Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Produit scalaireProduit scalaire

IntroductionNous allons maintenant présenter une autre opération sur les

vecteurs, le produit scalaire. Nous allons définir cette opération

sur les vecteurs algébriques puis nous verrons l’interprétation

géométrique de cette opération sur des vecteurs de R2 et des

vecteurs de R3.

Un marchand livre des fruits dans les édifices à bureaux du centre-ville. Le tableau ci-contre indique les fruits commandés par les employés d’un bureau ainsi que le prix unitaire de ces fruits.

La Fruiterie mobile

Prix unitaire

Quantité

Pomme

0,75

8

Poire

0,80

6

Prune

0,50

4

Ce tableau comporte deux vecteurs, un vecteur des prix unitaires et un vecteur des quantités.

Pour établir la facture du client, le marchand peut effectuer l’opération suivante sur ces vecteurs :

Vecteur des prix unitaires :

Vecteur des quantités :

u = (0,75; 0,80; 0,50)

v = (8; 6; 4)

u • v = (0,75 8) + (0,80 6) + (0,50 4) = 12,80 $

L’opération consiste à faire la somme des produits des composantes de même rang. Cette opération entre deux vecteurs donne un scalaire, que nous appellerons produit scalaire.

Produit scalaireDéfinition

Cette définition suppose que les vecteurs algébriques sont exprimés dans la base orthonormée usuelle de Rn. Elle est valide dans R2 et dans R3 aux même conditions.

Soit u = (u1; u2; ...;un) et v = (v1; v2; ...;vn), deux vecteurs de Rn.

Le produit scalaire de u par v, noté u • v, donne un scalaire défini par l’égalité suivante :

u • v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Remarque :

Ainsi, le produit scalaire des vecteurs u = (2; –5; 4) et v = (8; 2; –3) est :

u • v = 2 8 + (–5) 2 + 4 (–3) = –6

Produit scalairePropriétés

du produit scalaire

1. Commutativité

2. Associativité pour la multiplication par un scalaire

3. Distributivité sur l’addition vectorielle

4.

Pour tout vecteur u, v et w et pour tout scalaire p et q :

u • v = v • u

(pu) • (qv) = pq(u • v)

u • (v + w) = u • v + u • w u • u = u 2

On démontre la quatrième propriété de la façon suivante :

u • u = u12 + u2

2 + … + un2 , par définition du produit scalaire;

= u 2, puisque u = u12 + u2

2 + … + un2 .

, puisque ;c = u v–

Produit scalaire de vecteurs géométriquesConsidérons deux vecteurs géométriques u

et v , de longueur a et b respectivement.

Posons c la longueur du troisième côté du triangle construit sur ces vecteurs.

Par la loi des cosinus, c2 = a2 + b2 – 2ab cos , où est l’angle entre les vecteurs. De plus :

c2 = u v– 2

= • – • – • + •u vu u v u v v , par la distributivité du produit scalaire sur l’addition vectorielle;

, puisque ;u • u = u 2

, par la commutativité du produit scalaire;u 2 v 2u v•– 2= +

u v•– 2= a2 + b2.On a donc : u v•– 2a2 + b2 , d’où := a2 + b2 – 2ab cos 

u v• = ab cos  = u v cos 

= ( ) • ( ) u v– u v–

Produit scalaire de vecteurs géométriques

Définition

Soit u et v deux vecteurs géométriques.

Le produit scalaire de u par v, noté u • v, donne un scalaire défini par l’égalité suivante :

Remarque :

u • v = u v cos ,

Cette définition, qui est équivalente à celle donnée pour des vecteurs algébriques, va nous permettre de développer diverses applications du produit scalaire.

où est l’angle entre les vecteurs.

e3 = 1 SS

Exemple

AB • CDb)

a) On a : et u = 22 + 22 = 8 = 2 2

(u • e3) = 45°De plus, , d’où cos (u • e3) =22

Par conséquent :

u • e3 = u e3 cos (u • e3) =22

2 2 1 = 2

S

a) On peut également procéder en exprimant les vecteurs dans la base. Cela offre un avantage intéressant puisque les vecteurs de la base sont perpendiculaires et que cos 90° = 0. Dans le cas présent, on a :

u = e1 + 2 e3

D’où :

, par les propriétés;= 0 + 2 ( 1 ) = 2

u • e3 = (e1 + 2 e3) • e3

= e1 • e3 + 2 (e3 • e3 )

S

b) En exprimant les vecteurs dans la base, on obtient :e2 – e3 AB = e1 – e2 CD =

AB • CD =

et , d’où :

AB • CD

( ) • ( )e2 – e3 e1 – e2

= 0 – 4 – 0 + 0 = –4

= –4.

