Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Droites et plans, positions relatives Droites et plans, positions relatives

Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Droites et plans,positions relativesDroites et plans,

positions relatives

IntroductionDes droites et des plans dans l’espace peuvent être parallèles,

concourants ou gauches. C’est ce qu’on appelle les positions

relatives des droites et des plans.

Nous verrons dans cette présentation les procédures pour

déterminer les positions relatives de droites dans R2 ainsi que

de droites et de plans dans R3.

Positions relatives de droites dans R2

Droites parallèles

Caractéristiques des droites parallèlesLes vecteurs normaux sont parallèles :

Les vecteurs directeurs sont parallèles :

Le vecteur normal de l’une des droites est perpendiculaire au vecteur directeur de l’autre droite :

k R tel que

k R tel que

N1 = k N2

D1 = k D2

et N1 • D2 = 0 D1 • N2 = 0


Droites parallèles

Caractéristiques des droites parallèles distinctes• Lorsqu’un point R(x1; y1) est sur l’une des

droites, il ne peut être sur l’autre droite :

• Il n’y a aucun point d’intersection.

• Lorsqu’un point R(x1; y1) est sur l’une des droites, il est sur l’autre droite :

• Il y a une infinité de points d’intersection.

Caractéristiques des droites parallèles confondues

si R ∆, alors R ∆2

si R ∆, alors R ∆2


Droites concourantes

Caractéristiques des droites concourantes

• Les droites ne sont pas parallèles.

• Les vecteurs directeurs sont non colinéaires :

• Le vecteur normal de l’une des droites n’est pas perpendiculaire au vecteur directeur de l’autre droite :

k R\{0},

k R\{0},

N1 ≠ k N2

D1 ≠ k D2

et D1 • N2 ≠ 0 N1 • D2 ≠ 0

• Les vecteurs normaux sont non colinéaires :

• Il y a un seul point d’intersection.

N1 • D2

Exemple 11.3.5Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :

Trouver le point d’intersection, le cas échéant.

Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal

∆1 : 2x – 3y + 16 = 0 et ∆2 :x = 2 + 3ty = 4 + 2t

SS

= (2; –3) • (3; 2) = 6 – 6 = 0.

Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur

N1 = (2; –3).

D2 = (3; 2). Le produit scalaire donne :

Par conséquent, les vecteurs sont perpendiculaires et les droites sont parallèles.

Pour déterminer si les droites sont distinctes ou confondues, il suffit de considérer un point quelconque de l’une des droites et de vérifier s’il est sur l’autre droite.

En posant, par exemple, x = 1 dans l’équation de ∆1, on obtient 2 – 3y + 16 = 0, d’où –3y = –18 et y = 6. Le point P1(1; 6) est donc un point de ∆1. En substituant les coordonnées de ce point dans les équations de la droite ∆2, on obtient :

1 = 2 + 3t, d’où : t = –1/36 = 4 + 2t, d’où : t = 1

Ces égalités contradictoires indiquent que le point (1; 6) n’est pas sur la droite ∆2. Les droites sont donc parallèles distinctes.

N1 • D2

ExerciceDéterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :



∆1 : 4x + 3y – 24 = 0 et ∆2 :x = –3 + 3ty = 12 – 4t

SS

= (4; 3) • (3; –4) = 12 – 12 = 0.

Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur

N1 = (4; 3).

D2 = (3; –4). Le produit scalaire donne :

Par conséquent, les vecteurs sont perpendiculaires et les droites sont parallèles.

Pour déterminer si les droites sont distinctes ou confondues, il suffit de considérer un point quelconque de l’une des droites et de vérifier s’il est sur l’autre droite. En posant, par exemple, x = 3 dans l’équation de ∆1, on obtient 12 + 3y – 24 = 0, d’où 3y = 12 et y = 4. Le point P1(3; 4) est donc un point de ∆1. En substituant les coordonnées de ce point dans l’équation de la droite ∆2, on obtient :

Ces égalités indiquent que le point (3; 4) est sur la droite ∆2. Par conséquent, les droites sont parallèles confondues.

3 = –3 + 3t, d’où : t = 24 = 12 – 4t, d’où : t = 2

Exemple 11.3.6Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :



∆1 : 4x – y – 11 = 0 et ∆2 :x = 7 + 5t

y = 1 + 4tSS

= (4; –1) • (5; 4) = 20 – 4 = 16 ≠ 0.

Les coefficients du paramètre dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur

N1 = (4; –1).

D2 = (5; 4).

