Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Intégrale définieIntégrale définie

IntroductionIl nous faut réfléchir sur la définition d’aire sous la courbe

d’une fonction non négative f posée dans la présentation

précédente.

Nous avons testé cette définition à l’aide de fonctions

polynomiales, en considérant toujours une partition régulière.

où P = {x0, x1, x2, …, xn} est une partition de [a; b],

i = 1

nf(ci ) ∆xiA[a; b] = lim

(max∆xi) 0

ci [xi–1; xi] et ∆xi = xi – xi–1

Nous généraliserons maintenant à toute fonction continue, mais

nous devons d’abord traiter la question de l’existence de la

limite d’une telle somme.

Fonction intégrable

S

-

DéfinitionFonction intégrable au sens de Riemann

Soit f, une fonction définie sur [a; b] et P = {x0, x1, x2, …, xn} une partition quelconque de [a; b]. Alors f est dite intégrable au sens de Riemann (ou simplement intégrable) sur [a; b] si la limite suivante existe :

i = 1

nf(ci ) ∆xi

lim(max∆xi) 0

i = 1

nf(ci ) ∆xi

lim(max∆xi) 0

f(x) dx = a

b

Si f est intégrable sur [a; b], alors l’intégrale définie de f sur [a; b] est définie par :

, où ci [xi–1; xi]

, où ci [xi–1; xi]

REMARQUE :

Si f est non négative sur [a; b], l’intégrale définie donne l’aire sous la courbe.

La valeur de a est appelée borne inférieure de l’intégration et b, borne supérieure de l’intégration.

Intégrale définie et indéfinie

S

Il faut distinguer intégrale définie et intégrale indéfinie.

i = 1

nf(ci ) ∆xi

lim(max∆xi) 0

f(x) dx = a

b, où ci [xi–1; xi]

L’intégrale définie est un nombre réel qui est la limite d’une somme :

L’intégrale indéfinie est une famille de fonctions, les primitives de la fonction f.

f(x) dx = F(x) + k, où F '(x) = f(x)

Dans cette présentation, nous établirons la relation entre l’intégrale définie et l’intégrale indéfinie grâce au théorème fondamental du calcul différentiel et intégral.

Quelques théorèmes préalables nous seront utiles.

Théorème des valeurs extrêmes

SS

Le minimum et le maximum absolus peuvent être atteints aux frontières de l’intervalle [a; b].

Théorèmedes valeurs extrêmes

Soit f, une fonction continue sur [a; b]. Alors :• il existe au moins un c [a; b] tel que f(c) soit égale au

minimum absolu de f sur [a; b] et;

• il existe au moins un d [a; b] tel que f(d) soit égale au maximum absolu de f sur [a; b].

Le minimum et le maximum absolus peuvent être des extremums relatifs.

Théorème de Fermat

SS

On se souvient de ce théorème on l’utilisait dans l’analyse des points critiques d’une fonction pour détecter les extremums relatifs.

Théorèmede Fermat

Soit f, une fonction telle que :• f est continue sur [a; b];

• f est dérivable sur ]a; b[;• c ]a; b[, où (c; f(c)) est un point de maximum (ou de minimum)

relatif ou absolu de f;

alors, f '(c) = 0.

On se souvient également que le théorème ne permettait pas de détecter tous les extremums relatifs.

c

REMARQUE :

La fonction n’est pas dérivable à x = c. Le théorème de Fermat ne s’applique pas.

Théorème de Rolle

SS

Distinguons deux cas, selon que la fonction est constante ou non dans l’intervalle [a; b].

Théorèmede Rolle

Soit f, une fonction telle que :• f est continue sur [a; b];

• f est dérivable sur ]a; b[;

• f(a) = f(b), alors, il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que f '(c) = 0.

Si la fonction est constante sur [a; b].

Alors, elle est de la forme f(x) = k, où k R. Par conséquent. f '(x) = 0 pour tout x ]a; b[ et f '(c) = 0 quel que soit c ]a; b[.

Si la fonction n’est pas constante sur [a; b].D’après le théorème des valeurs extrêmes, la fonction possède un minimum absolu et un maximum absolu sur [a; b].

Soit c ]a; b[, tel que (c; f(c)) est un point de maximum (ou de minimum), alors f '(c) = 0 par le théorème de Fermat.

Puisque la fonction n’est pas constante et que f(a) = f(b), elle a un minimum absolu ou un maximum absolu dans l’intervalle ]a; b[.

Ce qui démontre le théorème de Rolle.

