Méthodes de volumes finispour les fluides compressibles

Nicolas SeguinUniversité Pierre et Marie Curie - Paris 6

15 novembre 2010

http://www.ann.jussieu.fr/~seguin/cours.pdf

Table des matières

1 Introduction 41.1 Quelques préliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Classement des équations aux dérivées partielles. . . . . . . 41.1.2 Équations hyperboliques linéaires et non linéaires. . . . . . . 5

1.2 Exemples d’équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Équation des ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Équation de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 EDP quasilinéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Dynamique des gaz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5 Modèle de Saint-Venant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.6 Et encore d’autres modèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Quelques outils d’analyse fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3 Fonctions à variations bornées. . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4 Transformée de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Avertissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Équations hyperboliques linéaires 122.1 Équation de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Cas unidimensionnel à coefficient constant. . . . . . . . . . 122.1.2 Cas multidimensionnel à coefficient variable. . . . . . . . . 15

2.2 Systèmes hyperboliques linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Cas unidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Cas multidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Cas d’une vitesse positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Cas d’une vitesse négative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Lois de conservation 203.1 Solutions régulières, ou pas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Problème de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Entropie et unicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Problème de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Le cas multidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2

4 Méthodes des volumes finis pour les lois de conservation 324.1 Notations et principes des méthodes de volumes finis. . . . . . . . . 324.2 Schémas monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Estimationsa priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.3 Estimationsa posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Cas multidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.1 Maillage cartésien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.2 Maillage non structuré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Systèmes de lois de conservation 525.1 Hyperbolicité et entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2 Solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3 Ondes et caractère non linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4 Ondes de choc et entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5 Problème de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.6 Problème de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.7 Le problème de Riemann pour Euler barotrope. . . . . . . . . . . . 60

5.7.1 Étude des ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.7.2 Résolution du problème de Riemann. . . . . . . . . . . . . . 63

6 Méthodes de volumes finis pour les systèmes de lois de conservation 646.1 Schémas volumes finis et propriétés de base. . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.1 Consistance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.1.2 Préservation de domaine invariant. . . . . . . . . . . . . . . 666.1.3 Inégalités d’entropie discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2 Formalisme de Harten, Lax et Van Leer. . . . . . . . . . . . . . . . 686.2.1 Cadre général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2.2 Schéma de Godunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2.3 Solveurs simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3 Schémas de Godunov approchés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3.1 Schéma choc-choc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3.2 Schéma VFRoe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.4 Cas multidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3

Chapitre 1

Introduction

Ce polycopié correspond à une compilation de divers résultats concernant l’analyseet l’approximation des lois de conservation et des systèmeshyperboliques.

1.1 Quelques préliminaires

Avant de commencer, posons le contexte. L’idée est d’étudier les solutions de cer-taines équations aux dérivées partielles (EDP) ; par étudier on entend déterminer l’exis-tence et l’unicité de ces solutions pour des problèmes donnés, comprendre leur struc-ture et leurs propriétés, les approcher par des méthodes numériques.

SoitΩ un ouvert deRD, D > 0. On considère une fonction

u : Ω −→ RN

X 7−→ u(X)

oùN > 0. On appelleéquation aux dérivées partiellesune relation du type

F(

X,u,(∂iuk)16i6D16k6N

,(∂ 2i j uk)16i, j6D

16k6N

)

= f , (1.1)

oùF : RN ×RND×RND2 → RN et f : Ω → RN sont deux fonctions données.Un peu de vocabulaire :– La fonction f est généralement appelée terme source.– On dit que l’EDP (1.1) est d’ordre 2.– Si D = 1, on retombe sur le cas des équations différentielles.– Si f ≡ 0, l’EDP est dite homogène.– L’EDP est dite linéaire siF l’est àX fixé, non linéaire sinon.– L’EDP est une équation scalaire siN = 1 et un système siN > 1.– On dit que l’EDP est une équation d’évolution si une des composantes deX est

le temps. Sinon, c’est une équation stationnaire.

Remarque1. En général, pour étudier (1.1), il est nécessaire d’ajouter des relationscomplémentaires suru, bien souvent pourX ∈ ∂Ω.

1.1.1 Classement des équations aux dérivées partielles

Le classement des EDP est loin d’être exhaustif, valable dans le cas linéaire et pasforcément toujours judicieux. Néanmoins, il permet d’avoir une idée du comportement

4

des solutions de ces EDP et de leur version “étendue”.Plaçons-nous dans le cas de l’étude d’une EDP linéaire d’ordre 2, avecD = 2 et

N = 1 :A0u+ ∑

i=1,2

Ai∂iu+ ∑i, j=1,2

Ai j ∂ 2i j u = f , (1.2)

où Ai ∈ R, i = 0,1,2, et la matriceA = (Ai j )16i, j62 est symétrique non nulle. PuisqueA est symétrique, elle est diagonalisable dansR.

La classification des EDP se fait alors suivant le spectre de la matriceA (les termesd’ordre inférieur ou égal à un n’ont pas d’influence) :

– Si det(A) > 0, l’équation est diteelliptique. Un exemple est l’équation de Laplace

∂ 2xxu+ ∂ 2

yyu = f

(si f ≡ 0, c’est l’équation de Poisson).– Si det(A) = 0, l’équation est diteparabolique. Un exemple classique est l’équa-

tion de la chaleur∂tu− ∂ 2

xxu = f .

– Si det(A) < 0, l’équation est ditehyperbolique. Un exemple est l’équation desondes

∂ 2tt u− ∂ 2

xxu = f .

La terminologie correspond à celle utilisée dans le classement des coniques, mais l’ana-logie s’arrête là.

Le comportement des solutions est très différent suivant letype d’EDP que l’onétudie. De plus, les données à ajouter pour définir un problème bien posé dépendentaussi du type de l’EDP.

1.1.2 Équations hyperboliques linéaires et non linéaires

On a mentionné le fait que la classification précédente n’était pas exhaustive. On vamaintenant préciser ce qu’on appelle une équation hyperbolique. En général, elle sontformulées à l’ordre un, c’est-à-dire dans le cas linéaire

∂tu+d

∑i=1

Ai∂xi u = 0, t > 0, x∈ Rd,

oùAi ∈ RN×N, et dans le cas non linéaire

∂tu+d

∑i=1

∂xi fi(u) = 0, t > 0, x∈ Rd,

où fi : RN → RN.

1.2 Exemples d’équations hyperboliques

On présente ici quelques exemples d’équations hyperboliques.

5

1.2.1 Équation des ondes

On l’a vu précédemment, un exemple typique d’EDP hyperbolique est l’équationdes ondes, qui s’écrit dans le cas homogène

∂ 2tt u−a2∂ 2

xxu = 0.

Si on notev = ∂tu et w = ∂xu, on obtient d’une part

∂tv−a2∂xw = 0

et l’équation∂tw− ∂xv = 0,

correspond au fait que∂ 2txu = ∂ 2

xtu. Maintenant, si on définitϕ = v−awetψ = v+aw,on obtient le système équivalent

∂tϕ +a∂xϕ = 0,

∂tψ −a∂xψ = 0,

qui est constitué de deux équations découplées.

1.2.2 Équation de transport

On s’intéresse au phénomène de transport à vitessea d’une densité (de particules,de polluants...)ρ0(x). Ainsi, si on noteρ(t,x) la densité transportée au tempst et à lapositionx, on a la formule de translation

ρ(t,x) = ρ0(x−at). (1.3)

On peut donc remarquer que

∂tρ(t,x) = −aρ ′0(x−at),

∂xρ(t,x) = ρ ′0(x−at),

dont on peut déduire l’équation

∂tρ(t,x)+a∂xρ(t,x) = 0, (1.4)

avec pour condition initialeρ(0,x) = ρ0(x). (1.5)

Ainsi on peut espérer l’équivalence entre la formule (1.3) et le problème (1.4)-(1.5), cequi permettrait de résoudre aussi l’équation des ondes.

1.2.3 EDP quasilinéaires

Les EDP quasilinéaires sont de la forme

∂tu(t,x)+d

∑i=1

∂xi fi(t,x,u(t,x)) = g(t,x,u(t,x))

6

oùu est à valeur dansR (c’est le cas scalaire). Elles correspondent à l’écriture généraledes EDP hyperboliques scalaires. Plus particulièrement, on étudie la forme

∂tu(t,x)+d

∑i=1

∂xi fi(u(t,x)) = 0 (1.6)

qui est appelée loi de conservation. En effet, on peut remarquer que si il existe unesolutionu intégrable et à support compact de cette équation, alors elle vérifie

∫

R

u(t,x) dx=

∫

R

u(0,x) dx, ∀t > 0.

On a donc conservation de la masse

m(t) =∫

R

u(t,x) dx.

On précisera plus tard la notion de conservation et on verra qu’elle est au cœur de laconstruction des méthodes de volumes finis. Enfin, on peut remarquer que les fonctionsconstantes sont des solutions de (1.6).

1.2.4 Dynamique des gaz

On considère un fluide compressible dont la viscosité peut être négligée (air autourd’un avion par exemple). Si on noteρ la masse volumique,u la vitesse,E l’énergietotale etp la pression, les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvementet de l’énergie totale s’écrivent ainsi :

∂tρ + ∂xρu = 0,

∂tρu+ ∂x(ρu2+ p) = 0,

∂tρE+ ∂xu(ρE+ p) = 0,

avecE = u2/2+ ε, ε étant l’énergie spécifique du fluide. On peut remarquer que ceséquations ne sont pas fermées (5 inconnues et 4 équations). Il faut ajouter une rela-tion, c’est l’équation d’état (ou fermeture thermodynamique), elle permet de relier lesquantités thermodynamiques en elles :

p = P(ρ ,ε).

On nomme ce système leséquations d’Euler(qui sont en fait les équations de Navier-Stokes sans viscosité dans le cas compressible). Dans le casd’un gaz parfait, on a larelationP(ρ ,ε) = (γ −1)ρε, où γ > 1 est une constante (c’est le coefficient adiaba-tique). On obtient alors un système hyperbolique (on donnera plus tard une définitionprécise de l’hyperbolicité des systèmes d’EDP d’ordre 1).

1.2.5 Modèle de Saint-Venant

Le modèle de Saint-Venant modélise l’évolution de l’eau (comprise comme un li-quide incompressible non visqueux) sur un fond plat. En notant h la hauteur de l’eau,ula vitesse moyenne horizontale etg la constante de la gravité, ce système s’écrit ainsi :

∂th+divxhu= 0,

∂thu+divx(hu⊗u)+ ∇x(gh2/2) = 0,t > 0, x∈ R

2.

7

Si le fond de l’eau n’est pas plat et quea(x) désigne l’altitude du fond (à une constanteadditive près), ce système devient :

∂th+divxhu= 0,

∂thu+divx(hu⊗u)+ ∇x(gh2/2) = −gh∇xa.

On peut vérifier dans le cas de solutions régulières queu ≡ 0 et h+ a = Cte est unesolution (stationnaire) de ce système.[EX]

1.2.6 Et encore d’autres modèles

Il existe de nombreux autres modèles hyperboliques, intervenant dans des domainestrès variés : électromagnétisme, écoulements diphasiques, trafic routier, finances... Ilpeuvent prendre des formes très diverses et l’étude proposée dans ce cours ne prétendpas s’appliquer à tous ces modèles. Néanmoins, elle permettra de comprendre les dif-ficultés associées à ce type de problèmes et on essaiera de donner quelques pistes pouraborder les cas n’entrant pas de le cadre classique de ce cours.

1.3 Quelques outils d’analyse fonctionnelle

Avant de poursuivre pour aborder l’analyse et l’approximation des EDP hyperbo-liques, nous allons faire quelques rappels d’analyse fonctionnelle et faire un panel desoutils qui nous seront nécessaires plus tard. Les définitions qui suivent risquent parfoisd’être imprécises pour alléger les notations, bien que sansambiguïté (il suffira de vousréférer aux ouvrages classiques d’analyse fonctionnelle pour obtenir des formulationsplus détaillées).

1.3.1 Espaces de Lebesgue

Soit E un espace muni de la mesure de Lebesgue etf une fonction définie deEdansR mesurable.

On définit la norme pour 16 p < +∞ suivante :

‖ f‖p =

(

∫

E| f |p dx

) 1p

et on dit quef ∈ L p(E) si ‖ f‖p < +∞ (on travaille en fait modulo l’égalité presquepartout).

On définit la norme suivante :

‖ f‖∞ = infC∈ R+; | f | < C p.p.

et on dit quef ∈ L∞(E) si ‖ f‖∞ < +∞ (on travaille là aussi modulo l’égalité presquepartout).

Tous ces espaces sont des espaces de Banach, c’est-à-dire des espaces vectorielsnormés complets. Rappelons aussi le résultat classique suivant :

Théorème 1.1(Convergence dominée). Soit16 p< +∞ et une suite( fn)n∈N ⊂ L p(E)telle que

– fn → f p.p.,

8

– il existe F∈ L p(E) tel que| fn| 6 F p.p. pour tout n∈ N,alors fn converge vers f dansL p(E) quand n→ ∞.

Ce résultat n’est pas vérifié pourL∞ (prendre la suite définie par la fonction ca-ractéristique de l’intervalle[0,1/n]). On pourra néanmoins utiliser ce résultat car ontravaillera avec des fonctions deL∞ maisau sens des distributions, donc localementdansL1.

1.3.2 Distributions

Soit Ω un ouvert deRn. On définit tout d’abord l’espace des fonctions régulières àsupport compact :

C∞c (Ω) = ϕ ∈ C

∞(Ω) t.q. suppϕ compact, (1.7)

oùsuppϕ = x∈ Ω t.q.ϕ(x) = 0.

Une distribution est une forme linéaire continue surC ∞c (Ω). On notera l’ensemble des

distributionsD ′(Ω) (car c’est le dual topologique deD(Ω) ≡ C ∞c (Ω)).

Si T ∈ D ′(Ω), alors on note, pour toutϕ ∈ C ∞c (Ω), T(ϕ) = 〈T,ϕ〉. On peut alors

définir une distribution par l’ensemble des valeurs de〈T,ϕ〉, pour toutϕ ∈ C ∞c (Ω).

Exemple1. - Si f ∈ L1loc(Ω), c’est-à-dire quef est localement intégrable, alors on peut

définir la distribution associéeTf (ϕ) par

〈Tf ,ϕ〉 =

∫

Ωf (x)ϕ(x) dx, ∀ϕ ∈ C

∞c (Ω).

On peut alors identifier directementf et sa distribution.- La masse (ou distribution, ou mesure) de Diracδ0 est l’application qui àϕ ∈ C ∞

c (Ω)associeϕ(0), donc〈δ0,ϕ〉 = ϕ(0).- À la fonction d’HeavysideH (qui est la fonction caractéristique deR+), on associe

〈H,ϕ〉 =

∫

R+ϕ(x) dx, ∀ϕ ∈ C

∞c (Ω).

Si Ω est un ouvert deR, on définit la dérivéeT ′ ∈ D ′(Ω) d’une distributionT ∈C ∞

c (Ω) par〈T ′,ϕ〉 = −〈T,ϕ ′〉, ∀ϕ ∈ C

∞c (Ω). (1.8)

Si la distribution est associée à une fonction dérivable et localement intégrable, alorsla formule (1.8) est directement donnée par intégration par parties, les termes de bordsdisparaissant puisqueϕ est à support compact dansΩ.

Dans le casΩ ⊂ Rn, on en déduit la formule suivante

〈divT,ϕ〉 = −〈T,∇ϕ〉, ∀ϕ ∈ C∞c (Ω). (1.9)

On peut noter qu’une distribution est infiniment dérivable.Rappelons pour mémoire etcomparaison la formule de Green (ou son application) :

Proposition 1.2. Soit un ouvert régulierΩ ⊂ Rn. Alors pour tout u∈ C 1(Ω;Rn) etv∈ C 1(Ω;R) :

∫

Ωu ·∇v dx=

∫

∂Ωv u·n dγ −

∫

Ωdivu v dx

9

Exemple2. - La dérivée de la masse de Dirac est donnée par

〈δ ′0,ϕ〉 = −〈δ,ϕ ′〉 = −ϕ ′(0).

- La dérivée de la fonction d’Heavyside est alors

〈H ′,ϕ〉 = −〈H,ϕ ′〉 = −∫

R+ϕ ′(x) dx= ϕ(0) = 〈δ0,ϕ〉.

La dérivée au sens des distributions de la fonction d’Heavyside est donc la masse deDirac.

1.3.3 Fonctions à variations bornées

On va vouloir travailler (dans le cas non linéaire) dansL∞ pour pouvoir traiter lecas de fonctions constantes, qui sont des solutions naturelles de (1.6). Néanmoins, onn’a que très peu d’information sur les suites bornées dansL∞. On va donc utiliser enplus les fonctions à variation bornée.

On définit la variation totale d’une fonctionf ∈ L1loc(Ω), oùΩ ⊂ Rn, par

TV( f ) = sup

∫

R

f (x)divϕ(x) dx,ϕ ∈ C∞c (Ω),‖ϕ‖∞ 6 1

. (1.10)

Ainsi, on peut définir l’espace des fonctions à variation bornée :

BV(Ω) = f ∈ L1loc(Ω),TV( f ) < +∞ (1.11)

et on définit alors la semi-norme associée| f |BV = TV( f ).

Remarque2. Si Ω ⊂ R, on a la définition alternative suivante :

TV( f ) = sup

N

∑i=1

| f (xi)− f (xi−1)|,−∞ < x1 < x2 < ... < xN < +∞,N ∈ N

.

Ainsi, si on considère une suite strictement croissante réelle (xi+1/2)i∈Z et une suiteréelle( fi)i∈Z et que l’on définit la fonction étagéef par

f (x) = ∑i∈Z

fi1(xi−1/2,xi+1/2)(x),

alors on a| f |BV = ∑

i∈Z

| fi+1− fi |.

Enfin, on peut montrer que siΩ⊂R, alors BV⊂ L∞ (mais on utilise souvent la notationL∞ ∩BV pour préciser que la norme utilisée est‖ f‖ = ‖ f‖∞ + | f |BV).

Enfin, citons le théorème de Helly :

Théorème 1.3.SoitΩ un ouvert deRn. Soit une suite( fn)n de fonctionL1loc(Ω) telle

qu’il existe deux constantes C1 et C2 vérifiant pour tout n

‖ fn‖∞ 6 C1 et | fn|BV(Ω) 6 C2.

Alors, il existe une sous-suite de( fn)n qui converge vers une fonction f∈ L1loc(Ω) dans

L1loc(Ω). La limite f vérifie en outre

‖ f‖∞ 6 C1 et | f |BV(Ω) 6 C2.

10

1.3.4 Transformée de Fourier

On définit la transformée de Fourier d’une fonctionu∈ L1(Rd)∩L2(Rd) par

Fu(ξ ) =1

(2π)d/2

∫

Rde−ix·ξ u(x) dx, ξ ∈ R

d.

On rappelle la formule de dérivation

iξ jFu(ξ ) = F (∂xj u)(ξ ), ξ ∈ Rd,

et le théorème de Plancherel :‖u‖2 = ‖Fu‖2.

1.4 Avertissement

La théorie des EDP hyperboliques est loin d’être totalementdéveloppée à l’heureactuelle. Dans le cas des équations scalaires, les résultats d’existence, d’unicité et deconvergence des méthodes de volumes finis sont acquis depuisles années 70 et 80,même en dimension d’espace supérieure à 1. Concernant les systèmes, les résultatssont très partiels. À part pour des systèmes ayant une structure particulière, les résul-tats d’existence et d’unicité ne sont valables que pour des données (et des solutions)vivant dans un voisinage d’un état constant, en une dimension d’espace. La conver-gence des méthodes de volumes finis reste à l’heure actuelle un problème ouvert... cequi n’empêche pas d’en proposer et de les étudier !

11

Chapitre 2

Équations hyperboliqueslinéaires

On étudie dans ce chapitre le cas linéaire. Il correspond au cas le plus simple deséquations hyperboliques et permet souvent d’accéder à des formules de représentationdes solutions explicites (comme dans le cas de l’équation detransport). La compré-hension de ces équations est très avancée, mais elles interviennent souvent de manièrecouplée à d’autres phénomènes, ce qui rend cette fois leur analyse et leur approxima-tion bien plus difficile.

2.1 Équation de transport

On considère l’équation de transport scalaire suivante :

∂tu+a(t,x) ·∇u= 0, t > 0, x∈ Rd,

u(0,x) = u0(x), x∈ Rd,(2.1)

oùa est une fonction définie deR+ ×Rd dansRd et u0 est la donnée initiale, allant deRd dansR. On cherche donc une fonctionu définie deR+×R dansR.

Comme dans l’exemple de l’introduction, nous allons définirdans tous les cas lestrajectoires suivies par par les particules formant la densité u, comme dans (1.3). Ainsi,on va être amené à introduire la notion decourbes caractéristiques, c’est-à-dire decourbes dans le plan(x, t) le long desquelles la solutionu de (2.1) reste constante.

2.1.1 Cas unidimensionnel à coefficient constant

Supposons qued = 1 et quea soit une constante réelle :

∂tu+a ∂xu = 0, t > 0, x∈ R,

u(0,x) = u0(x), x∈ R.(2.2)

Définissons les courbes caractéristiques associée à ce problème :

12

Définition 2.1. Les (courbes) caractéristiques de l’équation (2.2) sont les solutions del’équation différentielle

X′(t;X0) = a, t > 0,

X(0;X0) = X0,(2.3)

oùX0 ∈ R. (La dérivée est en fonction de la première variable.)

On a immédiatement queX(t;x) = x+at.Ces courbes nous permettent de décrire avec précision les solutions de (2.2) :

Théorème 2.2. Supposons que u0 ∈ C 1(R) dans (2.2). Alors, il existe une uniquesolution u∈ C 1(R+ ×R) de(2.2). Elle vérifie

∀t > 0,∀x∈ R, u(t,X(t;x)) = u0(X(0;x)), (2.4)

où X est solution de(2.3). Autrement dit

u(t,x) = u0(x−at).

On voit donc que la solution est constante le long d’une caractéristique donnée.

Démonstration.Puisqu’on est dans le cas régulier, on a

dtu(t,X(t;x)) = ∂tu+X′(t;x)∂xu.

Si X′(t;x) = a, on obtient l’équivalence

dtu(t,X(t;x)) = 0⇐⇒ ∂tu+X′(t;x)∂xu = 0,

dont on déduit (2.4). L’unicité de la solution se déduit immédiatement puisquel’on aéquivalence.

La régularité de la solution est la même que la donnée initiale, puisque la premièreest la translatée de la dernière. On peut s’attendre à avoir le même comportement mêmesi la donnée initiale est peu régulière. Néanmoins, l’équation (2.2) ne peut plus êtrecomprise au sens classique. On fait alors appel à la théorie des distributions pour définirles dérivées partielles :

Définition 2.3. Soitu0 ∈ L∞(R). Une fonctionu∈ L∞(R+×R) est une solution faibledu problème (2.2) si elle vérifie pour toutϕ ∈ C ∞

c (R+×R)

∫

R+

∫

R

u(t,x)(

∂tϕ(t,x)+a∂xϕ(t,x))

dx dt+∫

R

u0(x)ϕ(0,x) dx= 0. (2.5)

On a choisi de se placer dans le cadreL∞, mais on aurait pu se placer dans descadres plus faibles, commeL1

loc par exemple, l’important étant que l’équation (2.5) aittoujours un sens.

