MODUL MATRIKULASI - tekniksipil.umy.ac.id

TEKNIKSIPIL

2021/2022

MODULMATRIKULASIMODULMATRIKULASIMODULMATRIKULASIFISIKAFISIKAFISIKA

AkreditasiUnggul

1

Modul Matrikulasi Fisika

BAB I

SISTEM SATUAN

cgs = centimeter-gram-second (detik)

mks = meter-kilogram-second (detik)

Sistem Satuan

Gaya Satuan Massa

Satuan Percepatan

Dinamis Kecil Dyne gr massa cm/det2 Dinamis Besar Newton kg massa m/det2

Statis Kecil Gram s.m.s.k cm/det2 Statis Besar Kilogram s.m.s.b m/det2

s.m.s.k = satuan massa statis kecil

s.m.s.b = satuan massa statis besar

I. Satuan Dasar dan Satuan Turunan

A. Simbol dan Dimensi Satuan

BESARAN SIMBOL DIMENSI

M-L-T F-L-T Besaran Dasar

Panjang Massa Waktu Gaya

L M T F

L M T

MLT-2

L

FL-1T2 T F

Besaran Geometri Luas Volume

A V

L2 L3

L2 L3

Sistem Satuan

Sistem Dinamis

Sistem Dinamis Kecil (cgs)

Sistem Dinamis Besar (mks)

Sistem Statis

Sistem Statis Kecil

Sistem Statis Besar

2


BESARAN SIMBOL DIMENSI

M-L-T F-L-T Besaran Kinematik

Kecepatan Percepatan Debit Kecepatan Sudut Frekuensi Sirkulasi Gravitasi Kekentalan Kinematik

v a Q Ω F Г g v

LT-1 LT-2 L3T-1

T-1 T-1

L2T-1 LT-2 L2T-1

LT-1 LT-2 L3T-1

T-1 T-1

L2T-1 LT-2 L2T-1

Besaran Dinamis Rapat Massa Berat Jenis Kekentalan Dinamis Tekanan Tegangan Permukaan Modulus Elastisitas Daya Kerja, Energi

ρ γ μ p σ E P w

ML-3

ML-2T-2 ML-1T-1 ML-1T-2

MT-2 ML-1T-2 ML2T-3 ML2T-2

FL-4T2

FL-3 FL-2T FL-2 FL-1 FL-2

FLT-1 FL

B. Perbandingan Sistem Internasional dan Sistem Amerika

Besaran

Sistem Internasional

(SI)

Sistem Amerika

Besaran

Sistem Internasional

(SI)

Sistem Amerika

Satuan Satuan Satuan Satuan

Percepatan sudut rad/det2 rad/det2 Momen lembam (massa)

kg.m2 slug.kaki2

Percepatan linier m/det2 kaki/det2 Momen lembam (momen kedua dari luas)

m4 inci4

Luas m2 kaki2 Daya J/det kaki.lb/det Kerapatan (massa)

kg/m3 slug/kaki3 Tekanan N/m2 lb/kaki2

Energi N.m lb.kaki Modulus tampang m3 inci3

Gaya kg.m/det2 lb *) Berat jenis (kerapatan berat)

N/m3 lb/kaki3

Frekuensi det-1 det-1 Tegangan pascal Impuls, sudut N.m.det kaki.lb.det Waktu detik *) detik *) Impuls, linier N.det lb.det Kecepatan sudut rad/det rad/det Intensitas gaya N/m lb/kaki Kecepatan linier m/det kaki/det Panjang meter *) kaki *) Volume (cairan) Liter gallon Massa kilogram *) lb.det2/kaki Volume (padat) m3 kaki3 Momen gaya, momen puntir

N.m lb.kaki Usaha N.m kaki.lb

3


II. Konversi Satuan

A. Hubungan antara berbagai satuan SI

1 joule (J) = 1 N.m = 1 watt.detik

1 hertz (Hz) = 1 siklus per detik

1 watt (W) = 1 joule per detik (J/dt)

1 pascal (Pa) = 1 newton per meter kuadrat (N/m2)

