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Publication de l APMEP (As~ociation des Professeurs de Matheacutematiques de lEnseignement Public)

MOTS Reacuteflexions sur quelques mots-cleacutes

agrave lusage des instituteurs et des professeurs

TOME IX

INVERSE REacuteCIPROQUE ROTATION SIMILITUDE

ISOMEacuteTRIE REacuteFLEXION REacuteFLEXIONmiddot GLISSEMENT VECTORIEL

Brochure APMEP no 82- 1991

Publication de lAPMEP (Association des Professeurs de Matheacutematiques

de 1 Enseignement Public)

MOTS

Reacuteflexions sur quelques mots-cleacutes agrave 1 usage des instituteurs

et des professeurs

TOME IX Brochure 1991

INVERSE ISOMEacuteTRIE REacuteCIPROQUE REacuteFLEXION ROTATION REacuteFLEXION- GLISSEMENT SIMILITUDE VECTORIEL

Pour tout renseignement concernant

lAPMEP (Association des Professeurs de Matheacutematiques

de lEnseignement Public)

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collections ELEM-MATH et MOTS) bull fonctionnement (Reacutegionales Commissions )

sadresser au

Secreacutetariat de lAPMEP 26 rue Dumeacuteril 75013 PARIS middot

Teacutel (1)43 31 34 05

Collection MOTS

LAPMEP a penseacute agrave aider les in~tituteurs et professeurs dans leur enseignement de la matheacutematique en reacutedigeant les brochures MOTS

Il nes agit pas agrave proprement parler dun lexique Cependant il sera loisible agrave chacun de ranger les rubriques par ordre alphabeacutetique Dautre part nous avons tenu compte des suggestions proposeacutees par la Commission du Dictionnaire de 1 APMEP dans son recueil de fiches La matheacutematique parleacutee par ceux qui lenseignent

Il ne sagit pas non plus dune codification autoritaire du vocabulaire lAPMEP ne peut pas et ne veut pas codifier Comme dans le Dictionnaire de lAPMEP nous nous sommes neacuteanmoins enhardis agrave suggeacuterer une certaine harmonisation agrave exprimer notre penchant ou notre aversion pour certains termes Nous souhaitons ouvrir ainsi le deacutebat avec nos lecteurs

Enfin il ne sagitpas dun ouvrage de formation theacuteorique ou peacutedagogique des maicirctres de 1eacutecole eacuteleacutementaire Nous pensons cependantqu une reacuteflexion sur le vocabulaire si on la megravene assez loin deacutebouche sur le fond mecircme des notions matheacutematiques eacutevoqueacutees et sur leur introduction peacutedagogique eacuteventuelle Les formateurs de toutes sortes trouveront peut-ecirctre dans quelques-unes de ces rubriques un outil pour un travail en commun avec les collegravegues en formation initiale ou continue Mais nous espeacuterons surtout quelles seront lisibles et utilisables par les enseignants isoleacutes

Toutes les remarques critiques suggestions seront accueillies avec reconnaissance

Ecrire agrave

Jacques LECOQ 16 rue du Plateau Fleuri 14000 CAEN

MOTS 1 contient EacuteGALITEacute EXEMPLEetCONTRE-EXEMPLE COUPLE RELATION BINAIRE NOMBRE NATUREL ENTIERS et RATIONNELS NOMBRE DEacuteCIMAL NOMBRE Agrave VIRGULE FRACTION ENSEMBLES DE NOMBRES

MOTS II contient REPREacuteSENTATIONS GRAPHIQUES APPLICATION FONCTION BUECTION PAR TITI ON EacuteQUIVALENCE PART AshyGES DIVISIBILITEacute DIVISION EUCLIDIENNE DIVISION

MOTS ill contient NUMEacuteRATION OPEacuteRATION LOIDECOMPOSffiON COMMUTATIVITEacute ASSOCIATIVITEacute DISTRIBUTIVITEacute EacuteLEacuteMENTS REMARQUABLES POUR UNE LOI DE COMPOshySffiON PROPRIEacuteTEacuteS DES OPEacuteRATIONS CONGRUENCES ORDRE PROPRIEacuteTEacuteS DES RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE PREacuteORDRE COMP ARAISONDESORDRES USUELS DANS LE DICTIONNAIRE DANSN DANS D+

MOTS IV contient APPLICATIONS LINEacuteAIRES PROPORTIONNALITEacute OPEacuteRATEURS MULTIPLICATIFS POURCENTAGES EacuteCHELLES EacuteQUATION INEacuteQUATION ENSEMBLE CARDINAL APPROXIMATION

MOTS V contient SEGMENT LONGUEUR SECTEUR ANGLE VOCABULAIRE DE LA GEacuteOMEacuteTRIE SOLIDES PARALLEgraveLE VERTICAL HORIZONTAL EXPOSANT PUISSANCE

MOTS VI contient une seule rubrique GRANDEUR- MESURE Et un index terminologique propre agrave cette rubrique

MOTS VII contient ANGLE SYMEacuteTRIE ORIENT A TION PHASE ANGLEshyDE-COUPLES REPEacuteRAGE

MOTS VIII contientINV ARIANTIMAGEANTEacuteCEacuteDENTTRANSLATION HOMOTHEacuteTIE LANGAGE VECTORIEL VECTEURS DE LA GEacuteOMEacuteTRIE DU PLAN Des mots flous middot

(introduction) calculer conserver correspondre correspondance deacutecomposer deacutemontrer prouver eacutetablir deux-agrave-deux trois agrave trois devenir eacutegal agrave distincts confondus ineacutegaux eacutegaux eacutequidistant graduation quelconque repreacutesenter repreacutesentant seacutecant concouran~ concourir simplifier reacuteduire transformeacute transformer transformation

Et un index terminologique des mots matheacutematiques figurant dans les brochures I II III IV V VII et VIII

Les brochures de 1APMEP

LAssociation des Professeurs de Matheacutematiques de 1 Enseignement Public veut ecirctre une grande eacutequipe middot

La vie dune eacutequipe cest la libre circulation de linformation entre ses membres le droit qui appartient agrave chacun le devoir qui incombe agrave tous de rechercher et de poser des questions de proposer des reacuteponses de remettre en cause

Il eacutetait ineacuteluctable que leacutequipe ressenucirct le besoin deacutediter des brochures et leur succegraves grandissant impose la neacutecessiteacute de poursuivre 1 œuvre entreprise en appelant constamment lattention des collegravegues sur la neacutecessiteacute dune collaboration permanente de tous

Nous avons besoin de redeacutefinir peacuteriodiquement nos orientations fondamentales et cest dans les chartes ou les textes dorientation que nous publions les mises agrave jour Ces sortes de brochures seraient des bibles sans le fait essentiel quelles nepreacutetendent pas deacutetenir la veacuteriteacute Elles nen doivent pas moins nourrir notre action

Il faut aussi assurer agrave nos collegravegues une information de base sur la matheacutematique elle-mecircme (vocabulaire theacuteories diverses )sur les reacutevolutions de notre eacutepoque (calculatrices microprocesseurs ) sur les sciences de leacuteducation (didactique des disciplines eacutevaluation ) sur les mateacuteriaux pour la classe (manuels scolaires ) et naturellement deacutevelopper les thegravemes qui sen deacutegagent en tenant compte de la demande soit pour la satisfaire soit pour la compleacuteter soit pour la contester arguments agrave lappui middot

Nos brochures peacutenegravetrent dans les classes (ainsi les Aides Peacutedagogiques) elle doivent y subir les feux de lexpeacuterimentation la plus large pour provoquer des deacutebats ou des recherches compleacutementaires

Leacutequipe doit aussi agrave ses membres la permanence de leacutechange culturel Nous avons beaucoup agrave travailler pour faciliter laccegraves de tous les enseignants de matheacutematiques agrave une culture approfondie de la science quils ont agrave faire aimer Nous lavons dit dans laCharte de Caen Le maitre doit acqueacuterir des connaissances qui deacutepassent largement celles du niveau de son enseignement

Nous devons trouver tous ensemble le langage et la preacutesentation qui susciterontde lapartde tous une curiositeacuteactivepour lHistoire des matheacutematiques pour la beauteacute dun tregraves grand nombre de reacutesultats ou de deacutemarches pour les jeux ou les paradoxes Le maicirctre doit avoir eu loccasion de poser et de reacutesoudre des problegravemes (Charte de Caen)

Quelques brochures ont qeacutejagrave partiellement reacutepondu agrave ces attentes Dautres doivent suivre puisque la demande en est parvenue et nous attendons des ideacutees et des collaborateurs

La brochure APMEP enfin nest pas louvrage quon se contente de lire chacun pour son propre compte Elle ne trouve sa raison decirctre que dans lexploitation commune Le lieu ideacuteal pour cette tacircche est le chantier reacuteunion de plusieurs enseignants en groupes heacuteteacuterogegravenes ougrave on cherche des problegravemes tireacutes soit de la pratique habituelle de la classe soit de situations pecirccheacutees dans les brochures ou ailleurs

De ces assembleacutees qui veulent surtout ne pas ecirctre doctes surgissent les ideacutees pour les brochures nouvelles

Maurice CARMAGNOLE

MOTS- 9

PREFACE

Vu les programmes actuels nous nous sommes inteacuteresseacutes aux transformations geacuteomeacutetriques degraves MOTS VII avec SYMETRIE Dans MOTS VIII figurent TRANshy

SLATION et HOMOTHETIE On trouvera dans la preacuteshysente brochure ROTATION SIMILITUDE ISOMETRIE

REFLEXION REFLEXION-GLISSEMENT

Dans la preacuteface de MOTS VIII nous avons deacutejagrave signaleacute laspect un peu technique de ces rubriques quil eacutetait difficile deacuteviter les preacutesentes rubriques de geacuteomeacuteshytrie gardent le mecircme aspect Certains lecteurs nous ont reprocheacute de nous ecirctre contenteacutes dun reacutesumeacute de cours rappelons encore une fois que nous nous adressons aux enseignants et non pas aux eacutelegraveves Nous pensons avoir rassembleacute en quelques pages une documentation utile agrave nos collegravegues documentation qui agrave notre connaissance ne figure pas dans la litteacuterature scolaire actuelle

Soucieux de laisser agrave chaque enseignant la libershyteacute de concevoir des preacutesentations adapteacutees agrave ses goucircts et agrave ses eacutelegraveves nous navons queffleureacute quelques conshysideacuterations peacutedagogiques

Par ailleurs les rubriques LANGAGE VECTORIEL

et VECTEURS DE LA GEOMETRIE DU PLAN de MOTSshyVlll trouvent ici leur aboutissement dans la rubrique VECTORIEL Lagrave encore nous avons voulu souligner quil ny a pas rupture entre les programmes du Collegravege du Lyceacutee et de lEnseignement Supeacuterieur

Enfin cette brochure contient les rubriques iNVERSE et RECIPROQUE

- 1 shy

MOTS- 9

Nous aimerions rappeler que si la collection sapshypelle MOTS ce nest pas pour le plaisir danalyser les habitudes langagiegraveres mais cest que de notre point de vue leacutetude critique du langage conduit ineacutevitablement agrave une reacuteflexion sur les concepts leur genegravese leur eacutevolution leur fonctionnement leurs interactions reacuteflexion beacuteneacutefique pour les collegravegues et pour les eacutelegraveves

Nous ne preacutetendons pas imposer quoi que ce soit agrave quiconque mais nous avons le souci de fournir un outil de travail utilisable par tous

- 2 shy

MOTS 9 - INVERSE shy

INVERSE I Introduction

II Inverse dun nombre III Inverse dune fonction agrave valeurs reacuteelles IV Inverse dune grandeur V Suites inversement proportionnelles

VI Grandeurs inversement proportionnelles VII Inverse dun eacuteleacutement pour une opeacuteration

VIII Autres emplois du mot inverse

1 bull INTRODUCTION

La locution courante dans 1ordre inverse se passe dexplications Mais lordre en question peut aussi bien ecirctre une disposition dans 1espace une succession dans le temps un enchaicircnement logique une eacutechelle de valeurs etc Cest dire que le mot inverse sapplique avec plus ou moins de rigueur agrave des situations tregraves diverses dont certaines sont susceptibles decirctre modeacuteshyliseacutees en matheacutematiques en physique en logique

De plus dans beaucoup de cas ougrave un pheacutenomegravene A peut ecirctre dit inverse dun pheacutenomegravene B on constate que B peut aussi ecirctre tenu pour inverse de A il y a donc reacutecishyprociteacute entre A et B et reacuteciproque a souvent eacuteteacute pris pour synonyme dinverse (noter que linverse dun nombre se dit en anglais reciprocal) On ne seacutetonnera donc pas quen deacutepit dune eacutevolution vers une plus grande rigueur il subshysiste des zones floues dans lemploi de ces deux mots

IImiddot INVERSE DUN NOMBRE

Dans cet ordre dideacutee si ~ est le rapport dune lonshygueur a agrave une longueur b alors ~ est le rapport deacute la longueur b agrave la longueur a et il est assez naturel de dire que ces deux rapports sont inverses lun de lautre

- 1 shy


Comme le produit des rationnels ~ et g est 1 ce qualificatif sest eacutetendu aux nombres reacuteels (et mecircme complexes) ainsi par deacutefinition

Le nombre u et le nombre v sont inverses Clun de lautre) signifie uv= 1

Dans IR tout nombre sauf 0 a un inverse Il en est de mecircme dans Q mais non dans IN ni dans Z

Exemple 2 - 1s et -2 - 1s sont inverses Linverse du reacuteel u non nul se note ~ ou u-1 bull

III INVERSE DUNE FONCTION A VALEURS REELLES

Soit f une fonction agrave valeurs reacuteelles cest-agrave-dire une fonction dun ensemble quelconque E vers IR soit F son existentiel

A tout eacuteleacutement x de F tel que f (x) soit diffeacuterent de 0 on associe le reacuteel - 1 inverse de fC x) On deacuteshy

1 ( x) 1finit ainsi une fonction de E vers IR x 1--7 -

1 (x) On peut lappeler fonction inverse de f (mais lusage utilise aussi cette expression dans un tout autre sens voir RECIPROQUE Il- 5) On peut la noter ]

Voici des exemples (ou E = IR)

Fonction Existentiel Fonction inverse

Existentiel

x 1--7 x 2 - 1 IR X--7 _1_

x 2 - 1 IR 1 -1

x l--7tx IR+ x 1--7 _j__

IX IR+

IV INVERSE DUNE GRANDEUR

Comme on passe aiseacutement des nombres aux granshydeurs mesurables on est ameneacute agrave la notion de grandeurs inverses Clune de lautre) voir MOTS VI page 68

Ainsi la masse volumique et le volume massique dune substance donneacutee sont deux grandeurs inverses

- 2 shy


V SUITES INVERSEMENT PROPORTIONNELLES (voir MOTS IV PROPORTIONNALITE VI)

Deux suites inversement proportionnelles sont deux suites dont chacune est proportionnelle agrave la suite des inverses des termes de lautre ou si lon preacutefegravere telles que le produit des termes correspondants des deux suites est constant (non forceacutement eacutegal agrave 1)

Exemple 075 -8 44 fi

8 3 -025

5 11 fi

VI GRANDEURS INVERSEMENT PROPORTIONNELLES

VI -1 On appelle ainsi deux grandeurs variables dont le produit est constant Ce produit peut ecirctre un nomshybre Csi ce nombre est 1 on retrouve deux grandeurs invershyses voir IV) Ce peut ecirctre une grandeur par exemple la loi de Mariotte affirme que la pression et le volume dune masse donneacutee dun gaz parfait agrave une tempeacuterature donneacutee sont des grandeurs inversement proportionnelles leur proshyduit est constant ce produit est une eacutenergie

VI- 2 Bien entendu les grandeurs geacuteomeacutetriques entrent dans le cadre preacuteceacutedent par exemple la lonshygueur et la largeur des rectangles daire donneacutee sont des grandeurs inversement proportionnelles

Un autre exemple est fourni par linversion eacutetant donneacute un point 0 et une grandeur P qui a la dishymension dune aire linversion de pocircle 0 et puissance P associe agrave tout point M autre que 0 le point M de la droite COM) tel que le produit des longueurs orienteacutees

Cette transformation jadis appeleacutee transformation par rayons vecteurs reacuteciproques est en cartographie agrave la base de la projection steacutereacuteographique elle permet une repreacutesenshytation plane de la sphegravere avec cette proprieacuteteacute importante deux courbes seacutecantes de la sphegravere se coupent sous le mecircshyme angle que leurs images sur la carte de pl us limaampe dun cercle est soit un cercle soit une droite

- l shy


(voir ORIENTATION Il-4) OMet OM soit eacutegal agrave P Le point Mest 1inverse du point M et M est celui

de M Met Msont des points inverses (lun de lautre)

Exemple (voir figure) e Par 1invershy 1

dsion de pocircle 0 et de puissance 6cm2

A et B B sont inverses lun de lautre le cercle Cet la droite e aussi

Par l invershy Esion de pocircle 0 et de puissance - - - -- - - - ~ - middot - - -x- shy-6 cm~ A et E 3 cm Z cm 1 cm sont inverses lun de lautre le cercle Cet la droite daussi Voir MOTS VI page 129 Xl- 4 7

VII INVERSE DUN ELEMENT POUR UNE OPERATION (voir MOTS III)

VII -1 Soit un ensemble ougrave est deacutefinie une opeacuteshyration associative noteacutee par exemple middot pour laquelle il existe un eacuteleacutement neutre e

A chaque eacuteleacutement x de cet ensemble correspond au plus un eacuteleacutement y tel que x y = e et y x = e Cet eacuteleacutement y sil existe qui est dit symeacutetrique de x dans le cas geacuteneacuteral et opposeacute de x dans le cas dopeacuterations noteacutees additivement est plutocirct dit inverse de x quand lopeacuteration est noteacutee multiplicativement comme on le fait pour les nombres En conseacutequence cet eacuteleacutement y est alors souvent deacutesigneacute par x-l naturellement x = y -l

Dans le cas ougrave lopeacuteration nest noteacutee ni additishyvement ni multiplicativement le mot symeacutetrique est tout indiqueacute mais la tendance est plutocirct dutiliser le mot inverse (et la notation x -i) on en voit un exemshyple dans RECIPROQUE Il- 5

- 4 shy


VII- 2 Les eacuteleacutements qui possegravedent un inverse peuvent ecirctre dits inversibles Cau lieu de symeacutetrisables dans le cas geacuteneacuteral) Exemples

leacuteleacutement neutre dune opeacuteration est toujours inversible et il est son propre inverse

pour la multiplication dans Q ou dans IR (eacuteleacutement neutre 1 ) tous les eacuteleacutements sont inversibles sauf 0

pour la multiplication dans l (eacuteleacutement neutre 1) les seuls eacuteleacutements inversibles sont 1 et -1 chacun deux est son propre inverse

VIII AUTRES EMPLOIS DU MOT INVERSE

A part les emplois preacuteceacutedemment recenseacutes le mot inverse appartient plus agrave la langue courante quagrave la langue technique Moins rigoureux que reacuteciproque il peut permettre une certaine souplesse dans le langage

VIII -1 Supposons quon sinteacuteresse au theacuteoregraveme suivant si a est multiple de 2 et si b est multiple de 5 alors ab est multiple de 10 Il nest pas question dannoncer que reacuteciproquement toute factorisation de tel multiple de 10 comporte un multiple de 2 et un multiple de 5 Mais rien nempecircche de dire Inverseshyment cherchons quelles factorisations du multiple de 10 sont de la forme espeacutereacutee

VIII- 2 De mecircme on entend dire parfois que la soustraction est lopeacuteration inverse de laddition ou la division lopeacuteration inverse de la multiplication Cette faccedilon de parler ne reacutesiste pas agrave une anlyse serreacutee mais elle fait image dajlleurs il ne serait pas difficile de la rattacher agrave lideacutee de relations reacuteciproques (voir RECIPROQUE II) On ne saurait ni la recommander ni la condamner

VIII- 3 A premiegravere vue il ny a pas de raison de se montrer plus seacutevegravere pour ladjectif inverse quand on lapplique

- 5 shy


soit agrave lorientation autre que celle qui a eacuteteacute choisie pour lespace orienteacute (ou pour le plan orienteacute ou pour la droite orienteacutee) lagrave Olt nous avons preacutefeacutereacute ladjectif opposeacute

soit agrave des transformations qui altegraverent lorienshytation lagrave Olt nous avons preacutefeacutereacute 1adjectif neacutegaUve

Mais en fait ici le laxisme preacutesente un risque plus grave dambiguiumlteacute agrave la limite eacutetudiant linversion dans le plan on pourrait deacuteboucher sur le galimatias suivant

Deux figures inverses se correspondent par une transformation inverse qui estmiddot sa propre inverse

ougrave le premier inverse est celui de VI- 2 le deuxiegraveme signifie neacutegative et le troisiegraveme signifie reacuteciproque

Cest pourquoi des expressions telles que isoshymeacutetrie inverse ou similitude inverse bien quassez courantes et malheureusement tenaces nous paraissent indeacutefendables quand on leur donne le sens disomeacutetrie ou de similitude neacutegatives (voir ISOMETRIE VII- 1 et VIII- 2 et SIMILITUDE II-5-3)

- 6 shy

MOTS 9 - RECIPROQUE shy

RECIPROQUE

I Introduction II Reacuteciproque dune relation binaire

III Image reacuteciproque par une relation binaire IV Enonceacutes reacuteciproques V Equations reacuteciproques

I INTRODUCTION

Sur les chevauchements de sens entre reacuteciproque et inverse voir le paragraphe 1 de INVERSE

II RECIPROQUE DUNE RELATION BINAIRE

II -1 Soit H lensemble (William Xavier Yves Zacharie de quatre hommes et G 1ensemble (Andreacute Bernard Charles Daniel Ernest Franccedilois de leurs fils Le tableau ci-dessous preacutecise les filiations et peut sinshyterpreacuteter de deux faccedilons

scheacutema carteacutesien de la relation binaire Yt de H vers G est le pegravere de

scheacutema carteacutesien de la relation binaire fP de G vers H est fils de

middot-1 ~~~ A B c D E F

w x x x x y xx x z

- 1 shy


Chacune des deux relations 5t et fPest dite reacuteshyciproque de lautre

De faccedilon geacuteneacuterale une relation binaire si1 dun ensemble U vers en ensemble V eacutetant donneacutee on conshysidegravere la relation 31 de V vers U telle que pour tout couple Cuv) de UxV les eacutenonceacutes uSifvet v$u soient simultaneacutement vrais ou simultaneacutement faux 31 est la relation reacuteciproque de Sif et naturellement si1 est la relation reacuteciproque de Siuml1

Les exemples matheacutematiques de relations reacutecishyproques sont nombreux ainsi

U et V eacutetant des ensembles de naturels non nuls les relations est multiple de

et est diviseur de U et V eacutetant des parties de IR les relations

dordre symboliseacutees par s et lt bull

Dans ces deux exemples le plus souvent U = V

II- 2 Un cas particulier important est celui des relations symeacutetriques dun ensemble vers lui-mecircme une telle relation est sa propre reacuteciproque Supposons par exemple que les quatre hommes de II -1 soient fregraveres alors la relation de G vers G est cousin de a pour scheacutema

~G GshyA

B

c

A

x x

B

x

x

c

x x

D

x x

E

x

x

F

x

x D x x x x E x x x F x x x

Elle est symeacutetrique

- z shy


II- 3 Revenant aux relations de II - 1 on peut observer que Pest une application de G vers H chacun des garccedilons ayant eacutevidemment un pegravere unique Mais William a deux fils Yves en a trois Zacharie nenmiddot a pas chacune de ces trois informations suffit pour affirmer que la reacuteciproque 5t de lapplication P nest pas une application

Par contre lapplication p est le pegravere de de lensemble W X Y vers lensemble A B C des fils aicircneacutes (si on suppose les garccedilons rangeacutes par acircge deacutecroissant dans le tableau de Il- 2) et lapplication f est fils de de lensemble des fils aicircneacutes vers lensemble de leurs pegraveres sont des bijections (reacuteciproques lune de lautre)

II- 4 bull Dans le cas particulier des bijections dun ensemble vers lui-mecircme lensemble de ces bijections est un groupe pour la composition des applications avec lapplication identiteacute pour eacuteleacutement neutre Dans ce groupe le symeacutetrique Cau sens du VII-1 de INVERSE)

dune bijection nest autre que lapplication reacuteciproque (au sens du II- 3 de la preacutesente rubrique)

Plus particuliegraverement encore si une bijection est une relation symeacutetrique elle est sa propre reacuteciproque Tel est le cas de toutes les symeacutetriesmiddot (orthogonales ou non) en geacuteomeacutetrie (voir SYMETRIE Ill)

II- 5 Nous nous sommes abstenus dindiquer ici une notation speacutecifique pour la relation reacuteciproque dune relation binaire donneacutee Dans lenseignement eacuteleacutementaire Lyceacutee compris linteacuterecirct dune telle notation nous paraicirct douteux assureacutement bien moindre que le risque des confusions quelle pourrait creacuteer dans lesprit demiddot deacutebutants

Cependant dans le cas particulier des bijections on peut si on le juge utile noter f-t la bijection reacutecishyproque dune bijection f conformeacutement agrave la tendance signaleacutee agrave la fin du VII- 1 de INVERSE par exemple

- 3 shy


dans II- 3 ci-dessus on aurait pu noter f- 1 la bijection p il est alors eacutequivalent deacutecrire A = f( W) ou W = f - 1(A)

Cette notation preacutesente un inconveacutenient majeur pour des fonctions agrave valeurs numeacuteriques donc posseacutedant chacushyne une fonction inverse Cau sens du III de INVERSE) Par exemple soit g la bijection de IR vers IR x H- x + 2 elle a une bijection reacuteciproque x H- x - 2 quon note g-1 mais cette notation au moins dans lesprit du deacutebutant eacutevoque fortement la fonction inverse

X H- - 1- (noteacutee g1 voir INVERSE lll) 1

x+ 2 Les calculatrices renforcent encore la confusion

III IMAGE RECIPROQUE PAR UNE RELATION BINAIRE Voir IMAGE-ANTECEDENT dans MOTS VIII

III -1 Soit s une relation dun ensemble U vers un ensemble V U une partie de U V une partie de V

Image directe de U par JI sigJJifiemiddot middot middotmiddot

ensemble des eacuteleacutements de V qui ont au moins un anteacuteceacutedent dans U par s

COn dit aussi au lieu de image directe ensemshyble-image ou mecircme image)

Il sagit donc dune application de 3gt CU) ensemshyble des parties de U vers 3gt CV) ensemble des parties de V

Par exemple en I-1 limage directe par 5t de la partie wx de H est lensemble ACD constitueacute par les fils de William et de Xavier

1 De mecircme f o fest souvent eacutecrit f 2 mais ~i f a pour

but IR f 2 peut aussi deacutesigner la fonction produit f x f 2Par exemple cos x deacutesigne Ccos x)2

carreacute de cqs x et non pas cos(cos(x)) image de x par la composeacutee cos o cos

- 4 shy


Image reacuteciproque de V par stl signifie

ensemble des anteacuteceacutedents par si1 des eacuteleacutements de V

Cest limage directe de V par la relation Ccedil$J reacuteshyciproque de la relation st

(On dit aussi ensemble-anteacuteceacutedent au lieu de image-reacuteciproque)

Il sagit donc dune application de Jocirc(V) vers Jocirc(U) Par exemple en Il -1 limage reacuteciproque par 5t

de A C D est W X Mais attention W X est aussi limage reacuteciproque par 5t de A C et celle de C D Et il ne faudrait pas conclure du fait que limage directe par 5t de Y Z est B E F que limage reacuteciproque par 5t de B E F est Y Z cette derniegravere est en fait Y

En dautres termes les deux applications image directe par sil de _9)(U) vers Jecirc(V)

et image reacuteciproque pars de _9)( V) vers _9)( U) ne sont pas en geacuteneacuteral reacuteciproques lune de lautre

III- 2 Pour les mecircmes raisons quen II- 5 nous nous abstiendrons de donner des notations pour les notions ci-dessus Mal codifieacutees et souvent abusives elles sadressent agrave des utilisateurs deacutejagrave avertis

IV ENONCES RECIPROQUES 2

Nous utilisons ici le mot eacutenonceacute de preacutefeacuterence au mot proposition qui est employeacute en grammaire dans un sens diffeacuterent Mais la terminologie reste indeacutecise sur ce sujet

IV -1 Voici un eacutenonceacute matheacutematique E Chaque fois que le naturel x est multiple de 6

alors le naturel x est multiple de 3

Nous naborderons pas limplication reacuteciproque dune implication parce que la notion dImplication est trop deacutelicate agrave manier dans lenseignement eacuteleacutementaire

- 5 shy

2

Lhypothegravese est Le naturel x est multiple de 6 La conclusion est le naturel x est multiple de 3 Quand un eacutenonceacute comporte comme ci-dessus une

hypothegravese et une conclusion on appelle eacutenonceacute reacuteciproque de cet eacutenonceacute leacutenonceacute quon obtient en eacutechangeant 1hypothegravese et la conclusion

Par exemple pour leacutenonceacute E preacuteceacutedent leacutenonceacute reacuteciproque E est

Chaque fois que le naturel x est multiple de 3 alors le naturel x est multiple de 6

On dit aussi que E et E sont des eacutenonceacutes reacutecishyproques Clun de lautre)

IV - 2 Parmi les eacutenonceacutes les uns sont vrais les autres sont faux

Les eacutenonceacutes vrais du type envisageacute dans IV- 1 sont des theacuteoregravemes Cest le cas de E

Par contre E est un eacutenonceacute faux donc nest pas un theacuteoregraveme

On entend dire parfois que tel theacuteoregraveme na pas de reacuteciproque cest une faccedilon de parler dont il vaut mieux sabstenir nimporte quel theacuteoregraveme a un eacutenonceacute reacuteciproque mais ce dernier nest pas neacutecessairement vrai (nest pas neacutecessairement un theacuteoregraveme)

Deux eacutenonceacutes reacuteciproques lun de lautre peuvent ecirctre tous deux vrais ou tous deux faux ou 1 un vrai et lautre faux

Remarque On dit souvent la reacuteciproque au lieu de leacutenonceacute reacuteciproque

IV- 3 On parle parfois de reacuteciproque partielle lorsquune partie de lancienne hypothegravese continue agrave fishygurer dans la nouvelle

Exemple Soit leacutenonceacute F dans IN Chaque fois que a est multiple de 10 et que b est

pair alors a + b est pair F est vrai Sa reacuteciproque est

- 6 shy

Chaque fois que a + b est pair alors a est mulshytiple de 10 et b est pair

Elle est fau se Voici une reacuteciproque partielle Chaque fois que a est multiple de 10 et que a + b

est pair alors b est pair Elle est vraie Voici lautre reacuteciproque partielle Chaque fois que b est pair et que a + b est pair

alors a est multiple de 10 Elle est fausse

V EQUATION RECIPROQUE

V -1 Soit E une eacutequation polynomiale dans IR cest-agrave-dire une eacutequation du type PC x) = 0 ougrave PC x) est un polynome de variable reacuteelle x Supposons de plus que 0 nest pas solution de E

