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Cours Structures algébriques 1 / 5 A Chevalley

A 2010 Structures algébriques Aleth Chevalley 1. Lois internes

1.1. Définition Soit E un ensemble. On appelle loi interne * sur E, une application qui à tout couple (x, y) � E ² associe un élément z � E, noté x*y. Exemples : a) + , X sont des lois internes sur , , , ,� � � � � .

b) – n’est pas une loi interne sur � .

c) La division n’est pas une loi interne sur ϒ, mais en est une sur *� .

d) Soit ^ sur *+� définie par a ^ b = a b. Alors ^ est une loi interne.

1.2. Commutativité

Soit E un ensemble, * une loi interne. On dit que * est commutative ssi

∀ x, y � E, y * x = x * y

1.3. Associativité

Soit E un ensemble, * une loi interne. On dit que * est associative ssi

∀ x, y, z � E, ( x * y ) * z = x * ( y * z )

1.4. Elément neutre

Soit E un ensemble, * une loi interne. On dit que * admet un élément neutre ssi

∃ e � E / ( ∀ x � E, x * e = e * x = x ) e est indépendant de x

1.5. Symétrique

Soit E un ensemble, * une loi interne, E admettant un élément neutre e. On dit que x � E admet un symétrique ssi

∃ x ’ � E / x * x ’ = x ’ * x = e

Exemple : a) Soit E = { n = 2k, k � ′ }. + et X sont des lois interne sur E associative, commutative, + admet un élément neutre et les éléments sont symétrisables.

b) Que se passe-t-il avec ( *+� , ^ ) défini précédemment ?

Loi interne, non associative a^(b^c) =cba est différent de (a^b)^c= a bc ,

ex ( 2 ²)3 = 4 3 et 3(2 )2 = 2 8 élément neutre à droite a ^ e = a ⇒ e = 1, e ^ a = 1 a = 1 ≠ a, pas commutatif,

pas de symétrique (seulement si a’ = 0) a ^ a’ = e = 1 = a a’ 1.6. Propriétés

Soit E un ensemble, * une loi interne.

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a) Si * admet une élément neutre, il est unique. b) Si x � E admet un symétrique x’ pour * alors celui-ci est unique (en supposant * associative). c) Si x’ est le symétrique de x alors x est le symétrique de x’ . Démonstration : a) supposons e, e’ deux éléments neutres.

Alors ∀ x � E, e * x = x * e = x car e est un élément neutre en particulier si x = e’ alors e * e’ = e’ * e = e’ et e’ est élément neutre donc ∀ x � E e’ * x = x * e’ = x en particulier si x = e alors e’ * e = e * e’ = e donc on en déduit e’ = e

b) supposons x’ et x’’ deux symétriques de x alors x * x’’ = e d’où x’ * x * x ‘’ = x’ Mais x’ * x = e et x’ * x * x’’ = x’ d’où x’’ = x’

c) x * x’ = e = x’ * x Exemples : a) (ϒ, + ) admet-il un élément neutre ? ses éléments sont-ils symétrisables ?

b) mêmes questions avec (ϒ, X ) et ( *� , X ) ?

1.7. Eléments réguliers

Soit E un ensemble et * une loi interne, x est régulier si ∀ y, z � E, x * y = x * z � y = z

1.8. Stabilité Soit E un ensemble et * une loi interne sur E. F � E est dit stable par * si

∀ x, y � F, x * y � F Exemple : ⁄ est une partie stable de ϒ pour +.

2. Groupes

2.1. Définition Soit G un ensemble et * une loi interne sur G. On dit que (G,*) est un groupe ssi

• G est non vide • * est associative • * admet un élément neutre • Tout élément de G admet un symétrique pour * dans G. Si de plus, la loi est commutative, on dit que (G,*) est un groupe abélien ou commutatif . Dans ce cas la loi interne est souvent notée +. Dans un groupe, le symétrique d’un élément est noté x -1 pour une loi quelconque et – x pour la loi +. Exemples : a) (′, + ), (⁄, + ), (ϒ, + ), (≤, + ), ( ⁄ * , X ), (ϒ* , X ), (≤* , X ) sont des groupes abéliens. b) on définit sur ϒ ² - { ( 0, 0) } la loi interne * telle que

(a, b) * (a’, b’) = (a.a’ – b.b’, a.b’ + b.a’ ) est un groupe abélien (en correspondance avec ≤ * ; on parle d’isomorphisme). c) (′, X ) n’est pas un groupe car les éléments n’ont pas de symétriques. d) Soit G = ′ / n ′, l’ensemble des classes d’équivalence de ′ modulo la relation

a ℜ b ⇔ (a-b) = n.k, k � ′

• Montrer que + définie par a b a b+ = +&& est une loi interne bien définie. • Montrer que ( ′ / n ′, + ) est un groupe.

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2.2. Propriétés Soit (G, * ) un groupe. Pour a, b � G, on a

(a * b ) -1 = b -1 * a -1

= a -1 * b -1 si le groupe est abélien

Démonstration : ( a * b ) * ( b -1 * a -1 ) = a * a -1 = e

2.3. Sous-groupe

2.3.1. Définition Soit (G, * ) un groupe. Soit H un sous ensemble non vide de G. On dit que ( H, * ) est un sous groupe de ( G, * ) si H est un groupe muni de la restriction de * à H. 2.3.2. Propriétés

2.3.2.1. Théorème

Soit ( G, * ) un groupe et H � G, H ≠ ∅ ( H, * ) est un sous groupe de ( G, * ) ssi

• H � G • H ≠ ∅ ou l’élément neutre de * � H ( e � H) • ∀ x, y � H, x * y � H ( H est stable par * ) • ∀ x � H, tout élément symétrique pour * � H (x -1 � H)

De plus, si * est commutative, elle le reste dans H Démonstration : ⇒ Si ( H, * ) est un sous groupe, il est clair que les deux dernières lignes sont vérifiées. ⇐ Supposons les deux dernières lignes vérifiées. - soit x, y, z � H. Dans ( G, * ) on sait que ( x * y ) * z = x * ( y * z ) donc cette égalité est vraie dans H.