1 liter (L) = 0,001 meter kubik (m3)

B. Hubungan antara beberapa satuan metrik yang lazim digunakan dalam SI

1 hektar (ha) = 10.000 meter kuadrat (m2)

1 erg = 10-7 joule (J)

1 dyne = 10-5 newton (N)

1 kilowatt jam (kWh) = 3,6 megajoule (MJ)

1 centimeter (cm) = 10-2 meter (m)

1 gram (gr) = 10-3 kilogram (kg)

1 watt (W) = 10-7 erg per detik (erg/dt)

C. Beberapa satuan tambahan Sistem Amerika

1 inci (in.) = 1/12 kaki (ft.)

1 yard (yd.) = 3 kaki (ft.)

1 mil = 5280 kaki (ft.)

1 kip (k) = 1000 pon (lb)

1 ons (oz) = 1/16 pon (lb)

1 ton = 2000 pon (lb)

1 daya kuda mekanis (HP) = 550 pon kaki per detik (lb.ft/dt)

1 kilowatt (kW) = 737,562 pon.kaki per detik (lb.ft/dt)

1 pon per inci kuadrat (psi) = 144 pon per kaki kuadrat (lb/ft2)

1 mil per jam (mph) = 22/15 kaki per detik (ft/dt)

1 kaki kubik (cf) = 576/77 galon = 7,48052 galon (gal.)