Remarque3. On a quelques indices de la validité de cette notion de solution :– Si u0 est régulière, alors la solution définie par (2.4) est bien une solution faible.

Pour s’en convaincre, il suffit de reprendre (2.5) et par intégration par partie, onretombe bien sur (2.2). [EX]

– Si on suppose maintenant queu0(x) = H(x) où H est la fonction d’Heavyside,alorsu(t,x) = H(x−at) est une solution faible de (2.2). [EX]

On a même mieux que des indices, on a un résultat analogue au théorème2.2:

13

Théorème 2.4.Supposons que u0 ∈ L∞(R). Alors il existe une unique solution faibleu∈ L∞(R+ ×R)) de(2.2). Elle vérifie

pour presque tout t> 0,x∈ R, u(t,X(t;x)) = u0(X(0;x)), (2.6)

Démonstration.Vérifions d’abord l’existence. Pour cela, nous montrons quela fonc-tion définie par (2.6) est bien une solution faible de (2.2) :

∫

R+

∫

R

u(t,x)(

∂tϕ(t,x)+a∂xϕ(t,x))

dx dt

=

∫

R+

∫

R

u0(x−at)(

∂tϕ(t,x)+a∂xϕ(t,x))

dx dt

=∫

R+

∫

R

u0(y)(

∂tϕ(t,y+at)+a∂xϕ(t,y+at))

dy dt

Soit ψ(t,y) = ϕ(t,y+ at). Comme∂tψ(t,y) = ∂tϕ(t,y+ at)+ a∂xϕ(t,y+ at), on ob-tient

∫

R+

∫

R

u(t,x)(

∂tϕ(t,x)+a∂xϕ(t,x))

dx dt

=

∫

R+

∫

R

u0(y)∂tψ(t,y) dy dt=∫

R

u0(y)∫

R+∂tψ(t,y) dt dy

=∫

R

u0(y)ψ(0,y) dy=∫

R

u0(x)ϕ(0,x) dx.

Montrons maintenant l’unicité de la solution. Pour cela, onconsidère deux solutionsfaibles,v et w, associées à la même donnée initialeu0. Si on noteu = v−w, alors ellevérifie

∫

R+

∫

R

u(t,x)(

∂tϕ(t,x)+a∂xϕ(t,x))

dx dt= 0.

Montrons que cette équation entraîne queu est nulle presque partout. Pour cela, il suffitde montrer que toute fonctionψ ∈ C ∞

0 (R+×R), il existeϕ ∈ C ∞0 (R+×R) telle que

ψ = ∂tϕ +a∂xϕ . (2.7)

Si

ϕ(t,x) = −∫ +∞

tψ(s,x+a(s− t)) ds, (2.8)

on peut montrer que (2.7) est bien vérifiée à l’aide du lemme suivant :

Lemme 2.5. Soit f : R → R et g: R2 → R deux fonctions régulières. Alors ([EX] )

f (t) =

∫ t

Tg(s, t) ds=⇒ f ′(t) = g(t,t)+

∫ t

T∂tg(s,t) ds.

Par ailleurs, on voit aisément queϕ ∈C ∞c (R+R). De plus, l’ensemble des fonctions

ϕ ∈ C ∞c (R+R) pouvant s’écrire à l’aide de (2.8) est suffisant ([EX] ) pour montrer que

si∫

R+

∫

R

u(t,x)ψ(t,x) dx dt= 0,

alorsu = 0 presque partout surR+ ×R. On a donc unicité de la solution faible de(2.2).

14

Donc dans le cas non régulier, on a aussi le phénomène de transport qui est vérifié.De plus, l’opérateurS(t) qui àu0 associeu(t, .) est un semi-groupe deL∞(R), au sensoù

– S(0) = Id,– S(t +s) = S(t)S(s).

La notion de semi-groupe est très importante, la plupart deséquations hyperboliques lavérifiant.

2.1.2 Cas multidimensionnel à coefficient variable

Revenons maintenant au cas (2.1). On peut à nouveau définir les caractéristiques :

Définition 2.6. Les (courbes) caractéristiques de l’équation (2.1) sont les solutions dusystème différentiel

X′(t;X0) = a(t,X(t;X0)), t > 0,

X(0;X0) = X0,(2.9)

oùX0 ∈ Rd. (La dérivée est en fonction de la première variable.)

Cette fois, ce système n’admet pas forcément une et une seulesolution. Pour remé-dier à cela, on demande au champ de vitessea de vérifier les hypothèses du théorèmede Cauchy-Lipschitz et on a alors un résultat analogue au théorème2.2:

Théorème 2.7.Supposons que u0 ∈ C 1(Rd) dans(2.1) et que a∈ C 0(R+ ×Rd) soit

lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable. Alors, il existe une unique solutionu∈ C 1(R+ ×Rd) de(2.1). Elle vérifie

∀t > 0,∀x∈ R, u(t,X(t;x)) = u0(X(0;x)), (2.10)

où X est solution de(2.9).

La démonstration est identique à celle du théorème2.2.On voit que la notion de translation a disparu, mais on a cependant quelques pro-

priétés :

Corollaire 2.8. Sous les hypothèses du théorème2.7, la solution vérifie les propriétéssuivantes :[EX]

– la solution au point(t,x) ne dépend que deu0(y) où |x−y|6 ‖a‖∞t (propagationde l’information à vitesse finie),

– infu0 6 u(t,x) 6 supu0 pour toutt > 0 etx∈ Rd (principe du maximum),– siu0(x) 6 v0(x) pour toutx∈ R

d, alorsu(t,x) 6 v(t,x) pour toutt > 0 etx∈ Rd,

u et v étant les solutions de (2.1) avec pour données initiales respectivesu0 et v0

(principe de monotonie).

Concernant le cas des solutions faibles, la tâche s’avère maintenant un peu plusardue (principalement pour trouver l’analogue de (2.8)), nous ne l’aborderons doncpas ici.

2.2 Systèmes hyperboliques linéaires

On s’intéresse maintenant au cas des systèmes hyperboliques linéaires, à coeffi-cients constants. Un point clé est la notion d’hyperbolicité, permettant d’assurer lastabilité des solutions.

15

2.2.1 Cas unidimensionnel

On se concentre sur le problème de Cauchy suivant :

∂tu+A ∂xu = 0, t > 0, x∈ R,

u(0,x) = u0(x), x∈ R,(2.11)

où u est à valeurs dansRN et A une matrice carrée de dimensionN à coefficientsconstants.

Pour étudier ce système, on va supposer que la matriceA est diagonalisable :

Définition 2.9. On dit que le système (2.11) est hyperbolique siA est diagonalisabledansR.

On dit que le système (2.11) est strictement hyperbolique siA est diagonalisabledansR et si ses valeurs propres sont distinctes.

Si le système est hyperbolique, alors il existe une matrice inversibleP telle queA = PΛP−1 où Λ est la matrice des valeurs propres deA. Si on multiplie le système(2.11) parP−1 et si on définitv = P−1u, on obtient

∂tv+ Λ∂xv = 0,

qui est un système deN équations de transport découplées. On peut donc résoudreexplicitement le système :

u(t,x) = Pv(t,x) = P

v(1)0 (x−λ1t)

...

v(N)0 (x−λNt)

(2.12)

oùv0 = P−1u0. On a donc le résultat suivant :

Théorème 2.10.Le problème de Cauchy(2.11) admet une et une seule solution, don-née par la formule explicite(2.12), qui devient sous forme condensée

u(t,x) =N

∑i=1

(l i ·u0(x−λit)) r i (2.13)

où (l i)16i6N et (r i)16i6N sont les vecteurs propres (normalisés) à gauche et à droite dela matrice A.

Les calculs permettant d’obtenir (2.12) étant linéaires, le théorème est valable aussibien pour les solutions régulières que pour les solutions faibles.

2.2.2 Cas multidimensionnel

On regarde maintenant le problème :

∂tu+d

∑i=1

Ai ∂xi u = 0, t > 0, x∈ Rd,

u(0,x) = u0(x), x∈ Rd,

(2.14)

16

oùu est toujours à valeurs dansRN et les matricesAi sont carrées et de dimensionN. Engénéral, les matricesAi ne sont pas diagonalisable (si elle le sont) dans la même base.On est alors contraint de se restreindre à une étude du système le long d’une directiondonnée.

Soitw∈ Sd−1. On considère des solutions le long de la directionw, appelées ondesplanes, définies par la forme suivante :

u(t,x) = v(σ(t,y)), oùy = x ·w,

v étant une fonction régulière définie deR dansRd non constante (sinon, ça n’a pasvraiment d’intérêt !) etσ de R+ ×R dansR. On en déduit, en supposant queσ estrégulière, que

∂tσ +d

∑i=1

wi Ai ∂yσ = 0,

qui est une équation de transport dans la directionw. On note maintenantA(w) =

∑di=1wi Ai et on en déduit les définitions suivantes :

Définition 2.11. On dit que le système (2.14) est hyperbolique si∀w∈ Sd−1, la matriceA(w) est diagonalisable dansR.

On dit que le système (2.14) est strictement hyperbolique si∀w∈ Sd−1, la matriceA(w) est diagonalisable dansR et si ses valeurs propres sont distinctes.

On dit que le système (2.11) est symétrisable si il existe une matrice symétriquedéfinie positiveB telle que∀w∈ Sd−1, la matriceC(w) = BA(w) soit symétrique.

On peut remarquer qu’un système symétrisable est hyperbolique. En effet, notonsR la matrice symétrique définie positive telle queR2 = B−1, ce qui donne

A(w) = B−1C(w) = R2C(w) = R(RC(w)R)R−1.

Or, la matriceRC(w)R est symétrique pour toutw puisqueC(w) est symétrique, doncdiagonalisable dansR :

A(w) = R(O(w)Λ(w)O(w)T )R−1 = P(w)Λ(w)P(w)−1,

oùP(w) = RO(w). DoncA(w) est bien diagonalisable pour toutw.

Remarque4. Si d = 1, la réciproque est vraie : un système hyperbolique est symétri-sable (il suffit de prendreB = (P−1)TP−1 où P est la matrices des vecteurs propres àdroite deA). [EX]

On se place maintenant dans un cadre nous permettant d’utiliser la transforméede Fourier (disonsL1 ∩ L2, mais on pourrait aussi regarder le cas des distributionstempérées). On peut alors énoncer le résultat suivant :

Théorème 2.12.Si le système(2.14) est hyperbolique, alors il existe une constanteC > 0 telle que

‖u(t, .)‖2 6 C0‖u0‖2, ∀t > 0. (2.15)

Si le système(2.14) est symétrisable, alors

‖R−1u(t, .)‖2 = ‖R−1u0‖2, ∀t > 0. (2.16)

Dans les deux cas, le problème de Cauchy(2.14) admet une et une seule solution.

17

Démonstration.Le système (2.14) devient après la transformation de Fourier :

∂tFu(t,ξ )+ id

∑j=1

ξ j A j Fu(t,ξ ) = 0,

c’est-à-dire∂tFu(t,ξ )+ iA(ξ ) Fu(t,ξ ) = 0.

Ainsi, si on muni ce système de la donnée initiale de (2.14), on obtient

Fu(t,ξ ) = e−itA(ξ )Fu0(ξ ).

Si (2.14) est hyperbolique, alors

Fu(t,ξ ) = P(ξ )e−itΛ(ξ )P−1(ξ )Fu0(ξ ), (2.17)

et‖e−itΛ(ξ )‖2 6 1

puisque les valeurs propres deA(ξ ) sont réelles. On en déduit le caractère bien poséet l’inégalité (2.15), avecC0 = supξ ‖P−1(ξ )‖‖P(ξ )‖ (C0 est bien fini, mais on ne lemontrera pas ici). Il reste à vérifier (2.16). Pour cela, on utilise

∂tR−1

Fu(t,ξ ) = −iR−1A(ξ )Fu(t,ξ ) = −i(RC(ξ )R)R−1Fu(t,ξ ).

De plus, siz(t) ∈ CN, on adt |z|2 = 2 ℜ〈z | ∂tz〉CN , donc

∂t |R−1Fu(t,ξ )|2 = −2 ℜ

⟨

R−1Fu | i(RC(ξ )R)R−1

Fu⟩

CN

= −2 ℜ⟨

R−1Fu | iO(ξ )Λ(ξ )O(ξ )TR−1

Fu⟩

= −2 ℜ⟨

O(ξ )TR−1Fu | i Λ(ξ ) O(ξ )TR−1

Fu⟩

= 0.

On en déduit donc (2.16).Le résultat d’existence est obtenu à partir de la formule (2.17), qui permet de véri-

fier que

u(t,x) = F−1

(

P(ξ )e−itΛ(ξ )P−1(ξ )Fu0(ξ ))

,

est une solution de (2.14) et le résultat d’unicité vient du fait que siu0 ≡ 0, alorsu≡ 0,grâce à (2.15).

2.3 Conditions aux limites

On présente ici de manière succincte la notion de condition aux limites de typeDirichlet pour les équations de transport unidimensionnelles à coefficient constant.

Considérons le problème mixte suivant :

∂tu+a∂xu = 0, t > 0, x > 0,

u(0,x) = u0(x), x > 0,

u(t,0) = u1(t), t > 0,

(2.18)

où u0 et u1 sont données. En fait, suivant le signe de la vitessea, le problème est trèsdifférent.

18

2.3.1 Cas d’une vitesse positive

On suppose ici quea > 0. On sait par l’utilisation des courbes caractéristiques quela solutionu vérifie

u(t,x) = u(t −α,x−aα).

On déduit donc la formule explicite suivante :

u(t,x) =

u0(x−at) si x−at > 0,

u1(t −x/a) si x−at < 0.(2.19)

2.3.2 Cas d’une vitesse négative

On regarde maintenant le casa < 0. Dans ce cas, on a toujours la formule

u(t,x) = u(t −α,x−aα)

obtenue à l’aide des courbes caractéristiques. Il y a néanmoins une ambiguïté : pourt > 0 etx > 0, en prenant successivementα = t et α = x/a on obtient simultanément

u(t,x) = u0(x−at) et u(t,x) = u1(t −x/a),

ce qui est p priori contradictoire ! Étant donné que l’on regarde des problèmes d’évo-lution, on privilégie la donnée initiale à la donné au bord. La solution retenue est donc

u(t,x) = u0(x−at). (2.20)

On voit donc que la condition au bord n’est pas du tout prise encompte : la solutionest totalement indépendante deu1.

19

Chapitre 3

Lois de conservation

Dans la partie précédente, nous avons distingué deux cas : solutions régulières etsolutions faibles. On va voir que ce n’est plus pertinent dans le cas non linéaire, il fautse placer dans le cadre des solutions faibles quelle que soitla régularité de la donnéeinitiale. Malheureusement, ce cadre est trop large et ne garantit pas l’unicité, on doitfaire appel à d’autres critères pour aboutir à des problèmesde Cauchy bien posés.

On considère la loi de conservation scalaire unidimensionnelle :

∂tu+ ∂x f (u) = 0, t > 0, x∈ R,

u(0,x) = u0(x), x∈ R,(3.1)

où la fonctionf ∈ C 2(R;R) est généralement appelé flux. En effet, si on intègre cetteéquation sur un intervalle[x0,x1], on obtient

dt

∫ x1

x0

u(t,x) = f (u(t,x0))− f (u(t,x1))

ce qui signifie que l’évolution de la masse totale dans l’intervalle[x0,x1] est entièrementdéterminée par les flux aux bords de cet intervalle. Autrement dit, on a conservation dela masse.

On se restreint volontairement au cas unidimensionnel, bien que l’analyse du pro-blème de Cauchy est aussi valable dans le cas multidimensionnel.

3.1 Solutions régulières, ou pas

On peut définir les courbes caractéristiques associées à (3.1) comme les trajectoiresdes solutions de l’équation différentielle :

X′(t;X0) = f ′(u(t,X(t;X0))), t > 0,

X(0;X0) = X0.(3.2)

Ce problème est bien posé si les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz sontvérifiées. La difficulté provient du fait que les caractéristiques dépendent deu, dont onne connaît pasa priori la régularité. On a cependant le résultat suivant :

20

Proposition 3.1. Supposons que la donnée initiale est régulière. Alors, pourdes tempssuffisamment petits, Le problème(3.1) admet une et une seule solution régulière, définiepar

∀x∈ R, u(t,X(t;x)) = u0(X(0;x)),

où X est solution de(3.2). Autrement dit

u(t,x+ t f ′(u0(x))) = u0(x).

Ce résultat n’est valable qu’en temps petit. En effet, il se peut que des caractéris-tiques viennent à se croiser, ce qui pose un problème de définition de la solution aupoint d’intersection :

Proposition 3.2. Si il existe x0 < x1 telles que f′(u0(x0)) > f ′(u0(x1)), alors la solutionrégulière définie dans la proposition précédente n’est pas globale. Plus précisément,le temps maximal d’existence de cette solution régulière est

Tinf = infx0<x1

x1−x0

( f ′(u0(x0))− f ′(u0(x1)))+

où (.)+ = max(0, .).

Pour s’en convaincre, un petit dessin faut mieux qu’un long discours...

Exemple3. Considérons un modèle pour l’évolution d’une densitéu de personnes cou-rant vers la droite dans un couloir, en cas d’urgence. Le flux associé à cette équations’écrit f (u) = Au(U −u) oùU > 0 est la densité maximale (doncu0 est à valeurs dans[0,U ]) et AU la vitesse maximale d’une personne qui court. Si la densité initiale u0

est croissante par rapport àx, la population à gauche étant moins dense qu’à droite,les personnes la composant rattrapent celles situées devant elles et doivent ralentir : ladérivée par rapport àx de la densité augmente avec le tempst.

Exemple4. L’équation de Burgers s’écrit

∂tu+ ∂x(u2/2) = 0,

et peut se comprendre comme la description de l’évolution dela surface d’une vague.Plus la surface est élevée, plus elle va vite.

3.2 Solutions faibles

Pour pouvoir continuer d’étudier les solutions de (3.1) au-delà deTinf, il est néces-saire de considérer des solutions faibles, même si la donnéeinitiale est régulière :

Définition 3.3. Soit u0 ∈ L∞(R). On appelle solution faible de (3.1) une fonctionu∈L∞(R+ ×R) vérifiant pour toutϕ ∈ C ∞

c (R+×R)

∫

R+

∫

R

(

u(t,x)∂tϕ(t,x)+ f (u(t,x))∂xϕ(t,x))

dx dt+∫

R

u0(x)ϕ(0,x) dx= 0. (3.3)

Comme toujours, une solution classique de (3.1) est aussi solution faible (il suffitd’intégrer par parties (3.3)).

Étudions les conditions que doivent vérifier les discontinuités des solutions faibles :

21

Proposition 3.4. Soit la courbeΓ = (t,x) ∈ R+×R,x= σ(t) oùσ ∈ C 1(R+), cou-pant un ouvertΩ ⊂ R+ ×R et soientΩ− = (t,x) ∈ Ω,x < Γ(t) et Ω+ = (t,x) ∈Ω,x > Γ(t). On considère une fonction u∈ C 1(Ω−)∩C 1(Ω+). Alors u est une solu-tion faible de(3.1) sur Ω si et seulement si

−σ ′(U+ −U−)+ ( f (U+)− f (U−)) = 0, (3.4)

où U±(t) = u(t,σ(t)±) sont les limites de u de part et d’autre de la courbeΓ et u estune solution classique de(5.1) sur Ω \Γ. On appelle l’équation(3.4) la relation desaut de Rankine-Hugoniot.

Démonstration.Prenons une fonction testϕ dont le support est strictement inclus dansΩ. Alors, la formulation faible (3.3) devient

∫

Ω(u∂t + f (u)∂x)ϕdt dx=

∫

Ω−(u∂t + f (u)∂x) ϕdt dx+

∫

Ω+

(u∂t + f (u)∂x) ϕdt dx,

=

∫

Ω−

(

uf (u)

)

·∇t,xϕ dt dx+∫

Ω+

(

uf (u)

)

·∇t,xϕ dt dx,

=

∫

Ω∩Γ

(

uf (u)

)

·n− ϕ dγ +

∫

Ω∩Γ

(

uf (u)

)

·n+ ϕ dγ

−∫

Ω\Γ(∂tu+ ∂x f (u))ϕ dt dx.

Or, les normales vérifient

n−(s) = −n+(s) = K0

(

−σ ′(s)1

)

,

oùK0 est un facteur de normalisation. On obtient alors∫

Ω(u∂t + f (u)∂x)ϕdt dx= K0

∫

Ω∩Γ(−σ ′(s)(U−(s)−U+(s))

+( f (U−(s))− f (U+))) ϕ dγ

−∫

Ω\Γ(∂tu+ ∂x f (u)) ϕ dt dx,

ce qui conclut la démonstration.

3.3 Problème de Riemann

Une propriété importante des EDP hyperboliques est le caractère auto-similaire dessolutions :

Proposition 3.5. Soit u0 une fonction telle que

∀λ > 0, x∈ R, u0(λx) = u0(x).

Alors il existe u solution faible du problème de Cauchy(3.1) avec une telle donnéeinitiale telle que

∀λ > 0, x∈ R, t > 0, u(λ t,λx) = u(t,x).

On peut alors définir une fonction v∈ L∞(R;R) telle que

∀λ > 0, x∈ R, t > 0, v(x/t) = u(t,x).

22

Démonstration.Celle-ci est immédiate, en utilisant la proposition précédente et le faitque les courbes de discontinuité sont des droites.

Les données initiales vérifiant la propriété d’auto-similarité sont de la forme

u0(x) =

uL, si x < 0,

uR, si x > 0,(3.5)

où uL et uR sont deux états constants et le problème de Cauchy (3.1)-(3.5) s’appelleproblème de Riemann. On va en étudier les solutions faibles.

Proposition 3.6. Le problème de Riemann(3.1)-(3.5) admet pour solution (onde dechoc)

u(t,x) =

uL, si x/t < s,

uR, si x/t > s,(3.6)

où s= ( f (uR)− f (uL))/(uR−uL).Si le flux f est strictement convexe (respectivement concave) et si f′(uL) < f ′(uR)

(resp. f′(uL) < f ′(uR)) alors, le problème de Riemann(3.1)-(3.5) admet aussi poursolution (onde de détente)

u(t,x) =

uL, si x/t < f ′(uL),

( f ′)−1(x/t), si f ′(uL) < x/t < f ′(uR),

uR, si x/t > f ′(uR).

(3.7)

Cette solution est continue dès que t> 0.