REMARQUE :

Le théorème indique qu’il y a au moins un point dans ]a; b[ où la tangente est horizontale, mais il peut y en avoir plus d’un.

S

Exemple

SS

Déterminer si la fonction définie par f(x) = x2 + x satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [–1; 1]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant.La fonction est une polynomiale, elle est donc continue sur R et, en particulier, sur [–1; 1].

Elle est dérivable sur R et en particulier sur ]–1; 1[.De plus, f(–1) = 3 = f(1).

Les conditions sont satisfaites et le théorème de Rolle s’applique. Il existe au moins un nombre –1 < c < 1 tel que f '(c) = 0.

La dérivée de f est : f '(x) = 2x + 1 et :

2x + 1 = 0 donne x = –1/2

La valeur prédite par le théorème de Rolle est c = –1/2.

Exercice

SS

Déterminer si la fonction définie par f(x) = sin x satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [0; 2π]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant.

La fonction est continue sur R, donc sur [0; 2π].Elle est dérivable sur R, donc sur ]0; 2π[.

De plus, f(0) = 0 = f(2π).

Les conditions sont satisfaites et le théorème de Rolle s’applique. Il existe au moins un nombre 0 < c < 2π tel que f '(c) = 0.

La dérivée de f est : f '(x) = cos x et :

cos x = 0 à π/2 et à 3π/2

Les valeurs prédites par le théorème de Rolle sont c1 = π/2 et c2 = 3π/2.

Exercice

SS

Déterminer si la fonction définie par f(x) = 1/x2 satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [–2; 2]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant.La fonction n’est pas continue sur [–2; 2].

En effet, elle a une trou à l’infini à x = 0 (limite de la forme c/0).

L’une des conditions n’est pas satisfaite et le théorème de Rolle ne s’applique pas. On ne peut rien prédire.

Le graphique permet cependant de conclure qu’il n’existe pas de valeur de c dans [–2; 2] telle que f '(c) = 0

Exercice

SS

Une fonction irrationnelle est continue sur son domaine. La fonction est donc continue sur R et, en particulier, sur [–8; 8].

La fonction n’est pas dérivable à x = 0 ]–8; 8[, car :

L’une des conditions n’est pas satisfaite et le théorème de Rolle ne s’applique pas.

Déterminer si la fonction définie par f(x) = x2/3 satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [–8; 8]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant.

f '(x) = –1

3x1/3 et le domaine de f ' est R\{0}.

Théorème de Lagrange

S

Ce théorème affirme que si la fonction est continue et dérivable sur l’intervalle alors il existe un point (c; f(c)) où la tangente est parallèle à la sécante passant par les points (a; f(a)) et (b; f(b)).

Théorèmede Lagrange (ou de la moyenne)

Soit f, une fonction telle que :• f est continue sur [a; b];

• f est dérivable sur ]a; b[;

alors, il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que :

f '(c) = f (b) – f (a)

b – a

REMARQUE :

Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème de Lagrange. En effet, si f(a) = f(b), la pente de la sécante est 0.

SS

Notons g, la fonction dont le graphique est la sécante à la courbe de la fonction f passant par les points (a; f(a)) et (b; f(b)).

f (b) – f (a)

b – aLa pente de cette sécante est :

et la fonction g est définie par l’équation de la droite :

g(x) = f(a) + (x – a) f (b) – f (a)

b – a Définissons la fonction H dont l’image pour une valeur de x dans l’intervalle [a; b] est la distance verticale entre la courbe de f et celle de g. On a alors :

H(x) = f(x) – g(x), pour x [a; b]

Par substitution, on obtient :

H(x) = f(x) – f(a) + (x – a) f (b) – f (a)

b – a

Démonstration du théorème de Lagrange

H(x)

Vérifions que cette nouvelle fonction satisfait aux hypothèses du théorème de Rolle.

1. H est continue sur [a; b] car la somme de deux fonctions continues est continue.

2. H est dérivable sur [a; b] car la somme de deux fonctions dérivables est dérivable.

3. Puisque f(a) = g(a), on a H(a) = 0. De la même façon, H(b) = 0, et H(a) = H(b).

Les hypothèses sont satisfaites, le théorème de Rolle s’applique. On peut conclure qu’il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que H '(c) = 0

La dérivée de H est : H '(x) = f '(x) – f (b) – f (a)

b – a

S

L’image de c est : H '(c) = f '(c) – f (b) – f (a)

b – a = 0

D’où : f '(c) =

f (b) – f (a)

b – a Ce qui complète la démonstration.