D. Perbandingan satuan-satuan lain

Satuan Panjang

1 kilometer (km) …………………………. = 1000 m

1 hektometer (hm) ……………………… = 100 m

1 dekameter (dam) ……………………… = 10 m

1 meter (m) ………………………………. = 1 m

1 desimeter (dm) ………………………. = 0,1 m

1 centimeter (cm) ………………………. = 0,01 m

1 milimeter (mm) ………………………. = 0,001 m

1 mikron (μ) ……………………………….. = 0,000001 m

4


Satuan Luas

1 kilometer persegi (km2) …………… = 1.000.000 m2

1 hektometer persegi / hektar (ha).. = 10.000 m2

1 dekameter persegi atau are (a) …. = 100 m2

1 meter persegi (m2) ………………….. = 10.000 cm2

1 desimeter persegi (dm2) …………… = 100 cm2

1 centimeter persegi (cm2) ………….. = 1 cm2

1 milimeter persegi (mm2) …………. = 0,01 cm2

Satuan Isi

1 hektoliter (hl) ………………………..… = 100.000 cm3

1 liter (l) ………………………………….…. = 1.000 cm3

1 meter kubik (m3) ……………………... = 1.000.000 cm3

1 desiliter (dl) ……………………………. = 100 cm3

1 centiliter(cl) ……………………….….. = 10 cm3

1 desimeter kubik (dm3) …………….. = 1.000 cm3

1 mililiter (ml) ………………..………….. = 1 cm3

1 milimeter kubik (mm3) ….…………. = 0,001 cm3

Satuan Berat

1 ton (t) …………………………………….. = 1.000.000 gr

1 kwintal (q) ……………………………… = 100.000 gr

1 kilogram (kg) …………………………… = 1.000 gr

1 hektogram (hg) ………..………………. = 100 gr

1 gram (gr) …………………………………. = 1 gr

1 desigram (dg) …………………………. = 0,1 gr

1 centigram (cg) …………………………. = 0,01 gr

1 miligram (mg) ……..………………….. = 0,001 gr

Satuan Tekanan

Atmosfir, 1 kg/cm2 (at) …….…………. = 1000 gr/cm2

Atmosfir, 760 mm air raksa (atm) … = 1033,2 gr/cm2

1 Bar ……………..…………………………… = 1101,97gr/cm2

1 milibar (mbar) ………..………………. = 1,0197 gr/cm2

Satuan Usaha

1 kilogram meter (kg.m) …….………… = 105 gr.cm

1 gram centimeter (gr.cm) …………… = 1 gr.cm

1 tenaga kuda jam (pkh)………………. = 27 x 109 gr.cm

1 Erg (erg) ………..………………………… = 1,0197 x 10-3 gr.cm

1 Joule (J) ………………………….………… = 1,0197 x 10-4 gr.cm

1 Watt jam (Wh)……………..……………. = 3,671 x 107 gr.cm

1 kilowatt (kW) ……..…………………… = 3,671 x 1010 gr.cm

5


Satuan Daya

1 Daya kuda (pk) …….………………….. = 75 x 105 gr.cm/dt

1 Watt (W) …………………………………. = 1,0197 x 104 gr.cm/dt

1 kilowatt (kW) …………………………… = 1,0197 x 105 gr.cm/dt

Unit Faktor Konversi

1 meter kubik normal (m3 (n)) 1.054915 meter kubik (m3 (st))

1 meter kubik standar (m3 (st)) 35,31 kaki kubik standar (scf)

1 kaki kubik standar (scf) 0,0283 meter standar kubik (m3 (st))

100 standar kaki kubik (scf) 2,83 meter kubik (m3 (st))

1 kilowatt jam 3,6 megajoule (MJ)

1 kilowatt jam 3412 Btu/jam

1 satuan panas 29,3071 kilowatt jam (kWh)

1 satuan panas 105,06 megajoule (MJ)

1.000.000 therms 29,3071 gigawatt jam (GWh)

1 bar 14,5 inci persegi (psi)

1000 mbar 1 bar

68,9 mbar 1 inci persegi (psi)

m3 (st) – standard cubic meter natural gas : cubic meter natural gas at 101,325 Pa

6


7


Tanda Matematik

8


BAB II TITIK BERAT SUATU PENAMPANG BENDA

➢ Titik Berat Penampang Bidang Datar

Berat suatu benda merupakan gaya tarik (gravitasi) bumi terhadap benda itu.

Gaya tarik (gravitasi) bumi ini tidak bekerja pada benda tersebut secara keseluruhan,

melainkan pada tiap-tiap unsur yang terkecil atau molekul-molekul benda tersebut.

Tiap-tiap molekul ditarik oleh bumi dan yang dimaksud dengan berat benda itu adalah

jumlah gaya dari tiap-tiap molekul benda tadi. Jadi pada hakekatnya berat benda itu

adalah resultan dari semua gaya molekul yang kecil-kecil dan sejajar. Berat dan letak

dari resultan tersebut dapat dicari dengan cara yang biasa digunakan untuk

menentukan resultan sistem gaya. Arah gravitasi bumi adalah vertikal ke bawah, jadi

arah resultannya juga ke bawah. Garis kerja resultan itu dapat berubah letaknya

tergantung pada perubahan letak benda. Akan tetapi, selalu ada satu titik sama yang

dilalui oleh garis kerja resultan tersebut. Titik ini disebut sebagai titik berat atau pusat

berat. Titik berat itu merupakan titik tangkap dari gaya resultan.

Sebuah benda sebenarnya terdiri

dari bagian-bagian yang sangat

kecil yang masing-masing

mempunyai berat.

Terhadap sumbu-sumbu X, Y, dan

Z, maka koordinat titik berat

sebuah benda ialah :

xo =∑ A.x

∑ A ; y

o=

∑ A.y

∑ A ; zo =

∑ A.z

∑ A

• Titik berat garis lurus

Letak titik berat (Z) suatu garis

lurus ialah di tengah-tengah garis

lurus itu.

• Titik berat garis patah beraturan


patah beraturan ialah pada sumbu

Y dengan jarak yo dari titik M

(sumbu X), dimana :

yo =a.AF

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹

9


• Titik berat garis busur lingkaran


busur lingkaran ialah pada sumbu


(sumbu X), dimana :

yo =R.tali busur AF

𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐹

• Titik berat luas segitiga


busur lingkaran ialah pada sumbu


(sumbu X), dimana :

yo =1

3𝑡

• Titik berat luas jajaran genjang, belah ketupat, busur sangkar dan persegi

panjang

Letak titik berat (Z) luas bangun

tersebut ialah pada titik potong

dua buah diagonalnya dengan

jarak yo dari garis alasnya,

dimana:

