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Lquipe des professeurs de mathmatiques Lyce Stendhal

Il est prouv que fter les anniversaires est bon pour la sant. Les statistiques

montrent que les personnes qui en ftent le plus deviennent les plus vieilles.

Den Hartog (Professeur amricain)

Anne 2016-2017

Liste des savoirs et savoir-faire du chapitre :

CODE INTITULE Bilan A EA NA

S0101 Dterminer moyenne, mdiane et quartiles dune srie statistique S0102 Dterminer variance et cart-type dune srie statistique S0103 Dresser le diagramme en bote dune srie statistique S0104 Dcrire le diagramme en bote dune srie statistique S0105 Comparer deux sries statistiques avec les outils appropris

Comptences dans tous les chapitres :

INTITULE Bilan A EA NA Chercher Modliser Reprsenter Calculer Raisonner Communiquer

ST

AT

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RIP

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n

2011 2012 Les statistiques descriptives Classe de Premiere S

Table des matieres

1 Notation 3

2 Quelques generalites et rappels 32.1 Tri a plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Effectif total dune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Frequence dapparition dune valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Tableau Standard statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Critere de position 43.1 Mediane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Deciles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 Moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.5 Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Critere de dispersion 74.1 Etendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Ecart Inter-Quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Ecart Inter-Deciles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.5 Ecart-Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Representation statistiques 95.1 Diagramme en bote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Polygone des frequences cumulees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Plages de normalite des distributions normales Gaussiennes 10

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -2-

2011 2012 Les statistiques descriptives Classe de Premiere S

1 Notation

La somme de n nombres numerotes de 1 a n peut secrire :

x1 + x2 + x3 + x4 + + xn1 + xn

mais cette ecriture est longue et les pointilles ne sont pas satisfaisants.On ecrira, pour faire moins long et eviter les pointilles, cette somme a laide dusymbole Sigma :

ni=1

xi

Exemples :

1.n

i=0

xi =

2.n1i=1

i =

3.n

i=0

i2 =

4.n

i=0

i(i+ 1) =

2 Quelques generalites et rappels

2.1 Tri a plat

On note (xi;ni)iN la serie statistique ci-dessous :Rappels : Leffectif ni est le nombre de fois ou apparat la valeur xi dans la serie.

valeurs xi x1 x2 x3 x4 . . . . . . . . . xk2 xk1 xkEffectifs ni n1 n2 n3 n4 . . . . . . . . . nk2 nk1 nk

2.2 Effectif total dune serie

Definition :

Leffectif total N de la serie statistique est la somme de tous les effectifs ou le nombrede valeurs total dans cette serie :

N =k

i=1

ni = n1 + n2 + n3 + . . .+ nk1 + nk

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2.3 Frequence dapparition dune valeur

Definition :

La frequence dapparition dune valeur xi est la proportion de cette valeur par rapporta leffectif total.

Frequence par rapport a 1 : fi =Effectif de la valeur

Effectif total=niN

Frequence par rapport a 100 : Fi =100niN

Proprietes :

Sf =k

i=1

fi = f1 + f2 + f3 + . . .+ fk1 + fk = 1

SF =k

i=1

Fi = F1 + F2 + F3 + . . .+ Fk1 + Fk = 100

2.4 Tableau Standard statistique

Le tri a plat dune serie statistique est un tableau contenant les valeurs de la serie, leseffectifs, les effectifs cumules croissants, les frequences, les frequences cumuleescroissantes, les pourcentages et les pourcentages cumules croissants.

valeurs xi x1 x2 x3 . . . . . . . . . xk1 xkEffectifs ni n1 n2 n3 . . . . . . . . . nk1 nk

Effectifs Cum Croi Ni n1 N1 + n2 N2 + n3 . . . . . . . . . Nk2 + nk1 N

Frequences fi f1 f2 f3 . . . . . . . . . fk1 fkFrequences Cum Croi Fi f1 F1 + f2 F2 + f3 . . . . . . . . . Fk2 + fk1 1

Pourcentages pi p1 p2 p3 . . . . . . . . . pk1 pkPourcentages Cum Croi Pi p1 P1 + p2 P2 + p3 . . . . . . . . . Pk2 + pk1 100

3 Critere de position

3.1 Mediane

Definition :La mediane dune serie statistique est la valeur qui partage cette serie en deux series dememe effectif.

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3.2 Quartiles

Definition :Les quartiles dune serie statistique sont les valeurs qui partagent cette serie en quatreseries de meme effectif.

3.3 Deciles

Definition :Les deciles dune serie statistique sont les valeurs qui partagent cette serie en dix seriesde meme effectif.

Si D1 est le premier decile et D9 le neuvieme de la serie statistique, alors :

10 % des valeurs de la serie sont dans [Min,D1]80 % des valeurs de la serie sont dans [D1, D9]

10 % des valeurs de la serie sont dans [D9,Max]

Methode pour trouver les deciles :Il faut commencer par classer la serie dans lorde croissant.On utilisera une methode approximative mais qui donnera des resultats significatifspour des series a grands effectifs.

CalculerN

10et on note a lentier superieur a

N

10.

Calculer9N

10et on note b lentier superieur a

9N

10.

B D1 est la a ieme valeur de la serie statistique.B D9 est la b ieme valeur de la serie statistique.

