s

.m-4

]

NRC

0.45

0.5

0.5

50.6

0.6

0.6

5

0.6

50.7

0.65

0.70.7

0.7

0.65

0.7

0.7

0.7

10% 15%5%

Accroissement du NRC :

sans fuite

avec fuite

Contours :

0.650.65

0.60.60.60.60.60.6

0.6

50.6

50.6

50.6

5

0.60.6

0.6

50.6

50.6

5

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.550.550.55

0.5

50.5

50.5

5

0.550.55

0.5

50.5

50.5

50.5

50.5

0.

0.5

0.50.5

0.55

Fig. 7.10 – Contours iso-NRC dans la configuration ou h1 = 6 mm et h2 = 44.8 mm.

178

Page 179: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

7-2. Cas de materiaux bi-couches

104

105

104

105

σ2 [ N.s.m-4 ]

σ1 [

N.s

.m-4

]

NRC

0

10% 15%5%

Accroissement du NRC :

sans fuite

avec fuite

Contours :

.50.5

0.5

0.5

5

.50.5

50.5

5

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

5

0.6

50.6

5

0.6

50.7

.7

0.7

0.7

Fig. 7.11 – Contours iso-NRC dans la configuration ou h1 = 3 mm et h2 = 47.8 mm.

179

Page 180: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7. Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches

104

105

104

105

σ2 [ N.s.m-4 ]

σ1 [

N.s

.m-4

]

NRC

0

10% 15%5%

Accroissement du NRC :

sans fuite

avec fuite

Contours :

.4.4

.4

0.4

50.4

5

0.4

5

.5

0.5

0.5

.5

0.5

0.5

0.5

0.5

50.5

5

.55

0.5

5

0.5

5

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

.6

0.6

5

0.6

5

.65

0.6

5

0.6

5

0.

0.7

0.7

0.7

0.7

0.7

Fig. 7.12 – Contours iso-NRC dans la configuration ou h1 = 1 mm et h2 = 49.8 mm.

180

Page 181: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

7-2. Cas de materiaux bi-couches

qui montre que la deuxieme couche tend a controler le comportement du systeme bi-couches.

On remarque, d’autre part, qu’il y a bien un lien entre l’epaisseur de la couche et l’effetde la fuite comme dans le cas mono-couche. Lorsque l’epaisseur de la couche presentant lafuite est faible, l’effet de la perforation sur le NRC est moins marque. Cela se traduit par unediminution des accroissements du NRC entre les figures 7.10 et 7.11.

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fréquence [Hz]

α

Fig. 7.13 – Spectre d’absorption du systeme constitue de h1 = 1 mm de Mat18 et h2 =49.8 mm de Mat10 : −−−+ sans fuite ; −−−ª avec fuites.

Pour une epaisseur de 1 mm, on ne remarque aucun effet de la fuite sur les contours duNRC. La fuite a soit un effet sur le systeme qui n’est pas pris en compte car cet effet ne semanifeste pas dans la gamme de frequence propre au NRC (en dessous de la bande de tiersd’octave centree a 250 Hz ou au dessus de la bande de tiers d’octave centree a 2000 Hz), soitl’effet de la fuite est negligeable sur le spectre dans la gamme de frequence du NRC pour lesmateriaux envisages. A titre de verification nous comparons les spectres d’un bi-couches surune gamme de frequence plus etendue comprise entre 10 Hz et 3000 Hz.

Sur la figure 7.13, on compare les spectres d’absorption d’un systeme bi-couches composede h1 = 1 mm de Mat18 et h2 = 49.8 mm de Mat10 place dans le tube sans fuite et avecfuites. On remarque qu’il n’y a pas de pic et que les deux spectres sont bien identiques. Lephenomene de diffusion de pression n’est pas visible sur le spectre lorsque la premiere couchene mesure que 1 mm d’epaisseur.

Ce cas se presente couramment dans la realite car les materiaux poreux sont souventrecouverts de couches minces tres resistives (feutres fins et autres ecrans par exemple). Lapresence de ces couches tres minces (inferieures au millimetre) dont les bords sont souventdelicats a decouper en raison de la presence de fibres, ne risque pas de fausser les mesuresd’absorption.