yo =1

2𝑡

• Titik berat luas bangun yang dibatasi oleh garis patah teratur dan titik

pusat lingkaran bangun tersebut


yang dibatasi oleh garis patah

beraturan ABCDEF dan titik pusat

M dari lingkaran luar ABCDEF

ialah pada sumbu Y dengan jarak

yo dari titik M, dimana:

yo =2

3

𝑎. 𝐴𝐹

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹

10


• Titik berat luas juring lingkaran/sektor lingkaran

Letak titik berat (Z) luas juring

lingkaran MAF ialah pada sumbu Y

dengan jarak yo dari titik M

(sumbu X), dimana:

yo =2

3

𝑅. 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐹

𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐹

• Titik berat luas tembereng lingkaran/segmen lingkaran

Letak titik berat (Z) luas

tembereng lingkaran ABD ialah

pada sumbu Y dengan jarak yo dari

titik M (sumbu X), dimana:

yo =(𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵)3

6(𝑅. 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵 − 𝐶𝑀. 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵)

• Titik berat luas bangun ruang prisma


ruang prisma ABC.DEF ialah pada

titik tengah garis Z1Z2 yang

menghubungkan titik berat (=Z1)

bidang atas dengan titik berat

(=Z2) bidang alas.

• Titik berat luas bangun ruang silinder


ruang silinder ABC.DEF ialah pada

titik tengah garis Z1Z2 yang

menghubungkan titik berat

(=Z1=pusat lingkaran atas) bidang

atas dengan titik berat (=Z2=pusat

lingkaran alas) bidang alas.

11


• Titik berat luas bangun ruang limas


ruang limas T.ABC ialah pada

bidang PQR yang berjarak 1/3

tinggi limas tersebut dari bidang

alasnya, dan mencari titik tangkap

resultante dari ketiga bidang sisi

limas T.ABC tersebut akan didapat

titik beratnya.

• Titik berat luas bangun ruang kerucut


ruang kerucut ialah pada garis

sumbu kerucut TZ1 yang

menghubungkan titik puncak T

dengan titik berat (=Z1=pusat

lingkaran atas) bidang alasnya

pada jarak 1/3 garis sumbu TZ1

dari titik Z1.

Contoh Soal:

1. Diketahui sebuah bangun datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat

penampang dengan cara analitis.

12


Penyelesaian :

Analitis : Untuk memudahkan dalam perhitungan maka penampang tersebut dibagi

menjadi dua bagian, sehingga luas penampang dan letak titik berat dari tiga-tiga

penampang dapat ditentukan. Letakkan sumbu koordinat pada sisi paling kiri dan paling

bawah pada gambar.

Perhitungan :

Bagian I : luas A1 = 2 m x 6 m = 12 m2

Bagian II : luas A2 = 4 m x 6 m = 24 m2

Jumlah ΣA = 36 m2

Ordinat masing-masing titik berat penampang :

X1 = 1 m, Y1 = 7 m

X2 = 3 m , Y2 = 2 m

Untuk menentukan titik berat Zo; dengan menggunakan statis momen luas terhadap

sumbu X dan terhadap sumbu Y.

X= A1.X1+A2.X2 ΣA

X = 12m2.1m+24m2. 3m 36 m2

X=12m3+72m3 36m2

X = 84 m3/ 36 m2

X = 2,333 m

13


Y = A1Y1+A2.Y2 ΣA

Y = 12 m2.7m+24m2.2m 36 m2

Y = 84 m3 + 48m3 36 m2

Y = 132 m3/36 m2

Y = 3,667 m

Jadi letak titik berat Z0 (2,333:3,667) m.

2. Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. Tentukan

letak titik berat Zo dengan cara analitis.

