Méthode G- implicite pour la fissurationCritère de Griffith utilisant un taux de restitution critique variable pour satisfaire la loi de Paris Extension tridimensionnelle Formulation

Propagation de fissures 3DPropagation de fissures 3D

Méthode G-Méthode G- implicite pour la fissuration implicite pour la fissuration

Vincent Chiaruttini - DMSE / LCMEVincent Chiaruttini - DMSE / LCME

Club ZéBuloN 3 juin 2008–Club ZéBuloN 3 juin 2008–

2

Fatigue des composants de moteur d'avion

Fissure détectée => remplacement du composantQuand procéder au remplacement ?Comment prédire l'évolution d'une fissure dans des conditions de chargement réelles ?

=> besoin d'outils de simulation de fissuration fiables

Contexte de l'étude Contexte de l'étude

avancée de avancée de la fissure ?la fissure ?

initiation de fissure propagationremplacement du

composant

rupture critique

chargements intenses

fatigue

3

DMSM

J.-L. Bouvard,... (SOCRAX)V. Chiaruttini (PRF MAHPSO)

DMSMV. Chiaruttini, F. Feyel (PRC DDV)

ModèlesModèlesde zones de zones cohésivescohésivesDugdale, BarenblattDugdale, Barenblatt

éléments dissipatifs éléments dissipatifs sur le chemin de sur le chemin de fissurationfissuration

MécaniqueMécanique de la rupture de la rupture

Irwin, GriffithIrwin, Griffith

approche locale ou approche locale ou énergétique globaleénergétique globale

DMSMJ. Touzeau, V. Chiaruttini, F. Feyel

DMSM

Équipe modélisation

DMSMS. Payet, N. Germain, F. Feyel

comportement linéairecomportement linéaireremaillage ou X-FEMremaillage ou X-FEM

Approches numériques de la ruptureApproches numériques de la rupture

Mécanique de Mécanique de l'endommagementl'endommagement

Lemaitre et ChabocheLemaitre et Chaboche

modification du comportementmodification du comportementdu matériaudu matériau

ApprochesApprochesénergétiquesénergétiquesgénéraliséesgénéraliséesMarigoMarigo

Transition Transition endommagement/ruptureendommagement/rupture

fortement non-linéairefortement non-linéaireapproches non-localesapproches non-locales

fortement non-linéairefortement non-linéairemaillage très finmaillage très finchemin imposéchemin imposé

Approches Approches multi-modèlesmulti-modèles

4

Organisation de la présentationOrganisation de la présentation

Méthode G- pour la fissuration 3D en fatigueAlgorithme d'avancée du front en propagation stable

Méthode G- pour le calcul des dérivées de l'énergieCalcul de l'énergie de rupture équivalente en fatigueAlgorithmes de propagation de fissure 3D

Mise en œuvre dans le cadre d'un maillage conforme de la fissureDisque de turbine fissuréCas test Snecma Composant de disque de turbine–

Mise en œuvre dans le cadre d'une approche X-FEMCas test Snecma Composant de disque de turbine–

Vers la propagation hors planSimulation de la propagation de fissure sur une éprouvettete

Présentation des nouveaux outils de maillageMailleurs pour la propagation de fissure 3D

Conclusion et perspectives

5

Démarche générale de la propagation 3D en fatigueDémarche générale de la propagation 3D en fatigue

Schéma de principe

résolution mécanique EF

détermination des FICs

loi depropagation

fissureinitiale

Solicitations de fatigue

avancéede fissure

critère debifurcation

avancéede fissure

critère deconvergence

nouvellefissure

non vérifié

ok

6

Choix pour la discrétisation de la fissure

• Maillage conforme de la fissure

• Enrichissement par des fonctions discontinues (X-FEM)

• Ajout d'un champ nodal (type Marigo)


