Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Taux de variationponctuel

Taux de variationponctuel

IntroductionDans cette présentation, nous verrons les notions de taux de

variation moyen (TVM), de taux de variation ponctuel (TVP)

et de taux de variation instantané (TVI).

On laisse tomber une pierre d’une hauteur de 78,4 m. L’attraction gravitationnelle accélère cette pierre dont la position (m) par rapport au sol est décrite en fonction du temps t (s) par :

Chute d’un corps

h(t) = 78,4 – 4,9t2 m

Cette description mathématique permet de calculer la durée de la chute, soit le temps nécessaire pour que la distance au sol soit nulle. On trouve alors :

78,4 – 4,9t2 = 0

–4,9t2 = –78,4t2 = 16t = ±4

La valeur t = –4 est à rejeter dans le contexte, et on retient t = 4. Cela qui signifie que l’impact au sol aura lieu 4 secondes après le début de la chute.

Grâce à la fonction, on peut calculer la position par rapport au sol en différents instants de cette chute.

Chute d’un corps

h(t) = 78,4 – 4,9t2 m

t h(t)0,00,51,01,52,02,53,03,54,0

78,477,13573,567,37558,847,77534,318,375  0,0

Pour étudier de tels phéno-mènes, on représente le temps sur un axe horizontal.

Cela permet de visualiser le lien entre les variables temps et position.

Déterminons ∆h la variation de position durant l’intervalle de 1 à 3 secondes

Taux de variation moyen

∆h = 34,3 – 73,5 = –39,2 m

t h(t)0,00,51,01,52,02,53,03,54,0

78,477,13573,567,37558,847,77534,318,375  0,0

∆t = 3 – 1 = 2 s∆h

= 3

4,3

– 73

,5

= –

39,2

ms

Le temps écoulé ∆t est :∆t = 3 – 1 = 2 s

Dans cet exemple, le TVM est la vitesse moyenne de la pierre durant l’intervalle [1; 3].

Le taux de variation moyen (TVM) dans l’intervalle [1; 3] est :

= –39,2 m2 s

= –19,6 m/s

SS

Graphiquement, le TVM est la pente de la sécante passant par les points (1; 75,3) et (3; 34,3).

∆h∆t [1; 3]

La position de la pierre par rapport au sol diminue, en moyenne, de 19,6 m par seconde durant l’intervalle [1; 3].

Taux de variation moyenDÉFINITION

Taux de variation moyen

Soit f, une fonction continue sur un intervalle fermé [x1; x2] domf. On appelle taux de variation moyen de f dans l’intervalle [x1; x2] le rapport :

Le taux de variation moyen est le rapport de la variation de la variable dépendante sur la variation de la variable indépendante.

Graphiquement, c’est la pente de la sécante passant par les points (x1; f(x1)) et (x2; f(x2)) .

= f(x2) – f(x1)x2 – x1

∆f∆x [x1; x2]

x1

x2

∆x = x2 – x1

∆f =

f(x2 )

– (x1 )

f(x)

x(x1; f(x1))

(x2; f(x2))

Quelle est la vitesse réelle du corps en chute libre à 3 secondes?

Taux de variation instantané

On ne peut facilement répondre à cette question car, pour trouver la pente d’une droite, il faut connaître deux points de celle-ci.

t h(t)0,00,51,01,52,02,53,03,54,0

78,477,13573,567,37558,847,77534,318,375  0,0

Contournons la difficulté en calculant le taux de variation moyen dans deux petits intervalles, avant et après trois secondes, soit [2,5; 3] et [3; 3,5]. On trouve :

= (34,3 – 47,775) m(3 – 2,5) s

= –26,95 m/s

SS

∆h∆t [2,5; 3]

= (18,375 –34,3) m(3,5 – 3) s

= –31,85 m/s

∆h∆t [3; 3,5]

(3; 34,3)

(2,5; 47,775)

TVM[2,5; 3] = –26,95 m/s

TVM[3; 3,5] = –31,85 m/s (3,5; 18,375)

Le taux de variation instantané de la position par rapport au temps est compris entre –26,95 m/s et –31,85 m/s.

Taux de variation instantanéOn peut effectuer les mêmes calculs en considérant des intervalles de temps de plus en plus petits, avant et après trois secondes, pour avoir une meilleur estimation du taux de variation instantané de la position par rapport au temps. Cela donne :

t h(t)0,00,51,01,52,02,53,03,54,0

78,477,13573,567,37558,847,77534,318,375  0,0

SS

(3; 34,3)

Intervalle à gauche

TVMIntervalle

à droite

Taux de variation moyen sur de petits intervalles au voisinage de t = 3 s

TVM

[2,5; 3] –26,95 [3; 3,5] –31,85[2,9; 3] –28,91 [3; 3,1] –29,89[2,99; 3] –29,351 [3; 3,01] –29,449[2,999; 3] –29,3951 [3; 3,001] –29,4049[2,9999; 3] –29,3995 [3; 3,0001] –29,40049

On peut estimer que le taux de variation instantané de la position par rapport au temps à 3 secondes est d’environ –29,4 m/s.