Penyelesaian:

Penampang kita bagi menjadi tiga bagian yaitu I, II dan III. Perhitungan :

Luas A1 = 4 m x 4 m = 16 m2

Luas A2 = 8 m x 6 m = 48 m2

Luas A3 = ½. 3 m x 6 m = 9 m2

ΣF = Luas A1 + Luas A2 + Luas A3 = 73 m2

Y2

4 m 4 m 3 m

4 m

6 m

Y1

Y3

4m

6m

3m 4m 4m

X3

X2

X1

14



X1 = 2 m; Y1 = 8 m

X2 = 4 m; Y2 = 3 m

X3 = 9 m; Y3 = 2 m

Statis momen luas terhadap sumbu X adan sumbu Y adalah sebagai berikut :

X = A1.X1+A2.X2+A3.X3 ΣA

X = 16 m2.2m+48m2.4m+9 m2.9m 73 m2

X = 32 m3 + 192 m3 + 81 m3 73 m2

X = 305 m3 / 73 m2

X = 4,178 m

Y = F1.Y1+F2.Y2+F3.Y3 ΣF

Y = 16 m2.8 m + 48 m2.3m+9 m2. 2m 73 m2

Y = 128 m3 + 144 m3 + 18 m3 73 m2

Y = 290 m3/ 73 m2

Y = 3,973 m

Jadi titik berat penampang Zo (4,178:3,973) m.

15


Soal Latihan

1. Diketahui sebuah bangunan berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah.Tentukan

letak titik berat Zo.

2. Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. Tentukan

letak titik berat Zo.

16


BAB III

STATIKA, MOMEN, dan KOPEL

I. Gaya (Hukum Newton I, II, III)

Hukum Newton I (hukum kelembaman/inersia)

Apabila sebuah benda/titik materi dibiarkan pada dirinya sendiri, maka keadaan

diam atau keadaan gerak lurus beraturan dari benda/titik materi itu tidak akan

berubah.

Hukum Newton II

F = m . a

Percepatan sebuah benda/titik materi sama dengan resultante gaya-gaya yang

bekerja pada benda/titik materi itu, sedang arahnya sama dengan arah resultante gaya-

gaya itu.

Hukum Newton III

Apabila sebuah benda A melakukan tekanan (gaya) pada

sebuah benda B, maka benda B sebaliknya akan melakukan

tekanan (gaya) pada benda A yang sama besarnya tetapi

arahnya berlawanan dengan tekanan (gaya) yang diterima oleh

benda B tersebut (gaya aksi = gaya reaksi).

A. Pengertian gaya

Gaya adalah sesuatu yang menyebabkan perubahan gerak suatu benda, yakni

dari diam menjadi bergerak, dari bergerak menjadi diam, atau dari gerak lurus

menjadi gerak membelok, atau sebaliknya.

B. Menguraikan gaya & mencari resultante gaya

➢ Menguraikan satu gaya menjadi dua gaya yang membentuk sudut.

F1=F sin ∝

sin(∝+β) F2=F{cos∝-sin∝.ctg(∝+β)}

17


➢ Resultante pada dua gaya yang membentuk sudut

R=√Rx2 + Ry

2

Rx = Ʃ Fx

= F1x + F2x

= F1 cos α1 + F2 cos α2

Ry = Ʃ Fy

= F1y + F2y

= F1 sin α1 + F2 sin α2

➢ Menguraikan satu gaya menjadi dua gaya sejajar

Resultante dua gaya sejajar

R = F1 + F2

untuk mencari x

R . x = F1 . 0 + F2 . a

➢ Resultante gaya pada beban terbagi merata

• Resultante gaya untuk beban terbagi rata

R = q . L (ton)

• Resultante gaya untuk beban segitiga

R = (q. L) / 2 (ton)

F1y

18


C. Kesetimbangan

➢ Keseimbangan Partikel

Partikel dipengaruhi oleh gaya-gaya yang terletak pada

satu bidang datar. Syarat seimbang titik :

∑Fx = 0

∑Fy = 0

Tiga buah titik gaya yang bertitik tangkap sama berlaku : 𝑇1

𝑠𝑖𝑛 ∝=

𝑇2

𝑠𝑖𝑛𝛽=

𝑇3

𝑠𝑖𝑛𝛾

➢ Kesetimbangan Stabil

Kesetimbangan stabil terjadi karena adanya suatu kopel dengan gaya

berat G dan gaya tekan N yang berputar, sehingga kembali ke keadaan semula.