181

Page 182: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7. Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches

7-2.3 Influence de la taille de la perforation

Pour les deux configurations precedentes h1 = 6 mm et h2 = 44.8 mm et h1 = 3 mm eth2 = 47.8 mm, nous avons double la taille de la fuite qui mesure desormais 1 mm d’epaisseur(fuite de 2%). Sur les figures 7.14 et 7.15, les contours des deux configurations avec 1% de

104

105

104

105

σ2 [ N.s.m-4]

σ1 [

N.s

.m-4

]

NRC

0.5

0.5

0.5

0.5

50.5

5

0.5

5

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

5

0.65

0.6

5

0.6

5

0.7

0.7

0.7

0.7

0.7

0.7

0.7

Fig. 7.14 – Contours iso-NRC dans la configuration ou h1 = 6 mm et h2 = 44.8 mm : −−−,1% de fuites ; —, 2% de fuites.

fuites sont compares aux contours obtenus precedemment avec 1% de fuites. La superposi-tion des graphiques montre simplement un decalage de la position du contour pour lequelle NRC=0.7. Les autres contours se superposent parfaitement. Le sens du decalage observeest materialise sur les deux figures par une fleche. Ce decalage confirme les decalages dejaobserves lors de la comparaison des systemes avec et sans fuites. La reduction de la zoneNRC ≥ 0.7, en passant de la figure 7.14 a la figure 7.15, montre que le nombre de systemesaffectes est d’autant plus reduit que l’epaisseur de la premiere couche est faible. Ce decalagede zones montre que la fuite tend a diminuer la resistivite apparente du materiau.

7-2.4 Conclusion

Nous avons utilise une methode numerique hybride basee a la fois sur une decompositionmodale du champ de pression dans le guide d’onde ainsi qu’une modelisation elements finis desmateriaux pour etudier l’influence de la presence de fuites sur l’absorption de materiaux po-reux. Le cas d’un materiau monocouche [67] a ete repris afin de prendre en compte precisementle champ de pression a l’interface poreux-guide d’onde. Des variations ont ete observees au

182

Page 183: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

7-2. Cas de materiaux bi-couches

104

105

104

105

σ2 [ N.s.m-4]

σ1 [

N.s

.m-4

]

NRC

0.5

0.5

0.5

0.5

5

0.5

50.5

50.5

5

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

5

0.6

50.6

5

0.6

5

0.7

0.7

0.7

0.7

0.7

0.7

Fig. 7.15 – Contours iso-NRC dans la configuration ou h1 = 3 mm et h2 = 47.8 mm : −−−,1% de fuites ; —, 2% de fuites.

niveau des pics predits lorsqu’on prend en compte un nombre insuffisant de modes superieurs.Dans le cas mono-couche la presence de fuites modifie l’absorption des materiaux resistifsimpliquant une attention particuliere lors de mesures a des fins de caracterisation inverse. Lesconclusions de Pilon restent donc valides. Comme dans le cas de perforations centrees, lesfuites permettent d’ameliorer l’absorption de materiaux.

L’impact des fuites a egalement ete aborde dans le cas de materiaux bi-couches. Nousavons montre que les fuites pouvaient egalement affecter les mesures d’absorption au tube deKundt. Les contours iso-NRC ont ete traces en fonction de la resistivite de la premiere et dela deuxieme couche. Lorsque les epaisseurs des deux couches sont egales a 2.54 cm, les fuitesont un effet plus important lorsqu’elles sont presentes sur la premiere couche. On note qu’uneattention particuliere est a porter pour les materiaux resistifs car la presence de fuites modifieleur NRC (jusqu’a +15%). En revanche lorsque ces materiaux ont des epaisseurs tres faiblesl’effet de fuite n’est pas assez important pour perturber le spectre d’absorption.

Les contours obtenus dans le cas de bi-couches ne sont pas symetriques ce qui prouve qu’iln’est pas possible d’inverser l’ordre des couches.

Ce type de graphique iso-NRC peut etre utilise pour choisir des systemes mono-coucheset bi-couches. En effet, il presente l’avantage de localiser, pour des epaisseurs choisies, lescombinaisons offrant une absorption voulue au sens du NRC.

183

Page 184: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 7. Impact des fuites acoustiques sur les mesures au tube de Kundt du coefficientd’absorption de materiaux mono-couche et bi-couches

184

Page 185: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 8

Conclusion

Nos travaux portant sur la modelisation numerique des materiaux poreux heterogenes etsur l’optimisation de leurs performances en basses frequences nous ont amene, dans un pre-mier temps, a implanter des elements finis quadratiques poroelastiques et fluides equivalentsdans un code tridimensionnel. Nous avons egalement pu ameliorer la procedure de maillagedes domaines a modeliser en permettant la generation de maillages anisotropes. Ce type demaillage a necessite la modification de la procedure de couplage entre un materiau poreux etun guide d’onde. Ensuite, une procedure d’adaptation de maillage basee sur une estimationlocale de l’erreur d’interpolation a ete mise au point. Ainsi, le maillage s’adapte automatique-ment en fonction de la frequence de calcul et des variations de la pression dans le materiauporeux heterogene pour la formulation fluide equivalent. Enfin l’outil a ete utilise dans le cadredes materiaux a double porosite, ce qui nous a permis de corroborer les resultats d’Olny. Uneprocedure d’optimisation de ces materiaux au sens du NRC a ete proposee et une etude pa-rametrique sur les materiaux bi-couches presentant des fuites sur leur contour a egalementpu etre menee.