Schéma de principe



loi depropagation

fissureinitiale


avancéede fissure


avancéede fissure


nouvellefissure

non vérifié

ok

7





Méthode pour le calcul des FICs

• Extension virtuelle de fissure VCE

• Intégrales invariantes

• Méthode G-


Schéma de principe



loi depropagation

fissureinitiale


avancéede fissure


avancéede fissure


nouvellefissure

non vérifié

ok

8







• Intégrales invariantesus les FICs

• Méthode G-

Loi de propagation en fatigue

• Loi de Paris

• Lois phénoménologiques complexestravaux Onera

• Lois incrémentalestravaux LMT Cachan


Schéma de principe



loi depropagation

fissureinitiale


avancéede fissure


avancéede fissure


nouvellefissure

non vérifié

ok

9








• Méthode G-


• Loi de Paris



Critères pour la propagation hors-plan

• max à proximité du front

• Sur les FICs

• Nouveau critère énergétique


Schéma de principe



loi depropagation

fissureinitiale


avancéede fissure


avancéede fissure


nouvellefissure

non vérifié

ok

10








• Méthode G-


• Loi de Paris





• Sur les FICs


Nouvelle position du frontdans le problème discrétisé

• Remaillage

• Actualisation des level-set

• Raffinement

• Transfert de champs


Schéma de principe



loi depropagation

fissureinitiale


avancéede fissure


avancéede fissure


nouvellefissure

non vérifié

ok

11








• Méthode G-


• Loi de Paris





• Sur les FICs


Nouvelle position du frontdans le problème discrétisé

• Remaillage

• Actualisation des level-set

• Raffinement

• Transfert de champs

Algorithme de propagation

• Démarche explicite

• Démarche implicite


Schéma de principe



loi depropagation

fissureinitiale


avancéede fissure


avancéede fissure


nouvellefissure

non vérifié

ok

12

Approche énergétique de la propagation de fissureApproche énergétique de la propagation de fissure

Hypothèse Mécanique linéaire de la rupture–Séparation des énergies

J: énergie potentielle de la structure D: énergie de création de surface

En cas de propagation stable quasi-statique

u :champ de déplacement

Schéma de résolution découplé

Comment obtenir •,uc ?

E = J +D

incrément de chargement

residu faible ?

solution couplée

oui

non

résolution mécanique (u,)

détermination de la position du front (uc)E;u (u) = 0, D;u (u) + J;u (u) = 0

E;uc (uc) = 0, D;uc (uc) + J;uc (uc) = 0

E (u; uc) = min(u¤;u¤

c)E (u¤; u¤c)

uc :position du front de fissure

13

f

Méthode G-Méthode G- pour le calcul des dérivées de l'énergie pour le calcul des dérivées de l'énergie[Destuynder et al. 1983][Destuynder et al. 1983]

Dérivation par rapport à une transformation

Champ d'extension de fissure

Famille de transformations

+ conditions sur Dérivée de l'énergie par rapport à l'évolution du front de fissure

Expressions analytiques obtenues parintégration lagrangienne

développements des champs () et équations en puissances de identification terme à terme

F ´ = ! ´ 2 ; x´ = x+ ´ µ(x)

E;µ(µ) = E(1) = lim

´!0

E´ ¡E´

; E;Áµ(Á; µ) = E(2) = lim

´!0

E´;µ(µ)¡E;µ(µ)´

14

Dérivées de l'énergie potentielleDérivées de l'énergie potentielle

Énergie potentielle de la structure

Dérivée première

G: forme variationnelle du taux de restitution d'énergie intégrée le long du front de fissure

Dérivée première de la formulation variationnelle élastique

résolution nécessaire pour le calcul de la dérivée seconde (utilise l'opérateur élastique déjà factorisé)

Dérivée seconde

J =1

2

Z

¾ : " d¡Z

@F

Fd:u dS

Z

A "1 : "¤ d =Z

¾r µ : "¤+¾ : ru¤r µ¡¾ : "¤r¢µ d ; ¾1 = A¡"1 ¡ru

¢

J (1)(µ) =1

2

Z

(¾ : ")r ¢ µ d¡Z

¾ : rur µ d = ¡G(µ)

J (2)(µ; Á) = ¡12

R¾ : ru1r µ d+ 1

2

R¾ : rur µrÁ d¡ 1

2

R¾1 : rurÁ d

+12

R(¾1 : ")r ¢ Á d + 1

2

R¾ : "r µrÁ d

¡12

R(¾ : "r µ)r ¢ Á d+ 1

2

R(¾ : ") I

2(r µ;rÁ) d

15

Dérivée de l'énergie de création de surface en fatigueDérivée de l'énergie de création de surface en fatigue[Ousset & Marigo 2004][Ousset & Marigo 2004]