Papan digantung

Dimana letak titik berat (Z) terletak

vertikal di bawah titik gantung P

Benda di atas bidang datar

Dimana letak gaya berat G dan gaya

tekan N yang masing-masing

bertitik tangkap di Z (titik berat

balok) dan di A terletak satu garis

lurus.

➢ Kesetimbangan Labil

Kesetimbangan labil terjadi karena adanya suatu kopel dengan gaya

berat G dan gaya tekan N yang berputar, sehingga tidak kembali ke keadaan

semula.

Papan digantung


vertikal di atas titik gantung P



tekan N yang masing-masing

melalui rusuk B dari balok tersebut

terletak pada satu garis lurus.

19


➢ Kesetimbangan Sembarang (Indifferent)

Kesetimbangan indifferent karena tidak terjadi kopel dengan gaya berat

G dan gaya tekan N pada satu garis lurus, sehingga akan kembali setimbang

pada kedudukan baru.

Papan digantung


berimpit titik gantung P



tekan N akan tetap pada satu garis lurus.

II. Momen

Momen gaya F terhadap sebuah titik 0 ialah hasil kali dari besar gaya F dengan

jarak dari titik 0 ke arah garis kerja gaya F tersebut.

M = F . a

M = Momen gaya

F = Gaya

a = Lengan momen gaya

➢ Momen gaya resultante dengan titik tangkap sama

Momen gaya resultante dari gaya-gaya F1 dan F2

terhadap titik 0 adalah sama dengan jumlah

aljabar dari momen-momen gaya-gaya F1 dan F2

terhadap titik 0.

➢ Momen gaya resultante dengan titik tangkap berlainan

20


➢ Momen gaya resultante dengan titik tangkap sejajar

III. Kopel (Pasangan)

Kopel atau pasangan adalah susunan yang

mempunyai atau menyebabkan gerakan berputar

(rotasi).

• Momen kopel

Momen kopel ialah hasil kali dari salah satu

gaya kopel itu dengan jarak antara kedua garis

kerja gaya-gaya kopel itu.

M = r . F sin θ

• Memadu kopel pada bidang sejajar

Jumlah aljabar dari momen kopel-momen

kopel yang sebidang atau yang terletak pada

bidang-bidang sejajar dapat dihitung dengan

cara berikut :

21


IV. Momen Inersia

Momen inersia adalah suatu sifat kekakuan yang ditimbulkan dari hasil perkalian

luas penampang dengan kuadrat jarak ke suatu garis lurus atau sumbu. Momen inersia

atau momen kelembaman ini dibutuhkan dalam perhitungan perhitungan lenturan,

puntiran dan tekukan. Momen inersia di dalam perhitungan diberi dengan harus I, jika

terhadap sumbu X maka diberi simbol Ix dan jika terhadap sumbu Y diberi simbol Iy.

Jadi momen inersia terhadap sumbu x : Δ Ix = Δ A.Y2

Begitu juga terhadap sumbu Y : ΔIy = Δ A. X2

Di mana : A = luas seluruh bidang .

Δ A = bagian kecil luas suatu bidang.

Apabila luas bidang (A) dibagi-bagi menjadi ΔA1, ΔA2, ΔA3 dan seterusnya

dan jarak masing-masing bagian ke sumbu X adalah Y1,Y2, Y3 dan seterusnya begitu pula

jarak masing-masing bagian ke sumbu Y adalah X1, X2, X3 dan seterusnya maka besar

momen insersia adalah sebagai berikut :

Terhadap sumbu X : Ix = ΔA1 . Y12 + ΔA2 . Y2

2 + ….. + ΔAn.Yn2

Terhadap sumbu Y : Iy = ΔA1 . X12 + ΔA2 . X2

2 + ….. + ΔAn.Xn2

Di mana Ix dan Iy dalam cm4

X dan Y dalam cm

ΔA dalam cm2

Karena jarak X maupun Y berpangkat maka hasil momen kelembaman selalu

posistif, pada perhitungan tekukan kita memasukkan arti jari-jari kelembaman (i).