Démonstration.On vérifie aisément que la solution composée d’une onde de choc vé-rifie la relation de Rankine-Hugoniot (3.4). Pour l’onde de détente, il suffit de chercherles solutions auto-similaires régulières du problème de Riemann. Notonsξ = x/t etv(x/t) = u(t,x). La loi de conservation (3.1) devient alors

− xt2v′(ξ )+

1t

f ′(v(ξ )) v′(ξ ) = 0 =⇒ ( f ′(v(ξ ))− ξ ) v′(ξ ) = 0.

On en déduit que la solution composée d’une onde de détente (3.7) est une solutionrégulière par morceaux de (3.1) et globalement continue, elle est donc solution faible.[EX]

Remarque5. Dans le cas d’un flux strictement convexe ou strictement concave, leproblème de Riemann peut admettre des solutions composées de plusieurs ondes dechoc mais pas de plusieurs ondes de détente. Elle peut de mêmeêtre composée d’uneou plusieurs ondes de choc et d’une onde de détente.[EX]

Les solutions présentées ci-dessus ne sont pas les seules. On ne montrera pas l’uni-cité pour le problème de Riemann, on montrera seulement que la solution (3.6) n’estpas toujours admissible. L’unicité pour le problème de Riemann sera simplement dé-duite de l’unicité pour le problème de de Cauchy.

23

3.4 Entropie et unicité

On va maintenant introduire la notion d’entropie, qui permet de définir des solu-tions admissibles et obtenir l’unicité. On verra dans le casdes systèmes hyperboliquesle lien avec l’entropie physique.

Définition 3.7. On dit que(η ,F) est un couple entropie-flux d’entropie pour (3.1) siη ∈ C 1(R;R) est une fonction convexe et siF ′ = η ′ f ′.

Dans le cas de solutions régulières de (3.1), on a alors que

∂tη(u)+ ∂xF(u) = 0.

Cette équation n’est plus vérifiée en présence de discontinuités.

Définition 3.8. Soit u0 ∈ L∞(R). On appelle solution faible entropique de (3.1) unefonctionu∈ L∞(R+ ×R) vérifiant pour tout couple entropie-flux d’entropie(η ,F) etpour toutϕ ∈ C ∞

c (R+ ×R) positif

∫

R+

∫

R

(

η(u)(t,x)∂t ϕ(t,x)+F(u)(t,x)∂xϕ(t,x))

dx dt

+∫

R

η(u0)(x)ϕ(0,x) dx> 0. (3.8)

L’inégalité (3.8) est simplement la forme au sens des distributions de

∂tη(u)+ ∂xF(u) 6 0.

Proposition 3.9. Une solution faible entropique est une solution faible.

Démonstration.La démonstration est directe, en prenant dans (3.8) η(u) = ±u etF(u) = ± f (u).

Regardons maintenant ce que cela entraîne dans le cas d’une onde de choc :

Proposition 3.10. Les discontinuités des solutions faibles entropiques vérifient les re-lations de Rankine-Hugoniot(3.4) et l’inégalité

−σ ′(η(U+)−η(U−))+ (F(U+)−F(U−)) 6 0, (3.9)

pour tout couple entropie-flux d’entropie(η ,F), avec les notations de la proposition3.4.

Dans le cas d’un flux f strictement convexe ou concave, cela signifie que

f ′(U−) > σ ′ > f ′(U+). (3.10)

C’est le critère de Lax.Dans le cas d’un flux f quelconque, cela signifie que

σ ′ 6f (U)− f (U−)

U −U− , ∀U ∈ (U−⊥U+,U−⊤U+). (3.11)

C’est le critère (étendu) d’Oleinik.

Remarque6. En fait, on peut encore préciser ces critères :

24

– Dans le cas d’un flux convexe, une seule entropie strictement convexe suffit poursélectionner la solution entropique parmi les solutions faibles.[EX]

– Le premier critère (3.9) n’est pas exploitable en pratique. Dans le cas de la réso-lution du problème de Riemann, on utilise plutôt ses versions équivalentes (3.10)et (3.11).

– Bien sûr, (3.11) implique (3.10), mais la réciproque n’est pas vrai.[EX]– On peut en fait montrer que dans le cas de solutions régulières par morceaux, une

solution est entropique si et seulement si elle vérifie (3.11) le long des disconti-nuités et qu’elle est solution classique dans les zones de régularité, à la manièrede la proposition3.4.

Démonstration.La démonstration n’est pas évidente ; le plus simple est de larepousserà plut tard. En effet, la formulation basée sur les entropiesde Kruzhkov présentée dansla partie suivante permet une démonstration directe.

On peut maintenant sélectionner les solutions entropiquesparmi toutes les solutionsfaibles :

Théorème 3.11.Le problème de Riemann(3.1)-(3.5) admet une et une seule solutionauto-similaire. Dans le cas d’un flux strictement convexe (respectivement strictementconcave), cette solution est composée d’une onde de choc si f′(uL) > f ′(uR) (resp.f ′(uL) < f ′(uR)), d’une onde de détente sinon.

Démonstration.Dans le cas d’un flux strictement convexe ou concave, la démonstra-tion peut se faire directement par construction.[EX]

Le cas d’un flux non strictement convexe ou concave se traite àl’aide du

Lemme 3.12. La fonction v(ξ ), ξ ∈ R, est la solution entropique auto-similaire duproblème de Riemann(3.1)-(3.5) si et seulement si pour presque tout(ξL,ξR) ∈ R2, lafonction définie par

v(ξ ) =

v(ξL), si ξ < ξL,

v(ξ ), si ξL < ξ < ξR,

v(ξR), si ξ > ξR,

est la solution entropique du problème de Riemann(3.1)-(3.5) où la donnée initiale est

u0(x) =

v(ξL), si x< 0,

v(ξR), si x> 0.

Ce lemme est une propriété fondamentale des solutions de problèmes de Riemannet est assez naturel (on ne le démontrera pas).

Le passage au cas d’un flux quelconque utilise le résultat suivant : [EX]

Lemme 3.13. Considérons le problème de Riemann dans le cas d’un flux quelconque.Soit f défini ainsi : si uL < uR, f est l’enveloppe convexe de f entre uL et uR et siuL > uR, f est l’enveloppe concave du flux entre uR et uL. Alors la solution entropiquepour (3.1) est identique à la solution entropique de l’équation

∂tu+ ∂x f (u) = 0, (3.12)

avec la même donnée initiale.

25

Ce lemme n’est pas évident à démontrer, on ne donne ici que lesgrandes lignesde sa démonstration. Il faut se placer dans le plan(u, f (u)) et décomposer la solutionsuivant les intervalles pour lesquellesf et f coïncident ou pas pour les discontinuités.Ensuite, il faut noter que le critère d’Oleinik revient à considérer l’enveloppead hoclelong des discontinuités et utiliser le premier lemme.

L’unicité dans le cas d’un flux quelconque peut se faire par l’absurde, en montrantque la courbe paramétrée parξ décrite par la solution dans le plan(u, f (u)) doit êtreconvexe ou concave (selon le signe deuR− uL), sinon elle deviendrait une solutionmultivaluée.

On peut remarquer que ce dernier lemme donne une méthode constructive pourdéterminer la solution entropique du problème de Riemann dans le cas d’un flux quel-conque.

On verra par la suite que le problème de Cauchy admet lui aussiune unique so-lution, ce qui permettra d’enlever l’hypothèse d’auto-similarité de la solution du pro-blème de Riemann (c’est aussi pour cette raison que l’on ne détaille pas plus la dé-monstration de l’unicité).

3.5 Problème de Cauchy

Avant d’étudier complètement le problème de Cauchy (3.1), on va considérer l’ap-proximation visqueuse suivante :

∂tuε + ∂x f (uε) = ε∂ 2xxuε , (3.13)

où ε est une constante réelle positive. C’est une équation parabolique classique et onsupposera l’existence et l’unicité de la solution dans un cadre suffisamment régulier,disons les fonctions uniformément bornées et de classeC 2.

Reprenons un couple entropie-flux d’entropie(η ,F) avecη ∈ C 2 et multiplionsl’équation (3.13) parη ′(uε) :

η ′(uε)∂tuε + η ′(uε)∂x f (uε ) = εη ′(uε)∂ 2xxuε ,

⇐⇒ ∂tη(uε)+ ∂xF(uε) = ε∂ 2xxη(uε)−η ′′(uε)(∂xuε)

2,

=⇒ ∂tη(uε)+ ∂xF(uε) 6 ε∂ 2xxη(uε). (3.14)

On en déduit donc le résultat suivant :

Proposition 3.14. Si on suppose que uε converge fortement vers u∈ L∞(R+ ×R),alors u est une solution faible entropique de(3.1).

Démonstration.Il suffit d’écrire (3.14) au sens des distributions et d’intégrer par partie.Commeη(uε) est uniformément borné, le second membre tend vers 0, ce qui donne(3.8) dans le cas d’une entropie de classeC 2. Pour passer aux entropies de classeC 1, il suffit de définir une suite de fonctions convexesηn(u) = η(u) ⋆ (nρ(nu)) où ρest une fonction régulière positive à support compact. Le flux d’entropie associé estFn =

∫ s0 f ′(t)E′

n(t)dt et commeηn converge uniformément versη , il en est de mêmepourFn versF . On peut donc passer à la limite dans (3.8).

Les entropies au sens de la définition3.7 ne sont pas aisément utilisables. L’idéefondamentale de Kruzhkov a été d’utiliser les fonctions suivantes :

26

Définition 3.15. On dit que(ηκ ,Fκ) est un couple entropie-flux d’entropie de Kruzh-kov pour (3.1) si ηκ(u) = |u− κ | et si Fκ(u) = sgn(u− κ)( f (u)− f (κ)), où κ ∈ R

et

sgn(s) =

1, si s> 0,

0, si s= 0,

−1, si s< 0.

On peut utiliser une formulation uniquement basée sur les entropies de Kruzhkov(on utilisera aussi la notationF(a,κ) = Fκ(a)).

Proposition 3.16. Une fonction u∈ L∞(R+×R) est une solution faible entropique de(3.1) si et seulement si pour toutκ ∈ R et toutϕ ∈ C ∞

c (R+ ×R) positif on a

∫

R+

∫

R

(

ηκ(u)(t,x)∂t ϕ(t,x)+Fκ(u)(t,x)∂xϕ(t,x))

dx dt

+

∫

R

ηκ(u0)(x)ϕ(0,x) dx> 0. (3.15)

Démonstration.La formulation initiale est aussi valable pour les entropies convexes etde classeC 0, en utilisant le même raisonnement que dans la démonstration précédente.Ensuite, il suffit de remarquer que pour toute fonctionη continue convexe, il existe unesuiteηα(s) = b0 +b1s+ ∑ j a j |s−κ j | oùa j > 0 qui converge uniformément versη (ilen est de même pour les flux d’entropie associés).

Le fait qu’une solution faible entropique définie par (3.15) soit une solution faibles’obtient directement en prenantκ = a puisκ = b dans (3.15), oùa etb sont les valeursminimale et maximale prises paru0 etu. [EX]

L’existence d’une solution faible entropique peut se faireà l’aide de diverses mé-thodes. En général, elles sont basées sur une approximationde (3.1) pour laquelle ondémontre l’existence de solutions ainsi que des estimations a priori invariantes parpassage à la limite dans l’approximation. Il suffit ensuite de s’assurer de la consistanceavec (3.8) ou (3.15) de cette limite. Par exemple, l’approximation visqueuse (3.13)fournit cette possibilité, mais on ne la détaillera pas ici.

Passons à l’unicité.

Théorème 3.17(Kruzhkov). Soit u0 et v0 deux données initiales dansL∞(R) et soita,b∈ R tels que a6 u0,v0 6 b p.p. surR. On note u et v des solutions faibles entro-piques associées respectivement à u0 et v0. Alors, si on définit L= sups∈[a,b] | f ′(s)|, ona pour tout T> 0 et r > 0

∫

|x|<r|u(T,x)−v(T,x)| dx6

∫

|x|<r+LT|u0(x)−v0(x)| dx. (3.16)

Démonstration.L’idée principale est de parvenir à démontrer qu’au sens desdistribu-tions, on a

∂t |u−v|+ ∂xsgn(u−v)( f (u− f (v)) 6 0.

Une fois cette inéquation établie, il suffit alors d’intégrer sur le domaine(t,x); t ∈[0,T], |x| < r +L(T − t)) pour obtenir (3.16).

En fait, le couple(|u−v|,sgn(u−v)( f (u− f (v))) est à la fois un couple entropie-flux d’entropie pouru à v fixé mais aussi pourv à u fixé. Soitϕ(x,t,y,s) ∈ C ∞

c ((R+ ×

27

R)2) positif. On a donc

∫

R+

∫

R

(

ηv(s,y)(u(t,x))∂tϕ(t,x,s,y)+Fv(s,y)(u(t,x))∂xϕ(t,x,s,y))

dx dt

+∫

R

ηv(s,y)(u0(x))ϕ(0,x,s,y) dx> 0, (3.17)

et d’autre part

∫

R+

∫

R

(

ηu(t,x)(v(s,y))∂sϕ(t,x,s,y)+Fu(t,x)(v(s,y))∂yϕ(t,x,s,y))

dy ds

+

∫

R

ηu(t,x)(v0(y))ϕ(t,x,0,y) dy> 0. (3.18)

En intégrant (3.17) par rapport à(s,y) sur R+ ×R et (3.18) par rapport à(t,x) sur

R+×R puis en sommant, on obtient

∫

R+

∫

R

∫

R+

∫

R

(

|u(t,x)−v(s,y)|(∂t + ∂s)ϕ(t,x,s,y)

+sgn(u(t,x)−v(s,y))( f (u(t,x))− f (v(s,y)))(∂x + ∂y)ϕ(t,x,s,y))

dx dt dy ds

+∫

R+

∫

R

∫

R

|u(t,x)−v0(y)|ϕ(t,x,0,y) dy dx dt

+

∫

R+

∫

R

∫

R

|u0(x)−v(s,y)|ϕ(0,x,s,y) dx dy ds> 0. (3.19)

On introduit une fonction positiveρ ∈ C ∞c (R) de masse 1 :

∫

Rρ(z) dz= 1 et on consi-

dère une fonction positiveψ ∈ C ∞c (R+ ×R). On choisit dans (3.19) ϕ telle que, pour

ε > 0 petit,

ϕ(t,x,s,y) =1ε2 ψ

(

t +s2

,x+y

2

)

ρ(

t −s2ε

)

ρ(

x−y2ε

)

.

On peut remarquer que

(∂t + ∂s)ϕ(t,x,s,y) =1ε2 ∂1ψ

(

t +s2

,x+y

2

)

ρ(

t −s2ε

)

ρ(

x−y2ε

)

,

(∂x + ∂y)ϕ(t,x,s,y) =1ε2 ∂2ψ

(

t +s2

,x+y

2

)

ρ(

t −s2ε

)

ρ(

x−y2ε

)

,

On passe ensuite à la limiteε → 0, ce qui donne (on omet quelques détails...)

∫

R+

∫

R

(|u−v|(t,x)∂tψ(t,x)+sgn(u−v)( f (u)− f (v))(t,x)∂xψ(t,x)) dx dt

+

∫

R

|u0−v0|(x)ψ(0,x) dx> 0. (3.20)

On définit maintenantψ(t,x) = χε(t)ωε (t,x) où

χε(t) =

1, si 06 t < T,

(T − t)/ε +1, si T 6 t < T + ε,

0, si t > T + ε,

28

et

ωε(t,x) =

1, si |x| 6 r +L(T − t),

(r +L(T − t)−|x|)/ε +1, si r +L(T − t) 6 |x| < r +L(T − t)+ ε,

0, si |x| > r +L(T − t)+ ε,

à une régularisation près pour rester dansC ∞c . L’inégalité (3.20) devient

∫

R+

∫

R

|u−v|(t,x)(χ ′ε(t)ωε(t,x)+ χε(t)∂tωε(t,x)) dx dt

+

∫

R+

∫

R

sgn(u−v)( f (u)− f (v))(t,x)χε(t)∂xωε (t,x) dx dt

+

∫

R

|u0−v0|(x)ψ(0,x) dx> 0

− 1ε

∫ T+ε

T

∫

R

|u−v|(t,x)ωε(t,x) dx dt

− Lε

∫

R+

∫

06|x|−r−L(T−t)<ε|u−v|(t,x)χε(t) dx dt

− 1ε

∫

R+

∫

06|x|−r−L(T−t)<εsgn(u−v)( f (u)− f (v))(t,x)χε(t)sgn(x) dx dt

+∫

R

|u0−v0|(x)ψ(0,x) dx> 0.

Comme(sgn(u−v)( f (u)− f (v))sgn(x)) 6 L|u−v|, on obtient

1ε

∫ T+ε

T

∫

|x|<r|u−v|(t,x) ωε(t,x) dx dt6

∫

|x|<r+LT|u0−v0| ωε(0,x) dx

et on retrouve bien (3.16) en faisant tendreε vers 0.

Corollaire 3.18. Soit u0 et v0 deux données initiales dansL∞(R; [a,b]) et u et v dessolutions faibles entropiques associées. Alors :

1. Le problème de Cauchy(3.1) admet une unique solution faible entropique.

2. Si u0 ∈ L1(R), alors u(t, .) ∈ L1(R) et‖u(t, .)‖L1(R) 6 ‖u0‖L1(R).

3. On se place dansL1. Si u0(x) 6 v0(x) pour presque tout x∈ R, alors u(t,x) 6

v(t,x) pour presque tout t> 0.

4. Si u0 ∈ BV(R), alors u(t, .) ∈ BV(R) et |u(t, .)|BV(R) 6 |u0|BV(R).

5. Soit A et B deux constantes réelles telles que A6 u0 6 B p.p. surR. Alors,A 6 u 6 B p.p. surR+ ×R.

Démonstration.

1. On voit bien dans (3.16) que siu0 = v0, alorsu = v (presque partout). Pouravoir l’égalité pour presque toutx ∈ R, il suffit de remarquer l’invariance partranslation du problème de Cauchy.

2. Il suffit de prendrev0 ≡ 0 (doncv≡ 0) dans (3.16).

29

3. On peut vérifier que 2[z]+ = |z|+z, où[z]+ = max(0,z). On déduit alors de (3.16)et de la conservation que

∫

R

[u(t,x)−v(t,x)]+dx6

∫

R

[u0(x)−v0(x)]+dx. (3.21)

Cette inégalité assure la monotonie.

4. Soith> 0. On prendv0(x) = u0(x+h) et la solution associéev(t,x) = u(t,x+h)dans (3.16). On divise parh et on multiplie par une fonction test comme dans(1.10). Enfin, on « intègre par partie » et on fait ensuite tendreh vers 0.

5. On sait que siu0 est une constanteC, alors la solution faible entropique est égaleàC pour toutt > 0 etx∈ R. Ainsi, en utilisant le point 3, on conclut directement.

Concernant les points 3 et 4, il est important de citer le lemme de Crandall et Tartar quipermet une conclusion (presque) directe :

Lemme 3.19.Soit T une application de C un convexe deL1(Ω) telle que∫

Ω T( f ) dx=∫

Ω f dx, f ∈C. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes pour tout f,g∈C :

1. f 6 g p.p.=⇒ T( f ) 6 T(g) p.p.,

2.∫

Ω |T( f )−T(g)| dx6∫

Ω | f −g| dx,

3.∫

Ω[T( f )−T(g)]+ dx6∫

Ω[ f −g]+ dx.

(Ici, T est le semi-groupeS(t) qui àu0 associeu(t, ·).)

Remarque7. L’inégalité (3.21) peut être précisée. En effet, tous les calculs de la dé-monstration de (3.16) peuvent être effectués en considérant les entropies[u−κ ]+ à laplace de|u−κ |, ce qui donne alors

∫

|x|<r[u(t,x)−v(t,x)]+dx6

∫

|x|<r+LT[u0(x)−v0(x)]

+dx.

3.6 Le cas multidimensionnel

On considère maintenant le cas multidimensionnel, c’est-à-dire le cas de l’équation

∂tu+divx f (u) = 0, t > 0, x∈ Rd, (3.22)

où f : R → Rd.De la même manière que précédemment, définissons la notion desolution faible

entropique (on utilise directement les entropies de Kruzhkov) :

Définition 3.20. Une fonctionu∈ L∞(R+ ×R) est une solution faible entropique de(3.22) si pour toutκ ∈ R et toutϕ ∈ C ∞

c (R+×Rd) positif on a

∫

R+

∫

Rd

(

|u−κ |(t,x)∂tϕ(t,x)+ Φ(u,κ)(t,x) ·∇xϕ(t,x))

dx dt

+

∫

Rd|u0−κ |(x)ϕ(0,x) dx> 0 (3.23)

où Φ : R×R → Rd et Φk(a,b) = sgn(a−b)( fk(a)− fk(b)), pour toutk = 1, ...,d.

30

L’analyse du problème de Riemann n’est évidemment plus valide car c’est un pro-blème intrinsèquement unidimensionnel. Pour le problème de Cauchy, l’analyse resteidentique à la précédente : le théorème3.17(et son corollaire3.18) reste valide et lapreuve est identique.

Concernant l’existence de la solution faible entropique, on peut montrer que l’ap-proximation visqueuse

∂tuε +divx f (uε ) = ε∆uε ,

est stable dansL∞ ∩BV et converge quandε → 0 vers la solution faible entropiqueassociée à (3.22).

On aboutit donc au résultat suivant :

Théorème 3.21.Soit u0∈ L∞(Rd). Alors il existe une unique solution faible entropiqueu∈ L∞(R+×R). De plus, soit u0 et v0 deux données initiales dansL∞(Rd) et soit a,b∈R tels que a6 u0,v0 6 b p.p. surRd. On note u et v des solutions faibles entropiquesassociées respectivement à u0 et v0. Alors, si on définit L= supk sups∈[a,b] | f ′k(s)|, on apour tout T> 0 et r > 0

∫

|x|<r|u(T,x)−v(T,x)| dx6

∫

|x|<r+LT|u0(x)−v0(x)| dx. (3.24)

31

Chapitre 4

Méthodes des volumes finis pourles lois de conservation

On s’intéresse maintenant à l’approximation des lois de conservation par les mé-thodes de volumes finis (VF). On va se placer dans le cadre unidimensionnel (on trou-vera en fin de chapitre quelques commentaires sur le cas multidimensionnel).

4.1 Notations et principes des méthodes de volumes fi-nis

Présentons tout d’abord la notion de maillage. Soit une suite réelle strictementcroissante(xi+1/2)i∈Z représentant les interfaces entre les maillesMi . On définit les pasd’espace∆xi = xi+1/2− xi−1/2 qui correspondent aux mesures des mailles. On définiten suite le pas de temps∆t et tn = n∆t.