Fissure unidimensionnelle

Loi de Paris pour une fissure de longueur a soumise à un chargement de fatigue

Potentiel dissipatif équivalent (loi de Paris retournée)

tel que

Critère de Griffith utilisant un taux de restitution critique variable pour satisfaire la loi de Paris

Extension tridimensionnelle

Formulation faible de la loi de Paris locale intégrée sur le front de fissure f

½dadN

= C (G(a))m

a(0) = a0

D =mC¢N

m+ 1

µ¢a

C¢N

¶1+ 1m

E(1) = 0, G(a)¡µ

¢a

C¢N

¶ 1m

= 0

D(1)(µ) =R°f

³¢(a:n)C¢N

´ 1m

µ:n ds

D(2)(µ; Á) =R°ft:r µ t

µ³¢(a:n)C¢N

´ 1m

Á:n + (¢(a:n))1=m¡1

m(C¢N)1=m(a:n)(Á:n)

¶ds

+ 1m(C¢N)1=m

R°f(¢(a:n))

1=m¡1 ¡(µ:n)(Á:n) +r ¢ µ(a:n)(Á:n)¡ (n:(r µ) a)(Á:n)

¢ds

16

Algorithmes de propagation de fissureAlgorithmes de propagation de fissure

Approche usuelle

Algorithme explicite



obtention de l'avancée du front (uc)

uc suffisamment petit ?

solution couplée

oui

non

Approche G- impliciteObjectif

Résolution découpléeAlgorithme de NewtonUtilisation de la dérivée 2nde de l'énergie

Avancée du front de fissure obtenue par la résolution de :

à l'aide des dérivées obtenues par la méthode G-

Algorithme implicite



calcul de G +FIC+ loi de Paris => avancée du front

solution du problème de fissuration

incrément de chargement suivant

E¡u; uc

¢= min(u¤;u¤

c)E (u¤; u¤c)

E(2) (¢uc,µ¤) = ¡E(1) (µ¤) , 8 µ¤ adm.

17

Algorithme de propagation implicite G-Algorithme de propagation implicite G-

Schéma de principe

ObjectifSatisfaire

Méthode de Newton

Modèles mis en oeuvreÉvolution du front issu de la minimisation d'une l'énergie de création de surface

loi de Paris retournée (obtenue éventuellement à partir d'une loi phénoménologique complexe)

Propagation hors-plancritère de bifurcation (difficile en implicite)enrichissement hors-plan de l'espace admissible pour le champ d'extension de fissure



loi depropagation

fissureinitiale


avancéede fissure


avancéede fissure


nouvellefissure

non vérifié

ok

E¡u; uc

¢= min(u¤;u¤

c)E (u¤; u¤c)

E(2) (¢uc,µ¤) = ¡E(1) (µ¤) , 8 µ¤ adm.

Expressions des dérivées issues de la méthode G-

18

Algorithme de propagation implicite G-Algorithme de propagation implicite G-

Schéma de principe

ObjectifSatisfaire

Méthode de Newton

Modèles mis en oeuvreÉvolution du front issu de la minimisation d'une l'énergie de création de surface

loi de Paris retournée (obtenue éventuellement à partir d'une loi phénoménologique complexe)

Propagation hors-plancritère de bifurcation (difficile en implicite)enrichissement hors-plan de l'espace admissible pour le champ d'extension de fissure



loi depropagation

fissureinitiale


avancéede fissure


avancéede fissure


nouvellefissure

non vérifié

ok

E¡u; uc

¢= min(u¤;u¤

c)E (u¤; u¤c)

E(2) (¢uc,µ¤) = ¡E(1) (µ¤) , 8 µ¤ adm.

Expressions des dérivées issues de la méthode G-

Organisation de l'exposéMéthode G- pour la fissuration 3D en fatigue

Algorithme d'avancée du front en propagation stable

Méthode G- pour le calcul des dérivées de l'énergie

Calcul de l'énergie de rupture équivalente en fatigue

Algorithmes de propagation de fissure 3D

Mise en œuvre dans le cadre d'un maillage conforme de la fissureMise en œuvre dans le cadre d'un maillage conforme de la fissureDisque de turbine fissuréDisque de turbine fissuré

Cas test Snecma Composant de disque de turbine–Cas test Snecma Composant de disque de turbine–





19

Étude de la fissuration d'un disque de turbineÉtude de la fissuration d'un disque de turbine