I = A . i2 atau i = √I

A

di mana i = jari-jari kelembaman, i dalam satuan cm.

A

A

22


Ada dua momen inersia :

a. Momen kelembaman linier yaitu momen kelambaman terhadap suatu garis lurus atau

sumbu.

Ix = ΔA . Y2

Iy = ΔA . X2

b. Momen kelembaman Poler yaitu momen kelembaman terhadap suatu titik

perpotongan dua garis lurus/sumbu (titik kutub O). Dengan kata lain bahwa

momen kelembaman Poler adalah jumlah momen kelembaman linier terhadap


Ip = Ix + Iy.

A

A

A

A

23


Dalil pergeseran sumbu Z/Y :

a dan b ialah jarak geser dari sumbu x ke x dan dari y ke y sehingga besar momen inersia /

kelembaman terhadap sumbu x/y menjadi :

Ix = I2,x + A b2

Iy = I2,y + A a2

I2,x dan I2,y disebut bilangan asal, sedang Aa2 dan Ab2 disebut bilangan koreksi (momen

koreksi). Dalam modul ini tidak dibahas tentang menemukan rumus-rumus momen

inersia/kelembaman sebab biasanya para teknisi bangunan cukup dengan menggunakan

rumus dalam perhitungan.

Momen inersia / kelembaman untuk beberapa penampang :

a. Momen kelembaman bentuk empat persegi panjang

Momen inersia terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat penampang z adalah

Izx atau Ix = 1/12.b.h3

Izy atau Iy = 1/12.h.b3

A

24


Momen inersia terhadap sumbu x adalah :

Ix = Izx + Ab12

= 1/12 b.h3 + b.h.b12

= 1/12 bh3 + b.h(1/2h)2

= 1/12bh3 + ¼ bh3

Ix = 1/3 bh3

Momen inersia terhadap sumbu y adalah :

Iy = Izy + Aa12

=1/12.hb3 + Aa12

= 1/12 hb3 + b.h(1/2b)2

=1/12hb3 + 1/4hb3

Iy = 1/3hb3

b. Momen kelembaman bentuk segi tiga

Momen inersia terhadap sumbu x yang melalui titik berat penampang z.

Ix atau Izx = 1/36 b.h3

Momen inersia terhadap sumbu x yang melalui puncak segitiga adalah

Ix = ¼ b.h3

c. Momen Kelembaman bentuk lingkaran

Momen inersia / kelembaman terhadap sumbu x yang melalui titik berat/titik pusat

lingkaran adalah Ix = I2= 1/64π d4

Untuk perhitungan konstruksi bangunan 1/64 π ≈ 1/20 sehingga Ix = I2 = 1/20d4

25


Untuk penampang lingkaran ini sering digunakan untuk poros berputar ataupun

konstruksi yang mengalami torsi. Untuk hal ini momen inersia yang digunakan dalam

perhitungan adalah momen inersia/kelembaman polar.

Ip = Ix +Iy sehingga

Ip = 1/20 d2 +1/20 d2

Ip = 1/10 d4 atau

Ip = 0,1 d4

d. Momen kelembaman bentuk cincin

Dianggap tidak berlubang : Ip1 = 0,1 D4

Lubangnya saja : Ip2 = 0,1 d4

Sehingga Ip = 0,1 D4-0,1d4

Ip = 0,1 (D4-d4)

Contoh 1:

Diketahui suatu penampang dberbentuk empat persegi panjang dengan b = 6 cm dan h =

12 cm (lihat gambar)

26


Pertanyaan :

a). Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy

terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat

penampang.

b). Hitung momen kelembaman Ix terhadap sumbu

x yaitu melalui sisi alas penampang.

