MT Civrac09

Master Recherche Gnie Industriel

Spcialit OSIL

Promotion 2008/2009

Mmoire Thmatique

GESTION DE STOCK MULTI-PRODUIT

Soutenu le 5 mars 2009 par Amaury CIVRAC

Jury :

Asma GHAFFARI

Zied JEMAI

...

..

RESUME

Lobjet de cette tude est de raliser un tat de lart des politiques de gestion de stock en

environnement multi-produit dans le cadre dun entrept ou magasin devant se rapprovisionner

auprs dun fournisseur, problmatique plus communment connue sous le nom de Joint

Replenishment Problem .

Aprs avoir rpertori les diffrentes approches considres dans la littrature, nous indiquons

diffrentes voies quil nous semblerait pertinentes dapprofondir. Nous nous sommes focaliss sur la

problmatique doptimisation dune politique de rapprovisionnement multi-produit sous contrainte de

capacit de stockage, dallocation de budget, de transport et de minimum de commande.

Nous proposons deux modles prenant en considration lensemble de ces contraintes dans le cas

dune demande stochastique et dans le cas dune demande dterministe constante dans le temps, ainsi

que les structures de cot associes.

SOMMAIRE

RESUME ................................................................................................................................................. 2

SOMMAIRE ........................................................................................................................................... 3

INTRODUCTION ................................................................................................................................... 5

I. Revue bibliographique .................................................................................................................... 6

I.1 Primtre de ltude ................................................................................................................. 6

I.2 Analyse globale du sujet en enjeux associs ........................................................................... 7

I.3 Prsentation de la base bibliographique .................................................................................. 8

I.3.1 Sources de recherche ........................................................................................................... 8

I.3.2 Source dinformation en Recherche Oprationelle pour la problmatique de

rapprovisionnement multi-produit ................................................................................................. 9

I.3.3 Les chercheurs et les principales collaborations .................................................................. 9

I.4 Analyse de la base bibliographique ....................................................................................... 11

I.4.1 Chronologie des publications ............................................................................................ 11

I.4.2 Les principaux ples et quipes de recherche travers le monde ..................................... 12

I.4.3 Les pistes de recherche rcentes : la prise en compte des contraintes ............................... 12

II. Classification et caractrisation des modles du JRP ................................................................... 14

II.1 Les articles de revues ............................................................................................................ 14

II.2 Classification retenue ............................................................................................................ 16

II.3 Prsentation du Problme de rapprovisionnement multi-produit ........................................ 18

II.3.1 Contexte de ltude ........................................................................................................ 18

II.3.2 Hypothses du modle ................................................................................................... 18

II.3.3 Paramtres du modle.................................................................................................... 19

II.3.4 Variables de dcision ..................................................................................................... 19

II.3.5 Fonction de cot ............................................................................................................ 20

II.3.6 Mthodes de rsolution.................................................................................................. 20

II.4 Quelques exemples de modlisation ..................................................................................... 21

II.4.1 JRP avec contraintes de stockage, de budget et capacit de transport : Hoque, 2006 ... 21

II.4.2 JRP avec minimum de commande (MOQ) : Porras & Dekker, 2006 ........................... 22

II.4.3 JRP avec demande stochastique .................................................................................... 23

III. Problmatique de recherche ...................................................................................................... 24

III.1 Identification des champs dexploration possibles ................................................................ 25

III.2 Choix dune problmatique de recherche .............................................................................. 26

IV. Mise en place dun modle associ ........................................................................................... 27

IV.1 Contexte du modle ............................................................................................................... 27

IV.2 Hypothses associes et justification ..................................................................................... 28

IV.3 Dfinition des paramtres et des variables de dcision ......................................................... 28

IV.3.1 Paramtres du modle.................................................................................................... 28

IV.3.2 Variables de dcision ..................................................................................................... 29

IV.4 Fonction de cot optimiser ................................................................................................. 29

IV.4.1 Cots pris en compte ..................................................................................................... 29

IV.4.2 Fonction de cot total .................................................................................................... 30

IV.5 Contraintes du modle ........................................................................................................... 31

IV.6 Proposition de modle en environnement dterministe ......................................................... 31

IV.6.1 Extension du modle de Hoque, 2006 ........................................................................... 32

IV.6.2 Analyse des cots de transport ...................................................................................... 32

IV.6.3 Nouvelle modlisation des cots de transport ............................................................... 33

IV.7 Avantages et limites des modles proposs ........................................................................... 34

IV.7.1 Les contraintes prises en compte ................................................................................... 34

IV.7.2 Typologie de la demande ............................................................................................... 35

CONCLUSION ..................................................................................................................................... 36

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................................ 37

INTRODUCTION

Limportance de loptimisation de lensemble de la chaine logistique nest plus dmontrer

aujourdhui, lheure du client roi, dans un monde conomique o la satisfaction du client est le

principal enjeu et la sanction fatidique de toute politique conomique dentreprise.

Dans un environnement conomique international de plus en plus comptitif, les gains potentiels

effectus tout au long de la chaine de valeur sont ainsi considrs comme un levier de comptitivit

essentiel.

Par ailleurs, les besoins de consommation toujours plus spcifiques et la production de biens

industriels guide par des volutions toujours plus rapide imposent aux entreprises de biens et services

des gammes de produits de plus en plus tendues.

Dans ce cadre, les politiques de gestion de stocks sont directement impactes par la multiplication des

rfrences produits, les exigences de livraison toujours plus rapide, et les cots d'approvisionnement

toujours plus discriminants. Le pilotage de flux et les politiques de gestion des stocks reprsentent

donc un enjeu crucial pour la matrise gnrale de la chane logistique, et de nombreuses politiques de

gestion de stocks ont t dveloppes dans la littrature dans le cadre de systmes mono-produits

(modle de Wilson, politiques point de commande, niveau de recompltement).

Cependant, les flux logistiques rels sont bien souvent composs de plusieurs produits, apportant une

complexit supplmentaire pour l'optimisation de ces politiques. De nombreux travaux se sont donc

penchs sur la gestion des stocks et les problmatiques d'approvisionnement dans un environnement

multi-produit.

Des revues de littrature sur le problme dapprovisionnement dans un contexte multi-produit ont ainsi

t publies ds 1988 par Aksoy and Erenguc, et ractualises plus rcemment par Khouja et Goyal,

2008. Les gains potentiels lis ces politiques doptimisation ont suscit un certain intrt pour mettre

en uvre des politiques dapprovisionnement conjointes.

Nanmoins les contraintes industrielles ont t peu prises en compte jusqu peu et lon voit clore un

nombre croissant de travaux traitant de ces enjeux dapprovisionnement dans un contexte multi-

produit. Ils prennent dsormais en compte une ou plusieurs contraintes parmi lesquelles la capacit des

entrepts, les contraintes de budget ou encore certaines contraintes lies la problmatique du

transport ou de minimum de commande.

Cest ainsi la conclusion de la revue de littrature de Khouja et Goyal, 2008 selon laquelle la recherche

de solutions optimales du problme de rapprovisionnement dans un contexte multi-produit (Joint

Replenishment Problem ou JRP) est arrive un point de saturation. Le temps serait ainsi propice la

prise en compte de modles appliqus des problmes de gestion de stocks rels avec un certain

nombre de contraintes prgnantes.

I. Revue bibliographique

I.1 Primtre de ltude

Au sein de la problmatique doptimisation globale de la Supply Chain, la gestion des stocks et des

approvisionnements correspondants est un enjeu primordial et des gains considrables peuvent tre

raliss en coordonnant lapprovisionnement auprs des fournisseurs dans un environnement multi-

produit (Aksoy and Erenguc, 1988).

Pour rpondre de manire optimale la demande des clients, chaque entreprise ou rseau

dapprovisionnement et de distribution sorganise selon un schma qui allie la fois ractivit et

optimisation des cots de gestion des stocks et des transports.

Ce schma peut tre rduit sa plus simple expression lorsquun magasin sapprovisionne auprs dun

client unique, et peut stendre jusqu des rseaux logistiques beaucoup plus complexes impliquant

plusieurs point dacheminement des produits et diffrents fournisseurs, avec parfois mme plusieurs

chelons de stockage intermdiaires.

Dans le cadre de la recherche oprationnelle, un nombre croissant de pistes exploratoires ont t

lances autour de ces problmatiques dapprovisionnement, notamment impliquant plusieurs

fournisseurs pour un mme lieu dentreposage ou de vente. La plupart de ces tudes traitent de

problmatiques mono-produits (voir Vincent Giard, Gestion de production et des flux ).

Cependant, la ralit de lenvironnement multi-produit concernant les flux de la grande majorit des

Supply Chain a engag un certain nombre de chercheurs explorer la piste de modles multi-produit

afin de rpondre de manire plus pertinente aux problmatiques industrielles les plus rcentes depuis

Balintfy, 1964 ou Renberg & Plenche 1967 et les mthodes de rsolutions associes (voir Silver, 1976,

Goyal, 1974, Kaspi&Rosenblatt, 1983 ou encore Viswanathan, 1997).

Certains sont mmes alls jusqu dvelopper des modles de rapprovisionnement coordonns

partir de plusieurs fournisseurs. Cest le cas de Chan & al, 2003 ou encore de Li, 2004 allant jusqu

des modles dapprovisionnement et de livraison dans une chaine logistique intgre, extensions de

modles se concentrant sur lapprovisionnement et la dtention du stock, tel Chan, Moon & Park,

2008.

