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- Module M3 - Calcul intégral et Equations différentielles Cléo BARAS, [email protected] IUT1 - Grenoble Département Réseaux et Télécommunications DUT - 1ère année Année universitaire 2009-2010 Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/GTR/mathM3/index.asp

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Calcul intégral etEquations différentielles

Cléo BARAS, [email protected]

IUT1 - Grenoble

Département Réseaux et Télécommunications

DUT - 1ère année

Année universitaire 2009-2010

Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/GTR/mathM3/index.asp

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Table des matières

Table des matières 3

1 Calcul intégral 51.1 Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1.1 Condition d’existence d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1.2 DES primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Intégrales (propres) de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Intégrales (propres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1.2 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1.3 Interprétation au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Applications de l’intégration à la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Fonctions intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Propriétés de l’intégrale propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5 Techniques d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5.1 TECHNIQUE 1 : Rechercher une primitive F de f puis calculer F (b)−F (a) . . . 111.2.5.2 TECHNIQUE 2 : l’Intégration Par Partie (IPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5.3 TECHNIQUE 3 : le Changement de Variable (CV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Intégrales (impropres) généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1.2 Intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Calcul d’intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2.1 Méthodologie pour le calcul d’intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2.2 Conditions d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2.3 Intégrales impropres usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2.4 Calcul d’une intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Équations différentielles 172.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Résoudre une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Ordre d’une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Équations différentielles du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 ED du 1er ordre à variables séparables/séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2.2 Méthodologie 1 : Résoudre une ED du 1er ordre à coeffs séparés . . . . . . . . . 19

3

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4 Table des matières

2.2.3 ED linéaire du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3.2 Méthodologie 2 : Résoudre une ED linéaire du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.4 Cas particulier des ED linéaires du 1er ordre : ED linéaire du 1er ordre à coefficientsconstants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.4.2 Méthodologie 3 : Résoudre une ED linéaire du 1er ordre à coeffs constants . . . 21

2.2.5 ED affine du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.5.1 Méthodologie 4 : Résoudre une ED affine du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.5.2 Trouver une solution particulière de l’ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.6 Des conditions initiales à une solution unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Équation différentielle du 2ème ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 ED linéaire du 2ème ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2.2 Méthodologie 6 : Résoudre une ED linéaire du 2ème ordre à coeffs constants . 25

2.3.3 ED affine du 2ème ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.3.2 Techniques pour la recherche d’une solution particulière de l’ED . . . . . . . . 252.3.3.3 Méthodologie 7 : Résoudre une ED affine du 2ème ordre à coeff. constants . . 26

2.3.4 Des conditions initiales à une solution unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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CHAPITRE

1Calcul intégral

1.1 Primitives d’une fonction

1.1.1 Définitions

Définition 1. PRIMITIVE Soit f une fonction définie et continue sur l’intervalle [a;b]. On appelle primitivede la fonction f toute fonction F définie de [a;b] sur IR tel que :

∀x ∈ [a;b],F ′(x) = f (x) (1.1)

Notation. F =∫

f =∫

f (t )d t (où t est une variable muette, que l’on peut donc remplacer par n’im-

porte quel autre nom de variable)

Exemple

ln(x) est une primitive de1

xsur ]0;+∞[, mais ln(|x|) est une primitive de

1

xsur ]−∞;0[

1.1.1.1 Condition d’existence d’une primitive

Théorème 1. THÉORÈME DE DARBOUX

Pour qu’une fonction f admette une primitive F sur l’intervalle [a;b], il faut qu’elle soit continue sur[a;b].

Ï cf. M2 pour le calcul de l’ensemble de continuitéÏ Si F est une primitive de f sur [a;b] alors F est dérivable sur [a;b] et F ′(x) = f (x) sur [a;b]

1.1.1.2 DES primitives

Théorème 2. ENSEMBLE DES PRIMITIVES DE f

Il existe une infinité de primitives de f (x), définies à une constante c près, appelée constante d’inté-gration ; les primitives forment l’ensemble des fonctions {x 7→ F (x)+ c/c ∈ IR}.

5

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6 Calcul intégral

Ï Si F est une primitive de f sur [a;b], alors x 7→ F (x)+c (avec c une constante réelle quelconque) est aussiune primitive de f sur [a;b], car (F (x)+ c)′ = F ′(x) = f (x).

Ï Si on s’impose de trouver une primitive dont la valeur en un point x0 est y0, alors il n’existe plus qu’uneseule et unique primitive pour f : c’est la fonction x 7→ F (x)+ c avec la constante c choisie de sorte quey0 = F (x0)+ c.

1.1.2 Calcul de primitives

1.1.2.1 Primitives des fonctions usuelles

Les primitives des fonctions usuelles sont données table 1.1, où c est un réel quelconque désignant laconstante d’intégration.

Fonction f Primitives F = ∫f sur [a,b]

Constante f (x) = k F (x) = kx + c IR

Monôme f (x) = xn (n ∈ IN) F (x) = xn+1

n +1+ c IR

Racine n-ième f (x) = x1n F (x) = x

1n +1

1n +1

+ c IR+

(n ∈ IN\{0,−1})

Inverse f (x) = 1

xF (x) = ln(|x|)+ c IR∗

Puissance f (x) = xα F (x) = x(α+1)

α+1+ c IR∗+

(α ∈ IR\{−1})

Exponentielle f (x) = eλx F (x) = 1

λeλx + c IR

Cosinus f (x) = cos(x) F (x) = sin(x)+ c IRSinus f (x) = sin(x) F (x) =−cos(x)+ c IR

f (x) = 1+ tan2(x) F (x) = t an(x)+ c IR

f (x) =− 1p1−x2

F (x) = Arccos(x)+ c ]−1;1[

f (x) = 1p1−x2

F (x) = Arcsin(x)+ c ]−1;1[

f (x) = 1

1+x2 F (x) = Arctan(x)+ c IR

Cos hyper. f (x) = ch(x) F (x) = sh(x)+ c IRSin hyper. f (x) = sh(x) F (x) = ch(x)+ c IR

f (x) = 1+ th2(x) F (x) = th(x)+ c IR

TABLE 1.1: Primitive des fonctions usuelles (avec c ∈ IR la constante d’intégration)

1.1.2.2 Opérations sur les fonctions

Soient une fonction f dont une primitive est F et une fonction g dont une primitive est G . Les primitivesrésultant des opérations standards sur les fonctions (somme, différence, multiplication par une constante) sontdonnées table 1.2.

De plus, si l’on reconnaît dans la fonction f l’expression de la dérivée d’un produit, d’un quotient, d’unecomposée, on peut aisément déterminer ses primitives en suivant les formules de la table 1.3.