8-1 Contributions de notre travail

Developpement d’un element fini quadratique poroelastique

Nous avons implante un element fini quadratique poroelastique base sur la formulation u, pd’Atalla et al. Les fonctions de formes utilisees ainsi que les matrices du systeme poroelastiquea resoudre ont ete presentees. Les definitions et les expressions discretisees des indicateursacoustiques utilises dans ce memoire ont egalement ete fournies.

Les elements quadratiques ont ete valides avec les elements finis lineaires du logicielMNS/NOVA pour de nombreux problemes acoustiques impliquant des structures multicouches.Des resultats originaux ont ete presentes dans un cas modimensionnel de poutre en tractioncompression, des cas bidimensionnels de flexion et des cas tridimensionnels impliquant desplaques poreuses.

Nous avons montre que le critere de maillage de quatre elements par longueur d’onde de

185

Page 186: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 8. Conclusion

Biot etait valable dans les cas monodimensionnels. Les elements quadratiques presentent untaux de convergence meilleur que les elements lineaires pour les cas tridimensionnels ce quipermet de faire des gains en termes de degres de liberte. D’autre part les elements quadratiquessont particulierement adaptes pour decrire le comportement tridimensionnel des materiauxporoelastiques.

Implantation d’une methode d’integration analytique pour l’ex-citation en guide d’onde

Nous avons montre les limites de la methode d’integration des modes originellement im-plantee basee sur un echantillonnage des modes dans le cas lineaire et quadratique.

L’integration des modes que nous avons proposee est faite de maniere analytique dansle cas d’elements lineaires non deformes. Le point fort de cette methode est qu’elle permetd’obtenir une tres grande precision meme pour des ordres tres eleves sans penaliser les tempsde calcul. Dans le cas d’elements quadratiques, l’integration analytique se revele complexe carles variables ne peuvent pas etre separees. Nous avons donc du proceder par un echantillonnagedes modes sur les nœuds du maillage. Cette methode est moins performante que la precedentemais elle permet d’integrer des modes d’ordre eleves sans trop penaliser le maillage grace auxproprietes des fonctions de forme quadratiques.

Nous avons propose une methode d’evaluation du nombre de modes evanescents a prendreen compte dans le cas d’une discontinuite telle qu’une perforation centree. Cette methode aete validee et permet de determiner a priori le nombre de modes a prendre en compte pourfaire converger le calcul elements finis dans ce type de configuration.

Nous avons donc ameliore notablement la technique d’integration dans le cas de structuresporoelastiques excitees en guide d’onde. La methode proposee permet d’integrer les modesplus rapidement et plus precisement. D’autre part, la methode est desormais adaptee a desproblemes de maillage anisotropes. Il est possible par exemple de modeliser des heterogeneitestelles que des perforations aussi infimes que des fuites et de coupler les maillages a un guided’onde.

Adaptation de maillage

Une procedure de generation de maillage anisotrope compatible a ete mise au point.Un indicateur d’erreur base sur le gradient de la solution a ete implante dans le cas de laformulation en fluide equivalent. Un critere d’adaptation a ete mis au point afin de fournirune solution convergee sur l’ensemble du spectre de calcul. La methode a ete validee pour lesformulations en fluide equivalent. Cette methode fournit des resultats tres rapidement et sansintervention de l’utilisateur dans des cas homogenes et dans les cas heterogenes de materiauxpresentant des perforations fluides. La reduction des temps de calcul et l’automatisationcomplete du calcul constituent l’un des point fort de la methode et une des originalites denotre travail. Une etude preliminaire dans le cas de la formulation poroelastique a egalementete amorcee.

186

Page 187: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

8-1. Contributions de notre travail

Application aux materiaux a double porosite

L’outil a ete applique a des materiaux presentant des perforations centrees et des fentes.Dans le cas des perforations les predictions du modele numerique sont conformes aux resultatsexperimentaux et analytiques obtenus par Olny. Nous avons egalement montre l’influence desconditions aux limites sur le comportement des materiaux poroelastiques. Les pics observes surle spectre sont expliques au moyen de considerations sur les puissances dissipees. On montreen particulier que la formulation en fluide equivalent est valide en dehors des resonances dusquelette. Nous montrons egalement qu’a ces frequences de resonances, le type de conditionsaux limites et les dimensions modifient le comportement du materiau.

L’une des contributions majeures de notre outil reside dans l’interpretation et la visua-lisation des phenomenes physiques qui se produisent dans les materiaux a double porosite.Le phenomene de diffusion en pression peut etre observe et interprete en terme de puissancedissipee par elements. Ce pic est essentiellement lie a une dissipation de l’energie par les effetsvisqueux dans la couche de diffusion.

Nous avons egalement propose une determination analytique de la frequence du maximumdu pic du a la diffusion et une methode d’evaluation de la couche de diffusion a partir desresultats numeriques.