De surcrot, dans la grande majorit des cas, une entreprise de biens ou services propose au client de

nombreux produits pouvant tre regroups par famille selon le fournisseur auprs duquel lentreprise

dcide de sapprovisionner. Ltude dun tel rseau 1 seul entrept et N fournisseurs peut de cette

manire tre subdivise en plusieurs problmes ramens un seul fournisseur auquel serait rattache

une famille de produit.

Ainsi, il semble tout aussi intressant et pertinent de sintresser au problme dapprovisionnement

concernant un panel de produits provenant dun seul fournisseur et destination dun entrept de

stockage ou encore dun magasin. Notre tude bibliographique se limitera donc ce champ de

recherche dj riche en articles et propositions de modles associs.

I.2 Analyse globale du sujet en enjeux associs

Notre tude consiste donc mettre en lumire les diffrentes pistes de recherche explores dans le

cadre de politiques dapprovisionnement multi-produit ainsi que les diffrentes modlisations qui ont

pu tre proposes. Il sagit galement de mettre en lumire les transformations apportes par ces

mthodes sur les modes traditionnels de pilotage de flux et de gestion des stocks.

Dans le cadre de la gestion de stock dans un contexte mono-produit, de nombreuses propositions de

politiques doptimisation et dapprovisionnement ont t dfinies. Il est tout dabord ncessaire de

mettre en valeur quel type de dcision ces politiques peuvent impliquer.

Les grandes dcisions que doit balayer une politique de gestion de stock pour un produit, rpondant

une certaine demande des clients, est de savoir quand se rapprovisionner et en quelle quantit afin

dassurer un taux de service maximum tout en minimisant les cots de gestion de stocks associs

cette politique.

Tel est bien le grand quilibre trouver entre deux objectifs apparemment antinomiques, mis en

lumire par Khouja et Goyal, 2008 comme la dcision de quantits optimales de commande auprs

dun mme fournisseur afin de minimiser le cot total de gestion de stocks tout en satisfaisant la

demande.

Ainsi, un taux de service proche 100 %, c'est--dire nautorisant aucun retard la livraison dune

demande client, ncessitera parfois des politiques de gestion de stocks trs couteuse. A linverse, des

politiques dapprovisionnement peu coteuses peuvent engendrer des ruptures de stocks parfois trs

pnalisantes pour lentreprise. Nous voyons donc bien tout lenjeu de dfinir une bonne politique

dapprovisionnement assurant le taux de service requis par lentreprise, et permettant de minimiser les

cots associs cette mme politique.

Quant aux cots associs une politique de gestion de stocks, ils prennent en compte le cot de

commande, le cot de dtention du stock qui est bien souvent un grand enjeu dimmobilisation en

ressources financires pour les entreprises qui ont tout intrt les rduire au minimum, et parfois

mme les cots imputs aux retards de livraison ou encore lobsolescence de certains produits.

Savoir quand et en quelle quantit se rapprovisionner est donc un enjeu crucial pour les industriels.

Plusieurs politiques gnriques dapprovisionnement ont ainsi t dveloppes afin de rpondre ces

objectifs.

Politique de gestion de stock mono-produit

Le modle le plus simple, dans le cadre dun modle multi-priode, celui qui intresse rellement les

industriels car plus proche de la ralit des enjeux rels de pilotage de flux, est celui de Wilson

(galement connu comme le modle EOQ). Il prsuppose une demande dterministe et statique (fixe)

pour chaque priode. Ce modle propose un approvisionnement intervalle de temps fix (priode T)

en une quantit galement prdtermine Q qui permet de satisfaire la demande jusquau prochain

approvisionnement.

Par la suite ont t dvelopps deux modles complmentaires. Dune part, une politique (r,Q) point

de commande dans le cadre dintervalle de temps variables entre deux commandes successives et

dautre part une politique niveau de recompltement (T,s) dans le cadre de priode de temps T fixe

entre deux commandes mais autorisant des quantits de commandes variables dtermines afin

datteindre un certain niveau de recompltement s.

Dans le cadre dune politique de gestion de stocks multi-produit, une politique simple premire vue

serait doptimiser sparment lapprovisionnement de chacun des produits selon une politique EOQ,

(r,Q) ou encore (T,s).

Nanmoins, il apparat clairement possible de profiter de la multiplicit des rfrences produits afin de

minimiser les cots de commande, en mutualisant au maximum les cots fixes lis la passation des

commandes auprs dun fournisseur. Cest ainsi que selon Aksoy et Erenguc, 1988, des conomies

considrables peuvent tre envisages.

I.3 Prsentation de la base bibliographique

I.3.1 Sources de recherche

Les sources dinformation scientifiques et techniques utilises pour balayer lventail le plus large

possible des pistes de recherche explores jusqu prsent peuvent tre regroupes autour des

quelques moteurs de recherche et sources de donnes suivantes :

Web of science, qui permet de trouver un certain nombre de revues de rang A autour dun

grand nombre de problmatiques de Gnie Industriel. Un certain nombre de papiers

fondamentaux pour la problmatique traite ont t rpertoris par cet intermdiaire.

ISI Proceedings, qui a permis de rpertorier quelques uns des derniers et plus importants actes

de confrences traitant de cette problmatique.

JSTOR, qui a galement permis de rpertorier quelques uns des papiers fondamentaux du

domaine de recherche en question.

Science Direct qui a permis de balayer un grand ventail de problmatiques de recherche lies

la gestion de stock dans un environnement multi-produit. La plus grande partie des articles

de revues autour du Joint Replenishment Problem (JRP) ont pu tre rpertoris grce cette

base de donnes relativement exhaustive.

Google Scholar, qui permet galement de survoler un ventail plus htrogne de papiers de

tous niveaux de recherche, permettant galement dlargir le champ dexploration de la

recherche actuelle sur lapprovisionnement multi-produit.

Certaines sources de littrature disponibles en bibliothque ou sous format lectronique.

I.3.2 Source dinformation en Recherche Oprationelle pour la problmatique de

rapprovisionnement multi-produit

Les revues scientifiques dans lesquelles la grande majorit des articles de revues ont t rpertoris

peuvent tre rpertories autour des principales sources de littrature suivantes :

Management Science

European Journal of Operational Research

International Journal of Production Economics

International Journal of Operations and Production Management

International Journal of production Research

Decision Science

Operations Research

Naval Research Logistics

The Journal of the Operationnal Research Society

IIE Transactions

Computers & Operations Research

Computers 1 Industrial Engineering

Production Planning & Control

Par ailleurs, deux livres nous ont permis dapprhender et approfondir les enjeux lis la

problmatique de gestion de stock dans un cadre mono-produit puis son extension un environnement

multi-produit :

Vincent Giard, Gestion de la production et des flux , Economica, 2003

Sven Axster, Inventory Control , Springer science, 2006

Sans prtendre une totale exhaustivit, la liste des revues ci-dessus nous apparat comme une

synthse des principales revues sintressant de manire plus ou moins spcifique notre thme de

recherche, savoir la gestion de stocks dans un environnement multi-produit.

I.3.3 Les chercheurs et les principales collaborations

Nous prsentons ci-dessous la liste des principaux chercheurs ayant abord le thme plus spcifique

du Joint Replenishment Problem.

Sans se vouloir pleinement exhaustive sur les diffrentes mthodes envisages dapprovisionnement

multi-produit, elle veut rfrencer les auteurs fondateurs ainsi quun panel aussi large que possible de

chercheurs stant attels la modlisation et la rsolution du problme du JRP, dans la situation ou

un fournisseur doit dfinir une politique dapprovisionnement multi-produit auprs dun seul

fournisseur.