Le produit scalaire donne : N1 • D2

Par conséquent, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et les droites sont concourantes.

Pour déterminer le point de rencontre des droites, on peut substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela donne : 4(7 + 5t) – (1 + 4t) – 11 = 0

28 + 20t – 1 – 4t – 11 = 016t + 16 = 0

t = –1En substituant dans les équations paramétriques, on trouve :

Le point de rencontre des deux droites est donc (2; –3).

x = 7 + 5 (–1) = 2y = 1 + 4 (–1) = –3

ExerciceDéterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :



∆1 : 7x + 3y – 26 = 0 et ∆2 :x = 9 + 2t

y = 3 + 3tSS

= (7; 3) • (2; 3) = 14 + 9 = 23 ≠ 0.

Les coefficients du paramètre dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur

N1 = (7; 3).

D2 = (2; 3).

Le produit scalaire donne : N1 • D2

Par conséquent, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et les droites sont concourantes.

Pour déterminer le point de rencontre des droites, on peut substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela donne : 7(9 + 2t) + 3(3 + 3t) – 26 = 0

63 + 14t + 9 + 9t – 26 = 023t + 46 = 0

t = –2En substituant dans les équations paramétriques, on trouve :

Le point de rencontre des deux droites est donc (5; –3).

x = 9 + 2 (–2) = 5y = 3 + 3 (–2) = –3

La droite dans R3, intersection de plans

On peut décrire une droite dans l’espace en donnant les équations de deux plans concourants.

Cependant, si on veut connaître un point et un vecteur directeur, il est plus simple de résoudre le système d’équations linéaires formé de ces deux équations. Comme il y a deux équations pour trois inconnues, on a une variable libre que l’on représente par un paramètre pour obtenir les équations paramétriques de la droite d’intersection; on a alors la description en fonction d’un de ses points et d’un vecteur directeur.

Pour connaître un vecteur directeur de la droite, on peut alors effectuer le produit vectoriel des vecteurs normaux à ces plans.

Exemple 11.3.7Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par l’intersection des plans :

∏1 : x – 2y + 3z = 5 et ∏2 : 2x – 3y + 5z = 8

On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que l’ensemble-solution est :

{(x; y; z) | x = 1 – t, y = –2 + t, z = t}

Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors :

SS

1 –2 3

2 –3 5

L1≈L2 – 2L1

5

8

1 –2 3

0 1 –1

5

–2

L1 + 2L2≈L2

1 0 1

0 1 –1

1

–2

Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut également représenter par les équations paramétriques :

∆ : x = 1 – t

y = –2 + tz = t

On peut conclure que la droite passe par le point R(1; –2; 0) et qu’elle est parallèle au vecteur = (–1; 1; 1). D

ExerciceDonner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par l’intersection des plans :

∏1 : x + 3y – 12z – 28 = 0 et ∏2 : 3x + 10y – 41z – 92 = 0

On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que l’ensemble-solution est :

{(x; y; z) | x = 4 – 3t, y = 8 + 5t, z = t}

Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors :

SS

1 3 –12

3 10 –41

L1≈L2 – 3L1

28

92

1 3 –12

0 1 –5

28

8

L1 – 3L2≈L2

1 0 3

0 1 –5

4

8

Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut également représenter par les équations paramétriques :

∆ : x = 4 – 3t

y = 8 + 5tz = t

On peut conclure que la droite passe par le point R(4; 8; 0) et qu’elle est parallèle au vecteur = (–3; 5; 1). D


Droites parallèles

Caractéristique des droites parallèlesLes vecteurs directeurs sont parallèles :

k R tel queD1 = k D2

Caractéristiques des droites parallèles distinctes• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une

des droites, il ne peut être sur l’autre droite :


• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une des droites, il est sur l’autre droite :

• Les droites ont une infinité de points d’intersection.

Caractéristiques des droites parallèles confondues

si P ∆, alors P ∆2



Droites non parallèles

Caractéristique des droites non parallèlesLes vecteurs directeurs ne sont pas parallèles :

k R,D1 ≠ k D2

• Les droites ont un et un seul point d’intersection.

• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite :

• Les droites n’ont aucun point d’inter-section.

Caractéristiques des droites gauches


Caractéristique des droites concourantes

Exemple 11.3.8 aDéterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.