On appelait jadis eacutequation aux inverses de E leacutequation polynomiale E obtenue en remplaccedilant dans E x par__ puis en multipliant les deux membres par xn x n eacutetant le degreacute de PC x)

Par exemple leacutequation aux inverses de

2x 3 + 3x 2 - Sx - 6 = 0 est -6x3 -Sx 2 + 3x + 2 = 0

Les solutions de la premiegravere eacutequation sont -1 -2 et

celles de la seconde sont leurs inverses -1 -~ et ~ De faccedilon geacuteneacuterale les solutions de E sont les

reacuteels inverses des solutions de E Cavec le mecircme ordre de multipliciteacute)

V-2

Equation rec1proque signifie

eacutequation polynomiale qui est sa propre eacutequation aux inverses

- 7 shy

Les eacutequations reciproques PC x) = 0 se reconnaisshysent agrave la proprieacuteteacute suivante

PCx) eacutetant un polynome reacuteduit de degreacute n deux monomes de PC x) de degreacute( s) p et n - p (quel que soit le naturel p infeacuterieur ou eacutegal agrave n) ont

soit le mecircme coefficient Cpremier type) soit des coefficients opposeacutes Csecond type)

Mises agrave part les eacuteventuelles solutions 1 et -1 dune eacutequation reacuteciproque les solutions sont deux agrave deux inverses (avec le mecircme ordre de multipliciteacute)

Exemple 1eacutequation x 3 - Sx 2 + Sx - 1 = 0

est une eacutequation reacuteciproque du second type

ses solutions sont 2 + -3 son inverse 2 - (3 et 1

V- 3 Cette deacutenomination traditionnelle deacutequashytion reacuteciproque nest pas tregraves heureuse leacutequation neacutetant reacuteciproque de rien Elle vise agrave rappeler lexistence de solutions inverses Cet non pas reacuteciproshyques nouvel exemple de linterfeacuterence entre les deux adjectifs voir INVERSE VIII) Mais e_le ne comporte pas dinconveacutenient grave

- 8 shy

MOTS 9 - ROTATION shy

ROTATIO I Mouvement de rotation dans un plan autour dun point

(en meacutecanique) II Rotation en geacuteomeacutetrie du plan

III Proprieacuteteacutes des rotations en geacuteomeacutetrie du plan IV Deacutecomposition dune rotation en reacuteflexions (en

geacuteomeacutetrie du plan) V Composition de rotations en geacuteomeacutetrie du plan

VI Rotation en geacuteomeacutetrie de lespace VII Retour agrave la meacutecanique

Dans son acception matheacutematique le mot rotation preacutesente la mecircme ambiguiumlteacute que le mot translation

En meacutecanique leacutetude des mouvements de rotation rend compte de lapproche expeacuterimentale dun certain type de deacuteplacements physiques

Par contre en geacuteomeacutetrie toute ideacutee de mouvement est eacutecarteacutee le mot rotation y deacutesigne un certain type dapplications du plan ou de lespace vers lui-mecircmemiddot

Par ailleurs nous utiliserons dans ce qui suit des angles-de- couples le lecteur pourra se reporter agrave la rubrishyque ANGLE-DE-COUPLES (MOTS VIl)

1 MOUVEMENT DE ROTATION DANS UN PLAN AUTOUR DUN POINT CEN MECANIQUE)

Conformeacutement agrave 1 eacutetymologie le mot rotation eacutevoshyque le mouvement dune roue autour de son axe

I -1 Consideacuterons un bouton dun appareil meacutenager par exemple que nous allons faire tourner autour de son axe (figure 1)

- 1 shy


Inteacuteressons-nous agrave sa face anteacuterieure assimileacutee agrave un disque situeacute dans un plan P perpendiculaire agrave laxe du boushyton Le point Cl ougrave laxe du bouton perce ce plan reste fixe pendant le mouvement

Toute figure dessineacutee sur cette face le chiffre 4 par exemple se deacuteplace dans le plan P Etant donneacutes deux points A et B du chiffre 4 on constate quau cours du mouvement les longueurs ClA et ClB restent constantes ainsi que langle-de-couples ~

COA OB) du fait que le boushyton est un solide et que le centre de la face reste en Cl au cours du mouvement ( cet-

figure 1 te deuxiegraveme contrainte nest pas satisfaite dans le cas de la face anteacuterieure dun eacutecrou quon visse sur un boulon fixe) Il en est de mecircme pour toute autre paire de points de la face anteacuterieure du bouton

Cette proprieacuteteacute est caracteacuteristique des mouveshy A ments de rotation dans le plan fixe P dune figure inshydeacuteformable autour du point fixe n de ce plan

1

1 - 2 Sur la figure 2 1 1 A et B deacutesignent les posishy 1 1 tions de deux points du

Cf------~Dchiffre 4 agrave un certain ins- ___

tant A 2 et B

2 deacutesignent les

positions respectives des mecircshy figure 2 mes points agrave un autre instant

Dapregraves ce qui preacutecegravede ClA = OA2 = 1 OB1 ~~

et COA OB ) = COA OB )1 1 2 2

- z shy

-- --

--


En additionnant (0B--0A ) agrave chaque membre de leacutegaliteacute preacuteceacutedente on obtient

1 2-- - shy(0AOA2) = COBOB2)

Plus geacuteneacuteralement si M1 et M

2 deacutesignent les positions dun

point M du chiffre 4 aux deux instants consideacutereacutes

OM1 = OM et COMOM2) = (0A 0A ) 2 1 2

cet angle-de-couples ne deacutepend donc que des instants consideacutereacutes et non du point M choisi

I- 3 Supposons que le point M soit en M agrave minsshy0

tant t et en M agrave linstant t Lune quelconque des phashy--igt ---oo - shy

ses1 de langle-de-couples (OM0

OM) varie continucircment en fonction de t au cours du mouvement Ainsi la donneacutee de cette fonction achegraveve de deacuteterminer le mouvement

II ROTATION EN GEOMETRIE DU PLAN

II - 1 Deacutefinition

Etant donneacutes un point 0 du plan et un angle-de-couples amp rotation de centre 0 et dangle amp

signifie application du plan vers lui-mecircme

qui agrave 0 associe 0 et qui agrave chaque point M autre que 0 associe le point M

tel que OM = OM et COM OM) = amp

0 est le centre de cette rotation amp est son angle Deacutesignons cette rotation par Jt On peut utiliser

les notations et le langage des applications p ~ p

JtC M) = M5t M ~M Mest limage de M par lt

1 Bien quapparenteacutees les notions de phase et danshygle-de-couples sont diffeacuterentes comme nous lavons si shygnaleacute dans MOTS VII

- 3 shy

MOTS 9 - ROTATION -

Etant donneacutee une figure F lensemble des images par Il des points de F est une figure F appeleacutee image de F par Il

II- 2 Rotations particuliegraveres Lorsque amp = o tout point du plan est sa propre

image par Il Toute rotation dangle nul est donc lidentiteacute du plan

Lorsque amp est langle plat la rotation Il est la symeacutetrie de centre n

~ II- 3 Des eacutegaliteacutes OM = OM et COM OM ) = amp

~ il reacutesulte que ClM = OM et ( OMOM) = - amp De sorte quon peut consideacuterer indiffeacuteremment

M comme image de M par Il ou M comme image de M par la rbtation de centre

n et dangle - amp Chaque point a donc un anteacuteceacutedent unique par Il

autrement dit les rotations sont des bijections de P vers P De plus la bijection reacuteciproque de la rotation de centre

Cl et dangle amp est la rotation de mecircme centre et dangle - amp

III PROPRIETES DES ROTATIONS EN GEOMETRIE DU PLAN

III -1 Dapregraves la deacutefinition de II-1 Cl est invariant par Il Y a-t-il dautres points invariants par 5t

Supposons quil existe un point A distinct de Cl et invariant par lt Conformeacutement agrave la deacutefinition lanshy

~ ~ gle de la rotation est COA OA ) cest-agrave-dire 0 La rotation 5t est donc lidentiteacute du plan Autrement dit pour toute rotation dangle non nul le seul point invashyriant est le centre de cette rotation

Tout cercle de centre Cl est invariant par toute rotation de centre n

Les reacuteunions de tels cercles le sont eacutegalement par exemple (voir figure 3) le disque de frontiegravere ci la couronne de frontiegravere ci u c3 etc

- j shy


A

figure 3 figure 4

Dautres parties du plan sont invariantes par certai shynes rotations les polygones reacuteguliers convexes ou non en sont les exemples les plus connus

Le pentagone reacutegulier convexe ABCDE de centre 0 (voir figure 4) est invariant par 5 rotations de centre 0 dont lidentiteacute du plan Il en est de mecircme du penshytagone eacutetoileacute ACEBD

Chacune de ces rotations est deacutetermineacutee par un sommet et son image

III - 2middot Une proprieacuteteacute des rotations B

Consideacuterons deux points A et B et leurs images respectives A et B par la rotation de centre 0 et dangle 3

On deacutemontre que AB = AB ~ n Aet que CAB AB) = 3

figure 5

III - 3 Cette proprieacuteteacute caracteacuterise-t-elle les roshytations parmi les applications du plan vers lui-mecircme

Consideacuterons une application f du plan P vers lui-mecircme qui possegravede la proprieacuteteacute suivante quelle que soit la paire (XY de points leurs images ~ives X et Y

par f sont telles que XY = XY et ( XY XY1 = 3 ouuml 3 est un angle-de-couples fixeacute

- 5 shy

--MOTS 9 - ROTA TION shy

On deacutemontre que siamp 0 fest une rotation dangle amp

Mais si amp = 0 les deux eacutegaliteacutes preacuteceacutedentes enshytraicircnent que XY = XY donc f est une translation (voir TRANSLATION III - 3)

La reacuteponse agrave la question preacuteceacutedente est donc neacutegative

III - 4 De la proprieacuteteacute eacutenonceacutee en III- 2 il reacuteshysulte que par toute rotation dangle amp

tout segment de longueur L a pour image un segshyment de longueur L

toute surface daire s11 a pour image une surface daire sll

toute demi-droite amp a pour image une demi-droite amp telle que C-ampS) = amp

toute droite a pour image une droite

Entre autres conseacutequences de ces proprieacuteteacutes on trouve que par toute rotation le milieu de deux points a pour image le milieu de leurs images Plus geacuteneacuteraleshyment le barycentre de n points affecteacutes de coefficients a pour image le barycentre de leurs images respectiveshyment affecteacutees des mecircmes coefficients

Enfin toute rotation conserve chaque angle-deshysecteurs et chaque angle-de-couples donc aussi lorientation des parties non rectilignes du plan

En reacutesumeacute les rotations sont des isomeacutetries poshysitives (voir ISOMETRIE)

IV DECOMPOSITION DUNE ROTATION EN REshyFLEXIONS CEN GEOMETRIE DU PLAN)

Puisque toute rotation est une isomeacutetrie positive du plan on peut la deacutecomposer en un couple de reacuteshyflexions (voir ISOMETRIE note de V- 1)

La rotation de centre 0 et dangle amp est la comshyposeacutee s 0 bull o (reacuteflexion de miroir (droite) D suivie de s 0

- 6 shy


reacuteflexion de miroir Cdroite) D) les droishytes D et D eacutetant seacuteshycantes en Cl

Lune des deux droites peut ecirctre choishysie arbitrairement (passhysant par Cl) par exemshyple D eacutetant choisie Dest alors limage de D par lune ou lautre des deux rotations de centre Cl dont les an- figure 6

gles cp1 et cp 2 sont solutions de leacutequation dinconnue cp 2cp = 3 (voir ANGLE-DE-COUPLES III- 2)

En effet consideacuterons un point M son image M par H le point ougrave D coupe CMM) M limage des 0 M par s0 bull et H le point ougrave D coupe C MM)

Dune part OM =OM et OM =OM donc OM =OM ~ ~

dautre part COM OM1 =2 C OH OM ) ~~

et (~) =2 ( ~) dougrave par addition ______ --- ~ COM OM) = 2 COH OH) soit COM OM1 = 3

La deacutecomposition ainsi obtenue nest pas unique puisque D a eacuteteacute prise arbitrairement

On pourrait tout aussi bien prendre D arbitraishyrement et en deacuteduire D par lune ou lautre des deux rotations de centre Cl et dangles - cp1 ~t - cp2 ( reacuteciproshyques des rotations utiliseacutees plus haut) Ce fait sera employeacute en v- 2

V COMPOSITION DE ROTATIONS EN GEOMETRIE DU PLAN

Nous aurons besoin ici de notations plus deacutetailleacutees la rotation de centre Z et dangle clgt sera noteacutee ~z~middot

Comme on le verra plus loin CV- 2) il nest pas possible daffirmer en toute geacuteneacuteraliteacute que la composeacutee dun couple de rotations est une rotation

- 7 shy

MOTS 9 - ROTATION -

Etudions dabord le cas particulier des rotations de mecircme centre

V- 1 Composition de rotations de msectme centre V -11 Pour fishy

xer les ideacutees soit u v et wtrois demi-droites de mecircme origine

uConsideacuterons les ---_

rotations et5t0 a ltna ougrave a et (3 sont les angles-de-couples de repreacutesentants resshypectifs ( u v) et (v w)

figure 7

La figure 7 suggegravere que le motif CD ayant pour image par ltno le motif puis celui-ci par ltna le motifreg ce dernier est limage du motif CD par ltno+a

Autrement dit la figure suggegravere que

ltn a ltn a =ltn o+ao

Il en est bien ainsi car pour tout point M dune part des eacutegaliteacutes OM = OM et OM = OM

il reacutesultemiddot que OM = OM _ ___ ---31gt ---- ~ --

dautre part des eacutegaliteacutes COM OM) =a et COMOM) = (3 ~

il reacutesulte que COM nM ) = a+ (3 bull

Cette deacutemonstration se geacuteneacuteralise la composeacutee dun couple de rotations de mecircme centre est une rotashytion qui a pour centre le centre commun des composhysantes et pour angle la somme de leurs angles

1ltna-middot ltna- =ltn-amp+a-1o

ce qui entraicircne la commutativiteacute de la composition des rotations de mecircme centre

ltna-middot ltna- = ltna- ltna-middoto o

et dautre part englobe les deux propositions

ltna- o 5tn6 =ltna- et ltna- o ltn-a- =5tn6

- 8 shy

MOTS 9 - ROTA TlON shy

La premiegravere traduit le fait geacuteneacuteral que lidentiteacute du plan (ici ~nocirc) est eacuteleacutement neutre pour la composhysition des applications de P vers P la seconde signifie que les rotations ~n-amp et ~n--amp sont des eacuteleacutements symeacutetriques middotpour cette loi

V -12 Ainsi le comportement des rotations de mecircme centre vis-agrave-vis de la composition des applicashytions est calqueacute sur celui des angles-de-couples vis-agraveshyvis de laddition des angles-de-couples En langage matheacutematique on traduit ce fait de la faccedilon suivante un point n eacutetant donneacute lensemble des rotations de centre 0 muni de la composition des applications est un groupe commutatif de plus ce groupe est isomorshyphe au groupe additif des angles-de-couples

V- 2 Un simple contre-exemple suffit pour eacutetashyblir limpossibiliteacute deacutetendre les reacutesultats de V- 1 agrave des rotations de centres distincts eacutetant donneacutees deux syshymeacutetries centrales SI et SI (donc des rotations de censhytre 1 et 1 distincts) leur composeacutee S1bull o s~_~t non une rotation mais la translation de vecteur 2 1 l (voir HOshyMOTHETIE VI- 2)

Placcedilons- nous dans la reacuteunion l5 de lensemble des rotations et de 1ensemble des translations et conshysideacuterons deux eacuteleacutements f et g de l5 Toute rotation (voir IV) aussi bien que toute translation (voir TRANshySLATION IV- 3) peut ecirctre consideacutereacutee comme la composhyseacutee dun couple de reacuteflexions

Pour eacutetudier g o f deacutecomposons f et g en reacuteshyflexions de faccedilon que la deuxiegraveme reacuteflexion composante de f soit la premiegravere reacuteflexion composante de g (voir fin de 1V) appelons D le miroir (droite) de cette reacuteflexion Ainsi

g o f = ( S o S0 ) o ( s0 o S )02 01

cest-agrave-dire gracircce agrave lassociativiteacute de la composition des applications

g o f = ( S o C S0 o S0 )) o S 02 01

- 9 shy

MOTS 9 - ROTA TION shy

Or S0 o S0 = Ip et Ip identiteacute de P est neutre pour la composition des applications Il en reacutesulte que g o f = ( S0 o middot lp ) o S0 middot cest-agrave-dire

2 1 g o f = S0 o S0 Donc g o f est soit une translation

2 1 soit une rotation cette fois la composition des applicashytions est une loi dans ~

Examinons maintenant les diffeacuterents cas possibles

V- 3 Composition de rotations de centres distincts V- 3 1 Placcedilons-nous dabord dans le cas ougrave la

somme des angles des deux rotations est distincte de Ocirc La figure 8 illustre une telle composition scheacutematiseacutee par le diagramme que voici

reg ~~

CD ~n e-middot o ~n e-

D 3 = (-u v)

3 = (-v w)

3 + 3 = (-u w)

figure 8

Choisissons pour D la droite (00) Les droites D 1 et D

2 sont alors deacutetermineacutees comme il a eacuteteacute preacuteciseacute

en IV

- 10 shy


Ainsi so o et~n a- = sol ~nmiddota-middot = so2 0 so

par conseacutequent o o so o sol~nmiddota-middot o ~n a- = so2 s0

cest-agrave-dire ~nmiddot 1 a-middot o ~n~s- = so2 o sol

Le dessin suggegravere et on deacutemontre que D 1 et D 2 sont seacutecantes et que s 02 o s01 est la rotation de centre 0 point

commun agrave D 1 et D 2 et dangle -amp + 3 De faccedilon geacuteneacuterale

A

Si 3 + amp 0 ~nmiddot fr o ~n~s- est une rotation dangle 3 + amp

Mais attention De -amp + 3 = -amp + -amp il ne faudrait pas conclure agrave la commutativiteacute de la composition des eacuteleacutements de ~ Les rotations ~nmiddota-middot o ~n~s- et ~n~s- o ~nmiddot~a-middot ont le mecircme angle mais des centres distincts nous laissons au lecshyteur le soin de sen assurer en reprenant la situation preacuteceacuteshydente et en inversant lordre des composantes Cle centre de cette nouvelle composeacutee est le symeacutetrique de Q par rapport agrave (QQ))

V- 3 2 Si la somme des angles des deux rotations A

composantes est 0 la composeacutee est une translation On le veacuterifie sur la figure 9 qui illustre une t~lle composition scheacuteshymatiseacutee par le diagramme que voici

reg -~~

CD gtreg ~œ~a-middot ~n~s-o

Comme en V- 31 1 ~nmiddot o ~n o = s 0 o v v 2 s0 1

Le dessin suggegravere et on deacutemontre que D1

est parallegravele agrave D 2 Par conseacutequent so2 o So est la translation de vecteur

1

2-H H2 ougrave H est un point de D et H2 est le projeteacute orthoshy1 1 1 gonal de H

1 sur D 2

- 11 shy


-3=(uv)

3 = (-v u) a

D

figure 9

De faccedilon geacuteneacuterale

Si 3 + 3 = Ocirc

~nmiddota-middot o ~n bulla- est une translation

Comme ci-dessus nous laissons au lecteur le soin

de sassurer que ~nmiddota-middot o ~n a- eacute ~n a- o ~nmiddota-middot

V- 4 Composition dune translation et dune rotation Dans le cas ougrave lacirc rotation est 1identiteacute du plan

la composeacutee avec une translation dans un ordre ou dans lautre est cette translation Elle-mecircme

Ce cas exclu la composeacutee est une rotation voici pourquoi

__ Soit -v un vecteur et T~ la translation de vecteur v Consideacuterons ~n a- o- T~ et choisissons pour D _ droite passant par 0 et de direction orthogonale agrave v La droite D

2 est alors deacutetermineacutee comme il a eacuteteacute

preacuteciseacute en IV de faccedilon que

~n a- = so2 o so

- 12 shy


Par ailleurs (voir TRANSLATION IV- 3 ) il existe une droite D1 telle que

T-- s0 o v - s 0 1

Ainsi ~n-amp o Ty-= o (voir V- 2)s02 s01

Les droites D1 et D2 sont seacutecantes car par hyposhythegravese D2 coupe D qui est parallegravele agrave D1 Deacutesignons par 0 le point commun agrave D1 et D2 La composeacutee o ests02 s 01 la rotation ~n-amp comme le suggegravere la figure 10

Ici encore le lecteur pourra constater que

~n-amp o Ty-~ Ty-o ~n-amp

-amp=CAB- AC) ~-v = AB

A

figure 10

- 13 shy


V- 5 Composition de translations Rappelons pour meacutemoire que la composeacutee de deux

translations est une translation et que la composition des translations est commutative (voir TRANSLATION IV)

V - 6 Groupe des rotations-translations du plan Les reacutesultats obtenus au cours du paragraphe V

peuvent ecirctre reacutesumeacutes comme suit 8deacutesignant lensemble des rotations et translashy

tions du plan P leur composition est une loi dans 8 cette loi est associative (comme toute composhy

sition dapplications) il existe un eacuteleacutement neutre dans t agrave savoir

lidentiteacute du plan toute translation T- a un symeacutetrique dans t agrave

savoir la translation T-v toute rotation ~n-amp a un symeacutetrique dans t agrave savoir la rotation ~n a-

Lensemble t muni de la composition des applishycations est donc un groupe usuellement dit groupe des rotations-translations du plan

Ce groupe nest pas commutatif Mais les sous-groupes rencontreacutes en V- 1 et

V- 5 agrave savoir ceux des rotations de centre donneacute et celui des translations sont commutatifs

Par voie de conseacutequence sont eacutegalement commutashytifs les sous-groupes de ces groupes groupe des transshylations de direction donneacutee groupe des rotations laissant invariant un pentagone reacutegulier donneacute (voir III -1) etc

VI ROTATION EN GEOMETRIE DE LESPACE Nous nous bornerons agrave quelques indications

VI - 1 Deacutefinition Soit D une droite et dans la direction de plans

qui lui est perpendiculaire un angle-de-couples amp Soit M un point de lespace P le plan passant par

- 1~ shy


M et perpendicushyDlaire agrave D et H le

point ougrave il coupe D soit enfin M limage de M par la rotation ~H-amp du plan P amp = (-xy)

Lapplication de lespace vers luishymecircme qui agrave tout point M associe le point M qui vient decirctre deacutefini est appeleacutee rotation daxe 2 D et dangle amp

VI- 2 De cette deacutefinition reacutesulte immeacutediatement ceci

quel que soit laxe la rotation dangle nul est lidentiteacute de lespace

quel que soit langle toute figure de reacutevolution daxe D est (globalement) invariante et en particulier tout plan perpendiculaire agrave D middot

si langle nest pas nul les seuls points invariants sont les points de laxe

si langle est plat la rotation est la symeacutetrie orthogonale par rapport agrave D

Signalons par ailleurs que les rotations sont des isomeacutetries positives de lespace elles conservent donc les longueurs les aires les volumes les angles-de-paires 3

ainsi que lorientation des parties orienteacutees de lespace (ce qui exclut les parties rectilishygnes et les parties planes)

2 Lusage a consacreacute ici lemploi du mot axe il ne faut y attacher aucune ideacutee dorientation D Est une droite et non une droite orienteacutee

3 Il sagit ici de paires-de-flegraveches le mot flegraveche englobant les notions de direction orienteacutee droite orienteacutee axe demishydroite vecteur (cf note du 1-3 de ANGLE-DE-COUPLES)

figure 11

- 15 shy


VI - 3 Composition de rotations

On peut ramener la composition dun couple de rotations dont les axes sont de mecircme direction agrave celle dun couple de rotations planes dans lun quelconque des plans perpendiculaires agrave cette direction Les conshyclusions de V -1 et de V- 3 se transposent aiseacutement

En particulier les rotations daxe D donneacute conshystituent un groupe commutatif

En revanche si les axes des deux rotations comshyposantes sont de directions diffeacuterentes le problegraveme est nettement plus deacutelicat Nous nous contenterons de sishygnaler que si Cet seulement si) les axes se coupent en un point A ce point est invariant et la composeacutee est une rotation dont laxe passe par A mais 1angle de la rotation composeacutee nest pas la somme des angles des rotations composantes (Dailleurs cette somme nest pas deacutefinie vu que les angles-de-couples des roshytations composantes ne sont pas relatifs agrave une mecircme direction de plans) Les rotations dont les axes passent par un point A constituent un groupe non commutatif toute sphegravere ou reacuteunion de sphegraveres ~e centre A est invariante par tout eacuteleacutement de ce groupe

VII RETOUR A LA MECANIQUE

VII -1 Lexemple preacutesenteacute en 1 comporte deux aspects dune part le bouton est animeacute dun mouvement

de rotation autour de son axe D supposeacute fixe dautre part la face anteacuterieure du bouton est

animeacutee dun mouvement de rotation dans un plan fixe autour dun point fixe 0 de ce plan

Lun et lautre de ces mouvements peuvent ecirctre caracteacuteriseacutes de la faccedilon suivante les diffeacuterentes posishytions quoccupe lobjet Cie bouton dans un cas sa face anteacuterieure dans 1autre cas) sont les images les unes des autres par des rotations daxe D en ce qui concerne le bouton de centre 0 en ce qui concerne sa face anteacuterieure

- 16 shy


VII- 2 Les rotations daxe donneacute D laissent invashyriante toute surface de reacutevolution daxe D C voir VI - 3) En technologie certaines de ces surfaces servent de guide agrave des mouvements de rotation par exemple mouvement dun arbre dans des coussinets ou dans une crapaudine

VII- 3 En conseacutequence les surfaces cylindriques de reacutevolution peuvent guider agrave la fois des mouvements de rotation autour de leur axe et des mouvements recshytilignes de translation dans la direction de cet axe C voir TRANSLATION VI- 3) Le verrou agrave pegravene cylindrique est un excellent exemple de cette double liberteacute ainsi que de ses entraves le mouvement de rotation est limiteacute du fait que 1objet constitueacute du pegravene et de sa poigneacutee na pas la symeacutetrie de reacutevolution le mouvement de translation est limiteacute parce que cet objet nest pas cylindrique

VII- 4 Les rotations dont les axes concourent en un point A constituent un groupe (voir VI- 3) elshyles laissent invariante toute sphegravere de centre A On peut utiliser une partie dune telle sphegravere en technoloshygie comme rotule pour guider des mouvements de rotation quand on souhaite que leur axe puisse pivoter autour de A

- 17 shy

MOTS 9 - SIMILTUDJ shy

SIMILITUDE

I Figures semblables II Similitude

III Le groupe des similitudes (de la droite du plan ou de 1 espace)

IV Similitudes sur la droite ou dans le plan V Similitudes positives du plan

VI Similitudes neacutegatives du plan VII Similitudes de lespace

Dans cette rubrique nous ferons freacutequemment appel aux proprieacuteteacutes des homotheacuteties et des isomeacuteshytries Nos renvoyons donc une fois pour toutes aux rubriques HOMOTHETIE ISOMETRIE TRANSLATION

ROTATION SYMETRIE ( paragaphes 1 et Il) ORIENTAshy

TION (paragaphe VI)

1 FIGURES SEMBLABLES

I -1 Pourvu que le site dune ville soit faibleshyment accidenteacute le plan de celle-ci est une reproducshytion fidegravele du reacuteseau des rues

La reproduction est beaucoup plus fidegravele dans le cas des modegraveles reacuteduits davions de bateaux etc

Cette fideacuteliteacute peut sexprimer ainsi le rapport de deux longueurs lieacutees au plan ou au modegravele reacuteduit est le rapport des longueurs correspondantes lieacutees agrave lobjet repreacutesenteacute Cela reacutesulte du fait que pour desshysiner le plan ou construire le modegravele reacuteduit on a reacuteduit les longueurs dans un rapport constant en les multipliant par leacutechelle du plan ou du modegravele reacuteduit

- 1 shy

-- --

MOTS 9 - SIMILITUDE shy

Ce proceacutedeacute de construction implique dailleurs que tout angle lieacute au plan ou au modegravele reacuteduit est langle correspondant lieacute agrave lobjet Cest ce quon utilishyse intuitivement lorsque du sommet dun eacutedifice on cherche agrave identifier les monuments dune ville on repegravere de proche en proche une direction par rapport agrave une autre gracircce agrave leur angle sachant que cet angle est celui des directions correspondantes lues sur le plan

En termes geacuteomeacutetriques on reacutesume les constashytations preacuteceacutedentes en disant que le plan de la ville est semblable au reacuteseau des rues que le modegravele reacuteshyduit est semblable agrave lobjet

Dapregraves la facon mecircme dont sont reacutealiseacutes les plans il reacutesulte que deux plans deacutechelles diffeacuterentes dune mecircme ville sont semblables lun agrave lautre Il en est de mecircme pour deux modegraveles reacuteduits construits agrave des eacutechelles diffeacuterentes dun mecircme objet

1-2 Voici un exemple classique de figures semshyblables Soit un triangle ABC rectangle en A et sa haushy

teur [AH 1 1- 2 1 Consideacuterons par exemshy

ple les triangles ABC et HBA Ils sont rectangles le premier~ le second en H et le secteur 1ABC 1 leur est commun par conseacutequent ACB = HAB

En ce qui concerne les anglesshyde-secteurs on constate ici la mecircme proprieacuteteacute que dans les exemples de 1- 1

Examinons maintenant les lonshygueurs des cocircteacutes des deux triangles

Soit 1 le point de la demi-droishyte 1BC) tel que BI = BA soit J le point de la demi-droite 1BA) tel que BJ = BC

1 Le mot semblable est employeacute ici dans un sens mashytheacutematique preacutecis Il ne sagit pas du sens vague qui ressemble agrave

- 2 shy

MOTS 9 - SIMILITUDI shy

De ces hypothegraveses il reacutesulte que dune part les triangles ABC et IBJ sont isomeacuteshy

triques dautre part le triangle IBJ est limage du triangle

HBA par une homotheacutetie dont le rapport est aussi bien ~ que BJ que 1_ appelons-le h HB BA AH

Donc h est aussi AB ou BC ou CA ce qui expri-HB BAmiddot AH

me que la longueur de chaque cocircteacute du triangle ABC est le produit par h de la longueur du cocircteacute correspondant du triangle HBA

On peut reacutesumer ce qui preacutecegravede de la faccedilon suishyvante le triangle ABC est semblable au triangle HBA dans le rapport h ou ce qui revient au mecircme le triangle HBA est semblable au triangle ABC dtns le rapport ~

Dans le langage des plans cartes modegraveles reacuteshyduts etc on emploie eacutechelle au lieu de rapport de reproduction agrave la reacutealiteacute