Pays Universit/ Institut Auteur Allemagne RWTH Aachen Bastian

Allemagne University of Mannheim Minner

Arabie Saoudite King Fahd University of Petroleum and Minerals Ben-Daya

Arabie Saoudite King Saud University Hariga

Australie Monash University, Melbourne Ibrahim

Australie Monash University, Melbourne Lochert

Australie Monash University, Melbourne Siajadi

Brnei University Brunei Darussalam Hoque

Canada Concordia University, Montreal Satir

Canada Concordia University, Quebec Goyal

Canada The university of British Columbia, Vancouver Atkins

Canada Universit Laval, Qubec Renaud

Canada Universite Laval, Ste-Foy, Quebec Boctor

Canada University of Calgary Miller

Canada University of Calgary, Alberta Silver

Canada University of Waterloo, Ontario Bookbinder

Canada University of Waterloo, Ontario Qu

Canada Wilfrid Laurier University, Waterloo Iyogun

China City University of Hong Kong Fung

Chine Academy of Mathematics and Systems Science, Beijing Li

Core du Sud Electronics and Telecommunications Research Institute,

Daejeon

Cha

Core du Sud Korea Advanced Institute of Science and Technology, Seoul Park

Core du Sud Pusan National University Moon

Danemark The Aarhus School of Business Larsen

Danemark The Aarhus School of Business Nielsen

Danemark University of Aarhus Melchiors

Isral Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva Kaspi

Isral TECHNION ISRAEL INST TECHNOLOGY Rosenblatt

Isral Tel Aviv University Tzur

Mexique Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,

Mexico

Porras

Pays-Bas Erasmus University Rotterdam Dekker

Pays-Bas Erasmus University Rotterdam Frenk

Pays-Bas Erasmus University Rotterdam Wildeman

Pays-Bas Tilburg University Heuts

Pays-Bas Tilburg University Kleijnen

Pays-Bas Tilburg University Van Eijs

Pays-Bas Vrije Universiteit, Amsterdam Tijms

Singapour Nanyang Technological University, Singapore Viswanathan

Singapour National University of Singapore Chan

Singapour National University of Singapore Chew

Singapour National University of Singapore Lee

Singapour National University of Singapore Ng

Tawan National Chiayi University Shu

Tawan Tunghai University Yao

Turquie Bilkent University, Ankara Berk

Turquie Bilkent University, Ankara Gurler

Turquie Sabanc University, Orhanli-Tuzla Birbil

UK University of Abertay Dundee Dagpunar

USA Columbia University Federgruen

USA Columbia University, New York Groenevelt

USA Cornell University, Ithaca Jackson

USA Cornell University, Ithaca Muckstadt

USA Louisiana State University Kelle

USA Southern Illinois University, Edwardsville Fogarty

USA The Pennsylvania State University Ventura

USA The University of North Carolina at Charlotte Khouja

USA University of Florida, Gainesville Aksoy

USA University of Florida, Gainesville Bayindir

USA University of Florida, Gainesville Erenguc

USA University of North Carolina, Charlotte Saydam

USA University of Pennsylvania, Philadelphia Zheng

USA Washington University, St Louis Eynan

USA Winthrop University, Rock Hill Olsen

I.4 Analyse de la base bibliographique

I.4.1 Chronologie des publications

Lanalyse de la base bibliographique traitant du Joint Replenishment Problem et des dates de

publications des diffrents travaux conduit lanalyse suivante :

Le nombre de publications annuelles sur les problmatiques du JRP cites par Khouja & Goyal, 2008

est prsent ci-dessus. On note un regain dintrt la suite des deux revues de littrature de 1988 et

1989 ainsi quune volution notable depuis 2005 avec un nombre croissant darticles sintressant de

nouveau ce problme dapprovisionnement en environnement multi-produit.

Cela correspond un regain dintrt du fait denjeux oprationnels important, notamment de matrise

des cots de gestion de stock au sein de la Supply Chain. Les chercheurs sont donc invits et pousss

par la ralit oprationnelle se concentrer de nouveau sur cette problmatique en tenant compte des

contraintes sur les politiques optimales mener ou de lintgration de cette problmatique

dapprovisionnement dans un environnement plus vaste.

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5

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20

03

20

05

Nombre de publications annuelles

sur le domaine de recherche du JRP

I.4.2 Les principaux ples et quipes de recherche travers le monde

La liste des auteurs stant pench sur la problmatique du Joint Replenishment Problem ci-dessus

permet de faire ressortir les grands ples de recherche travers le monde depuis les papiers fondateurs

de Balintfy, 1964 ou encore Renberg & Planche, 1967.

Voici donc regroups la liste des pays o la recherche autour de cette problmatique contribue ou a du

moins contribue dvelopper cette piste de recherche.

Principaux pays de

recherche

Nombre de chercheurs

reconnus

Allemagne 2

Arabie Saoudite 2

Australie 3

Brnei 1

Canada 10

Chine 2

Core du Sud 3

Danemark 3

Isral 3

Mexique 1

Pays-Bas 7

Singapour 5

Tawan 2

Turkey 3

UK 1

USA 15

Total gnral 63

Les Etats-Unis et le Canada sont les deux principaux ples de recherche travers le monde. Viennent

ensuite un ple en Europe autour des Pays-Bas et de lAllemagne, en Asie reliant Singapour, Taiwan

et la Chine, ainsi quau Moyen-Orient regroupant la Turquie, Isral, lArabie Saoudite et Brune. Ainsi

quatre grandes rgions du monde semblent tre les ples dattraction de la recherche mondiale pour ce

qui concerne lapprovisionnement multi-produit. Elle reste tire par le continent Nord-Amricain.

I.4.3 Les pistes de recherche rcentes : la prise en compte des contraintes

Les premiers travaux traitant des problmatiques de rapprovisionnement dans un contexte multi-

produit remontent aux annes 1960. Depuis lors un grand nombre de travaux se sont penchs sur cette

question si bien que trois articles de revues ont t publis sur ce sujet l.

Deux papiers datant de 1988, celui Aksoy & Erenguc et celui de Goyal & Satir, font une revue de

littrature sur les diffrentes hypothses de modlisation et les diffrentes approches de rsolution

apportes par les chercheurs travers le monde. Une dernire revue de littrature, plus exhaustive sur

les dveloppements entre 1989 et 2005 t entreprise par Khouja&Goyal et publie en 2008.

La conclusion de cette revue de littrature est que la recherche dalgorithme garantissant loptimalit

des solutions du JRP classique a atteint un niveau de saturation qui devrait conduire un intrt plus

grand pour le dveloppement de modles dapprovisionnement dans un environnement multi-produit

applicables la ralit des problmes de gestion de stock .

Autrement dit se fait sentir depuis quelques annes le besoin dadapter lensemble de ces travaux de

recherche aux ralits industrielles. Cela a conduit au dveloppement de modles doptimisation du

JRP sous contraintes de diffrents types :

Contraintes de budget allou

Contraintes de capacit de stockage

Contraintes de transport

Contraintes lies lactivit du fournisseur (minimum de commande)

Les rsultats de cette recherche sont donns par la liste bibliographique suivante des articles prenant en

compte cette dimension dans leurs hypothses de modlisation :

Auteurs Pays Journal Anne de

Publication Contraintes

Van Eijs Pays-Bas 1994

Minner & Silver Allemagne

/ Canada

International Journal of

Production Economics 2007 Capacits de stockage

Moon & Cha Core du

Sud

European Journal or

Operationnal Research 2006 Capacit de stockage

Porras & Dekker Pays-Bas European Journal or

Operationnal Research 2006 Minimum de commande

Hoque Brune European Journal or

Operationnal Research 2006

Contrainte de budget,

capacit de stockage et

de transport

Kiesmller Pays-Bas International Journal of

Production Economics 2008 Contraintes de transport

Aksever, Moussourakis USA International Journal of

Production Economics 2005,2008 Contraintes multiples

Cette recherche bibliographique sur les diffrentes pistes de recherche fait clairement ressortir la

ralit suivante. Les deux premires contraintes ont t assez naturellement prises en compte dans les

derniers modles mis en place car tenant compte des contraintes propres lactivit de stockage

entreposage de lentreprise.

En revanche, les contraintes externes lies au transport et lorganisation spcifique du fournisseur

(dont les quantits de commande minimum) commencent tout juste apparatre, comme le rvle

lanalyse de la liste des derniers articles parus.

II. Classification et caractrisation des modles du JRP

Nous allons commencer cette partie par rpertorier les diffrentes classifications proposes dans la

littrature et celle que nous avons finalement utilise afin de classifier lensemble de la bibliographie

disponible.

Nous aborderons ensuite dans un deuxime temps une description du modle classique du Joint

Replenishment Problem ainsi que diffrentes extensions et possibilits de modlisation qui peuvent

modifier la politique de gestion de stock associe.

II.1 Les articles de revues

Depuis les travaux fondateurs de Balintfy, 1964 et Renberg & Plenche, 1967, 3 articles de revues se

sont penches sur la classification des travaux de recherche lis la problmatique du Joint

Replenishment Problem .

Le premier dentre eux fut publi en 1988 par Aksoy & Erenguc et propose de regrouper lensemble

des travaux effectus jusqualors selon la classification suivante :

Dun cot les modles dterministes, c'est--dire pour lesquels la demande est connue

lavance de manire certaine avant de dterminer une politique de gestion de stock optimale.

Les auteurs proposent de subdiviser ce groupe de travaux selon que :

la demande reste constante dans le temps (modles dterministes statiques)

ou bien que la demande puisse tre considre comme voluant au cours du temps,

bien que pralablement connue (modles dterministes dynamiques)

De lautre les modles stochastiques lorsque la demande suit une loi de probabilit. L aussi,

les auteurs proposent de distinguer deux types dapproche selon que lapproche est :

Une politique de suivi continu du niveau des stocks de chaque produit

Une politique de revue priodique du niveau des stocks de chaque produit

Cette classification peut ainsi tre synthtise selon le tableau suivant

Modles dterministes Modles stochastiques

Demande

statique

Demande

dynamique

Revue continue Revue priodique

Principaux

travaux

Silver

1975,1976

Goyal,

1973,1975

Zangwill,1966

Veinott,1965

Kao,1979

Balintfy,1964

Silver,1973,1974,1975

Federgruen,Groenevelt,

Tijms, 1984

Nahmias&Pierskalla,1976

Nombre de

travaux

important moyen important faible

La deuxime revue de littrature stant penche sur une classification des travaux de recherche autour

du JRP est celle de Goyal & Satir publie en 1989 dans European Journal of Operationnal

Research.

L aussi, la principale distinction effectue par les auteurs est celle autour de la typologie de la

demande, selon quelle sera considre dterministe ou stochastique dans les diffrents modles du

problme.

La caractrisation stochastique de la demande rpond souvent un besoin de mieux modliser la

typologie de la demande du client afin de mettre en lumire certains effets non dtectables dans le cas

dune modlisation dterministe.

Cette fois-ci, en revanche, les travaux de recherche traitant avec une demande dterministe ne sont

plus distingus selon que la demande est constante dans le temps (on considre alors un horizon de

temps infini) ou dynamique. Lhypothse de base est que lon travaille avec un horizon de temps

infini. Les travaux sont alors rpartis selon la mthode de rsolution propose pour minimiser la

fonction de cot associe la gestion des stocks multi-produit.