= (e2 • e1) – (e2 • e2 ) – (e3 • e1 ) + (e3 • e2 )

On a donc :

u • e3a)

Dans la figure ci-contre, l’unité de mesure est l’arête d’un cube et les vecteurs e1, e2 et e3 forment une base de l’espace. Déterminer les produits scalaires suivants :

Produit scalaire nulSoit u et v deux vecteurs géométriques non nuls tels que u • v = 0.

il faut que l’un des facteurs du produit soit nul. Les deux vecteurs étant non nuls, la seule possibilité est donc :

Puisque : u • v = u v cos ,

cos = 0, d’où = arccos 0 = 90°

Réciproquement, si u et v sont perpendiculaires, on a :

u • v = u v cos = u v cos 90° = 0

Théorème

Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls. Le produit scalaire

de ces vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs u et v sont

perpendiculaires.

Produit scalaire nul

1. Écrire l’équation

Angle entre deux vecteursSoit u et v deux vecteurs non nuls.

on peut calculer le cosinus de l’angle entre les vecteurs de la façon suivante : Puisque : u • v = u v cos ,

cos = u • vu v

, d’où = arccos u • vu v

Procédure

pour calculer l’angle entre deux vecteurs algébriques

2. Calculer

3. Déterminer l’angle entre les vecteurs à l’aide de la fonction arccosinus.

4. Interpréter le résultat selon le contexte.

cos = u • vu v

u • v = u v cos .

.

Posons :

La molécule de méthane (CH4) est de forme tétraédrique. Elle est composée d’un atome de carbone et de quatre atomes d’hydro-gène.

Exemple 9.1.4

On a donc = arccos (–1/3) = 109,47°.

cos = u • vu v

= = –13

1 – 1 – 1

3 3

u = CHA = (–1; –1; 1) et

v = CHB = (–1; 1; –1)

L’angle entre les liaisons chimiques est de 109,47°. On peut faire le même calcul en choisissant les autres liaisons.

S

La figure ci-contre est la représentation d’une telle molécule dans R3. Calculer l’angle entre les liaisons chimiques.

Interprétation géométrique

Soit u et v deux vecteurs non nuls.

Le produit scalaire : u • v = u v cos ,

donne un scalaire qui est formé du module du vecteur u et de la longueur dirigée de la projection du vecteur v sur la droite support de u.

Cette interprétation est également valide lorsque l’angle entre les vec-teurs est compris entre 90° et 180°.

Puisque le produit scalaire est commutatif, on peut dire que le produit scalaire de deux vecteurs donne le produit du module de l’un des deux et de la longueur dirigée de la projection orthogonale du second sur le premier.

Vecteur projection

Soit u et v deux vecteurs non nuls.

Déterminons ce scalaire.

Il existe donc un scalaire k tel que vu = ku.

Notons vu la projection orthogonale du

vecteur v sur le vecteur u.

Notons w le vecteur joignant l’extrémité de v à l’extrémité de vu. On a alors :

, par substitution;D’où :

, par distributivité;

et k = . D’où : k u • u = u • v u • vu • u

–u • v + k u • u = 0

u • ( –v + ku) = 0

w = –v + ku, par addition vectorielle et u • w = 0, car u w.

vu = ku =u • vu • u

u

vu a la même direction que le vecteur u.

S

Exemple

22 + (–2)2 = 8 = 2 2

= 2 unités

En exprimant les vecteurs dans la base, on obtient :

et , d’où :

Dans la figure ci-contre, l’unité de mesure est l’arête d’un cube et les vecteurs e1, e2 et e3 forment une base de l’espace. Déterminer la longueur de la projection du vecteur CD sur le vecteur AB.

u = AB = v = CD =

( ) • ( )2 e2 – 2 e3 –2 e1 + 2 e2 u • v = AB • CD =

= 0 + 4 + 0 – 0 = 4 = –4(e2 • e1) + 4(e2 • e2) + 4(e3 • e1) – 4(e3 • e2)

Les vecteurs de la base étant perpendiculaires, on peut déterminer le module des vecteurs. On obtient :

2 e2 – 2 e3 –2 e1 + 2 e2

u = AB = . Cela donne :

=AB • CD

AB=

4

2 2vu =

u • v

u

Projection orthogonaleThéorème

Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls. La projection

orthogonale du vecteur v sur le vecteur u est le vecteur :

Projection orthogonale d’un vecteur

vu = ku =u • vu • u

u

La longueur de la projection orthogonale est : vu =u • v

u

Remarque

Pour calculer le numérateur du scalaire k, on fait simplement le produit scalaire des deux vecteurs. Le dénominateur est le produit scalaire du vecteur sur lequel on projette et de ce même vecteur.