* est donc associative dans H. ( Idem pour la commutativité). - Soit x � H alors x -1 � H d’après la dernière ligne. Donc comme H est stable par * , x * x -1 = e � H. Donc ( H, * ) est un groupe.

Exemples : a) ( {1} , X ) est un sous groupe de ( *� , X )

b) ( ′, + ) est un sous groupe de ( ϒ, + ) c) ( n′, + ) est un sous groupe de (′, + ) d) ( { ( cos ,sinα α ) α � [ 0, 2 π [ } , * ) est un sous groupe du groupe défini

sur ϒ ² - { ( 0, 0) } avec la loi interne * telle que (a, b) * (a’, b’) = (a.a’ – b.b’, a.b’ + b.a’ ). Il correspond à { x � ≤ / | x | = 1 }

e) ( *� , X ) n’est pas un sous groupe de ( ϒ, X ) car ( ϒ, X) n’est pas un groupe.

f) H = { (a, b) / a ² + b ² = 2 } ( H , * ) n’est pas un sous groupe du groupe de l’exemple d) car l’élément neutre (1, 0) n’appartient pas à H : 1 + 0 ≠ 2 2.3.2.2. Intersection Une intersection de sous groupes est un sous groupe. Démonstration : Soit ( G, * ) un groupe. Soient H1 et H2 deux sous groupes de G. - e � H1 et e � H2 donc e � H1 � H2

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- soient x, y � H1 � H2 alors x, y � H1 et x, y � H2. Comme H1 , H2 sont des sous groupes, on a x * y � H1 et x * y � H2. Donc x * y � H1 � H2

- soit x � H1 � H2 alors x � H1 et x � H2. Comme H1 , H2 sont des sous groupes, on a x -1 � H1 et x -1 � H2. Donc x -1 � H1 � H2.

Donc H1 � H2 est un sous groupe.

3. Anneau

3.1. Définition de la distributivité Soit A un ensemble muni de 2 lois de composition interne ⊕ et * . On dit que * est distributive sur ⊕ ssi

∀ x, y, z � A , x * ( y ⊕ z ) = ( x * y ) ⊕ ( x * z ) et ( y ⊕ z ) * x = ( y * x ) ⊕ ( z * x ) Exemple : Dans ( ϒ , + , X ) , X est distributive sur +. 3.2. Définition d’un anneau Soit A un ensemble muni de 2 lois de composition interne ⊕ et * . On dit que ( A, ⊕ , * ) est un anneau (unitaire) ssi :

• ( A, ⊕ ) est un groupe abélien (élément neutre noté 0A ) • * est associative • * admet un élément neutre (unité) noté 1A avec 1A ≠ 0A • * est distributive sur ⊕

Si de plus, * est commutative, on parle d’anneau commutatif Exemples : a), (⁄, + , X ), (ϒ, + , X ), (≤, + , X ) sont des anneaux. b) Montrer que ′ / 4′, l’ensemble des classes d’équivalence de ′ modulo la relation

a ℜ b ⇔ (a-b) = 4.k, k � ′

muni des 2 lois suivantes : a b a b+ = +&& et a b a b× = ×&& est un anneau (on vérifiera que les lois sont bien définies). 3.3. Définition d’un sous anneau Soit ( A, ⊕ , * ) un anneau. Si F � A alors ( F, ⊕ , * ) est un sous anneau ssi :

• ( F, ⊕ ) est un sous groupe de ( A , ⊕ ) • F est stable pour * ∀ a, b � F, a * b � F • L’élément neutre pour * � F, 1A � F

4. Corps

4.1. Définition

( K, ⊕ , * ) est appelé corps si c’est un anneau commutatif (unitaire) tel que tout élément x de K non nul (différent du neutre pour ⊕ ) possède un symétrique pour la loi * . Ce symétrique est appelé inverse et noté x -1 . Remarque : Si ( K, ⊕ , * ) est un anneau (unitaire) non commutatif tel que tout élément x de K non nul (différent du neutre pour + ) possède un symétrique pour la loi X, on parle de corps gauche . Exemples : a) (⁄, + , X ), (ϒ, + , X ), (≤, + , X ) sont des corps

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b) ( ′ , + , X ) n’est pas un corps. car le symétrique de x par X vaut 1/x et n’existe pas dans ′. c) Montrer que ( ′ / 3′ , + , X ) avec les lois définies précédemment est un corps. Qu’en est-il pour ( ′ / 4′ , + , X ) ? 4.2. Sous corps Soit ( K, ⊕ , * ) un corps. Si L � K alors ( L, ⊕ , * ) est un sous corps ssi :

• ( L, ⊕ ) est un sous groupe de ( K, ⊕ ) • L est stable pour * ∀ a, b � L, a * b � L • L’élément neutre pour * � L 1K � L • Tout élément (sauf l’élément neutre de ⊕ ) admet un symétrique pour * dans L ∀ a, b � L – { 0 K }, a -1 �

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