Dans le cas des modles dterministes, les auteurs ont dcid de classifier les travaux pour chacune

des hypothses du modle (Demande, Lead Time, cot de commande, possibilit de retard) sans en

tirer une classification plus gnrique. Cela tient au fait que la recherche sur le JRP ntait pas

encore mature. De ce fait, les hypothses poses variaient dun modle lautre et la classification

devenait trop singulire pour pouvoir regrouper les travaux de manire significative.

Nanmoins, certaines pistes de recherche taient donnes pour la recherche future et les modles

dterministes inclus dans des modles de revue priodique, tandis que les modles stochastiques

taient considrs comme des modles de revue continue.

Cela rejoignait en effet la conclusion de la classification d Aksoy & Erenguc qui mettait en lumire le

faible nombre de travaux dveloppant des modles stochastiques revue priodique.

Depuis 1989, un grand nombre de travaux ont suivi les pistes de recherche proposes par ces deux

revues de littrature, et la prolifration des extensions a pouss Khouja & Goyal, 2008 enrichir le

domaine dune nouvelle revue de littrature sur les modles dvelopps entre 1989 et 2005.

La classification retenue par les auteurs, lun dentre eux, S. Goyal, tant un des prcurseurs de la

modlisation et de la rsolution du JRP, est dfinie de la manire suivante :

Dans un premier temps sont rpertoris les articles ayant fait lhypothse dune demande

constante dterministe avec horizon de temps infini. Ceux-ci sont eux mme subdiviss selon

les mthodes de rsolution mises en uvre afin de rsoudre lobjectif de minimisation des

cots de gestion de stock (nouvelles heuristiques et mta-heuristiques)

Une autre partie des articles sont regroups sous lhypothse dune demande stochastique

De surcrot, une troisime catgorie de travaux considrent lhypothse dune demande

dynamique, voluant au cours du temps

Enfin, les auteurs rpertorient dans une quatrime et dernire catgorie des approches plus

spcifiques, avec des hypothses distinctes du problme classique.

On peut ainsi reprsenter les quatre grandes classes darticles selon la classification propose par les

auteurs de cette dernire revue de littrature.

Demande dterministe

constante Demande stochastique

Demande

dterministe

dynamique

Hypothses

modifies

heuristiques Revues priodiques Temps discrtis

Mta-heuristiques Revues continues Prise en compte des

discounts

Approches spcifiques Dveloppements et

extensions

JRP considr comme

sous-problme

Lobjectif avou de cette classification tait de rpertorier et synthtiser la littrature ayant approche

la question de lapprovisionnement multi-produit avec les hypothses du JRP depuis 1989. Cette revue

de littrature couvre la priode postrieure aux deux autres revues proposes par Aksoy & Erenguc

1988 ainsi que Goyal & Satir 1989 et ce jusquen 2005.

Quelques travaux de 2006 sont voqus en conclusion de la revue tel ceux de Hoque, 2006 ou encore

Porras&Dekker, 2006 comme perspectives de recherche plus proches des ralits auxquelles sont

confronts les politiques de gestion de stocks.

La prise en compte de contraintes dans le modle du JRP relve depuis quelques annes dun intrt

croissant, et les derniers articles parus dans la ligne de ce domaine de recherche font apparatre de

manire toujours plus vidente la prise en compte de contraintes de capacit de stockage, de budget ou

encore des contraintes lies au transport depuis les fournisseurs.

Il nous a ainsi sembl pertinent dintgrer cette dimension dans la classification que nous allons

propose afin de mettre en lumire les diffrentes pistes de recherche voques jusqu prsent.

II.2 Classification retenue

Lobjectif de notre travail de synthse sur les travaux dvelopps autour des enjeux du

rapprovisionnement dans un environnement multi-produit est dapporter une rflexion sur

lintgration de certaines contraintes lies lactivit de gestion de stock, comme propos par Khouja

& Goyal 2008.

Il nous semble donc tout fait pertinent, parmi les principaux articles ayant abord la problmatique

du Joint Replenishment Problem, de faire ressortir lventuelle prise en compte de certaines

contraintes dans la modlisation du problme du JRP.

Lautre dimension de la classification reprendra fidlement celle dfinie rcemment par Khouja &

Goyal, 2008 pour classifier les travaux effectus depuis 1989, selon les hypothses poses sur la

demande des clients. Il nous est en effet apparu plus pertinent de faire rfrence cette dernire revue

de littrature qui apporte un recul certain sur lensemble des travaux ayant attrait la modlisation

dune politique de gestion de stock de type JRP.

Voici donc ci-dessous la matrice de classification retenue afin de synthtiser les grands axes danalyse

et de rsolution du JRP, sous langle de la prise en compte ventuelle de contraintes dans la dfinition

du modle :

Modles

dterministes avec

demande statique

Modles stochastiques

Modles

dterministes

avec demande

dynamique

JRP tendu

dautres hypothses

Contraintes Revues

continues

Revues

priodiques

Aucune DS0 SC0 SP0 DD0 JE0

Une contrainte

prise en

compte

DS1 SC1 SP1 DD1 JE1

Contraintes

multiples DSn SCn SPn DDn JEn

Nous vous proposons de classifier les articles ci-dessous selon la matrice que nous venons de dfinir,

par anne de publication, exercice facilement entrepris et qui nous semble venir appuyer la pertinence

de la classification propose :

Auteurs Journal de publication Anne Classification

Renberg, Planche Revue Franaise d'Informatique er Recherche

oprationnelle

1967 SC0

Goyal Management Science 1974 DS0

Silver Management Science 1976 DS0

Goyal, Belton Management Science 1979 DS0

Silver Naval Research Logistics Quarterly 1979 DD0

Kaspi, Rosenblatt IIE Transactions 1983 DS0

Federgruen,

Groenevelt, Tijms

Management Science 1984 SC0

Zheng, Federgruen Operations Research 1991 SP0

Van Eijs,Heuts,

Kleijnen

European Journal of Operational Research 1992 DS0

Van Eijs Journal of the Operational research Society 1993 DS1

Klein, Ventura Journal of the Operational research Society 1995 JE0

Maloney, Klein International Journal of Operations and

Quantitative Management

1997 DS2

Viswanathan Management Science 1997 SP0

Eynan, Kropp IIE Transactions 1998 SP0

Gder, Zydiak Computers and Operations Research 1999 DSn

Johanson, Melchiors Journal of the Operational research Society 2003 SP0

Boctor, Laporte,

Renaud

International Journal of Production Research 2004 DD0

Aksever,

Moussourakis International Journal of Production Economics

2005 DSn

Cha, Moon OR Spectrum 2005 JE0

Lee, Chew European Journal of Operational Research 2005 DD0

Minner, Silver IIE Transactions 2005 SC1

Nielsen, Larsen European Journal of Operational Research 2005 SC0

Hoque European Journal or Operationnal Research 2006 DSn

Moon, Cha European Journal of Operational Research 2006 JE0

Porras, Dekker European Journal of Operational Research 2006 DSn

Aksever,

Moussourakis International Journal of Production Economics

2008 DSn

Kiesmller International Journal of Production Economics 2008 SPn

II.3 Prsentation du Problme de rapprovisionnement multi-produit

Nous allons aborder dans cette partie la prsentation du modle du Joint Replenishment Problem dans

sa formulation la plus classique avec les hypothses associs, les paramtres du modle et les variables

de dcision associes ncessaires la modlisation.

Dautres modlisation avec diffrentes variantes seront ensuite prsentes, reprenant les principales

pistes de recherche prcdemment voques (modle dterministe statique, modle dterministe

dynamique et modle stochastiques).

II.3.1 Contexte de ltude

Le Problme communment appel dans la littrature Joint Replenishment Problem est, comme

nous lavons dj prsent une modlisation dune politique de gestion de stocks dans un

environnement multi-produit.

Les questions auxquelles doit rpondre un dcideur de la Supply Chain pour sa politique

dapprovisionnement est de savoir quand et en quelle quantit il doit rapprovisionner son stock, et ce

pour chacun des produits proposs au client.

Lintrt dun rapprovisionnement multi-produit par rapport une simple juxtaposition de politiques

de rapprovisionnement mono-produit (n-EOQ) est assez clair. Il sagit de profiter de la

massification dune commande sur un certain nombre de produit afin de rduire limpact des cots

fixes lis la commande (cot de setup pour le transport, charge lie la passation dune

commande).

Le modle ci-dessous reprend la formulation propose par Khouja&Goyal, 2008 ainsi que la

prsentation faite en introduction dans larticle Hoque, 2006.

II.3.2 Hypothses du modle

Les hypothses classiques du modle du Joint Replenishment Problem sont donc les suivantes, et sont

identiques au modle de quantit conomique de commande (modle EOQ) :

Les demandes pour chacun des produits sont dterministes et uniformes, considres sur un

horizon de temps infini

Les ruptures ou retards ne sont pas autoriss

Dventuelles remises de prix sur les quantits ne sont pas prises en compte

Les cots de dtention du stock sont linaires

Le Lead Time correspondant la passation dune commande et au transport est considr nul

Aucune contrainte nest prise en compte dans le modle

Enfin, dans le cadre de la politique dapprovisionnement, il est considr que le temps de cycle de

chaque produit (ie le temps entre deux commandes dun mme produit) est un multiple dun temps de

cycle de base T.