L’idée de base des méthode VF est de définir

u0i =

1∆xi

∫

Mi

u0(x) dx (4.1)

pour pouvoir calculer la suite(uni )i∈Z,n∈N telle que

uni ≈

1∆xi

∫

Mi

u(tn,x) dx (4.2)

oùu est la solution faible entropique du problème de Cauchy

∂tu+ ∂x f (u) = 0, t > 0, x∈ R,

u(0,x) = u0(x), x∈ R.(4.3)

Pour construire cette suite, on intègre cette loi de conservation sur le carré(tn,tn+1)×Mi , on a

∫

Mi

u(tn+1,x) dx−∫

Mi

u(tn,x) dx

+

∫ tn+1

tnf (u(t,xi+1/2)) dt−

∫ tn+1

tnf (u(t,xi−1/2)) dt = 0

32

qui devient après utilisation de l’approximation (4.2)

∆xi(un+1i −un

i )+ ∆t( f ni+1/2− f n

i−1/2) ≈ 0

où ∆t f ni+1/2 ≈

∫ tn+1

tn f (u(t,xi+1/2)) dt. Si on définit f ni+1/2 par une fonction dépendant

simplement de(uni )i∈Z, on obtient un schéma explicite à un pas dans la terminologie

de l’approximation des équations différentielles.On ne va s’intéresser ici qu’aux schémas à trois points, c’est-à-dire que le flux

numérique est défini parf ni+1/2 = g(un

i ,uni+1), ce qui donne

un+1i = un

i −∆t∆xi

(

g(uni ,u

ni+1)−g(un

i−1,uni )

)

. (4.4)

On a comme conséquence immédiate de cette écriture :

Proposition 4.1. Le schéma VF(4.4) est conservatif, c’est-à-dire que si u0 ∈ L1(R),alors pour tout n> 0,

∑i∈Z

uni ∆xi =

∫

R

u0(x) dx.

Démonstration.La démonstration est directe en sommant (4.4) pour i ∈ Z et en utili-sant (4.1).

Donnons quelques exemples de schémas VF :– Schéma de Rusanov

g(u,v) =f (u)+ f (v)

2− a(u,v)

2(v−u)

oùa(u,v) = max(| f ′(u)|, | f ′(v)|).– Schéma de Godunov

g(u,v) =

mina∈[u,v] f (a) si u < v,

maxa∈[v,u] f (a) sinon.

Ce schéma peut se réinterpréter comme un algorithme de transport-projectionpourvu que∆t 6 ∆x/(2L).

– Schéma d’Engquist-Osher

g(u,v) =f (u)+ f (v)

2− 1

2

∫ v

u| f ′(s)|ds.

– Schéma de Murman-Roe

g(u,v) =f (u)+ f (v)

2− a(u,v)

2(v−u)

où

a(u,v) =

( f (v)− f (u))/(v−u) si u 6= v,

f ′(u) sinon.

– Schéma de Lax-Wendroff

g(u,v) =f (u)+ f (v)

2− ∆t

∆xf ′((u+v)/2)( f (v)− f (u)).

33

4.2 Schémas monotones

Il est clair que tout schéma de la forme (4.4) ne converge pas vers la solution en-tropique de (4.3). On va introduire quelques hypothèses sur le flux numériqueg :

Définition 4.2. Soit g une fonction lipschitzienne de classeC 1(R2;R) (avec la mêmeconstante de Lipschitz quef ). On dit que :

– g est consistant si pour toutu∈ R, g(u,u) = f (u),– g est monotone si c’est une fonction croissante par rapport à sa première variable

et décroissante par rapport à sa deuxième variable.

On suppose à partir de maintenant que le flux numérique g vérifie ces hypothèses.On va vouloir démontrer que la suite(un

i )i∈Z,n∈N converge vers la solution entro-pique. Pour cela, on va obtenir des bornes sur cette suite (généralement appelées esti-mationsa priori), ce qui va nous permettre de montrer qu’à une sous-suite près, elleconverge. Ensuite, la consistance du schéma VF avec l’équation (4.3) nous assureraque la limite sera bien la solution entropique. Enfin, comme la solution entropique estunique, toute la suite converge.

4.2.1 Estimationsa priori

Pour commencer, on définit la fonctionu∆ par

u∆(t,x) = ∑n∈N

∑i∈Z

uni 1[n∆t,(n+1)∆t[×Mi

(t,x).

On doit donc montrer que cette fonction converge vers la solution entropique quand∆tet ∆x tendent vers 0.

Le cadre fonctionnel dans lequel il est agréable de travailler quand on traite de loisde conservationunidimensionnellesest le cadreL∞ ∩BV, pour lequel le théorème deHelly permet de passer à la limite.

Proposition 4.3 (EstimationL∞ et monotonie). Sous la condition CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)

∆t 6mini∈Z ∆xi

2L(4.5)

le schéma(4.4) est monotone, c’est-à-dire que la fonction H définie par

un+1i = H(un

i−1,uni ,u

ni+1)

est croissante par rapport à ses trois variables. De plus, sion note A,B ∈ R tels queA 6 u0 6 B p.p., alors

A 6 u∆(t,x) 6 B (4.6)

pour presque tout t> 0 et x∈ R.

Démonstration.On a

∂1H(u,v,w) =∆t∆xi

∂1g(u,v),

∂3H(u,v,w) = − ∆t∆xi

∂2g(v,w),

∂2H(u,v,w) = 1− ∆t∆xi

(∂1g(v,w)− ∂2g(u,v)).

34

On voit immédiatement que sous la condition CFL,∂iH est bien positif. Par ailleurs,on a que

H(A,A,A) = A et H(B,B,B) = B.

Le schéma étant monotone sous la condition CFL (4.5), on en déduit la stabilitéL∞

(4.6).

Proposition 4.4. Sous la condition CFL(4.5),

∑i∈Z

|un+1i+1 −un+1

i | 6 ∑i∈Z

|uni+1−un

i |, ∀n∈ N. (4.7)

On dit que le schéma est à variation totale décroissante (schéma TVD).

Démonstration.On définit

bni+1/2 =

∆t∆xi

g(uni ,u

ni+1)− f (un

i )

uni −un

i+1si un

i 6= uni+1,

0 sinon,

et

ani−1/2 =

∆t∆xi

g(uni−1,u

ni )− f (un

i )

uni−1−un

isi un

i 6= uni−1,

0 sinon,

alors le schéma (4.4) peut s’écrire

un+1i = (1−bn

i+1/2−ani−1/2)u

ni +bn

i+1/2uni+1 +an

i−1/2uni−1. (4.8)

Tout d’abord, commeg est décroissant (respectivement croissant) par rapport à sadeuxième variable (resp. première variable), alorsbn

i+1/2 > 0 (resp.ani−1/2 > 0). De

plus,

ani−1/2+bn

i+1/2 6 2L∆t∆xi

6 1

sous la condition CFL (4.5). La forme (4.8) revient donc à écrireun+1i comme une

combinaison convexe deuni−1, un

i et uni+1 (les coefficients associés sont compris entre 0

et 1 et leur somme vaut 1). Ainsi, si on écrit (4.8) en i +1 et que l’on y soustrait (4.8),on obtient

un+1i+1 −un+1

i =(uni+1−un

i )(1−bni+1/2−an

i+1/2)

+ (uni+2−un

i+1)bni+3/2 +(un

i −uni−1)a

ni−1/2

dont on déduit sous la condition (4.5) que

|un+1i+1 −un+1

i | 6|uni+1−un

i |(1−bni+1/2−an

i+1/2)

+ |uni+2−un

i+1|bni+3/2+ |un

i −uni−1|an

i−1/2.

Il suffit maintenant de sommer suri ∈ Z pour obtenir (4.7).

Remarque8. La forme (4.8) est due à LeRoux et Harten. Celle-ci est très utile puis-qu’elle peut aussi permettre d’obtenir simplement la stabilité L∞ étant donné que sousla condition CFLun+1

i est une combinaison convexe deuni−1, un

i etuni+1.

35

Nous avons donc une borne BV en espace. Si on se place sur l’ouvert(−T,T)×R,T > 0, on va voir que celle-ci implique une borne BV((−T,T)×R) sur u∆. En fait,on se place sur(−T,T) mais il suffit de se placer sur(−ε,T) où ε > 0, pour pouvoirinclure la condition initiale dans le passage à la limite.

Corollaire 4.5 (Estimation BV). Supposons que la donnée initiale est à variation bor-née, u0 ∈ BV(R). Sous la condition CFL(4.5), il existe une constante C ne dépendantque de T, u0 et g telle que

|u∆|BV((−T,T)×R) 6 C (4.9)

où u∆(t, .) = u∆(0+, .) pour t < 0.

Démonstration.Tout d’abord, notons que

|u∆|BV((−T,T)×R) = ∑n

∑i

∆t|uni −un

i−1|+∑n

∑i

∆xi |un+1i −un

i |

De plus,∑i∈Z |u0i+1−u0

i | 6 |u0|BV(R).Supposons queT 6 ∆t, alors|u∆|BV((−T,T)×R) 6 2T ∑i∈Z |u0

i+1−u0i |. Donc (4.9) est

vérifié avecC = 2T|u0|BV(R).Supposons maintenant queT > ∆t et définissonsN > 0 parN∆t < T 6 (N+1)∆t.

On sait que

|u∆|BV((−T,T)×R) 6 T ∑i∈Z

|u0i+1−u0

i |+N−1

∑n=0

∑i∈Z

∆t |uni+1−un

i |

+(T −N∆t) ∑i∈Z

|uNi+1−uN

i |+N−1

∑n=0

∑i∈Z

∆xi |un+1i −un

i |. (4.10)

Les trois premiers termes peuvent être bornés par 2T|u0|BV(R) en utilisant la proposi-tion 4.4. De plus, on peut écrire en utilisant directement la forme (4.4) que

|un+1i −un

i | 6 2L∆t∆xi

(|uni −un

i−1|+ |uni+1−un

i |)

qui devient après sommation suri ∈ Z

∑i∈Z

∆xi |un+1i −un

i | 6 2L∆t ∑i∈Z

|uni −un

i−1|.

Ainsi, puisqueN∆t < T le dernier terme de (4.10) est borné par 2LT|u0|BV(R). On afinalement l’inégalité (4.9) avecC = 2T(1+L)|u0|BV(R).

4.2.2 Convergence

Comme la suite(u∆)∆ est bornée dansL∞ ∩BV sous la condition CFL (4.5), lethéorème de Helly assure à une sous-suite près la convergenceL1

loc de(u∆)∆ vers unefonctionu∈ L∞ ∩BV.

Il reste maintenant à vérifier que la limite ainsi obtenue estla solution entropique.Pour cela, il suffit d’utiliser le théorème de Lax-Wendroff (on se place dans le cadred’un maillage régulier pour simplifier) :

Théorème 4.6(Lax-Wendroff). Supposons que la suite(u∆)∆ est uniformément bornéedansL∞(R+ ×R) et qu’elle converge vers u dansL1

loc(R+ ×R) quandsupi ∆xi et ∆t

tendent vers0, alors u est solution faible du problème de Cauchy(4.3).

36

Démonstration.L’idée de base de la démonstration n’est pas très compliquée, mais lescalculs sont fastidieux. On ne va donner que les étapes principales.

Soit ϕ ∈ C ∞c (R+ ×R) une fonction test positive. On multiplie le schéma (4.4) par

∫

Miϕ(n∆t,x) dxet on somme suri ∈ Z et n∈ N, ce qui donne

A∆ +B∆ = 0

où

A∆ = ∑n∈N

∑i∈Z

(un+1i −un

i )∫

Mi

ϕ(n∆t,x) dx,

B∆ = ∑n∈N

∑i∈Z

∆t∆x

(g(uni ,u

ni+1)−g(un

i−1,uni ))

∫

Mi

ϕ(n∆t,x) dx.

Il faut donc démontrer que si∆x→ 0,

A∆ −→−∫

R

∫

R+u ∂tϕ dt dx−

∫

u0(x)ϕ(0,x) dx, (4.11)

B∆ −→−∫

R

∫

R+f (u) ∂xϕ dt dx. (4.12)

Cela se fait simplement à l’aide de la règle d’Abel (intégration par parties discrète) etdu théorème de convergence dominé ! Regardons le premier terme :

A∆ = ∑n∈N

∑i∈Z

(un+1i −un

i )∫

Mi

ϕ(n∆t,x) dx,

=− ∑n∈N∗

∑i∈Z

uni

∫

Mi

(ϕ(n∆t,x)−ϕ((n−1)∆t,x)) dx− ∑i∈Z

u0i

∫

Mi

ϕ(0,x) dx,

=− ∑n∈N∗

∑i∈Z

∫

Mi

∫ (n+1)∆t

n∆tu∆(t,x)

ϕ(n∆t,x)−ϕ((n−1)∆t,x)∆t

dt dx,

− ∑i∈Z

∫

Mi

u∆(0,x)ϕ(0,x) dx

=− ∑n∈N∗

∑i∈Z

∫

Mi

∫ (n+1)∆t

n∆tu∆(t,x)

(

ϕ(n∆t,x)−ϕ((n−1)∆t,x)∆t

− ∂tϕ(t,x)

)

dt dx

− ∑n∈N∗

∑i∈Z

∫

Mi

∫ (n+1)∆t

n∆tu∆(t,x)∂tϕ(t,x) dt dx

− ∑i∈Z

∫

Mi

u∆(0,x)ϕ(0,x) dx

La suite(u∆) étant bornée, le premier terme tend vers 0 et les deux autres termes as-surent (4.11) grâce aux hypothèses sur la suite(u∆). Passons maintenant au termeB∆.Avant tout calcul, introduisonsB′

∆

B′∆ = − ∑

n∈N

∫ (n+1)∆t

n∆t

∫

R

f (u∆(t,x))∂xϕ(n∆t,x) dt dx

qui converge bien vers la limite (4.12), notamment carf est Lipschitz-continu. Ce

37

terme peut aussi s’écrire

B′∆ = ∑

n∈N

∑i∈Z

∆t( f (uni )− f (un

i−1))ϕ(n∆t,xi−1/2)

= ∑n∈N

∑i∈Z

∆t( f (uni )−g(un

i−1,uni ))ϕ(n∆t,xi−1/2)

+ ∑n∈N

∑i∈Z

∆t(g(uni−1,u

ni )− f (un

i−1))ϕ(n∆t,xi−1/2).

De même, on peut écrire

B∆ = ∑n∈N

∑i∈Z

∆t( f (uni )−g(un

i−1,uni ))

1∆x

∫

Mi

ϕ(n∆t,x) dx

+ ∑n∈N

∑i∈Z

∆t(g(uni ,u

ni+1)− f (un

i ))1

∆x

∫

Mi

ϕ(n∆t,x) dx.

Grâce au caractère lipschitzien du flux et à la consistance, on peut majorer les termeseng(u,v)− f (u), ce qui donne (I etN vérifient suppϕ ⊂ [0,N∆t)× (x−I+1/2,xI−1/2))

|B∆ −B′∆| 6 C ∆x ∆t

N

∑n=0

I

∑i=−I

|u∆(n∆t,xi−1/2+ ∆xi)−u∆(n∆t,xi−1/2)|

où C ne dépend que deL et de‖ϕ‖∞ et N et I sont définis par le support deϕ . Parcontinuité de la translation, le second membre tend vers 0 quand supi ∆xi tend vers0.

Il est important de noter que cette démonstration n’utiliseque la régularité et laconsistance du flux numériqueg. Si on utilise la monotonie, on peut montrer le théo-rème suivant :

Théorème 4.7.On considère le schéma VF(4.4) et sa représentation(u∆)∆. On sup-pose que la condition CFL(4.5) est vérifiée (on peut prendre∆t = α supi ∆xi/(2L) parexemple, avec0< α < 1 fixé). Alors le schéma VF converge vers u dansL1

loc(R×R+),où u est la solution entropique du problème de Cauchy(4.3).

Démonstration.Le point important est d’obtenir ce qu’on appelle des inégalités d’en-tropie discrètes, c’est-à-dire des équations discrètes vérifiées par le schéma numériqueanalogue à la formulation entropique. On peut en fait vérifier :

Lemme 4.8. Sous la condition CFL(4.5), le schéma(4.4) vérifie les inégalités sui-vantes :

1∆t

(|un+1i −κ |− |un

i −κ |)+1

∆xi(Gn

i+1/2−Gni−1/2) 6 0, (4.13)

∀n∈ N, ∀i ∈ Z, ∀κ ∈ R, où

Gni+1/2 = g(un

i ⊤κ ,uni+1⊤κ)−g(un

i ⊥κ ,uni+1⊥κ).

Démonstration.La démonstration repose sur la décomposition|un+1i −κ |= un+1

i ⊤κ−un+1

i ⊥κ et sur la monotonie deH. En effet,

un+1i ⊤κ = H(un

i−1,uni ,u

ni+1)⊤κ = H(un

i−1,uni ,u

ni+1)⊤H(κ ,κ ,κ)

6 H(uni−1⊤κ ,un

i ⊤κ ,uni+1⊤κ)

38

et

un+1i ⊥κ = H(un

i−1,uni ,u

ni+1)⊥κ = H(un

i−1,uni ,u

ni+1)⊥H(κ ,κ ,κ)

> H(uni−1⊥κ ,un

i ⊥κ ,uni+1⊥κ)

donc

|un+1i −κ |6 H(un

i−1⊤κ ,uni ⊤κ ,un

i+1⊤κ)−H(uni−1⊥κ ,un

i ⊥κ ,uni+1⊥κ)

qui est exactement (4.13).

On sait grâce aux estimations (4.6) et (4.9) et par le théorème de Helly que la suitedéfinie à partir du schéma numérique converge dansL1

loc(), à une extraction de sous-suite près. Ensuite, on applique aux inégalités (4.13) le même raisonnement que celuiutilisé dans le théorème de Lax-Wendroff et on passe à la limite (voir le Lemme4.10).On peut donc extraire une sous-suite qui converge et la limite est solution faible entro-pique. De plus, comme la solution faible entropique est unique, on obtient la conver-gence de toute la suite vers cette limite.

Corollaire 4.9. Le problème de Cauchy(4.3) admet une et une seule solution faibleentropique dansL∞(R+×R).

Démonstration.On savait déjà que le problème de Cauchy (4.3) admettait au plusune solution. L’approximation numérique par le schéma VF (4.4) nous fournit unedémonstration de l’existence d’une telle solution, pour autant que la donnée initialesoit dansL∞(R)∩BV(R). Pour passer de ce cadre au cadreu0 ∈ L∞(R), on définit lasuiteuα

0 = ρα ⋆ (1(−1/α ,1/α)u0) oùρα ∈ C ∞c (R) positif tel que suppρα ⊂ [−1/α,1/α].

Cette suite est bien dansL∞(R)∩BV(R) et converge versu0 dansL1loc(R). Le théorème

de Kruzhkov assure que∫

|x|<r|uα1(T,x)−uα2(T,x)| dx6

∫

|x|<r+LT|uα1

0 (x)−uα20 (x)| dx.

Cette inégalité entraîne que la suite(uα)α est une suite de Cauchy dansL∞(R+ ×R),donc elle converge vers une limiteu, qui n’est autre que la solution faible entropiqueassociée à la donnée initialeu0 ∈ L∞(R).

4.2.3 Estimationsa posteriori

On s’intéresse maintenant à étudier l’erreur commise par leschéma numérique.L’idée est d’obtenir un résultat de comparaison entre la solution approchéeu∆ et lasolution entropiqueu d’un même problème de Cauchy. On verra lors des calculs qu’ilest nécessaire de se placer dans BV pour obtenir les estimations qui vont suivre. Onsupposera aussi que la condition CFL (4.5) est vérifiée et que le rapport∆t/∆x estconstant.

Tout d’abord, énonçons le résultat de consistance suivant :

Lemme 4.10. Soit u0 ∈ BV(R). Alors pour toute fonctionϕ ∈ C ∞c (R+ ×R) positive,

le schéma monotone définissant u∆ vérifie pour tout tN = N∆t etκ ∈ R

−∫ tN

0

∫

R

(

|u∆(t,x)−κ |∂t +F(u∆,κ)∂x)

ϕ(t,x) dt dx−∫

R

|u∆(0,x)−κ |ϕ(0,x) dx

+

∫

R

|u∆(tN,x)−κ |ϕ(tN,x) dx6 C ∆x TV(u0) tN, (4.14)

où C ne dépend que des constantes de Lipschitz du flux numérique g et deϕ .

39

On peut noter que ce résultat permet de démontrer que si le schéma numériqueconverge presque partout, alors il converge vers la solution faible entropique.

Démonstration.On considère l’inégalité d’entropie discrète (4.13) que l’on multipliepar∆t

∫

Miϕ(tn+1,x)dx et on somme suri ∈ Z et surn∈ [0,N−1]. On note

A∆ =N−1

∑n=0

∑i∈Z

(|un+1i −κ |− |un

i −κ |)∫

Mi

ϕ(tn+1,x) dx,

B∆ =N−1

∑n=0

∑i∈Z

∆t∆x

(Gni+1/2−Gn

i−1/2)∫

Mi

ϕ(tn+1,x) dx,

ce qui donneA∆ +B∆ 6 0. En appliquant la règle d’Abel, on obtient

A∆ = ∑i∈Z

(

−N−1

∑n=0

|uni −κ |

∫

Mi

(ϕ(tn+1,x)−ϕ(tn,x)) dx

−|u0i −κ |

∫

Mi

ϕ(0,x) dx+ |uNi −κ |

∫

Mi

ϕ(tN,x) dx

)

= ∑i∈Z

(

−N−1

∑n=0

|uni −κ |

∫

Mi

∫ tn+1

tn∂tϕ(t,x) dt dx

−∫

Mi

|u∆(0,x)−κ |ϕ(0,x) dx+

∫

Mi

|u∆(tN,x)−κ |ϕ(tN,x) dx

)

= −∫ tN

0

∫

R

|u∆(t,x)−κ |∂tϕ(t,x) dx dt−∫

R

|u∆(0,x)−κ |ϕ(0,x) dx

+

∫

R

|u∆(tN,x)−κ |ϕ(tN,x) dx

Concernant le termeB∆, on a

B∆ = ∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(Gni+1/2−F(un

i ,κ))1

∆x

∫

Mi

ϕ(tn+1,x) dx

+∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(F(uni ,κ)−Gn

i−1/2)1

∆x

∫

Mi

ϕ(tn+1,x) dx

40

On introduit maintenant le termeB′∆ =

∫ tN0

∫

RF(u∆,κ)∂xϕ dt dx, qui s’écrit aussi :

B′∆ = −

N−1

∑n=0

∑i∈Z

∫

Mi

∫ tn+1

tnF(u∆,κ)∂xϕ(t,x) dt dx

= −N−1

∑n=0

∑i∈Z

∫ tn+1

tnF(un

i ,κ)(ϕ(t,xi+1/2)−ϕ(t,xi−1/2)) dt

= −∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

F(uni ,κ)(ϕ(τn,xi+1/2)−ϕ(τn,xi−1/2))

= ∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(F(uni+1,κ)−F(un

i ,κ))ϕ(τn,xi+1/2)

= ∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(F(uni ,κ)−Gn

i−1/2)ϕ(τn,xi−1/2)

+ ∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(Gni+1/2−F(un

i ,κ))ϕ(τn,xi+1/2)

où τn ∈ [tn, tn+1[ est défini par∆t ϕ(τn,x) =∫ tn+1

tn ϕ(t,x) dt. On obtient donc

B∆ = −∫ tN

0

∫

R

F(u∆,κ)∂xϕ(t,x) dt dx

−∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(Gni−1/2−F(un

i ,κ))

(

1∆x

∫

Mi

ϕ(tn+1,x) dx−ϕ(τn,xi−1/2)

)

−∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(F(uni ,κ)−Gn

i+1/2)

(

1∆x

∫

Mi

ϕ(tn+1,x) dx−ϕ(τn,xi+1/2)

)

En utilisant (4.13), c’est-à-dire queA∆ +B∆ 6 0, on a

−∫ tN

0

∫

R

|u∆(t,x)−κ |∂tϕ(t,x) dx dt−∫ tN

0

∫

R

F(u∆,κ)∂xϕ(t,x) dt dx

−∫

R

|u∆(0,x)−κ |ϕ(0,x) dx+

∫

R

|u∆(tN,x)−κ |ϕ(tN,x) dx

= ∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(Gni−1/2−F(un

i ,κ))

(

1∆x

∫

Mi

ϕ(tn+1,x) dx−ϕ(τn,xi−1/2)

)

+ ∆tN−1

∑n=0

∑i∈Z

(F(uni ,κ)−Gn

i+1/2)

(

1∆x

∫

Mi

ϕ(tn+1,x) dx−ϕ(τn,xi+1/2)

)

6 2 ∆t N L TV(u0) C(∆t + ∆x). (4.15)

En supposant que le rapport∆t/∆x est constant, on en déduit l’inégalité (4.14).