I- 22 oe AB = BC on deacuteduit AB = HB HB BA BC BA

de mecircme BC = BA et AB = HB CA AH CA AH

Cela exprime que le rapport de deux cocircteacutes du triangle ABC est le rapport des deux cocircteacutes qui leur correspondent dans le triangle HBA

On constate ici agrave propos des longueurs la mecircme proprieacuteteacute que dans les exemples de 1- 1

En reacutesumeacute le triangle ABC est semblable au triangle HBA ou aussi bien le triangle HBA est semshyblable au triangle ABC On dit aussi que les deux triangles sont semblables~

I- 2 3 Attirons lattention sur le fait quen 1-2 1 il nintervient quun rapport h Cou son inverse) Ci-dessous h sera appeleacute rapport de fa similitude par

2 Il est adroit de deacutesigner comme on le fait ici deux triangles semblables en eacutecrivant dans le mecircme ordre les sommets qui se correspondent

- 3 shy


laquelle ABC est limage de HBA Pour calculer h il suffit de connaicirctre la longueur dun cocircteacute du triangle HBA et celle du cocircteacute qui lui correspond dans ABC

En revanche en 1- 2 2 sont intervenus des rapshyports dits rapports de configuration Pour les calculer il suffit dexaminer lun des triangles Le nombre des rapports de configuration augmente avec la complexiteacute des deux figures

1-24 Nous laissons au lecteur le soin ~leffecshy

tuemiddot des constatations analogues en ce conceme les triangles ABC et HAC dune part les triangles HBA et HAC dautre part

1-3 Un autre exemple de figures semblables a eacuteteacute preacutesenteacute au paragraphe 1 de la rubrique SYMETRIE agrave propos du nombre dor 1 + 1s ordinairement noteacute (1)

2 1-3 1 Soit un rectangle ABCD tel que ~~ =(1)

AB Si on lui adjoint le carreacute ADEF construit sur lun de ses grands cocircteacutes on obtient le rectangle BCEF tel que CE = (1)

BC Degraves lors le recshy

tangle BCEF est semblashyble au rectangle ABCD dans le rapport ltrgt

Le proceacutedeacute peut se poursuivre indeacutefiniment et chaque nouveau rectangle est semblable au preacuteceacutedent middotdans le rapport ltrgt

Il en reacutesulte que tout rectangle est semblable agrave chatun de ceux qui lont preacuteshyceacutedeacute lors de la construction par exemple

CEGH est semblable agrave ABCD dans 1 e rapport (1) 2 bull

EGIJ est semblable agrave ABCD dans le rapport (1) 3 bull

G~~-H~------1

A Ft---tl-tB

JE DC

- 4 shy

MOTS 9 - SIMILITUDJ shy

Remarque Le rapport de la longueur agrave la larshygeur qui est un rapport de configuration est le mecircme pour les quatre rectangles mentionneacutes ci-dessus agrave savoir ltD Il se trouve que cest aussi le rapport d~ la similitude par laquelle chaque rectangle a pour image le rectangle suivant Mais ce nest pas le rapport de la simishylitude par laquelle CEGH est limage de ABCD non plus que de celle par laquelle EGIJ est 1 image de ABCD

1-32 La coquille du Nautile comme celle de la Turitella Duplicata preacutesente les mecircmes particularishyteacutes mais cette fois-ci dans lespace A chaque stade de la croissance du Nautile la derniegravere loge de la coquille a les mecircmes rapports de configuration que chacune des loges preacuteceacutedentes (on dit couramment que les loges ont les mecircmes proportions) elle est semblable agrave chacune de celles qui lont preacuteceacutedeacutee lors de la croisshysance de lanimal

Nautile Turitella Duplicata

I- 4 On trouvera dans la rubrique HOMOTHETIE

des exemples de figures semblables Contentons-nous de rappeler que si une figure F

est 1ima~e dune figure F par une homotheacutetie de rapport k non nul alors pour toutcouple (MN) de points de F leurs images respectives M et N sont telles que MN = lkl MN Ainsi la figure F est semblable agrave la fishygure F dans le rapport lk 1 la figure F est semblable agrave la figure F dans le rapport 1lkl

- shy


Mais lhomotheacutetie preacutesente la particulariteacute de conserver 1 es directions 1 ieacutees agrave F (voir CONSJR v JR

dans MOTS Vlll) ce neacutetait pas le cas des exemples preacutesenteacutes plus haut

Notons aussi que limage dune figure F par une isomeacutetrie est semblable agrave F dans le rapport 1

II SIMILITUDE Deacutesignons par E un ensemble de points qui pourra

ecirctre agrave volonteacute la droite le plan ou lespace

II -1 Deacutefinition Les situations preacutesenteacutees en 1 suggegraverent la deacutefi shy

nition suivante

Etant donneacute un reacuteel h strictement positif similitude de rapport h

signifie application de E vers lui-mecircme telle que

pour tout couple ( MN) de points MN = h MN ougrave M et N sont les images respectives de M et N

Le nombre h est appeleacute rapport de similitude Deacutesignons par une similitude de rapport h on

peut utiliser les notations et le langage des applications

JE -+ E CM) = MlM t-+ M

Etant donneacute une figure F lensemble des images par de ses points est une figure F appeleacutee image de F par

11-2 Il existe de telles applications par exemple les isomeacutetries qui sont les similitudes de rapshy

port 1 Les homotheacuteties de rapport strictement positif

(voir HOMOTHJTIJ V- 4) les composeacutees dans un ordre ou dans lautre

dune isomeacutetrie et dune homotheacutetie de rapport stricteshyment positif

- 6 shy


Dans les deux derniers cas le rapport de la sishymilitude est le rapport de lhomotheacutetie

A noter que les homotheacuteties de rapport k stricteshyment neacutegatif ne sont pas exclues de ce qui preacutecegravede car une telle homotheacutetie est la composeacutee dune homotheacutetie de rapport strictement positif et dune symeacutetrie centrale laquelle est une isomeacutetrie (voir HOMOTHETIE Vl-1- 2) Dans ce cas le rapport de la similitude est -k

II- 3 Se pose alors la question suivante toute similitude ~ de E de rapport h peut-elle ecirctre obtenue comme la composeacutee dune isomeacutetrie de E et dune homoshytheacutetie de E de rapport h (Bien entendu lisomeacutetrie ou lhomotheacutetie ou mecircme les deux peuvent se reacuteduire agrave lidentiteacute de EL

II- 3 1 Soit H une homotheacutetie de rapport h Pour1

tout couple (M N) de points le couple CM

1 N

1 ) de leurs

images par H est tel que1

M 1N 1 =hMN le couple CM N) de leur images par ~ est tel que

MN= hMN Donc pour tout couple CMN)

MN= M1N

1

en dautres termes il existe une isomeacutetrie 1 par laquelle

1 Met Nsont les images respecshytives de Mt et Nt

Par conseacutequent ~ = 1 o H 1 1

Il na pas eacuteteacute neacutecessaire de particulariser le censhytre de H donc ~ est la composeacutee de toute homotheacuteshy

1 tie de rapport h suivie dune isomeacutetrie convenable

La reacuteponse agrave la question poseacutee au deacutebut de II- 3 est donc agraveffirmative

II- 3 2 Toutefois cette reacuteponse nest que parshytielle En effet la composition des applications de E vers lui-mecircme nest pas commutative par conseacutequent

- 7 shy


sauf cas particuliers ~ nest pas eacutegale agrave H o 1 bull Mais1 1

peut-on trouver une isomeacutetrie et une homotheacutetie telles que ~ admette une deacutecomposition de ce type

Soit H une homotheacutetie2

de rapport h (distincte ou non de ~

1 peu middotimporte

ici) et H lhomotheacutetie reacuteciproque

2

de rapport -k Pour tout couple CMN) de points le couple CM N) de leurs images par ~ est tel que

MN= 1MN le couple CM N ) des imashy

2 2

ges des points de CM N) par H est tel que

2

M2N2 = bMN Donc pour tout couple

CMN) MN= M N 2 2

en dautres termes il existe une isomeacutetrie 1

2 par laquelshy

le M 2

et N2

sont les images respectives de M et N ensuite M et N sont les images respectives de M

2 et N

2 par H

2 bull

Par conseacutequent~= H ol bull2 2

11-33 En reacutesumeacute toute similitude de rapport h est la composeacutee dune homotheacutetie de rapport h suivie ou preacuteceacutedeacutee dune isomeacutetrie convenable

II- 4 Rappelons que reacuteciproquement toute comshyposeacutee dune homotheacutetie et dune isomeacutetrie est une simili shytude (voir 11- 2) Par conseacutequent on peut adopter comme autre deacutefinition de lexpression similitude de rapport h

composeacutee dans un ordre ou dans lautre dune homotheacutetie de rapport h et dune isomeacutetrie

- R shy


II- 5 De leacutetude preacuteceacutedente deacutecoulent immeacutediashytement les proprieacuteteacutes suivantes

11-51 Toute similitude de E est une bijection de E vers lui-mecircme

La bijection reacuteciproque dune similitude de rapport h est unemiddot similitude de rapport 1middot

II- 5 2 Par toute similitude de rapport h (sur la droite dans le plan ou dans lespace)

tout segment de longueur L a pour image un segment de longueur hL

(dans le plan ou dans lespace) toute surface daire A a pour image une surface daire h 2 A

(dans lespace) tout solide de volume V a pour image un solide de volume h 1V

Par toute similitude quel quen soit le rapport (sur la droite dans le plan ou dans lespace)

limage dune droite est une droite les rapports de longueurs sont conserveacutes le milieu de deux points a pour image le milieu de leurs images plus geacuteneacuterashylemnt le barycentre de n points affecteacutes de coeffi shycients a pour image le barycentre des images de ces points affecteacutes des mecircmes coefficients

(dans le plan ou dans lespace) limage dun plan est un plan les rapports daires sont conserveacutes chaque angle-de-paires est conserveacute ainsi que chaque angle-de-secteurs le paralleacutelisme (droite-droite plan-plan droite-plan) est conserveacute limage dune direction (de droites ou de plans) est une direction

(dans lespace) les rapports de volumes sont conserveacutes

II- 5 3 Rappelons que dune part toute homotheacutetie de rapport stricteshy

ment positif conserve lorientation de E et de toute partie orientable de E (voir HOMOTHETIE Vlll- 4)

dautre part une isomeacutetrie est dite positive lorsquel shyle conserve lorientation neacutegative lorsquelle laltegravere

- 9 shy


Par conseacutequent une similitude eacutetant la composeacutee dune homotheacutetie de rapport strictement positif et dune isomeacutetrie est positive (cest-agrave-dire conserve lorientation) lorsque lisomeacutetrie est positive et neacutegative (cest-agrave-dire altegravere lorientation) lorsque lisomeacutetrie est neacutegative 3

Notons agrave ce propos que toute homotheacutetie du plan (que son rapport soit positif ou neacutegatif) est un~ similishytude positive du plan (voir HOMOTHJTIJ VIll- 4) middot

III LE GROUPE DES SIMILITUDES ltDE LA DROITE DU PLAN OU DE LESPACE)

E gardant la mecircme signification quen Il les exemples preacutesenteacutes en 1- 3 suggegraverent que la composeacutee de deux similitudes de E est une similitude de E

III - 1 Composition des similitudes Consideacuterons des similitudes lune ~de rapport h

lautre ~middot de rapport h soit M et N deux points de E posons M= ~CM) N= ~CN) M =~CM) et N =~CNL

Dapregraves Il -1 pour tout couple CM N)

MN= hMN et MN = hMN donc MN = hhMN Par conseacutequent ~middot o ~ est une similitude de rapport hh

III- 2 Le reacutesultat preacuteceacutedent permet daffirmer que ~middot o ~ a le mecircme rapport que ~ o ~middot Mais geacuteneacuteralement ~middoto ~ t ~o ~middotPour sen convaincre il suffit de consideacuterer le cas ougrave ~et ~ sont des homotheacuteties de centres distincts (voir HOMOTHJTIJ fin de VI- 4) La composition des similitudes nest donc pas commutative

III- 3 Comme on vient de le voir en middot Ill- 1 la composition des applications est une loi dans lensemshyble fP des similitudes de E

Cette loi est associative (comme toute composishytion dapplications)

JAttlieu de similitude positivemiddotmiddot on dit aussi similitude directemiddotmiddot au 1ieu de middotmiddotsimilitude neacutegativemiddotmiddot on dit aussi similitude inversemiddotmiddot avec les Inconveacutenients qui sattachent aux mul tipi es emplois des mots direct et invfirsmiddote et des mots deacuteriveacutes (voir INV JRSJ)

- 10 shy


Il existe un eacuteleacutement neutre dans ~P agrave savoir lidentiteacute de E

Toute similitude a un symeacutetrique dans _cccedilmiddot sa reacuteciproque (voir Il- 5 1)

En reacutesumeacute lensemble -F muni de la composition des applications est un groupe le groupe des similitudes de E

Ce groupe nest pas commutatif (voir Ill- 2 L

III- 4 Etant donneacute que la composeacutee de deux similitudes positives est

positive lidentiteacute de E est une similitude positive toute similitude positive a pour reacuteciproque une

similitude positive le groupe des similitudes de E admet pour

sous-groupe le groupe des similitudes positives de E ainsi que les sous-groupes de ce dernier

On peut eacutegalement citer comme sous-groupes le groupe des isomeacutetries de E ainsi que ses

sous-groupes le groupe des homotheacuteties-translations de E ainsi

que ses sous-groupes

IV SIMILITUDES SUR LA DROITE OU DANS LE PLAN

IV -1 Les similitudes offrent peu dinteacuterecirct sur la droite les similitudes positives ne sont autres que les translations et les homotheacuteties de rapport positif les simishylitudes neacutegatives sont les homotheacuteties de rapport neacutegatif

IV- 2 Au contraire dans le cas du plan la desshycription des proprieacuteteacutes des similitudes peut ecirctre affineacutee En effet cest le seul cas ougrave lon sait distinguer entre angle-de-paires et angle-de-couumlples (voir ANGLE-DEshy

COUPLES 1-1) Degraves lors vu la conservation des anshygles-de-paires (voir Il - 5 - 2) et les proprieacuteteacutes des sishymilitudes positives ou neacutegatives (voir II -5-3)

toute similitude positive du plan conserve chashyque angle-de-couples

- 11 shy

-------


toute similitude neacutegative du plan transforme chaque angle-de-couples en son opposeacute

V SIMILITUDES POSITIVES DU PLAN

V- 1 Angle dune similitude positive Deacutesignons par M N P Q

les images respectives de quashytre points M N P Q par une Q similitude Dapregraves IV- 2 quels N que soient les points M N P Q--------- ~ CMNPQ) = (~) N P

______ en additionnant ( PQ MN) agrave MpFQchaque membre on obtient M ~ (MNMN) = CPQ PQ) __ shy

En dautres termes quelle que soit la paire M N 1 de points MN~Q ~

(MNMN)est un angle-de-coushyples constant il est appeleacute angle de la similitude

V- 2 Cette proprieacuteteacute est caracteacuteristique des sishymilitudes positives du plan parmi les applications du plan vers lui-mecircme

Supposons en effet quune application f du plan vers luishymecircme soit telle que pour toute paire M N 1 de points dont les images respectives sont Met N____ (MN MN) soit un angle-de-coushyples constant amp

Adoptons une deacutemarche analoshygue agrave celle qui a eacuteteacute utiliseacutee en Il- 3- 2 si on prend pour isomeacuteshytrie 1 une rotation dangle amp

2 les images respectives M

2 et N

2 de M et N sont telles que

- 12 shy

MOTS 9 - SIMILITUDJ shy---------- ~

CMNMN) = amp donc CMNMN) = euml Or cela caracteacuteshyrise uneuml translation T ou- shyune homotheacutetie H de rapshy 1 (~)

2 A2~----port strictement positif (Icirc)----- ~(J)par conseacutequent ~ f ~

f =T o 1 ou f = H o 12 2 2

Lapplication fest donc une similitude positive eacutevishydemment dangle amp Cet angle est nul si la similitude est une homotheacutetie ou une translation dans les autres cas il est 1angle de la rotation composante

V- 3 Centre dune similitude positive La recherche des eacuteventuels points invariants par

une similitude positive ~ conduit au reacutesultat suivant

Lorsque simultaneacutement h = 1 et amp = 6 ~ est soit une translation de vecteur non nul Cet alors aucun point du plan nest invariant) soit lidentiteacute du plan Cet alors tout point du plan est invariant) Ces cas exclus on deacuteshymontre que par toute similitude positive un seul point est invariant ce point est appeleacute centre de la similitude

Bien entendu si h = 1 et amp = 6 (cest-agrave-dire si ~ se reacuteduit agrave une rotation) ou bien si h =1 1 et amp = 6 (cestshyagrave-dire si ~ se reacuteduit agrave une homotheacutetie) le centre de ~ nest autre que le centre de la rotation ou le centre de lhomotheacutetie Mais le fait vraiment important est celui-ci

Pour toute similitude ayant un centre ce centre n peut jouer agrave la fois le rocircle de centre dhomotheacutetie pour lhomotheacutetie Il et celui de centre de rotationH 0 pour la rotation JI o~ en lesquelles on peut deacutecomposhyser la similitude comme on la vu en 11- 3 -1 et II- 3-2 De plus contrairement agrave ce qui se passait dans le cas geacuteneacuteral ici 1ordre de composition est indiffeacuteshyrent comme le suggegravere la figure ci dessous

- 13 shy

MOTS 9 - SIMILITUDE -

Ainsi toute similitude positive ayant un centre est deacutetermineacutee par le triplet (0 h amp ) constitueacute de son centre 0 de son rapport h et de son angle amp

Un exemple simple est c fourni par les triangles recshytangles de 1- 2 le triangle HBA est limage du triangle HAC par la similitude de

centre H d~ort -----et dangle (HA HB )

En ce qui concerne les rectangles dor de I- 3 BCEF est 1image de ABCD P____AT----B par une similitude ~ telle que ~(A) = B ~(B) = C ~(C) = E ~(D) =F elle est positive son rapport est (J) et son angle est

c ---- D(AB BC )

Deacutesignons par 0 le centre de ~ et preacutecisons quel est ce point

~~ Puisque ~(A) = B et ~(B) = C (~)=(~)

~~ ~---=--

et de mecircme (OB OC ) = (AB BC ) Or (AB) L (BC) donc (QA) L (QB) et (QB) L (QC)

Par conseacutequent 0 est le projeteacute orthogonal de C sur la droite (AC) middot

Pour les mecircmes raisons 0 est le projeteacute orthogonal de C sur la droite (BE)

Ainsi 0 est le point commun aux droites (AC) et (BE)

V- 4 Groupe des similitudes positives du plan Outre les proprieacuteteacutes communes agrave toutes les si shy

militudes positives les similitudes positives du plan possegravedent les proprieacuteteacutes suivantes

- 1-+ shy

c----rH=------~

MOTS 9 - SlMILlTUDJ shy

la composeacutee de deux similitudes dangles resshypectifs amp et amp a pour angle amp + amp

la reacuteciproque dune similitude dangle amp a pour angle -amp

si lon fixe le point 0 toutes les similitudes positives de centre 0 forment un sous-groupe commutatif du groupe des similitudes positives du plan

On a un bon exemple dun sous-groupe que nous appellerons r du sous-groupe preacuteceacutedent avec les rectangles dor de 1- 3

Appelons la similitude de centre 0 de rapport (1) et

dangle (----shyOA OB ) (voir la fin de V- 3)

Ce grouper a pour eacuteleacutements Il

o o o etc - (reacuteciproque de ) -~ - J etc et lidentiteacute I P du plan P

En abreacutegeacute chaque eacuteleacutement de ce groupe est noteacute n ougrave n est un entier (par exemple

3 -1 - 1 -2 0 0 = 0 = = 0= lp)

VI SIMILITUDES NEGATIVES DU PLAN

NLa figure ci-contre analogue agrave celle de V- 1 P suggegravere quil existe au Cl( AM moins une direction invashyriante par une similitude

~ neacutegative cette direction MN~JN PQest celle de la droite poin- N tilleacutee de la figure PFQ

Cest ce que nous PQ~ allons preacuteciser M

A~B~C~E

B~C~E~G

C~E~G~I

D~F~H~J

- 15 shy


VI - 1 Direction dune similitude neacutegative

Deacutesignons par A et B des directions orienteacutees de demi-droites du plan et par A et B leurs images resshypectives par une similitude neacutegative ~

Dapregraves IV- 2 quelles que soient A et B

CAB) - shy= CBAJ La recherche de directions orishy

enteacutees invariantes par ~ conduit ayant fixeacute par exemple A agrave reacutesoushydre leacutequation dinconnue D

cAD) =cDAmiddot) Repreacutesentons A et A par des

demi-droites a et a issues dun mecircme point les solutions decette

eacutequation sont les deux directions orienteacutees D1 et D2 des demi-dbullmiddotoites ct opposeacutees d et d dont la reacuteunion 1 2 est la droite bissectrice du couple (a a)

Il existe donc une direction de droites unique celle de cette bissectrice qui est invariante par ~

ainsi que chacune demiddot ses deux orientations on lappelle direction de la similitude

On peut note1middot que ~ conserve aussi la dilmiddotection de droites perpendiculaire agrave la preacuteceacutedente mais eacutechange ses deux orientations

VI- 2 Consideacuterons une droite L appartenant agrave la direction de ~ et deacutesignons par t la reacuteflexion de miroir (droite) L

On deacutemontre que ~ est la composeacutee de t et dune translation (lorsque h = 1) ou dune homotheacutetie (lorsque h t 1) mais lordre de la composition nest pas indiffeacuteshyrent comme le suggegraverent les dessins suivants

- Hi shy


h = Œ) y T3

Il) ~(2) ~middot ~ ~middot

~ = T 3 o t (4)

(DYiJJ ~ = t o T1

Œ) y H 3

(1) (2) ~ ~ ~

~ = H 3 o t n

(4)

Y~( G) ~ )c~)

~ = t o H1

VI - 3 Axe dune similitude Enfin on deacutemontre que parmi les droites dont Ia

direction est celle de ~ il existe une droite a et une seule qui est (globalement) invariante par ~ ainsi que chacune de ses deux orientations la droite a est appeleacutee Jaxe de la similitude r

VI- 4 Soient M et N deux points M et N leurs images respectives par ~ Mt et Nt les images respectives de M et N par la reacuteflexion ~ de miroir (droite) a dapregraves VI -1 la demi-droite rMNl a pour image par ~ la demi-droite rM1N1 l de mecircme direction orienteacutee que rMN) et cela quels que soient les points M et N

- 17 shy

MOTS 9 - SIMILITUDe shy

Par conseacutequent si h =1 M et N sont les images de M et N par une

1 1 translation T linvariance de a exige que le vecteur de cette translation soit un vecteur directeur de a

Dans ce cas est une reacuteflexion-glissement ou une reacuteflexion

= T o 8 ou aussi bien

= 8 o T

si h- 1 Met Nsont les images de M et N par une

1 1 homotheacutetie de rapport h linvariance de a exige que son centre n appartienne agrave a ce point n est invariant M par la similitude ~-

n est appeleacute le centre de la similitude

Ainsi ~ = H o 8 Nous laissons au lecteur

le soin de sassurer que de plus = 8 o H

Dans ce cas la similitude est deacutetermineacutee par le trishypl et (n h a) constitueacute de son centre n de son rapport h et de son axe a

Un exemple de ce dernier cas est fourni par les trianshygles rectangles BAH et BCA de 1-2 BAH est limage

de BCA par la similitude qui a B pour centre BA pour - BC

rapport et la bissectrice du saillant [ABCJ pour axe

- lR shy


VII SIMILITUDES DE LESPACE

Nous nous bornerons agrave quelques indications qui eacutetendent agrave lespace les proprieacuteteacutes vues en V et VI

VII -1 Celles des similitudes pour lesquelles aucun point nest invariant font partie des isomeacutetries on peut les obtenir en composant dans un ordre ou dans lautre une translation de vecteur V non nul avec

soit (si la similitude est positive) une rotation --igt

dont laxe a V pour vecteur directeur (vissage) soit (si la similitude est neacutegative) une reacuteflexion_

dont le miroir (plan) a V pour vecteur directeur

VII- 2 Celles des similitudes qui posseacutedent au moins deux points invariants sont neacutecessairement de rapshyport 1 ce sont donc des isomeacutetries

VII- 3 Pour les autres similitudes il existe un seul point invariant 0 on lappelle centre de la similishytude Toute similitude ~ de ce type peut ecirctre obtenue comme composeacutee dans un ordre ou dans lautre de 1 homoshytheacutetie de centre 0 et de mecircme rapport h que ~ avec

soit (si la similitude est positive) une rotation dont 1 axe contient 0

soit (si la similitude est neacutegative) une antirotation de point invariant 0 (voir ISOMJTRIJ VI-1) plus preacutecishyseacutement cette antirotation est la composeacutee dans un ordre ou dans lautre dune reacuteflexion dont le miroir (plan) II contient 0 et dune rotation dont 1 axe est perpendiculaire agrave II en 0 (noter que si 1 angle de la rotation est 1angle plat ~ est 1homotheacutetie de centre 0 et de rapport -hL

- 19 shy

MOTS 9 - ISOMETRIE shy

ISOMETRIE

I Introduction II Deacutefinition proprieacuteteacutes

III Groupe des isomeacutetries de E IV Inventaire des isomeacutetries de la droite V Inventaire des isomeacutetries du plan

VI Inventaire des isomeacutetries de lespace o

VII Isomeacutetrie et indeacuteformabiliteacute VIII o Isomeacutetrie et orientation

IX En geacuteomeacutetrie de lespace geacuteneacuteration des isomeacutetries positives par des symeacutetries orthogonales par rapport agrave une droite

X Isomeacutetries et deacuteplacements XI o Egaliteacute et isometrie

I INTRODUCTIONo

Le monde mineacuteral avec ses cailloux ses rochers ses cristaux fournit la notion de corps solide par opposishytion a4-x gaz aux liquides aux boues Ces derniers eacutepoushysent plus ou moins vite la forme du reacutecipient qui les conshytient les premiers au contraire sauf contraintes physishyques tregraves puissantes (chocs pression tempeacuterature ) peuvent ecirctre tenus pour indeacuteformables

En outre les objets solides fabriqueacutes par lhomme donnent loccasion de comparer des formes et des dimenshysions Une fabrique en seacuterie produit en quantiteacute indusshytrielle des clous tous pareils oes plaques meacutetalliques planes identiques des billes de mecircme grosseur des eacutecrous de mecircme modegravele bn entend par lagrave que chacun

- 1 shy


de ces clous (ou chacune de ces plaques chacune de ces billes chacun de ces eacutecrous ) est apte agrave tenir la place de nimporte quel autre quil peut lui ecirctre substitueacute en toute circonstance

Cette expeacuterience quotidienne que nous avons des corps solides comporte pour lenseignement agrave la fois une aide et un obstacle

Cest une aide au stade de linitiation et il nest pas question de sen priver Il est commode lorsquon aborde la geacuteomeacutetrie et surtout la geacuteomeacutetrie du plan de reconshynaicirctre par des manipulations simples Ccalques pliages ) les proprieacuteteacutes fondamentales des isomeacutetries il paraicirctrait mecircme artificiel agrave ce stade de deacuteduire ces proprieacuteteacutes eacutevidentes dune deacutefinition plus formelle comme celle qui est donneacutee ci-dessous au paragraphe II et deacuteveloppeacutee aux paragraphes Ill agrave VI

Mais cette preacutetendue eacutevidence a sa contrepartie elle risque de masquer ulteacuterieurement linteacuterecirct dune modeacuteshylisation matheacutematique Or le passage des objets concrets agrave des ecirctres geacuteomeacutetriques (abstraits) et leacutelimination des notions physiques de temps de mouvements de deacuteplaceshyment (voir X) ne sont pas moins neacutecessaire pour lisomeacuteshytrie que pour les autres concepts matheacutematiques De surshycroit la deacutemarche intuitive qui consisterait agrave reacuteduire lisoshymeacutetrie agrave lindeacuteformabiliteacute est impuissante agrave exprimer tout le contenu du preacutesent concept (voir VII) tel quil reacutesulte de la condition de conservation des longueurs

II DEFINITION PROPRIETES

Deacutesignons par E un ensemble de points qui pourra ecirctre agrave volonteacute la droite le plan ou lespace

II -1 Les translations les symeacutetries centrales les reacuteflexions et Cpour le plan et lespace) les rotations et les

- z shy


reacuteflexions-glissements ont en commun les proprieacuteteacutes suishyvantes

Pl Conserver les longueurs cest-agrave-dire que quels que soient les points A B leurs images respectives A B sont telles que AB = AB

P2 Transformer toute droite en une droite toute de-mi-droite en une demi-droite tout segment en un segment

P3 Conserver les angles-de-secteurs

P4 Etre une bijection

On deacutemontre le theacuteoregraveme suivant

Toute application de E vers lui-mOme posseacutedant Pl possegravede aussi P2 P3 et P4

La reacuteciproque est fausse les simil~tudes de rapport autre que 1 (en particulier les homotheacuteties de rapport autre

middotque 1 et -1) possegravedent P2 P3 et P4 mais non Pl


Isomeacutetrie de E

signifie

application de E vers lui-mecircme qui conserve les longueurs

Degraves lors le theacuteoregraveme du paragraphe II -1 peut seacutenoncer ainsi

Toute isomeacutetrie possegravede les proprieacuteteacutes P2 P3 et P4

Nous examinerons plus loin sil existe dautres isoshymeacutetries que celles qui ont eacuteteacute citeacutees au deacutebut de II - 1

Remarque Si lon juge bon dutiliser le mot isoshymeacutetrie au collegravege il est sans doute preacutefeacuterable et cershytainement leacutegitime deacutevoquer lune des deux deacutefinitions (surabondantes) suivantes

Bijection de E vers lui-mecircme qui conserve les longueurs

- 3 shy


middotBijection de E vers lui-mecircme qui eacuteonserve les longueurs et les angles-de-secteurs

II - 3 Autres proprieacuteteacutes des isomeacutetries

Toute isomeacutetrie conserve le paralleacutelisme (droiteshydroite) (plan-plan) (droite-plan)

Toute isomeacutetrie conserve dans lespace les volushymes et les aires dans le plan les aires

Le milieu de deux points a pour image le milieu de leurs images plus geacuteneacuteralement le barycentre de n points affecteacutes de coefficients a pour image le barycentre des imashyges de ces points affecteacutes des mecircmes coefficients

II- 4 Soit J Une Isomeacutetrie de E et F une figure lenshy

semble des points images par J des points de F est une figure F dite image de F par J

J est une bijection la bijection reacuteciproque de J est aussi une isomeacutetrie par laqtielle F a pour image middotP