II.3.3 Paramtres du modle

Afin de modliser le problme et de pouvoir exprimer lensemble des cots li une telle politique de

gestion de stock multi-produit, il est ncessaire de dfinir un certain nombre de paramtres et de

notations qui rendent possible lcriture de la fonction de cot, lobjectif tant de dterminer les

bonnes variables de dcision afin de minimiser limpact de la gestion du stock sur le cot des produits.

Voici donc les notations que nous utiliserons par la suite pour les paramtres intervenant dans la

modlisation :

T : temps de cycle de base, entre deux commandes successives possible

S : cot fixe li lapprovisionnement des produits lors de la passation dune commande

TC : Cot total annuel li la politique de gestion de stock, fonction cot minimiser

i : indice des produits

n : nombre de produits

: demande annuelle des clients pour le produit i

: cot de dtention en stock annuel dun produit i

: cot dit mineur li la passation dune commande du produit i

: quantit commande de produit i

II.3.4 Variables de dcision

Les variables de dcision associes cette modlisation sont lies la rponse donner aux deux

questions suivantes, savoir quand et en quelle quantit sapprovisionner pour chacun des produits

prsents en stock.

Reste donc dterminer pour dfinir une politique de gestion de stock efficiente et minimiser la

fonction cot la valeur des :

, intervalle entre 2 commandes dun mme produit i, multiple entier du temps de

cycle de base. On introduit donc une variable entire ki associe au produit i dterminer et

lon peut poser un vecteur de dcision associ

La quantit commander

En dernire analyse, les variables de dcision que lon doit attribuer pour dfinir une bonne politique

de gestion de stock sont donc :

T, le temps de cycle de base

le vecteur de dcision associ la commande de chacun des produits i

donnant la valeur de lintervalle ncessaire entre 2 commandes pour un produit i donn

II.3.5 Fonction de cot

La fonction de cot dune politique de gestion de stock minimiser est donc dfinie sur une anne

(unit de temps), puisque lon a mis lhypothse dun horizon de temps infini.

Elle se compose dun cot de dtention du stock ainsi que dun cot de commande intgrant la fois

le cot de passation et de prparation de la commande et le cot de transport sous la forme dun cot

de commande fixe auquel viennent sadditionner chacun des cots propres lis la passation dune

commande du produit i.

Si lon utilise les notations prcdemment dfinies, la formulation du cot de gestion de stock associ

devient :

Il est intressant dobserver la typologie de cette fonction cot qui est une fonction convexe de T et du

vecteur .

La modification des variables de dcision influe de la manire suivante :

Augmenter le temps de cycle de base T, en gardant K constant, gnre ainsi une augmentation

des cots de dtention du stock mais a contrario une baisse du cot de commande.

Augmenter les valeurs de K, T constant, rduit linverse les cots de stocks tandis que cela

implique une augmentation des cots de commande.

II.3.6 Mthodes de rsolution

La premire remarque, qui est essentielle au moment daborder les mthodes de rsolution de ce type

de problme, est celle faite par Arkin et al, 1989 qui prouve que le JRP est un problme NP-difficile,

quil ne semble donc pas possible de rsoudre analytiquement en temps polynomial.

Goyal, 1974 a dvelopp un algorithme de rsolution afin de dterminer les solutions optimales du

problme. Nanmoins, compte tenu de la NP-difficult du problme, de nombreuses mthodes de

rsolution du problme, la plupart sous forme dheuristiques, ont t dveloppes. Cela afin dvaluer

des solutions proches de loptimum, par lintermdiaire de bornes limitant lespace de recherche de

bonnes solutions pour les variables de dcision (T, K).

Les premires heuristiques furent dveloppes par Silver, 1976 puis amliores par Goyal & Belton,

1979 et enfin par Kaspi & Rosenblatt, 1983. Des amliorations algorithmiques ont ensuite t

apportes pour certaines tendances de valeur de paramtre, par van Eijs, 1993 ou encore Viswanathan,

1996.

Enfin certaines mthodes de rsolutions ont utilis des approches de type mta-heuristique,

particulirement par des algorithmes gntiques. Nanmoins, les amliorations apportes sur la

fonction de cot restaient minimes. Cest le temps de calcul qui intressent alors les industriels.

II.4 Quelques exemples de modlisation

A ce moment de notre travail, il nous semble intressant dapprofondir quelque peu la modlisation du

JRP au-del de sa forme la plus classique qui vient dtre dcrite. Car si lanalyse et les travaux autour

du JRP dit classique ne manquent pas, lanalyse quen font Khouja & Goyal, 2008 est sans appel.

Ils concluent en effet leur revue de littrature avec lide selon laquelle la recherche de solution

optimale a atteint un point de saturation . Et cela rejoint notre volont dexplorer certaines voies de

recherche encore en friche notre connaissance autour de la prise en compte des contraintes lies la

ralit de la gestion des stocks.

Pour cela, nous vous proposons de dcrire ici quelques modles du JRP, avec les mmes hypothses

de dpart que le JRP dit classique puis dapprhender la modlisation dans le cadre de modles

stochastiques ou dynamiques.

II.4.1 JRP avec contraintes de stockage, de budget et capacit de transport : Hoque,

2006

Hoque, 2006 rapporte dans son article publi dans European Journal of Operational Research que

la trs grande majorit des modles dvelopps jusqualors ne prenaient pas en compte des

problmatiques oprationnelles tel que les capacits de transport, la limite dinvestissement en capital

ou encore des contraintes de capacit de stockage pour chacun des produits.

Hoque prend donc le parti dintgrer ces diffrents types de contraintes au modle du JRP de la

manire suivante :

Prise en compte de capacits limites de stockage pour chaque produit i

Prise en compte dune limite de budget allou chaque produit i

Bonne utilisation des capacits de transport, avec introduction dun cot de transport par

produit proportionnel la quantit de chaque produit en nombre de camion

Pour se faire, lauteur introduit les notations supplmentaires suivantes pour de nouveaux paramtres,

les variables de dcision (T, K) restant les mmes :

t cot de transport dun camion plein

cot dachat du produit i

poids dune unit de produit i

nombre de camions pleins dun produit i dans une commande

capacit maximum de stockage alloue au produit i

poids maximum de lquipement de transport

montant plafond dinvestissement pour le produit i

Le problme alors modlis par Hoque pour reprsenter le choix face auquel est confront un dcideur

dans une politique de gestion de stock multi-produit est le suivant :

Soumis aux contraintes suivantes, qui font linnovation de son modle :

Pour rsoudre ce problme de minimisation, Hoque fait appel une heuristique, et de manire assez

classique dveloppe un principe ditration de bornes infrieures et suprieures des valeurs de par

incrmentation progressive des valeurs des .

Enfin, la prise en compte des contraintes de transport peut seffectuer deux niveaux :

La prise en compte de cots de transport dans la fonction cot minimiser

Lventualit seulement traite numriquement de cot de camion fixes quelle que soit la

quantit effective charge, qui nest pas explicite dans le modle mais intgre avec un

facteur correctif.

Ce modle reste donc encore dvelopper si lon souhaite considrer de manire plus approfondie les

structures de cots et les contraintes plus spcifiquement lies au transport.

II.4.2 JRP avec minimum de commande (MOQ) : Porras & Dekker, 2006

De la mme manire que Hoque, 2006 , la rflexion pose par Porras & Dekker, 2006 vise prendre

en compte une contrainte oprationnelle particulire associ la relation entre lentreprise et son

fournisseur, savoir les conditions de livraison du fournisseur qui peut imposer certaines contraintes

sur la typologie de la commande.

Cest ainsi que Porras & Dekker, 2006 partent du constat que la littrature traitant du problme

doptimisation quest le JRP a ignor lexistence ventuelle de minimum de commande associs

chacun des produits du catalogue.

De mme que des cots de lancement , ou cots fixes lis la passation dune commande et au

transport qui lui est li, il est tout a fait envisageable et bien souvent rel quun fournisseur impose un

minimum, un seuil en dessous duquel il refusera de livrer tel produit de son catalogue.

Pour intgrer cette ralit oprationnelle au modle du JRP, les auteurs ont donc fait le choix

dintroduire les paramtres suivants :

quantit minimum de commande associe au produit i

La fonction de cot minimiser reste celle du JRP classique, savoir :

Avec la contrainte :

La mthode de rsolution est relativement comparable celle utilise par Hoque, 2006. Il est fait usage

du mme type dheuristique conduisant la dfinition de bornes infrieures et suprieures pour

modifie par la contrainte lie aux minimum de commande.

Cette heuristique conduit une diminution progressive et itrative de lintervalle de recherche avec

incrmentation unitaire des valeurs des . Lalgorithme sarrte lorsque laugmentation de tous les

. nentraine plus aucune amlioration de la fonction Objectif.

II.4.3 JRP avec demande stochastique

Nous prsentons ici une autre variante du problme du JRP, en environnement stochastique cette fois-

ci. Plusieurs politiques ont t dveloppes parmi lesquelles on retrouve celles qui constituent le

fondement de la classification des revues de littrature de Goyal & Satir, 1989 et Aksoy & Erenguc,

1988.

Le premier type de politique est celui de rapprovisionnements priodiques tandis que le second

ncessite un suivi continu des diffrents niveaux de stocks.

