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Module : fonctions d’une variable réelle (AF - AMCR)

Sommaire Module : fonctions d’une variable réelle (AF - AMCR) ................................................................................................................ 1

1) FONCTIONS DE REFERENCE ............................................................................................................................................................ 2

a) Fonctions affines ................................................................................................................................................................. 2

b) Fonctions polynômes du second degré. ............................................................................................................................. 3

c) Fonction exponentielle. ....................................................................................................................................................... 4

d) Fonction logarithme népérien. ........................................................................................................................................... 5

2) VARIATIONS ................................................................................................................................................................................ 6

a) Interprétation graphique du nombre dérivé....................................................................................................................... 6

b) Fonction dérivée ................................................................................................................................................................. 6

c) Tableau de variations .......................................................................................................................................................... 7

d) Equation f(𝑥) = k. ................................................................................................................................................................. 8

3) LIMITES ...................................................................................................................................................................................... 9

a) Interprétation graphique .................................................................................................................................................... 9

b) Déterminer une limite ....................................................................................................................................................... 10

4) DEVELOPPEMENTS LIMITES .......................................................................................................................................................... 12

a) QCM. Un développement limité de f au voisinage de 0 est .............................................................................................. 12

b) Donner l’équation de la tangente à la courbe de f en 0 ................................................................................................... 12

c) Déterminer la position de la courbe de f par rapport à sa tangente en 0 ........................................................................ 12

Parties Capacités du programme

1. Fonctions de référence

Représenter une fonction de référence et exploiter cette courbe pour retrouver des propriétés de la fonction.

2. Variations Dériver : à la main ou avec un logiciel.

Etudier des variations.

Exploiter le tableau pour obtenir des variations, des extrema, le nombre de solutions de f(𝑥) = k, le signe de f.

Résoudre une équation f(𝑥) = k de façon exacte ou approchée : balayage, dichotomie.

3. Limites Déterminer une limite.

Interpréter une représentation graphique en termes de limite. Interpréter graphiquement une limite en termes d’asymptote.

4. Développements limités

Exploiter un développement limité pour donner l’équation réduite de la tangente et préciser sa position par rapport à la courbe représentative de la fonction.

Calculatrice : CASIO Graph 35+E ou TI82 avec mode examen. Cours & TD hébergés sur : http://methodesdemath.free.fr (avec exercices supplémentaires pour réviser).

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1) FONCTIONS DE REFERENCE

a) Fonctions affines

Définition : la fonction définie sur ℝ par f(𝑥) = a𝑥+b, avec a et b deux réels donnés, est appelée fonction .

Propriétés : une fonction affine peut être représentée par une .

Si a > 0, alors f est croissante sur ℝ. Si a < 0, alors f est décroissante sur ℝ.

a est le (..................................................................................................................)

b est l’ (lue sur l’axe ......................................)

Méthode 1 : déterminer la valeur de a et celle de b.

f(𝑥) = ....................... g(𝑥) = ............. h(𝑥) = 1 + 1

3𝑥

Exercice 1. Ci-dessus h(𝑥) = 1+ 13

𝑥 donne le tarif (€) demandé par une entreprise spécialisée dans la récupération des

produits chimiques usagés, en fonction de leur volume 𝑥 (L). Compléter les pointillés : Se débarrasser de 21 L de déchets coûte .... €. Avec un budget de 31 € on peut se débarrasser de ...... L de déchets.

Méthode 2 : déterminer les signes d’une expression (dans le cas : sans 𝑥²)

a = ....... < 0. Donc : f(𝑥) « ..................... du ... vers le ... ».

Tableau de signes :

𝑥 -∞ +∞

a = ..... > 0. Donc : g(𝑥) « ..................... du ... vers le ... ».

Tableau de signes :

𝑥 -∞ +∞

Exercice 2. a) Dresser le tableau de signes sur ℝ :

𝑥

4𝑥-8

𝑥

2-2𝑥

b) Résoudre (4𝑥-8)(2-2𝑥) > 0 .........................................................................................................................................................................