Disque de turbine soumis à une rotation à vitesse constanteComportement linéaire élastiqueConditions de symétrie imposées => étude d'1/16 du disquePréfissure circulaire et propagation plane supposée

20

Disque de turbine fissuréDisque de turbine fissuré

Résultats des simulations

Animations(contrainte de von Mises)

21

nombre de cyclesnombre de cycles

rayo

n m

oyen

de

la fi

ssur

era

yon

moy

en d

e la

fiss

ure

Comparaison des algorithmesComparaison des algorithmes

Evolution du rayon moyen de la fissure

Amélioration de la précision des résultats avec un schéma implicite

22

expl. 1000 impl. 2000 expl. 500 impl. 10000

10

20

30

Comparaison précision / temps CPU

precision/refCPU/ref

% p

ar

rapp

ort

à la

ré

fére

nce

Comparaison des algorithmesComparaison des algorithmes

Temps de calcul / précision

solution 3 fois plus précise à temps CPU équivalent

temps CPUtemps CPU

23

Cas test Snecma Composant de disque de turbine–Cas test Snecma Composant de disque de turbine–






Mise en œuvre dans le cadre d'un maillage conforme de la fissureDisque de turbine fissuré

Cas test Snecma Composant de disque de turbine–

Mise en œuvre dans le cadre d'une approche X-FEMMise en œuvre dans le cadre d'une approche X-FEMCas test Snecma Composant de disque de turbine–Cas test Snecma Composant de disque de turbine–




24

Discrétisation X-Fem dans le code ZéBuloNDiscrétisation X-Fem dans le code ZéBuloN

Mise en oeuvre actuelle

Discrétisation par éléments finis enrichis X-FEM

Enrichissement topologique

Enrichissement géométrique

Post-processing assuré dans Zmasteraster

Discontinuité repérée

par des level-set

par un maillage surfacique

Pour la propagation

plug-in ECN pour les FICs

requière une actualisation des level-set

couplage G- implicite en cours

25

Étude d'une éprouvette entailléeÉtude d'une éprouvette entaillée

• Éprouvette de fissuration biaxiale

• Essais menés dans la tache 4.2

• Entaille orientée à 45° / directions de chargement

• Symétries supposé

• Comportement linéaire élastique

• 2 phases de chargement

• initiation de la fissure (effort x et y identiques)

• traction visant à assurer un champ de contrainte purement vertical à proximité de la fissure

26

Étude de la bifurcationÉtude de la bifurcation

• Changement de chargement

• Phase 2 la contrainte devient purement verticale

=> expérimentalement, la fissure bifurque

• Calcul EF de la valeur du taux de restitution d'énergie selon la direction de propagation

• en imposant directement une direction bifurqué (viole le cadre de la méthode G-)

• en remaillant localement au niveau du front de fissure

27

Étude de la bifurcationÉtude de la bifurcation

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 200

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

Evolution de G en fonction de la direction de propagation

non lissélissé

angle de bifurcation (°)

vale

ur G

(J/m

m²)

Résultats très similaires des 2 approches pour de petits angles de bifurcation

Photographie de l'essai de fissuration

Gmax

28

Nouvel algorithme pour la propagation hors-planNouvel algorithme pour la propagation hors-plan

Principe identique

Minimisation de la dérivée de l'énergie totale

Approche de résolution par méthode de Newton

Avec

J(1) : idem cas plan sauf l'expression du gradient

Nécessité d'une discrétisation de la surface du front pour le calcul HP

E(2) (¢uc,µ¤) = ¡E(1) (µ¤) , 8 µ¤ adm.

E(1) (µ¤) = 0; 8 µ¤ adm. , J (1) (µ¤) +D(1) (µ¤) = 0; 8 µ¤ adm.