Optimisation de l’absorption au sens du NRC

Deux problemes types sont envisages. Nous proposons une methode originale d’optimi-sation des materiaux a double porosite basee sur des plans d’experiences et la methodologiedes surfaces de reponse. Cette strategie reduit considerablement le nombre de simulationsa effectuer pour optimiser le materiau. Une surface de reponse est etablie. Cette methodeest extremement facile a mettre en œuvre. D’autre part elle s’avere particulierement efficacepour apprehender un materiau inconnu et determiner les parametres optimaux pour obtenirun NRC maximal.

Etude parametrique de materiaux bi-couches presentant desfuites sur leur pourtour

Cette section est l’application la plus aboutie de notre outil car elle a necessite la mise enœuvre de toute les strategies developpees. Une etude de l’impact de fuites sur les mesures entube de Kundt est proposee. Tout d’abord le probleme d’un materiau mono-couche presentantdes fuites est presente. Nous montrons l’importance de la bonne prise en compte des modessuperieurs sur les resultats du coefficient d’absorption. Ensuite, elle est effectuee sur desmateriaux bi-couches. L’importance de la fuite est plus grande lorsqu’elle est presente sur lapremiere couche. L’epaisseur de la premiere couche joue egalement un role sur l’augmentationde l’absorption mesuree due a la presence de la fuite .

Cette etude presente plusieurs originalites. Tout d’abord elle est le resultat de l’utilisation

187

Page 188: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Chapitre 8. Conclusion

d’un nouvel outil. Ensuite elle repose sur un tres grand nombre de simulations effectueesa partir d’un grand choix de materiaux fibreux. Les resultats sont presentes de manieresynthetique et ils permettent de voir rapidement les materiaux presentant des risques im-portant d’erreur lors de l’utilisation de tels resultats d’absorption pour des caracterisationsinverses. Cette etude montre que ce gain d’absorption peut etre utilise afin de developper denouveaux materiaux aux performances accrues.

8-2 Perspectives

Nous proposons les developpements suivants comme perspectives a notre travail :

• Une procedure d’integration numerique des modes pour l’excitation en guide d’ondedans le cas quadratique. Une etude preliminaire doit etre entreprise sur la determinationdu nombre de points de Gauss necessaires pour integrer correctement la fonction lorsquel’ordre des modes varie.

• L’implantation d’un modele d’anisotropie transverse [78] afin de mieux predire les picsde double porosite dans les materiaux fibreux.

• L’etude d’un critere d’estimation d’erreur pour les formulations poroelastiques et lesexcitations mecaniques. Pour cette rubrique un critere peut etre etabli pour l’estimateurd’erreur que nous avons implante. Les travaux de Dazel [22] sur les milieux poreuxpeuvent etre mis a profit pour determiner des estimateurs d’erreur performants dans lecas de materiaux poreux homogenes.

• L’etude parametrique de materiaux comportant des inclusions et de materiaux avec despatches. Des etudes de ce type avaient deja ete entreprises par le passe mais sur despetits ensembles de materiaux. Les outils developpes devraient permettre d’etudier pluslargement ce type de materiaux.

• Le developpement d’un algorithme de type octree pour ameliorer les maillages des casheterogenes. Cette technique devrait permettre de reduire encore le nombre d’elementsutilises dans les maillages.

• Une utilisation intensive de maillages incompatibles pour traiter les problemes des multicouches qui comportent des materiaux poreux heterogenes [68].

• Une amelioration des techniques de resolution. Pour ce point nous recommandonsune etude sur la parallelisation des algorithmes et l’utilisation de techniques de par-titionnement de grille pour tirer avantage des performances des grappes d’ordinateursrecemment mise en service. Une etude sur des solveurs de type iteratif peut egalementetre envisagee.

188

Page 189: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Annexe A

Parametres des materiaux

Materiau φ σ α∞ Λ Λ′ ρ1 E ν ηs

(kN.s/m4) (µm) (µm) (kg/m3) (kPa)MatA 0.95 25 1.4 93.2 93.2 30 42 0 0.05MatB 0.96 32 1.7 90 165.0 30 845 0.3 0.1MatC 0.97 87 2.52 37 119.0 31 143 0.3 0.55MatD 0.93 67.99 1.42 36.45 81.8 106 1.104 0 0.1MatE 0.99 175.00 1.0 50 142.0 - - - -MatF 0.94 135.00 2.1 49.0 166.0 175 1.104 0 0.1

Tab. A.1 – Proprietes physiques des materiaux.

λ Biot (500 Hz)MatA MatB MatC

m m mλs 0,266 0,400 0,192λf 0,074 0,259 0,124λc 0,052 0,204 0,083

λmin4 0,013 0,051 0,021

λmin6 0.009 0.034 0,014

Tab. A.2 – Quelques longueurs d’ondes de Biot a 500 Hz.