Théorème 3. MÉTHODOLOGIE POUR LA RECHERCHE DES PRIMITIVES DE f

1. Reconnaître les fonctions usuelles dans f et donner une de leur primitive

2. Reconnaître l’assemblage de fonctions utilisées (somme, dérivée, amplification, composée)

3. Intégrer en utilisant les tables en n’oubliant pas la constante d’intégration

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1.2. Intégrales (propres) de Riemann 7

Fonction Primitives

Somme f + g

(∫f + g

)= F +G + c

Opposée − f

(∫− f

)=−F + c

Différence f − g

(∫f − g

)= F −G + c

Amplification λ f

(∫λ f

)=λF + c

Homothétie f (λx) (λ ∈ IR∗)

(∫f (λx)d x

)= 1

λF (λx)+ c

TABLE 1.2: Primitives résultant d’opérations (simples) sur les fonctions (où c ∈ IR est la constante d’intégration)

Fonction Primitives

f = (uv)′ = u′v +uv ′ F =∫

(uv)′ = uv + c

f =(u

v

)′= u′v −uv ′

v2 F =∫ (u

v

)′= u

v+ c

f (x) = (u ◦ v)′(x) = v ′(x)u′ (v(x)) F (x) =∫

x(u ◦ v)′ = u(v(x))+ c

TABLE 1.3: Primitive de dérivées usuelles (où c ∈ IR est la constante d’intégration)

1.2 Intégrales (propres) de Riemann

1.2.1 Intégrales (propres)

1.2.1.1 Définitions

Définition 2. INTÉGRALE (PROPRE)

Soit f une fonction continue sur [a;b]. L’intégrale (propre) de f du réel a au réel b est définie par :∫ b

af (t )d t = [F (x) ]b

a = F (b)−F (a) (1.2)

où F est une primitive de f sur [a;b].

En utilisant les techniques de calcul des primitives de f , on sait calculer l’ensemble des primitives de f{F (x)+ c/c ∈ IR} (définies à la constante d’intégration c près) ; quelle que soit celle choisie (autrement dit quelleque soit la valeur de la constante d’intégration choisi), l’intégrale de f de a à b est la même. En effet :∫ b

af (t )d t = (F + c)(b)+ (F + c)(a) = F (b)+ c −F (a)− c = F (b)−F (a)

Le résultat obtenu est donc indépendant de la constante d’intégration.

Remarques :∫ a

af (t )d t = 0

1.2.1.2 Interprétation géométrique

Ï L’intégrale∫ b

af (t )d t est l’aire algébrique (c’est à dire l’aire signée) de la surface délimitée par l’axe des

abscisses et le graphe de f borné par les verticales x = a et x = b.Ï Le signe de l’intégrale est dépendant du sens de parcours de la surface : dans l’exemple de la figure 1.2

(pour lequel la fonction est positive), l’intégrale∫ b

af (t )d t consiste à parcourir la surface du point A(a,0)

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8 Calcul intégralyx

Gf

a bf(a)

f(b)

∫ b

a f(x)dx

FIGURE 1.1: Intégrale (propre) comme aire sous la courbe

à B(a, f (a)) puis à C (b, f (b)) et à D(b,0) avant de revenir à a. Ce parcours se fait dans le sens horaire (sensdes aiguilles d’une montre) ; l’intégrale sera positive. Par contre, si le parcours se fait dans le sens anti-horaire (sens inverse des aiguilles d’une montre), l’intégrale sera négative. Attention, donc, aux fonctionsqui changent de signe.

y

x

Gf

a b

f(a)

f(b)

A

B

C

D

∫ b

a f(x)dx > 0

FIGURE 1.2: Intégrale et aire positive

1.2.1.3 Interprétation au sens de Riemann

L’intégrale d’une fonction f sur [a;b], autrement dit∫ b

af (x)d x, peut s’approximer par une somme de n

rectangles de largeur δx, comme le présente les figures 1.3 (a) et (b). Pour se faire, on découpe l’intervalle [a,b]en n sous-intervalles [x0, x1], [x1, x2], [x3, x4], ..., [xi , xi+1], ..., [xn−1, xn] (avec x0 = a et xn = b, chacun étant de

largeur δx = b −a

n. En considérant respectivement les valeurs de la fonction f aux points f (xi ) et f (xi+1) (avec

i variant de 0 à n−1), cette approximation peut être à valeurs inférieures ou supérieures (par rapport à la valeurde l’intégrale).

Par valeurs inférieures, l’approximation consiste à ajouter l’aire des rectangles sous la courbe soit : sn =f (x0)δx + f (x1)δx + ... + f (xn−1)δx, que l’on peut noter de manière compacte sous la forme suivante :

sn =n−1∑i=0

f (xi )δx.

Par valeurs supérieures, l’approximation consiste à ajouter l’aire des rectangles au dessous de la courbesoit : Sn = f (x1)δx + f (x2)δx + ...+ f (xn)δx, que l’on peut noter de manière compacte sous la forme suivante :

Sn =n−1∑i=0

f (xi+1)δx.

On a alors :

sn ≤∫ b

af (x)d x ≤ Sn ⇔

n−1∑i=0

f (xi )δx ≤∫ b

af (x)d x ≤

n−1∑i=0

f (xi+1)δx (1.3)

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1.2. Intégrales (propres) de Riemann 9yx

Gf

a bx1 x2 xi xn−1......

f(xi)

f(xn−1)

f(a) xy

Gf

a bx1 x2 xi xn−1......

f(xn−1)f(xn)

f(x2)

FIGURE 1.3: Approximation de l’aire comme somme de rectangles : Approximation inférieure à gauche, Ap-proximation supérieure à droite

Définition 3. INTÉGRALE (PROPRE) AU SENS DE RIEMANN

f est intégrable au sens de Riemann sur [a;b], SSI lorsque n →+∞, les sommes Sn et sn convergent vers la

même limite L. Cette limite L n’est autre que∫ b

af (x)d x (telle que définie dans la définition 2).

Lorsque n tend vers +∞ :Ï les largeurs des rectangles δx deviennent infiniment petites ; δx s’assimile donc à une petite variation

sur x, autrement dit à la différentielle d x mathématique. On dit que la variation physique devient unedifférentielle mathématique.

Ï les sommes consistent à ajouter de plus en plus de valeurs de la fonction aux points f (xi ) (pondérés pard x), et donc en quelque sorte à ajouter toutes les valeurs f (x) de la fonction pour x variant entre a et b.La somme devient une intégrale, autrement dit une accumulation de valeurs.