On désire maintenant avoir une véritable estimation de l’erreur commise par leschéma numérique, c’est-à-dire compareru∆ et u. La première étape est de compareru∆ à une fonctionv∈ L∞(R+ ×R).

41

Lemme 4.11.Soit u0 ∈ BV(R). Alors, pour toutϕ ∈ C ∞c (R+×R) positive symétrique

et pour tout v∈ L∞(R+×R), on a pour tout tN = N∆t,

−∫ tN

0

∫

R

∫ tN

0

∫

R

(

|u∆(t,x)−v(s,y)|∂t +F(u∆(t,x),v(s,y))∂x)

ψ(t,x,s,y) dx dt dy ds

−∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(0,x)−v(s,y)|ψ(0,x,s,y)−|u∆(tN,x)−v(s,y)|ψ(tN,x,s,y))

dx dy ds

6 C ∆x TV(u0) tN|ϕ |1,1 (4.16)

où ψ(t,x,s,y) = ϕ(t −s,x−y).

Démonstration.Il suffit, comme dans le dédoublement de variable, de remplacerκ parv(s,y) et ϕ(t,x) parψ(t,x,s,y) dans l’inégalité (4.14) et d’intégrer pours∈ [0,tN] ety∈ R. Les calculs sont identiques à ceux de la démonstration du lemme4.10, exceptépour la majoration du terme d’erreur (4.15) pour lequel on utilise :

∫ tN

0

∫

R

(

1∆x

∫

Mi

ψ(tn+1,x,s,y) dx−ψ(τn,xi−1/2,s,y)

)

dy ds

=

∫ tN

0

∫

R

(

1∆x

∫

Mi

ϕ(tn+1−s,x−y) dx−ϕ(τn−s,xi−1/2−y)

)

dy ds

6 (∆t + ∆x)|ϕ |1,1,

ce qui donne bien (4.16).

Passons maintenant au résultat principal, dû à Kuznetsov :

Théorème 4.12.Soit u0 ∈ BV(R). Alors, pour presque tout t>√

∆t, le schéma numé-rique u∆ et la solution faible entropique vérifient l’inégalité

‖u(t, ·)−u∆(t, ·)‖L1(R) 6 ‖u0−u∆(0, ·)‖L1(R) +C t TV(u0)√

∆t. (4.17)

On appelle ce genre de résultat estimationa posterioricar il permet d’estimer l’er-reur commise par le schéma numérique, sans connaître la solution (le membre de droiteest indépendant de la solutionu).

Démonstration.On ne démontrera ce résultat que pourt = tN := N∆t.Tout d’abord, remarquons que la solution faible entropiqueu vérifie

−∫ tN

0

∫

R

∫ tN

0

∫

R

(

|u∆(t,x)−u(s,y)|∂s+F(u∆(t,x),u(s,y))∂y)

ψ(t,x,s,y) dx dt dy ds

−∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(t,x)−u(0,y)|ψ(t,x,0,y)−|u∆(t,x)−u(tN,y)|ψ(t,x,tN,y))

dx dy ds

6 0. (4.18)

Commeϕ est symétrique, on a∂tψ + ∂sψ = ∂xψ + ∂yψ = 0. Ainsi, si on remplacevparu dans (4.16) puis que l’on additionne (4.16) et (4.18), on obtient

∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(t,x)−u(tN,y)|ψ|s=tN −|u∆(t,x)−u(0,y)|ψ|s=0)

dx dy ds

+

∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(tN,x)−u(s,y)|ψ|t=tN −|u∆(0,x)−u(s,y)|ψ|t=0)

dx dy ds

6 C ∆x TV(u0) tN|ϕ |1,1

42

qui peut aussi se réécrire

∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(t,x)−u(tN,y)|ψ|s=tN + |u∆(tN,x)−u(t,y)|ψ|s=tN)

dx dy dt

6

∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(t,x)−u(0,y)|ψ|s=0+ |u∆(0,x)−u(t,y)|ψ|s=0)

dx dy dt

+C ∆x TV(u0) tN|ϕ |1,1. (4.19)

Pour s’approcher de l’estimation finale (4.17), on veut quet (resp.y) et tN (resp.x)soient « proches àε près ». Pour cela, on utilise une partition de l’unitéζ , c’est-à-dire queζ ∈ C ∞

c (R), ζ (z) = ζ (−z), suppζ ⊂ [−1,1] et∫

Rζ (z)dz= 1. On définit doncζε(z) = ζ (z/ε)/ε et ϕ(t,x) = ζε(t)ζε(x), ce qui entraîne|ϕ |1,1 6 C/ε (et rappelonsqueψ(t,s,x,y) = ϕ(t −s,x−y)). On a de plus

∫

R

ζε(x−y) dy= 2∫ tN

0ζε(t − tN) dt = 1. (4.20)

Revenons maintenant à l’estimation complète :

‖u∆(tN, ·)−u(tN, ·)‖L1(R)

6 2∫ tN

0ζε(t − tN) dt

∫

R

|u∆(tN,x)−u(tN,x)| dx

6 2∫ tN

0ζε(t − tN) dt

∫

R

∫

R

ζε(x−y) dy |u∆(tN,x)−u(tN,x)| dx

grâce à (4.20), ce qui donne par définition deψ

6 2∫ tN

0

∫

R

∫

R

|u∆(tN,x)−u(tN,x)|ψ|s=tN dx dy dt

6

∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(tN,x)−u∆(t,x)|+ |u∆(t,x)−u(tN,y)|+ |u(tN,y)−u(tN,x)|

+ |u∆(tN,x)−u∆(t,y)|+ |u(t,y)−u(t,x)|+ |u(t,x)−u(tN,x)|)

×ψ|s=tN dx dy dt

6

∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(t,x)−u(tN,y)|+ |u∆(tN,x)−u∆(t,y)|)

ψ|s=tN dx dy dt

+∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(tN,x)−u∆(t,x)|+ |u(tN,y)−u(tN,x)|

+ |u(t,y)−u(t,x)|+ |u(t,x)−u(tN,x)|)

ψ|s=tN dx dy dt

43

ce qui grâce à (4.19) devient

6

∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(t,x)−u(0,y)|+ |u∆(0,x)−u(t,y)|))

ψ|s=0 dx dy dt

+C ∆x TV(u0) tN/ε

+

∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(tN,x)−u∆(t,x)|+ |u(tN,y)−u(tN,x)|

+ |u(t,y)−u(t,x)|+ |u(t,x)−u(tN,x)|)

ψ|s=tN dx dy dt

6

∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(0,x)−u(0,x)|+ |u∆(0,x)−u(0,x)|))

ψ|s=0 dx dy dt

+C ∆x TV(u0) tN/ε

+

∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(t,x)−u∆(0,x)|+ |u(0,x)−u(0,y)|

+ |u(0,x)−u(0,y)|+ |u(0,y)−u(t,y)|)

ψ|s=tN dx dy dt

+∫ tN

0

∫

R

∫

R

(

|u∆(tN,x)−u∆(t,x)|+ |u(tN,y)−u(tN,x)|

+ |u(t,y)−u(t,x)|+ |u(t,x)−u(tN,x)|)

ψ|s=tN dx dy dt.

Pour les deux dernières intégrales, on utilise le lemme suivant :

Lemme 4.13. En reprenant les notations précédentes, on a∀(t,x) ∈ R+ ×R

∀τ > 0,

∫

R

|u(t + τ,x)−u(t,x)| dx6 CτTV(u0), (4.21)

∀θ > 0,∫

R

|u(t,x+ θ )−u(t,x)| dx6 θTV(u0), (4.22)

∀τ > 0,

∫

R

|u∆(t + τ,x)−u∆(t,x)| dx6 C(τ + ∆t)TV(u0). (4.23)

En effet, on peut déduire du lemme4.13que

∫ tN

0

∫

R

∫

R

|u∆(tN,x)−u∆(t,x)|ψ|s=tN dx dy dt

=

∫ tN

0

∫

R

|u∆(tN,x)−u∆(t,x)|∫

R

ζε(x−y) dyζε(t − tN) dx dt

=

∫ tN

0

∫

R

|u∆(tN,x)−u∆(tN + τ,x)| ζε(τ) dx dτ

=∫ ε

0

∫

R

|u∆(tN,x)−u∆(tN + τ,x)| ζε(τ) dx dτ

6

∫ ε

0ζε (τ) dτ sup

τ∈[0,ε]

∫

R

|u∆(tN,x)−u∆(tN + τ,x)| dx

6 C(ε + ∆t)TV(u0).

44

On aboutit par le même type de calcul aux estimations suivantes :

∫ tN

0

∫

R

∫

R

|u(t,x)−u(tN,x)|ψ|s=tN dx dy dt6 CεTV(u0),

∫ tN

0

∫

R

∫

R

|u(t,y)−u(t,x)|ψ|s=tN dx dy dt6 εTV(u0),

∫ tN

0

∫

R

∫

R

|u∆(t,x)−u∆(0,x)|ψ|s=0 dx dy dt6 C(ε + ∆t)TV(u0),

∫ tN

0

∫

R

∫

R

|u(0,x)−u(0,y)|ψ|s=0 dx dy dt6 εTV(u0),

∫ tN

0

∫

R

∫

R

|u(0,y)−u(t,y)|ψ|s=0 dx dy dt6 Cε∆tTV(u0).

On obtient donc l’estimation

‖u(t, ·)−u∆(t, ·)‖L1(R) 6 ‖u0−u∆(0, ·)‖L1(R) +C tN TV(u0)[

ε + ∆t + ∆t/ε]

qui est optimale pourε =√

∆t.

Concernant le Lemme4.13, on ne le démontrera pas ici. Il peut être déduit desestimations uniformes BV qui avait été obtenue sur le schémanumérique et donc quisont préservés pour la solution, à la limite.

En pratique, l’estimation (4.17) est optimale dès lors que le fluxf est linéaire (ous’il existe des intervalles sur lesquels il est linéaire). Cependant, sif ′′ est uniformémentnon nul, l’ordre généralement mesuré estO(∆x) (on ne sait pas le démontrer en toutgénéralité).

Remarque9. Résumons les différentes étapes ayant mené à l’estimationa posteriori(4.17).

1. Tout d’abord, nous avons écrit les inégalités d’entropiede Kruzhkov(ηκ ,Fκ)vérifiées par le schéma : c’est l’inégalité (4.14), qui comporte donc un termed’erreur en second membre (qui tend vers 0 à convergence, ce qui permet no-tamment de démontrer la convergence du schéma vers la solution entropique).

2. Ensuite, on effectue le dédoublement de variable, ce qui permet de comparerl’approximation numérique à la solution entropique avec des variables diffé-rentes. En prenant comme fonction testψ(t,x,s,y) une fonction test symétrique,seuls les termes de bord en temps (c’est-à-dire en 0 ettN) persistent (voir (4.19)).

3. On choisit ensuite la fonction testψ(t,x,s,y) comme une approximation symé-trique deδ0(x−y)δ0(t −s), àε près. En utilisant la régularité BV de l’approxi-mation numérique et de la solution numérique, on peut majorer les écarts en|x−y| et |t −s| en fonction deε.

4. Enfin, on ajusteε en fonction de∆t pour aboutir à une erreur minimale.

Ce procédé n’est pas restreint aux estimations de l’erreur produite par le schéma nu-mérique. On peut aussi l’étendre à d’autres approximations: approximation visqueuse,approximation du fluxf ... En fait, cette approche peut même être systématisée.

45

4.3 Cas multidimensionnel

On a évoqué précédemment le fait que le problème de Cauchy

∂tu+divx f (u) = 0, t > 0, x∈ Rd,

u(0,x) = u0(x), x∈ Rd,(4.24)

où f : R → Rd, admettait aussi une et une seule solution dansL∞(R+ ×Rd). On peutdémontrer l’existence d’une solution en utilisant l’approximation visqueuse et l’unicitépar le dédoublement de variable de Kruzhkov. Voyons commentdéfinir des schémasVF pour le cas multidimensionnel.

On se donne un maillageM deRd, c’est-à-dire une partition d’ouverts polygonauxdisjoints (mailles). SiK et L sont deux mailles voisines (on pourra noterL ∈ V (K) etinversementL ∈ V (K)), on définit l’arête en 2D ou la face en 3DeKL = K∩ L ainsi quela normale unitairenKL orientée deK versL.

On définit alors

u0K =

1|K|

∫

Ku0(x) dx.

On intègre maintenant (4.24) sur(tn,tn+1)×K, ce qui donne

∫

Ku(tn+1,x) dx−

∫

Ku(tn,x) dx+

∫ tn+1

tn∑

L∈V (K)

∫

eKL

f (u(t,x)) · nKL dγ dt = 0.

On en déduit alors le schéma VF suivant

un+1K = un

K − ∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL| g(unK ,un

L;nKL) (4.25)

où le flux numériqueg est une fonction définie deR2×Sd−1 dansR. Ce flux numériquedoit alors vérifier les propriétés de base suivantes :

– conservation :g(u,v;n) = −g(v,u;−n) pour tout(u,v;n) ∈ R2×Sd−1,– consistance :g(u,u;n) = f (u) ·n pour tout(u,n) ∈ R×Sd−1,– monotonie :g est croissante par rapport à sa première variable et décroissante

par rapport à la deuxième.Deux cas très différents en terme d’analyse se présente.

4.3.1 Maillage cartésien

On appelle maillage cartésien un maillage dont les mailles sont des rectangles en2D ou des parallélépipèdes en 3D. On peut alors réutiliser l’analyse faite en 1D. Poursimplifier la présentation, regardons le cas 2D. On considère le problème de Cauchy

∂tu(t,x,y)+ ∂x f1(u(t,x,y))+ ∂y f2(u(t,x,y)) = 0, t > 0, (x,y) ∈ R2,

u(0,x,y) = u0(x,y), (x,y) ∈ R2,(4.26)

oùu0 ∈L∞(R2)∩L1(R2)∩BV(R2) et f1, f2 ∈C 2(R;R) sont lipschitziennes. Soit∆t lepas de temps et∆x et∆y les pas d’espace. On introduit les pointsxi+1/2 = (i +1/2)∆x,y j+1/2 = ( j +1/2)∆y et les maillesMi, j = [xi−1/2,xi+1/2[×[y j−1/2,y j+1/2[, pour tout(i, j) ∈ Z2. On définit

u0i, j =

1∆x∆y

∫

Mi, j

u0(t,x,y) dx dy ∀(i, j) ∈ Z2.

46

On construit alors le schéma volumes finis suivant,∀n∈ N,(i, j) ∈ Z2 :

un+1i, j = un

i, j −∆t∆x

(

g1(uni, j ,u

ni+1, j)−g1(u

ni−1, j ,u

ni, j)

)

− ∆t∆y

(

g2(uni, j ,u

ni, j+1)−g2(u

ni, j−1,u

ni, j)

) (4.27)

oùgk ∈ C 1(R2;R) est un flux numérique lipschitzien (avec la même constante deLip-schitz quefk), consistant avecfk et monotone,k = 1,2. On utilisera aussi la formecondensée

un+1i, j = G(un

i, j ,uni−1, j ,u

ni+1, j ,u

ni, j−1,u

ni, j+1). (4.28)

On a alors le résultat suivant :

Lemme 4.14. Sous la condition CFL

∆t 6min(∆x,∆y)2(L1 +L2)

(4.29)

où L1 et L2 sont les constantes de Lipschitz de g1 et g2, le schéma(4.28) est monotone,c’est-à-dire que G est une fonction croissante par rapport àtoutes ses variables.

Démonstration.La démonstration est la même qu’en 2D. On a tout d’abord grâceà lamonotonie deg1 et g2 :

∂α1G(α1,α2,α3,α4,α5) = 1− ∆t∆x

∂1g1(α1,α3)+∆t∆x

∂2g1(α2,α1)

− ∆t∆x

∂1g2(α1,α5)+∆t∆x

∂2g2(α4,α1)

= 1− ∆t∆x

|∂1g1(α1,α3)|−∆t∆x

|∂2g1(α2,α1)|

− ∆t∆x

|∂1g2(α1,α5)|+∆t∆x

|∂2g2(α4,α1)|

> 1−2∆t∆x

L1−∆t∆y

L2,

Par ailleurs, toujours en utilisant la monotonie deg1 et g2, on a :

∂α2G(α1,α2,α3,α4,α5) =∆t∆x

∂1g1(α2,α1) =∆t∆x

|∂1g1(α2,α1)|

∂α3G(α1,α2,α3,α4,α5) = −∆t∆x

∂2g1(α1,α3) =∆t∆x

|∂2g1(α1,α3)|

∂α4G(α1,α2,α3,α4,α5) =∆t∆y

∂1g2(α4,α1) =∆t∆y

|∂1g2(α4,α1)|

∂α5G(α1,α2,α3,α4,α5) = −∆t∆y

∂2g2(α1,α5) =∆t∆y

|∂2g2(α1,α5)|.

DoncG est inconditionnellement croissante par rapport à ses quatre dernières variableset croissante par rapport à sa première variable sous la condition (4.29).

Proposition 4.15. Soit A et B deux constantes réelles telles que A6 u0 6 B presquepartout et on suppose que la condition CFL(4.29) est vérifiée. Alors

∀n∈ N, ∀(i, j) ∈ Z2, A 6 un

i, j 6 B

47

et∀n∈ N, |Un+1|BV(R2) 6 |u0|BV(R2)

où Un(x,y) = ∑i, j uni, j1Mi, j (x,y).

Démonstration.PuisqueA6 u0 6 B, on a,∀(i, j) ∈Z2, A6 u0i, j 6 B. Supposons main-

tenant que∀(i, j) ∈Z2, A6 uni, j 6 B, montrons que l’encadrement est vrai au rangn+1.

CommeG est croissante par rapport à toute ses variables (on a supposé que (4.29) estvérifiée), alors

G(A,A,A,A,A) 6 G(uni, j ,u

ni−1, j ,u

ni+1, j ,u

ni, j−1,u

ni, j+1)

etG(B,B,B,B,B) > G(uni, j ,u

ni−1, j ,u

ni+1, j ,u

ni, j−1,u

ni, j+1).

Or, G(A,A,A,A,A) = A etG(B,B,B,B,B) = B, donc

A 6 G(uni, j ,u

ni−1, j ,u

ni+1, j ,u

ni, j−1,u

ni, j+1) 6 B ⇔ A 6 un+1

i, j 6 B.

On rappelle maintenant que la semi-norme BV peut s’écrire ainsi

|Un|BV(R2) = ∆y ∑(i, j)∈Z2

|uni+1, j −ui, j |+ ∆x ∑

(i, j)∈Z2

|uni, j+1−ui, j |.

Considérons tout d’abord le premier terme :

∑(i, j)∈Z2

∣

∣un+1i+1, j −un+1

i, j

∣

∣ = ∑(i, j)∈Z2

∣

∣G(uni+1, j ,u

ni, j ,u

ni+2, j ,u

ni+1, j−1,u

ni+1, j+1)

−G(uni, j ,u

ni−1, j ,u

ni+1, j ,u

ni, j−1,u

ni, j+1)

∣

∣.

On va utiliser les identités|a− b| = [a− b]+ + [b− a]+ et [a− b]+ = max(a,b)−b ainsi que la conservation du schéma numérique, qui assure pour toute suite réelle(αi, j )(i, j)∈Z2 que

∑i, j∈Z2

G(αi, j ,αi−1, j ,αi+1, j ,αi, j−1,αi, j+1) = ∑i, j∈Z2

αi, j . (4.30)

Ainsi, si on considère deux suites(αi, j )(i, j)∈Z2 et (βi, j)(i, j)∈Z2, on a

∑(i, j)∈Z2

[

G(αi, j ...)−G(βi, j ...)]+

= ∑(i, j)∈Z2

max(

G(αi, j ...),G(βi, j ...))

− ∑(i, j)∈Z2

G(βi, j ...) (grâce à (4.30))

6 ∑(i, j)∈Z2

G(max(αi, j ,βi, j)...)− ∑(i, j)∈Z2

βi, j (G est croissante)

6 ∑(i, j)∈Z2

max(αi, j ,βi, j)− ∑(i, j)∈Z2

βi, j (grâce à (4.30))

6 ∑(i, j)∈Z2

[αi, j −βi, j ]+.

48

On en déduit donc

∑(i, j)∈Z2

∣

∣G(αi, j ...)−G(βi, j ...)∣

∣ = ∑(i, j)∈Z2

[

G(αi, j ...)−G(βi, j ...)]+

+ ∑(i, j)∈Z2

[

G(βi, j ...)−G(αi, j ...)]+

6 ∑(i, j)∈Z2

[αi, j −βi, j ]+ + ∑

(i, j)∈Z2

[βi, j −αi, j ]+

6 ∑(i, j)∈Z2

∣

∣αi, j −βi, j∣

∣.

Par conséquent, on obtient en prenantαi, j = uni+1, j et βi, j = un

i, j

∑(i, j)∈Z2

∣

∣un+1i+1, j −un+1

i, j

∣

∣ = ∑(i, j)∈Z2

∣

∣G(uni+1, j ,u

ni, j ,u

ni+2, j ,u

ni+1, j−1,u

ni+1, j+1)

−G(uni, j ,u

ni−1, j ,u

ni+1, j ,u

ni, j−1,u

ni, j+1)

∣

∣

6 ∑(i, j)∈Z2

∣

∣uni+1, j −un

i, j

∣

∣,

ce qui implique donc l’estimation BV.