On dit que les deux figures F et F sont isomeacutetriques

Plus geacuteneacuteralement eacutetant donneacute deux figures dire quelles sont isomeacutetriques cest dire quil existe au moins une isomeacutetrie par

laquelle lune des figures est limage de lautre

Par exemple sont isomeacutetriques deux segments de mecircme longueur deux secteurs de mecircme angle deux cercles de mecircme rayon deux sphegraveres de mecircme rayon deux rectangles de mecircme longueuret mecircme largeur

etc

- 4 shy


III GROUPE DES ISOMETRIES DE E

Rappelons que nous avons deacutesigneacute par E un enshysemble de points qui peut ecirctre agrave volonteacute la droite le plan ou lespace

De la deacutefinition Cvoir II- 2) il reacutesulte que toute composeacutee disomeacutetries est une application de E vers lui-mecircme qui conserve elle aussi les longueurs donc St une isomeacutetrie

Autrement dit la composition des isomeacutetries de E est une loi dans lensemble ~1 des isomeacutetries de E

Cette loi est associative (comme toute composition dapplications)

Il existe un eacuteleacutement neutre dans ~(l agrave savoir lidentiteacute de E

Toute isomeacutetrie J a un symeacutetrique dans i agrave sashyvoir lisomeacutetrie reacuteciproque de J (voir II- 4)

En reacutesumeacute lensemble j muni de la composition des applications est un groupe appeleacute groupe des isoshymeacutetries de E

Ce groupe nest pas commutatif pour sen asshysurer il suffit de composer deux symeacutetries centrales (voir HOMOTHETIE VI- 2)

IV INVENTAIRE DES ISOMETRIES DE LA DROITE

Les isomeacutetries de la droite sont les reacuteflexions cest-agrave-dire les symeacutetries censhy

trales (voir REFLEXION)

Les translations (y compris lidentiteacute) chacune pouvant ecirctre obtenue dune infiniteacute de faccedilons comme composeacutee dun couple de reacuteflexions

On deacutemontre par exemple de proche en proche que la composeacutee de tout p-uplet de reacuteflexions est soit (lorsque p est impair) une reacuteflexion soit Clorsque p est pair) une translation eacuteventuellement de vecteur nul

- 5 shy


V INVENTAIRE DES ISOMETRIES DU PLAN

V -1 On deacutemontre que les isomeacutetries du plan sont de lun des types suivants

reacuteflexion cest-agrave-dire symeacutetrie orthogonale par rapport agrave une droite miroir de la reacuteflexion

composeacutee dun couple de reacuteflexions cest-agrave-dire si les miroirs sont parallegraveles translation (y

compris 1identiteacute) si les miroirs sont seacutecants rotation 1

composeacutee dun triplet de reacuteflexions cest-agrave-dire si les trois miroirs sont parallegraveles ou conshy

courants reacuteflexion sinon reacuteflexion-glissement

V- 2 En reacutesumeacute

les reacuteflexions Les isomeacutetries du plan sont

J

1 ~~~2~~1issements (ce qui comprend lidentiteacute du plan)

V- 3 bull On sait deacutejagrave (voir deacutebut de Ill) que la composeacutee de tout p-uplet de reacuteflexions est une isomeacuteshytrie Plus preacuteciseacutement on deacutemontre que cest

une reacuteflexion ou une reacuteflexion-glissement si p est impair

une translation ou une rotation (eacuteventuelleshyment lidentiteacute du plan) si pest pair

V- 4 Un autre moyen de classemiddotr les isomeacutetries du plan consiste agrave consideacuterer les points et droites inshyvariants On aboutit au reacutesumeacute suivant

1 Rappelons (voir TRANSLATION et ROTATION) que chaque translation ou chaque rotation peut eurotre obtenue dune infi shyniteacute de faccedilons comme composeacutee dun couple de reacuteflexions

- 6 shy

MOTS 9 - lSOMETRll shy

Une droite globa-

Aucn point invariant

Au moins un point invariant

lement invariante _ Reacuteflexion-glissement et une seule

Une direction de droites dont chashy Translation de cune est globaleshy vecteur non nul ment invariante

Rotation de centre AAucun autre

et dangle non nul

Chaque point Reacuteflexion dede (AB) et ~ miroir CAB)

un autre B Au moins unmiddot

point ex teacute- - Identiteacute rieur agrave CAB)

VI INVENTAIRE DES ISOMETRIES DE LESPACE

VI -1 On deacutemontre que les isomeacutetries de lespashyce sont de lun des types suivants

reacuteflexion cest-agrave-dire symeacutetrie orthogonale par rapport agrave un plan miroir de la reacuteflexion

composeacutee dun couple de reacuteflexions cest-agrave-dire si les miroirs sont parallegraveles translation si les miroirs sont seacutecants rotation 2

composeacutee dun triplet de reacuteflexions cest-agrave-dire si les trois miroirs sont parallegraveles ou ont

une droite en commun reacuteflexion

2 Rappelons (voir TRANSLATION et ROTATION) que chaque translation ou chaque rotation peut ecirctre obteshynue dune infiniteacute de faccedilons comme composeacutee dun coushyple de reacuteflexions

- 7 shy

MOTS 9 - ISO MET Rleuml shy

si les trois miroirs sont parallegraveles agrave une mecircme droite sans quon soit dans le cas preacuteceacutedent (aushytrement dit ou bien deux des miroirs sont parallegraveles et le troisiegraveme les coupe ou bien les trois miroirs deacutetershyminent un prisme) reacuteflexion-glissement

sinon (cest-agrave-dire si les trois miroirs ont un seul point commun) antirotation 3

composeacutee dun quadruplet de reacuteflexions cestshyagrave-dire translation ou rotation ou vissage 1

bull

VI- 2 bull En reacutesumeacute

les reacuteflexions

lles translations

Les isomeacutetries de les rotations lespace sont les reacutef exions-g1issements

les antirotations les vissages

(ce qui comprend lidentiteacute de lespace)

3 Antirotation signifie composeacutee dans un ordre ou dans lautre dune rotation et dune reacuteflexion dont le miroir est un plan perpendiculaire agrave laxe de la rotashytion Toute symeacutetrie centrale est une antirotation dont la rotation a pour angle langle plat

Le preacutefixe anti nous paraissant eacutequivoque nous preacutefeacuteshyrerions reacuteflexion-rotation construit sur le mecircme modegraveshyle que reacuteflexion-glissement

~ Vissage signifie composeacutee dans un ordre ou dans lautre dune rotation et dune translation dont le vecshyteur est vecteur directeur de laxe de la rotation

La restriction dun vissage dont la rotation est dangle plat sur tout plan contenant laxe de la rotation est une reacuteflexion-glissement Cela seul jJstifierait quon remplace le mot traditionnel vissage par rotation-glisshysement comme on a dit plus haut reacuteflexion-glissement Voir aussi X- 2

- 8 shy


VI- 3 Comme on la fait dans le plan on peut classer les isomeacutetries de lespace en consideacuterant les points droites et plans invariants

Nous ne preacutesentons pas cette classification

VII ISOMETRIE ET INDEFORMABILITE

Revenons sur les manipulations eacutevoqueacutees agrave la fin du paragraphe 1

VII -1 Manipulations relatives agrave la geacuteomeacutetrie du plan VII -1 1 Supposons quon ait poseacute sur une table

deux dessins tels quen deacuteplaccedilant lun on puisse lameshyner agrave recouvrir exactement lautre

dans certains cas on peut se contenter de faishymiddotre glisser lun des deux dessins sur la table Cfigure 1)

dans les autres cas un retournement fccedilce pour face de lun des deux dessins est indispensable Cfigure 2 )

Remarquons que si lun des dessins possegravede une droite dautosymeacutetrie (donc lautre aussi)middot chacune des deux manipulations reacuteussit (figure 3)

AgraveF F A Igt

figure figure 2 figure 3

Dans tous les cas on peut dire que les deux dessins sont superposables

VII 1 2 On aurait pu sans deacuteplacer aucun des deux dessins deacutecalquer lun et constater en deacuteplaccedilant le papier-calque avec ou sans retournement face pour face que le dessin sur papier-calque est aussi superposhysable agrave lautre dessin

- 9 shy


On peut dire que chacun des deux dessins est substituable agrave lautre dans le rocircle quil joue vis-agrave-vis du dessin sur papier-calql[e

VII -13 Comme on tient pour eacutevident que la longueur de nimporte quel segment lieacute au dessin quon a deacuteplaceacute (en VII- 1 1) ou au dessin sur papier-calque (en VII - 1 2 ) est conserveacutee lors du transport les mots superposable et substituable peuvent ecirctre consideacutereacutes comme de bons eacutequivalents concrets du mot isomeacutetrishyque tant quon se borne agrave une premiegravere approche de la geacuteomeacutetrie du plan

VII -14 Lessentiel est quon ne simagine pas avoir deacutemontreacute quoi que ce soit par une approche de ce genre comme on avait coutume de le faire avec les cas deacutegaliteacute (voir XI - 3) En effet

dune part on utilise un veacuteritable postulat physique quand on admet quun morceau de papier ( voishyre une feuille meacutetallique) est indeacuteformable

dautre part pour rester en geacuteomeacutetrie du plan il faudrait consideacuterer que le dessin deacuteplaceacute et le dessin sur papier-calque sont dans Je mecircme plan lui-mecircme sans eacutepaisseur ce qui exclut quils aient des faces disshytinctes en contradiction avec la locution retournement face pour face En matheacutematique les phrases Le plan a deux faces Le plan na quune face sont deacutepourshyvues de signification 5

bull

Cependant ces objections sont plus sensibles aux personnes deacutejagrave formeacutees agrave la geacuteomeacutetrie quaux deacuteshybutants ceux-ci risqueraient mecircme de les trouver speacutecieuses A 1 expeacuterience les proceacutedeacutes de VII - 1 1 et VII- 1 2 passent la rampe assez bien de toute fashyccedilon des approches de ce genre sont ineacutevitables ainsi que leffort intellectuel neacutecessaire pour sen abstraire

s Cela nempecircche pas quun plan reacutegionne lespace en deux demi-espaces

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MOTS 9 - ISOMJTRIJ shy

VII - 2 o Manipulations relatives agrave la geacuteomeacutetrie de lespace

VII- 2 1 Le mot superposable est ici totaleshyment inadapteacute et ne peut mener quagrave des erreurs

Quand le maicirctre dit Deux cubes pleins de mecircshyme arecircte sont superposables il veut dire quon peut imaginer lun des cubes venant coiumlncider avec lautre mais cette coiumlncidence est mateacuteriellement irreacutealisable En fait dans le langage courant superposer les deux cubes cest poser lun sur lautre et on peut aussi bien superposer deux cubes darecirctes diffeacuterentes ou un cube et une pyramide ou pour bacirctir un mur des piershyres de formes diverses on superpose alors des solides qui nont rien disomeacutetriques

VII- 2 o 2 o Au contraire le mot substituable peut encore ecirctre utiliseacute dans certains cas Prenons lexemple dappareils meacutenagers livreacutes dans des logeshyments en plastique deux appareils de mecircme type peuvent ecirctre substitueacutes lun agrave lautre dans le logement correspondant

Toutefois ce nest pas toujours le cas Pour certaishynes paires dobjets la substitution de lun agrave lautre nest pas possible bien que les longueurs se conservent quand on passe de lun agrave lautre

les deux chaussures dune mecircme paire ne peuvent pas sadapter correctement agrave un mecircme embauchoir un embauchoir droit ne convient quagrave des chaussures droites

on ne peut pas enfiler sa main droite dans un gant gauche

on ne peut pas visser un eacutecrou taraudeacute agrave droishyte sur une tige fileteacutee agrave gauche quand bien mecircme cet eacutecrou pourrait ecirctre visseacute sur une tige fileteacutee agrave droite isomeacutetrique agrave la premiegravere (mecircme diamegravetre mecircme pas mecircme forme de filet)

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MOTS 9 - ISOMETRIJ shy

Voici agrave preacutesent un exemple plus geacuteomeacutetrique A partir dun patron de teacutetraegravedre on peut confectionner deux teacutetraegravedres ABCD et ABCE suivant quon replie trois faces dun E cocircteacute ou de laushytre du plan P de middotla quatriegraveme ils seacutechangent dans la reacutefleshyxion de miroir (plan) P donc ils sont isomeacuteshytriques et pourshytant on ne peut D pas substituer lun agrave lautre dans quelque logement que ce soit par quelque deacuteplacement que ce soit (sauf si lun desmiddot teacutetraegravedres et donc aussi lautre possegravede un plan dautoshysymeacutetrie)

VII- 2 3 La conclusion est donc tregraves diffeacuterente de celle de VII- 1 3 Deux figures de lespace substishytuables lune agrave lautre sont neacutecessairement isomeacutetriques mais il ne suffit pas quune figure soit isomeacutetrique agrave une autre pour quelle lui soit substituable

Certes une fois admise lindeacuteformabiliteacute des soshylides mateacuteriels on peut encore lutiliser pour donner une premiegravere ideacutee de lisomeacutetrie en geacuteomeacutetrie de lespashyce Mais on ne pourra pas rester longtemps agrave ce stade en laissant croire que cette indeacuteformabiliteacute eacutepuise le concept disomeacutetrie

VII- 3 Ougrave lon concllie VII-1 et VII- 2 Ainsi la question poseacutee agrave la fin du paragraphe

semble appeler deux reacuteponses opposeacutees injustifieacutee dans lespace dapregraves VII- 2 lassimilation entre indeacuteformabiliteacute et conservation des longueurs serait acceptable dans le plan dapregraves VII - 1 En fait cette derniegravere assertion ne reacutesiste pas agrave une analyse plus pousseacutee

- 12 shy


VII- 3 1 Dans du carton blanc dun cocircteacute et hashychureacute de lautre on deacutecoupe une surface triangulaire non isocegravele ABC Appelons D E F les milieux respecshytifs des cocircteacutes 1AB 1 1BC 1 1CA 1

On fractionne la surface en quatre C surfaces triangulaires ADF EDB DEF CEF Ces quatre triangles sont isomeacutetriques

On livre en vrac les quatre petits trianshygles et on demande de les assembler de faccedilon agrave reconstituer un triangle

Lexpeacuterience montre quon ny parvient que si les quatre petits cartons preacutesentent tous leurs faces blanshyches ou tous leurs faces hachureacutees Ce nest quagrave cette condition que lon peut les qualifier ici de superposashybles ou de substituables lun agrave lautre

VII- 3 2 Un autre exemple est fourni par les pentaminos qui sont assemblages plans de cinq carreacutes de mecircme dimension tels que deux carreacutes contigus ont un cocircteacute commun Quand on veut les reacutealiser une reshycherche meacutethodique conduit agrave 18 assemblages deux agrave deux non superposables par glissement sur le plan ce nombre se reacuteduit agrave 12 si on convient de ne pas distinshyguer deux assemblages superposables apregraves retourneshyment face pour face de lun deux

VII- 3 3 En fait dans le VII -1 on ne sest pas conshyformeacute agrave la regravegle du jeu de la geacuteomeacutetrie du plan en utilishysant dans certains cas des deacuteplacements dans Jespace le retournement face pour face neacutecessite une incursion dans lespace ougrave est plongeacute le plan (alor~ que en geacuteomeacuteshytrie de lespace on ne peut pas concreacutetiser le passage dune main droite agrave une main gauche par une incursion dans lespace agrave quatre dimensions )

- 13 shy

MOTS 9 - ISOMETRI E shy

VII- 3 4 En deacutefinitive dans le plan comme dans lespace deux figures peuvent ecirctre isomeacutetriques sans ecirctre substituables lune agrave lautre Si en geacuteomeacutetrie du plan on refuse de sortir dans lespace pas le mot superposable na pas plus de signification dans le plan que dans lespace

VII ISOMETRIE ET ORIENTATION

VIII -1 La geacuteomeacutetrie rend compte gracircce agrave la notion dorientation des situations eacutevoqueacutees en VII (voir ORIENTATION VI)

Revenons agrave lensemble E de II Toute reacuteflexion altegravere lorientation de E (et des

parties orientables de E) (voir REFLEXION)

Par conseacutequent la composeacutee dun p-uplet de reacutemiddotshyflexions (qui est une isomeacutetrie)

conserve lorientation si p est pair altegravere lorientation si p est impair Dans le premier cas lisomeacutetrie est dite positive

dans le second neacutegative Dans le plan toute isomeacutetrie positive conserve

les angles-de-couples et toute isomeacutetrie neacutegative transforme tout angle-de-couples en son opposeacute

VIII- 2 Revenons agrave II- 4 Etant donneacute deux figures isomeacutetriques dire quelles sont positivement isomeacutetriques

cest dire quil existe au moins une isomeacutetrie positive par laquelle lune des figures est limage de lautre

dire quelles sont neacutegativement isomeacutetriques cest dire quil existe au moins une isomeacutetrie neacutegative par laquelle lune des figures est limage de lautre6

6 Au lieu de positivement isomeacutetriques on dit aussi direcshytement isomeacutetriques au lieu de neacutegatimiddotbullbullement isomeacutetri shyques on dit aussi inversement isomeacutetriques avec les inconveacutenients qui sattachent aux multiples emplois des mots direct et inverse et des mots deacuteriveacutes ( vqir INVERSE)

- 14 shy


ll arrive que deux figures isomeacutetriques le soient aussi bien positivement que neacutegativement cest le cas si et seulement si chacune preacutesente au moins une aushytosymeacutetrie neacutegative

VIII 3 Sur la droite les isomeacutetries positives sont les translations

(p est pair) les isomeacutetries neacutegatives sont les reacuteflexions

(p est impair)

VIII- 4 Dans le plan les isomeacutetries positives sont les translations et

les rotations (p est pair) les isomeacutetries neacutegatives sont les reacuteflexions et

les reacuteflexions-glissements (p est impair)

VIII-5middot Dans lespace les isomeacutetries positives sont 1es translations

les rotations et les vissages (ou rotations-glissements) (p est pair)

les isomeacutetries neacutegatives sont les reacuteflexions les reacuteflexions-glissements et les antirotations (entre autres les symeacutetries centrales) (p est impair)

VIII- 6 Dans VII- 1 pour les deux figures plashynes isomeacutetriques la superposition ou la substitution seffectue concregravetement

sans retournement face pour face si les figures sont positivement isomeacutetriques

avec retournement face pour face si elles sont neacutegativement isomeacutetriques

Dans VIl- 2 deux figures isomeacutetriques de lespashyce ne sont concregravetement substituables lune agrave lautre que si elles sont positivement isomeacutetriques Deux vis de mecircmes dimensions sont positivement isomeacutetriques si ce sont soit deux vis agrave gauche soit deux vis agrave droite neacutegativement isomeacutetriques sil sagit dune vis agrave droite et dune vis agrave gauchemiddot etc

- 15 shy


IX EN GEOMETRIE DE LESPACE GENERATION DES ISOMETRIES POSITIVES PAR DES SYMETRIES ORTHOGONALES PAR RAPPORT A UNE DROITE

Une symeacutetrie orthogonale par rapport agrave une droite (dite axe de la symeacutetrie) est une rotation dangle plat donc une isomeacutetrie positive

En composant un couple de telles symeacutetries on obtient une translation si les axes sont parallegraveles une rotation si les axes sont seacutecants un vissage si les axes ne sont pas coplanaires

Inversement toute isomeacutetrie positive de lespace est dune infiniteacute de maniegraveres la composeacutee dun couple de symeacutetries orthogonales par rapport agrave une droite

X ISOMETRIES ET DEPLACEMENTS

X -1 Lorsquun corps solide est en mouvement (caillou qui roule le long dune pente statuette quon deacuteplace ) deux quelconques de ses positions sont positivement isomeacutetriques Parler diso~neacutetrie cest ne consideacuterer que ces deux positions sans se preacuteoccuper des positions intermeacutediaires occupeacutees au cours du deacuteplacement en faisant abstraction du temps comme on la fait deacutejagrave pour la translation et la rotation (voir TRANSLATION VI ROTATION VII)

Cest lagrave que reacuteside le problegraveme majeur dans leacutelaboration du concept disomeacutetrie il consiste agrave eacutelishyminer les notions de temps de mouvement de deacuteplaceshyment bref de tout ce qui est perccedilu comme intermeacuteshydiaire entre la figure initiale et la figure finale Cest par lagrave seulement quon peut acceacuteder au concept dapplication de E vers lui-mecircme Cela ne se fait pas du jour au lendemain et on ne court pas grand risque en affirmant que dans le langage voire dans le psyshychisme du matheacutematicien mecircme chevronneacute il subsiste des traces de cette cineacutematique naiumlve

- 16 shy

MOTS 9 - ISOMITRII shy

X- 2 Dans le souci de distinguer geacuteomeacutetrie et meacutecanique le mot deacuteplacement naguegravere utiliseacute dans le sens d isomeacutetrie positive est trop lieacute agrave la meacutecanique pour ne pas ecirctre dangereux en geacuteomeacutetrie Mecircme remarshyque pour deacuteplacement heacutelicoiumldal au lieu de vissage ce dernier nest dailleurs guegravere meilleur nos proposhysons plus haut Cvoir VI-1) rotation-glissement

X- 3 Au lieu de symeacutetrie orthogonale par rapshyport agrave une droite on emploie aussi demi-tour Mais dune part ce vocable rappelle trop la cineacutematique dautre part il risque deacutevoquer tout aussi bien dans le plan la symeacutetrie centrale

XI bull EGALITE ET ISOMETRIE La notion deacutegaliteacute lemploi du signe = ont eacuteteacute

heureusement preacuteciseacutes depuis une vingtaine danneacutees (voir les rubriques EGALITE dans MOTS I et DISshy

TINCTS CONFONDUS INEGAUX EGAUX dans MOTS FLOUS de MOTS VIII)

Lexpression middot~figures isomeacutetriques a eacuteteacute deacutefinie ci-dessus en Il- 4

XI -1 La phrase

Les segments 1AB 1 et 1 CD 1 sont eacutegaux

veut indiquer quon est en preacutesence dun seul segment deacutesigneacute indiffeacuteremment par [AB] ou par [CDJ (voir fishy

gure 1 et figure 2) mais le pluriel dont elle est greshyveacute~ est une bonne faccedilon de brouiller les id~es des eacutelegraveves sur leacutegaliteacute Mieux vaut dire

[ABl et LCDJ deacutesignent le mecircme segment ou encore

[ABJ = [CDJ eacutegaliteacute qui se lit

segment [ABJ est eacutegal agrave segment [CDJ

- 17 shy


Cette mecircme phrase Les segments LAB] et lCDl sont eacutegaux a longtemps voulu dire (voir figure 3)

Les segments lABJ et lCDJ ont la mecircme longueur ce qui sexprime aussi par

Les segments r ABl et rCDl sont isomeacutetriques

ou par AB = CD eacutegaliteacute qui se lit

longueur AB est eacutegale agrave longueur CD

B B c

1)

A--------B 1)

c DC

figure 1 figure 2 figure 3

XI- 2 On peut deacutevelopper des consideacuterations analogues agrave propos de secteurs-de-plan (voir dans MOTS V la rubrique SECTEUR ANGLE Ill-5-1)

En particulier secteurs isomeacutetriques est synoshynyme de secteurs de mecircme angle

Xl- 3 Les ceacutelegravebres cas deacutegaliteacute des triangles ont eacuteteacute jadis un des piliers de la geacuteomeacutetrie eacuteleacutementaire malheureusement on preacutetendait souvent les deacutemontrer Ces excegraves leur ont valu une longue eacuteclipse Ils tentent de reacuteapparaicirctre bien que les Commentaires Officiels pour la classe de cinquiegraveme preacutecisent segravechement Le recours aux cas deacutegaliteacute des triangles pour leacutetude des figures geacuteomeacutetriques est exclu

En tout cas si on les utilisait ils seraient pris comme axiomes (donc ne seraient pas deacutemontreacutes) et ce devrait ecirctre sous un autre nom cas disomeacutetrie

- 18 shy


ou encore si on tenait agrave eacuteviter ce dernier mot cas de superposabiliteacute terme acceptable en geacuteomeacutetrie du plan pour une premiegravere approche voir VII ( voir aussi dans MOTS V la rubrique VOCABULAIRE DE LA GEOMEshy

TRIE TRIANGLE II)

En outre le mot tas est malencontreux car il eacutevoque ordinairement la subdivision dune eacutetude par disjonction et exhaustion Le mot critegraven~ serait preacutefeacuterashyble puisquil sagit en fait de conditions suffisantes pour que deux triangles donneacutes soient isomeacutetriques

- 19 shy

MOTS 9 - REFLEXION shy

REFLEXION

Appelant D la droite P le plan E lespace consideacuterons

dans D dans P

une une

symeacutetrie de centre 0 symeacutetrie orthogonale daxe Il

dans E une symeacutetrie orthogonale de plan II

Ces trois symeacutetries orthogonales ont en commun

decirctre neacutegatives (voir ORIENTATION)

dadmettre pour ensemble des points invashyriants dans chaque espace de dimension n Cn est 1 pour la droite 2 pour le plan 3 pour lespace) un sous-espace de dimension n -1 Cici OJ Il ou II respectivement en efshyfet (01 est un middotmiddotespace de dimension 0)

On rassemble agrave preacutesent ces symeacuteries sous le voshycable reacuteflexion et on pourrait envisager dappeler miroir dune reacuteflexion lensemble de ses points invariants

Cette terminologie permet des eacutenonceacutes tregraves geacuteneacuteshyraux comme celui-ci qui sapplique agrave volonteacute dans D P ou E Cvoir ISOMETRIE) ou mecircme dans un espace de dishymension n

Toute isomeacutetrie est la composeacutee dun p-uplet de reacuteflexions pour une isomeacutetrie donneacutee le naturel p ne peut prendre que des valeurs paires si elle est positive et impaires si elle est neacutegative la plus petite de ces valeurs de p est infeacuterieure ou eacutegale agrave n + 1

Voir les programmes actuels du Lyceacutee ( arrteuml du 14-3- 86

voir aussi Bulletin APMeumlP no 359 page 322

- 1 shy

MOTS 9 - REFLEXION-GLISSEMENT shy

REFLEX 10 N- GLISSEMENT

Dans le plan ou dans lespace ce yocable signifie

composeacutee dans un ordre ou dans lautre dune reacuteflexion et dune translation dont le vecteur est un vecshyteur directeur du miroir (droite dans le premier cas plan dans le deuxiegraveme) de la reacuteflexion (voir REFLEXION)

Les reacuteflexions-glissements sont les isomeacutetries neacutegatives (du plan ou de lespace) sans point invariant (voir lSOMETRIEL

Remarque Au lieu de reacuteflexion-glissement on rencontre aussi lexpression reacuteflexion glisseacutee qui ne deacutesigne pas une reacuteflexion Cette anomalie grammaticale se retrouve par exemple en physique dans masse volumique (qui nest pas une masse) force eacutelectroshymotrice (qui nest pas une force)

- 1 shy

MOTS 9 - VECTORIEL shy

VECTORIEL I Carreacutes magiques

1 I Suites arithmeacutetiques III Calculs en eacuteconomie IV Les vecteurs de la geacuteomeacutetrie du plan ou de lespace V IR-vectoriel

VI Dimension dun IR -vectoriel VII Exemples de IR-vectoriels

VIII Bases Coordonneacutees IX Utilisations X Geacuteneacuteralisation

1 CARRES MAGIQUES I -1 Consideacuterons la grille carreacutee ci-contre

dont chacune des 9 cases contient Ltn nombre Cette grille G possegravede une proprieacuteteacute

2 9 4 7 5 3 6 1 8

remarquable la somme des nombres de chaque ltgne de chaque colonne et de chaque diagonale est la mecircshyme ici 15

On dit que G est un carreacute magique dordre 3 dont la somme magique est 15

Dans ce carreacute magique un raffinement suppleacuteshymentaire intervient les nombres utiliseacutes sont des nashyturels conseacutecutifs Nous ne tiendrons pas compte de cette particulariteacute dans ce qui suit

Voici dautres exemples

est un carreacute magique H dont la somme magique est 0

0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

23 116 12 56 1 76 32 16 43

est un carreacute magique K dont la somme magique est 3

- 1 shy


Lorsque toutes les cases sont occupeacutees par un mecircme nombre on obtient un type de carreacute magique qui peut pashyraicirctre banal mais dont nous aurons lemploi plus tard En particulier est un carreacute magique quon

peut appeler le carreacute magishyque nul dordre 3 Sa somme magique est nulle

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Il existe dautres carreacutes magiques dont la somshyme magique est nulle H par exemple

Tous les carreacutes magiques preacuteceacutedents sont dordre 3 mais il existe des carreacutes magiques de nimporte quel ordre Aux ordres 1 ou 2 les carreacutes magiques sont neacutecessairement

de la forme iumll ou ~ oll a est un nombre arbitraire ~ ~

Voici un exemple moins banal --- ---middotmiddot middotmiddot---middotmiddot -middotmiddotmiddot

~L -6

--=~ __ _1_ __ -l_ -l___--_Lr---1_ est un carreacute magique dordre 4

-1 -1 -1 -1 dont la somme magique est -4 0 2 -1 -5

1-2 Les quelques exemples preacuteceacutedents peuvent pishyquer la curiositeacute et susciter lenvie de chercher dautres carreacutes magiques avec larriegravere-penseacutee de les trouver tous

Nous nous limiterons deacutesormais aux carreacutes mashygiques dordre 3

Un premier moyen immeacutediat consiste agrave partir dun carreacute magique deacutejagrave eacutecrit et agrave utiliser les symeacutetries du carreacute

Par exemple en eacutechangeant les colonnes extrecircmes

agrave partir de

on obtient le carreacute magique

2 9 4 7 5 3 6 1 8

4 9 2 3 5 7 8 1 6

Evidemment on aurait pu aussi eacutechanger les lignes extrecircshymes ou utiliser les symeacutetries par rapport aux diagonales Mais le proceacutedeacute de porteacutee limiteacutee ne donne que 8 carreacutes mashygiques qui de surcroicirct ont tous la mecircme somme magique

- 2 shy

6


Au contraire voici des proceacutedeacutes qui fournissent agrave pelt de frais de nouveaux carreacutes magiques en nombre illimiteacute

Multiplions tous les nombres du carreacute magishyque K par 6 on obtient

6x23 6x116 6x12 6x56 6x1 6x76 6x32 6x16 6x43

ou plus simplement 4 11 3 5 6 7 9 1 8

qui est encore un carreacute magique U sa somme magishyque est 18 cest-agrave-dire 6x3 Il est commode (et nous verrons quil nest pas abusif) de dire quon a multi shyplieacute K par 6 et deacutecrire U = 6 K

Additionnons case agrave case les carreacutes magiques U et G on obtient

4+2 11+9 3+4 5+7 6+5 7+3 9+6 1+1 8+8

ou plus simplement 6 20 7

12 11 10 15 2 16

qui est encore un carreacute magique V sa somme magique est 33 cest-agrave-dire 18 + 15 Ici encore il est commode (et non abusif) dappeler ce nouveau carreacute magique somme de U et G et deacutecrire V = U + G Le carreacute magique nul est leacuteleacutement neutre de cette addition