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b) Fonctions polynômes du second degré.

Définition : la fonction définie sur ℝ par f(𝑥) = a𝑥²+b𝑥+c, avec a, b et c des réels donnés et a non nul, est appelée fonction

polynôme .

Propriétés : la représentation graphique d’une fonction du second degré est une .

Une parabole possède un , qui correspond à :

un minimum (comme S1) si ........... ;

un maximum (comme S2) si ............

Méthode 3 : résoudre une équation du second degré, déterminer les signes d’une expression (dans le cas : avec 𝑥²)

Exemples Δ = b²-4ac

donne le nombre de solutions solution(s) si Δ ≥ 0 : −𝑏±√∆

2𝑎

Le nombre « a » (lié à 𝑥²) impose son signe (sauf entre les solutions éventuelles)

2𝑥²-6𝑥+4 = 0

a = b = c =

Δ = b²-4ac = (....)²-4×...×....

= ....

Δ > 0 2 solutions pour : 2𝑥²-6𝑥+4 = 0

𝑥1 = −𝑏+√∆

2𝑎 =

−(−6)+√4

2×2 = …

𝑥2 = −𝑏−√∆

2𝑎 =

−(−6)− √4

2×2 = ...

a = +2 impose le signe « + » (sauf entre les solutions) :

𝑥 -∞ +∞

2𝑥²+4𝑥-6 0 0

-𝑥²+5𝑥-4 = 0 a = b = c =

Δ = b²-4ac =

Δ > 0 2 solutions pour : -𝑥²+5𝑥-4 = 0

𝑥1 = −𝑏+√∆

2𝑎 =

𝑥2 = −𝑏−√∆

2𝑎 =

a =

𝑥 -∞ +∞

-𝑥²+5𝑥-4

𝑥²+2𝑥+1 = 0 a = b = c =

Δ = b²-4ac =

Δ = 0 1 solution pour : 𝑥²+2𝑥+1 = 0

𝑥0 = −𝑏

2𝑎 =

a =

𝑥 -∞ +∞

𝑥²+2𝑥+1

-1-2𝑥² = 0 a = b = c =

Δ = b²-4ac =

Δ < 0 0 solution. Aucune solution réelle.

a =

𝑥 -∞ +∞

-1-2𝑥²

Remarque : pour élever un nombre négatif au carré, il faut le mettre entre parenthèses : (-6)² = 36, alors que -6² = -36

Exercice 3. Un atelier fait un bénéfice donné par : f(𝑥) = -𝑥²+6𝑥-5 (en k€) en fonction de sa production mensuelle 𝑥, ajustable, en kg. On cherche à avoir un bénéfice positif. Méthode :

-

-

-

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Exercice 4. L’arche du viaduc de Garabit est modélisée par la fonction f(𝑥) = -0,8𝑥²+126𝑥 avec 𝑥 en mètres et f(𝑥) en centimètres.

On cherche la largeur du viaduc, puis la hauteur maximale de l’arche.

Visualiser la courbe représentative de f sur votre calculatrice. Quels réglages choisir ? Xmin = Xmax = Ymin = Ymax =

c) Fonction exponentielle.

Notation : la fonction définie sur .... par f(𝑥) = 𝑒𝑥 est appelée fonction exponentielle, avec e ≈ .........

Valeurs remarquables : e0 = ... et e1 = e. Les touches de la calculatrice à utiliser sont en général :

On peut appliquer la fonction exponentielle à une expression. Ainsi 𝑒3𝑥−1 se lit « exponentielle de 3𝑥 - 1 ». Des

parenthèses sont en général nécessaires pour entrer ceci dans le mode graph de la calculatrice : .

Méthode 4 : simplifier des expressions contenant de l’exponentielle.