Ï On dit que : à la limite,n−1∑i=0

f (xi )δx tend vers∫ b

af (x)d x

1.2.2 Applications de l’intégration à la physique

Exemple Signaux électriquesPour une tension U (t ), fonction du temps t , on peut définir les grandeurs physiques sui-

vantes :Ï Valeur moyenne entre l’instant a et l’instant b

Umoy = 1

b −a

∫ b

aU (t )d t = 1

n

n−1∑i=0

U (xi ) (1.4)

Ï Valeur efficace entre l’instant a et l’instant b

Ue f f =√

1

b −a

∫ b

aU 2(t )d t =

√√√√ 1

n

n−1∑i=0

U 2(xi ) (1.5)

1.2.3 Fonctions intégrales

Définition 4. FONCTION INTÉGRALE

Soient f une fonction continue de [a;b] dans IR et un point x0 ∈ [a;b]. On définit la fonction intégrale par :

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10 Calcul intégral

F :

[a;b] → IR

x 7→∫ x

x0

f =∫ x

x0

f (t )d t(1.6)

C’est l’unique primitive de f qui s’annule en x0.

Ï La fonction intégrale F est continue et dérivable sur [a;b] ; sa dérivée est F ′ = fÏ Puisque le sens de variation d’une fonction dépend du signe de sa dérivée (cf. M2), alors si f (x) ≥ 0, F (x)

est croissante ; de même, si f (x) ≤ 0, F (x) est décroissante

Exemple

ln(x) =∫ x

1

1

td t pour x > 0 est la primitive de x 7→ 1

xou de manière équivalente, la fonction

intégrable associée à x 7→ 1

x, qui s’annule en 1.

1.2.4 Propriétés de l’intégrale propre

Théorème 4. RELATION DE CHASLES

Pour tous points a,b,c ∈ IR, et toute fonction f intégrable sur l’intervalle [min(a,b,c);max(a,b,c)] (oùmin(a,b,c) est la plus petite valeur parmi a, b et c et max(a,b,c) est la plus grande valeur parmi a, b et c),on a :

∫ b

af (x)d x =

∫ c

af (x)d x +

∫ b

cf (x)d x (1.7)

Théorème 5. INVERSION DES BORNES

Pour tous points a,b ∈ IR, et toute fonction f intégrable sur l’intervalle [min(a,b);max(a,b)], on a :∫ b

af (x)d x =−

∫ a

bf (x)d x (1.8)

Conséquences :

Ï Pour une fonction f paire :∫ a

−af (x)d x = 2

∫ a

0f (x)d x

Ï Pour une fonction f impaire :∫ a

−af (x)d x = 0

Ï Pour une fonction f T -périodique :∫ a+T

af =

∫ T

0f =

∫ T2

− T2

f

Théorème 6. RELATIONS D’ORDRE

Soient deux points a,b ∈ IR (avec a ≤ b) et deux fonctions f et g intégrables sur [a,b]. Alors :

Ï∣∣∣∣∫ b

af (x)d x

∣∣∣∣≤ ∫ b

a| f (x)|d x

Ï Si f ≤ g sur [a;b],∫ b

af (x)d x ≤

∫ b

ag (x)d x

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1.2. Intégrales (propres) de Riemann 11

Théorème 7. INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ

Soient deux points a,b ∈ IR (avec a ≤ b) et deux fonctions f et g intégrables sur [a,b].∣∣∣∣∫ b

af (x)g (x)d x

∣∣∣∣2

≤(∫ b

af 2(x)d x

)·(∫ b

ag 2(x)d x

)(1.9)

1.2.5 Techniques d’intégration

Dans cette partie, connaissant la fonction f définie et continue sur [a;b] et à valeur dans IR, on souhaite

calculer I =∫ b

af (x)d x.

1.2.5.1 TECHNIQUE 1 : Rechercher une primitive F de f puis calculer F (b)−F (a)

On notera les cas particuliers où :Ï f est une fraction rationnelle ; on procède alors souvent à une décomposition en éléments simples (de

1ère espèce et certains 2ème espèce) avant de chercher une primitive de chaque élément simple ;Ï f est construite à partir de fonctions trigonométriques ; on procède alors souvent à une linéarisation en

somme de cos et de sin (à la puissance 1) avant de déterminer les primitives de chaque terme linéarisé ;Ï f est une fonction usuelle ou un assemblage (simple) de fonctions usuelles (somme, différence), alors

on utilise les tables des primitives usuelles et les règles des opérations sur les fonctions vu précédem-ment.

1.2.5.2 TECHNIQUE 2 : l’Intégration Par Partie (IPP)

On peut utiliser une intégration par partie pour se ramener à la technique 1.

Théorème 8. INTÉGRATION PAR PARTIES

Soient f , g deux fonctions de primitives respectives F et G . Alors :

F (t )↓∫ b

af (t ) G(t ) d t = [F (t ) ·G(t )]b

a −∫ b

aF (t )g (t )d t

↓g (t )

(1.10)

Ce théorème reste valable lorsqu’une des bornes de l’intégrale devient variable.

1.2.5.3 TECHNIQUE 3 : le Changement de Variable (CV)

On peut aussi effectuer un (ou plusieurs) changement de variable pour se ramener à la technique 1.

Théorème 9. CHANGEMENT DE VARIABLE

Soit f (x) une fonction intégrable sur [a;b] et d’intégrale I =∫ b

af (x)d x.

On pose x = g (t ) (le changement de variable) où g est une fonction de la variable t , de sorte à définirla variable x en fonction de la variable t . La fonction g doit :

Ï être définie et continue sur un intervalle [α;β], les valeursα etβ étant telles que g (α) = a et g (β) = bÏ être monotone sur [α;β] ; g admet donc une réciproque g−1. De fait, cette réciproque donne l’ex-

pression de la variable t en fonction de la variable x avec t = g−1(x), mais permet aussi de calculerles bornes de l’intervalle sus-mentionné [α;β] puisque α= g−1(a) et β= g−1(b)

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12 Calcul intégral

Ï être dérivable sur l’intervalle [α;β], de sorte à pouvoir calculer la différentielle de x en fonction dela différentielle de t avec la formule : d x = g ′(t )d t

Alors, on a :

I =∫ b

af (x)d x =

∫ β

αf(

g (t ))

g ′(t )d t (1.11)

Remarques : cf. M2 pour le calcul de différentielles et de fonctions réciproques

En général, le CV est suggéré par l’énoncé ; sinon, on peut utiliser la table 1.4 qui donne les CVs usuels pour

le calcul de∫ b

af (x)d x.

f de la forme Changement de variable (CV)√1−x2 x = cos(t ) ou x = sin(t )√1+x2 x = sh(t )√x2 −1 x = ch(t )

1

x2 +1x = tan(t )

1

1−x2 x = th(t )

ex +αex +β x = ln(t )√

a2x +bx + c Forme canonique puisCV avec les fonctions trigo. précédentes

TABLE 1.4: Changements de variable usuels

1.3 Intégrales (impropres) généralisées

1.3.1 Définitions

1.3.1.1 Introduction

L’objectif des intégrales impropres est de pouvoir calculer (dans les cas qui le permettent)∫ b

af (t )d t bien

que :Ï la fonction f ne soit pas définie ni continue sur tous les points de [a;b]Ï f ne soit définie que sur [a;b[ et non définie en bÏ l’intervalle d’intégration soit du type [a;+∞[, ]−∞;b] (l’intégrale étant alors l’aire d’une surface "infinie")

Exemple

Ces phénomènes se produisent notamment :

1. en Télécommunications avec le taux d’erreur binaire TEB = 1√2πσ2

b

∫ +∞

0exp

(− x2

2σ2b

)d x,

où σb est la puissance du bruit parasitant le canal de communication.