189

Page 190: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Annexe A. Parametres des materiaux

190

Page 191: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Annexe B

Ressources informatiques

Les ressources informatiques ont fondamentalement change entre le debut de cette theseet les derniers mois de celle-ci. Les ressources a disposition ont ete les suivantes :

ST1 (Dytique) : Intel Pentium III, 547.625 MHz, 512KB de cache, 1.00 Go de memoirevive

ST2 (Libellule) : Intel Pentium III, 1133 MHz, 512KB de cache, 3.85 Go de memoire viveST3 (Mamouth Serie (MS)) : MS est forme de 872 serveurs Dell PowerEdge contenant

chacun un processeur Intel Pentium 4, 3.2 GHz, 2 GB de memoire vive et 120 GBd’espace disque. Le cout total de cette grappe s’eleve a 916 k$ canadien

ST4 (SGI MTL) : un serveur SGI ALTIX 3700 (128 processeurs, 512 Go de memoire vive)Les deux derniers systemes sont les resultats du Reseau Quebecois de Calcul Haute Per-

formance (RQCHP) : http ://www.rqchp.qc.ca/

191

Page 192: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Annexe B. Ressources informatiques

192

Page 193: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Annexe C

Integration des nouveaux modules

Toutes les routines ont ete developpees en Fortran [53, 52, 59]. Les schemas suivantspresentent l’organisation des modules, leurs interaction et les fichiers d’echange necessaires.La visualisation est effectuee avec le logiciel gratuit GMV[81]. D’autres ressources peuventetre trouvees sur le site CFD-Online [49].

193

Page 194: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Annexe C. Integration des nouveaux modules

*.RES

Idest.SOL

X_freq.RES

*.NLP2

*.GVM

nlp2gvm_couche

PC3DSOLVER

GVM2GMV

*.INP

MATLAB

GMV

I

II

VI1

III

VII

IV

V VIII

IX

Fig. C.1 – Schema d’integration des nouveaux modules dans l’organisation logicielle. Fichiers.

194

Page 195: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

fichier

Mailleur fichier

fichier

Solver

Estimation

Post-traitement

Correcte

Incorrecte

Fig. C.2 – Schema d’integration des modules relatifs a l’adaptation de maillage dans l’orga-nisation logicielle.

195

Page 196: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Annexe C. Integration des nouveaux modules

196

Page 197: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Bibliographie

[1] Acoustics.com. Codes & testing : Noise Reduction Coefficient (NRC), [en ligne],Disponible sur : <http ://www.acoustics.com/nrc.asp>. (consulte le 07/02/05).

[2] Allard, J. F. Propagation of sound in porous media, modelling sound absorbing mate-rials. London : Elsevier Applied Science, 1993.

[3] ANSYS.COM. ANSYS. [en ligne], Disponible sur : <http ://www.ansys.com/>.(consulte le 07/02/05).

[4] Atalla, N., Amedin, C. K., Atalla, Y., Panneton, R. et Sgard, F. Developpementde nouveaux materiaux absorbants a hautes performances acoustiques pour diminuer lebruit a basses frequences. Tech. Rep. A-370, Montreal (Quebec) : irsst, Avril 2004.

[5] Atalla, N., Amedin, C. K., Panneton, R. et Sgard, F. Etude numerique etexperimentale de l’absorption acoustique et de la transparence acoustique des materiauxporeux heterogenes en basses frequences dans le but d’identifier des solutions a fortpotentiel d’applicabilite. Tech. Rep. A-278, irsst, Novembre 2001.

[6] Atalla, N., Hamdi, M. A. et Panneton, R. Enhanced weak integral formulation forthe mixed (u,p) poroelastic equations. Journal of Acoustical Society of America, 2001,Vol. 109, N0 6, p. 3065–3068.

[7] Atalla, N., Panneton, R. et Allard, J.-F. Sound absorption by non homogeneousthin porous layers. Acta-acoustica, 1997, Vol. 83, p. 891–896.

[8] Atalla, N., Panneton, R. et Debergue, P. A mixed displacement-pressure formula-tion for poroelastic materials. Journal of Acoustical Society of America, 1998, Vol. 104,N0 3, p. 1444–1452.

[9] Atalla, N., Sgard, F., Olny, X. et Panneton, R. Acoustic absorption of macro-perforated porous materials. Journal of Sound and Vibration, 2001, Vol. 243, N0 4,p. 659–678.

[10] Batoz, J.-L. et Dhatt, G. Modelisation des structures par elements finis, volume 1,solides elastiques, hermes ed. Paris, Hermes, 1990.

[11] Becot, F. et Sgard, F. On the sound radiation of a plate coupled to an air cavitytreated with heterogeneous porous materials. NOVEM.

[12] Biot, M. The theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid.Journal of Acoustical Society of America, 1956, Vol. 28, p. 168–191.

[13] Bourbie, T., Coussy, O. et Zinszner, B. Acoustique des milieux poreux. Publicationsde l’institut francais du petrole, Paris : Ed. Technip, 1986.