On peut remarquer que cette démonstration revient finalement à appliquer le lemmede Crandall-Tartar3.19. On aurait pu cependant faire comme en 1D et utiliser la dé-composition deun

i, j en combinaison convexe.Pour aboutir à la convergence vers la solution faible entropique associée à (4.26),

il reste tout d’abord à obtenir une borne BV(R+ ×R2), ce qui se fait comme dans lecas unidimensionnel. Ensuite, on peut appliquer le théorème de Helly et conclure à laconvergence du schéma, à une sous-suite près.

Pour terminer, il faut obtenir des inégalités d’entropie discrètes, ce qui se démontreaisément grâce à la monotonie du schéma (lemme4.14), puis passer à la limite enimitant le théorème de Lax-Wendroff (là aussi, c’est possible en suivant directement leraisonnement unidimensionnel).

4.3.2 Maillage non structuré

Dans le cas de maillages généraux, l’analyse s’avère beaucoup plus difficile. Toutd’abord, il faut définir les maillages que l’on peut considérer. La forme des mailles peutêtre quelconque, mais il est absolument nécessaire que lorsdu passage à la limite, lesmailles ne « dégénère » pas, c’est-à-dire que sih = supK∈M (diam(K)), il existe alorsα > 0 tel que

∀K ∈ M , α|∂K|h 6 hd6

1α|K|.

Concernant maintenant la convergence, la difficulté est « simplement » le manquede compacité : on ne peut pas obtenir d’estimation BV. Prenons par exemple le cas d’unmaillage triangulaire dont les sommets sont les pointsxi, j = (i∆x, j∆y) et les maillessont les trianglesM+

i, j = (xi, j ,xi+1, j ,xi, j+1) et M−i, j = (xi, j ,xi−1, j ,xi, j−1). On considère

alors l’équation∂tu(t,x,y)+ ∂xu(t,x,y) = 0

49

et la donnée initialeu0(x,y) = 1R+×R(x,y). Ainsi, u0K = 1 si K = M+

i, j aveci > 0 ou

K = M−i, j aveci > 1 etu0

K = 0 pour les autres maillesK. Après la première itération,

seules les valeurs aux maillesM±0, j sont modifiées et on au1

M+0, j

∈]0,1[, pour peu que

l’on considère un schéma monotone. La variation totale suivant la directionx, pour touty, ne change donc pas. Par contre, pourx∈]0,∆x[, l’approximationU1(x,y) prend pourvaleur alternativementu1

M+0, j

et u1M−

1, j= 0. La variation totale suivant la directiony est

donc infinie.Les conséquences de ce manque de compacité sont lourdes : le passage à la limite

sera (très...) faible. Plus précisément, on ne peut plus appliquer le théorème de Helly(ou un résultat du même genre), on doit utiliser la notion de convergence non linéairefaible⋆ :

Définition 4.16. Soit Ω un ouvert deRN, N > 1, et on considère(um)m∈N ⊂ L∞(Ω)andµ ∈ L∞(Ω×(0,1)). La suite(um)m∈N converge versµ au sensnon linéaire faible⋆si

∫

Ωθ (um(y))ϕ(y) dy−−−→

m→∞

∫

Ω

∫ 1

0θ (µ(y,α))ϕ(y) dy dα

pour toute fonctionϕ ∈ L1(Ω) et toutθ ∈ C ∞c (Ω).

Cette notion est en fait une interprétation de la convergence au sens des mesures deYoung. Elle permet de pouvoir passer à la limite en utilisantsimplement une estimationL∞ :

Théorème 4.17.Soit Ω un ouvert deRN, N > 1. On considère une suite(um)m∈N

bornée dansL∞(Ω). Alors, on peut extraire une sous-suite de(um)m∈N qui convergeau sensnon linéaire faible⋆, vers une fonctionµ ∈ L∞(Ω× (0,1)).

De plus, la convergence est forte (au sensL1loc(Ω)) si et seulement si la limite non

linéaire faible⋆ µ de(um)m∈N est indépendante deα.

Revenons maintenant aux estimations que l’on peut obtenir dans le cas de maillagesnon structurés. On réécrit de nouveau le schéma (4.25) sous la forme

un+1K = G(un

K ,(unL)L∈V (K)). (4.31)

On a à nouveau le résultat suivant :

Lemme 4.18. Sous la condition CFL

∆t 6α2hLg

(4.32)

où Lg est la constante de Lipschitz de g(·,v;n) (uniforme en v∈ R et n∈ Sd−1), leschéma(4.31) est monotone, c’est-à-dire que G est une fonction croissante par rapportà toutes ses variables.

Démonstration.Pour cette démonstration, plusieurs options sont possibles. On peututiliser une extension de la forme incrémentale (4.8). On va ici procéder comme dansla démonstration de la proposition4.3, en supposant queg est dérivable. Commeg estdécroissante par rapport à sa deuxième variable, on a pourm> 1

∂mG(uK ,(uL)L∈V (K)) = −∆t|eKLm||K| ∂2g(uK ,uLm;nKLm) > 0,

50

Lm étant lam-ième maille voisine de la mailleK. On a de plus

∂1G(u0,(uL)L∈V (K)) = 1− ∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL|∂1g(uK,uL;nKL)

> 1− ∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL|Lg

> 1− ∆t|K| |∂K|Lg

qui est bien positif ou nul sous la condition (4.32).

On peut donc en déduire :

Proposition 4.19. Soit A et B deux constantes réelles telles que A6 u0 6 B presquepartout et on suppose que la condition CFL(4.32) est vérifiée. Alors

∀n∈ N, ∀(i, j) ∈ Z2, A 6 un

i, j 6 B. (4.33)

De plus, toujours sous la condition CFL(4.32), le schéma(4.31) vérifie les inégalitésd’entropie discrètes suivantes :

∀κ ∈ R, |un+1K −κ |− |un

K −κ |+ ∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL|Gκ(unK ,un

L;nKL) 6 0 (4.34)

où Gκ(unK ,un

L;nKL) = g(unK⊤κ ,un

L⊤κ ;nKL)−g(unK⊥κ ,un

L⊥κ ;nKL).

Démonstration.La borneL∞ se déduit directement de la monotonie et de la préserva-tion par le schéma des solutions constantes.

Concernant la démonstration des inégalités d’entropie (4.34), il suffit de suivreexactement le raisonnement de la démonstration en 1D (voir lemme4.8).

Passons maintenant à la convergence. Il s’agit d’une part demontrer que la fonctionconstante par maille définie par le schéma numérique vérifie des inégalités d’entropiedu type (3.23) avec un terme de reste (comme dans le lemme4.10).

51

Chapitre 5

Systèmes de lois de conservation

On vient de voir que l’analyse des équations scalaires non linéaires est très diffé-rente de celle des équations linéaires. Évidemment, il en est de même dans le cas dessystèmes.

On va s’intéresser dans ce chapitre à l’étude du problème de Cauchy suivant :

∂tU + ∂x f (U) = 0, t > 0, x∈ R,

U(0,x) = U0(x), x∈ R,(5.1)

où U : R+ ×R → RN et où le flux vérifie f ∈ C 2(RN;RN), N > 1. En général, lasolution ne balaie pas toutRN, mais seulement un sous-ensemble deRN. On noteraΩ⊂R

N l’espace des états, c’est-à-dire l’ensemble (convexe) desvaleurs deU physiquementadmissibles.

On utilisera aussi la notationU = (u1, ...,uN)T et f = ( f1, ..., fN)T , qui permetd’avoir la forme développée

∂tu1 + ∂x f1(u1, ...,uN) = 0,

...

∂tuN + ∂x fN(u1, ...,uN) = 0.

5.1 Hyperbolicité et entropie

Par analogie avec le cas linéaire, on propose les définitionssuivantes :

Définition 5.1. On dit que le système (5.1) est hyperbolique si la matrice∇ f (U) estdiagonalisable dansR, pour toutU ∈ Ω.

On dit que le système (5.1) est strictement hyperbolique si∇ f (U) est diagonali-sable dansR et si ses valeurs propres sont distinctes, pour toutU ∈ Ω.

On peut remarquer que ces propriétés sont invariantes par changement de variable,même non linéaire. SoitV = ϕ(U) et B(V) = ∇ϕ(U)∇ f (U)∇ϕ(U)−1, on a alors

∂tV +B(V)∂xV = 0.

Si le changement de variableϕ permet de diagonaliser le système (5.1), on a

∂tv1 + λ1(V)∂xv1 = 0,

...

∂tvN + λN(V)∂xvN = 0.

(5.2)

52

Contrairement au cas linéaire, les équations restent couplées et on ne pas résoudredirectement le système.

On a vu dans le cas des lois de conservation l’importance de lanotion d’entropie,qui permet notamment d’obtenir l’unicité.

Définition 5.2. On dit que(η ,F) est un couple entropie-flux d’entropie pour (5.1) siη ∈ C 2(RN;R) est une fonction strictement convexe (au sens où la matrice∇2η(U)est symétrique définie positive) et si∇F(U)T = ∇η(U)T∇ f (U) pour toutU ∈ Ω.

Ainsi, les solutions régulières de (5.1) vérifient

∂tη(U)+ ∂xF(U) = 0.

Contrairement au cas scalaire, l’existence d’un couple entropie-flux d’entropie n’estpas toujours assuré, bien que ce soit souvent le cas pour les systèmes issus de la phy-sique. D’ailleurs, l’existence d’une entropie pour un système de lois de conservationest une propriété très importante :

Théorème 5.3. Si un système de loi de conservation admet un couple entropie-fluxd’entropie (avecη strictement convexe), alors il est hyperbolique.

Démonstration.La matrice∇2F(U) étant symétrique, la matrice∇(∇η(U)T∇ f (U))l’est aussi. Par définition,

(∇F)k =N

∑i=1

∂η∂ui

∂ fi∂uk

,

donc

(∇2F)kl =∂

∂ul

∂F∂uk

=N

∑i=1

[

∂ 2η∂ul ∂ui

∂ fi∂uk

+∂η∂ui

∂ 2 fi∂ul ∂uk

]

.

De même,

(∇2F)lk =∂

∂uk

∂F∂ul

=N

∑i=1

[

∂ 2η∂uk∂ui

∂ fi∂ul

+∂η∂ui

∂ 2 fi∂uk∂ul

]

.

Si on soustrait ces deux expressions, la symétrie des matrices∇2F et ∇2 fi entraîne

N

∑i=1

∂ 2η∂ul ∂ui

∂ fi∂uk

=N

∑i=1

∂ 2η∂uk∂ui

∂ fi∂ul

,

qui exprime la symétrie de la matrice∇2η∇ f . Comme∇2η est symétrique définiepositive, l’application〈u | v〉∇2η =

⟨

∇2ηu | v⟩

où〈· | ·〉 est le produit scalaire euclidiendeRN est un produit scalaire. On alors

〈∇ f u | v〉∇2η =⟨

∇2η∇ f u | v⟩

=⟨

u | (∇2η∇ f )Tv⟩

=⟨

u | ∇2η∇ f v⟩

=⟨

∇2η u | ∇ f v⟩

= 〈u | ∇ f v〉∇2η .

On en déduit donc que la matrice∇ f est symétrique par rapport au produit scalaire〈· | ·〉∇2η , elle est donc diagonalisable dansR.

53

On peut noter que le changement de variableV = ∇η(U) permet de symétriser lesystème (5.1), au sens où :

Corollaire 5.4. Si un système de loi de conservation admet un couple entropie-fluxd’entropie (avecη strictement convexe), alors il est symétrisable, c’est-à-dire qu’ilexiste une matrice B(U) symétrique définie positive et une matrice C(U) symétriquetelles que

B(U)∂tU +C(U)∂xU = 0.

Démonstration.Il suffit de prendreB = ∇2η etC = ∇2η∇ f . Les propriétés deB etCont été démontrées juste avant.

5.2 Solutions faibles

On a vu que le cas non linéaire impose de considérer des solutions admettant desdiscontinuités, quelle que soit la régularité de la donnée initiale. Il en est de même dansle cas des système, mais le temps d’apparition d’une discontinuité est plus difficile àcalculer puisque les caractéristiques sont toutes couplées (voir l’équation (5.2) pours’en convaincre).

En calquant ce qui est fait dans le cas scalaire, on introduit:

Définition 5.5. Soit u0 ∈ L∞(R)N. On appelle solution faible de (5.1) une fonctionU ∈ L∞(R+ ×R)N vérifiant pour toutϕ ∈ C ∞

c (R+ ×R)N

∫

R+

∫

R

(

U(t,x)∂tϕ(t,x)+ f (U(t,x))∂xϕ(t,x))

dx dt+∫

R

U0(x)ϕ(0,x) dx= 0. (5.3)

De nouveau, une solution classique de (5.1) est aussi solution faible et on peut endéduire les relations de saut admissibles le long des discontinuités :

Proposition 5.6. Soit la courbeΓ = (t,x) ∈ R+ ×R,x = σ(t) où σ ∈ C 1(R+),

coupant un ouvertΩ ⊂R+×R et soientΩ− = (t,x) ∈ Ω,x < Γ(t) etΩ+ = (t,x) ∈Ω,x > Γ(t). On considère une fonction U∈ C 1(Ω−)N ∩C 1(Ω+)N. Alors U est unesolution faible de(5.1) si et seulement si

−σ ′(U+ −U−)+ ( f (U+)− f (U−)) = 0, (5.4)

où U±(t) = U(t,σ(t)±) sont les limites de U de part et d’autre de la courbeΓ et U estune solution classique de(5.1) sur Ω \Γ. On appelle le système d’équations(5.4) lesrelations de saut de Rankine-Hugoniot.

Démonstration.La démonstration est strictement identique au cas scalaire.

Dans le cas scalaire, étant donné un état constant à gauche dela discontinuité,on obtient une famille à un paramètre d’états à droite joignables par les relations deRankine-Hugoniot. Dans le cas d’un système, si on suppose que l’état de gauche estconnu, le système (5.4) est composé deN équations et contientN + 1 inconnues (lavitesse de la discontinuité et l’état de droite). On aboutitdonc là aussi à une famille àun paramètre.

54

5.3 Ondes et caractère non linéaire

On a vu dans le cas des systèmes linéaires qu’à un changement de variable près, onaboutit àN équations de transport découplées les unes des autres, dontles vitesses sontles valeurs propres de la matrices, ce qui donnait la forme desolution (2.13).

Pour mieux comprendre les phénomènes de transport sous-jacent à (5.1), on consi-dère une solution de la forme

U(t,x) = V(σ(t,x))

où σ : R+ ×R → R et V : R → Ω sont deux fonctions régulières. En injectant cette

solution dans (5.1), on obtient

[

∂tσ I + ∂xσ ∇ f (V(σ))]

V ′(σ) = 0.

On suppose que les solutions que l’on considère ne sont pas des constantes, doncV ′(σ)et ∂xσ sont non nuls. On obtient alors

∇ f (V(σ)) V ′(σ) = − ∂tσ∂xσ

V ′(σ),

c’est-à-dire que, en notantλi et r i les valeurs propres et vecteurs propres de∇ f , on a

V ′(σ) = r i(V(σ)), (5.5)

∂tσ + λi(V(σ))∂xσ = 0. (5.6)

L’équation (5.5) est un système d’équations différentielles permettant decalculerVen fonction deσ et l’équation (5.6) est une équation de transport qui esta priori nonlinéaire. Pour en savoir plus sur cette équation, on est amené à introduire les définitionssuivantes :

Définition 5.7. L’onde associé à la valeur propreλi est linéairement dégénérée si

∇λi(U) · r i(U) = 0, ∀U ∈ Ω.

L’onde associé à la valeur propreλi est vraiment non linéaire si

∇λi(U) · r i(U) 6= 0, ∀U ∈ Ω.

(Comme précédemment, ces définitions sont invariantes par changement de va-riable.)

La quantité∇λi · r i intervenant dans ces définitions est tout simplement la dérivéede la vitesse de transportλi(V(σ)) de l’équation (5.6) :

dσ λi(V(σ)) = ∇λi(V(σ)) ·V′(σ)

= ∇λi(V(σ)) · r i(V(σ))

par (5.5). On en déduit donc que l’équation (5.6) est une équation de transport linéairesi l’onde associée àλi est linéairement dégénérée. De même, si l’onde associée àλi estvraiment non linéaire, alors l’équation (5.6) est une équation scalaire non linéaire dontle flux est strictement convexe ou strictement concave (puisque la dérivée seconde dece flux est de signe fixé).

55

Remarque10. On ne va pas considérer les cas où∇λi · r i n’est ni non nul ni de signedonné, ça devient très compliqué (même si c’est faisable).

Proposition 5.8. Soit Φ ∈ C 1(Ω;R) un i-invariant de Riemann, c’est-à-dire queΦvérifie

∇Φ(U) · r i(U) = 0, ∀U ∈ Ω. (5.7)

Alors,Φ(V(σ)) est constant si V est solution de(5.5).

Démonstration.On a directementdσ Φ(V(σ)) = ∇Φ(V(σ)) · r i(V(σ)) = 0.

En fait, on peut montrer qu’il existe exactement(N− 1) i-invariants de Riemanndont les gradients sont linéairement indépendants (cela assure qu’un invariant de Rie-mann n’est pas une fonction des autres). On retombe alors surun découplage qui peutrappeler le cas linéaire diagonalisé puisque qu’on a une variable convectée à la vitesseλi et N−1 autres (lesi-invariants de Riemann) qui restent constantes. Cela entraîne ladéfinition suivante :

Définition 5.9. Une solution régulièreU de (5.1) définie sur un domaineD deR+×R

est unei-onde simple siΦ(U(t,x)) est constant dansD pour touti-invariant de RiemannΦ.

Comment construire une onde simple ? Soit un étatU0 ∈ Ω et un profil initialσ0(x)et on noteσ0(0) = ξ0. Alors,V est solution du problème de Cauchy

V ′(ξ ) = r i(V(ξ )),

V(ξ0) = U0.(5.8)

Sous des hypothèses de régularité, il existe une unique solution à ce problème, au moinspour ξ proche deξ0. De plus, l’équation (5.6) donne directementσ(t,x) = σ0(x−λi(V(σ(t,x)))t) si on suppose queσ(0,x) = σ0(x). On obtient donc que

U(t,x) = V(σ0(x−λi(U(t,x))t)),

dont on déduit de nouveau la notion de courbe caractéristique, c’est-à-dire de courbesur laquelle la solution est constante :

Définition 5.10. Les courbes caractéristiques dans unei-onde simple sont les solutionsde l’équation différentielle

X′(t;X0) = λi(U(t,x)), t > 0,

X(0;X0) = X0,(5.9)

où (0,X0) ∈ D.

On obtient donc

Proposition 5.11. Soit U une i-onde simple. Alors, les caractéristiques sont des lignesdroites de penteλi(U(t,x)) et U est constant le long de celles-ci.

Il est important de noter que jusqu’à présent, on a toujours supposé que la solutionétait régulière. Dans le cas linéairement dégénéré, il suffit que σ0 soit régulier. Enrevanche, dans le cas vraiment non linéaire, on peut avoir apparition de chocs.

56

5.4 Ondes de choc et entropie

On considère maintenant des solutions discontinues. On sait qu’elles doivent véri-fier les relations de saut de Rankine-Hugoniot (5.4). Néanmoins, ces relations ne suffi-sait pas dans le cas scalaire, au sens où l’unicité des solutions n’était pas garantie. Onfaisait alors appel à la notion d’entropie pour sélectionner les solutions « physique-ment » admissibles. Pour cela, on peut ajouter un terme de diffusion

∂tUε + ∂x f (Uε ) = ε∂ 2xxUε ,

qui par le même calcul que dans le cas scalaire conduit à considérer les solutions faiblesvérifiant

∂tη(U)+ ∂xF(U) 6 0.

Cependant, l’utilisation de l’entropie ne peut plus être systématique : il faut d’une partêtre sûr qu’il en existe une et surtout être capable de toutesles connaître. En outre, leterme de diffusionε∂ 2

xxUε n’est en général pas justifié physiquement. On devrait plutôtajouter les termes correspondant aux effets visqueux mais la régularité de la solutionet son caractère entropique est beaucoup moins clair. Pour éviter ces difficultés, on faitappel aux critères d’admissibilité locaux, comme (3.10) et (3.11).

On dira dans la suite qu’unei-onde est discontinue si dans les relations de Rankine-Hugoniot (5.4) la vitesseσ ′ tend versλi(U−) quandU+ tendU−.

Comme dans le cas des ondes simples (donc régulières), on va considérer deux cas :

Définition 5.12. Unei-onde discontinue est appelée discontinuité de contact si elle estlinéairement dégénérée et onde de choc si elle est vraiment non linéaire.

Proposition 5.13. La caractérisation d’une discontinuité de contact par les relationsde Rankine-Hugoniot(5.4) est équivalente à la caractérisation par ses N−1 invariantsde Riemann (dont les gradients sont linéairement indépendants).

Cela est simplement dû au fait que les discontinuités de contact se comporte commedes ondes linéaires. Ainsi, le cas régulier et le cas discontinu sont identiques pour cesondes.

Définition 5.14. Une i-onde de choc est admissible au sens de Lax si elle vérifie

λi(U−) > σ ′ > λi(U

+). (5.10)

On peut étendre de même le critère d’Oleinik au cas des systèmes (on l’appellealors critère de Liu), mais celui-ci n’est utile que dans lescas où∇λi · r i peut changerde signe.

De plus on peut démontrer que ce critère est équivalent au critère entropique.

5.5 Problème de Riemann

Passons maintenant à la résolution du problème de Riemann

∂tU + ∂x f (U) = 0, t > 0, x∈ R,

U(0,x) =

UL si x < 0,

UR si x > 0.

(5.11)

Comme dans le cas scalaire, la propriété d’auto-similaritéde la solution est vérifiée :

57

Proposition 5.15. Soit U0 une fonction telle que

∀λ > 0, x∈ R, U0(λx) = U0(x).

Alors il existe une solution faible U du problème de Cauchy(3.1) avec une telle donnéeinitiale telle que

∀λ > 0, x∈ R, t > 0, U(λ t,λx) = U(t,x).

On peut alors définir une fonction V∈ L∞(R;R) telle que

∀λ > 0, x∈ R, t > 0, V(x/t) = U(t,x).

On va supposer dans le suite que le système est strictement hyperbolique et que sesvaleurs propres sont ordonnées :

λ1(U) < λ2(U) < ... < λN(U), ∀U ∈ Ω.

On s’attend donc à avoir une solution composée deN+1 états constantsU1 = UL, U2,...,UN+1 = UR séparés par des ondes : les étatsUi etUi+1 sont séparés par unei-onde.

Avant de continuer, penchons-nous sur le cas du problème de Riemann pour unsystème linéaire.

Théorème 5.16.Supposons que f(U) = AU où A∈ RN×N est diagonalisable dansR

et ses valeurs propres sont de multiplicité 1. Alors, l’unique solution du problème deRiemann(5.11) est donnée par

U(t,x) = UL + ∑i t.q. x/t<λi

(l i · (UR−UL))r i (5.12)

où (l i)16i6N et (r i)16i6N sont les vecteurs propres à gauche et à droite de A.