Pour mémoire :

e3×e2 =

Conséquence : (𝑒2)3 =

Pour mémoire : 𝑒3

𝑒2 =

Conséquence : 1

𝑒2 =

Ex : e3×e2 =

3𝑒2𝑥×𝑒4=

Ex : 𝑒3

𝑒2 =

𝑒2

𝑒−𝑥 =

Propriété : pour tout 𝑥 de ℝ, on a 𝑒𝑥 > 0 : 𝑒𝑥 est toujours de signe « ... » et 𝑒𝑥 n’est jamais égal à 0.

Remarque : ceci reste vrai pour : 𝑒−𝑥, 𝑒3𝑥−1... l’exponentielle donne des nombres toujours strictement positifs.

Méthode 5 : déterminer le signe d’une expression contenant de l’exponentielle.

Cas 1 : 3𝑒−𝑥 Cas 2 : -2𝑒2−4𝑥 Cas 3 : (3𝑥-3)𝑒𝑥 Cas 4 : 1-5𝑒𝑥

Or l’exponentielle donne toujours un nombre de signe ... Note : 1-5𝑒𝑥 ≥ 0 si 𝑥 ≤ -1,6

Exercice 5. Dresser le tableau de signes de : −5𝑒−0,2𝑥 et de : (1-4𝑥)𝑒𝑥

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Représentation graphique des fonctions exponentielle et logarithme népérien :

Ces fonctions sont toutes deux strictement croissantes sur leur ensemble de définition.

Ce n’est pas forcément le cas si son applique e ou ln à une expression (comme à -0,2𝑥 par exemple).

Citation : « Elon Musk annonce une croissance exponentielle de la production ».

Comment va varier cette production ? ..........................................................................................

..........................................................................................

d) Fonction logarithme népérien.

Notation : la fonction définie sur ........... par f(𝑥) = ln(𝑥) est appelée fonction logarithme népérien, notée .......

𝑥 0 1 +∞

ln(𝑥)

Valeurs remarquables : ln(1) = .... et ln(e) = .... ln(0) et ln(-2) n’existent pas (il faut des nombres strictement positifs)

Par exemple, ln(𝑥+3) n’existe que si 𝑥+3 > 0 est vrai. Il faut alors avoir : 𝑥 > -3.

Propriétés : soient a et b des réels strictement positifs, r un entier relatif, 𝑥 un réel, alors :

Méthode 6 : simplifier des expressions contenant ln.

ln(𝑒𝑥) = 𝑥 et eln(a) = a

ln(2)+ln(4) =

ln(2a)+ln(a) =

Inversement : ln(6) = ln( × ) =

ln(6)-ln(4) = ln(6a)-ln(3) =

ln(3²) = ln(5²) - ln(5) =

ln(𝑒3𝑥−2) =

𝑒ln (6) =

Méthode 7 : résoudre une équation à l’aide d’exponentielle ou de ln.

Cas 1 : ln(2𝑥) = -5 , pour 𝑥 > 0. Cas 2 : 4𝑒𝑥+1 = 3 Cas 3 : 3×1,06n = 6

1) ln est déjà isolée. 2) Extraire « 2𝑥 » :

1) Isoler e 2) Extraire 𝑥 :

1) Isoler la puissance.

2) Astuce : appliquer ln.

Remarque : si en cours de calcul, on aboutit à une égalité impossible comme 𝑒𝑥 = -1, alors il n’y a pas de solution.

Exercice 6. La hauteur en mètres d’une nacelle qui se déplace est donnée par f(𝑥) = 10𝑒−0,3𝑥+2 avec 𝑥 le temps en minutes.

a) Déterminer la hauteur initiale de la nacelle.

b) Au bout de combien de temps la nacelle sera-t-elle à 3 m de haut ?

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2) VARIATIONS

a) Interprétation graphique du nombre dérivé

Définition : soient f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h deux éléments de I.

On se place en un point A d’abscisse a de la courbe. M est un point mobile de la courbe, proche du point A, avec une abscisse a+h.