2. en Banques : en empruntant 1 euro avec le plan de remboursement suivant : le 1er mois 110

euro, le 2ème mois : 1100 euro, le 3ème mois : 1

1000 euro, ..., le x-ème mois : 110x euro et en

déterminant combien sera remboursé à la banque au bout d’un temps infini ?

1.3.1.2 Intégrale impropre

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1.3. Intégrales (impropres) généralisées 13

Définition 5. INTÉGRALE IMPROPRE (OU GÉNÉRALISÉE)

Soit f une fonction définie sur [a;b[ mais non définie en b. On dit que b est la borne à risque.∫ b

af (t )d t existe SSI lim

x→b

∫ x

af (t )d t , notée

∫ →b

af (t )d t , existe et vaut une valeur réelle finie L.

Si cette proposition est vérifiée,Ï on dit que f est intégrable sur [a;b[

Ï on dit que∫ →b

af (t )d t est une intégrale impropre (ou généralisée) convergente (cv 1)

Ï la valeur de l’intégrale impropre est L, de sorte qu’on peut écrire∫ b

af (t )d t = L.

Dans le cas contraire, c’est à dire lorsque limx→b

∫ x

af (t )d t est un infini (+∞ ou −∞), on dit que l’intégrale

impropre∫ →b

af (t )d t n’existe pas ou de manière équivalente on dit qu’elle diverge (dv).

Remarques :

1. La borne à risque peut aussi bien être la borne supérieure que la borne inférieure :

Ï Si la borne à risque est la borne supérieure, on étudie :∫ →b

af (t )d t = lim

x→b

∫ x

af (t )d t

Ï Si la borne à risque est la borne inférieure, on étudie :∫ b

→af (t )d t = lim

x→a

∫ b

xf (t )d t

2. Il peut y avoir 2 bornes à risques : une sur la borne inférieure et une sur la borne supérieure ; auquel cas,on utilisera la relation de Chasles pour se ramener à deux intégrales ayant chacune une seule borne àrisque.

1.3.2 Calcul d’intégrales impropres

1.3.2.1 Méthodologie pour le calcul d’intégrales impropres

Théorème 10. MÉTHODOLOGIE POUR LE CALCUL DES INTÉGRALES IMPROPRES

Lorsqu’on étudie une intégrale impropre∫ b

af (t )d t , il faut :

1. Étudier la continuité de f sur [a;b]

2. Identifier les valeurs/bornes à risques dans [a;b]

3. Utiliser la relation de Chasles pour découper l’intervalle d’intégration en un certain nombre d’inter-valles dont une seule borne est à risque

4. Pour chacun des intervalles d’intégration obtenus,Ï Montrer que l’intégrale existeÏ Calculer la valeur de l’intégrale

1.3.2.2 Conditions d’existence

Théorème 11. CONDITIONS D’EXISTENCE LORSQUE LA BORNE À RISQUE EST ∞Ï Soit f une fonction définie et continue sur [a;+∞[. Pour que

∫ →+∞

af (t )d t existe, il faut (mais il ne

suffit pas) que limt→+∞ f (t ) = 0

Ï Soit f une fonction définie et continue sur ]−∞;b]. Pour que∫ b

→−∞f (t )d t existe, il faut (mais il ne

suffit pas) que limt→−∞ f (t ) = 0

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14 Calcul intégral

Théorème 12. CONDITIONS D’EXISTENCE LORSQUE LA BORNE À RISQUE EST UN POINT RÉEL FINI (∈ IR)OU EST ∞

Soient f et g deux fonctions définies et continues sur [a;b[ avec b un nombre réel ou b =+∞ et b =−∞.

1. RELATIONS D’ORDRE : Si f ≤ g sur [a;b[, alors :

• Si∫ →b

ag (t )d t existe, alors

∫ →b

af (t )d t existe

• Si∫ →b

af (t )d t n’existe pas, alors

∫ →b

ag (t )d t n’existe pas

2. COMPARAISON : Si f (x) ∼x→b

g (x), alors∫ →b

af (x)d x et

∫ →b

ag (x)d x sont de même nature

Remarques : Les théorèmes 11 et 12 sont généralisables lorsque la borne à risque est la borne inférieure.

1.3.2.3 Intégrales impropres usuelles

Théorème 13. INTÉGRALES DE RIEMANN

La définition des intégrales de Riemann (paramétrées par le paramètre α ∈ IR+) et leurs conditionsd’existence sont données dans la table suivante :

∫ 1

0

1

tαd t

∫ +∞

1

1

tαd t

(borne à risque 0) (borne à risque +∞)

α< 1 Intégrale définie Intégrale non définieα= 1 Intégrale non définie Intégrale non définieα> 1 Intégrale non définie Intégrale définie

Remarque : Lorsque α < 0, il ne s’agit plus d’intégrales impropres mais d’intégrales propres (un monômede t que l’on sait parfaitement intégré).

Théorème 14. INTÉGRALES DE BERTRAND

Les définitions des intégrales de Bertrand (paramétrées par deux paramètresα ∈ IR+ et β ∈ IR) et leursconditions d’existence sont données dans la table suivante :

∫ 1/2

0

1

tα (ln(t ))βd t

∫ +∞

2

1

tα (ln(t ))βd t

(borne à risque 0) (borne à risque +∞)

α< 1 (quel que soit β) Intégrale définie Intégrale non définieα= 1 et si β> 1 Intégrale définie Intégrale définieα= 1 et si β≤ 1 Intégrale non définie Intégrale non définie

α> 1 (quel que soit β) Intégrale non définie Intégrale définie

Remarques : Bien que l’on connaisse les cas où les intégrales de Bertrand existent, leurs valeurs sont trèssouvent difficiles à calculer explicitement.