Démonstration.[EX]

On voit donc que, en se plaçant dansΩ, le vecteurUi+1−Ui est colinéaire àr i . Onpeut remarquer une nouvelle fois l’importance de l’hypothèse de l’hyperbolicité, quiassure que(r i)16i6N est une base deRN, donc que le vecteurUR−UL se décomposede manière unique dans la base(r i)16i6N. De plus, les états intermédiaires sont doncdonnés parUi = UL + ∑i−1

j=1(l j · (UR−UL))r j .Dans le cas des systèmes non linéaires, la situation n’est pas bien différente. En

effet, les discontinuités de contact étant assimilables à des ondes simples, (5.8) assureque pourξ proche deξ0, on suit la directionr i(V0). Concernant les ondes vraiment nonlinéaires, on utilise le résultat suivant :

Proposition 5.17. Supposons que la i-onde soit vraiment non linéaire.Soit il existe s∈ R tel que les états Ui et Ui+1 vérifient les relations de Rankine-

Hugoniot−s(Ui+1−Ui)+ ( f (Ui+1)− f (Ui)) = 0

et le critère de Laxλi(Ui) > s> λi(Ui+1). Les états Ui et Ui+1 sont alors séparés parune onde de choc. De plus, quand|Ui+1−Ui| tend vers 0, le vecteur Ui+1−Ui tend versr i(Ui) (à l’ordre 1).

Soit les états Ui et Ui+1 vérifient pour tout i-invariant de Riemann

Φ(Ui) = Φ(Ui+1)

58

et λi(Ui) 6 λi(Ui+1). Les états Ui et Ui+1 sont alors séparés par une onde de détente,définie localement (en x/t) par

U(t,x) =

Ui si x/t < λi(Ui),

V(x/t) si λi(Ui) < x/t < λi(Ui+1),

Ui+1 si x/t > λi(Ui+1),

(5.13)

où V est solution de(5.8) avec U0 = Ui et ξ0 = λi(Ui) (c’est en fait une onde simple).Il n’y a pas d’autre cas.

Démonstration.La démonstration de la propriété des ondes de choc est assez fasti-dieuse et n’est pas présentée ici. Concernant l’onde de détente, le fait que ce soit uneonde simple suffit pour conclure que c’est bien une solution de (5.11). Le fait qu’il n’yait pas d’autre possibilité n’est pas non plus immédiat à démontrer.

On peut déduire de ce résultat que l’ensemble des étatsUi+1 que l’on peut connecteràUi à travers unei-onde vraiment non linéaire est une courbe de dimension 1 dans Ωpassant parUi et tangente àr i(Ui) au pointUi . D’un côté elle correspond à l’ondede détente et de l’autre à la courbe de choc. Dans le cas d’unei-onde linéairementdégénérée, on obtient aussi une courbe de dimension 1 passant parUi et tangente àr i(Ui) au pointUi . On peut donc en déduire le résultat suivant :

Théorème 5.18.Considérons le problème de Riemann(5.11) avec UL proche de UR.Alors, si le système n’admet que des ondes vraiment non linéaires ou linéairement dé-générées, il existe une et une seule solution faible admissible au sens de Lax composéede N ondes (éventuellement d’amplitude nulle) séparant N+1 états constants.

Démonstration.NotonsCi(Ui , ·) l’ensemble des états deΩ que l’on peut connecterà Ui à travers unei-onde. Cette ensemble est une famille à un paramètre, noté ici εi ,tel queUi = Ci(Ui ,0). Ainsi, U2 = C1(UL,ε1), U3 = C2(C1(UL,ε1),ε2), etc. Soitε =(ε1, ...,εN) ∈ RN. Alors, on peut définir la fonctionC telle que

UR = C (UL,ε) = CN(CN−1(...C1(UL,ε1)...,εN−1),εN).

Si UL et UR sont suffisamment proches, les états intermédiairesUi appartiennent à unvoisinage deUL et doncCi(Ui ,εi)≈Ui +εr i(Ui). Comme le système est hyperbolique,(r i(UL))16i6N est une base deRN et par ailleursr i(Ui) ≈ r i(UL), donc(r i(UL))16i6N

est aussi une base deRN. On obtient donc l’existence et l’unicité deC (UL,ε), qui estvoisin de (5.12).

Cette démonstration est totalement imprécise bien sûr, il faudrait mieux estimerl’impact des non linéarités sur les courbes d’ondesCi .

Ce théorème peut paraître un peu « léger » car il n’est valableque pour des donnéesinitiales proches (on a donc un résultat local), mais au cas par cas, on peut cependantobtenir des résultats globaux, c’est-à-dire pour toutUL,UR ∈ Ω.

5.6 Problème de Cauchy

Concernant l’existence d’une solution, il est difficile de déterminer des estimationsa priori vérifiées par les solutions faibles admissibles au sens de Lax, même dans lecas de données initiales presque constantes.

59

Concernant l’unicité, le critère entropique

∂tη(U)+ ∂xF(U) 6 0 (5.14)

(au sens faible) n’est pas forcément suffisant, car pour appliquer la technique de Kruzh-kov il est nécessaire d’avoir un très grand nombre d’entropie, ce qui n’est pas le cas ici,excepté pour des systèmes particuliers.

5.7 Le problème de Riemann pour Euler barotrope

Passons maintenant à un exemple de résolution de problème deRiemann. On re-garde le système

∂tρ + ∂xρu = 0 (5.15)

∂tρu+ ∂x(ρu2 + p) = 0 (5.16)

où p = P(ρ) telle queP(ρ) > 0 etP ′(ρ) > 0 pour toutρ > 0. On supposera queP(ρ) = aργ , γ > 1 eta > 0. On se place dans le domaineΩ = R∗+×R. Ce systèmes’écrit aussi pour les solutions régulières

∂t

(

ρu

)

+

(

u ρP ′(ρ)/ρ u

)

∂x

(

ρu

)

= 0.

Si on notec(ρ) =√

P ′(ρ)=√

aγρ (γ−1)/2 (la vitesse du son), alors les valeurs propresdu système sontu±c et

r− =

(

1−c/ρ

)

et r+ =

(

1c/ρ

)

.

Le système est donc strictement hyperbolique dansΩ et on peut vérifier aisément queles deux ondes sont vraiment non linéaires (ce sont soit des ondes de détentes, soit desondes de choc, selon les données initiales).

Vu que l’on a un système 2×2, on s’attend à avoir deux ondes, avec un état constantau milieu. La première étape est d’étudier ces ondes, c’est-à-dire, en se donnant un étatU0 ∈ Ω, déterminer tous les états que l’on peut y connecter à travers une 1- ou une2-onde.

Cela permet de déterminer l’état intermédiaire par intersection de la courbe de 1-onde issue deUL et de la courbe de 2-onde issue deUR. Enfin, connaissant cet état et lanature des ondes le séparant deUL etUR, on peut déterminer la solution du problèmede Riemann.

5.7.1 Étude des ondes

Plaçons-nous dans le cas de l’onde de vitesseu− c et regardons les ondes de dé-tente. Si on reprend (5.8), on a

ρ ′(ξ ) = 1

u′(ξ ) = −c/ρ = −√aγ ρ (γ−3)/2

(ρ ,u)(0) = (ρ0,u0)

.

60

Le première équation donneρ(ξ ) = ξ + ρ0, ce qui permet d’écrireξ (ρ) = ρ − ρ0.Ainsi, la deuxième équation devientu′(ρ) = −√

aγ ρ (γ−3)/2, donc

u(ρ) = − 2γ −1

√aγ ρ (γ−1)/2+K0 = −2c/(γ −1)+K0.

Avec la donnée initiale, on obtient donc

ρ(ξ ) = ξ + ρ0

u(ρ(ξ )) = u0−2

γ −1(c(ρ)−c(ρ0)).

On peut aussi passer directement par les invariants de Riemann. En effet, comme le sys-tème est de dimension 2, il suffit d’en trouver un seul, notons-le Φ−(ρ ,u). L’équation(5.7) donne

∂ρ Φ−− cρ

∂uΦ− = 0.

Si on suppose qu’il est de la formeΦ−(ρ ,u) = u+ϕ−(ρ), alors on aϕ ′−(ρ) = c(ρ)/ρ ,

ce qui donne

Φ−(ρ ,u) = u+2

γ −1c(ρ)

et on aboutit à la même conclusion.

Lemme 5.19. La courbe de 1-onde de détente dans le plan(ρ ,u), notéeR−(ρ0,u0)est définie par

u = u0−2

γ −1(c(ρ)−c(ρ0)), 0 < ρ 6 ρ0. (5.17)

Elle est strictement décroissante et sur cette courbe, la fonction u− c est monotonedécroissante (par rapport àρ). Cette courbe correspond à l’ensemble des états U quel’on peut atteindre de(ρ0,u0) à travers une onde de détente de vitesse u−c.

Passons maintenant aux courbes de choc. Pour cela, il faut tout d’abord écrire lesrelations de Rankine-Hugoniot entreU− etU+ (avec∆α = α+ −α− et s la vitesse duchoc) :

−s∆ρ + ∆(ρu) = 0,

−s∆(ρu)+ ∆(ρu2+ p) = 0.

On définit maintenantv = u−s. La première équation devient directement

∆(ρv) = 0

et après quelques calculs :

−s∆(ρu)+ ∆(ρu2+ p) = −s(−s∆ρ + ∆(ρu))−s∆(ρu)+ ∆(ρu2+ p)

= ∆(ρs2)−∆(2ρu)+ ∆(ρu2)+ ∆p

= ∆(ρ(u−s)2)+ ∆p,

la seconde équation devient∆(ρv2)+ ∆p= 0.

61

Notons maintenantM = ρ−v− = ρ+v+. Par définition dev, on obtients= u−−Mτ− =u+−Mτ+, oùτ = 1/ρ . On déduit alors

M =∆u∆τ

.

De même, on aMv− + p− = Mv+ + p+, c’est-à-dire−M∆u = ∆p, donc

M2 = −∆p∆τ

.

(Cette relation est bien définie carp est décroissant par rapport àτ, donc le secondmembre est bien négatif.) Ainsi, on obtient la relation

(∆u)2 = −∆τ ∆p.

Pour obtenir une équation du même type que (5.17) (u en fonction seulement deu0, ρet ρ0), on désire prendre la racine carré, mais le signe de∆u n’est pas connu. En fait,suivant le signe, cela correspond à un 1- ou un 2-choc.

Prenons le cas d’un 1-choc stationnaire de petite amplitude. Alorss= 0 etu−c≈ 0,doncu≈ c > 0. CommeM = ρu, on en déduit queM > 0. On obtient donc que pourun 1-choc,∆u = ∆τ

√

−∆p/∆τ.Il reste à inclure la condition d’entropie pour sélectionner les chocs admissibles. On

va utiliser la condition de Lax (5.10), qui pour la 1-onde, oblige à avoir∆(u−c) < 0.Supposons que∆ρ > 0. Alors ∆τ = −∆ρ/ρ−ρ+ < 0 et donc∆u = −√−∆p ∆τ < 0.Comme∆c > 0, on en déduit que∆(u−c) < 0. Regardons maintenant le cas∆ρ < 0.Dans ce cas,∆τ > 0 et∆u =

√−∆p ∆τ > 0, ce qui donne∆(u−c) > 0. On en déduitdonc :

Lemme 5.20. La courbe de 1-onde de choc entropique dans le plan(ρ ,u), notéeS−(ρ0,u0), est strictement décroissante et définie par

u = u0−√

−(p(ρ)− p(ρ0))(1/ρ −1/ρ0), ρ > ρ0. (5.18)

Cette courbe correspond à l’ensemble des états U que l’on peut atteindre de(ρ0,u0) àtravers une onde de choc de vitesse u−c (U0 est à gauche du choc et U à droite).

Pour calculer les courbes associées à 2-onde, on procède de même. Il faut cependantnoter que cette fois, on suppose que l’état que l’on se donneU0 est à droite de l’ondeet on cherche l’ensemble des étatsU admissibles à gauche de cette 2-onde. On aboutitalors à :

Lemme 5.21. La courbe de 2-onde de détente dans le plan(ρ ,u), notéeR+(ρ0,u0),est définie par

u = u0 +2

γ −1(c(ρ)−c(ρ0)), 0 < ρ 6 ρ0. (5.19)

Elle est strictement croissante et sur cette courbe, la fonction u+ c est monotone dé-croissante (par rapport àρ). Cette courbe correspond à l’ensemble des états U quel’on peut atteindre de(ρ0,u0) à travers une onde de détente de vitesse u+c.

La courbe de 2-onde de choc entropique dans le plan(ρ ,u), notéeS+(ρ0,u0), estdéfinie par

u = u0 +√

−(p(ρ)− p(ρ0))(1/ρ −1/ρ0), ρ > ρ0. (5.20)

Cette courbe correspond à l’ensemble des états U que l’on peut atteindre de(ρ0,u0) àtravers une onde de choc de vitesse u+c (U0 est à droite du choc et U à gauche).

62

5.7.2 Résolution du problème de Riemann

On définit maintenant les courbes d’ondeC−(ρL,uL) = R−(ρL,uL)∪S−(ρL,uL)etC+(ρR,uR) = R+(ρR,uR)∪S+(ρR,uR). L’état intermédiaire est donc l’intersectionde ces deux courbes, pour peu qu’il appartienne àΩ. Ainsi, en étudiantC−(ρL,uL) etC+(ρR,uR) pourρ = 0 etρ → +∞, on obtient :

Théorème 5.22.Si UL,UR ∈ Ω vérifient

uR−uL <2

γ −1(cL +cR) (5.21)

alors U∗ = C−(ρL,uL) ∩C+(ρR,uR) existe et appartient àΩ. On en déduit que leproblème de Riemann admet une et une seule solution sous cette condition.

En général, si cette condition n’est pas vérifiée, on prolonge la solution par le vide,c’est-à-dire que l’état intermédiaire vérifie(ρ ,ρu) = (0,0), ce qui permet d’étendre lerésultat précédent à toutUL,UR ∈ Ω (de la même manière, on peut aussi étendre cerésultat à toutUL,UR ∈ Ω).

Remarque11. Pour terminer, on va montrer comment obtenir directement les résultats(5.8) et la proposition5.11en supposant l’auto-similarité de la solution. Soitξ = x/tetV(ξ ) = U(t,x). Alors, les solutions régulières du systèmes vérifient :

− xt2V ′(ξ )+F ′(V(ξ ))

1tV ′(ξ ) = 0

ce qui donneF ′(V(ξ ))V ′(ξ ) = ξV′(ξ ).

Si on suppose qu’on regarde les solutions non constantes, alors on obtient directementqueξ = u±c et queV ′ est égal au vecteur propre associé àu±c.

63

Chapitre 6

Méthodes de volumes finis pourles systèmes de lois deconservation

Bien que l’on ne sache pas en général étudier théoriquement le problème de Cauchy

∂tU + ∂x f (U) = 0, t > 0, x∈ R,

U(0,x) = U0(x), x∈ R,(6.1)

on peut être amener à étudier son approximation numérique par des schémas VF.Contrairement au cas scalaire, on ne sait pas, pour l’instant, trouver des bornes surla solution approchée pour passer à la limite (on aurait dansce cas une démonstra-tion de l’existence pour (6.1)). On va toutefois tenter d’imiter le cas scalaire dans laconstruction des schémas VF, à défaut d’une meilleure compréhension du cas des sys-tèmes.

6.1 Schémas volumes finis et propriétés de base

Rappelons tout d’abord la notion de maillage. Soit une suiteréelle strictement crois-sante(xi+1/2)i∈Z représentant les interfaces entre les maillesMi . On définit les pasd’espace∆xi = xi+1/2− xi−1/2 qui correspondent aux mesures des mailles. On définiten suite le pas de temps∆t et tn = n∆t.

Comme dans le cas scalaire, on définit

U0i =

1∆xi

∫

Mi

U0(x) dx (6.2)

et on cherche à calculer la suite(Uni )i∈Z,n∈N. Toujours par intégration du système (6.1)

sur(tn, tn+1)×Mi, on a

∫

Mi

U(tn+1,x) dx−∫

Mi

U(tn,x) dx

+

∫ tn+1

tnf (U(t,xi+1/2)) dt−

∫ tn+1

tnf (U(t,xi−1/2)) dt = 0

64

qui devient∆xi(U

n+1i −Un

i )+ ∆t( f ni+1/2− f n

i−1/2) ≈ 0

où ∆t f ni+1/2 ≈

∫ tn+1

tn f (U(t,xi+1/2)) dt. Si on définit f ni+1/2 par une fonction dépendant

simplement de(Uni )i∈Z, on obtient un schéma explicite à un pas dans la terminologie

de l’approximation des équations différentielles.On ne va s’intéresser encore une fois qu’aux schémas à trois points, c’est-à-dire

que le flux numérique est défini parf ni+1/2 = g(Un

i ,Uni+1), ce qui donne

Un+1i = Un

i −∆t∆xi

(

g(Uni ,Un

i+1)−g(Uni−1,U

ni )

)

. (6.3)

On suppose dans la suite que le flux numériqueg est Lipschitz continu. De nouveau,on a la propriété de base des schémas VF :

Proposition 6.1. Le schéma VF(6.3) est conservatif, c’est-à-dire que si U0 ∈ L1(R),alors pour tout n> 0,

∑i∈Z

Uni ∆xi =

∫

R

U0(x) dx.

Démonstration.La démonstration est directe en sommant (6.3) pour i ∈ Z et en utili-sant (6.2).

6.1.1 Consistance

Comme dans le cas scalaire, plusieurs propriétés sont nécessaires sur le flux numé-rique pour avoir la convergence du schéma vers la solution faible entropique. Ici, onne pourra pas aboutir à un tel résultat, donc on détaille les propriétés requises et leursconséquences.

Définition 6.2. Le schéma VF (6.3) est consistant si pour toutU ∈ Ω

g(U,U) = f (U).

C’est la même notion de consistance que dans le cas scalaire,qui permet notammentd’assurer que si pour toutx U0(x) = U oùU ∈ Ω est un état constant, alors pour toutiet n, Un

i = U . On a le résultat suivant de consistance avec la solution classique :

Proposition 6.3. Si on suppose que pour tout i∈ Z

Uni =

1∆xi

∫

Mi

U(tn,x) dx

où U est une solution régulière de(6.1), alors Un+1i défini par le schéma VF(6.3)

vérifie

Un+1i − 1

∆xi

∫

Mi

U(tn+1,x) dx→ 0

quand∆t,supi ∆xi → 0 dès que le schéma VF est consistant.

Démonstration.On intègre le système sur(tn,tn+1)× Mi et on soustrait le schémanumérique (6.3), ce qui donne

1∆xi

∫

Mi

U(tn+1,x) dx−Un+1i +

∆t∆xi

(Fni+1/2−Fn

i−1/2) = 0

65

oùFni+1/2 = (1/∆t)

∫ tn+1

tn f (U(t,xi+1/2)) dt−g(Uni ,Un

i+1). Par continuité deg etU ,

g(Uni ,Un

i+1) = g(U(tn,xi+1/2),U(tn,xi+1/2))+O(∆xi)+O(∆xi+1)

= f (U(tn,xi+1/2))+O(∆xi)+O(∆xi+1)

par consistance du schéma. On en déduit donc (la solution étant régulière) queFni+1/2 =

O(∆t)+O(∆xi)+O(∆xi+1), ce qui permet de conclure.

Remarque12. En fait, le théorème de Lax-Wendroff peut être appliqué au cas dessystèmes. Néanmoins, l’hypothèse de la borneL∞ n’est en général pas réaliste.

L’autre hypothèse cruciale dans le cas scalaire est la monotonie du flux numérique.Il est clair que cette propriété n’a pas d’analogue direct dans le cas des systèmes. Sion reprend l’analyse des schémas VF dans le cas scalaire, on peut remarquer que lamonotonie permet d’obtenir d’une part des bornes dansL∞ ∩BV (inégalités (4.6) et(4.9)) et d’autre part des inégalités d’entropie discrètes (4.13). On va voir commentimiter ce type de propriétés dans le cas des systèmes. Pour cela, on va travailler avec lanotion de demi-maille. On définit les fonctionsU± : RN ×RN ×R+ → RN par

U−(Ul ,Ur ,σ) = Ul −1

σl (Ul ,Ur)(g(Ul ,Ur)− f (Ul )),

U+(Ul ,Ur ,σ) = Ur −1

σr(Ul ,Ur)( f (Ur)−g(Ul ,Ur)).

(6.4)

Celles-ci vont nous permettre de séparer chaque interface,sous condition CFL.

Lemme 6.4. Le schéma numérique(6.3) peut s’écrire

Un+1i =

Un+1i− +Un+1

i+

2

oùUn+1

i− = U+(Uni−1,U

ni ,∆xi/(2∆t)),

Un+1i+ = U−(Un

i ,Uni+1,∆xi/(2∆t)).

Démonstration.En effet, on a par définition

Un+1i− = Un

i −2∆t∆xi

( f (Uni )−g(Un

i−1,Uni )),

Un+1i+ = Un

i −2∆t∆xi

(g(Uni ,Un

i+1)− f (Uni )),

ce qui donne bien (6.3) quand on prend la moyenne arithmétique.

Attention, les− et + ne signifient pas la même chose (pourU±, c’est de partet d’autre de l’interface, alors que pourUn

i±, c’est de part et d’autre du centre de lamaille).

6.1.2 Préservation de domaine invariant

Les estimationsa priori n’ont pas lieu d’être dans le cas des systèmes puisqu’on nesait pas si elles sont vérifiées par la (ou les) solution(s). Néanmoins, on peut supposerque l’ensemble convexeΩ ⊂ RN est undomaine invariantpour (6.1), c’est-à-dire que

66

si U0(x) ∈ Ω pour toutx∈ R, alorsU(t,x) ∈ Ω pour toutt > 0 etx∈ R.

On va donc définir l’analogue discret de cette propriété (quiest à rapprocher de lastabilitéL∞) :

Définition 6.5. SoitΩ un domaine invariant pour (6.1). On dit que le schéma VF (6.3)préserve invariant le domaineΩ

si Uni ∈ Ω pour touti ∈ Z, alorsUn+1

i ∈ Ω pour touti ∈ Z,

pour toutn∈ N.

Cette propriété est difficile à interpréter directement. L’idée est alors de travaillerpar demi-mailles pour obtenir plutôt des conditions sur le flux numérique, donc locali-sées aux interfaces :

Définition 6.6. Soit Ω un domaine invariant pour (6.1). On dit que le flux numériqueg préserve invariant le domaineΩ si il existe−σl (Ul ,Ur) < 0 < σr(Ul ,Ur) tels que

Ul ,Ur ∈ Ω =⇒

U−(Ul ,Ur ,σl (Ul ,Ur)) ∈ Ω,

U+(Ul ,Ur ,σr(Ul ,Ur)) ∈ Ω.(6.5)

En fait, la propriété est encore vraie pour n’importe quels−σl 6 −σl et σr 6 σr .On peut alors lier les propriétés de préservation de domaineinvariant ainsi :

Proposition 6.7. SoitΩ un domaine invariant pour(6.1).Si le schéma VF préserve invariant le domaineΩ, alors le flux numérique associé

préserve invariant le domaineΩ en prenantσl = ∆xi/∆t et σr = ∆xi+1/∆t.Si le flux numérique g préserve invariant le domaineΩ, alors le schéma VF pré-

serve invariant le domaineΩ sous les conditions CFL

σl (Uni ,Un

i+1)∆t 6 ∆xi/2 et σr(Uni ,Un

i+1)∆t 6 ∆xi+1/2, (6.6)

pour tout i∈ Z.