On est vite convaincu de la geacuteneacuteraliteacute des deux proceacutedeacutes ci-dessus De plus le dernier exemple citeacute montre quon peut les combiner car de U = 6 K et V = U + G on deacuteduit V = 6K + G On peut rendre compte des calculs par des eacutecritures telles que

23 1116 12 56 1 76 32 16 43

2 9 4 7 5 3 6 1 8

= 0 -7 -5

-9 -4 1 -3 -1 -8

+ ( -2)

dont linterpreacutetation ne preacutesente pas de difficulteacute Le carreacute magique obtenu a pour somme magique -12 cest-agrave-dire 6 x 3 + ( -2) x 15

I- 3 Demploi tregraves simple ces deux proceacutedeacutes permettent de faire prolifeacuterer les exemples agrave partir de carreacutes magiques deacutejagrave eacutecrits En revanche ces proceacutedeacutes ne satisfont pas complegravetement la curiositeacute initiale car

- 3 shy


il nest pas eacutevident quils permettent dobtenir tous les carreacutes magiques dordre 3

Pour les obtenir tous adoptons une deacutemarche systeacutemashytique mais fastidieuse Imposons-nous la somme magique s et choisissons de proche en proche les termes du carreacute

Prenons a et b arbitrairement

Compleacutetons la premiegravere ligne 1 a1 t-a-b 1

Prenons c arbitrairement 1~ 1t-a-b 1

Compleacutetons la premiegravere colonne 1s--c 1 b1s-a-b 1

Compleacutetons la diagonale qui monte de gauche agrave droite

a b s-a-b c 2a+b+c-s

s-a-c

Compleacutetons la deuxiegraveme ligne puis la deuxiegraveme colonne

a b s-a-b c 2a+b+c-s 2s-2a-b-2c

s-a-c 2s-2a-2b-c

La troisiegraveme ligne doit ecirctre compleacuteteacutee par 3a + 2b + 2c- 2s Il se trouve que du mecircme coup la somme des termes de la troisiegraveme colonne est s

Il reste agrave examiner la somme des termes de lautre diagonale Cette somme est 6a + 3b + 3c- 3s par conseacutequent le carreacute est magique si et seulement si

6a+3b+3c-3s = s Cette eacutegaliteacute peut seacutecrire 3 ( 2a+ b+ c _ s) = s

ce qui montre que le carreacute est magique si et seulement si le terme central 2a + b +c-s est le tiers de la somme magique s

- shy

MOTS 9 - VlCTORIIL shy

Ce reacutesultat propre aux carreacutes magiques dordre 3 incite agrave reacuteorganiser le carreacute preacuteceacutedent en privileacutegiant le terme central s3 que nous noterons deacutesormais z

(forme 1) a b 3z-a-b

4z-2a-b z 2a+ b-2z a+b-z 2z-b 2z-a

On pegraveut donner une forme plus symeacutetrique au reacutesulshytat preacuteceacutedent en deacutesignant par z + x le terme du haut agrave gauche et par z +y le terme du haut agrave droite

z+x z-x-y z+y z-x+y z z+x-y z-y z+x+y z-x

(forme 2)

I-4 Observons la premiegravere forme agrave la lumiegravere des combinaisons utiliseacutees en 1-2

a b 3z-a-b 4z-2a-b z 2a+ b-2z a+b-z 2z-b 2z-a

somme magique 3z

= a 0 -a

-2a 0 2a a 0 -a

+

0 b -b -b 0 b b -b 0

+

0 0 3z 4z z -2Z -z 2z 2z

somme somme somme magique 0 magique 0 magique 3z

et par conseacutequent

a b 3z-a-b 4z-2a- b z 2a+ b-2z a+b-z 2z-b 2z-a somme magique 3z

+ z+ b= a 1 0 -1

-2 0 2 1 0 -1

0 1 1

-1 0 1 1 -1 0

0 0 3 4 1 -2 -1 2 2

somme somme somme magique 0 magique 0 magique 3

- 5 shy

MOTS 9 - VJCTORIJL shy

Nommons ces trois derniers carreacutes

1 0 -1

-2 0 2 1 0 -1

B =A= 0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

c =

0 0 3 4 1 -2 -1 2 2

On voit alors que tout carreacute magique dordre 3 est une comshybinaison de ces trois carreacutes du type

aA+bB+zC Observons de mecircme la deuxiegraveme forme obtenue en 1- 3

z+x z-x-y z+y

z-x+y z z+x-y z-y z+x+y z-x

somme magique 3z

z z 1 z

z z z=

z z z

x -x 0 -x 0 x 0 x -x

0 -y y

y 0 -y -y y 0

+ +

somme somme somme magique 3z magique 0 magique 0


z+x z-x-y z+y


somme magique 3z

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 -1 0 -1 0 1 0 1 -1

0 -1 1

1 0 -1 -1 1 0

+ y+ x= z



D= 1 1 1 1 1 1 1 1 1

E= 1 -1 0

-1 0 1 0 1 -1

F = 0 -1 1

1 0 -1 -1 1 0


zD + xE + yF

- 6 shy

MOTS 9 - VICTORIIL shy

II SUITES ARITHMETIQUES

II -1 Lexpression suite arithmeacutetique sera prise ICI dans lacception suivante une application f de IN vers IR est appeleacutee suite arithmeacutetique lorsquil existe un reacuteel r tel que f( n + 1) = f( n) + r pour tout naturel n Le nombre r est appeleacute la raison de la suite f

La suite S deacutetermineacutee par SCn) = 2n - 3 pour tout naturel n est une suite arithmeacutetique de raison 2 Il sera plus parlant ici deacutevoquer S par le tableau

2 3 4 5 -1 3 5 7

et de faccedilon abreacutegeacutee par la 1iste

-3 -1 1 3 5 7 des images par S des premiers naturels

Voici dautres exemples la suite arithmeacutetique T 72 1 -32 -4 -132

-9 a pour raison -52 la suite arithmeacutetique U 0 1 2 3 4 5

6 a pour raison 1 les suites arithmeacutetiques constantes a a a

a (ougrave a est un nombre) ont pour raison 0 parmi elles se trouvent en particulier

la sui te V 1 1 1 1 1 et la suite nulle 0 0 0 0

En revanche aucune suite commenccedilant par 1 2 3 4 6 7 8 nest arithmeacutetique

II- 2 On peut deacutevelopper sur lel suites arithmeacuteti shyques des calculs analogues agrave ceux quon a preacutesenteacutes agrave proshypos des carreacutes magiques

Multiplions tous les termes de S par -4 nous obteshynons la suite

12 4 -4 -12 -20 -28 qui est arithmeacutetique et de raison -8 cest-agrave-dire (-4)-2 Il est commode de deacutesigner cette suite par -4 S

- 7 shy


Additionnons terme agrave te1middotme les suites 5 et U nouumls obtenons la suite

-3 0 3 6 9 12 qui est arithmeacutetique et de raison 3 cest-agrave-dire 2 + 1 Il est commode de deacutesigner cette suite par 5 + U La suite nulle est 1eacuteleacutement neutre de cette addition

La geacuteneacuteraliteacute de ces deux proceacutedeacutes ne fait pas de doute et on peut les combiner Une eacutecriture telle que -45 + 2T sinterpregrave~e aiseacutement comshyme deacutesignant la suite

19 6 -7 -20 -33 -46 qui est arithshymeacutetique et de raison -13 cest-agrave-dire (-4hlt2 + 2x(-52)

II- 3 A linstar des carreacutes magiques les suites arithshymeacutetiques peuvent sexprimer comme combinaisons de cershytaines dentre elles

En effet toute suite arithmeacutetique est deacutetermineacutee par son premier terme a et sa raison r

a a + r a + 2r a + 3r On peut donc 1interpreacuteter comme la somme de la suite constante a a a a et de la suite arithmeacutetique 0 r 2r 3r Or la premiegravere nest autre que aV et la seconde est rU La suite consideacutereacutee est donc eacutegale agrave aV+ rU (par exemshyple T = 72V- 52U)

II- 4 Cette forme est inteacuteressante parce quelle met en eacutevidence le premier terme et la raison Mais pas plus que pour les carreacutes magiques ce nest pas la seule expression possible par exemple on veacuterifie que T = -7165- 116 U

III CALCULS EN ECONOMIE

Exprimeacutee en mill ion de tonnes deacutequivalent-charbon la consommation deacutenergie de la France pendant 1anneacutee 1959 se reacutepartissait comme suit

Charbon Peacutetrole Gaz Hydroeacutelectriciteacute 719 358 23 130 Tableau T

1

- R shy

MOTS 9 - VICTORliL shy

et en 1960

Charbon Peacutetrole Gaz Hydroeacutelectriciteacute 703 391 45 161 l Tableau T2

La consommation moyenne deacutenergie pendant les anneacutees 1959 et 1960 est donc deacutecrite dans le tableau

Charbon Peacutetrole Gaz Hydroeacutelectriciteacute 711 3745 34 1455

tableau que nous pouvons deacutesigner par k ( T1

+ T2

) ou parkT

1 + tT

2 afin de rappeler la faccedilon dont il a eacuteteacute obtenu

Ainsi des calculs de consommation moyenne sur une peacuteriode donneacutee mettent en jeu des combinaisons analogues agrave celles que nous avons preacutesenteacutees en I- 2 et Il- 2

On pourrait dailleurs exprimer le tableau T par1

exemple comme une combinaison de 4 tableaux

T1 = 719 j1 j 0 1 0 j 0 1 + 358 1 0 1 1 0 1 0 j

+ 23 1 0 1 0 1 1 1 0 1 + 130 1 0 1 0 1 0 1 1 1

IV LES VECTEURS DE LA GEOMETRIE DU PLAN OU DE LESPACE

A propos des vecteurs de la geacuteomeacutetrie nous renshyvoyons le lecteur aux rubriques LANGAGE VJCTORIIL et VICTIURS Dl LA GIOMITRll DU PLAN dans MOTS Vlll

Contentons-nous de rappeler que la somme de deux vecteurs est un vecteur le produit dun vecteur par un reacuteel est un vecteur en geacuteomeacutetrie du plan tout vecteur peut ecirctre exprishy

meacute comme une combinaison (au sens des paragraphes 1 Il Ill) de deux vecteurs non colineacuteaires

en geacuteomeacutetrie de 1espace tout vecteur peut ecirctre exprimeacute comme une combinaison de trois vecteurs non coplanaires (cest-agrave-dire tels quaucun des trois nest une combinaison des deux autres)

- 9 shy


V bull R- VECTORIEL

V -1 Les quptre situations preacuteceacutedentes diffegraverent par la nature des objets quelles mettent en jeu carreacutes magiques suites arithmeacutetiques tableaux statistiques vecteurs de la geacuteomeacutetrie du plan ou de lespace

En revanche les calculs preacutesenteacutes dans ces si shytuations offrent des analogies de fonctionnement que nous allons maintenant preacuteciser

V- 2 bull Deacuteflnltlon On considegravere un ensemble crdont les eacuteleacutements

seront deacutesigneacutes par des lettres latines a b c et lensemble des reacuteels dont les eacuteleacutements seront deacutesigneacutes par des lettres grecques ex ~ (

On suppose que lensemble cr est muni dune loi de composition noteacutee ~ qui agrave tout couple

(a b) de crx cr associe un eacuteleacutement de crnoteacute a~ b dune loi de composition externe noteacutee qui agrave tout

couple (ex a) de IR xltr associe un eacuteleacutement de rnoteacute ex a

(f ~ ) est un IR- vectoriel

signifie

( f ~ ) est un groupe commutatif et pour tout (ex~) de IR 2 et tout (ab) de r~

ex(a$b) = (exa) ~ (exb) (ex+ ~)a= (exa) $(~a)

ex(~a) = (ex~)a

1 a = a

Au lieu de lexpression IR- vectoriel on emploie aussi espace vectoriel sur IR et par abreacutevation vectoriel sur IR

Dans les expresssions preacuteceacutedentes le mot espace na pas de sens matheacutematique preacutecis la tendance agrave substanshytiver ladjectif vectoriel est donc leacutegitime

Lorsquaucune ambiguiumlteacute nest agrave craindre on abregravege vectoriel (cr $ ) en vectoriel cr

Les eacuteleacutements de cr sont appeleacutes vecteurs (voir V- 3 )

- 10 shy


V- 3 Notations et vocabulaJre

Les notations preacuteceacutedentes distinguent scrupuleuseshyment les quatre lois de composition qui interviennent dans la structure de IR -vectoriel laddition et la multiplication dans IR les lois interne et externe dont 71middotest muni A ce titre ces notations peuvent ecirctre utiles dailleurs nous les avions utiliseacutees dans le tout deacutebut du chapitre Ill de MOTS

VI ltGRANDEUR MESURE) avec le dessein deacuteviter toute confusion entre les calculs sur les grandeurs dune part et les calculs sur leurs mesures dautre part

Mais ces notations sont lourdes Pour les alleacuteger on adopte couramment les conventions suivantes

on remplace~ par + ce qui est justifieacute par lanashylogie des comportements de ~ dans 7et de + dans IR

on omet et certaines parenthegraveses en suivant les mecircmes regravegles que pour la multiplication dans IR

Ainsi la premiegravere eacutegaliteacute de V- 2 devient cx(a + b) = cxa + ab

Cette deacutemarche est celle que nous avions suivie dans MOTS VI au paragraphe Ill - 7 agrave partir de ce paragraphe seules les notations simplifieacutees avaient eacuteteacute employeacutees Ici nous avons introduit ces notations degraves le pargraphe 1 - 2 en signalant quelles sont commodes sans ecirctre abusives

Cependant il existe un risque celui de confondre dans les eacutecritures litteacuterales tout au moins les reacuteels et les eacuteleacutements de ltr pour parer agrave ce danger on note souvent--- ou dans les textes imprimeacutes b c a b c a 1

les vecteurs de la geacuteomeacutetrie ou de la meacutecanique et lon retrouve ainsi les eacutecritures vectorielles familiegraveres comme

-1gt --iliJI ~

ex( a + b) = aa + ab Cest dans le mecircme dessein que nous avons deacutesigneacute

ici les carreacutes magiques ou les suites arithmeacutetiques par des majuscules reacuteservant les minuscules pour les reacuteels de mecircshymebull dans la deacutefinition de V- 2 nous avons fait jouer des rocircshyles diffeacuterents aux lettres grecques (qui deacutesignent des reacuteels) et aux lettres latines (qui deacutesignent des vecteurs)

1 En particulier le vecteur nul se note alors ri ou O

- 11 shy


Cependant ces artifices deacutecriture en dehors de jusshytifications historiques ou peacutedagogiques nont pas de neacutecesshysiteacute matheacutematique2

bull Ils ne sont pas geacuteneacuteralisables et cela pour une raison sur laquelle il convient agravepreacutesent dinsisteacuter

La qualiteacute de vecteur ne peut pu ltre attrishybueacutee en propre A certains objets matheacutematiques plut8t qu~ dautres Elle nest attribueacutee et na dinteacuterlt quen reacutefeacuterence agrave un IR- vectoriel Cvoir V - 2) autrement dit elle suppose une situation comportant un IR- vectoriel

Degraves lors agrave peu pregraves nimporte quoi peut se trouver en situation de vecteur des carreacutes magiques des fonctions des polynomes des couples de reacuteels des triplets de reacuteels et jusquaux reacuteels eux-mecircmes3

bull On verra plus loin (voir VII- 4) un exemple ougrave la fonction sinus est un IR -vecteur en tirerait-on argument pour la noter sin (voir VIII - 8)

V- 4 Degraves maintenant il apparaicirct que middot lensemble des carreacutes magiques dordre 3 muni degraves

lois deacutecrites en 1 - 2 1ensemble des suites arithmeacutetiques muni des

lois deacutecrites en II- 2 lensemble des vecteurs de la geacuteomeacutetrie du plan mushy

ni des lois habituelles sont des IR -vectoriels Nous donnerons ci-dessous en VII dautres exemples

de IR -vectoriels mais auparavant nous allons preacutesenter une importante proprieacuteteacute de certains IRvectoriels

VI DIMENSION DUN IR-VECTORIEL

VI -1 Dans le paragraph~ 1 nous avons obtenu tous les eacuteleacutements de lensemble ~3 des carreacutes magiques dordre 3 au moyen de trois dentre eux par exemple A B C ou D E F Dans le paragraphe Il pour exprimer tougraves les

2 Par contre U existe un emploi fonctionnel de la flegraveche celui qu~rmet dassocier agrave un couple (AB) de points son vecteur Alf (cf VECTEURS DE LA GeumlOMETRIE DU PLAN V-Usu le plan eacutetant pointeacute dassocier agrave un point A le vecshyteur A (cf VECTEURS DE LA GEOMETRIE DU PLAN lX-5)

bull On constate en effet que la deacutefinition de V- 2 est veacuterifieacutee lorsquon y remplace (Ill- 13 ) par (IR+gtlt )

- 12 shy

MOTS 9 - VeumlCTORIEL shy

eacuteleacutements de lensemble Pdes suites arithmeacutetiques nous avons pu nous contenter de deux suites par exemple U et V Ces nombres 3 et 2 sont-ils apparus de faccedilon fortuite ou pour de simples raisons de commoditeacute ou bien ont-ils au contraire une signification fonciegravere Aurait-on pu par exemple obtenir tous les eacuteleacutements de w3 par combinaison de moins de 3 dentre eux Cest ce que nous allons agrave preacuteshysent examiner

VI - 2 Parties geacuteneacuteratrices En combinant de toutes les faccedilons possibles les

eacuteleacutements dune partie 5gtdun IR-vectoriel on construit un IR-vectoriel certainement inclus dans r Mais plushysieurs cas se preacutesentent

Premier cas On constate que si ~ne contient pas un nombre suffisant de vecteurs il nest pas posshysible dengendrer r tout entier Par exemple une suite arithmeacutetique W permet dobtenir toutes les suites de la forme kW Ck reacuteell mais pas lensemble Ptout entier en effet ou bien W est une suite constante alors toutes les suites kW sont constantes donc aucune nest eacutegale (par exemple) agrave U ou bien W nest pas constante alors aucune suite kW ne lest sauf la suite nulle donc aucune nest eacutegale (par exemple) agrave V

Pareillement la partie ( E F de ~ permet dobshytenir parmi les carreacutes magiques ceux dont la somme magique est nulle mais pas ~ tout entier

Deuxiegraveme cas En revanche il se peut que des parties de crun peu plus riches permettent dengenshydrer lensemble cr tout entier Ainsi (U V a permis dengendrer SP on dit alors que (U V est une partie geacuteneacuteratrice de SP De mecircme ABC ou DEF sont des parties geacuteneacuteratrices de ~ Mais ici encore une distinction est neacutecessaire

Dapregraves la faccedilon mecircme dont ces parties ont eacuteteacute obtenues chaque eacuteleacutement de P sexprime de faccedilon unishyque au moyen de U et de V de mecircme chaque eacuteleacutement de ~ sexprime de faccedilon unique au moyen demiddot A B C ou au

- 13 shy


moyen de D E F Mais il nen est pas toujours ainsi Troisiegraveme cas En enrichissant une partie geacuteneacuteshy

ratrice de 7~ on obtient bien sOr encore une partie geacuteshyneacuteratrice de] mais on ne peut eacuteviter de sacrifier lunishyciteacute de leacutecriture des vecteurs de r

Par exemple (ABCDJ est bien une partie geacuteneacuterashytrice de ~ et le lecteur pourra veacuterifier que G eacutetant le carreacute magique introduit en 1 - 1

G =2A + 9B + SC + OD G = 3A + tOB + 6C - D G = -A + 6B + 2C + 3D etc

U V S est bien une partie geacuteneacuteratrice de P mais la suite arithmeacutetique

4 3 2 1 0 -1 -2 seacutecrit indiffeacuteremment

U+V-S ou 3U- 2V -2S ou -3U + 7V + S etc

alors qu~avec la partie geacuteneacuteratrice (UVl cette mecircme suite ne peut seacutecrire que dune faccedilon 4 V - U

VI - 3 bull Dimension Ce qui preacutecegravede permet dentrevoir le reacutesultat fondashy

mental suivant dont la deacutemonstration exceacutederait le cadre de la preacute~fnte rubrique

Siumll existe dans un IR- vectoriel f une partie geacuteneacuterashytrice minimale ~ ayant n eacuteleacutements toutes les parties geacuteneacuteshyratrices minimales de cront aussi n eacuteleacutements

Lorsquun naturel n peut ainsi ecirctre attacheacute agrave un IR-vectoriel ] ce naturel est appeleacute la dimension de r

Lorigine du mot dimension est geacuteomeacutetrique le IR -vectoriel des vecteurs de la geacuteometrie de lespace est de dimension 3 celui des vecteurs de la geacuteomeacutetrie du

Le mot minimal est agrave interpreacuteter au sens de la relation dinclusion dire que fgtest une partie geacuteneacuteratrice minimale de cr ~lgnlfie quaucune partie de fgtautre que fgtnest geacuteneacuteshyragravetrlce de cr

- t j shy

4


plan est de dimension 2 celui des vecteurs de la geacuteoshymeacutetrie de la droite est de dimension 1

De plus on eacutetablit la proprieacuteteacute suivante eacutegalement conforme agrave nos constatations de VI - 2

Si crest de dimension n tout vecteur de crs exprime de faccedilon unique au moyen des n vecteurs dune partie geacuteneacuteshyratrice minimale et cela quelle que soit cette partie geacuteneacuteshyratrice minimale

On eacutetablit aussi que s iumll existe un vecteur de] qui sexprime de faccedilon unique au moyen des n vecteurs dune partie geacuteneacuteratrice celle-ci est minimale

On peut deacutesormais reacutepondre aux questions poseacutees en VI- 1 Les naturels 3 et 2 qui ont eacuteteacute introduits en 1 et Il ne lont pas eacuteteacute de faccedilon arbitraire ils sont respectiveshyment les dimensions de~ et fP et on ne pouvait pas engenshydrer ces ensembles avec un plus petit nombre de vecteurs

VII EXEMPLES DE IR-VECTORIELS

VII -1 Lensemble~ des carreacutes magiques dordre 3 muni des lois deacutecrites en 1- 2 est un IR -vectoriel de dimenshysion 3

Si lon restreint ces lois agrave lensemble des carreacutes mashygiques dordre 3 de somme magique nulle on obtient un IR-vectoriel de dimension 2

De mecircme lensemble des carreacutes magiques

a a a a a a a a a

ougrave a deacutecrit IRde la forme

est un IR -vectoriel de dimension 1 Plus geacuteneacuteralement lensemble des carreacutes magiques

dordre n au moins eacutegal agrave 3 muni de lois analogues agrave celles qui ont eacuteteacute deacutecrites en 1- 2 est un IR -vectoriel de dimenshysion5 n (n- 2)

Lensemble fP des suites arithmeacutetiques muni des

s Voir Base magique par Pinaud Domain et Monsellier dans le Bulletin APMEP nbull 308 page 217

- 15 shy


lois deacutecrites en II - 2 est un IR-vectoriel de dimension 2 Si lon restreint ces lois agrave lensemble des suites

constantes on obtient un IR-vectoriel de dimension 1 Il en va de mecircme pour lensemble des suites arithshy

meacutetiques colineacuteaires agrave U Lensemble IR 2 des couples ( xy) de reacuteels muni

des lois deacutefinies par Cxy) + (xy) =Cx+xy +y) et k(xy) = (kxky) quels que soient les reacuteels x x y y k

est un IR-vectoriel de dimension 2 Lensemble IR 3 des tri piets ( xy z) de reacuteels muni

des lois deacutefinies par ( xyz) + ( xyz) = ( x+xy +y z +z)

et k(xyz) = Ckxkykz) quels que soient les reacuteels x x y y z z k

est un IR -vectoriel de dimension 3 Les tableaux du paragraphe III mettent en jeu des

eacuteleacutements de IR 4 lequel muni de lois analogues aux preacuteceacuteshydentes est un IR -vectoriel de dimension 4

lensemble IR des reacuteels muni de laddition et de la multiplication habituelles est un IR-vectoriel de dimension 1 (voir note 3 paragraphe V - 3)

Lensemble des polynomes agrave une variable de degreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave n muni de laddition des polynomes et de la multiplication dun polynome par un reacuteel est un IR -vectoriel de dimension n + 1

La physique fournit de nombreux exemples de IR -vectoriels Lensemble des grandeurs de mecircme nature quune grandeur non nulle donneacutee peut ecirctre organiseacute en IR -vectoriel de dimension 1 (voir MOTS VI VIII - 1)

Cest le cas en particulier des longueurs des aires des volumes des vitesses des intensiteacutes eacutelectriques etc

VII- 2 Lexemple suivant est un peU particulier Aucun IR -vectoriel ne peut ecirctre vide puisquil conshy-tient au moins 0 qui est leacuteleacutement neutre du groupe addishy

tif mais il peut se reacuteduire au singleton -0 car celui-ci satisfait agrave la deacutefinition de V- 2 Pour des raisons de coheacuteshyrence de la theacuteorie des vectoriels on est ameneacutemiddot agrave attribuer

- 16 shy


agrave ce vectoriel la dimension zeacutero

VII- 3 jusquici nous avons eacutecarteacute leacuteventualiteacute ougrave le IR -vectoriel lt]naurait aucune partie geacuteneacuteratrice de cardishynal fini 11 si grand que soit 11 Mais il existe de nombreux exemples dun pareil cas et il est alors tout agrave fait normal dattribuer agrave licirca dimension infinie On prendra garde touteshyfois de ne pas eacutetendre inconsideacutereacutement agrave ce cas les proprieacuteshyteacutes des vectoriels de dimension finie

Un premier exemple nous est fourni par lensemble 9des polynomes agrave une variable muni de laddition des polyshynomes et de la multiplication dun polynome par un reacuteel Consideacuterons une partie finie et non vide SOde C[ Appelons n le plus grand des degreacutes des polynomes eacuteleacutements de 5 Tous les polynomes combinaisons des eacuteleacutements de SOsont de degreacute au plus eacutegal agrave n Or 9 possegravede des polynomes de degreacute plus grand que 11 ne serait-ce que x n + 1 bull Ainsi aucushyne partie finie de l nest geacuteneacuteratrice de Cff

Voici un autre exemple Consideacuterons lensemble wdes applications de lO 1J

vers IR et deux eacuteleacutements f et g de w Conformeacutement agrave lusage

notons f+ g lapplication de 10 11 vers IR deacutefinie par (f+g)(x) = f(x)+ g(x) pour tout reacuteel x de [011 k eacutetant un reacuteel notons kf lapplication de [0 1J

vers IR deacutefinie par (kf)(x) = k f(x) pour tout reacuteel x de 1011 On veacuterifie sans difficulteacute que w muni de ces deux

lois est un IR-vectoriel Il est plus deacutelicat de prouver et nous admettrons que ce IR-vectoriel ne possegravede pas de partie geacuteneacuteratrice finie

On deacuteveloppe des consideacuterations analogues agrave propos des applications continues de [0 1J vers IR ou des applicashytions deacuterivables de [0 11 vers IR

VII- 4 Les IR -vectoriels sont implicitement preacutesents

6 Ce qui revient agrave dire que lunique partie geacuteneacuteratrice de (OJ est la partie vide

- 17 -


lors de la reacutesolution de certaines eacutequations ou de certains systegravemes deacutequations agrave inconnue(s) reacuteelle(s) dans chaque cas lensemble des solutions peut ecirctre deacutecrit comme un IR-vectoriel Voici des exemples

Soit leacutequation dans IR 2 dinconnue ( xy) 3x- y= 0 Lensemble de ses solutions est lensemble des couples qui peuvent se mettre sous la forme (a3a) soit encore a( 13) cest le vectoriel de dimension 1 engendreacute par le vecteur ( 1 3)

De mecircme consideacuterons leacutequation dans IR 3 dinconnue (xyz) 3x- Sy -z = O Lensemble de ses solutions est lensemble des triplets qui peuvent se mettre sous la forme (a b 3a- Sb) soit encore a(103) + b(Ol-5) Cest le vectoriel middotmgendreacute par les vecteurs ( 1 0 3) et ( 0 1 -5)

Soit le systegraveme dans IR dinconnue ( xyz t)

r 2x+3y-z -t = 0 l 2x- 3y -z + t = 0

Lensemble de ses solutions est lensemble des quadruplets qLii peuvent se mettre sous la forme (a b 2a 3b) soit enshycore a(102 0) + b(0103) Cest le vectoriel de dimenshysion 2 engendreacute par les vecteurs (102 0) et b(0103)

Le systegraveme dans IR 2 dinconnue ( xy) Jl x + 3Y =0 2x- y= 0

na dautre solution que le couple ( 00) En dautres termes lensemble des solutions de ce systegraveme est c 00) Or celuishyci constitue un IR -vectoriel de dimension 0 dapregraves VII - 2

Dans les classes terminales scientifiques des lyceacutees leacutetude des pheacutenomegravenes peacuteriodiques simples conduit agrave chershycher les applications de IR vers IR deux fois deacuterivables qui veacuterifient leacutequation diffeacuterentielle dinconnue f f + w2 f= 0 ougrave ampl est un reacuteel et f est la deacuteriveacutee seconde de f On deacutemontre que 1ensemble des solutions de cette eacutequation muni des deux lois analogues agrave celles qui ont eacuteteacute preacutesenteacutees en VII-3 est un IR-vectoriel de dimension 2 De plus une partie geacuteneacuteratrice minimale de ce IR -vectoriel a pour eacuteleacuteshyments t ~ cos wt et t ~ sin wt

- 18 shy


De mecircme lensemble des solutions de leacutequation difshyfeacuterentielle dinconnue f f = kf ougrave k est un reacuteel et f est la deacuteriveacutee de f est un IR -vectoriel de dimension 1 dont une partie geacuteneacuteratrice minimale a pour seul eacuteleacutement tHgt e kt De telles eacutequations diffeacuterentielles interviennent par exemple dans leacutetude de la deacutecharge dun condensateur (klt 0) ou dans celle de la radioactiviteacute dun eacutechantillon (klt 0) ou encore dans celle de leacutevolution deacutemographique dune population (en expansion si kgt 0 en voie dextinction si kltOL

VIII BASES COORDONNEES

Ce paragraphe ne concerne que les IR-vectoriels de dimension finie

VIII -1 Nous avons signaleacute agrave la fin de VI- 3 que si f est un IR -vectoriel de dimension n tout vecteur de cr sexprime de faccedilon unique au moyen des n vecteurs dune partie geacuteneacuteratrice minimale de r

Par exemple A B C 1est une partie geacuteneacuteratrice minishymale de lensemble ~ des carreacutes magiques dordre 3 (voir 1-4) Par conseacutequent il existe des reacuteels xyz tels que le premier carreacute magique G du paragraphe 1 soit eacutegal agrave x A+ yB+ z C Le calcul montre que neacutecessairement x= 2 y = 9 et z = 5 Ainsi G = 2A + 9B + SC