On obtient une droite (d) dont le coefficient directeur est :

Dans un second temps, on rapproche le point mobile M du point A, en faisant tendre h vers 0. La droite (d) se rapproche ici d’une position limite : la droite .......................... à la courbe au point A. Le coefficient directeur de la tangente, s’il existe, sera appelé

no mbre de la fonction en a et noté .......... :

𝑓’(𝑎) = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

Méthode 8 : lire un nombre dérivé.

Pour lire f’(1) : 1. Repérer le point de la courbe d’abscisse « 1 ». 2. Observer la tangente à la courbe en ce point. 3. Déterminer le coefficient directeur de cette droite

tangente. 4. Le résultat est un nombre noté f’(1).

Exercice 7. Déterminer f’(1), f’(0) et f’(-1) : Remarques : Ne pas confondre f’(1) avec : f(1) = L’équation de la tangente en A est : 𝑦 = f’(1)(𝑥-1) + f(1).

b) Fonction dérivée

Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ. Si pour tout élément a de I, f ’(a) existe, on dit que f est

dérivable sur I. On définit la .... qui pour tout 𝑥 de I associe f ’(𝑥).

Propriété : si u et v sont des fonctions définies et dérivables sur I, alors les fonctions u+v, u×v, 𝑢

𝑣 (si elle est définie sur

I), ln(u) (si elle est définie sur I), un (n : relatif non nul) et 𝑒𝑢 sont dérivables sur I.

Note : les fonctions usuelles au programme sont dérivables sur ℝ, sauf : √𝑥, ln et les quotients. Un quotient existe si son

dénominateur est non nul : une .......................................... est possible.

Quelques principes de dérivation à

maîtriser:

3𝑥 3 -𝑥 -1 2+𝑥 +1

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fonction dérivée existe sur :

f(𝑥) = 5 (constante) f ’(𝑥) = ℝ

f(𝑥) = 7𝑥-2 f ’(𝑥) = ℝ

f(𝑥) = 𝑥3 f ’(𝑥) = ℝ

f(𝑥) = √𝑥 f ’(𝑥) =

f(𝑥) = 1

𝑥 f ’(𝑥) =

f(𝑥) = 𝑒𝑥 f ’(𝑥) = ℝ

f(𝑥) = ln(𝑥) f ’(𝑥) =

f(𝑥) = cos(𝑥) f ’(𝑥) = ℝ

f(𝑥) = sin(𝑥) f ’(𝑥) = ℝ

Opération Dérivée

𝑢+𝑣 𝑢’+𝑣’

k×𝑢 k×𝑢’

𝑒𝑢 𝑢’.𝑒𝑢

𝑢𝑛 n 𝑢𝑛−1 𝑢’

ln(𝑢) 𝑢′

𝑢

𝑢×𝑣 𝑢’𝑣+𝑢𝑣’ 𝑢

𝑣

𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

1

𝑢

−𝑢′

𝑢2

n est un relatif non nul, k un réel.

Méthode 9 : dériver une fonction en appliquant la bonne formule.

Cas 1 : polynôme. f(𝑥) = 2𝑥5-4𝑥3+10𝑥-1 Cas 2 : puissance. g(𝑥) = (2𝑥+1)3

Cas 3 : exponentielle. h(𝑥) = 10𝑒−0,3𝑥+2 Cas 4 : ln. i(𝑥) = ln(4𝑥 − 1)

Cas 5 : produit. j(𝑥) = (2-𝑥)𝑒3𝑥 Cas 6 : quotient. k(𝑥) = 3−2𝑥

2𝑥+1

c) Tableau de variations

Propriété : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

f est sur I est équivalent à dire que f ’(𝑥) ≥ 0 pour tout 𝑥 de I : dérivée de signe « ... »

f est sur I est équivalent à dire que f ’(𝑥) ≤ 0 pour tout 𝑥 de I : dérivée de signe « ... »

Si en plus la dérivée ne s’annule pas, ou seulement en des points isolés, f sera strictement croissante ou décroissante.