Démonstration.Le premier cas se démontre en deux temps. Si on prendUni−1 = Un

i =

Ul etUni+1 = Ur dans le schéma VF, la consistance du flux implique queUn+1

i est égalà la première expression de (6.5). On fait de même en prenant cette foisUn

i−1 = Ul etUn

i = Uni+1 = Ur et on obtient bien la propriété pour le flux numérique.

Le deuxième cas se traite en considérant les demi-mailles. Soit

Un+1i− = Un

i −2∆t∆xi

( f (Uni )−g(Un

i−1,Uni )),

Un+1i+ = Un

i −2∆t∆xi

(g(Uni ,Un

i+1)− f (Uni )).

On aUn+1i = (Un+1

i− +Un+1i+ )/2. Étant données les conditions CFL surσl et σr , on

déduit de (6.5) queUn+1i− et Un+1

i+ appartiennent àΩ. CommeΩ est convexe,Un+1i ∈

Ω.

Il n’est pas rare que les schémas numériques ne vérifient pas cette condition (mêmeles schémas VF utilisés dans le milieu industriel). En effet, les conditions de calcul sontsouvent telles que la solution approchée est à valeurs dans un compact loin du bord deΩ. Ce n’est que lorsque la solution approchée admet des valeurs au voisinage de∂Ωque la notion de préservation de domaine invariant devient importante.

67

6.1.3 Inégalités d’entropie discrètes

Définition 6.8. Soit (η ,F) un couple entropie-flux d’entropie pour le système (6.1).On dit que le schéma VF (6.3) est entropique si il existe un flux d’entropie numériqueG(U,V) consistant avec le flux d’entropie, c’est-à-dire queG(U,U) = F(U), tel quesous une certaine condition CFL, le schéma VF vérifie

η(Un+1i )−η(Un

i )+∆t∆xi

(G(Uni ,Un

i+1)−G(Uni−1,U

ni )) 6 0. (6.7)

Comme dans le cas précédent, on va travailler par interfaces:

Définition 6.9. Soit (η ,F) un couple entropie-flux d’entropie pour le système (6.1).On dit que le flux numériqueg est entropique si il existe un flux d’entropie numériqueG(U,V) consistant avec le flux d’entropie, c’est-à-dire queG(U,U) = F(U), tel qu’ilexiste−σl (Ul ,Ur) < 0 < σr(Ul ,Ur) vérifiant

η(U−(Ul ,Ur ,σl ))−η(Ul)−1σl

(G(Ul ,Ur)−F(Ul )) 6 0,

η(U+(Ul ,Ur ,σl ))−η(Ur)−1σr

(F(Ur)−G(Ul ,Ur)) 6 0.

(6.8)

Là aussi, la propriété reste vraie pour tout−σl 6 −σl etσr 6 σr .On a alors le résultat suivant permettant de relier les deux notions :

Proposition 6.10. Soit(η ,F) un couple entropie-flux d’entropie pour le système(6.1).Si le schéma VF(6.3) est entropique, alors le flux numérique associé est entropique enprenantσl = ∆xi/∆t etσr = ∆xi+1/∆t.

Si le flux numérique g est entropique, alors le schéma VF est entropique sous lesconditions CFL(6.6).

Démonstration.La démonstration est la même que celle de la proposition6.7, en uti-lisant en plus la convexité de l’entropie.

De nouveau, il n’est pas rare de rencontrer des schémas numériques non entro-piques. En effet, cette propriété n’est pas toujours cruciale car la diffusion numériquepermet dans la plupart des cas de bien approcher les solutions vérifiant (5.14). De plus,il existe des techniques de correction permettant, à partird’un schéma non entropique,d’obtenir un schéma entropique.

6.2 Formalisme de Harten, Lax et Van Leer

Le formalisme de Harten, Lax et Van Leer permet d’inclure de nombreux schémasexistants. On va d’abord se placer dans un cadre général puisvoir plusieurs exemplesde tels schémas.

6.2.1 Cadre général

Il se base sur la notion de solveur de Riemann approché, qui correspond à l’utilisa-tion d’une approximation de la solution auto-similaire du problème de Riemann (5.11).

68

Définition 6.11. Un solveur de Riemann approché pour (5.11) est une fonctionR :R×Ω2 → Ω vérifiant la propriété de consistance pour toutU ∈ Ω et x/t ∈ R

R(x/t;U,U) = U.

On y associe le flux numérique suivant

g(Ul ,Ur) = f (Ul )−∫ 0

−∞(R(ξ ;Ul ,Ur)−Ul) dξ . (6.9)

(

= f (Ur)+

∫ ∞

0(R(ξ ;Ul ,Ur)−Ur) dξ .

)

On appelle le schéma VF associé à un tel flux numérique un schéma de type Godunov.

Proposition 6.12. Un schéma de type Godunov est conservatif et consistant.

Démonstration.La propriété de conservation est immédiatement vérifiée et la consis-tance du schéma est donnée par la consistance du solveur de Riemann approché.

En fait, ce type schéma se rapproche de la vision transport-projection du schéma deGodunov, à ceci près que la solution de chaque problème de Riemann est maintenantdonnée parR.

Proposition 6.13. On considère un schéma de type Godunov. Alors

Un+1i =

1∆xi

[

∫ ∆xi/2

0R(x/∆t;Un

i−1,Uni ) dx+

∫ 0

−∆xi/2R(x/∆t;Un

i ,Uni+1) dx

]

(6.10)

sous les conditions CFLσl ∆t 6 ∆xi/2 et σr∆t 6 ∆xi+1/2, oùσl et σr vérifient

R(ξ ;Ul ,Ur) = Ul ∀ξ < −σl ,

R(ξ ;Ul ,Ur) = Ur ∀ξ > σr .

Démonstration.On a

1∆xi

[

∫ ∆xi/2

0R(x/∆t;Un

i−1,Uni ) dx+

∫ 0

−∆xi/2R(x/∆t;Un

i ,Uni+1) dx

]

= Uni +

1∆xi

∫ ∆xi/2

0(R(x/∆t;Un

i−1,Uni )−Un

i ) dx

+1

∆xi

∫ 0

−∆xi/2(R(x/∆t;Un

i ,Uni+1)−Un

i ) dx

= Uni +

∆t∆xi

∫ ∞

0(R(ξ ;Un

i−1,Uni )−Un

i ) dξ +∆t∆xi

∫ 0

−∞(R(ξ ;Un

i ,Uni+1)−Un

i ) dξ

= Uni +

∆t∆xi

(g(Uni−1,U

ni )− f (Un

i ))+∆t∆xi

( f (Uni )−g(Un

i ,Uni+1))

= Uni −

∆t∆xi

(g(Uni ,Un

i+1)−g(Uni−1,U

ni )) = Un+1

i .

On a donc le résultat escompté (la condition CFL a été utilisée dans la deuxième éga-lité).

Proposition 6.14. Si le solveur de Riemann R préserve invariant le domaineΩ, c’est-à-dire que

69

si Ul ,Ur ∈ Ω, alors R(ξ ;Ul ,Ur) ∈ Ω pour toutξ ∈ R,

alors le schéma de type Godunov associé à R préserve invariant le domaineΩ, sous lacondition CFL de la proposition6.13.

Démonstration.Ce résultat est immédiat grâce à la convexité de la formule (6.10) (onpourrait aussi utiliser la forme du flux numérique et la proposition6.7).

Proposition 6.15. Soit les fonctions

Gl (Ul ,Ur) = F(Ul )−∫ 0

−∞(η(R(ξ ;Ul ,Ur))−η(Ul )) dξ ,

Gr(Ul ,Ur) = F(Ur)+

∫ ∞

0(η(R(ξ ;Ul ,Ur))−η(Ur)) dξ .

SiGr(Ul ,Ur) 6 Gl (Ul ,Ur), (6.11)

alors toute fonction G(Ul ,Ur) = αGr(Ul ,Ur)+ (1−α)Gl (Ul ,Ur) pour α ∈ [0,1] estun flux d’entropie numérique et le schéma de type Godunov associé à R est entropiquesous la condition CFL de la proposition6.13.

Démonstration.Ici aussi, on pourrait utiliser la proposition6.10, mais on va plutôt sebaser sur (6.10). Par convexité de l’entropieη et par l’inégalité de Jensen, on a

η(Un+1i ) 6

1∆xi

∫ ∆xi/2

0η(R(x/∆t;Un

i−1,Uni )) dx

+1

∆xi

∫ 0

−∆xi/2η(R(x/∆t;Un

i ,Uni+1)) dx

6 η(Uni )− ∆t

∆xi(Gl (U

ni ,Un

i+1)−Gr(Uni−1,U

ni ))

6 η(Uni )− ∆t

∆xi(G(Un

i ,Uni+1)−G(Un

i−1,Uni ))

grâce à (6.11). Le schéma vérifie donc bien (6.7).

6.2.2 Schéma de Godunov

Ce schéma entre dans le formalisme de Harten, Lax et Van Leer.Il se base sur lasolution exacte du problème de Riemann (5.11).

Proposition 6.16. Le schéma de Godunov préserve invariant le domaineΩ et il estentropique.

Démonstration.La propriété de préservation du domaineΩ est immédiate grâce à laproposition6.14puisqueR∈ Ω.

Le flux d’entropie numérique associé au schéma de Godunov estη(R(0;Ul ,Ur)),ce qui permet de conclure directement.

En pratique, le schéma de Godunov est peu utilisé car il nécessite la résolutionexacte du problème de Riemann (5.11). Cette résolution est vite compliquée car lescourbes d’ondes dansΩ sont non linéaires et il faut en calculer l’intersection.

70

6.2.3 Solveurs simples

Les solveurs simples sont des solveurs de Riemann approchéscomposés deMondes discontinues de vitesse (ordonnées)σk, séparantM + 1 états constantsUk :R(ξ ;UL,UR) = Uk si σk < x/t < σk+1 (avec pour conventionsσ0 = −∞, σM+1 = ∞,U0 =UL etUM =UR). Il est important de noter qu’il n’est pas nécessaire d’avoir M = N.

En intégrant le schéma associé sur le maillage décalé, on obtient la condition deconservation

M

∑k=1

σk(Uk−Uk−1) = f (UR)− f (UL).

On peut donc définir naturellement les flux intermédiairesfk (avecf0 = f (UL) et fM =f (UR)), ce qui donne les relations

−σk(Uk−Uk−1)+ ( fk− fk−1) = 0

que l’on peut assimiler à des relations de saut de Rankine-Hugoniot (mais on ne connaîtpas le système associé et en généralf (Uk) 6= fk). Le flux numérique est alors donné par

g(UL,UR) = fk,

oùk est tel queσk 6 0 6 σk+1. Autrement dit, on a

g(UL,UR) = f (UL)+ ∑k t.q. σk<0

σk(Uk−Uk−1)

= f (UR)− ∑k t.q. σk>0

σk(Uk−Uk−1),

ce qui donne

g(UL,UR) =12

(

f (UL)+ f (UR))

− 12

M

∑k=1

|σk|(Uk−Uk−1).

Passons maintenant en revue quelques solveurs simples.

Schéma décentré

Ce schéma serait le plus simple, il consisterait à n’introduire qu’une seule onde(M = 1). Nécessairement, la vitesse de cette onde serait donnée par la relation deRankine-Hugoniot

−σ(UR−UL)+ ( f (UR)− f (UL)) = 0,

ce qui en général n’a pas de solution (N équations pour une seule inconnue !).

Schéma de Rusanov

Ce schéma, déjà présenté dans le cas scalaire, peut être réinterprété comme unschéma de type Godunov basé sur un solveur simple à deux ondes, de vitesse−a et a,oùa est une constante positive. Le flux s’écrit alors[EX]

g(Ul ,Ur) =f (Ul )+ f (Ur)

2− 1

2A(Ul ,Ur)(Ur −Ul).

Pour peu queA(Ul ,Ur) = maxU=UL ,UR maxi |λi(U)|, ce schéma préserve invariantΩ etest entropique (sous la condition CFL∆t 6 infi(∆xi)/(2a)).

71

Schéma HLL

Ce schéma, présenté en même temps que le formalisme de Harten, Lax et Van Leer,se base lui aussi sur deux ondes, mais de vitessea1 6 a2 a priori différentes. Toujoursen utilisant les relations précédentes, on déduit le flux numérique suivant :[EX]

g(Ul ,Ur) =

f (Ul ) si 0< a1,a2 f (Ul )−a1 f (Ur)

a2−a1+

a1a2

a2−a1(Ur −Ul) si a1 < 0 < a2,

f (Ur) si a2 < 0.

Ce schéma aussi est consistant, préserve invariantΩ et est entropique, avec pour condi-tion sura1 et a2

a1 = minU=UL ,UR

mini

λi(U), a2 = maxU=UL ,UR

maxi

λi(U).

Schéma de Roe

Le schéma de Roe est plus compliqué que les deux précédents, mais il est aussiplus précis en pratique. Il se base sur la construction d’unematriceA(Ul ,Ur) ∈ RN×N,dite matrice de Roe, qui vérifie pour toutUl ,Ur ∈ Ω :

1. la matriceA(Ul ,Ur) est diagonalisable dansR,

2. consistance :A(Ul ,Ul ) = f ′(Ul ),

3. f (Ur)− f (Ur) = A(Ul ,Ur)(Ur −Ul).

Le solveur simple associé est la solution du problème de Riemann linéaire

∂tU +A(UL,UR)∂xU = 0, t > 0, x∈ R,

U(0,x) =

UL si x < 0,

UR si x > 0.

Après quelques calculs, on peut en déduire le flux numérique[EX]

g(Ul ,Ur) =f (Ul )+ f (Ur)

2− 1

2|A(Ul ,Ur)|(Ur −Ul)

où |A|= Pdiag(|λ1|, ..., |λN|)P−1, P étant la matrice des vecteurs propres à droite deAet λi les valeurs propres deA.

Cette matrice peut en pratique être difficile à trouver. On peut cependant montrerque si le système hyperbolique (6.1) admet une entropie strictement convexe, alors ilexiste une matrice de Roe.

Ce schéma, bien que plus précis que les précédents, ne préserve pas invariantΩ etn’est pas entropique.

6.3 Schémas de Godunov approchés

Ces schémas sont des versions simplifiées du schéma de Godunov mais ils n’entrentpas dans le formalisme de Harten, Lax et Van Leer. Tout comme le schéma de Godunov,le flux numérique de tels schémas s’écrit

g(Ul ,Ur) = f (R(0;Ul ,Ur)) (6.12)

72

à ceci près queRn’est pas la solution exacte du problème de Riemann.Il est important de noter que même siR(0;Ul ,Ur) ∈ Ω, le schéma ne préserve pas

forcément invariantΩ.

6.3.1 Schéma choc-choc

Cette méthode se base sur une approximation des courbes d’ondes dans la résolu-tion du problème de Riemann : toutes les ondes sont supposéesêtre des discontinuités,les détentes sont donc remplacées par des ondes de choc qui nevérifient donc pas le cri-tère de Lax. Cette approximation n’est pas aberrante car en général, les courbes d’ondede détente et les courbes d’onde de choc sont très proches.

Avec cette approximation, le schéma ne préserve pas invariant Ω et n’est pas en-tropique. Cependant, il permet de résoudre des solutions avec des onde de choc trèsprécisément. Il est important de noter que ce schéma peut aussi approcher des solu-tions comportant des onde de détente, grâce à la diffusion numérique.

6.3.2 Schéma VFRoe

Ce schéma se base sur une linéarisation de la résolution du problème de Riemann.Soit un changement de variableV = ϕ(U) et B(V) = ∇ϕ(U)∇ f (U)∇ϕ(U)−1. Le sol-veur de Riemann définissant le flux numérique (6.12) est la solution du problème deRiemann linéarisé suivant

∂tV +B((ϕ(UL)+ ϕ(UR))/2)∂xV = 0, t > 0, x∈ R,

U(0,x) =

UL si x < 0,

UR si x > 0.

Suivant le changement de variable utilisé, les propriétés du schéma changent. Mais engénéral, il ne préserve pas invariantΩ et n’est pas entropique (quoique...).

Remarque13. On peut se demander quel est l’intérêt de schémas qui ne préservent pasinvariantΩ et ne sont pas entropique. Il sont en général plus précis et souvent facile àmettre en œuvre, en particulier le schéma VFRoe. De plus, beaucoup de configurationsde simulations ne nécessitent pas ces propriétés, tous les schémas paraissant convergervers la même solution.

Il existe des schémas préservant invariantΩ et entropique dont la précision est com-parable au schéma de Godunov (qui est la référence) et la complexité est comparableaux schémas basés sur un solveur linéarisé. Mais en général ils sont définis au cas parcas, suivant le système considéré.

6.4 Cas multidimensionnel

On reprend les notations du cas scalaire et le schéma se dérive de la même manière,pour obtenir :

Un+1K = Un

K − ∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL| g(UnK ,Un

L ;nKL) (6.13)

où le flux numériqueg vérifie les propriétés de base suivantes :– conservation :g(U,V;n) = −g(V,U ;−n) pour tout(U,V;n) ∈ (RN)2×Sd−1,– consistance :g(U,U ;n) = f (U) ·n pour tout(U,n) ∈ RN ×Sd−1.

73

Comme en une dimension, on va s’attacher à étudier les propriétés de préservationde domaine invariant et d’entropie. En fait, on peut étendreces propriétés quasimentdirectement, à l’aide du calcul suivant.

De manière analogue auxU±, on définit

U(U,V,n,σ) = U − 1σl (U,V)

(g(U,V;n)− f (U) ·n). (6.14)

De plus, on a comme propriété classique que∑L∈V (K) |eKL|nKL = 0, donc

∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL| f (U) ·nKL = 0.

Soit K ∈ M et αKL ∈ (0,1) tels que∑L∈V (K) αKL = 1. On peut donc écrire

Un+1K = Un

K − ∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL| g(UnK ,Un

L ;nKL)+∆t|K| ∑

L∈V (K)

|eKL| f (U) ·nKL

= ∑L∈V (K)

αKL

(

UnK − ∆t|eKL|

αKL|K| (g(UnK ,Un

L ;nKL)− f (UnK) ·nKL)

)

= ∑L∈V (K)

αKL U(

UnK ,Un

L ,nKL,αKL|K|/(∆t|eKL|))

.

Pour simplifier l’écriture, on peut prendreαKL = |eKL|/|∂K|, ce qui donne

Un+1K = ∑

L∈V (K)

αKL U(

UnK ,Un

L ,nKL, |K|/(∆t|∂K|))

.

On obtient donc une combinaison convexe et les propriétés duschéma numérique sontà nouveau sous condition surU (et l’existence deσ ) et sous la condition CFL

∆t 6α2h

maxσ(UK ,UL).

Ainsi, si on considère un schéma préservant les domaines invariants et entropique en1D pour un système invariant galiléen (donc ces propriétés sont vraies pour toute nor-malen), alors il s’étend naturellement en multidimension.

74

Un peu de bibliographie

Tout d’abord, les livres d’Edwige Godlewski et Pierre-Arnaud Raviart : le premier[GR91] porte sur l’analyse et l’approximation des lois de conservation scalaires (dif-ficile à trouver car il n’est plus édité) et le second [GR96] traite des systèmes de loisde conservation (analyse et approximation). Ces deux livres sont très complets et biendétaillés.

Ensuite, on peut citer les livres de Denis Serre, [Ser96a] et [Ser96b], peut-être plusdifficiles que les deux précédents car ils sont destinés à un public plus spécialisé (ilsexistent aussi en version anglaise).

D’un point de vue numérique, on peut citer le livre de RandallJ. LeVeque [LeV02],celui d’Eleuterio F. Toro [Tor99] et celui de François Bouchut [Bou04]. Tous ceux-ciconcernent principalement les systèmes, pour le cas scalaire on peut se référer au livrede Robert Eymard, Thierry Gallouët et Raphaèle Herbin [EGH00].

Par ailleurs, le livre de Joel Smoller [Smo83] est particulièrement pédagogique etcontient des développements très intéressants.

Enfin, le livre de Constantine M. Dafermos [Daf05] constitue l’ouvrage de réfé-rence à l’heure actuelle, il dresse un état de l’art sur le sujet véritablement impression-nant.

Pour terminer, voici quelques liens de pages et polycopiés sur le sujet :http://www.ann.jussieu.fr/~despres/BD_fichiers/seism.htm

http://www.ann.jussieu.fr/~perthame/cours_hyp.pdf

http://www.cmi.univ-mrs.fr/~herbin/PUBLI/bookevol.pdf

http://www.cmap.polytechnique.fr/~allaire/cours_master.html

http://www-gm3.univ-mrs.fr/polys/gm3-08/index.html

75

Bibliographie

[Bou04] F. Bouchut. Nonlinear stability of finite volume methods for hyperbolicconservation laws and well-balanced schemes for sources. Frontiers in Ma-thematics. Birkhäuser Verlag, Basel, 2004.6.4

[Daf05] C. M. Dafermos.Hyperbolic conservation laws in continuum physics, vo-lume 325 ofGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamen-tal Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, secondedition, 2005.6.4

[EGH00] R. Eymard, T. Gallouët, and R. Herbin. Finite volumemethods. InHand-book of numerical analysis, Vol. VII, Handb. Numer. Anal., VII, pages 713–1020. North-Holland, Amsterdam, 2000.6.4

[GR91] E. Godlewski and P.-A. Raviart.Hyperbolic systems of conservation laws,volume 3/4 ofMathématiques & Applications (Paris) [Mathematics and Ap-plications]. Ellipses, Paris, 1991.6.4

[GR96] E. Godlewski and P.-A. Raviart.Numerical approximation of hyperbolic sys-tems of conservation laws, volume 118 ofApplied Mathematical Sciences.Springer-Verlag, New York, 1996.6.4

[LeV02] R. J. LeVeque. Finite volume methods for hyperbolic problems. Cam-bridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge UniversityPress, Cam-bridge, 2002.6.4

[Ser96a] D. Serre.Systèmes de lois de conservation. I. Fondations. [Foundations].Diderot Editeur, Paris, 1996. Hyperbolicité, entropies, ondes de choc. [Hy-perbolicity, entropies, shock waves].6.4

[Ser96b] D. Serre.Systèmes de lois de conservation. II. Fondations. [Foundations].Diderot Editeur, Paris, 1996. Structures géométriques, oscillation et pro-blèmes mixtes. [Geometric structures, oscillation and mixed problems].6.4

[Smo83] J. Smoller.Shock waves and reaction-diffusion equations, volume 258 ofGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principlesof Mathematical Science]. Springer-Verlag, New York, 1983.6.4

[Tor99] E. F. Toro. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics.Springer-Verlag, Berlin, second edition, 1999. A practical introduction.6.4

76