La partie geacuteneacuteratrice minimale AB C 1 ayant eacuteteacute choisie les nombres 2 9 5 fournissent une information suffisante pour reconstituer le carreacute magique G pourvu toutefois quil ny ait pas de doute quant agrave lappariement des nombres 2 9 5 dune part et des carreacutes magiques ABC dautre part

Pour eacutecarter ce doute on convient geacuteneacuteralement de se reacutefeacuterer non plus agrave lensemble AB Cl mais par exemple au triplet( AB CL De faccedilon preacutecise on procegravede comme suit

agrave tout carreacute magique preacutealablement eacutecrit sous la forme xA +yB+ z C on associe le triplet de reacuteels (xyz)

inversement agrave tout triplet de reacuteels ( u v w) on associe le carreacute magique uA + vB + wC

- 19 shy


Il en reacutesulte que le choix du triplet CAB C) permet de mettre en eacutevidence une bijection de ~ vers IR 3 bull

On dit que ( AB C) est une base de ~ Il va de soi que le choix de la base ( BA C) par

exemple permet aussi dehiber une bijection de~ vers IR 3

mais ce nest pas la mecircme que la preacuteceacutedente Par exemple on associe cette fois le triplet (925) au carreacute magique G Quant au triplet ( 295) on lui associe le carreacute magique 2B + 9A + SC

cest-agrave-dire 9 2 4 0 5 10

6 8 1

qui nest pas G

VIII- 2 Plus geacuteneacuteralement consideacuterons une partie geacuteneacuteratrice minimale e

1 e

2 e

3 bullbullbullbull en 1 dun IR -vectoriel

-de dimension n Le n-uplet (e1 e

2 e

3 bull bullbullbullbull en) est une base de

Le n-uplet ( e2 e1 e

3 bullbullbullbull en) en est une autre

Ainsi la partie geacuteneacuteratrice minimale preacuteceacutedente enshygendre n bases 7 de cr

Exemples (A B C engendre 6 bases de ~ agrave savoir

CAB C) CAC B) ( BC A) CBA C) ( CA B) ( CB A) De mecircme CDEF) CDFE) CFDE) CFED)

CEDF) CEFD) sont des bases de~middot CAB) CBA) CEF) CFE) sont des bases du

IR -vectoriel des carreacutes magiques dordre 3 et de somme mashygique nulle

CD) est une base du IR-vectoriel des carreacutes magiques

de la forme a a a

a a a a a a

ouuml a deacutecrit IR

( U V) est une base du IR -vectoriel fP des suites arithmeacutetiques (voir II- 2)

(C1000)(0100)(0010)(0001)) est une base du IR -vectoriel IR (voir Ill)

Si nest un naturel non nul n 1x2x3x4x x(n-l)xn

- 20 shy

7


Une base du IR -vectoriel des applications-polynoshymes de degreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave n est ( f0 ~ f2 fn) ougrave

2f0

x~ 1 ~ x~ x f2 x~ x bull fn x~ xn

VIII- 3 La convention exposeacutee agrave la fin de VIII- 1 agrave propos de ~ peut ecirctre eacutetendue agrave tout IR -vectoriel de dishymension n

Choisissons une base ( e1

e2

e3 en) de cr Tout vecteur X de Ypeut seacutecrire de faccedilon unique

sous la forme x1 e1 + x2 e2 + x3e3 + + xnen

on associe alors au vecteur X le n-uplet ( x1

x2

x3 x n)

Inversement agrave tout eacuteleacutement (y1

y2

y3 yn) de middotIR n on deacutecide dassocier y e + Y e + Y3e3 + + Y nen1 1 2 2 qui est eacuteleacutement de 1

On a ainsi mis en eacutevidence une bijection de cmiddot vers IR n

Le n-uplet ( x x x3 xn) est appeleacute le n-uplet1 2

des coordonneacutees de X pour la base (e e e3

bullbullbull en)1 2

Par exemple on a vu en VIII -1 que G = 2A + 9B +SC donc ( 2 9 5) est le triplet des coordonneacutees de G pour la base CABCL

De mecircme le lecteur veacuterifiera que G = SD- 3E -middot F par conseacutequent ( 5 -3 -1) est le triplet des coordonneacutees de G pour la base ( D E Fl

Pour la base CVUl du IR-vectoriel Pdes suites arithmeacutetiques C voir Il- 2 et VI- 2) Ca r) est le couple des coordonneacutees de S

VIII- 4 Consideacuterons un reacuteel k Il ~middoteacutesul te de la deacuteshyfinition de V - 2 que kX = Ckx )e + (kx )e + Ckx3)e3 + + Ckxn)en

1 1 2 2

cest-agrave-dire que (kx kx kx3

bullbullbull kxn) est le n-uplet1 2

des coordonneacutees de kX pour la base ( e1 e2 e3 en)

De mecircme soit Y un eacuteleacutement de middotJ posons y= ytel + yzez + y3e3 + + ynen alors X+Y=Cxt+yt)et +(xz+yz)ez +(x3+y3)e3 + middot +(xn+yn)en donc(x +y x +y x3 +y3 xn+yn) est le n-uplet

1 1 2 2 des coordonneacutees de X+ Y pour la base ( e1 e2 e3 en)

- 21 shy


Degraves lors tout calcul dans ~-peut se deacutecalquer dans IR net reacuteciproquement De faccedilon plus preacutecise on exprime ce fait en disant que tout vectoriel de dimension n est isomorshyphe au IR -vectoriel IR n

VIII- 5 soit cp-middot un IR -vectoriel de dimension 2 et ( e f) une de ses bases

Au vecteur de crqui seacutecrit xe+ yf associons le couple de reacuteels (x y ) on met ainsi en eacutevidence une bijecshytion de livers IR 2 (cest le reacutesultat de VIII- 4 appliqueacute au cas ougrave n = 2)

Par ailleurs (voir REPERAGE XI) le repeacuterage carteacuteshysien dun plan II muni dun repegravere (Q 1 J) repose sur une bishyjection de IR 2 vers II le couple de reacuteels (x y ) a pour imashyge le point de II dont le couple des coordonneacutees est (x y )

On voit par lagrave la possibiliteacute deacutetablir une bijection de li vers II le vecteur xe+ y fa pour image le point de coshyordonneacutees ( x y ) En particulier

le vecteur nul a pour image le point Q

le vecteur e a pour image le point 1 le vecteur f a pour image le point J

On comprend ainsi quon appelle parfois plan vecshytoriel tout IR -vectoriel de dimension 2 En outre on parle parfois de plan ponctuel au lieu de plan pour mieux distinshyguer les deux notions Pest un plan vectoriel II est un plan ponctuel

Exemple le paragraphe IX- 5 de la rubrique VICshy

TIURS 01 LA GIOMITRII DU PLAN illustre ce qui preacutecegraveshyde dans le cas ougrave ~-middotest le IR -vectoriel des vecteurs de la geacuteomeacutetrie du plan

VIII- 6 De la mecircme faccedilon tout IR -vectoriel de dimension 1 peut ecirctre repreacutesenteacute par une droite munie dun repegravere Pour cette raison on appelle parfois droite vectorielle tout IR -vectoriel de dimension 1 Une regravegle gradueacutee peut ecirctre consideacutereacutee comme un fragment de cette repreacutesentation du IR -vectoriel des longueurs Sa mateacuterialisation par le double deacutecimegravetre aussi mais cette

- 22 shy

MOTS 9 - VJCTORlJL shy

fois la situation est plus deacutelicate agrave manier puisquelle met simultaneacutement en eacutevidence au moins trois bases du IR -vecshytoriel en question 1 cm 05 cm 01 cm Faut-il seacutetonner que de jeunes enfants eacuteprouvent des difficulteacutes agrave manier cet instrument

VIII-7 Quant aux eacuteleacuteshyments dun IR-vecshy

(A B Cl comshyme base de~ sur le middotmiddot dessin e ci-contre les carreacutes magiques

B

toriel de dimenshysion 3 on peut

fd

Jillles repreacutesenter 0

_ Bpar les points de lespace usuel Par exemple 9bull 1

bull 1 choisissons 0

ABCDEF sont repreacutesenteacutes respectivement par les points a b c d e f et le carreacute magique 01 0 i 0

0 l 0 0 1 est repreacutesenteacute par le point Cll 1 oo o

Dans cette repreacutesentation le plan H dfmiddottermineacute par les points Cl a et b repreacutesente lensemble des carreacutes magishyques de somme magique nulle Le point m de la droite (ClC) eacutetant tel que eumliiiicirc = k iiecirc le plan parallegravele agrave H et passant par m repreacutesente lensemble des carreacutes magishyques de somme magique 3k Par conseacutequent si lon classe les carreacutes magiques en fonction de leurs sommes magiques les classes sont repreacutesenteacutees par les plans parallegraveles au plan H

- 23 shy


VIII- 8 On voit que lensemble des vecteurs de la droite ou du plan ou de lespace muni des opeacuterashytions habituelles a eacuteteacute et demeure le parangon des IRshyvectoriels et quil fournit souvent un modegravele mental voire graphique et aussi un adjuvant mneacutemotechnique dans des questions tout agrave fait eacutetrangegraveres agrave 1 a geacuteomeacutetrie

En teacutemoignent les expression plan vectoriel droite vectorielle qui viennent decirctre deacutefinies ou enshycore colineacuteairemiddotmiddot (voir VECTEURS DE LA GEOMETRIE

DU PLAN VII - 5) par exemple dans le phrase suivante Dans le plan vectoriel des suites arithmeacutetiques toute suite constante est colineacuteaire agrave la suite V (voir Il- 1 ) dont lorigine geacuteomeacutetrique nest pas douteuse

IX UTILISATIONS

Les IR -vectoriels sont preacutesents dans un grand nomshybre de domaines matheacutematiques ou non geacuteomeacutetrie theacuteshyorie des nombres analyse meacutecanique physique chimie statistiques eacuteconomie deacutemographie etc

La structure de IR-vectoriel peut ecirctre enrichie Un exemple eacuteleacutementaire et classique est fourni par lensemble des vecteurs de la geacuteomeacutetrie du plan muni du produit scalaire habituel

X GENERALISATION

On geacuteneacuteralise la structure de IR -vectoriel en remplashyccedilant dans la deacutefinition de V- 2 le corps des reacuteels par tout autre corps K on deacutefinit ainsi un K -vectoriel

Pour les distinguer des eacuteleacutements de 1lt cest-agrave-dire des vecteurs les eacuteleacutements de K sont geacuteneacuteralement appeleacutes les scalaires

Dans le cas ougrave IR est consideacutereacute comme vectoriel sur lui-mecircme (voir VII- 1 ) ces deux vocables permetshytent de distinguer les reacuteels consideacutereacutes comme vecteurs des reacuteels consideacutereacutes comme scalaires

- z~ shy


Une combinaison deacutesigne un vecteur dans leacutecriture dune combinaison apparaissent agrave la fois des scalaires et des vecteurs le rocircle joueacute alors par les scalaires fait quon les appelle coefficients

Q eacutetant lensemble des nombres rationnels ( Q + ~ ) est un corps il existe donc des Q-vectoriels IR en est un (voir deacutefinition de V- 2 pour sen assurer) ici les reacuteels jouent le rocircle des vecteurs et les rationnels celui des scalaires

On peut deacutemontrer que IR est un Q-vectoriel de dimension infinie (autrement dit chaque fois quon consishydegravere un ensemble fini de reacuteels lensemble de leurs combishynaisons agrave coefficients rationnels est une partie de IR autre que IR) Alors que (voir VII -1) IR est un IR -vectoriel de dimension 1

En dehors de tout contexte dire que IR est un vectoriel est insuffisant encore faut-il preacuteciser le corps des scalaires

- 25 shy

INDEX TERMINOLOGIQUE

Commun aux brochures I (1974) II (1975) ill (1976) IV (1978) V (1980) VII (1984) vm (1987) et IX (1990) De plus GM renvoie agrave Mots VI (Grandeur-Mesure) dont lindex speacutecifique indique la page

Abreacuteviations des rubriques

A ANGLE AC ANGLE-DE-COUPLES AF APPLICATION FONCTION BIJECTION AL APPLICATIONS LINEacuteAIRES AP APPROXIMATION AS ASSOCIATIVITEacute CA CARDINAL CG CONGRUENCES CM COMMUTATIVITEacute CO COUPLE DE DIVISION EUCLIDIENNE DI DIVISION DS DISTRIBUTIVITEacute DT DIVISIBILITEacute E ENSEMBLE EG EacuteGALITEacute El EacuteQUATION INEacuteQUATION EL EacuteLEacuteMENTS REMARQUABLES POUR UNE LOI DE COMPOSffiON EN ENSEMBLES DE NOMBRES EP EXPOSANT PUISSANCE ER ENTIERS ET RATIONNELS EX EXEMPLE CONTRE-EXEMPLE F8 MOTS FLOUS contenus dans MOTS Vill FR FRACTION H HOMOTHEacuteTIE I INVERSE lA IMAGEANTEacuteCEacuteDENT IN INVARIANT IS ISOMEacuteTRIE LV LANGAGE VECTORIEL ND NOMBRE DEacuteCIMAL NOMBRE A VIRGULE NN NOMBRENATUREL NU NUMEacuteRATION OM OPEacuteRATEURS MULTIPLICATIFS OP OPEacuteRATION LOI DE COMPOSffiON OR ORDRE OT ORIENTATION

1

OU COMPARAISON DES ORDRES USUELS DANS LE DICTIONNAIRE DANS N DANS D2bull

PA PARTAGES PE PARTn10NEacuteQUIVALENCE PEC POURCENTAGES EacuteCHELLES PH PHASE PL PARALLEgraveLE PO PROPRIEacuteTEacuteS DES OPEacuteRATIONS PR PREacuteORDRE PT PROPORTIONNALITEacute RB RELATION BINAIRE RC REacuteCIPROQUE RE PROPRIEacuteTEacuteS DES REacuteLATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE RF REacuteFLEXION RFG REacuteFLEXION-GLISSEMENT RG REPREacuteSENTATIONS GRAPHIQUES RO ROTATION RP REPEacuteRAGE S SOLIDES SA SECTEURANGLE SI SIMILITUDE SL SEGMENT LONGUEUR SY SYMEacuteTRIE T TRANSLATION V VECTEURS DE LA GEacuteOMEacuteTRIE DU PLAN VG VOCABULAIRE DE LA GEacuteOMEacuteTRIE VH VERTICAL HORIZONTAL VL VECTORIEL

Le signe placeacute agrave cocircteacute dune abreacuteviation de rubrique indique quon trouvera daris cette rubrique des indications plus ou moins complegravetes sur le sens du mot consideacutereacute

Certains mots se retrouvent dans presque toutes les rubriques contre-exemple couple deacutefinition eacutecriture eacutegaliteacute eacuteleacutement eacutenonceacute ensemble exemple naturel norpbre notation nul partie repreacutesentation repreacutesenter situation sous-ensemble zeacutero bullbullbull Nous navons laisseacute dans lindex que lindication des rubriques agrave asteacuterisque eacuteventuelles les concernant

Nous avons supprimeacute des mots comme collection construction deacutemontrer dessin figure formule geacuteneacuteralisation hypothegravese notion objet proprieacuteteacute tableau theacuteoregraveme

abattement PEC aboutement OT abreacutegeacute entier AP abscisse El - RE - GM - F8 absorbant EL - CG - E

2

abus de langage FR - OM acceacuteleacuteration V accolades E addition EN - ER - OP -CM - AS - DS -EL - CG - AL - OM - El- E -CA- SL- SAshy

T-F8-VL addition (des vecteurs) V- LV addition modulo p CG additionner FR - El - V adjacent SL - S adjoindre ER affme (application-) AL affine (symeacutetrie-) SY agrandissement H aigu RG- SA- VG aimantOT aire RG - OP - AL- PT - OM - AP - VG - EP - S - SY - OT - GM - H - T - V - F8 shy

LV - I - RO - SI - IS algegravebre RG - El - E - GM aligneacutes (points) VG- V- LV- F8 alphabeacutetique (ordre-) PR-OU altitude VH amplitude PH analyse El analytique (calcul-) V angle RG- VH- VG- A- SY- PH- GM- H- V- F8- SI- IS angle (de secteurs- de paires de demi-droites- dune demi-droite et dun plan) SA - OT - AC - PH - H - T - F8 - RO - SI - IS angle-de-couples OT - AC - PH - RP - H - T - F8 - RO - SI angles-de-couple-de-droites AC angle de rotations cineacutematiques OT - PH angle de rotations geacuteomeacutetriques PH - RO angle au sommet PL anneau EN - F8 anneacutee de lumiegravere EP - SL anteacuteceacutedent RB - AF - PE - PA - EI - H - T - IA - RC - RO antipode VH antireacuteflexive OR- RE- SY antirotation SI- IS antisymeacutetrie (relation antisymeacutetrique) OR -RE - PR- SY- OT aplati LV appartenance PR application AF - PE -DE - DT -PA - DI - PR - AL - OM - El- SL- SA - EP - H - T shy

IN - IA - V - F8 - RC - RO - SI - IS - VL application-identiteacute RE - H - T approcheacute valeur approcheacutee agrave tant pregraves AP - OP

3

approximation AF - DI - AL - AP - SL - SA - EP - F8 arbre RG arc VG - PL- OT - GM arecircte AL - CA - S c SA - VG - EP - SY - F8 - IS arithmeacutetique NU - OP arithmeacutetique (suite-) VL arrangerF8 arriveacutee (ensemble d-) RB- OM arrondi automatique entier AP ascendant (vertical) VG associatif associativiteacute EN - ER - EX - AS - PO - CG - AL- E - EP - SY - GM shy

H - T - RO - IS - I associer IA attribut RG autant que NN - CA automatisme OP auto symeacutetrie autosymeacutetrique SY - H - LV - IS axe El - E - SA - PL - VG - SY - AC - PH - SI axe (de reacutevolution) S axe de symeacutetrie SY - F8 axe (dun disque dun cercle) S - SY axe (dune rotation dans lespace) RO axe (dune similitude neacutegative) SI axes (dune ellipse) S axiome axiomatique F8

babylonienne (numeacuteration-) NU bande (de plan) SA- VH- T- IA barycentre H - T - F8 - RO - SI - IS baseVH base de numeacuteration EG - ND - FR - EN - NU - CG -OU - AP - F8 base (de logarithmes) EP base (de cocircne de cylindre de pyramide de prisme) S base (de vectoriel) V- VL beacuteneacutefice PEC bijection AF - NN - EN- AL - CA - SL - SA - EP - SY - OT - RP - H - T - F8 - RC shy

RO - SI - IS - VL billion NU binaire (nombre- numeacuteration-) EN- AP- F8 binaire (relation-) voir relation bipolaire (repeacuterage-) RP bipyrarnide triangulaireS bissecteur (dun diegravedre) SA bissectrice SA- VH- VG- SY- LV- SI biunivoque (correspondance -) F8

4

bonhomme dAmpegravere OT bordOT borne borneacute S - PH boucle (eacuteleacutement-) RB- RE boule VG - S - SL boussole OT - RP Briggs EP but RB - AF -IN- lA- F8

calcul calculer OP - F8 calcul vectoriel V Cantor CA capable (arc-) VG capaciteacuteS caracteacuteristique (proprieacuteteacute-) H - T - RO - SI Cardan El cardinal AF- NN- EX- EN- CA- GM- VL c~eacuteEG-RG-OP-AL-PT-CA-AP-VH-VG-S-LV-F8

c~eacute (dun nombre-) AF - AL- PT - AP - F8 c~eacute magique V- VL carteacutesien (produit-) RB carteacutesien (repeacuterage-) RP- F8- VL cateacutesien (scheacutema-) voir scheacutema carteacutesien cas IS cas de figure LV case RP centaine NU centimegravetre SL centre El - VG - VH - PL - S - SY - H -IN - V - F8 - RO centre de graviteacute S centre dinertie SY cercle PE - RG - AL -PT -El - E - PL- VG - SL- VH -lA - F8 - SI - IS cercle point PL cercle trigonomeacutetrique OP chaicircneOM champ (de forces de gravitation de pesanteur magneacutetique) SY- OT changement (duniteacutes) SL- SA Chasles (eacutegaliteacute de-) AC- V chatRE Cheacuteops (pyramide de-) S chiffre chiffrer CO - NN- FR- EN- Dl- NU -OU- El- E- AP- VG- F8 chiffres deacutecimaux (suite des-) OU chirale (moleacutecule-) SY cineacutematique IN - V - F8 circonfeacuterence VG - PL

5

circonscrit RG circulaire T classe deacutequivalence PE - ER - PA- CG - OR - PR - OM - SL - SA - VG - AC - PH shy

V -F8 classemement classer OR - NN- DT classification RG - OR cmEG codage coder FR - NU - F8 cœfficient AL -PT - OM - PEC- El- H -T-V- F8 - RC- VL colineacuteaire RP - H - V colonne RB - DT - OM - VH - SY combinaison VL commutatif commutativiteacute EN - EX - ER - DT - CM - DS - PO - CG - AL - E shy

PH - GEM - H - T - RO - SI - IS - VL comparable comparaison comparer NN- OR -OU - PR- OM - GM compatibiliteacute compatible CG compleacutement El compleacutementaire E - SA- IA complexe (nombre-) El composant PO - AS - El - H composant (dun couple dun n-uplet) CO -ND - AF- DE- DI- RE- OU composantes dun vecteur V composeacute composition ER - OP - CM - AS - PT - OM - SA - H - T - V - RC - RO shy

SI- IS composeacute (naturel-) DT compris entre EX compter OP - F8 - F9 comptine CA - F9 concave (non croiseacute) VG concentrique PL - VG conclusion RC concourant concourir S - F8 - H concours (point de-) S- F8 conducteur SY cocircneS- SY configuration (rapport de-) SI confondus F8 congru PE - CG - PH congruence EG - PE - DE - CG conique (point-) OT conique (surface-) S- PL conjonction logique F8 conseacutecutifs (sommets cocircteacutes-) VG conserver conservation H- T- F8- SI- IS constante PL

6

constant(e) PT- S - GM- F8 constante (application-) El- EP- H contact contact (point de -) VH - PL - F8 contenant ER contexte EG- EN continu (puissance du ~) CA continue (fonction-) El - VL contre-exemple EX - H controcircle (par 9 ) CO convention AS conversion SL- SA convexe convexiteacuteS- SA- VG- SY- OT- H -LV- F8- RO coordonneacutees (dun point) AL- El- VG- RP- F8 coordonneacutees (dun n-uplet) CO coordonneacutees (dun vecteur) V - VL coplanaire PL - VL corde El - VG - SL corps EN- VL correction AP correspondre correspondance correspondant F8 correspondance un-agrave-un correspondance terme agrave terme NN - PR -OU- CA- F8 cosinus SA - SY- PH - GM cote RP cocircteacute EG - RG - PE - AL - PT -CA - AP - VG - SA - VH - S -V - LV - F8 - SI couperF8 couple CO- V- F8- RC- RO-SI courant eacutelectrique SY - OT - RP - GM courbe PL - EP - S - RP - F8 courbe repreacutesentative AF - RG couronne (circulaire) OT- RO critegravere IS critegravere (de divisibiliteacute) DI croiseacuteS croissance croissante (application-) (strictement) PT- El - F8 croissant (ordre-) OU croix OP-E cube RG - AL- CA - SY - F8 - IS cube (dun nombre) EP- SY cylindreS - SY- OT cylindrique (surface-) S -PL- T- RO

dallage LV damier RG deacutecimal ND - EN - EG - FR - ER - AF - DI - OU - OM - El - CA - AP - EP - F8 deacutecimal (dordre n) DI- AP

7

deacutecimale AL - AP deacutecomposer deacutecomposition El - T - F8 - RO - SI deacutecrire PL - S deacutecroissante (application-) (strictement-) El deacutecroicirctre VH deacutefaut (par-) DI- AP - EP degreacute SA- VH- PH- RP degreacute (dun polynome dune eacutequation) El- SY- F8- RC demi-cercle F8 demi-droite CA- SL -SA- PL- VG- S - OT- PH - RP- GM- H- V-RO-SI- lS demi-espace El - S - OT middot demi-plan El- SA- S-OT- RP- LV demi-somme El demi-tour lS deacutemonstration EX - LV deacutemonstration de type exhaustif EX deacutemonstration de type deacuteductif EX deacutemontrer F8 - LV deacutenombrable EN - CA - F8 deacutenombrement RG- E- CA deacutenominateur FR - EN - PEC - F8 deacutepart (ensemble de-) RB- OM deacutephasage PH deacuteplacement IS deacuterivable deacuteriveacutee VL descendant (vertical) VG deacutesignation deacutesigner EG - ER -OP - V - F8 dessiner F8 deacutetermineacute (nombre-) EG deacuteterminer deacutetennination RB - AL deux agrave deux trois agrave trois F8 deacuteveloppement deacutecimal AP deacutevelopper El - SY - F8 devenir eacutegal agrave F8 dextreOT dextrogyre OT dextrorbum OT diagonal (plan-) SY diagonale RE - PR - CM - VG - VH - SY - H - LV - F8 - VL diagranune RG diamegravetre AL- VG - VH - RP - GM diameacutetrale (droite-) S dictionnaire (ordre du-) OU diegravedre SA - SY diffeacuterence ER - OP - CM - AS - AP - F8

8

diffeacuterent EG - EN - F8 diffeacuterentielle (eacutequation -) VL dimension DT- AP- VG- GM- V- RF- VL directe (orientation-) OT- SI -IS direction VG - SA - VH - S - SY - RP - GM - H - T - IA - V - F8 - RO - SI direction (de plan) VG - VH- S - SY- OT- H- T- F8 -SI direction orienteacutee OT - AC - PH - V - SI directrice S discernable PA disjoint E- CA - F8 disjonction logique F8 disposition (dun calcul) OP disque AL- AP- VG - SL- SA-S - RO distance PEC -El- SL -SA- VH- PL- VG- F8 distinct PA - OR - OU - CA - F8 distributiviteacute EN - DS -PO- CG -AL- OM- E- GM dividende DE - DT - DI - OP diviser DT - CA diviseur DE - DT - DI - RB - AF - RG - OP - OR - PR - F8 - RC divisible divisibiliteacute DT - RG - DI - DE - SY divis if (opeacuterateur -) OM division DI - EG - ER - OP - AS -EL - PO - CG - El - AP division euclidienne DE- PE- DT- DI- PA- NU- OP- CG dizaine NU dmEG dodeacutecaegravedre (reacutegulier) S double NN - RB - AL double (solution --) F8 douzaine NU droit VH droit (angle-) SA- VH- VG droite EG - RG - AL - OM - El - E - CA - SL - SA - PL - VH - VG - S - H - T -IN shy

IA-LV -F8 droite (orienteacutee) SA- OT -AC -PH- RO droite vectorielle OT- GM- VL duodeacutecimal (systegraveme-) NU dureacuteeGM- V

eacutecart OP - CM - CG - El eacutecrat (angulaire) SA eacutechelle PEC - El - GM - H - SI eacutecriture F8 eacutecriture agrave virgule virgulaire EN - ND - F8 effectuer OP - F9 eacutegal eacutegaler EG

9

eacutegaliteacute EG - SL - SA - GM - F8 - IS eacutegauxF8 eacutelectrique (symeacutetrie-) SY eacutelectrode eacutelectrolyte SY- GM eacuteleacutementE eacuteleacutement remarquable (pour une loi de composition) EL ellipse S - RP ellipsoiumlde (de reacutevolution) S - SY eacutelongation angulaire PH eacutenantiomorphe SY encadrement El - AP - EP encombrement S eacutenergie OT - GM engendreacuteS eacutenonceacuteRC ensembleE ensemble des anteacuteceacutedents ensemble-anteacuteceacutedent AF - lA ensemble dexistence AF - F8 ensemble-image lA ensemble quotient PE - PR ensemble des solutions EN - DT - El entier EN - ER - FR - PR - OM -El - E - CA - AP - EP - V - F8 entiegravere (partie) ND- OU- F8 entraicircne ND enveloppe (convexe) S eacutequateur SA - VH - RP eacutequation EG - FR - ER - El - E - EP -IN- V - F8 - RC - RO - SI eacutequation (aux inverses) RC eacutequidistant SA - F8 eacutequilateacuteral SA - VG - S - SY - LV eacutequipollence eacutequipollent OT - V - F8 eacutequipotent CA eacutequivalence (relation d-) PE- EG- FR- ER- CG- PR - OM- SL- SA- PLshy

VG -lA- V -F8 eacutequivaloir eacutequivalent PE - EG - FR - ER - PI - OM - SA - F8 erreur Dl - AP escompte PEC espace RG - El - SL -SA - S - OT - RF - VL espace vectoriel OT et OP -F8 eacutetablir F8 eacutetalon SL eacutetiquette EG - E eacutetoileacute SY - RO eacutetranger ER - SY - F8

10

ecirctre matheacutematique EX - FR - EN - ER euclidien DE euclidienne voir division euclidienne Euler (eacutegaliteacute d-) S eacutevaluation El - CA - AP - EP - GM - F8 exactAP excegraves CM excegraves (par-) DI- AP- EP exemple EX exinscrit (cercle-) SY existe (il existe au moins un ) EX existentiel (dune fonction) AF - OM - l existentiel (eacutenonceacute-) EX exponentiation CM - EL exponentielle (fonction-) EP - GM exposant EP externe (loi-) VL extreacutemiteacute SL- VG- S-V

facelS face (dun solide) S- SA- SY- F8- lS facetteS facteur DT - SY - F8 factorielle AF - OU factorisation factoriser F8 - F9 - l faire OP faux EG - EX - RB - ER - El - RC fermeacute (disque) VG fermeacute (secteur) SA fermeacute (segment) SL fermeacute (courbe) S fil OR filet fileteacutee (tige-) SY- OT fin (preacuteordre plus-) PR fini (ensemble-) NN -EX- EN- AF- OP- CG- El- CA- F8 fixe lN flegraveche AC - OT - PH - RO fleacutecheacute (scheacutema-) RB- OR flou (mot-) F8 fois OP fonction AF - RG - OP - OM - El - E - SL- SA - SY - V - F8 - l - RO - VL fonction (symeacutetrique antisymeacutetrique) SY fonction (paire impaire) SY- PH fonction polynomiale SY fonction (ecirctre fonction de) AF

11

fonctionnelle (notation-) AF fonctionnelle (relation-) AF force OT - GM - V force centrifuge SY force eacutelectromotrice SY - GM - RFG formaliser OR forme (bi tri ) lineacuteaire alterneacutee OT formule (de reacutesolution) El fraction fractionnaire FR- EN- ER- OP- ND- PE- PT- OM- PEC ~ EPshy