197

Page 198: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Bibliographie

[14] Boutin, C. Dynamique des milieux poreux satures deformables. Fonctions de Green -Permeametre dynamique. PhD thesis, Universite Scientifique, Technologique et Medicalede Grenoble, 1987.

[15] Boutin, C., Royer, P. et Auriault, J. Acoustic absorption of porous surfacing withdual porosity. International Journal Solids Structures, 1998, Vol. 35, p. 4709–4737.

[16] Bruneau, M. Introduction aux theories de l’acoustique. Route de Laval 72041 Le MansCedex France, Publications de l’Universite du Maine, 1983.

[17] Castel, F. Caracterisation du comportement vibro-acoustique de materiaux poreuxheterogenes au moyen d’une methode de type elements finis. Tech. rep., Universite deSherbrooke, Hiver 2003.

[18] Castel, F., Sgard, F. et Atalla, N. Quadratic finite element model for predicting thevibroacoustic behaviour of heterogeneous porous materials. In ISMA 2002 Internationalconference on noise and vibration Engineering (Leuven (Belgium), 2002), K. U. Leuven,Ed.

[19] Champoux, Y. et Allard, J.-F. Dynamic tortuosity and bulk modulus in air saturatedporous media. Journal of Applied Physics, 1991, Vol. 70, p. 1975–1979.

[20] Chiello, O. Application d’une methode d’elements finis et d’analyse modale par sous-structuration dynamique a l’etude de l’isolation en basses frequences. PhD thesis, I.N.S.Ade Lyon / E.N.T.P.E, 2000.

[21] Dauchez, N., Sahraoui, S. et Atalla, N. Convergence of poroelastic finite elementsbased on biot displacement formulation. Journal of Acoustical Society of America, 2001,Vol. 109, N0 1, p. 33–40.

[22] Dazel, O. Synthese modale pour les materiaux poreux. PhD thesis, Institut Nationaldes Sciences Appliquees de Lyon, 2003.

[23] Debergue, P. Developpement d’une formulation mixte en deplacement-pression pourles materiaux poroelastiques. Memoire de maıtrise es sciences appliquees, Universite deSherbrooke, Faculte des sciences appliquees, Departement de genie mecanique, 1998.

[24] Debergue, P., Panneton, R. et Atalla, N. Boundary conditions for the weak for-mulation of the mixed (u, p) poroelasticity problem. Journal of Acoustical Society ofAmerica, 1999, Vol. 106, N0 5, p. 2383–2390.

[25] Degorce, J.-P. et Castel, J.-L. La gestion des quartz diaclases de l’albigeois cristallin(Tarn), au Paleolithique Moyen. Bulletin de la Societe Prehistorique Francaise, 2005 aparaıtre.

[26] Demonsant, J. Comprendre et mener des plans d’experiences. Paris : AFNOR, 1996.

[27] Dhatt, G. et Touzot, G. Une presentation de la methode des elements finis. MaloineS.A. Editeur Paris et Les Presses de l’Universite Laval Quebec, 1981.

[28] Duff, I. S. et Reid, J. K. MA47, a Fortran code for direct solution of indefinite sparsesymmetric linear systems. Tech. Rep. RAL-95-001, Didcot, Oxon, UK, 1995.

[29] Ecole Centrale Paris. Les ondes sismiques, [en ligne], Disponible sur :<http ://www.mssmat.ecp.fr/article.php3 ?Id article=501>. (consulte le 07/02/05).

[30] Fortin, M. Estimation a posteriori et adaptation de maillages, Vol. 9. Paris : HermesScience, 2000.

198

Page 199: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Bibliographie

[31] Free Field Technologies. Free Field Technologies. Acoustic Design Solutions. [enligne], Disponible sur : <http ://www.fft.be>. (consulte le 07/02/05).

[32] Frey, P. J. et George, P. L. Maillages, application aux elements finis, Hermes, 8 quaidu Marche Neuf ed. Paris, Hermes, 1999.

[33] George, P. L. Generation automatique de maillages. Application aux methodesd’elements finis, masson ed. Paris, Masson, 1991.

[34] George, P.-L. Maillages et adaptation, Lavoisier ed., Vol. Mecanique et Ingenierie desMateriaux. Paris, Hermes Sciences, 2001.

[35] George, P.-L., Hecht, F. et Saltel, E. Maillage automatique de domaines tridimen-sionnels quelconques. Programme 7 1021, INRIA, Avril 1989 1989.

[36] GIREF-Universite Laval. Adaptation de maillage. [en ligne], Disponiblesur : <http ://www.giref.ulaval.ca/ressources/projets/adaptation.Html>. (consulte le07/02/05).

[37] Goransson, P. A weighted residual formulation of the acoustic wave propagationthrough a flexible porous material and a comparison to a limp material model. Journalof Sound and Vibration, 1995, Vol. 182, N0 3, p. 479–494.