Exemple

SS

Déterminer si la fonction définie par f(x) = 3x – x2 satisfait aux conditions du théorème de Lagrange sur [1; 4]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant.La fonction est une polynomiale, elle est donc continue sur R et, en particulier, sur [1; 4]. Elle est dérivable sur ]1; 4[.Les conditions sont satisfaites et le théorème de Lagrange s’applique.

La dérivée de f est f '(x) = 3 – 2x et :

3 – 2x = –2 donne x = 5/2

La valeur prédite par le théorème de Lagrange est c = 5/2.

La pente de la sécante est :f (4) – f (1)

4 – 1=

–4 – 2

4 – 1= –2

Exercice

SS

Une fonction irrationnelle est continue sur son domaine. La fonction f est donc continue sur R et, en particulier, sur [1; 4].

Cependant, la fonction n’est pas dérivable à x = 2 ]1; 4[, car :

Puisque l’une des conditions n’est pas satisfaite, le théorème de Lagrange ne s’applique pas.

Déterminer si la fonction définie par f(x) = (x – 2)2/3 satisfait aux conditions du théorème de Lagrange sur [1; 4]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant.

et le domaine de f ' est R\{2}.f '(x) = –1

3(x – 2)1/3

Il n’y a pas de point (c; f(c)) sur l’intervalle [1; 4] tel que la tangente en ce point soit parallèle à la sécante passant par les points aux extrémités de l’intervalle [1; 4].

Théorème fondamental

S

Démonstration

Théorèmefondamental du calcul différentiel et intégral

Soit f, une fonction continue sur un intervalle [a; b] et F, l’une de ses primitives sur [a; b], alors :

Considérons une partition P = {x0, x1, x2, ..., xn–1, xn} de l’intervalle [a; b], où x0 = a et xn = b. Ces valeurs subdivisent l’intervalle [a; b] en n sous-intervalles :

f(x) dx = F(b) – F(a)a

b

[a; x1], [x1; x2], [x2; x3], …, [xi–1; xi], ... , [xn–1; b]

dont les longueurs sont : ∆x1, ∆x2, ∆x3, ...∆xi, ...∆xn

On peut alors exprimer F(b) – F(a) par la somme télescopique :

F(b) – F(a) = [F(x1) – F(a)] + [F(x2) – F(x1)] + ... +[F(b) – F(xn–1)]

Démonstration du théorème fondamental

S

DémonstrationPar hypothèse, F est une primitive de f, on a donc :

F '(x) = f(x) pour tout x dans l’intervalle [a; b]

Considérons le premier sous-intervalle, [a; x1]. Puisque la fonction F est dérivable sur cet intervalle, par le théorème de Lagrange, il existe une abscisse c1 dans l’intervalle telle que :

F(x1) – F(a) = F '(c1) (x1 – a)

De la même façon, dans chaque sous-intervalle, [xi–1; xi], on peut trouver une abscisse ci telle que :

F(xi) – F(xi–1) = F '(ci) (xi – xi–1)

On peut donc écrire la somme télescopique de F(b) – F(a) sous la forme :F(b) – F(a) = F '(c1) (x1 – a) + F '(c2) (x2 – x1) ...

+ F '(ci) (xi – xi–1) + ... +F '(cn) (b – xn–1)

Démonstration du théorème fondamental

S

DémonstrationDe plus, puisque ∆xi = xi – xi–1 et F '(x) = f(x), on a :

F(b) – F(a) = F '(c1) ∆x1 + F '(c2) ∆x2 ... + F '(ci) ∆xi + ... + F '(cn) ∆xn

= f (c1) ∆x1 + f (c2) ∆x2 ... + f (ci) ∆xi + ... + f (cn) ∆xn

En utilisant le symbole de sommation, on obtient alors la somme de Riemann suivante :

Supposons que le nombre n de sous-intervalles s’accroît à l’infini et que la largeur du plus grand de ceux-ci tend vers 0. Le membre de gauche de cette égalité est constant et indépendant de n alors que le côté droit tend vers l’intégrale définie dans l’intervalle [a; b]. On a donc :

Ce qui complète la démonstration.

i = 1

nf(ci ) ∆xiF(b) – F(a) =

F(b) – F(a) = i = 1

nf(ci ) ∆xi

lim(max∆xi) 0

f(x) dx a

b=

Visualisation du théorème

S

Considérons les fonctions :

F '(x) = f(x) = 18x – 3x2

i = 1

4f(ci ) ∆xiF(b) – F(a) =

F(b) – F(a)

f(x) dx a

b=

F(x) = 12 + 9x2 – x3

sur l’intervalle [0; 6].Déterminons une partition.