Ce taux de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente à la courbe au point (3; 34,3).

S

Taux de variation ponctuelDÉFINITION

Taux de variation ponctuel

Soit f une fonction et (c; f(c)) un point du graphique de cette fonction. Le taux de variation ponctuel (TVP) de la fonction f au point d’abscisse a est la valeur limite des taux de variation moyens sur un intervalle [c; c+∆x] lorsque la largeur ∆x de l’intervalle s’approche de 0.

Le taux de variation moyen sur [c; c + ∆x] est :

Graphiquement, c’est la pente de la tangente au point (c; f(c)).

∆f∆x [c; c+∆x]

f(c + ∆x) – f(c)∆x

(c+∆x; f(c+∆x))

(c; f(c))

∆x

∆f

S

=

Lorsque le point Q s’approche du point P, la sécante pivote autour du point P et à la limite, lorsque ∆x devient nul, la sécante devient la tangente au point (c; f(c)).

S

Estimation graphiquedu taux de variation ponctuel

Pour évaluer le taux ponctuel à partir de la représentation graphique du lien entre les variables, la procédure est la suivante :

PROCÉDUREd’estimation graphique du taux de variation ponctuel

1. Tracer la tangente à la courbe au point indiqué.

2. Évaluer la variation de chacune des variables en tenant compte de la graduation et des unités de mesure.

3. Calculer le rapport des variations (taux de variation).

4. Interpréter le résultat dans le contexte en tenant compte des unités de mesure.

SSS

Exemple 3.1.1Le graphique ci-contre représente la vitesse de la roue d’inertie d’un appareil t secondes après la mise sous tension du moteur.

Évaluer graphiquement le taux de variation ponctuel de la vitesse angulaire par rapport au temps à 5 s.

Traçons approximativement la tangente à la courbe au point d’abscisse 5. En considérant deux points de cette tangente, le quadrillé permet alors d’évaluer la pente de la tangente, ce qui donne :

€

dω

dt 5=

300 – 100

20 – 5

rad s

s= 13,3 rad/s2

Ce taux de variation ponctuel est l’accélération de la roue d’inertie à 5 s, la vitesse, à cet instant, a tendance à augmenter de 13,3 rad/s à chaque seconde.

Estimation numérique du taux de variation ponctuel

On peut avoir à estimer un taux de variation ponctuel par une procédure numérique à partir de la règle de correspondance définissant la fonction comme nous l’avons fait dans les exemples qui précèdent ou à partir de la représentation graphique du lien entre les variables.

PROCÉDUREd’estimation numérique du taux de variation ponctuel

1. Calculer le taux de variation moyen sur une suite d’intervalles de largeur décroissante à gauche et à droite de la valeur considérée.

2. Estimer la valeur limite vers laquelle tendent les suites de nombres représentant les taux de variation moyens.

3. Interpréter le résultat dans le contexte en tenant compte des unités de mesure.

SSS

Exemple 3.1.2On lance une balle verticalement avec une vélocité de 49 m/s. La position de la balle mesurée à partir du sol est décrite par :

s(t) = 49t – 4,9t2 mEstimer le taux de variation ponctuel de la position à 2 s.

Pour ∆t = –0,5, on obtient :

€

Δv

Δt [1,5; 2]=

62,475 – 78,4

–0,5

m

s= 31,85 m/s

On peut estimer à 29,4 m/s le taux de variation ponctuel de la position par rapport au temps.

Pour ∆t = 0,5, on obtient :

€

Δv

Δt [2; 2,5]=

91,875 – 78,4

0,5

m

s= 26,95 m/s

∆t TVM ∆t TVM

–0,5

–0,1 29,89 0,1 28,91–0,01 29,449 0,01 29,351–0,001 29,4049 0,001 29,3551... ... ... ...

0,531,85 26,95

29,4

m/s

SSS

Comportement des images

La recherche d’un taux de variation ponctuel n’est pas le seul contexte dans lequel on peut avoir à effectuer des calculs successifs pour voir la tendance qui se dégage des valeurs obtenues.

On peut faire de tels calculs pour :

• analyser le comportement d’une fonction au voisinage d’une valeur particulière;

• analyser le comportement à l’infini d’une fonction.

SSS

Exemple 3.1.6Déterminer par des calculs successifs le comportement au voisinage de x = 0, de la fonction définie par :

f(x) = 4e1/x

Déterminer son comportement lorsque x devient très grand positivement.