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3.4 Moyenne

Definition :

La moyenne arithmetique de la serie statistique est le nombre :

x =1

N

ki=1

xi ni =x1n1 + x2n2 + x3n3 + . . .+ xk1nk1 + xknk

N

ou

x =k

i=1

xi fi = x1f1 + x2f2 + x3f3 + . . .+ xkfk

ou

x =1

100

ki=1

pi ni =p1n1 + p2n2 + p3n3 + . . .+ pk1nk1 + pknk

100

Proprietes de la moyenne :

1. Si x est la moyenne dun groupe deffectif N1 et y la moyenne dun groupedeffectif N2 alors la moyenne z de la serie constituee de lensemble des deuxgroupes est :

z =N1x+N2y

N1 +N2

2. Si x est la moyenne dune serie (xi, ni) alors la moyenne de la serie (axi + b, ni)est :

y = ax+ b

3. Moyenne elaguee :Quand une valeur aberrante, correspondant a une erreur de mesure ou a unesituation exceptionnelle, est presente dans une serie, elle influenceconsiderablement la valeur moyenne. Une moyenne calculee apres avoir enlevecertaines valeurs est appelee Moyenne elaguee.

3.5 Modes

Definition :

Les modes dune serie sont les valeurs ayant le plus grand effectif.

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4 Critere de dispersion

4.1 Etendue

Definition :

Letendue dune serie statistique est la difference entre la plus grande valeur et la pluspetite, de la serie.Et = MaxMin

4.2 Ecart Inter-Quartiles

Definition :

Lecart inter-quartiles est la difference entre Q3 et Q1EQ = Q3 Q1

Lintervalle inter-quartiles est lintervalle entre Q1 et Q3IQ = [Q1, Q3]

4.3 Ecart Inter-Deciles

Definition :

Lecart inter-deciles est la difference entre D9 et D1ED = D9 D1

Lintervalle inter-deciles est lintervalle entre D1 et D9ID = [D1, D9]

4.4 Variance

Certaines series statistiques peuvent avoir les memes criteres de position comme lamediane et la moyenne.Pour les differencier on va utiliser un nouvel outil qui va mesurer la dispersion de laserie autour de la moyenne. On souhaite trouver une mesure de lecart entre les valeursde la serie et sa moyenne. Si cet ecart est grand alors la serie est tres heterogene et lesvaleurs sont eloignees de la moyenne sinon si cet ecart est petit la serie est homogene etles valeurs rapprochees autour de la moyenne.On pourrait calculer la moyenne des ecarts a la moyenne mais celle-ci donne toujours 0a cause des ecarts qui sont opposes.Demonstration :

(x x) = 1N

ki=1

(x xi)ni

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Pour eviter ce probleme, on va faire la moyenne des carrees des ecarts a la moyenne.On note ce resultat, la variance de la serie.Definition :

La variance dune serie statistique est la moyenne des carrees des ecarts ala moyenne de chacune des valeurs.

valeurs xi x1 x2 x3 . . . xk1 xkEffectifs ni n1 n2 n3 . . . nk1 nk(x xi)2 (x x1)2 (x x2)2 (x x3)2 . . . (x xk1)2 (x xk)2

La variance de la serie est donc la moyenne de la derniere ligne du tableau ci-dessus :

V (x) =1

N

ki=1

(x xi)2ni

ou

V (x) =k

i=1

(x xi)2fi

Propriete :

V (ax) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V (x+ b) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

donc

V (ax+ b) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

demonstration :

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4.5 Ecart-Type

Definition :

Lecart-type est la racine carree de la variance pour revenir aux meme unites que lesvaleurs de la serie statistique.

=V (x)

Propriete :Si on a deux series S1 et S2 decart-type respectifs 1 et 2Si 1 < 2 alors la serie S1 est plus homgene que la serie S2 ou la serie S2 est plusheterogene que la serie S1.Propriete :

(ax) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(x+ b) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

donc

(ax+ b) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

demonstration :

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5 Representation statistiques

5.1 Diagramme en bote

Les diagrammes en bote, ou botes a moustaches, sont des diagrammes permettant decomparer rapidement des series statistiques.

5.2 Polygone des frequences cumulees

Le polygone des frequences cumulees (en pourcentages) permet de lire rapidement lamediane et les quartiles dune series statistique :

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6 Plages de normalite des distributions normalesGaussiennes

Lorsque lon fait des statistiques sur une grande quantitie de valeurs, il arriventsouvent que lon obtienne des diagramme ayant sensiblement la meme forme dite ENCLOCHE ou COURBE DE GAUSS, comme ci-dessous :

Lorsque la serie statistique donne une representation graphique de la forme dunecourbe de Gauss, les donnees sont qualifiees de donnees Gaussiennes.Prorietes (Plages de normalite) :On note x la moyenne de la serie et lecart-type de la serie.

1. Environ 68 % des donnees se trouvent dans lintervalle [x , x+ ]On nomme cet intervalle la plage de normalite pour le niveau de confiance 0.68

2. Environ 95 % des donnees se trouvent dans lintervalle [x 2, x+ 2]On nomme cet intervalle la plage de normalite pour le niveau de confiance 0.95

3. Environ 99 % des donnees se trouvent dans lintervalle [x 3, x+ 3]On nomme cet intervalle la plage de normalite pour le niveau de confiance 0.99

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