Méthode 10 : dresser un tableau de variations.

1) Obtenir f ’(𝑥) en dérivant f avec la bonne formule. Parfois la dérivée est fournie.

2) Chercher si f ’(𝑥) peut valoir 0. Déterminer le signe de la dérivée. 3) Dresser le tableau de variations avec 3 lignes à compléter.

Exemple de tableau :

ligne 𝑥 : les solutions de f’(𝑥) = 0 et une barre sous chaque valeur. Dans certains cas : une valeur interdite (double barre). Parfois rien.

ligne f’(𝑥) : les signes de la dérivée. Il peut y avoir un seul signe, deux signes, trois signes... en fait : un signe par case.

ligne f(𝑥) : une flèche qui monte pour « + » et une flèche qui descend pour « - ». De plus dans l’exemple ci-contre, f(6) vaut 12.

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Exercice 8. Dresser le tableau de variations de chaque fonction.

f(𝑥) = 2𝑥²+4𝑥-6

Complément. Donner le nombre de solutions de : f(𝑥) = -10 : f(𝑥) = -8 : f(𝑥) = 0 :

g(𝑥) = 10𝑒−0,3𝑥+2 sur [0 ; +∞[ - c’est le cas de la nacelle.

Calculer la vitesse initiale de la nacelle, g’(0) = .................. Donner le sens de variations de g.

h(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 11 sur [-3 ; 5].

k(𝑥) = 3−2𝑥

2𝑥+1

Propriété : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un élément intérieur de I. Si f ’(𝑥) s’annule en changeant de

signe en a, alors f admet un extremum local ( ou ) en a.

Reprise de l’exercice 3. Un atelier fait un bénéfice donné par : f(𝑥) = -𝑥²+6𝑥-5 (en k€) en fonction de sa production mensuelle

𝑥, ajustable, en kg. Comment faire un bénéfice maximal ?

d) Equation f(𝒙) = k.

Reprise de l’exercice 6. La hauteur en mètres d’une nacelle qui se déplace est donnée par f(𝑥) = 10𝑒−0,3𝑥+2 avec 𝑥 le temps

en minutes. Au bout de combien de temps la nacelle sera-t-elle à 3 m de haut ?

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Méthode 11 : résoudre une équation de façon approchée à l’aide du mode table de la calculatrice. L’équation à résoudre est : 10𝑒−0,3𝑥+2 = 3

CASIO 35+ TI 82

1) Rentrer la fonction dans le mode TABLE :

1) Rentrer la fonction via la touche Y= ou f(𝑥)

2) Les réglages se font sur SET. -Faire calculer f(0), f(1), f(2)... jusqu’à f(10) avec un pas de 1 :

-Sortir puis exécuter.

3) Changer les réglages. -Faire calculer f(7), f(7,1), f(7,2)... jusqu’à f(8) :

Sortir puis exécuter.

2) Les réglages se font sur TBL SET (ou déf table) Faire calculer f(0), f(1), f(2)... avec un pas de 1 :

3) Changer les réglages. Faire calculer f(7), f(7,1), f(7,2)... avec un pas de 0,1 :

-Chercher quand Y1, qui

correspond à f(𝑥), passe par 3 :

Ici c’est pour 𝑥 compris entre 7 et 8.

-Chercher quand Y1, qui correspond à f(𝑥), passe par 3 :

Ici notre solution 𝑥 est comprise entre 7,6 et 7,7.

Sur rendre sur TABLE. Chercher quand Y1, qui

correspond à f(𝑥), passe par 3 :

Ici c’est pour 𝑥 compris entre 7 et 8.

Sur TABLE chercher quand

Y1, qui correspond à f( 𝑥 ), passe par 3 :

Ici 𝑥 est entre 7,6 et 7,7.