∆x f(0+∆x) ∆x f(0+∆x)

–1,0

–0,5 0,541341 0,5 29,556224–0,1 0,000181 0,1 88105,863–0,01 1,–43 0,01 1,44

0– 0 0+ ∞

11,471517 10,873127

1 10,8731273110 4,420683672

100 4,0402006681000 4,004002001

∞ 4+

x f(x)

–1 1,471517765–10 3,619349672

–100 3,960199335–1000 3,996001999

–∞ 4–

x f(x)

Déterminer son comportement lorsque x devient très grand négativement.

SS

Description symboliquePour décrire le comportement d’une fonction, on utilise une notation symbolique adaptée à cette fin.

€

limx→c–

f (x) = L signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de c par la gauche, les images de x par la fonction s’approchent de plus en plus de L. On dit alors que L est la limite à gauche des images lorsque x s’approche de c par la gauche.

€

limx→c+

f (x) = L signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de c par la droite, les images de x par la fonction s’approchent de plus en plus de L. On dit alors que L est la limite à droite des images lorsque x s’approche de c par la droite.

€

limx→c

f (x) = L signifie que la limite à gauche est égale à la limite à droite et que celle-ci est L.

Description symbolique

€

limx→c+

f (x) = ∞ signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de c par la droite, les images croissent sans limite. On dit alors que la limite à droite de f lorsque x  c est l’infini. Cela revient à dire symboliquement qu’il n’y a pas de limite.

€

limx→∞

f (x) = L signifie que lorsque x prend des valeurs très grandes positivement, (x∞) les images obtenues s’approchent de plus en plus de L. On dit alors que la limite à plus l’infini est L.

€

limx→–∞

f (x) = L signifie que lorsque x prend des valeurs très grandes positivement, (x–∞) les images obtenues s’approchent de plus en plus de L. On dit alors que la limite à moins l’infini est L.

€

limx→±∞

f (x) = ±∞ signifie que la limite n’existe pas, tout en indiquant si les valeurs deviennent très grandes positivement ou négativement.

S

Exemple de description symboliqueConsidérons à nouveau la fonction définie par :

€

limx→0–

f (x) = 0

€

limx→∞

f (x) = 4+

€

limx→–∞

f (x) = 4–

€

limx→0+

f (x) = ∞

f(x) = 4e1/x

Asymptote horizontaley = 4

Existence de la limiteDÉFINITION

Existence de la limite

Soit f, une fonction. On dit que la limite de f lorsque x tend vers c existe si et seulement si :

1. la limite des images à gauche de c est égale à la limite des images à droite de c;

2. cette limite, L, est un nombre réel.

Dans un tel cas, on écrit simplement :

€

limx→c

f (x) = L

Dans le cas de la fonction définie par f(x) = 4e1/x, la limite lorsque x tend vers 0 n’existe pas.

Cependant, pour décrire le comportement local de la fonction, on écrit :

€

limx→0–

f (x) = 0

€

limx→0+

f (x) = ∞et

SS

Exemple 3.1.8Déterminer par des calculs successifs le comportement au voisinage de x = 0, de la fonction définie par :

f(x) =

x f(x) x f(x)–0,5 0,78693...

ex – 1 x

Dire si la limite existe lorsque x tend vers 0.

0,5 1,29744...

–0,1 0,95162... 0,1 1,05170...

–0,01 0,99501... 0,01 1,00501...

–0,001 0,99950... 0,001 1,00050...

€

limx→0–

f (x) = 1

€

limx→0+

f (x) = 1

La limite existe puisque la limite à gauche est égale à la limite à droite et que cette limite est un nombre réel. On peut donc écrire :

€

limx→0

f (x) = 1

Remarquons tout d’abord que f(0) n’existe pas, le domaine de la fonction est R\{0}.

Étudions le comportement de la fonction à gauche et à droite de 0.

Conclusion

Nous avons développé une approche numérique pour déterminer le taux de variation ponctuel d’une fonction en un point d’abscisse c.

Nous avons utilisé cette approche numérique pour étudier le comportement local d’une fonction au voisinage d’une valeur particulière et à plus ou moins l’infini.

Pour décrire le comportement des fonctions nous avons introduit l’écriture symbolique des limites.

Dans la prochaine présentation, nous utiliserons cette écriture symbolique pour définir le taux de variation ponctuel et nous tenterons de développer une procédure algébrique pour évaluer le taux de variation ponctuel.

LectureCalcul différentiel, applications en sciences de la nature,Section 3.1, p.77-86.

Exercices

Calcul différentiel, applications en sciences de la nature,Section 3.2, p. 87-89.