Ils sont parallèles, puisque : 2

Les vecteurs directeurs sont :

SS

x = 8 + 6ty = 12 – 4tz = 7 + 2t

= (3; –2; 1) et D1

∆1 : et ∆2 :

= (6; –4; 2). D2

D1 = D2

Les droites sont donc parallèles et, si elles ont un point commun, elles sont confondues. Vérifions si elles ont un point commun.En posant t = 0 dans les équations de ∆2, on a le point P(8; 12; 7). En substituant ces coordonnées dans les équations de ∆1. On obtient :

Ce système d’équations n’a pas de solution. Par conséquent, les droites sont parallèles distinctes.

x = 2 + 3sy = –4 – 2sz = 5 + s

8 = 2 + 3s12 = –4 – 2s7 = 5+s

Exemple 11.3.8 bDéterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.

Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout scalaire k , k


SS

x = 5 – ty = –2 + 2tz = –2 – 3t

= (3; –2; 1) et D1

et ∆2 :

= (–1; 2; –3). D2

D1 ≠ D2

Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Vérifions si elles ont un point commun, c’est-à-dire un point qui satisfait aux équations des deux droites, soit :

En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient :

∆1 :x = 2 + 3sy = –4 – 2sz = 5 + s

2 + 3s = 5 – t

–4 – 2s = –2 + 2t

5 + s = –2 – 3t

d’où

3s + t = 3

– 2s –2t = 2

s + 3t = –7

1

–2 –2

L3

≈ L1

3

2

1 3 –7 L2

1 3

3

L1

≈ L2 – 3L1

–7

3

–2 –2 2 L3 + 2L2

3

1

1 3

0

–7

24

0 4

–8

–12

L1

≈ L2 /(–8)2L3 + L2

1 3

0

–7

–3

0 0 0

1

L1 – 3L2

≈ L2 L3

1 0

0

2

–3

0 0

1

0

On trouve donc s = 2 et t = –3. En substituant dans les équations des droites, on obtient que celles-ci se rencontrent au point (8;–8; 7).

Exemple 11.3.8 cDéterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.

Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout scalaire k , k


SS

= (–2; 1; 4) et D1 = (–1; 2; 3). D2

D1 ≠ D2.

Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun.

En comparant les équations paramétriques, on a :

On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution.

S

x = 5 – ty = –2 + 2tz = –2 + 3t

∆1 : et ∆2 :x = 3 – 2sy = –4 + sz = –3 + 4s

3 – 2s = 5 – t –4 + s = –2 + 2t–3 + 4s = –2 + 3t

, d’où : –2s + t = 2s – 2t = 24s – 3t = 1


1

1 –2

L1

≈ 2L2 + L1

2

2

4 –3 2 L3 + 2L1

–2 1

0

L1

≈ L2 /(–3)

2

6

0 –1 5 3L3 – L2

–2

–3

–2 1

0

2

–2

0 0 9

1

S

Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les droites n’ont pas de point de rencontre. Puisque les droites ne sont ni parallèles ni concourantes, ce sont donc des droites gauches.

ExerciceDéterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.

Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout k scalaire, k


SS

= (2; 4; –3) et D1 = (–3; 5; 2). D2

D1 ≠ D2.

Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun.

En comparant les équations paramétriques, on a :

On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution.

S

x = 12 – 3ty = –17 + 5tz = –1 + 2t

∆1 : et ∆2 :x = 7 + 2sy = 6 + 4sz = –1 – 3s

7 + 2s = 12 – 3t6 + 4s = –17 + 5t–1 – 3s = –1 + 2t

, d’où : 2s + 3t = 54s – 5t = –23–3s – 2t = 0


3

4 –5

L1

≈ L2 – 2L1

5

–23

–3 –2 0 2L3 + 3L1

2 3

0

L1

≈ L2 /(–11)

5

–33

0 5 15 L3 /5

2

–11

2 3

0

5

3

0 1 3

S

1

L1 – 3L2

≈ L2

L3 – L2

2 0

0

–4

3

0 0 0

1

On trouve s = – 2 et t = 3. En substituant ces valeurs dans les équations paramétriques de ∆1 et de ∆2, on trouve (3; –2; 5). C’est le point de rencontre des deux droites.

Positions relatives d’une droite et d’un plan

s

Droite et plan parallèles

Caractéristiques• Le vecteur normal au plan est perpendicu-

laire au vecteur directeur de la droite :

N∏ • D∆

• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur la droite, il est également dans le plan :

• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur la droite, il n’est pas dans le plan :

si P ∆, alors P ∏

Droite contenue dans le plan

Droite non contenue dans le plan

si P ∆, alors P ∏

= 0

Positions relatives d’une droite et d’un planDroite et plan concourants

CaractéristiquesLe vecteur normal du plan n’est pas perpendiculaire au vecteur directeur de la droite :

• Il existe un seul point commun à la droite et au plan :

Il existe un et un seul point P tel que :

P ∆ et P ∏

N∏ • D∆≠ 0

Exemple 11.3.9Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.