Penyelesaian :

Momen inersia terhadap sumbu x adalah : Ix

= 1/12.b.h3

= 1/12. 6 cm. (12 cm)3

= 864 cm4

Momen inersia terhadap sumbu y adalah : Iy

= 1/12.h.b3

= 1/12.12 cm (6 cm)3

= 216 cm4

Momen inersia terhadap sisi alas x adalah :

Ix = 1/3.b.h3

= 1/3.6 cm(12cm)3

= 3456 cm4

atau dapat dihitung dengan rumus /dalil

pergeseran :

Ix = Iz,x+A.b12

= 1/12. 6 cm. (12 cm)3 + 6 cm.12 cm (6 cm)2

= 8 64 cm4 + 2592 cm4

= 3456 cm4

27


Contoh 2 :

Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di

bawah.

Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap

sumbu x/y yang melalui titik berat penampang.

Penyelesaian :

a. Menentukan letak titik berat penampang profil, maka penampang profil dibagi

menjadi dua bagian.

Perhitungan :

Bagian I : luas A1 = 12 cm x 4 cm = 48 cm2

Bagian II : luas A2 = 4c m x 12 cm = 48 cm2

Jumlah ΣA = 96 m2

4 cm 8 cm

4 cm

12 cm

28



X1 = 2 cm, Y1 = 10 cm

X2 = 6 cm , Y2 = 2 cm

Untuk menentukan titik berat Zo; dengan menggunakan statis momen luas terhadap


X= A1.X1+A2.X2 ΣA

X = 48 cm2.2 cm+48 cm2. 6 cm 96 cm2

X=96 cm3+288 cm3 96m2

X = 384 cm3/ 96 cm2

X = 4 cm

Y = A1Y1+A2.Y2 ΣA

Y = 48 cm2.10 cm+48 cm2.2 cm 36 cm²

Y = 480 cm³ + 96 cm³ 36 cm2

Y = 576 cm3/96 cm2

Y = 6 cm

Jadi letak titik berat Z0 (4 : 6) cm.

Jarak titik berat penampang Z1 dan Z2 terhadap Zo:

Z1 adalah titik berat penampang A1

Z2 adalah titik berat penampang A2

b1 = 10 cm – 6 cm = 4 cm

b2 = 6 cm – 2 cm = 4 cm

a 1 = 2 cm

a 2 = 6 cm – 4 cm = 2 cm

Momen inersia terhadap sumbu x adalah : rumus : Ix = I2x + A.b2

I x1 = (1/12).4 cm.(12 cm)3+48 cm2 (4cm)2= 576 cm4+768 cm4 = 1344 cm4

I x2 = (1/12).12 cm (4 cm)3 + 48 cm2(4cm)2=64 cm4+768 cm4 = 832 cm4

Jadi Ix= Ix1 + I x2 = 2176 cm4

Momen inersia terhadap sumbu y adalah : rumus : Iy = I2y + A.a2

Iy1 = (1/12).12 cm(4 cm)3+48 cm2.(2 cm)2 = 64 cm4+192 cm4=256 cm4

Iy2 = (1/12).4 cm(12cm)3+48 cm2 .(2 cm)2=576 cm4+192 cm4=768 cm4

Jadi Iy = Iy1 + I y2 = 1024 cm4

29


Contoh 3 :

Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di

bawah.

a) Hitung momen kelembaman Ix terhadap sumbu x

yang melalui titik berat penampang.

b) Hitung momen kelembaman polarnya.

Penyelesaian :

a) Ix = 1/20 d4

= 1/20.(12 cm)4

= 1036,8 cm4

b) Ip = 0,1 d4

= 0,1.(12 cm)4

= 2073,6 cm4

Soal Latihan

1. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di

bawah.

Hitunglah momen kelembaman Ix dan

Iy terhadap sumbu x/y yang melalui

titik berat penampang profil.

2. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah.

Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat

penampang profil.

5 cm

12cm

4 cm

4cm

2 cm

5 cm

R=6 cm

5 cm 5 cm 2cm

2 cm

6 cm

4cm

30


31


UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH YOGYAKARTA

JURUSAN TEKNIK SIPIL | DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING

Jl. Brawijaya, Tamantirto, Kasihan, Bantul, Telp. 0274-387656 ext. 232, Fax. 0274-387646Website : http://tekniksipil.umy.ac.id

Documents

MODUL MATRIKULASI - tekniksipil.umy.ac.id