GM- V -F8 Fresnel (vecteur de-) OT friseT frontiegravere El- S- SA- VG- T- LV

Galois El GaussAP gaz parfait I geacuteneacuteratrice S - SY - OT geacuteneacuteratrice (partie -) VL geacuteneacuterique (eacuteleacutement-) OM geacuteomeacutetrie RG - VH- VG geacuteomeacutetrie (plane) SA- PL geacuteomeacutetrie (dans lespace) SA- VG - S geacuteomeacutetrique (angle-) SA globalement IN - F8 grade SA gradueacutee (droite-) VG - F8 graduation graduer VG - RP - F8 grandeur PT - AP - SL- GM - F8 - I grandeur orienteacutee OT - RP grandeur scalaire grandeur vectorielle GM - V graphe RB - PE - AF - OR - RE - PR - AL - OM - El - PEC - SY - OT - IA - V graphique (repreacutesentation -) AF - OM - El grecque (numeacuterotation-) NU grosse NU groupe EN - SY - AC - PH - H - T - F8 - RC - RO - SI - IS - VL groupe (symeacutetrie alterneacute) SY

harmonique (quadruplet-) SY hauteur RG - VG - VH - S - SI heacutelicoiumldal(e) (mouvement symeacutetrie deacuteplacement-) SY- OT - IS heacutexaegravedre S hexagone hexagonal S- SY- H- LV- F8 hexagone (reacutegulier) SA- VG - SY histogramme AF - RG

12

homogegravene (ensemble mateacuteriel-) SY- GM- F8 homogegravene (grandeur-) SY- OT- GM homogegravene (polynome-) SY homologue F8 homotheacutetie homotheacutetique H - IN- V - F8 - SI - IS horizon VH horizontal VH - SA - H - T hypoteacutenuse VG - SY hypothegravese RC

icosaegravedre (reacutegulier) S identifier identification ER identiteacute EG - RG identiteacute (transformation ) SY - H - T - V - RC - RO - SI - IS illimiteacuteS illimiteacute (quadrillage-) OP illimiteacutee (eacutecriture-) ND- F8 illustration illustrer EX ilocirct deacuteductif LV image RB - AF- PE- CM -AL- PT- OM - PEC -El- CA- SL- SA-S - SY- PHshy

AC H- T-IN- IA- V- F8- RC- RO-SI- IS image directe image reacuteciproque IA- RC imaginaire (point-) F8 impair EX - AF - S - EP impossible El incertitude DI - AP - GM inchSL incidence (angle d-) SA inclineacute (plan-) SA inclus inclusion EN- RG- OR- RE - OM- El- E- SA- VG- S- SL- OT- F8 inconnu inconnue EG - DT - El - EP - V - F8 - RO - VL indeacuteformable indeacuteformabiliteacute RO - IS indeacutetermineacute El indice SA indice (dun radical) El- EP indiscernable PA ineacutegaliteacute EX - SL - SA ineacutegaux F8 ineacutequation El - CA - F8 infOP- DS- EL infeacuterieur NN - AP infmi (ensemble-) NN- AF- OP- OM- El- CA- F8 infiniteacute EX- ER- OU- El- E- CA inscriptible F8 inscrit(e) (cercle sphegravere-) S - SY- GM

13

intensiteacute eacutelectrique PH - RP - GM intercaler OR - OU inteacuterecircts composeacutes EP inteacuterieure (reacutegion-) S interpolation lineacuteaire El intersection CO - OP - AS - DS - EL - OM - E - CA - SA - VH - PL - S - OT intervalle El - AP - F8 invariance invariant SY - H- T-IN - F8 - RO -SI- RF invariant point par point globalement dans son ensemble IN inverse ER- EL- AL- PT- OM- EP- 1- RC- SI- IS inversement proportionnel PT - 1 inversible EL - 1 inversion 1 irrationnel EN - AP - F8 irreacuteductible FR- ER- OP- F8 isocegravele (triangle-) PE- VG- VH- S -LV- F8 - IS isomegravereSY isomeacutetrie isomeacutetrique VG- PE- SL- SA- SY- OT- AC- PH- T- S- LVshy

F8 - 1 - RO - SI - IS - RF - RFE isomorphe isomorphine H - T - F8 - VL issu SL

justifier EX

k-aireND

langageRG langage ensembliste E langage matheacutematique FR- VG langage vectoriel LV large (ordre-) OR- PR largeur AF - AP - VG - 1 - IS lateacuterale (surface arecircte-) S latitude SA - VH - PL - RP lecture EG - NN leacutegendeRG leacutevogyre OT lien verbal RB - PE- AF- DT- PR- PT- OM middotligne RB- DT- PT- CA- E- VG- OT ligne (de graduation) RP ligne (de niveau) VH ligne (de pente)VH ligne (dun tableau) VH- SY lineacuteaire (application- fonction-) lineacuteariteacute AL- PT- OM- PEC- GM litteacuteral (calcul-) F8

14

litteacuterale (eacutecriture-) El logarithme EP logarithme deacutecimal AF - OP - EP loi de composition EN - ER - OP - CM - AS - DS - EL -CG - El - E - AC - PH - H shy

F8 - SI - IS - VL longitude RP longueur EG- PE- AL- PT- OM- PEC- El- CA- VG - SL -SA- PL- S - EPshy

SY- OT - PH - RP - GM - H -V - LV - F8 - 1 - RO - SI - IS longueur orienteacutee I losange PE - VH - F8

machineOM maquetteH masse AL - PT - SY - GM - F8 - I masse volumique surfacique lineacuteique AL - SY - GM - F8 - I - RFG matheacutematisation OR matrice SY- V- F8 meacutecanique T - V meacutecanique (symeacutetrie-) SY meacutedian (plan-) SY meacutediane VG - S - SY - H - F8 meacutediateur (plan-) El meacutediatrice El - SY- RP - LV meilleure approximation entiegravere AP membre SL- F8 meacuteridien SL- RP - F8 meacuteridien (plan-) SY mesurage EG - GM mesure mesurer EG- AF- OP-PR-AL- OM- El- AP- SA - SL- VG- EPshy

GM-LV-F8 megravetreSL milieu RG -OP- El- SL - S - RP- H -T-V- LV- F8 -RO-SI- IS mille million milliard NU minimale VL minute (dangle) SA miroir RF - RO - SI - IS mise en eacutequations El mobile PT - F8 -IN - V Mobiumlus (ruban de-) OT modegravele DT- PA- OU module modulo PE - CG module (dune grandeur vectorielle) GM- V module (Z-) PH moins deux (base-) NU moins que NN - CA

15

moitieacute RB - SL - SA - VG moment (dune force) OT- GM monoiumlde EN monome F8 - RC mot OU moule El mouvement de rotation PH - RO mouvement de translation T mouvement diurne OT mouvement uniforme PT - GM mouvement vibratoire simple PH moyenne arithmeacutetique F8 multiple DT -EX - RB - DE - DI -NU - CG - OR - OM - El - CA - SL - F8 - I - RC multiplicande multiplicateur CM - SY multiplicatif (opeacuterateur-) OM multiplication EN- ER- DT- OP- CM- AS- DS -EL- CG- AL- Pi -OM- EL -Eshy

EP-H-F8 multiplication modulo p CG multiplication (dun vecteur par un reacuteel) V- LV- VL multipliciteacute (ordre de-) RC

nappeS naturel NN - EN - NU - F8 neacutegatif ER -ND- FR- EN- DI- El- CA- AP- EP- OT- I NeperEP neutre (eacuteleacutement-) EN- ER- EL- PO- CG- E- SY -GM- H-I-RO-IS- VL neuvaine NU nimporte quel F8 nœudEI-RP nomEG nombre (deacuteleacutements) CA nombre fini OU nombre dor H - SI normale PL normeacute (repegravere-) RP notation FR noue VH nul (angle secteur-) SA nul (segment-) SL nulle (application-) AL nulle Oongueur-) SL- GM numeacuterateur FR- PEC- F8 numeacuteration (systegraveme de numeacuteration) EG -ND - FR - NN -NU - CG - OU - CA shy

AP- EP- F8 numeacuterique (calcul-) F8

16

numeacuterique (relation-) RB numeacuterique (ensemble-) (non-) CA numeacuterotation F8 n-uplet CO - AF - OU - E

oblique VH -PL obtus SA octaegravedre (reacutegulier) S octal EN onde eacutelectromagneacutetique SY opeacuterateur FR-OM - PEC - VG opeacuteration EX - EN -ER - DE - DI - OP - PO - CG - OM - El - SL- SY -PH - GM - 1 opposeacutel opposeacutes (cocircteacutes sommets-) VG- SL- SA- S opposeacutes (diameacutetralement-) PL opposeacutes (par le sommet) SA or (nombre d-) SY ordinal CA - F9 ordonneacute (ensemble-) OR-PR-OU ordonneacutee El - RP ordonner PR - OU - F8 ordre CO ordre de grandeur OP - TP - AP ordre (dune approximation deacutecimale) AF ordre (relation d-) EN- ER- OR- PR- SL- SA- VG- PH F8 ordre-produit OU ordres usuels OU organigrartune RG orientation orienter OT - H - T - F8 - I- RO - SI - IS origine AL- OM- E- SL -SA- VG- RP- V orthocentre RG - S orthogonal VH - VG - RP- F8 - RO orthogonal (repegravere-) RP orthogonale (symeacutetrie-) SY - RC - IS orthogonaliteacute SY orthonormeacute (repegravere-) SY- RP

middotou F8 - F9 middot ouvert (disque-) VG ouvert (secteur-) SA ouvert (segment-) SL

pair NN- EN - RG - AF -NU - OR - EP - S - RC paire CO -NU - OR - PR - SL- SA - PL - VG - AC - F8 pantographe H parabole PL - OT

17

parallegravele RE- El- CA- PL- VG- SA- VH- S- RP- H- T- IA- F8- RO-SI- VL paralleacuteleacutepipegravede S - OT - GM - F8 paralleacutelisme PL- SY- H- V- F8- IS paralleacutelogramme PE - RG - VG - S - SY - H - T - V - LV - F8 paramegravetre F8 parenthegraveses FR- AS pariteacute AP partage PA partage dun naturel PA particulier F8 partie E partie entiegravere ND - AP partiel (ordre-) OR- F8 partielle (reacuteciproque-) RC partition PE- PA- DT- CG- OR- PR- F8 pasSY- F8 patate RG- E paveacuteS pentaegravedreS pentagone (reacutegulier) SA-S - SY- H- RO pentamino IS pente VH - GM percer F8 peacuterimegravetre AL- PT - SY - GM peacuteriodiciteacute El - PH - GM permutation (paire impaire) SY- OT perpendiculaire RE - El - VH - SA - PL- VG - S - SY - T - IN- LV - F8 - RO - SI peacuteriodique (eacutecriture illimiteacutee-) F8 perpendiculaire commune VG - SY pgdc OP - AS - F8 phasage phase PH - SY - AC - RP - RO phasage meacutedian PH - RP phaSage (plus petit-positif) PH - RP phrase (matheacutematique) EG- EX- FR- RB pi (nombre-) AP -SA- VG plan PE- OP- El- E- SL- SA- VH- PL- VG- S -T-H- IA- V - F8 plan PEC plan ponctuel VL plan vectoriel VL plan vertical OT plat (angle secteur-) SA Platon S plein (secteur-) SA plus grand que plus petit que NN plus que NN - CA

18

poids Pf point El - E - CA - AP - SL- VH - PL- VG - S point PEC - GM - F8 point (repreacuteSentatif) RG - OM - El point courant baladeur F8 points de suspension AP polaire (repeacuterage-) RP polarisation SY - OT pocircle (dune inversion) 1 pocircles PL- OT- RP - F8 polyegravedre S - SA - OT polygonal RG - VG polygone VG - SA - S - SY - F8 - RO - F9 polynome FR - OP - El - SL- SY -V - F8 - RC - VL polynominale (eacutequation-) RC ponctuelOT poser OP positif ER -ND - FR - EN- RG - DI - OU - El - AP - SL- SA - EP - OT - RO position (numeacuteration de-) NU pourcent PEC pourcentage PEC - GM ppmc OP - AS - EL- OM preacuteceacutedent NN preacutecision AP preacutedeacutecesseur NN preacutefixes (systegraveme international duniteacutes) EP premier (naturel-) DT- EX- EN- DI- OR- F8 premiers entre eux ER preacuteordre PR pression Pf - GM - 1 preuve RG - CG preuve par 9 DE - CG - F8 prismatique (surface) S- T prisme S - SA - SY - OT produit FR - ER - DI - OP - CM - CG - Pf - OM - PEC - El - AP - V - F8 produit carteacutesien RB - OP -OR - RE -OU - El - E - SY - GM -lA programme (de calcul) F8 projection orthogonale lA - F8 projection steacutereacuteograplucircque 1 projeteacute orthogonal SA - VH - SY - PH - RP - RO - SI prolonger EN - ER proportion Pf - V proportionnel proportionnaliteacute Pf- OM- PEC- VG- GM- H- V- F8 proportionnellement PA proprieacuteteacute F8

19

prouver F8 puissanceNN- ND- FR- EN- AF- DI- CG- PEC- AP- EP puissance (dun ensemble) CA puissance (dune inversion) I pulsation PH pyramide (surface-) S pyramide S - SY- OT Pythagore (theacuteoregraveme de-) F8

quadrant SA - SY quadrilategravere PE - RG - VG - S - LV - F8 quadrillage OP - El - V quadruplet CO - OM - E - VG - SY- OT - V quantificateur universel F8 quatriegraveme proportionnelle OM quatuor NU quelconque F8 quel que soit EG - ND - F8 quotient DE - DI - FR - ER - AF -NU -OP - CM -AS - AL - PT - AP - EP - V - F8

raccourci (flegraveche-) RE racine carreacutee positive OP racine radical (carreacute(e) cubique) OP- El- AP- EP- SY- GM- F8 radian SA- AC- PH- GM raison VL rangement ranger OR - PR rapportH-F8-I-SI rationnel EN- ER- PE- EG- ND- AF- DI- OM- El- E- AP- EP- GM- Vshy

F8 -I- VL rayon PT - El - VG - SA - VH - PL - F8 rayons vecteurs reacuteciproques (transformation par-) I rebroussement PL reacuteciproque RC - I reacuteciproque (couple-) PR reacuteciproque (eacutenonceacute-) RC- IS reacuteciproque (relation-) RB -EN- AF- DT- RE- AL~ PT- OM- SL- SY- OTshy

H - T - F8 - I - RC - SI - IS reacuteciproquement CO - OM rectangle PE - VH - VG - S - LV - F8 - I - SI - IS rectangle (triangle-) PE- RG- VG- S- SY- LV- F8- SI rectiligne PL - SL - T - V - F8 rectiligne (dun diegravedre) SA reacutedaction F8 reacuteduire reacuteduit F8 reacuteduction reacuteduire (au mecircme deacutenominateur) FR- ER

20

reacuteduction (dun original) PEC - H reacuteel EN - DI - PT - El - AP - AL - EP - H - lN - V - F8 - VL reacutefeacuterentiel reacutefeacuterence (ensemble de-) EX- OP- El- F8 reacuteflexion T - RO - SI - IS - RF - RFG reacuteflexion - glissement RFG - SI - IS reacuteflexion- rotation IS reacuteflexiviteacute (relation reacuteflexive) EG- PE- OR- PR- VG- SY- F8 regravegle de trois OM reacutegulier (pour une loi) F8 reacutegulier (polyegravedre-) S reacutegulier (polygone-) RO reacuteguliegravere (graduation-) F8 relatif EN relation relation binaire RB - AF- PE- PA- DT- OR- PR -PT- CA- OM- SAshy

SY- IA- V - F8 - RC relation dans un ensemble RB -middotPE- SY relation n-aire SY - F8 rencontrer F8 rentrant SA- OT- PH reacutepartir reacutepartition PE - PA repeacuterage CO - RP repegravere (du plan) VG- SY- RP- V- F8 reacutepeacutetition dordre n SY repreacutesentation graphique dune fonction AF - EP - SY - RP - F8 repreacutesentation mentale F8 repreacutesentation parameacutetrique F8 repreacutesenter repreacutesentant repreacutesentation RG - RB -SA -V - F8 reacutesoluble El reacutesolution reacutesoudre ER -DT - El reste DE - PE- DT - DI- NU - OP - CG - F8 restriction EN reacutesultat (dun calcul) F8 retournement face pour face IS reacutetrograde (orientation-) OT reacuteunion RG - OP - AS - OS - EL - E - CA - SA - VG - S - T - IA - RO reacutevolution PL - SY - RO reacutevolution (solide de-) S romaine (numeacuterotation-) NU rotation SL - SA - PL - SY - OT - AC - PH - F8 - RO - SI - IS rotation - glissement IS rotule RO

sagittal (scheacutema-) voir scheacutema sagittal saillant SA- OT- AC- PH- LV- SI satellite SY

21

satisfaire El scalaire VL scalaire (grandeur -) GM - V scalaire (produit -) F8 - VL scheacutema EG - RG - AL scheacutema carteacutesien RB - AF- DT- PR- OM- SY- RC scheacutema sagittal RB - RG - AF - PE - RE scheacutema fleacutecheacute RB seacutecant SA - VG - V - F8 - RO - IS seconde (dangle) SA secteur SA - S - OT - PH - H - V - LV - F8 - SI secteur circulaire SA - F8 secteur despace OT secteur polyegravedre S segment (de droite) EG- RG- EL- CA- AP- SL- SA- PL- VG- S - GM- H- Tshy

lA - F8 - RO - SI - IS segment orienteacute OT - RP - V - F8 segment (de disque de sphegravere) SL- F8 semblables VG - SI semestre OT sens SL - SA - VG - V sens de rotation SA - PL sexageacutesimale (numeacuteration-) SA sialors EX signe EG - FR -ND - OP - SL - SA signe opeacuteratoire ER - OP signifiant signifieacute OU - NU - F8 significatif (chiffre-) EP similitude VG - 1 - SI simplifier (une fraction) OP - F8 singleton El - SL - SA sinistrorsum OT sinus SY - PH - GM - VL sinusoiumlde SY - OT solideS- H- T- SI- IS solution ER- EN- DT- DI- El- E- CA- EP- IN- V- F8- 1- RO-SI- VL somme EN - FR - ER - OP - CM - CG - AL- OM - El - AP - PH - V - F8 somme des chiffres NU - CG somme magique VL sommet RG- PE- S- SA- VG source RB- AF- PE- IN- IA- F8 sous-ensemble E sous-groupe H - T - RO - SI sous-jacent DT - DI sous-multiple SL

22

soustraction ER - OP - AS - EL- PO - OM - El sphegravere El - VG - VH - PL - SY - OT - GM - F8 - RO - IS spheacuterique (repegraverage-) RP spirale logarithmique SY spire SY statistique PA strict (ordre-) OR strictement (positif ) EN- ER- VG- EP- F8 structure EN - ER - OM - V substituable IS successeur NN suite NN - AF - DI - OU - I - VL suite vide OU suite proportionnelles PT - OM suivantNN sup OP- DS- EL superficie DI supeacuterieur NN - AP supeacuterieur (cardinal-) EN superposable SL- SA- VG- SY- GM- LV- IS supportE - SL - SA - VG - V surface PL - VG - S - OT - H - T - V - F8 - RO - SI symbole EG - FR - PA symeacutetrie El - SL - SA - VH - VG - SY - OT - H - T - IN - IA - F8 - RO - SI - IS - VL symeacutetrie positive neacutegative SY symeacutetrie (relation symeacutetrique) RB -PE-RE - PR- EG - VG- SY- V - F8 - RC symeacutetriques (eacuteleacutements-) EL- SY- H-I- RO-IS symeacutetriques (points figures-) RG- CM- SY- H- V- LV symeacutetrisable EL symeacutetriseacute FR synonyme synonymie EG - FR - ER - OU systegraveme voir numeacuteration systegraveme SY- VL

table AF - RG - DT - OP - CM - CG - AP table de logarithmes EP table (dune application) PT- OM table traccedilante El tangent (plan) PL tangent tangente E - PL- VH - VG - F8 tangente (trigonomeacutetrique) SY- PH - GM taux PEC - EP - GM taux dincertitude AP - GM technique (dune opeacuteration) DI- NU- OP- F8 tempeacuterature I

23

temps F8 tension eacutelectrique PH - GM terme OP terme (dun couple dun n-uplet) CO -RB -PT- CA- VG- F8 termes (dune fraction) F8 terme (dune matrice) SY terme (dune somme) PA- AP terme (dune suite) VL ternaire ND - SY- F8 terrestre (sphegravere-) RP test EX- F8 teacutetraegravedre S - SA - VG - SY- OT - H - F8 - IS theacuteoregraveme RC theacuteorie des ensembles E TirneacuteeS tire-bouchon de Maxwell OT toreS- OT total (ordre-) OR- OU -SL- SA- OT- PH- GM- F8 tour PH traduction EG trait de fraction FR trait (de graduation) F8 trajectoire PL- T trajet V transformer transformeacute transformation F8 transformation geacuteomeacutetrique SL- SA- SY- OT - F8 - I transitiviteacute (relation transitive) EG PE- OR- RE- PR- PT- VG- GM- V- F8 translation SL - SA - SY - OT middot- PH - H - T - IA - V - F8 - RO - SI - IS transposition SY trapegraveze PE - V triade NU triangle PE - RG - VG - SA - VH - S - SY - OT - H - V - LV - F8 - IS triangulaire (ineacutegaliteacute-) SL- S triangulation VG triegravedre (secteur-) S- OT- GM trigonomeacutetrie El - SA - VG - SY - PH trigonomeacutetrique (folction rapport-) PH- GM trillion NU triplet CO - D$ - E - VG - SY- OT - RP - V - SI - VL tronc (de cocircne de cylindre de prisme de pyramide) S- H typeRE

unNN -EN uniforme (mouvement-) PT- F8 unitaire (prix-) AL

24

uniteacute EG - NU - AL- PEC - El - SL - SA - VG - EP - RP - GM - F8 universel (eacutenonceacute-) EX uplet (p- n-) IS -RF- VL

valeur EX valeur absolue AP valeur approcheacutee AP variable SY - F8 variance F8 variation (sens de-) El vecteur OP-E- SL- SA- OT- RP- GM- H- T- lA- V- LV- F8- SI- IS- VL vecteur directeur E - T - V - F8 - SI vecteur orienteur OT - AC - PH vecteur unitaire E vectoriel OT- PH- GM -V - F8 - VL vectorielle (grandeur-) GM V veacuterification veacuterifier EX - El verrou RO vertical VH - SA - PL- VG - OT - H - T vibration SY vide(ensemble-) NN -CO- RB - PE- PA- El- E - SL- SA- PL- lA- F8 virgule nombre agrave virgule ND - EN - DI OU - OM - AP - F8 visOT vissage SI- IS vitesse PT - GM - V - F8 vitesse angulaire PH - GM volume AL - PT - S - EP - SY- OT - GM - H - T - F8 - I- SI - IS volume massique 1 vrai veacuteriteacute EG - EX - RB - ER - El - RC

Watt (diagramme de-) OT

zeacutero NN - NU

25

ASSOCIATION DES PROFESSEURS DE MATHEacuteMATIQUES

DE LENSEIGNEMENT PUBLIC

Secreacutetariat 26 rue Dumeacuteril 75013 Paris Teacutel (1) 43 31 34 05

Quest-ce que IAPMEP

LAPMEP est une association fondeacutee en 1909 qui regroupe tous les enseignants concerneacutes par lenseignement des matheacutematiques de la Maternelle jusquagrave lUniversiteacute LAPMEP est un lieu deacutechanges peacutedagogiques et scientifiques pour tous les enseignants de matheacutematiques

Les Reacutegionales

Dans chaque acadeacutemie il existe une section reacutegionale de lAPMEP avec tregraves souvent des sections deacutepartementales voire locales En effet agrave la dispersion geacuteographique de ses adheacuterents lAPMEP propose un remegravede la constitution deacutequipes de maicirctres qui enseignent des matheacutematiques de la Maternelle jusquagrave lUniversiteacute en dehors de toute hieacuterarchie middotadministrative par dessus les barriegraveres officielles des divers deacutegreacutes denseignement

Les Journeacutees Nationales

LAPMEP organise chaque anneacutee des Journeacutees Nationales qui sont pour les membres de lAssociation loccasion de se retrouver Elles ont ces derniegraveres anneacutees regroupeacute de 500 agrave 800 participants autour de thegravemes divers

Les Publications

LAPMEP eacutedite un Bulletin (5 numeacuteros par an) qui reacuteunit des articles de documentation matheacutematique et peacutedagogique et qui rapporte la vie de lassociation tant reacutegionale que nationale On y trouve notamment les rubriques suivantes eacutetudes eacutetudes didactiques dans nos classes matheacutematiques et socieacuteteacuteexamens et concours manuels scolaires eacutevaluation interdisciplinaliteacute formation des maicirctres informatique audio-visuel problegravemes jeux et maths mateacuteriaux pour une documentation un coin de ciel

Elle eacutedite aussi un Suppleacutement au Bulletin appeleacute BGV

26

IGR imprimerie -lyon

Publication de lAPMEP (Association des Professeurs de Matheacutematiques

de 1 Enseignement Public)

MOTS

Reacuteflexions sur quelques mots-cleacutes agrave 1 usage des instituteurs

et des professeurs

TOME IX Brochure 1991

INVERSE ISOMEacuteTRIE REacuteCIPROQUE REacuteFLEXION ROTATION REacuteFLEXION- GLISSEMENT SIMILITUDE VECTORIEL






sadresser au


Teacutel (1)43 31 34 05

Collection MOTS






Ecrire agrave
























Maurice CARMAGNOLE

MOTS- 9

PREFACE









- 1 shy

MOTS- 9



- 2 shy






1 bull INTRODUCTION





- 1 shy













Existentiel

x 1--7 x 2 - 1 IR X--7 _1_

x 2 - 1 IR 1 -1

x l--7tx IR+ x 1--7 _j__

IX IR+




- 2 shy





8 3 -025

5 11 fi






- l shy












- 4 shy











- 5 shy








- 6 shy


RECIPROQUE



I INTRODUCTION







w x x x x y xx x z

- 1 shy










~G GshyA

B

c

A

x x

B

x

x

c

x x

D

x x

E

x

x

F

x



- z shy









- 3 shy
















- 4 shy
















- 5 shy

2















- 6 shy









2x 3 + 3x 2 - Sx - 6 = 0 est -6x3 -Sx 2 + 3x + 2 = 0




V-2



- 7 shy









- 8 shy














- 1 shy







1



tant A 2 et B





- z shy

-- --

--



1 2-- - shy(0AOA2) = COBOB2)




OM1 = OM et COMOM2) = (0A 0A ) 2 1 2
















- 3 shy

MOTS 9 - ROTATION -

















- j shy


A

figure 3 figure 4







figure 5




- 5 shy
















- 6 shy














- 7 shy

MOTS 9 - ROTATION -






figure 7














- 8 shy







g o f = ( S o S0 ) o ( s0 o S )02 01


g o f = ( S o C S0 o S0 )) o S 02 01

- 9 shy








reg ~~


D 3 = (-u v)

3 = (-v w)

3 + 3 = (-u w)

figure 8



en IV

- 10 shy







A





reg -~~





1


1 sur D 2

- 11 shy


-3=(uv)

3 = (-v u) a

D

figure 9


Si 3 + 3 = Ocirc










~n a- = so2 o so

- 12 shy



T-- s0 o v - s 0 1






A

figure 10

- 13 shy

















- 1~ shy














figure 11

- 15 shy











- 16 shy





- 17 shy


SIMILITUDE







TION (paragaphe VI)





- 1 shy

-- --












- 2 shy
















- 3 shy















G~~-H~------1

A Ft---tl-tB

JE DC

- 4 shy








- shy








nition suivante












- 6 shy







1 N

1 ) de leurs




MN= M1N

1








- 7 shy






1 peu middotimporte


2



2 2


2


CMN) MN= M N 2 2


2 par laquelshy

le M 2

et N2


2 et N

2 par H

2 bull





- R shy
















- 9 shy














- 10 shy


















- 11 shy

-------













2 et N


- 12 shy




f =T o 1 ou f = H o 12 2 2







- 13 shy






c ---- D(AB BC )


~~ Puisque ~(A) = B et ~(B) = C (~)=(~)

~~ ~---=--







- 1-+ shy

c----rH=------~











3 -1 - 1 -2 0 0 = 0 = = 0= lp)





A~B~C~E

B~C~E~G

C~E~G~I

D~F~H~J

- 15 shy















- Hi shy


h = Œ) y T3


~ = T 3 o t (4)

(DYiJJ ~ = t o T1

Œ) y H 3

(1) (2) ~ ~ ~

~ = H 3 o t n

(4)

Y~( G) ~ )c~)

~ = t o H1




- 17 shy






= 8 o T










- lR shy












- 19 shy


ISOMETRIE







I INTRODUCTIONo



- 1 shy









- z shy












Isomeacutetrie de E

signifie







- 3 shy














etc

- 4 shy
















- 5 shy











J







- 6 shy


Une droite globa-






et dangle non nul











- 7 shy





bull


les reacuteflexions

lles translations








- 8 shy











AgraveF F A Igt




- 9 shy







bull



- 10 shy










- 11 shy







- 12 shy








- 13 shy















- 14 shy





(p est impair)











- 15 shy









- 16 shy








XI -1 La phrase







- 17 shy







B B c

1)

A--------B 1)

c DC






- 18 shy



TRIE TRIANGLE II)


- 19 shy


REFLEXION


dans D dans P

une une











- 1 shy







- 1 shy








2 9 4 7 5 3 6 1 8






0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

23 116 12 56 1 76 32 16 43


- 1 shy




0 0 0 0 0 0 0 0 0





~L -6







agrave partir de


2 9 4 7 5 3 6 1 8

4 9 2 3 5 7 8 1 6


- 2 shy

6




6x23 6x116 6x12 6x56 6x1 6x76 6x32 6x16 6x43




4+2 11+9 3+4 5+7 6+5 7+3 9+6 1+1 8+8


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23 1116 12 56 1 76 32 16 43

2 9 4 7 5 3 6 1 8

= 0 -7 -5

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+ ( -2)



- 3 shy










s-a-c



s-a-c 2s-2a-2b-c





- shy







(forme 2)



somme magique 3z

= a 0 -a

-2a 0 2a a 0 -a

+

0 b -b -b 0 b b -b 0

+

0 0 3z 4z z -2Z -z 2z 2z




+ z+ b= a 1 0 -1

-2 0 2 1 0 -1

0 1 1

-1 0 1 1 -1 0

0 0 3 4 1 -2 -1 2 2


- 5 shy



1 0 -1

-2 0 2 1 0 -1

B =A= 0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

c =

0 0 3 4 1 -2 -1 2 2



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somme magique 3z

z z 1 z

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z z z

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z+x z-x-y z+y


somme magique 3z

1 1 1 1 1 1 1 1 1

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+ y+ x= z



D= 1 1 1 1 1 1 1 1 1

E= 1 -1 0

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F = 0 -1 1

1 0 -1 -1 1 0


zD + xE + yF

- 6 shy





2 3 4 5 -1 3 5 7












- 7 shy













1

- R shy


et en 1960





+ T2

) ou parkT

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T1 = 719 j1 j 0 1 0 j 0 1 + 358 1 0 1 1 0 1 0 j