Le produit scalaire donne :

Le vecteur directeur de ∆ est :

SS

x = 2 – 3ty = –5 + 7tz = –3 – 2t

= (–3; 7; –2). D∆

∏ : 2x + 3y + 4z + 9 = 0 et ∆ :

= (2; 3; 4). N∏

D∆ • N∏

Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants.

Le vecteur normal à ∏ est :

= (–3; 7; –2) • (2; 3; 4) = –6 + 21 – 8 = 7 ≠ 0.

Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de ∆ dans celle de ∏, on obtient :

2(2 – 3t) + 3(–5 + 7t) + 4(–3 – 2t) + 9 = 04 – 6t – 15 + 21t – 12 – 8t + 9 = 0

7t – 14 = 0t = 2

Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de ∆. Cela donne :

x = 2 – 3 2 = –4y = –5 + 7 2 = 9z = –3 – 2 2 = –7

La droite et le plan se rencontrent au point (–4; 9; –7).

S

ExerciceDéterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.

Le produit scalaire donne :

Le vecteur directeur de ∆ est :

SS

x = 10 + 2ty = –2 – 3tz = –7 – 4t

= (2; –3; –4). D∆

∏ : x – 2y + 5z – 15 = 0 et ∆ :

= (1; –2; 5). N∏

D∆ • N∏

Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants.


= (2; –3; –4) • (1; –2; 5) = 2 + 6 – 20 = 12 ≠ 0.

Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de ∆ dans celle de ∏, on obtient :

(10 + 2t) – 2( –2 – 3t) + 5(–7 – 4t) – 15 = 010 + 2t + 4 + 6t – 35 – 20t – 15 = 0

–12t – 36 = 0t = –3

Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de ∆. Cela donne :

x = 10 + 2 (–3) = 4y = –2 – 3 (–3) = 7z = –7 – 4 (–3) = 5

La droite et le plan se rencontrent au point (4; 7; 5).

S

Exemple 11.3.10

Les vecteurs perpendicu-

laires à ∆ sont :

Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.

Le produit mixte de ces vecteurs donne :

SS

∏ : 2x – 3y + 4z – 32 = 0 et

∆ : x – 5y + 3z – 28 = 0 et 4x – y – 3z + 1 = 0.

= (2; –3; 4). N∏

Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants.


= 36 – 45 + 76 = 67 ≠ 0.

–3

1 –5

4

3

4 –1 –3

2

= (1; –5; 3) et N∆1= (4; –1; –3). N∆2

= 2 (15 + 3) – (–3)(–3 – 12) + 4 (–1 + 20)

Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient :

1

–3

–5L1

≈ 2L2 – L1

4

3

4 –1 –3 L3 – 2L1

2 32

28

–1

La droite et le plan se rencontrent au point (3; –2; 5).

0

–3 4

2

0 5 –11

2 32

24

–65

–7

L1

≈ L2

7L3 + 5L2

0

–3 4

2

0 0 –67

2 32

24

–335

–7

La dernière ligne donne z = 5 et par substitution, on trouve y = –2 et x = 3.

ExerciceDéterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.

Le produit mixte de ces vecteurs donne :

SS

∏ : 2x + y – 3z + 16 = 0 et

Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants.

= 32 – 10 – 21 = 1 ≠ 0.

1

4 5

–3

–2

1 3 2

2

∆ : 4x + 5y – 2z + 19 = 0 et x + 3y + 2z – 4 = 0.

Les vecteurs perpendicu-

laires à ∆ sont :

= (2; 1; –3). N∏Le vecteur normal à ∏ est :

= (4; 5; –2) et N∆1= (1; 3; 2). N∆2

= 2 (10 + 6) – 1 (8 + 2) + (–3) (12 – 5)

Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient :

4

1

5L1

≈ L2 – 2L1

–3

–2

1 3 2 2L3 – L1

2 –16

–19

4

0

1 –3

4

0 5 7

2 –16

13

24

3

L1

≈ L2

3L3 – 5L2

0

1 –3

4

0 0 1

2 –16

13

7

3

La droite et le plan se rencontrent au point (5; –5; 7).

La dernière ligne donne z = 7 et par substitution, on trouve y = –5 et x = 5.