Théorème 15. INTÉGRALES EXPONENTIELLES

Les intégrales exponentielles sont les intégrales impropres de la forme∫ +∞

0eλt d t où λ est un para-

mètre réel ; ces intégrales existe SSI λ< 0

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1.3. Intégrales (impropres) généralisées 15

1.3.2.4 Calcul d’une intégrale impropre

Théorème 16. MÉTHODOLOGIE POUR LE CALCUL D’UNE INTÉGRALE IMPROPRE

Si l’intégrale impropre∫ b

af (dont la borne à risque est b) à calculer existe,

1. Poser x un réel quelconque dans [a;b[, puis calculer F (x) =∫ x

af (t )d t avec les outils classiques sur

les intégrales propres (recherche d’une primitive directe, intégration par partie, changement de va-riable), en exprimant le résultat en fonction de x ;

2. Calculer la limite du résultat précédent quand x → b (où b est la borne à risque) ; la limite obtenue(indépendante de x) est notée L

3. Conclure que∫ →b

af (t )d t = lim

x→b

∫ x

af (t )d t = L

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CHAPITRE

2Équations différentielles

2.1 Généralités

2.1.1 Equations différentielles

Définition 6. ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE (EQUA DIFF, ED)

Une équation différentielle (ED) est une relation mathématique liant une fonction inconnue y(x) de la

variable réelle x à certaines de ses dérivéesd y

d x,

d 2 y

d x2 , ...,d n y

d xn et des fonctions connues de la variable x.

Cette équation provient en pratique de la mise en équation d’un problème physique (dans le domaine de lamécanique, la physique, ou l’électronique, par exemple, la décharge d’une capacité dans un circuit électrique,ou la position d’un mobile fixé au bout d’une corde). L’objectif du problème est alors de rechercher la fonctioninconnue y(x) solution du problème physique.

2.1.2 Résoudre une équation différentielle

Définition 7. RÉSOLUTION/INTÉGRATION D’UNE ED

Résoudre une ED/Intégrer une ED, c’est trouver TOUTES les fonctions y solutions de la (Relation R).

Une équation différentielle a donc une infinité de fonctions solutions.

Théorème 17. FAMILLE DE SOLUTIONS D’UNE ED

Les solutions d’une ED forment une famille de solutions qui peut prendre la forme suivante :

F = {y(x) = f (x,λ)/λ ∈ IR

}(2.1)

Cette famille est un ensemble de fonctions, noté F ; elle contient des fonctions solutions y(x), para-métrées par un certain nombre de constantes 1 (ou degrés de liberté) indéterminées ; dans notre exempleil s’agit de la constante λ à valeurs indéterminées dans IR.

A la valeur des paramètres près, les fonctions solutions y(x) ont toutes la même "forme" ou "expres-sion générique" ; cette expression générique est appelée solution générale de l’ED.

Exemple

17

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18 Équations différentielles

La famille de fonctions exponentielles amplifiées peut être décrite à l’aide de deux pa-ramètres (deux constantes réelles α et λ), donnant la formalisation mathématique suivante :

F ={

y(x) =αeλx /α,λ ∈ IR}

. Elle se caractérise par l’expression générique des fonctions y(x) de

la forme y(x) =αeλx .

Définition 8. RÉSOLUTION/INTÉGRATION D’UNE ED AVEC CONDITIONS INITIALES : LA SOLUTION D’UNE ED

Ï Les EDs peuvent être associées avec un certain nombre de conditions initiales (CI), par exemple : avoiry(x0) =α et y ′(x1) =β avec x0, x1,α,β quatre réels fixés par l’énoncé ou le problème physique.

Ï Résoudre/intégrer l’ED avec CI, c’est trouver LA et LA SEULE fonction y qui soit à la fois solution del’ED et solution des CI.

Le Théorème de Cauchy montre que lorsque des conditions initiales (CI) sont fournies en nombre suffi-sant, on peut trouver parmi les fonctions de F = {

y(x) = f (x,λ)/λ ∈ IR}

l’unique fonction solution ET de l’EDET des CI.

2.1.3 Ordre d’une équation différentielle

Définition 9. ORDRE D’UNE ED

L’ordre d’une ED est l’ordre de la dérivée de rang le plus élevé apparaissant dans l’ED.

Exemple

Ï xd y

d x= 3 est une ED d’ordre 1

Ï md 2 y

d x2 +k y = mg est une ED d’ordre 2

Ï k y = mg est une ED d’ordre 0

Remarque : Pour sélectionner une et une seule fonction parmi l’ensemble des solutions d’une ED, il faudrafixer (en général) autant de paramètres (ou de degrés de liberté) que l’ordre de l’ED.

Dans ce module, nous allons va étudier les ED du 1er ordre et certaines ED du 2d ordre.

2.2 Équations différentielles du 1er ordre

2.2.1 Définitions générales

Définition 10. ED DU 1ER ORDRE

Une équation différentielle du 1er ordre est une équation fonctionnelle comportant une fonction y incon-

nue de la variable x, sa dérivéed y

d x, et des fonctions connues de x.

Remarque : Une fonction-solution y(x) d’une ED du 1er ordre sur un intervalle I est nécessairement déri-vable sur I .

Exemple Une ED du 1er ordre1

y2 d y = cos(x)d x

Parmi les ED du 1er ordre, on dénombre : les ED à variables séparées, les ED linéaires et les ED affines.

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2.2. Équations différentielles du 1er ordre 19

2.2.2 ED du 1er ordre à variables séparables/séparées

2.2.2.1 Généralités

Définition 11. ED DU 1ER ORDRE À VARIABLES SÉPARÉES

Les ED du 1er ordre à variables séparées sont les ED de la forme :

(Relation R1) f (y)d y = g (x)d x

où f est une fonction de y (ici vu comme une variable) et g est une fonction de la variable x.

Exemple Une ED du 1er ordre à variables séparables1

y2 d y = cos(x)d x avec f (y) = 1

y2 et g (x) = cos(x)

Théorème 18. SOLUTIONS D’UNE ED DU 1ER ORDRE À VARIABLES SÉPARÉES

Les solutions de la (Relation R1) sont les fonctions de la famille (de fonctions) suivante :

F1 ={

y(x)/F (y) =G(x)+λ, avec λ ∈ IR}

(2.2)

où F =∫

f (y)d y et G =∫

g (x)d x sont respectivement une primitive de f et g sur un intervalle I (à

déterminer), sur lequel f et g sont continues.