D(1) =

Z

Sc

GcdS

29

Démarche itérative énergétique hors-planDémarche itérative énergétique hors-plan

PrincipeOptimisation de forme de la surface de fissuration lors d'un incrément de chargement

AlgorithmePremière étape extension sur la surface tangente aux lèvres

Itérations suivantes : optimisation de la surface engendrée

Objectif : minimisation de l'énergie=> comparaison entre les énergies mise en jeux entre les deux transformations Pi -> Pi+1

convergence sur la distance entre Pi et Pi+2 (en déplacement ou énergie)

Position initiale du front

v (direction tangente à la forme du front obtenue au pas précédent)

w

ttangente au front de fissure

P1

P1P0

Pi

Pi+1

Position en fin d'itération

30

Démarche itérative énergétique hors-planDémarche itérative énergétique hors-plan

PrincipeOptimisation de forme de la surface de fissuration lors d'un incrément de chargement

AlgorithmePremière étape extension sur la surface tangente aux lèvres

Itérations suivantes : optimisation de la surface engendrée

Objectif : minimisation de l'énergie=> comparaison entre les énergies mise en jeux entre les deux transformations Pi -> Pi+1

convergence sur la distance entre Pi et Pi+2 (en déplacement ou énergie)

Position initiale du front

v (direction tangente à la forme du front obtenue au pas précédent)

w

ttangente au front de fissure

P1

P1P0

Pi

Pi+1

Position en fin d'itération






Mise en œuvre dans le cadre d'un maillage conforme de la fissureDisque de turbine fissuré

Cas test Snecma Composant de disque de turbine–



Présentation des nouveaux outils de maillagePrésentation des nouveaux outils de maillageMailleurs pour la propagation de fissure 3DMailleurs pour la propagation de fissure 3D


31

Précision des intégrations en fissuration 3DPrécision des intégrations en fissuration 3D

Approche par remaillageMailleurs automatiques => tétraèdres=> oscillations sur les valeurs de G maillage régulier requis autour du front de fissure

insertion réalisée à l'aide d'opération booléennes sur le maillageliaison entre les éléments tétra et hexa obtenue par des éléments pyramidaux

Maillage spécifique autour du front de fissure

éléments pyramidaux (5 ou 13 noeuds)éléments pyramidaux (5 ou 13 noeuds)

32

ext

compl

pyr

int

nœuds du maillage EF

tn

M(s)

front de fissure

Nouveaux outils mis en oeuvreNouveaux outils mis en oeuvre

Insertion de fissure dans un maillage**cfv_build

crée un volume maillé régulièrement autour d'une courbe (liset)meilleur précision des intégrations au voisinage du front de fissureutilise des interpolation basées sur des courbes de Catmull-Rom (C1)

33


Insertion de fissure dans un maillage**boolean operation

permet d'effectuer des opérations booléennes entre surfaces de maillages volumiques

opérations : union, intersection, différence

utilise la bibliothèque libre GTS sous licence GPL

requière les licences pour le remailleur yams et le mailleur volumique ghs3d

inconvénient : robustesse limitée de la bibliothèque GTS

- →

Topologie préservée

34

surface_0 surface_1 surface_2 surface_3 surface_4 surface_5


Extraction des surfaces d'un maillage**extract_surface

extraction des surfaces d'un maillage séparées par des arrêtes vives

basé sur l'angle entre les normales de facesutilise des listes chaînées pour une bonne performance

35


Propagation de fissure

**propag_crack

application d'un champ d'extension de fissure

ouverture/refermeture des lèvres pour faciliter le remaillage

reprojection des points sur la surface initiale

application directe de l'extension de fissure

reprojection sur la surface

de la structure

nset-frontnset-front

nset-lip0nset-lip0

nset-lip1nset-lip1

nset-extnset-ext

36

PerspectivesPerspectives

Propagation 3D hors-plan

Mise en oeuvre des critères et de l'approche énergétique implicite

Comparaison des discrétisations conformes et X-FEM

Applications à des cas test industriels

Dans le cadre du futur « PRC structures chaudes »

Prise en compte d'anisotropie et des effets thermiques

Prise en compte de la plasticité par des approches couplées

Utilisation de méthodes multiéchelles/multimodèles pour l'analyse de structures complexes

37

Approches Galerkin discontinueApproches Galerkin discontinue

Formulation Galerkin continueEspace d'approximation continue sur l'ensemble de la structure

Formulation Galerkin discontinueEspaces d'approximation continus par morceauxAjout de formulations faibles aux interfaces inter-éléments

continuité au sens faible

38

Approches Galerkin discontinueApproches Galerkin discontinue

Formulation Galerkin continueEspace d'approximation continue sur l'ensemble de la structure

Formulation Galerkin discontinueEspaces d'approximation continus par morceauxAjout de formulations faibles aux interfaces inter-éléments

continuité au sens faible

Continuité affaiblie: possibilité de traiter des maillages non-conformeset de mélanger les ordres d'interpolation des champs inconnus