Rappelons la quatrième propriété du produit scalaire :

u • u = u 2

Exemple 9.1.6Trouver la projection orthogonale du vecteur u = (4; 5) sur le vecteur v = (6;–1).

Trouver la longueur de ce vecteur.

u • v = (4 6) + (5 –1) = 24 – 5 = 19

u • vv • v

v uv =

S

La projection orthogonale de u sur v est alors donnée par :

62 + (–1)2 = 37v =Le module de v est

Le produit scalaire de u et v donne :

v • v = (6 6) + (–1 –) = 36 + 1 = 37Le produit scalaire de v et v donne :

= (6; –1)1937 =

11437

–1937

;

S

uv =u • v

v= = 3,123… ≈ 3,1219

37

La longueur de la projection est d’environ 3,12 unités.

Exemple 9.1.7Trouver la projection orthogonale du vecteur v = (2; 2; 5) sur le vecteur u = (–3; 7; 8).

Trouver la longueur de ce vecteur.

u • v

u • vu • u

u vu =

S

La projection orthogonale de v sur u est alors donnée par :

u =Le module de u est

Le produit scalaire de u et v donne :

u • uLe produit scalaire de u et u donne :

= (–3; 7; 8)48122

S

vu =u • v

u= = 4,3457… ≈ 4,3548

122

La longueur de la projection est d’environ 4,35 unités.

= (–3 2) + (7 2) + (8 5) = –6 + 14 + 40 = 48

= (–3 –3) + (7 7) + (8 8) = 9 + 49 + 64 = 122

= –7261

16861

; 19261

;

(–3)2 + 72 + 82 = 122

Produit scalaire et travailLe travail (T) effectué par une force qui déplace un objet dépend :

• de la composante de la force (F) dans le sens du déplacement.

• de la longueur du déplacement (d) de l’objet;

Le travail est donc le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement. L’unité de la force est le newton (N) et le déplacement est en mètres (m). Le travail est donné en newtons-mètres (N·m) ou en joules (J).

T = d F cos

Exemple 9.1.9On veut monter le bloc illustré ci-contre en le tirant avec une force de 350 N faisant un angle de 52° avec l’horizontale. L’inclinaison du plan est de 23°.

En considérant que la longueur du bloc est négligeable, calculer le travail effectué pour monter le bloc jusqu’en haut du plan incliné.

S

Représentons la situation dans un système d’axes. Le vecteur déplacement fait un angle de 23° avec l’horizontale et est représenté par le vecteur algébrique :

Le vecteur algébrique décrivant la force est :

Le travail est donné par le produit scalaire de ces deux vecteurs, soit :

d = (10 cot 23°; 10)

F = (350 cos 52°; 350 sin 52)

T = d • F

= (10 cot 23°; 10)  • (350 cos 52°; 350 sin 52°)

= 3500cot 23 cos 52° +  3500 sin 52°

= 7834,46… N·m ≈ 7,83 kJ.

Le travail effectué est d’environ 7,83 kJ.

ConclusionLe produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire qui est le produit des modules des vecteurs et du cosinus de l’angle entre ceux-ciLe produit scalaire de deux vecteurs algébriques de R2 ou de R3 peut être obtenu directement à partir des composantes en effectuant la somme des produits des composantes de même rang. En effet, dans une base orthonormée, les composantes véhiculent l’information sur la direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur l’angle entre ceux-ci.On utilise le produit scalaire pour déterminer l’angle entre deux vecteurs et la projection orthogonale d’un vecteur. D’autres applications seront présentées en géométrie vectorielle.

Le travail effectué par une force pour déplacer un objet est le produit scalaire du vecteur déplacement et du vecteur force. La représentation par des vecteurs algébriques simplifie le traitement de l’information pour calculer le travail.

LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 9,1, p.243-251.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8.1, p.193-200.

Exercices

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 9.2, p. 252-252.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8,2, p.201-204.