II.4.3.1 Politiques de suivi priodique

Le principe dune politique de revue priodique avec des demandes de Poisson est on ne peut plus

simple. Au bout dun lapse de temps T (temps de cycle de base comparable celui des modles

dterministes), chaque produit i voit son stock complt jusqu un niveau .Les variables de

dcision associes sont celles prcdemment cites savoir :

Le temps de cycle de base T

Chacun des niveaux de recompltement

Diffrentes versions plus labores ont t mises au point, parmi lesquelles on peut citer :

Une revue priodique modifie, avec un socle de produit trait de la manire prcdente ainsi

que dautres produits commands de manire identique la politique dapprovisionnement du

JRP classique

Une politique priodique (m,M) o les niveaux de stocks sont contrls toutes les T units de

temps au bout desquelles la commande pour chaque produit suit une loi de commande

indpendante ( pour laquelle un produit i est recomplt jusquau niveau sil

atteint le seuil .

Les variables de dcision sont alors :

Le temps de cycle de base T

Les valeurs des variables (

II.4.3.2 Politiques de suivi continu

La premire politique de suivi continu des niveaux de stock a t dveloppe par Renberg & Planche,

1967. Elle consiste complter les stocks ds que la quantit cumule des stocks atteint un niveau de

seuil A, et le stock de chaque produit est alors complt jusquau niveau .

Les variables de dcision en jeu sont donc :

Le niveau de seuil A

Les valeurs des niveaux de recompltement .

A la suite de cette modlisation, la politique dite can order a t dveloppe et enrichie par un

nombre important darticles. On dfinit pour chaque produit i un niveau de seuil en dessous duquel

une commande est dclenche avec recompltement jusquau niveau de recompltement . On dfinit

galement un niveau de can order pour chaque produit qui conduit un recompltement du

stock du produit i si une commande est dclenche pour un autre produit j.

Les variables de dcision sont alors les suivantes :

Chaque couple ( , , ) correspondant aux diffrents seuil spcifiques chacun des produits

Des extensions de ces politiques ont t entreprises, parmi lesquelles celle de Ozkaya & al, 2006 qui

propose un contrle du niveau de stock par une politique a la fois priodique et continue dnomme

(A,S,T) avec un niveau de seuil du stock agrg A en dessous duquel on dclenche un processus de

commande pour rapprovisionner les stocks jusquaux niveaux de recompltement . Cette mme

politique de recompltement est effectue au bout dun lapse de temps T suivant la dernire

commande avec les mmes niveaux de recompltement.

III. Problmatique de recherche

Aprs avoir mis en lumire les voies de recherche dveloppes afin de rpondre loptimisation de

politiques de gestion de stock, il apparait pertinent de se demander quelles sont les principales voies

dexploration et autres pistes de recherche ltude en recherche oprationnelle afin de rpondre

cette problmatique.

Comme nous lavons dj rappel la suite du constat de Khouja & Goyal, 2008, le temps est venu

o la recherche devrait se consacrer au dveloppement de modles du JRP applicables la vie relle

des problmes de gestion de stock.

Nous allons donc rpertorier dans un premier temps les diffrents articles parus rcemment, les

hypothses formules avec la volont de mieux apprhender les contraintes de la ralit oprationnelle

avant de mettre en lumire les pans de la recherche encore en friche actuellement.

III.1 Identification des champs dexploration possibles

Nous avons list ci-dessous quelques-uns des principaux articles rcents traitant du problme du JRP

et tentant dintgrer une ou plusieurs contraintes de type oprationnel. Lintgration de ces contraintes

dans le modle a pour objectif de modliser limpact parfois trs significatif de ralits oprationnelles

sur loptimisation de la gestion de stock en environnement multi-produit.

Nous avons donc rpertori le type de demande client envisag dans la modlisation, certaines

hypothses du JRP pouvant tre reconsidres ainsi que la prise en compte de contraintes voques par

diffrents articles :

Contraintes de budget allou

Contraintes de capacit de stockage

Contraintes de transport

Contraintes lies lactivit du fournisseur (minimum de commande)

Hoque, 2006 Porras&Dekker,

2006

Kiesmller, 2008 Ertogral, 2008 Ben-Kheder, Yano, 1994

Demande Dterministe Dterministe Stochastique Dterministe

dynamique

Dterministe dynamique

Horizon de

temps

Infini Infini infini Fini Fini, adaptable linfini

Lead Time non non constant non Constant=0

Retard Non autoriss Non autoriss Autoriss Non autoriss Non autoriss

Ruptures Non

autorises

Non autorises Non autorises Non autorises Non autorises

discounts Non Non Non Oui Non

Contrainte

de capacit

entrept

Contrainte par

produit

Non Non Non Non

Contrainte

de budget

Contrainte par

produit

Non Non Non Non

Contrainte

de

transport

Intgr dans

la fonction

cot

Cot fixe pour le

transport

(suppos sous

forme de

container)

Camions pleins Intgr dans la

fonction cot

Nombre entier de

-container

-camion

-taille container / camion

MOQ Non Taille de

commande min

pour chaque

produit

Non Non Non

Contrainte

de temps

Commande

tous les ki*T

Commande tous

les ki*T

Commande

priodique

Commande

chaque pas de

temps

Commande chaque pas

de temps

Variables

de dcision

T,

K=(k1,..,kn)

T,

K=(k1,..,kn)

Mt : Nombre de

camion chaque

priode,

Si : Niveau de

recompltement pour

chaque produit i

Niveau de

stock initial

Qit : quantit

commande

pour le produit

i, la priode t

Xitm : Nombre de

containers command

chaque priode pour

chaque produit dans 1

camion

Proportion de container

vide pour chaque produit

Il ressort de cette classification quelques tendances que nous souhaitons mettre en lumire avant

dvoquer les champs dexploration laisss en friche dans ltat actuel de la recherche.

La plupart des modles intgrant des contraintes lies lactivit de gestion de stock ainsi qu

lapprovisionnement font lhypothse dune demande dterministe, qui est celle du modle du JRP dit

classique.

Deux dentre eux reprennent proprement parler le modle du JRP, avec demande statique et horizon

de temps infini, en intgrant dun ct des contraintes lies aux minima de commande et de lautre des

contraintes de capacit de stockage, de disponibilit de ressources et lintgration dun cot de

transport spcifique. Les variables de dcision restent celles cites auparavant, savoir temps de cycle

de base et coefficients entiers du nombre de priode entre 2 commandes dun mme produit i (T, K).

Deux autres sintressent une modlisation intgrant une demande dterministe et dynamique

horizon de temps fini, et la rsolvant lun laide de programmation mixte en nombre entier lautre

par lintermdiaire dune heuristique de rsolution. La taille des containers, celle des camions et des

contraintes de transport relles sont dveloppes par les travaux de Ben Kheder & Yano, 1994.

Enfin Kiesmller, 2008 sintresse galement lintgration de contraintes de transport, en particulier

dans la structure ce cot de gestion de stock et dans lutilisation de camions pleins, mais en

environnement incertain avec modlisation stochastique.

Quelques pistes de recherche peuvent ainsi tre identifies parmi lesquelles :

La prise en compte couple de contraintes lies lactivit du fournisseur (MOQ +

contraintes de transport) en environnement certain et stable

La prise en compte de contraintes de capacit et de budget en environnement certain et

dynamique

La prise en compte des 4 types de contraintes (budget, capacit, transport, minimum de

commande) dans un environnement dterministe, stable ou dynamique avec un travail

particulier sur la modlisation des contraintes de transport

La prise en compte de contraintes de capacit et budget en environnement incertain dans un

premier temps

La prise en compte des 4 types de contraintes (budget, capacit, transport, minimum de

commande) en environnement toujours incertain dans un deuxime temps.

III.2 Choix dune problmatique de recherche

Suite toutes ces considrations, nous allons devoir dcider parmi les quatre pistes de recherche

prcdentes laquelle choisir. Il nous semble donc intressant de considrer la ralit des

problmatiques industrielles actuelles.

Il nous semble premirement trs intressant de considrer, ou du moins daffiner la prise en compte

des cots de transport dans la modlisation de la structure de cot lie une politique de gestion de

stock en environnement multi-produit.

La question des minima de commande est galement une ralit prgnante des contraintes des

fournisseurs et il nous semble trs pertinent de le prendre en compte dans une modlisation qui se

voudrait proche de la ralit exprimentale.

La variabilit toujours plus grande de la demande des clients dans le temps et linstabilit du monde

conomique actuel nous fait pencher vers une typologie de demande variable dans le temps.

Par ailleurs, la modlisation dune demande stochastique semble prendre en compte de manire plus

raliste certains phnomnes non dterministes. Nanmoins, cette modlisation ncessite des outils de

rsolution plus sophistiqus, cest pourquoi nous nous attacherons galement au dveloppement dun

modle dans le cadre dune demande dterministe.

La problmatique pourrait donc tre formule de la manire suivante :

Comment minimiser les cots de gestion de stock dans le cadre de rapprovisionnement multi-

produit en tenant compte des contraintes internes lentreprise (capacit de stockage, allocation de

budget) et de contraintes externes (minimum de commande, transport) ?

IV. Mise en place dun modle associ

IV.1 Contexte du modle

Le modle que nous souhaitons dvelopper maintenant sinspire de la ralit oprationnelle dun

industriel dans le secteur des matriaux de construction.

Les travaux les plus rcents prenant en compte lune o lautre des contraintes voques dans la

problmatique sont ceux de Hoque, 2006, Porras et Dekker, 2006 ainsi que Kiesmller, 2008.

