7/21/2019 Monte Carlo Option Price - Copie (4)

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Le modèle Black-Scholes suppose que les rendements des actifs sont répartis en fonction de laSDE. Dans l'hypothèse de risque neutre, ce doit tre l'équi!alent de l'option paiement moyen,réduit " la !aleur actuelle en utilisant le tau# d'intér t sans risque, r. Simulation de $onte %arloest le nom du processus &énéral par lequel un &rand nom re de chemins d'actifs sont &énérésqui é!oluent selon ()*. +ous calculons le &ain de l'option pour chaque chemin dans l'échantillonet prenons la moyenne arithmétique pour calculer une appro#imation de la !aleur équita lede l'option. ar les hypothèses du modèle Black-Scholes, toute simulation $onte-%arlo doitcon!er&er !ers la !aleur des options de Black-Scholes dans la limite quant au nom re dechemins dans l'échantillon $ / 0.

Les principau# a!anta&es " utiliser la simulation de $onte-%arlo est qu'il est &énéralement asse1facile " mettre en 2u!re et peut tre utilisé sans trop de di3cultés pour é!aluer une lar&e&amme d'espèces e#otiques de style européen. En outre, la simulation de $onte-%arlo est 4a le,et en fournissant des chemins de échantillon su3samment soient prises, nous pou!ons a!oireaucoup de (statistique* la con4ance que nos pri# sont e#acts. 5l est donc sou!ent utilisécomme technique d'é!aluation de référence pour de nom reuses espèces e#otiques, de styleseuropéens comple#es.

%ependant, cette précision peut sou!ent !enir " un &rand co6t de calcul. our &énérer des pri#su3samment précis, un &rand nom re de chemins doit tre &énéré (peut- tre dans la ré&ion de789*. Si nous arri!e d' tre une sorte de tari4cation dépendance au sentier e#otique, alors nousaurons esoin de conna:tre la !aleur de l'actif " chaque point sur le chemin (et nous pourrionspeut- tre &o6ter typiquement, 78; incréments dans le processus de <iener*. +ous pourrionsdonc potentiellement chercherons " stocker et d'é!aluer la !aleur des actifs de 78= pour uné!aluation des options. $ultiplie1 cela par les centaines d'é!aluations rapides un trader d'optionspeut a!oir esoin d'e>ectuer pendant une ?ournée et il est pas di3cile de !oir comment il peut ya!oir des pro lèmes.

En4n, l'un des principau# incon!énients " utiliser la simulation de $onte-%arlo est que, ien que

cela fonctionne très ien pour le pri# des options dépendant du chemin parcouru de styleeuropéen, il est di3cile " mettre en 2u!re pour l'e#ercice anticipé (style américain* options.Binomial ar res et des méthodes de di>érences 4nies sont, en &énéral, eaucoup mieu#adaptées " la !alorisation de ces types de contrat. $a mise en 2u!re de la simulation de $onte-%arlo pour le pri# d'un ut européenne est donnée en anne#e @.;. Le ta leau 7 montre lesperformances des trois techniques contre le !rai pri# Black-Scholes pour une option de !enteeuropéenne a!ec A C8, r 8,8C, 8,)C, et ;. Le ta leau montre la !ariation du pri# del'option a!ec le sous-?acent, S. Les résultats démontrent que les trois techniques fonctionnentien, sont cohérentes entre elles, et en accord a!ec la !aleur Black-Scholes.