[38] Goransson, P. A 3d, symetric finite element formulation of the biot equations for a fluidsaturated, linear, elastic porous medium. International Journal for Numerical Methodsin Engineering, 1998, Vol. 41, p. 167–192.

[39] Goransson, P. Numerical modelling of dynamics of light porous materials. phd thesis,Lund University, Engeneering acoustics, LTH, TVBA-1006, Sweden, 1998.

[40] Habashi, W. G., Dompierre, J., Bourgault, Y., Ait-Ali-Yahia, D. et Vallet,M. Anisotropic mesh adaptation : Towards user-independant, mesh-independant andsolver-independant CFD. part I : General principles. International Journal for NumericalMethods in Fluids, 2000, Vol. 32, p. 725–744.

[41] Hinnant, H. A fast method of numerical quadrature for p-version finite element ma-trices. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1994, Vol. 37,p. 3723–3750.

[42] Horlin, N. A study of hierarchical FE solutions of biot’s equations for acoustic model-ling of poroelastic media. Master’s thesis, Kungl Tekniska Hogskolan Royal Institute ofTechnology Department of Vehicule Engineering The Marcus Wallenberg Laboratory forSound and Vibration Research, 2001.

[43] Iwase, T., Izumi, Y. et R., K. A new measuring method for sound propagationconstant by using sound tube without any air spaces back of a test material. INTER-NOISE, 1998, New Zealand.

[44] Johnson, D., Koplik, J. et Bolton, J. Theory of dynamic permeability and tortuosityin fluid saturated porous media. Journal of Fluid Mechanics, 1987, Vol. 176, p. 379–402.

[45] Kang, Y., Gardner, B. et Bolton, J. An axisymetric finite element formulation.Journal of the Acoustical Society of America, 1999, Vol. 106, N0 2, p. 565–574.

[46] Karal, F. The analogous acoustical impedance for discontinuities and constrictions ofcircular cross section. Journal of the Acoustical Society of America, 1953, Vol. 25, N0 2,p. 327–334.

199

Page 200: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Bibliographie

[47] Ladeveze, P. et Pelle, J.-P. La maıtrise du calcul en mecanique lineaire et nonlineaire, Lavoisier ed. Paris, Hermes Sciences, 2001.

[48] Langlois, C. Modelisation des problemes vibroacoustiques de basse frequences parelements finis. Master’s thesis, Universite de Sherbrooke, 2003.

[49] Larsson, J. CFD Resources Online - Software, [en ligne], Disponible sur :<http ://www.cfd-online.com/Resources/soft.html>. (consulte le 08/02/05).

[50] Leservoisier, D. Strategies d’adaptation et de raffinement de maillages en mecaniquedes fluides numerique. These de doctorat, Universite Pierre et Marie Curie - Paris, 2001.

[51] Lesueur, C. Rayonnement acoustique des structures. Vibroacoustique, interactionsfluide-structure, Eyrolles ed., Vol. collection de la direction des etudes et recherchesd’electricite de France. Paris, Eyrolles, 1988.

[52] Lignelet, P. Manuel complet du langage Fortran 90 et Fortran 95, calcul intensif etgenie logiciel, Vol. manuels informatiques masson. Paris, Masson, 1996.

[53] Lignelet, P. Structures de donnees en Fortran 90/95, Vol. manuels informatiques mas-son. Paris, Masson, 1996.

[54] Malaterre, J. Homo Sapiens [DVD. VHS], Duree : 90mn. Documentaire de FranceTelevision. 2005.

[55] Miki, Y. Acoustical properties of porous materials —generalizations of empiricalmodels—. Journal of acoustical society of Japan, 1990, Vol. (E) 11,1, p. 25–28.

[56] Miki, Y. Acoustical properties of porous materials —modifications of Delany-Bazleymodels—. Journal of Acoustical Society of Japan, 1990, Vol. (E) 11,1, p. 19–24.

[57] Montgomery, D. C. Design and analysis of experiments. New York : Toronto. JohnWiley & Sons, 2001.

[58] NRCratings.com. Noise reduction coefficients (NRC) for common building mate-rials, [en ligne], Disponible sur : <http ://www.nrcratings.com/nrc.html>. (consulte le07/02/05).

[59] Nyhoff, L. R. et Leestma, S. C. Fortran 90 for engineers and scientists, Vol. Inter-national Edition. Upper Saddle River, New Jersey 07458, Prentice-Hall International,Inc., 1997.

[60] Olny, X. Absorption acoustique des milieux poreux a simple et double porosite.Modelisation et validation experimentale. These de doctorat, Institut National desSciences Appliquees de Lyon, 1999.

[61] Olny, X. et Boutin, C. Acoustic wave propagation in double porosity media. Journalof Acoustical Society of America, 2003, Vol. 114, N0 1, p. 73–89.

