Méthode 1 : Pour calculer le taux d'évolution global de plusieurs évolutions successives de taux différents

On détermine le nombre n d'évolutions successives de la période considérée. On détermine le coefficient multiplicateur global des n évolutions successives de taux t1, t2, - - -,

tn sous forme décimale : 1 + T = (1 + t1) × (1 + t2) × ... × (1 + tn). On en déduit le taux d'évolution global. T =(1 + t1) × (1 + t2) × ... × (1 + tn) – 1 ; on conclut.

Exemple : Le prix d'un produit a subi successivement au cours de l'année passée une hausse de 20 %, une baisse de 8 %, puis une baisse de 10 %. Calculer le taux d'évolution global du prix du produit en un an. • En 1 an, il y a eu 3 évolutions successives, donc n = 3. • Le coefficient multiplicateur global est : 1 + T = (1 + 0,2) x (1 – 0,08) x (1 – 0,1) = 1,2 x 0,92 x 0,9 = 0,9 936. • Le taux d'évolution global est donc : T = 0,9936 – 1 = – 0,0064. Conclusion : le prix du produit a diminué en un an de 0,64 %. Méthode 2 : Pour calculer le taux d'évolution global de plusieurs évolutions successives de même taux

On détermine le nombre n d'évolutions successives de la période considérée, et on écrit le taux moyen t sous forme décimale

On détermine le coefficient multiplicateur global des n évolutions successives de taux moyen t : 1 + T= (1 + t)n.

On en déduit le taux d'évolution global : T = (1 + t)n – 1 ; on conclut.

Exemple : Le nombre d'offres d'emploi d'une région a augmenté en moyenne de 3,5 % par mois pendant un an. Calculer le taux d'évolution du nombre d'offres en un an. • En 1 an, il y a eu 12 évolutions successives, donc n = 12, de taux moyen t = 0,035. • Le coefficient multiplicateur global est : 1 + T = (1 + 0,035)12 = 1,03512. • Le taux d'évolution global est donc : T= 1,03512 – 1 = 0,511 068. Conclusion : le nombre d'offres d'emploi a augmenté d'environ 51,1 % en un an. Méthode 3 : Pour calculer un taux d'évolution moyen à partir d'un taux d'évolution global.

On détermine le nombre n de périodes, et on écrit le taux d'évolution global T sous forme décimale.

On détermine le coefficient multiplicateur moyen : 1 + t = (1 + T)1/n On en déduit le taux d'évolution moyen : t = (1 + T)1/n-1 ; on conclut.

Exemple : Dans une ville, le nombre de véhicules en circulation a diminué de 11 % en 5 ans. Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre de véhicules en circulation.

La période considérée est de 5 ans, donc n = 5 le taux d'évolution global est T = - 0, 11. Le coefficient multiplicateur est 1 + t = (1 - 0, 11)1/5 = 0,891/5 D’où le taux d’évolution moyen est t = 0,891/5 – 1 = - 0, 023037 Conclusion : le nombre de véhicules a diminué, en moyenne, d'environ 2,30 % par an.

Méthode 4 : Pour calculer le taux d'évolution moyen de plusieurs évolutions successives de taux différents

On détermine le nombre n d'évolutions successives de la période considérée. On détermine le coefficient multiplicateur moyen des évolutions successives de taux t1, t2, …, tn

écrits sous la forme décimale 1 + t = [(1 + t1) x (1 + t2) × ... × (1 +tn)]1/n On en déduit le taux d'évolution moyen : t = (1 + t1) x (1 + t2) × ... × (1 +tn)]1/n

– 1

Exemple : Les ventes d'un commerce ont successivement augmenté de 14 % la 1ère année, puis diminué de 7 % la 2e année et de 5 % la 3e année.

Calculer le taux d'évolution annuel moyen des ventes de ce commerce au cours de ces 3 années. • En 3 ans, il y a eu 3 évolutions successives, donc n = 3. • Le coefficient multiplicateur moyen est 1 + t = (1,14 × 0,93 × 0,95) 1/3 = 1,007 191/3 • Le taux d'évolution moyen est donc : t = 1,007 191/3 – 1 = 0,002 390. • Conclusion : les ventes ont augmenté, en moyenne, d'environ 0,24 % par an. Méthode 5 : Pour calculer une valeur initiale ou finale à partir du taux d'évolution global de plusieurs évolutions successives

• On détermine le coefficient multiplicateur global (voir la méthode 1 ou 2 selon le cas).. • On établit l'égalité entre y0 et 1 + T et yn: yn = y0 × (l + T) ; on conclut.

Exemples : 1. Le prix d'un article A était 158 €. Il a subi au cours du semestre écoulé trois hausses successives de 7

%, 4 %, et 3 %.

Calculer le prix de l'article A à la fin du semestre. • Au cours du semestre, il y a eu 3 évolutions successives, donc n = 3. Le coefficient multiplicateur global est : 1 + T = (1 + 0,07) × (1 + 0,04) × (l + 0,03) = 1,07 × 1,04 × 1,03 = 1,146 184. • Y3 = YO × (l + T) = 158 × 1,146 184 = 181,10; soit 181,10€ à la fin du semestre.

2. Le prix d'un article B est 65 € après avoir subi une baisse mensuelle moyenne de 2 % au cours du semestre écoulé.

Calculer le prix de l'article B au début du semestre. • Au cours du semestre, il y a eu 6 évolutions successives, donc n = 6. Le coefficient multiplicateur global est : 1 + T = (1 – 0,02)6 = 0,986.

Y6 = Y0 × (1 + T), d'où y0 = Y6 1 + T = 65

0,986 = 73,38 ; soit 73,38 € au début du semestre.

Méthode 6: Pour calculer une valeur à partir d'un indice

On transforme la formule Il /0 = 100 × y1y0

selon la valeur y0 ou y1 cherchée.

Exemple : Soit VI, v2, v3 et v4, les nombres respectifs de vélos vendus dans un magasin au cours de chacune des 4 semaines écoulées.

1. On sait que v, = 15 et 12/1 = 180. Calculer v2.

I 2/1 = 100 × v2v1

d’où v2 = 180 × 15 100 = 27. Soit 27 vélos vendus la 2èmé semaine.

2. On sait que v4 = 21 et 14/3 = 70. Calculer v3.

I 4/3 = 100 × v4v3

d’où v3 = 100 × 21I43 = 30. Soit 30 vélos vendus la 3èmé semaine.