Par le théorème de Lagrange :

A1

f(c1 ) ∆x1

A2 A3A4

c1 c2

f(c2 ) ∆x2

f(c3 ) ∆x3

f(c4 ) ∆x4

c3 c4

i = 1

nf(ci ) ∆xi

lim(max∆xi) 0

=

Et, à la limite :

F(b) – F(a)

f(x) dx a

b=

A

Calcul de l’aireProcédure

pour calculer l’intégrale indéfinie

2. Déterminer les bornes d’intégration lorsqu’elle ne sont pas précisées.

3. Déterminer une primitive F(x) de l’intégrande f(x).

4. Évaluer la différence F(b) – F(a).

Notation :

1. Vérifier que la procédure s’applique (f est continue sur l’intervalle).

La différence F(b) – F(a) est généralement notée : b

aF(x)

On écrira donc : f(x) dx a

b b

aF(x)=

Lorsque la fonction est continue et non négative sur [a; b], l’intégrale définie donne l’aire sous la courbe sur l’intervalle [a; b].

S

Exemple

SS

Déterminer l’aire sous la courbe de la fonction définie par :

La fonction est continue et non négative dans l’intervalle, on a donc :

On trouve 27/4 unités d’aire.

Dans l’intervalle [1; 4].

f(x) = x + 2

2

x + 22

dx 1

4= 1

2 x dx + 2 dx

1

4

1

4

4

1= 1

2 + 2x

x2

2 = + xx2

4 4

1

+ 4164 = – + 1

14 =

274

8 –54

274

=

Exercice

SS

Déterminer l’aire sous la courbe de la fonction définie par :

La fonction est continue et non négative dans l’intervalle, on a donc :

On trouve 68 unités d’aire.

Dans l’intervalle [2; 4].

f(x) = 3x2 + 2x

(3x2 + 2x) dx 2

4= 3x2 dx + 2x dx

2

4

2

4

4

2= x3 + x2

= (64 + 16) – (8 + 4)

= 68

80 – 12 = 68

Exemple

SS

Une particule se déplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est décrite par :

Calculer la variation de position (dépla-cement) durant l’intervalle [0; 2].

Le mobile s’est déplacé de 28 m par rapport à sa position initiale.

où t est le temps en secondes.v(t) = 18t – 3t2 m/s

(18t – 3t2) dt 0

2= 18t dt – 3t2 dt

0

2

0

2

2

0= 9t2 – t3 = (36 – 8) – (0 – 0) = 28

La variation de position est donnée par l’aire sous la courbe dans l’intervalle [0; 2]. La fonction est continue et non négative dans l’intervalle, on a donc :

28 – 0 = 28

Exercice

SS

Une particule se déplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est décrite par :

Calculer la variation de position (dépla-cement) durant l’intervalle [2; 5].

Le mobile s’est déplacé de 72 m par rapport à sa position initiale.

où t est le temps en secondes.v(t) = 18t – 3t2 m/s

(18t – 3t2) dt 2

5= 18t dt – 3t2 dt

2

5

2

5

5

2= 9t2 – t3

= (225 – 125) – (36 – 8) = 72

La variation de position est donnée par l’aire sous la courbe dans l’intervalle [2; 5].

100 – 28 = 72

Exercice

SS

Une particule se déplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est décrite par :

Calculer la variation de position (dépla-cement) durant l’intervalle [0; 6].

Le mobile s’est déplacé de 108 m par rapport à sa position initiale.

où t est le temps en secondes.v(t) = 18t – 3t2 m/s

(18t – 3t2) dt 0

6= 18t dt – 3t2 dt

0

6

0

6

6

0= 9t2 – t3

= (324 – 216) – (0 – 0) = 108

La variation de position est donnée par l’aire sous la courbe dans l’intervalle [0; 6].

108 – 0 = 108

Conclusion

Le théorème fondamental nous permet également d’établir une

relation entre l’intégrale définie et l’intégrale indéfinie, puisque :

Lorsque la fonction est continue et non négative sur [a; b], l’intégrale

définie donne l’aire sous la courbe sur l’intervalle [a; b].

f(x) dx a

b b

aF(x)= , où F(x) est une primitive de f(x).

Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (première

partie) donne une procédure générale pour déterminer l’intégrale

définie dans un intervalle [a; b], qui est valide pour toute fonction

continue sur cet intervalle.