Remarque : Le paramètre λ de la famille F1 peut être déterminé par une CI associée à l’ED

2.2.2.2 Méthodologie 1 : Résoudre une ED du 1er ordre à coeffs séparés

1. Identifier le type d’ED et l’écrire sous la forme f (y)d y = g (x)d x

2. Identifier les fonctions f et g et leur intervalle de continuité

3. Su chaque intervalle de continuité,Ï Déterminer une de leurs primitives F et GÏ Ecrire la solution générale sous la forme F

(y(x)

) = G(x)+λ, puis manipuler l’équation pour isolery(x) à gauche de l’égalité

4. Si une CI est imposée, remplacer les données fournies par la CI dans la solution générale et résoudrel’équation pour déterminer λ

2.2.3 ED linéaire du 1er ordre

2.2.3.1 Généralités

Définition 12. ED LINÉAIRE DU 1ER ORDRE

Les ED linéaires du 1er ordre sont les ED de la forme :

(Relation R2) a(x)d y

d x+b(x)y = 0 (2.3)

ou de manière équivalente

(Relation R2)d y

d x= p(x)y (2.4)

avec :Ï a(x), b(x) deux fonctions continues de la variable x sur I .

Ï p(x) =−b(x)

a(x)une fonction continue sur J .

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20 Équations différentielles

Exemple Une ED linéaire du 1er ordre

L’ED√

x2 +1 y ′ + x y = 0 que l’on peut réécrire sous la formed y

d x= − xp

x2 +1y est une ED

linéaire du 1er ordre, avec a(x) =p

x2 +1, b(x) = x, et p(x) =− xpx2 +1

Remarques : Les ED linéaires du 1er ordre sont une forme particulière des ED à variables séparées ; on peutdonc utiliser la méthodologie 1 pour les résoudre mais il existe une autre méthode, plus rapide, car plus adaptéeà ce type d’équation.

Théorème 19. SOLUTION GÉNÉRALE

Les solutions de la (Relation R2) sont les fonctions formant la famille de fonctions suivantes :

F2 ={

y(x) =λeP (x)/λ ∈ IR}

où la fonction P est une primitive de la fonction p sur un intervalle I sur lequel la fonction p est conti-nue.

Remarque : λ peut être déterminé par la donnée d’1 CI

2.2.3.2 Méthodologie 2 : Résoudre une ED linéaire du 1er ordre

1. Identifier le type d’ED et l’écrire sous la forme :d y

d x= p(x)y

2. Identifier la fonction p(x) dans l’ED, et préciser sur quel(s) intervalle(s) I la fonction p est définie etcontinue

3. Pour chaque intervalle de continuité,Ï Déterminer une primitive P (x) de p(x)Ï Déduire les solutions y(x) =λeP (x) avec λ réel qcq

4. Si une CI est imposée, remplacer les données fournies par la CI dans la solution générale et résoudrel’équation pour déterminer λ.

2.2.4 Cas particulier des ED linéaires du 1er ordre : ED linéaire du 1er ordre à coefficientsconstants

Il s’agit du cas particulier des ED linéaires du 1er ordre ayant la forme de la (Relation R2) est celui où lesfonctions a(x) =α et b(x) =β sont des fonctions constantes, avec α,β deux constantes réels.

2.2.4.1 Généralités

Définition 13. ED LINÉAIRE DU 1ÈRE ORDRE À COEFFS CONSTANTS

Les ED linéaires du 1er ordre à coefficients constants sont de la forme :

(Relation R3) αd y

d x+βy = 0 (2.5)

avec α ∈ IR∗,β ∈ IR deux constantes

Exemple Une ED linéaires du 1er ordre à coefficients constants

5y ′− y = 0 est une ED linéaire du 1er ordre à coefficients constants avec α= 5 et β=−1.

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2.2. Équations différentielles du 1er ordre 21

Pour résoudre ces ED, on peut bien sûr utiliser les méthodologies précédentes (méthodologie 1 ou métho-dologie 2), puisque avant d’être à coefficients constants, ce sont des ED linéaires voire à variables séparables.On dispose néanmoins d’une 3ème méthodologie pour les résoudre : la méthode de l’équation caractéristiqueque l’on décrit par la suite et qui est beaucoup plus rapide.

Définition 14. ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE (EC) ASSOCIÉE À UNE ED

L’équation caractéristique (EC) associée à une ED (de n’importe quel ordre) est un polynôme de la variableρ (qui se lit "rho") obtenu en remplaçant :

Ï les dérivées de y (par ex.d n y

d xn ), par le monôme de ρ de degré égal à l’ordre de la dérivée (ici ρn)

Ï et y par 1 (le mônome ρ0 = 1)

Exemple

Ï ad 3 y

d x3 +bd 1 y

d x1 + c y = 0 d’EC aρ3 +bρ1 + c1 = 0

Ï ad 1 y

d x1 +by = 0 d’EC aρ1 +b1 = 0

Remarques : Les racines de l’EC vont intervenir dans la forme générale de la solution de l’ED.

Théorème 20. SOLUTIONS GÉNÉRALES DE L’ED LINÉAIRE DU 1ER ORDRE À COEFFS CONSTANTS

Une ED linéaire du 1er ordre à coeff. constants dont la forme est celle de la (Relation R3) admet uneéquation caractéristique (EC) de la forme :

(Equation E3) aρ+b = 0 (2.6)

Les solutions de la (Relation R3) sont les fonctions formant la famille (de fonctions) suivante :

F3 ={

y(x) =λep0x /λ ∈ IR}

où ρ0 = −b

aest la racine de l’EC (Equation E3) associée à l’ED (Relation R3) ; p0 est appelé le coefficient

d’amortissement.

Les fonctions solutions y(x) sont valables sur IR.

2.2.4.2 Méthodologie 3 : Résoudre une ED linéaire du 1er ordre à coeffs constants

1. Identifier le type d’ED et l’écrire sous la forme ad y

d x+by = 0

2. Écrire l’EC associé et trouver sa racine ρ0

3. Déduire les solutions sous forme y(x) =λeρ0x avec λ réel qcq

4. Si 1 CI est imposée, remplacer les données fournies par la CI dans la solution générale et résoudre l’équa-tion pour déterminer λ

2.2.5 ED affine du 1er ordre

Définition 15. ED AFFINE DU 1ER ORDRE

Les ED affines du 1er ordre sont de la forme :

(Relation R4) a(x)d y

d x+b(x)y = c(x) (2.7)

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22 Équations différentielles

ou de manière équivalente

(Relation R4)d y

d x= p(x)y +q(x) (2.8)

avecÏ a(x), b(x),c(x) trois fonctions continues sur un intervalle I .

Ï p(x) =−b(x)

a(x), q(x) =− c(x)

a(x)deux fonctions continues sur un intervalle J .

Exemple Une ED affine du 1er ordre

x y ′+2y = 2−4x2 ⇔ d y

d x+ 2

xy = 2−4x2

x, avec a(x) = x, b(x) = 2, c(x) = 2−4x2, p(x) = 2

xet

q(x) = 2−4x2

x.