4) Poursuivre jusqu’à avoir la précision désirée (le pas vaut 1 puis 0,1 puis 0,01...). Avec un pas de 0,01, 𝑥 est compris entre 7,67 et 7,68. Conclure : il faut environ 7,7 min pour que la nacelle soit à 3 m de haut.

Exercice 9. Chercher au bout de combien de temps cette nacelle sera à 5 m de haut. ....................................................

Méthode 12 : résoudre une équation de façon approchée à l’aide d’un algorithme : 10𝑒−0,3𝑥+2 = 7

Algorithme de balayage Faire tourner l’algorithme à la main en remplissant le tableau :

Rappel. La fonction f est décroissante et f(0) = 12.

Initialisation 𝑥 prend la valeur 0

Traitement Tant que f(𝑥) > 7 𝑥 prend la valeur 𝑥 + 1 Fin du tant que

Affichage Afficher 𝑥

Etape 𝑥 f(𝑥) Affichage

Comment rendre l’algorithme plus précis ?

3) LIMITES

a) Interprétation graphique

Situation Exemple Limite Interprétation

f(𝑥) peut être rendu aussi grand que désiré quand 𝑥 augmente :

f(𝑥) peut être rendu aussi proche que désiré du nombre 2 quand 𝑥 augmente :

3

3

3 3

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f(𝑥 ) = 1

𝑥−1 ne peut pas

être calculé pour 𝑥 = 1, qui est une valeur interdite.

Le calcul 1

1−1 est

impossible, cela reviendrait à diviser par 0.

Note : « horizontale » : parallèle l’axe des abscisses et « verticale » : parallèle à l’axe des ordonnées.

b) Déterminer une limite

Limites usuelles :

Puissance d’exposant n pair (𝑥2, 𝑥4...) Puissance d’exposant n impair (𝑥3, 𝑥5...)

Division Exponentielle Logarithme

Propriétés sur les limites et premiers exemples :

Limite d’une somme

f l l +∞ -∞ +∞

g l’ ±∞ +∞ -∞ -∞

f+g ?

l et l’ sont des réels.

Limite d’un produit

f l l≠0 ±∞ 0

g l’ ±∞ ±∞ ±∞ f×g ?

Appliquer la « règle des signes » pour ±∞.

lim𝑥→−∞

𝑥² − 1 =

lim

𝑥→+∞𝑥² + 𝑥 + 1 =

lim𝑥→−∞

−3𝑥² =

lim

𝑥→+∞1 − 2𝑒3𝑥 =

Limite d’un quotient

f l l≠0 0 ±∞ ±∞ l

g l’≠ 0 0 0 ±∞ l’ ±∞ 𝑓

𝑔 ? ?

Appliquer la « règle des signes » pour ±∞.

lim𝑥→−∞

3

𝑥 − 2=

lim𝑥→2+

3

𝑥 − 2=

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Pourquoi s’intéresser aux limites ?

Reprise de l’exercice 6. La hauteur en mètres d’une nacelle qui se déplace est donnée par f(𝑥) = 10𝑒−0,3𝑥+2 avec 𝑥 le temps

en minutes. Quelle sera la hauteur finale (limite) de la nacelle ?

Réponse :

La hauteur finale est obtenue pour des temps 𝑥 très longs : on fait tendre 𝑥 vers ...... On détermine la limite :

lim𝑥→+∞

10𝑒−0,3𝑥 + 2 = ?

Méthode 13 : déterminer une limite et « interpréter graphiquement le résultat ».

lim𝑥→+∞

10𝑒−0,3𝑥 + 2 = ?

1) On remplace mentalement 𝑥 par +∞ dans l’expression : −0,3𝑥 tend alors vers .... Or « 𝑒−∞ » (à ne pas écrire) tend vers ..... d’après un principe du cours :

lim𝑥→+∞

10𝑒−0,3𝑥 + 2 =

2) On conclut : la hauteur finale limite de la nacelle est de ............