+ 23 1 0 1 0 1 1 1 0 1 + 130 1 0 1 0 1 0 1 1 1






- 9 shy


V bull R- VECTORIEL









signifie



ex(~a) = (ex~)a

1 a = a





- 10 shy












-1gt --iliJI ~




- 11 shy
















- 12 shy









- 13 shy
















- t j shy

4











a a a a a a a a a






- 15 shy

















- 16 shy













- 17 -






r 2x+3y-z -t = 0 l 2x- 3y -z + t = 0





- 18 shy











- 19 shy







6 8 1

qui nest pas G


1 e

2 e



2 e










de la forme a a a

a a a a a a





- 20 shy

7



2f0




e2




x2

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y2





bullbullbull en)1 2





1 1 2 2






- 21 shy













- 22 shy





B


fd







- 23 shy





IX UTILISATIONS



X GENERALISATION




- z~ shy






- 25 shy





1







2





3





4




5





6



7


8




9



10



11





12




13



justifier EX

k-aireND


14






15





16





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18


19






20




21



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23



24




zeacutero NN - NU

25




Quest-ce que IAPMEP


Les Reacutegionales




Les Publications



26







sadresser au


Teacutel (1)43 31 34 05

Collection MOTS






Ecrire agrave
























Maurice CARMAGNOLE

MOTS- 9

PREFACE









- 1 shy

MOTS- 9



- 2 shy






1 bull INTRODUCTION





- 1 shy













Existentiel

x 1--7 x 2 - 1 IR X--7 _1_

x 2 - 1 IR 1 -1

x l--7tx IR+ x 1--7 _j__

IX IR+




- 2 shy





8 3 -025

5 11 fi






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- 5 shy








- 6 shy


RECIPROQUE



I INTRODUCTION







w x x x x y xx x z

- 1 shy










~G GshyA

B

c

A

x x

B

x

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c

x x

D

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F

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- z shy









- 3 shy
















- 4 shy
















- 5 shy

2















- 6 shy









2x 3 + 3x 2 - Sx - 6 = 0 est -6x3 -Sx 2 + 3x + 2 = 0




V-2



- 7 shy









- 8 shy














- 1 shy







1



tant A 2 et B





- z shy

-- --

--



1 2-- - shy(0AOA2) = COBOB2)




OM1 = OM et COMOM2) = (0A 0A ) 2 1 2
















- 3 shy

MOTS 9 - ROTATION -

















- j shy


A

figure 3 figure 4







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- 5 shy
















- 6 shy














- 7 shy

MOTS 9 - ROTATION -






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- 8 shy







g o f = ( S o S0 ) o ( s0 o S )02 01


g o f = ( S o C S0 o S0 )) o S 02 01

- 9 shy








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D 3 = (-u v)

3 = (-v w)

3 + 3 = (-u w)

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- 10 shy







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1 sur D 2

- 11 shy


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D

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Si 3 + 3 = Ocirc










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- 12 shy



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A

figure 10

- 13 shy

















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- 15 shy











- 16 shy





- 17 shy


SIMILITUDE







TION (paragaphe VI)





- 1 shy

-- --












- 2 shy
















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G~~-H~------1

A Ft---tl-tB

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- 4 shy








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- 6 shy







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1 ) de leurs




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1








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1 peu middotimporte


2



2 2


2


CMN) MN= M N 2 2


2 par laquelshy

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2 et N


- 12 shy




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c ---- D(AB BC )


~~ Puisque ~(A) = B et ~(B) = C (~)=(~)

~~ ~---=--







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3 -1 - 1 -2 0 0 = 0 = = 0= lp)





A~B~C~E

B~C~E~G

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h = Œ) y T3


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Œ) y H 3

(1) (2) ~ ~ ~

~ = H 3 o t n

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Y~( G) ~ )c~)

~ = t o H1




- 17 shy






= 8 o T










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- 19 shy


ISOMETRIE







I INTRODUCTIONo



- 1 shy









- z shy












Isomeacutetrie de E

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- 3 shy














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- 4 shy
















- 5 shy











J







- 6 shy


Une droite globa-






et dangle non nul











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les reacuteflexions

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- 10 shy










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- 13 shy















- 14 shy





(p est impair)











- 15 shy









- 16 shy








XI -1 La phrase







- 17 shy







B B c

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TRIE TRIANGLE II)


- 19 shy


REFLEXION


dans D dans P

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- 1 shy







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2 9 4 7 5 3 6 1 8






0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

23 116 12 56 1 76 32 16 43


- 1 shy




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2 9 4 7 5 3 6 1 8

4 9 2 3 5 7 8 1 6


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12 11 10 15 2 16



23 1116 12 56 1 76 32 16 43

2 9 4 7 5 3 6 1 8

= 0 -7 -5

-9 -4 1 -3 -1 -8

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(forme 2)



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= a 0 -a

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1

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et en 1960





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T1 = 719 j1 j 0 1 0 j 0 1 + 358 1 0 1 1 0 1 0 j

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- 9 shy


V bull R- VECTORIEL









signifie



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B


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IX UTILISATIONS



X GENERALISATION




- z~ shy






- 25 shy





1







2





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4




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7


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9



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12




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justifier EX

k-aireND


14






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18


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20




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zeacutero NN - NU

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Quest-ce que IAPMEP


Les Reacutegionales




Les Publications



26


Collection MOTS






Ecrire agrave
























Maurice CARMAGNOLE

MOTS- 9

PREFACE









- 1 shy

MOTS- 9



- 2 shy






1 bull INTRODUCTION





- 1 shy













Existentiel

x 1--7 x 2 - 1 IR X--7 _1_

x 2 - 1 IR 1 -1

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IX IR+




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8 3 -025

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RECIPROQUE



I INTRODUCTION







w x x x x y xx x z

- 1 shy










~G GshyA

B

c

A

x x

B

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D

x x

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- 4 shy
















- 5 shy

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- 6 shy









2x 3 + 3x 2 - Sx - 6 = 0 est -6x3 -Sx 2 + 3x + 2 = 0




V-2



- 7 shy









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1



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- z shy

-- --

--



1 2-- - shy(0AOA2) = COBOB2)




OM1 = OM et COMOM2) = (0A 0A ) 2 1 2
















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MOTS 9 - ROTATION -

















- j shy


A

figure 3 figure 4







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- 5 shy
















- 6 shy














- 7 shy

MOTS 9 - ROTATION -






figure 7














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g o f = ( S o S0 ) o ( s0 o S )02 01


g o f = ( S o C S0 o S0 )) o S 02 01

- 9 shy








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D 3 = (-u v)

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3 + 3 = (-u w)

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A





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1


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- 11 shy


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Si 3 + 3 = Ocirc










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- 12 shy



T-- s0 o v - s 0 1






A

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- 16 shy





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SIMILITUDE







TION (paragaphe VI)





- 1 shy

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~~ Puisque ~(A) = B et ~(B) = C (~)=(~)

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A~B~C~E

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ISOMETRIE







I INTRODUCTIONo



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Isomeacutetrie de E

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XI -1 La phrase







- 17 shy







B B c

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TRIE TRIANGLE II)


- 19 shy


REFLEXION


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2 9 4 7 5 3 6 1 8






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23 116 12 56 1 76 32 16 43


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2 9 4 7 5 3 6 1 8

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6




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12 11 10 15 2 16



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2 9 4 7 5 3 6 1 8

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zD + xE + yF

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et en 1960





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T1 = 719 j1 j 0 1 0 j 0 1 + 358 1 0 1 1 0 1 0 j

+ 23 1 0 1 0 1 1 1 0 1 + 130 1 0 1 0 1 0 1 1 1






- 9 shy


V bull R- VECTORIEL









signifie



ex(~a) = (ex~)a

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6 8 1

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1 e

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B


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IX UTILISATIONS



X GENERALISATION




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- 25 shy





1







2





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9



10



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k-aireND


14






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Quest-ce que IAPMEP


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PREFACE









- 1 shy

MOTS- 9



- 2 shy






1 bull INTRODUCTION





- 1 shy













Existentiel

x 1--7 x 2 - 1 IR X--7 _1_

x 2 - 1 IR 1 -1

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IX IR+




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8 3 -025

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RECIPROQUE



I INTRODUCTION







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x x

E

x

x

F

x



- z shy









- 3 shy
















- 4 shy
















- 5 shy

2















- 6 shy









2x 3 + 3x 2 - Sx - 6 = 0 est -6x3 -Sx 2 + 3x + 2 = 0




V-2



- 7 shy









- 8 shy














- 1 shy







1



tant A 2 et B





- z shy

-- --

--



1 2-- - shy(0AOA2) = COBOB2)




OM1 = OM et COMOM2) = (0A 0A ) 2 1 2
















- 3 shy

MOTS 9 - ROTATION -

















- j shy


A

figure 3 figure 4







figure 5




- 5 shy
















- 6 shy














- 7 shy

MOTS 9 - ROTATION -






figure 7














- 8 shy







g o f = ( S o S0 ) o ( s0 o S )02 01


g o f = ( S o C S0 o S0 )) o S 02 01

- 9 shy








reg ~~


D 3 = (-u v)

3 = (-v w)

3 + 3 = (-u w)

figure 8



en IV

- 10 shy







A





reg -~~





1


1 sur D 2

- 11 shy


-3=(uv)

3 = (-v u) a

D

figure 9


Si 3 + 3 = Ocirc










~n a- = so2 o so

- 12 shy



T-- s0 o v - s 0 1






A

figure 10

- 13 shy

















- 1~ shy














figure 11

- 15 shy











- 16 shy





- 17 shy


SIMILITUDE







TION (paragaphe VI)





- 1 shy

-- --












- 2 shy
















- 3 shy















G~~-H~------1

A Ft---tl-tB

JE DC

- 4 shy








- shy








nition suivante












- 6 shy







1 N

1 ) de leurs




MN= M1N

1








- 7 shy






1 peu middotimporte


2



2 2


2


CMN) MN= M N 2 2


2 par laquelshy

le M 2

et N2


2 et N

2 par H

2 bull





- R shy
















- 9 shy














- 10 shy


















- 11 shy

-------













2 et N


- 12 shy




f =T o 1 ou f = H o 12 2 2







- 13 shy






c ---- D(AB BC )


~~ Puisque ~(A) = B et ~(B) = C (~)=(~)

~~ ~---=--







- 1-+ shy

c----rH=------~











3 -1 - 1 -2 0 0 = 0 = = 0= lp)





A~B~C~E

B~C~E~G

C~E~G~I

D~F~H~J

- 15 shy















- Hi shy


h = Œ) y T3


~ = T 3 o t (4)

(DYiJJ ~ = t o T1

Œ) y H 3

(1) (2) ~ ~ ~

~ = H 3 o t n

(4)

Y~( G) ~ )c~)

~ = t o H1




- 17 shy






= 8 o T










- lR shy












- 19 shy


ISOMETRIE







I INTRODUCTIONo



- 1 shy









- z shy












Isomeacutetrie de E

signifie







- 3 shy














etc

- 4 shy
















- 5 shy











J







- 6 shy


Une droite globa-






et dangle non nul











- 7 shy





bull


les reacuteflexions

lles translations








- 8 shy











AgraveF F A Igt




- 9 shy







bull



- 10 shy










- 11 shy







- 12 shy








- 13 shy















- 14 shy





(p est impair)











- 15 shy









- 16 shy








XI -1 La phrase







- 17 shy







B B c

1)

A--------B 1)

c DC






- 18 shy



TRIE TRIANGLE II)


- 19 shy


REFLEXION


dans D dans P

une une











- 1 shy







- 1 shy








2 9 4 7 5 3 6 1 8






0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

23 116 12 56 1 76 32 16 43


- 1 shy




0 0 0 0 0 0 0 0 0





~L -6







agrave partir de


2 9 4 7 5 3 6 1 8

4 9 2 3 5 7 8 1 6


- 2 shy

6




6x23 6x116 6x12 6x56 6x1 6x76 6x32 6x16 6x43




4+2 11+9 3+4 5+7 6+5 7+3 9+6 1+1 8+8


12 11 10 15 2 16



23 1116 12 56 1 76 32 16 43

2 9 4 7 5 3 6 1 8

= 0 -7 -5

-9 -4 1 -3 -1 -8

+ ( -2)



- 3 shy










s-a-c



s-a-c 2s-2a-2b-c





- shy







(forme 2)



somme magique 3z

= a 0 -a

-2a 0 2a a 0 -a

+

0 b -b -b 0 b b -b 0

+

0 0 3z 4z z -2Z -z 2z 2z




+ z+ b= a 1 0 -1

-2 0 2 1 0 -1

0 1 1

-1 0 1 1 -1 0

0 0 3 4 1 -2 -1 2 2


- 5 shy



1 0 -1

-2 0 2 1 0 -1

B =A= 0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

c =

0 0 3 4 1 -2 -1 2 2



z+x z-x-y z+y


somme magique 3z

z z 1 z

z z z=

z z z

x -x 0 -x 0 x 0 x -x

0 -y y

y 0 -y -y y 0

+ +



z+x z-x-y z+y


somme magique 3z

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 -1 0 -1 0 1 0 1 -1

0 -1 1

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+ y+ x= z



D= 1 1 1 1 1 1 1 1 1

E= 1 -1 0

-1 0 1 0 1 -1

F = 0 -1 1

1 0 -1 -1 1 0


zD + xE + yF

- 6 shy





2 3 4 5 -1 3 5 7












- 7 shy













1

- R shy


et en 1960





+ T2

) ou parkT

1 + tT





T1 = 719 j1 j 0 1 0 j 0 1 + 358 1 0 1 1 0 1 0 j

+ 23 1 0 1 0 1 1 1 0 1 + 130 1 0 1 0 1 0 1 1 1






- 9 shy


V bull R- VECTORIEL









signifie



ex(~a) = (ex~)a

1 a = a





- 10 shy












-1gt --iliJI ~




- 11 shy
















- 12 shy









- 13 shy
















- t j shy

4











a a a a a a a a a






- 15 shy

















- 16 shy













- 17 -






r 2x+3y-z -t = 0 l 2x- 3y -z + t = 0





- 18 shy











- 19 shy







6 8 1

qui nest pas G


1 e

2 e



2 e










de la forme a a a

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7



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1 1 2 2






- 21 shy













- 22 shy





B


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- 23 shy





IX UTILISATIONS



X GENERALISATION




- z~ shy






- 25 shy





1







2





3





4




5





6



7


8




9



10



11





12




13



justifier EX

k-aireND


14






15





16





17


18


19






20




21



22



23



24




zeacutero NN - NU

25




Quest-ce que IAPMEP


Les Reacutegionales




Les Publications



26














Maurice CARMAGNOLE

MOTS- 9

PREFACE









- 1 shy

MOTS- 9



- 2 shy






1 bull INTRODUCTION





- 1 shy













Existentiel

x 1--7 x 2 - 1 IR X--7 _1_

x 2 - 1 IR 1 -1

x l--7tx IR+ x 1--7 _j__

IX IR+




- 2 shy





8 3 -025

5 11 fi






- l shy












- 4 shy











- 5 shy








- 6 shy


RECIPROQUE



I INTRODUCTION







w x x x x y xx x z

- 1 shy










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B

c

A

x x

B

x

x

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x x

D

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F

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- z shy









- 3 shy
















- 4 shy
















- 5 shy

2















- 6 shy









2x 3 + 3x 2 - Sx - 6 = 0 est -6x3 -Sx 2 + 3x + 2 = 0




V-2



- 7 shy









- 8 shy














- 1 shy







1



tant A 2 et B





- z shy

-- --

--



1 2-- - shy(0AOA2) = COBOB2)




OM1 = OM et COMOM2) = (0A 0A ) 2 1 2
















- 3 shy

MOTS 9 - ROTATION -

















- j shy


A

figure 3 figure 4







figure 5




- 5 shy
















- 6 shy














- 7 shy

MOTS 9 - ROTATION -






figure 7














- 8 shy







g o f = ( S o S0 ) o ( s0 o S )02 01


g o f = ( S o C S0 o S0 )) o S 02 01

- 9 shy








reg ~~


D 3 = (-u v)

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figure 8



en IV

- 10 shy







A





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1


1 sur D 2

- 11 shy


-3=(uv)

3 = (-v u) a

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figure 9


Si 3 + 3 = Ocirc










~n a- = so2 o so

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T-- s0 o v - s 0 1






A

figure 10

- 13 shy

















- 1~ shy














figure 11

- 15 shy











- 16 shy





- 17 shy


SIMILITUDE







TION (paragaphe VI)





- 1 shy

-- --












- 2 shy
















- 3 shy















G~~-H~------1

A Ft---tl-tB

JE DC

- 4 shy








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nition suivante












- 6 shy







1 N

1 ) de leurs




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1








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1 peu middotimporte


2



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CMN) MN= M N 2 2


2 par laquelshy

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2 et N

2 par H

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- 9 shy














- 10 shy


















- 11 shy

-------













2 et N


- 12 shy




f =T o 1 ou f = H o 12 2 2







- 13 shy






c ---- D(AB BC )


~~ Puisque ~(A) = B et ~(B) = C (~)=(~)

~~ ~---=--







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A~B~C~E

B~C~E~G

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- 15 shy















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h = Œ) y T3


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(1) (2) ~ ~ ~

~ = H 3 o t n

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Y~( G) ~ )c~)

~ = t o H1




- 17 shy






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- 19 shy


ISOMETRIE







I INTRODUCTIONo



- 1 shy









- z shy












Isomeacutetrie de E

signifie







- 3 shy














etc

- 4 shy
















- 5 shy











J







- 6 shy


Une droite globa-






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- 7 shy





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les reacuteflexions

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- 10 shy










- 11 shy







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- 14 shy





(p est impair)











- 15 shy









- 16 shy








XI -1 La phrase







- 17 shy







B B c

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- 18 shy



TRIE TRIANGLE II)


- 19 shy


REFLEXION


dans D dans P

une une











- 1 shy







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2 9 4 7 5 3 6 1 8






0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

23 116 12 56 1 76 32 16 43


- 1 shy




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2 9 4 7 5 3 6 1 8

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= a 0 -a

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- 5 shy



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1

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et en 1960





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- 9 shy


V bull R- VECTORIEL









signifie



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- 10 shy












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- 11 shy
















- 12 shy









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4











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- 15 shy

















- 16 shy













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- 18 shy











- 19 shy







6 8 1

qui nest pas G


1 e

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1 1 2 2






- 21 shy













- 22 shy





B


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- 23 shy





IX UTILISATIONS



X GENERALISATION




- z~ shy






- 25 shy





1







2





3





4




5





6



7


8




9



10



11





12




13



justifier EX

k-aireND


14






15





16





17


18


19






20




21



22



23



24




zeacutero NN - NU

25




Quest-ce que IAPMEP


Les Reacutegionales




Les Publications



26






Maurice CARMAGNOLE

MOTS- 9

PREFACE









- 1 shy

MOTS- 9



- 2 shy






1 bull INTRODUCTION





- 1 shy













Existentiel

x 1--7 x 2 - 1 IR X--7 _1_

x 2 - 1 IR 1 -1

x l--7tx IR+ x 1--7 _j__

IX IR+




- 2 shy





8 3 -025

5 11 fi






- l shy












- 4 shy











- 5 shy








- 6 shy


RECIPROQUE



I INTRODUCTION







w x x x x y xx x z

- 1 shy










~G GshyA

B

c

A

x x

B

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D

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- z shy









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- 4 shy
















- 5 shy

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V-2



- 7 shy









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1



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OM1 = OM et COMOM2) = (0A 0A ) 2 1 2
















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A

figure 3 figure 4







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- 5 shy
















- 6 shy














- 7 shy

MOTS 9 - ROTATION -






figure 7














- 8 shy







g o f = ( S o S0 ) o ( s0 o S )02 01


g o f = ( S o C S0 o S0 )) o S 02 01

- 9 shy








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D 3 = (-u v)

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- 10 shy







A





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1


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T-- s0 o v - s 0 1






A

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figure 11

- 15 shy











- 16 shy





- 17 shy


SIMILITUDE







TION (paragaphe VI)





- 1 shy

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G~~-H~------1

A Ft---tl-tB

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2



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~~ Puisque ~(A) = B et ~(B) = C (~)=(~)

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A~B~C~E

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D~F~H~J

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h = Œ) y T3


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~ = H 3 o t n

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- 17 shy






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- 19 shy


ISOMETRIE







I INTRODUCTIONo



- 1 shy









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Isomeacutetrie de E

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XI -1 La phrase







- 17 shy







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TRIE TRIANGLE II)


- 19 shy


REFLEXION


dans D dans P

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- 1 shy







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2 9 4 7 5 3 6 1 8






0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

23 116 12 56 1 76 32 16 43


- 1 shy




0 0 0 0 0 0 0 0 0





~L -6







agrave partir de


2 9 4 7 5 3 6 1 8

4 9 2 3 5 7 8 1 6


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6




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4+2 11+9 3+4 5+7 6+5 7+3 9+6 1+1 8+8


12 11 10 15 2 16



23 1116 12 56 1 76 32 16 43

2 9 4 7 5 3 6 1 8

= 0 -7 -5

-9 -4 1 -3 -1 -8

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s-a-c



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(forme 2)



somme magique 3z

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+ y+ x= z



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F = 0 -1 1

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zD + xE + yF

- 6 shy





2 3 4 5 -1 3 5 7












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1

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et en 1960





+ T2

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1 + tT





T1 = 719 j1 j 0 1 0 j 0 1 + 358 1 0 1 1 0 1 0 j

+ 23 1 0 1 0 1 1 1 0 1 + 130 1 0 1 0 1 0 1 1 1






- 9 shy


V bull R- VECTORIEL









signifie



ex(~a) = (ex~)a

1 a = a





- 10 shy












-1gt --iliJI ~




- 11 shy
















- 12 shy









- 13 shy
















- t j shy

4











a a a a a a a a a






- 15 shy

















- 16 shy













- 17 -






r 2x+3y-z -t = 0 l 2x- 3y -z + t = 0





- 18 shy











- 19 shy







6 8 1

qui nest pas G


1 e

2 e



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de la forme a a a

a a a a a a





- 20 shy

7



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1 1 2 2






- 21 shy













- 22 shy





B


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- 23 shy





IX UTILISATIONS



X GENERALISATION




- z~ shy






- 25 shy





1







2





3





4




5





6



7


8




9



10



11





12




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justifier EX

k-aireND


14






15





16





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19






20




21



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zeacutero NN - NU

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Quest-ce que IAPMEP


Les Reacutegionales




Les Publications



26


MOTS- 9

PREFACE









- 1 shy

MOTS- 9



- 2 shy






1 bull INTRODUCTION





- 1 shy













Existentiel

x 1--7 x 2 - 1 IR X--7 _1_

x 2 - 1 IR 1 -1

x l--7tx IR+ x 1--7 _j__

IX IR+




- 2 shy





8 3 -025

5 11 fi






- l shy












- 4 shy











- 5 shy








- 6 shy


RECIPROQUE



I INTRODUCTION







w x x x x y xx x z

- 1 shy










~G GshyA

B

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A

x x

B

x

x

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x x

D

x x

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F

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- z shy









- 3 shy
















- 4 shy
















- 5 shy

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- 6 shy









2x 3 + 3x 2 - Sx - 6 = 0 est -6x3 -Sx 2 + 3x + 2 = 0




V-2



- 7 shy









- 8 shy














- 1 shy







1



tant A 2 et B





- z shy

-- --

--



1 2-- - shy(0AOA2) = COBOB2)




OM1 = OM et COMOM2) = (0A 0A ) 2 1 2
















- 3 shy

MOTS 9 - ROTATION -

















- j shy


A

figure 3 figure 4







figure 5




- 5 shy
















- 6 shy














- 7 shy

MOTS 9 - ROTATION -






figure 7














- 8 shy







g o f = ( S o S0 ) o ( s0 o S )02 01


g o f = ( S o C S0 o S0 )) o S 02 01

- 9 shy








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D 3 = (-u v)

3 = (-v w)

3 + 3 = (-u w)

figure 8



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- 10 shy







A





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1 sur D 2

- 11 shy


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3 = (-v u) a

D

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Si 3 + 3 = Ocirc










~n a- = so2 o so

- 12 shy



T-- s0 o v - s 0 1






A

figure 10

- 13 shy

















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figure 11

- 15 shy











- 16 shy





- 17 shy


SIMILITUDE







TION (paragaphe VI)





- 1 shy

-- --












- 2 shy
















- 3 shy















G~~-H~------1

A Ft---tl-tB

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- 4 shy








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nition suivante












- 6 shy







1 N

1 ) de leurs




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- 7 shy






1 peu middotimporte


2



2 2


2


CMN) MN= M N 2 2


2 par laquelshy

le M 2

et N2


2 et N

2 par H

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- R shy
















- 9 shy














- 10 shy


















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2 et N


- 12 shy




f =T o 1 ou f = H o 12 2 2







- 13 shy






c ---- D(AB BC )


~~ Puisque ~(A) = B et ~(B) = C (~)=(~)

~~ ~---=--







- 1-+ shy

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- 15 shy















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~ = H 3 o t n

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- 17 shy






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- 19 shy


ISOMETRIE







I INTRODUCTIONo



- 1 shy









- z shy












Isomeacutetrie de E

signifie







- 3 shy














etc

- 4 shy
















- 5 shy











J







- 6 shy


Une droite globa-






et dangle non nul











- 7 shy





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les reacuteflexions

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- 9 shy







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- 10 shy










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- 13 shy















- 14 shy





(p est impair)











- 15 shy









- 16 shy








XI -1 La phrase







- 17 shy







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- 18 shy



TRIE TRIANGLE II)


- 19 shy


REFLEXION


dans D dans P

une une











- 1 shy







- 1 shy








2 9 4 7 5 3 6 1 8






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- 1 shy




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23 1116 12 56 1 76 32 16 43

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- 5 shy



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B =A= 0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

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- 6 shy





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- 9 shy


V bull R- VECTORIEL









signifie



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IX UTILISATIONS



X GENERALISATION




- z~ shy






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1







2





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20




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zeacutero NN - NU

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Quest-ce que IAPMEP


Les Reacutegionales




Les Publications



26


MOTS- 9



- 2 shy






1 bull INTRODUCTION





- 1 shy













Existentiel

x 1--7 x 2 - 1 IR X--7 _1_

x 2 - 1 IR 1 -1

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IX IR+




- 2 shy





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RECIPROQUE



I INTRODUCTION







w x x x x y xx x z

- 1 shy










~G GshyA

B

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A

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V-2



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A

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- 5 shy
















- 6 shy














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MOTS 9 - ROTATION -






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g o f = ( S o S0 ) o ( s0 o S )02 01


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- 9 shy








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Si 3 + 3 = Ocirc










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A

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SIMILITUDE







TION (paragaphe VI)





- 1 shy

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A Ft---tl-tB

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~~ Puisque ~(A) = B et ~(B) = C (~)=(~)

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ISOMETRIE







I INTRODUCTIONo



- 1 shy









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XI -1 La phrase







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TRIE TRIANGLE II)


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REFLEXION


dans D dans P

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2 9 4 7 5 3 6 1 8

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- 2 shy

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(forme 2)



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V bull R- VECTORIEL









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qui nest pas G


1 e

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- 21 shy













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B


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IX UTILISATIONS



X GENERALISATION




- z~ shy






- 25 shy





1







2





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zeacutero NN - NU

25




Quest-ce que IAPMEP


Les Reacutegionales




Les Publications



26







1 bull INTRODUCTION





- 1 shy













Existentiel

x 1--7 x 2 - 1 IR X--7 _1_

x 2 - 1 IR 1 -1

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IX IR+




- 2 shy





8 3 -025

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- 4 shy











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RECIPROQUE



I INTRODUCTION







w x x x x y xx x z

- 1 shy










~G GshyA

B

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A

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B

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V-2



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A

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g o f = ( S o C S0 o S0 )) o S 02 01

- 9 shy








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A





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A

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SIMILITUDE







TION (paragaphe VI)





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A Ft---tl-tB

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A~B~C~E

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ISOMETRIE







I INTRODUCTIONo



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Isomeacutetrie de E

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TRIE TRIANGLE II)


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REFLEXION


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23 116 12 56 1 76 32 16 43


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agrave partir de


2 9 4 7 5 3 6 1 8

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6




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12 11 10 15 2 16



23 1116 12 56 1 76 32 16 43

2 9 4 7 5 3 6 1 8

= 0 -7 -5

-9 -4 1 -3 -1 -8

+ ( -2)



- 3 shy










s-a-c



s-a-c 2s-2a-2b-c





- shy







(forme 2)



somme magique 3z

= a 0 -a

-2a 0 2a a 0 -a

+

0 b -b -b 0 b b -b 0

+

0 0 3z 4z z -2Z -z 2z 2z




+ z+ b= a 1 0 -1

-2 0 2 1 0 -1

0 1 1

-1 0 1 1 -1 0

0 0 3 4 1 -2 -1 2 2


- 5 shy



1 0 -1

-2 0 2 1 0 -1

B =A= 0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0

c =

0 0 3 4 1 -2 -1 2 2



z+x z-x-y z+y


somme magique 3z

z z 1 z

z z z=

z z z

x -x 0 -x 0 x 0 x -x

0 -y y

y 0 -y -y y 0

+ +



z+x z-x-y z+y


somme magique 3z

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 -1 0 -1 0 1 0 1 -1

0 -1 1

1 0 -1 -1 1 0

+ y+ x= z



D= 1 1 1 1 1 1 1 1 1

E= 1 -1 0

-1 0 1 0 1 -1

F = 0 -1 1

1 0 -1 -1 1 0


zD + xE + yF

- 6 shy





2 3 4 5 -1 3 5 7












- 7 shy













1

- R shy


et en 1960





+ T2

) ou parkT

1 + tT





T1 = 719 j1 j 0 1 0 j 0 1 + 358 1 0 1 1 0 1 0 j

+ 23 1 0 1 0 1 1 1 0 1 + 130 1 0 1 0 1 0 1 1 1






- 9 shy


V bull R- VECTORIEL









signifie



ex(~a) = (ex~)a

1 a = a





- 10 shy












-1gt --iliJI ~




- 11 shy
















- 12 shy









- 13 shy
















- t j shy

4











a a a a a a a a a






- 15 shy

















- 16 shy













- 17 -






r 2x+3y-z -t = 0 l 2x- 3y -z + t = 0





- 18 shy











- 19 shy







6 8 1

qui nest pas G


1 e

2 e



2 e










de la forme a a a

a a a a a a





- 20 shy

7



2f0




e2




x2

x3 x n)


y2





bullbullbull en)1 2





1 1 2 2






- 21 shy













- 22 shy





B


fd







- 23 shy





IX UTILISATIONS



X GENERALISATION




- z~ shy






- 25 shy





1







2





3





4




5





6



7


8




9



10



11





12




13



justifier EX

k-aireND


14






15





16





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zeacutero NN - NU

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Quest-ce que IAPMEP


Les Reacutegionales




Les Publications



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