Hoque, 2006 fait lhypothse dune demande dterministe et constante dans le temps et prend en

compte des contraintes de capacit, budget et fait le choix dintgrer explicitement un cot de transport

dans la structure de cot associe la gestion des stocks.

De son ct, tout en conservant lhypothse dune demande dterministe et fixe dans le temps, Porras

et Dekker, 2006 ne prennent en compte que la contrainte des minima de commande associs aux

contraintes fournisseurs.

Enfin, Kiesmller, 2008 prfre dvelopper un modle stochastique de la demande mais fixe dans le

temps, avec revue priodique des stocks, avec une vision plus fine du transport, prenant lhypothse de

camion pleins. Il sinspire et synthtise pour cela les travaux de Van Eijs, 1994 et Cachon, 2001

permettant de modifier les quantits commandes afin doptimiser le remplissage des camions.

Le modle suivant propose dintgrer les diffrentes approches de ces recherches rcentes afin de

proposer un modle prenant en compte la fois les contraintes lies lactivit elle-mme (capacit de

stockage ou budget allou), mais aussi celles du fournisseur lors de lapprovisionnement (minimum de

commande et transport).

IV.2 Hypothses associes et justification

Les hypothses du modle typique choisi pour rpondre la problmatique sont donc dfinies, les

explications venant par la suite, comme suit :

Demande stochastique suivant une loi normale pour chacun des produits considrs, et

indpendante

Temps dapprovisionnement constant et gal pour chacun des produits, pouvant tre considr

nul sans perte de gnralit (rsolution du problme par translation de la demande)

Pas de dlais autoriss (volution possible), et si une demande est perdue alors un cot de

rupture est associ

Revue priodique du niveau des stocks (volution possible)

Budget et emplacement allous limits pour chaque produit

Minimum de commande dfini par le fournisseur pour chaque produit

Commande de camions pleins

La demande dterministe selon une loi normale pour chacun des produits correspond la modlisation

propose par lindustriel et semble bien rpondre la ralit des commandes oprationnelles (forte

rotation des stocks). Les dlais ne sont pas autoriss, on suppose que le client nachte pas le produit

sil nest pas disponible en entrept.

Une revue priodique du niveau des stocks semble bien plus pertinente quun suivi continu dans la

mesure o la traabilit en temps rel est parfois difficile et coteuse obtenir, ne donne pas

ncessairement de meilleurs rsultats et demande un investissement en ressource plus important. Elle

allge par ailleurs le travail de gestion mais nautorise pas une ractivit aussi leve.

Les contraintes de budget et de capacit sont des problmatiques extrmement prgnantes dans ce type

dactivit et semblent indispensable prendre en compte. Les contraintes lies au minimum de

commande sont tout aussi relles pour certains secteurs dactivit o le cot du transport est non

ngligeable dans le cot de revient du produit (Valeur produit volume produit faible).

Enfin le remplissage des camions apparat comme un premier moyen simple doptimiser le transport

dans une politique de gestion de stock. Cette ralit sera discute par la suite.

IV.3 Dfinition des paramtres et des variables de dcision

IV.3.1 Paramtres du modle

Lensemble des paramtres ncessaire la dfinition de la fonction de cot associe une politique de

gestion de stock et donc loptimisation de celle-ci est dfini de la manire suivante :

T la priode de revue priodique du stock

V la capacit dun camion

K le cot associ au transport dun camion

le cot de passation dune commande

le cot de passation de commande associ au produit j

le volume dun produit j

le cot dachat unitaire du produit j

le cot de dtention unitaire du produit j

le cot de rupture unitaire associ au produit j

la capacit de stockage maximum alloue au produit j

le budget maximum allou au produit j

le minimum de commande associ au produit j

IV.3.2 Variables de dcision

Une politique de gestion de stock avec revue priodique (de priode T) ncessite de dfinir un seuil en

dessous duquel il est dcid de se rapprovisionner, jusqu un seuil de recompltement.

On dfinit donc les variables de dcision suivantes pour chaque produit j:

( , ) o reprsente le seuil de commande et le niveau de recompltement

le niveau de stock au dbut de la priode t

le complment de commande li au remplissage des commandes

IV.4 Fonction de cot optimiser

La fonction cot optimiser est difficile modliser analytiquement, on peut lvaluer comme le cot

priodique long terme dune telle politique de gestion de stock.

Nanmoins, lanalyse analytique du cot lie la gestion dun stock peut tre effectue sur une

priode donne.

IV.4.1 Cots pris en compte

Une politique de gestion de stock implique un cot pour lentreprise quelle va chercher minimiser.

Suivant le secteur dactivit, le type de produit et le choix de la modlisation, la fonction de cot peut

prendre diffrentes formes.

Nanmoins, on retrouve le plus souvent la dcomposition suivante du cot total :

Passation de la commande

Transports

Dtention du stock

Ruptures

Retards de livraison

Le Cot li la passation dune commande est suppos fixe quelque soit la quantit des produits

commands la priode t, pour peu quil y ait une commande.

La modlisation du cot de transport est un vaste sujet sur lequel il est possible de stendre

indfiniment et sur lequel un grand certain nombre dtudes se sont penches. Dans un premier temps,

nous supposerons le cot de transport proportionnel la quantit de produit j command la priode t.

On dfinit ainsi chaque priode t :

lensemble des valeurs de j tel que

le nombre de camions ncessaire pour transporter la quantit de

produit j commande la priode t, si j

Le cot de transport associ est donc

Le cot de dtention du stock pendant une priode t est dfini comme la somme des cots de dtention

associ au niveau de stock de chacun des produits. On obtient donc

On peut galement associer un cot de rupture lventualit dune non-livraison du fait dune rupture

de stock ne permettant pas de faire face la demande/

Dans ce cas on obtient le cot de rupture de stock qui est suppos dans un premier temps proportionnel

au nombre de produits non livrs pour rpondre la demande :

Posons

On obtient alors

Il faut nanmoins modifier la forme dune relation associ dans les contraintes (cf partie

suivante)

En revanche, il est galement possible de tenir compte dun cot li aux retards ventuels si lon

dcide den tenir compte dans le modle en lieu et place des cots de rupture, ce qui nest pas

modlis ici.

IV.4.2 Fonction de cot total

La modlisation ci-dessus conduit lgalit suivante :

Avec les diffrents cots pris en compte, cela donne de manire analytique comme cot de gestion de

stock pour une priode t donne :

IV.5 Contraintes du modle

Aprs avoir rpertori lensemble des hypothses du modles, les paramtres associs ncessaires pour

la modlisation, les variables de dcision choisies, ainsi que la fonction de cot de gestion stock dont

lobjectif est de la minimiser, il nous reste dfinir les contraintes associes au modle afin de le

rendre compatible avec les diffrentes donnes du problme.

Le niveau du stock la priode t+1 est celui de la priode t duquel on a dduit la demande et

ventuellement ajout la commande de cette mme priode.

La commande dun nombre entier de camions pilote les quantits dajustement et de compltude des

camions (variables de dcision ).

Les contraintes de capacit et de budget allou sont classiques, et lon sassure de dpasser les minima

de commande imposs par le fournisseur en forant lcart entre le point de commande s et le niveau

de recompltement S.

Les diffrentes contraintes du modle ici dfini peuvent donc tre rsumes de la manire suivante :

Niveau du stock :

o

o

Minimum de commande :

Contrainte de budget :

Contrainte de capacit :

Contrainte de camion plein :

IV.6 Proposition de modle en environnement dterministe

Nous avons fait le choix de prsenter un modle permettant de modliser la structure de cot en

environnement stochastique afin de permettre un pilotage de lapprovisionnement au plus juste, plus

ractif aux variations de la demande des clients.

Nanmoins, il nous semble important de nous pencher sur la problmatique doptimisation des cots

de gestion de stock en environnement dterministe avec les mmes contraintes prises en compte. En

effet, le champ dexploration reste large lheure actuelle et la prise en compte des contraintes lies

lactivit de gestion de stock ainsi qu celle du fournisseur na pas encore t dveloppe dans son

ensemble.

Pour cela, nous nous appuierons sur le travail de Hoque, 2006 qui a choisi de prendre en compte les

contraintes de capacit de stockage et de budget allou dans son modle, ainsi que des cots de

transports explicites.

Nous allons donc revenir sur lajout de la contrainte de minimum de commande son modle

doptimisation (voir partie II.4.1)

IV.6.1 Extension du modle de Hoque, 2006

Le modle de Hoque, 2006 construit sur lhypothse dune demande dterministe statique suppose la

structure de cot suivante :

Soumis aux contraintes suivantes :

Prendre en compte lhypothse de minimum de commande revient ajouter la contrainte associe :

IV.6.2 Analyse des cots de transport

Dans le modle propos par Hoque, 2006 est fait lhypothse de cots de transport proportionnels la

quantit de produits commands. Il semble intressant de se pencher sur la pertinence dun tel modle

dans le cadre dune politique dapprovisionnement multi-produit.

A premire vue, des cots linaires en fonction de la quantit commande ne semblent pas

ncessairement trs ralistes du fait des cots fixes associs au transport dun camion pour

lacheminement de la commande dun produit, en particulier lorsque les quantits commands restent

faible compares aux capacits dun camion.