39

Approche mixteApproche mixteGalerkin discontinu/modèle de zone cohésiveGalerkin discontinu/modèle de zone cohésive

Loi de comportement : p=f([[u]])

p

p

[[u]]

Formulation faible à l'interface

+°

h

pK : K[u]:u¤ ds

Z

[@U¡(¾ nT ):u¤ ¡ ¾¤nT :u+

°

h

pK : Ku:u¤ ds

Z

[@i¡ < ¾ nT > :u¤ ¡

1

2¾¤nT :[[u]] +

°

h

pK : K[u]:u¤ ds

Analogie Galerkin continu / éléments de zone cohésive–

40


PrincipeFormulation Galerkin-DiscontinueAjout d'un critère (de type contrainte tangentielle maximale)Activitation élement d'interface de type zone cohésive à la place de la formulation GD

Loi de comportement : p=f([[u]])

p

p

[[u]]

p

[[u]]

seuil en contrainte

formulation GD modèle de zone cohésive CZMmodèle de zone cohésive CZM

41


ExemplePropagation de fissure sur une plaque trouée 2D entaillée sous chargement quasi-statique

Référence approche G- avec remaillage et critère taux de restitution d'énergie maximal(thèse P. O. Bouchard 2000)

42

Approche mixteApproche mixteGalerkin discontinu/modèle de zone cohésiveGalerkin discontinu/modèle de zone cohésiveExemple

Propagation de fissure sur une plaque trouée 2D entaillée sous chargement quasi-statique

Référence Approche CZM « partout »

Problème de convergenceProblème de convergenceSystème mal conditionnéSystème mal conditionné

Approche mixte DG/CZM

Convergence assuréeConvergence assurée

43


ExemplePropagation de fissure sur une plaque trouée 2D entaillée sous chargement quasi-statique

Chemin de propagation semble converger vers la solution de référence

44

Adaptation pour le calcul 3DAdaptation pour le calcul 3D

Difficulté majeure - Méthode très coûteuse en temps CPUMultiplication très importante du nombre d'inconnues lié à l'approche GDEn 3D, approximation P1 ou P2, mécanique non-linéaire implicite

=> l'approche n'est pas envisageable sur l'ensemble de la structure

Solution envisagée – Maillage GD local adaptatif sur la zone fissuréeMinimisation de l'ajout d'inconnusAdaptation h-p en cours de calcul (maillage P2 à proximité de la fissure)

�

Évolution de la zone GD/CZM

Formulation P1 G-Continue

Formulation P2 DG/CZM

45

Fissuration 3D d'un disque de turbineFissuration 3D d'un disque de turbine

Disque de turbine haute-pression d'un moteur aéronautique

Comportement linéaire élastique

Simplification de l'aide à l'aide de symétries

Fissuration initiée en un point à proximité du pied d'aube

46

Premières simulations 3DPremières simulations 3D

Chargement de la fissure en mode I

Premiers résultats de faisabilité sur un modèle relativement grossier

Fissuration quasi-plane localisée le long des zones de concentration de contrainte

Validation à mener face aux méthodes énergétiques (type G-) avec remaillage ou X-FEM

Géométrie approximative de la fissureGéométrie approximative de la fissure

Évolution de la zone DG/CZMÉvolution de la zone DG/CZM

47

Approches Galerkin discontinues pour la mécaniqueApproches Galerkin discontinues pour la mécaniquede l'endommagement et de la rupturede l'endommagement et de la rupture

Activités menées dans le PRF MAHPSO au DMSM

Mise en oeuvre au sein du code ZéBuloN

Validations (stabilité, convergence, estimateur d'erreur, test en quasi-compressibilité)

�

Adaptation de maillages non-conformes en fissuration

Approche mixte GD / modèles de zones cohésives 2D/3D

Perspectives 2008-2009

Test des approches GD en plasticité

Validation avec des solveurs de typedécomposition de domaine

Adaptation h-p en multi-domaine

Modèle mixte DG/CZM

Amélioration du critère de transition

Validation face aux approches traditionnelles

V. Chiaruttini & F. Feyel

Documents

Méthode G- implicite pour la fissurationCritère de Griffith utilisant un taux de restitution critique variable pour satisfaire la loi de Paris Extension tridimensionnelle Formulation