3) Pour interpréter graphiquement la limite obtenue, on indique que :

La courbe représentative de f possède une ...................................... d’équation ............... en +∞.

Il existe des limites qu’on ne peut pas déterminer facilement, ce sont les formes indéterminées du tableau :

Formes indéterminées : « ? »

Méthode 14 : lever une forme indéterminée.

Problématique :

Justification de la règle :

lim𝑥→−∞

3 𝑥² + 4𝑥 − 1 = lim𝑥→−∞

𝑥² (3 +4

𝑥−

1

𝑥2)

lim𝑥→−∞

3 𝑥² + 4𝑥 − 1 = ?

lim𝑥→−∞

3𝑥² = . . . mais lim𝑥→−∞

4𝑥 = . ..

On obtient une forme indéterminée : « ». lim

𝑥→−∞ 3𝑥² + 4𝑥 − 1 = lim

𝑥→−∞ 3𝑥² = +∞

Règle pour les polynômes : En cas de forme indéterminée en ±∞, la limite du polynôme est celle du monôme de plus haut degré :

Remarque : la factorisation et l’utilisation de formules permettent de lever des formes indéterminées impliquant des puissances, exponentielles et logarithmes (𝛼 est un entier strictement positif) :

En résumé : e croit plus vite que la puissance qui croit plus vite que ln. Celui qui croit plus vite impose la limite.

lim𝑥→+∞

𝑒𝑥

𝑥𝛼= +∞ lim

𝑥→−∞ 𝑥𝛼𝑒𝑥 = 0 lim

𝑥→+∞ ln (𝑥)

𝑥𝛼= 0 lim

𝑥→0 𝑥𝛼ln (𝑥) = 0

Méthode 15 : rechercher une asymptote oblique.

Ici 𝑦 = ...............

Dans le cas particulier ci-contre : lorsque 𝑥 tend vers +∞, la courbe de f tend vers une droite d’équation 𝑦 =a𝑥+b, une asymptote oblique à la courbe.

Il faut alors montrer que : lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏) = . . .

Rappel : Pour chercher des asymptotes horizontales, montrer que lim𝑥→∞

f(𝑥) donne un nombre fixé. Pour des asymptotes

verticales (au niveau d’une valeur interdite c), chercher lim 𝑥→𝑐

f(𝑥) et obtenir l’infini.

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Exercice 10. Montrer que la courbe représentative de f avec f(𝑥) = 2𝑥 +1 + 1

2−2𝑥 sur ℝ\{1} admet une asymptote oblique en

+∞ d’équation 𝑦 = 2𝑥+1 et déterminer la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

4) DEVELOPPEMENTS LIMITES Contexte : on cherche à écrire une approximation d’une fonction au voisinage de 0.

Un logiciel de calcul formel donne ce qu’on appelle la partie régulière d’un ................................................. en 0 de f, pour

f(𝑥) = 10e−0,3𝑥+2 :

Ce développement limité est d’ordre .... (.............................................). Plus l’ordre est grand, meilleure est l’approximation.

a) QCM. Un développement limité de f au voisinage de 0 est « 12 − 3𝑥 +9𝑥2

20−

9𝑥3

200+ 𝑥3𝜖(𝑥) »,

avec : ?

lim𝑥→0

𝜖(𝑥) = +∞ lim𝑥→+∞

𝜖(𝑥) = 0 lim𝑥→0

𝜖(𝑥) = 0

b) Donner l’équation de la tangente à la courbe de f en 0

Méthode 16 : déterminer l’équation d’une tangente

Variante, avec la formule :

Graphiquement :

c) Déterminer la position de la courbe de f par rapport à sa tangen te en 0

Méthode 17 : déterminer la position de la courbe par rapport à la tangente

12 − 3𝑥 +9𝑥2

20−

9𝑥3

200

𝑥3𝜖(𝑥)