Ici sont reprsents trois types de fonction cot associes des quantits de commande. Le cot

linaire est celui choisi par Hoque, un cot affine tant sans doute le plus reprsentatif et rel mais

aussi le plus complexe modliser, et enfin un cot fixe par camion dplac. Dans le cas de faible

quantits commandes, la diffrence entre un cot linaire et un cot affine peut tre importante voire

dterminante.

Nanmoins, la multiplicit des rfrences et donc du nombre de produits commands attnue cette

ralit par la massification des moyens de transport. Deux demi-camions pour deux produits distincts

conduisent remplir un camion et la modlisation du cot de transport linaire rejoint alors celle plus

raliste de cots fixes associs.

Malgr cela, il reste que dans le cadre de cot fixe de setup li au dplacement dun camion (cot

affine ou mme fixe par camion), quelle que soit la quantit commande, et si la commande agrge

reste faible, le cot du transport peut savrer notablement diffrent de celui propos par Hoque.

Nous proposons donc de modliser le transport de la manire ci-dessous afin daffiner la modlisation

et de nous rapprocher de la ralit oprationnelle.

IV.6.3 Nouvelle modlisation des cots de transport

Hoque, 2006 suppose un modle de cot proportionnel la quantit commande (en nombre de

camion plein), le cot dun camion plein tant suppos gal t. Le cot de transport annuel associ

une quantit est donc suppos gal :

Supposons un cot de transport affine et non plus linaire avec les notations suivantes :

le nombre de camions pleins

la portion de camion restante

On obtient alors :

Cette modlisation conserve cependant le mme biais que celui de Hoque, savoir la non prise en

compte des conomies lies la massification des produits pendant le transport. Il semble donc

opportun de regrouper les produits par famille selon la priode de rapprovisionnement, en

dveloppant un produit quivalent pour le transport afin de mieux valuer les cots

dacheminement.

On peut en effet regrouper les diffrents produits j ayant des priodes de rapprovisionnement

identiques et dfinir les notations suivantes :

avec la mme notation et

Ce premier regroupement permet de rduire de manire importante le biais introduit par la non

massification des commandes lies au regroupement des produits. Resterait encore prendre en

compte la rduction des cots de transport rendue possible par des priodes dapprovisionnement

concomitantes pour les diffrents groupes de produits.

IV.7 Avantages et limites des modles proposs

Suite au constat des champs dexploration possibles de recherche dans le cadre dune politique de

gestion de stock en environnement multi-produit, nous avons fait le choix de tenir compte la fois de

contraintes lies lactivit de gestion de stock (capacits de stockage et allocation de budget) ainsi

que de contraintes lies la relation avec le fournisseur (minimum de commande, et structure du

transport associ).

Une premire modlisation tenant compte de lensemble de ces contraintes avec une demande

stochastique a t propose afin de rpondre la ralit oprationnelle dune demande incertaine.

Nous avons galement tenu prsenter un modle doptimisation de gestion de stock multi-produit

intgrant les mmes contraintes, dans le cadre dune demande dterministe statique.

Il nous semble maintenant pertinent de revenir rapidement sur les avantages et les limites des modles

proposs afin den tirer un maximum de profit et dutilit pour dventuelles recherches venir.

IV.7.1 Les contraintes prises en compte

Les quatre contraintes prises en compte dans les deux modles proposs rejoignent diffrentes

recherches effectues au cours des dernires annes afin dadapter le modle du Joint Replenishment

Problem la ralit des conditions et contraintes oprationnelles. On peut citer parmi elles les travaux

de Hoque, 2006, Porras&Dekker, 2006, Kiesmller, 2008, Haksever&Moussourakis, 2005 et 2008

aprs ceux prcurseurs de Van Eijs, 1994 ou Cachon, 2001.

La taille dun entrept ncessite en effet un choix judicieux de lallocation de lespace disponible ainsi

quun arbitrage dans la politique de dtention dun grand nombre darticles rfrencs. Les ressources

ncessaires de tels investissements sont galement limites et une rflexion sur les cots

dimmobilisation est souvent pralable toute politique de gestion de stock et dapprovisionnement.

Ainsi ces deux contraintes lies lactivit dentreposage ont-elles t retenues la suite de la

modlisation propose par Hoque, 2006.

Il nous a sembl intressant de reprendre galement les minimum de commande voqus par

Porras&Dekker, 2006 et peu traits dans la littrature jusqu prsent qui correspondent une forte

ralit des contraintes imposes par le fournisseur.

Enfin, la modlisation du cot de transport dans un modle semble actuellement indispensable, eu

gard aux problmatiques associes toujours plus prgnantes dans les dcisions des dirigeants actuels.

Le choix a donc t fait de revenir sur la prise en compte explicite dun tel cot dans les cots de

commande, voire parfois de les considrer comme une contrainte de remplissage des camions (impact

conomique et cologique).

IV.7.2 Typologie de la demande

La demande du client est ce qui gouverne en premier lieu toute politique de gestion de stock qui a pour

objectif premier de satisfaire le client en lui fournissant les produits dsirs.

Reprsenter une demande par une loi de probabilit stochastique a lavantage de reprsenter de

manire plus fidle la ralit du terrain et de mettre en lumire certains facteurs de cot quune

modlisation dterministe ne prendrait pas en compte.

Parmi ces facteurs, citons une plus grande ractivit face la demande et lala qui lui est li, assurant

par la mme un meilleur taux de service pour le client final. Linconvnient majeur est la difficult de

modlisation de la fonction de cot de manire analytique et les difficults de rsolution associes,

puisque des approximations deviennent ncessaires dans la structure de cot afin de pouvoir dfinir

une politique de gestion de stock optimale.

Le chois dune politique de revue priodique des stocks participe galement dune volont de

simplification de gestion oprationnelle puisquelle ne ncessite aucun suivi continu et donc des

ressources moins importantes mettre en uvre. Ce type de politique surclasse par ailleurs les

politiques de revue continues, except dans le cas de faible cots de commande. (Khouja&Goyal,

2008).

Prendre en compte la demande de manire linaire prsente linconvnient dune moins grande fidlit

la ralit oprationnelle et une moins grande ractivit face lincertitude de la demande.

Nanmoins, cela donne une vision plus globale de la politique de gestion de stock choisie, un suivi des

niveaux de stocks moins rcurrent et lavantage dune plus grande stabilit dans la relation avec le

fournisseur pour des contrats cadre .

Enfin, cela permet une modlisation de la fonction cot optimiser analytique et le dveloppement

dheuristiques ne ncessitant pas de simulation, contrairement au cas de la demande stochastique.

CONCLUSION

Depuis une quarantaine danne, de nombreux travaux se sont intresss la problmatique

doptimisation dune politique de gestion de stock dans un environnement multi-produit. La grande

majorit dentre eux a cherche dterminer quand et en quelle quantit commander lensemble des

produits rfrencer afin de minimiser les cots de gestion de stocks associs.

Ces travaux se sont intresss diffrents types de politiques de gestion de stock, considrant tantt

une demande connue et constante dans le temps, dterministe ou sous la forme dune loi de

probabilit. Ils se sont par la suite intresss des demandes dynamiques, voluant dans le temps.

Le modle le plus classique dvelopp dans la littrature est celui dit du Joint Replenishment

Problem et de nombreuses extensions se sont dveloppes autour des travaux fondateurs de Balintfy,

1964 ou encore Renberg & Planche, 1967. Goyal, 1974, 1979 a minemment contribu au

dveloppement de ces travaux jusqu une rcente revue de littrature publie avec Khouja en 2008.

Il a t mis en lumire limportance dadapter ce modle aux ralits oprationnelles avec la prise en

compte de contraintes auxquelles taient confronts les diffrents secteurs industriels. Quelques

travaux rcents se sont appesantis sur ce domaine jusqualors dlaiss, sintressant aux contraintes

provenant de lactivit propre de gestion de stock ainsi qu certaines contraintes lies la relation

avec le fournisseur.

Ce document dtat de lart a t entrepris afin de rpertorier les diffrents axes de recherche actuels et

de faire une synthse des diffrentes pistes engages actuellement. Il a mis en lumire des voies de

recherche explorer, parmi lesquelles la prise en compte dun jeu de contraintes plus large englobant

la fois celle de lactivit et celles des fournisseurs.

De manire plus spcifique, nous nous sommes engags sur la modlisation dune politique de gestion

de stock en environnement stochastique dune part et dterministe dautre part, en intgrant des

contraintes de capacit de stockage, dallocation de budget, de minimum de commande ou encore lies

au transport des produits depuis le fournisseur jusqu lentrept.

Une rflexion a ainsi t entame sur la modlisation plus explicite des cots de transport dans la

perspective dconomies potentielles sur les cots fixes lis la mise disposition de moyens de

transport.

Les modles proposs restent dvelopper et enrichir, avec la prise en compte ventuelle de dlais

dapprovisionnement, de pnalits de retards autoriss ou encore dobsolescence du stock. La

rsolution du problme na par ailleurs pas t dveloppe au stade actuel de nos recherches.

Il nous reste pour conclure remercier tous les acteurs qui nous ont guids dans cette dmarche de

recherche, pour leurs conseils aviss et leur disponibilit, en particulier Asma Ghaffari et Zied Jema.

Nous sommes galement reconnaissants pour tout le travail effectu par lensemble de la communaut

scientifique rpertorie ci-dessous.

BIBLIOGRAPHIE

Aksoy and Erenguc, 1988 Y. Aksoy and S.S. Erenguc, Multi-item inventory models