Théorème 21. SOLUTIONS D’UNE ED AFFINE DU 1ER ORDRE

Les solutions d’une ED affine du 1er ordre sont les fonctions formant la famille :

F4 =y(x) =λeP (x)︸ ︷︷ ︸

y0(x)

+y1(x)/λ ∈ IR

(2.9)

avec :Ï λ ∈ IR paramétrant les solutionsÏ P = ∫

p(x)d x est une primitive de la fonction pÏ la fonction y0 est la solution générale de l’ED linéaire associée à l’ED affine, qui se définit par la

(Relation R̃4)d y

d x= p(x)y

Ï la fonction y1 est une fonction solution particulière de l’ED affine initiale : (Relation R4)d y

d x=

p(x)y +q(x)

RemarquesÏ Les solutions y(x) ont un seul degré de liberté (λ), éventuellement fixé par les CIÏ N’importe quelle solution particulière y1 fonctionne pour trouver toutes les solutions d’une ED affine

du 1er ordre.

2.2.5.1 Méthodologie 4 : Résoudre une ED affine du 1er ordre

1. Identifier le type de l’ED et l’écrire sous la forme :d y

d x= p(x)y +q(x).

2. Résoudre l’ED linéaire associéed y

d x= p(x)y , pour trouver la fonction-solution générale y0 (cf. Méthodo-

logie 1,2,3)

3. Déterminer une fonction solution particulière y1 de l’ED affine.

4. Conclure sur toutes les fonctions solutions de l’ED en ajoutant les fonctions obtenues aux étapes (2) et(3).

5. Si des CI sont fournies, trouver λ qui satisfait les CI.

2.2.5.2 Trouver une solution particulière de l’ED

Il existe trois techniques/méthodes pour trouver une solution particulière y1 d’une ED affine du 1er ordre

et ainsi finir de résoudre (Relation R4)d y

d x= p(x)y +q(x) :

1. Vérification d’une solution suggérée ou d’une solution évidente.

2. Observation des fonctions coefficients : la table 2.1 fournit le lien entre les fonctions p(x) et q(x) inter-venant dans l’ED et la forme de la solution particulière à rechercher.

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2.3. Équation différentielle du 2ème ordre 23

3. Méthode de Lagrange (dite méthode de variation de la constante) à n’employer qu’en dernier recours,car elle est souvent longue en terme de calcul.

Forme de p(x) et de q(x) Solution particulière y1(x)

C te y1(x) est une fonction constantepolynômes y1(x) est un polynôme

d’ordre et de coefficients à déterminerαcos(ωx)+βsin(ωy) y1(x) = θcos(ωx)+µsin(ωx),

avec θ,µ constantes à déterminereαx g (x) y1(x) = eαx h(x)

avec g (x) un polynôme avec h(x) un polynôme à déterminer

TABLE 2.1: Des coefficients de l’ED à la solution particulière y1

Exemple Résoudre y ′+2y = 2−4x2

Ï en recherchant une solution particulière de type polynôme : y1(x) = a +bx +cx2 +d x3 + ...avec a,b,c,d , ... des coefficients à déterminer en utilisant le fait que y1(x) est solution del’ED

Ï Le degré du polynôme est (en général) choisi pour être le maximum entre l’ordre de l’ED etle degré du plus haut monôme présent dans l’ED

Théorème 22. MÉTHODE DE LAGRANGE

Partant de la solution générale y0(x) = λeP (x) avec λ une constante réelle de l’ED affine du 1er ordre

vérifiant la (Relation R4)d y

d x= p(x)y + q(x), on cherche une solution particulière y1(x) de la forme

y1(x) = λ(x)eP (x) où λ(x) devient cette fois une fonction de x à déterminer ; on dit que l’on fait varierla constante. En injectant y1(x) dans la (Relation R4), on en déduit que y1(x) est solution (particulière) del’ED SSI :

λ′(x) = q(x)e−P (x) (2.10)

On détermine alors une primitive de q(x)e−P (x) pour trouver la fonction λ(x) et ainsi expliciter la solutionparticulière y1(x).

2.2.6 Des conditions initiales à une solution unique

Pour résoudre une ED du 1er ordre avec une CI, il faut :

1. Déterminer une solution générale (dépendant du paramètre λ) de l’ED en suivant les méthodologiesvues précédemment

2. Substituer la condition initiale dans la solution générale trouvée.

3. Résoudre l’équation algébrique en fonction de λ.

4. Reporter la valeur obtenue de λ dans la forme générale de la solution pour conclure sur la fonction solu-tion ET de l’ED ET de la CI.

2.3 Équation différentielle du 2ème ordre

2.3.1 Généralités

Définition 16. ED DU 2ÈME ORDRE

Une ED du 2ème ordre est une équation fonctionnelle comportant une fonction y inconnue de la variable

x, sa dérivéed y

d x, sa dérivée seconde

d 2 y

d x2 et des fonctions connues de x.

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24 Équations différentielles

Remarques :Ï Une solution y d’une ED du 2ème ordre sur un intervalle I est nécessairement dérivable à l’ordre 2 sur I .Ï Toutes les solutions de l’ED auront deux paramètres (2 degrés de liberté), qui pourront être fixés par 2

CI.Nous allons étudié deux catégories/types d’ED linéaire du 2ème ordre 2 : les ED linéaire du 2ème ordre et

les ED affine du 2ème ordre. On ne s’intéressera ici qu’aux ED à coefficients constants.

2.3.2 ED linéaire du 2ème ordre à coefficients constants

2.3.2.1 Généralités

Définition 17. ED LINÉAIRE DU 2ÈME ORDRE À COEFFS CONSTANTS

Les ED linéaires du 2ème ordre à coefficients constants sont les relations fonctionnelles de la forme :

(Relation R6) ad 2 y

d x2 +bd y

d x+ c y = 0 (2.11)

où a ∈ IR∗,b,c ∈ IR sont 3 constantes.

Exemple Une ED du 2d ordre à coefficients constants

y ′′+2y ′−3y = 0, avec a = 1, b = 2, c =−3

Définition 18. EQUATION CARACTÉRISTIQUE (EC) ASSOCIÉE À L’ED LINÉAIRE DU 2ÈME ORDRE À COEFFI-CIENTS CONSTANTS

L’EC associée à une ED linéaire du 2ème ordre à coeffs constants est le polynôme de la variable ρ suivant :

(Equation E6) ap2 +bp + c = 0 (2.12)

Les solutions de l’ED vérifiant la (Relation R6) sont dépendantes des racines de l’EC (Equation E6) et doncdu discriminant :

∆= b2 −4ac (2.13)

Théorème 23. SOLUTIONS D’UNE ED LINÉAIRE DU 2ÈME ORDRE À COEFF. CONSTANTS

Soit ∆ le discriminant de l’EC (Equation E6) associée à une ED linéaire du 2ème ordre à coefficientsconstants.