[62] Olny, X., Sgard, F. et Boutin, C. Practical aspects of building absorbing materialsincluding double porosity media. In Fifth International Conference on IndependdentComponent Analysis, September 22-24, 2004, Granada (Spain) (2004).

[63] Panneton, R. Modelisation numerique tridimensionnelle par elements finis des milieuxporoelastiques. These de doctorat, Universite de Sherbrooke, 1996.

[64] Peraire, J., Vahdati, M., Morgan, K. et Zienkiewicz, O. Adaptative remeshingfor compressible flows. Journal of Computational Physics, 1987, Vol. 72, N0 2, p. 449–466.

[65] Pichelin, E., Fortin, M. et Boivin, S. Etude numerique d’estimations d’erreur aposteriori. Revue Europeenne des elements finis, 2000, Vol. 9, N0 4, p. 467–486.

200

Page 201: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Bibliographie

[66] Pilon, D. Influence des conditions aux limites sur les mesures acoustiques au tubea ondes stationnaires. Master’s thesis, Universite de Sherbrooke, Faculte des sciencesappliquees, Departement de genie mecanique, Mars 2002.

[67] Pilon, D., Panneton, R. et Sgard, F. Behavioral criterion quantifying the effectsof circumferential air gaps on porous materials in the standing wave tube. Journal ofAcoustical Society of America, 2004, Vol. 116, p. 344.

[68] Rigobert, S. Modelisation par element-finis des systemes elasto-poro-acoustiquescouples : Elements hierarchiques, maillages incompatibles, modeles simplifies. These dedoctorat, I.N.S.A de Lyon / E.N.T.P.E, 2001.

[69] Russell, D. Acoustics animations, [en ligne], Disponible sur :<http ://www.kettering.edu/∼drussell/demos/waves/wavemotion.html>. (consulte le07/02/05).

[70] Schneiders, R. Octree based hexahedral mesh generation. International Journal ofcomputational geometry and applications, 2000, Vol. 10, N0 4, p. 383–398.

[71] Sgard, F. Modelisation par elements finis des structures multi-couches complexes dansle domaine des basses frequences. Habilitation a Diriger des Recherches en Sciences,Universite Claude Bernard Lyon 1, Institut National des Sciences Appliquees de Lyon,2002.

[72] Sgard, F., Atalla, N. et C.K., A. Vibro-acoustic behavior of a plate coated with anheterogeneous pourous material radiating in a rigid walled cavity. Euronoise.

[73] Sgard, F., Atalla, N. et Olny, X. Potential of heterogeneities in porous materials fornoise control of multilayered systems. In ICA (2004).

[74] Sgard, F., Atalla, N., Olny, X. et Panneton, R. Acoustic absorption of hetrogeneousporous materials. Internoise.

[75] Sgard, F., Olny, X., Atalla, N. et Castel, F. On the use of perforations to improvethe sound absorption of porous materials. Applied Acoustics, 2005, Vol. 66, N0 6, p. 625–651.

[76] Shepard, M. et Georges, M. Automatic three-dimensional mesh generation by thefinite octree technique. International Journal of Numerical Methods in Engineering,1991, Vol. 32, N0 4, p. 709–749.

[77] Tautges, T. J., Blacker, T. et Mitchell, S. A. The whisker weaving algorithm : Aconnectivity -based method forconstructing all-hexahedral finite element meshes. Inter-national Journal for Numerical Methods in Engineering, 1996, Vol. 39, issue 19, p. 3327– 3349.

[78] Tran-Van, J. Etude de L’influence de L’anisotropie Transverse Des Laines Mineralessur la Transmission Acoustique Des Parois Multicouches. PhD thesis, Universite dePoitiers, 2004.

[79] Verfurth, R. A posteriori error estimation techniques for non linear elliptic and para-bolic pdes. Revue Europeenne des elements finis, 2000, Vol. 9, N0 4, p. 377–402.

[80] Vigran, T., Kelders, L., Lauriks, W., Leclaire, P. et Johansen, T. Prediction andmeasurements of the influence of boundary conditions in a standing wave tube. Acustica,1997, Vol. 83, p. 419–423.

[81] X-Division-Home. GMV Home Page,The General Mesh Viewer [en ligne], Disponiblesur : <http ://www-xdiv.lanl.gov/XCM/gmv/>. (consulte le 08/02/05).

201

Page 202: Modélisation numérique de matériaux poreux hétérogènes. …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/castel/these.pdf · 2006. 4. 24. · RESUME : Cette thµese porte sur la mod¶elisation

Bibliographie

[82] Zienkiewicz, O. et Taylor, R. The finite element method, fifth edition, the basis,Vol. 1. Boston : Butterworth Heinemann, 2000.

[83] Zwikker, C. et Kosten, C. Sound absorbing materials. New York, Elsevier appliedsciences, 1949.

202