Positions relatives de plans dans R3

Plans parallèles

Caractéristiques des plans parallèlesLes vecteurs normaux sont parallèles :

k R tel queN1 = k N2

Caractéristiques des plans parallèles distincts• Lorsqu’un point R(x1; y1; z1) est sur l’un

des plans, il ne peut être sur l’autre plan :


• Lorsqu’un point R(x1; y1; z1) est sur l’un des plans, il est sur l’autre plan :

• Les plans ont une infinité de points d’intersection.

Caractéristiques des plans parallèles confondus

si R ∏, alors R ∏2

si R ∏, alors R ∏2

Positions relatives de plans dans R3

Plans non parallèles

Caractéristiques des plan non parallèles

• L’intersection des deux plans (∏1 ∏2) est une droite ∆.

• On dit que les plans sont concourants ou sécants.

k R, N1 ≠ k N2

• Les vecteurs normaux ne sont pas parallèles :

Exemple 11.3.11Déterminer la position relative des plans suivants :

∏1 : x + 2y + 2z = 4

SS

Il ne reste que deux équations où z est une variable libre. En posant z = t, on trouve comme solution générale :

Cet ensemble représente une droite qui passe par le point (2; 1; 0) et dont

{(x; y; z)| x = 2, y = 1 – t, z = t}

Les plans ne sont pas parallèles, puisque leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. En résolvant le système formé de ces deux équations à l’aide d’une matrice, on a :

1 2 2 4

2 3 3 7≈

L1

L2 – 2 L1

1 2 2 4

0 –1 –1 –1≈

–L2

L1 + 2 L2 1 0 0 2

0 1 1 1

= (0; –1; 1) est un vecteur directeur. Les deux plans sont sécants et leur intersection est une droite.

D1

∏2 : 2x + 3y + 3z = 7

–10

–10

Exemple 11.3.12Trouver l’intersection des plans suivants :

En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une matrice, on a :

∏1 : x + 3y – 2z = 10

SS

Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; 1; –2).

1 3 –2 102 –4 5 –8 ≈

L1

L2 – 2L1 ≈L2

10L1 + 3L2

3 –1 2 4 L3 – 3L1

1 3 –2 100 9 –28

0 8 –26 L3 – L2

10 0 7 160 –10 9 –28

0 0 –1 2

≈L2 + 9L3

L1 + 7L3

L3

10 0 0 30

0 –10 0 –10

0 0 –1 2

≈L2 /(–10)

L1 /10

L3/(–1)

1 0 0 3

0 1 0 1

0 0 1 –2

∏2 : 2x – 4y + 5z = –8

∏3: 3x – y + 2z = 4

–11

–11

ExerciceTrouver l’intersection des plans suivants :

En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une matrice, on a :

∏1 : x + 3y – 2z = –10

SS

Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; –1; 5).

1 3 –2 –103 –2 4 31 ≈

L1

L2 – 3L1 ≈L2

11L1 + 3L2

5 4 1 16 L3 – 5L1

1 3 –2 –100 10 61

0 11 66 L3 – L2

11 0 8 730 11 –10 –61

0 0 1 5

≈L2 + 10L3

L1 – 8L3

L3

11 0 0 33

0 11 0 –11

0 0 1 5

≈L2 /11

L1 /11

L3

1 0 0 3

0 1 0 –1

0 0 1 5

∏2 : 3x – 2y + 4z = 31

∏3 : 5x + 4y + z = 16

Positions relatives et systèmes d’équations

Solution unique

SS

Lorsqu’il reste autant d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une solution unique.

Les trois plans se rencontrent alors en un même point.

a b c d

0 e f g

0 0 h i

, où h ≠ 0.

Infinité de solutions

Lorsqu’il reste moins d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une infinité de solutions.

Les trois plans ont une droite comme intersection. Ils peuvent également être confondus s’il reste une équation pour trois inconnues.

a b c d

0 e f g

0 0 0 0

a b c d

0 e f g

0 0 0 i

Aucune solutionLorsque la matrice échelonnée com-porte une équation impossible, le système n’a aucune solution.

, où i ≠ 0.

Deux des plans peuvent être parallèles distincts.

Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes.

La représentation graphique d’une équation à trois inconnues est un plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues.

Conclusion

À l’aide des vecteurs et des système d’équations, on peut déterminer

algébriquement les positions relatives de droites dans R2 ainsi que de

droites et de plans dans R3.

Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367.

Lecture

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 340 à 354.

Documents

Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Droites et plans, positions relatives Droites et plans, positions relatives