Cas 1 : Si ∆= b2 −4ac > 0, les solutions de l’ED (R6) sont les fonctions formant la famille :

F6 ={

y(x) =λeρ1x +µeρ2x /λ,µ ∈ IR}

(2.14)

où ρ1,ρ2 = −b ±p∆

2asont les deux solutions réelles de l’EC (Equation E6).

Cas 2 : Si ∆= b2 −4ac = 0, les solutions de l’ED (R6) sont les fonctions formant la famille :

F6 ={

y(x) = (λ+µx)eρ0x /λ,µ ∈ IR}

(2.15)

où ρ0 = −b

2aest la solution réelle double de l’EC (Equation E6).

Cas 3 : Si ∆= b2 −4ac < 0, les solutions de l’ED (R6) sont les fonctions formant la famille :

F6 ={

y(x) = eαx (λcos(ωx)+µsin(ωx)

)/λ,µ ∈ IR

}(2.16)

où ρ1,ρ2 = −b ± jp−∆

2a= α± jω sont les deux solutions complexes de l’EC (Equation E6) avec α =

|ρ1| = |ρ2| et ω= ∣∣Arg(ρ1)∣∣= ∣∣Arg(ρ2)

∣∣.2. par extension des ED du 1er ordre

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2.3. Équation différentielle du 2ème ordre 25

2.3.2.2 Méthodologie 6 : Résoudre une ED linéaire du 2ème ordre à coeffs constants

1. Identifier le type de l’ED et l’écrire sous la forme : ad 2 y

d x2 +bd y

d x+ c y = 0

2. Déterminer l’EC, calculer son discriminant ∆

3. Suivant le signe de ∆, déduire la forme des solutions générales de l’ED en fonction des deux degrés deliberté λ et µ

4. Si des CI sont fournies, remplacer les données fournies dans la solution générale et résoudre le systèmed’équation pour déterminer λ et µ

2.3.3 ED affine du 2ème ordre à coefficients constants

2.3.3.1 Généralités

Définition 19. ED AFFINE DU 2ÈME ORDRE À COEFFS CONSTANTS

Les ED affines du 2ème ordre à coeffs constants sont les relations fonctionnelles de la forme :

(Relation R7) ad 2 y

d x2 +bd y

d x+ c y = e(x) (2.17)

avecÏ a ∈ IR+ et b,c ∈ IR trois constantesÏ e(x) une fonction continue sur un intervalle I .

Exemple Une ED du 2d ordre à coefficients constants

2y ′′− y ′+6y = x2 −1, avec a = 2, b =−1, c = 6 et e(x) = x2 −1

Théorème 24. SOLUTIONS D’UNE ED AFFINE DU 2ÈME ORDRE À COEFFS CONSTANTS

Les solutions d’une ED affine du 2ème ordre à coeffs constants sont les fonctions formant la famille :

F7 ={

y(x) = y0(x)+ y1(x)}

(2.18)

oùÏ y0 est la solution générale de l’ED linéaire associée à la Relation (R7), qui est définie par la

(Relation R̃7) ad 2 y

d x2 +bd y

d x+c y = 0 ; la solution obtenue sera dépendante de 2 paramètres λ,µ ∈ IR.

Ï y1 est une solution particulière de l’ED affine initiale (Relation R7) ad 2 y

d x2 +bd y

d x+ c y = e(x).

Remarque : N’importe quelle solution particulière y1(x) fonctionne pour finaliser l’écriture des solutionsd’une ED affine du 2d ordre à coefficients constants.

2.3.3.2 Techniques pour la recherche d’une solution particulière de l’ED

Les techniques pour rechercher une solution particulière d’une ED du second ordre à coefficients constantssont identiques à celles du cas des ED du 1er ordre :

1. Vérification d’une solution suggérée ou d’une solution évidente.

2. Observation des fonctions coefficients.

3. Méthode de Lagrange (ou méthode de variation de la constante), à n’utiliser qu’en dernier recours.

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26 Équations différentielles

2.3.3.3 Méthodologie 7 : Résoudre une ED affine du 2ème ordre à coeff. constants

1. Identifier le type de l’ED et l’écrire sous la forme : ay ′′+by ′+ c y = e(x)

2. Écrire l’ED linéaire associée : ay ′′+by ′+c y = 0 et la résoudre (en utilisant la méthodologie 6) pour trouverla solution générale y0(x), fonction de deux paramètres λ et µ

3. Chercher une solution particulière de l’ED affine y1(x) (en utilisant la méthodologie 5)

4. Conclure sur les solutions de l’ED en ajoutant les résultats de (2) et (3)

5. Si des CI sont fournies, remplacer les données fournies dans la solution générale et résoudre le systèmed’équation pour déterminer λ et µ

2.3.4 Des conditions initiales à une solution unique

En suivant le théorème de Cauchy, une ED affine du 2ème ordre, disposant de 2 conditions initiales, parexemple :

ad 2 y

d x2 +bd y

d x+ c y = e(x) avec y(α1) =β1 et y ′(α2) =β2 (2.19)

où α1, β1, α2 et β2 sont quatre réels fixés par l’énoncé, admet une unique solution.

Méthodologie : Résoudre une ED (R) avec deux CIs :

1. Déterminer une solution générale (dépendant des 2 paramètres λ et µ de l’ED)

2. Dériver la solution générale (en fonction des 2 paramètres)

3. Substituer les conditions initiales dans la solution générale trouvée et sa dérivée.

4. Résoudre le système d’équations algébriques en fonction de λ et µ

5. Reporter les valeurs obtenues de λ et µ dans la forme générale de la solution.

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Bibliographie

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[Ath] Guy ATHANAZE : Filière linguistique préparatoire aux etudes en france, module mathématiques, apropos des fonctions. http ://www.e-filipe.org/modules/M1/index.htm.

[BS94] Jean-Claude BELLOC et Patrice SCHILLER : Mathématiques pour l’électronique. Masson, 1994.

[CCB05] Gérard CHAUVAT, Alain CHOLLET et Yves BOUTEILLER : Mathématiques BTS/DUT - Analyse. EdiS-cience, Dunod, Paris, objectif bts/dut édition, 2005.

[LPR96] C. LARCHER, M. PARIENT et J.-C. ROY : Mathématiques - L’essentiel du cours - BTS-DUT Industriels.Techniplus, Paris, 1996.

[Par06] Sophie PARISI : Module M2 - Fondamentaux d’Analyse. IUT de Valence - Département Réseaux etTélécommunications, Année universitaire 2005/2006.

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